Prof. Kleber Lima

Transformada de Clarke e Park

Centro de Tecnologia Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aplicações de Eletrônica de Potência em Sistemas de Potência

Departamento de Engenharia Elétrica

2

Sumário

• Objetivos • Introdução • Transformada de Clarke • Vetor espacial • Transformada de Park

3

Objetivo

• Compreensão da importância da mudança de coordenadas

• Transformação de coordenadas abc para αβ • Compreensão e determinação do vetor girante • Transformação de coordenadas abc para dq

4

Introdução

• Fasores são números complexos utilizados para representar grandezas que variam senoidalmente no tempo

• Por exemplo, a fmm com distribuição aproximadamente senoidal reproduzidas por cada enrolamento do estator de uma máquina trifásica, podem ser representadas pelos vetores espaciais (fasores espaciais)

• A fmm do estator é a soma no espaço das fmms de cada fase, dada por:

2 42 3 3

cos cos coss a b cNF i t t i t t i t tπ πω ω ω

5

Transformada de Clarke

2 cosav t V tω

Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 1, com equações:

223

cosbv t V t πω

423

coscv t V t πω

Fig. 1

ai 1N

1N

1N

ci

bia

c

b

6

Transformada de Clarke

1 2 42 2 3 3

cos coseqa b c

N Ni i t i t i tαπ π

O vetor espacial da corrente é definido a partir da projeção da fmm de cada fase nos eixos ortogonais fictícios α e β.

1 2 42 2 3 3

sin sineqb c

N Ni i t i tβπ π

Fig. 2

EixoEstacionário

α

β

ai

iβ

iα1N

1N

1N

ci

bi eqN

eqN

a

c

b

7

Transformada de Clarke

Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por:

1

eq

NkN

2 43 3

sin sinb ci k i t i tβπ π

Invariância em potência 23

k

Fig. 3

2 43 3

cos cosa b ci k i t i t i tαπ π

EixoEstacionário

α

β

ai

iβ

iα1N

1N

1N

ci

bi eqN

eqN

a

c

b

8

Transformada de Clarke

Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por:

Fig. 4

1 112 2 23 3 30

2 2

α

β

a

b

c

ii

ii

i

EixoEstacionário

α

β

ai

iβ

iα1N

1N

1N

ci

bi eqN

eqN

a

c

bSistema a três fios implica em ausência de componente homopolar

9

Transformada de Clarke

Fig. 5

0

1 1 12 2 2

2 1 113 2 2

3 302 2

α

β

a

b

c

i ii ii i

Sistema com a presença de componente homopolar

EixoEstacionário

α

β

ai

iβ

iα1N

1N

1N

ci

bi eqN

eqN

a

c

b

Componente homopolar

10

Transformada de Clarke

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

100 110 120 130 140 Tempo (ms)

Tens

ões

a,b,

c (p

.u.)

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

100 110 120 130 140 Tempo (ms)

Tens

õeso

α,β

(p.u

.)

abc

Clarke vα vβ

va vb vc

11

Vetor Girante

2 cosav t V tω

223

cosbv t V t πω

423

coscv t V t πω

Seja o sistema trifásico definido a partir dos três fasores mostrado na figura, com expressões dadas a seguir:

Segundo KOVACS, o vetor espacial é definido por:

2 4

0 3 3j jj

a b cv t v t e v t e v t eπ π

Fig. 6

EixoEstacionário

α

β

ai

iβ

iα1N

1N

1N

ci

bi eqN

eqN

a

c

b

12

Vetor Girante Desenvolvendo...

0

23

43

2

223

423

cos

cos

cos

j

j

j

V t e

V t ev t

V t e

π

π

ω

πω

πω

0

2 223 33

4 443 33

22

22

22

j t j tj

j t j tj

j t j tj

e eV e

e eV ev t

e eV e

ω ω

π πω ω π

π πω ω π

13

Vetor Girante Desenvolvendo...

43

23

22

22

22

j t j t

j tj t

j tj t

e eV

e eVv t

e eV

ω ω

πωω

πωω

43

23

22

22

22

j t j t

jj t j t

jj t j t

e eV

e e eVv t

e e eV

ω ω

πω ω

πω ω

14

Vetor Girante Desenvolvendo...

22

4 43 32

2

2 23 32

2

cos sin

cos sin

j t j t

j t j t

j t j t

e eV

e e jV

v t

e e jV

ω ω

ω ω

ω ω

π π

π π

15

Vetor Girante Desenvolvendo...

22

1 32 2

22

1 32 2

22

j t j t

j t j t

j t j t

e eV

e e jV

v t

e e jV

ω ω

ω ω

ω ω

3 2

2j tv t Ve ω

Vetor Girante

v t

α

β

θ

ddtθω

ω

Fig. 7

16

Vetor Girante

3 22

j tv t Ve ω

Vetor Girante

v t

α

β

θ

ddtθω

ω

v t

θ

ω

aV

bV

cV

Fig. 9

Fig. 8

17

Transformada de Park

2 cosav t V tω

Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 8, com equações:

223

cosbv t V t πω

423

coscv t V t πω

1 2 42 2 3 3

cos cos coseqd a b c

N Ni i t i t i tπ πθ θ θ

1 2 42 2 3 3

sin sin sineqq a b c

N Ni i t i t i tπ πθ θ θ

Fig. 10

EixoGirante

d

ai

qi

di

1N

1N

1N

ci

bi

eqN

eqN

a

c

b q

θ

ω

θω ddt

18

Transformada de Park

Eixo

da

Fase

A

Eixo da Fase c

Eixo da Fase b

Eixo em quadratura

θ

1

eq

NkN

2 43 3

cos cos cosd a b ci k i t i t i tπ πθ θ θ

Invariância em potência 23

k

2 43 3

sin sin sinq a b ci k i t i t i tπ πθ θ θ

Fig. 11

19

Transformada de Park

Após algumas simplificações, o sistema bifásico em coordenadas dq, é dado por:

2 43 32

3 2 43 3

π πθ θ θ

π πθ θ θ

cos cos cos

sin sin sin

ad

bq

c

i ti

i ti

i t

Fig. 12

Eixo

da

Fase

A

Eixo da Fase B

Eixo da Fase C

Eixo em quadratura

θ

Sistema a três fios implica em ausência de componente homopolar

20

Transformada de Park

Fig. 13

Fig. 14

ai 1N

1N

1N

ci

bia

c

b

EixoGirante

d

qi

dieqN

eqN

q

θ

ω

EixoEstacionário

α

β

iβ

iαeqN

eqN

θω ddt

21

Transformada de Clarke

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

100 110 120 130 140 Tempo (ms)

Tens

ões

a,b,

c (p

.u.)

abc

Park

Tempo (ms)

Tens

ões

d,q

(p.u

.)

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

100 110 120 130 140

vd

vq

va vb vc

22

Bibliografia

1. I. Boldea; S. A. Nasar, 2005, Electric Drives. 2nd. edition, CRC Press, New York, 544p.

2. W. Leonhard, 2001, Control of Electric Drives, 3rd. edition, Springer, New York, 470p.

3. P. C. Krause, 2002, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, New York, 600p.

4. P. K. Kovacs, 1984, Transiente Phenomena in Electrical Machines, Elsevier, Amsterdam, 392p.

23

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