transferência de calor ii...

MEC2348

Transferência de Calor II

2015-2 Departamento de Engenharia Mecânica

Angela Ourivio Nieckelesala 163- L – ramal 1182 – e-mail: [email protected]

• Termodinâmica: estuda as interações de energia

entre um sistema e a vizinhança (calor e trabalho).

Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza

da interação.

2Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

• Fenômenos de Transporte Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de

movimento

Transferência de calor: transporte de energia

Transferência de massa: transporte de massa de

espécies químicas

Observação:

1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente

2. As equações básicas são muito semelhantes e as ferramentas

matemáticas para resolver problemas são similares, porque os

mecanismos moleculares são diretamente relacionados.

• Transferência de calor: estuda os mecanismos

de transferência de calor, e relações para o

cálculo das taxas de transferência de calor.

• Exemplos: Projetos de paredes refratárias,

calor perdido em equipamentos, trocadores

de calor, etc.

• Modos de transferência de calor:

• condução, convecção e radiação


Modos de transferência de calor


Condução: movimentos randômicos translacionais

(difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)

Convecção: é o processo de transferência de calor

efetuado pelo escoamento de fluidos (transferência de calor +

escoamento de fluidos)

Radiação: Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com tempera-

tura acima do zero absoluto, emite energia (ondas eletroma-

gnéticas com velocidade da luz).

• Não é necessário um meio material para a propagação de

energia.

CONDUÇÃO

Comentários A determinação da taxa de transferência de calor e taxa de

transferência de massa na interface entre fases em um sistema

fluido é um dos grandes objetivos de um engenheiro. Em

geral, deseja-se determinar a transferência entre uma interface

sólido-fluido, onde o fluido encontra-se em movimento em

relação a superfície sólida estacionária, mas também existem

aplicações onde a interface é entre um líquido e um gás.

Se o fluido estiver em repouso, o problema torna-se ou um

simples problema de condução de calor onde existe um

gradiente de temperatura normal a interface (superfície), ou

um simples problema de difusão de massa onde existe um

gradiente de concentração de massa normal a superfície.


Comentários

Contudo, se houver movimento de fluido, haverá transporte de

energia e massa por gradientes potenciais e pelo movimento

do fluido propriamente dito. Este complexo processo de

transporte é chamado de convecção. Este é o foco do presente

curso

O maior desafio para resolver um problema de convecção,

consiste em analisar uma situação que envolve uma

combinação da transferência de calor, transferência de massa e

reações químicas.


7

Propriedades dos Fluidos Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As

propriedades de matérias estão relacionadas com o

comportamento molecular

Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as

paredes do recipiente

Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da

matéria

Volume específico (n): relaciona-se com a

ocupação da matéria

Densidade relativa (d): razão entre a densidade

da substância e a densidade da água

(adimensional)

Pa

m

N

área

ForçaP

2

r

3m

kgm

r

n

kg

m1

m

3

O2H

dr

r

Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

8

Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das

moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)

Igualdade de temperatura equilíbrio térmico

Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)

e a taxa de deformação ( )

Viscosidade cinemática (u)

tm

r

mu

Fluidos

Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.

Possui superfície livre

Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.

Ocupa todo recipiente.


9

Para entender o comportamento da matéria seria

necessário considerar cada molécula, conhecendo a

história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de

iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico,

devido ao elevado número de moléculas.

m/

d d*

Molecular Continuo

Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar

uma quantidade de volume de fluido contendo um grande

número de moléculas hipótese do contínuo: admite-se que os

fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura

molecular.

Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a

propriedade densidade:

ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/

dd*


10

A hipótese do contínuo falha quando as dimensões

envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre

colisões moleculares:

Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:

1, 6 x 10-5 cm

ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.

zyx ezeyexr

r

zr ezerr

)(r

),(r rerr

Não importa qual a partícula que está no ponto

em um determinado instante de tempo, mas sim

em que condições a partícula que passar pelo

ponto naquele instante possui.

Conceito do contínuo está associado com o conceito de

campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e

no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.

O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de

coordenadas:

Cartesiano:

Cilíndrico:

Esférico:

10

11

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Lagrangiano: As equações de conservação

são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser

infinitesimal ou finito.

A variável física é descrita para um determinada partícula

A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por

exemplo, a coordenada da partícula em um determinado

instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0

Esta função descreve como a função da

partícula P varia com o tempo

Ex: policial seguindo carro

Pr

),( trP

MecFlu-Paulo/Class slides/Chapter0/movies/Lagrangian_Frame.mov

MecFlu-Paulo/Class slides/Chapter0/movies/Lagrangian_Frame.mov

12

Método Lagrangeano versus Euleriano

Método Euleriano: As equações de conservação são

aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual

pode ser infinitesimal ou finito

A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço

Para cada instante t, a partícula em é uma partícula

diferente

é a posição da partícula P em t

Esta função descreve a função na posição

da partícula P em função do tempo

Ex: controlador de tráfego

r

r

),( tr

Vamos utilizar a formulação

Euleriana, juntamente com o

conceito de campo, i.e., todas

as propriedades são definidas

em função de sua localização

no espaço e no tempo

Filmes/Filmes-introducao/Eulerian_Frame.mov

Filmes/Filmes-introducao/Eulerian_Frame.mov

Derivada total de uma grandeza (pressão, temperatura,

velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento

(= como varia com o tempo para uma determinada partícula

),,,( tzyx Descrição Euleriana

wvu

particula td

zd

ztd

dy

ytd

dx

xtd

dt

ttd

d

)(.)(

convectivavariaçãopartículadamovaodevidotempoocomvariaçãodetaxa

fixaposiçãotempoocomvariaçãodetaxa

wz

vy

uxttD

D


ii

xe

xe

xe

xe

33

22

11grad

14

Vetor Velocidade:

Produto escalar entre vetores:

Operador gradiente:

iii

iizyx eueueueueueweveuV

332211

iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA

Operador Divergente:

i

iij

i

jji

i

jjj

ii

x

A

x

Aee

x

AAe

xeAA

div


15

Deseja-se medir variação da pressão com o tempo, em três situações diferentes:

1 - Estação Metereológica p=p(t) dp

dt

p

t

2 - Avião com velocidade V u i v j w ka a a a

dp

dt

p

t

dt

dt

p

x

dx

dt

p

y

dy

dt

p

z

dz

dt

p

t

p

xu

p

yv

p

zwa a a

3 - Balão sem propulsão, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido,

com velocidade V u i v j w k

dp

dt

p

t

dt

dt

p

x

dx

dt

p

y

dy

dt

p

z

dz

dt

p

t

p

xu

p

yv

p

zw

p

tV p

D p

D t

Va

ii

xu

ttD

DouV

ttD

D

Derivada Material

16

VVat

V

tD

VD

z

v

y

v

x

v

t

v

t

v

tD

vDy wvuvVa

z

w

y

w

xw

t

w

t

w

tD

wDz wvuwVa

Aceleração:

aceleração aceleração

local temporal convectiva

i

kki

i

kkikt

ukk

kkj

ijikt

ukk

jjiit

eu

t

V

tD

VD

x

euu

x

ueueea

eux

ueeux

eeuVVa

k

kkk

)()(

kajaiaakwjviuV zyx

,Em coordenadas cartesianas:

z

u

y

u

x

u

t

u

t

u

tD

uDx wvuuVa

y ej

ej ei

ei

x

17

Em coordenadas cilíndricas:

zzrr

zzrr

eaeaeaa

eueueuV

,

r

uuuuuVa

z

uzr

u

r

urt

urt

u

tD

uDr

rrrrrr

2

r

uuuuuuVa r

z

uzr

u

r

urt

u

t

u

tD

uD

z

uzr

u

r

urt

uzt

u

tD

uDz

zzzzzz uuuuVa

VVat

V

tD

VD

Aceleração:

i

kki

i

kkikt

ukk

x

euu

x

ueueea k

y er

e e er

r

x

18

Tipos de Campos:

Campo escalar:

massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)

Campo vetorial:

velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)

Campo Tensorial:

tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t);

taxa de deformação D(r ,t)

Fluidos em Movimento

O escoamento dos fluidos é determinado a partir do

conhecimento da velocidade em cada ponto do

escoamento, isto é, a partir do campo das diversas

grandezas relevantes.


Equações Governantes

da Mecânica

massa

quantidade movimento linear (2ª. Lei de Newton)

quantidade de movimento angular

energia (1ª. Lei da termodinâmica)

massa de espécies químicas

entropia


Equações constitutivas: Difusão de calor: lei de Fourier,

Difusão de massa: lei de Fick

Difusão de quantidade de movimento: lei da

viscosidade de Newton,

Transferência de calor por convecção: lei de

Newton,

Transferência de calor por radiação: lei de Stefan-

Boltzman




Condução: • Modo de transferência de calor em sólidos ou fluidos

em repouso

Tq gradΚ

Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por

condução

T1

T2

q”x

L

xArea A

x

TAkq

Aq

x

Tq

x

x

x

A

qq x

x

T1 > T2 calor irá de T1 T2

qx = taxa de calor que cruza a área A (Watt ou Btu/h)

k = condutividade

térmica [W /(K m)]

fluxo de calor

(W/m2)

Lei de Fourier


Condução:

• Lei de Fourier:

• K= tensor condutividade térmica

TTq ΚΚ grad

kqjqiqq zyx

k

z

Tj

y

Ti

x

TT

z

Tk

y

Tk

x

Tkq xzxyxxx

z

Tk

y

Tk

x

Tkq zzzyzxz

z

Tk

y

Tk

x

Tkq yzyyyxy

devido a simetria: kxy = kyx ; kxz = kzx ; kyz = kzy


Condução:

• Lei de Fourier:

K= tensor condutividade térmica

TTq ΚΚ grad

o K é uma propriedade do material e depende de:

temperatura, T

densidade (gases, material sinterizado)

direção (materiais anisotrópicos).

o Para materiais isotrópicos: kxy = kxz = kyz = 0

em geral kxx = kyy = kzz=k

x

Tkqx

y

Tkqy

z

Tkqz

Tkq

Forma geral da Lei de Fourier isotrópica



Convecção

• é o processo de transferência de

calor efetuado pelo escoamento de

fluidos (transferência de calor +

escoamento de fluidos)

25

• É composto por dois mecanismos:

• Difusão (movimento molecular aleatório)

• Advecção: (energia transferida devido ao

movimento macroscópico de mistura do fluido)


Convecção

sA

qq

)( TTAhq ss

0

yfluido

kcy

Tkqq

Lei de Newton: taxa de calor que cruza a superfície:

h = coeficiente de transferência de calor ou coeficiente

de filme de transferência de calor

fluxo de calor em y = 0, u = 0


Classificação da convecção

• Convecção forçada: movimento do fluido é causado por

agentes externos (bombas, ventiladores, movimento de

um veículo, etc.)

• Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a

campos externos como o gravitacional (forças de empuxo),

agindo no gradiente de densidade induzido pelo próprio

processo de transporte (de massa ou energia).

• Convecção mista: natural + forçada

• Evaporação/Condensação: casos especiais de

convecção, onde a energia é transferida na forma de calor

latente.

Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção

q"= h(Ts -T¥)h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K)

Ts - temperatura da superfície

T - temperatura do fluido

Exemplo:

Em convecção natural, har 10 W/m2K e hágua 100 W/m2K

q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo,

um corpo na água perde mais calor do que um no ar)

Tar=20 0C

Tágua=20 0C

27

Convecção

Ordem de grandeza de h (W/m2K):

Convecção natural: gases - 2 a 25

líquidos - 50 a 1000

Convecção forçada: gases - 25 a 250

líquidos - 50 a 20000

Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000

Modos de transferência de calorRadiação• Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com temperatura

acima do zero absoluto, emite energia (ondas

eletromagnéticas com velocidade da luz).

• Não é necessário um meio material para a propagação de

energia.

Lei de Steffan-Boltzman: Fluxo máximo de

radiação que pode ser emitida por uma superfície

corpo negro: 4" sTq s

s=5,67×10-8 W/(m2K4) → constante de Stefan Boltzmann

T em temperatura absoluta


Radiação


inc

abs

inc

trans

inc

ref

abstransrefinc

q

q

q

q

q

q

qqqq

"

"

"

"

"

"1

""""

Radiação incidente:

• a → absortividade, 0≤ a≤1 (fração da energia absorvida)

• r → refletividade, 0≤ r≤1 (fração da energia refletida)

• t → transmissividade, 0≤ t≤1 (fração da energia transmitida)

→Conservação de energia: art1

Radiação

Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio 31

Emissão de corpo real:

corpo cinza: ea(Lei de Kirchhoff)

e → emissividade, 0≤ e≤1

4" sTq se

– Aplicações: espaçonaves, câmaras de combustão; coletor solar

)( 42

4112212 TTAq s

12 = fator de forma ou fator de configuração, depende:

- propriedades

- geometria (como as superfícies se enxergam)

troca de calor entre duas superfícies

Difusão de Massa


Lei de Fick:

w1 (x) > w1 (x+dx)

Por exemplo: hidrogênio se difunde através de uma

camada estagnada de oxigênio

rr1 r2 = massa específica total

D12 = difusividade de massa da espécie 1 na espécie 2

fluxo de difusivo de

massa [kg/(sm2)]

Fração em massa da espécie 1

A

Mm x

x1

1

xADM x

1

121w

r

xM1 taxa de difusão da espécie 1 que cruza a área A

(kg/s)

Lei de Fick: Modo de transferência de massa difusivo

r

rw 1

1

Lei de Fick para difusão binária: 112 wr Dm

32

Difusão de calor e massa para fluidos

binários:

• Para um fluido puro em regime permanente, as taxas na qual

calor e massa se difundem em relação a velocidade média

baseada na massa podem ser determinados com precisão como

sendo proporcionais aos gradientes de temperatura e de fração

em massa, respectivamente.

• Se os gradientes forem muito grandes, as relações lineares

perdem precisão. Da mesma forma, se o fluido está sujeito

simultaneamente a difusão tanto de calor como de massa, os dois

fluxos influenciam um ou outro, de tal forma que podem ser

previstos por uma combinação linear dos forçamentos dados

pelos gradientes de temperatura e fração em massa. Esta

interdependência é devido ao movimento das partículas que

transferem massa, mas também transferem energia e vice-versa.


33

• Expressões gerais para um fluido com multi-componentes são

muito complexas, mas para o caso de um fluido binários, os

fluxos difusivos de calor e massa podem ser dados por

(

Dufourefeitodifusãotermoivainterdifus

convecçãoFourier

decondução

mMM

MTRmHHTkq

1

21

2

121a

• onde H1 e H2 são as entalpias específicas de cada espécies, M1, M2 são as

massas moleculares de cada espécie e M é a massa molecular da mistura. R é a

constante do gás e a é o fator de difusão térmica.

• O termo de convecção interdifusiva é normalmente desprezível. Indica que a

transferência de massa difusiva induz a um fluxo de energia, mesmo quando o

fluxo líquido difusivo é nulo, mas as partículas de massa das diferentes espécies

carregam quantidades diferentes de energia a mesma temperatura.

• O termo de difusão chamado efeito de Dufour (descoberto por Dufour em 1873)

indica que o fluxo de massa difusiva induz a um fluxo de energia e depende do

fator de difusão térmica a. Este termo, também é normalmente desprezado,

porém pode ser importante quando, por exemplo, hélio é soprado através de

uma superfície porosa em uma corrente de gás quente, com o objetivo de

proteger a superfície do gás quente.Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio

34

onde p é a pressão e e são forças de corpo

(

Soretdeefeitotérmicadifusão

corpodeforçadedifusão

pressãodedifusãoFick

dedifusão

TT

DBB

TR

DMMp

p

DMMDm

awwrwwwwr 1221

2112212111221

1121

1B 2B

• O termo de difusão de pressão indica que o movimento líquido da espécie 1

pode ocorrer se um gradiente de pressão é imposto. Apesar de ser normalmente

desprezado, pode ser importante em escoamentos com rotação (swirl) onde

altíssimos gradientes de pressão podem ser encontrados, como é o caso de

centrífugas

• O termo de difusão de força de corpo é diferente de zero somente quando forças

de corpo diferentes atuam nos dois componentes. Isso pode ocorrer na

tecnologia de plasma, onde o fluido interage com forças elétricas e magnéticas e

em sistemas ionizados. Se o campo gravitacional for o único responsável pelas

forças de corpo, então o termo de difusão de força de corpo desaparece.

• O termo de difusão térmica, chamado de efeito Soret, descreve a tendência de

uma espécie de massa difundir na presença de um imposto gradiente de

temperatura, e é desprezível a menos que o gradiente encontrado seja muito

grande. Este efeito tem sido utilizado na separação de isótopos na coluna de

Clusius-Dickel, a qual combina convecção para alcançar a separação.

Fluxo de massa

35

Lei de Newton de viscosidade

O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do

elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de

compressão ou expansão):

y

uAFF syxext

m

y

u

A

Fyxyx

mt

fluido NewtonianoForça

Tensão

m = viscosidade absoluta ou

viscosidade dinâmica,

propriedade do fluido

Lei de Newton:

36

Vetor tensão

A dependência de tn em n pode ser obtida através de um

balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.

Da 3ª. Lei de Newton

então

00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF

O vetor tensão tn é a força de contato por

unidade de área que um material dentro

de (t) faz no material fora de (t).

Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)

nt

zzyyxx tt;tt;tt

σnetetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn

ex

ey

ez

37

Tensor tensão

Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares

as direções x, y e z, tem-se

sé o tensor tensão:

Note que:

zzyyxx etetetσ

]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet

]t[ee]t[ee]t[eet

zzzzyyzxxz

yzzyyyyxxy

xzzxyyxxxx

]t[eee]t[eee]t[eee

]t[eee]t[eee]t[eee

]t[eee]t[eee]t[eeeσ

zzzzzyyzzxxz

yzzyyyyyyxxy

xzzxxyyxxxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

tetete

tetete

tetete

σ

tzt-x

t-z

ty

tx

t-y ey

ez

ex

ez tz

ey

ex

A matriz s

38

Tensor tensão

Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as

direções x, y e z, tem-se

Definindo

o tensor tensão sé :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

sss

sss

sss

σ

etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx sss

1º subscrito indica a superfície

do cubo na qual a tensão atua,

enquanto que o 2º índice

indica a direção da tensão

xxs

yxs

yys

y

x

z

yzs

zzs

xzs

xys

zxs

zys

39

Fluido em repouso:

I é a matriz identidade,

que também pode ser

representada pelo

operador

delta de kronecker

Compressão isotrópica:

Iσ PP

P

P

P

100

010

001

00

00

00

Pxx sPxx s

Pzz s

Pyy s

Pyy sPzz s

y

x

z

jise

jiseij

0

1

40

Fluido em movimento:

Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra-

tensão (tensão de tensões viscosas)

xxxx P ts

yxyx ts

yyyy P ts y

x

z

yzyz ts

zzzz P ts

xzxz ts

xyxy ts

zxzx ts

zyzy ts

zzzyzx

zyyyyx

xzxyxx

ttt

ttt

ttt

τ

41

Taxa de deformação angular:

yxyx

tyx

yx

Dy

u

x

v

t

y

tdu

x

tdv

20

aa

lim

tantan

Taxa de deformação linear:

xxxx

txx

xx

Dx

u

t

x

tdu

0lim

=dv t

=(v/x)xt

=du t

=(u/y)yt

v (x)

u (y)

u (x)

u (y)=dv t =(v/y)yt

=du t

=(u/x)xt

v (y)

Taxa de deformação volumétrica:

Vz

w

y

v

x

uzzyyxx

42

Taxa de Deformação: D

z

w

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

y

v

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

D

Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido

Fora da diagonal: taxa de deformação angular do elemento de fluido

43

Gradiente de Velocidade: vEm coordenadas cartesianas:

dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w

IV3

2VV T

div])grad(grad[

(

z

w

z

v

z

u

y

w

y

v

y

u

x

w

x

v

x

u

wvu

z

y

x

VV

grad

z

w

y

w

x

w

z

v

y

v

x

v

z

u

y

u

x

u

V T)(grad

;

100

010

001

I ij

d v = d r • v

44

Taxa de Deformação: D

evorticidaddeformação

detaxa

2

1

2

1

TT VVVVV )()(

TVV )(2

1D

z

w

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

y

v

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

D

45

Taxa de rotação:

( (

zyxyx

tyx

yx

Wx

v

y

u

t

y

tdu

x

tdv

w

aa

2

1

2

1

2

1

0lim

tantan

=du t=(u/y)yt

v (x)

u (y)

=-dv t

=-(v/x)xt

46

Vorticidade: W

Vorticidade

evorticidaddeformação

detaxa

2

1

2

1

TT VVVVV )()(

TVV )(W

2

1

0

0

0

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

xy

xz

yz

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v

ww

ww

ww

W

wx, wy e wz são taxas de rotação médias (velocidades angulares)

w = ex wx+ ey wy+ ez wz vetor vorticidade

47

Lei de Newton de viscosidade

O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do

elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de

compressão ou expansão):

onde

Viscosidade:

m : primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade

absoluta ou viscosidade dinâmica

l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade

l 0: para escoamento de fluido incompressível

: viscosidade global

em geral 0para escoamentos compressíveis, com

exceção de escoamento com ondas de choque e explosões

IDτ V

mm

3

22

TVV )(D

2

1

Lei de Newton em coordenadas cilíndricas

48

V3

2

r

u2

r

u

r

u

r

u rrr

rrr

m

mt

mtt

,

V3

2

r

u

r

u2

r

u

z

u rzrzrrz

m

mt

mtt

,

V3

2

z

u2

r

u

z

u zzz

zzz

m

mt

mtt

,

notação indicial

ijk

k

i

j

j

iij

x

u

3

2

x

u

x

ummt

Fenômenos de Transporte

49

Lei de Fourier: x

Tkqx

( x

h

x

Tcp

cp

k

ra

r

r

Lei de Fick: ( x

Dx

DM x

1

121

121wrw

r

Lei de Newton de viscosidade:( (

y

u

y

u

y

u

ru

r

r

mmt

akrcp = difusividade térmica, u = mr= viscosidade cinemática

Razão entre difusividades:

No. de Prandtl térmicadedifusivida

movimentodequantidadedededifusivida

a

uPr

No. de Schmidt 2112 espécienaespéciedadedifusivida

movimentodequantidadedededifusivida

D

uSc

No. de Lewis térmicadedifusivida

espécienaespéciedadedifusividaD 2112 a

Le Le = Pr/Sc

50

Regime permanente:

V = V(r ); isto é ( ) / t = 0

Regime transiente:

V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t ≠ 0

Tipos de Escoamento

Escoamento uniforme: a velocidade é a

mesma em qualquer ponto do escoamento

Escoamento não uniforme: a velocidade

varia de ponto para ponto do escoamento

Filmes/Filmes-introducao/MovingPlate.mov

Filmes/Filmes-introducao/MovingPlate.mov

Dimensão

Uni-dimensional: v depende somente de uma

coordenada espacial

Bi-dimensional: v depende somente de duas

coordenadas espaciais

Tri-dimensional: v depende das três coordenadas

espaciais, caso geral.

52

Fluido perfeito, sem viscosidade:

t ≈ 0 ( )

Fluido viscoso : t≠ 0

0

Caracterização dos Fluidos quanto ao seu

comportamento sob esforços normais compressivos:

Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes

devido à compressão. Gases em geral se comportam

assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de

Mach; c = velocidade do som

Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena

para grandes compressões. A maioria dos líquidos se

comporta desta forma. r≈ constante

Filmes/Filmes-introducao/crescimentoCL.mov

53

Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no

escoamento, causando um movimento de mistura.

O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define

o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar,

eventuais perturbações serão

amortecidas e desaparecerão

(Fig. a). Durante a transição,

picos esporádicos de turbulência

surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento

flutuará continuamente (Fig. c).

54

Experiência de ReynoldsLaminar:

filamento de

corante não

se mistura

Turbulento: o

corante mistura

rapidamente

O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A

transição é caracterizada pelo

no. de Reynolds

m

r DVRe

Reynolds altos esc. turbulento

Reynolds baixo esc. laminar

Filmes/Filmes-introducao/Exp_vel_LamTurb.mov




Filmes/Filmes-introducao/escLaminarTurb_ExpReynolds.mov




transferência de calor ii...

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