transferÊncia de calor ii

TRANSFERÊNCIA DE CALOR II

Profa. Mônica F. Naccache h1p://naccache.usuarios.rdc.puc-‐rio.br/Cursos/

Trans_Calor_II.html Sala 153-‐L

naccache@puc-‐rio.br

1 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

•  Termodinâmica: estuda as interações de energia entre um sistema e a vizinhaça (calor e trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação.

•  Transferência de calor: estuda os mecanismos de transferência de calor, e relações para o cálculo das taxas de transferência de calor.

Exemplos: Projetos de paredes refratárias, calor perdido em equipamentos, trocadores de calor, etc.


Modos de transferência de calor


Condução •  Mecanismo: movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)

•  Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por condução

4

€

q"xfluxo calor porunid .area(W /m2)

= −kcondutividadetérmica(W /mK )

dTdx

gradientetemperatura

1 D:

Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

Convecção •  Mecanismo: difusão + energia transferida pelo

movimento macroscópico do fluido (advecção) •  Convecção forçada: movimento do fluido é causado por

agentes externos (bombas, ven_ladores, etc.) •  Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a

forças de empuxo, que surgem devido a diferenças de densidade, causadas por diferenças de temperatura

•  Convecção mista: natural+forçada •  Evaporação/Condensação: casos especiais de convecção,

onde a energia é transferida na forma de calor latente.


Convecção (cont.) •  Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção

€

q"= h(Ts −T∞)h -‐ coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K) Ts -‐ temperatura da superecie T∞ -‐ temperatura do fluido

Exemplo: Em convecção natural, har ≈ 10 W/m2K e hágua ≈ 100 W/m2K ⇒ q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo, um corpo na água perde mais calor do que um no ar)

Tar=20 0C

Tágua=20 0C


Convecção (cont.)

•  Ordem de grandeza de h (W/m2K): – Convecção natural: gases -‐ 2 a 25 líquidos -‐ 50 a 1000 – Convecção forçada: gases -‐ 25 a 250 líquidos -‐ 50 a 20000 – Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000


Radiação •  Energia emi_da pela matéria (sólido, líquido ou gás) a temperatura finita. O transporte ocorre por ondas eletromagné_cas. Não é necessário um meio material para a propagação de energia.

•  Lei de Steffan-‐Boltzman: Fluxo máximo de radiação que pode ser emi_da por uma superecie

€

q"=σTs4

σ = 5.67x10−8W /m2K 4 → cte Steffan Boltzman

A superecie que emite radiação de acordo com esta relação é chamada de corpo negro


Radiação (cont.) •  Para uma superecie real:

•  Radiação incidente: €

q"= εσTs4

ε → emissividade0 ≤ ε ≤1

€

q"inc = q"ref +q"trans+q"abs

⇒1=q"refq"inc

= ρ−refletividade

+q"transq"inc

=τ− transmissividade

+q"absq"inc

=α−absortividade


Princípios Fundamentais

•  Equações de conservação: massa, quan_dade de movimento linear, energia, conservação de massa de espécies químicas

•  Equações cons_tu_vas: lei de Fourier, lei da viscosidade de Newton, lei de Newton da convecção, lei de Stefan-‐Boltzman


Hipótese de cononuo •  Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas caracterís_cas

•  Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares

•  Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc …


Consequências da hipótese de cononuo •  Mecanismos de transporte:

–  Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u

–  Mecanismo de transporte “molecular”: contribuição de superecie nas eqs. momentum e energia.

•  Na formulação cononua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular

•  Incerteza nas condições de contorno


Derivada material ou convectada •  Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo

número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superecie é zero:

•  Derivada material ou convectada:

€

DBDt

=∂B∂t

+ u•∇B

€

DDt

ρdVVm ( t )∫[ ] = 0

Derivada no tempo da massa total associada a Vm

Sm(0), Us=u(x)

U(x) n

Vm(0)

Vm(t)

Sm(t)

n

t

expressa a variação com o tempo seguindo uma par5cula material


•  Derivada parcial com relação ao tempo:

•  Derivada total:

€

∂B∂t

≡∂B∂t$

% &

'

( ) z

expressa a variação com o tempo, numa posição fixa

€

DBDt

=∂B∂t

+ v•∇Bexpressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário


Teorema do Transporte de Reynolds •  O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-‐D, quando ambos integrando e limites de integração variam

€

DDt

B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡

δt→0lim 1

δtB t + δt( )dV - B t( )dV

Vm ( t )∫Vm ( t+δt )

∫[ ]& ' (

) * +

Adicionando e subtraindo o termo:

€

B t + δt( )dVVm ( t )∫

€

DDt

B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡

δt→0lim 1

δtB t + δt( )dV - B t + δt( )dV

Vm ( t )∫Vm ( t+δt )

∫[ ]= lim 1

δtB t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]'

( ) *

+ ,

+1δt

B t + δt( )dV Vm ( t )∫ − B t( )dV

Vm ( t )∫[ ]

≡∂B∂tdV

Vm( t )∫


€

DDt

B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =

∂B∂t

+∇ • Bu( )%

& ' (

) * dV

Vm ( t )∫

€

lim 1δt

B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]%

& ' (

) * = lim 1

δtB t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]%

& ' (

) *

= B t( )u•nδdAAm ( t )∫

Usando o teorema da divergêngia, chega-‐se a forma final para o Teorema de Transporte:

Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u:

€

D*

Dt*B x,t( )dV

V *m ( t )∫[ ] =∂B∂t

+∇ • Bu*( )%

& ' (

) * dV

V *m ( t )∫

D*

Dt*≡∂∂t

+ u* •∇16 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

Equação de Conservação de Massa

•  A equação de conservação de massa (con_nuidade) pode ser derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte:

€

DDt

ρdVVm ( t )∫[ ] =

∂ρ∂t

+∇ • ρu( )&

' ( )

* + dV

Vm ( t )∫ = 0

€

∂ρ∂t

+∇ • ρu( ) = 0 ou DρDt

+ ρ∇ • u( ) = 0

€

∇ • (ρu) = ρ ∇ •u + u •∇ ρ17 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio

Em coordenadas cartesianas:

€

∂ρ∂t +

∂ ρu( )∂x +

∂ ρv( )∂y +

∂ ρw( )∂z = 0

Em coordenadas cilíndricas:

€

∂ρ∂t +

∂ rρur( )r ∂r +

∂ ρuθ( )r ∂θ +

∂ ρuz( )∂z = 0


Casos par_culares

•  Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1)

Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido

•  Regime permanente:

€

∇ •u ≡ div u = 0

€

∇ • ρu ≡ div ρu = 0


Taxa de deformação

•  A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas


Tensor taxa de deformação

€

Dij =taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = jmetade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j# $ %

D =12

∇v( ) + ∇v( )T[ ] parte simétrica de ∇v( )

∇v( ) =D+WW : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))

Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j

€

w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =

12εijk

∂vk∂z j

−εijk∂v j

∂zk

&

' ( (

)

* + + ei = εijk

∂vk∂z j

ei = rot v( )vetor vor_cidade: representação polar de W


•  A direção de w é a do eixo de rotação do fluido •  Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do vetor

vor_cidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sen_do da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra”

•  Se podemos escrever

€

w = 0 esc. irrotacionalw ≠ 0 esc. rotacional

€

v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre


Tensor Taxa de Deformação:

€

D =12

˙ γ


Equação de conservação de momentum

•  Da Segunda Lei de Newton:

•  Aplicando num volume material de fluido: €

taxa variação quantidademovimento linear num corpoem relação a um ref inercial

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

soma das forçasagindo sobre ocorpo

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

€

DDt

ρudVVm ( t )∫[ ] =

soma das forçasagindo em Vm (t)$

% &

'

( )


Tipos de força •  Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.

•  Forças de contato ou de superecie: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t)


Segunda Lei de Newton para Vm

•  Vetor tensão t: força local de superecie por unidade de área

•  Usando o Teorema do Transporte

€

DDt

ρudVVm ( t )∫$ % &

' ( )

taxa variação QML em Vm

= ρgdV

Vm ( t )∫força gravitacional

+ tdAAm ( t )∫

força agindo sobre a superfície de Vm

€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) − ρg&

' (

)

* + dVVm ( t )

∫ = tAm ( t )∫ dA


Tensor das tensões •  Seja l a dimensão caracterís_ca de

Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim, da eq. de momentum aplicada ao tetraedro:

€

liml→0

tAm ( t )∫ dA→ 0

Princípio de equilíbrio da tensão

€

t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0

Logo:


Então:

€

ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3

€

t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0

No limite l →0:

€

t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]Tensor das tensões T

t(x p ,n) = n•T(x p )

€

tAm ( t )∫ dA = n•T

Am ( t )∫ dA = ∇ •T( )

Vm ( t )∫ dV

Então:


Equação de momentum linear •  A equação de momentum fica então:

€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T&

' (

)

* + dVVm ( t )

∫ = 0

Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo:

€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T

Combinando a eq. acima com a eq. con_nuidade:

€

ρ∂ u( )∂t

+ u•∇ u( )%

& '

(

) * = ρg +∇ •T Equação de

Cauchy


Equação de momento angular

•  Observando as equações de massa e momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações

•  Generalização da Segunda Lei de Newton:

€

DDt

x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫

€

Taxa de variação de momento angular em Vm


€

DDt

x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫

Torque forças superfície Vm( t )

∫ dA + x × ρg + ρc[ ]Vm ( t )∫

Torque forças corpo

dV

Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência:

€

x ×∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T'

( )

*

+ , + ε T

. / 0

1 2 3 dV

Vm ( t )∫ = 0

€

ε ijk =

+1 se (ijk) for permutação par de (123)-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)0 qualquer outro caso (algum índice igual)

#

$ %

& %

Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é arbitrário, chega-‐se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c≠0, ε°T-‐ρc=0, e T não é simétrico.

Assim:


Equação de conservação de Energia “A taxa de variação de energia com o tempo, das energias

interna e ciné_ca de um corpo, com relação às estrelas fixas é igual a taxa de trabalho das forças que agem sobre ele mais a taxa de transferência de energia para o corpo”

€

˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g


•  : velocidade local do meio cononuo •  ρu: energia interna (representa en. ciné_ca adicional a nível molecular)

•  Primeira Lei da Termodinâmica

€

DDt

ρv2

2

+ ρu#

$ %

&

' ( dV

Vm ( t )∫

taxa de variação de energia em Vm

=

Taxa de trabalhofeito sobre Vm pelas forças externas

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

+

Fluxo de caloratravés dasfronteiras de Vm

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

+

Taxa de energiagerada internamente

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

€

v 2 = v⋅ v


Equação de conservação de energia na forma diferencial

€

DDt

ρv2

2

+ ρu#

$ %

&

' ( dV

Vm ( t )∫ = t(n) • v[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) • v[ ]dV − q•n[ ]dA + ˙ q dV

Vm ( t )∫Am ( t )∫Vm ( t )∫

q: vetor fluxo de calor (cruza a superecie de Vm). Posi_vo quando calor é transferido a Vm

Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência, e igualando o integrando a zero:

€

∂ ρe( )∂t

taxa var. en.

+ div ρe v( )fluxo en. por convecção

= ˙ q em. gerada

− divqfluxo calor cond. + ρ v⋅ g

trab. forçagravitacional

+ div Tv( )trab. forçasviscosas e de pressão

€

e = u + v 2 /2div Tv( ) = vdivT+ tr Tgradv( )


•  Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy)

•  Balanço de Energia Térmico: subs_tuindo a eq. acima na Eq. conservação energia €

ρ2Dv 2

Dt= ρg( ) • v+ v• divT( )

€

ρDuDt

variação en.interna por un. vol.

= ˙ q

geraçãoen. por un.vol.

−divqganho en.por condução

−p div vaumento rev. deen. int. por compressão

+ tr τ∇ v( )aumento irrev. en. int. pordissipação viscosa

€

T = −pΙ + τ

D ≡ 12∇ v+∇ vT( )

∇ v ≡ 12∇ v+∇ vT( )parte simétrica

+12∇ v+∇ vT( )

parte anti-simétrica

=D+W

D:Tensor taxa de deformação

W: Tensor vor_cidade


•  Usando a entalpia específica: h≡u+p/ρ o balanço de energia térmico fica:

•  Novas incógnitas: u (ou h), q •  Relações entre u (ou h) e θ e p podem ser ob_das assumindo o equilíbrio termodinâmico: €

ρDhDt

= ˙ q − div q +DpDt

+ tr τ∇v( )

€

dh = CPdθ +1ρ−θ

∂ 1/ ρ( )∂θ

&

' (

)

* + p

, - .

/ .

0 1 .

2 . dp

⇒DhDt

= CPDθDt

+1ρ−θ

∂ 1/ ρ( )∂θ

&

' (

)

* + p

, - .

/ .

0 1 .

2 .

DpDt


Equação de energia em termos da temperatura

•  A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração):

€

ρCpDθDt

= tr τ∇v( )dissipação viscosa

− div q − ∂ lnv∂ lnθ(

) *

+

, - p

DpDt

trabalho de compressão

€

ρCvDθDt

= tr τ∇v( )dissipação viscosa

− div q − θ∂p∂θ v

divv

trabalho de compressão


Segunda Lei da Termodinâmica

•  Princípio da desigualdade de entropia

€

DDt

ρs( )Vm ( t )∫ dV +

n•qθAm ( t )

∫ dA ≥ 0

Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência:

€

ρDsDt

+∇ •qθ

%

& ' (

) * ≥ 0

Usando relações termodinâmicas, chega-‐se a:

€

1θtr τ∇v( ) + p∇ • v( ) − q •∇θ

θ 2≥ 0


Comentários •  A solução de problemas de mecânica dos fluidos é ob_da com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia

•  A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações cons_tu_vas para τ e q

•  Incógnitas: u (3), τ (9), q (3), θ e p (total:17) •  Equações: Conservação de massa (1), momento linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas τij para 6).

•  Temos então 14 incógnitas e 5 equações

⇒Equações cons_tu_vas para τ e q


Equações cons_tu_vas •  Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio cononuo

•  Equações cons_tu_vas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura)


Princípios que devem ser sa_sfeitos

•  Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu

•  Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma parocula não influencia a tensão nesta parocula

•  Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações cons_tu_vas) têm que ser indiferentes ao referencial


Equação cons_tu_va para q: Lei de Fourier

•  A equação foi proposta a par_r da observação de que

•  A equação sa_sfaz ao princípio de obje_vidade (indiferença ao referencial)

•  Processo de troca de calor é considerado instantâneo

•  Fluido é considerado homogêneo •  A equação proposta foi validada experimentalmente

€

q = − KTensor condutividadetérmica, > 0

•∇θ

€

q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( )


Lei de Fourier de condução de calor

•  Para um fluido isotrópico, o fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI):

•  A Segunda Lei impõe que k>0 €

q = −k∇θ Lei de Fourier


D: parte simétrica de

Equação cons_tu_va para o tensor das tensões -‐ Fluido Newtoniano

€

T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )τ: tensão desviadora Considerando que τ sa_sfaz ao princípio de obje_vidade, é simétrico e depende apenas da história do movimento:

€

τ = τ D( )

€

∇u : 12∇u−∇uT( )Ω: parte an_-‐simétrica de

€

∇u : 12∇u+∇uT( )


Equação cons_tu_va para Fluidos Newtonianos

•  A forma mais geral para Τ é:

•  A forma linear mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é:

€

T = x0Ι + x1D+ x2D⋅ ⋅D

xk = xk ΙD ,ΙΙD ,ΙΙΙD( )

€

T = −p + λtrD( )I+ 2µD

Equação ConsLtuLva para Fluidos Newtonianos


•  Se o fluido for também incompressível:

•  A equação cons_tu_va é sa_sfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares

•  Observa-‐se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é sa_sfeita por T e q

•  A Segunda Lei é sa_sfeita se:

€

trD =∇ • u = 0T = −pI+ 2µD

€

λ +23

µ#

$ %

&

' (

viscosidade de bulk

≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0


transferÊncia de calor ii

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