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TRABALHO DE ANLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS A ECC1002 TRELIA PLANA e PRTICO PLANO 1 Semestre de 2009 Prof. Dr. Joo Kaminski Junior DECC CT UFSM 1) Para a estrutura plana de ao apresentada na figura abaixo determinar os deslocamentos, as reaes nos apoios e as aes de extremidade de barra (esforo normal), utilizando o mtodo da rigidez e considerando todos os ns rotulados (trelia plana). Apresentar todos os passos da soluo, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na anlise.CONECTIVIDADES:

y 35 kN 10 kN3

35 kN54

BARRA 1 2 3 4 5

N INICIAL 1 1 2 2 3

N FINAL 2 3 3 4 4

3m1

2 32

4

x

1

3m

3m

3m

Considerar o mdulo de elasticidade longitudinal do ao E = 200 GPa. As barras tm seo transversal em dupla cantoneira, como indicado na figura abaixo.

yPerfil L 76 x 76 x 9,5A = 13,6 cm2 (rea da seo transversal de 1 perfil L) Iz = 73,3 cm4 (momento de inrcia em relao ao eixo z de 1 perfil L)

z

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2

2) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (1). Apresente as reaes de apoio e o diagrama de esforo normal fornecidos no FTOOL. 3) Para a mesma estrutura do item (1) determinar os deslocamentos, as reaes nos apoios e as aes de extremidade de barra (esforo normal, esforo cortante e momento fletor), utilizando o mtodo da rigidez e considerando todos os ns rgidos (prtico plano). Apresentar todos os passos da soluo, bem como as matrizes e os vetores envolvidos na anlise. 4) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (3). Apresente as reaes de apoio e os diagramas de esforo normal, esforo cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL. 5) Utilizando o programa FTOOL, determine os mesmos valores calculados no item (3), considerando agora uma seo transversal com a mesma rea e momento de inrcia 10 vezes maior. Apresente as reaes de apoio e os diagramas de esforo normal, esforo cortante e momento fletor fornecidos no FTOOL. 6) Comparar e comentar os resultados (deslocamentos, reaes nos apoios e diagramas) obtidos nos itens (2), (3), (4) e (5).

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1) Clculo dos deslocamentos, reaes de apoio e das aes de extremidade de barra (esforo normal), considerando todos os ns rotulados.

Coordenadas dos ns de cada barra:

Tabela 1 - Coordenadas dos ns de cada barra de acordo com as coordenadas globais.

Barra 1 2 3 4 5

N inicial X 0,0 0,0 6,0 6,0 3,0 Y 0,0 0,0 0,0 0,0 3,0

N final X 6,0 3,0 3,0 9,0 9,0 Y 0,0 3,0 3,0 3,0 3,0

Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referncia local e global:

y 35 kND6

35 kND8 D554

10 kN3

D7

3m

2

4 3

D21

D42

D11

D3

x

3m

3m

3m

Figura 1 - Trelia plana na numerao arbitrria.

A trelia plana possui quatro ns (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois ns com algum tipo de restrio (NRJ = 2), quatro deslocamentos livres (N = 4 D5, D6, D7 e D8) e quatro

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4

deslocamentos restringidos (NR = 4 D1, D2, D3 e D4), num total de oito GDL (N + NR = 4 + 4 = 8). BARRA 1: yL

y

D2

D4

D1 1

1 2

D3

x

xL

Figura 2 - Barra 1 da trelia plana na numerao arbitrria.

O comprimento L da barra 1 vale:

L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 1 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5

A matriz de rigidez da barra 1 no sistema de referncia global fica:

Pode-se observar que para a barra 1 a matriz SM1L igual a SM1, pois = 0. Neste caso, a matriz de rotao R igual a matriz identidade. BARRA 2: D6 yL xL D5 3 y yL 2 x

D2 D1 1Figura 3 - Barra 2 da trelia plana na numerao arbitrria.

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6

O comprimento L da barra 2 vale:

L=

m

A matriz de rigidez da barra 2 no sistema de referncia local fica:

A matriz de rigidez da barra 2 no sistema de referncia global fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7

BARRA 3: y xL 3 3 D6 D5

D4 D3 2 x

yL

Figura 4 - Barra 3 da trelia plana na numerao arbitrria

O comprimento L da barra 3 vale:

L=

m

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8

A matriz de rigidez da barra 3 no sistema de referncia local fica:

A matriz de rigidez da barra 3 no sistema de referncia global fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9

BARRA 4: D8 yL xL D7 4 y yL 4 x

D4 D3 2Figura 5 - Barra 4 da trelia plana na numerao arbitrria

O comprimento L da barra 4 vale:

L=

m

A matriz de rigidez da barra 4 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10

A matriz de rigidez da barra 4 no sistema de referncia global fica:

BARRA 5: yL

y

D6

D8

D5 3

5 4

D7

x

xL

Figura 6 - Barra 5 da trelia plana na numerao arbitrria

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11

O comprimento L da barra 5 vale:

L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 5 no sistema de referncia local fica:

A matriz de rigidez da barra 5 no sistema de referncia global fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12

Pode-se observar que para a barra 5 a matriz SM5L igual a SM5 , pois = 0. Neste caso, a matriz de rotao R igual a matriz identidade. A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numerao arbitrria, somando as matrizes de rigidez das barras, expandidas dimenso da matriz de rigidez global (SJ = SM1 + SM2 + SM3 + SM4 + SM5).

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A matriz SJ deve ser colocada na numerao prioritria, para que possa ser particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numerao prioritria dos GDL para a trelia do exemplo est indicada na figura abaixo.

y 35 kND2

35 kND4 D154

10 kN3

D3

3m

2

4 3

D61

D82

D51

D7

x

3m

3m

3m

Figura 7 - Trelia plana na numerao prioritria.

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Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numerao prioritria, obtm-se:

Assim, as matrizes S e SDR ficam:

O vetor de cargas nodais na numerao prioritria fica:

, (em N).

Resolvendo o sistema de equaes

chega-se aos deslocamentos livres:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

15

, (em metros) na numerao prioritria.

As reaes so calculadas por AR = ARL + SRD. D, sendo ARL = 0, uma vez que no existem cargas aplicadas diretamente sobre apoios, na direo de um deslocamento restringido.

, (em N) na numerao prioritria.

Estes valores devem ser apresentados na numerao arbitrria. Assim:

, (em metros) na numerao arbitrria.

, (em N) na numerao arbitrria.

As aes de extremidade de barra so calculadas atravs de que nas trelias . A matriz de rigidez de barra em coordenadas locais , basta fazer . Assim,

, uma vez est na .

numerao arbitrria. Para avaliar

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

16

, (em N).

, (em N).

, (em N).

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

17

, (em N).

, (em N).

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

18

Deve-se observar que para uma barra i compresso quando positivo e de trao quando negativo e

significa esforo normal de significa esforo normal de e so

compresso quando negativo e de trao quando positivo, enquanto que

sempre zero, pois no existe esforo cortante nas barras das trelias, como ilustrado na figura abaixo.56568,0 N 35000,0 N 7071,0 N 35000,0 N 49497,0 N

7071,0 N

49497,0 N

56568,0 N

Figura 8 - Esforo normal nas barras da trelia plana.

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2) Verificao dos clculos com o auxlio do Ftool. TRELIA PLANA COM APLICAO DE CARGAS:

Figura 9 - Trelia Plana com aplicao de cargas gerada com o auxlio do software Ftool.

DEN + Reaes de apoio:

Figura 10 - Diagrama de esforo normal + reaes de apoio da trelia plana gerado com o auxlio do software Ftool.

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3) Clculo dos deslocamentos, reaes de apoio e das aes de extremidade de barra (esforo normal), considerando todos os ns rgidos.

Coordenadas dos ns de cada barra:

Tabela 2 - Coordenadas dos ns de cada barra de acordo com as coordenadas globais.

Barra 1 2 3 4 5

N inicial X 0,0 0,0 6,0 6,0 3,0 Y 0,0 0,0 0,0 0,0 3,0

N final X 6,0 3,0 3,0 9,0 9,0 Y 0,0 3,0 3,0 3,0 3,0

Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referncia local e global:

y 35 kND8

35 kND11 D75

10 kND9 3m23

D10 D1244

D21

3

D5 D4

D11

x

D3 3m

D6 3m

2

3m

Figura 11 - Prtico plano na numerao arbitrria.

O prtico plano possui quatro ns (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois ns com algum tipo de restrio (NRJ = 2), oito deslocamentos livres (N = 8 D3, D6, D7, D8, D9, D10,

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D11 e D12) e quatro deslocamentos restringidos (NR = 4 D1, D2, D4 e D5), num total de doze GDL (N + NR = 8 + 4 = 12). BARRA 1: yL

y

D2

D5

D3 1

D1

1

D6 2

D4

x

xL

Figura 12 - Barra 1 do prtico plano na numerao arbitrria.

O comprimento L da barra 1 vale:

L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 1 no sistema de referncia local fica:

onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m = 2,0 x 1011 N/m A = 27,2.10-4 m_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22

I = Iz = 146,6.10-8 m4 L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 1 no sistema de referncia global fica:

onde: C = cos = (XK XJ) / L; S = sen = (YK YJ) / L; , o comprimento da barra i; E o mdulo de elasticidade longitudinal do material; A a rea da seo transversal da barra i; I = Iz o momento de inrcia da seo transversal barra i em relao ao eixo z local.

Pode-se observar que para a barra 1 a matriz SM1L igual a SM1 , pois = 0. Neste caso, a matriz de rotao R igual a matriz identidade.

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23

BARRA 2: D8 yL D9 3 y yL 2 xL D7 x

D2 D1

D3

1Figura 13 - Barra 2 do prtico plano na numerao arbitrria.

O comprimento L da barra 2 vale:

L=

m

A matriz de rigidez da barra 2 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24

onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m = 2,0 x 1011 N/m A = 27,2.10-4 m I = Iz = 146,6.10-8 m4 L= m

A matriz de rigidez da barra 2 no sistema de referncia global fica:

onde: C = cos = (XK XJ) / L; S = sen = (YK YJ) / L; , o comprimento da barra i; E o mdulo de elasticidade longitudinal do material; A a rea da seo transversal da barra i; I = Iz o momento de inrcia da seo transversal barra i em relao ao eixo z local.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

25

BARRA 3: y xL 3 D9 3 D8 D7

D5 D6 2 D4 x

y

L

Figura 14 - Barra 3 da trelia plana na numerao arbitrria

O comprimento L da barra 3 vale:

L=

m

A matriz de rigidez da barra 3 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m = 2,0 x 1011 N/m A = 27,2.10-4 m I = Iz = 146,6.10-8 m4 L= m

A matriz de rigidez da barra 3 no sistema de referncia global fica:

onde: C = cos = (XK XJ) / L; S = sen = (YK YJ) / L; , o comprimento da barra i; E o mdulo de elasticidade longitudinal do material; A a rea da seo transversal da barra i; I = Iz o momento de inrcia da seo transversal barra i em relao ao eixo z local._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27

BARRA 4: xL D10 D12 y yL 4 4

D11

D5

2 D6

D4

x

Figura 15 - Barra 4 da trelia plana na numerao arbitrria

O comprimento L da barra 4 vale:

L=

m

A matriz de rigidez da barra 4 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

28

onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m = 2,0 x 1011 N/m A = 27,2.10-4 m I = Iz = 146,6.10-8 m4 L= m

A matriz de rigidez da barra 4 no sistema de referncia global fica:

onde: C = cos = (XK XJ) / L; S = sen = (YK YJ) / L; , o comprimento da barra i; E o mdulo de elasticidade longitudinal do material; A a rea da seo transversal da barra i; I = Iz o momento de inrcia da seo transversal barra i em relao ao eixo z local._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

BARRA 5: yL

y

D8

D11

D7 D9 3

5 D12 4

D10

x

xL

Figura 16 - Barra 5 da trelia plana na numerao arbitrria

O comprimento L da barra 5 vale:

L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 5 no sistema de referncia local fica:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

30

onde: E1 = E = 200 GPa = 200 x 109 N/m = 2,0 x 1011 N/m A = 27,2.10-4 m I = Iz = 146,6.10-8 m4 L = 6,0 m

A matriz de rigidez da barra 5 no sistema de referncia global fica:

onde: C = cos = (XK XJ) / L; S = sen = (YK YJ) / L; , o comprimento da barra i; E o mdulo de elasticidade longitudinal do material; A a rea da seo transversal da barra i; I = Iz o momento de inrcia da seo transversal barra i em relao ao eixo z local.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

31

Pode-se observar que para a barra 5 a matriz SM5L igual a SM5 , pois = 0. Neste caso, a matriz de rotao R igual a matriz identidade. A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numerao arbitrria, somando as matrizes de rigidez das barras, expandidas dimenso da matriz de rigidez global (SJ = SM1 + SM2 + SM3 + SM4 + SM5).

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32

A matriz SJ deve ser colocada na numerao prioritria, para que possa ser particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numerao prioritria dos GDL para a trelia do exemplo est indicada na figura abaixo.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

33

y 35 kN 10 kN2

35 kN5

D43

D7 D64

D34 3

D5

D8

3m

D101

D12 D11

x

D9

1

2

D1 3m

D2 3m 3m

Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numerao prioritria, obtm-se:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

34

Assim, as matrizes S e SDR ficam:

O vetor de aes nodais (AC) obtido da mesma forma que nas vigas contnuas e nas trelias planas, na numerao prioritria. O vetor AC formado pela soma do vetor de aes (foras e/ou momentos) diretamente aplicadas nos ns do prtico plano (A) com o vetor de aes nodais equivalentes (AE).

A

, (em N).

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35

O vetor de aes nodais equivalentes (AE) obtido a partir dos valores dos vetores AML de todas as barras, em coordenadas globais e com o sinal trocado. Para calcular os vetores AML de todas as barras em coordenadas globais deve ser usada a seguinte expresso: AMLi = RiT . AMLiL Para a barra 1 e 4 o vetor AML1 e AML4 (em coordenadas globais) so iguais a AML1 e AML4L (em coordenadas locais), pois = 0 e a matriz de rotao R1 e R4 so iguais matriz identidade. Para o prtico plano anterior, o vetor AE na numerao prioritria fica:L

, (em metros) na numerao prioritria.

Assim, o vetor AC pode ser calculado, na numerao prioritria:

AC

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Finalmente, os vetores AC e AR ARL ficam:

Resolvendo o sistema de equaes AC = S . D , chega-se aos deslocamentos livres:

na numerao prioritria

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

37

As reaes de apoio so calculadas por AR - ARL = SRD . D, resultando:

, (em N) na numerao prioritria.

Os vetores D e AR na numerao arbitrria ficam:

, na numerao arbitrria.

, (em N) na numerao arbitrria.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

38

As aes de extremidade de barra so calculadas atravs de que neste prtico plano

, uma vez

. A matriz de rigidez de barra em coordenadas locais , basta fazer . Assim,

est na numerao arbitrria. Para avaliar .

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39

Deve-se observar que para uma barra i compresso quando positivo e de trao quando negativo e

significa esforo normal de significa esforo normal de

compresso quando negativo e de trao quando positivo. Portanto, sempre ocorrer . As aes de extremidade de barra enquanto que e so momentos fletores. e so esforos cortantes,

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40

Figura 18 - Esforos nas barras do prtico plano.

Verificaes:

Lembrando que as aes de extremidade de barra so as aes (ou reaes) situadas nas sees das extremidades das barras, de forma que, construindo um diagrama de corpo livre da barra, estas aes, junto com as cargas externas aplicadas no vo da barra, mantm a barra em equilbrio.

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4) Verificao dos clculos com o auxlio do Ftool.

Finalmente, os diagramas de esforo normal (EN), esforo cortante (EC) e momento fletor (MF) do prtico plano ficam: PRTICO PLANO COM APLICAO DE CARGAS:

Figura 19 - Prtico Plano com aplicao de cargas gerada com o auxlio do software Ftool.

DEN + Reaes de apoio:

Figura 20 - Diagrama de esforo normal + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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42

DEC + Reaes de apoio:

Figura 21 - Diagrama de esforo cortante + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

DMF + Reaes de apoio:

Figura 22 - Diagrama de momento fletor + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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43

Deslocamento da estrutura de acordo com a linha elstica + Reaes de apoio:

Figura 23 - Diagrama de deslocamento da linha eltica + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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5) Com o auxlio do programa FTOOL, determinamos os mesmos valores calculados no item (3), considerando agora uma seo transversal com a mesma rea e momento de inrcia 10 vezes maior. PRTICO PLANO COM APLICAO DE CARGAS:

Figura 24 - Prtico Plano com aplicao de cargas gerada com o auxlio do software Ftool.

DEN + Reaes de apoio:

Figura 25 - Diagrama de esforo normal + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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45

DEC + Reaes de apoio:

Figura 27 - Diagrama de esforo cortante + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

DMF + Reaes de apoio:

Figura 28 - Diagrama de momento fletor + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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46

Deslocamento da estrutura de acordo com a linha elstica + Reaes de apoio:

Figura 29 - Diagrama de deslocamento da linha eltica + reaes de apoio do prtico plano gerado com o auxlio do software Ftool.

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