TRABALHO PRAacuteTICO 3 ndash 2013 - 2ordm BIMESTRE

ESTUDO e APLICACcedilOtildeES

MATRIZES e

SISTEMAS LINEARES

DISCIPLINA MATEMAacuteTICA

Prof Vilson Schwantes

E-mail vilson1001gmailcom Fone 45- 3256 1169 e 45 ndash 8835-7227 vilsonschwantesbolcombr Site wwwpvilsoncombr

Entregar as questotildees resolvidas em ordem crescente ateacute o dia 2013

CURSO

ACADEcircMICO Turma

APLICACcedilOtildeES DA AacuteLGEBRA LINEAR NO DIA-A-DIA 1) Trecircs pacientes usam em conjunto 1830mg por mecircs de um certo medicamento em caacutepsulas O paciente A usa caacutepsulas de 5mg o paciente B de 10mg e o paciente C de 12mg O paciente A toma metade do nuacutemero de caacutepsulas de B e os trecircs tomam juntos 180 caacutepsulas por mecircs O paciente C toma um nuacutemero de caacutepsulas por mecircs igual a a) 30 b) 60 c) 75 d) 90 e) 120 A= 30 e B= 60

2) Em uma mesa de uma lanchonete o consumo de 3 sanduiacuteches 7 xiacutecaras de cafeacute e 1 pedaccedilo de torta totalizou R$ 3150 Em outra mesa o consumo de 4 sanduiacuteches 10 xiacutecaras de cafeacute e 1 pedaccedilo de torta totalizou R$ 4200 Entatildeo o consumo de 1 sanduiacuteche 1 xiacutecara de cafeacute e 1 pedaccedilo de torta totaliza o valor de a) R$ 1750 b) R$ 1650 c) R$ 1250 d) R$ 1050 e) R$ 950 S= 375225 e 450

3) Para se deslocar de casa ateacute o trabalho um trabalhador percorre 550 Km por mecircs Para isso em alguns dias ele utiliza um automoacutevel e em outros uma motocicleta Considerando que o custo do Km rodado eacute de 21 centavos para o automoacutevel e de 7 centavos para a motocicleta calcule quantos quilocircmetros o trabalhador deve andar em cada um dos veiacuteculos para que o custo total mensal seja de R$ 7000 225Km de automoacutevel e 325 Km de moto

APLICACcedilOtildeES DO ESTUDO DE MATRIZES 1) Uma faacutebrica de guarda-roupas utiliza trecircs tipos de fechaduras (dourada prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira nos modelos baacutesico luxo e requinte A tabela 1 mostra a produccedilatildeo de moacuteveis durante o mecircs de outubro de 2005 e a tabela 2 a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armaacuterio no mesmo mecircs

A quantidade de fechaduras usadas nos armaacuterios do modelo requinte nesse mecircs foi de 218

2) Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G) e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela tabela

Camisa A Camisa B Camisa C

Bototildees P 3 1 3

Bototildees G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B 50 100

Camisa C 50 50

Nestas condiccedilotildees obter a tabela que daacute o total de bototildees usados em maio e junho

Maio Junho

Bototildees p

Bototildees G

3) O nuacutemero de transistores e o nuacutemero de alto-falantes usados para montar trecircs modelos de aparelhos de TV foram especificados em uma tabela

Modelo A Modelo B Modelo C

Nordm de transistores 13 18 20

Nordm de alto falantes 2 3 4

Vamos chamar este arranjo de matriz das partes-por-aparelho Suponha agora que em janeiro tenham sido encomendados 12 aparelhos do modelo A 24 do modelo B e 12 do modelo C em fevereiro 6 aparelhos do modelo A 12 do modelo B e 9 do modelo C Podemos escrever a informaccedilatildeo em forma de matriz assim Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-por-mecircs

janeiro fevereiro

modelo A 12 6

modelo B 24 12

modelo C 12 9

Para determinar o nuacutemero de transistores e de alto-falantes necessaacuterios em cada um dos meses para essa encomenda eacute evidente que eacute preciso usar os dois conjuntos de informaccedilotildees Por exemplo para calcular o nuacutemero de transistores necessaacuterios em janeiro multiplicamos cada elemento da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz dos aparelhos-por-mecircs e em seguida somando os trecircs produtos Assim o nuacutemero de transistores necessaacuterios em janeiro eacute 13 x 12 + 18 x 24 + 20 x 12 = 828 Do mesmo modo para calcular o nuacutemero de alto-falantes necessaacuterios em janeiro multiplicamos cada elemento da 2a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz aparelhos-por-mecircs e em seguida somamos os produtos obtidos

Assim o nuacutemero de alto-falantes para janeiro eacute2 x 12 + 3 x 24 + 4 X 12 = 144 Para fevereiro igualmente primeiro multiplicamos os elementos da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelos elementos correspondentes da 2a coluna da matriz aparelhos-por-mecircs e somamos para determinar o nuacutemero de alto-falantes

Assim os nuacutemeros de transistores e alto-falantes para fevereiro satildeo respectivamente 13 x 6 + 18 x 12 + 20 x 9 = 474 e 2 x 6 + 3 x 12 + 4 x 9 = 84 Resolvendo matricialmente temos = Podemos dispor essas quatro somas em uma tabela que chamaremos matriz partes-por-mecircs

janeiro fevereiro

Nordm de vaacutelvulas 828 474

Zordm de alto-falantes 144 84

4) Uma induacutestria automobiliacutestica produz carros X e Y nas versotildees standard luxo e superluxo Peccedilas A B e C satildeo

utilizadas na montagem desses carros Para um certo plano de montagem eacute dada a seguinte informaccedilatildeo

Carro X

Carro Y

standard luxo superluxo

Peccedila A 5 2

carro X 2 4 3

Peccedila B 3 5

carro Y 3 3 4

Peccedila C 6 2

Em termos matriciais temos

Matriz peccedila ndash carro A =

Matriz carro-versatildeo B =

Resolvendo =

a) O que significa os elementos do produto matricial AB

a) O nuacutemero de peccedilas do tipo A B e C nas versotildees de standard luxo e superluxo dos carros X e Y

b) O nuacutemero de peccedilas B dos carros X e Y na versatildeo standard 21

c) O nuacutemero de peccedilas C dos carros X e Y na versatildeo luxo 30

5) Uma montadora de carretas de Satildeo Bernardo precisa de eixos e rodas para os trecircs modelos que produz A tabela I mostra a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos TABELA I Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

ModeloComponentes A B C

Eixos 2 5 4

Rodas 4 6 8

A tabela II mostra uma previsatildeo de quantas carretas a faacutebrica deveraacute produzir em julho e agosto

MecircsModelo Julho Agosto

A 15 20

B 30 20

C 18 25

Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

Resolvendo matricialmente temos

=

a) O que significa os elementos do produto matricial III a) As quantidades de eixos e rodas nas produccedilotildees dos carros A B e C nos meses de julho e agosto b) Quantos eixos satildeo necessaacuterios no mecircs de agosto para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 240

c) Quantas rodas satildeo necessaacuterias no mecircs de julho para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 384

6) Uma firma de fotografia tem lojas em cada uma das seguintes cidades Nova Iorque Denver e Los Angeles Um certo tipo de maacutequina fotograacutefica existe em trecircs modelos automaacutetico semi-automaacutetico e natildeo-automaacutetico Aleacutem disto cada maacutequina tem uma unidade de flash que lhe eacute adaptada e a maacutequina eacute geralmente vendida juntamente com a unidade de flash correspondente Os preccedilos de venda das maacutequinas e das unidades de flash satildeo dados (em doacutelares) pela matriz

Automaacuteticos Semi automaacuteticos Manuais

200 150 120 Cacircmera

50 40 25 Flash

A quantidade de conjuntos (maacutequinas e unidades de flash) disponiacuteveis em cada loja eacute dada pela matriz

Nova Iorque Denver Los Angeles

220 180 100 Automaacutetica

300 250 120 Semi automaacuteticas

120 320 250 Manuais

Resolvendo matricialmente temos =

a) Qual o valor total das maacutequinas existentes na loja de Nova Iorque 103400 b) Qual o valor total das unidades de flash existentes na loja de Los Angeles 16050

7) Considere a pesquisa feita dos seguintes produtos em um supermercado em um sacolatildeo e em uma mercearia como segue uma duacutezia de ovos um quilo de laranjas e um quilo de batatas Supondo que vocecirc queira formar duas cestas baacutesicas a e a primeira contendo 2 dz de ovos 5kg de laranjas e 3 kg de batatas e a segunda contendo 6 dz de ovos 2 kg de laranjas e 4kg de batatas Estime quanto vocecirc vai gastar em cada estabelecimento para fazer cada uma das cestas baacutesicas Traduza os seus caacutelculos para a forma de matrizes Vamos supor que no exerciacutecio anterior vocecirc tenha encontrado os seguintes valores transcritos na tabela 1 e a composiccedilatildeo de cada uma das cestas baacutesicas eacute dada pela tabela 2

Ovos Laranja Batata

Supermercado 150 050 080

Sacolatildeo 100 070 080

Mercearia 200 100 150 Tabela 1 Estabelecimentos por produtos Tabela 2 Produtos por cestas

Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento devemos construir uma outra tabela a saber de estabelecimentos por cestas (esta tabela deve conter 6 elementos) Para calcular o custo da cesta A no supermercado basta a multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preccedilos dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessaacuteria de cada produto) e entatildeo somar os 3 nuacutemeros encontrados 1 502 + 0 505 + 0 803 = 7 90 Da mesma forma para calcularmos o custo da cesta B na mercearia devemos somar os trecircs nuacutemeros obtidos pela multiplicaccedilatildeo dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II 2 006 + 1 002 + 1 504 = 20 00

Seguindo esse raciociacutenio obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento

A B

Supermercado 790 =1320

Sacolatildeo

Mercearia Tabela 3 Estabelecimentos por cestas

Traduzindo para o vocabulaacuterio de matrizes se P eacute a matriz de preccedilos (Tabela I)

P=

A B

Ovos 2 6

Laranja 5 2

Batata 3 4

e C eacute a matriz de cestas baacutesicas (Tabela II)

C =

Entatildeo a matriz P C que representa a matriz de custos (Tabela III) eacute dada por

P c

=

ou seja a matriz PC eacute o produto da matriz P pela matriz C

8) Em uma confecccedilatildeo satildeo produzidos trecircs modelos de calccedilas A B e C Sendo usado dois tipos de bototildees G (grande) e M (meacutedio) O nuacutemero de bototildees usado por modelo de calccedila eacute dado pela seguinte tabela

Calccedila A Calccedila B Calccedila C

Bototildees P 6 4 2

Bototildees G 4 3 2

O nuacutemero de calccedilas produzidas nos meses de novembro e dezembro eacute fornecido pela tabela a seguir

Novembro Dezembro

Calccedila A 60 100

Calccedila B 80 90

Calccedila C 70 120

De acordo com os dados fornecidos calcule a quantidade de bototildees gastos nos meses referidos O caacutelculo da quantidade de bototildees pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas pois elas constituem uma multiplicaccedilatildeo entre matrizes =

Resposta

Novembro Dezembro

Bototildees P 820 1200

Bototildees G 620 810

9)Milho soja e feijatildeo foram plantados nas regiotildees P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig 1) indica a aacuterea plantada de cada cultura em hectares por regiatildeo A matriz B (fig 2) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura

a) Calcule a matriz C = AB b) Explique o significado de C23 o elemento da segunda linha e

terceira coluna da matriz C

x y z

Milho Soja Feijatildeo

B= 10 20 15 Milho

A=

50 20 20 P

15 20 20 Soja

40 10 30 Q

30 20 30 Feijatildeo

Figura 1

Fig 2

Respostaa)

b) C23 = 1700 significa que seratildeo necessaacuterios 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soja e feijatildeo na regiatildeo Q

Vamos chamar este arranjo de matriz das partes-por-aparelho Suponha agora que em janeiro tenham sido encomendados 12 aparelhos do modelo A 24 do modelo B e 12 do modelo C em fevereiro 6 aparelhos do modelo A 12 do modelo B e 9 do modelo C Podemos escrever a informaccedilatildeo em forma de matriz assim Vamos chamar este arranjo de matriz dos aparelhos-por-mecircs

janeiro fevereiro

modelo A 12 6

modelo B 24 12

modelo C 12 9

Para determinar o nuacutemero de transistores e de alto-falantes necessaacuterios em cada um dos meses para essa encomenda eacute evidente que eacute preciso usar os dois conjuntos de informaccedilotildees Por exemplo para calcular o nuacutemero de transistores necessaacuterios em janeiro multiplicamos cada elemento da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz dos aparelhos-por-mecircs e em seguida somando os trecircs produtos Assim o nuacutemero de transistores necessaacuterios em janeiro eacute 13 x 12 + 18 x 24 + 20 x 12 = 828 Do mesmo modo para calcular o nuacutemero de alto-falantes necessaacuterios em janeiro multiplicamos cada elemento da 2a linha da matriz partes-por-aparelho pelo elemento correspondente na 1a coluna da matriz aparelhos-por-mecircs e em seguida somamos os produtos obtidos

Assim o nuacutemero de alto-falantes para janeiro eacute2 x 12 + 3 x 24 + 4 X 12 = 144 Para fevereiro igualmente primeiro multiplicamos os elementos da 1a linha da matriz partes-por-aparelho pelos elementos correspondentes da 2a coluna da matriz aparelhos-por-mecircs e somamos para determinar o nuacutemero de alto-falantes

Assim os nuacutemeros de transistores e alto-falantes para fevereiro satildeo respectivamente 13 x 6 + 18 x 12 + 20 x 9 = 474 e 2 x 6 + 3 x 12 + 4 x 9 = 84 Resolvendo matricialmente temos = Podemos dispor essas quatro somas em uma tabela que chamaremos matriz partes-por-mecircs

janeiro fevereiro

Nordm de vaacutelvulas 828 474

Zordm de alto-falantes 144 84

4) Uma induacutestria automobiliacutestica produz carros X e Y nas versotildees standard luxo e superluxo Peccedilas A B e C satildeo

utilizadas na montagem desses carros Para um certo plano de montagem eacute dada a seguinte informaccedilatildeo

Carro X

Carro Y

standard luxo superluxo

Peccedila A 5 2

carro X 2 4 3

Peccedila B 3 5

carro Y 3 3 4

Peccedila C 6 2

Em termos matriciais temos

Matriz peccedila ndash carro A =

Matriz carro-versatildeo B =

Resolvendo =

a) O que significa os elementos do produto matricial AB

a) O nuacutemero de peccedilas do tipo A B e C nas versotildees de standard luxo e superluxo dos carros X e Y

b) O nuacutemero de peccedilas B dos carros X e Y na versatildeo standard 21

c) O nuacutemero de peccedilas C dos carros X e Y na versatildeo luxo 30

5) Uma montadora de carretas de Satildeo Bernardo precisa de eixos e rodas para os trecircs modelos que produz A tabela I mostra a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos TABELA I Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

ModeloComponentes A B C

Eixos 2 5 4

Rodas 4 6 8

A tabela II mostra uma previsatildeo de quantas carretas a faacutebrica deveraacute produzir em julho e agosto

MecircsModelo Julho Agosto

A 15 20

B 30 20

C 18 25

Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

Resolvendo matricialmente temos

=

a) O que significa os elementos do produto matricial III a) As quantidades de eixos e rodas nas produccedilotildees dos carros A B e C nos meses de julho e agosto b) Quantos eixos satildeo necessaacuterios no mecircs de agosto para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 240

c) Quantas rodas satildeo necessaacuterias no mecircs de julho para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 384

6) Uma firma de fotografia tem lojas em cada uma das seguintes cidades Nova Iorque Denver e Los Angeles Um certo tipo de maacutequina fotograacutefica existe em trecircs modelos automaacutetico semi-automaacutetico e natildeo-automaacutetico Aleacutem disto cada maacutequina tem uma unidade de flash que lhe eacute adaptada e a maacutequina eacute geralmente vendida juntamente com a unidade de flash correspondente Os preccedilos de venda das maacutequinas e das unidades de flash satildeo dados (em doacutelares) pela matriz

Automaacuteticos Semi automaacuteticos Manuais

200 150 120 Cacircmera

50 40 25 Flash

A quantidade de conjuntos (maacutequinas e unidades de flash) disponiacuteveis em cada loja eacute dada pela matriz

Nova Iorque Denver Los Angeles

220 180 100 Automaacutetica

300 250 120 Semi automaacuteticas

120 320 250 Manuais

Resolvendo matricialmente temos =

a) Qual o valor total das maacutequinas existentes na loja de Nova Iorque 103400 b) Qual o valor total das unidades de flash existentes na loja de Los Angeles 16050

7) Considere a pesquisa feita dos seguintes produtos em um supermercado em um sacolatildeo e em uma mercearia como segue uma duacutezia de ovos um quilo de laranjas e um quilo de batatas Supondo que vocecirc queira formar duas cestas baacutesicas a e a primeira contendo 2 dz de ovos 5kg de laranjas e 3 kg de batatas e a segunda contendo 6 dz de ovos 2 kg de laranjas e 4kg de batatas Estime quanto vocecirc vai gastar em cada estabelecimento para fazer cada uma das cestas baacutesicas Traduza os seus caacutelculos para a forma de matrizes Vamos supor que no exerciacutecio anterior vocecirc tenha encontrado os seguintes valores transcritos na tabela 1 e a composiccedilatildeo de cada uma das cestas baacutesicas eacute dada pela tabela 2

Ovos Laranja Batata

Supermercado 150 050 080

Sacolatildeo 100 070 080

Mercearia 200 100 150 Tabela 1 Estabelecimentos por produtos Tabela 2 Produtos por cestas

Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento devemos construir uma outra tabela a saber de estabelecimentos por cestas (esta tabela deve conter 6 elementos) Para calcular o custo da cesta A no supermercado basta a multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preccedilos dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessaacuteria de cada produto) e entatildeo somar os 3 nuacutemeros encontrados 1 502 + 0 505 + 0 803 = 7 90 Da mesma forma para calcularmos o custo da cesta B na mercearia devemos somar os trecircs nuacutemeros obtidos pela multiplicaccedilatildeo dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II 2 006 + 1 002 + 1 504 = 20 00

Seguindo esse raciociacutenio obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento

A B

Supermercado 790 =1320

Sacolatildeo

Mercearia Tabela 3 Estabelecimentos por cestas

Traduzindo para o vocabulaacuterio de matrizes se P eacute a matriz de preccedilos (Tabela I)

P=

A B

Ovos 2 6

Laranja 5 2

Batata 3 4

e C eacute a matriz de cestas baacutesicas (Tabela II)

C =

Entatildeo a matriz P C que representa a matriz de custos (Tabela III) eacute dada por

P c

=

ou seja a matriz PC eacute o produto da matriz P pela matriz C

8) Em uma confecccedilatildeo satildeo produzidos trecircs modelos de calccedilas A B e C Sendo usado dois tipos de bototildees G (grande) e M (meacutedio) O nuacutemero de bototildees usado por modelo de calccedila eacute dado pela seguinte tabela

Calccedila A Calccedila B Calccedila C

Bototildees P 6 4 2

Bototildees G 4 3 2

O nuacutemero de calccedilas produzidas nos meses de novembro e dezembro eacute fornecido pela tabela a seguir

Novembro Dezembro

Calccedila A 60 100

Calccedila B 80 90

Calccedila C 70 120

De acordo com os dados fornecidos calcule a quantidade de bototildees gastos nos meses referidos O caacutelculo da quantidade de bototildees pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas pois elas constituem uma multiplicaccedilatildeo entre matrizes =

Resposta

Novembro Dezembro

Bototildees P 820 1200

Bototildees G 620 810

9)Milho soja e feijatildeo foram plantados nas regiotildees P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig 1) indica a aacuterea plantada de cada cultura em hectares por regiatildeo A matriz B (fig 2) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura

a) Calcule a matriz C = AB b) Explique o significado de C23 o elemento da segunda linha e

terceira coluna da matriz C

x y z

Milho Soja Feijatildeo

B= 10 20 15 Milho

A=

50 20 20 P

15 20 20 Soja

40 10 30 Q

30 20 30 Feijatildeo

Figura 1

Fig 2

Respostaa)

b) C23 = 1700 significa que seratildeo necessaacuterios 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soja e feijatildeo na regiatildeo Q

a) O que significa os elementos do produto matricial AB

a) O nuacutemero de peccedilas do tipo A B e C nas versotildees de standard luxo e superluxo dos carros X e Y

b) O nuacutemero de peccedilas B dos carros X e Y na versatildeo standard 21

c) O nuacutemero de peccedilas C dos carros X e Y na versatildeo luxo 30

5) Uma montadora de carretas de Satildeo Bernardo precisa de eixos e rodas para os trecircs modelos que produz A tabela I mostra a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos TABELA I Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

ModeloComponentes A B C

Eixos 2 5 4

Rodas 4 6 8

A tabela II mostra uma previsatildeo de quantas carretas a faacutebrica deveraacute produzir em julho e agosto

MecircsModelo Julho Agosto

A 15 20

B 30 20

C 18 25

Transcrita na forma matricial a relaccedilatildeo dos componentes para cada um dos modelos fica assim

Resolvendo matricialmente temos

=

a) O que significa os elementos do produto matricial III a) As quantidades de eixos e rodas nas produccedilotildees dos carros A B e C nos meses de julho e agosto b) Quantos eixos satildeo necessaacuterios no mecircs de agosto para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 240

c) Quantas rodas satildeo necessaacuterias no mecircs de julho para que a montadora atinja a produccedilatildeo desejada 384

6) Uma firma de fotografia tem lojas em cada uma das seguintes cidades Nova Iorque Denver e Los Angeles Um certo tipo de maacutequina fotograacutefica existe em trecircs modelos automaacutetico semi-automaacutetico e natildeo-automaacutetico Aleacutem disto cada maacutequina tem uma unidade de flash que lhe eacute adaptada e a maacutequina eacute geralmente vendida juntamente com a unidade de flash correspondente Os preccedilos de venda das maacutequinas e das unidades de flash satildeo dados (em doacutelares) pela matriz

Automaacuteticos Semi automaacuteticos Manuais

200 150 120 Cacircmera

50 40 25 Flash

A quantidade de conjuntos (maacutequinas e unidades de flash) disponiacuteveis em cada loja eacute dada pela matriz

Nova Iorque Denver Los Angeles

220 180 100 Automaacutetica

300 250 120 Semi automaacuteticas

120 320 250 Manuais

Resolvendo matricialmente temos =

a) Qual o valor total das maacutequinas existentes na loja de Nova Iorque 103400 b) Qual o valor total das unidades de flash existentes na loja de Los Angeles 16050

7) Considere a pesquisa feita dos seguintes produtos em um supermercado em um sacolatildeo e em uma mercearia como segue uma duacutezia de ovos um quilo de laranjas e um quilo de batatas Supondo que vocecirc queira formar duas cestas baacutesicas a e a primeira contendo 2 dz de ovos 5kg de laranjas e 3 kg de batatas e a segunda contendo 6 dz de ovos 2 kg de laranjas e 4kg de batatas Estime quanto vocecirc vai gastar em cada estabelecimento para fazer cada uma das cestas baacutesicas Traduza os seus caacutelculos para a forma de matrizes Vamos supor que no exerciacutecio anterior vocecirc tenha encontrado os seguintes valores transcritos na tabela 1 e a composiccedilatildeo de cada uma das cestas baacutesicas eacute dada pela tabela 2

Ovos Laranja Batata

Supermercado 150 050 080

Sacolatildeo 100 070 080

Mercearia 200 100 150 Tabela 1 Estabelecimentos por produtos Tabela 2 Produtos por cestas

Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento devemos construir uma outra tabela a saber de estabelecimentos por cestas (esta tabela deve conter 6 elementos) Para calcular o custo da cesta A no supermercado basta a multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preccedilos dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessaacuteria de cada produto) e entatildeo somar os 3 nuacutemeros encontrados 1 502 + 0 505 + 0 803 = 7 90 Da mesma forma para calcularmos o custo da cesta B na mercearia devemos somar os trecircs nuacutemeros obtidos pela multiplicaccedilatildeo dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II 2 006 + 1 002 + 1 504 = 20 00

Seguindo esse raciociacutenio obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento

A B

Supermercado 790 =1320

Sacolatildeo

Mercearia Tabela 3 Estabelecimentos por cestas

Traduzindo para o vocabulaacuterio de matrizes se P eacute a matriz de preccedilos (Tabela I)

P=

A B

Ovos 2 6

Laranja 5 2

Batata 3 4

e C eacute a matriz de cestas baacutesicas (Tabela II)

C =

Entatildeo a matriz P C que representa a matriz de custos (Tabela III) eacute dada por

P c

=

ou seja a matriz PC eacute o produto da matriz P pela matriz C

8) Em uma confecccedilatildeo satildeo produzidos trecircs modelos de calccedilas A B e C Sendo usado dois tipos de bototildees G (grande) e M (meacutedio) O nuacutemero de bototildees usado por modelo de calccedila eacute dado pela seguinte tabela

Calccedila A Calccedila B Calccedila C

Bototildees P 6 4 2

Bototildees G 4 3 2

O nuacutemero de calccedilas produzidas nos meses de novembro e dezembro eacute fornecido pela tabela a seguir

Novembro Dezembro

Calccedila A 60 100

Calccedila B 80 90

Calccedila C 70 120

De acordo com os dados fornecidos calcule a quantidade de bototildees gastos nos meses referidos O caacutelculo da quantidade de bototildees pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas pois elas constituem uma multiplicaccedilatildeo entre matrizes =

Resposta

Novembro Dezembro

Bototildees P 820 1200

Bototildees G 620 810

9)Milho soja e feijatildeo foram plantados nas regiotildees P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig 1) indica a aacuterea plantada de cada cultura em hectares por regiatildeo A matriz B (fig 2) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura

a) Calcule a matriz C = AB b) Explique o significado de C23 o elemento da segunda linha e

terceira coluna da matriz C

x y z

Milho Soja Feijatildeo

B= 10 20 15 Milho

A=

50 20 20 P

15 20 20 Soja

40 10 30 Q

30 20 30 Feijatildeo

Figura 1

Fig 2

Respostaa)

b) C23 = 1700 significa que seratildeo necessaacuterios 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soja e feijatildeo na regiatildeo Q

Nova Iorque Denver Los Angeles

220 180 100 Automaacutetica

300 250 120 Semi automaacuteticas

120 320 250 Manuais

Resolvendo matricialmente temos =

a) Qual o valor total das maacutequinas existentes na loja de Nova Iorque 103400 b) Qual o valor total das unidades de flash existentes na loja de Los Angeles 16050

7) Considere a pesquisa feita dos seguintes produtos em um supermercado em um sacolatildeo e em uma mercearia como segue uma duacutezia de ovos um quilo de laranjas e um quilo de batatas Supondo que vocecirc queira formar duas cestas baacutesicas a e a primeira contendo 2 dz de ovos 5kg de laranjas e 3 kg de batatas e a segunda contendo 6 dz de ovos 2 kg de laranjas e 4kg de batatas Estime quanto vocecirc vai gastar em cada estabelecimento para fazer cada uma das cestas baacutesicas Traduza os seus caacutelculos para a forma de matrizes Vamos supor que no exerciacutecio anterior vocecirc tenha encontrado os seguintes valores transcritos na tabela 1 e a composiccedilatildeo de cada uma das cestas baacutesicas eacute dada pela tabela 2

Ovos Laranja Batata

Supermercado 150 050 080

Sacolatildeo 100 070 080

Mercearia 200 100 150 Tabela 1 Estabelecimentos por produtos Tabela 2 Produtos por cestas

Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento devemos construir uma outra tabela a saber de estabelecimentos por cestas (esta tabela deve conter 6 elementos) Para calcular o custo da cesta A no supermercado basta a multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preccedilos dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessaacuteria de cada produto) e entatildeo somar os 3 nuacutemeros encontrados 1 502 + 0 505 + 0 803 = 7 90 Da mesma forma para calcularmos o custo da cesta B na mercearia devemos somar os trecircs nuacutemeros obtidos pela multiplicaccedilatildeo dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II 2 006 + 1 002 + 1 504 = 20 00

Seguindo esse raciociacutenio obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento

A B

Supermercado 790 =1320

Sacolatildeo

Mercearia Tabela 3 Estabelecimentos por cestas

Traduzindo para o vocabulaacuterio de matrizes se P eacute a matriz de preccedilos (Tabela I)

P=

A B

Ovos 2 6

Laranja 5 2

Batata 3 4

e C eacute a matriz de cestas baacutesicas (Tabela II)

C =

Entatildeo a matriz P C que representa a matriz de custos (Tabela III) eacute dada por

P c

=

ou seja a matriz PC eacute o produto da matriz P pela matriz C

8) Em uma confecccedilatildeo satildeo produzidos trecircs modelos de calccedilas A B e C Sendo usado dois tipos de bototildees G (grande) e M (meacutedio) O nuacutemero de bototildees usado por modelo de calccedila eacute dado pela seguinte tabela

Calccedila A Calccedila B Calccedila C

Bototildees P 6 4 2

Bototildees G 4 3 2

O nuacutemero de calccedilas produzidas nos meses de novembro e dezembro eacute fornecido pela tabela a seguir

Novembro Dezembro

Calccedila A 60 100

Calccedila B 80 90

Calccedila C 70 120

De acordo com os dados fornecidos calcule a quantidade de bototildees gastos nos meses referidos O caacutelculo da quantidade de bototildees pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas pois elas constituem uma multiplicaccedilatildeo entre matrizes =

Resposta

Novembro Dezembro

Bototildees P 820 1200

Bototildees G 620 810

9)Milho soja e feijatildeo foram plantados nas regiotildees P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig 1) indica a aacuterea plantada de cada cultura em hectares por regiatildeo A matriz B (fig 2) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura

a) Calcule a matriz C = AB b) Explique o significado de C23 o elemento da segunda linha e

terceira coluna da matriz C

x y z

Milho Soja Feijatildeo

B= 10 20 15 Milho

A=

50 20 20 P

15 20 20 Soja

40 10 30 Q

30 20 30 Feijatildeo

Figura 1

Fig 2

Respostaa)

b) C23 = 1700 significa que seratildeo necessaacuterios 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soja e feijatildeo na regiatildeo Q

e C eacute a matriz de cestas baacutesicas (Tabela II)

C =

Entatildeo a matriz P C que representa a matriz de custos (Tabela III) eacute dada por

P c

=

ou seja a matriz PC eacute o produto da matriz P pela matriz C

8) Em uma confecccedilatildeo satildeo produzidos trecircs modelos de calccedilas A B e C Sendo usado dois tipos de bototildees G (grande) e M (meacutedio) O nuacutemero de bototildees usado por modelo de calccedila eacute dado pela seguinte tabela

Calccedila A Calccedila B Calccedila C

Bototildees P 6 4 2

Bototildees G 4 3 2

O nuacutemero de calccedilas produzidas nos meses de novembro e dezembro eacute fornecido pela tabela a seguir

Novembro Dezembro

Calccedila A 60 100

Calccedila B 80 90

Calccedila C 70 120

De acordo com os dados fornecidos calcule a quantidade de bototildees gastos nos meses referidos O caacutelculo da quantidade de bototildees pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas pois elas constituem uma multiplicaccedilatildeo entre matrizes =

Resposta

Novembro Dezembro

Bototildees P 820 1200

Bototildees G 620 810

9)Milho soja e feijatildeo foram plantados nas regiotildees P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A (fig 1) indica a aacuterea plantada de cada cultura em hectares por regiatildeo A matriz B (fig 2) indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura

a) Calcule a matriz C = AB b) Explique o significado de C23 o elemento da segunda linha e

terceira coluna da matriz C

x y z

Milho Soja Feijatildeo

B= 10 20 15 Milho

A=

50 20 20 P

15 20 20 Soja

40 10 30 Q

30 20 30 Feijatildeo

Figura 1

Fig 2

Respostaa)

b) C23 = 1700 significa que seratildeo necessaacuterios 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho soja e feijatildeo na regiatildeo Q

C11 Os 1400 Kg de fertilizante X representam a quantidade necessaacuteria para as culturas de milho soja e feijatildeo na Regiatildeo 1 ou Q

C21

10) Antocircnio pesa 80 quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a Tabela 2 A Tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da Tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias

ele iraacute queimar em cada dia se seguir o programa Resp b

Aplicaccedilotildees Operaccedilotildees com Matrizes

11) Nas tabelas verifique a produccedilatildeo de uma induacutestria de calccedilados nos meses de novembro e dezembro

Novembro

Dezembro

Gecircnero Modelo

A B

Gecircnero

Modelo A B

Feminino 350 298

Feminino 247 270

Masculino 457 356

Masculino 530 325

Infantil 398 432

Infantil 380 422

a) Qual a produccedilatildeo do uacuteltimo bimestre do ano b) Qual operaccedilatildeo de matrizes foi realizada

12) Situaccedilatildeo problema Veja e responda

Uma induacutestria fabrica dois modelos diferentes de bicicleta A tabela 1 mostra o nuacutemero de parafusos e rodas utilizadas em cada modelo e a tabela 2 a previsatildeo da produccedilatildeo de bicicletas para os meses de junho e julho

Quantas rodas e quantos parafusos satildeo necessaacuterios para a produccedilatildeo dos dois meses Que caacutelculo fazer Logo vem

=

Organizando os dados na tabela temos

Resposta na forma matricial

13)

a) Que operaccedilatildeo matricial devemos realizar =

Dispondo os dados novamente numa tabela temos

14) A matriz C fornece em reais o custo das porccedilotildees de arroz carne e salada

C=

Usadas num restaurante A matriz P fornece o nuacutemero de porccedilotildees de arroz carne e salada usados na composiccedilatildeo dos pratos tipo P1 P2 e P3 desse restaurante

Arroz Carne Salada

2 1 1 Prato P1

C= 1 2 1 Prato P2

2 2 0 Prato P3

A matriz que fornece o custo de produccedilatildeo em reais dos pratos P1P2 e P3 eacute

Resposta

15) Por exemplo as notas finais dos alunos de uma turma no coleacutegio podem formar uma matriz cujas colunas correspondem agraves mateacuterias lecionadas e cujas linhas representam os alunos Na interseccedilatildeo de uma linha com uma coluna haveraacute um nuacutemero que eacute a nota daquele aluno naquela mateacuteria

Neste caso a matriz das notas (matriz N) seraacute denotada por

Note que a matriz possui 4 linhas e 3 colunas e por isso satildeo ao todo 3 4 = 12 elementos 16)

17)

17b)

18) Observe a tabela e depois responda

Quantidade comprada

Preccedilo em cada mercado

Feijatildeo Arroz

Mercado A Mercado B

Pedro 3 5

Feijatildeo 520

590

Joseacute 4 6

Arroz 240

210

Joatildeo 5 7

a) Essas tabelas representam respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os preccedilos dos produtos nos mercados A e B Determine o que se pede a) O valor total que Pedro pagaria pelas compras no mercado B

b) Em qual mercado Joatildeo deveria comprar os produtos para gastar menos e de quanto seria a economia

Respostas

=

=

19) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos Entretanto parte do

pesticida eacute absorvida pela planta Os pesticidas satildeo absorvidos pelos herbiacutevoros que

comem essas plantas Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por

um herbiacutevoro vamos analisar a seguinte situaccedilatildeo Suponha que temos trecircs tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo

matricial denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j

Quantidade em miligramas de pesticida absorvida por uma planta segundo o tipo de

pesticida e de planta

Suponha agora que temos trecircs herbiacutevoros Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo matricial denotando por bij o nuacutemero de plantas do tipo i que um herbiacutevoro do tipo j como por mecircs

A B

Pedro 276 282

Joseacute 352 362

Joatildeo 428 442

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

Quantas rodas e quantos parafusos satildeo necessaacuterios para a produccedilatildeo dos dois meses Que caacutelculo fazer Logo vem

=

Organizando os dados na tabela temos

Resposta na forma matricial

13)

a) Que operaccedilatildeo matricial devemos realizar =

Dispondo os dados novamente numa tabela temos

14) A matriz C fornece em reais o custo das porccedilotildees de arroz carne e salada

C=

Usadas num restaurante A matriz P fornece o nuacutemero de porccedilotildees de arroz carne e salada usados na composiccedilatildeo dos pratos tipo P1 P2 e P3 desse restaurante

Arroz Carne Salada

2 1 1 Prato P1

C= 1 2 1 Prato P2

2 2 0 Prato P3

A matriz que fornece o custo de produccedilatildeo em reais dos pratos P1P2 e P3 eacute

Resposta

15) Por exemplo as notas finais dos alunos de uma turma no coleacutegio podem formar uma matriz cujas colunas correspondem agraves mateacuterias lecionadas e cujas linhas representam os alunos Na interseccedilatildeo de uma linha com uma coluna haveraacute um nuacutemero que eacute a nota daquele aluno naquela mateacuteria

Neste caso a matriz das notas (matriz N) seraacute denotada por

Note que a matriz possui 4 linhas e 3 colunas e por isso satildeo ao todo 3 4 = 12 elementos 16)

17)

17b)

18) Observe a tabela e depois responda

Quantidade comprada

Preccedilo em cada mercado

Feijatildeo Arroz

Mercado A Mercado B

Pedro 3 5

Feijatildeo 520

590

Joseacute 4 6

Arroz 240

210

Joatildeo 5 7

a) Essas tabelas representam respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os preccedilos dos produtos nos mercados A e B Determine o que se pede a) O valor total que Pedro pagaria pelas compras no mercado B

b) Em qual mercado Joatildeo deveria comprar os produtos para gastar menos e de quanto seria a economia

Respostas

=

=

19) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos Entretanto parte do

pesticida eacute absorvida pela planta Os pesticidas satildeo absorvidos pelos herbiacutevoros que

comem essas plantas Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por

um herbiacutevoro vamos analisar a seguinte situaccedilatildeo Suponha que temos trecircs tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo

matricial denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j

Quantidade em miligramas de pesticida absorvida por uma planta segundo o tipo de

pesticida e de planta

Suponha agora que temos trecircs herbiacutevoros Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo matricial denotando por bij o nuacutemero de plantas do tipo i que um herbiacutevoro do tipo j como por mecircs

A B

Pedro 276 282

Joseacute 352 362

Joatildeo 428 442

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

14) A matriz C fornece em reais o custo das porccedilotildees de arroz carne e salada

C=

Usadas num restaurante A matriz P fornece o nuacutemero de porccedilotildees de arroz carne e salada usados na composiccedilatildeo dos pratos tipo P1 P2 e P3 desse restaurante

Arroz Carne Salada

2 1 1 Prato P1

C= 1 2 1 Prato P2

2 2 0 Prato P3

A matriz que fornece o custo de produccedilatildeo em reais dos pratos P1P2 e P3 eacute

Resposta

15) Por exemplo as notas finais dos alunos de uma turma no coleacutegio podem formar uma matriz cujas colunas correspondem agraves mateacuterias lecionadas e cujas linhas representam os alunos Na interseccedilatildeo de uma linha com uma coluna haveraacute um nuacutemero que eacute a nota daquele aluno naquela mateacuteria

Neste caso a matriz das notas (matriz N) seraacute denotada por

Note que a matriz possui 4 linhas e 3 colunas e por isso satildeo ao todo 3 4 = 12 elementos 16)

17)

17b)

18) Observe a tabela e depois responda

Quantidade comprada

Preccedilo em cada mercado

Feijatildeo Arroz

Mercado A Mercado B

Pedro 3 5

Feijatildeo 520

590

Joseacute 4 6

Arroz 240

210

Joatildeo 5 7

a) Essas tabelas representam respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os preccedilos dos produtos nos mercados A e B Determine o que se pede a) O valor total que Pedro pagaria pelas compras no mercado B

b) Em qual mercado Joatildeo deveria comprar os produtos para gastar menos e de quanto seria a economia

Respostas

=

=

19) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos Entretanto parte do

pesticida eacute absorvida pela planta Os pesticidas satildeo absorvidos pelos herbiacutevoros que

comem essas plantas Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por

um herbiacutevoro vamos analisar a seguinte situaccedilatildeo Suponha que temos trecircs tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo

matricial denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j

Quantidade em miligramas de pesticida absorvida por uma planta segundo o tipo de

pesticida e de planta

Suponha agora que temos trecircs herbiacutevoros Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo matricial denotando por bij o nuacutemero de plantas do tipo i que um herbiacutevoro do tipo j como por mecircs

A B

Pedro 276 282

Joseacute 352 362

Joatildeo 428 442

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

17)

17b)

18) Observe a tabela e depois responda

Quantidade comprada

Preccedilo em cada mercado

Feijatildeo Arroz

Mercado A Mercado B

Pedro 3 5

Feijatildeo 520

590

Joseacute 4 6

Arroz 240

210

Joatildeo 5 7

a) Essas tabelas representam respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os preccedilos dos produtos nos mercados A e B Determine o que se pede a) O valor total que Pedro pagaria pelas compras no mercado B

b) Em qual mercado Joatildeo deveria comprar os produtos para gastar menos e de quanto seria a economia

Respostas

=

=

19) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos Entretanto parte do

pesticida eacute absorvida pela planta Os pesticidas satildeo absorvidos pelos herbiacutevoros que

comem essas plantas Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por

um herbiacutevoro vamos analisar a seguinte situaccedilatildeo Suponha que temos trecircs tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo

matricial denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j

Quantidade em miligramas de pesticida absorvida por uma planta segundo o tipo de

pesticida e de planta

Suponha agora que temos trecircs herbiacutevoros Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo matricial denotando por bij o nuacutemero de plantas do tipo i que um herbiacutevoro do tipo j como por mecircs

A B

Pedro 276 282

Joseacute 352 362

Joatildeo 428 442

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

18) Observe a tabela e depois responda

Quantidade comprada

Preccedilo em cada mercado

Feijatildeo Arroz

Mercado A Mercado B

Pedro 3 5

Feijatildeo 520

590

Joseacute 4 6

Arroz 240

210

Joatildeo 5 7

a) Essas tabelas representam respectivamente as quantidades que devem ser compradas e os preccedilos dos produtos nos mercados A e B Determine o que se pede a) O valor total que Pedro pagaria pelas compras no mercado B

b) Em qual mercado Joatildeo deveria comprar os produtos para gastar menos e de quanto seria a economia

Respostas

=

=

19) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos Entretanto parte do

pesticida eacute absorvida pela planta Os pesticidas satildeo absorvidos pelos herbiacutevoros que

comem essas plantas Para determinarmos a quantidade de pesticida absorvida por

um herbiacutevoro vamos analisar a seguinte situaccedilatildeo Suponha que temos trecircs tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo

matricial denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j

Quantidade em miligramas de pesticida absorvida por uma planta segundo o tipo de

pesticida e de planta

Suponha agora que temos trecircs herbiacutevoros Passe a tabela de dados a seguir para a notaccedilatildeo matricial denotando por bij o nuacutemero de plantas do tipo i que um herbiacutevoro do tipo j como por mecircs

A B

Pedro 276 282

Joseacute 352 362

Joatildeo 428 442

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

Utilizando operaccedilotildees com matrizes responda a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbiacutevoro de tipo 3 absorveu Resposta 174mg

b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbiacutevoro de tipo j absorveu Multiplicando

AB

c) O que representa a multiplicaccedilatildeo das matrizes A e B A matriz

Representa a quantidade de pesticida consumida por um herbiacutevoro

20) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolvem adultos e crianccedilas de todos os sexos A composiccedilatildeo dos participantes do projeto eacute dada pela matriz

Adultos Crianccedilas 80 120 Masculino

100 200 Feminino O nuacutemero diaacuterio de gramas de proteiacutenas de gorduras e de carboidratos consumidos por cada crianccedila e cada adulto eacute dado pela matriz

20 20 20 Adultos 10 20 30 Crianccedilas

As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente quantas gramas de carboidratos 13200

21) Sejam as matrizes A

e B

O determinante da matriz AB eacute 4

22) Para que o determinante da matriz [

]seja nulo o valor de a deve ser 2 ou -2

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS SISTEMA EQUACcedilOtildeES COM 2 VARIAacuteVEIS

1) Tenho que comprar laacutepis e canetas Se comprar 7 laacutepis e 3 canetas gastarei R$ 1650 Se comprar 5 laacutepis e 4 canetas gastarei R$ 1550 Qual o preccedilo de cada laacutepis e cada caneta Preccedilo do laacutepis eacute R$ 150 e preccedilo da caneta eacute R$ 200

2) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 melotildees por R$ 720 Se tivesse comprado 3 abacates e 4 melotildees teria pago R$ 890 Qual o preccedilo de cada fruta A= 030 e m= 200

3) Dois tambores tecircm juntos um total de 130 litros de gasolina Um deles tem 10 litros a mais que o outro Quantos

litros de gasolina haacute em cada tambor Resp 70 litros e 60 litros

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

4) Uma pessoa pagou uma conta no valor de 500 reais usando notas de 5 reais e 10 reais Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas se a pessoa utilizou no pagamento um total de 60 notas Resp 20 notas de R$ 500 e 40 notas de R$ 1000

5) Uma faacutebrica de refrigerantes produz refrescos de guaranaacute nas versotildees tradicional e diet e envasa em garrafas de 300

ml (equivalentes a 03 litro) Os bares vendem os tradicionais por R$ 100 e os diet por R$ 125 Ao final do dia haviam

sido vendidos 2000 refrigerantes com um faturamento de R$ 210000 Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas Resp400 E 1600

6) Em um quintal haacute 40 animais entre galinhas e coelhos num total de 110 peacutes Quantas galinhas e quantos

coelhos haacute nesse quintal R= 25 g e 15 c

7) Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou

R$ 55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia R= 23 m e 77 c

8) Na promoccedilatildeo de uma loja uma calccedila e uma camiseta custam juntas 55 reais Comprei 3 calccedilas e duas

camisetas e paguei no total 140 reais O preccedilo de cada calccedila e de cada camiseta eacute Calccedila 30 e cam 25 reais

9) O Sr Astrogildo resolveu vender todas as suas accedilotildees recebendo 19 mil reais em 11 notas algumas de mil

reais e outras de 5 mil reais Quantas notas de cada espeacutecie recebeu R= 2 notas de 5 mil e 9 notas de mil

10) Descubra 2 nuacutemeros cuja a soma eacute 20 e cuja a diferenccedila eacute 5 R= 125 e 75

11) Em um estacionamento haacute carros e motos num total de 38 veiacuteculos e 136 rodas Quantos carros e quantas

motos haacute no estacionamento R 30 carros e 8 motos

12) Em um terreiro temos galinhas e coelhos Satildeo 17 animais e 48 peacutes Quantas galinhas e quantos coelhos

haacute nesse terreiro R 10 galinhas e 7 coelhos

13) Para construir uma laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 Kg

cada um Se a laje tivesse 5 cm de espessura e cada saco de cimento contivesse 50 Kg quantos sacos seriam

gastos para fazer a mesma laje R 20 sacos

14) Num paacutetio existem automoacuteveis e bicicletas O nuacutemero total de rodas eacute 130 e o nuacutemero de bicicletas eacute o triplo do nuacutemero de automoacuteveis O nuacutemero de automoacuteveis e bicicletas que se encontram no paacutetio eacute 13 aut e 39 bic

15) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 700 Seu irmatildeo Joatildeozinho comprou uma coxinha e

um refrigerante a mais pagando R$ 1150 Qual eacute o preccedilo do refrigerante e o da coxinha C= 083 e r = 533

16) Possuo R$ 230000 em notas de R$ 5000 e R$ 10000 totalizando 30 notas Quantas notas possuo de cada valor

17) A soma de 2 nuacutemeros eacute 530 e a diferenccedila entre eles eacute 178 Quais satildeo os nuacutemeros 354 e 176

18) Compramos 6 kg de chaacute e 4 kg de cafeacute por um preccedilo total de 1660 reais Sabendo que 4 kg de chaacute mais 2 kg de cafeacute custam 940 reais calcular o preccedilo do kg de chaacute e o de cafeacuteChaacute =110 e Cafeacute 250

19) Numa seacuterie de 8 jogos pelo campeonato brasileiro de futebol o Grecircmio acumulou 14 pontos Sabendo que cada vitoacuteria satildeo computados 3 pontos a cada empate 1 ponto e que o Grecircmio natildeo perdeu nenhum dos jogos disputados encontre o nuacutemero de vitoacuterias e de empates Portanto nos 8 jogos disputados o Grecircmio obteve 3 vitoacuterias e 5 empates acumulando 14 pontos

20) Joatildeo e Joseacute satildeo colegas Ao passarem por uma livraria Joatildeo resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros

e pagou por eles R$ 1540 no total dos produtos Joseacute gastou R$ 920 na compra de 2 livros e 1 caderno Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa Qual o preccedilo de cada caderno e de cada livro C= 320 e L = 300 21) Uma empresa desejava contratar teacutecnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para

cada resposta errada Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou 36 perg

22) Certo dia uma doceira comprou 3kg de accediluacutecar e 4kg de farinha e no total pagou R$ 320 Outro dia comprou 4 kg de accediluacutecar e 6 kg de farinha pagando R$ 450 pelo total da compra Se os preccedilos foram os mesmos quanto estava custando o quilo do accediluacutecar e o de farinha A=060 e f= 035

23) Tenho 220 reais e quero comprar 8 peccedilas de roupas entre camisetas e bermudas O preccedilo de cada

camiseta eacute vinte e de cada bermuda eacute quarenta reais Quantas camisetas e quantas bermudas posso comprar usando todo o meu dinheiro 5 camisetas e 3 bermudas 24) Um sorvete de chocolate custa x e um sorvete de limatildeo custa y Ana comprou um sorvete de chocolate e um de limatildeo pagando R$ 090 Maria comprou dois sorvetes de chocolates e trecircs de limatildeo pagando R$ 220 Qual eacute o preccedilo de cada sorvete L = 040 e choc = 050

25) Quais satildeo os dois nuacutemeros cuja soma eacute 38 e cuja diferenccedila eacute 8 23 e 15 26) A soma das idades de dois irmatildeos eacute 21 anos A idade do mais velho eacute o dobro da do mais novo Qual eacute a idade de cada um 7 e 14 anos 27) Um aluno ganha 5 pontos por exerciacutecio que acerta e perde 3 por exerciacutecio que erra Ao fim de 50 exerciacutecios tinha 210 pontos Determine quantos exerciacutecios ele acertou C=45 e erradas 5 28) Em um paacutetio existem carros e bicicletas num total de 30 veiacuteculos e 86rodas Quantos veiacuteculos de cada espeacutecie existem nesse paacutetio Carros = 13 e Bicicletas = 17

29) Uma pessoa paga uma conta de R$ 10800 com 32 ceacutedulas umas de R$100 e outras de R$ 500

Quantas ceacutedulas haacute de cada espeacutecie DE CINCO = 19 CEacuteDULAS E DE UM = 13 CEacuteDULAS

30) A soma de dois nuacutemeros dados eacute 8 e a diferenccedila entre estes mesmos nuacutemeros eacute igual a 4 Quais satildeos os nuacutemeros 6 e 4 31) Numa lanchonete 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 570 O preccedilo de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas eacute R$ 930 Quais os preccedilos de cada coxinha e cada copo de refrigerante Copo refr = 060 e cox = 150 32) Um estacionamento cobra R$ 200 por moto e R$ 300 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$ 27700 para um total de 100veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento nesse dia 23 m e 77 carros

33) No terreno de dona Ramura haacute galinhas e ovelhas num total de 28 animais e 86 peacutes Quantas satildeo as galinhas e quantos satildeo os coelhos 13 gal e 15 ov

34) Num estacionamento haacute carros e motos num total de 51 veiacuteculos e 172 rodas Quantos veiacuteculos

de cada tipo haacute parados no estacionamento 16 motos e 35 carros

35) Num cofre haacute moedas de R$ 500 e de R$ 1000 No total haacute 50 ceacutedulas e R$ 34000 Quantas ceacutedulas de cada tipo haacute no cofre 18 moedas de DEZ e 32 moedas de cinco

36) Um clube promoveu um show de muacutesica popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas entre soacutecios e natildeo soacutecios No total o valor arrecadado foi de R$140000 e todas as pessoas pagaram ingresso Sabendo-se que o preccedilo do ingresso foi de R$ 1000 e que cada soacutecio pagou metade desse o valor o nuacutemero de soacutecios presentes ao show eacute Soacutecios = 120 e Natildeo Soacutecios = 80

37) Numa fazenda a quantidade total de galinhas (g) e bois (b) eacute 300 Sabendo que o total de peacutes de galinhas e bois eacute 720 quantos satildeo galinhas e quantos satildeo bois Gal = 240 e bois = 60

38) Um aluno ganha 5 pontos por exerciacutecio que acerta e perde 3 por exerciacutecio que erra Ao fim

de 50 exerciacutecios tinha 130 pontos Quantos exerciacutecios acertou 35 certas e 15 erradas

39) Numa fazenda a quantidade total de galinhas (g) e bois (b) eacute 350 Sabendo que o total de peacutes de galinhas e bois eacute 920 quantos satildeo galinhas e quantos satildeo bois 110 bois 130 gal

40) Pagou-se uma compra no valor de R$ 81000 com notas de R$ 1000 e R$ 5000 num total de 41 notas Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas no pagamento 10 notas de 50 e 31 de dez

41) Em uma companhia aeacuterea a lista de preccedilos eacute a seguinte Primeira Classe R$ 50000 e Classe Turiacutestica R$ 18000 Em um vocirco viajaram 200 pessoas e a companhia faturou R$ 4560000 Quantos

passageiros viajaram de primeira classe E de turiacutestica Primeira Classe 30 e Turiacutestica 170

42) Numa lanchonete 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 570 O preccedilo de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas eacute R$ 930 Quais os preccedilos de cada coxinha e cada copo de refrigerante Resposta Coxinha custa R$ 150 e refrigerante custa R$ 060

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 1) Sendo A = -1 0

2 e B = -2 calcule 2A ndash B

3 1

2) ( U F PA- 85) Se A = 1 1 2 e B -1

2 1 1 0 AB

1 3) ( FATEC- 89) Dadas as matrizes A = 0 -1 e B 0 0 conclui-se que a matriz

0 0 0 1

a) AB eacute nula b) BA eacute natildeo nula c) A2 eacute nula d) B

2 eacute nula e) A + B eacute nula

4) (PUC ndash SP ndash 80) Dadas as matrizes A 3 0 e B 2 1 entatildeo AB - BA =

1 -4 -1 0

5) (UC SALVADOR ndash 92) Se A = 0 1 B ndash3 1 e C 1 0 entatildeo A

2 + B ndash C

1 0 2 1 -1 2

6) (UF PR ndash 82) Dada a equaccedilatildeo matricial x 2 0 1 = 4 8 o valor do

1 3 2 3 y z

produto xyz =

7) (U F R PE- 91) Se A = 0 1 0 entatildeo A3 eacute

0 0 1

0 0 0

8) (U F RS ndash 83) Se A x y B 1 z e AB = Bt entatildeo x+y+z

1 0 0 z

9) (UF RS ndash 82) A inversa da matriz 3 1 eacute 5 2

10) (U F R PE ndash 91) Qual o determinante da matriz 1 3 4

6 2 1

4 8 6 11) (PUC-RS ndash 80) Dadas as matrizes X= 2 2 2 e Y 2 o det da matriz XY eacute

2

2

12) ( U E CE ndash 92) Sejam as matrizes X 4 6 -1 3 e Y 1 2 0 -1 2 1 -1 1

1 6

2 3 o valor do determinante da matriz XY eacute

13) (FGV ndash 81) O determinante de ( At B) sendo A 2 3 e B 1 1 eacute

1 1 2 -2

-3 0 3 4

14) (U E LONDRINA ndash 84) O conjunto verdade da equaccedilatildeo do universo dos reais eacute x 1 -1

-1 0 x = 0

0 1 0

15) ( U F BA ndash 81) 1 x 1 3 0 para todo o x pertencente a 2 13 x = 2 x

1 3 0

16) (U UNIF - RS - 80) O valor do determinante 2 2 2 2

0 1 1 1

0 0 -2 3 0 0 0 -1

RESPOSTAS

1) ndash2 2) 1 3) c 4) ndash1 7 5) ndash3 1 6)120

6 -1 9 1 3 0

5 7) 0 0 0 8) 1 9) 2 -1

0 0 0 -5 3

0 0 0

10) 68 11) 12 12) ndash43 13) 55 14) 1 15) ndash1 7 16) 4

ATIVIDADES COMPLEMENTARES 1) Calcular o valor de cada determinante

3 2 1 4

1 -2 3 -2 Resp -216

4 5 2 3

2 3 4 5

2) (UF PA ndash 84) Dado o sistema 2x ndash y + z = 1 qual eacute o valor de x + y + z Resp ndash2219

x + 2y ndash z = -3

3x + 4y + 2z = -5

3) (U F PE ndash 85) Sabendo que x + y + z = -1 calcule o valor de x + y + z + t Resp 5

y + z + t = 7

x + z + t = 5

x + y + t = 4

4) Calcular a matriz inversa

1 3 4

5 2 3

1 4 2 Resp -843 1043 143

-743 -243 1743

1843 -143 -1343

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM

01 Calcular o cofator de cada elemento da matriz dada ou seja calcular a matriz cofatora

A = 3 -2 1

-4 1 0

-1 2 2

02 Idem idem A = -6 2

7 -5

03 Considerando a matriz A 2 -1 4 calcule o cofator dos elementos da 1ordf coluna

5 3 1

-2 -4 6

4) Determine o cofator do elemento a22 e a21 na matriz 1 2 3

4 5 6

7 8 9

5)Calcular a matriz cofatora e a matriz adjunta sendo dadas as matrizes

a) A 1 0 0 b) 3 -4 2

2 1 0 -2 1 0

1 -3 2 -1 -1 1 GABARITO

1) 2 8 -7 2) -5 -7 3) 22 -10 -13 4) ndash12 e 6

6 7 -4 -2 -6

-1 -4 -5

5) a) cof = 2 -4 -7 adj = 2 0 0

0 2 3 -4 2 0

0 0 1 -7 3 1

b) cof = 1 2 3 adj = 1 2 -2

2 5 7 2 5 -4 -2 -4 -5 3 7 -5

MATRIZ INVERSA - ORDEM 3 01) Calcular a matriz inversa em cada caso

a) 1 2 1

A 2 1 0

0 -1 0

b) OSEC-SP

2 1 -1 B 0 2 1

5 2 -3

c) -2 1 -1

C 3 0 2

5 1 0

d) -1 2 -3

D 2 1 0 4 -2 5

e) 1 1 1 f) 1 0 0 g) 3 1 -1 h) 2 0 0

E 2 3 2 F 1 3 1 G 0 2 1 H 0 3 0 4 7 5 1 2 0 0 0 1 0 0 -5

i) -1 0 1 j) 1 2 3

I 0 1 2 0 1 5 0 -1 -1 3 -2 6 GABARITO

a) 0 frac12 frac12 b) 8 -1 -3 c) ndash211 -111 211

0 0 -1 -5 1 2 1011 511 111 1 -frac12 32 10 -1 -4 311 711 -311

d) -5 4 -3 e) 1 2 -1 f) 1 0 0 g) 13 -16 frac12

10 -7 6 -2 1 0 -frac12 0 frac12 0 frac12 -frac12 8 -6 5 2 -3 1 frac12 1 -32 0 0 1

h) frac12 0 0 i) -1 1 1 j) 1637 -1837 737 0 13 0 0 -1 -2 1537 -337 -5 37

0 0 -15 0 1 1 -337 837 137

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ndash Calcular os determinantes das matrizes

1) 6 4 0 1 b) 1 3 1 4 c) 1 2 3 5

2 3 4 0 1 5 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 4 2 3 4 1 0 1 3 2 1 3 3

d) 2 1 3 1 e) 1 1 1 1 f) 4 -2 3 1 4 3 1 4 1 -1 1 -1 -1 3 0 2

-1 5 -2 1 -1 -1 1 -1 0 2 1 5

1 3 -2 -1 1 -1 -1 1 -3 1 -2 3

g) 1 3 5 7 h) 9 3 5 -1

-1 -3 -5 -7 4 -4 7 9

2 4 6 8 -2 8 -3 6

3 1 -2 -5 1 2 3 7

i) GV Seja a a raiz da equaccedilatildeo entatildeo o valor de a

2 eacute x 0 0 0

1 x 1 2 2 0 x 3 = 16

0 0 0 2 RESPOSTAS a) 4 b) 0 c) 11 d) -180 e) ndash8 f) 4 g) 0 h) 1155 i) 4

Calcular a matriz adjunta

a) 1 2 3 b) 2 1 0 c) 2 3 1 d) -2 0 3 3 2 1 -3 1 4 1 2 3 -1 -2 5

5 1 1 1 6 5 3 1 2 4 1 3

RESPOSTAS

a) 1 1 -4 b) -19 -5 4 c) 1 -5 7 d) -11 3 6 2 -14 8 19 10 -8 7 1 -5 23 -18 7

-7 9 -4 -19 -11 5 -5 7 1 7 -2 4

1- Escreva explicitamente cada uma das seguintes matrizes

a) A= (aij) 3x2 onde aij = i-j

b) B= (bij)2x3 onde bij = ij

c) C= (cij)1x3 onde cij = 3i ndash 2j

d) D= (dij)2x1 onde dij = ij

e) E= (eij)3x4 onde eij= (-1)i j

f) F= (fij)3x3 onde fij = mmc (ij)

g) G= (gij)4x4 onde 1 se i = j

0 se i j

h) H = (hij)2x2 onde hij = 0 se i = j

( i ndashj)2 se i j

i) L = (lij)3x2 onde lij =2i+j

se i = j

i j se i j

j) M = (mij)2x3 onde mij =2i+j+1se i j

0 se i = j

2- Achar a transposta das matrizes

A = 2 -1 3 B= 7 8 2 C= -3 -2 0

0 4 5 -3 4 1

0 3 5

3- Determinar o que se pede para que A seja igual a B

a) A 2a+b B -6 b) x 1 -3 4 +1 -3 c) x-y = 1

a-b 2 frac14 2 y e frac14 2 9 2x+y 11

c 5 -9 z -radic -9 -6 - radic

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

40) Pagou-se uma compra no valor de R$ 81000 com notas de R$ 1000 e R$ 5000 num total de 41 notas Quantas notas de cada espeacutecie foram usadas no pagamento 10 notas de 50 e 31 de dez

41) Em uma companhia aeacuterea a lista de preccedilos eacute a seguinte Primeira Classe R$ 50000 e Classe Turiacutestica R$ 18000 Em um vocirco viajaram 200 pessoas e a companhia faturou R$ 4560000 Quantos

passageiros viajaram de primeira classe E de turiacutestica Primeira Classe 30 e Turiacutestica 170

42) Numa lanchonete 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 570 O preccedilo de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas eacute R$ 930 Quais os preccedilos de cada coxinha e cada copo de refrigerante Resposta Coxinha custa R$ 150 e refrigerante custa R$ 060

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 1) Sendo A = -1 0

2 e B = -2 calcule 2A ndash B

3 1

2) ( U F PA- 85) Se A = 1 1 2 e B -1

2 1 1 0 AB

1 3) ( FATEC- 89) Dadas as matrizes A = 0 -1 e B 0 0 conclui-se que a matriz

0 0 0 1

a) AB eacute nula b) BA eacute natildeo nula c) A2 eacute nula d) B

2 eacute nula e) A + B eacute nula

4) (PUC ndash SP ndash 80) Dadas as matrizes A 3 0 e B 2 1 entatildeo AB - BA =

1 -4 -1 0

5) (UC SALVADOR ndash 92) Se A = 0 1 B ndash3 1 e C 1 0 entatildeo A

2 + B ndash C

1 0 2 1 -1 2

6) (UF PR ndash 82) Dada a equaccedilatildeo matricial x 2 0 1 = 4 8 o valor do

1 3 2 3 y z

produto xyz =

7) (U F R PE- 91) Se A = 0 1 0 entatildeo A3 eacute

0 0 1

0 0 0

8) (U F RS ndash 83) Se A x y B 1 z e AB = Bt entatildeo x+y+z

1 0 0 z

9) (UF RS ndash 82) A inversa da matriz 3 1 eacute 5 2

10) (U F R PE ndash 91) Qual o determinante da matriz 1 3 4

6 2 1

4 8 6 11) (PUC-RS ndash 80) Dadas as matrizes X= 2 2 2 e Y 2 o det da matriz XY eacute

2

2

12) ( U E CE ndash 92) Sejam as matrizes X 4 6 -1 3 e Y 1 2 0 -1 2 1 -1 1

1 6

2 3 o valor do determinante da matriz XY eacute

13) (FGV ndash 81) O determinante de ( At B) sendo A 2 3 e B 1 1 eacute

1 1 2 -2

-3 0 3 4

14) (U E LONDRINA ndash 84) O conjunto verdade da equaccedilatildeo do universo dos reais eacute x 1 -1

-1 0 x = 0

0 1 0

15) ( U F BA ndash 81) 1 x 1 3 0 para todo o x pertencente a 2 13 x = 2 x

1 3 0

16) (U UNIF - RS - 80) O valor do determinante 2 2 2 2

0 1 1 1

0 0 -2 3 0 0 0 -1

RESPOSTAS

1) ndash2 2) 1 3) c 4) ndash1 7 5) ndash3 1 6)120

6 -1 9 1 3 0

5 7) 0 0 0 8) 1 9) 2 -1

0 0 0 -5 3

0 0 0

10) 68 11) 12 12) ndash43 13) 55 14) 1 15) ndash1 7 16) 4

ATIVIDADES COMPLEMENTARES 1) Calcular o valor de cada determinante

3 2 1 4

1 -2 3 -2 Resp -216

4 5 2 3

2 3 4 5

2) (UF PA ndash 84) Dado o sistema 2x ndash y + z = 1 qual eacute o valor de x + y + z Resp ndash2219

x + 2y ndash z = -3

3x + 4y + 2z = -5

3) (U F PE ndash 85) Sabendo que x + y + z = -1 calcule o valor de x + y + z + t Resp 5

y + z + t = 7

x + z + t = 5

x + y + t = 4

4) Calcular a matriz inversa

1 3 4

5 2 3

1 4 2 Resp -843 1043 143

-743 -243 1743

1843 -143 -1343

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM

01 Calcular o cofator de cada elemento da matriz dada ou seja calcular a matriz cofatora

A = 3 -2 1

-4 1 0

-1 2 2

02 Idem idem A = -6 2

7 -5

03 Considerando a matriz A 2 -1 4 calcule o cofator dos elementos da 1ordf coluna

5 3 1

-2 -4 6

4) Determine o cofator do elemento a22 e a21 na matriz 1 2 3

4 5 6

7 8 9

5)Calcular a matriz cofatora e a matriz adjunta sendo dadas as matrizes

a) A 1 0 0 b) 3 -4 2

2 1 0 -2 1 0

1 -3 2 -1 -1 1 GABARITO

1) 2 8 -7 2) -5 -7 3) 22 -10 -13 4) ndash12 e 6

6 7 -4 -2 -6

-1 -4 -5

5) a) cof = 2 -4 -7 adj = 2 0 0

0 2 3 -4 2 0

0 0 1 -7 3 1

b) cof = 1 2 3 adj = 1 2 -2

2 5 7 2 5 -4 -2 -4 -5 3 7 -5

MATRIZ INVERSA - ORDEM 3 01) Calcular a matriz inversa em cada caso

a) 1 2 1

A 2 1 0

0 -1 0

b) OSEC-SP

2 1 -1 B 0 2 1

5 2 -3

c) -2 1 -1

C 3 0 2

5 1 0

d) -1 2 -3

D 2 1 0 4 -2 5

e) 1 1 1 f) 1 0 0 g) 3 1 -1 h) 2 0 0

E 2 3 2 F 1 3 1 G 0 2 1 H 0 3 0 4 7 5 1 2 0 0 0 1 0 0 -5

i) -1 0 1 j) 1 2 3

I 0 1 2 0 1 5 0 -1 -1 3 -2 6 GABARITO

a) 0 frac12 frac12 b) 8 -1 -3 c) ndash211 -111 211

0 0 -1 -5 1 2 1011 511 111 1 -frac12 32 10 -1 -4 311 711 -311

d) -5 4 -3 e) 1 2 -1 f) 1 0 0 g) 13 -16 frac12

10 -7 6 -2 1 0 -frac12 0 frac12 0 frac12 -frac12 8 -6 5 2 -3 1 frac12 1 -32 0 0 1

h) frac12 0 0 i) -1 1 1 j) 1637 -1837 737 0 13 0 0 -1 -2 1537 -337 -5 37

0 0 -15 0 1 1 -337 837 137

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ndash Calcular os determinantes das matrizes

1) 6 4 0 1 b) 1 3 1 4 c) 1 2 3 5

2 3 4 0 1 5 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 4 2 3 4 1 0 1 3 2 1 3 3

d) 2 1 3 1 e) 1 1 1 1 f) 4 -2 3 1 4 3 1 4 1 -1 1 -1 -1 3 0 2

-1 5 -2 1 -1 -1 1 -1 0 2 1 5

1 3 -2 -1 1 -1 -1 1 -3 1 -2 3

g) 1 3 5 7 h) 9 3 5 -1

-1 -3 -5 -7 4 -4 7 9

2 4 6 8 -2 8 -3 6

3 1 -2 -5 1 2 3 7

i) GV Seja a a raiz da equaccedilatildeo entatildeo o valor de a

2 eacute x 0 0 0

1 x 1 2 2 0 x 3 = 16

0 0 0 2 RESPOSTAS a) 4 b) 0 c) 11 d) -180 e) ndash8 f) 4 g) 0 h) 1155 i) 4

Calcular a matriz adjunta

a) 1 2 3 b) 2 1 0 c) 2 3 1 d) -2 0 3 3 2 1 -3 1 4 1 2 3 -1 -2 5

5 1 1 1 6 5 3 1 2 4 1 3

RESPOSTAS

a) 1 1 -4 b) -19 -5 4 c) 1 -5 7 d) -11 3 6 2 -14 8 19 10 -8 7 1 -5 23 -18 7

-7 9 -4 -19 -11 5 -5 7 1 7 -2 4

1- Escreva explicitamente cada uma das seguintes matrizes

a) A= (aij) 3x2 onde aij = i-j

b) B= (bij)2x3 onde bij = ij

c) C= (cij)1x3 onde cij = 3i ndash 2j

d) D= (dij)2x1 onde dij = ij

e) E= (eij)3x4 onde eij= (-1)i j

f) F= (fij)3x3 onde fij = mmc (ij)

g) G= (gij)4x4 onde 1 se i = j

0 se i j

h) H = (hij)2x2 onde hij = 0 se i = j

( i ndashj)2 se i j

i) L = (lij)3x2 onde lij =2i+j

se i = j

i j se i j

j) M = (mij)2x3 onde mij =2i+j+1se i j

0 se i = j

2- Achar a transposta das matrizes

A = 2 -1 3 B= 7 8 2 C= -3 -2 0

0 4 5 -3 4 1

0 3 5

3- Determinar o que se pede para que A seja igual a B

a) A 2a+b B -6 b) x 1 -3 4 +1 -3 c) x-y = 1

a-b 2 frac14 2 y e frac14 2 9 2x+y 11

c 5 -9 z -radic -9 -6 - radic

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

14) (U E LONDRINA ndash 84) O conjunto verdade da equaccedilatildeo do universo dos reais eacute x 1 -1

-1 0 x = 0

0 1 0

15) ( U F BA ndash 81) 1 x 1 3 0 para todo o x pertencente a 2 13 x = 2 x

1 3 0

16) (U UNIF - RS - 80) O valor do determinante 2 2 2 2

0 1 1 1

0 0 -2 3 0 0 0 -1

RESPOSTAS

1) ndash2 2) 1 3) c 4) ndash1 7 5) ndash3 1 6)120

6 -1 9 1 3 0

5 7) 0 0 0 8) 1 9) 2 -1

0 0 0 -5 3

0 0 0

10) 68 11) 12 12) ndash43 13) 55 14) 1 15) ndash1 7 16) 4

ATIVIDADES COMPLEMENTARES 1) Calcular o valor de cada determinante

3 2 1 4

1 -2 3 -2 Resp -216

4 5 2 3

2 3 4 5

2) (UF PA ndash 84) Dado o sistema 2x ndash y + z = 1 qual eacute o valor de x + y + z Resp ndash2219

x + 2y ndash z = -3

3x + 4y + 2z = -5

3) (U F PE ndash 85) Sabendo que x + y + z = -1 calcule o valor de x + y + z + t Resp 5

y + z + t = 7

x + z + t = 5

x + y + t = 4

4) Calcular a matriz inversa

1 3 4

5 2 3

1 4 2 Resp -843 1043 143

-743 -243 1743

1843 -143 -1343

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM

01 Calcular o cofator de cada elemento da matriz dada ou seja calcular a matriz cofatora

A = 3 -2 1

-4 1 0

-1 2 2

02 Idem idem A = -6 2

7 -5

03 Considerando a matriz A 2 -1 4 calcule o cofator dos elementos da 1ordf coluna

5 3 1

-2 -4 6

4) Determine o cofator do elemento a22 e a21 na matriz 1 2 3

4 5 6

7 8 9

5)Calcular a matriz cofatora e a matriz adjunta sendo dadas as matrizes

a) A 1 0 0 b) 3 -4 2

2 1 0 -2 1 0

1 -3 2 -1 -1 1 GABARITO

1) 2 8 -7 2) -5 -7 3) 22 -10 -13 4) ndash12 e 6

6 7 -4 -2 -6

-1 -4 -5

5) a) cof = 2 -4 -7 adj = 2 0 0

0 2 3 -4 2 0

0 0 1 -7 3 1

b) cof = 1 2 3 adj = 1 2 -2

2 5 7 2 5 -4 -2 -4 -5 3 7 -5

MATRIZ INVERSA - ORDEM 3 01) Calcular a matriz inversa em cada caso

a) 1 2 1

A 2 1 0

0 -1 0

b) OSEC-SP

2 1 -1 B 0 2 1

5 2 -3

c) -2 1 -1

C 3 0 2

5 1 0

d) -1 2 -3

D 2 1 0 4 -2 5

e) 1 1 1 f) 1 0 0 g) 3 1 -1 h) 2 0 0

E 2 3 2 F 1 3 1 G 0 2 1 H 0 3 0 4 7 5 1 2 0 0 0 1 0 0 -5

i) -1 0 1 j) 1 2 3

I 0 1 2 0 1 5 0 -1 -1 3 -2 6 GABARITO

a) 0 frac12 frac12 b) 8 -1 -3 c) ndash211 -111 211

0 0 -1 -5 1 2 1011 511 111 1 -frac12 32 10 -1 -4 311 711 -311

d) -5 4 -3 e) 1 2 -1 f) 1 0 0 g) 13 -16 frac12

10 -7 6 -2 1 0 -frac12 0 frac12 0 frac12 -frac12 8 -6 5 2 -3 1 frac12 1 -32 0 0 1

h) frac12 0 0 i) -1 1 1 j) 1637 -1837 737 0 13 0 0 -1 -2 1537 -337 -5 37

0 0 -15 0 1 1 -337 837 137

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ndash Calcular os determinantes das matrizes

1) 6 4 0 1 b) 1 3 1 4 c) 1 2 3 5

2 3 4 0 1 5 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 4 2 3 4 1 0 1 3 2 1 3 3

d) 2 1 3 1 e) 1 1 1 1 f) 4 -2 3 1 4 3 1 4 1 -1 1 -1 -1 3 0 2

-1 5 -2 1 -1 -1 1 -1 0 2 1 5

1 3 -2 -1 1 -1 -1 1 -3 1 -2 3

g) 1 3 5 7 h) 9 3 5 -1

-1 -3 -5 -7 4 -4 7 9

2 4 6 8 -2 8 -3 6

3 1 -2 -5 1 2 3 7

i) GV Seja a a raiz da equaccedilatildeo entatildeo o valor de a

2 eacute x 0 0 0

1 x 1 2 2 0 x 3 = 16

0 0 0 2 RESPOSTAS a) 4 b) 0 c) 11 d) -180 e) ndash8 f) 4 g) 0 h) 1155 i) 4

Calcular a matriz adjunta

a) 1 2 3 b) 2 1 0 c) 2 3 1 d) -2 0 3 3 2 1 -3 1 4 1 2 3 -1 -2 5

5 1 1 1 6 5 3 1 2 4 1 3

RESPOSTAS

a) 1 1 -4 b) -19 -5 4 c) 1 -5 7 d) -11 3 6 2 -14 8 19 10 -8 7 1 -5 23 -18 7

-7 9 -4 -19 -11 5 -5 7 1 7 -2 4

1- Escreva explicitamente cada uma das seguintes matrizes

a) A= (aij) 3x2 onde aij = i-j

b) B= (bij)2x3 onde bij = ij

c) C= (cij)1x3 onde cij = 3i ndash 2j

d) D= (dij)2x1 onde dij = ij

e) E= (eij)3x4 onde eij= (-1)i j

f) F= (fij)3x3 onde fij = mmc (ij)

g) G= (gij)4x4 onde 1 se i = j

0 se i j

h) H = (hij)2x2 onde hij = 0 se i = j

( i ndashj)2 se i j

i) L = (lij)3x2 onde lij =2i+j

se i = j

i j se i j

j) M = (mij)2x3 onde mij =2i+j+1se i j

0 se i = j

2- Achar a transposta das matrizes

A = 2 -1 3 B= 7 8 2 C= -3 -2 0

0 4 5 -3 4 1

0 3 5

3- Determinar o que se pede para que A seja igual a B

a) A 2a+b B -6 b) x 1 -3 4 +1 -3 c) x-y = 1

a-b 2 frac14 2 y e frac14 2 9 2x+y 11

c 5 -9 z -radic -9 -6 - radic

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

03 Considerando a matriz A 2 -1 4 calcule o cofator dos elementos da 1ordf coluna

5 3 1

-2 -4 6

4) Determine o cofator do elemento a22 e a21 na matriz 1 2 3

4 5 6

7 8 9

5)Calcular a matriz cofatora e a matriz adjunta sendo dadas as matrizes

a) A 1 0 0 b) 3 -4 2

2 1 0 -2 1 0

1 -3 2 -1 -1 1 GABARITO

1) 2 8 -7 2) -5 -7 3) 22 -10 -13 4) ndash12 e 6

6 7 -4 -2 -6

-1 -4 -5

5) a) cof = 2 -4 -7 adj = 2 0 0

0 2 3 -4 2 0

0 0 1 -7 3 1

b) cof = 1 2 3 adj = 1 2 -2

2 5 7 2 5 -4 -2 -4 -5 3 7 -5

MATRIZ INVERSA - ORDEM 3 01) Calcular a matriz inversa em cada caso

a) 1 2 1

A 2 1 0

0 -1 0

b) OSEC-SP

2 1 -1 B 0 2 1

5 2 -3

c) -2 1 -1

C 3 0 2

5 1 0

d) -1 2 -3

D 2 1 0 4 -2 5

e) 1 1 1 f) 1 0 0 g) 3 1 -1 h) 2 0 0

E 2 3 2 F 1 3 1 G 0 2 1 H 0 3 0 4 7 5 1 2 0 0 0 1 0 0 -5

i) -1 0 1 j) 1 2 3

I 0 1 2 0 1 5 0 -1 -1 3 -2 6 GABARITO

a) 0 frac12 frac12 b) 8 -1 -3 c) ndash211 -111 211

0 0 -1 -5 1 2 1011 511 111 1 -frac12 32 10 -1 -4 311 711 -311

d) -5 4 -3 e) 1 2 -1 f) 1 0 0 g) 13 -16 frac12

10 -7 6 -2 1 0 -frac12 0 frac12 0 frac12 -frac12 8 -6 5 2 -3 1 frac12 1 -32 0 0 1

h) frac12 0 0 i) -1 1 1 j) 1637 -1837 737 0 13 0 0 -1 -2 1537 -337 -5 37

0 0 -15 0 1 1 -337 837 137

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ndash Calcular os determinantes das matrizes

1) 6 4 0 1 b) 1 3 1 4 c) 1 2 3 5

2 3 4 0 1 5 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 4 2 3 4 1 0 1 3 2 1 3 3

d) 2 1 3 1 e) 1 1 1 1 f) 4 -2 3 1 4 3 1 4 1 -1 1 -1 -1 3 0 2

-1 5 -2 1 -1 -1 1 -1 0 2 1 5

1 3 -2 -1 1 -1 -1 1 -3 1 -2 3

g) 1 3 5 7 h) 9 3 5 -1

-1 -3 -5 -7 4 -4 7 9

2 4 6 8 -2 8 -3 6

3 1 -2 -5 1 2 3 7

i) GV Seja a a raiz da equaccedilatildeo entatildeo o valor de a

2 eacute x 0 0 0

1 x 1 2 2 0 x 3 = 16

0 0 0 2 RESPOSTAS a) 4 b) 0 c) 11 d) -180 e) ndash8 f) 4 g) 0 h) 1155 i) 4

Calcular a matriz adjunta

a) 1 2 3 b) 2 1 0 c) 2 3 1 d) -2 0 3 3 2 1 -3 1 4 1 2 3 -1 -2 5

5 1 1 1 6 5 3 1 2 4 1 3

RESPOSTAS

a) 1 1 -4 b) -19 -5 4 c) 1 -5 7 d) -11 3 6 2 -14 8 19 10 -8 7 1 -5 23 -18 7

-7 9 -4 -19 -11 5 -5 7 1 7 -2 4

1- Escreva explicitamente cada uma das seguintes matrizes

a) A= (aij) 3x2 onde aij = i-j

b) B= (bij)2x3 onde bij = ij

c) C= (cij)1x3 onde cij = 3i ndash 2j

d) D= (dij)2x1 onde dij = ij

e) E= (eij)3x4 onde eij= (-1)i j

f) F= (fij)3x3 onde fij = mmc (ij)

g) G= (gij)4x4 onde 1 se i = j

0 se i j

h) H = (hij)2x2 onde hij = 0 se i = j

( i ndashj)2 se i j

i) L = (lij)3x2 onde lij =2i+j

se i = j

i j se i j

j) M = (mij)2x3 onde mij =2i+j+1se i j

0 se i = j

2- Achar a transposta das matrizes

A = 2 -1 3 B= 7 8 2 C= -3 -2 0

0 4 5 -3 4 1

0 3 5

3- Determinar o que se pede para que A seja igual a B

a) A 2a+b B -6 b) x 1 -3 4 +1 -3 c) x-y = 1

a-b 2 frac14 2 y e frac14 2 9 2x+y 11

c 5 -9 z -radic -9 -6 - radic

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

h) frac12 0 0 i) -1 1 1 j) 1637 -1837 737 0 13 0 0 -1 -2 1537 -337 -5 37

0 0 -15 0 1 1 -337 837 137

ATIVIDADES COMPLEMENTARES ndash Calcular os determinantes das matrizes

1) 6 4 0 1 b) 1 3 1 4 c) 1 2 3 5

2 3 4 0 1 5 1 2 0 0 1 0

0 0 3 2 1 2 1 -1 3 2 1 2 4 2 3 4 1 0 1 3 2 1 3 3

d) 2 1 3 1 e) 1 1 1 1 f) 4 -2 3 1 4 3 1 4 1 -1 1 -1 -1 3 0 2

-1 5 -2 1 -1 -1 1 -1 0 2 1 5

1 3 -2 -1 1 -1 -1 1 -3 1 -2 3

g) 1 3 5 7 h) 9 3 5 -1

-1 -3 -5 -7 4 -4 7 9

2 4 6 8 -2 8 -3 6

3 1 -2 -5 1 2 3 7

i) GV Seja a a raiz da equaccedilatildeo entatildeo o valor de a

2 eacute x 0 0 0

1 x 1 2 2 0 x 3 = 16

0 0 0 2 RESPOSTAS a) 4 b) 0 c) 11 d) -180 e) ndash8 f) 4 g) 0 h) 1155 i) 4

Calcular a matriz adjunta

a) 1 2 3 b) 2 1 0 c) 2 3 1 d) -2 0 3 3 2 1 -3 1 4 1 2 3 -1 -2 5

5 1 1 1 6 5 3 1 2 4 1 3

RESPOSTAS

a) 1 1 -4 b) -19 -5 4 c) 1 -5 7 d) -11 3 6 2 -14 8 19 10 -8 7 1 -5 23 -18 7

-7 9 -4 -19 -11 5 -5 7 1 7 -2 4

1- Escreva explicitamente cada uma das seguintes matrizes

a) A= (aij) 3x2 onde aij = i-j

b) B= (bij)2x3 onde bij = ij

c) C= (cij)1x3 onde cij = 3i ndash 2j

d) D= (dij)2x1 onde dij = ij

e) E= (eij)3x4 onde eij= (-1)i j

f) F= (fij)3x3 onde fij = mmc (ij)

g) G= (gij)4x4 onde 1 se i = j

0 se i j

h) H = (hij)2x2 onde hij = 0 se i = j

( i ndashj)2 se i j

i) L = (lij)3x2 onde lij =2i+j

se i = j

i j se i j

j) M = (mij)2x3 onde mij =2i+j+1se i j

0 se i = j

2- Achar a transposta das matrizes

A = 2 -1 3 B= 7 8 2 C= -3 -2 0

0 4 5 -3 4 1

0 3 5

3- Determinar o que se pede para que A seja igual a B

a) A 2a+b B -6 b) x 1 -3 4 +1 -3 c) x-y = 1

a-b 2 frac14 2 y e frac14 2 9 2x+y 11

c 5 -9 z -radic -9 -6 - radic

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

d) x+2 3 = 7 3 e) x-2y = -3 f) 2x+y 1

5 y-2 5 2y+3 x+y 3 x-y = -1

z 2

4- Sejam as matrizes

A= 2 1 -5 B 25 -1 0 C -1 5 D= 0 2 E= 2 1

0 2 3 13 -1 -3 2 frac12 15 3 -1 0

4 6

Efetuar a) A + B b) A + C c) A + E d) C + D

5- Sendo A= 2 7 -1 B -1 2 0 C 3 4 2 Determinar

1 9 3 3 4 0 3 -4 0

8 1 2 -4 -8 6 5 9 3

a) 2A - (B + C) b) 2 (A ndash 3B + 3C) c) 5A ndash 3 (B ndash C) d) 2A ndash 12B + 23C

6- Calcular x e y sendo que 2A ndash 3B = Ct A x y B y x C 6 -8

2 -1 4 -2 1 4

7- Calcular x e y para que seja A ndash3C = - Bt Dados

A = 2x 5y B ndash2 5 C y -x

1 4 -3 -1 2 1

8- 2A + Bt = -C sendo A x y B 3y -1 C -3 -2

-2 1 -x 2 5 -4

9- A ndash 2C = Bt sendo A x 1 2 C y x-3 0 B 1 5

3 -1 4 -1 2 4 0 -5

2 -4

10- Dados A 2 3 B 0 0 C 1 2 calcular 3A ndash C +12B

0 -1 0 1 0 -1

EXERCIacuteCIOS

01- Calcular se existir o produto

a) 5 -3 3 b) 1 3 5 2 c) 3 5 1 6 d) 3 0 -3 2

-1 4 -2 0 -1 2 -2 1 2

3 4 0 1

e) 5 2 2 -1 f) 1 0 0 2 2 1

-1 4 0 3 1 1 0 1 2 2

0 1 1 2 1 2

02- Dados A 3 2 e B 0 1 calcular AB e BA mostrando que AB BA

5 1 3 0

03) Sendo A

2 3 B 3 -1 C 1 Calcular se existir

0 1 2 0 4

a) AB b) AC c) BC

04- Determinar se existir a inversa da matriz

a) A 2 4 b) B 3 4 c) C 1 0

1 5 1 0 3 0

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

05- Se for possiacutevel efetue

a) A B = 3 2 3 3 6 b) M 1 N 0 4 2 M N =

1 0 5 4 7 3

-1 2 1

c) P 3 7 2 E= 1 1 1 06- Se A= 1 -1 1 e B= 1 2 3 a) A B

4 0 0 6 4 5 P E = -3 2 -1 2 4 6 b) B A

1 5 6 0 3 2 -2 1 0 1 2 3

07- Seja A 1 2 3 B ndash2 0 1 C ndash1 e D 2 -1 encontre a)AC b)CD c)DA d)BD

2 1 -1 3 0 1 2

4

08- Dadas as matrizes M 2 1 N 1 -2 L 1 0 2 calcular

1 3 5 0 3 -1 6

a) M N b) N L c) N N d) Lt M

09- Seja A 1 3 e B 2 4 calcular a)(A+B)(A-B) b)A2ndashB

2 c)A

2ndashAB+BAndashB

2

5 7 6 8

10- Determine x e y em cada caso

a) 2x 3 4 = 6 b) 2 1 x 4 = 7 7 c) 2 x -1 5 17

y+1 1 2 0 1 3 3 y 11 1 4 6 1 3 = 40

y 1 y 2 10

11- Se existir determine a inversa

a) A 3 -5 b) B 1 2 c) M ( mij) 2x2 onde mij = 2 se i =j

2 5 2 4 0 se i j EXERCIacuteCIOS

01- Calcular os determinantes

a) 3 2 b) 3 -2 c) 5 7 d) 1 2 e) -3 2 f) 6 10 g) -5 -4

5 7 3 -4 0 -2 2 4 -3 2 4 8 -1 3

h) 1+ radic 2 i) x 1+x j) 3 -2 l) 7 -3 m) -5 -2 n) 6 -4

-1 1- radic y y+1 -2 4 2 5 3 -1 2 3

o) 1+ radic -1 p) radic + radic -1 q) a+1 b+1 r) a+1 Ka

2 1- 5 1 radic - radic a b b-1 Kb

s) 12 -22 t) a a+b u) 2 2 3 v) 2

frac12 3 x) 53 9

1 04 a-b a 6 5 8 frac12

4 03 05

z) frac12 7 w) 2 -1 y) 58 26 k) 23 45

frac12 4 -2 2 46 45 35 87

02- Calcular os determinantes

a) [ 25 ]= b) [ 2 ] c) [-47] d) ndash1 5 0 e) ndash4 -1 -3 f) ndash1 -3 4

-1 5 1 4 2 4 5 8 1

-1 6 2 4 1 6 4 1 -5

g) 4 3 -1 h) 1 1 1 i) 4 -2 3 j) 5 -2 3 k) 2 -1 3 l) 0 2 5

0 2 3 4 3 -1 5 1 0 1 6 8 -2 3 2 -1 1 3

-5 7 2 16 9 1 4 3 7 2 7 9 0 2 5 3 4 1

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

m) 0 -1 6 n) 1 1 -1 o) 7 -4 3 p) 2 5 1 q) 2 2 0

5 3 7 -1 -1 -1 1 -1 0 4 3 0 1 1 1

2 4 2 1 -1 0 5 -4 1 2 1 6 4 3 0

03- Calcular o nuacutemero real 2 a ndash b + 3c sendo

a = 1 2 b= 0 4 c= 1 4

1 3 1 -11 -1 -4

04- Idem idem se a = -1 5 b= 3 -1 c= -1 -2 entatildeo 2a - 3b + c=

4 -16 0 -2 3 -4

05- Calcular o que se pede

a) 1 2 3 b) 1 125 9 c) x 2 = x 0

x -1 5 =0 -12 0 K =10 2 4 1 x

23 -12 0 -2 25 -1

06- Resolver a ) x + 3 2 = 0 b) x x+2 =0 c) x x =0 d) 1 x 3

x ndash 1 5 5 7 5 x 1 0 4 = 0

0 -2 2

e) ndash2 3 1 f) x 1 3 g) x -1 4 h) x 1 2

-3 1 1 = -1 1 2 0 = 0 2 0 1 = 7 0 x -1 = 4

0 x 1 1 1 -3 3 2 2 4 1 1

i) 1 x -1 j) Encontre x 0 x b k) 1 x 0 x -x

0 2 -1 = 1 0 a 1 =0 x -1 2 = 10 x-3

1 3 x 1 a 1 5 0 1

l) x x x

x x 4 = 0

x 4 4

07-Calcular em cada caso o determinante da matriz inversa

a) ndash2 0 b) frac12 1

3 -1 13 13

08- Dadas as matrizes A 0 1 e B 1 -1 calcular a) det Andash1

b) det Bndash1

c)det (A-1

B-1

)

1 1 0 1

09- Sendo A 3 2 e B 1 4 calcular a) det A b) det B c) a matriz A+B d) det A+B

1 3 7 2 e) a matriz AB f) det AB g) a matriz At

h) det At i) matriz A

-1 j) matriz B

-1 l) det A

-1 m) det B

-1

10- Calcule a) 3 1 3 5 b) 4 -2 1 4 c) 3 4 5 1

5 5 1 0

1

d) 1 -1 1 7 -1 3 e) 2 1 1 -2 0 f) 1 4 0 1

3 0 0 0 0 -1 4 5 -3 0 -1 -1 2

4 2 1 1 0 1 3 5 0 1

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

11- Sendo A 2 3 B 3 -1 C 1 calcular a) A B b) A C c) BC

0 1 2 0 4

12- Calcular se existir a inversa das matrizes

a) A 3 -2 b) B 3 1 c) C 1 3 d) D 2 4 e)E 3 1

-1 1 2 -1 0 2 1 5 5 2

GABARITO 1 a 10 (Escreva explicitamente as matrizes)

1) a) 0 -1 B 1 2 3 C 1 -1 -3 D 1 E -1 -2 -3 -4 F 1 2 3

1 0 2 4 6 2 1 2 3 4 2 2 6

2 1 -1 -2 -3 -4 3 6 3

G 1 0 0 0 H 0 1 L 4 2 M 0 5 6

0 1 0 0 1 0 2 16 6 0 8

0 0 1 0 3 6

0 0 0 1

2) At 2 0 B

t 7 -3 0 C

t -3 3) a) c = 5 b) x = 4 c) x = 4

-1 4 8 4 3 -2 a = - 43 y = 9 y = 3

3 5 2 1 5 0 b = -103 z = -6

d) x = 5 e) x = 1 f) x = 0 4) a) 125 0 -5 b) impossiacutevel d) -1 7

y = -5 y = 2 y = 1 13 1 0 c) impossiacutevel 115 72

z = 2

5) a) 2 8 -4 b) 14 2 13 2 5 2 c) 22 41 1

-4 18 6 2 -15 2 3 2 5 21 15

15 1 -5 35 2 52 2 -7 2 67 56 1

d) 132 473 -23 6) x = -3 7) x = 1 8) x = 0 9) x = 72 10) 5 7

52 403 6 y = -4 y = 0 y = 1 y = 54 0 ndash32

643 12 3

GABARITO (Exerciacutecios 1 a 10)

1) a) 21 b) 17 c) Э AB d) 0 -9 6 e) 10 1 f) 2 2 1

-11 0 -6 4 -2 13 3 4 3

0 -3 2 3 3 4

2) AB 6 3 BA 5 1 3) a) 12 -2 b) 14 c) ndash1

3 5 9 6 2 0 4 2

4) A-1

56 -23 B-1

0 1 C-1

= Э (natildeo existe)

-16 13 frac14 -34

5)a) 14 38 b) 0 4 2 c) 45 37 42 6)AB= 0 0 0 BA ndash11 6 -1

-2 16 0 12 6 4 4 4 0 0 0 -22 12 -2

0 4 2 31 39 38 0 0 0 -11 6 -1

7) AC=Э CD -2 1 DA 0 3 7 BD ( Э prod)

4 -2

8 -4

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

8) MN 7 -4 NL ndash5 2 -10 NN -9 -2 LtM 5 10

16 -2 5 0 10 5 -10 -1 -3

10 20

9) (A + B) (A ndash B)= -10 -10 b) A2 ndash B2 = -12 -16 c) -10 -10

-26 -26 -20 -24 -26 -26

10) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 11) A-1

15 15 B-1

Э M-1

frac12 0

y = -32 y = -1 y = 1 -225 325 0 frac12

GABARITO Calcule os determinantes ndash 1 a 12

1)

a) 11 b) -6 c)ndash10 d) 0 e) 0 f) 8 g) ndash19 h) 0 i) x ndash y j) 8 l) 41 k) 148525 l) 41 m) 11

n) 26 o) -2 p) 2 q) b-a r) Ka + Kb ou K( a+b) s) 88 t) bsup2 u) ndashradic v) - 2radic x) -115 w)

y)100360 ou 518 z) -32

2) a) 25 b) 2 c) ndash47 d) 1 e) ndash12 f) ndash154 g) ndash123 h) ndash20 i) 131 j) ndash39 k) 0 l) ndash15 m)

80 n) ndash4 o) 0 p) ndash86 q) 2

3) 6 4) 20 5) a) 679 b) K= -52 ou ndash 6526 c) 2

6) a) -173 b) 5 c) 05 d) 1 e) 8 f) 0 g) 5 h) -1 e 8 i) -4 j= x= ab k) -11 l) S= 04

7) frac12 b) ndash6 8) a) ndash1 b) 1 c) ndash1 9)a) 7 b) ndash26 c) 4 6 d) ndash28 e) 17 16

8 5 22 10

f) ndash182 g) 3 1 h) 7 i) 37 -27 j) ndash113 213 l) 17 m) ndash126

2 3 -17 37 726 -126

10) a) 3 9 15 b) Э produto c) 8 d) 8 -1 5 e) 6 1 -3 f) 9

5 15 25 21 -3 9 -3

29 -4 11 13

11)a) 12 -2 b) 14 c) ndash1 12) a) 1 2 b) 15 15 c) 1 -32 d) 56 -23

2 0 4 2 1 3 25 -35 0 frac12 -16 13

E-1

2 -1

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DA AacuteLGEBRA LINEAR

1) Antocircnio pesa 80quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exerciacutecios Apoacutes consultar a

Tabela 1 ele monta um programa de exerciacutecios conforme a tabela 2 A tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1)

De acordo com as informaccedilotildees acima e por meio de notaccedilatildeo matricial calcule quantas calorias ele iraacute

queimar em cada dia se seguir o programa

2) Naturalmente temos a necessidade de efetuar certas operaccedilotildees com matrizes Por exemplo

consideremos as tabelas que descrevem a produccedilatildeo de gratildeos de determinadas regiotildees em dois anos

consecutivos

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 3000 200 400 600

Regiatildeo B 700 350 700 100

Regiatildeo C 1000 100 500 800

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 5000 50 200 0

Regiatildeo B 2000 100 300 300

Regiatildeo C 2000 100 600 600

Se quisermos montar uma tabela com a produccedilatildeo por produto e por regiatildeo nos dois anos em conjunto

teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

Resposta

Produccedilatildeo de gratildeos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

Soja Feijatildeo Arroz Milho

Regiatildeo A 8000 250 600 600

Regiatildeo B 2700 450 1000 400

Regiatildeo C 3000 200 1100 1400

Agora existe uma possibilidade da produccedilatildeo do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano

em funccedilatildeo das condiccedilotildees climaacuteticas e financeiras Assim a estimativa para o proacuteximo ano seraacute

3

3) Para a fabricaccedilatildeo de caminhotildees uma induacutestria montadora precisa de eixos e rodas para os seus trecircs

modelos de caminhotildees com a seguinte especificaccedilatildeo

Tabela 1

Tabela2

Compomentesmodelo A B C

Modelomeses Janeiro Fevereiro

Eixos 2 3 4

A 30 20

Rodas 4 6 8

B 25 18

C 20 15

Na tabela 2 temos a produccedilatildeo necessaacuteria da faacutebrica para os dois primeiros meses do ano Nestas

condiccedilotildees quantos eixos e quantas rodas satildeo necessaacuterios em cada um dos meses para que a montadora

atinja a produccedilatildeo planejada Dispor primeiramente os dados na forma matricial

A B

Para obter o nuacutemero de eixos e rodas necessaacuterios em cada um dos meses conforme descrito e solicitado

basta multiplicar as matrizes Resposta satildeo necessaacuterios 215 eixos e 430 rodas para janeiro como tambeacutem

154 eixos e 308 rodas para fevereiro

Jan Fev

Eixos 215 154

Rodas 430 308

4) Suponha que estamos precisando comprar feijatildeo arroz accediluacutecar e cafeacute Vamos pesquisar os menores

preccedilos nos supermercados Baratatildeo Bom Demais e Pague Pouco anotando os preccedilos numa tabela

Feijatildeo (Kg) Arroz (Kg) Accedilucar (Kg) Cafeacute (Kg)

Baratatildeo 198 220 255 430

Bom Demais 210 238 215 395

Pague Pouco 180 240 230 415

Escreva no espaccedilo ao lado as informaccedilotildees da tabela em forma de matriz

5) Uma induacutestria de roupa possui faacutebricas que produzem calccedilas e camisas A matriz abaixo representa

respectivamente as faacutebricas A B e C e as produccedilotildees de calccedilas e camisas nessa ordem citada num

determinado dia de trabalho Observe a matriz e responda ao que se pede

220 290

210 240

180 340

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

a) Quantas calccedilas foram produzidas pela faacutebrica B nesse dia Como se representa matematicamente

(matricialmente) este fato Resp 210 calccedilas A21=210

b) Quantas camisas foram produzidas pela faacutebrica C nesse dia Como se representa

matematicamente (matricialmente) este fato Resp 340 camisas A32=340

c) Qual a produccedilatildeo total de camisas da induacutestria neste dia Resp 870 camisas

6) Fernando eacute um aluno que pesa 73 Kg Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exerciacutecios Apoacutes consultar a tabela 1 ele montou o programa de exerciacutecios da tabela 2 Quantas calorias ele vai queimar por dia

se seguir esse programa

Peso Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 349 764 356 492 Figura 1 Tabela de calorias queimadas por hora

Suponhamos um acompanhamento desse aluno atraveacutes de um programa de exerciacutecios ao longo da

semana Veja a tabela 2 onde aparecem as horas por dia para cada atividade do aluno Fernando

Dia da semana Caminhar a 3Kmh

Correr a 9 Kmh Andar de bicicleta 9Kmh

Jogar futebol

2ordf feira 1 0 1 0

3ordf feira 0 0 0 2

4ordf feira 04 05 0 0

5ordf feira 0 0 05 2

6ordf feira 04 05 0 0 Figura 2 Tabela de horas por dia para cada atividade

Monte em forma de matriz a matriz relativa agraves horas por dia que Fernando vai fazer em cada atividade durante a semana

Agora monte na forma de matriz a matriz relativa as calorias queimadas por hora para cada atividade

Calcule agora o nuacutemero de calorias queimadas por Fernando em cada dia para as atividades realizadas utilizando matrizes

A X =

7) Antocircnio Bernardo e Claudio saiacuteram para tomar chopp de bar em bar tanto no saacutebado quanto no domingo As

matrizes a seguir resumem quantos chopprsquos cada um consumiu e como a despesa foi dividida

S=

e D=

S refere-se as despesas de saacutebado e D as de domingo

Cada elemento aij nos daacute o nuacutemero de choppacutes que i pagou para j sendo Antocircnio o nuacutemero 1 Bernardo o nuacutemero 2

e Claacuteudio o nuacutemero 3 (aij representa o nuacutemero da linha i coluna j de cada matriz) Assim no saacutebado Antocircnio pagou

4 choppacutes que ele proacuteprio bebeu um chopp de Bernardo e 4 de Claacuteudio (Primeira linha da matriz S)

a) Quem bebeu mais choppacutes no fim de semana Resp Claacuteudio

b) Quantos choppacutes Claacuteudio ficou devendo para Antocircnio Resp 2

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

8) Uma rede eacute composta por 5 lojas numeradas de 1 a 5 A tabela a seguir representa o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro Na tabela abaixo fica subentendido que os nuacutemeros das lojas estatildeo

nas linhas e os dias nas colunas

195000

203000

180000

195000

150000

182000

174000

168000

301000

280000

270000

305000

250000

242000

230000

268000

180000

202000

204000

195000

Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2 Resp A32=280000

Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3 Resp 1058000

Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias Resp 773000

Escrever as matrizes 1)

a) A(aij) 2x3 onde aij=2i + 3j b) B(bij) 3x3 onde bij=ij c) C(cij) x1 onde bij=i2 +j

D) D(dij) 4x3 onde dij=

e) E(eij) 2x3 onde eij=

Respostas a)

b)

frasl

frasl

frasl

frasl

c)

17

10

5

2

e)

d)

2) Determinar os valores de a e b tais que

=

Resp a=1 e b=1

3) Dada a matriz A [

] determinar a) At

b) A-1

4) Sendo A=

e B

calcule a) A+B b)A-B c) B-A

Resp a)

b)

c)

5) Calcule X Y e Z tais que [

] - [

] = [

] Resp x=2 y = -9 e z= -7

6) Sendo A(aij) 3x2 onde aij=2i-j e B(bij)3x2 com bij=isup2+j calcule a) A-B b) B-A c) (A+B)t

Resp a)

b)

c)

2

-1

-1

2 2 -1

2 2 2

2 2 2

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

7) Considere as seguintes matrizes A= [

] B= [

] C=

D=

E=

Se possiacutevel calcule a) AB ndash BA b) 2C ndash D c) (2Dt ndash 3Et)t d) Dsup2 - DE

Resp a) [

] b) Natildeo eacute possiacutevel c)

d)

Encontre um valor para x tal que ABt=0 onde A e B Resp x=11

APLICACcedilOtildeES PRAacuteTICAS DO ESTUDO DE SISTEMAS LINEARES

1) Um fabricante de fertilizantes produz trecircs misturas comerciais O percentual de nitrogecircnio (N) foacutesforo(P) e potaacutessio (K) em cada mistura eacute dado na tabela abaixo

Mistura Percentual

N P K

A 10 10 10

B 10 20 16

C 5 25 15

Para preparar sua horta um agricultor precisa de 9 kg de N 20 Kg de P e 15 kg de K Resolvendo um sistema linear determine quantos quilogramas ele deve comprar de cada mistura Resposta Ele deve comprar 25 kg da mistura A 50 kg da mistura B e 30 kg da mistura C

2) Uma doceira vende dois tipos de bombons o normal e o trufado Cada bombom normal custa 2 reais enquanto o trufado sai por 3 reais a unidade Ontem a doceira vendeu 200 bombons e obteve 460 reais Quantos bombons de cada tipo foram vendidos Resp 140 bombons normais e 60 trufados

3) Um grupo teatral esteve em Mercedes para duas apresentaccedilotildees Na primeira foi cobrado R$ 500 para professores R$ 300 para estudantes universitaacuterios e R$ 200 para crianccedilas Na segunda foi cobrado R$ 600 para professores e estudantes universitaacuterios e R$ 400 para crianccedilas Em cada apresentaccedilatildeo foram vendidos x ingressos para professores y ingressos para estudantes universitaacuterios e z ingressos para crianccedilas Quantas pessoas de cada grupo (professores estudantes universitaacuterios e crianccedilas) assistiram agrave peccedila considerando que foram vendidos 200 ingressos em cada apresentaccedilatildeo sendo que a renda da primeira apresentaccedilatildeo foi de R$ 60000 e da segunda de R$ 100000 S= (50 50 100)

4) Joatildeozinho ao abrir o cofre em que guardava moedas constatou que havia nele 82 moedas sendo de R$ 010 R$ 025 e R$ 050 que totalizaram R$ 2000 O menino observou que a quantidade de moedas de R$ 010 era o dobro das de R$ 025 O nuacutemero de moedas de R$ 010 no cofre era R$ 010= 40 moedas R$ 025= 20 e R$ 050= 22 moedas

5) Sabe-se que na compra de uma caixa de lenccedilos dois boneacutes e trecircs camisetas gasta-se um total de R$

12700 Se trecircs caixas de lenccedilos quatro boneacutes e cinco camisetas dos mesmos tipos que os primeiros

custam juntos R$ 24100 a quantia a ser desembolsada na compra de apenas trecircs unidades desses artigos

sendo um de cada tipo seraacute a) R$ 7200 b) R$ 6500 c) R$ 6000 d) R$ 5700 e) R$ 4900

6) Um comerciante varejista comprou 80 calccedilas de dois tamanhos diferentes pequeno e meacutedio gastando

R$ 430000 Cada calccedila de tamanho pequeno custou R$ 5000 e cada calccedila de tamanho meacutedio custou R$

6000 Quantas calccedilas de tamanho pequeno e meacutedio respectivamente ele comprou 50 e 30

7) Uma vendedora de loja de roupas masculinas atendeu no mesmo dia 3 clientes e efetuou as seguintes vendas Cliente 1 1 calccedila 2 camisas e 3 gravatas valor R$ 15600 Cliente 2 2

calccedilas 5 camisas e 6 gravatas valor R$ 34700 Cliente 3 2 calccedilas 3 camisas e 4 gravatas

valor R$ 25300 Quanto custou cada gravata R$ 1200

8) Em uma lanchonete 2 sanduiacuteches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 1000 e 1 sanduiacuteche natural mais 2 copos de suco custam R$ 920 O preccedilo de um sanduiacuteche natural mais um copo de suco eacute (a) R$ 640 (b) R$ 690 (c) R$ 720 (d) R$ 880 (e) R$ 960

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

9)Resolva

S=(5-12)

S=(1110-2-4)c)

Calculexyzt S=30

10) Numa loja podem ser comprados uma faca duas colheres e trecircs garfos por R$ 2350 duas facas cinco colheres e seis garfos por R$ 5000 duas facas trecircs colheres e quatro garfos por R$

3600 Qual seria o valor pago por meia duacutezia de cada R$ 7500

11) Ao comparar os salaacuterios trecircs amigos perceberam que O dobro do salaacuterio do primeiro mais o salaacuterio do segundo mais o triplo do salaacuterio do terceiro daria para comprar um carro de R$ 700000 O salaacuterio do primeiro mais duas vezes o salaacuterio do terceiro eacute igual ao salaacuterio do segundo Metade do salaacuterio do primeiro mais metade do salaacuterio do terceiro eacute o valor de uma TV de R$ 100000 Qual eacute o salaacuterio de cada um deles A= R$ 150000 B=R$ 250000 e C= R$ 50000

12) Em um restaurante satildeo servidos trecircs tipos de saladas A B e C Num dia de movimento observaram-se os clientes X Y e Z O cliente X serviu-se de 200g de salada A 300g da B e 100g da C e pagou R$ 550 pelo prato O cliente Y serviu-se de 150g de salada A 250g da B e 200g da C e pagou R$ 585 Jaacute o cliente Z serviu-se de 120g de salada A 200g da B e 250g da C e pagou R$ 576 Calcule o preccedilo do quilo de cada salada A= R$ 800 B=R$ 900 e C= R$ 1200

13) Dois casais foram a um barzinho O primeiro pagou R$ 540 por 2 latas de refrigerante e uma porccedilatildeo de batatas fritas O segundo pagou R$ 960 por 3 latas de refrigerante e 2 porccedilotildees de batatas fritas Nesse local e nesse dia a diferenccedila entre o preccedilo de uma porccedilatildeo de batas fritas e o preccedilo de uma lata de refrigerante era de a) R$ 200 b) R$ 180 c) R$ 175 d) R$ 150 e) R$ 120

14) Numa loja os artigos A e B juntos custam R$7000 Dois artigos A mais um C custam R$10500 e a diferenccedila de preccedilos entre os artigos B e C nessa ordem eacute R$ 500 Qual o preccedilo do artigo C A resposta eacute R$2500 ( Demais B=R$ 3000 e A=R$ 4000)

15) Joatildeo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambuacutergueres 1 suco de laranja e 2 cocadas gastando R$ 2150 Na mesa ao lado algumas pessoas pediram 8 hambuacutergueres 3 sucos de laranja e 5 cocadas gastando R$ 5700 Sabendo-se que o preccedilo de um hambuacuterguer mais o de um suco de laranja mais o de uma cocada totaliza R$ 1000 calcule o preccedilo de cada um desses itens H= R$ 400

S= R$ 250 e C= R$ 350

16) Uma pessoa vendeu trecircs tipos de doces num total de 80 e arrecadou R$ 115 00 Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1 00 um bombom R$ 200 e um olho-de-sogra R$ 150 e que a quantidade de brigadeiros vendidos eacute igual agrave soma doutros dois doces vendidos O nuacutemero de bombons que a pessoa vendeu eacute igual a a) 10 c) 20 e) 40 b) 15 d) 30 Brig= R$ 4000 e Olho de sogra= R$1000

1) Calcule os determinantes

a)

34

21 Resp (-5) b)

41

34 Resp (19) c)

30

13

2

Resp (2)

d)

112

124

132

Resp (-4) e)

321

432

105

Resp (4) f)

142

134

312

Resp (78)

2) Determine o conjunto soluccedilatildeo das seguintes equaccedilotildees

a) 042

x3

b) 38

38

4x2

c) 0

9x

31

Resposta 6V Resposta 1V Resposta 3V

d) 721

31x

e) 0

384

242

1x1

f) 0

212

005

x43

Resposta 4V Resposta 2V Resposta 8V

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

g) 7

213

421

x12

h) 26

413

210

03x2

Resposta 3V Resposta 2V

3) Resolva os sistemas de equaccedilotildees

a)

8y2x

5y3x2 V= 3 2

b)

1yx2

5y2x3 V= 1 1

c)

3z2y3x

0zyx2

1zy2x

V= 421

d)

5z3y3x2

1zyx

0z3y2x3

V= 032

e)

6zy3x

5zyx2

1z3y4x3

V= 211

f)

4z3y2x3

0zyx

2zyx2 V=

3

20

3

2

g)

3z2yx

1zy3x2

3zyx

V= 210

h)

xzy

2z4y3x2

z25yx3

V= 341

SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES COM DUAS VARIAacuteVEIS ndash OUTROS PROBLEMAS

1) Tenho moedas de 10 e de 50 centavos num total de 13 moedas perfazendo 410 centavos Quantas satildeo as moedas

de 10 E as de 50 Resp 6 moedas de 10 centavos e 7 moedas de 50 centavos

2) Criminosos sequumlestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de 9450 reais que deveria ser

pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais num total de 120 notas Quantas notas de cada tipo os sequumlestradores pediram Resp 69 notas de R$ 10000 e 51 notas de R$ 5000

3)Em um estacionamento haacute 10 veiacuteculos entre carros e motos Sabe-se que o nuacutemero total de rodas eacute 34 Nestas

condiccedilotildees quantos carros e quantas motos haacute nesse estacionamento Resp 7 carros e 3 motos

4)Um estacionamento cobra R$ 400 por moto e R$ 600 por carro estacionado Ao final de um dia o caixa registrou R$

55400 para um total de 100 veiacuteculos Quantas motos e quantos carros usaram o estacionamento este dia Resp 77 carros e 23 motos

5)Depois de ter plantado milho e feijatildeo um agricultor colheu 6600 sacas de gratildeos Vendeu toda a

produccedilatildeo arrecadando R$ 14100000 O mercado pagou R$ 900 pela saca de milho e R$ 6000 pela saca

de feijatildeo Quantas sacas de milho e de feijatildeo foram vendidas Resp 1600 sacas de feijatildeo e 5000 sacas de milho 6)No uacuteltimo Encontro Nacional de Educaccedilatildeo Matemaacutetica a inscriccedilatildeo dos professores de primeiro e segundo graus

custava R$ 5000 Os professores do terceiro grau pagavam R$ 7500 A arrecadaccedilatildeo total obtida com as inscriccedilotildees foi de R$ 6872500 de um total de 1208 professores inscritos Quantos eram os professores de primeiro ou segundo

graus presentes Quantos eram do terceiro grau Resp 333 e 875 do fundamental e meacutedio

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO

7)Num quintal haacute 36 animais entre porcos e galinhas Sabe-se que haacute ao total 112 peacutes quantos satildeo os porcos e

quantas satildeo as galinhas 20 porcos e 16 galinhas

8) Num estacionamento entre motos e carros o nordm total de veiacuteculos eacute de 60 Sabendo-se que o nordm de carros eacute o

dobro do nuacutemero de motos quantos veiacuteculos de cada espeacutecie estatildeo neste estacionamento 20 motos e 40 carros 9) Ache dois nuacutemeros inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 51 e a diferenccedila 27 Resp 39 e 12

10) Descubra dois nordms inteiros sabendo-se que a soma deles eacute 88 e um deles eacute igual ao triplo do outro Resp 22 e 66 11) Num siacutetio entre bois e vacas haacute 100 animais Se o nuacutemero de vacas eacute igual a dois terccedilos do nuacutemero de bois determine quantas satildeo as vacas e quantos satildeo os bois Resp 60 bois e 40 vacas

12) Um teste eacute composto de 40 questotildees Cada questatildeo respondida certa vale + 3 (3 pontos positivos) e cada questatildeo

respondida errada vale ndash 2 (dois pontos negativos) Respondendo a todas as questotildees deste teste Marcelo teve um

total de 75 pontos Quantas questotildees ele acertou Resp 31

13) Numa Olimpiacuteada de Ciecircncias foram propostos 50 testes Cada teste respondido certo vale + 25 (2 pontos e meio positivos) e cada teste respondido errado vale ndash 05 (meio ponto negativo) Carlos respondeu a todos os testes e

teve um total de 95 pontos Quantos testes acertou Resp 40

14) Num aviatildeo haacute 162 passageiros entre homens e mulheres O nuacutemero de mulheres eacute igual a 45 do nuacutemero de

homens Quantas mulheres e quantos homens haacute entre os passageiros deste aviatildeo 72 mulheres e 90 homens

Acreditar eacute a essecircncia mas ter atitude eacute o que faz a diferenccedila Faccedila

vocecirc mesmo hoje e sempre a diferenccedila

ESTUDAR Eacute PRECISO