1Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4)Se o triângulo é retângulo em B, tiramos as seguintes conclusões:A hipotenusa é o lado ACCateto BACateto BCA(4,5) ; B(1,1), C(x,4).

DAC = √ (4−x )2+(5−4 )²DAC = √16−8x+x2+1DAC = √ x ²−8 x+17

DAB = √ (4−1 )2+(5−1) ²DAB = √3²+4²DAB = √9+16DAB = √25DAB = 5

DBC = √ (1−x )2+(1−4) ²DBC = √1−2 x+ x2+9DBC = √ x ²−2 x+10

Pelo TEOREMA DE PITÁGORAS:AC² = BA²+BC²(√ x ²−8 x+17)² = 5²+ (√ x ²−2 x+10)²x² - 8x + 17 = 25 + x² - 2x + 10x² - x² - 8x + 2x + 17 – 25 – 10 = 0- 6x = 35 – 17- 6x = 18 x( - 1 )6x = - 18x = - 18/6

x = - 3 .

2Se P(x, y) equidista de A(-3, 7) e B(4,3), qual é a relação existente entre x e y ?

Para que o ponto P equidiste de A e B, obrigatoriamente: DPA = DPB, logo:

√ ( x+3 )2+( y−7)²) = ¿(√ x ²+6 x+9+ y ²−14 y+49)²=(

√ x ²−8 x+16+ y2−6 y+9 )²x² + 6x + 9 + y² - 14y + 49 = x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9

x² + 6x + 9 + y² - 14y + 49 – x² + 8x – 16 – y² + 6y – 9 = 0x² - x² + y² - y² + 6x + 8x – 14y + 6y + 9 + 49 – 16 – 9 = 014x – 8y – 33 = 014x = 8y + 33

x = 8y + 33 . 14

3Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(1, 3) e B(-3, 5).Se o ponto P é equidistante dos pontos A e B, então a distância do P ao A é a mesma para o B. Como p ponto P pertence ao eixo das abscissas, ele é o ponto P(x,0).Dados:P(x,0) A(1,3) B(-3,5)

DPA = DPB

√ ( x−1 )2+(0−3) ² = √ ( x+3 )2+(0−5)²√ x ²−2 x+1+9 = √ x ²+6 x+9+25(√ x ²−2 x+10)²=( √ x ²+6 x+34)²x²-2x+10 = x²+6x+34x²-x²-2x-6x+10-34 = 0-8x – 24 = 0-8x = 24 x( - 1 )8x = -24x = -24/8

x = - 3 .

4Dados os pontos B(2,3) e C(-4, 1), determinar o vértice A do triângulo ABC, sabendo que é o ponto do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto.Como temos um ângulo reto, faremos pelo teorema de Pitágoras:B=(2,3)C=(-4,1)A=(0,y), já que vê-se BC sob um ângulo reto.

DAC=√ (−4−0 )2+(1− y) ²DAC=√16+1−2 y+ y ²DAC=√ y ²−2 y+17

DBC=√ (−4−2 )2+(1−3) ²DBC=√ (−6 )2+(−2)²DBC=√36+4DBC=√40

DAB=√ (0−2 )2+( y−3) ²DAB=√4+ y ²−6 y+9DAB=√ y ²−6 y+13

A hipotenusa é: DBC=√40, logo, pelo teorema de Pitágoras:BC² = AC²+AB²(√40)² = (√ y ²−2 y+17)² + (√ y ²−6 y+13)²

40 = y²-2y+17+y²-6y+13y²-2y+17+y²-6y+13 – 40 = 02y²-8y-10 = 0 ( : 2)Y²-4y-5 = 0

= b² - 4ac= (-4)²-4.1.(-5)= 16+20= 36

Y = - b ± √❑ 2.aY = 4 ± √36 2Y = 4 ± 6 2Y’ = 10/2 = 5

Y’’ = - 2/2 = - 1. Logo: y = -1 ou y = 5.

5Mostrar que A(a,2a–1), B(a+1,2a+1) e

C(a+2,2a+3)Serão colineares se o determinante for igual a zero.

a(2a+1)+(2a-1)(a+2)+(a+1)(2a+3)- - [(a+2)(2a+1)+a(2a+3)+(a+1)(2a-1)] = 02a²+a+2a²+4a-a-2+2a²+3a+2a+3-[2a²+a+4a+2+2a²++3a+2a²-a+2a-1] = 02a²+a+2a²+4a-a-2+2a²+3a+2a+3-2a²-a-4a-2-2a²--3a-2a²+a-2a+1 = 0-2+3-2+1 = 0-2-2+3+1 = 0-4+4 = 0, 0 = 0 logo

Realmente os pontos são colineares.

6Dados A(-5,-5), B(1,5), C(19,0) e ( r )5x-3y=0, verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC.

G = (xa+xb+xc , ya+yb+yc) 3 3G = (-5+19+1 , - 5+0+5) 3 3G = ( 5, 0 )Vamos testar na equação da reta (r)=5x-3y = 0 para verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC.G(5,0)5x-3y = 05.5 – 3.0 = 025 – 0 = 025 ≠ 0, logo, a reta r não passa pelo baricentro.

7(MAPOFEI-74) Determinar a interseção

das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y = 5.

x + 2y = 3 x(-2)2x + 3y = 5

-2x -4y = -6 2x + 3y = 5

-y = -1 x(-1)

y = 1X = ?

x + 2y = 3x + 2.1 = 3x + 2 = 3x = 3 – 2

x = 1 Logo, o ponto de interseção é (1,1)

8Determinar a equação da reta comum

aos feixes:(1) ( x + y + 1) + m . ( x – y – 3 ) = 0(2) ( 2x + 3y – 5 ) + p . ( 4x + y – 5 ) = 0

Primeira reta: Para m = 1x + y + 1 + 1 . (x – y – 3) = 0x + y + 1 + x – y – 3 = 0

= 0

2x – 2 = 0 (I)

Para m = 2x + y + 1 + 2 . ( x – y – 3 ) = 0x + y + 1 + 2x – 2y – 6 = 03x – y – 5 = 0 (II)

Sistema entre (I) e (II) para determinar suas coordenadas:2x – 2 = 03x – y – 5 = 0

2x = 2x = 2/2x = 1

Y = ?3x – y – 5 = 0 3 . 1 – y – 5 = 03 – y – 5 = 0 -y = 5 – 3-y = 2 x(-1) Y = -2

Par ordenado da primeira reta: (1, -2)

Segunda reta:Para p = 32x + 3y – 5 + 3 . (4x + y – 5 ) = 02x + 3y – 5 + 12x + 3y – 15 = 014x + 6y – 20 = 0 ( III )Para p = 22x + 3y – 5 + 2 . (4x + y – 5 ) = 02x + 3y – 5 + 8x + 2y – 10 = 010x + 5y – 15 = 0 ( IV )

Sistema entre ( III ) e ( IV ) para determinar suas coordenadas:14x + 6y = 20 x(-5)10x + 5y = 15 x(6)

-70x – 30y = - 100 60x + 30y = 90

-10x = -10 x( - 1 )10x = 10X = 10/10X = 1Par ordenado da segunda reta: (1, 1) Usando os pares ordenados através do determinante, iremos encontrar a equação da reta comum às duas retas.

-2x + y + 1 – ( -2 + y + x) = 0-2x + y + 1 + 2 – y – x = 0-2x –x +y – y + 1 + 2 = 0

-3x + 3 = 0 resposta

9São dados os feixes de retas concorrentes:(I) x + y + 1 + k . (x – y + 1) = 0(II) 2x + 2y + 6 + l . ( 2x – 2y + 1) = 0Obter a equação da reta comum aos dois feixes.

Daremos dois valores para k em cada reta, daí, a partir de um sistema de duas equações, descobriremos o par ordenado (x,y). Daí, encontramos a equação da reta:

(I) x + y + 1 + k(x – y + 1) = 0(II) 2x + 2y + 6 + l(2x – 2y + 1) = 0

Para K = 1 na reta (1)x + y + 1 + 1 . (x – y + 1) = 0x + y + 1 + x – y + 1 = 0

2x + 2 = 0

Para k = 2 na reta (1)x + y + 1 + 2.(x – y + 1) = 0x + y + 1+ 2x – 2y + 2 = 03x – y + 3 = 0

Sistema:2x + 2 = 03x – y + 3 = 0

2x + 2 = 02x = -2x = -1 .

y = ?

3x – y + 3 = 03 . (-1) – y + 3 = 0-3 –y + 3 = 0-y = -3+3-y = 0Y = 0 .

Primeiro par ordenado: (-1, 0).

Para k = 1 na reta (2):

2x + 2y + 6 + 1 . (2x – 2y + 1 ) = 02x + 2y + 6 + 2x – 2y + 1 = 04x + 7 = 0

Para k= 2 na reta (2):2x + 2y + 6 + 2.(2x – 2y + 1) = 02x + 2y + 6 + 4x – 4y + 2) = 02x + 4x + 2y – 4y + 6 + 2 = 06x – 2y + 8 = 0

Sistema para a reta 24x + 7 = 06x – 2y + 8 = 04x = - 7X = - 7/4.

Valor de y = ???6x – 2y + 8 = 06 . (- 7 / 4) – 2y + 8 = 0- 42/4 – 2y + 8 = 0mmc:-42 – 8y + 32 = 0 4 4-42 – 8y + 32 = 0- 8y = -32+42- 8y = 10 x(-1)8y = - 10Y = - 10/8 (:2)Y = - 5/4. Par: (-7/4 ,-5/4)

Equação comum das retas:Determinante:

5 – 7y – ( - y – 5x) = 04 4 45 – 7y + y + 5x = 04 4 45 – 7y + 4y + 5x = 0 4 45x – 3y + 5 = 0 resposta:

10Demonstrar que as retas de equações (2m + 1)x + (1 – 3m)y – 1 = 0 onde m é uma variável real, passam por um mesmo ponto.

(2m + 1)x + ( 1 – 3m)y – 1 = 02mx + x + y – 3my – 1 = 0m(2x – 3y) + x + y – 1 = 0

fazer o Sistema:2x – 3y = 0x + 1 – 1 = 0

2x – 3y = 0

x + y = 1 x(-2)

2x – 3y = 0-2x -2y = -2

- 5y = - 2 Y = 2 / 5 .

Valor de x ?2x – 3y = 02x – 3 . 2/5 = 02x – 6/5 = 0Mmc:10x – 6 = 0 5 510x = 6X = 6/10 (:2)X = 3 / 5 .

O par (3/5 , 2/5) . Logo, a interseção dessas retas é esse ponto.