Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental Turma: IESAM1 Professor : José Felipe NetoDisciplina: Álgebra linear e Geometria Analítica

Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Circunferência

Introdução

Esse trabalho tem como objetivo apresentar as definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim como apresentação de duas circunferências, inequações do 2° grau e também suas determinações.

O trabalho também objetiva a apresentação de aplicações de exemplos relacionados à área da geometria analítica no campo da circunferência.

Definição:Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de

um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos pontos de α que estão á distancia r do ponto C.

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência.

Equação da CircunferênciaChama-se equação da circunferência aquela que

é satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y) pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos:

E daí vem a equação reduzida da circunferência: (x – a)² + (y – b)² = r² Equação reduzida de λ⇒

Esta expressão é denominada equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.

(x – a)² + (y – b)² = r²

APLICANDO :

Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que se pode estabelecer entre x e y ?

(x – a)² + (y – b)² = r² (x – 5)² + (y – 3)² = 2²

Aplicando o quadrado da diferença

X²-2.x.5+5² + y²-2.y.3+3²=4X²-10x+25+y²-6y+9=4X²+y²-10x-6y+25+9-4=0X²+y²-10x-6y+30=0EQUAÇÃO DESSA CIRCUNFERÊNCIA

Equação normal Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode

mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio, pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.

Desenvolvendo a equação reduzida, teremos:

(x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r²

Isto é,

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 Equação geral de λ ou equação normal da circunferência

Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano.

Resolução:

Usando a equação reduzida da circunferência (x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever:(x- 1)² + ( y - 2)² = 3²Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a

equação reduzida e obtemos:x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto

de pares ordenados que a satisfazem.

Circunferência x² + y² -2 x -4 y -4 =0 de centro A(1,2) e raio 3.

Ponto e circunferênciaPodemos relacionar a posição de um ponto com um

circunferência a medida que for possível comparar sua distância do centro desta com a medida do raio.

Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:

APLICANDODê a posição do ponto P relativa à circunferência λ :• P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0Resolução:Substituindo ,x²+y²-6x+5=03²+2²-6.3+5=09+4-18+5=013-18+5=0-5+5=00=0Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)

• P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0Resolução:Substituindo ,x²+y²-6x-2y+8=05²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=025+1-30-(-2)+8=026-30+2+8=0-4+2+8=06›0Então : P é externo a λ

• P (4,3) e λ : x²+y²=36Resolução:Substituindo ,x²+y²=364²+3²=3616+9-36=025-36=0-11‹0

Então : P é interno a λ

Inequações do 2° grauUma inequação do 2° grau ou quadrática é uma expressão do

2° grau que pode ser escrita das seguintes formas:

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c ≤ 0

A principal consequência da teoria apresentada é o método para resolver inequações do 2° grau da forma:

F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com coeficiente de x² positivo.

Exemplo: Para resolver a inequação x²+y²≤16Resolução: x²+y²-16 ≤0R=4

Exemplo: Resolver a inequação x²+y²≥9Resolução: x²+y²-9 ≥0R=3

Posições relativas entre circunferência e reta • Reta externa à circunferência

A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência.

D > R

• Reta tangente à circunferência

A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida.

D = R

• Reta secante à circunferência

A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.

D < R

INTERSEÇÃOA equação da circunferência é:

(x - a)² + (x - b)² = r²

Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada na origem, a equação (1) se transforma em:

x² + y ² = r²Graficamente temos:

Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis:

• Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Graficamente:

• Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:

• Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso implica que o sistema de equações é impossível. Graficamente:

Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são:

Podemos montar o seguinte sistema com as equações:

Resolução:

Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:

Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:O conjunto solução é:

Graficamente temos:

POSIÇÕES RELATIVAS

Para determinar a posição relativa entre duas circunferências, comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre seus raios: o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a

soma de seus raios

dOC > r1 + r2

o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a diferença entre seus raios.

dOC < r1- r2

o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios.

dOC < r1 + r2

o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências.

dOC = 0

o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros for igual à diferença entre os raios.

dOC = r1 - r2

o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros for igual à soma de seus raios.

dOC = r1 + r2

Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16 Verifique a posição relativa entre elas.

Solução: Para resolução do problema devemos saber as

coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma podemos encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência é da forma:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:

Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Determinações de Circunferências

Em Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’ uma circunferência significa obter sua equação:

(x – a)² + (y – b) ² = r²Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o

raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano cartesiano.

A maioria dos problemas de determinação de circunferências apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações independentes para ser resolvida.

• Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio

P2 λ = (a-x∈ 0)2 + (b—y0)2 = r2

• Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é igual ao raio.

• Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios.

λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2

Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado, que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada .

Resolução:Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:

Exemplo: Determine a equação da circunferência com C (-3,1) e raio 3.

Resolução:(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2

(X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável (quadrado da diferença ), então será:

X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.

APLICAÇÕES NO COTIDIANO

Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, semelhante a que aparece na foto abaixo :

O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto , deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já calculou que o raio do arco de circunferência projetado pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.

Como base nas informações do problema , escolha um sistema de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro pilastras menores.

RESOLUÇÃO:Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a

pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas são respectivamente 4 e 8 .

A equação da circunferência é, então x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da circunferência:

x²+(y+16)²=4004²+(y+16)²=40016+(y+16)²=400(y+16)²=400-16(y+16)²=384y+16=y+16 19,60≅y=19,60-16Ya 3,60 m≅

Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da circunferência:

x²+(y+16)²=4008²+(y+16)²=400(y+16)²=400-64y+16=y+16 18,33≅Yb 2,33 m≅

Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem 3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.

ConclusãoNesse trabalho foi possível concluir que a circunferência

pode ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é denominado de centro da circunferência.

Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram. Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente. Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões elementares, como equação normal e equação reduzida para expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi concluído que existem três possíveis posições de numa reta em relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.

Referências Bibliográficas • Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de

2013. • Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi

Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de maio

de 2013. • Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br, em

14 de maio de 2013.