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8/11/2019 trabajocolaborativo1-guia-2014-02 (1).pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

TRABAJO COLABORATIVO No. 1: 201527 SISTEMAS DINMICOS

TRABAJO COLABORATIVO No. 1

Nombre de curso:201527 Sistemas Dinmicos

Temticas revisadas:

Unidad 1, captulo 1 Sistemas de control.Unidad 1, captulo 2 Herramientas matemticas.Unidad 1, captulo 3 Modelado de sistemas dinmicos.

1. NOTA ACLARATORIAEl curso SISTEMAS DINMICOS 201527 es de tipo Metodolgico (Terico/Prctico);por lo tanto, hay que tener en cuenta que los trabajos colaborativos contienen unaactividad terica y otra actividad prctica. La actividad terica se debe desarrollar deforma analtica, mientras que la actividad prctica se debe desarrollar utilizando laherramienta de software MATLAB, que se encuentra licenciada por parte de launiversidad, y a la cual pueden acceder a travs del representante de la GIDT delCEAD en el cual se encuentra matriculado el estudiante.

Los tutores que orientan la prctica de forma local pueden asesorar al estudiante en eldesarrollo de la misma pero NO DEBEN CALIFICARLA, puesto que el informe que elestudiante coloca en el FORO del curso virtual evidencia ambos desarrollos y, por lotanto, la nota de laboratorio est inmersa en la nota del trabajo colaborativo.

Agradezco tener en cuenta esta aclaracin e informar a los tutores encargados con elfin de evitar mal entendidos al finalizar el periodo acadmico. xitos!

2. MODELAMIENTO DE SISTEMASEl primer paso en el proceso de diseo de sistemas de control es el desarrollo de un

modelo matemtico del sistema apropiado, derivado ya sea de leyes fsicas o de datosexperimentales. En esta seccin, se muestran las representaciones de sistemasdinmicos en espacio de estado y en funcin de transferencia. A continuacin, serepasan algunos enfoques bsicos para el modelamiento de sistemas mecnicos yelctricos.

2.1. Sistemas DinmicosLos sistemas dinmicos son sistemas que cambian o evolucionan en el tiempo deacuerdo a una regla fija. Para muchos sistemas fsicos, esta regla se puede establecercomo un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden:

== ((), (), ) (1)En la ecuacin de arriba, ()es el vector de estado, un conjunto de variables querepresentan la configuracin del sistema en el tiempo . Por ejemplo, en un sistemamecnico masa-resorte-amortiguador sencillo, las dos variables de estado podran serla posicin y la velocidad de la masa. ()es el vector de entradas de control en eltiempo , que representan las "fuerzas" externas aplicadas sobre el sistema, y es una


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funcin posiblemente no lineal que da la derivada con respecto al tiempo (velocidad decambio) del vector de estado, para un estado, entrada y tiempo particulares.El estado en cualquier tiempo futuro, (), se puede determinar exactamenteconociendo el estado inicial,

(), y la evolucin en el tiempo de las entradas,

(),

entre y mediante integracin de la ecuacin (1). Aunque las variables de estadopor s mismas no son nicas, hay un nmero mnimo de variables de estado, ,requerido en un sistema determinado. se denomina el orden del sistema ydetermina las dimensiones del espacio de estado. El orden del sistema por lo generalcorresponde al nmero de elementos almacenadores de energa independientes en elsistema.

La relacin dada en la ecuacin (1) es muy general y puede ser usada para describiruna amplia variedad de diferentes sistemas; por desgracia, puede ser muy difcil deanalizar. Hay dos simplificaciones comunes que hacen el problema ms tratable. Enprimer lugar, si la funcin no depende explcitamente del tiempo, es decir, = (, ),entonces se dice que el sistema es invariante en el tiempo. Esto es a menudo unasuposicin muy razonable, ya que leyes fsicas subyacentes tpicamente no dependendel tiempo. Para sistemas invariantes en el tiempo, los parmetros o coeficientes de lafuncin son constantes. La entrada de control, sin embargo, todava puede serdependiente del tiempo, ().La segunda suposicin comn se refiere a la linealidad del sistema. En realidad, casitodo sistema fsico es no lineal. En otras palabras, es tpicamente una funcincomplicada del estado y las entradas. Estas no linealidades se presentan en muchasformas diferentes, una de las ms comunes en los sistemas de control es la"saturacin", en la cual un elemento del sistema alcanza un lmite fsico para sufuncionamiento. Afortunadamente, en un rango de operacin suficientemente pequeo(considere la tangente cerca de una curva), la dinmica de la mayora de los sistemases aproximadamente lineal, es decir,

= + .

Hasta la llegada de los computadores digitales slo era prctico analizar los sistemaslineales invariantes en el tiempo (LTI). En consecuencia, la mayora de losresultados de la teora de control se basan en estos supuestos. Afortunadamente,estos resultados han demostrado ser muy eficaces, y muchos desafos importantes dela ingeniera han sido resueltos mediante tcnicas LTI. De hecho, el verdadero poderde los sistemas de control realimentados es que ellos trabajan (son robustos) enpresencia de la inevitable incertidumbre de modelamiento.

2.2. Representacin en Espacio de EstadoPara sistemas continuos lineales invariantes en el tiempo, la representacin en espaciode estado estndar est dada por:

= + (2) = + (3)

donde es el vector de variables de estado (x1), es la derivada con respecto altiempo del vector de estado (x1), es la entrada o vector de control (x1), es el


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vector de salida (x1), es la matriz del sistema (x), es la matriz de entrada (x),es la matriz de salida (x), es la matriz de transmitancia directa (x).La ecuacin de salida, ecuacin (3), es necesaria porque a menudo hay variables deestado que no son directamente observables o no son de inters. La matriz de salida,

, se utiliza para especificar cules variables de estado (o sus combinaciones) estndisponibles para ser utilizadas por el controlador. Tambin, a menudo no hay matriz detransmitancia directa en cuyo caso es cero.La representacin en espacio de estado, tambin conocida como representacin en eldominio del tiempo, puede manipular fcilmente sistemas de mltiplesentradas/mltiples salidas (MIMO), sistemas con condiciones iniciales que no soncero, y sistemas no lineales a travs de la ecuacin (1). En consecuencia, larepresentacin en espacio de estado se utiliza ampliamente en la teora de control"moderna".

2.3. Representacin en Funcin de TransferenciaLos sistemas LTI tienen la propiedad extremadamente importante que si la entrada alsistema es sinusoidal, entonces la salida tambin ser sinusoidal de la mismafrecuencia pero en general con diferente magnitud y fase. Estas diferencias demagnitud y fase como una funcin de la frecuencia se conocen como la respuesta enfrecuenciadel sistema.

Usando la transformada de Laplace, es posible convertir la representacin en eldominio del tiempo de un sistema en una representacin de entrada/salida en eldominio de la frecuencia, conocida como la funcin de transferencia. Al hacerlo,tambin transforma la ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica que a menudoes ms fcil de analizar.

La transformada de Laplace de una funcin en el dominio del tiempo, (), se definecomo:()= {()}= ()

(4)

donde el parmetro = + es una variable de frecuencia compleja. En la prctica esmuy poco frecuente que se tenga que evaluar directamente una transformada deLaplace (aunque de hecho se debe saber cmo hacerlo). Es mucho ms comn buscarla transformada de la funcin que se est interesado en una tabla como la que seencuentra aqu: Tabla de Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace de la ensima derivada de una funcin es particularmenteimportante:

= () (0) (0) ()(0) (5)Los mtodos del dominio de la frecuencia se utilizan con mayor frecuencia para elanlisis de sistemas LTI de simple entrada/simple salida (SISO), por ejemplo, los


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gobernados por una ecuacin diferencial con coeficientes constantes como aparece acontinuacin:

+ +

+ ()=

+ +

+ () (6)

La transformada de Laplace de esta ecuacin est dada por:

()+ + ()+ ()= ()+ + ()+ () (7)donde () y () son las transformadas de Laplace de () y () respectivamente.Tenga en cuenta que cuando se encuentran funciones de transferencia, siempre seasume que cada una de las condiciones iniciales (0), (0), (0), etc. son cero. Lafuncin de transferencia desde la entrada ()hasta la salida ()es por lo tanto:

()=()()=+ + + + + + + + (8)

Es til factorizar el numerador y el denominador de la funcin de transferencia en lallamada forma ceros-polos-ganancia:

()=()()= ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) (9)

Los ceros de la funcin de transferencia, , son las races del polinomio delnumerador, es decir, los valores de tales que ()= 0. Los polosde la funcin detransferencia, , son las races del polinomio del denominador, es decir, losvalores de tales que ()= 0. Tanto los polos como los ceros pueden ser valorescomplejos (tienen partes real e imaginaria). La gananciadel sistema es de = .Tenga en cuenta que tambin se puede determinar directamente la funcin detransferencia a partir de la representacin en espacio de estado de la siguientemanera:

()=()()= ( ) + (10)

2.4. Sistemas MecnicosLas leyes del movimiento de Newton constituyen la base para el anlisis de sistemasmecnicos. La segunda ley de Newton, ecuacin (11), establece que la suma de lasfuerzas que actan sobre un cuerpo es igual a su masa por la aceleracin. La terceraley de Newton, para nuestros propsitos, establece que si se conectan dos cuerpos,entonces ellos experimentan la misma magnitud de la fuerza actuando en direccionesopuestas.

= = (11)


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Al aplicar esta ecuacin, lo mejor es construir un diagrama de cuerpo libre (FBD)del sistema mostrando todas las fuerzas aplicadas.

2.5. Ejemplo: Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

El diagrama de cuerpo libre para este sistema se muestra a continuacin. La fuerza delresorte es proporcional al desplazamiento de la masa, , y la fuerza delamortiguamiento viscoso es proporcional a la velocidad de la masa, = . Ambasfuerzas se oponen al movimiento de la masa, por lo que se muestran en la direccinnegativa de . Tenga en cuenta tambin, que = 0 corresponde a la posicin de lamasa cuando el resorte no est estirado.

Ahora se procede por sumatoria de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newton,ecuacin (11), en cada direccin del problema. En este caso, no hay fuerzas queacten en la direccin

, sin embargo, en la direccin

se tiene:

= () = (12)Esta ecuacin caracteriza completamente el estado dinmico del sistema. Msadelante, se ver cmo utilizar esto para calcular la respuesta del sistema a cualquierentrada externa, (), as como para analizar las propiedades del sistema, tales comola estabilidad y el rendimiento.

Para determinar la representacin en espacio de estado del sistema masa-resorte-amortiguador, se debe reducir la ecuacin de segundo orden a un conjunto de dosecuaciones diferenciales de primer orden. Para ello, se elige la posicin y la velocidadcomo las variables de estado.

= (13)Tenga en cuenta tambin que estas variables de estado corresponden a la energapotencial en el resorte y a la energa cintica de la masa, respectivamente. A menudo,cuando se eligen las variables de estado, es til tener en cuenta los elementos dealmacenamiento de energa independientes en el sistema.


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La ecuacin de estado en este caso es la siguiente:

=

=0 1

+0

() (14)Si, por ejemplo, se est interesado en el control de la posicin de la masa, entonces laecuacin de salida es el siguiente:

=[1 0] (15)

2.6. Ingresando Modelos en Espacio de Estado en MATLABAhora se mostrar cmo introducir las ecuaciones derivadas arriba en un archivo .m deMATLAB. Se asignarn valores numricos a cada una de las variables.

Cree un Nuevo archivo .m e ingrese los siguientes comandos:


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La transformada de Laplace para este sistema suponiendo condiciones iniciales cero,es:

()+ ()+ ()= () (16)y por lo tanto la funcin de transferencia desde la entrada fuerza hasta la salidadesplazamiento, es:

()()=

1+ + (17)

2.7. Ingresando Modelos en Funcin de Transferencia en MATLABAhora se mostrar cmo introducir la funcin de transferencia obtenida anteriormenteen MATLAB.


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Observe que se ha utilizado la variable simblica

para definir el modelo de la funcin

de transferencia. Se recomienda el uso de este mtodo la mayora de las veces; sinembargo, en algunas circunstancias, por ejemplo, en versiones anteriores deMATLAB o al conectarse con SIMULINK, puede que tenga que definir el modelo dela funcin de transferencia utilizando directamente los coeficientes de los polinomiosdel numerador y del denominador. En estos casos, utilice los siguientes comandos:

2.8. Sistemas ElctricosAl igual que las leyes de Newton en sistemas mecnicos, las leyes de circuitos deKirchhoff son la herramienta analtica bsica en los sistemas elctricos. La ley decorrientes de Kirchhoff (KCL)establece que la suma de las corrientes elctricas queentran y salen de un nodo en un circuito debe ser igual. La ley de voltajes deKirchhoff (KVL) establece que la suma de las diferencias de voltaje alrededor decualquier lazo cerrado en el circuito es cero. Al aplicar KVL, los voltajes de las fuentesse suelen tomar como positivos y los voltajes de carga como negativos.


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2.9. Ejemplo: Circuito RLCAhora considere una simple combinacin en serie de tres elementos elctricos pasivos:una resistencia, una bobina y un condensador, conocida como un circuito RLC.

Puesto que este circuito consta de un lazo simple, cada nodo slo tiene una entrada yuna salida; por lo tanto, la aplicacin de la KCL simplemente muestra que la corriente,(), en todo el circuito es la misma en cualquier momento dado. Ahora aplicando laKVL alrededor del lazo y utilizando las convenciones de signos indicas en el diagrama,se llega la siguiente ecuacin.

() 1 = 0 (18)

Observe que la ecuacin que rige el circuito RLC tiene una forma anloga al sistemamecnico masa-resorte-amortiguador. En particular, ambos son sistemas de segundoorden, donde la carga (integral de la corriente) corresponde al desplazamiento, lainductancia a la masa, la resistencia al amortiguamiento viscoso, y el inverso de lacapacitancia a la rigidez del resorte. Estas y otras analogas resultan ser bastantetiles conceptualmente para comprender el comportamiento de los sistemasdinmicos.

La representacin en espacio de estado se encuentra seleccionando la carga y lacorriente como las variables de estado.

= (19)donde,

= (20)La ecuacin de estado es por lo tanto:

=

= 0 1 +

0

() (21)


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Eligiendo la corriente como salida se obtiene:

=[0 1] (22)La representacin de la funcin de transferencia puede encontrarse tomando latransformada de Laplace como se hizo para la masa-resorte-amortiguador o a partir dela ecuacin de espacio de estado, como aparece a continuacin:

()()= ( ) + =[0 1] 1 00 1

0 1

0

(23)()()=

1+ + (24)

Los modelos del circuito RLC en espacio de estado y en funcin de transferencia sepueden introducir en MATLAB utilizando el mismo procedimiento descritoanteriormente para el sistema masa-resorte-amortiguador.

3. GUA DE ACTIVIDADESEl trabajo consiste de dos actividades (una terica y una prctica), con una solaentrega.

3.1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie deejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de losestudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos unaporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominadoAportes

al trabajo colaborativo 1.

Ejercicio 1: Un actuador comn en los sistemas de control es el motor DC. Esteprovee directamente movimiento rotatorio y, junto con las ruedas o tambores ycables, puede proporcionar un movimiento de traslacin. El circuito elctricoequivalente de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestra en lasiguiente figura:


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Suponga que la entrada del sistema es la fuente de voltaje, , aplicada a laarmadura del motor, mientras que la salida es la posicin angular del eje . El rotory el eje se suponen rgidos. Suponga adems un modelo de friccin viscosa, esdecir, el torque de friccin es proporcional a la velocidad angular del eje.

Los parmetros a tener en cuenta son:

:Momento de inercia del rotor :Constante de friccin viscosa del motor :Constante de fuerza electromotriz :Constante de torque del motor :Resistencia elctrica :Inductancia elctricaDe acuerdo con lo anterior, encuentre (a)la representacin del sistema en espacio

de estado, y (b)la representacin del sistema en funcin de transferencia.

Ejercicio 2: El sistema de suspensin activa de un vehculo como el que semuestra en la figura es capaz de generar una fuerza para controlar el movimientode la carrocera del autobs.

Considere un modelo simple de la dinmica del vehculo. Para simplificar elproblema se utiliza el modelo de solamente una de las cuatro ruedas. Por lo tanto,los parmetros a tener en cuenta son:

: de la masa del autobs :Masa de la suspensin :Constante del resorte del sistema de suspensin

:Constante del resorte de la rueda y el neumtico

:Constante de amortiguamiento del sistema de suspensin :Constante de amortiguamiento de la rueda y el neumtico


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De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que las entradas al sistema son lasfuerzas y , y las salidas son los desplazamientos y , encuentre (a) larepresentacin del sistema en espacio de estado, y (b) la representacin delsistema en funciones de transferencia ()= () () , ()= () () ,()= () () y ()= () () .

3.2. Actividad Prctica: La segunda actividad est compuesta de una serie deejercicios que debern ser desarrollados utilizando la herramienta de softwareMATLAB. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cadaejercicio propuesto en el tema denominadoAportes al trabajo colaborativo 1.

Ejercicio 1: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 1 de la ActividadTerica, utilice MATLAB para: (a) Obtener la representacin del sistema enfuncin de transferencia, y (b)convertir el resultado del inciso (a)en una ecuacinen espacio de estado. Para ello, suponga que los parmetros del sistema son:

Momento de inercia del rotor: = 3.2284 x 10kg. m Constante de friccin viscosa del motor: = 3.5077 x 10N.m.s Constante de fuerza electromotriz: = 0.0274 V rad s Constante de torque del motor: = 0.0274 N.m/A Resistencia elctrica: = 4 Inductancia elctrica: = 2.75 x 10H


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Ejercicio 2: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 2 de la ActividadTerica, utilice MATLAB para: (a) Obtener la representacin del sistema en

espacio de estado, y (b) convertir el resultado del inciso (a) en una funcin detransferencia. Para ello, suponga que los parmetros del sistema son:

de la masa del autobs: = 2500 kg Masa de la suspensin: = 320 kg Constante del resorte del sistema de suspensin: = 80000 N/m Constante del resorte de la rueda y el neumtico: = 500000 N/m Constante de amortiguamiento del sistema de suspensin: = 350 N.s/m Constante de amortiguamiento de la rueda y el neumtico: = 15020 N.s/m

4. ESPECIFICACIONES DEL PRODUCTO FINAL DEL TRABAJOEl archivo final debe estar comprimido y se le debe asignar un nombre que tenga lasiguiente estructura: Codigodelcurso_NombredelGrupo y debe colgarse en el foro deequipo bajo el tema ENTREGA FINAL DEL TRABAJO No. 1.

El archivo .ZIP debe incluir:

Un archivo en formato .PDF con el desarrollo detallado de la situacin propuesta.Debe incluir Portada, Introduccin, desarrollo de la situacin, conclusiones,referencias bibliogrficas usadas.

Los archivos .M generados para la elaboracin de las tareas propuestas.

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