topologia geral - mauricio a. vilches - uerj

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TOPOLOGIA GERAL Mauricio A. Vilches Departamento de Análise - IME UERJ

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Espaços Topológicos1.1 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos1.7 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Espaços Vetoriais com Produto Interno

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Page 1: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

TOPOLOGIA GERAL

Mauricio A. Vilches

Departamento de Análise - IMEUERJ

Page 2: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2

Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total

Page 3: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3

PREFÁCIO

Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica,pois a Topologia aparece no século

�������com o nome de Analyse Situs, isto é

análise da posição. Muitos autores concordam que o primeiro a tentar estudarpropriedades topológicas foi Leibniz, em ����� . Posteriormente, Euler em � ����publica a solução do problema das pontes da cidade de Köenigsberg, institula-do "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis". As bases da Topolo-gia moderna foram estabelicidas no Congresso Internacional de Matemática de������� , em Roma, onde Riesz propõe um carater axiomático da Topologia, base-ado na teoria dos conjuntos, sem o conceito de distância subjacente. Em ������� ,Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, sem consideraçãoesmétricas. Existem outras vertentes onde a topologia encontrou novos impulsospara seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas EquaçõesDiferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente.A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença:não interessa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topolo-gia, objetos que possam transformar-se em outros, através de funções contínuasreversíveis, são equivalentes e indistinguiveis. Por exemplo, círculos e elipses,esferas e paralelelpípedos.A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moder-na, da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa.

Mauricio A. VilchesRio de Janeiro

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4

Page 5: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Conteúdo

1 Espaços Topológicos 71.1 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Pontos e Conjuntos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos . . . . . 311.7 Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8 Espaços Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Funções em Espaços Topológicos 372.1 Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Funções Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Homeomeorfismos 493.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Topologia Quociente 654.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 Ações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1 � -espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5

Page 6: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6 CONTEÚDO

4.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Compacidade 855.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Compacidade em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Axioma de Separação 936.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Espaços de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Espaços de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.1 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.2 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Conexidade 1077.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 Aplicacões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografia 118

Page 7: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 1

Espaços Topológicos

A seguir apressentaremos a definição de topologia que é essencialmente a gene-ralização de algumas das propredades intrínsicas dos intervalos abertos em � .

1.1 Topologias e Conjuntos Abertos

Seja�

um conjunto não vazio. Denotemos por ��� ��� a família de todos os sub-conjuntos de

�e por ��� ��� � o complementar de � em

�.

Definição 1. Uma topologia sobre�

é uma família ������ ��� tal que:

1.������� .

2. Dada uma família arbitrária ����� � ���� ��� , então:!�#"%$ �&�

� ('

3. Dados )+* � )&, � '-'-' � )/. � , então:.0132 * ) 1

� ('

Observações 1.

1. Os elementos de são ditos conjuntos abertos de�

.

2. O par 4 �5� 76 é chamado espaço topológico.

Exemplo 1. Todo conjunto�

não vazio possui as seguintes topologias:

7

Page 8: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1. 1 .�� � ����� , chamada topologia indiscreta.

2. �� 1�� ��� ��� , chamada topologia discreta.

3. Se�

tem mais de 2 elementos 1 .�� � �� 1�� .Exemplo 2. Seja

� ��� � ���� . Verifiquemos se as seguintes famílias de subconjuntosde

�são uma topologia em

�.

1. * � � � �5� ��� .2. , � � � �5� ��� � � - .3. � � � � �5� ��� � � - � ��� �� .

Claramente, * e � são topologias para�

. 7, não é uma topologia em�

, pois:

��� �� � - �� 7,-'Exemplo 3. Seja

� ��� �- . A topologia � 1���� � � � ��� ��� é dita de Sierpinski.

Exemplo 4. Seja� �� e definamos a seguinte topologia:

� � � � � � �onde � � se, e somente se para todo �

� � existe um intervalo aberto ��� �� � tal que:

�� ��� �� � � � '

1. Claramente� � � � .

2. Seja ���&� � ���� ��� , então:

!�#"%$ �&�

� ('

De fato, seja �� !�#" $ �&� , então existe ��� ��� tal que �

� �&��� � ; logo, existe

��� ��%� e:

�� ��� �� � � �/� � � !

�#"%$ �&� '

Page 9: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.1. TOPOLOGIAS E CONJUNTOS ABERTOS 9

3. Sejam ) * � )&, � ; então, dado �� )+*�� )&, temos que �

� )+* � e�� )&, � , logo existem ��� * �� * � e ��� , �� , � tais que �

� ��� * �� * � � ) * e�� ��� , �� , � � )&, . Se denotamos por � ���������� * � � , e

������ * � , ,temos:

�� ��� �� � � )+* � )&, '

Por indução: Se ) * � )/, � '-'-' � )/. � , então.0132 * ) 1

� .

4. Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada por �� � .Exemplo 5. Seja

� �� , e definamos a seguinte topologia:

� � � � � � , �onde � � se, e somente se para todo � � ��� ��� � existe um retângulo aberto��� �� ��� � � ��� � tal que:

� � ��� � � ��� �� ��� � ����� � � � 'De forma análoga ao exemplo anterior, é uma topologia e é também chamadaeuclidiana ou usual e será denotada por �� � . Não é difícil ver que esta topologiapode ser estendida a � . .

Exemplo 6. Verifique que� �� , junto à família:

�� � � � � , ��� � ��� � � �onde:

� � � � � ��� � � � , � ��� � � � é um espaço topológico.

1.� � � , � �� , por definição.

2. Seja� � � �� tal que � �"! � � :

(a) Se!

é limitado inferiormente, seja # $��&% ! , então:!�%"('

� � �*) � �� '

Page 10: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

De fato, seja � � ��� � � !�%"('

� � , então, existe � � ! tal que � � ��� � � � � ,isto é �

� � � � � # ; logo, � � ��� � �"� ) e!�%"('

� � � �*) 'Seja � � ��� � �"� ) , então, �

�"� � # ; logo, existe � �"! tal que ��"� � � ,

caso contrário �� �

seria uma cota inferior de!

maior que # ; então:

� ) � !�%" '

� �#'

(b) Se!

não é limitado inferiormente, então:!�%" '

� �/ � , 'De fato, seja � � ��� � � � , , então, existe � � ! tal que �

� � � � ; casocontrário,

!seria limitado inferiormente por �

� �, logo � � ��� �7� � � .

3. Sejam� ��� ��� ��� � �� e considere � * $� � � � � * � � , ; então,

� ��� � � ��� e:� ��� � � ��� � ��� � �� '

Exercícios 1.

1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto� ��� ����� ?

2. Verifique que � junto à família:

�. � � � � � �/.7� � � �onde:

� .+ � � ��� � � � '-'-' � é uma topologia em � .

Exemplo 7. Seja�

um conjunto não vazio e:

��� � � �� � é finito ou é� '

é uma topologia para�

?

Page 11: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.1. TOPOLOGIAS E CONJUNTOS ABERTOS 11

1. Claramente,�

e�

pertencem a .

2. Seja ���&� � ���� ��� , então:

!�#"%$ �&�

� ('

De fato: � !�#" $ �/��� � 0

�#" $ � ���

como � �� é finito, a interseção é finita ou é todo�

.

3. Sejam ) * � )&, � '-'-' � )/. � , então:� .01 2 * ) 1 � �

.!132 * ) �1

a união é finita ou todo�

, pois cada conjunto é finito ou todo�

.

4. Esta topologia é chamada de cofinita e denotada ����� .5. Se

�é finito, então ����� �� 1�� .

Observações 2.

1. Seja� � com a topologia ����� . O conjunto � � � � � não é aberto nesta

topologia, pois seu complementar é � � � �� �e não é finito nem igual a � .

Mas, � � � � � � � � � �� �é aberto. Nesta topologia os abertos são da forma:

� � �.!132 * ��� 1 � � 1

� � '

2. Seja� � com a topologia �� � . Se � � � é finito, então � não é aberto.

Analogamente em � . .

Exemplo 8. Seja 4 ��� 6 . Se para todo �� �

, ��� � , verifique que � 1�� .

Page 12: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1.2 Conjuntos Fechados

Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológi-co. Veremos que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracteri-zada atraves dos conjuntos fechados.

Definição 2. Seja � � �. � é dito fechado em

�se � � � .

Exemplo 9.

1.�

e�

são fechados em�

.

2. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então os fechados de�

são�,�

e � - .3. Considere

� ��� � ��� com a do exercício [2], determine os conjuntosfechados de

�.

(a) Primeiramente�

e�

são fechados em�

. Os conjuntos ��� e � - nãosão fechados; de fato:

��� � � ���� �� � � - � ��� ��� �� � -'

(b) Por outro lado � � , ��� ��� e � ���� são fechados em�

:

� � � ��� � � � ��� �� � � � � � ��� � ��� � � -'

Teorema 1. Seja 4 ��� 6 espaço topológico e � a família de conjuntos fechados; então:

1.������� � .

2. Sejam � * � � , � '-'-' � � . conjuntos fechados em�

; então:

.!132 * � 1

é fechado em�

.

Page 13: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.2. CONJUNTOS FECHADOS 13

3. Sejam � � � � , arbitrários tal que � ��� , então:0�#" $ � � � �7'

A prova é imediata. De fato:

4.!132 * � 1 6 �

.0132 * � �1 � '

Exemplo 10. Seja 4 � � � � 6 ; então todo conjunto finito é fechado.

De fato, dado �� � , então ��� é fechado em � pois ��� � � � � � � � � � � �� �

;logo se � ��� * � ��, � '-'-' � . temos que:

� .!1 2 * ��� 1

'Exercícios 2. Seja

�com a topologia cofinita. Os fechados de

�são

�,�

e os subcon-juntos finitos de

�.

Observações 3.

1. O exemplo anterior vale em � . .

2. A propriedade de ser aberto ou fechado é independe uma da outra. Umconjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado,fechado e não aberto ou nehum dos dois.

3. A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado.Por exemplo, para todo subconjunto ) � �

, temos:

) !� "�� �

- '

4. Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pe-los seus conjuntos fechados.

Exemplo 11.

1. Se�

tem a topologia discreta, todo subconjunto de�

é aberto e fechado.

2. Seja� � � � � com a topologia euclidiana; então os conjuntos � � � � � e� � � �� �

são abertos. Como cada um deles é complementar do outro, tam-bém são fechados.

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14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

3. O conjunto� � � não é aberto nem fechado com a topologia usual e com a

topologia cofinita de � .

Definição 3. Sejam * e 7, topologias sobre�

. Se (* � 7, , então dizemos que atopologia 7, é mais fina que * .Exemplo 12.

Em � , a ����� é menos fina que a �� � . De fato, seja � � ����� ; então � � é finito; logo�&� é fechado em �� � e � é aberto em �� � .Observações 4.

1. As topologias sobre um conjunto não podem ser comparadas, necessaria-mente. Veja o exemplo:

2. Seja� ��� � com as topologias: (* � � � ��� � � e 7, � � � � - � � .

então * e , não podem ser comparadas.

3. Para toda topologia sobre�

temos:

1 .�� �� � �� 1�� '4. No exemplo 1, temos:

1 .�� � * � � � �� 1�� 'Exercícios 3.

1. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são tambémconjuntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta.

2. Sejam * e 7, duas topologias sobre o conjunto não vazio�

. Considere:

(a) * �� , a família formada por abertos comuns a ambas as topologias.

(b) * � , a família formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias.

As famílias definidas são topologias sobre�

? No caso negativo, ache um contra-exemplo.

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1.3. BASES 15

1.3 Bases

Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário des-crever todos os conjuntos abertos da topologia mas apenas alguns conjuntos es-peciais da topologia, os ditos abertos básicos da topologia.

Seja 4 �5� 6 um espaço topológico e � uma família de subconjuntos de�

tal que� � .

Definição 4. � é uma base para se para todo � � , temos que:

�� !� "�� ) '

Observações 5.

1. Como � � , então toda união de elementos de � também pertence a .

2. Os elementos de � são ditos abertos básicos da topologia.

3. Se � é uma base de dizemos que � gera a topologia ou que é atopologia gerada por � .

4. Para todo � � existe ) � � tal que ) � � . De fato, seja �� � ; como� � e � é uma base de , então:

� !�#"%$ )&�

onde )&� � � . Logo, existe � ��� tal que:

�� )&� � � '

Teorema 2. Seja � � . A família � é uma base de se, e somente se

1.� !

� "�� ) .

2. Para todo )+* )/, � � , se �� )+* � )&, , então, existe ) � � tal que:

�� ) ��)+* ��)&,-'

Page 16: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Prova : Se � é uma base de alguma topologia , então�

é aberto; logo se escrevecomo união de abertos básicos.Se )+* � )&, � � , então )+* , )&, são abertos e ) * �5)&, é aberto; logo se �

� )+* ��)&, ,existe um aberto ) � � tal que �

� ) ��) * ��)&, .Reciprocamente, se � satisfaz 1 e 2 e se exitir uma topologia que tem � comobase, todo aberto nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de ele-mentos de � . Definamos:

��� � � ��� é união arbitrária de elementos de � 'Devemos provar que é uma topologia sobre

�. Claramente

� � ; por outrolado

� � , pelo ítem 1.Sejam �&� � , arbitrários; cada ��� !

�)&��� � , onde )&��� � � � ; então:

�� ! �� !�)&��� � � !��� � )&��� � � '

Agora consideremos �+* e �&, � , então �+*� ! � )&� e �/, !�) � , então:

� * � �&, � !� )/� � �

� !�) � � !��� � 4 )&� � ) � 6 '

Se �� �+* �5�/, , existe pelo menos um par de índices � � ��� � tal que �

� ) �*�5) � ;por 2 existe ) � � tal que:

�� ) ��)&� ��) � � � * � �&,�

logo, �+* � �&, é aberto. O caso geral segue por indução.

Definição 5. Os conjuntos ) � � tal que �� ) são chamados vizinhanças do ponto

� .

Exemplo 13.

1. Uma topologia é base de si própria.

2. Para 1 . � , a base é � � � .3. Para �� 1�� , a base é � � ��� � � � �

.

4. Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.

Page 17: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.3. BASES 17

Exemplo 14. Seja� �� e �

��&� � tal que ��� , então:

� � ��� �� � gera a topologia usual ou euclidiana de � .

De fato:

1. � !��� ���� ��%� .

2. Para todo �� � , � � � � � � � � � � � .

3. Para todo �� � tal que �

� ��� * �� * � � ��� , �� , � , temos:

�� ��� ��%� � ��� * �� * � � ��� , �� , � �

onde � # � � ��� * � � , e #�� � * � , .

Exercícios 1.

1. Seja� �� e �

��&� � tal que ��� . Verifique que:

� � � � �� � gera a topologia chamada do limite inferior em � .

2. Sejam 4 �5� * 6 e 4� � , 6 espaços topológicos. Verifique que:

� ��� � � ��� � * � � � , é uma base para uma topologia de

� � � . Esta topologia é chamada pro-duto.

3. Em particular, sejam �� ��� ��� � � e � � ��� �� � � � � ��� � � �� ��� � �

.Verifique que � é uma base para a topologia usual em � , .

4. Seja� � � ��� � � � � ��� . Verifique que não existe nenhuma topologia em

que tenha como base:

� � � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� '5. Seja

� ��� � ��� ��� �� ��� com a seguinte topologia:

� � � ��� ��� � � ����� � ��� �� � � � � ��� ��� �� ��� 'Verifique que:

� � ��� � � � ��� � � ������ �� ��� é uma base para .

6. Verifique que � � � � ���� ��� � � � é uma base para a topologia discretaem � .

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18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1.3.1 Subbases

Seja 4 �5� 6 um espaço topológico e � uma família de subconjuntos de�

tal que� � .

Definição 6. � é uma subbase de se a coleção de interseções finitas de elementos de� é uma base de .

Proposição 1. Sejam�

um cojunto não vazio e � uma família de elementos de�

taisque para todo �

� �existe � � � tal que �

� � . Seja � a coleção de interseçõesfinitas de elementos de � . Então, a família formada por

�,�

e as uniões arbitrárias deelementos de � é uma topologia para

�e é a menor topologia que contém � .

Prova :Claramente

� � � � e toda união de elementos de pertence a . Mostraremosque qualquer interseção finita de elementos de está em , ou melhor, provare-mos que se � � ) � , então � ��) � :

1. Se � ou ) é vazio, está provada a proposição.

2. Suponha que � e ) são não vazios. Então:

�� ! � �/�� ) ! � ) �

onde �/� � ) � � � . Logo:

� � ) � !� �&� � �

� !� ) � � !��� � 4 �&� ��) � 6 '

Por outro lado �&� e ) � são interseções finitas de elementos de � , logo ��� �) � é uma interseção finita de elementos de � e, � � ) � .

3. Claramente � � .

4. Se �� é outra topologia em�

que também contém � , então � � �� ; logo, ��deve conter as uniões arbitrárias de elementos � , isto é � �� . Então é amenor topologia sobre

�que contém � . Isto é, � é uma subbase de

�.

Observação 1.

Em geral � não é uma base de , pois os elementos de não podem ser escritos,necessariamente, como uniões de elementos de � .

Exemplo 15.

Page 19: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.3. BASES 19

1. Toda topologia é subbase de si mesma.

2. � � � � � � � � � � �� � � � � &� � é uma subbase para a topologia usual de� .

3. � � � � � � � � � � �� � � � � � � é uma subbase para a topologia discretade � .

4. Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos; então:

� ��� � � � � � � ��� � * � � � 7, é uma subbase para a topologia produto em

� � � .

Topologia de Zariski

A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álge-bra, como por exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica.

Seja �� � ou � . Consideremos a família dos polinômios de -variáveis em � .Isto é: � � 1 � � 1 � � � � * � ��, �-� ' '-' � � . � � � � �

. Seja:� � � 1 � ��� � � . � � 1 � � � � � � � � '

Exemplo 16.

Se� � � ��� � � , � � , � � , então

� � � � �� * .Observações 6.

1.� � ��� �� � e

� � � � �� . Por outro lado:

2. Sejam� � � 1 � e

� ��� � . Denotemos � 1 / � 1 �� � � � � * � ��, �-� '-' ' � � . � tal que � � �

e�� ���

. Afirmamos que� � � 1 � ��� ���� � � � � 1 �� � . De fato, se � 1 � � � � para

todo � � �e ����

, então:

�+�� 1 � � � 4 � 1 �� 6 � � � � 1 � � � �� � � �para todo � � �

e ���

; logo� 1 � � � � para todo � � �

ou ��#� � � � paratodo

����.

Denotemos por ��� � 1 � 4 � � � 1 � 6 � e � ����� � 1 � � � � � . A família � forma uma

base para uma topologia em � . .

Definição 7. A topologia que gera � em � . é chamada de Zariski.

Page 20: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Observações 7.

1. Os� � � 1 � são os fechados na topologia de Zariski.

2. Em � , a topologia de Zariski é a topologia cofinita. De fato, todo subcon-junto finito em � é conjunto solução para algum polinômio de uma variávelreal.

Por exemplo, se � ���#* � �-, � '-'-' � � . , então:� � � � � � � � * � � � � � , � ' '-' � � � � . �

é um polinômio que tem conjunto solução � . Por outro lado o conjunto desoluções de um polinômio de uma variável de grau possui no máximo elementos.

3. Se "� � a topologia de Zariski não é a cofinita.

Por exemplo, a reta� � é solução do polinômio

� � � ��� � �� � que não é

um conjunto finito.

Topologia de Zariski em Anéis

Seja � um anel e denotemos por ��� �� ��� � o conjunto de todos os ideais primos de� . Consideremos a seguinte família de subconjuntos:

� � � � ��� �� � ��� �� ��� � � � �� �onde

�é um ideal de � .

1.� � � � ���� �� ��� � e

� ��� � � . Por outro lado:� � � � � � � � � � � � � �0�#" $

� � � � � � 4 �#" $� � 6

2. Definimos sobre ��� �� ��� � a topologia de Zariski, como a topologia que temcomo conjuntos fechados os

� � � � .3. Se denotamos por ��� � � ��� �� ��� ��� � � � � os abertos da topologia de Zariski,

é possível provar que se�

é um ideal principal, a base para a topologia deZariski é:

� ����� � � � � é um ideal principal '

Page 21: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.4. TOPOLOGIA RELATIVA 21

1.4 Topologia Relativa

Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologianum conjunto, um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura?

Seja 4 ��� 6 um espaço topológico e� � � � �

, então:

��5 ��� � � �� � �é uma topologia sobre � chamada topologia relativa a � .

Definição 8. O par 4� � �� 6 é dito subespaço topológico de 4 �5� 6 . Os elementos de �� são ditos abertos relativos.

Exemplo 17.

1. Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Por exemplo,seja � com a topologia usual e

� � � com a topologia relativa, então � ��� � � � � � � � � é aberto em�

pois � � � � � � � �e � não é aberto em� .

2. Seja � com a topologia usual. � e� � � são subespacos topológicos tais

que a topologia relativa é a topologia discreta. De fato, se ��� então:

� � � 4 � �� � � �� 6 '3. Seja �� � � � �� � � � com a topologia gerada por:

� �� � ��� ��� � e � � �� � � ��� '

A topologia gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida. Seja� � � � com a topologia relativa; então �� é a topologia euclidiana.

Proposição 2. Seja 4 � � �� 6 subespaço topológico de 4 ��� 6 .1. Seja �� � )���� �5�� uma base de ; então ��5 � )�� � � ��� ��� é uma base

para � � .

2. � � � é fechado se, e somente se � � � � , onde � � �é fechado.

3. Se � é fechado (aberto) em � e � é fechado (aberto) em�

, então � é fechado (aberto)em

�.

Prova :

Page 22: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1. Imediata.

2. Se � � � é fechado, então � � ���, onde

�é aberto em � ; logo

� � � � , onde � é aberto em

�; por outro lado:

� � � 4 � � � 6 � � � � 'Reciprocamente, se �� � � � , onde � � �

é fechado, então:

� � � � � � � �logo, � é fechado em � .

3. Como � � � � e ambos são fechados em�

, então � é fechado em�

Exemplo 18.

1. Seja � com a topologia usual. O conjunto

� * � � � ��� � � � , � � , � � , � � � ,com a topologia relativa é dito círculo unitário. Os abertos relativos em � *são os arcos abertos de círculos.

Figura 1.1: Abertos relativos de � *

2. Em geral, seja � .�� * com a topologia usual. O conjunto:

� . � � � * � '-'-' � � . � � .�� * � � � .�� * �. 132 * �

,1 �

com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.

Page 23: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 23

1.5 Pontos e Conjuntos Notáveis

Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto,e/ou fechado.

Definições 1. Seja 4 �5� 76 um espaço topológico e � � �

1. �� �

é um ponto interior a � se existe � vizinhança de � tal que:

�� � � � '

O conjunto de todos os pontos interiores a � é denotado por:�� .

2. �� �

é um ponto exterior a � se é interior a � � .O conjunto de todos os pontos exteriores a � é denotado por:

��� � '

3. �� �

é um ponto aderente a � se para toda vizinhança � de � temos:

� � � � � 'O conjunto de todos os pontos aderentes a � é denotado por: � . O conjunto � édito fecho de A.

4. �� �

é um ponto de acumulação de � se para toda vizinhança � de � temos:

4 � � ��� 6 � � � � 'O conjunto de todos os pontos de acumulação a � é denotado por: � � .

5. �� �

é um ponto da fronteira de � se é aderente a � e a � � .O conjunto de todos os pontos da fronteira de � é denotado por: � � .

6. �� �

é um ponto isolado de � se ��� é vizinhança de �

7. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto.

8. � � �é dito denso em

�se:

� � 'Observações 8. Seja 4 �5� 6 e � � �

:

1. Se � � �, então

� �� � �&� ����� � , onde as uniões são disjuntas.

Page 24: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

24 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

2.� � e

� �.

3.�� � � e, por definição, é um conjunto aberto.

4. ���� � se, e somente se existe uma vizinhança � de � tal que � � � � , istoé:

���� � � �� �4 � � 6 '

Logo, 4 � 6 � �4 � � 6 � � � � e como

� �� � � � � ��� � , onde as uniões são

disjuntas, temos:

�� �� � � � �sendo a união disjunta.

5. O conjunto � é fechado. De fato, 4 � 6 � �4 �&� 6 que é aberto.

6. Para todo � � �, temos � � � . De fato, se ���� � , então existe � vizinhança

de � tal que � � � � , isto é �� � � � � ; logo � �� � .

7. Para todo � � ) � �, temos: se � � ) , então � � ) . De fato, se � �� ) ,

então existe � vizinhança de � tal que � �5) � , isto é �� � � ) � ; como) �7� �&� , então ���� � � � .

8. � � é um conjunto fechado, pois 4 � ��6 � �� � ��&� que é aberto.

9. � 4 �&� 6 � .Exemplo 19. Sejam � com a topologia usual e � � � � � � � � � ; então:

1.��� � � � � � .

2.��� � � � � � � � � � ���#� � � � � �� �

.

3. �� � � � � � � � � .4. � � � � � � � .5. � � � � �� � � .

Exemplo 20. Sejam � � � e� � � e � com a topologia usual.

1. � e�

são discretos.

Page 25: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 25

2.�� � e

� � � � .

3.�

� �, pois nenhum intervalo aberto pode ser formado apenas por racio-

nais.

4. � � �� , pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais.

5.� � , isto é,

�é denso em � .

De fato, suponha que� � � , então existe �

� � � �. Como � � �

é aberto,existe ��� �� � tal que:

�� ��� �� � � � � � '

Mas, todo intervalo contém números racionais, logo existe � � �tal que

� � ��� �� � � � � �, logo � � � � �

o que é uma contradição.

6.� � � .

Proposição 3. Sejam 4 �5� 6 e � � �:

1. � é fechado se, e somente se � �� .

2. � � .

Prova :

1. Suponha � fechado; então ��� é aberto. Se � �� � , então �� �&� , logo existe

� vizinhança de � tal que �� � � � � ; então � ��� �

isto é � �� � ; logo� � � .

� � � se � �� � , então existe uma vizinhança � de � tal que � �5� �� �

� � � � � isto é � � é aberto � � é fechado.

2. Como � é fechado, pelo

3. anterior � � .

Teorema 3. Seja 4 ��� 76 e � � �; então � é o menor conjunto fechado que contem � ,

isto é:

� 0 �� �� � � e � é fechado � '

Page 26: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

26 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Prova :( � ) Se � ���� �

� � , então �� 4 � �

� � 6 � �� �� � � que é aberto; logo, existe pelo

menos um � � tal que �� � � ; como � � é aberto, existe � vizinhança de � tal que

�� � � � � � � � , então � � � � ; logo ���� � .

( � ) � é fechado e � � � ; então� �

� � � .

Exemplo 21.

1. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então � - � - e ��� �.

2. Seja 4 �5� 76 onde é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de�são fechados, o único conjunto denso em

�é�

.

3. Seja� ��� � ��� ��� �� # com a seguinte topologia:

� � � ��� ��� � � ����� � ��� ��� ��� � � �� � � �� # '(a) Pelo teorema temos que:

� - � �� # � ��� ��� �e � �� � � ��� ��� �� # '

(b) Logo, o menor fechado que contém � - é � �� # .(c) Note que ��� �� é denso em

�.

Teorema 4. Sejam 4 �5� 76 e � � �; então

�� é o maior conjunto aberto contido em � ,isto é:

�� ! ������ � � e � é aberto � '

Prova :( � )

�� é aberto e�� � � ; então

�� ��� �� � .

( � ) Seja �� � �

� � , então existe pelo menos um � tal que �� � � � , isto é

�� �� .

Proposição 4. Sejam 4 �5� 76 e � � �.

1. ���� � � � . Em particular, � é fechado se, e somente se � � � � .

2.��� 4 � � 6 � . Em particular, � é aberto se, e somente se � �� .

Prova :

Page 27: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 27

1. Por definição � � � � ; por outro lado � � � , então � � � � � � . Reciproca-mente, seja �

� � . Se �� � está provado. Se ���� � , então toda vizinhança

� de � é tal que 4 � � ��� 6 � � � � , isto é, �� � � .

2. Se � � � , então � � � � � e os conjuntos abertos � � � são exatamente oscomplementares dos conjuntos � fechados tais que � �&� � . Pelo exercícioanterior:

�� ! �� ��� � � e � é aberto �

! �� � �� � � � e � é fechado �

� 0 �

� �� � � � � e � é fechado � � � 4 � � 6 � '

Exemplo 22.

1. Seja 4 �5� � 1���� 6 ; então:

(a)�� - � , ���� ��� .

(b) � - � � e ��� � � .(c) � � - �+���

.

2. Seja 4 �5� 1 .�� 6 ; então:

(a) Para todo � � �tal que � � �

, temos que�� � .

(b) Para todo � � �não vazio, � �

.

(c) Para todo � � �tal que � tem mais de um elemento, � � �

e ��� � ��� ��� .(d) Para todo ��� �

; �&�� �.

3. Seja 4 �5� �� 1�� 6 ; então:

(a) Para todo � � �temos que

�� �� .

(b) Para todo � � �temos que � � .

(c) Para todo � � �temos que � � � .

(d) Para todo � � �temos que �/� �

Page 28: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

28 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

4. Seja 4 �5� ����� 6 ; então:

(a) Para todo � �� ����� temos que�� � .

(b) Para todo � � �tal que � é infinito, � �

.(c) Para todo � � �

tal que � é infinito, � � �e se � é finito, � � � .

(d) Para todo � � �aberto tal que

�é infinito, � � � � � ; caso contrário

�/� �.

Exemplo 23.

Considere 4 � � ����� 6 e � � � � � � . Então�� � e � � � �&���� .

Exercícios 2. Seja 4 ��� 6 e � � �.

1. � � � � , se e somente se � é fechado.

2. � � � , se e somente se � é aberto e fechado.

3. � � � � � , se e somente se � é aberto.

Exemplo 24.

1. Seja 4 �5� 1 .�� 6 ; para todo � � �tal que � � �

, temos que �&�� �.

2. Seja 4 �5� �� 1�� 6 ; para todo � � �temos que �/� � .

Proposição 5. São equivalentes as seguintes condições:

1. � é denso em�

.

2. Se � é fechado e � � � , então � �.

3. Todo aberto básico não vazio de�

contém elementos de � .

4.��/� � .

Prova :

� ��� � �Se � � � , então

� � � � � , logo � �.

� ��� � � Seja � aberto básico não vazio tal que � ��� � ; então � � � � � �, o

que é uma contradição pois � � é fechado.

� ��� � � Suponha que� � � � � �

; como� � � � é aberto, então existe � aberto

básico não vazio tal que � � � � � � ; como� � � � � � � , � � � � e � � � � ; logo

� não contém pontos de � .

� ��� � � 4 � 6 � �4 � � 6 � � � �� � � . Logo, �� �

.

Page 29: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.5. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 29

Exercícios 4. Seja � � �e defina a seguinte topologia em

�:

� � � � � ��� ��� ��� � � 'Verifique que é uma topologia e que � � é denso em

�.

Observação 2.

Seja � subespaço de�

e denotemos por � � o conjunto � como subconjunto de� ; então:

1.����� �� � � .

2. ���� � � � .

3. � � �� � � � � .

Exemplo 25. Seja � com a topologia usual e � � � � � ��� � � � � ��� � � com a topologiarelativa.

Então:

1. � � � � � � � � � � � � ; por outro lado, � � � � � � � � � � � � ; logo � � � � � é aberto efechado em � . Logo,

��� � � � � � � � � � � � � � � � � '

2. � � � � � � � � � � � � ; logo � � � � � é fechado em � . Logo,

�� � � � � � � � � � � � .

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30 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1.6 Espaços Métricos

Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços mé-tricos.

Seja! � � .

Definição 9. Uma métrica ou distância sobre!

é uma função:��� ! �"! ��� � �

tal que, para todo ���� �����"!

, tem-se:

1.� � � ��� � � � e

� � � ��� � � se, e somente se � � .2.� � � ��� � � � � � � � .

3.� � � ��� ���$� � � ��� � � � � � ��� � .

Observação 3. O par � !���� � é chamado espaço métrico.

Exemplo 26.

1.!

é um espaço métrico com a métrica:

� � � ��� � � se �

� �� se �� � '

�é dita métrica discreta.

2. � é uma espaço métrico com� � � ��� � � � � � , onde é o valor absoluto

em � .

Exemplo 27.! � . é uma espaço métrico com:

� *%� � ��� � � �. 132 * � � 1

� � 1 � , �

� ,�� � ��� � . 132 * � 1

� � 1 �� �� � ��� � �����*�� 1 � . � 1 � � 1 �

onde � � � * � ��, � '-' ' � � . � e� � � * � � , � '-'-' ��� . � � � . .

Page 31: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.6. ESPAÇOS MÉTRICOS 31

Exemplo 28. Seja )�� ! � � � o conjunto de todas as funções limitadas� � ! � � � .

Como a soma e a diferença de funções limitadas é limitada, então:� � � � � � ������ " ' � � � � � � � � � �

é uma métrica em ) � ! � � � . (Verifique!)

Exercícios 5.

1. Verifique que no exemplo [27], temos:� � � * � � , � � '

2. Seja � � 4 � � �� � 6 o conjunto das funções contínuas� � � � �� � � � � . Defina:

� *%� ��� � � � �

� � � � � � � � � � � �� ,�� ��� � �

� �

� � � � � � � � � � , � �Verifique que

� * e� , são métricas em � � 4 � � �� � 6 .

1.6.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaços Métricos

Seja � ! ��� � um espaço métrico e � � � tal que � � � .

Definição 10. Uma bola aberta em!

de centro � � e raio � é denotada e definida por:

)�� �� � � � ��� � ! � � � � � �� � � � 'Exemplo 29. Seja

! �� , com� ; então:

) � �� � � � � �� � � � �� � � � �isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos.

Exercícios 6.

1. Determine a topologia definida pela métrica discreta.

2. Determine, geometricamente, as bolas abertas em � . com as métricas definidasanteriormente.

Proposição 6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para uma topolo-gia no espaço métrico.

Prova : De fato.

Page 32: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

32 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

1. Claramente:! !

� "(' )�� �� � � .

2. Seja �� ) � ��� � � � ; então

� � ��� � � � � � ; logo �� � � � � � � �� � � � . Consideremos)�� � � � � ; então

) � � � � � � )�� �� � � � 'De fato, seja

� � )�� � � � � ; como� � � ��� � ��� ; temos:

� � � � �� � �$� � � � � � � � � � � �� � ��� � � � � � �� � � 'Observação 4. A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica geradapela distância

�, e será denotada por � .

Exercícios 7. Seja � ! ��� � um espaço métrico:

1. Seja � � � e:

) � �� � � � ��� � ! � � � � � �� ��� � 'Verifique que ) � �� � � � é um conjunto fechado.

2. Seja � � ! finito. Verifique que � é fechado.

3. Sejam 4 !���� * 6 e 4 � ��� , 6 espaços métricos. Definamos em! ���

:� � � � * ��� * � � � ��, ��� , � � � *%� � * � ��, � � � ,�� � * ��� , � �

onde � � * ��� * � � � ��, ��� , � �"! ���. Verifique que:

(a)�

é uma métrica em! ���

. Esta métrica é dita métrica produto.

(b) Se ) * � � � � � é uma bola aberta em!

e ) , � � � � � é uma bola aberta em�

, então:

� � ) * � � � � � � ) , � � � � � �é uma base para uma topologia em

! ���.

O espaço topológico 4 ��� 6 é dito metrizável se é uma topologia métrica.

Exemplo 30. Seja 4 ! ��� 6 , onde�

é a métrica discreta; então )�� � � ��� � � ��� ; logo �é a topologia discreta.

Observação 5. Nem todo espaço topológico é metrizável.

Exemplo 31. Se�

possui mais de 2 pontos, 4 �5� 1 .�� 6 não é metrizável.

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1.7. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 33

1.7 Espaços Vetoriais Normados

Seja�

um � -espaço vetorial.

Definição 11. Uma norma sobre�

é uma função:� � � � � � � � � �

tal que, para todo ���� � �

e � � � , tem-se:

1. Se �� � , então

��� � � .

2.� � � � �� � � � .

3.��� � � � �

�� � � � �

.

Observação 6.

O par � � � ��� � é chamado espaço vetorial normado.

Exemplo 32.

1.� � . é uma espaço vetorial normado com:

��� *� � �

. 132 * �

,1 �

��� ,

. 132 * � 1

���� �����*�� 1 � . � 1 �

onde �� � � * � ��, � ' '-' � � . � � � . .

2. ) � ! � � � é um espaço vetorial, sendo:� � � � � �� "(' � � � � �

uma norma em ) � ! � � � .Observações 9.

1. Seja � ��� ��� � um espaço vetorial normado. Definindo:��� � � ��� � �

�� � � �

temos que � � ����� � é um espaço métrico.

Page 34: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

34 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

2.� �

é chamada métrica proveniente da norma� �

.

Exercícios 8.

1. Sejam � 4�� . 6 . " � uma seqüência em � e:

(a)��� ����� �

. 2 * � . � � ��

, � � � � ��.

(b)� � ����� ����� ��� .7� � � � ��

.

Definamos em� �

e em� �

, respectivamente:

��� � � �

. 2 * � . ��� * �

��� � � ���. " � �� � . '

Verifique que 4 � � � � � � 6 e 4 � � � � � � 6 são espaços vetoriais normados.

2. Sejam 4 � � ��� * 6 e 4 � � � � , 6 espaços vetoriais normados. Definamos em� � �

:� ��� �� � � � � � * � � � , �

onde ��� �� � � � � � . Verifique que���

é uma norma em� � � . Esta norma é dita

norma produto.

1.8 Espaços Vetoriais com Produto Interno

Seja�

um � -espaço vetorial.

Definição 12. Um produto interno sobre�

é uma função:

� � ��� � � ��� � �tal que, para todo �

��� ����� �e � � � , tem-se:

1. Se �� � , então � �

�� � � � .

2. � � � ��� �/ � � ���� � .

3. � ���� �/ � � � � � .

4. � �� � ��� �/ � �

��� � � � � ��� � .

Page 35: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

1.8. ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO 35

Observações 10.

1. Seja � ��� � � � um espaço vetorial com produto interno. Definindo:��� � �� � �

���� �

temos que � � � � � � � �é um espaço vetorial normado.

2.� � �

é chamada norma proveniente do produto interno � � .

3. Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno.

Exercícios 9.

1. Sejam � 4 � .#6 . " � uma seqüência em � e considere� �

e� �

como o exercício [8]:

2. Verifique que 4 � � � � � � 6 e 4 � � � � � � 6 são espaços vetoriais com produto interno.

3. Sejam� * e

� , espaços vetoriais com produtos internos � � � * e � � � , , respecti-vamente. Definamos em

� * � � , :� ��� * �� * � � ����, �� , � �/ � � * � ��, � * � � * �� , �(, �

onde ��� * �� * � � ��� , �� , � � � * � � , . Verifique que � � � é um produto interno em� * � � , .

Page 36: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

36 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Page 37: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 2

Funções em Espaços Topológicos

2.1 Funções Contínuas

A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quasi todas asáreas da Matemática. E é o primeiro paso para tentar distinguir objetos diferentesem topologia.

Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos.

Definição 13. A função� ��� ��� � é contínua se para todo

� � , temos que:

��� * 4 � 6 � * 'Observações 11.

1.�

é contínua se a imagem inversa dos abertos de � são abertos em�

.

2. Uma função contínua não leva, necessariamente, abertos em abertos. Porexemplo se 4 � � 7, 6 é tal que , não é a topologia discreta, ou se � tem maisde dois elementos e 7, não é a topologia indiscreta.

Exemplo 33.

1. Toda função constante é contínua.

2. Seja�

tal que * e , são topologias em�

. A função identidade:

� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é contínua se, e somente se 7,/� * .

37

Page 38: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

3. Sejam 4 �5� 6 e 4 � � 1 .�� 6 . Toda função� ��� ��� �

é contínua.

4. Sejam 4 �5� �� 1�� 6 e 4 � � 6 . Toda função� ��� ��� �

é contínua.

5. Sejam 4 ��� � � * 6 e 4 ��� ��� , 6 espaços vetoriais normados de dimensão finita.Se

� � � ��� �é linear, então é contínua.

Observação 7. Seja � � �. A topologia relativa � pode ser caracterizada como a

menor topologia sobre � tal que a função inclusão:

� � � ��� �

é contínua.

De fato, se � � , a continuidade de � implica que � � * 4 � 6 � � � deve ser abertoem � ; logo qualquer topologia onde � for contínua deve conter �� .

Proposição 7. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 e 4 �/� � 6 espaços topológicos.

1. Se� ��� ��� � e � � � � � �

são contínuas, então:

� � � ��� ��� �

é contínua.

2. Se� ��� ��� � é contínua e � � �

é subespaço topológico, então:� �

� � ��� �

é contínua.

3. Se� ��� ��� � é contínua e

� 4 � 6+� � é subespaço topológico, então:� ��� ��� � 4 � 6

é contínua.

Prova :

Page 39: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 39

1. Segue do seguinte fato: 4 � � � 6 � * �� * � � � *

2. Note que� � � � � , onde � � � � � �

é a inclusão; pelo ítem anterior� � é

contínua.

3.�� * 4 � � � 4 � 6�6 �

� * 4 � 6 � � � * 4 � 4 � 6�6 �� * 4 � 6 .

Teorema 5. Sejam 4 ��� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos e� � � ��� � . As seguintes

condições são equivalentes:

1.�

é contínua.

2. Para todo � � � fechado,� � * 4 � 6 é fechado em

�.

3. A imagem inversa por�

de qualquer elemento da base (subbase) de � é aberto em�(não necessariamente um aberto básico ou subbásico de

�).

4. Para todo �� �

e para toda�

vizinhança de� � � � em � , existe � vizinhança de

� em�

tal que:� 4 �&6 � � '

5.� 4 � 6 � � 4 � 6 , para todo � � �

.

6.�� * 4 ) 6 � �

� * 4 ) 6 , para todo ) � � .

Prova :

� � �� �

De fato,� � * 4 � � �+6� ��� � � * 4 � 6 , para todo � � � .

� � � � � Seja � uma base da topologia de � e ) � � ; como�

é contínua,�� * 4 ) 6

é aberto em�

. A prova da recíproca segue de que todo aberto� � , pode ser

escrito como:� !

�#"%$ )/��

e que:

� � * 4 !�#"%$ )/� 6�!�#"%$

� � * 4 )&� 6 '� � � � � Como

�contínua e

�é aberto (vizinhança de

� � � � ), consideramos � �� * 4 � 6 que é vizinhança de � e:

� 4 � 6 � � '

Page 40: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

40 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

� � � � �Seja � � �

e �� � ; provaremos que

� � � � � � 4 � 6 . Denotemos por � �a vizinhança de � tal que

� 4 � � 6 � �, onde

�é vizinhança de

� � � � . Se �� � ,

então � � � � � � ; logo:� � � 4 � � � ��6 � � 4 � � 6 � � 4 �&6 � � � � 4 ��6 �

então� � � � � � 4 �&6 .

� ��� � � Seja � �� * 4 ) 6 ; então

� 4 � 6 � � 4 � 6 � 4 � � * 4 ) 6 6 ) � � 4 � 6Corolário 1. Seja 4 ��� 6 tal que

� � � ) , onde � e ) são conjuntos fechados(abertos) em

�. Se

� � � ��� � e � � ) ��� � são funções contínuas tais que� � � �

� � � � para todo �� � ��) , então a função � ��� ��� � definida por:

� � � � � � � � se �

� �� � � � se �

� )é contínua.

Prova :Seja � � � fechado, então:

� � * 4 � 6 �� � * 4 � � � 4 � � ) 6 4 � � * 4 �+6�� �&6 � 4 � � * 4 �+6 � ) 6 � � * 4 � 6 � � � * 4 � 6 '

Como� � * 4 � 6 e � � * 4 � 6 são abertos, então � contínua.

Observações 12.

1. Pelo teorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estudar acontinuidade de uma função.

2.�

é dita contínua no ponto ���� �

se o item [4] do teorema anterior valepara �� .

3. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 ! ��� , 6 espaços métricos; então:� � ! � � �

é contínua em �� !

, se para todo � � � , existe� � � tal que

� *%� � ��� � � �;

implica em� ,�� � � � � ��� � � � � � � . Isto é:

� 4 ) * � � � � � 6 ��) , � � � � � � � � '

Page 41: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 41

Exemplo 34. Seja � com topologia usual. Verifique que� � � � � , é contínua.

Pela propiedade anterior, basta provar que� � * 4 ��� �� � 6 é aberto.

Temos três casos:

1. Se � � ��� , então:

� � * 4 ��� ��%� 6 � � � � � � � � � � � � � � � '2. Se ��� � �

, então:��� * 4 ��� �� � 6& � � � �� � � '

3. Se ��� � � , então:� � * 4 ��� �� � 6� � '

4. Nos três casos, os conjuntos�� * 4 ��� �� � 6 são abertos; logo

�é contínua.

Proposição 8. Seja 4 ��� 6 . Então� � � ��� � é contínua se, e somente se para todo&� � ambos os conjuntos:

����� � � � � � - e ��� � � � � � � -

são abertos.

Prova : Seja 4 � � �� � 6 . Consideramos � ���� � e � � ��%�elementos da subbase da

topologia euclidiana; logo:� � * 4 � � �� � 6 ����� � � � � � � � * 4 � � �� � 6 ����� � � � � � - '

Exemplo 35.

A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ignorada. Porexemplo, a função característica de � , � �

� � ��� � não é contínua. De fato,considere � � � � � � ; então ��� ��� � � � � � � não é aberto e todos ��� ��� � � � � � são abertos, Logo, na proposição ambos os conjuntos devem ser abertos.

Exercícios 10. Sejam� � � ��� � � � � ��� e � ��� �� com as seguintes topologias:

1. *� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � e , � � � � � ��� , respectivamente. Ache to-das as funções contínuas entre

�e � .

2. * � � � �5� � � � � � � � � � � � � � � e 7, � � � � � � - , respectivamente. Ache todasas funções contínuas entre � e

�.

Page 42: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

42 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

2.2 Topologia Inicial

Sejam 4 � � , 6 , � um conjunto não vazio e� � � � � � uma função. É possível

achar uma topologia para�

tal que�

seja contínua? Por exemplo se 4 �5� �� 1�� 6 ,então

�é contínua.

Seja�

um conjunto não vazio e:

� � � � � * 4 � 6 � � � 7, '� � é uma subbase para uma topologia /� � � sobre

�que torna

�contínua.

Definição 14. &� � � é dita topologia inicial para�

.

2.2.1 Topologia Produto

Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 e� � � . Denotemos por:

� � * ��� � � � � �

� �-, ��� � � � � �

as respectivas projeções canônicas, onde � � * � � ��� � � e � �-, � � ��� � � .

� � � ** 4 � 6 � � � �� � � *, 4 � 6 � � ���� � � ** 4 � 6 � � � � *, 4 � 6 � � � '

Note que:

� � � � � � � ** 4 � 6 � � � � *, 4 � 6 ��� � * � � � 7, e� � � ��� � � ��� � * � � � ,

são a subbase e a base que geram uma topologia sobre� � � , que torna as proje-

ções contínuas. Esta topologia é dita topologia produto.

Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é,� � � � � é aberto se para

todo �� �

existe � � � , � aberto em�

e�

aberto em � tal que �� � � � � �

.

Page 43: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2.2. TOPOLOGIA INICIAL 43

U

X x V

U x Y

U x VV

Figura 2.1: Elementos de � e � .

Observação 8.

Todos os argumentos nesta seção são válidos para uma quantidade finita de es-paçõs topológicos.

Exemplo 36.

1. � . �� � � � '-'-' � � tem a topologia produto induzida pela topologia de � .Se consideramos em � a topologia usual, então a topologia em � . tambémé a topologia euclidiana ou usual.

2. � . � � .�� * é um conjunto fechado. De fato, seja � . com topologia usual econsideremos a função

� � � .�� * � � � definida por:� � � * � ��, � '-'-' � � . � � .�� * � � , * � � ,, � '-'-' � � ,. � � ,.�� * � �#'

�é contínua e � . �

� * 4 � � 6 ; logo, é fechado.

3. O cilindro � * � � tem a topologia produto induzida pela topologia de � .

4. Seja � * com a topologia induzida de � , , então � , � * � � * com a topologiaproduto, é dito toro.

1

S1S T

Figura 2.2: O toro � ,

Page 44: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

44 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Proposição 9. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � 7, 6 , 4 �/� � 6 , 4 � � �/� � 6 espaços topológicos,� * �� ��� � e

� , ��� ��� �e definamos:

� ��� ��� � � �

por� � � � � � *%� � � ��� , � � � � . Então,

�é contínua se, e somente se

� * e� , são contínuas.

Prova : Sejam � �#* � � � � ��� � e � � , � � � ����� �as respectivas projeções.

Como� 1 � � 1 � � , se

�é contínua, então

� 1 � � 1 � � são contínuas ( � � ��� ).

Reciprocamente, se as� 1 são contínuas, seja � � �

um aberto básico de � � �;

então:� � * 4 � � � 6� � � ** 4 �&6�� � � *, 4 � 6��

logo,�

é contínua.

Proposição 10. Sejam 4 �5� * 6 , 4 � � , 6 , 4 �/� � 6 , 4�� � �� 6 4 � � � � � 6 , 4 � ��� � 6

espaços topológicos,� * ��� ��� �

e� , � � � �

� e definamos:� * � � , ��� � � ��� � �

por � � * � � , � � � ��� � � � * � � � ��� ,�� � � � . Se� * e

� , são contínuas, então� * � � , é contínua.

Prova : Sejam � �#* � � � � ��� �e � � , � � � � � � � as respectivas projeções.

Como:� * � � � * ��� � � ��� �� , � � �-, ��� � � ���

são contínuas, então� * � � , é contínua.

Proposição 11. Sejam 4 �5� * 6 um espaço topológico e 4 � � ��� 6 um � -espaço vetorialnormado. Como

�possui uma estrutura algébrica, dadas

� � � � � ��� �podemos

definir a nova função:� � � � � ��� �

���� 4 � � � 6 � � � � � � � � � � � � '

Se�

e � são contínuas, então� � � é contínua.

Prova : Sejam � ��� ��� � � �tal que � � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � �

talque � � * �� , � * � , ; a função � é contínua. Então

� � � �� � � , é contínua.

Page 45: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2.3. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 45

Proposição 12. Sejam� ��� ��� �

e � ��� ��� � e definamos a nova função:

� � � � ��� �

���� 4 � � � � � � � � � � � � � � � '

Se�

e � são contínuas, então � � é contínua.

Prova : Sejam � � � � � � � � tal que � � � � � � � � � ��� � � � � e # � � � � ��� �tal

que #�� � �� � � ; a função # é contínua. Então � � $# � � , é contínua.

Observação 9.

A prova de que � e # são contínuas segue do fato de serem ambas contrações.Veja [EL2].

2.3 Funções Abertas e Fechadas

Sejam 4 �5� * 6 e 4 � � , 6 espaços topológicos.

Definição 15. A função:

� ��� � � � �é aberta (fechada) se para todo � aberto (fechado) em

�, temos que

� 4 �&6 é aberto(fechado) em � .

Exemplo 37.

1. A função identidade:

� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é aberta (fechada) se, e somente se (* � 7, , mas não é contínua quando * � 7, .

2. As projeções são abertas.

3. As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja � com a topologia usual econsidere as projeções � � 1 � � , ��� � , ( � � ��� ) e o conjunto:

� � � � ��� � � � , � � � � '

Page 46: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Figura 2.3: � e a projeção � � � �

� é fechado em � , e � � 1 � � � �� � � � , que é aberto.

4. Se� ��� ��- com a topologia discreta, então

� � � � � � definida por� ��� � � e� � � � é contínua, fechada e não aberta.

Observação 10.

Seja� ��� ��� � bijetiva. Então

�é aberta se, e somente se

�é fechada. De fato.

Seja � � �aberto; logo � � � é fechado e

� � � � � � ��� � � � � � � � � �logo,

�é fechada.

Proposição 13. Seja� ��� ��� � . São equivalentes as condições:

1.�

é aberta.

2.� � �� � �

��4 � � � � 6 , para todo � � �

.

3.�

leva abertos básicos de�

em abertos básicos de �

4. Para todo �� �

e toda � � �vizinhança de � , existe

� � � tal que:

� � � � � � � � � � � 'Prova :

� � � � � �� � � ; então� � �� � � � � � � ; por outro lado

� � �� � é aberto e

��4 � � � � 6 é o

maior aberto contido em� � � � ; logo

� � �� � ��

�4 � � � � 6 .

Page 47: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

2.3. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 47

� ��� � � Seja � aberto básico de�

;�� � ; então:

� � � � � � �� � ��

�4 � � � � 6 � � � � � �logo,

� � � � é aberto básico.

� � � � � Para cada �� �

, seja � vizinhança de � ; existe�

aberto básico tal que�� � � � . Considere

� � � � � .� � � � � Seja � � �

aberto; para todo� � � � � � existe vizinhança

�� tal que

�� � � � � � ; logo:

� � � � !� " � �����

�� �

então,�

é aberta.

Proposição 14.� ��� ��� � é fechada se, e somente se

� � � � � � � � � .Prova : Se

�é fechada, então

� � � � é fechado e� � � � � � � � � , logo:

� � � � � � � � � � � � � 'Reciprocamente, seja � � �

fechado, logo:� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

então,� � � � � � � � e

� � � � é fechado.

Exercícios 11.

1. Seja� � ��� +� � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .

A função:� � � ��� 4 � � � � 6

��� ��� � � � � . é contínua?

2. Sejam 4 ��� * 6 , 4 � � , 6 e 4 �/� � 6 espaços topológicos. Considere� � � ��� � e� � � ��� �

:

(a) Se�

e � são abertas (fechadas), enão � � � é aberta (fechada).

(b) Se � � � é aberta (fechada) e�

é contínua e sobrejetiva, então � é aberta (fecha-da)?

Page 48: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

(c) Se � � � é aberta (fechada) e � é contínua e injetiva, então�

é aberta (fechada)?

3. Verifique que são equivalentes:

(a)�

é fechada.

(b) Se � � * , então � � � � � � � * � � � � � � 7, .(c) Se � � �

é fechado, então � � � � � � � * � � � � � � � é fechado em � .

4. Toda função� � 4 � � ����� 6 � � 4 � � � � 6 é fechada?

5. Toda função� � 4 � � ����� 6 � � 4 � � ����� 6 é aberta e fechada?

Page 49: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 3

Homeomeorfismos

3.1 Introdução

Um dos problemas centrais em topologia é poder decidir se dois espaços sãodiferentes ou não. Por exemplo, não é trivial dizer que um cilindro é diferente deuma esfera, se uma esfera é diferente de um toro ou se � . é diferente de � ) , se �# . Neste capítulo começaremos com os primeiros conceitos que nos permitirãoresponder a algumas destas questões.

Sejam�

e � espaços topológicos.

Definição 16.� � � ��� � é um homeomorfismo se

�é bijetiva, contínua e

�� * é

contínua.

Se�

e � são homeomorfos utilizamos a seguinte notação:��� �� '

Observações 13.

1. A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo.

2. Ser homeomorfo é uma relação de equivalência na família dos espaços to-pológicos.

3. Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomor-fos tem as mesmas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos asclasses de equivalência, teremos que espaços homeomorfos são essencial-mente iguais em topologia.

4. Uma função bijetiva e contínua não é necessariamente um homeomorfismo.Veja o seguinte exemplo.

49

Page 50: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

50 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

Exemplo 38.

1. Sejam � * � � , e � � ����� � � � com as respectivas topologias induzidas pelastopologias usuais.

2. Definamos� � � � ����� � ��� � * por

� � � � � ��� � � � � � � � � � � .3.

�é contínua e bijetiva.

4. Por outro lado,� � * � � * � � � � ����� � é descontínua em �� � � � � � . De fato:

Seja � �

; para cada � � , seja� . ����� �

� � � ����� � e

� . � � � . � , logo� � . � �

� � � , pois o arco

� . é maior que a corda.

t

zn

n p

Figura 3.1:

Então�� * � � . � � . e � � * � � . � � � � * � � � # ��� � �

�� � , para todo � � .

Logo,�

é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.

Exemplo 39. Consideremos � . � � .�� * e o conjunto

� � � � * � ' '-' � � .�� * � � � .�� * ��� , * � , * � '-' '�� ,.�� * � ,.�� * � �onde � 1 � � � � � ambos com topologia induzida pela topologia usual de � .�� * . Então:

� . � � '1. Seja

� � � . ��� � definida por:

� � � * � '-' ' � � .�� * � 4 � *� *� '-'-' � � .�� *

� .�� * 6 '�

é bem definida e contínua.

Page 51: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.1. INTRODUÇÃO 51

2. Definamos � � � ��� � . por:

� � � * � '-' ' � � .�� * � 4 � * � * � '-' ' � � .�� * � .�� * 6 '� é bem definida, contínua e � � � � ����� e

� � �� � ��� . Logo, � . é homeo-morfo a � .

3. Então, � . e � são topologicamente "iguais".

Figura 3.2: Dois espaços homeomorfos a � ,

Exemplo 40. Consideremos � , � � � � � � � � � , com topologia induzida pela topologiausual de � , e os conjuntos

� � � � ��� � � � � � � � , � � , � � , � � � * � � �com topologia induzida pela topologia usual de � . Então:

� , � � � � � � � � �� � * � �('

1. Seja� � � , � � � � � � � ��� � * � � definida por:

� � � ��� � �

�� � � ��� � �� �� � � ��� � �

� � �� � , � � , �� � '�

é bem definida e contínua.

2. Definamos � � � * � � ��� � , � � � � � � � por:

� � � ��� ��� � 4 � �� ��� �� 6 '� é bem definida, contínua e inversa de

�. Logo:

� , � � � � � � � � � * � � '

Page 52: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

52 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

3. Por outro lado, definamos � � � * � � � � � por:

� � � ��� ��� � 4 � � � � � , ��� � � � � , ��� 6 '� é bem definida e contínua.

4. Definamos � � � ��� � * � � por:

� � � ��� ��� � ��

� � � � , ��

� � � � , � � � '� é bem definida, contínua e inversa de � . Logo:

�� � * � � '

Figura 3.3: � e � * � �Teorema 6. Seja

� ��� ��� � bijetiva. São equivalentes as condições:

1.�

homeomorfismo.

2.�

é contínua e aberta.

3.�

é contínua e fechada.

4.� � � � � � � � , para todo � � �

.

Prova :� � �

� � � � * é contínua se, e somente se para todo aberto � � �:

4 � � * � � � 6 � * � � � �é aberto em � .� �

� � � Segue do parágrafo anterior.

� � � � � Como�

é contínua,� � � � � � � � � ; como

�é fechada,

� � � � � � � � � .

Page 53: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.1. INTRODUÇÃO 53

Corolário 2. Seja� ��� ��� � . O gráfico de

�é definido por:

� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � 'Considere

� � � � com a topologia induzida pela topologia produto. Então�

é contínua se,e somente se

� � � � � � .Prova : De fato, definamos � � � ��� � � � por � � � � � � ��� � � � � que é contínua,então � ��� ��� � � � � é bijetiva e contínua. Por outro lado, se � � �

é aberto:

� � � � � � � ��� � � � � � � � � 4 � � � 6 � � � � � �que um aberto relativo. Reciprocamente,

� � � , � � .

Corolário 3. Seja� ��� ��� � homeomorfismo e � � �

, então:

1. � � � � � � .2.

��� � � � � � � � � .Exercícios 12.

1. Sejam� � � �� e ��� � � � � � � . Verifique que para todo

��� � e para todo�� �

, temos:

� � � �� � �e ��� � � � � '

Em particular, � . � � . � � � � � .�� * .2. Verifique que 4 � � � � 6 não é homeomorfo a 4 � � ����� 6 .3. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 ! ��� , 6 espaços métricos. Dizemos que as métricas

� * e� , são

equivalentes se � � � 4 !�� �� � 6 ��� 4 ! � �� � 6 é um homeomorfismo. Verifique que se! �� . , então� * , � , e

� definidas anteriormente são equivalentes.

Page 54: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

54 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

3.2 Exemplos de Homeomorfismos

A) Seja � com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto ��� ��%� , com a topo-logia induzida pela topologia usual de � , é homeomorfo a � . De fato:

1. Seja� � ��� �� � ��� � � � � � � definida por:

� � � � � � � � � �

� �

��

�é bijetiva e contínua e:

� � * � � � � � ��&� � ��� � �

� �é contínua. Logo:

��� �� � � � � � � � � '2.

� � � ��� � � � � � � definida por:� � � �

� � � ��

é bijetiva e contínua e:� � * � � �

�� � � �

é contínua. Logo: � � � � � � � � .3. Então, dos ítens anteriores :

� � ��� �� � 'B) Sejam � * e o quadrado � � � � ��� � � � ������ � � � � em � , com a topologiainduzida pela topologia usual de � , ; então:

� * � � '

d c

ba

z w

u v

Figura 3.4:

Page 55: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 55

Definamos� � � * ��� � mandando o segmento �

em �

, o segmento �

em ��

, osegmento

� �em

� �e o segmento

�� em

� � , istoé:� � � ��� � 4 �#

� �# 6 e

� � * � � ��� � 4 � �� ��� �

onde # ����� �� � � � e � �� , � � , ; claramente

�e�� * são contínuas; logo

�é um homeomorfismo.

C) Sejam � , . e � . ambos com a topologia usual. Então:

� , . � � . �para todo � � .Se� � � ,

� �� � � , onde �

����� � . Por outro lado, � . � � � � '-'-' � � ( -vezes)e � , . �� � � � '-'-' � � (

� -vezes). Definamos:� � � � � � ' '-' � � ��� � � � � '-' ' � � � �� � * � � , � '-'-' � � . � ��� � � * ��� * � ��, ��� , � '-' ' � � . ��� . � '

�é, claramente, um homeomorfismo.

D) Seja � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de � .�� * . Con-sideremos � .�� * � � . � � . Denotemos por:

� .� � � � � � � � � . � � � � . � ��� � �� .� � � � � � � � � . � � � � . � � � �

Os conjuntos � .� e � .� são ditos hemisférios de � . . Note que � . � .� � � .� e� .� � � .� � . O conjunto

�é chamado equador de � . ; é claro que:

� � � . � * 'Isto é, podemos considerar � . � * como o equador de � . .

Figura 3.5: � . � * como equador de � .

Page 56: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

56 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

Consideremos a projeção:

� � � . � � ��� � .� � � � � ��� � '

Se � � � � � � � . , � � � � � � � � , logo�� � � � � � � � � ; então � � � . � � ) * � � � � � . . Via a

projeção:

� .� � ) � � � � � � � .� 'De fato, a função:

� � ) � � � � � � � � .��� � � � � � � � �

�� , �

é bem definida, contínua com inversa contínua ����� �� .

Figura 3.6: � .� , ) � � � � � e � .�

E) Projeção Estereográfica : Seja � . ��� .�� * com a topologia induzida pela topo-logia usual de � .�� * e � � � � � � ' '-' � � � � � , então:

� . � � � � � . 'De fato. Seja � � � . � � � ��� � . definida da seguinte forma, seja �

� � . � � � ;considere a semi-reta � � � � .�� * ; então � � � � � , onde

�é a interseção de � � com

Page 57: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 57

o semi-plano definido por ��.�� *� � , homeomorfo a � . :� � � � � � � � � � � � � � � � � �� .�� * � �

logo, � � � � � .�� * � � � � e� �

� � � .�� * ; então:

� � � � �� � � .�� * � � *

���, � '-'-' � � . � '

p

x

z

Φ ( )x

Φ ( )z

Figura 3.7: Definição de �

� é bijetiva e contínua e:

� � * � � � � � � *� � � � � , � '-' ' �

� � .� � � � � , �

� � � , � �� � � � � , � �

� � � * � � � � , � e � � * é contínua.

F) Seja 4 ��� � � 6 um espaço vetorial normado; então:

1. As translações � � � � ��� �definidas por � � � � �

� , �� �

são homeo-morfismos.

2. As homotetias ��� � � ��� �definidas por ��� � � �

, � � � � � � sãohomeomorfismos.

3.� � )�� � � � , para todo � � � e todo

� �De fato:

Page 58: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

58 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

1. � � são bijetivas, contínuas e � � *� � � � , que é contínua.

2. � � são bijetivas, contínuas e � � *� �� � � � , que é contínua.

3. Definimos o homeomorfismo � � � � � �por:

� � � � � � � � � ��� �

logo,� �� � � � � � � é um homeomorfismo. Então:

)�� � � � � )�� � � � �para todo

� � � �e � � � � � . Agora definamos

� � � � � )�� � � � por:

� ��� � �� � � � �

que é contínua e bijetiva;�� * � � �

� � � � � ; logo,�

é um homeomorfismo.

3.2.1 Grupos de Matrizes

Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem � # , tendo como entradas elementos de � � ou � , é um � -espaço vetorial.Fixemos � � ; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por:

! .�� ) 4 � 6 'Seja � ��� 1 � � ! .�� ) 4 � 6 . Definamos:

� � ! .�� ) 4 � 6 ��� � .�� )� ��� ��� * * � � * , � '-'-' � � * . � '-'-' � � ) * � ' '-' � � ) . � '

1.�

é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais.

2. Via o isomorfismo�

, o espaço! .�� ) 4 � 6 herda toda a estrutura linear e

topológica de � .�� ) .

3. Utilizaremos a métrica usual de � .�� ) para introduzir uma topologia em! .�� ) 4 � 6 .

Page 59: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 59

4. Dada � ��� 1 � � ! .�� ) 4 � 6 , definamos:

� � � *� � � � � � � � . 1 � 2 * �

,1 � * , '� � * é uma norma em

! .�� ) 4 � 6 que o torna um espaço vetorial normado.Logo, um espaço topológico.

5. Note que� � � * � �&��� , onde � � é a matriz transposta de � .

6. É imediato que�

é contínua com inversa contínua. Logo:

! .�� ) 4 � 6 � � .�� ) '7. Denotemos por

! . 4 � 6 ! .�� . 4 � 6 ; então! . 4 � 6 � � . � .

8. Seja � com a topologia usual. A função:����� � ! . 4 � 6 ��� � �

definida indutivamente:

(a) Se � ,����� � ��� * * � � � * * .

(b) Se � � , seja � ��� 1 � e:

����� � � � . 132 * �

� � � 1 � * � 1 * ����� � � 1 � �� � �

onde � � � � � e � 1 � � é a matriz � � � � � � � � � , que se obtemomitindo a � -ésima linha e a

-ésima coluna de � .

(c) A função�����

é multilinear, logo contínua.

9. A função�����

é multilinear, logo contínua.

Seja� � � � � � o conjunto das matrizes invertíveis de ordem .

� � � � � � é abertoem

! . 4 � 6 . De fato:

� � � � � � � �� � * � � � � � '� � � � � � é também um grupo, chamado linear geral real.

Page 60: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

60 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

1. Denotemos por � � � � � � � � � � , definido por:

� � � � � � �&� � ���onde

�é matriz identidade. Logo, � � � � � �

����� � � � �� � . � � � é umgrupo, chamado ortogonal.

2. Denotemos por ��� � � ��� � � definido por:

� � ��� � � �� �� � � � � '

��� � � é um grupo, chamado ortogonal especial.

3. � � � e ��� � � são fechados em! . 4 � 6 . De fato:

��� � � � �� � * � � � �� � � � �� � * � � � � � � � '

4. � � � é isomorfo a ��� � � � � � � � � . De fato:

� � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � ��� �� � � � � '

�é um isomorfismo de grupos.

5. Seja � � , denotemos por �� � � � � . De forma análoga ao caso real,

definimos:

� � � � � � � �� � * 4 � � 6� � � ��� �"� � � � � � �� � � � ��� � � � �� � * � � � � '

6. De forma análoga, os grupos� � � � � � , � � � e ��� � � são ditos, linear com-

plexo, unitário e especial unitário, respectivamente.

7. � � � é isomorfo a ��� � � � � * . De fato:

� � � � � � � ��� � ��� � *� � � � ��� � �� � � � ��� �� � � � � '

�é um isomorfismo de grupos.

Page 61: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 61

3.3 Homeomorfismos Locais

Definição 17. Seja� � � ��� � .

�é dito homeomorfismo local se para todo �

� �

existe � � �vizinhança de � tal que

� � � � �é aberto em � e

� � � ��� �é um

homeomorfismo.

Observação 11.

Sejam � � �,� � � abertos e

� � � � � �um homeomorfismo; então para todo

aberto � � � � , temos que� � � � � é aberto em

�, logo é aberto em � .

Proposição 15. Se� ��� ��� � é um homeomorfismo local, então

�é aberta.

Prova : Seja � � �aberto; para cada �

� � existe � � � � vizinhança de � tal que:

� � � � ��� � � �onde

� � � � � � � . Seja � �� � � ��� . Pela observação anterior� � � �� � é aberto em

� . Como:

� !� " �

� ��� � � � � 4 !� " �

� �� 6 !� " �

� � � �� �

que é aberto em � . Logo,�

é aberta.

Observação 12.

Homeomorfismo implica homeomorfismo local, a recíproca é falsa.

Exemplo 41. Seja � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida pelatopologia usual de � . Então:

� � � � � � *���� ,�� 1 �

é um homeomorfismo local.

1. Denotemos por � *5 � � � ��� ��� � * � � � � , � , � � � ��� ��� � * � � � � ,� � � � ��� � � � * � � � � e � � � � � ��� � � � * � � � � .

Page 62: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

62 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

S1

S2

S3

S4

Figura 3.8:

2. Sejam� *� � � � ��� �#� , � , � � ��� � � � , � � � � ����� � � ����� � e

� ��� � ����� � � � ��� � , ��� .

3. Definamos: � * � � * ��� � � � � � � por � *%� � ��� � � .

4. A função � * é um homeomorfismo. De fato, � * possui a seguinte inversacontínua ��* � � � � � � � � ��� , � .

5. Consideremos:

� * � � �� * ��� � � � � � � 'Como

,�� 1 � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � , então 4 � * � � 6 � � � ���� � � � � � . Logo, pelas

propiedades básicas de Trigonometria � * � � é um homeomorfismo:

1 1.5

-1

1

Figura 3.9: Homeomorfismo � * � �

6. Logo, � � ** � 4 � * � � 6 ��� * ��� � * é um homeomorfismo e� � � ** � 4 � * � � 6 é

um homeomorfismo.

7. Definamos: � , � � , ��� � � � � � � por � ,�� � ��� � � .

Page 63: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 63

8. A função ��, é um homeomorfismo. De fato, ��, possui a seguinte inversacontínua �%, � � � � � �-� � � � � , � .

9. De forma análoga, � � *, � 4 � , � � 6 � � , ��� � , é um homeomorfismo e�

� � *, � 4 � , � � 6 é um homeomorfismo.

10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que� � � e

� �� � � .

11. Como intervalos destes tipos cobrem � . Por exemplo:

� !. "�� �

� � ��� � � 'Então,

�é um homeomorfismo local.

Observação 13.

1. Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo localnão é homeomorfismo.

2. Em particular,�

é uma função aberta (não fechada).

Exemplo 42. De forma totalmente análoga:

� � � , ��� � * � �� � ��� � ��� � ,�� 1 � ��� �

e:� � � , ��� � * � � *� � ��� � ��� � ,�� 1 � �� ,�� 1 � �

são homeomorfismos locais.

Exercícios 13.

1. Sejam � e�

com a topologia induzida pela topologia usual de � , são homeomorfos?

2. Seja � , com a topologia usual, os seguintes subespaços são homeomorfos?

(a) � � ��� � e � � � � � � � � � � �(b) � � � ��� � � � , � � � � � � e � � � ��� � � � , � � � � .(c) � � � ��� � � � , � � , � e � � � ��� � � � , � � � , .

Page 64: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

64 CAPÍTULO 3. HOMEOMEORFISMOS

(d) � � � ��� � � � , � � �� e � � � ��� � � � , � � � , .3. Seja 4 �5� * 6 um espaço topológico e denotemos por:

� � ��� � � ��� ��� � � � é homeomorfismo '

Verifique que:

(a)� � ��� é um grupo com a composta de funções,

(b) Se� � � � � � e � � � � � � � com a topologia induzida pela usual de � , defina:

� � � � ��� � � � � � ������ � �� �

é um isomorfismo de grupos? (Note que�

e � não são homeomorfos)

4.� � ��� é abeliano? Caso contrário, quando é abeliano?

Page 65: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 4

Topologia Quociente

4.1 Introdução

A topologia quociente é a fonte dos mais importantes exemplos de espaços to-pologicos e serão a parte central desta notas. Neste capítulo introduziremos osexemplos clássicos na Matemática, como a faixa de Möbius ou Moebius, os espa-ços projetivos reais e complexos e a garrafa de Klein.

Sejam 4 �5� 76 , � um conjunto não vazio e� ��� ��� � sobrejetiva. Definamos em

� a seguinte topologia:

� � � � � � ��� * � � � � 'Definição 18. � é dita topologia quociente em � induzida por

�.

Exemplo 43.

1. Seja� ��� ��� � constante. Determine � .

Suponha que� � � � �

� para todo �� �

. Seja � � � . Se��� � , então�

� * � � � �e se

����� � , então

�� * � � � � . Isto é, qualquer subconjunto de

� é aberto, logo � é a topologia discreta sobre � .

2. Seja� ��� �� ��� e � com a topologia usual; definamos

� � � ��� �por:

� � � � ��� �� � se � � �

se � � ��

se �� � 'Então, � � ��� � � ��� � � - � ��� ��- é a topologia quociente em

�induzida

por�

.

65

Page 66: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

66 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Proposição 16. A topologia quociente � é a mais fina sobre � que torna�

contínua.

Prova : De fato, sendo �� outra topologia em � e se para todo� � �� temos que�

� * � � � é aberto em�

, então� � � .

Definição 19. Sejam 4 ��� 6 , 4 � � �� 6 e� � � ��� � sobrejetiva. A função sobrejetiva�

que induz a topologia quociente é chamada uma identificação se ��� � .Observação 14.

1. Se�

é uma identificação,�

é aberto em � se, e somente se� � * � � � é aberto

em�

.

2. Se�

é uma identificação, para todo � � � temos que� 4 � � * ��� � 6 �� , mas

se ��� �, em geral ��� �

� * 4 � � � � 6 .3. Nem toda função bijetiva e contínua é uma identificação. Por exemplo:

� ��� 4 �5� * 6 ��� 4 �5� 7, 6é uma identificação se, e somente se *� , .

4. A composta de identificações é uma identificação.

Exemplo 44.

1. Seja � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de � .�� * .Definamos o conjunto dos pares não ordenados:

� � . � ��� � � � � � � � . �onde

�� é o antipodal de � . De forma natural temos a seguinte função

sobrejetiva:� � � . � � � � .

tal que� � � � ��� � � � . O par 4 � � . � �� 6 é dito espaço projetivo real de

dimensão .

2. Considere o cilindro ���� � � ��� ��� � � � , � � , � � � � � com a topologiainduzida por � . Definamos o conjunto dos pares não ordenados:

! � � � � � � � �&� � 'De forma natural, temos a seguinte função sobrejetiva:

� � � � � !

tal que� � � � � � � � � . O par 4 ! � �� 6 é dito faixa de Moebius.

Page 67: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.1. INTRODUÇÃO 67

Exercícios 14. Verifique que � � * � � * .Proposição 17.

1. Sejam�

e � espaços topológicos,� ��� ��� � uma função sobrejetiva, contínua e

aberta (fechada); então�

é uma identificação.

2. Sejam�

e � espaços topológicos,� � � ��� � uma função contínua. Se existe

� � � � � �tal que

� � � � � � , então�

é uma identificação.

Prova :

1. Seja �� uma topologia em � ; como�

é contínua, então �� �� � . Como�

éaberta, para todo � � � , �� � 4 � � * � � � 6 é aberto em �� ; logo ��� � .

2. Como� � � � � � então

�é sobrejetiva. Seja � � � tal que

�� * � � � seja

aberto; então � � � � � � � * � � � � � * 4 � � * � � � 6 é aberto em � ; logo�

é umaidentificação.

Exemplo 45.

1. A função:� � � � � � *

�� � ,�� 1 �

é sobrejetiva, contínua e aberta; pela proposição [17] é uma identificação.

2. Analogamente:� � � , ��� � * � � ,� � ��� � ��� � ,�� 1 � �� ,�� 1 � �

é uma identificação.

Teorema 7. Propriedade universal da topologia quocienteSejam

�,�

espaços topológicos e� � � ��� � uma identificação. Então, para toda

� � � � � �é contínua se, e somente se � � � é contínua.

� � ���

� // ��

~~~~~~

~~~~

Prova : Se � é contínua e�

contínua, então � � � é contínua.

Reciprocamente, seja� � �

aberto; então 4 � � � 6 � * � � � é aberto em�

. Como4 � � � 6 � * � � � �

� * 4 � � * � � � 6 , pela definição da topologia quociente, � � * � � � éaberto em � ; logo � é contínua.

Page 68: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

68 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

4.2 Espaços Quocientes

Funções sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes deequivalência de alguma relação de equivalência.

Seja � uma relação de equivalência sobre�

e��� � o conjunto das classes de

equivalência em�

. Definamos:

� � � � � � � �

���� � � �

onde � � � é a classe de equivalência que contém � ;�

é dita projeção canônica e énaturalmente sobrejetiva.

Definição 20. Seja 4 ��� 76 um espaço topológico. O par 4 � � � � �� 6 é dito espaço quo-ciente de

�.

Observação 15.

A projeção canônica:

� � � � � ��� �

���� � � �

é naturalmente uma identifição. Note que� � 4 ��� � 6 é aberto �

� � * 4 � 6 ��� � � � � � � � � é aberto em

�.

4.2.1 Exemplos

A seguir apresentaremos vários exemplos de homeomorfismos, a maioria bas-tante intuitivos. Nos próximos parágrafos, teremos ferramentas suficientes paraprovar estes homeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geo-métrica.

Exemplo 46. Seja� � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .

Consideremos em�

a relação de equivalência:

� � � � ��� ��� � � � � � ou �� � '

Page 69: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 69

Se �� ��

; então � � � ��� e se � � ; então � � � � � � � e se � � , então � � � � � � � ;logo � � � � � � :

0

1 1

0

[0]=[1]

Figura 4.1:

Logo,��� � ��� 4 � � � 6 é uma identificação. Note que

�é bijetiva salvo para

� � e �� � e:

4 � � � 6 � � * 'Observação 16.

Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que estão na mes-ma classe de equivalência.

Exemplo 47. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-

deremos em� , a relação de equivalência:

� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou ��� � � * � � � � e� � * �

para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,

1. Observe que se �� � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � .

2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � � � � .3. Então

� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�

é bijetiva salvopara � � ��� � e � � ��� � e

4 � , � � 6 � � * � � '

Page 70: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

70 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Figura 4.2:

Exemplo 48. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-

deremos em� , a relação de equivalência:

� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � � � � � � �para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,

1. Observe que se �� � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � � � � � � � .

2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � � � � .3. Então

� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�

é bijetiva salvopara � � ��� � e � � � � � � � e

4 � , � � 6 � ! �onde

!é a faixa de Moebius.

(0,a)

(0,1-a)

(0,b)

(0,1-b)

Figura 4.3:

Page 71: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 71

Nos próximos capítulos, verificaremos que a faixa de Moebius é homeo-morfa a uma superfície parametrizada em � :

Figura 4.4: Faixa de Moebius

Exemplo 49. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-

deremos em� , a relação de equivalência:

� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � � � �para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,

1. Observe que se ���� � � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � e se� � , então � � � � � � � � � � � � � � .

2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3. Então

� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�

é bijetiva salvopara � � ��� � , � � ��� � , � � � � � e � � � � � e

4 � , � � 6 � � * � � * '

Figura 4.5:

Page 72: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

72 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Exemplo 50. Seja� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , . Consi-

deremos em� , a seguinte relação de equivalência:

� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � �� � � �

para todo � � ��� � � � � * ��� * � � � ,1. Observe que se �

��� � � � � , então � � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � � ��� � � e� � � � � � � � � � � �� � � � .

2. Em particular, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3. Então

� � � , � � 4 � , � � 6 é uma identificação. Note que�

é bijetiva salvopara � � ��� � , � � ��� � , � � � � � e � � � �

� � � .4. 4 � , � � 6 é chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contém

uma faixa de Moebius.

Figura 4.6: Garrafa de Klein

Exemplo 51. Seja 4 ��� 6 e� � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia

usual de � . O cone sobre�

é denotado por � � � � � � � , onde:

� � � � � � � � � � � � � �� � � � '

Observações 14.

1. A classe de equivalência � � � � � � � é dita vértice de � � .

2. Intuitivamente � � é obtido de� � �

onde identificamos� � � � a um

ponto.

3. O subsepaço � � � � � � � � � � � � � é naturalmente homeomorfo a�

.

Page 73: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.2. ESPAÇOS QUOCIENTES 73

X

1

0

CXIxXI

Figura 4.7:

Observação 17.

Seja� ��� ��� � contínua. Então � � � � � ��� � � tal que � � � � � � � � � � � � � � � � � é

contínua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo:� � � �� ��� � � � �

�����

��

� � �

� �� �� ��� � � �

onde � � � � � � � � � � � � � � .Exemplo 52. Seja

� � � � � � � � � com a topologia induzida pela topologia usual de � .A suspensão

�é denotada por � � � ��� � � , onde:

� � � � � � � � � � � � � �� � � � ou

� � � � 'Observações 15.

1. Intuitivamente � � é obtido de� � �

onde identificamos� � � � � e

� � � � a um ponto.

2. O subsepaço � � � � � � � � � � � � � é naturalmente homeomorfo a � � .

0

-1

X x J

1

SX

Figura 4.8:

Page 74: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

74 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Observação 18.

Seja� � � � � � contínua. Então � � � � � ��� � � tal que � � � � � � � � � � � � � � � � � é

contínua.

4.3 Teoremas

Definição 21. Sejam� � � ��� � , � e � relações de equivalência em

�e � respecti-

vamente. Dizemos que�

preserva as relaçãoes se para todo � * � ��, � �tal que � * � ��, ,

então� � � * � �

� � ��, � .Lema 1. Sejam

� ��� ��� � , � e � relações de equivalências em�

e � respectivamente.Se

�é contínua e preserva as relações, então existe uma única � , contínua que torna o

seguinte diagrama comutativo:

� �� ��� � �� �

��

��

� � �

4 � � � 6 �� ��� � 4 � � � 6Alem disso, se

�é uma identifição, então � é uma identificação.

Prova : Definamos ��� � � � � � � � � � � .1. A função � é bem definida. De fato, seja � � � � � * � ; então � � � * , então� � � � �

� � � * � ; logo � � � � � � � � � � * � � , isto é � � � � � � ��� � � * � � .2. Pela definição, � � � *� � , � � .

3. Suponha que existe�

tal que o diagrama comuta. Existe pelo menos um� � � � � � � tal que ��� � � � � � � � � � � � , como� * é sobrejetiva, existe pelo menos

um �� �

tal que 4 � � � * 6 � � � � 4 � , � � 6 � � � . Isto é uma contradição, pois odiagrama comuta.

4. Como� * , � , e

�são contínuas., pelo teorema [7], � é contínua.

Teorema 8. Sejam�

e � espaços topológicos e� ��� � � � contínua e sobrejetiva. Se

� é uma relação de equivalência definida em�

tal que:

� � � * �� � � � � � � * � �

então, existe � � 4 ��� � 6 � � � contínua e bijetiva.

Page 75: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.3. TEOREMAS 75

Prova : Consideremos:

���

�##FF

FFFFF

FFF

4 � � � 6 � // �

1. Pelo lema [1], definimos ��� � � � � � � � � . Logo, � é contínua e sobrejetiva.

2. Se � � � � � � ��� � � * � � , então � � � ��� � � � � � � �&� � � * � , isto é� � � � � � � * � �

� � � * ; logo � � � � � * � . Então � é bijetiva.

Corolário 4. Com as hipotéses de teorema 8, são equivalentes:

1.�

é uma identifição.

2. � é um homeomorfismo.

Prova : Pelo teorema [8], basta provar que � é aberta. Observe que para todo� � ��� � temos que�� * � � � �

� * � ��� � � � .� � � � � aberto �

�� * � � � é aberto em

���� * 4 � � � � 6 é aberto em

�� � � � �

é aberto em � , pois � tem a topologia quociente induzida por�

.

Corolário 5. Nas hipótese do teorema [8], se�

é um homeomorfismo, então:

4 � � � 6 � 4 � � � 6 'Prova : Seja

� �� ��� � �� �

��

��

� � �

4 � � � 6 �� ��� � 4 � � � 61. Pelo teorema [8], definamos � por � � � � � � � � � � � � .2. � é bijetiva e contínua.

3. � � * é contínua, pois � � * � � * � , � � � * e� � * é contínua.

Page 76: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

76 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Exemplo 53.

Seja� � � ��� � e � � . Consideremos � com a topologia usual e

�com a

topologia induzida. Definamos:

� * � ��, � existe � � tal que � *7 . ��,� * �� , � existe � � tal que

� *� � � ,-'Seja

� ��� ��� � tal que� � � � � �� � � ; � é homeomorfismo. Por outro lado:

� * � ��, � existe � � tal que � *� . ��,� � � * � � � . ��, � � � . � � � �� ��, � � � �� ��, � � logo� � � * � �� � ��, � '

Pelo teorema:

4 � � � 6 � 4 � � �+6 � � * '

Exercícios 15.

1. Seja� 4 � � � � � �(� � � 6 � 4 � � � � � � � � � � 6 com a topologia induzida pela usual de� , e � relação de equivalência definida por � � � � � � � � � � �-� � � e � � � � � � � � �-� � � .

Considere 4 � � � 6 com a topologia quociente, verifique que:

4 � � � 6 � � * �� * com a topologia induzida pela usual de � , .

2. Seja 4 � � 6 , onde é a topologia definida por: � � se, e somente se � � � .Se � relação de equivalência definida por � � � � . Verifique que 4 � � � 6 com atopologia quociente é homeomorfo a � � � �� �

com a topologia induzida por .

3. Seja � . com a topologia de Zariski e � relação de equivalência definida por

� � * � ��, � � � '-' ' � � . � � � � * ��� , ��� � ' '-' ��� . � � � � 1 � 1 �para todo � � ��� � '-'-' � . Verifique que 4 � . � � 6 com a topologia quociente éhomeomorfo a � . � * com a topologia de Zariski.

Page 77: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.4. AÇÕES DE GRUPOS 77

4.4 Ações de Grupos

Seja� � � um conjunto e 4 � ��� 6 um grupo.

Definição 22. O grupo 4 � ��� 6 atua pela esquerda sobre�

se existe umafunção:

� � � � � ��� �

�� � � � ��� � � ��

tal que:

1. � � � , para todo �

� �e ���

a identidade de�

.

2. � * � 4 �#, � � 6 4 � * � � , 6 � � , para todo �� �

e � * � �#, �"� . Em tal caso,�

é dito�-conjunto.

Exemplo 54.

1. Sejam�

um espaço topológico e� � � ��� ��� � � � é um homeomorfismo

'�

é um grupo não comutativo com a composta de funções. Definamos:� � � � � � � �

� ��� � � ��� � � � � � � � 'Então,

�é um

�-conjunto.

2. Seja�

o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , ��� � , definidospor:

� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente. Logo, como no exemplo anterior:

� � � � � , ��� � ,� � � � � ��� � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � '

Então, � , é um�

-conjunto.

3. Seja� �� . e 4 � , ��� 6 . Definamos:

� � � , � � . � � � .� � � � � � � � � � � �� � � �

onde�� é o antipodal de � . Então, � . é um

� , -conjunto.

Page 78: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

78 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

4. Seja� �� e 4 ��� � 6 . Definamos:

� � � � � ��� �� � � � � � � � � � '

Então, � é um�

-conjunto.

5. Seja� �� , e 4 � , � � 6 . Definamos:

� � � , � � , ��� � ,� � � # � � � � ��� � � ��� � � # � � � � ��� � � � �

� # � � � 'Então, � , é um

� , -conjunto.

6. Sejam� � � � ��� � � � , � � ��� � ��� � � � � ��� e 4 �&� � 6 . Definamos:

� � � � � � � �

� � � � ��� � � ��� � � � ��� � � � �� � � � � . � � '

Então,�

é um�

-conjunto.

7. Seja � * � � ; então � * tem uma estrutura de grupo multiplicativo induzidapor � . De fato, se

,�� 1 � �� ,�� 1�� � � * , então ,�� 1 � � ,�� 1�� ,�� 1 � � � � � . Consideremos

� , .�� * ��� .�� * :� , .�� * � � � * ��� , � ' '-' ��� .�� * � � � .�� * � � � * � , � � � , � , � '-'-' � � � .�� * � , � '

Definimos:� � � * � � , .�� * ��� � , .�� * �

onde ,�� 1 � � � � * ��� , � '-'-' ��� .�� * � � ,�� 1 � � * �� ,�� 1 � � , � '-'-' �� ,�� 1 � � .�� * � ' Logo, � , .�� * é

um � * -conjunto.

8. Seja � . � * � � . e� � � � o grupo ortogonal. Definamos:

� � � � ��� � . � * ��� � . � *� � � � � � � � � �� � '

��� � � � ; logo está bem definida e � . � * é um � � � -conjunto.

Proposição 18. Seja�

um�

-conjunto. Para todo � �"� definamos:�

���� ��� �5�

por�

� � � � � � � , então�

� é bijetiva.

Page 79: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.4. AÇÕES DE GRUPOS 79

Prova : Note que� � � ��� e que para todo � � � � � , temos

��

� �� � �

�� . Logo,�

�� �

� � � � ��

� � � � � � ��� e�

� � � � �� � � � � � � � � � ��� . Então

�� *

� � � � � .

Definição 23. Seja�

um�

-conjunto. Definimos:

1. O estabilizador de �� �

por:� � � � �"� � � � � �

'� � é um subgrupo de

�.

2. A órbita de �� �

por:�� � � � ��� � �"� '

Exemplo 55. Consideremos � como um � * -conjunto, com a ação:� � � * � � ��� �

� ,�� 1 � � � � * ��� , � � ��� � � � * ��� , � � ,�� 1 � � * � ,�� 1 � � , � 'Seja � � * ��� , � � � ; então o estabilizador do ponto � � * ��� , � é:

� *� � � � � � � � ,�� 1 � � � ���& 'Exercícios 16. Verifique que:

1. Para todo ���� � �

,��� � � ou são disjuntas.

2.� !

� " ��� , (união disjunta).

4.4.1�

-espaços

Se�

é um�

-conjunto, podemos definir sobre�

a seguinte relação de equivalên-cia:

� � � � existe � �"� tal que � � �� � �isto é:

� � � �� �"�

� 'Denotemos por

� � � o conjunto das classes de equivalência desta relação. Se�

éum

�-conjunto, temos a projeção canônica, que é sobrejetiva:

� ��� � � � � � '

Page 80: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

80 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Logo, se�

é um�

-conjunto que é espaço topológico, podemos dar a� � � a

topologia quociente.

Espaço Projetivo Complexo

Seja � * � � ; então � * com estrutura de grupo multiplicativo induzida por � e� , .�� * ��� .�� * . Definimos e denotamos o -espaço projetivo complexo, por:

� � . �� , .�� * � � �onde � � � se, e somente se �� � � , para algum � � � * .Exemplo 56.

1. Note que � identifica cada círculos de � , .�� * a um ponto.

2. � � * � , .

Definição 24. Seja�

um espaço topológico que é um�

-conjunto,�

é dito�

-espaçose�

� é contínua, para todo � � � .

Exemplo 57.

1. � . � � , é um� , -espaço.

2. � � � é um�

-espaço.

3. � , � � , é um� , -espaço.

4. Seja�

o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , ��� � , definidospor:

� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente, então � , � � é um

�-espaço. Note que

�não é isomorfo a� ���

.

Observações 16.

1. Se�

é um�

-espaço a função�

� é um homeomorfismo, para todo � �"� .

2. Se�

é um�

-espaço, então existe um homomorfismo de grupos:� � � � �

�� # � � ���

� � � �� '

Page 81: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.4. AÇÕES DE GRUPOS 81

Proposição 19. Se�

é um�

-espaço a projeção canônica:� ��� ��� � � �

é aberta.

Prova : Seja � � �aberto, devemos provar que

� � � � é aberto em� � � , o que é

equivalente a provar que� � * 4 � � � � 6 é aberto em

�. De fato:

� � * 4 � � � � 6 ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � para algum

� � � ��� � � � � � � � � para algum

� � � e � �"� ��� � � � � � � � � � para algum � ��� !

� "�� �� �

!� "��

�� � � � �

que é aberto, pois�

� é um homeomorfismo.

Exercícios 17.

1. Prove que se�

é finito, então�

é fechada.

2. Ache exemplos de�

-espaços, onde�

seja finito.

4.4.2 Exemplos

Agora estamos em condições de verificar alguns dos homeomorfismos vistos an-teriormente.

A) Seja � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida pela usual de� ; então:

� � � � � * '

1. Seja� � � � � � * tal que é definida por

� � � � ,�� 1 � . Veja o exemplo [41] .

2. Observemos que se consideramos � como grupo aditivo e � * como grupomultiplicativo (multiplicação induzida por � ). Então:

� � � � � � ,�� 1 � � � � � ,�� 1 � ,�� 1 � � � � � � � � � �isto é,

�é um homomorfismo de grupos com núcleo

�.

Page 82: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

82 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

3. Para todo �� � � � ,

� � � � � � � � � �� � ���

.

4. � é um�

-espaço com a operação � � � � . Logo, � � � � existe ���tal que

� � � . �� � � � � � � �

5. Então,�

é uma identificação, pelo corolário [4] temos:

��

��

� // � *

� � �� =={{{{{{{{

Logo � é um homeomorfismo, onde � � � � � � � � � � , logo:

� � � � � � * '

B) Seja� � � � � � � � com a topologia usual e � * � � com a topologia induzida

pela usual de � , então:

� * � 4 � � � 6 �onde � � � � � � ou ��� ���� � � � � .

1. Seja� � � � � � * tal que é definida por

� � � � ,�� 1 � . Analogamante aoexemplo anterior,

�é uma identificação; pelo corolário [4], temos:

���

� // � *� � �

� ==zzzzzzzz

2. Logo � � é um homeomorfismo:

� * � ��� 4 � � � 6 '3. Então:

� � � � � � * � ��� 4 � � � 6 '

Page 83: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

4.4. AÇÕES DE GRUPOS 83

C) De forma análoga, temos que:

4 � , � � 6 � � , � � , � � * � � * � � , �onde

� , � � , com a topologia induzida pela topologia usual de � , e para todo� � ��� � � � � * ��� * � � � , , consideremos a relação de equivalência:

� � ��� � � � � * ��� * � � � � ��� � � � * ��� * � ou � � ��� � � � � ��� � e � � � � � � � � � � � '� , é o toro de revolução em � , parametrizado por:

� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � �onde � �� � � e � � � � � � � , .O homeomorfismo:

4 � , � � 6 � � ,fica para os próximos capítulos.

Exercícios 18. Seja�

o grupo gerado pelos homeomorfismos � � � � � , � � � , definidospor:

� � � ��� � � � � � ��� � e � � � ��� � � � � ��� � � � �respectivamente, Verifique que � , � � é homeomorfo à garrafa de Klein.

Sejam�

um�

-espaço e � um � -espaço, onde 4 � � � 6 e 4�� � � 6 são tais que:

� � � � � � � �� �

�� � ��� �

��� � � � �5�

homeomorfismo�

�� � � � � � homeomorfismo

� � ��� ��� � � � � sobrejetiva e contínua��� � ��� � � � � sobrejetiva e contínua '

Lema 2. Sejam�

um�

-espaço e � um � -espaço. Então� � � é um

� �� -espaço.

Page 84: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

84 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Prova : Com as notações anteriores, definamos:� � 4 � � � 6 � 4 � � � 6 ��� 4 � � � 6� ��� � � � � � � ��� � � � �� � � ��� � � ��� � ��� � �

� � � � �e

�� � � � �

� 4 � � � 6 ��� 4 � � � 6� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � '

Não é difícil provar que� � � é um 4 ��� � 6 -espaço e

� � � � � � é um homeomorfismo.

Proposição 20. Com as notações anteriores:

4�4 � � � 6 � 4 � � ��6 6 � 4 � � � 6 � 4 � � �56 'Prova :

1. Definamos ��� � � ��� � � � � � � � � � � � , isto é, � � � � * � � , � �:

� � ��

��

� ��� � � � �//� � � � � � �

�vvlllllllllllll

� � � � � � �2. � é naturalmente bem definida e bijetiva.

3. � é contínua. Sejam � � ��� � � � � 4 � � � 6 � 4 � � � 6 aberto; devemos provarque

�� * 4 � � �&� � � � 6 é aberto em 4 4 � � � 6 � 4 �$� ��6 6 , isto é, pela definição de

topologia quociente, devemos provar que�� * 4 � � * 4 � � � � � � � 6�6 é aberto em� � � .

4. � � � � � �/� � � � , então� � * � � � * � � � ��� � * � � � *� � � � *� � ; logo:

� � * 4 � � * 4 � � � � � � � 6�6� � � *� � � � � � � � � *� � � � � � �que é aberto, pela definição da topologia quociente.

Exemplo 58.

Sejam� �� , e

� � , . Definamos:� � � , � � , � � � ,� � � # � � � � ��� � � � � � � # � � � � ��� � � � �

� # � � � 'Então, � , é um

� , -espaço, e:

� , � � , � � � � � � � � � � * � � * � � , '

Page 85: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 5

Compacidade

Do Cálculo sabemos que funções contínuas definidas sobre conjuntos limitadose fechados possuem um ponto de máximo e um de mínimo absoluto (Teoremade Weierstrass) e da Análise conhecemos o teorema de Heine-Borel sobre inter-valos encaixados. As formulações de compacidade em espaços topológicos en-volve muito mais do que o conceito de fechado e limitado, os quais não são equi-valentes. A importância principal da compacidade é que ela nos permite obterpropriedades globais a partir de propriedades locais. Existem várias formas deintroduzir o conceito de compacidade em espaços topológicos. Nós escolhemosa seguinte.

5.1 Introdução

Seja�

um espaço topológico e � � �.

Definição 25.

1. Uma cobertura de � é uma família de subconjuntos � ��� 1 � � � � ��� tal que:

��� !1 "�� �1 '

2. Se�

é finito, a cobertura é dita finita.

3. A cobertura é dita aberta se os � 1 � � são conjuntos abertos.

4. Se � �, então � é uma cobertura se:

� !1 "�� �1 '

85

Page 86: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

86 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE

Exemplo 59. Seja � com a topologia usual.

1. Seja � � � � � � � ; então � � � ��� � � � ��� � � � � é uma cobertura nãoaberta de � � � � � .

2. Seja � � � � � � � ; então � � � � � � � � ��� � � � � é uma cobertura abertade � � � � � .

3. � � � � � � � � ���& é uma cobertura aberta de � .

Definição 26. Sejam � ��� 1 � � � � � � e � � � � � � ��� � � coberturas de

� � �. Se para todo � � � existe � � �

tal que � 1 � � , então, dizemos que � é umasubcobertura de � .

Exemplo 60.

� � � � � � � � � �& é um subrcobertura de � � ��� � � � � � � � � � .A seguir, somente consideraremos coberturas abertas.

Definição 27. Um subconjunto � � �é dito compacto, se toda cobertura de � admite

uma cobertura finita.

Em particular,�

é compacto, se todo cobertura de�

admite uma cobertura finita.

Observações 17.

1. Os conjuntos finitos, em qualquer espaço topológico, são compactos.

2. A união e a inteseção finita de compactos é um compacto.

Exemplo 61.

1. Seja 4 �5� 1 .�� 6 . Todo � � �é compacto.

2. Seja 4 �5� �� 1�� 6 . � é compacto se, e somente se�

é finito.

3. Se � � �é discreto infinito, então � não é compacto. Em particular, � e

não são compactos.

4. � não é compacto, pois � � � � � � � � � �& não possui uma coberturafinita.

5. Para todo ��/� � , � � �� � � � é compacto. Veja [EL1].

Exercícios 19. Seja � � �um subespaço. � é compacto se, e somente se � é compacto

com a topologia induzida.

Page 87: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

5.1. INTRODUÇÃO 87

Proposição 21. São equivalentes as condições:

1.�

é compacto.

2. (Propriedade da interseção finita) Se � �� � � � � � � é tal que os � � são

fechados e:0�#" � � � � �

então existe uma subfamília finita � � � � � � � � � '-'-' � � � � tal que:

.0132 * � ��� � '

Prova : A prova segue diretamente das leis de de Morgan. Por exemplo:0�#"�� � � � é equivalente a

!�#"�� � �� � '

Proposição 22. Seja� � � ��� � contínua. Se � � �

é compacto, então� � � � é

compacto em � .

Prova :Seja � � � 1 � � � �

um recobrimento de� � � � ; então � � � * � � 1 � � � � �

é umacobertura de � ; como � é compacto, existe subcobertura finita � � � * � � � � ��� � � ,onde � é finito. Como

� � � � * � � � � � � � � , então � � � ��� � � é uma subcoberturafinita de

� � � � .Corolário 6.

1. Se�

é compacto e� ��� ��� � é contínua e sobrejetiva, então � é compacto. Em

particular, se � tem a topologia quociente induzida por�

, então � é compacto.

2. Se� � � , então

�é compacto se, e somente se � é compacto.

Exemplo 62. O traço de uma curva contínua �� � � �� � ��� �

é compacto.

Em particular, seja� � � � ���� ��� � , definida por

� � � � � ��� � � � � � � � � � � tal que ��� � �

. Então � * � � � � ���� � é compacto em � , . O toro � , também é compacto.

Observação 19.

Nem todo subconjunto de um espaço compacto é compacto. � � � � � � � � � � � não écompacto.

Page 88: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

88 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE

Proposição 23. Se�

é compacto e � � �é fechado, então � é compacto.

Prova : Seja � ��� 1 � � � � uma cobertura de � , onde cada � 1 é aberto em�

; então � � � � � � é uma cobertura de�

; como�

compacto, possui umsubcobertura finita, que pode ser:

��� 1 � � � � ou ��� 1 � � � � � � ��� � �onde � é finito. Logo ��� 1 � � � � é um subcobertura finita de � .

Proposição 24.�

e � são compactos se, e somente se� � � é compacto.

Prova : Se� � � é compacto, como as projeções são contínuas, então

�e � são

compactos.

Reciprocamente, seja� � � � � �

uma cobertura aberta de� � � ; por

definição:

� !�%"�� 4 � � �

� � � � 6 �

onde � � � é aberto em�

e� � � é aberto em � , então:

� ��� � � � � � � � ���� � � � � é uma cobertura aberta de

� � � .Por outro lado, para cada �

� �, temos que � � ��� � � ; logo ��� � � é compacto;

como � também é uma cobertura de ��� � � , então admite um subcobrimentofinito ��� 1 � � 1 � � � ��� � '-' ' � , onde � � � . Seja:

� � . � � �0132 * � 1 '

��� � � � � � é uma cobertura aberta de

�; como é compacto, admite uma subco-

bertura finita ��� � �#� � � ��� � '-' ' � # ; então:

��� � � � � � � � � � ��� � '-'-' � # � � 1 � ��� � '-'-' � � � � é uma cobertura finita de

� � � , isto é, para cada � e � 1 , existe �� �

e � � � talque:

� � � � � � � � � � � � � � � � � 'Logo, existe subcobertura finita de

�, provando que

� � � é compacto.

Page 89: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

5.2. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 89

Corolário 7.� * � � , � '-'-' � � . são compactos se, e somente se

� * � � , '-'-' � � . é com-pacto.

Exemplo 63.

1. � . não é compacto.

2. Se� � � � � � , então

� . � � � � ' '-' � �é compacto.

3. O toro � , �� * � � * é compacto.

4. O toro não é homeomorfo ao cilindro � * � � .

5.2 Compacidade em Espaços Métricos

Proposição 25. Sejam 4 ! ��� * 6 e 4 � ��� , 6 espaços métricos tal que!

é compacto. Se� � ! ��� �é contínua, então

�é uniformemente contínua.

Prova :Como

�é contínua, para todo � � � existe

� � � � tal que se� * � � ��� � � � � � , en-

tão� ,�� � � � � ��� � � � � � � � � . Seja � � )���� � � � � � � �

; � é uma cobertura abertade

�; por compacidade, admite um cobertura finita � )���� � � � 1 � � �+ � ��� � '-'-' � .

Denotemos por� �� � � � � � � � � � � � ��� � '-' ' � , então dados �

��� � �tais

que� *%� � ��� � � �

, temos� ,�� � � � � ��� � � � � � � . Isto é, se �

� )���� � � � 1 � para algum � ,� *%� � � � 1 � � � � � e:� � � � � 1 � �$� � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � logo

� ,�� � � � � ��� � � 1 � � � � � � �� ,�� � � � � ��� � � � � �$� ,�� � � � � ��� � � 1 � � � � , � � � � 1 � ��� � � � � � � � � � � � � � '

Proposição 26. Seja 4 ! ��� 6 um espaço métrico. Se � � !é compacto, então � é

fechado e limitado.

Prova : Provemos que � é fechado. Se �� � e ���� � , então para todo

��� � , existe� � � tal que

� � � ��� � � � ; logo � possui uma cobertura � )�� � � � � � � � ; como� é compacto, existe uma cobertura finita � )�� � � � � � � � � '-'-' ; então )�� � � � � �)�� � � � � � � o que é uma contradição, pois �� � ; logo �� � . Por outro lado, para

todo ��� !

:

� � )+*%� �� � � )&,�� �� � � ) �� �� � � '-'-'� �

!132 * )/. � � ��

� �logo, é limitado.

Page 90: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

90 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE

Observações 18.

1. Em geral, a recíproca desta proposição é falsa. De fato, seja!

com a métricadiscreta tal que � � !

é infinito; então � é fechado e limitado, pois � �)&, � � � ! para todo �� !

e não é compacto.

2. No caso! � . temos:

Proposição 27. (Heine-Borel) Um subconjunto é fechado e limitado em � . se, e so-mente se é compacto.

Prova : Seja � � � . fechado e limitado. Se � é limitado, existe � � � tal que��� � � , para todo �

� � ; logo � � � � � � � � . � � � � � ��� � � � � � ��� '-' ' � � � � � � � .Por outro lado, � � � � � � é compacto, pois � � � � � � � � � � � � . Logo, � é fechado contidonum compacto; então, � é compacto.

Exemplo 64.

1. � . é compacta.

2. O toro � , é compacto.

3.� � . é compacto.

4. O toro e a esfera não são homeomorfos a � , .5. O toro e a esfera não são homeomorfos ao cilindro � * � � .

6. A faixa de Moebius é compacta.

7. Os grupos � � � e ��� � � são compactos. De fato, sabemos que são fechadose para toda � � � � � , temos que

� � � *� � .

Corolário 8. (Weirstrass) Seja�

um espaço topológico compacto e� ��� ��� � contí-

nua; então existem ����� * � �

tais que:

� � �� � � � � � ��� � � � * � �para todo �

� �.

Prova :Como

�é contínua,

� � ��� é compacto em � , logo é fechado e limitado; como� � ��� é limitado, existe! � ��� � � � � � � � � �

e� �&%%� � � � � � � � �

; alémdisso é fechado; então

! ��� � � � ��� . De fato, suponha que! �� � � ��� , como� � ��� � � ��� , então existe � � � tal que � ! � � � ! � � � � � � ��� � . Isto é, para

Page 91: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

5.2. COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 91

todo �� �

,� � � ��� ! � � o que é uma contradição. Analogamente para

�. Logo,

existe ���� * � �

tais que! � � � * � e

� � � �� � , e:� � �� � � � � � ��� � � � * � �

para todo �� �

.

Seja � � �um conjunto limitado, definimos e denotamos o diâmetro de � por:

� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � 'O número

� � � é dito de Lebesgue da cobertura ��� 1 � � � � de�

, se para todo� � �com

� � � � � �, então existe � � � �

tal que:

� � � 1 � 'O número de Lebesgue de uma cobertura pode não existir. De fato, considere acobertura � � � � � � � � � � �� �

de � � � � . Não é difícil ver que para todo� � � ,

se pode escolher � � � � � � � ; tal que� � � � � � � � � �

e � � � � � não pertence anenhum elemento da cobertura.

Lema 3. (Lebesgue) Todo conjunto compacto num espaço métrico possui um númerode Lebesgue.

Prova : Sejam � compacto, ��� 1 � � � � uma cobertura de � e �� � . Esco-

lhemos o número � � � � � � tal que )�� � � � � � � � � � 1 para algum � � �; então� )�� � � � � � � � �#� � � � �

é uma cobertura de�

, como�

compacto, admite cober-tura finita )�� � * � � � � * � � , )�� ��, � � � ��, � � � '-'-' , )�� � . � � � � . � � . Seja

� ��� ��� � � * � � � � ��, � � '-'-' � � � � . � 'O número

� � � é o número de Lebesgue. De fato, seja ) � � � � �para algum �

� �;

então, existe � � � � ��� '-'-' � tal que �� )�� � 1 � � � � 1 � � � � . Por outro lado, se

� �)�� � � � �

, temos que:� � � � � 1 � �$� � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � � 1 � � � � � � � 1 � '

Logo, )�� � � � � � ) � � 1 � � � � 1 � � �#� � � , para algum � � ��� 1 � � � � .

Page 92: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

92 CAPÍTULO 5. COMPACIDADE

Page 93: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 6

Axioma de Separação

6.1 Introdução

Consideremos 4 ! ��� 6 um espaço métrico com mais de dois elementos. Semprepodemos escolher � � � tal que

� � � ��� � � � com ���� � !

e �� �

, então)��-� � � ��)��-� � � �. Esta propriedade natural dos espaços métricos, que nos per-

mite diferenciar os pontos dos espaços, não é válida, em geral, em espaços topo-lógicos arbitrários. Neste parágrafo estudaremos que tipo de espaços possuemesta propriedade, que por exemplo, é fundamental para provar a unicidade dolimite de uma sequência em espaços métricos. Veja [EL2].

6.2 Espaços de Fréchet

Seja 4 ��� 6 um espaço topológico

Definição 28.�

é um espaço de Fréchet ou ��* se para todo ���� � �

tal que �� � ,

existe � � tal que �� � e

� �� � .

Exemplo 65.

1. 4 ��� �� 1�� 6 e os espaços topológicos metrizavéis são � * .2. 4 ��� 1 .�� 6 não é � * .

Proposição 28.�

é � * se, e somente se ��� é fechado em�

, para todo �� �

.

Prova : Suponha que�

é � * . Seja �� �

e� � � � ��� ; então existe � � vizinhança

de�

tal que ���� � � ; logo: !� "�� ����� � �

��� ��� �

93

Page 94: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

94 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

isto é,��� ��� é aberto.

Reciprocamente, se ��� e � � são fechados em�

; então� � ��� e

� � � �� sãoabertos,

� �� � � ��� e � �� ��� � � ; logo�

é � * .

6.3 Espaços de Hausdorff

Seja 4 ��� 76 um espaço topológico

Definição 29.�

é um espaço de Hausdorff ou � , se para todo ���� � �

tal que�

� � , existem � � � � , �� � e

� � �tais que � � � � .

� , implica � * . A reciproca é falsa. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 66.

1. 4 � � � � 6 é de Hausdorff

2. 4 ��� �� 1�� 6 e os espaços topológicos metrizavéis são de Hausdorff.

3. 4 ��� 1 .�� 6 não é de Hausdorff.

4. 4 � � ����� 6 não é de Hausdorff. De fato. Para todo � � � � ����� , temos � � � ��. De fato, sejam � � � �7* e

� � � � , , onde ��* e � , são finitos; então� � � �� � 4 � * � � , 6 ; como � * � � , é finito, então ��� � � � ; logo não podeser de Hausdorff. Note que 4 � � ����� 6 é � * .

5. Utilizando propriedades dos anéis de polinômios é possível verificar quetopologia de Zariski não é de Hausdorff.

Teorema 9. São equivalentes as seguintes condições:

1.�

é de Hausdorff.

2. Se �� �

, para todo� � � existe uma vizinhança � de � tal que

� �� � .

3. Para todo �� �

temos que:

0 � ��� � vizinhança de � ��� '

4. A diagonal � � � � � � � � � � � é um conjunto fechado em

� � �.

Page 95: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.3. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 95

Prova :

� � � � �Dados �

� � , existem � e�

vizinhanças de � e�

respectivamente, taisque � � � � ; logo

� �� � .� ��� � � Se

� � � existe uma vizinhança � de � tal que� �� � ; então:

� �� 0 � ����� vizinhança de � '

� � � � � Provaremos que � � é aberto. Seja � � ��� � �� � ; então �� � ; como ��� � � � ��� vizinhança de �

, existe � tal que �

� � e� �� � . Por outro lado, �$�4 �&6 � � , então � � ��� � � � � 4 �&6 � � � � .

� � � � � Dados �� � , então � � ��� � �� � , isto é � � ��� � � � � que é aberto; logo existe

vizinhança � � �de � � ��� � tal que 4 � � � 6 � � � .

4 � � � 6 � � � � � existe �� �

tal que � � � � � � �� �

� � e ����

� � � � � � 'Logo; �

� � e� � �

, � � � � .Corolário 9.

1. Se�

é de Hausdorff e � � �é um subespaco, então � é de Hausdorff.

2. Se � é de Hausdorff e� ��� ��� � é contínua e injetiva, então

�é de Hausdorff.

3. Se�

e � são de Hausdorff, então� � � é de Hausdorff.

Prova :

1. Denotemos por � � a diagonal de � , então

� �� � � 4 � � � 6 'Logo � � é fechado em � � � e � é de Hausdorff.

2. Como�

é contínua e injetiva:

� � � �"� � � � * 4 � � 6 'Logo � �

é fechada em� � �

e�

é de Hausdorff.

Page 96: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

96 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

3. Se�

e � são de Hausdorff, definamos:� ��� � � � � � � ��� � � � � � � �

� � � � * ��� ��� * � ��� � � ��� � � * ��� * � '�

é um homeomorfismo e:� 4 � � � � � 6 � �

� � 'Logo, � �

� � é fechado em� � � � � � � e

� � � é de Hausdorff.

Exercícios 20. Se�

é de Hausdorff e� � � ��� � é uma bijeção fechada, então � é de

Hausdorff.

Teorema 10. Se�

é de Hausdorff e � � �é compacto, então � é fechado.

Prova : Se � �ou � �

nada temos a provar. Sejam � � � � �e �

� � � ;para todo �

� � existem � � e� � vizinhanças de � e � respectivamente, tais que

� � � � � � . Por outro lado, � � � ��� � � é um recobrimento aberto de � ; como �é compacto, existe um subrecobrimento finito � � � �#� � � ��� � '-' ' � . Considere-mos:

� .0132 * � � � '

� é vizinhança de � tal que � � � � � � para todo � ; logo � � � � , isto é, para cada�� �&� existe um aberto tal que �

� � � �&� , logo �/� é aberto e � fechado.

Observação 20.

A condição de ser de Hausdorff e de compacidade são essenciais no teoremaanterior. Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo 67.

1. Considere� ��� �� ��� com a seguinte topologia � � � ��� � � ��� . Então� � � é compacto e �&�/ ��� ��- �� , logo � não é fechado. Note que

não é de Hausdorff.

2. Seja� � com a topologia dada no exercício [1], ítem 2. Seja � � � , �

é compacto e � � pois para todo aberto �&. temos � ���/. � � . Isto é,para todo � � , � � e � não é compacto. De fato:

�� !. " �

� . �

onde� . � � � . Logo, o fecho de um compacto pode não ser compacto.

Page 97: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.3. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 97

Corolário 10. Sejam (* e 7, topologias em�

tal que */� 7, . Se 4 �5� * 6 é de Haus-dorff e 4 �5� , 6 é compact, então * , .Prova : Seja � � 7, ; logo � � � é fechado em 7, ; então � é compacto em , . Por outro lado, como (* � , , todo recobrimento aberto de

�em * é um

recobrimento aberto de�

em , ; então � é compacto em * . Como 4 �5� * 6 é deHausdorff, segue que � é fechado em (* ; logo � � * e ,/� * .Proposição 29. Sejam

�espaço topológico, � espaço de Hausdorff e

��� � � � ��� �contínuas. Então:

1. ��� � � � � � � � �� � � � é fechado em � .

2. Se � � �é denso e

� �� � �� �� � então� �� em

�.

3. O gráfico de�

é fechado em� � � .

4. Se�

é injetiva, então�

é de Hausdorff.

Prova :

� � Seja � ��� � � � � � onde � � � � � � � � � � � � � � � ; � é contínua e:

��� � � � � � � � � � � � �� � * � � �e � é fechado em

� � � .� �

Segue, de imediato, pois ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � . Como��� � � � � � � � � � � � é fechado e � é denso, então:

��� � ��� � � � � �� � � � ��� � � � � � � � �� � � � '� � Seja � ��� � � � � � � � onde � � � ��� � � � � � � ��� � ; � é contínua e:

� � � � � � * � � �e � é fechado em

� � � .

� � A função�� * � � � ��� ��� �

é uma bijeção fechada do espaço� � ��� que é de

Hausdorff.

Observações 19.

1. O ítem � da proposição [29], não é válido sem a hipótese de ser de Haus-dorff. Por exemplo, considere

� � � e � � � � tal que��� � � 4 � � 1 .�� 6 ��� 4 � � 1 . � 6 �

ambas são contínuas e ��� � � � � � � � � � � � � � , que não é fechado em4 � � 1 .�� 6 .

Page 98: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

98 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

2. Note que as curvas contínuas e os planos são fechados em � com a topolo-gia usual.

Proposição 30. Se�

é compacto, � é de Hausdorff e� ��� ��� � é contínua, então

�é fechada.

Prova : Seja � � �fechado; logo é compacto; então

� � � � é compacto, o queimplica

� � � � é fechado em � e�

fechada.

Corolário 11. Sejam�

compacto, � espaço de Hausdorff e� �� ��� � contínua. São

equivalentes:

1.�

é um homeomorfismo.

2.�

bijetiva.

Prova : Se�

é um homeomorfismo, então é bijetiva. Reciprocamente. Se�

ébijetiva, então

�é aberta e fechada; logo é um homeomorfismo.

Observação 21.

A condição de compaciade é essencial no corolário [11]. De fato, considere osseguintes espaços topológicos 4 � � � � 6 , 4 � � �� 1�� 6 e a função identidade:

� � � 4 � � �� 1�� 6 ��� 4 � � � � 6que é contínua, bijetiva e não é um homeomorfismo.

Corolário 12. Sejam�

compacto, � espaço de Hausdorff e� � � ��� � contínua e

injetiva então:

� � � � ��� '

6.4 Topologia Quociente

Em geral, é falso, que espaços quocientes de um espaço de Hausdorff sejam deHausdorff.

Exemplo 68. Seja � com a topologia usual e definamos a seguinte relação de equivalên-cia:

� � � � �� � ou ��� ��� � � � � � � '

Page 99: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 99

Consideremos 4 ��� � 6 com a topologia quociente e�

a correspondente projeçãocanônica. Se ���

� � � � � � , então� � * � � �� � � � � � � � , que não é fechado em � ; logo� � �� � não é fechado em 4 � � � 6 , o qual implica em que 4 � � � 6 não pode ser

de Hausdorff.

Teorema 11. Seja�

compacto, de Hausdorff e� � � ��� � uma identificação. Se

�é

fechada, então � é de Hausdorff (compacto).

Prova : Sejam� * � � , � � tal que

� * � � , , então�� * � � * � e

�� * � � , � são compactos

disjuntos. Seja �� � � * � � * � e

&� � � * � � , � , então existem � � � � e� � � � abertos disjuntos

tais que �� � � � � e

&� � � � � . Por outro lado, � � � � � � &� � � * � � , � é uma cobertura de� � * � � , � ; logo existe uma subcobertura finita � � � � � � � ) , onde ) � � � * � � , � e )finito. Sejam:

� � 0� "�� � � �

� e� � !

� "��� � � � �

� � e� � são abertos tais que � � � � � �

e �� � � , � � * � � , � � � � . Por outro

lado, ��� � � � � � � * � � * � é uma cobertura de�� * � � * � , logo existe uma subcobertura

finita ��� � � � � � , onde � � � � * � � * � e � finito. Sejam:

� !� " �

� � e� 0

� "��� � �

� e�

são abertos disjuntos tais que� � * � � * � � � e

� � * � � , � � �; como

�é fechada,

então� � �/� � e

� � � � � são fechados em � . Denotemos por:� * 4 � � � � � 6 � e

� , 4 � � � � � 6 � '� * e

� , são abertos tais que� * � � * , pois

�� * � � * � � � e

� , � � * , pois�� * � � , � ��

. Se� � � *�� � , , então

� �� �� * � � � � e

� �� �� * � � � � ; logo

�� * � � � � � � �

e� � * � � � � � � � donde� � * � � � � � � � � e

� * � � , � .Corolário 13. Seja

�compacto, de Hausdorff e � � �

fechado. Definamos em�

arelação de equivalência:

� � � � � � ou ��� ���� � � 'Então 4 � � � 6 é compacto e de Hausdorff.

Prova :Seja � � �

fechado e�

a projeção canônica. Se � ��� � , então� � � � � . Se

� � � � � , então� � � � � � � � � � � � � � � � � que é fechado. De fato:

� � * 4 � � � � � � � � � � � � � 6� � � � � � � � � � � 'Logo,

�é fechada.

É comum na literatura denotar-se� � � por

��� � .

Page 100: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

100 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

Corolário 14. Se�

é um�

-espaço compacto, de Hausdorff e�

é finito, então� � � é

compacto e de Hausdorff.

Prova : Seja � � �fechado, então:

� � * 4 � � � � 6 !� "��

�� � � � �

onde�

é a projeção canônica.�

� é um homeomorfismo, para todo � � � ; então�� * 4 � � � � 6 é fechado e

� � � � é fechado; logo�

é fechada.

Proposição 31. Se�

é compacto, � é de Hausdorff e� ��� ��� � contínua sobrejetiva,

então�

é uma identificação.

Prova : Seja � � �fechado, então � é compacto em

�, logo

� � � � é compactoem � , como � é de Hausdorff,

� � � � é fechado em � e�

é uma função fechada epela proposição [17],

�é uma identificação.

Exemplo 69.

1. O toro � , é compacto e de Hausdorff.

2. � � . e � � . são compactos e de Hausdorff.

3. A faixa de Moebius é compacta e de Hausdorff.

4. A garrafa de Klein é compacta e de Hausdorff.

6.4.1 Homeomorfismos

Nas seguintes aplicações utilizaremos o seguinte corolário cuja prova segue dire-tamente do parágrafo anterior e do corolário [11]:

A) Seja � . � * � � � � � . � * � �, então:

) � � � � � � 4 � . � * � � 6 � 4 � . � * � � � 6 '1. De fato, definamos

� � � . � * � � � � ) � � � � � por� � � � � � �

� .

2. Por outro lado� � � * � � * � � � ��, � � , � � �

� � ou � * ��, e� * � , � ,

�é contínua e sobrejetiva. Logo, por passagem ao quocientes,

�induz uma

bijeção contínua � tal que � � � �.

Page 101: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 101

3. Denotemos por� 4 � . � * � � 6 � 4 � . � * � � � 6 , temos o seguinte diagrama

comutativo:

� . � * � �

���

�// ) � � � � �

88rrrrrrrrrrr

4. Como�

é compacto e ) � � � � � é de Hausdorff, então � é um homeomorfismoo qual é definido por � � � � � � � � � � � � � � � � .

B) Seja � , o toro de revolução. Então:

� , � � * � � * � 4 � , � � 6 � � , � � , '1. Pelo exemplo C em [4.4.2], provaremos que:

� , � 4 � , � � 6 �onde � , é o toro de revolução em � .

2. � , � � é parametrizado por:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � �onde � �� � � e � � � � � � � , .

3. Seja� � � � � � e consideramos

� , � � , com a topologia usual e a relação deequivalência definida em

� , por:

� � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � �para todo � � � � � � � , .

4. Consideremos 4 � , � � 6 com a topologia quociente e definamos:

� �� � � ��� � ,por

� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � .

Page 102: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

102 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

5.�

é bem definida, contínua e sobrejetiva; como é periódica, então como� � � � � � � � � � � e � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � * � � * � . Logo, por passagem

ao quocientes,�

induz uma bijeção contínua � tal que � � � �. Em outras

palavras, temos o seguinte diagrama comutativo:

� ,�

��

� // � ,� , � �

<<yyyyyyyy

6. Como 4 � , � � 6 é compacto e � , é de Hausdorff, então � é um homeomor-fismo. Note que � � � � * � � , � � � � � * � � , � .

7. Em geral, com argumentos análogos aos anteriores, se consideramos o toro -dimensional � . �� * � � * � '-' ' � � * , ( vezes), temos que:

� . � � . � � . 'C) Seja

� � .�� *� , isto é � .�� * menos a origem, definamos em�

a seguinte relaçãode equivalência:

� � � � existe � � � � tal que �� � � 'Seja

� 4 � � � 6 , então:� � � � . '

1. Considere � . � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de� .�� * .2. Seja

� � � . ��� �definida por

� � � � , onde � � � . � � � .�� *� é a inclusão e� � � .�� *� ��� �é a projeção canônica.

3.�

é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

� .�

��

� // � � .�

<<yyyyyyyyy

4. Como � . é compacta e � � . é de Hausdorff, então � é um homeomorfismo� .

Page 103: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 103

5. È claro que � � � é um ponto e � � * � � * . De fato, basta considerar a função� � � * ��� � * tal que� � � � � , , por argumentos análogos aos anteriores,

temos o seguinte diagrama comutativo:

� *�

��

� // � *

� � *�

==zzzzzzzz

Logo, temos que � � * � � * .D) Seja

� �� .�� *� , isto é � .�� * menos a origem, definamos em�

a seguinte relaçãode equivalência: � * � � , � existe � � � � tal que

� * � � , 'Seja

� 4 � � � 6 , então:� � � � . '

1. Considere � , .�� * � � .�� * com a topologia induzida pela topologia usual de� .�� * .

2. Seja� � � , .�� * � � �

definida por� � � � , onde � � � , .�� * ��� �

é a inclusãoe� � � .�� *� ��� �

é a projeção canônica.

3.�

é contínua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

� , .�� *�

��

� // � � .�

::vvvvvvvvvv

4. Como � , .�� * é compacta e � � . é de Hausdorff, então � é um homeomorfis-mo � .

Exemplo 70.

Verifique que � � � é um ponto e � � * � � , .F) Seja

!a faixa de Moebius, então:

! � �� �

Page 104: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

104 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

onde � é a superfície parametrizada em � , por:

� � � � � � � � , � � , � � � � �� �

� � � � � � ��� � ��� �

� �� � � � � � ��� �onde � � � � � � � , .

1. Lembremos que! 4 � � � 6 , onde � � � � ��� ��� � � � , � � , � � � � � .

2. Seja � � � ��� � � � � � e� � ! � � � definida por:

� � � � � � � � � , � � , � � ��� �� � � �

�� � ��� �

� � ��� �

3. A função�

é injetiva, contínua,!

compacto e� � ! � � � de Hausdorff;

logo! � � � ! � � '

6.4.2 Variedades Topológicas

Seja�

um espaço topológico.

Definição 30.�

é uma variedade topológica de dimensão , se�

é de Hausdorff etodo ponto de

�possui uma vizinhança homeomorfa a uma aberto de � . .

Observações 20.

1. Se�

é uma variedade topológica de dimensão é equivalente a dizer que,para todo �

� �, existe uma vizinhança � e um homeomorfismo:

� � � ����� . �onde� . � � . é o disco unitário.

Ux

h

D

X

Figura 6.1: Variedade de dimensão 2

Page 105: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 105

2. Uma variedade topológica de dimensão é localmente homeomorfa a � . .

3. Se �, então

�é dita superfície topológica.

4. Se�

e � são variedades de dimensão e # , respectivamente, então� � � é

uma variedade de dimensão � # . (Verifique!).

Exercícios 3.

1. Todos os conjuntos abertos de � . são variedades topológicas de dimensão .

2. As esferas � . são variedades topológicas de dimensão . O homeomorfismolocal é a projeção sterográfica.

3. � . �� * � '-'-' � � * (n-vezes) é uma variedad topológica de dimensão .

4. Os espaçõs projetivos reais e complexos são variedades topológicas de dimen-são e

� , respectivamente.

5. A garrafa de Klein é uma superfície topológica.

Page 106: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

106 CAPÍTULO 6. AXIOMA DE SEPARAÇÃO

Page 107: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Capítulo 7

Conexidade

7.1 Introdução

Seja�

um espaço topológico.

Definição 31.�

é conexo se não existem � e ) abertos disjuntos não vazios tais que� � � ) . Caso contrário�

é dito desconexo.

Observação 22.

� � �é conexo, se é conexo como subespaço de

�.

Exemplo 71.

1. ��� e�

são sempre conexos.

2. Em 4 ��� 1 .�� 6 , todo subconjunto é conexo.

3. Em 4 �5� �� 1�� 6 , os únicos conexos não vazios são os conjuntos de um elemen-to.

4. Seja 4 � � �� � 6 ,(a)

� � � é desconexo. De fato, basta considerar:

� � � � � � � � �e ) � � � ��� � � � '

(b) Para todo �� � , então � � ��� é desconexo. De fato, basta considerar:

� � � � � � e ) � � ��� � '5. 4 � � ����� 6 é conexo. De fato, nesta topologia não existem abertos não vazios

disjuntos.

107

Page 108: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

108 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

Proposição 32. Seja � com a topologia usual. Os únicos conjuntos conexos em � commais de um ponto são os intervalos (abertos, fechados, etc).

Prova : Se � é conexo, então � é um intervalo. Suponha que � não é um intervalo,então existem �

��� � e� �� � tal que � � � �

. Sejam � � � ���%� � � e) � ����� � � � ; logo � � � ) e � não é conexo.

Se � é um intervalo, então é conexo. Se � for desconexo, então existem � e )abertos disjuntos não vazios tais que � � � ) . Sejam �

� � e � ) tais que

��� (caso contrário, mudamos os papéis de � e

). Denotemos por:

�� � ��� ����� � � � � � � � 'Logo � �

; como � é um intervalo, � � � . Por outro lado, � � � � � � � .

Como � � � ) , então � é aberto e fechado em � ; logo � � � �� e existe � � �tal que � � � � � � � � � � � , contradição, pois � é um supremo.Segue de imediato da proposição anterior:

Corolário 15. Seja � com a topologia usual. � � � é conexo se, e somente se � �,� ��� ou � é um intervalo.

Teorema 12. São equivalentes:

1.�

conexo.

2. Os únicos subconjuntos abertos e fechados em�

são�

e�.

3. Não existe função� � 4 �5� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 contínua e sobrejetiva.

Prova :� � � � �

Se � � �é aberto, fechado e não vazio ou

�, então

� � � � � , então�desconexo.

� � � � � Suponha que� � 4 �5� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 é contínua e sobrejetivaa, logo�

� * � � � � � , como � � é aberto e fechado em 4 � � � � � �� 1�� 6 , então�� * � � � é aberto e

fechado em�

.

� � � � � Se� � � ) onde � e ) são abertos disjuntos não vazios, então � e )

são fechados e a função �� 4 ��� 6 ��� 4 � � � � � �� 1�� 6 definida por:

� � � � � se �

� �� se �

� )é contínua e sobrejetiva.

Page 109: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

7.1. INTRODUÇÃO 109

Exemplo 72. Segue do teorema que � , com a topologia usual é conexo.

Corolário 16.

1. Se�

é conexo e� ��� ��� � é contínua, então

� � ��� é conexo.

2. Seja� � � . Então,

�é conexo se, e somente se � é conexo.

3. A união arbitrária de subconjuntos conexos de�

que tem pelo menos um ponto emcomum, é conexa. Isto é. Seja ��� � � � � �5�� tal que

0�

� � � � , então:

!�-" $ � �

é conexo.

4. Seja � � �subconjunto conexo. Se ) � �

é tal que � � ) � � , então ) éconexo. Em particular, o fecho de um conexo é conexo.

Prova :

1. Note que� ��� � � � � ��� é contínua e sobrejetivaa. Se

� � ��� for desconexo,existe � � � � ��� ��� � � � � contínua e sobrejetiva; logo � � � � � ��� � � � � contínua e sobrejetiva, o que é uma contradição, pois

�é conexo.

2. É imediata.

3. Sejam ����� ��� � � família de conexos, e:

� !�#"�� �&�

�tal que ��

� 0�#"�� �&� '

Suponha que existe� � � ��� � � � � contínua. Como cada ��� é conexo

� �� ���não é sobrejetiva. Por outro lado, como ���

� �&� , para todo � � �; então� � � � � � �� � , para todo �

� �&� e � � �; caso contrário

� �� ��� é sobrejetiva.Logo

�não é sobrejetiva.

4. Seja� ��� � � � � ��� contínua; como � é conexo, então

� �� � não é sobrejetiva.Por outro lado, ) � � ) � � e pela continuidade de

�:

� � ) � � � � �� � � � � � � � � � �

logo�

não é sobrejetiva.

Page 110: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

110 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

Proposição 33.�

e � são conexos se, e somente se� � � é conexo.

Prova : Sejam�

e � conexos tais que� � � � � ) , onde � e ) são abertos

disjuntos. Ou � �+* � � , �+* � �aberto ou existe �

� �tal que 4 ��� � � 6 � � � �

e 4 ��� � � 6 � ) � � .Exemplo 73.

1. � * � � , com a topologia usual é conexo. De fato; seja� � � � � � � � � � ,

definida por� � � � ,�� 1 � que é contínua e � * � � � � � � � . Em particular:

� *�� � �pois, � � ��� é desconexo e � * � � � é ainda conexo.

2. O toro � , �� * � � * é conexo.

3. � . e � � � � � � � � � � � � � � � são conexos.

4. A faixa de Moebius, o plano projetivo real, o plano projetivo complexo e agarrafa de Klein são conexos.

5. Sejam

� � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � �� � e

� � � � � � � � � � 'O conjunto

�é conexo, pois é imagem de � � � � � por uma função contínua,�

também é conexo; pelo corolário [16],� � �

é conexo. Note que em � , ,� � � �.

1

-1

1

Figura 7.1:� � � �

.

Page 111: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

7.2. APLICACÕES 111

6. Seja a família � *� �� � � ��� � � � , � � � � � � , � � , � , , logo � � � � � � � *� paratodo � � � .

Figura 7.2: A família � *� .

Como cada � *� é conexo, pelo corolário [16]:

� !��� �

� *� � � � ��� � � � , �(� � � � � , ��� , � � , �

é conexo.

7.2 Aplicacões

A primeira aplicação que estudaremos é a generalização do teorema do ValorIntermediário do Cálculo.

Proposição 34. Sejam�

conexo, � com a topologia usual e� � � ��� � contínua.

Sejam � * � ��, � �tais que

� � � * � � � � ��, � . Então para todo� � � tal que

� � � * � � � �� � ��, � , existe �� �

tal que� � � � �

.

Prova : Se�

é contínua, então� � ��� � � é conexo, logo

� � ��� é um intervalo. Se� � � * � � e� � ��, �

, então � � �� � � � ; portanto, para todo� � � � �� � existe �

���

tal que� � � � �

.

Corolário 17.

1. Toda� � � � � � � � � � � � � � contínua admite, pelo menos menos um, ponto fixo. Isto é,

existe �� � � � � � tal que

� � � � � .

2. Teorema de Borsuk - Ulam para � : Seja� � � * ��� � contínua. Existem

pontos antipodais que possuem a mesma imagem.

Page 112: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

112 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

Prova :

1. Seja � � � � � � � �7� � ; então ��� � � � � � ��� � � . Pelo teorema do valor inter-mediário, existe �

� � � � � � tal que ��� � � � .

2. Utilizando coordenadas polares, denotemos os elementos de � * pelo ângulo�, em radianos. Logo, os pontos

�e� � �

são antípodas; consideremos afunção � � � � � � � � � � � � � � �

; então como� � � � � � ��� � e ��� � � � � � � � ,

pelo teorema do valor intermediário, existe� * � � � � ��� tal que � � � * � � .

Exercícios 21. Seja � um conjunto ordenado, com a relação de ordem�

. Denotemospor

� � � * se� � � * e

� � � * . Definamos a topologia em � que tem como subbase� � � �

� � � , onde:

�� ��� � � � � � �� e � � � � � � � � � � '

Note que se � � , então o intervalo ��� �� � � � � � � . A topologia gerada por estasubbase é chamada topologia da ordem e � é dito espaço odenado. Verifique que oteorema do valor intermediário, pode ser estendido a espaços ordenados.

Proposição 35. Seja � � e � � � . , � enumerável. Então � . � � é conexo.

Prova : Sem perda de generalidade, podemos supor que a origem � �� � (casocontrário, por translação, movemos a origem). Seja �

� � . � � . Provaremos quea origem e cada � , estão contidos num conjunto conexo de � . � � e pelo corolário[16], � . � � será conexo.Denotemos por ���� a semi-reta que liga a origem à � e por

�uma reta qualquer

que intersecte �� � em único ponto diferente de � e � .Para todo

� � �, seja

��� ��� �

��� . Pelo corolário [16] cada

� � é conexo e��� � � � � � � � � .

x

0

L

Lz

zA

Figura 7.3:

Page 113: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

7.2. APLICACÕES 113

Pelo menos um�� � � . � � ; caso contrário se

�� ��� � �

, para todo� � �

, oponto de interseção, necessariamente, deve ser diferente para diferentes

� � �.

Logo, teríamos uma correspondência biunívoca entre�

e � , o que é impossível,pois � é enumerável.

Corolário 18. � e � . , � � não são homeomorfos.

Prova : Suponha que � . � � � ; então 4 � . � ��� 6 � 4 � � � � � � � 6 . Como � . � ��� é conexo, � � � � � � � seria conexo. Portanto não podem ser homeomorfos.

Observação 23.

Provar que � . � � ) se � # é, surpreendentemente, muito complicado. Esteresultado segue do teorema chamado da invariância da dimensão, cujo enun-ciado é: se � . � � ) , então # . A prova deste teorema envolve delicadosconceitos topológicos que ficam fora do contexto destas notas.

Exercícios 22. Verifique que:

1. � � � * .2. � * � � . se � � .

Definição 32. Seja �� �

,. A componente conexa de � é a união de todos os conjun-tos conexos que contém a � .

Observações 21.

1. Denotamos por � � � � a componente conexa de � .

2. Pelo corolário [16], ��� � � é o maior conexo que contém � .

3. Se�

é conexo, então � � � � �, para todo �

� �.

Proposição 36. ��� � � é fechado em�

.

Prova : Sabemos que � � � � � � � � � , para todo ����

e que ��� � � é conexo. Como��� � � é o maior conexo que contém � , então ��� � � � ��� � � .Exemplo 74. � . � � . � * , com a topologia usual, é conexo.

De fato; consideremos o homeomorfismo � . � � � � � . dado pela projeção este-reográfica. Como � . é conexo, então � . � � � é conexo e:

� . � . � � � '

Page 114: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

114 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

7.3 Conexidade por caminhos

Sejam 4 �5� 6 e� � � �� � � � um intervalo fechado, com a topologia induzida

pela topologia usual de � .

Definição 33. Um caminho em�

é uma função � �� ��� �, contínua.

Observações 22.

1. Os pontos � ��� � e � � � são ditos ponto inicial e final do caminho, respectiva-mente.

2. Um caminho não é um conjunto em�

. Por exemplo, considerando � coma topologia usual, então:

�* � � � � � � ��� � e � , � � � � � � ��� � �definidos por �* � � � �

e � ,�� � � � , são dois caminhos ligando � e � .

Definição 34.�

é dito conexo por caminhos ou conexo por arcos, se para todo� * � ��, � �

, existe caminho ligando � * a ��, .Exemplo 75.

1. � . é conexo por caminhos. Em geral, todo espaço vetorial é conexo porcaminhos.

2. O grupo � � � não é conexo por caminhos. De fato, se consideramos du-as matrizes em � � � , tais que uma tenha determinante positivo e a outradeterminante negativo, qualquer caminho contínuo ligando estas matrizes,necessariamente deverá passar pela matriz nula.

Proposição 37. Seja�

conexo por caminhos e� � � ��� � contínua e sobrejetiva.

Então � é conexo por caminhos.

Prova : Sejam� � � * � � ; como

�é sobrejetiva, existem �

�� * � �

tais que� � � � �

e� � � * � � * . Como

�é conexo por caminhos, existe � �� ��� �

contínua ligando� a � * ; logo definimos

� � � � , que é um caminho que liga�

a� * .

Corolário 19. Se� � � , então

�conexo por caminhos se, e somente se � conexo por

caminhos.

Observações 23.

Page 115: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 115

1. Pelo corolário, podemos sempre considerar� � � � � � .

2. Sejam � � � � ����� �caminhos tais que � � � � � � � � , isto é, o ponto final de� coincide com o ponto inicial de

�. Nesta condições, podemos definir:

� � � � � ��� �

� ��� � � � � � se � � ��� ��� �� � � � � � � se ��� � � � � �

O caminho � � �é contínuo e � � � � � � � � �� � � � , � � � � � � ��� �#� � � ��� � � � � ��� �#�

e � � � � � � � � � � � � . Logo, � � �é um caminho em

�ligando � � � � a

� � � � .Proposição 38. Seja � � � � � � �� uma família arbitrária de espaços conexos por cami-nhos tal que

0�-"%$

��� � , então:

� !�-"%$

��

é conexo por caminhos.

Prova : Sejam � * � ��, � �tais que � * � �

� � e ��, � �� � . Se

��� 0 �� , existem �

e�

caminhos com � * � �� � e ��, � �

� � , ligando � * a�

e ��, a�, respectivamente.

Basta considerar o caminho � � �, que liga � * a ��, .

Proposição 39. Se�

e � são conexos por caminhos, então� � � é conexo por caminhos.

Prova : Sejam � � ��� � � � � * ��� * �&� � � � . Denotemos por � � � � � �e

� � � ��� �caminhos ligando � a � * e

�a� * , respectivamente. Logo:� � ����� � � �� ��� � � � � � � � � � � �

é um caminho em� � � , ligando � � ��� � a � � * ��� * � .

Teorema 13. Se�

é conexo por caminhos, então�

é conexo.

Prova : Sejam ��� * � �

e � um caminho ligando � a � * . Então, � � � � é um conjuntoconexo que contém � e � * ; logo � e � * pertencem a mesma componente conexa, oque implica que

�possui uma única componente conexa; portanto é conexo.

Observação 24.

A reciproca do teorema é falsa. Veja o seguente exemplo:

Page 116: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

116 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

Exemplo 76. Sabemos que se:� � � � ��� � � � � �� ����� � � ��� �

� � e� � � � � � � � � � �

o conjunto � � � �é conexo, mas � não é conexo por caminhos.

Provaremos que não existe caminho � � � � � � � � � � tal que � � � � � �e � � � �/��� .

Suponha que tal caminho existe. Sem perda de generalidade, podemos suporque � � � � � � � � � . Seja � ��� � ; pela continuidade de � , existe

� � � tal que� � � � � � � � � � � � � � � � se � � � � � � � .

1

1

Figura 7.4:

Note que � � � � � � � � � � é conexo. Denotemos por � � � � � � � � � ��� � � e � � * � � ��� � �a primeira projeção de � , ; então � �#* � � � � � � � � ��� � e contínua e o conjunto� 4 � � * � � 6 � � � � � � � � � é conexo com � � � , pois � � � � � � � � � ); também � �

� � .Por outro lado, � é um intervalo e contém � � � ��� � ; logo para todo � * � � � � �� � , existe� � � � � � � � � tal que � � � � � � * � � �� ����� * � � . Em particular, se # � � � � � � , para grande, temos que se � * ��� # , então � � � * � �� e �

� ����� * � � �� � � � �#� � � ;logo o ponto � � � # �-� � � � � � � , para algum

� � � � � � � � � , ou seja, o ponto � ��� # � � � �está a uma distância menor que 1/2 do ponto � � � � � . Istoe é uma contradição, pois� � � # �-� � � esta a uma distância de pelo menos 2 do ponto � � � � � .Proposição 40. Seja � . com a topologia usual, se � � � . é aberto, então � é conexopor caminhos.

Prova : Seja � � � e denotemos por:

� ��� � ��� � pode ser ligados a � por um caminho em A

Afirmamos que � é aberto. De fato, seja �� � � � , como � é aberto, existe � � �

tal que � � � � � � � � � � � � é uma vizinhança de � e �� � � � . Por outro

Page 117: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 117

lado, � é conexo por caminhos, (pois é homeomorfo a � . ); logo, todo ponto de �pode ser ligado a � por um caminho em � . Por tanto, todo ponto de � pode serligado a � por um caminho em � . Isto é, � � � e � á aberto.Afirmamos que � é fechado. De fato, seja ) � � � ; logo ) é o conjunto de todosos pontos de � que não podem ser ligados a � por um caminho em � . Por umargumento análogo ao anterior é possível verificar que ) é aberto e por tanto � éfechado. Logo, � é não vazio, aberto e fechado, como � é conexo, então � � .

Exercícios 23.

1. Verifique que todo espaço com a topologia indiscreta é conexo por caminhos.

2. Seja�

um espaço topologico e � a seguinte ralação de equivalência:

� � � � se existe um caminho ligando � a�

em� '

Verifique que�

é conexo por caminhos �� � � é conexo por caminhos.

Page 118: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

118 CAPÍTULO 7. CONEXIDADE

Page 119: Topologia Geral - Mauricio a. Vilches - UERJ

Bibliografia

[EL1] Lima E.: Análise em � . , Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977)

[EL2] Lima E.: Espaços Métricos, Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977)

[DD] Dugundji J: Topology, Boston, Allyn & Bacon (1966)

[CK] Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ.Press (1980)

119