CLCULO: VOLUME IIMAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRADepartamento de Anlise - IMEUERJ2Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservadosProibida a reproduo parcial ou total3PREFCIO"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de at onde voc quer chegar."Lewis Carrol - Alice no Pas das MaravilhasEsta notas so a continuao natural do livro CLCULO: VOLUME I, que pr-requisitoparaestelivro. DamesmaformaqueoClculoDiferencialeIntegralde uma varivel, os conceitos centrais do Clculo Diferencial e Integral de vriasvariveis so relativamente profundos e no se espera que possam ser assimiladosde uma s vez. Neste nvel, o importante que o leitor desenvolva a habilidadede calcular e adquira a compreenso geomtrica dos problemas. Esperamos queolivropermitaaoleitorumacessorpidoeagradvelaoClculoDiferencialeIntegral de uma varivel.No podemos deixar de recomendar aos alunos a utilizao, criteriosa, dos softwa-res de Clculo existente no mercado, pois eles so um complemento til ao apren-dizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Anlise e do IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condies para escrever estasnotas e Sra. Sonia Maria Alves pela digitao. Certamente, todos os erros soexclusivamente de responsabilidade dos autores.Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorraRio de Janeiro4Contedo1 GEOMETRIA ANALTICA 91.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Espaos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 O Espao Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espao . . . . . . . . . . . . 101.5 Produto Escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.1 ngulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 Torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Distncia emR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.1 Paralelismo e Perpendicularismo. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9.2 Forma Simtrica da Equao da Reta . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.3 Distncia de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10.1 ngulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos. . . . . . . . . 231.10.3 Distncia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 251.11 Generalizaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.11.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12 Superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.13 Superfcies Qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.13.1 Elipside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.13.2 Hiperbolide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.13.3 Hiperbolide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.13.4 Parabolide eltico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.13.5 Parabolide hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.13.6 Cone eltico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.13.7 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 FUNES DE VRIAS VARIVEIS 472.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Domnio e Imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Grco de Funes de Vrias Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 5556 CONTEDO2.4 Conjuntos de nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 693.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3 Conjunto Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 LIMITES E CONTINUIDADE 754.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 DERIVADAS PARCIAIS 895.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Generalizaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Interpretao Geomtrica das Derivadas Parciais. . . . . . . . . . . . 935.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variao . . . . . . . . . . . . . . . 965.5 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.6 Aproximao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.8 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196 DERIVADA DIRECIONAL 1256.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Derivada Direcional como Taxa de Variao. . . . . . . . . . . . . . . 1276.3 Gradiente de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3.1 Observaes Geomtricas sobre Gradientes . . . . . . . . . . 1326.4 Funes Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5 Gradiente e Conjuntos de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.6 Gradiente e Curvas de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6.1 ngulo entre Curvas que se Intersectam. . . . . . . . . . . . 1446.7 Gradiente e Superfcies de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.7.1 ngulo entre Superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547 MXIMOS E MNIMOS 1597.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Determinao dos Extremos Locais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.3 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.1 Mnimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4 Mximos e Mnimos Absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.5 Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.6 Determinao dos Extremos Condicionados . . . . . . . . . . . . . . 1857.7 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.7.1 Generalizao do Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197CONTEDO 77.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988 INTEGRAO DUPLA 2038.1 Integrao Dupla sobre Retngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.2 Signicado Geomtrico da Integral Dupla. . . . . . . . . . . . . . . . 2048.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.4 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.4.1 Extenso do Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.5 Integrao Dupla sobre Regies mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . 2138.6 Regies Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.7 Extenso da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.8 Integral Dupla e Volume de Slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.8.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269 MUDANA DE COORDENADAS 2299.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.1.1 Jacobiano da Mudana de Coordenadas. . . . . . . . . . . . . 2309.2 Mudana de Coordenadas e Integrais Duplas. . . . . . . . . . . . . . 2329.3 Mudana Linear de Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.4 Mudana Polar de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.4.1 Regies Limitadas por Crculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.4.2 Aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.5 Outras Aplicaes da Integral Dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.5.1 Massa Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.5.2 Momento de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.5.3 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.5.4 Momento de Inrcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210INTEGRAO TRIPLA 25510.1 Integrao Tripla sobre Paraleleppedos. . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.2 Integrais Triplas sobre Regies mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . 25810.2.1 7.2.1 Regies Elementares no Espao . . . . . . . . . . . . . . . 25810.3 Extenso da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511 MUDANA DE COORDENADAS 26711.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26711.2 Coordenadas Cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811.3 Coordenadas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27812APNDICE 28312.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312.3 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888 CONTEDO13RESPOSTAS 29113.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29113.2 Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29113.3 Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.4 Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.5 Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.6 Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.7 Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29413.8 Captulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29413.9 Captulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29413.10 Captulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Bibliograa 296Captulo 1GEOMETRIA ANALTICA1.1 IntroduoNeste captulo estabeleceremos os conceitos bsicos para o estudo do Clculo emvrias variveis. No pretendemos fazer um estudo detalhado de vetores ou deGeometria Analtica, mas recomendamos aos leitores, consultar a bibliograa comocomplemento necessrio deste captulo.1.2 Espaos EuclidianosO espao euclidianon-dimensional (n N) o produto cartesiano den fatoresiguais a R:Rn= R R . . . . . . R.Se n = 1, R1= R a reta; se n = 2, R2 o plano e se n = 3, R3 o espao euclidianotridimensional.1.3 O Espao Euclidiano TridimensionalO espao euclidiano tridimensional denido pelo conjunto:R3= (x, y, z) / x,y,z R.Logo, os elementos de R3so ternos ordenados. Dados (x, y, z) R3e (x1, y1, z1) R3, tem-se (x, y, z) = (x1, y1, z1) se, e somente se, x = x1, y= y1 e z= z1.EmR3podem ser denidas duas operaes.Denio 1.1. Dados (x, y, z), (x1, y1, z1) R3e R, denimos:1. Adio de elementos de R3:(x, y, z) + (x1, y1, z1) = (x +x1, y +y1, z +z1).2. Multiplicao de elementos de R3por escalares de R: (x, y, z) = ( x, y, z).Estas duas operaes satisfazem s seguintes propriedades:Proposio 1.1. Dados x, y, z e 0 = (0, 0, 0) elementos de R3e , R; ento:910 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA1. x +y = y +x2. (x +y) +z = x + (y +z)3. x +0 = 0 +x = x.4. ( x) = () x5. (x +y) = x + y6. ( +) x = x + x7. 1x = x1 = x8. x R3tal quex + (x) = (x) +x = 0.Note que, se x = (x, y, z), ento x = (x, y, z)Em geral, um conjunto onde so denidas as operaes de adio e multiplicaopor um nmero real (escalar), como na denio anterior, satisfazendo s proprie-dades anteriores chamado espao vetorial sobre Re seus elementos so chamadosvetores. Logo, R3 um espao vetorial (de dimenso 3) sobre R. De forma analoga,R2 um espao vetorial de dimenso 2 sobre R.1.4 Sistema de Coordenadas Ortogonais no EspaoEscolhamos trs retas mutuamente perpendiculares e denotemos por

0 o ponto deinterseo das retas, chamado origem. Estas retas, ditas eixos coordenados, sodesignadas como o eixo dos x, eixo dos y e eixo dos z, respectivamente. Os eixosdos x e dos y formam um plano horizontal e o eixo dos z ortogonal a este plano.Os planos que contem os eixos coordenados, chamados planos coordenados, so:plano xy se contem os eixos dos x e dos y; plano xz se contem os eixos dos x e dosz e plano yz se contem os eixos dos y e dos z. Os planos coordenados dividem oespao em oito partes chamadas octantes. Um terno ordenado de nmeros reais(x, y, z) est associado a um nico ponto P do sistema de coordenadas. A distnciado ponto Pao plano yz a coordenada x de P, a distncia do ponto Pao plano xz a coordenada y de Pe a distncia do ponto Pao plano xy a coordenada z deP. Estas trs coordenadas so as coordenadas retangulares do ponto Pe determi-nam uma correspondncia um a um entre ternos ordenados e pontos do sistema decoordenadas. Ao

0 est associado o terno (0, 0, 0).Pxyz0(x,y)Figura 1.1:Os elementos de R3so denominados pontos ou vetores, com o seguinte cuidado:(x, y, z) R3 um vetor que tem a origem em(0, 0, 0) e extremidade em (x, y, z)1.5. PRODUTO ESCALAR 11etambmchamadovetorposiode(x, y, z). Paraterumamelhordistinodenotaremos os vetores de forma diferente da dos pontos. Por exemplo

0 = (0, 0, 0) o vetor nulo.(x,y,0)(x,y,z)zx0 yFigura 1.2:Dados P1= (x1, y1, z1) e P2= (x2, y2, z2), o vetor v determinado porP1P2 :v = P2P1= (x2x1, y2y1, z2z1)O vetor v =OP o vetor posio do ponto P.Exemplo 1.1.[1] Se P1= (3, 2, 1) e P2= (2, 1, 5), determineP1P2.Da denio:P1P2= (2, 1, 5) (3, 2, 1) = (5, 1, 6).[2] Se P1= (2, 1, ) e P2= (2, 1, 2 ), determineP1P2.Da denio:P1P2= (2, 1, 2 ) (2, 1, ) = (2 2, 0, ).1.5 Produto EscalarDenio 1.2. Sejamu = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) vetores emR3. O produto escalarde u e v, denotado por uv (ou < u, v >) denido por:uv = u1v1 +u2v2 +u3v3Analogamente se dene o produto escalar de vetores emR2.Proposio 1.2. Sejam v, u,w R3e R, ento:1. vv 02. vv = 0 se e somente se, v =

0.3. vu = uv.4. v

0 = 0.12 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA5. ( u)v = u( v) = (uv). 6.w (u +v) = ( w u) + ( w v).As propriedades podem ser provadas diretamente da denio.Denio 1.3. O vetor v ortogonal a w se e somente sevw = 0Ovetor

0 o nico vetor ortogonal a todos os vetores de R3. Sew R2ew = (x, y),ento os vetores (y, x) e (y, x) so ortogonais a w.1.6 Norma Euclidiana de um VetorDenio 1.4. Seja v = (v1, v2, v3) R3. A norma euclidiana de v denotada por |v| edenida por:|v| =vv =_v21 +v22 +v23O vetor v dito unitrio se |v| = 1.Proposio 1.3.1. Sew ,=

0 no unitrio, ento o vetor denido porv = w| w|, unitrio e tem amesma direo de w.2. Se o ngulo formado pelos vetores v e u, ento:vu = |v| |u| cos().A propriedade 1, pode ser provada diretamente da denio. A segunda, aplica-mos a lei dos co-senos ao tringulo da gura, temos:|u v|2= |u|2+|v|22 |u| |v| cos().vu-vOuFigura 1.3:|u|2= uu; temos: _u v_

_u v_ = uu +vv 2 |u| |v| cos(); logo,uu uv vu +vv = uu +vv 2 |u| |v| cos();ento, uv = |u| |v| cos().1.6. NORMA EUCLIDIANA DE UM VETOR 13Trs vetores de R3tem um destaque especial, a saber:

i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0) e

k = (0, 0, 1).0kjiFigura 1.4: Os vetores

i,

j e k.Os vetores

i,

j e k so unitrios e mutuamente ortogonais. O conjunto

i,

j, k dito a base cannica do R3. Para todo v = (v1, v2, v3) R3temos:v = v1

i +v2

j +v3

k1.6.1 ngulos Diretores e Co-senos DiretoresOs ngulos diretores de um vetor no nulo v= (v1, v2, v3) so os ngulos , e ,no intervalo [0, ] que v forma com os eixos coordenados.yzxFigura 1.5:Osco-senosdessesngulosdiretores, cos(), cos()ecos()sochamadosco-senos diretores do vetor v. Pelas propriedades do produto escalar, temos:cos() =v

i|v| |

i|=v1|v|=v1_v21 +v22 +v23,cos() =v

j|v| |

j|=v2|v|=v2_v21 +v22 +v2314 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAecos() =v

k|v| |

k|=v3|v|=v3_v21 +v22 +v23.Ovetorvcaunivocamentedeterminadoconhecendoseucomprimentoeseusngulos diretores. De fato:v1= |v| cos(), v2= |v| cos() e v3= |v| cos().Note que cos2() +cos2() +cos2() = 1.Exemplo 1.2.[1] Sejam v=(1, 2, 3) e w=(2, 1, 3). Determine vw e os vetores unitrios nasdirees de v e w, respectivamente.Primeiramente calculamos vw = 2 + 2 + 9 = 9. Agora devemos determinar:v|v|e w| w|.|v| =1 + 4 + 9 =14 e | w| =4 + 1 + 9 =14; logo,_114,214,314_e_214,114,314_,so os vetores unitrios nas direes de v e w, respectivamente.[2] Sejam v=(x, 2, 3) eu=(x, x, 5). Determine o valor dex para que v eusejam ortogonais.Da denio v e u so ortogonais se vu=0; ento,vu=x2 2 x 15=0,equao que tem solues x=5 e x= 3; logo:v=(5, 2, 3) e u=(5, 5, 5) soortogonais e v = (3, 2, 3) e u = (3, 3, 5) so ortogonais.[3] Sejam P1=(3, 2, 1),P2=(1, 4, 1),P3=(0, 0, 1) e P4=(1, 1, 1). Deter-mine o ngulo formado pelos vetoresP1P2 eP3P4.Sejam v= P1P2=(1 3, 4 + 2, 1 + 1)=(2, 6, 2) e w= P3P4=(1, 1, 2). Ongulo formado por v e w :cos() =vw|v| | w|=_233.[4] Calcule os co-senos diretores de u = (2, 1, 2).Como |u| = 3, cos() = 23, cos() =13 e cos() =23.1.6.2 TrabalhoSuponha que uma fora constante

Fmove uma partcula de um pontoPat umponto Q. O trabalho realizado pela partcula dado por:W=

F PQSe a unidade de comprimento dada em metros e a fora dada em Newtons, otrabalho dado em Joules (J).1.7. PRODUTO VETORIAL 15Exemplo 1.3.Uma fora dada por

F=(1, 2, 3) move uma partcula do ponto(1, 1, 1) ao ponto(4, 2, 3); logo: W= (1, 2, 3)(3, 1, 2) = 3 + 2 + 6 = 11 J.1.7 Produto VetorialDenio 1.5. Dadosv=(v1, v2, v3) ew=(w1, w2, w3) vetores em R3, o produtovetorial de v e w, denotado por vw denido por:vw =v2v3w2w3

i v1v3w1w3

j +v1v2w1w2

kLogo, da denio segue:vw =_v2w3v3w2_

i +_v3w1v1w3_

j +_v1w2v2w1_

k.Proposio 1.4. Sejam v,w e u vetores do R3e R. Ento:1. v v =

0.2.

0 v = v

0 =

0.3. vw = wv.4. v ( w+u) = vw+v u.5. vw = v w = (vw).6.|vw| = |v| | w| sen(), onde o ngulo formado por v e w.7. Os vetores v e w so paralelos se e somente se vw =

0.8. O vetor vw ortogonal aos vetores v e w.9. A rea do paralelogramo determinado por v e w |vw|.vwFigura 1.6:10. Identidade de Lagrange: |vw|2= |v|2| w|2(vw)2.11. u(vw) =u1u2u3v1v2v3w1w2w3.12. O volume do paraleleppedo determinado pelos vetores u, v e w dado porV= [u(vw)[.16 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAProva: As provas seguem diretamente das denies. Por exemplo:7. Se vw= 0 o ngulo formado pelos vetores zero ou ; logo, os vetores soparalelos.9. A base do paralelogramo |v| e sua altura | w| sen(), onde o ngulo entrev e w.10. |vw|2= |v|2| w|2sen2() = |v|2| w|2(1cos2()) = [v|2| w|2(vw)2.12. A rea da base A= |vw|; seja o ngulo formado por u e vw; logo, aaltura do paraleleppedo h = |u| [cos()[; ento, V= [u(vw)[.Exemplo 1.4.[1] Sejamv = (3, 2, 2) e w = (1, 1, 2). Calcule vw, ( wv) v e ( wv) u.Da denio e das propriedades temos:vw = (6, 4, 5) e ( wv) v = (2, 27, 24) e ( wv)w = (13, 18, 2).[2] Calcule

i

j,

i

k,

j

k e (

i

j) (

j

k).Da denio temos:

i

j = (0, 0, 1) = k,

i

k = (0, 1, 0) =

j,

j

k = (1, 0, 0) =

ie (

i

j) (

j

k) = k

i =

j.[3]CalculeareadotringulodeterminadoporP =(2, 2, 0), Q=(1, 0, 2)eR = (0, 4, 3).Area do tringulo a metade da rea do paralelogramo determinado por u =PQe v =PR; logo:A = |u v|2= |(10, 5, 10)|2=152.[4] Calcule o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores u=(2, 3, 4),v = (1, 2, 1) e w = (3, 1, 2).Como vw = (3, 5, 7), temos V= [u(vw)[ = [ 7[ = 7.[5] Determine o valor de k tal que u = (2, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (3, k, 5) sejamcoplanares.Se u, v e w so coplanares, ento, u(vw)= 0; caso contrrio, determinariamum paraleleppedo e, portanto, os vetores no poderiam ser coplanares.vw = (10 + 3 k, 14, k 6);logo, u(vw) = 7 k + 28; resolvendo 7 k + 28 = 0, temos k = 4.1.7.1 TorqueSe uma fora

Fage num ponto de um corpo rgido, de vetor posio r, ento essafora tende a girar o corpo em torno de um eixo que passa pela origem do vetorposio e perpendicular ao plano de r e

F. O vetor torque (relativo origem) dado por = r

F.O torque fornece uma medida do efeito de um corpo rgido ao rodar em torno deum eixo. A direo de indica o eixo de rotao.1.8. DISTNCIA EMR317Exemplo 1.5.[1] Uma fora

F =(2, 5, 8) age num ponto de um corpo rgido, de coordenadas(1, 1, 2). Calcule o torque.Da denio r=(1, 1, 2); logo, =r

F=(1, 1, 2)(2, 5, 8)=(2, 4, 3). Adireo de (2, 4, 3) indica o eixo de rotao.[2]Umparafusoapertadoaplicandoumaforade300 Ncomumachavede0.45 m de comprimento fazendo um ngulo de4como na gura. Determine omdulo do torque em torno do centro do parafuso.Figura 1.7:||= |r

F|= |r| |

F| sen(); como |r|=0.45, |

F|=300 esen_4_=22,temos, || = 67.52 J.1.8 Distncia emR3Denio 1.6. SejamP1=(x1, y1, z1) eP2=(x2, y2, z2) pontos do R3. A distnciaentre P1 e P2 denotada e denida por:d0(P1, P2) =_(x1x2)2+ (y1y2)2+ (z1z2)2Em particular, se P= (x, y, z):d0(0, P) = |0P| =_x2+y2+z2Proposio 1.5. Sejam P1, P2 e P3 pontos do R3, ento:1. d0(P1, P2) > 02. d0(P1, P2) = 0 se, e somente se P1= P2.3. d0(P1, P2) = d0(P2, P1)4. d0(P1, P3) d0(P1, P2) +d0(P2, P3).18 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA1.9 RetasSejam P= (x1, y1, z1) um ponto e v = (v1, v2, v3) um vetor emR3. A reta que passapelo ponto Pe tem direo v dada, parametricamente, por:P(t) = P+t v, t REm coordenadas:___x(t) = x1 +t v1y(t) = y1 +t v2z(t) = z1 +t v3, t R.Dados P1= (x1, y1, z1) e P2= (x2, y2, z2) emR3, vamos obter a equao da reta quepassa por P1 e P2.P12zOxyPFigura 1.8: A reta que passa por P1 e P2.A direo da reta dada por v =P1P2; logo, as equaes paramtricas so:___x(t) = x1 +t (x2x1)y(t) = y1 +t (y2y1)z(t) = z1 +t (z2z1), t R.Exemplo 1.6.[1] Determine a equao da reta que passa pelo ponto (1, 1, 1) e tem a direo dovetor (2, 1, 3). Ache outro ponto da reta.Sejam P= (1, 1, 1) e v = (2, 1, 3); logo,___x(t) = 1 + 2 ty(t) = 1 +tz(t) = 1 + 3 t,t R. Fazendo, por exemplo,t=1 na equao da reta, temos que(3, 0, 4) umponto da reta.1.9. RETAS 19-2.502.55-202-505-2.502.55-20Figura 1.9: A reta do exemplo [1].[2] Determine a equao da reta que passa pelos pontos P1= (2, 1, 3) eP2= (3, 2, 7).A direo da reta v =P1P2= (5, 3, 4); logo a equao :___x(t) = 2 + 5 ty(t) = 1 + 3 tz(t) = 3 + 4 t, t R.-505-505-505-505-505Figura 1.10: A reta do exemplo [2].1.9.1 Paralelismo e PerpendicularismoSejam l1 e l2 retas de direes v1 e v2, respectivamente; ento:1. l1 paralela a l2 se, e somente se, v1v2=

0.2. l1 perpendicular a l2 se, e somente se, v1 v2= 0.A prova segue diretamente das denies.Exemplo 1.7.[1] As retas___x = 1 + 2 ty= 3 + 6 tz= 1 + 4 te___x = 4 ty= 3 tz= 5 2 t20 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAso paralelalas. De fato, v1= (2, 6, 4), v2= (1, 3, 2) e v1v2=

0.[2] As retas___x = 1 + 2 ty= 3 + 6 tz= 1 + 4 te___x = 5 ty= 3 +tz= 5 tso perpendiculares. De fato, v1= (2, 6, 4), v2= (1, 1, 1) e v1 v2= 0.[3] As retas___x = 1 + 2 ty= 2 + 3 tz= 4 +te___x = 5 ty= 3 + 2 tz= 3 + 3 tno so paralelas nem perpendiculares e no se intersectam. Tais retas so ditasreversas.-50510-505-505-50510-505Figura 1.11: As retas do exemplo [3].1.9.2 Forma Simtrica da Equao da RetaEliminando o parmetro t na equao da reta, obtemos a forma simtrica da equa-o da reta:x x1v1=y y1v2=z z1v3sendo os vi ,= 0 (1 i 3). Se, por exemplo, v1= 0, obtemos:x = x1,y y1v2=z z1v3;os outros casos so anlogos.1.9.3 Distncia de um Ponto a uma RetaSeja P um ponto que no pertence reta que passa pelos pontos Q e R. A distnciado ponto P reta :d1= |vw||v|onde v =QR e w =QP. A prova deste fato ca como exerccio.1.10. PLANOS 21Exemplo 1.8.[1] Ache a distncia do pontoP =(2, 1, 1) reta que passa pelos pontosQ=(2, 0, 1) e R = (2, 2, 1).Como v =QR = (4, 2, 0),w =QP= (0, 1, 2); logo, d1= |vw||v|=_245 .1.10 PlanosDenio 1.7. Sejam o vetor n ,=

0 e o ponto P0= (x0, y0, z0) R3, xado. O conjuntode todos os pontos P= (x, y, z) R3tais que:n P0P= 0 chamado plano passando por P0 e tendo normal n. Em particular, se n = (a, b, c), o planopassando por P0 e de normal n, tem a equao em coordenadas:a (x x0) +b (y y0) +c (z z0) = 0Exemplo 1.9.[1] Ache a equao do plano que passa pelo ponto(1, 1, 1) e normal ao vetor(1, 2, 3).Sejam P0= (1, 1, 1) e n = (1, 2, 3); ento:1 (x 1) + 2 (y + 1) + 3 (z 1) = x + 2 y + 3 z. A equao x + 2 y + 3 z= 0.-101-101-101-101-101Figura 1.12: Exemplo [1].[2] Ache a equao do plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e normal ao vetor(3, 2, 3).Sejam P0= (1, 1, 1) e n = (3, 2, 3); ento:3 (x 1) +2 (y +1) 3 (z +1) = 3 x +2 y 3 z 4. A equao 3 x +2 y 3 z= 4.22 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA-303-302-303-302Figura 1.13: Exemplo [2].Considerando a equao do primeiro grau nas variveis x, y e z, a x+b y+c z+d = 0,onde a, b e c R no so todas nulas, o subconjunto do R3:P = (x, y, z) R3/ a x +b y +c z +d = 0 o plano com vetor normal n = (a, b, c).Por simplicidade usaremos a expresso plano a x +b y +c z +d = 0 em lugar de, oplano de equao a x +b y +c z +d = 0.Exemplo 1.10.Determine a equao do plano que passa pelos pontos P1=(1, 1, 1), P2=(2, 0, 0)e P3= (1, 1, 0).Qualquer vetor normal ao plano deve ser ortogonal aos vetores v =P1P2 e w =P2P3, que so paralelos ao plano. Logo, o vetor normal ao plano n = vw,donde n = (1, 1, 0); logo, a equao do plano x+y +d = 0; como (2, 0, 0) pertenceao plano, temos: d = 2 e a equao x +y 2 = 0.-101-1012-101Figura 1.14:1.10.1 ngulo entre PlanosDenio 1.8. O ngulo entre dois planos o menor ngulo formado pelos vetores normaisaos planos.1.10. PLANOS 23Logo, se n1 e n2 so os vetores normais aos planos, ento:cos() =n1 n2|n1| |n2|Exemplo 1.11.[1] Determine o ngulo entre os planos 5 x 2 y + 5 z= 12 e 2 x +y 7 z= 11.Os vetores normais aos planos son1=(5, 2, 5) en2=(2, 1, 7), respectiva-mente; logo, cos() =n1n2n1 n2

= 12 e =2 3rad.-1-0.500.51-1-0.500.5111.52-1-0.500.5-1-0.500.51Figura 1.15:[2] Determine o ngulo entre os planos x +y z= 0 e x 2 y + 2 z= 0.Os vetores normais aos planos son1=(1, 1, 1) en2=(1, 2, 2), respectiva-mente; logo:cos() =n1 n2|n1| |n2|= 13e = arccos(13) rad.-1-0.500.51-1-0.500.51-2-1012-1-0.500.5-1-0.500.5Figura 1.16:1.10.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre PlanosDenio 1.9. Dois planos so paralelos se, e somente se, seus vetores normais, respecti-vamente n1 e n2, so paralelos, isto :n1n2=

024 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICADois planos so perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais, respecti-vamente n1 e n2, so ortogonais, isto :n1 n2= 0.Proposio 1.6. Os planos a x +b y +c z= d e a1x +b1y +c1z= d1 so:1. paralelos, se existe k R tal que a = k a1, b = k b1 e c = k c1;2. perpendiculares, se a a1 +b b1 +c c1= 0.A prova segue das denies.Exemplo 1.12.Determine a equao do plano paralelo ao plano 3 x + y 6 z + 8=0 e que passapelo ponto P= (0, 0, 1).O vetor normal ao plano n = (3, 1, 6); logo, a equao do plano :3 x +y 6 z +d = 0;como o ponto Ppertence ao plano temos 6 +d = 0, logo, a equao do plano 3 x +y 6 z + 6 = 0.O plano:a x +b y +d = 0 perpendicular ao plano xy.O plano:b y +c z +d = 0 perpendicular ao plano yz.O plano:a x +c z +d = 0 perpendicular ao plano xz.Figura 1.17: Planos coordenados.1.11. GENERALIZAES 251.10.3 Distncia de um Ponto a um PlanoDenio 1.10. A distncia do ponto P0= (x0, y0z0) ao plano a x + b y + c z + d = 0 dada por:d2= [a x0 +b y0 +c z0 +d[a2+b2+c2Exemplo 1.13.[1] Determine a distncia do ponto (1, 1, 5) ao plano 12 x + 13 y + 5 z + 2 = 0.Aplicando diretamente a frmula: d2=213 .[2] Determine a distncia entre os planos paralelos: x+2 y z= 8 e 4 x+8 y 4 z=10.A distncia entre dois planos paralelos a distncia entre um ponto qualquer doplano x + 2 y z= 8 ao plano 4 x + 8 y 4 z= 10.O ponto (1, 4, 1) pertence ao plano x + 2 y z= 8. A distncia do ponto (1, 4, 1) aoplano 4 x + 8 y 4 z= 10 :d2= [4 + 32 4 10[16 + 64 + 16=1126.Em geral, se a x+b y +c z= d e a x+b y +c z= d1 so planos paralelos, a distnciaentre os planos :d3=[d1d[a2+b2+c21.11 GeneralizaesPodemos fazer as seguintes generalizaes para Rn, n 3.Os pontos x Rnso x = (x1, x2, x3, ...., xn) onde xi R.Dados x, y Rn, dizemos que x = y se e somente se xi= yi, para todo i = 1, ...., n.(0, ......., 0) a origem do Rn.EmRnpodem ser denidas duas operaes.Dados x = (x1, x2, x3, ...., xn), y = (y1, y2, y3, ...., yn) Rne R:Adio de elementos de Rn:x +y = (x1 +y1, x2 +y2, ........, xn +yn).Multiplicao de elementos de Rnpor escalares de R:x = (x1, x2, .........., xn).Estas duas operaes satisfazem as propriedades anlogas s enunciadas para R3.Logo, Rn um espao vetorial de dimenso n sobre R.26 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAOs elementos do Rnso denominados pontos ou vetores, com o seguinte cuidado:v Rn um vetor que tem a origem em (0, ......., 0) e extremidade em v.Para ter uma melhor distino denotaremos os vetores de forma diferente da utili-zada para os pontos. Por exemplo,

0 = (0, ......., 0) o vetor nulo.1.11.1 Produto escalarSeu=(u1, u2, u3, ...., un) ev=(v1, v2, v3, ...., vn) so vetores do Rn, o produtoescalar de u e v, denotado por uv denido por:uv = u1 v1 +u2 v2 +......... +un vn.O produto escalar tem as seguintes propriedades:1. ( u)v = u( v) = (uv).2.w (u +v) = ( w u) + ( w v).3. v ortogonal a w se, e somente se, uv = 0.Norma euclidiana: Se v Rnno nulo:|v| =vv.Distncia: Se x = (x1, x2, ...., xn) e y = (y1, y2, ...., yn) so pontos do Rn, ento:d(x, y) = |x y| =_(x1y1)2+ (x2y2)2+........ + (xnyn)2.1.12 SuperfciesEmR3temos dois tipos de objetos de nosso interesse: os slidos e as superfcies.De forma intuitiva podemos dizer que os slidos so os objetos de R3que possuemvolume e as superfcies so objetos de R3que possuem rea, mas tem espessurairrelevante.Para leitores com conhecimentos mais profundos, podemos dizer que um slido um objeto de dimenso 3 emR3e as superfcies so objetos de dimenso 2 emR3.Os slidos nos permitem modelar, por exemplo, depsitos de combustveis, turbi-nas de avies ou carros. As superfcies nos permitem modelar, por exemplo, folhasde papel, membranas ou lminas de metal.As denies matemticas destes objetos esto fora do contexto destas notas e, porisso, caremos com estas idias intuitivas.Do Clculo de uma varivel, conhecemos os slidos de revoluo.Por exemplo, oslido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos y a regio limitada pelogrco de :(x b)2+y2= a2, 0 < a < b.1.13. SUPERFCIES QUDRICAS 27Veja o seguinte desenho:Figura 1.18: Uma superfcie emR3.Osplanossoexemplosdesuperfcies. Aseguirdeniremosumnovotipodesuperfcie: as superfcies qudricas.1.13 Superfcies QudricasSabemos que o conjunto de todos os pontos (x, y) R2que satisfazem a equaogeral do segundo grau nas variveis x e y uma seo cnica: parbola, elipse, hi-prbole ou alguma forma degenerada dessas curvas, como um ponto ou um par deretas. EmR3, a equao geral do segundo grau nas variveis x, y e z F(x, y, z) = 0,onde:F(x, y, z) = Ax2+By2+C z2+Dxy +E xz +F y z +Gx +H y +I z +J,onde os coecientes dos termos de segundo grau no so todos nulos, de modo queo grau da equao 2. O subconjunto Q R3, denido por:Q = (x, y, z) R3/ F(x, y, z) = 0 chamado superfcie qudrica ou qudrica central. Usando rotaes e translaes possvel mostrar que existem os seguintes tipos de superfcies qudricas no de-generadas:1) Elipsides.2) Hiperbolide eltico ou de uma folha.3) Hiperbolide de duas folhas.4) Parabolide eltico.5) Parabolide hiperblico.6) Cones.7) Cilindros.28 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAApresentaremos as equaes que denemas qudricas centradas na origem. As ou-tras formas mais gerais podem ser determinadas a partir de translaes e rotaes.Uma forma bsica de esboar uma superfcie qudrica determinar os interseptoscom os eixos coordenados e desenhar suas sees retas, ou seja, as intersees dasuperfcie com os planos coordenados, tambm chamadas traos da qudrica. Asqudricas centrais apresentam simetrias em relao a cada um dos planos coorde-nados. Se na equao que dene a qudrica substituimos x por x e a equao nose altera, a qudrica simtrica em relao ao plano yz; se substituimos y por y ea equao no se altera, a qudrica simtrica em relao ao plano xz; se substitui-mos z por z e a equao no se altera, a qudrica simtrica em relao ao planoxy e se substituimos (x, y, z) por (x, y, z) e a equao no se altera, a qudrica simtrica em relao origem1.13.1 ElipsideA equao que representa o elipside de centro na origem :x2a2+y2b2+z2c2= 1,onde a,b,c R no so nulos.Figura 1.19: O elipside.Intersees com os eixos coordenados: (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c).Simetrias: a equao no se altera se substituimos (x, y, z) por (x, y, z); logo,o elipside tem simetria em relao origem.Traos do elipside:No plano xy a elipse:x2a2+y2b2= 1.No plano yz a elipse:y2b2+z2c2= 1.No plano xz a elipse:x2a2+z2c2= 11.13. SUPERFCIES QUDRICAS 29Figura 1.20: O elipside e seus traos.Em particular se a = b = c, temos:x2+y2+z2= a2equao que representa a esfera de centro na origem e raio a.Figura 1.21: A esfera e seus traos.Em geral, a equao do elipside centrado no ponto (x0, y0, z0) :(x x0)2a2+(y y0)2b2+(z z0)2c2= 1Em particular, a equao que representa a esfera de centro em (x0, y0, z0) e raio a :(x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2= a21.13.2 Hiperbolide de uma folhaA equao que representa o hiperbolide de uma folha de centro na origem :x2a2+y2b2 z2c2= 130 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAonde a,b,c R no so nulos.Figura 1.22: Hiperbolide de uma folha.Intersees com os eixos coordenados: (a, 0, 0) e (0, b, 0).Simetrias: a equao no se altera se substituimos (x, y, z) por (x, y, z); logo,o hiperbolide tem simetria em relao origem.Traos do hiperbolide de uma folha:No plano xy a elipse:x2a2+y2b2= 1.No plano yz a hiprbole:y2b2 z2c2= 1.No plano xz a hiprbole:x2a2 z2c2= 1.Figura 1.23: Hiperbolide de uma folha e seus traos.As equaes:x2a2 y2b2+z2c2= 1 e x2a2+y2b2+z2c2= 1,1.13. SUPERFCIES QUDRICAS 31representam tambm hiperbolides de uma folha. No primeiro caso o eixo do hi-perbolide o eixo dosye no segundo caso o eixo dosx. O termo negativo naequao indica o eixo do hiperbolide.Figura 1.24: Outros hiperbolides de uma folha.1.13.3 Hiperbolide de duas folhasA equao que representa o hiperbolide de duas folhas de centro na origem :x2a2 y2b2+z2c2= 1onde a,b,c R no so nulos.Figura 1.25: Hiperbolide de duas folhas.Intersees com os eixos coordenados: (0, 0, c).Simetrias: a equao no se altera se substituimos (x, y, z) por (x, y, z); logo,o hiperbolide de duas folhas tem simetria em relao origem.Traos do hiperbolide de duas folhas:No plano xy: nenhuma.No plano yz a hiprbole: y2b2+z2c2= 1.32 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICANo plano xz a hiprbole: x2a2+z2c2= 1Figura 1.26: Hiperbolide de duas folhas e seus traos.As equaes:x2a2 y2b2 z2c2= 1 e x2a2+y2b2 z2c2= 1,representam tambm hiperbolides de duas folhas. No primeiro caso o eixo dohiperbolide o eixo dosx e no segundo caso o eixo dosy. O termo positivo naequao indica o eixo do hiperbolide.Figura 1.27: Outros hiperbolides de duas folhas.1.13.4 Parabolide elticoA equao que representa o parabolide eltico de centro na origem :x2a2+y2b2 zc= 0onde a,b,c R no so nulos. Para c > 0, as parbolas tem a concavidade voltadapara cima. Para c>0, o parabolide "abre"para cima. De forma anloga, se c 0. O conjunto C uma porodo cilindro circular reto de altura h e raio r.[4] F o slido obtido pela revoluo de uma regio do plano fechada e limitadapor uma curva:Figura 1.39: Slido emR3.Note que todos estes conjuntos possuem volume.40 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA1.14 Exerccios1. Determine v =P1P2, se:(a) P1= (1, 2, 1), P2= (5, 3, 1)(b) P1= (3, 2, 1), P2= (15, 2, 6)(c) P1= (12, 222, 1), P2= (5, 23, 11)(d) P1= (4, 24, 18), P2= (25, 23, 11)(e) P1= (9, 3, 1), P2= (9, 3, 2)(f) P1= (0, 12, 11), P2= (5, 2, 16)(g) P1= (1, 1, 1), P2= (5, 3, 0)(h) P1= (14, 12, 11), P2= (1, 9, 1)(i) P1= (6, 4, 1), P2= (2, 2, 6)(j) P1= (4, 2, 20), P2= (3, 9, 9)(k) P1= (16, 14, 1), P2= (2, 2, 6)(l) P1= (3, 3, 1), P2= (6, 9, 3)(m) P1= (6, 4, 6), P2= (4, 2, 6)(n) P1= (11, 23, 2), P2= (3, 0, 3)(o) P1= (2, 2, 6), P2= (1, 4, 2)2. Determine vw e os vetores unitrios nas direes de v e w, se:(a) v = (1, 2, 1),w = (5, 3, 1)(b) v = (3, 2, 1),w = (1, 2, 6)(c) v = (2, 2, 2),w = (2, 2, 1)(d) v = (4, 1, 8),w = (2, 23, 1)(e) v = (5, 3, 6),w = (9, 3, 2)(f) v = (0, 1, 1),w = (3, 2, 6)(g) v = (1, 1, 1),w = (0, 3, 0)(h) v = (1, 1, 1),w = (7, 3, 2)(i) v = (4, 2, 11),w = (1, 0, 1)(j) v = (6, 4, 1),w = (2, 2, 6)(k) v = (4/3, 1, 1),w = (2/5, 5, 1)(l) v = (4/5, 4, 1/6),w = (2/3, 1, 3/4)3. Determine o ngulo formado pelos vetores v e w, se:(a) v = (1, 2, 1),w = (5, 3, 1)(b) v = (1, 2, 1),w = (1, 2, 6)1.14. EXERCCIOS 41(c) v = (2, 2, 2),w = (1, 2, 1)(d) v = (1, 1, 8),w = (2, 3, 1)(e) v = (5, 2, 6),w = (8, 3, 2)(f) v = (0, 1, 1),w = (3, 2, 6)(g) v = (1, 1, 1),w = (0, 3, 0)(h) v = (1, 1, 1),w = (7, 3, 2)(i) v = (4, 2, 1),w = (1, 0, 1)(j) v = (6, 4, 1),w = (2, 2, 0)4. Determine o valor k tal que os seguintes vetores sejam ortogonais:(a) v = (3, 2 k, 4),w = (1, 2, 5)(b) v = (1, 1, k),w = (1, 1, 1)(c) v = (k, 1, 1),w = (3, 0, 1)(d) v = (k, 1, k),w = (2, k, k)5. Determine vw, se:(a) v = (1, 2, 1),w = (5, 3, 1)(b) v = (1, 2, 1),w = (1, 2, 6)(c) v = (2, 2, 2),w = (1, 2, 1)(d) v = (1, 1, 8),w = (2, 3, 1)(e) v = (5, 2, 6),w = (8, 3, 2)(f) v = (0, 1, 1),w = (3, 2, 6)(g) v = (1, 1, 1),w = (0, 3, 0)(h) v = (1, 1, 1),w = (7, 3, 2)(i) v = (4, 2, 1),w = (1, 0, 1)(j) v = (6, 4, 1),w = (2, 2, 0)(k) v = (0, 1, 1),w = (2, 0, 1)(l) v = (1, 0, 1),w = (3, 2, 1)(m) v = (3, 1, 2),w = (6, 2, 1)(n) v = (1, 4, 2),w = (1, 2, 1)(o) v = (1/3, 2, 1),w = (4, 2/4, 3)(p) v = (1/2, 1, 3/5),w = (4/3, 2, 1/5)6. Determine o valor de k tais que os seguintes vetores sejam coplanares:(a) u = (1, 2, 3), v = (1, k, 1) e w = (3, 2, 1)(b) u = (1, k, 2), v = (3, 2, 5) e w = (1, 0, 1)(c) u = (1, k, 0), v = (1, 2, 1) e w = (1, 0, k)42 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICA(d) u = (0, 1, 1), v = (k, 0, 1) e w = (1, 1, 2 k)7. Determine a rea do tringulo PQR, se:(a) P= (1, 1, 2), Q = (0, 3, 1), R = (3, 4, 1)(b) P= (3, 0, 5), Q = (2, 1, 3), R = (4, 1, 1)(c) P= (4, 0, 0), Q = (0, 5, 0), R = (0, 0, 2)(d) P= (1, 2, 0), Q = (0, 2, 3), R = (5, 0, 1)8. Determine o volume do paraleleppedo formado porPQ,PR ePT:(a) P= (0, 0, 0), Q = (1, 1, 2), R = (0, 3, 1), T= (3, 4, 1)(b) P= (2, 1, 1), Q = (3, 0, 2), R = (4, 2, 1), T= (5, 3, 0)9. Determine d(P1P2), se:(a) P1= (1, 2, 1), P2= (5, 3, 1)(b) P1= (3, 2, 1), P2= (15, 2, 6)(c) P1= (12, 222, 1), P2= (5, 23, 11)(d) P1= (4, 24, 18), P2= (25, 23, 11)(e) P1= (9, 3, 1), P2= (9, 3, 2)(f) P1= (0, 12, 11), P2= (5, 2, 16)(g) P1= (1, 1, 1), P2= (5, 3, 0)(h) P1= (1, 1, 1), P2= (7, 3, 1)(i) P1= (14, 12, 11), P2= (1, 9, 1)(j) P1= (6, 4, 1), P2= (2, 2, 6)(k) P1= (4, 2, 6), P2= (4, 9, 4)(l) P1= (2, 4, 5), P2= (2, 2, 4)(m) P1= (9, 3, 2), P2= (6, 9, 1)(n) P1= (9, 0, 5), P2= (5, 2, 1)10. Verique que para todo v e w Rn; tem-se:(a) [vw[ |v| | w|(b) |v + w| |v| +| w|(c) 2 |u|2+ 2 |v|2= |u +v|2+|u v|2(d) |u +v| |u v| = |u|2+|v|2(e) 4 uv = |u +v|2|u v|21.14. EXERCCIOS 4311. SejamP1=(2, 9, 8), P2=(6, 4, 2) eP3=(7, 15, 7). Verique que P1P2eP1P3 so ortogonais e determine um ponto Ptal que P1, P2, Pe P3 formemum retngulo.12. Sejam P1=(5, 0, 7) e P2=(2, 3, 6). Determine o ponto Psobre a reta queliga P1 a P2 tal queP1P= 3PP2.13. Determine a equao do plano passando pelos pontos P1, P2 e P3, sendo:(a) P1= (3, 0, 2), P2= (6, 1, 4), P3= (5, 1, 0)(b) P1= (2, 1, 4), P2= (1, 1, 2), P3= (4, 1, 1)(c) P1= (1, 1, 1), P2= (0, 1, 1), P3= (2, 1, 1)(d) P1= (1, 1, 1), P2= (1, 1, 1), P3= (3, 1, 1)(e) P1= (3, 4, 2), P2= (3, 3, 3), P3= (2, 5, 2)(f) P1= (2, 3, 1), P2= (3, 2, 6), P3= (4, 2, 5)(g) P1= (1/2, 1/3, 2), P2= (1, 1, 1), P3= (1/4, 2, 1/5)(h) P1= (1, 1, 2), P2= (1/2, 1, 1/3), P3= (4/5, 0, 1/5)14. Determine a equao do plano passando pelo ponto P= (3, 1, 2), perpendi-cular reta determinada por P1= (2, 1, 4) e P2= (3, 1, 7). Ache a distnciado ponto Pao plano.15. Verique que a interseo dos planos x +y 2 z= 1 e x + 3 y x = 4 umareta. Ache a distncia do ponto P= (1, 0, 1) a essa reta.16. Determine a equao do plano paralelo ao plano 2 x+3 y6 z= 3 e que passapelo ponto P= (1, 1, 1).17. Determine o plano perpendicular retax2=y 22= z + 1 e que passa peloponto P= (1, 3, 1).18. Determine a equao do plano perpendicular aos planos x + 2 y 7 z=0 ex y z= 5 e que passa pela origem.19. Determine a equao do plano ortogonal ao vetor(2, 3, 6) e que passa peloponto (1, 5, 3).44 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICAQudricas1. Determine a natureza das seguintes qudricas:(a) 4x2+ 9y2+z2= 36(b) z 4(x2+y2) = 0(c) 4x2+ 9y2z2= 36(d) x2y2+z2= 0(e)x236+z225 4y= 0(f)x236 z225 9y= 0(g) x2+ 16z24y2+ 16 = 0(h) x22x +y2+z2= 0(i) x2+y2= 2 y(j) x2+y2= 4 x2. Utilizando a tcnica dos traos, esboce o grco de cada qudrica do exerccio[1].3. Determine a natureza da curva obtida pela projeo no plano xy da interseode :(a) z +x2= 1 e z x2y2= 0.(b) x = 2 e x = y2+z2.(c) z= 8 5x23y2e z= 3x2+ 5y2.4. Determine os valores de k tais que a interseo do plano x + k y=0 com aqudrica y2x2z2= 1 seja uma elipse e uma hiprbole, respectivamente.5. Verique que 2x 2z y=10 intersecta 2z=x29+y24num nico ponto edetermine o ponto.6. Determine a,b,c e d de modo que os pontos dados pertenam qudrica:a x2+b y2+c z2+d = 0,onde:(a) (1, 1, 1), (2, 1, 0), (5, 5, 3).(b) (2, 1, 1), (3, 0, 0), (1, 1, 2).(c) (1, 2, 1), (0, 1, 0), (2, 1, 2).1.14. EXERCCIOS 457. Determine a equao da superfcie denida pelo conjunto dos pontosP =(x, y, z) tais que a distncia de Pao eixo dos x o dobro da distncia de Paoplano yz. Identique a superfcie.8. Determine a equao da superfcie denida pelo conjunto dos pontosP =(x, y, z) tais que a distncia de Pao eixo dos y 34 da distncia de Pao planoxz. Identique a superfcie.9. Determine a equao da superfcie denida pelo conjunto dos pontosP =(x, y, z) tais que a distncia de Pao ponto (0, 0, 1) igual distncia de Paoplano y= 1. Identique a superfcie.10. VeriquequeopontoP =(1, 3, 1)pertenceaoparabolidehiperblico4 x2 z2=y e determine as equaes das duas retas que passam porPeesto contidas no parabolide.46 CAPTULO 1. GEOMETRIA ANALTICACaptulo 2FUNES DE VRIASVARIVEIS2.1 IntroduoComo no Clculo de uma varivel, neste captulo estudaremos uma das noescentrais da Matemtica, o conceito de funo.Uma funo de vrias variveis reais uma regra que descreve como uma quan-tidade determinada por outras quantidades, de maneira nica. Atravs das fun-es de vrias variveis poderemos modelar uma grande quantidade de fenmenosdos mais diversos ramos da Cincia.Denio 2.1. Seja A Rn. Uma funo f denida no subconjunto A com valores em R uma regra que associa a cada u A um nico nmero real f(u).u A chamada varivel independente da funo e a notao :f: A RnR.Se n = 3, denotamos a varivel independente por u = (x, y, z) e a funo por:w = f(x, y, z),w chamada varivel dependente da funo .Se n = 2, denotamos a varivel independente por u = (x, y) e a funo por:z= f(x, y),z chamada varivel dependente da funo .Exemplo 2.1.[1] O nmero de indivduosQ de uma certa colnia de fungos depende essenci-almente da quantidadeNde nutrientes (gr), da quantidadeHde gua (cm3), da4748 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIStemperatura T (0C) e da presena de uma certa proteina L(ml). Experimentalmentefoi obtida a seguinte tabela:N H T L Q10 1 10 0.1 1520 3.5 14 0.4 2030 5.6 16 0.8 2222 8 21 0.1 2125 5.1 12 0.8 1510 1.4 30 1.6 1250 7.3 35 0.9 17Qpossivelmente no tem uma formulao matemtica explcita, mas uma funobem denida: Q = Q(N, H, T, L)[2] O volume Vde um cilindro funo do raio r de sua base e de sua altura h:V (r, h) = r2h.Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:V (2, 10) = 2210 = 40 cm3,aproximadamente, 125.663 cm3[3] Um tanque para estocagem de oxignio lquido num hospital deve ter a formade um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m=metros), com um hemis-frio em cada extremidade. O volume do tanque descrito em funo da altura l edo raio r.rlFigura 2.1: O tanque do exemplo [3].O volume do cilindro l r2m3e o dos dois hemisfrios 4 r33m3; logo, o vo-lume total :V (l, r) = _4 r33+l r2_m3.Por exemplo, se a altura for 8 m e o raio r = 1 m, o volume :V (8, 1) =28 3m3.[4] O ndice de massa corporal humano (IMC) expresso por:IMC(P, A) =PA2,2.1. INTRODUO 49ondeP o peso em quilos eA a altura emm. O IMC indica se uma pessoa estacima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (OrganizaoMundial da Saude):Condio IMCAbaixo do peso < 18.5Peso normal 18.5 IMC 25Acima do peso 25 IMC 30Obeso > 30Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65 m e pesa 98 quilos, tem:IMC(98, 1.65) = 35.9;logo segundo a tabela est obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80 m e pesa 75 kg,temIMC(98, 1.65) = 23.1;logo, segundo a tabela tem peso normal.[5]DaleigravitacionaluniversaldeNewtonseguequedadaumapartculademassam0na origem de um sistema de coordenadasxy z, o mdulo da foraFexercida sobre outra partcula de massam situada no ponto(x, y, z) dado poruma funo de 5 variveis independentes:Figura 2.2: Exemplo [5].F(m0, m, x, y, z) =g m0mx2+y2+z2,onde g a constante de gravitao universal.[6] A lei de um gs ideal connado (lei de Gay - Lussac) dada por:P V= k T,onde P a presso em N/u3(N=Newton, u=unidades de medida), V o volumeemu3, T a temperatura em graus ek>0 uma constante que depende do gs.50 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEISPodemos expressar o volume do gs em funo da presso e da temperatura; apresso do gs em funo do volume e da temperatura ou a temperatura do gsem funo da presso e do volume:V (P, T) =k TP,P(V, T) =k TVeT(P, V ) =P Vk.[7] Quando um poluente emitido por uma chamin de h metros de altura, a con-centrao do poluente, a x quilmetros da origem da emisso e a y metros do chopode ser aproximada por:P(x, y) =ax2_eh(x,y)+ek(x,y)_,onde h(x, y) = bx2_y h_2e k(x, y) = bx2_y +h_2.O poluente P medido em g/m (g=microgramas), onde a e b so constantes quedependem das condies atmosfricas e da taxa de emisso do poluente. Sejama=200 e b= 0.002.Por exemplo, para uma chamin de 10 m, a contaminao a1 km de distncia e a uma altura de 2 m :P(1000, 2) = 0.004 g/m.[8] Lei do uxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguneo atravs de um vaso, comoartrias ou veias. Como as quantidades envolvidas so pequenas, podemos consi-derar que vasos tem formato cilndrico no elstico.RFigura 2.3: Fluxo laminar de Poiseuille.Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a frico nasparedes do vaso, a velocidade v do sangue maior ao longo do eixo central do vasoe decresce se a distncia d (cm) do eixo parede cresce e zero na parede.v umafuno de quatro variveis:v(P, R, l, d) =P (R2d2)4 l ,onde a viscocidade do sangue e Pa diferena entre a presso da entrada e a dasada do sangue no vaso, medida emdina/cm2. Experimentalmente, para o sangue2.1. INTRODUO 51humano numa veia: = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675, R = 0.0075, P= 4103e d = 0.004, tem-se:v(4 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.[9] Mdicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte frmula paracalcular a rea da superfcie de uma pessoa em funo de seu peso e sua altura:S(P, A) = 0.0072 P0.425A0.725,onde P o peso em quilogramas,A a altura em cm e S medido em m2. Umapessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma rea da superfcie corporal:S(50, 160) = 1.5044 m2.[10] Um circuito eltrico simples constitudo de 4 resistores como na gura:R R RRE1 234Figura 2.4: Circuito eltrico.Aintensidade da corrente I neste circuito funo das resistncias Ri (i = 1,2,3,4)e da tenso da fonte E; logo:I(R1, R2, R3, R4, E) =ER1 +R2 +R3 +R4.[11] A produo P( valor monetrio dos bens produzido no ano) de uma fbrica determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operrios/horas traba-lhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra de maquinarias, matriaprima,etc.). A funo que modela a produo chamada de Cobb-Douglas e dada por:P(L, K) = AKL1,ondeL a quantidade de trabalho,K o capital investido,A e so constantespositivas (0 < < 1).AfunodeproduodeCobb-Douglastemaseguintepropriedadeparatodon N:P(nL, nK) = AnKL1,isto , para acrscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital investido ob-temos o mesmo acrscimo na produo.Por exemplo, se o capital investido de R$ 600.000 e so empregados 1000 oper-rios/hora, a produo dada pela seguinte funo de Cobb-Douglas:P(L, K) = 1.01 L34K14;ento, P(1000, 600.000) = 4998.72.52 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS2.2 Domnio e ImagemDe forma anloga ao Clculo de uma varivel, os conjuntos Domnio e Imagem deuma funo so relevantes para o estudo das funes de vrias variveis.Denio 2.2. Seja f: A RnR uma funo.1. O conjunto de todas as variveis independentes u Rntais que f(u) existe cha-mado domnio de f e denotado por Dom(f).2. O conjunto dos z R tais que f(u) = z e u Dom(f) chamado imagem de f e denotado por Im(f).Na prtica o domnio de uma funo determinado pelo contexto do problema.Exemplo 2.2.[1] O volumeVde um cilindro funo do raior de sua base e de sua alturah.Logo,V (r, h) = r2h.Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:Dom(f) = (r, h) R2/ r > 0,h > 0 = (0, +) (0, +) eIm(f) = (0, +).No caso de no estar considerando a funo como volume, teramos que:Dom(f) = Im(f) = R2.[2] Seja z= f(x, y) =_1 x2y2.Note que f denida se, e somente se:1 x2y2 0,ou seja x2+y2 1; logo:Dom(f) = (x, y) R2/x2+y2 1.Por outro lado 0 z=_1 x2y2 1; logo, Im(f) = [0, 1].11Figura 2.5: Exemplo [2].2.2. DOMNIO E IMAGEM 53[3] Seja z= f(x, y) =xx y.Note que f denida se o denominador x y ,= 0; ento, x ,= y e,Dom(f) = (x, y) R2/x ,= y = R2(x, x)/x R.11Figura 2.6: Exemplo [3].[4] Seja z= f(x, y) = arcsen(x +y).Note que arcsen(u) denido se 1 u 1; logo, 1 x +y 1 o que acontece,se, e somente se, y 1 x e 1 x y; ento:Dom(f) = (x, y) R2/ 1 x y 1 x.11Figura 2.7: Exemplo [4].[5] Seja z= f(x, y) = ln(y x).Note que a funo logartmicaln(u) denida seu>0; logo, y x>0 efdenida em todo o semi-plano denido por:(x, y) R2/y> x.54 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS11Figura 2.8: Exemplo [5].[6] Seja z= f(x, y) =y_x2+y21.Note que o quociente denido sex2+y21>0; logo, a funo denida emtodo o plano menos a regio determinada por x2+y2 1.11Figura 2.9: Exemplo [6].[7] Seja w = f(x, y, z) = y_x2+y2+z21.Note que a raiz quadrada est denida se, e somente se:x2+y2+z21 0;logo, a funo denida em todo R3menos a regio determinada por:x2+y2+z2< 1.De outro modo, todo o espao menos os vetores de R3de norma menor que 1.Da mesma forma que no caso de uma varivel, as funes polinomiais de grau n,de vrias variveis tem Dom(f) = Rne a Im(f) depende do grau do polinmio.[8] Sef(x, y, z)=x5+ y3 3 xy z2 x2+ x2y z+ z5 1, ento,Im(f)= R. Seg(x, y) = x2+y22 xy, ento Im(f) = [0, +).2.3. GRFICO DE FUNES DE VRIAS VARIVEIS 552.3 Grco de Funes de Vrias VariveisDenio 2.3. Seja f:A Rn R uma funo. O grco de f o seguinte subcon-junto de Rn+1:G(f) = (x, f(x)) Rn+1/x Dom(f) RnRSe n = 2 e x = (x, y); ento:G(f) = (x, y, f(x, y))/(x, y) Dom(f).G(f) , em geral, uma superfcie emR3. Por exemplo, o grco da funo :f(x, y) =_1 sex,y Q0 sex,y/ Q,no uma superfcie.Se n = 3, x = (x, y, z) e G(f) uma "hipersuperfcie"emR4. Para n = 2, a projeodo grco de f sobre o plano xy exatamente Dom(f).Figura 2.10: Esboo do grco de uma funo , ponto a ponto.Figura 2.11: Grco de uma funo.56 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS2.4 Conjuntos de nvelDenio 2.4. O conjunto de nvel de f com valor c R denido por:x Dom(f)/f(x) = cEm particular:Se n = 2, o conjunto de nvel c dito curva de nvel c de f:Cc= (x, y) Dom(f)/f(x, y) = cSe n = 3, o conjunto de nvel c dito superfcie de nvel c de f:Sc= (x, y, z) Dom(f)/f(x, y, z) = cAs curvas de nvel so obtidas pelas projees no plano xy, das curvas obtidas pelainterseo do planoz =c com a superfcieG(f). No cason=3, G(f) R4;portanto, somente poderemos exibir esboos de suas sees.-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.12: Curvas de nvel e o grco, respectivamente.Se z=T(x, y) a temperatura em cada ponto de uma regio do plano, as curvasde nvel correspondem a pontos de igual temperatura. Neste caso, as curvas sochamadas isotermas.Figura 2.13: Curvas Isotermais.2.4. CONJUNTOS DE NVEL 57Se z=P(x, y) o potencial eltrico em cada ponto (x, y) de uma regio do plano,as curvas de nvel correspondem a pontos de igual potencial eltrico. Neste caso,as curvas so chamadas equipotenciais.-4 -2 0 2 4-4-2024xyFigura 2.14: Curvas Equipotenciais.Outra aplicao o esboo de grcos de funo de duas variveis:A construo do esboo do G(f) feita assim:Uma vez dado o valor da "altura"z=c obtemos uma curva plana; elevando cadacurva, sem estic-la ou inclin-la obtemos o contorno aparente de G(f); auxiliadopelas sees (como no caso das qudricas), podemos esboarG(f) de forma bas-tante el.Notequecurvasdenvelmuitoespaadas, signicaqueogrcocrescelenta-mente; duas curvas de nvel muito prximas signica que o grco cresce abrupta-mente.-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51Figura 2.15:58 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEISFigura 2.16:Exemplo 2.3.[1] Se T(x, y) = x + y21 representa a temperatura em cada ponto de uma regiodo plano, as curvas de nvel ou isotermas so T(x, y) = c, isto :x +y21 = c, c R.Temos uma famlia de parbolas:c x +y21 = c0 x +y2= 11 x +y2= 2-1 x +y2= 02 x +y2= 3-2 x +y2= 1-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.17: Esboco das curvas de nvel de T= T(x, y).[2] Esboce o grco de z= f(x, y) = x2y2.Note que Dom(f) = R2.2.4. CONJUNTOS DE NVEL 59Intersees de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.Simetrias: a equao:z= x2y2no se altera se substituimos x e y por x e y; logo, tem simetria em relao aosplanos yz e xz.Curvas de nvel:Fazendo z= c, temos:x2y2= c. Se c < 0, temos x2y2= c, que so hiprbolesque intersectam o eixo dos y; Se c = 0, temos y= x, que so duas retas passandopela origem; Se c > 0, temos x2y2= c, que so hiprboles que intersectam o eixodos x.Traos:No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.No plano yz: a parbola: y2+z= 0.No plano xz: a parbola:x2z= 0. Logo z= f(x, y) = x2y2 um parabolidehiperblico.-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.18: Curvas de nvel e grco, respectivamente.[3] Esboce o grco de z= f(x, y) = x +y2.Note que Dom(f) = R2.Intersees de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.Simetrias: a equao:z= x +y2no se altera se substituimos y por y; logo, tem simetria em relao ao plano xz.Curvas de nvel:Fazendo z= c, temos y2= c x, que uma famlia de parbolas com foco no eixodos y, para todo c R.Traos:No planoyz a parbola: y2z= 0. No planoxz a reta: x z= 0. Logoz=f(x, y) = x +y2 um cilindro parablico.60 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.19: Curvas de nvel e grco, respectivamente.[4] Esboce o grco de z= f(x, y) = ln(x2+y2).Note que Dom(f) = R2(0, 0).Intersees com os eixos coordenados: (0, 1, 0),(1, 0, 0).Simetrias: a equao:z= ln(x2+y2)no se altera se substituimos x e y por x e y; logo, tem simetria em relao aosplanos yz e xz.Curvas de nvel.Fazendo z= c, temos:x2+y2= ec,para todo c R. As curvas de nvel so crculos centrados na origem de raios ec/2;se c , o raio tende para zero e se c +, o raio cresce.A superfcie tem o aspecto de um funil.-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.20: Curvas de nvel e grco, respectivamente.2.4. CONJUNTOS DE NVEL 61[5] Esboce o grco de z= f(x, y) = sen(x).Note que Dom(f)= R2. Como na equao falta a varivel y, o grco de f umcilindro de diretriz z= sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.-2 -1 0 1 2-2-1012Figura 2.21: Curvas de nvel e grco, respectivamente.[6] Esboce as superfcies de nvel do grco de w = f(x, y, z) = x y +z + 2. Noteque Dom(f) = R3.Superfcies de nvel:Fazendo w = c, temos:x y +z= c 2,que representa uma famlia de planos paralelos de normal (1, 1, 1), para qualquerc.Figura 2.22: Superfcies de nvel.[7] Esboce as superfcies de nvel do grco de w = f(x, y, z) = z x2y2.Note que Dom(f) = R3.62 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEISSuperfcies de nvel:Fazendo w = c, temos:z= x2+y2+c,que para cada c a equao de um parabolide circular com eixo no eixo dos z.Figura 2.23: Superfcies de nvel.[8] Esboce as superfcies de nvel do grco de w = f(x, y, z) = x2y2+z2.Superfcies de nvel:Fazendo w = c temos:x2y2+z2= c.Se c < 0, um hiperbolide de duas folhas: x2y2+z2= c.Figura 2.24: Hiperbolide de duas folhas.Se c = 0, um cone circular: x2y2+z2= 0.2.4. CONJUNTOS DE NVEL 63Figura 2.25: Cone circular.Se c > 0, um hiperbolide de uma folha: x2y2+z2= c; etc.Figura 2.26: Hiperbolide de uma folha.Em alguns casos mais conveniente esboar as curvas nvel do que o grco dafuno.[9] Considere a funo de Cobb-Douglas:P(L, K) = 1.01 L34K14.As curvas de nvel de Ppara diversas produes so esboadas, indicando as pos-sibilidades de L e K para cada produo.64 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS0 50 100 150 200050100150200Figura 2.27: Curvas de nvel da funo de Cobb-Douglas.[10] Sabemos que o ndice de massa corporal dado por:IMC(P, A) =PA2.As curvas de nvel de ICM indicam as possibilidades de:10 P 200 e 0.5 A 2.5.25 50 75 100 125 150 175 2000.511.522.5Figura 2.28: Curvas de nvel da funo da massa corporal.De forma anloga ao caso de uma varivel, nem toda superfcie em R3 o grcode uma funo de duas variveis. A condio necessria e suciente para que umasuperfcie em R3seja o grco de uma funo z=f(x, y) que toda reta paralelaao eixo dos z intersecte a superfcie em um nico ponto. A esfera x2+ y2+ z2= 1no pode ser grco de uma funo de duas variveis, mas os hemisfrios da esferaso grcos das funes:z= f1(x, y) =_1 x2y2e z= f2(x, y) = _1 x2y2.Em geral, toda equao de tres variveis que represente uma superfcie uma su-perfcie de nvel de alguma funo de tres variveis. As superfcies qudricas sosuperfcies de algum nvel de funes de trs variveis.2.5. EXERCCIOS 65Exemplo 2.4.[1] Seja x2+y2+z2= 1; ento: x2+y2+z2= 1 superfcie de nvel c = 0 paraf(x, y, z) = x2+y2+z21,x2+y2+z2= 1 superfcie de nvel c = 1 parag(x, y, z) = x2+y2+z2e x2+y2+z2= 1 superfcie de nvel c = 30 para h(x, y, z) = x2+y2+z2+ 29.[2] Seja z= f(x, y), considere h(x, y, z) = z f(x, y); ento, G(f) uma superfciede nivel zero de h.2.5 Exerccios1. Determine o volume em funo de h e r.(a) Um depsito de gros tem formato de um cilindro circular reto de alturah e raio r, com teto cnico.(b) Um depsito de gs tem formato de um cilindro circular reto de altura h eraio r, com teto uma semi-esfera.2. Se f(x, y) = x5y54 x2y33 x3y2+xy2+x2y2x +y + 1, calcule:(a) f(0, 0)(b) f(1, 1)(c) f(x, x)(d) f(y, y)(e) f(x2,xy)(f) f(1, h)(g) f(h, 0)(h)f(x +h, y) f(x, y)h(i)f(x, y +h) f(x, y)h3. Se f(x, y, z) = (xy z)2, calcule:(a) f(0, 0, 0)(b) f(1, 1, )(c) f(x, x, x)(d) f(y, z, z)(e) f(x2,xy z, z3y)(f)f(x +h, y, z) f(x, y, z)h(g)f(x, y +h, z) f(x, y, z)h(h)f(x, y, z +h) f(x, y, z)h(i)f(x +h, y +h, z +h) f(x, y, z)h4. Determine Dom(f) se:66 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS(a) f(x, y) =_x yx +y(b) f(x, y) =x2y2x y(c) f(x, y) =x +yxy(d) f(x, y) = 16 x2y2(e) f(x, y) = [x[eyx(f) f(x, y) =_[x[ [y[(g) f(x, y) =x ysen(x) sen(y)(h) f(x, y) =y x +1 y(i) f(x, y, z) = xy z x4+x5z7(j) f(x, y, z) = sen(x2y2+z2)(k) f(x, y, x) =yz x(l) f(x, y, z) = x2sec(y) +z(m) f(x, y, z) = ln(x2+y2+z21)(n) f(x, y, z) =_1 x2y2z2(o) f(x, y, z) = ex2+y2+z2(p) f(x, y, z) =3_1 x2y2z2.5. Esboce Dom(f) no plano de cada funo do exerccio [4].6. Seja x Rn. Uma funo f(x) dita homognea de grau n Z se para todot>0, f(tx)=tnf(x).Verique que as seguintes funes so homogneas edetermine o grau:(a) f(x, y) = 3 x2+ 5 xy +y2(b) f(x, y) =2x2+y2(c) f(x, y) =_x2+y2sen(yx), x ,= 0(d) f(x, y, z) =xy3+yz3+zx3(e) f(x, y, z) =1x +y +z(f) f(x, y, z) = x2eyz7. Esboce as curvas de nvel de f, para os seguintes c:(a) f(x, y) =_100 x2y2, c = 0,8,10.2.5. EXERCCIOS 67(b) f(x, y) =_x2+y2, c = 0,1,2,3,4(c) f(x, y) = 4 x2+ 9 y2, c = 0,2,4,6(d) f(x, y) = 3x 7y, c = 0, 1, 2(e) f(x, y) = x2+xy, c = 0, 1, 2, 3(f) f(x, y) =x2y2+ 1, c = 0, 1, 2, 3(g) f(x, y) = (x y)2, c = 0, 1, 2, 3(h) f(x, y) = ln(x2+y21), c = 0, 1(i) f(x, y) =xx2+y2+ 1, c = 1, 2(j) f(x, y) = ex2+y2, c = 1,28. Esboce as superfcies de nvel de f, para os seguintes c:(a) f(x, y, z) = x2y2z2, c = 0, 1, 2(b) f(x, y, z) = 4x2+y2+ 9z2, c = 0, 12, 1(c) f(x, y, z) = x2+y2+z, c = 0, 1, 2(d) f(x, y, z) = x y2+z2, c = 0, 1, 2(e) f(x, y, z) = xy z, c = 0, 1, 2(f) f(x, y, z) = e(x2+y2+z2), c = 0, 1, 29. Esboce o grco das seguintes funes, utilizando as curvas de nvel de f:(a) f(x, y) = x y 2(b) f(x, y) = x2+ 4 y2(c) f(x, y) = xy(d) f(x, y) = 2 x23 y2(e) f(x, y) = [y[(f) f(x, y) =_16 x2y2(g) f(x, y) =_9 x2+ 4 y2(h) f(x, y) = e(x2+y2)(i) f(x, y) = 1 _x2+y2(j) z= 1 +y2x2(k) z= x2(l) z=_1 +x2+y2(m) z= y3(n) z= sen(x)(o) z= ey10. Funo de DuBois-DuBois: Em Medicina, s vezes, se utiliza a seguinte fun-o para determinar a superfcie corporal de uma pessoa:S(P, h) = 0.0072 P0.425h0.725,que estabelece uma relao entre a rea da superfcie S (m2) de uma pessoa,o seu peso P(Kg) e sua altura h (cm).(a) Se uma criana pesa 15 kg e mede 87 cm, qual sua superfcie corporal?68 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS(b) Esboce as curvas de nvel da funo S.(c) Esboce o grco de S.11. De forma anloga ao que ocorre no Clculo de uma varivel, dadasfegfunes denidas em A Rn, denimos:_f+g_(u) = f(u) +g(u)._f g_(u) = f(u) g(u);em particular,_f_(u) = f(u), para todo R._fg_(u) =f(u)g(u),se g(u) ,= 0.(a) Calcule: f+g, f g, efg, se:i. f(x, y) = x3xy2x2y y3+x2+y2e g(x, y) = x2y +xy2x3.ii. f(x, y) = xy2x4y3e g(x, y) =_x2+y2+xy(b) Calcule: f+g, f g, efg, sei. f(x, y, z) = xy z x2z2e g(x, y, z) = xy z y2z2.ii. f(x, y, z) =_xy +z x2y2e g(x, y, z) = x5y2z2.Captulo 3CONJUNTOS ABERTOS,FECHADOS E FRONTEIRA3.1 IntroduoDenio 3.1. Sejam r > 0 e x0 Rn. A bola aberta de centro x0 e raio r denotada porB(x0, r) e denida por:B(x0, r) = x Rn/|x x0| < r.Se n = 2; x0= (x0, y0) e x = (x, y); logo |x x0| =_(x x0)2+ (y y0)2:B(x0, r) = (x, y) R2/(x x0)2+ (y y0)2< r2B(x0, r) o "interior"de um crculo centrado em(x0, y0) e raior, ou equivalente-mente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0, y0) e norma menor quer. Neste caso, o conjunto B(x0, r) chamado disco aberto de centro (x0, y0) e raior.B(x,r)x00yr(x,y)0 0Figura 3.1: Disco aberto.Analogamente, se n = 3; x0= (x0, y0, z0) e x = (x, y, z):B(x0, r) = (x, y, z) R3/(x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2< r26970 CAPTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRAB(x0, r) o "interior"de uma esfera "slida"centrada em(x0, y0, z0) e raio r, ou equi-valentemente, o conjunto dos vetores no espao de origem em (x0, y0, z0) e normamenor que r.B(x,r)rxFigura 3.2: Bola aberta.Observe que em ambos os casos a desigualdade estrita.3.2 Conjuntos AbertosDenio 3.2. A Rn dito aberto em Rnse para todox A, existeB(x, r) tal queB(x, r) A.AFigura 3.3: Conjunto aberto.Estes conjuntos so a generalizao natural de intervalos abertos emR. Por deni-o, o conjunto vazio e Rnso conjuntos abertos emRn.Exemplo 3.1.[1] Pela denio, x no aberto emRn, pois toda bola ou disco aberto de centrox no est contido emx. Em geral, os conjuntos do tipo x1,x2,x3,....., xn/ xi Rn no so abertos.[2] R "pensado"como a reta (x, 0) / x R R2no aberto no plano, pois qual-quer disco aberto centrado em (x, 0) no est contido emR.3.3. CONJUNTO FRONTEIRA 71xFigura 3.4: Exemplo [2].[3]A=(a, b)(c, d) aberto em R2. De fato, para todo(x, y) A,a 0 e B((x, y), r) A; note que A = (0, y)/y R.3.4. CONJUNTOS FECHADOS 73Figura 3.8: Exemplo [2].3.4 Conjuntos FechadosDenio 3.4. Um conjunto A Rn dito fechado em Rnse A A.Exemplo 3.3.[1] Rn tambm um conjunto fechado.[2] A = (x, y) R2/ x2+y2< r2,r > 0 no fechado, pois sua fronteira :A = (x, y) R2/x2+y2= r2,r > 0.Logo A , A.[3] O slidoW= (x, y, z) R3/ x2+ y2+ z2r2,r >0 fechado pois suafronteira :W= (x, y, z) R3/x2+y2+z2= r2,r > 0.Logo W W. Em geral, todos os slidos so fechados.[4] A=[a, b][c, d] um conjunto fechado, pois A o retngulo formado pelasretas x = a, x = b, y= c e y= d.Nos prximos pargrafos apresenteremos uma caracterizao mais eciente dosconjuntos abertos e fechados.74 CAPTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRACaptulo 4LIMITES E CONTINUIDADE4.1 LimitesSeja f : A Rn R uma funo e x0 A A. Intuitivamente,x0 A Asignica que se x0 no pertence a A deve estar arbitrariamente "prximo"de A.Denio 4.1.O limite de f quando x aproxima-se de x0 L quando para todo >0, existe >0tal que x B(x0, ) A implica [f(x) L[ < .Notao:limxx0f(x) = LEquivalentemente, limxx0f(x) = L quando para todo > 0, existe > 0 tal que:0 < |x x0| < , implica em [f(x) L[ < .Se n = 2: Consideramos x = (x, y), x0= (x0, y0) e o vetor x x0= (x x0, y y0)a norma do vetor x x0 :|x x0| =_(x x0)2+ (y y0)2.Usamos a seguinte notao:lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = LSe n = 3: Consideramos x = (x, y, z), x0= (x0, y0, z0) a norma do vetor x x0 :|x x0| =_(x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2.Usamos a seguinte notao:lim(x,y,z)(x0,y0,z0)f(x, y, z) = L7576 CAPTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADEExemplo 4.1.Verique que lim(x,y)(1,2)(x + 2 y) = 5. De fato:[x + 2 y 5[ = [x 1 + 2 (y 2)[ [x 1[ + 2 [y 2[_(x 1)2+ (y 2)2+ 2_(x 1)2+ (y 2)2 3 |(x, y) (1, 2)|.Dado > 0, seja =3; |(x, y) (1, 2)| < implica em[x + 2 y 5[ < 3 = .Logo:lim(x,y)(1,2)(x + 2 y) = 5.As propriedades dos limites so anlogas s dos limites de funes de uma varivele suas provas seguem diretamente da denio.Teorema 4.1. Seja f: A RnR uma funo. Se o limite de f quando x aproxima-sede x0 existe, ento ele nico.Este teorema permite fazer simplicaes no clculo de limites.Proposio 4.1. Sejam f,g: A RnR, x0 A A e c R, tal quelimxx0f(x) = L e limxx0g(x) = M, ento:1. limxx0c f(x) = cL,2. limxx0(f(x) +g(x)) = L +M,3. limxx0(f(x)g(x)) = LM,4. limxx0f(x)g(x)=LMse M ,= 0.5. Em particular, se P= P(x) um polinmio de vrias variveis:limxx0P(x) = P(x0).6. Se f(x) =P(x)Q(x) uma funo racional:limxx0P(x)Q(x)=P(x0)Q(x0),se x0 Dom(f).Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passam pelo ponto de abcissax0e originam valores diferentes para o limite de uma funo quando restrita scurvas, ento o limite da funo quandox se aproxima dex0no existe. Veja oexemplo [2].4.1. LIMITES 77Exemplo 4.2.[1] Calcule lim(x,y)(0,0)x3+ 2 x2+xy2+ 2 y2x2+y2.Analogamente ao procedimento adotado no clculo de limites de funes de umavarivel, temos: x3+ 2 x2+xy2+ 2 y2= (x + 2)(x2+y2), logo:lim(x,y)(0,0)x3+ 2 x2+xy2+ 2 y2x2+y2= lim(x,y)(0,0)(x + 2) = 2.[2] Calcule lim(x,y)(0,0)2 xyx2+y2.Observemos que f denida emR2(0, 0). Consideremos o seguinte famlia deretas que passampela origem: y= k x; f calculada para y= k x f(x, kx) =2k1 +k2e:lim(x,kx)(0,0)f(x, k x) =2 k1 +k2.Figura 4.1: Exemplo [2].Logo, sobre cada reta que passa pela origem,ftem um valor constante, mas quedepende do coeciente angular k, de cada reta. O limite da funo fdepende dopercurso do ponto (x, y) quando ele tende origem. Por exemplo, considere k= 0e k=1. Como o limite de f, se existe, nico, podemos armar que o limite de fno ponto (0, 0) no existe.78 CAPTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE-0.1 -0.05 0 0.05 0.1-0.1-0.0500.050.1Figura 4.2: Curvas de nvel e o grco de f.[3] Calcule lim(x,y)(0,0)x2yx4+y2.Sejam a reta y= 0 e a parabla y= x2. Ento, f(x, 0) = 0 e:lim(x,0)(0,0)x2yx4+y2= 0.Por outro lado, f(x, x2) =12 e:lim(x,x2)(0,0)x2yx4+y2=12.Logo, o limite no existe. Veja as curvas de nvel do G(f):-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51Figura 4.3: Curvas de nvel e o grco de f.[4] Calcule lim(x,y)(0,0)sen(x2+y2)x2+y2.Do clculo em uma varivel sabemos que limx0sen(x)x= 1. Logo, para todo >0,existe>0 tal que0< [x[ 0 um conjunto fechado.De fato, considere:h(x, y, z) = x2+y2+z2r2.A funo h contnua emR3e pela proposio W fechado.[3] Aparbola A = (x, y) R2/y= x2 umconjunto fechado. De fato, considere:h(x, y) = y x2.A funo contnua emR2e pela proposio A fechado.4.3 Exerccios1. Utilizando as propriedades de limite, calcule:(a) lim(x,y)(0,1)x3y(b) lim(x,y)(0,1)exy(c) lim(x,y)(0,0)xyx2+y2+ 2(d) lim(x,y)(0,0)sen(xy)xy(e) lim(x,y)(1,1)_x3y +y3+ 3_(f) lim(x,y)(0,0)sen2(xy)(xy)2(g) lim(x,y)(1,1)ln([1 +x2y3[)(h) lim(x,y,z)(1,2,6)_1x+1y+1z_2. Verique se os limites das seguintes funes dadas existem no ponto (0, 0):(a) f(x, y) =x2x2+y2(b) f(x, y) =x3+y3x2+y(c) f(x, y) =6x2y2+ 2xy3(x2+y2)2(d) f(x, y) =x2y2x3+y3(e) f(x, y) =x3+y3(x2+y)2(f) f(x, y) =x4+ 3 xy2x2+y286 CAPTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE3. Verique que os limites das seguintes funes existem se (x, y) (0, 0):(a) f(x, y) =x3+y3x2+y2(b) f(x, y) =xy_x2+y24. Verique que:(a) lim(x,y)(0,0)1 cos_xy_x= 0(b) lim(x,y)(0,0)sen(x2+y2)1 cos__x2+y2_= 25. Verique que: limx0_limy0x2x2+y2_,=limy0_ limx0x2x2+y2_.6. Seja: f(x, y) =___xsen_1y_se y ,= 00 se y= 0.. Verique que:(a) lim(x,y)(0,0)f(x, y) = 0(b) limx0_limy0f(x, y)_,=limy0_ limx0f(x, y)_.7. Discuta a continuidade das seguintes funes:(a) f(x, y) =___xy_x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).(b) f(x, y) =___x2yx4+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).(c) f(x, y) =___x +yx2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).(d) f(x, y) =___x3+y3x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).(e) f(x, y) =___x3y3x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).(f) f(x, y) =___sen(x +y)x +yse (x, y) ,= (0, 0)2 se (x, y) = (0, 0).4.3. EXERCCIOS 87(g) f(x, y, z) =___xz y2x2+y2+z2se (x, y, z) ,= (0, 0, 0)0 se (x, y, z) = (0, 0, 0).8. Usando a composio de funes, verique que as seguintes funes so con-tnuas:(a) f(x, y) =_x2+y2(b) f(x, y) =xyx2+y2+ 1(c) f(x, y) =_x4+y4+ 1(d) f(x, y) = sen(x2y +y2x)(e) f(x, y) =sen(xy)x2+y2 ; x,y ,= 0(f) f(x, y) = cos3(xy3)(g) f(x, y) =1_3 sen(xy); x,y ,= 0(h) f(x, y) = sech3(xy3)(i) f(x, y, z) = ln(_x2+y2+z21)(j) f(x, y, z) =1x2y2z + 19. Calcule o valor de a para que a funof(x, y) =___x2y2_y2+ 1 1se (x, y) ,= (0, 0)a 4 se (x, y) = (0, 0),seja contnua.88 CAPTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADECaptulo 5DERIVADAS PARCIAIS5.1 IntroduoDenio 5.1. Sejam A R3um conjunto aberto e f: A R uma funo.1. A derivada parcial defem relao varivelx, no ponto(x, y, z) A denotada porfx(x, y, z) e denida por:fx(x, y, z) =limt0f(x +t, y, z) f(x, y, z)tse o limite existe.2. A derivada parcial defem relao varively, no ponto(x, y, z) A denotada porfy(x, y, z) e denida por:fy(x, y, z) =limt0f(x, y +t, z) f(x, y, z)tse o limite existe.3. A derivada parcial defem relao varivelz, no ponto(x, y, z) A denotada porfz(x, y, z) e denida por:fz(x, y, z) =limt0f(x, y, z +t) f(x, y, z)tse o limite existe.De forma anloga so denidas as derivadas parciais para funes de duas vari-veis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x A necessrioque x + t ei A, onde i=1,2,3; o que verdadeiro se [t[ 0 pequeno).Veja a bibliograa.8990 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISExemplo 5.1.[1] Se z= f(x, y) = xy, calcule suas derivadas parciais.Estamos no caso n = 2:fx(x, y) =limt0f(x +t, y) f(x, y)t=limt0(x +t) y xyt=limt0t yt= y,fy(x, y) =limt0f(x, t +y) f(x, y)t=limt0x(t +y) xyt=limt0t xt= x.[2] Se w = f(x, y, z) = x2y z2, calcule suas derivadas parciais.Estamos no caso n = 3:fx(x, y, z) =limt0f(x +t, y, z) f(x, y, z)t=limt0(x +t)2y z2x2y z2t=limt02 xy z2t +t2yz2t= 2 xy z2,fy(x, y, z) =limt0f(x, t +y, z) f(x, y, z)t=limt0x2(t +y) z2x2y z2t=limt0t x2z2t= x2z2,fz(x, y, z) =limt0f(x, y, t +z) f(x, y, z)t=limt0x2y (t +z)2x2y z2t=limt0t2x2y + 2 t x2y zt= 2 x2y z.Observao 5.1.Seja y= c, xado e consideremos g(x) = f(x, c); logo:g

(x) =limt0g(x +t) g(x)t=limt0f(x +t, c) f(x, c)t=fx(x, c);se h(y) = f(c, y), ento:h

(y) =fy(c, y).Analogamente para mais variveis. Consequentemente, para derivar parcialmenteuma funo em relao a x, as demais variveis so consideradas como constantese a derivao feita como emR.Em relao s outras variveis o procedimento anlogo. Assim, todas as regrasde derivao estudadas para funes emR podem ser aplicadas.5.1. INTRODUO 91Exemplo 5.2.[1] Se z= f(x, y) =_x2+y2, calcule suas derivadas parciais.Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de fem relao a x. Pela observa-o anterior consideramos z=x2+c, onde c = y2; derivando como emR:fx(x, y) =xx2+c=x_x2+y2;analogamente para y: fazemos c = x2:fy(x, y) =y_c +y2=y_x2+y2.[2] Sez =f(x, y) =(x2+ y2) cos(xy), calcule suas derivadas parciais no ponto(1, ).Calculemos, primeiramente, a derivada parcial de fem relao a x. Pela observa-o anterior consideramos z=(x2+ c2) cos(c x), onde y=c; derivando como emR:fx(x, y) =_(x2+c2) cos(c x))

= 2 xcos(c x) c (x2+c2) sen(c x)= 2 xcos(xy) y (x2+y2) sen(xy);analogamente para y: fazemos z= (c2+y2) cos(c y):fy(x, y) =_(c2+y2) cos(c y)_

= 2 y cos(c y) c (c2+y2) sen(c y)= 2 y cos(xy) x(x2+y2) sen(xy));fx(1, ) = 2,fy(1, ) = 2 .[3] Se w = f(x, y, z) = ln(x2+y2+z2), calcule suas derivadas parciais.Calculemos, primeiramente, aderivadaparcialdefemrelaoax. Sejaw=ln(x2+c), onde c = y2+z2; derivando como emR, temos:fx(x, y, z) =2 xx2+c=2 xx2+y2+z2;analogamente para y: fazemos c = x2+z2e para z: c = x2+y2:fy(x, y, z) =2 yy2+c=2 yx2+y2+z2efz(x, y, z) =2 zc +z2=2 zx2+y2+z2.[4] Se w = f(x, y, z) = sen_xyz_, calcule suas derivadas parciais.Calculemos, primeiramente, aderivadaparcial def emrelaoax; sejaw =sen(c x), onde c =yz; derivando:fx(x, y, z) = c cos(c x) =yzcos_xyz_;92 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISanalogamente para y; fazemos c =xze para z; fazemos c = xy:fy(x, y, z) = c cos(c y) =xzcos_xyz_efz(x, y, z) = c z2cos(cz) = xyz2cos_xyz_.De forma anloga ao Clculo de uma varivel, as derivadas parciais de uma funoso funes e, portanto, podemos calcula-ls em pontos de seus domnios.[5] Seja f(x, y) = ln (x2+y2+ 1); ento:fx(x, y) =2 xx2+y2+ 1efy(x, y) =2 yx2+y2+ 1.Temos duas novas funes: g(x, y) =2 xx2+y2+ 1 e h(x, y) =2 yx2+y2+ 1 Logo,:g(1, 1) = h(1, 1) =23, g(3, 2) =37e h(1, 2) = 27.2022020123Figura 5.1: Grco de f.Figura 5.2: Grcos de g e h, respectivamente.A no existncia das derivadas parciais de uma funo contnua de duas variveisnum ponto indica que o grco da funo apresenta "arestas"nesse ponto.De fato, seja z=f(x, y)=_x2+y2; ento, as derivadas parciais existem, excetona origem.5.2. GENERALIZAES 93Figura 5.3: Grco de f(x, y) =_x2+y2.5.2 GeneralizaesDenio 5.2. Seja A Rnum conjunto aberto, x = (x1, x2, ..., xn) A e f: A Ruma funo. A derivada parcial defem relao j-sima varivel no pontox A denotada porfxj(x) e denida por:fxj(x) =limt0f(x1, ..., xj +t, .., xn) f(x1, ...., xn)t,se o limite existe.Fazendoj =1, ..., n, temos as derivadas parciais defem relao primeira, segunda, terceira, ......., n-simavariveis, respectivamente. Denotandoporej=(0, ...., 1, ....0) o vetor que tem todas as componentes zero exceto aj-sima,que igual a 1, temos:fxj(x) =limt0f(x +tej) f(x)t.5.3 Interpretao Geomtrica das Derivadas ParciaisO grco de uma funo de duas variveis z=f(x, y) , em geral, uma superfcieemR3. A interseo desta superfcie com um plano paralelo ao plano xz, que passapelo ponto (0, y0, 0) uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz s condies:_z= f(x, y)y= y0.Como a curva plana, podemos consider-la como o grco de uma funo deuma varivel, a saber:g(x) = f(x, y0). Logo, o coeciente angular da reta tangente curva no ponto x0, relativa ao plano, :g

(x0) =fx(x0, y0)Analogamente, a curva plana denida pela interseo do grco de f com o planoque passa por (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser denida por h(y)=f(x0, y).94 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISLogo, o coeciente angular da reta tangente curva no ponto y0, relativa ao plano,:h

(y0) =fy(x0, y0)Desenhos esquerda e direita, respectivamente:Figura 5.4:Figura 5.5:Exemplo 5.3.[1] Seja z=f(x, y)=x2+ y2. Determine a equao da reta tangente interseodo grco de f com o plano de equao y= 2, no ponto (2, 2, 8).Pela observao anterior: z=x2+ 4; logo, z=g(x)=x2+ 4 e a equao da retatangente : z g(x0) = g

(x0)(x x0), onde x0= 2, ou seja: z 4x = 0.-202-2020246-2024Figura 5.6: Exemplo [1].5.3. INTERPRETAO GEOMTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 95[2] Sejaz =f(x, y) =y2. Determine a equao da reta tangente interseo dogrco de f com o plano de equao x = x0, no ponto (x0, 1, 1).Pela observao anterior: z=y2; logo z=h(y)=y2e a equao da reta tangente: z h(y0) = h

(y0) (y y0), onde y0= 1, ou seja: z 2y + 1 = 0.1Figura 5.7: Exemplo [2].Dos pargrafos anteriores temos:Proposio 5.1. Seja f: A R2R uma funo tal que as derivadas parciais existamno conjunto aberto A, ento:fx(a, b) = g

(a) se g(x) = f(x, b)fy(a, b) = h

(b) se h(y) = f(a, y)A prova segue das denies e observaes anteriores. Esta proposio se estendenaturalmente para n 2.Exemplo 5.4.[1] Se f(x, y) =4_x4+y4, calculefx(0, 0) efy(0, 0).Seja g(x) = f(x, 0) = x e h(y) = f(0, y) = y; logo g

(x) = 1 e h

(y) = 1; ento:fx(0, 0) =fy(0, 0) = 1.[2] Se f(x, y) = x2_(x2+y2ln(y2+ 1))5etg(x2y+y3x2), calculefx(1, 0).Seja g(x) = f(x, 0) = x3e g

(x) = 3 x4; logo:fx(1, 0) = g

(1) = 3.[3] Se f(x, y, z) =cos(x +y +z)ln(x2+y2+z2), calculefx(, 0, 0).Seja g(x) = f(x, 0, 0) =cos(x)2 ln(x) e g

(x) = xln(x) sen(x) +cos(x)2 ln2(x); logo:fx(, 0, 0) = g

() =12 ln2().96 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS5.4 Derivadas Parciais como Taxa de VariaoAs derivadas parciais tambm podem ser interpretadas como taxa de variao ourazo instantnea.De fato, sejamA R2aberto e f: A Ruma funo tal que as derivadas parciaisexistem no ponto(x0, y0). A derivada parcialfx(x0, y0) a taxa de variao defao longo da reta que passa pelo ponto(x0, y0) e na direoe1=(1, 0), isto ,c(t) = (x0, y0) +t (1, 0) = (x0 +t, y0), ([t[ pequeno).De forma anloga interpretamos a outra derivada parcial:fy(x0, y0) a taxa devariao de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direo e2= (0, 1),isto , d(t) = (x0, y0) +t (0, 1) = (x0, y0 +t), ([t[ pequeno).00+t0 0+tee21Ayyxxd(t) d(t)c(t)c(t)Figura 5.8:Isto , as derivadas parciais medem a velocidade da variao parcial da funo emrelao a cada varivel, quando as outras esto xadas.Exemplo 5.5.[1] A lei de um gs ideal connado P V=8 T, onde P a presso em N/cm2, V o volume em cm3e T a temperatura em graus. Se o volume do gs de 150 cm3e a temperatura de 100o, pede-se:(a) Determine a taxa de variao da presso em relao temperatura para o vo-lume xo de 150 cm3.(b) Determine a taxa de variao do volume em relao presso para a tempera-tura xa de 100o.(a) Escrevamos a presso em funo do volume e da temperatura:P(V, T) = 8TV; ento,PT (V, T) =8V;logo,PT (150, T)= 0.0533N/cm2/kal.5.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAO 97Avariaodapressoemrelaotemperaturacresceaumarazode0.0533N/cm2/kal. Note quePTno depende de T.(b) Escrevemos o volume em funo da presso e da temperatura:V (P, T) = 8 TP ; ento,VP (P, T) = 8TP2.Por outro lado, P= 8TVe para T= 100 e V= 150, obtemos P=163 ; logo:VP (163, 100) = 28.13cm3/N.A variao do volume em relao presso diminui a uma razo de 28.13cm3/N.[2] O potencial eltrico no ponto (x, y, z) dado por:V (x, y, z) =x_x2+y2+z2,onde V dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variao instantneade Vem relao distncia em (1, 2, 3) na direo do:(a) eixo dos x;(b) eixo dos y;(c) eixo dos z.(a) Devemos calcularVx (1, 2, 3). Seja g(x) = f(x, 2, 3) =xx2+ 13; ento:Vx (x, 2, 3) = g

(x) =13(x + 13)3/2,logo;Vx (1, 2, 3) =131414volts/cm.(b) Devemos calcularVy (1, 2, 3): Seja h(y) = f(1, y, 3) =1_y2+ 10; ento:Vy= h

(y) = y(y2+ 10)3/2,logo;Vy (1, 2, 3) = 1714volts/cm.(c) Devemos calcularVz (1, 2, 3): Seja k(z) = f(1, 2, z) =1z2+ 5; ento:Vz= k

(z) = z(z2+ 5)3/2,logo;Vz (1, 2, 3) = 31414volts/cm.98 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS[3] Quando materiais txicos so despejados ou manipulados num aterro podemser liberadas partculas contaminadas para a atmosfera circundante. Experimental-mente, a emisso destas partculas pode ser modelada pela funo:E(V, M) = K 0.00032V1.3M1.4,onde E a emisso (quantidade de partculas liberadas na atmosfera por toneladade solo manipulado), V a velocidade mdia do vento (mph=metros por hora), M a umidade contida no material (dada em porcentagem) e K uma constante quedepende do tamanho das partculas. Calcule a taxa de variao da emisso parauma partcula tal que K= 0.2, V= 10 e M= 13 em relao:(a) ao vento;(b) umidade.10 20 30 40 501020304050Figura 5.9: Curvas de nvel de E.(a) CalculamosEV(10, 13): Ento,EV(V, M) = 0.000122 V0.3M1.4; logo,EV(10, 13) = 0.00001496.(b) CalculamosEM(10, 13): Ento,EM(V, M) = 0.000291 V1.3M2.4; logo,EM(10, 13) = 0.00001234.Interprete os resultados obtidos no ltimo exemplo.5.5 DiferenciabilidadeNo caso de uma varivel sabemos que se uma funo derivvel num ponto, ela contnua no ponto. Gostaramos de ter um comportamento anlogo para funesde vrias variveis; no entanto, a existncia das derivadas parciais no garante acontinuidade da funo.5.5. DIFERENCIABILIDADE 99De fato, a existncia defxdepende do comportamento da funofsomente nadireo do eixo dos x e a existncia defydepende do comportamento da funof somente na direo do eixo dos y. Por exemplo, sabemos que a funo:f(x, y) =___2 xyx2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0),no contnua na origem. No entanto, as derivadas parciais existem em todos ospontos, inclusive na origem. De fato, sejam g(x) = f(x, 0) = 0 e h(y) = f(0, y) = 0;logo:fx(0, 0) = g

(0) = 0 efy(0, 0) = h

(0) = 0.As derivadas parciais para (x, y) ,= (0, 0) so:fx=2 y32 x2y(x2+y2)2efy=2 x32 xy2(x2+y2)2.Em uma varivel, a existncia da derivada de uma funo num ponto, garante quenas proximidades desse ponto o grco da funo ca bastante prximo da retatangente a esse grco no ponto considerado. Seguiremos esta idia para esten-der o conceito de diferenciabilidade para funes de vrias variveis. Correspon-dendo reta tangente num ponto do grco de uma funo em R temos o "planotangente"num ponto do G(f) e este plano deve ser uma "boa"aproximao para oG(f) numa vizinhana do ponto.Denio 5.3. Sejaf : A RnR uma funo denida no conjunto abertoA.Dizemos que f diferencivel no ponto x0 A se existem as derivadas parciais de f emx0 e:limh0f(x) f(x0) n

j=1fxj(x0)hj|h|= 0,onde h = x x0, hj a componente j-sima de h e x A.Para n = 2, este limite expressa o que pensamos ao dizer que:f(x0, y0) +fx(x0, y0) (x x0) +fy(x0, y0) (y y0), uma boa aproximao para f numa vizinhana de x0= (x0, y0).Denio 5.4. f diferencivel em A Rn, se diferencivel em cada ponto de A.100 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISExemplo 5.6.Considere a funo:f(x, y) =___x2yx2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0),f contnua em (0, 0); suas derivadas parciais so:fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0,fx(x, y) =2 xy3(x2+y2)2efy(x, y) =x2(x2y2)(x2+y2)2.Agora, apliquemos a denio de diferenciabilidade para f no ponto (0, 0):lim(x,y)(0,0)[f(x, y)[|(x, y)|= lim(x,y)(0,0)[x2y[(x2+y2)_x2+y2;considere y= k x, k > 0:lim(x,k x)(0,0)[x2y[(x2+y2)32= lim(x,k x)(0,0)[kx3[(x2+k2x2)32= lim(x,k x)(0,0)k(1 +k2)32= k(1 +k2)32;o limite depende de k; logo f no diferencivel em (0, 0).Figura 5.10: Grco de f.Aplicar diretamente a denio de funo diferencivel pode ser, em muitos casos,bastante complicado. Por isso, apresentamos o seguinte teorema:Teorema 5.1. Sejaf : A RnR uma funo denida no conjunto abertoA talque existem todas as derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas contnua noponto x0 A. Ento f diferencivel em x0.O teorema estabelece apenas uma condio suciente, ou seja, nem todas as fun-es diferenciveis num pontox0devem ter derivadas parciais contnuas numavizinhana de x0. Para a prova do teorema, veja o apndice.5.5. DIFERENCIABILIDADE 101Exemplo 5.7.[1] Considere a seguinte funof(x, y) =___x2y2x2+y2se(x, y) ,= (0, 0)0 se(x, y) = (0, 0).As derivadas parciais so:fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0,fx(x, y) =2xy4(x2+y2)2efy(x, y) =2x4y(x2+y2)2.As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos o teorema para provara diferenciabilidade defno ponto(0, 0). Para isto provaremos que as derivadasparciais so contnuas no ponto (0, 0).lim(x,y)(0,0)fx(x, y) = lim(x,y)(0,0)2xy4(x2+y2)2=fx(0, 0) = 0.De fato, [x[ _x2+y2ey4(x2+ y2)2; logo,|2 xy4|(x2+y2)2 2_x2+y2; se=2,teremos 2 xy4(x2+y2)20 (c chamada a velocidade de propagao da onda). u(x, t) descreve odeslocamento vertical de uma corda vibrante. A funo :u(x, t) = (x +c t)n+ (x c t)m, n,m Nsatisfaz equao da onda. De fato.2ux2= m(m1) (x c t)m2+n(n 1) (x +c t)n2,2ut2= c2(m(m1) (x c t)m2+n(n 1) (x +c t)n2).Figura 5.17: Grco de z= u(x, t) para c =16, n = m = 3.Analogamente, a funo:u(x, t) =sen(x +c t) +cos(x c t)2satisfaz equao daonda. De fato.2ux2= 12 (sen(x +c t) +cos(x c t)),2ut2= c22(sen(x +c t) +cos(x c t)).112 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISFigura 5.18: Grco de z= u(x, t) para c = 2.Denio 5.9. A funo f: A R de classe C2quando existem as derivadas parciaisat a segunda ordem em todos os pontos de A e as funesxj_fxi_ : A RnRso contnuas, para todo i,j.Notamos que nos exemplos estudados sempre vericamos que:xj_fxi_ =xi_ fxj_.Isto consequencia do seguinte teorema.Teorema 5.3. (Schwarz) Sef : A RnR uma funo de classeC2no pontox0 A, ento para todo i,j= 1.....n tem-se:xj_fxi(x0)_ =xi_ fxj(x0)_Para a prova veja o apndice.Exemplo 5.13.Consideremos a funo: f(x, y) =___xy (x2y2)x2+y2se(x, y) ,= (0, 0)0 se(x, y) = (0, 0).Figura 5.19: Grco de f.5.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 113Se (x, y) ,=(0, 0), f(x, y) possui derivadas parciais de todas as ordens; em (0, 0) asderivadas parciais de f(x, y) existem e so todas nulas:fx=y (x4y4+ 4x2y2)(x2+y2)2efy=x(x4y44x2y2)(x2+y2)2.Para todo y ,= 0, f(0, y) = 0,fx(0, y) = y,fy(0, y) = 0 e:2fxy(0, y) = 1,2fyx(0, y) = 0.Logo, a funo no de classe C2.Em geral, as funes "bem comportadas", como as polinomiais, exponenciais e amaioria das funes utilizadas neste livro so de classe C2. A seguir apresentamosos grcos e as curvas de nvel da funo de classe C2:f(x, y) = (x2y2) e(x2+y2)2e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordemmistas, respectivamente:Figura 5.20: Grcos de f efx, respectivamente.Figura 5.21: Grcos defye2fxy, respectivamente.114 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS2 1 0 1 2210122 1 0 1 221012Figura 5.22: Curvas de diversos nveis de f efx, respectivamente.2 1 0 1 2210122 1 0 1 221012Figura 5.23: Curvas de diversos nveis defye2fxy, respectivamente.O teorema de Schwarz tambm valido para derivadas mistas de ordem superiora dois. De fato, se as terceiras derivadas de f so contnuas (f de classe C3), temos:3fxxy=x_2fxy_ =x_2fyx_ =3fxyx.Por outro lado, fazendo g=fx:3fxyx=2gxy=2gyx=3fyxx.Fica como exerccio determinar as outras igualdades. Em geral, f de classeCk(k 1), no conjunto abertoA se as derivadas parciais at ordemk existem e socontnuas em A. f e de classe C se de classe Ckpara todo k 1.5.8 Regra da CadeiaTeorema 5.4. Se n = 2, z= f(x, y) uma funo de classe C1, x = x(r, s) e y= y(r, s)so funes tais que suas derivadas parciais existem, ento:zr=zxxr+zyyrezs=zxxs+zyys5.8. REGRA DA CADEIA 115rxzyr s sFigura 5.24: A regra da cadeia para n = 2.Em particular, se x = x(t) e y= y(t) so derivveis, ento:dzdt=zxdxdt+zydydtxzytFigura 5.25: Caso particular da regra da cadeia para n = 2.Sen=3, w=f(x, y, z) uma funo de classeC1, x=x(r, s, t), y =y(r, s, t) ez= z(r, s, t) so tais que as derivadas parciais existem, ento:wr=wxxr+wyyr+wzzr,ws=wxxs+wyys+wzzsewt=wxxt+wyyt+wzztxwy zr r s t r s tt sFigura 5.26: A regra da cadeia para n = 3.Em particular, se x = x(t), y= y(t) e z= z(t) so derivveis, ento:116 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISx ytzwFigura 5.27: Caso particular da regra da cadeia para n = 3.dwdt=wxdxdt+wydydt+wzdzdtExemplo 5.14.[1]Calculedwdtsew=f(x, y, z) =xy zondex =x(t) =t2, y =y(t) =tez= z(t) = t4.dwdt=wxdxdt+wydydt+wzdzdt,wx= y z= t t4= t5,wy= xz= t2t4= t6ewz= xy= t2t = t3. Por outrolado, temos quedxdt= 2 t,dydt= 1 e Sdzdt= 4 t3; ento;dwdt= 2 t6+t6+ 4 t6= 7 t6.Observe que podemos obter o mesmo resultado fazendo a composio das funes:w = f(t2, t, t4) = t2t t4= t7, entodwdt= 7 t6.Pode explicar por que isto ocorre?[2] Seja w = f(x, y, z) = x2+y2+ 2 z2, se:x(, , ) = sen() cos(),y(, , ) = sen() sen() ez(, , ) = cos().Calculew,wew .w=wxx+ wyy + wzz= 2 xsen() cos() +2 y sen() sen() +4 z cos();logo, utilizando a denio das funes x, y e z temos:w= 2 sen2()_cos2() +sen2()_+ 4 cos2() = 2 + 2 cos2().Como antes, se fazemos w = f(, , ) = 2+2cos2(), obtemos:w= 2 + 2 cos2(),w= 2 2cos() sen() ew= 0.5.8. REGRA DA CADEIA 117[3] Em um instante dado, o comprimento de um lado de um tringulo retngulo 10 cme cresce razo de 1 cm/seg; o comprimento do outro lado 12 cme decrescerazode2 cm/seg. Calculearazodevariaodamedidadonguloagudooposto ao lado de 12 cm, medido em radianos, no instante dado.xyFigura 5.28: Exemplo [3].Sejamx = x(t) e y= y(t) os lados no instante t e = arctg_yx_o ngulo emquesto;pela regra da cadeia:ddt=xdxdt+ydydt= yx2+y2dxdt+xx2+y2dydt;temos x = 10,dxdt= 1; y= 12,dydt= 2, pois y decresce. Substituindo estes valoresna expresso anteriorddt= 861; logo, decresce razo de861 rad/seg.[4] A resistnciaR, em Ohms, de um circuito dada porR=EI , ondeI a cor-rente em ampres e E a fora eletromotriz, em volts. Num certo instante, quandoE=120 volts e I=15 ampres, E aumenta numa velocidade de 0.1 volts/seg e Idiminui velocidade de 0.05 ampres/seg. Determine a taxa de variao instant-nea de R.ComoR=R(E, I) =EI . SejamE=E(t) a fora eletromotriz no instantet eI= I(t) a corrente no instante t. Pela regra da cadeia:dRdt=REdEdt+RIdIdt=1IdEdt+_EI2 dIdt.Temos E= 120,dEdt= 0.1, I= 15,dIdt= 0.05, pois I decresce. Substituindo estesvalores na expresso anterior:dRdt=130 Ohm/seg.[5] A lei de um gs ideal connado P V =k T, ondeP a presso, V o vo-lume, T a temperatura e k>0 constante. O gs est sendo aquecido razo de2 graus/min e a presso aumenta razo de0.5 kg/min. Se em certo instante, atemperatura de 200 graus e a presso de 10 kg/cm2, ache a razo com que variao volume para k = 8.118 CAPTULO 5. DERIVADAS PARCIAISEscrevemos o volume do gs em funo da presso e da temperatur