ebook: topologia geral - mauricio a. vilches

TOPOLOGIA GERAL

Mauricio A. Vilches

Departamento de Analise - IMEUERJ

2

Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reproducao parcial ou total

3

PREFACIO

Provavelmente a Topologia e a mais novas das linhas daMa-

tematica classica, pois a Topologia aparece no seculo XV II

com o nome deAnalyse Situs, isto e analise da posicao. Mui-

tos autores concordam que o primeiro a tentar estudar pro-

priedades topologicas foi Leibniz, em 1679. Posteriormente,

Euler em 1736 publica a solucao do problema das pontes

da cidade de Koenigsberg, institulado ”Solutio problema-

tis ad geometriam situs pertinentis”. As bases da Topolo-

gia moderna foram estabelicidas no Congresso Internacio-

nal de Matematica de 1909, em Roma, onde Riesz propoe

um carater axiomatico da Topologia, baseado na teoria dos

conjuntos, sem o conceito de distancia subjacente. Em 1914,

Hausdorff define os conjuntos abertos atraves de axiomas,

sem consideracoes metricas. Existem outras vertentes onde

a topologia encontrou novos impulsos para seu desenvolvi-

mento, por exemplo, na Analise Funcional e nas Equacoes

Diferenciais Ordinarias, atraves de Banach e Poincare, res-

pectivamente.

A Topologia utiliza osmesmos objetos que a Geometria, com

a seguinte diferenca: nao interessa a distancia, os angulos

nem a configuracao dos pontos. Na Topologia, objetos que

possam transformar-se em outros, atraves de funcoes contınuas

reversıveis, sao equivalentes e indistinguiveis. Por exemplo,

cırculos e elipses, esferas e paralelelpıpedos.

A Topologia e pre-requisito basico em quase todas as areas

4

daMatematicamoderna, da Geometria Diferencial a Algebra

e e fonte atual de efervescente pesquisa.

Mauricio A. Vilches

Rio de Janeiro

Conteudo

1 ESPACOS TOPOLOGICOS 71.1 Topologias e Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Pontos e Conjuntos Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Topologia Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1 Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.2 Conjuntos Abertos e Fechados em Espacos Metricos . . . . . . . . 241.8.3 Espacos Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.4 Espacos Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Topologia de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9.1 Topologia de Zariski em Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 FUNCOES EM ESPACOS TOPOLOGICOS 332.1 Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Continuidade em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Topologia Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Funcoes Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 HOMEOMORFISMOS 453.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Exemplos de Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Homeomorfismos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 TOPOLOGIA QUOCIENTE 614.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 O Cırculo como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 O Cilindro como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5

6 CONTEUDO

4.2.3 A Faixa de Moebius como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . 654.2.4 A Esfera como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.5 O Toro como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.6 A Garrafa de Klein como Espaco Quociente . . . . . . . . . . . . . 684.2.7 O Cone e Suspensao de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4 Acoes de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.1 G-espacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.2 O Cırculo como Z-espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.3 O Toro como Z × Z -espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 COMPACIDADE 835.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Compacidade em Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 AXIOMAS DE SEPARACAO 916.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Espacos de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Espacos de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Topologia Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.5.1 O Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5.2 O Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5.3 Espacos Projetivos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5.4 Espacos Projetivos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.5 Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.6 A Faixa de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.6 Variedades Topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 CONEXIDADE 1057.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Conexidade por Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografia 116

Capıtulo 1

ESPACOS TOPOLOGICOS

A seguir apresentaremos a definicao de Topologia que e, essencialmente, a generaliza-cao de algumas das propriedades intrınsecas dos intervalos abertos em R.

1.1 Topologias e Conjuntos Abertos

Seja X um conjunto nao vazio. Denotemos por P(X) a famılia de todos os subconjun-tos de X e por Ac = X −A o complementar de A emX .

Definicao 1.1. Uma topologia sobre X e uma famılia T ⊂ P(X) tal que:

1. X, ∅ ∈ T.

2. Dada uma famılia arbitraria {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, entao:⋃

α∈Γ

Aα ∈ T.

3. Dados B1, B2, . . . , Bn ∈ T, entao:

n⋂

i=1

Bi ∈ T.

Em outras palavras, uma topologia e uma famılia de subconjuntos de X tais que oconjunto vazio e o conjunto X devem pertencer a topologia; a reuniao arbitraria deelementos da topologia deve pertencer a topologia e a intersecao finita de elementosda topologia deve pertencer a topologia.

Os elementos de T sao ditos conjuntos abertos de X ou simplesmente abertos deX .

O par(

X,T)

e chamado espaco topologico.

7

8 CAPITULO 1. ESPACOS TOPOLOGICOS

1.2 Exemplos

A seguir apresentaremos uma serie de exemplos que utilizaremos em todos os capıtu-los seguintes.

[1] Todo conjunto X nao vazio possui as seguintes topologias:

Tind = {X, ∅}, chamada topologia indiscreta. Logo, os unicos subconjuntos abertosdeX sao ∅ e X .Tdis = P(X), chamada topologia discreta. Logo, todos os subconjuntos de X saoabertos.

Se X tem mais de 2 elementos Tind 6= Tdis.

[2] Seja X = {a, b, c}. Verifiquemos se as seguintes famılias de subconjuntos de X saouma topologia em X .

1. T1 = {∅, X, {a}}.2. T2 = {∅, X, {a}, {b}}.3. T3 = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}}.

Claramente, T1 e T3 sao topologias para X . T2 nao e uma topologia emX , pois:

{a} ∪ {b} /∈ T2.

[3] Seja X = {a, b}. A topologia:

Tsier = {∅, X, {a}}

e dita de Sierpinski.

[4] Seja X = R e definamos a seguinte topologia:

T = {∅, A ⊂ R},

onde A ∈ T se, e somente se para todo x ∈ A existe um intervalo aberto (a, b) tal que:

x ∈ (a, b) ⊂ A.

1. Claramente ∅, R ∈ T.

2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}, entao:⋃

α∈Γ

Aα ∈ T.

De fato, seja x ∈⋃

α∈Γ

Aα, entao existe α0 ∈ Γ tal que x ∈ Aα0∈ T; logo, existe (a, b) e:

x ∈ (a, b) ⊂ Aα0⊂

⋃

α∈Γ

Aα.

1.2. EXEMPLOS 9

3. Sejam B1, B2 ∈ T; entao, dado x ∈ B1 ∩B2 temos que x ∈ B1 ∈ T e x ∈ B2 ∈ T, logoexistem (a1, b1) e (a2, b2) tais que x ∈ (a1, b1) ⊂ B1 e x ∈ (a2, b2) ⊂ B2. Se denotamospor a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}, temos:

x ∈ (a, b) ⊂ B1 ∩B2.

Por inducao: Se B1, B2, . . . , Bn ∈ T, entaon

⋂

i=1

Bi ∈ T.

Esta topologia e chamada euclidiana ou usual e sera denotada por Tus.

[5] Seja X = R2 e definamos a seguinte topologia:

T = {∅, A ⊂ R2},

ondeA ∈ T se, e somente se para todo (x, y) ∈ A existe um retangulo aberto (a, b)×(c, d)tal que:

(x, y) ∈ (a, b) × (c, d) ⊂ A.

De forma analoga ao exemplo anterior, T e uma topologia e e tambem chamada eucli-diana ou usual e sera denotada por Tus. Nao e difıcil ver que esta topologia pode serestendida a Rn.

[6] Seja R2 e consideremos a famılia:

Tk = {∅, R2, Gk / k ∈ R},

onde:Gk = {(x, y) ∈ R2 / x > y + k}.

Entao(

R2,Tk

)

, e um espaco topologico.

1. ∅, R2 ∈ Tk, por definicao.

2. Seja Gk ∈ Tk tal que k ∈M ⊂ R:

SeM e limitado inferiormente, sejam = inf M , entao:

⋃

k∈M

Gk = Gm ∈ Tk.

De fato, seja (x, y) ∈⋃

k∈M

Gk; entao, existe k ∈M tal que (x, y) ∈ Gk, isto e x−y > k ≥ m;

logo, (x, y) ∈ Gm e⋃

k∈M

Gk ⊂ Gm.

Seja (x, y) ∈ Gm; entao, x− y > m; logo, existe k ∈ M tal que x− y > k, caso contrariox− y seria uma cota inferior deM maior quem; entao:

Gm ⊂⋃

k∈M

Gk.


SeM nao e limitado inferiormente, entao:

⋃

k∈M

Gk = R2.

De fato, seja (x, y) ∈ R2, entao, existe k ∈ M tal que x − y > k; caso contrario, M serialimitado inferiormente por x− y, logo (x, y) ∈ Gk.

3. Sejam Gk1, Gk2

∈ Tk e considere k1 = max{k1, k2}; entao, Gk1⊂ Gk2

e:

Gk1∩Gk2

= Gk1∈ Tk.

[7] Seja X um conjunto nao vazio e:

T = {A ⊂ X /Ac e finito ou e X}.

T e uma topologia paraX .

1. Claramente,X e ∅ pertencem a T.

2. Seja {Aα ∈ T / α ∈ Γ}; entao:⋃

α∈Γ

Aα ∈ T.

De fato:(

⋃

α∈Γ

Aα

)c

=⋂

α∈Γ

Acα,

como Acα e finito, a intersecao e finita ou e todo X .

3. Sejam B1, B2, . . . , Bn ∈ T, entao:

( n⋂

i=1

Bi

)c

=

n⋃

i=1

Bci ,

a uniao e finita ou todo X , pois cada conjunto e finito ou todo X .

Esta topologia e chamada de cofinita e denotada Tcof . Se X e finito, entao Tcof = Tdis.

SejaX = R com a topologia Tcof . O conjunto (−∞, 1) nao e aberto nesta topologia, poisseu complementar e [1,+∞) e nao e finito nem igual a R. Mas, o conjunto (−∞, 1) ∪(1,+∞) e aberto. Nesta topologia os abertos sao da forma:

A = R −n

⋃

i=1

{xi / xi ∈ R}.

SejaX = R com a topologia Tus. SeA ⊂ R e finito, entaoA nao e aberto. Analogamenteem Rn.

1.3. CONJUNTOS FECHADOS 11

1.3 Conjuntos Fechados

Os conjuntos fechados sao os duais dos conjuntos abertos, num espaco topologico. Ve-remos que a topologia num espaco topologico, tambem pode ser caracterizada atravesdos conjuntos fechados.

Definicao 1.2. Seja F ⊂ X . F e dito fechado em X se F c ∈ T.

Isto e, um conjunto e fechado se, e somente se seu complementar e um conjunto aberto.

Exemplo 1.1.

[1] X e ∅ sao fechados em X .

[2] Seja(

X,Tsier

)

; entao os fechados deX sao ∅, X e {b}.[3] Considere X = {a, b, c} com a T3 do exemplo [??]. Determinemos os conjuntosfechados deX .

Primeiramente X e ∅ sao fechados em X . Os conjuntos {a} e {b} nao sao fechados; defato:

{a}c = {b, c} /∈ T3

{b}c = {a, c} /∈ T3.

Por outro lado {c}, {a, c} e {b, c} sao fechados em X :

{c}c = {a, b} ∈ T3

{a, c}c = {b} ∈ T3

{b, c}c = {a} ∈ T3.

Teorema 1.1. Seja(

X,T)

espaco topologico e F a famılia de conjuntos fechados; entao:

1. X, ∅ ∈ F.

2. Sejam F1, F2, . . . , Fn conjuntos fechados em X ; entao:

n⋃

i=1

Fi

e fechado em X .

3. Sejam Fα ∈ F, arbitrarios tal que α ∈ Γ, entao:⋂

α∈Γ

Fα ∈ F.

A prova e imediata. De fato:

(

n⋃

i=1

Fi

)c=

n⋂

i=1

F ci ∈ T

(

⋂

α∈Γ

Fα

)c=

⋃

α∈Γ

F cα ∈ T.


Exemplo 1.2.

Seja(

R,Tus

)

; entao todo conjunto finito e fechado. De fato, dado x ∈ R, entao {x} efechado em R pois {x}c = (−∞, x) ∪ (x,+∞); logo se A = {x1, x2, . . . xn} temos que:

A =n

⋃

i=1

{xi}.

O exemplo anterior vale em Rn.

A propriedade de ser aberto ou fechado e independente uma da outra. Um conjuntopode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e nao fechado, fechado e nao abertoou nehum dos dois.A uniao infinita de conjuntos fechados pode nao ser um conjunto fechado. Por exem-plo, para todo subconjunto B ⊂ X , temos:

B =⋃

b∈B

{b}.

Uma topologia num espaco topologico tambem pode ser caracterizada, pelos seus con-juntos fechados.

Exemplo 1.3.

[1] Se X tem a topologia discreta, todo subconjunto de X e aberto e fechado.

[2] Seja X = R − {0} com a topologia euclidiana; entao os conjuntos (−∞, 0) e (0,+∞)sao abertos. Como cada um deles e complementar do outro, tambem sao fechados.

[3] O conjunto Q ⊂ R nao e aberto nem fechado com a topologia usual e nem com atopologia cofinita de R.

Definicao 1.3. Sejam T1 e T2 topologias sobre X . Se T1 ⊂ T2, entao dizemos que a topologiaT2 e mais fina que T1.

Exemplo 1.4.

Em R2, Tcof e menos fina que a Tus. De fato, seja A ∈ Tcof ; entao Ac e finito; logo Ac e

fechado em Tus e A e aberto em Tus.

As topologias sobre um conjunto nem sempre podem ser comparadas. Por exemplo:Seja X = {a, b} com as topologias: T1 = {∅, {a}, X} e T2 = {∅, {b}, X}. entao T1 e T2

nao podem ser comparadas.

Para toda topologia T sobre X temos:

Tind ⊂ T ⊂ Tdis.

No exemplo [1], temos:

Tind ⊂ T1 ⊂ T3 ⊂ Tdis.

1.4. BASES 13

1.4 Bases

Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto nao e necessario descrevertodos os conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, oschamados abertos basicos da topologia.

Sejam(

X,T)

um espaco topologico e B uma famılia de subconjuntos de X tal queB ⊂ T.

Definicao 1.4. B e uma base para T se para todo A ∈ T, temos que:

A =⋃

B∈B

B.

ComoB ⊂ T, entao toda uniao de elementos deB tambem pertence a T. Os elementosdeB sao ditos abertos basicos da topologia.

SeB e uma base de T, dizemos queB gera a topologia T, ou que T e a topologia geradaporB.

Para todo A ∈ T existe B ∈ B tal que B ⊂ A. De fato, seja x ∈ A; como A ∈ T e B euma base de T, entao:

A =⋃

α∈Γ

Bα,

onde Bα ∈ B. Logo, existe α ∈ Γ tal que:

x ∈ Bα ⊂ A.

O seguinte teorema e um otimo criterio para verificar se uma famılia de subconjuntose uma base.

Teorema 1.2. SejaB ⊂ T. A famıliaB e uma base de T se, e somente se

1. X =⋃

B∈B

B.

2. Para todo B1B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩ B2, entao, existe B ∈ B tal que:

x ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Prova : SeB e uma base de alguma topologia T, entaoX e aberto; logo se escreve comouniao de abertos basicos.Se B1, B2 ∈ B, entao B1, B2 sao abertos e B1 ∩ B2 e aberto; logo se x ∈ B1 ∩ B2, existeum aberto B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2.

Reciprocamente, se B satisfaz 1 e 2 e se exitir uma topologia que tem B como base,todo aberto nesta topologia pode ser escrito como uniao arbitraria de elementos deB.Definamos:

T = {U ⊂ X /U e uniao arbitraria de elementos de B}.


Devemos provar que T e uma topologia sobre X . Claramente ∅ ∈ T; por outro ladoX ∈ T, pelo ıtem 1.

Sejam Aα ∈ T, arbitrarios; cada Aα =⋃

µ

Bα,µ, onde Bα,µ ∈ B; entao:

A =⋃

α

(

⋃

µ

Bα,µ

)

=⋃

α,µ

Bα,µ ∈ T.

Agora consideremos A1 e A2 ∈ T, entao A1 =⋃

α

Bα e A2 =⋃

µ

Bµ, entao:

A1 ∩A2 =

(

⋃

α

Bα

)

∩(

⋃

µ

Bµ

)

=⋃

α,µ

(

Bα ∩ Bµ

)

.

Se x ∈ A1 ∩ A2, existe pelo menos um par de ındices (α, µ) tal que x ∈ Bα ∩ Bµ; por 2existe B ∈ B tal que:

x ∈ B ⊂ Bα ∩Bµ ⊂ A1 ∩A2;

logo, A1 ∩A2 e aberto. O caso geral segue por inducao.

Definicao 1.5. Os conjuntos B ∈ B tal que x ∈ B sao chamados vizinhancas do ponto x.

Exemplo 1.5.

[1] Uma topologia e base de si propria.

[2] Para Tind, a base eB = {X}.[3] Para Tdis, a base eB = {{x} / x ∈ X}.[4] Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia.

[5] (Fundamental) Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b, entao:

B = {(a, b)}

gera a topologia usual ou euclidiana de R.

De fato:

1. R =⋃

a<b

(a, b).

2. Para todo x ∈ R, (x− 1, x+ 1) ∈ B.

3. Para todo x ∈ R tal que x ∈ (a1, b1) ∩ (a2, b2), temos:

x ∈ (a, b) ⊂ (a1, b1) ∩ (a2, b2),

onde a = max{a1, a2} e b = min{b1, b2}.

[6] Sejam R,B a base da topologia euclidiana eB′ = {[a, b) / a < b}. Suponha queB′ euma base. (Veja os exercıcios). Entao estas bases geram topologias diferentes.

Seja (a, b) ∈ B; para todo x ∈ (a, b), existe [x, b) ∈ B′ tal que x ∈ [x, b) ⊂ (a, b). Poroutro lado, dado [x, d) ∈ B′, nao existe (a, b) ∈ B tal que x ∈ (a, b) ⊂ [x, d). Logo, asbases geram topologias diferentes.

1.5. SUB-BASES 15

1.5 Sub-bases

Seja(

X,T)

um espaco topologico eS uma famılia de subconjuntos deX tal queS ⊂ T.

Definicao 1.6. S e uma sub-base de T se a colecao de intersecoes finitas de elementos deS euma base de T.

Proposicao 1.1. Sejam X um cojunto nao vazio e S uma famılia de elementos de X tais quepara todo x ∈ X existe A ∈ S tal que x ∈ A. Seja B a colecao de intersecoes finitas deelementos de S. Entao, a famılia T formada por ∅, X e as unioes arbitrarias de elementos deBe uma topologia para X e e a menor topologia que contemS.

Prova :Claramente ∅, X ∈ T e toda uniao de elementos de T pertence a T. Mostraremos quequalquer intersecao finita de elementos de T esta em T, ou melhor, provaremos que seA, B ∈ T, entao A ∩B ∈ T:

Se A ou B e vazio, esta provada a proposicao.

1. Suponha que A e B sao nao vazios. Entao:

A =⋃

α

Aα, B =⋃

β

Bβ,

onde Aα, Bβ ∈ B. Logo:

A ∩ B =

(

⋃

α

Aα

)

∩(

⋃

β

Bβ

)

=⋃

α, β

(

Aα ∩Bβ

)

.

Por outro lado Aα e Bβ sao intersecoes finitas de elementos de S, logo Aα ∩ Bβ e umaintersecao finita de elementos de S e, A ∩ B ∈ T.

2. ClaramenteS ⊂ T.

3. Se T′ e outra topologia em X que tambem contem S, entao B ⊂ T′; logo, T′ deveconter as unioes arbitrarias de elementosB, isto e T ⊂ T′. Entao T e a menor topologiasobre X que contem S, isto e,S e uma sub-base de X .

Em geral S nao e uma base de T, pois os elementos de T nao podem ser escritos,necessariamente, como unioes de elementos deS.

Exemplo 1.6.

[1] Toda topologia e sub-base de si mesma.

[2] S = {(−∞, a), (b,+∞) / a, b ∈ R} e uma sub-base para a topologia usual de R.

[3] S = {(−∞, a], [b,+∞) / a, b ∈ R} e uma sub-base para a topologia discreta de R.

[4] Sejam(

X,T1

)

e(

Y,T2

)

espacos topologicos; entao:

S = {U × Y, X × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

e uma sub-base para a topologia produto emX × Y .


1.6 Topologia Relativa

Uma questao natural que surge das ultimas definicoes e: fixada uma topologia numconjunto, um subconjunto nao vazio herda de alguma forma esta estrutura?

Seja(

X,T)

um espaco topologico e ∅ 6= Y ⊂ X , entao:

TY = {A ∩ Y /A ∈ T},

e uma topologia sobre Y chamada topologia relativa a Y .

Definicao 1.7. O par(

Y,TY

)

e dito subespaco topologico de(

X,T)

. Os elementos de TY

sao ditos abertos relativos.

Em geral, os abertos relativos nao sao abertos no espaco total. Veja os exemplos.

Exemplo 1.7.

[1] Seja R com a topologia usual e consideremos Q ⊂ R com a topologia relativa, entaoA = {x ∈ Q / 0 < x < 1} e aberto em Q pois A = (0, 1) ∩ Q e A nao e aberto em R.

[2] Seja R com a topologia usual. N e Z ⊂ R sao subespacos topologicos tais que atopologia relativa e a topologia discreta. De fato, se n ∈ Z entao:

{n} = Z ∩(

n− 1

2, n+

1

2

)

.

[3] Seja R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} com a topologia gerada por:

{+∞} ∪ (a,+∞) e {−∞} ∪ (−∞, a).

A topologia T gerada por estes conjuntos e dita topologia estendida.

[4] Seja Y = R ⊂ R com a topologia relativa; entao TY e a topologia euclidiana.

Proposicao 1.2. Seja(

Y,TY

)

subespaco topologico de(

X,T)

.

1. SejaB = {Bγ / γ ∈ Γ} uma base de T; entaoBY = {Bγ ∩ Y / γ ∈ Γ} e uma base paraBY .

2. A ⊂ Y e fechado se, e somente se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X e fechado.

3. Se A e fechado (aberto) em Y e Y e fechado (aberto) em X , entao A e fechado (aberto) emX .

Prova :

1. Imediata.

1.6. TOPOLOGIA RELATIVA 17

2. Se A ⊂ Y e fechado, entao A = Y −W , ondeW e aberto em Y ; logoW = Y ∩ U ,onde U e aberto em X ; por outro lado:

A = Y −(

Y ∩ U)

= Y ∩ U c.

Reciprocamente, se A = Y ∩ F , onde F ⊂ X e fechado, entao:

Y −A = Y ∩ F c;

logo, A e fechado em Y .

3. Como A = Y ∩ F e ambos sao fechados em X , entao A e fechado em X

Exemplo 1.8.

[1] Seja R com a topologia usual. O conjunto

S1 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1} ⊂ R2

com a topologia relativa e dito cırculo unitario. Os abertos relativos em S1 sao os arcosabertos de cırculos.

Figura 1.1: Abertos relativos de S1

[2] Em geral, seja Rn+1 com a topologia usual. O conjunto:

Sn = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 /n

∑

i=1

x2i = 1}

com a topologia induzida, e chamado esfera unitaria.


1.7 Pontos e Conjuntos Notaveis

Nesta secao estudaremos alternativas para determinar se um conjunto e aberto, e/oufechado.

Definicoes 1.1. Seja(

X,T)

um espaco topologico e A ⊂ X

1. x ∈ X e um ponto interior a A se existe U vizinhanca de x tal que:

x ∈ U ⊂ A.

O conjunto de todos os pontos interiores a A e denotado por:◦

A ou Int(A).

2. x ∈ X e um ponto exterior a A se e interior a Ac.

O conjunto de todos os pontos exteriores a A e denotado por: ExtA.

3. x ∈ X e um ponto aderente a A se para toda vizinhanca U de x temos:

A ∩ U 6= ∅.

O conjunto de todos os pontos aderentes a A e denotado por: A. O conjunto A e ditofecho de A.

4. x ∈ X e um ponto de acumulacao de A se para toda vizinhanca U de x temos:

(

A− {x})

∩ U 6= ∅.

O conjunto de todos os pontos de acumulacao a A e denotado por: A′.

5. x ∈ X e um ponto da fronteira de A se e aderente a A e a Ac.

O conjunto de todos os pontos da fronteira de A e denotado por: ∂A.

6. x ∈ X e um ponto isolado de A se {x} e vizinhanca de x

7. Um conjunto onde todos os pontos sao isolados e dito discreto.

8. A ⊂ X e dito denso em X se:A = X.

Se A ⊂ X , entao X =◦

A ∪ ∂ A ∪ ExtA, onde as unioes sao disjuntas. ∅ = ∅ e X = X .◦

A ⊂ A e, por definicao, e um conjunto aberto.

x /∈ A se, e somente se existe uma vizinhanca U de x tal que U ∩A = ∅, isto e:

x /∈ A ⇔ x ∈◦

(

Ac)

.

Logo,(

A)c

=◦

(

Ac)

= ExtA e como X =◦

A ∪ ∂A ∪ExtA, onde as unioes sao disjuntas,temos:

A =◦

A ∪ ∂A,

1.7. PONTOS E CONJUNTOS NOTAVEIS 19

sendo a uniao disjunta.

O conjunto A e fechado. De fato,(

A)c

=◦

(

Ac)

que e aberto.

Para todo A ⊂ X , temos A ⊂ A. De fato, se x /∈ A, entao existe U vizinhanca de x talque U ∩A = ∅, isto e x ∈ U ⊂ Ac; logo x /∈ A.

Para todo A, B ⊂ X , temos: se A ⊂ B, entao A ⊂ B. De fato, se x /∈ B, entao existe Uvizinhanca de x tal que U ∩ B = ∅, isto e x ∈ U ⊂ Bc; como Bc ⊂ Ac, entao x /∈ A ⊂ A.

∂ A e um conjunto fechado, pois(

∂A)c

=◦

A ∪◦

Ac que e aberto. ∂(

∂ A)

= ∅.

Exemplo 1.9.

[1] Sejam R com a topologia usual e A = (0, 1) ∪ {2}; entao:◦

A = (0, 1),ExtA = (−∞, 0]∪[1, 2)∪(2,+∞),A = [0, 1]∪{2},A′ = [0, 1] e ∂ A = {0}∪{1}.

[2] Sejam N, Z e Q ⊂ R e R com a topologia usual; entao:

N e Z sao discretos.◦

Z = ∅ e Z = ∂ Z = Z.◦

Q = ∅, pois nenhum intervalo aberto pode serformado apenas por racionais. ∂Q = R, pois todo intervalo aberto contem racionais eirracionais. Q = R, isto e, Q e denso em R. De fato, suponha que Q 6= R, entao existex ∈ R − Q. Como R − Q e aberto, existe (a, b) tal que:

x ∈ (a, b) ⊂ R − Q.

Por outro lado, todo intervalo contem numeros racionais, logo existe q ∈ Q tal queq ∈ (a, b) ⊂ R − Q; logo q ∈ R − Q, o que e uma contradicao. Por outro lado Q ′ = R.

Proposicao 1.3. Sejam(

X,T)

e A ⊂ X :

1. A e fechado se, e somente se A = A.

2. A = A.

Prova :

1. Suponha A fechado; entao Ac e aberto. Se x /∈ A, entao x ∈ Ac, logo existe Uvizinhanca de x tal que x ∈ U ⊂ Ac; entao U ∩ A = ∅ isto e x /∈ A; logo A ⊂ A.

A = A ⇔ se x /∈ A, entao existe uma vizinhanca U de x tal que U ∩ A = ∅ ⇔x ∈ U ⊂ Ac isto e Ac e aberto ⇔ A e fechado.

2. Como A e fechado, pelo ıtem anterior A = A.

Teorema 1.3. Seja(

X,T)

e A ⊂ X ; entao A e o menor conjunto fechado que contem A, istoe:

A =⋂

{

F /A ⊂ F e F e fechado}

.


Prova :(⊂) Se x /∈ ⋂

{

F}

, entao x ∈(⋂

{

F})c

=⋃

{

F c}

que e aberto; logo, existe pelomenos um F c tal que x ∈ F c; como F c e aberto, existe U vizinhanca de x tal quex ∈ U ⊂ F c ⊂ Ac; entao U ∩A = ∅; logo x /∈ A.

(⊃) A e fechado e A ⊂ A; entao⋂

{

F} ⊂ A .

Exemplo 1.10.

[1] Seja(

X,Tsier

)

; entao {b} = {b} e {a} = X .

[2] Seja(

X,T)

onde T e a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de X saofechados, o unico conjunto denso em X e X .

[3] Seja X = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia:T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.

Pelo teorema temos que:

{b} = {b, e}, {a, c} = X e {b, d} = {b, c, d, e}.Logo, o menor fechado que contem {b} e {b, e}. Note que {a, c} e denso em X .

Teorema 1.4. Sejam(

X,T)

e A ⊂ X ; entao◦

A e o maior conjunto aberto contido em A, isto e:

◦

A =⋃

{

U /U ⊂ A e U e aberto}

.

Prova :

(⊂)◦

A e aberto e◦

A ⊂ A; entao◦

A ⊂ ⋃{

U}

.

(⊃) Seja x ∈ ⋃{

U}

, entao existe pelo menos um U tal que x ∈ U ⊂ A, isto e x ∈◦

A.


X,T)

e A ⊂ X .

1. A = A ∪ A′. Em particular, A e fechado se, e somente se A′ ⊂ A.

2.◦

A =(

Ac)c. Em particular, A e aberto se, e somente se A =

◦

A.

Prova :

1. Por definicao A′ ⊂ A; por outro lado A ⊂ A, entao A ∪ A′ ⊂ A. Reciprocamente,seja x ∈ A. Se x ∈ A esta provado. Se x /∈ A, entao toda vizinhanca U de x e talque

(

U − {x})

∩ A 6= ∅, isto e, x ∈ A′.

2. Se U ⊂ A, entao Ac ⊂ U c e os conjuntos abertos U ⊂ A sao exatamente os com-plementares dos conjuntos F fechados tais que Ac ⊂ F . Pelo teorema anterior:

◦

A =⋃

{

U /U ⊂ A e U e aberto}

=⋃

{

F c /Ac ⊂ F e F e fechado}

=

(

⋂

{

F c /Ac ⊂ F e F e fechado}

)c

=(

Ac)c.

1.7. PONTOS E CONJUNTOS NOTAVEIS 21

Exemplo 1.11.

[1] Seja(

X,Tsier

)

; entao:

◦

{b} = ∅,◦

{a} = {a}. {b}′ = ∅ e {a}′ = {b}. ∂ {b} = ∂ {a} = b.

[2] Seja(

X,Tind

)

; entao:

Para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que◦

A = ∅. Para todo A ⊂ X nao vazio, A = X .Se A tem mais de um elemento, temos A′ = X e {x}′ = {x}c e ∂ A = X .

[3] Seja(

X,Tdis

)

; entao:

Para todo A ⊂ X temos que:◦

A = A, A = A, A′ = ∅ e ∂ A = ∅[4] Seja

(

X,Tcof

)

; entao:

Para todo A /∈ Tcof temos que◦

A = ∅. Se A e infinito, A = X . Para todo A ⊂ X tal queA e infinito, A′ = X e se A e finito, A′ = ∅. Para todo A ⊂ X aberto tal queX e infinito,∂ A = X − A; caso contrario ∂ A = X .

[5] Considere(

R,Tcof

)

e A = [0, 1]. Entao◦

A = ∅ e A = A′ = ∂ A = R.

[7] Seja(

X,Tind

)

; para todo A ⊂ X tal que A 6= X , temos que ∂ A = X .

[8] Seja(

X,Tdis

)

; para todo A ⊂ X temos que ∂ A = ∅.

Proposicao 1.5. Sao equivalentes as seguintes condicoes:

1. A e denso em X .

2. Se F e fechado e A ⊂ F , entao F = X .

3. Todo aberto basico nao vazio de X contem elementos de A.

4.◦

Ac = ∅.

Prova :

1) ⇒ 2) Se A ⊂ F , entao X = A ⊂ F = F , logo F = X .

2) ⇒ 3) Seja U aberto basico nao vazio tal que U ∩ A = ∅; entao A ⊂ U c 6= X , o que euma contradicao pois U c e fechado.

3) ⇒ 4) Suponha que IntAc 6= ∅; como IntAc e aberto, entao existe U aberto basiconao vazio tal que U ⊂ IntAc; como IntAc ⊂ Ac, U ⊂ Ac e U ∩ A = ∅; logo U naocontem pontos de A.

4) ⇒ 1)(

A)c

=

(

(

Ac)c

)c

=◦

Ac = ∅. Logo, A = X .

Seja Y subespaco de X e denotemos por AY o conjunto A como subconjunto de Y ;entao:

1.◦

AY =◦

A ∩ Y .


2. AY = A ∩ Y .

3. A′Y = A′ ∩ Y .

Exemplo 1.12.

Seja R com a topologia usual e Y = [0, 1) ∪ (1, 3) ∪ {5} com a topologia relativa. Entao:(1, 3) = (1, 3)∩Y ; por outro lado, (1, 3) = [1, 3]∩Y ; logo (1, 3) e aberto e fechado em Y .Logo,

◦

(1, 3)Y = (1, 3)Y = (1, 3).

[0, 1) = [0, 1] ∩ Y ; logo [0, 1) e fechado em Y . Logo,

◦

[0, 1)Y = (0, 1).

1.8 Topologia Metrica

1.8.1 Espacos Metricos

Uma importante classe de exemplos de espacos topologicos e a dos espacos metricos.

SejaM 6= ∅.

Definicao 1.8. Umametrica ou distancia sobreM e uma funcao:

d : M ×M −→ R,

tal que, para todo x, y, z ∈M , tem-se:

1. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se, e somente se x = y.

2. d(x, y) = d(y, x).

3. Desigualdade triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

O par (M, d) e chamado espaco metrico.

Exemplo 1.13.

[1] (M, d) e um espaco metrico com a metrica:

d(x, y) =

{

0 se x 6= y

1 se x = y.

d e dita metrica discreta.

[3] (R, d) e uma espaco metrico com d(x, y) = |x − y|, onde | | e o valor absoluto emR.

[3] Rn como espaco metrico. Em Rn podemos definir as seguintes metricas:

1.8. TOPOLOGIA METRICA 23

d1(x, y) =

√

√

√

√

n∑

i=1

(xi − yi)2,

d2(x, y) =n

∑

i=1

|xi − yi|,

d3(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|,

onde x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. As provas que d1 e d2 sao metricassao imediatas. Por outro lado, a desigualdade triangular para d3 segue de:

|xi − zi| ≤ |xi − yi| + |yi − zi| ≤ d3(x, y) + d3(y, z).

[4] Seja B(M,R) o conjunto de todas as funcoes limitadas f : M −→ R. Como a somae a diferenca de funcoes limitadas e limitada, entao:

d(f, g) = supx∈M

|f(x) − g(x)|,

e umametrica emB(M,R). A unica propriedade nao trivial e a desiguldade triangular.Seja x ∈ M , utilizando a desigualdade triangular em (R, | |). Para todo x ∈ M temos:|f(x) − h(x)| ≤ |f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|, entao:

|f(x) − h(x)| ≤ |f(x) − g(x)| + |g(x) − h(x)|≤ sup

x∈M|f(x) − g(x)| + sup

x∈M|g(x) − ghx)|

≤ d(f, g) + d(g, h).

Considerando o supremo em ambos os lados na ultima desigualdade, temos que:

d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h).

Pois, o lado direito da desiguldade nao depende de x ∈M .

Definicao 1.9. Sejam (M1, d1) e (M2, d2) espacos mericos. f : M1 −→ M2 e uma isometria see bijetiva e:

d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),

para todo x, y ∈M1.

Exemplo 1.14.

[1] Seja R com a distancia usual e f : R −→ R definida por f(x) = x/2. A funcao f ebijetiva, por outro lado:

|f(x) − f(y)| = 1/2 |x− y|.Logo, nao e uma isometria.

[2] Sejam (Rn, d1), a ∈ Rn e Ta : Rn −→ Rn definida por Ta(v) = v + a, entao f e umaisometria.


De fato, Ta e claramente bijetiva, e:

d1(Ta(x), Ta(y)) = d1(v + a, w + a)

=

√

√

√

√

n∑

i=1

((xi − ai) − (yi − ai))2

=

√

√

√

√

n∑

i=1

(xi − yi)2

= d1(x, y).

Se mudamos para as outras metricas de Rn, f e isometria?

1.8.2 Conjuntos Abertos e Fechados em Espacos Metricos

Seja (M, d) um espaco metrico e r ∈ R tal que r > 0.

Definicao 1.10. Uma bola aberta emM de centro x0 e raio r e denotada e definida por:

B(x0, r) = {x ∈M /d(x, x0) < r}.

Definimos B(x, 0) = ∅. Se r ≤ s, entao B(x0, r) ⊂ B(x0, s).

Exemplo 1.15.

[1] SejaM = R, com d = | |; entao:B(x0, r) = (x0 − r, x0 + r);

isto e, as bolas abertas sao os intervalos abertos.

[2] SejaM = R, com d1; entao:

B((x0, y0), r) = {(x, y) / (x− x0)2 + (y − y0)

2 < r2};isto e, um disco aberto centrado em (x0, y0).

Proposicao 1.6. As bolas abertas num espaco metrico formam uma base para uma topologiano espaco metrico.

Prova : 1. Claramente: M =⋃

x∈M

B(x, 1).

2. Seja z ∈ B(x, rx) ∩ B(y, ry); seja r = min{rx − d(x, z), ry − d(y, z)}; entaoB(z, r) ⊂ B(x, rx) ∩ B(y, ry).

De fato, r > 0 e se w ∈ B(z, r); temos:

d(w, x) ≤ d(w, z) + d(z, x) < r + d(z, x) ≤ rx − d(z, x) + d(z, x) = rx;

logo, w ∈ B(x, rx). De forma analoga, w ∈ B(y, ry).

A topologia gerada por esta base e chamada topologia metrica gerada pela distanciad, e sera denotada por Td.

1.8. TOPOLOGIA METRICA 25

Definicao 1.11. O espaco topologico(

X,T)

e ditometrizavel se T e uma topologia metrica.

Exemplo 1.16.

[1] Seja(

M, d)

, onde d e a metrica discreta; entao B(x, 1/2) = {x}; logo Td e a topologiadiscreta.

[2] Se X possui mais de 2 pontos,(

X,Tind

)

nao e metrizavel.

Proposicao 1.7. Sejam (M, d) um espaco metrico, y0 ∈ M e ∅ 6= A ⊂ M . Definamos adistancia entre o ponto y0 e o conjunto A por:

d(y0, A) = inf{d(y0, x) / x ∈ A}.

Entao, d(y, A) = 0 se, e somente se y ∈ A. Logo,

A = {y / d(y, A) = 0}.

Prova : Se y ∈ A se, e somente se existe B(y, r) tal que B(y, r) ∩ A 6= ∅ se, e somente seexiste ar ∈ A tal que d(y, ar) < r se, e somente se existe d(y, A) = 0.

1.8.3 Espacos Vetoriais Normados

Seja V um R-espaco vetorial.

Definicao 1.12. Uma norma sobre V e uma funcao:

‖ ‖ : V × V −→ R,

tal que, para todo x, y ∈ V e λ ∈ R, tem-se:

1. Se x 6= 0, entao ‖x‖ 6= 0.

2. ‖λ x‖ = |λ| ‖x‖.

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.

O par (E, ‖ ‖) e chamado espaco vetorial normado.


Exemplo 1.17.

[1] (Rn, ‖ ‖i) e um espaco vetorial normado com as seguintes normas:

‖x‖1 =

√

√

√

√

n∑

i=1

x2i ,

‖x‖2 =

n∑

i=1

|xi|,

‖x‖3 = max1≤i≤n

|xi|,

onde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

[2] B(M,R) e um espaco vetorial, sendo:

‖f‖ = supx∈M

|f(x)|,

uma norma em B(M,R).

Seja (E, ‖ ‖) um espaco vetorial normado. Definindo:

d∗(x, y) = ‖x− y‖,

temos que (E, d∗) e um espaco metrico. d∗ e chamada metrica proveniente da norma‖ ‖.

1.8.4 Espacos Vetoriais com Produto Interno

Seja V um R-espaco vetorial.

Definicao 1.13. Um produto interno sobre V e uma funcao:

< >: V × V −→ R,

tal que, para todo x, y, z ∈ V e λ ∈ R, tem-se:

1. Se x 6= 0, entao < x, x >> 0.

2. < λx, y >= λ < x, y >.

3. < x, y >=< y, x >.

4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >.

Seja (E,< >) um espaco vetorial com produto interno. Definindo:

‖x‖∗ =√< x, x >,

temos que (E, ‖ ‖∗)) e um espaco vetorial normado. ‖ ‖∗ e chamada norma prove-niente do produto interno< >. Nem toda norma num espaco vetorial provem de umproduto interno.

1.9. TOPOLOGIA DE ZARISKI 27

1.9 Topologia de Zariski

A topologia de Zariski e fundamental para o estudo de diferentes areas da Algebra,como por exemplo, Algebra Comutativa e Geometria Algebrica.

Seja K = R ou C. Consideremos a famılia dos polinomios de n-variaveis em K. Isto e:

{fi / fi ∈ K[x1, x2, , . . . , xn], i ∈ I}.

Seja:Z(fi) = {x ∈ Kn / fi(x) = 0, i ∈ I}.

Exemplo 1.18.

Se f(x, y) = x2 + y2 − 1, entao Z(f) = S1.

Note que Z(cte) = ∅ e Z(0) = K.

Sejam Z(fi) e Z(gj). Denotemos hij = fi gj ∈ K[x1, x2, , . . . , xn] tal que i ∈ I e j ∈ J .Afirmamos que Z(fi) ∪ Z(gj) = Z(fi gj). De fato, se hij(x) = 0 para todo i ∈ I e j ∈ J ,entao:

0 = hij(x) =(

fi gj

)

(x) = fi(x) gj(x)

para todo i ∈ I e j ∈ J ; logo fi(x) = 0 para todo i ∈ I ou gj(x) = 0 para todo j ∈ J .

Denotemos por D(fi) =(

Z(fi))ce B = {D(fi) / i ∈ I}. A famılia B forma uma base

para uma topologia em Kn.

Definicao 1.14. A topologia que geraB em Kn e chamada de Zariski.

Os Z(fi) sao os fechados na topologia de Zariski. Em R, a topologia de Zariski e a to-pologia cofinita. De fato, todo subconjunto finito em R e conjunto solucao para algumpolinomio de uma variavel real.

Por exemplo, se R = {r1, r2, . . . , rn}, entao:

f(x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rn)

e um polinomio que tem como conjunto solucao R. Por outro lado o conjunto desolucoes de um polinomio de uma variavel de grau n possui no maximo n elemen-tos.

Se n > 1 a topologia de Zariski nao e a cofinita.

Por exemplo, a reta y = 1 e solucao do polinomio f(x, y) = x−1 que nao e um conjuntofinito em R2.

1.9.1 Topologia de Zariski em Aneis

Seja A um anel e denotemos por Spec(A) o conjunto de todos os ideais primos de A.Consideremos a seguinte famılia de subconjuntos:

V (I) = {p / p ∈ Spec(A), I ⊂ p},

onde I e um ideal de A.


1. V (0) = Spec(A) e V (A) = ∅. Por outro lado:

V (I) ∪ V (J) = V (IJ)

⋂

α∈Γ

V (Iα) = V(

∑

α∈Γ

Iα)

2. Definimos sobre Spec(A) a topologia de Zariski, como a topologia que tem comoconjuntos fechados os V (I).

3. Se denotamos por D(I) = Spec(A) − V (I) os abertos da topologia de Zariski, epossıvel provar que se I e um ideal principal, a base para a topologia de Zariskie:

B = {D(I) / I e um ideal principal}.

1.10. EXERCICIOS 29

1.10 Exercıcios

1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto X = {a, b, c}?

2. Verifique que N junto a famılia:

Tn = {∅, N, An / n ∈ N},

onde:An = {1, 2, 3, . . . , n}

e uma topologia em N.

3. Seja(

X,T)

. Se para todo x ∈ X , {x} ∈ T, verifique que T = Tdis.

4. Seja(

X,T)

e Y = X ∪ {a}, a /∈ X . Defina:

T(Y ) = {U ∪ {a} /U ∈ T}.(

Y,T(Y ))

e um espaco topologico?

5. Seja X com a topologia cofinita. Verifique que os fechados de X sao X , ∅ e ossubconjuntos finitos deX .

6. Ache exemplo de um espaco topologico em que os conjuntos abertos sao tambemconjuntos fechados. Nao considere a topologia discreta ou a indiscreta.

7. Sejam T1 e T2 duas topologias sobre o conjunto nao vazio X . Considere:

(a) T1 ∩ T2 a famılia formada por abertos comuns a ambas as topologias.

(b) T1 ∪ T2 a famılia formada pela reuniao dos abertos a ambas as topologias.

As famılias definidas sao topologias sobre X? No caso negativo, ache um contra-exemplo.

8. Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b. Verifique que:

B = {[a, b)}

gera a topologia chamada do limite inferior em R e e denotada por Tlinf .

9. Seja X = R e a, b ∈ Q tal que a < b. Entao:

B = {(a, b)}

gera a topologia usual de R?

10. Sejam(

X,T1

)

e(

Y,T2

)

espacos topologicos. Verifique que:

B = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

e uma base para uma topologia deX × Y . Esta topologia e chamada produto.


11. Em particular, sejam a, b, c, d ∈ R e B = {(a, b) × (c, d) / a < b, c < d}. VerifiquequeB e uma base para a topologia usual em R2.

12. Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. Verifique que nao existe nenhuma topologia em X quetenha como base:

B = {{1, 2}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}}.

13. Seja X = {a, b, c, d, e, f} com a seguinte topologia:

T = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}.

Verifique que:B = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}

e uma base para T.

14. Verifique queB = {[a, b] / a, b ∈ R} e uma base para a topologia discreta em R.

15. Seja(

X,T)

e A ⊂ X . Verifique que:

(a) ∂ A ⊂ A, se e somente se A e fechado.

(b) ∂ A = ∅, se e somente se A e aberto e fechado.(c) ∂ A ∩ A = ∅, se e somente se A e aberto.

16. Seja p ∈ X e defina a seguinte topologia em X :

T = {∅, A ∈ P(X) / p ∈ A}.

Verifique que T e uma topologia e que {p} e denso em X .

17. Verifique se sao metricas:

(a) d1(x, y) = (x− y)2, x, y ∈ R.

(b) d2(x, y) = |x3 − y3|, x, y ∈ R.

(c) d3(x, y) =|x− y|

1 + |x− y| , x, y ∈ R.

Nos casos afirmativos, descreva os abertos.

18. Verifique que em Rn, temos: d3 ≤ d1 ≤ d2 ≤ n d3.

19. Seja C0(

[a, b])

o conjunto das funcoes contınuas f : [a, b] −→ R. Defina:

d1(f, g) =

∫ b

a

|f(x) − g(x)| dx

d2(f, g) =

√

∫ b

a

|f(x) − g(x)|2 dx

Verifique que d1 e d2 sao metricas em C0(

[a, b])

.

1.10. EXERCICIOS 31

20. Determine a topologia definida pela metrica discreta.

21. Determine, geometricamente, as bolas abertas em Rn com as metricas definidasanteriormente.

22. Seja (M, d) um espaco metrico:

(a) Seja r > 0 e:B[x0, r] = {x ∈M /d(x, x0) ≤ r}.

Verifique que B[x0, r] e um conjunto fechado.

(b) Seja F ⊂M finito. Verifique que F e fechado.

23. Seja (M, d) um espaco metrico. Defina:

d1 = k d, d2 = d+ k e d3 = d/k,

onde k ∈ R − {0}.

(a) Verifique se d1, d2 e d3 sao metricas.

(b) Verifique se d1, d2 e d3 geram a mesma topologia.

24. Seja (M, d) um espaco metrico. Defina:

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

(a) Verifique d1 e uma metrica.

(b) Verifique que d1 e d geram a mesma topologia.

25. Se f e uma isometria, entao f−1 e uma isometria?

26. Sejam(

M, d1

)

e(

N, d2

)

espacos metricos. Definamos emM ×N :

d((x1, y1), (x2, y2)) = d1(x1, x2) + d2(y1, y2),

onde (x1, y1), (x2, y2) ∈M ×N . Verifique que:

27. d e uma metrica emM ×N . Esta metrica e ditametrica produto.

28. Se B1(x, r) e uma bola aberta emM e B2(y, s) e uma bola aberta em N , entao:

B = {B1(x, r) × B2(y, s)},

e uma base para uma topologia emM ×N .

29. Sejam x =(

xn

)

n∈Numa sequencia em R e:

(a) lp = {x /∞

∑

n=1

|xn|p < +∞}, 1 ≤ p < +∞.

(b) l∞ = {x / sup{xn / n ∈ N} < +∞}.


Definamos em lp e em l∞, respectivamente:

‖x‖p =

[ ∞∑

n=1

|xn|p]1/p

‖x‖∞ = supn∈N

{|xn|}.

Verifique que(

lp, ‖ ‖p

)

e(

l∞, ‖ ‖∞)

sao espacos vetoriais normados.

30. Sejam(

E, ‖ ‖1

)

e(

F, ‖ ‖2

)

espacos vetoriais normados. Definamos em E × F :

‖(u, v)‖ = ‖u‖1 + ‖v‖2,

onde (u, v) ∈ E×F . Verifique que ‖ ‖ e uma norma em E×F . Esta norma e ditanorma produto.

31. Sejam x =(

xn

)

n∈Numa sequencia em R e considere lp e l∞ como no exercıcio

[29]:

32. Verifique se(

lp, ‖ ‖p

)

e(

l∞, ‖ ‖∞)

sao espacos vetoriais com produto interno.

33. Sejam V1 e V2 espacos vetoriais com produtos internos < , >1 e < , >2, respecti-vamente. Definamos em V1 × V2:

< (u1, v1), (u2, v2) >=< u1, u2 >1 + < v1, v2 >2,

onde (u1, v1), (u2, v2) ∈ V1 × V2. Verifique que < , > e um produto interno emV1 × V2.

Capıtulo 2

FUNCOES EM ESPACOSTOPOLOGICOS

2.1 Funcoes Contınuas

A continuidade de uma funcao e um dos conceitos centrais em quase todas as areas daMatematica. E e o primeiro passo para tentar distinguir objetos diferentes em Topolo-gia.

Sejam(

X,T1

)

e(

Y,T2

)

espacos topologicos.

Definicao 2.1. A funcao f : X −→ Y e contınua se para todo V ∈ T2 temos que:

f−1(

V)

∈ T1.

f e contınua se a imagem inversa dos abertos de Y sao abertos em X .Uma funcao contınua nao leva, necessariamente, abertos em abertos. Por exemplo se(

Y,T2

)

e tal que T2 nao e a topologia discreta, ou se Y tem mais de dois elementos e T2

nao e a topologia indiscreta.

Exemplo 2.1.

[1] Toda funcao constante e contınua. De fato, seja f : X −→ Y tal que f(x) = y0 paratodo x ∈ X e V ⊂ Y aberto, entao:

f−1(

V)

=

{

X se y0 ∈ V

∅ se y0 /∈ V.

Em ambos os casos f−1(

V)

e aberto, logo f contınua.

[2] Seja X tal que T1 e T2 sao topologias emX . A funcao identidade:

id :(

X,T1

)

−→(

X,T2

)

e contınua se, e somente se T2 ⊂ T1. De fato, considere X =(

R,Tus

)

e Y =(

R,Tlinf

)

,entao:

id−1(

[a, b))

= [a, b) /∈ Tus.

33

34 CAPITULO 2. FUNCOES EM ESPACOS TOPOLOGICOS

[3] Sejam(

X,T)

e(

Y,Tind

)

. Toda funcao

f : X −→ Y

e contınua.

[4] Sejam(

X,Tdis

)

e(

Y,T)

. Toda funcao

f : X −→ Y

e contınua.

Seja Y ⊂ X . A topologia relativa TY pode ser caracterizada como a menor topologiasobre Y tal que a funcao inclusao:

i : Y −→ X

e contınua. De fato, se U ∈ T, a continuidade de i implica em que i−1(

U)

= U ∩Y deveser aberto em Y ; logo qualquer topologia onde i for contınua deve conter TY .


X,T1

)

,(

Y,T2

)

e(

Z,T3

)


1. Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z sao contınuas, entao:

g ◦ f : X −→ Z

e contınua.

2. Se f : X −→ Y e contınua e A ⊂ X e subespaco topologico, entao:

f |A : A −→ Y

e contınua.

3. Se f : X −→ Y e contınua e f(

X)

⊂ Y e subespaco topologico, entao:

f : X −→ f(

X)

e contınua.

Prova :

1. Segue do seguinte fato:(

g ◦ f)−1

= f−1 ◦ g−1

2. Note que f |A = f ◦ i, onde i : A −→ X e a inclusao; pelo ıtem anterior f |A econtınua.

3. f−1(

V ∩ f(

X))

= f−1(

V)

∩ f−1(

f(

X))

= f−1(

V)

.

Teorema 2.1. Sejam(

X,T1

)

e(

Y,T2

)

espacos topologicos e f : X −→ Y . As seguintescondicoes sao equivalentes:

2.1. FUNCOES CONTINUAS 35

1. f e contınua.

2. Para todo F ⊂ Y fechado, f−1(

F)

e fechado em X .

3. A imagem inversa por f de qualquer elemento da base (subbase) de Y e aberto emX (naonecessariamente um aberto basico ou subbasico de X).

4. Para todo x ∈ X e para toda W vizinhanca de f(x) em Y , existe U vizinhanca de x emX tal que:

f(

U)

⊂ W.

5. f(

A)

⊂ f(

A)

, para todo A ⊂ X .

6. f−1(

B)

⊂ f−1(

B)

, para todo B ⊂ Y .

Prova :

1) ⇔ 2) De fato, f−1(

Y − A)

= X − f−1(

A)

, para todo A ⊂ Y .

1) ⇔ 3) Seja B uma base da topologia de Y e B ∈ B; como f e contınua, f−1(

B)

eaberto em X . A prova da recıproca segue de que todo aberto V ∈ T2 pode ser escritocomo:

V =⋃

α∈Γ

Bα,

e que:

f−1(

⋃

α∈Γ

Bα

)

=⋃

α∈Γ

f−1(

Bα

)

.

1) ⇒ 4) Como f contınua e W e aberto (e vizinhanca de f(x)), consideramos o con-junto U = f−1

(

W)

que e vizinhanca de x e:

f(

U)

⊂ W.

4) ⇒ 5) Seja A ⊂ X e x ∈ A; provaremos que f(x) ∈ f(

A)

. Denotemos por Ux a

vizinhanca de x tal que f(

Ux

)

⊂ W , onde W e vizinhanca de f(x). Se x ∈ A, entaoUx ∩A 6= ∅; logo:

∅ 6= f(

Ux ∩ A)

⊂ f(

Ux

)

∩ f(

A)

⊂W ∩ f(

A)

;

entao f(x) ∈ f(

A)

.

5) ⇒ 6) Seja A = f−1(

B)

; entao:

f(

A)

⊂ f(

A)

= f(

f−1(

B))

= B ∩ f(

X)

⊂ B.

Logo, A ⊂ f−1(

B)

6) ⇒ 2) Seja F ⊂ Y fechado, entao:

f−1(

F)

⊂ f 1−(

F)

= f−1(

F)

.

Logo, f−1(

F)

= f−1(

F)

e f−1(

F)

e fechado.

Pelo teorema, basta utilizar os abertos basicos da topologia para estudar a continui-dade de uma funcao. A funcao f e dita contınua no ponto x0 ∈ X se o item [4] doteorema anterior vale para x0.


Exemplo 2.2.

Seja R com topologia usual. Verifique que f(x) = x2 e contınua.

Pela propiedade anterior, basta provar que f−1(

(a, b))

e aberto.

Temos tres casos:

1. Se 0 < a < b, entao:

f−1(

(a, b))

= (−√b,−

√a) ∪ (

√a,√b).

2. Se a < 0 < b, entao:

f−1(

(a, b))

= (−√b,√b).

3. Se a < b < 0, entao:

f−1(

(a, b))

= ∅.

4. Nos tres casos, os conjuntos f−1(

(a, b))

sao abertos; logo f e contınua.

O seguinte corolario e fundamental em diversas areas e e conhecido como teorema decolagem.

Corolario 2.1. Seja(

X,T)

tal que X = A ∪ B, onde A e B sao conjuntos fechados (abertos)em X . Se f : A −→ Y e g : B −→ Y sao funcoes contınuas tais que f(x) = g(x) para todox ∈ A ∩ B, entao a funcao h : X −→ Y definida por:

h(x) =

{

f(x) se x ∈ A

g(x) se x ∈ B

e contınua.

Prova : Seja F ⊂ Y fechado; entao:

h−1(

F)

= h−1(

F ) ∩(

A ∪B)

=(

f−1(

F)

∩ A)

∪(

g−1(

F)

∩B)

= f−1(

F)

∪ g−1(

F)

.

Como f−1(

F)

e g−1(

F)

sao fechados, entao h contınua.

Exemplo 2.3.

Seja R com a topologia usual e

f(x) =

{

x se 0 ≤ x ≤ 1

2 − x se 1 ≤ x ≥ 2.

Logo, f e contınua.

2.2. CONTINUIDADE EM ESPACOS METRICOS 37


X,T)

. Entao f : X −→ R e contınua se, e somente se para todo b ∈ Rambos os conjuntos:

{x / f(x) > b} e {x / f(x) < b}sao abertos.

Prova : Seja(

R,Tus

)

. Consideramos (b,+∞) e (−∞, b) elementos da subbase da topo-logia euclidiana; logo:

f−1(

(b,+∞))

= {x / f(x) > b}f−1

(

(−∞, b))

= {x / f(x) < b}.

Exemplo 2.4.

A condicao que ambos os conjuntos sejam abertos nao pode ser ignorada. Por exemplo,consideremos a funcao caracterıstica de A, χA : R −→ R nao e contınua. De fato,considere A = (0, 1); entao {x / χA(x) < 1} nao e aberto e todos {x / χA(x) > b} saoabertos, Logo, na proposicao ambos os conjuntos devem ser abertos.

2.2 Continuidade em Espacos Metricos

Sejam(

M, d1

)

e(

M, d2

)

espacos metricos; entao:

f : M −→ N

e contınua em x ∈ M , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d1(x, y) < δ implica emque d2(f(x), f(y)) < ε. Isto e:

f(

B1(x, δ))

⊂ B2(f(x), ε).

Proposicao 2.3. Sejam (M, d) um espaco metrico, R com a topologia usual, y0 ∈M e A ⊂M .A funcao f : M −→ R definida por f(y) = d(y, A) e contınua. Veja a proposicao 1.7.

Prova : Sejam x, y ∈M ; entao, para cada a ∈ A temos d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), logo:

d(x,A) = inf{d(x, a) / a ∈ A} ≤ d(x, y) + inf{d(y, a) / a ∈ A} = d(x, y) + d(y, A).

Entao d(x,A) − d(y, A) ≤ d(x, y). Analogamente, mudando x por y e vice-versa, obte-mos:

|d(x,A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).

Sejam(

V, ‖ ‖1

)

e(

W, ‖ ‖2

)

espacos vetoriais normados de dimensao finita, toda aplica-cao linear f : V −→W e contınua.

Sejam(

M, d1

)

e(

M, d2

)

espacos metricos; entao:

f : M −→ N

e uniformemente contınua, se para todo x, y ∈ M e ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal qued1(x, y) < δ(ε); implica em d2(f(x), f(y)) < ε.


Uniformemente contınua implica contınua. A reciproca e falsa, basta considerar:

f : (0,+∞) −→ (0,+∞)

definida por f(x) = 1/x e contınua e nao uniformemente contınua. A funcao f(y) =d(y, A) e uniformemente contınua.Sejam

(

V, ‖ ‖1

)

e(

W, ‖ ‖2

)

espacos vetoriais normados de dimensao finita. Toda aplicacaolinear f : V −→W e uniformemente contınua.

2.3 Topologia Inicial

Sejam(

Y,T2

)

, X um conjunto nao vazio e f : X −→ Y uma funcao. E possıvel acharuma topologia para X tal que f seja contınua? Por exemplo se

(

X,Tdis

)

, entao f econtınua.

Seja X um conjunto nao vazio e:

Sf = {f−1(

V)

/ V ∈ T2}.

Sf e uma subbase para uma topologia T(f) sobre X que torna f contınua.

Definicao 2.2. T(f) e dita topologia inicial para f .

2.3.1 Topologia Produto

Sejam(

X,T1

)

,(

Y,T2

)

e X × Y . Denotemos por:

pr1 : X × Y −→ X

pr2 : X × Y −→ Y

as respectivas projecoes canonicas, onde pr1(x, y) = x e pr2(x, y) = y.

pr−11

(

U)

= U × Y,

pr−12

(

V)

= X × V,

pr−11

(

U)

∩ pr−12

(

V)

= U × V.

Note que:

Spr = {pr−11

(

U)

, pr−12

(

V)

/U ∈ T1, V ∈ T2} e

Bpr = {U × V /U ∈ T1, V ∈ T2}

sao a subbase e a base que geram uma topologia sobre X × Y , que torna as projecoescontınuas. Esta topologia e dita topologia produto.

Esta e a menor topologia com esta propriedade. Isto e, W ⊂ X × Y e aberto se paratodo x ∈W existe U × V , U aberto em X e V aberto em Y tal que x ∈ U × V ⊂W .

2.3. TOPOLOGIA INICIAL 39

U

X x V

U x Y

U x VV

Figura 2.1: Elementos de S eB.

Observacao 2.1.

Todos os argumentos desta secao sao validos para uma quantidade finita de espacostopologicos.

Exemplo 2.5.

[1] Rn = R × R × . . . × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R. Seconsideramos em R a topologia usual, entao a topologia em Rn tambem e a topologiaeuclidiana ou usual.

[2] Sn ⊂ Rn+1 e um conjunto fechado. De fato, seja Rn com topologia usual e conside-remos a funcao f : Rn+1 −→ R definida por:

f(x1, x2, . . . , xn, xn+1) = x21 + x2

2 + . . .+ x2n + x2

n+1 − 1.

f e contınua e Sn = f−1(

{0})

; logo, Sn e fechado.

[3] O cilindro S1 × R tem a topologia produto induzida pela topologia de R3.

4. Seja S1 com a topologia induzida deR2; entao T 2 = S1×S1 com a topologia produto,e dito toro.

Figura 2.2: O toro T 2 = S1 × S1


X,T1

)

,(

Y,T2

)

,(

Z,T3

)

espacos topologicos,(

Y × Z,Tp

)

espacotopologico produto, f1 : X −→ Y e f2 : X −→ Z e definamos:

f : X −→ Y × Z

por f(x) = (f1(x), f2(x)). Entao, f e contınua se, e somente se f1 e f2 sao contınuas.


Prova : Sejam pr1 : Y × Z −→ Y e pr2 : Y × Z −→ Z as respectivas projecoes. Comofi = pri ◦ f , se f e contınua, entao fi = pri ◦ f sao contınuas (i = 1, 2).

Reciprocamente, se as fi sao contınuas, seja U × V um aberto basico de Y × Z; entao:

f−1(

U × V)

= f−11

(

U)

∩ f−12

(

V)

;

logo, f e contınua.


X,T1

)

,(

Y,T2

)

,(

Z,T3

)

,(

H,T4

)

espacos topologicos,(

X × Y,Tp

)

,(

Z ×H,Tp

)

espacos topologicos produto, f1 : X −→ Z e f2 : Y −→ H . Definamos:

f1 × f2 : X × Y −→ Z ×H

por (f1 × f2)(x, y) = (f1(x), f2(y)). Se f1 e f2 sao contınuas, entao f1 × f2 e contınua.

Prova : Sejam pr1 : X × Y −→ X e pr2 : X × Y −→ Y as respectivas projecoes. Como:

f1 ◦ pr1 : X × Y −→ Z

f2 ◦ pr2 : X × Y −→ H

sao contınuas, entao f1 × f2 e contınua.


X,T1

)

um espaco topologico e(

E, ‖ ‖)

um R-espaco vetorial nor-mado. Como E possui uma estrutura algebrica, dadas f, g : X −→ E podemos definir a novafuncao:

f + g :X −→ E

x −→(

f + g)

(x) = f(x) + g(x).

Se f e g sao contınuas, entao f + g e contınua.

Prova : Sejam h : X −→ E × E tal que h(x) = (f(x), g(x)) e S : E × E −→ E tal queS(v1, v2) = v1 + v2; a funcao S e contınua. Entao f + g = S ◦ h, e contınua.

Proposicao 2.7. Sejam f : X −→ E e α : X −→ R e definamos a nova funcao:

α f :X −→ E

x −→(

α f)(x) = α(x) f(x)).

Se f e α sao contınuas, entao α f e contınua.

Prova : Sejam h : X −→ R × E tal que h(x) = (α(x), f(x)) e m : R × E −→ E tal quem(λ, v) = λ v; a funcaom e contınua. Entao α f = m ◦ h, e contınua.

Observacao 2.2.

A prova de que S e m sao contınuas segue do fato de serem ambas contracoes. Veja[EL2].

2.4. FUNCOES ABERTAS E FECHADAS 41

2.4 Funcoes Abertas e Fechadas

Sejam(

X,T1

)

e(

Y,T2

)


Definicao 2.3. A funcao:f : X −→ Y,

e aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) em X , temos que f(

U)

e aberto (fechado)em Y .

Observamos que se f for aberta, nao necessariamente f e contınua. Veja os seguintesexemplos.

Exemplo 2.6.

[1] A funcao identidade:id :

(

X,T1

)

−→(

X,T2

)

e aberta (fechada) se, e somente se T1 ⊂ T2, mas nao e contınua quando T1 6= T2.

[2] As projecoes de um espaco produto sao abertas.

[3] As projecoes nao sao fechadas. Por exemplo, seja R com a topologia usual e consi-dere as projecoes pri : R2 −→ R, (i = 1, 2) e o conjunto:

H = {(x, y) ∈ R2 / x y = 1}.

Figura 2.3: H e a projecao R − {0}

H e fechado em R2 e pri(H) = R − {0}, que e aberto.[4] Se X = {a, b} com a topologia discreta, entao f : X −→ R definida por f(a) = 0 ef(b) = 1 e contınua, fechada e nao aberta.

Seja f : X −→ Y bijetiva. Entao f e aberta se, e somente se f e fechada. De fato. SejaU ⊂ X aberto; logo U c = F e fechado e

f(F ) = f(X − U) = Y − f(U);

logo, f e fechada.


Proposicao 2.8. Seja f : X −→ Y . Sao equivalentes as condicoes:

1. f e aberta.

2. f(◦

A) ⊂◦

(f(A))

, para todo A ⊂ X .

3. f leva abertos basicos de X em abertos basicos de Y

4. Para todo x ∈ X e toda U ⊂ X vizinhanca de x, existeW ⊂ Y tal que:

f(x) ∈W ⊂ f(U).

Prova :

1) ⇒ 2)◦

A ⊂ A; entao f(◦

A) ⊂ f(A); por outro lado f(◦

A) e aberto e

◦

(f(A))

e o maior

aberto contido em f(A); logo f(◦

A) ⊂◦

(f(A))

.

2) ⇒ 3) Seja U aberto basico deX ;◦

U = U ; entao:

f(U) = f(◦

U) ⊂◦

(f(A))

⊂ f(U);

logo, f(U) e aberto basico.

3) ⇒ 4) Para cada x ∈ X , seja U vizinhanca de x; existe V aberto basico tal quex ∈ V ⊂ U . ConsidereW = f(V ).

4) ⇒ 1) Seja U ⊂ X aberto; para todo y ∈ f(U) existe vizinhanca Wy de y tal queWy ⊂ f(U); logo:

f(U) =⋃

y∈f(U)

Wy;

entao, f e aberta.

Proposicao 2.9. f : X −→ Y e fechada se, e somente se f(A) ⊂ f(A).

Prova : Se f e fechada, entao f(A) e fechado e f(A) ⊂ f(A), logo:

f(A) ⊂ f(A) = f(A).

Reciprocamente, seja F ⊂ X fechado; logo:

f(F ) ⊂ f(F ) ⊂ f(F ) = f(F );

entao, f(F ) = f(F ) e f(F ) e fechado.

2.5. EXERCICIOS 43

2.5 Exercıcios

1. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} com as seguintes topologias:

(a) T1 = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {a}}, respectivamente. Achetodas as funcoes contınuas entre X e Y .

(b) T1 = {∅, X, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}} e T2 = {∅, Y, {b}}, respectivamente. Achetodas as funcoes contınuas entre Y e X .

2. Seja X = {1/n / n ∈ N} ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R.A funcao:

f :X −→(

R,Tus

)

1/n −→ (−1)n n

e contınua?

3. Seja R com a topologia usual, as funcos definidas por:

(a) f(x) =

{

x2 se x ≤ 0

x3 se x ≤ 0

(b) f(x) =

{

x2 + 4 se −4 ≤ x ≤ 0

x− 3 se 0 ≤ x ≤ 4

sao contınuas?

4. Verifique que a funcao f(y) = d(y, A) e uniformemente contınua.

5. Sejam(

X,T1

)

,(

Y,T2

)

e(

Z,T3

)

espacos topologicos. Considere f : X −→ Y ef : Y −→ Z:

(a) Se f e g sao abertas (fechadas), enao g ◦ f e aberta (fechada).

(b) Se g ◦ f e aberta (fechada) e f e contınua e sobrejetiva, entao g e aberta(fechada)?

(c) Se g◦f e aberta (fechada) e g e contınua e injetiva, entao f e aberta (fechada)?

6. Verifique que sao equivalentes:

(a) f e fechada.


(b) Se U ∈ T1, entao {y ∈ Y / f−1(y) ⊂ U} ∈ T2.

(c) Se F ⊂ X e fechado, entao {y ∈ Y / f−1(y) ∩ F 6= ∅} e fechado em Y .

7. Toda funcao f :(

R,Tcof

)

−→(

R,Tus

)

e fechada? Justifique sua resposta.

8. Toda funcao f :(

R,Tcof

)

−→(

R,Tcof

)

e aberta e fechada? Justifique sua res-posta.

9. Sejam X , Y espacos topologicos e f : X −→ Y uma funcao; considere

f(

X)

= {f(x) / x ∈ X} ⊂ Y.

Verifique que f : X −→ Y e contınua se, e somente se f : X −→ f(

X)

e contınua.

10. Sejam R e R2, com a topologia usual. Verifique que f, g : R2 −→ R definidas porf(x, y) = x+ y e g(x, y) = x · y sao contınuas.

11. Se X =⋃

α

Uα, onde Uα ⊂ X abertos. Verifique que f : X −→ Y e contınua se, e

somente se f : Uα −→ Y e contınua para cada α.

Capıtulo 3

HOMEOMORFISMOS

3.1 Introducao

Umdos problemas centrais em Topologia e poder decidir se dois espacos sao diferentesou nao. Por exemplo, nao e trivial dizer sob o ponto de vista da Topologia que umaesfera, se uma esfera e diferente de um toro ou se Rn e diferente de Rm, se n 6= m.

Neste capıtulo comecaremos com os primeiros conceitos que nos permitirao respondera algumas destas questoes.

Sejam X e Y espacos topologicos.

Definicao 3.1. f : X −→ Y e um homeomorfismo se f e bijetiva, contınua e f−1 e contınua.

Se X e Y sao homeomorfos utilizamos a seguinte notacao:

X ∼= Y.

A composta de homeomorfismos e um homeomorfismo. Ser homeomorfo e uma re-lacao de equivalencia na famılia dos espacos topologicos.

Veremos nos proximos paragrafos que os espacos topologicos homeomorfos possuemas mesmas propriedades topologicas. Isto e, se consideramos as classes de equivalen-cia, teremos que espacos homeomorfos sao essencialmente iguais em topologia.

Uma funcao bijetiva e contınua nao e necessariamente um homeomorfismo. Veja oseguinte exemplo.

Exemplo 3.1.

Sejam S1 ⊂ R2 e [0, 2 π) ⊂ R com as respectivas topologias induzidas pelas topologiasusuais. Definamos:

f : [0,2 π) −→ S1

t −→ (cos(t), sen(t)).

f e contınua e bijetiva. Por outro lado,

f−1 : S1 −→ [0, 2 π)

45

46 CAPITULO 3. HOMEOMORFISMOS

e descontınua em p = (1, 0). De fato:

Seja ε = π; para cada n ∈ N, seja tn = 2 π − 1

n∈ [0, 2 π) e zn = f(tn), logo ‖zn − p‖ < 1

n,

pois o arco tn e maior que a corda.

t

zn

n p

Figura 3.1:

Entao f−1(zn) = tn e |f−1(zn)−f−1(p)| = |tn| = 2 π− 1

n> π = ε, para todo n ∈ N. Logo,

f e uma bijecao contınua que nao e um homeomorfismo.

A seguir apresentaremos os primeiros exemplos de homeomorfismos. Alguns detalhesserao deixados para o leitor.

Exemplo 3.2.

[1] Seja R com a topologia usual. Entao, todo intervalo aberto (a, b), com a topologiainduzida pela topologia usual de R, e homeomorfo a R. De fato:

Seja f : (a, b) −→ (−1, 1) definida por:

f(t) =2 t− (b+ a)

b− a,

f e bijetiva, contınua e sua inversa:

f−1(y) =(b− a) y + (a+ b)

2,

tambem e contınua. Logo, (a, b) ∼= (−1, 1). Definamos f : R −→ (−1, 1) por:

f(t) =t

1 + |t| ,

f e bijetiva, contınua e sua inversa:

f−1(y) =y

1 − |y| ,

tambem e contınua. Logo, R ∼= (−1, 1). Pela transitividade do homeomorfismo, temosque:

R ∼= (a, b).

3.1. INTRODUCAO 47

[2] Seja Rn com a topologia usual e H = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn / xn = 0} ⊂ Rn. Entao

H ∼= Rn−1.

Definamos f : H −→ Rn−1 por:

f(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = (x1, x2, . . . , xn−1).

Entao, f e contınua e bijetiva. Definamos f−1 : Rn−1 −→ H por

f−1(x1, x2, . . . , xn−1) = (x1, x2, . . . , xn−1, 0).

Entao, f−1 e contınua. Logo:H ∼= Rn−1.

[3] Seja(

E, ‖ ‖)

um espaco vetorial normado; entao:

As translacoes :

Ta : E −→ E

v −→ v + a

a ∈ E, sao homeomorfismos.

As homotetias:

hλ : E −→ E

v −→ λ v

λ ∈ R − {0}, sao homeomorfismos.Para todo r > 0 e todo v ∈ E:

E ∼= B(v, r).

De fato:

Ta sao bijetivas, contınuas e as inversas T−1a = T−a, que sao contınuas.

hλ sao bijetivas, contınuas e as inversas h−1λ = hλ−1 , que sao contınuas.

Definimos o homeomorfismo Φ : E −→ E por:

Φ(x) =(

Tw ◦ hs/r ◦ T−v

)

(x) = s/r (x− v) + w.

Note queΦ(v) = w eΦ∣

∣

B(v,r)e um homeomorfismo tal queΦ

(

B(v, r))

= B(w, s). Entao:

B(v, r) ∼= B(w, s)

para todo v, w ∈ E e r, s > 0. Agora definamos f : E −→ B(v, 1) por:

f(u) =u

1 + ‖u‖que e contınua e bijetiva com inversa contınua:

f−1(w) =w

1 − ‖w‖ ;


logo, f e um homeomorfismo.

Pela transitividade do homeomorfismo, temos que:

E ∼= B(v, r).

[3] Sejam R2n e Cn ambos com a topologia usual. Entao:

R2n ∼= Cn,

para todo n ≥ 1.

Se z ∈ C, z = x+ i y, onde x, y ∈ R. Por outro lado, Cn = C × C × . . .× C (n-vezes) eR2n = R × R × . . .× R (2n-vezes). Definamos:

f :C × C × . . .× C −→ R × R × . . .× R × R

(z1, z2, . . . , zn) −→ (x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn).

f e, claramente, um homeomorfismo. Logo:

Cn ∼= R2n.

Teorema 3.1. Seja f : X −→ Y bijetiva. Sao equivalentes as condicoes:

1. f homeomorfismo.

2. f e contınua e aberta.

3. f e contınua e fechada.

4. f(A) = f(A), para todo A ⊂ X .

Prova :1) ⇔ 2) f−1 e contınua se, e somente se para todo aberto U ⊂ X :

(

f−1(U))−1

= f(U)

e aberto em Y .

2) ⇔ 3) Segue do paragrafo anterior.

3) ⇔ 4) Como f e contınua, f(A) ⊂ f(A); como f e fechada, f(A) ⊂ f(A).

Corolario 3.1. Seja f : X −→ Y . O grafico de f e definido por:

G(f) = {(x, f(x)) / x ∈ X} ⊂ X × Y.

Considere G(f) com a topologia induzida pela topologia produto. Entao f e contınua se, esomente se X ∼= G(f).

Prova : De fato, definamos h : X −→ X × Y por h(x) = (x, f(x)) que e contınua; entaoh : X −→ G(f) e bijetiva e contınua. Por outro lado, se U ⊂ X e aberto:

h(U) = {(x, f(x)) / x ∈ U} =(

U × Y)

∩G(f),

que um aberto relativo. Reciprocamente, f = pr2 ◦ h.Corolario 3.2. Sejam f : X −→ Y homeomorfismo e A ⊂ X ; entao:

1. A ∼= f(A).

2. X −A ∼= Y − f(A).

3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 49

3.2 Exemplos de Homeomorfismos

[1] Seja A ⊂ R2 com a topologia induzida, definido por:

A = {(x, y) ∈ R2 / 0 < a ≤√

x2 + y2 ≤ b}.

A e um anel; entao:A ∼= S1 × [a, b].

Figura 3.2: O anel A

Definamos f : A −→ S1 × [a, b] e f−1 : S1 × [a, b] −→ A por:

f(x, y) =(

(x

√

x2 + y2,

y√

x2 + y2),

√

x2 + y2)

e f−1((x, y), t) = (t x, t y),

claramente f e f−1 sao bijetivas e contınuas; logo f e um homeomorfismo.

[2] Sejam S1 e o quadrado Q = {(x, y) / max{|x|, |y|} = 1} em R2 com a topologiainduzida pela topologia usual de R2; entao:

S1 ∼= Q.

d cz w

u vba

Figura 3.3: Homeomorfismo entre S1 e Q

Definamos f : S1 −→ Q levando o arco ab de S1 no segmento uv de Q, o arco bc e S1 nosegmento vw de Q, o arco cd e S1 no segmento wz de Q e o arco da e S1 no segmentozu de Q, isto e:

f(x, y) =( x

m,y

m

)

e f−1(x, y) =(x

r,y

r

)

,


onde m = max{|x|, |y|} e r =√

x2 + y2; claramente f e f−1 sao bijetivas e contınuas;logo f e um homeomorfismo.

De forma analoga, temos que:S2 ∼= C,

onde S2 ⊂ R3 e C = {(x, y, z) / max{|x|, |y|, |z|} = 1} e o cubo unitario.

Figura 3.4: Homeomorfismo entre S2 e C

[3] Consideremos Sn ⊂ Rn+1 e o conjunto

E = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 / a21 x

21 + . . . a2

n+1 x2n+1 = 1} ⊂ Rn+1,

onde ai ∈ R−{0}, ambos com topologia induzida pela topologia usual deRn+1. Entao,Sn ∼= E.

E

nS

Figura 3.5: Homeomorfismo radial entre S2 e E

Seja f : Sn −→ E definida por:

f(x1, . . . , xn+1) =(x1

a1, . . . ,

xn+1

an+1

)

.

f e bem definida, bijetiva e contınua. Definamos f−1 : E −→ Sn por:

f−1(x1, . . . , xn+1) =(

a1 x1, . . . , an+1 xn+1

)

.

f−1 e bem definida e contınua. Logo, Sn e homeomorfo a E.

Entao, Sn e E sao topologicamente ”iguais”.


Figura 3.6: Espacos homeomorfos a S2

[4] Consideremos R2 − {(0, 0)} ⊂ R2 com topologia induzida pela topologia usual deR2 e os conjuntos

H = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 = 1}, e S1 × R,

com topologia induzida pela topologia usual de R3. Entao:

R2 − {(0, 0)} ∼= H ∼= S1 × R.

Seja f : R2 − {(0, 0) −→ S1 × R definida por:

f(x, y) =( x√

x2 + y2,

y√

x2 + y2, ln(

√

x2 + y2))

.

f e bem definida, bijetiva e contınua. Definamos f−1 : S1 × R −→ R2 − {(0, 0) por:

f−1(x, y, t) =(

x et, y et)

.

g e bem definida, contınua e inversa de f . Logo:

R2 − {(0, 0)} ∼= S1 × R.

Por outro lado, definamos h : S1 × R −→ H por:

h(x, y, t) =(

x√

1 + t2, y√

1 + t2, t)

.

h e bem definida, bijetiva e contınua. Definamos h−1 : H −→ S1 × R por:

h−1(x, y, z) =( x√

1 + z2,

y√1 + z2

, z)

.

h−1 e bem definida e contınua. Logo:

H ∼= S1 × R.


Figura 3.7: H e S1 × R

[5] Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Conside-remos Rn+1 ∼= Rn × R; entao (x, t) ∈ Sn se, e somente se ‖x‖ = 1 − t2 . Denotemospor:

Sn− = {(x, t) ∈ Sn / t ≤ 0} e Sn

+ = {(x, t) ∈ Sn / 0 ≤ t}.Os conjuntos Sn

− e Sn+ sao ditos hemisferios de S

n. Note que

Sn = Sn− ∪ Sn

+ e Sn− ∩ Sn

+ = E.

O conjunto E e chamado equador de Sn; e claro que:

E ∼= Sn−1.

Isto e, podemos considerar Sn−1 como o equador de Sn.

Figura 3.8: Sn−1 como equador de Sn

Consideremos a projecao:

p : Rn × R −→ Rn

(x, t) −→ x.

Se (x, t) ∈ Sn, ‖(x, t)‖ = 1, logo ‖p(x, t)‖ ≤ 1; entao p(Sn) ⊂ B[x, 1] ⊂ Rn. Via projecao,temos que

Sn−∼= B[x, 1] ∼= Sn

+.


De fato, a funcao:

q : B[x, 1] −→ Sn+

x −→ (x,√

1 − ‖x‖2)

e bem definida, contınua bijetiva e com inversa contınua p∣

∣

Sn

+

.

Figura 3.9: Sn−, B[x, 1] e Sn

+

[6] Projecao Estereografica : Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologiausual de Rn+1 e p = (0, 0, . . . , 0, 1), entao:

Sn − {p} ∼= Rn.

De fato. Seja Φ : Sn − {p} −→ Rn definida da seguinte forma, dado x ∈ Sn − {p};considere a semi-reta px ∈ Rn+1; entao Φ(x) = y, onde y e a intersecao de px com osemi-plano definido por xn+1 = 0, homeomorfo a Rn:

{

px = p+ t (x− p), t ∈ [0, 1]

xn+1 = 0,

logo, 1 + t (xn+1 − 1) = 0 e t =1

1 − xn+1; entao:

Φ(x) =1

1 − xn+1(x1, x2, . . . , xn).


p

x

z

Φ ( )x

Φ ( )z

Figura 3.10: Definicao de Φ

Φ e bijetiva e contınua e:

Φ−1(y) =( 2 y1

1 + ‖y‖2, . . . ,

2 yn

1 + ‖y‖2,‖y‖2 − 1

1 + ‖y‖2

)

;

‖Φ−1(y)‖2 = 1 e Φ−1 e contınua.

3.2.1 Grupos de Matrizes

Da Algebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem n ×m,tendo como entradas elementos de K = R ou C, e um K-espaco vetorial. FixemosK = R; o caso complexo e analogo. Denotemos este espaco vetorial por:

Mn×m

(

R)

.

Seja A = (aij) ∈Mn×m

(

R)

. Definamos:

Ψ : Mn×m

(

R)

−→ Rn×m

A −→ (a11, a12, . . . , a1n, . . . , am1, . . . , amn).

Ψ e claramente um isomorfismo de espacos vetoriais. Via o isomorfismo Ψ, o espacoMn×m

(

R)

herda toda a estrutura linear e topologica de Rn×m. Utilizaremos a metricausual de Rn×m para introduzir uma topologia emMn×m

(

R)

.

De fato, dada A = (aij) ∈Mn×m

(

R)

, definamos:

‖A‖1 = ‖Ψ(A)‖ =

[ n∑

i,j=1

a2ij

]1/2

.

‖ ‖1 e uma norma em Mn×m

(

R)

que o torna um espaco vetorial normado. Logo, um

espaco topologico. Note que ‖A‖1 =√AAt, onde At e a matriz transposta de A. E

imediato que Ψ e bijetiva, contınua com inversa contınua. Logo:

Mn×m

(

R) ∼= Rn×m.


Denotemos porMn

(

R)

= Mn×n

(

R)

; entao:

Mn

(

R) ∼= Rn2

.

Seja R com a topologia usual. A funcao:

det : Mn

(

R)

−→ R,

definida indutivamente:

1. Se n = 1, det((a11)) = a11.

2. Se n > 1, seja A = (aij) e:

det(A) =n

∑

i=1

(−1)i+1 ai1 det(A[i,1]),

onde 1 ≤ i, j ≤ n e A[i,j] e a matriz (n − 1) × (n − 1), que se obtem omitindo ai-esima linha e a j-esima coluna de A.

A funcao det e multilinear, logo contınua.

Seja Gl(n,R) o conjunto das matrizes invertıveis de ordem n. Gl(n,R) e aberto emMn

(

R)

. De fato:Gl(n,R) = det−1({0}c).

Gl(n,R) e tambem um grupo, chamado grupo linear geral real.

Denotemos por O(n) ⊂ Gl(n,R), definido por:

A ∈ O(n) ⇔ AAt = I,

onde I e matriz identidade. Logo, A ∈ O(n) ⇔ det(A) = ±1. O(n) e um grupo,chamado ortogonal.

Denotemos por SO(n) ⊂ O(n) definido por:

A ∈ SO(n) ⇔ det(A) = 1.

SO(n) e um grupo, chamado ortogonal especial. O(n) e SO(n) sao fechados emMn

(

R)

.De fato:

SO(n) = det−1({1})O(n) = det−1({−1, 1}).

O(n) e isomorfo a SO(n) × {−1, 1}. De fato:

f :O(n) −→ SO(n) × {−1, 1}A −→ (A/det(A), det(A)).

f e um isomorfismo de grupos.


Seja K = C, denotemos por C∗ = C − {0}. De forma analoga ao caso real, definimos:

Gl(n,C) = det−1(

C∗)

U(n) = {A ∈ Gl(n,C) /A∗A = I}SU(n) = det−1({1}).

De forma analoga, os gruposGl(n,C), U(n) e SU(n) sao ditos, linear complexo, unitarioe especial unitario, respectivamente.

U(n) e isomorfo a SU(n) × S1. De fato:

f :U(n) −→ SU(n) × S1

A −→ (A/det(A), det(A)).

f e um isomorfismo de grupos.

3.3 Homeomorfismos Locais

Definicao 3.2. Seja f : X −→ Y . f e dito homeomorfismo local se para todo x ∈ X existeU ⊂ X vizinhanca de x tal que f(U) = V e aberto em Y e f : U −→ V e um homeomorfismo.

Sejam U ⊂ X , V ⊂ Y abertos e f : U −→ V um homeomorfismo; entao para todoaberto U ′ ⊂ U , temos que f(U ′) e aberto em V , logo e aberto em Y .

Proposicao 3.1. Se f : X −→ Y e um homeomorfismo local, entao f e aberta.

Prova : Seja A ⊂ X aberto; para cada x ∈ A existe Ux ⊂ A vizinhanca de x tal que:

f : Ux −→ Vx,

onde f(Ux) = Vx. Seja U′x = Ux ∩ A. Pela observacao anterior f(U ′

x) e aberto em Y .Como:

A =⋃

x∈A

U ′x

f(A) = f(

⋃

x∈A

U ′x

)

=⋃

x∈A

f(U ′x)

que e aberto em Y . Logo, f e aberta.

Homeomorfismo implica homeomorfismo local. A recıproca e falsa.

Exemplo 3.3.

Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela topologia usualde C. Entao:

f :R −→ S1

x −→ e2πix

3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 57

e um homeomorfismo local.

1. Consideremos os seguintes subconjuntos do cırculo:

S1 = {(x, y) ∈ S1 / y > 0}, S2 = {(x, y) ∈ S1 / y < 0}S3 = {(x, y) ∈ S1 / x > 0} e S4 = {(x, y) ∈ S1 / x < 0}.

S1

S2

S3

S4

Figura 3.11:

2. Consideremos os seguintes sub-intervalos:

I1 = (n, n+ 1/2), I2 = (n− 1/2, n)

I3 = (n− 1/4, n+ 1/4) e I4 = (n+ 1/4, n+ 3/4), n ∈ Z.

3. Definamos: p1 : S1 −→ (−1, 1) por p1(x, y) = x.

4. A funcao p1 e um homeomorfismo. De fato, p1 possui a seguinte inversa contınua

q1(t) = (t,√

1 − t2).

5. Denotemos por fi = f |Ii. Consideremos:

p1 ◦ f1 : I1 −→ (−1, 1).

Como e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)), entao(

p1◦f1

)

(x) = cos(2πx). Logo, pelas propieda-des basicas de Trigonometria p1 ◦ f1 e um homeomorfismo:

1 1.5

-1

1

Figura 3.12: Homeomorfismo p1 ◦ f


6. Logo, p−11 ◦

(

p1 ◦ f1

)

: I1 −→ S1 e um homeomorfismo e f1 = p−11 ◦

(

p1 ◦ f1

)

e umhomeomorfismo.

7. Definamos: p2 : S2 −→ (−1, 1) por p2(x, y) = y.

8. A funcao p2 e um homeomorfismo. De fato, p2 possui a seguinte inversa contınua

q2(t) = (t,−√

1 − t2).

9. De forma analoga, p−12 ◦

(

p2◦f2

)

: I2 −→ S2 e um homeomorfismo e f2 = p−12 ◦

(

p2◦f2

)

e um homeomorfismo.

10. De forma analoga as anteriores, verifica-se que I3 ∼= S3 e I4 ∼= S4.

11. Como intervalos destes tipos cobrem R. Por exemplo:

R =⋃

n∈Z

(n, n+ 1/2).

Entao, f e um homeomorfismo local.

Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo local nao e home-omorfismo. Em particular, f e uma funcao aberta (nao fechada).

Exemplo 3.4.

De forma totalmente analoga:

f :R2 −→ S1 × R

(x, y) −→ (e2πix, y)

e:

f :R2 −→ S1 × S1

(x, y) −→ (e2πix, e2πiy)

sao homeomorfismos locais.

3.4. EXERCICIOS 59

3.4 Exercıcios

1. Sejam X × {y} e {x} × Y ⊂ X × Y . Verifique que para todo y ∈ Y e para todox ∈ X , temos:

X × {y} ∼= X e {x} × Y ∼= Y.

Em particular, Rn ∼= Rn × {0} ⊂ Rn+1.

2. Verifique que(

R,Tus

)

nao e homeomorfo a(

R,Tcof

)

.

3. Sejam(

M, d1

)

e(

M, d2

)

espacos metricos. Dizemos que as metricas d1 e d2 saoequivalentes se id :

(

M,Td1

)

−→(

M,Td2

)

e um homeomorfismo.

(a) Verifique que seM = Rn, entao d1, d2 e d3 definidas anteriormente sao equi-valentes.

(b) SejaM = R2, d1, d2 e d3. Utilizando as bolas, de uma explicacao geometricada equivalencia destas metricas.

4. Sejam(

M, d1

)

e(

M, d2

)

espacos metricos. Verifique se a seguinte afirmacao everdadeira ou nao

f : M1 −→ M2 e uma isometria se, e somente se f e um homemorfismo.

5. Verifique que as isometrias sao homeomorfismos.

6. N e Q com a topologia induzida pela topologia usual de R, sao homeomorfos?

7. Considerando R2 com a topologia usual, verifique se os seguintes subespacos saohomeomorfos:

(a) [0, 2] e [0, 1] ∪ [2, 3]

(b) {(x, y) ∈ R2 / x, y ≥ 0} e {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 0}.

(c) {(x, y) ∈ R2 / x2 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.

(d) {(x, y) ∈ R2 / x3 = y} e {(x, y) ∈ R2 / y = x2}.

8. Seja(

X,T1

)

um espaco topologico e denotemos por:

G(X) = {f : X −→ X / f e homeomorfismo}.

Verifique que:


(a) G(X) e um grupo com a composta de funcoes,

(b) Se X = [0, 1] e Y = (0, 1) com a topologia induzida pela usual de R, defina:

ψ :G(X) −→ G(Y )

f −→ f∣

∣

Y

ψ e um isomorfismo de grupos? (Note queX e Y nao sao homeomorfos)

9. G(X) e abeliano? Caso a resposta seja negativa, quando e abeliano?

10. Ache um exemplo de um homeomorfismo local que nao seja homeomorfismo.

11. R2 e S2 sao localmente homeomorfos?

Capıtulo 4

TOPOLOGIA QUOCIENTE

4.1 Introducao

A Topologia quociente e a fonte dos mais importantes exemplos de espacos topolo-gicos, que constituirao a parte central desta notas. Neste capıtulo introduziremos osexemplos classicos na Matematica, como a faixa de Moebius, os espacos projetivosreais e complexos e a garrafa de Klein.

Sejam(

X,T)

, Y um conjunto nao vazio e f : X −→ Y sobrejetiva. Definamos em Y aseguinte topologia:

Tf = {V ⊂ Y / f−1(V ) ∈ T}.Claramente, Tf e uma topologia sobre Y .

Definicao 4.1. Tf e dita topologia quociente em Y induzida por f .

Exemplo 4.1.

[1] Seja f : X −→ Y constante. Determinemos Tf .

Considere y0 ∈ Y e suponha que f(x) = y0 para todo x ∈ X . Seja U ∈ Tf . Se y0 ∈ U ,entao f−1(U) = X e se y0 /∈ U , entao f−1(U) = ∅. Isto e, qualquer subconjunto de Y eaberto, logo Tf e a topologia discreta sobre Y .

[2] Seja X = {a, b, c} e R com a topologia usual; definamos f : R −→ X por:

f(x) =

a se x > 0

b se x < 0

c se x = 0.

Entao, Tf = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}} e a topologia quociente emX induzida por f .

Proposicao 4.1. A topologia quociente Tf e a mais fina sobre Y que torna f contınua.

Prova : De fato, sendo TY outra topologia em Y e se para todo V ∈ TY temos quef−1(V ) e aberto em X , entao V ∈ Tf .

61

62 CAPITULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE

Definicao 4.2. Sejam(

X,T)

,(

Y,TY

)

e f : X −→ Y sobrejetiva. A funcao sobrejetiva f queinduz a topologia quociente e chamada uma identificacao se TY = Tf .

Se f e uma identificacao, V e aberto em Y se, e somente se f−1(V ) e aberto emX .Se f e uma identificacao, para todo P ⊂ Y temos que f

(

f−1(P ))

= P , mas se S ⊂ X ,em geral S ⊂ f−1

(

f(S))

. Nem toda funcao bijetiva e contınua e uma identificacao. Porexemplo:

id :(

X,T1

)

−→(

X,T2

)

e uma identificacao se, e somente se T1 = T2. A composta de identificacoes e umaidentificacao.

Exemplo 4.2.

Espaco Projetivo Real

Seja Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Definamos oconjunto dos pares nao ordenados:

PRn = {{x, −x} / x ∈ Sn},onde −x e o antipodal de x. De forma natural temos a funcao sobrejetiva:

Π : Sn −→ RPn

tal que Π(x) = {x, −x}. O par(

RPn,TΠ

)

e dito espaco projetivo real de dimensao n.

Faixa de Moebius

Considere o cilindro C = {(x, y, z) / x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1} com a topologia induzida porR3. Definamos o conjunto dos pares nao ordenados:

M = {{c, −c} / c ∈ C}.De forma natural, temos a seguinte funcao sobrejetiva:

Π : C −→ M

tal que Π(p) = {p, −p}. O par(

M,TΠ

)

e dito faixa de Moebius.

Proposicao 4.2.

1. SejamX e Y espacos topologicos, f : X −→ Y uma funcao sobrejetiva, contınua e aberta(fechada); entao f e uma identificacao.

2. Sejam X e Y espacos topologicos, f : X −→ Y uma funcao contınua. Se existe umafuncao g : Y −→ X tal que f ◦ g = idY , entao f e uma identificacao.

Prova :

1. Seja TY uma topologia em Y ; como f e contınua, entao TY ⊂ Tf . Como f eaberta, para todo U ∈ Tf , U = f

(

f−1(U))

e aberto em TY ; logo TY = Tf .

2. Como f ◦ g = idY entao f e sobrejetiva. Seja A ⊂ Y tal que f−1(A) seja aberto;entao A = (f ◦ g)−1(A) = g−1

(

f−1(A))

e aberto em Y ; logo f e uma identificacao.

4.2. ESPACOS QUOCIENTES 63

Exemplo 4.3.

[1] A funcao:

pr1 :R2 −→ R

(x, y) −→ x

e uma identificacao. Analogamente para pr2(x, y) = y.

[2] A funcao:

f :R −→ S1

x −→ e2πix

e sobrejetiva, contınua e aberta; pela proposicao [4.2] e uma identificacao.

[3] Analogamente:

f :R2 −→ S1 × S2


e uma identificacao.

Teorema 4.1. (Propriedade Universal da Topologia Quociente) Sejam X , Z espacostopologicos e f : X −→ Y uma identificacao. Entao, g : Y −→ Z e contınua se, e somente seg ◦ f e contınua.

X

g◦f��

f// Y

g~~~~

~~~~

~~

Z

Prova : Se g e contınua e f contınua, entao g ◦ f e contınua. Reciprocamente, sejaW ⊂ Z aberto; entao

(

g ◦ f)−1

(W ) e aberto emX . Como(

g ◦ f)−1

(W ) = f−1(

g−1(W ))

,pela definicao da topologia quociente, g−1(W ) e aberto em Y ; logo g e contınua.

4.2 Espacos Quocientes

Funcoes sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes de equiva-lencia de alguma relacao de equivalencia.

Sejam ∼ uma relacao de equivalencia sobre X e X/

∼ o conjunto das classes de equi-valencia em X . Definamos:

Π :X −→ X/

∼x −→ [x]

onde [x] e a classe de equivalencia que contem x; Π e dita projecao canonica e e natu-ralmente sobrejetiva.


Definicao 4.3. Seja(

X,T)

um espaco topologico. O par(

X/

∼,TΠ

)

e dito espaco quocientedeX .

A projecao canonica:

Π :X −→ X/

∼x −→ [x]

e naturalmente uma identificao. Note que V ⊂(

X/

∼)

e aberto⇔

Π−1(

V)

= {x ∈ X / [x] ∈ V }

e aberto em X .

A seguir apresentaremos varios exemplos de homeomorfismos, a maioria bastante in-tuitivos. Nos proximos paragrafos, teremos ferramentas suficientes para provar esteshomeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geometrica.

4.2.1 O Cırculo como Espaco Quociente

Seja I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. Consideremosem I a relacao de equivalencia:

x ∼ y ⇔ {x, y} = {0, 1}, ou x = y.

Se x ∈ (0, 1); entao [x] = {x}. Se x = 0; entao [0] = {0, 1}. Se x = 1, entao [1] = {0, 1};logo [0] = [1].

0

1 1

0

[0]=[1]

Figura 4.1: Construcao de S1

Logo, Π : I −→(

I/

∼)

e uma identificacao. Note que Π e bijetiva salvo para x = 0 ex = 1.

Nos proximos capıtulos, provaremos que a bijecao:

(

I/

∼) ∼= S1.

e um homeomorfismo.

Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que estao na mesmaclasse de equivalencia.


4.2.2 O Cilindro como Espaco Quociente

Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos emI2 a relacao de equivalencia:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou {x, x1} = {0, 1} e y = y1,

para todo (x, y), (x1, y1) ∈ I2

Observe que se x 6= 0, 1, entao [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)].

Em particular, [(0, 0)] = [(0, 1)] e [(0, 1)] = [(1, 1)]. Entao Π : I2 −→(

I2/

∼)

e umaidentificacao. Note que Π e bijetiva salvo para (0, y) e (1, y) e

(

I2/

∼) ∼= S1 × I.

Figura 4.2: Construcao de S1 × I

4.2.3 A Faixa de Moebius como Espaco Quociente


(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, 1 − y),


Observe que se x 6= 0, 1, entao [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, 1 − y)].

Em particular, [(0, 0)] = [(1, 1)] e [(0, 1)] = [(1, 0)]. Entao, Π : I2 −→(

I2/

∼)

e umaidentificacao. Note que Π e bijetiva salvo para (0, y) e (1, 1 − y) e

(

I2/

∼) ∼= M,

ondeM e a faixa de Moebius.


(0,a)

(0,1-a)

(0,b)

(0,1-b)

Figura 4.3: Construcao da Faixa de Moebius

Nos proximos capıtulos, verificaremos que a faixa de Moebius e homeomorfo a umasuperfıcie parametrizada em R3:

Figura 4.4: Faixa de Moebius

4.2.4 A Esfera como Espaco Quociente

I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos em I2 arelacao de equivalencia:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (x, 0) e (x, 1) ∼ (1, y),


Se x, y 6= 0, 1, entao [(x, y)] = {(x, y)}, [(x, 0)] = [(0, y)] e [(x, 1)] = [(1, y)]. Em particular,[(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)].

Entao, Π : I2 −→(

I2/

∼)

e uma identificacao.

Note que Π e bijetiva salvo para (0, y), (1, y), (x, 0) e (x, 1) e

(

I2/

∼) ∼= S2.


Figura 4.5: Construcao de S2

4.2.5 O Toro como Espaco Quociente


(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (x, 1),


Observe que se x, y 6= 0, 1, entao [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)] e se y = 0, entao[(x, 0)] = [(x, 1)].

Em particular, [(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)]. Entao, Π : I2 −→(

I2/

∼)

e umaidentificacao.

Note que Π e bijetiva salvo para (0, y), (1, y), (x, 0) e (x, 1).

Nos proximos capıtulos, provaremos que a bijecao:

(

I2/

∼) ∼= S1 × S1.

e homeomorfismo.

Figura 4.6: Construcao do toro

As possıveis vizinhancas de pontos no toro:


Figura 4.7: Projecao das vizinhancas no toro

Nos proximos capıtulos, verificaremos que o toro e homeomorfa a uma superfıcie pa-rametrizada em R3:

Figura 4.8: O toro

4.2.6 A Garrafa de Klein como Espaco Quociente

Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2. Consideremos emI2 a seguinte relacao de equivalencia:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇔ (x, y) = (x1, y1), ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (1 − x, 1),


Se x, y 6= 0, 1, entao [(x, y)] = {(x, y)} e [(0, y)] = [(1, y)] e [(x, 0)] = [(1 − x, 1)].

Em particular, [(0, 0)] = [(1, 0)] = [(0, 1)] = [(1, 1)]. Entao, Π : I2 −→(

I2/

∼)

e umaidentificacao.

Note que Π e bijetiva salvo para (0, y), (1, y), (x, 0) e (1 − x, 1).

(

I2/

∼)

e chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contem uma faixa deMoebius.


Figura 4.9: Construcao da Garrafa de Klein

Figura 4.10: Garrafa de Klein

4.2.7 O Cone e Suspensao de um Conjunto

Sejam(

X,T)

e I = [0, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. Ocone sobre X e denotado por CX = X × I

/

∼, onde:

(x, t) ∼ (x′, t′) ⇔ t = t′ = 1.

A classe de equivalencia [(x, 1)] e dita vertice de CX . Intuitivamente CX e obtido deX × I onde identificamos X × {1} a um ponto. O subsepaco {[x, 0] / x ∈ X} ⊂ CX enaturalmente homeomorfo a X .

X

1

0

CXIxXI

Figura 4.11: O cone sobre X .


Seja f : X −→ Y contınua. Entao Cf : CX −→ CY tal que Cf([x, t]) = [f(x), t] econtınua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo:

X × Ih−−−→ Y × I

Π1

y

yΠ2

CXCf−−−→ CY

onde h(x, t) = (f(x), t).

Seja J = [−1, 1] ⊂ R com a topologia induzida pela topologia usual de R. A suspensaodeX e denotada por SX = X × J

/

∼, onde:

(x, t) ∼ (x′, t′) ⇔ t = t′ = 0 ou t = t′ = 1.

Intuitivamente SX e obtido deX × I onde identificamos X ×{−1} com X ×{1} a umponto. O subsepaco {[x, t] / t ≥ 0} ⊂ CX e naturalmente homeomorfo a CX .

0

-1

X x J

1

SX

Figura 4.12: Suspensao deX .

Seja f : X −→ Y contınua. Entao Sf : SX −→ SY tal que Sf([x, t]) = [f(x), t] econtınua.

Seja Sn ⊂ Rn+1; entao:

CSn ∼= B[0, 1] e

SSn ∼= Sn+1 ∀n ∈ N.

4.3. TEOREMAS 71

4.3 Teoremas

Definicao 4.4. Sejam f : X −→ Y ,∼ e⋍ relacoes de equivalencia emX e Y respectivamente.Dizemos que f preserva as relacoes de equivalencia se para todos x1, x2 ∈ X tais que x1 ∼ x2,entao f(x1) ⋍ f(x2).

Lema 4.1. Sejam f : X −→ Y , ∼ e ⋍ relacoes de equivalencias em X e Y respectivamente.Se f e contınua e preserva as relacoes, entao existe uma unica F , contınua que torna o seguintediagrama comutativo:

Xf−−−→ Y

Π1

y

yΠ2

(

X/

∼) F−−−→

(

Y/

⋍)

Alem disso, se f e uma identificao, entao F e uma identificacao.

Prova : Definamos F ([x]) = [f(x)].

1. A funcao F e bem definida. De fato, seja [x] = [x1]; entao x ∼ x1 e f(x) ⋍ f(x1); logo

[f(x)] = [f(x1)],

isto e F ([x]) = F ([x1]).

2. Pela definicao, F ◦ Π1 = Π2 ◦ f .3. Suponha que existe G tal que o diagrama comuta. Existe pelo menos um [x] ∈ X

/

∼tal que:

F ([x]) 6= G([x]),

como Π1 e sobrejetiva, existe pelo menos um x ∈ X tal que(

G ◦ Π1

)

(x) 6=(

Π2 ◦ f)

(x).Isto e uma contradicao, pois o diagrama comuta.

4. Como Π1, Π2 e f sao contınuas., pelo teorema [4.1], F e contınua.

Teorema 4.2. Sejam X e Y espacos topologicos e f : X −→ Y contınua e sobrejetiva. Se ∼ euma relacao de equivalencia definida em X tal que:

x ∼ x1 ⇔ f(x) = f(x1),

entao, existe F :(

X/

∼)

−→ Y contınua e bijetiva.

Prova : Consideremos:

X

Π��

f

##FFFF

FFFF

FF

(

X/

∼)

F// Y

1. Pelo lema [4.1], definimos F ([x]) = f(x). Logo, F e contınua e sobrejetiva.


2. Se F ([x]) = F ([x1]), entao (F ◦ Π)(x) = (F ◦ Π)(x1), isto e f(x) = f(x1) ⇔ x ∼ x1;logo [x] = [x1]. Entao F e bijetiva.

O seguinte corolario e muito util para reconhecer espacos quocentes homeomorfos aespacos ja conhecidos.

Corolario 4.1. Com as hipoteses do teorema 4.2, sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

1. f e uma identificao.

2. F e um homeomorfismo.

Prova : 1) ⇒ 2) Pelo teorema [4.2], basta provar que F e aberta. De fato, observe quepara todo A ⊂ X

/

∼ temos que Π−1(A) = f−1(F (A)).

2) ⇒ 1) U ⊂ X/

∼ e aberto⇔ Π−1(U) e aberto em X ⇔ f−1(

F (U))

e aberto em X ⇔F (U) e aberto em Y , pois Y tem a topologia quociente induzida por f .

Corolario 4.2. Nas hipotese do teorema [4.2], se f e um homeomorfismo, entao:

(

X/

∼) ∼=

(

Y/

⋍)

.

Prova : Seja

Xf−−−→ Y

Π1

y

yΠ2

(

X/

∼) F−−−→

(

Y/

⋍)

1. Pelo teorema [4.2], definamos F por F ([x]) = [f(x)].

2. F e bijetiva e contınua.

3. F−1 e contınua, pois F−1 ◦ Π1 = Π2 ◦ f−1 e f−1 e contınua.

Exemplo 4.4.

Sejam X = (0,+∞) e Y = R. Consideremos Y com a topologia usual e X com atopologia induzida. Definamos:

x1 ∼ x2 ⇔ existe n ∈ N tal que x1 = en x2

y1 ⋍ y2 ⇔ existe n ∈ N tal que y1 = n+ y2.

Seja f : X −→ Y tal que f(x) = ln(x); f e homeomorfismo. Por outro lado:

x1 ∼ x2 ⇔ existe n ∈ N tal que x1 = en x2

Entao,ln(x1) = ln(en x2) = ln(en) + ln(x2) = n + ln(x2),

logo f(x1) ⋍ f(x2). Pelo teorema:

(

X/

∼) ∼=

(

Y/

⋍) ∼= S1.

4.4. ACOES DE GRUPOS 73

4.4 Acoes de Grupos

Sejam X 6= ∅ um conjunto e(

G, ∗)

um grupo.

Definicao 4.5. O grupo(

G, ∗)

atua pela esquerda sobre X se existe umafuncao:

⊛ :G×X −→ X

(g, x) −→ g ⊛ x,

tal que:

1. e⊛ x = x, para todo x ∈ X e e ∈ G a identidade de G.

2. g1 ⊛(

g2 ⊛ x)

=(

g1 ∗ g2

)

⊛ x, para todo x ∈ X e g1, g2 ∈ G.

3. Em tal caso,X e dito G-conjunto.

Exemplo 4.5.

[1] Sejam X um espaco topologico e

G = {f : X −→ X / f e um homeomorfismo}.

G e um grupo nao comutativo com a composta de funcoes. Definamos:

⊛ :G×X −→ X

(f, x) −→ f ⊛ x = f(x).

Entao, X e um G-conjunto.

[2] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente. Logo, como no exemplo anterior:

⊛ :G× R2 −→ R2

(f, (x, y)) −→ f ⊛ (x, y) = f(x, y).

Entao, R2 e um G-conjunto.

[3] Sejam X = Sn e(

Z2, ·)

. Definamos:

⊛ :Z2 × Sn −→ Sn

(±1, x) −→ ±1 ⊛ x = ±x,

onde −x e o antipodal de x. Entao, Sn e um Z2-conjunto.

[4] Sejam X = R e(

Z,+)

. Definamos:

⊛ :Z × R −→ R

(n, x) −→ n⊛ x = n+ x.


Entao, R e um Z-conjunto.

[5] Sejam X = R2 e(

Z2,+)

. Definamos:

⊛ :Z2 × R2 −→ R2

((n,m), (x, y)) −→ (n,m) ⊛ (x, y) = (n+ x,m+ y).

Entao, R2 e um Z2-conjunto.

[6] Sejam X = {(x, y) ∈ R2 / y ∈[

− 1/2, 1/2]

} e(

Z,+)

. Definamos:

⊛ :Z ×X −→ X

(n, (x, y)) −→ n⊛ (x, y) = (n+ x, (−1)n y).

Entao, X e um Z-conjunto.

[7] Seja S1 ⊂ C; entao S1 tem uma estrutura de grupo multiplicativo induzida por C.De fato, se e2πit, e2πis ∈ S1, entao e2πit · e2πis = e2πi(t+s). Consideremos S2n+1 comosubconjunto de Cn+1:

S2n+1 = {(z1, z2, . . . , zn+1) ∈ Cn+1 / ‖z1‖2 + ‖z2‖2 + . . .+ ‖zn+1‖2 = 1}.

Definimos:⊛ : S1 × S2n+1 −→ S2n+1,

onde:e2πit

⊛ (z1, z2, . . . , zn+1) = (e2πit z1, e2πit z2, . . . , e

2πit zn+1).

Logo, S2n+1 e um S1-conjunto.

[8] Seja Sn−1 ⊂ Rn e G = O(n) o grupo ortogonal. Definamos:

⊛ :O(n) × Sn−1 −→ Sn−1

(A, x) −→ n⊛ x = ~Ax.

‖ ~Ax‖ = 1; logo esta bem definida e Sn−1 e um O(n)-conjunto.

Proposicao 4.3. Seja X um G-conjunto. Para todo g ∈ G definamos:

θg : X −→ X,

por θg(x) = g ⊛ x; entao θg e bijetiva.

Prova : Note que θe = idX e que para todo g, h ∈ G, temos θg ◦ θh = θg∗h. Logo,

θg ◦ θg−1 = θg∗g−1 = θe = idX e θg−1 ◦ θg = θg−1∗g = θe = idX .

Entao θ−1g = θg−1 .

Definicao 4.6. Seja X um G-conjunto. Definimos:

1. O estabilizador de x ∈ X por:

Gx = {g ∈ G/ g ⊛ x = x}.

Gx e um subgrupo de G.


2. A orbita de x ∈ X por:Gx = {g ⊛ x / g ∈ G}.

Exemplo 4.6.

Consideremos S3 como um S1-conjunto, com a acao:

⊛ :S1 × S3 −→ S3

(e2πit, (z1, z2)) −→ n⊛ (z1, z2) = (e2πit z1, e2πit z2).

Seja (z1, z2) ∈ S3; entao o estabilizador do ponto (z1, z2) e:

S1(z1,z2)

= {e2πit / t ∈ Z}.

4.4.1 G-espacos

Se X e um G-conjunto, podemos definir sobre X a seguinte relacao de equivalencia:

x ∼ y ⇔ existe g ∈ G tal que g ⊛ x = y,

isto e:x ∼ y ⇔ y ∈ Gx.

Denotemos X/ ∼ por X/G o conjunto das classes de equivalencia desta relacao. Se Xe um G-conjunto, temos a projecao canonica, que e sobrejetiva:

Π : X −→ X/G.

Logo, se X e um G-conjunto que e espaco topologico, podemos dar a X/G a topologiaquociente.

Espaco Projetivo Complexo

Seja S2n+1 ⊂ Cn+1 e S1 ⊂ C; entao S1 tem a estrutura de grupo multiplicativo induzidapor C. Definimos e denotamos o n-espaco projetivo complexo, por:

CPn = S2n+1/

S1,

onde x ∼ y se, e somente se x = λ y, para algum λ ∈ S1.

Exemplo 4.7.

[1] Note que ∼ identifica cada cırculo de S2n+1 a um ponto.

[2] CP1 ∼= S2. Isto e S3/S1 ∼= S2.

Definicao 4.7. SejaX um espaco topologico que e um G-conjunto. X e dito G-espaco se θg econtınua, para todo g ∈ G.


Exemplo 4.8.

[1] Sn/

Z2 e um Z2-espaco.

[2] R/Z e um Z-espaco.

[3] R2/Z2 e um Z2-espaco.

[4]. CPn e um S1-espaco.

[5] Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente; entao R2/

G e um G-espaco. Note que G nao e isomorfo a Z × Z.

Se X e um G-espaco, a funcao θg e um homeomorfismo, para todo g ∈ G. Se X e umG-espaco, entao existe um homomorfismo de grupos:

Ψ : G −→ Homeo(X)

g −→ θg.

Proposicao 4.4. Se X e um G-espaco a projecao canonica:

Π : X −→ X/G

e aberta.

Prova : Seja U ⊂ X aberto. Devemos provar que Π(U) e aberto em X/G, o que eequivalente a provar que Π−1

(

Π(U))

e aberto emX . De fato:

Π−1(

Π(U))

= {x ∈ X /Π(x) ∈ Π(U)}= {x ∈ X /Gx = Gy, para algum y ∈ U}= {x ∈ X /x = g ⊛ y, para algum y ∈ U e g ∈ G}= {x ∈ X /x ∈ g ⊛ U, para algum g ∈ G}=

⋃

g∈G

g ⊛ U

=⋃

g∈G

θg(U),

que e aberto, pois θg e um homeomorfismo.

Lema 4.2. Sejam X um G-espaco e Y um H-espaco, onde(

G, ∗)

e(

H, ◦)

sao tais que:


⊛ :G×X −→ X

⊚ :H × Y −→ Y

θg : X −→ X, homeomorfismo

θh : Y −→ Y, homeomorfismo

ΠX : X −→ X/G, sobrejetiva e contınua

ΠY : Y −→ Y/H, sobrejetiva e contınua.

Sejam X um G-espaco e Y um H-espaco. Entao X × Y e um G×H-espaco.

Prova : Com as notacoes anteriores, definamos:

� :(

G×H)

×(

X × Y)

−→(

X × Y)

((g, h), (x, y) −→ (g, h)� (x, y) = (g ⊛ x, h⊚ y)

e

Θ(g,h) :(

X × Y)

−→(

X × Y)

(x, y) −→ (θg(x), θh(y)).

Nao e difıcil provar queX × Y e um(

G×H)

-espaco e Θ(g,h) e um homeomorfismo.

Proposicao 4.5. Com as notacoes anteriores:

((

X × Y)/(

G×H)) ∼=

(

X/G)

×(

Y/H)

.

Prova :Definamos F ([x, y]) = ([x], [y]), isto e, F ◦ (Π1,Π2) = Π:

X × Y

Π��

(Π1,Π2)// X × Y/G×H

Fvvlllllllllllll

X/G× Y/H

F e naturalmente bem definida e bijetiva. F e contınua.

Sejam [U ]× [V ] ∈(

X/G)

×(

Y/H)

aberto; devemos provar que f−1(

[U ] × [V ])

e abertoem

((

X × Y)/(

G×H))

, isto e, pela definicao de topologia quociente, devemos provarque Π−1

(

f−1(

[U ] × [V ]))

e aberto emX × Y . F ◦ Π = (ΠX ,ΠY ), entao

Π−1 ◦ F−1 = (F ◦ Π)−1 = (Π−1X ,Π−1

Y );

logo:Π−1

(

f−1(

[U ] × [V ]))

= Π−1X ([U ]) × Π−1

Y ([V ]),

que e aberto, pela definicao da topologia quociente.


Exemplo 4.9.

Sejam X = R2 e G = Z2. Definamos:

⊛ :Z2 × R2 −→ R2

((n,m), (x, y)) −→ (n,m) ⊛ (x, y) = (n+ x,m+ y).

Entao, R2 e um Z2-espaco, e:

R2/

Z2 ∼= R/

Z × R/

Z.

4.4.2 O Cırculo como Z-espaco

Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologia induzida pela usual de C;considere:

f : R −→ S1

definida por f(x) = e2πix. Sabemos que f e um homeomorfismo local.

Observemos que se consideramos R como grupo aditivo e S1 como grupo multiplica-tivo (multiplicacao induzida por C). Entao:

f(x+ y) = e2πi(x+y) = e2πix e2πiy = f(x) f(y),

isto e, f e um homomorfismo de grupos com nucleo Z. Para todo x, y ∈ R,:

f(x) = f(y) ⇐⇒ x− y ∈ Z.

R e um Z-espaco com a operacao n⊛ x = n+ x. Logo, x ∼ y ⇐⇒ existe n ∈ Z tal que :

y = n+ x⇐⇒ f(x) = f(y).

Nos proximos capıtulos provaremos que f e uma identificacao. Logo, pelo corolario[4.1] teremos:

R

Π��

f// S1

R/

Z

F

=={{{{{{{{

F e um homeomorfismo, onde F ([x]) = f(x), logo:

R/Z ∼= S1.


4.4.3 O Toro como Z × Z -espaco

De forma analoga ao cırculo. Seja R com a topologia usual e S1 ⊂ C com a topologiainduzida pela usual de C; consideremos:

f :R × R −→ S1 × S1


Observemos que se consideramos R2 como grupo aditivo e S1 × S1 como grupo mul-tiplicativo (multiplicacao induzida por C2). Entao:

f(x+ y) = f(x) f(y),

isto e, f e um homomorfismo de grupos com nucleo Z2.

Consideramos o seguinte diagrama comutativo:

R2

Π��

f// S1 × S1

R2/

Z2

F99sssssssss

Por um argumento totalmente analogo ao anterior, vamos a obter um homeomorfismo:

R2/Z2 ∼= S1 × S1.


4.5 Exercıcios

1. Sejam X , Y espacos topologicos, f : X −→ Y uma funcao e A ⊂ X tal quef(x) = x0, para todo x ∈ A. Dado [x] ∈ X

/

A definamos g([x]) = f(x). Verifiqueque f esta bem definida e e contınua.

2. Seja B[0, 1]. Verifique que B[0, 1]/

Sn−1 ∼= Sn.

3. SejaX =(

[−1, 1]×{1})

∪(

[−1, 1]×{−1})

com a topologia induzida pela usual deR2 e ∼ relacao de equivalencia definida por (−1, 1) ∼ (−1,−1) e (1, 1) ∼ (1,−1).Considere

(

X/ ∼)

com a topologia quociente, verifique que:

(

X/ ∼) ∼= S1,

S1 com a topologia induzida pela usual de R2.

4. Seja(

R,T)

, onde T e a topologia definida por: U ∈ T se, e somente se 0 ∈ U . Seja∼ a relacao de equivalencia definida por x ∼ −x. Verifique que

(

R/ ∼)

com atopologia quociente e homeomorfo a [0,+∞) com a topologia induzida por T.

5. Seja Rn com a topologia de Zariski e ∼ relacao de equivalencia definida por

(x1, x2, x3, . . . , xn) ∼ (y1, y2, y3, . . . , yn) ⇐⇒ xi = yi,

para todo i = 1, 2, . . . , n. Verifique que(

Rn/ ∼)

com a topologia quociente ehomeomorfo a Rn−1 com a topologia de Zariski.

6. Verifique que RP1 ∼= S1.

7. Verifique que CP1 ∼= S2.

8. Prove que se G e finito, entao Π e fechada.

9. Ache exemplos de G-espacos, onde G seja finito.

10. Para todo x, y ∈ X , Gx = Gy ou sao disjuntas.

11. X =⋃

x∈X

Gx, (uniao disjunta).

12. Seja G o grupo gerado pelos homeomorfismos h, g : R2 −→ R2 definidos por:

h(x, y) = (x+ 1, y) e g(x, y) = (−x, y + 1),

respectivamente, Verifique que R2/G e homeomorfo a garrafa de Klein.

4.5. EXERCICIOS 81

13. Verifique que CSn ∼= B[0, 1] e SSn ∼= Sn+1, para todo n > 0.

14. Um espaco Z e dito contratil, se existe z0 ∈ Z e H : Z × [0, 1] −→ Z tal que paratodo z ∈ Z, H(z, 0) = z e H(z, 1) = z0. Verifique

(a) Para todo espaco X , CX e contratil.

(b) Rn e contratil.

(c) S1 nao e contratil. Que pode dizer de Sn, n > 1?

Capıtulo 5

COMPACIDADE

Do Calculo sabemos que funcoes contınuas definidas sobre conjuntos limitados e fe-chados possuem um ponto de maximo e um de mınimo absoluto (Teorema de Weiers-trass) e da Analise conhecemos o teorema de Heine-Borel sobre intervalos encaixados.As formulacoes de compacidade em espacos topologicos envolve muito mais do queo conceito de fechado e limitado, os quais nao sao equivalentes. A importancia prin-cipal da compacidade e que ela nos permite obter propriedades globais a partir depropriedades locais. Existem varias formas de introduzir o conceito de compacidadeem espacos topologicos. Nos escolhemos a seguinte.

5.1 Introducao

Seja X um espaco topologico e S ⊂ X .

Definicao 5.1.

1. Uma cobertura de S e uma famılia de subconjuntos U = {Ui ⊂ X / i ∈ J} tal que:S ⊂

⋃

i∈J

Ui.

2. Se J e finito, a cobertura e dita finita.

3. A cobertura e dita aberta se os Ui ∈ U sao conjuntos abertos.

4. Se S = X , entao U e uma cobertura se:

X =⋃

i∈J

Ui.

Exemplo 5.1.

Seja R com a topologia usual. Se (0, 1) ⊂ R; entao U = {[1/n, 1 − 1/n] / n ∈ N} e umacobertura nao aberta de (0, 1). Por outro lado, U = {(1/n, 1 − 1/n) / n ∈ N} e umacobertura aberta de (0, 1). U = {(n, n+ 3) / n ∈ Z} e uma cobertura aberta de R.

Definicao 5.2. Sejam U = {Ui ⊂ X / i ∈ J} eV = {Vk ⊂ X /k ∈ K} coberturas de S ⊂ X .Se para todo k ∈ K existe i ∈ J tal que Ui = Vk, entao, dizemos que V e uma subcobertura deU.

83

84 CAPITULO 5. COMPACIDADE

Exemplo 5.2.

V = {(n, n+ 3) / n ∈ Z} e um subcobertura aberta de U = {(r, r + 3) / r ∈ R}.A seguir e nos proximos capıtulos, somente consideraremos coberturas abertas.

Definicao 5.3. Um subconjunto S ⊂ X e dito compacto, se toda cobertura de S admite umacobertura finita.

Em particular, o espaco X e compacto, se todo cobertura de X admite uma subcober-tura finita.Os conjuntos finitos, em qualquer espaco topologico, sao compactos. A uniao e aintesecao finita de compactos e um compacto.

Exemplo 5.3.

[1] Seja(

X,Tind

)

. Todo A ⊂ X e compacto.

[2] Seja(

X,Tdis

)

. X e compacto se, e somente seX e finito.

[3] Se S ⊂ X e discreto infinito, entao S nao e compacto. Em particular, N e Z nao saocompactos.

[4] R nao e compacto, pois U = {(n, n+2) / n ∈ Z} nao possui uma subcobertura finita.[5] Para todo a, b ∈ R, [a, b] ⊂ R e compacto. Veja [EL1].

Proposicao 5.1. Sao equivalentes as condicoes:

1. X e compacto.

2. (Propriedade da intersecao finita) Se {Fα ⊂ X /α ∈ J} e tal que os Fα sao fechadose:

⋂

α∈J

Fα = ∅,

entao existe uma subfamılia finita {Fα1, Fα2

, . . . , Fαn} tal que:

n⋂

i=1

Fαi= ∅.

Prova : A prova segue diretamente das leis de de Morgan. Por exemplo:

⋂

α∈J

Fα = ∅ e equivalente a⋃

α∈J

F cα = X.

Proposicao 5.2. Seja f : X −→ Y contınua. Se S ⊂ X e compacto, entao f(S) e compactoem Y .

Prova : Seja V = {Vi / i ∈ J} um recobrimento de f(S); entao {f−1(Vi) / i ∈ J} e umacobertura de S; como S e compacto, existe subcobertura finita {f−1(Vk) / k ∈ K}, ondeK e finito. Como f(f−1(Vk)) ⊂ Vk, entao {Vk / k ∈ K} e uma subcobertura finita def(S).

5.1. INTRODUCAO 85

Corolario 5.1.

1. Se X e compacto e f : X −→ Y e contınua e sobrejetiva, entao Y e compacto. Emparticular, se Y tem a topologia quociente induzida por f , entao Y e compacto.

2. Se X ∼= Y , entao X e compacto se, e somente se Y e compacto.

Exemplo 5.4.

O traco de uma curva contınua γ : [a, b] −→ X e compacto. Em particular, seja f :[a, b] −→ R2 definida por f(t) = (cos(t), sen(t)) tal que b− a ≥ 2π. Entao S1 = f([a, b])e compacto em R2.

Nem todo subconjunto de um espaco compacto e compacto. (0, 1) ⊂ [0, 1] nao e com-pacto.

Proposicao 5.3. Se X e compacto e F ⊂ X e fechado, entao F e compacto.

Prova : Seja U = {Ui / i ∈ J} uma cobertura de F , onde cada Ui e aberto em X ; entaoU∪ {X −F} e uma cobertura deX ; como X compacto, possui um subcobertura finita,que pode ser:

{Ui / i ∈ K} ou {Ui / i ∈ K} ∪ {X − F},onde K e finito. Logo {Ui / i ∈ K} e um subcobertura finita de F .Proposicao 5.4. X e Y sao compactos se, e somente se X × Y e compacto.

Prova : Se X × Y e compacto, como as projecoes sao contınuas, entao X e Y sao com-pactos.

Reciprocamente, sejaW = {Wj / j ∈ J} uma cobertura aberta deX × Y ; por definicao:

Wj =⋃

k∈K

(

Uj,k × Vj,k

)

,

onde Uj,k e aberto em X e Vj,k e aberto em Y , entao:

U = {Uj,k × Vj,k / j ∈ J, k ∈ K}e uma cobertura aberta de X × Y .Por outro lado, para cada x ∈ X , temos que Y ∼= {x} × Y ; logo {x} × Y e compacto;como U tambem e uma cobertura de {x} × Y , entao admite um subcobrimento finito{Ui × Vi / i = 1, 2, . . . , n}, onde n = n(x). Seja:

Ux =

n(x)⋂

i=1

Ui.

{Ux / x ∈ X} e uma cobertura aberta deX ; como e compacto, admite uma subcoberturafinita {Uxi

/ i = 1, 2, . . . , m}; entao:{Uxi

× Vki/ i = 1, 2, . . . , m, ki = 1, 2, . . . , n(x)}

e uma cobertura finita deX × Y , isto e, para cada i e ki, existe j ∈ J e k ∈ K tal que:

Uxi× Vki

⊂ Uj,k × Vj,k ⊂Wj .

Logo, existe subcobertura finita deW, provando queX × Y e compacto.


Corolario 5.2. X1, X2, . . . , Xn sao compactos se, e somente seX1 ×X2 . . .×Xn e compacto.

Exemplo 5.5.

[1] Rn nao e compacto.

[2] Se I = [0, 1], entao In = I × I × . . .× I e compacto.

[3] O toro T 2 = S1 × S1 e compacto.

[4] Em geral, T n = S1 × S1 × . . .× S1 e compacto.

[5] O toro nao e homeomorfo ao cilindro S1 × R.

5.2 Compacidade em Espacos Metricos


M, d1

)

e(

N, d2

)

espacos metricos. SeM e compacto e f : M −→ Ne contınua, entao f e uniformemente contınua.

Prova :Como f e contınua, para todo ε > 0 existe δx > 0 tal que se d1(x, y) < 2 δx, entao:

d2(f(x), f(y)) < ε/2.

Seja B = {Bδx(x) / x ∈ X}; B e uma cobertura aberta de X ; por compacidade, admite

um cobertura finita {Bδxi(xi) / i = 1, 2, . . . , n}. Denotemos por δ = min{δxi

(x) / i =1, 2, . . . , n}, entao dados x, y ∈ X tais que d1(x, y) < δ, temos d2(f(x), f(y)) < ε. Isto e,se x ∈ Bδxi

(xi) para algum i, d1(x, xi) < δxie:

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) < 2 δx, logo d2(f(y), f(xi)) < ε/2,

d2(f(x), f(y)) ≤ d2(f(x), f(xi)) + d2(f(xi), f(y)) < ε/2 + ε/2 = ε.


M, d)

um espaco metrico. Se A ⊂ M e compacto, entao A e fechado elimitado.

Prova : Provemos que A e fechado. Se x ∈ A e x /∈ A, entao para todo y ∈ A, existeε > 0 tal que d(x, y) = 2 ε; logo A possui uma cobertura {Bε(y) / y ∈ A}; como A ecompacto, existe uma cobertura finita {Bεi

(y) / i = 1, . . . n}; entao Bεi(x) ∩Bεi

(y) 6= ∅ oque e uma contradicao, pois x ∈ A; logo A = A. Por outro lado, para todo x0 ∈M :

A ⊂ B1(x0) ∪ B2(x0) ∪ B3(x0) ∪ . . .

A ⊂j

⋃

i=1

Bni(x0);

logo, e limitado.

Em geral, a recıproca desta proposicao e falsa. De fato, consideremosM com a metricadiscreta etal que A ⊂ M e infinito; entao A e fechado e limitado, pois A ⊂ B2(x) = Mpara todo x ∈M e nao e compacto. No casoM = Rn temos:

5.2. COMPACIDADE EM ESPACOS METRICOS 87

Proposicao 5.7. (Heine-Borel) Um subconjunto e fechado e limitado em Rn se, e somente see compacto.

Prova : Seja A ⊂ Rn fechado e limitado. Se A e limitado, existe k > 0 tal que ‖x‖ ≤ k,para todo x ∈ A; logo A ⊂ [−k, k]n = [−k, k] × [−k, k] × . . .× [−k, k].Por outro lado, [−k, k] e compacto, pois [−k, k] ∼= [0, 1]. Logo, A e fechado contido numcompacto; entao, A e compacto.

Exemplo 5.6.

[1] Sn e compacta.

[2] PRn e compacto.

[3] O toro e a esfera nao sao homeomorfos a R2.

[4] O toro e a esfera nao sao homeomorfos ao cilindro S1 × R.

[5] A faixa de Moebius e compacta.

[6] Os grupos O(n) e SO(n) sao compactos.

De fato, sabemos que sao fechados e para toda A ∈ O(n), temos que ‖A‖1 =√n. Logo,

O(n) e limitado.

Corolario 5.3. (Weirstrass) Seja X um espaco topologico compacto e f : X −→ R contınua;entao existem x0, x1 ∈ X tais que:

f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1),

para todo x ∈ X .

Prova : Como f e contınua, f(X) e compacto em R, logo e fechado e limitado; comof(X) e limitado, existe M = sup{f(x) / x ∈ X} e L = inf{f(x) / x ∈ X}; alem disso efechado; entao M, L ∈ f(X). De fato, suponha que M /∈ f(X), como f(X) = f(X),entao existe ε > 0 tal que (M − ε,M + ε) ∩ f(X) = ∅. Isto e, para todo x ∈ X ,f(x) ≤M − ε o que e uma contradicao. Analogamente para L. Logo, existe x0, x1 ∈ Xtais queM = f(x1) e L = f(x0), e:

f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1),

para todo x ∈ X .

Seja A ⊂ X um conjunto limitado, definimos e denotamos o diametro de A por:

d(A) = sup{d(x, y) / x, y ∈ A}.O numero δ > 0 e dito de Lebesgue da cobertura {Ui / i ∈ J} deX , se para todo A ⊂ Xcom d(A) < δ, entao existe i0 ∈ I tal que:

A ⊂ Ui0 .

O numero de Lebesgue de uma cobertura pode nao existir.De fato, considere a cobertura {(−∞, 0), (0,+∞)} de R − {0}. Nao e difıcil ver quepara todo δ > 0, se pode escolher 0 < r < δ/2; tal que d({−r, r}) < δ e {−r, r} naopertence a nenhum elemento da cobertura.


Lema 5.1. (Lebesgue) Todo conjunto compacto num espaco metrico possui um numero deLebesgue.

Prova : Sejam K compacto, {Ui / i ∈ J} uma cobertura de K e x ∈ K. Escolhemos onumero r(x) > 0 tal queB(x, r(x)) ⊂ Ui para algum i ∈ J ; entao {B(x, r(x)/2) / x ∈ X}e uma cobertura de X , como X compacto, admite subcobertura finita B(x1, r(x1)),B(x2, r(x2)) , . . ., B(xn, r(xn)). Seja

δ = min{r(x1), r(x2), . . . , r(xn)}.

O numero δ > 0 e o numero de Lebesgue. De fato, seja B(x, δ) para algum x ∈ X ;entao, existe i ∈ {1, 2 . . . , n} tal que x ∈ B(xi, r(xi)/2). Por outro lado, se y ∈ B(x, δ),temos que:

d(y, xi) ≤ d(y, x) + d(x, xi) ≤ δ + r(xi)/2 ≤ r(xi).

Logo, B(x, δ) ⊂ B(xi, r(xi)/2) ⊂ Uj, para algum Uj ∈ {Ui / i ∈ J}.

5.3. EXERCICIOS 89

5.3 Exercıcios

1. Rn, (n = 2, 3) com a topologia usual. Verifique se os seguintes conjuntos sao ounao compactos.

(a) {(x, y) / x > 1}.

(b) {(x, y) / x = y}.

(c) {(x, y) / x y ≤ 0}.

(d) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 ≥ 4}.

2. Seja R com a topologia usual. Verifique que conjunto A = {1/n / n ∈ N} nao ecompacto.

3. Seja R com a topologia usual. O conjunto B = {(−1)n/n / n ∈ N} ∪ {0} e com-pacto?

4. Sejam Rn com a topologia usual, A ⊂ Rn e x0 ∈ Rn. Sabemos que a distancia dex0 a A er:

d(x0, A) = inf{‖x0 − x‖ / x ∈ A}.

(a) Se A e fechado, existe q ∈ Rn tal que d(p, A) = d(p, q)?

(b) Verifique que f(p) = d(p, A) e uniformemente contınua.

5. Seja Rn com a topologia usual e A, B ⊂ Rn. Defina a distancia de A a B por:

d(A,B) = inf{‖x− y‖ / x ∈ A, y ∈ B}.

(a) d(A,B) = inf{d(p, B) / p ∈ A}?

(b) Que ocoore no item anterior se A e B sao compactos?

6. Seja Y ⊂ X um subespaco. Y e compacto se, e somente se Y e compacto com atopologia induzida.

7. Seja f : X −→ Y contınua e L ⊂ X um conjunto compacto. Ache um exemplo talque f

(

L)

nao seja compacto.

8. Seja f : X −→ Y contınua e K ⊂ Y um conjunto compacto. Ache um exemplotal que f−1

(

K)

nao e compacto. De condicoes para que f−1(

K)

seja compacto.


9. Seja X nao enumeravel. Definamos a seguinte topologia em X : U e aberto se, esomente se U = ∅ ou U c e enumeravel. Verifique que X com esta topologia, naoe compacto.

10. Ache um exemplo de um espaco topologico, onde os subconjuntos compactosnao sao fechados.

11. Ache um exemplo de um espaco topologico, onde a clausura dos subconjuntoscompactos nao sao compactos.

12. Seja R com a topologia usual. De um exemplo de uma funcao f : R −→ Rcontınua, injetiva tal que f

(

R)

nao e fechado.

13. Ache exemplos de(

X,T1

)

compacto,(

Y,T2

)

e f : X −→ Y bijecao contınua talque nao seja homeomorfismo.

14. Seja f : X −→ Y um homeomorfismo local tal que X e compacacto. Verifiqueque f−1(y) ⊂ X , para todo y ∈ Y e finito.

15. Suponha que todo subconjunto compacto de um espaco topologico X e fechado.Se A ⊂ X e finito, entao e fechado?

Capıtulo 6

AXIOMAS DE SEPARACAO

6.1 Introducao

Consideremos(

M, d)

um espaco metrico com mais de dois elementos. Sempre pode-mos escolher ε > 0 tal que d(x, y) = 2 ε com x, y ∈ M e x 6= y, entao Bε(x) ∩ Bε(y) = ∅.Esta propriedade natural dos espacos metricos, que nos permite diferenciar os pon-tos dos espacos, nao e valida, em geral, em espacos topologicos arbitrarios. Nesteparagrafo estudaremos que tipo de espacos possuem esta propriedade, que por exem-plo, e fundamental para provar a unicidade do limite de uma sequencia em espacosmetricos. Veja [EL2].

6.2 Espacos de Frechet

Seja(

X,T)

um espaco topologico

Definicao 6.1. X e um espaco de Frechet ou T1 se para todo x, y ∈ X tal que x 6= y, existeU ∈ T tal que x ∈ U e y /∈ U .

Exemplo 6.1.

[1](

X,Tdis

)

e os espacos topologicos metrizaveis sao T1.

[2](

X,Tind

)

nao e T1.

Proposicao 6.1. X e T1 se, e somente se {x} e fechado em X , para todo x ∈ X .

Prova : Suponha que X e T1. Seja x ∈ X e y ∈ X − {x}; entao existe Uy vizinhanca dey tal que x /∈ Uy; logo:

⋃

y∈{x}c

Uy = X − {x},

isto e,X−{x} e aberto. Reciprocamente, se {x} e {y} sao fechados emX ; entaoX−{x}e X − {y} sao abertos, y /∈ X − {x} e x /∈ X − {y}; logo X e T1.

91

92 CAPITULO 6. AXIOMAS DE SEPARACAO

6.3 Espacos de Hausdorff

Seja(

X,T)

um espaco topologico

Definicao 6.2. X e um espaco de Hausdorff ou T2 se para todo x, y ∈ X tal que x 6= y,existem U, V ∈ T, x ∈ U e y ∈ V tais que U ∩ V = ∅.

T2 implica T1. A reciproca e falsa. Veja os seguintes exemplos:

Exemplo 6.2.

[1](

R,Tus

)

e de Hausdorff

[2](

X,Tdis

)

e os espacos topologicos metrizaveis sao de Hausdorff.

[3](

X,Tind

)

nao e de Hausdorff.

[4](

R,Tcof

)

nao e de Hausdorff. De fato. Para todo U, V ∈ Tcof , temos U ∩ V 6= ∅. Defato, sejam U = R−F1 e V = R−F2, onde F1 e F2 sao finitos; entao U∩V = R−

(

F1∪F2

)

;como F1 ∪ F2 e finito, entao U ∩ V 6= ∅; logo nao pode ser de Hausdorff. Note que(

R,Tcof

)

e T1.

[5] Utilizando propriedades dos aneis de polinomios e possıvel verificar que topologiade Zariski nao e de Hausdorff.

Teorema 6.1. Sao equivalentes as seguintes condicoes:

1. X e de Hausdorff.

2. Se x ∈ X , para todo y 6= x existe uma vizinhanca U de x tal que y /∈ U .

3. Para todo x ∈ X temos que:⋂

{U /U vizinhanca de x} = {x}.

4. A diagonal ∆ = {(x, x) / x ∈ X} e um conjunto fechado em X ×X .

Prova : 1) ⇒ 2)Dados x 6= y, existem U e V vizinhancas de x e y respectivamente, taisque U ∩ V = ∅; logo y 6∈ U .

2) ⇒ 3) Se y 6= x existe uma vizinhanca U de x tal que y /∈ U ; entao:

y /∈⋂

{U /U vizinhanca de x}.

3) ⇒ 4) Provaremos que∆c e aberto.Seja (x, y) /∈ ∆; entao x 6= y; como {x} =

⋂ {U /U vizinhanca de x}, existe U tal quex ∈ U e y /∈ U . Por outro lado, U ∩

(

U)c

= ∅, entao (x, y) ∈ U ×(

U)c ⊂ ∆c.

4) ⇒ 1) Dados x 6= y, entao (x, y) /∈ ∆, isto e (x, y) ∈ ∆c que e aberto; logo existevizinhanca U × V de (x, y) tal que

(

U × V)

∩ ∆ = ∅.(

U × V)

∩ ∆ 6= ∅ ⇔ existe x ∈ X tal que (x, x) ∈ ∆

⇔ x ∈ U e x ∈ V

⇔ U ∩ V 6= ∅.Logo; x ∈ U e y ∈ V , U ∩ V = ∅.

6.3. ESPACOS DE HAUSDORFF 93

Corolario 6.1.

1. Se X e de Hausdorff e Y ⊂ X e um subespaco, entao Y e de Hausdorff.

2. Se Y e de Hausdorff e f : X −→ Y e contınua e injetiva, entao X e de Hausdorff.

3. Se X e Y sao de Hausdorff, entao X × Y e de Hausdorff.

Prova : 1. Denotemos por ∆Y a diagonal de Y , entao

∆Y = ∆ ∩(

Y × Y)

.

Logo ∆Y e fechado em Y × Y e Y e de Hausdorff.

2. Como f e contınua e injetiva:

∆X = (f × f)−1(

∆Y

)

.

Logo ∆X e fechada em X ×X e X e de Hausdorff.

3. Se X e Y sao de Hausdorff, definamos:

f : X ×X × Y × Y −→ X × Y ×X × Y

(x, x1, y, y1) −→ (x, y, x1, y1).

f e um homeomorfismo e:f(

∆X × ∆Y

)

= ∆X×Y .

Logo, ∆X×Y e fechado em X × Y ×X × Y e X × Y e de Hausdorff.

Teorema 6.2. Se X e de Hausdorff e A ⊂ X e compacto, entao A e fechado.

Prova : Se A = ∅ ou A = X nada temos a provar. Sejam A 6= ∅, X e x ∈ Ac; para todoa ∈ A existem Ua e Va vizinhancas de x e a respectivamente, tais que Ua ∩ Va = ∅. Poroutro lado, {Va / a ∈ A} e um recobrimento aberto de A; como A e compacto, existe umsubrecobrimento finito {Vai

/ i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos:

U =

n⋂

i=1

Uai.

U e vizinhanca de x tal que U ∩ Vai= ∅ para todo i; logo U ⊂ Ac, isto e, para cada

x ∈ Ac existe um aberto tal que x ∈ U ⊂ Ac, logo Ac e aberto e A fechado.

A condicao de ser de Hausdorff e de compacidade sao essenciais no teorema anterior.Vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo 6.3.

[1] Considere X = {a, b, c} com a seguinte topologia T = {∅, {a}, {b, c}}. EntaoA = {c} e compacto e Ac = {a, b} /∈ T, logo A nao e fechado. Note que X nao ede Hausdorff.


[2] Seja X = N com a topologia dada no exercıcio [2], ıtem 2. Seja A = {1}, A ecompacto e A = N pois para todo aberto An temos A ∩ An = {1}. Isto e, para todon ∈ N, n ∈ A e N nao e compacto. De fato:

N =⋃

n∈N

Gn,

onde Gn = {1, n}. Logo, o fecho de um compacto pode nao ser compacto.

Corolario 6.2. Sejam T1 e T2 topologias em X tal que T1 ⊂ T2. Se(

X,T1

)

e de Hausdorff e(

X,T2

)

e compact, entao T1 = T2.

Prova : Seja U ∈ T2; logo F = U c e fechado em T2; entao F e compacto em T2. Poroutro lado, como T1 ⊂ T2, todo recobrimento aberto de X em T1 e um recobrimentoaberto de X em T2; entao F e compacto em T1. Como

(

X,T1

)

e de Hausdorff, segueque F e fechado em T1; logo U ∈ T1 e T2 ⊂ T1.

Proposicao 6.2. Sejam X espaco topologico, Y espaco de Hausdorff e f, g : X −→ Y contı-nuas. Entao:

1. {x ∈ X / f(x) = g(x)} e fechado em Y .

2. Se D ⊂ X e denso e f∣

∣

D= g

∣

∣

Dentao f = g em X .

3. O grafico de f e fechado em X × Y .

4. Se f e injetiva, entao X e de Hausdorff.

Prova :

1) Seja h : X −→ X × Y onde h(x) = (f(x), g(x)); h e contınua e:

{x ∈ X / f(x) = g(x)} = h−1(∆)

e ∆ e fechado emX × Y .

2) Segue, de imediato, pois {x ∈ D/ f(x) = g(x)} ⊂ {x ∈ X / f(x) = g(x)}. Como{x ∈ X / f(x) = g(x)} e fechado e D e denso, entao:

{x ∈ D/ f(x) = g(x)} = {x ∈ X / f(x) = g(x)}.

3) Seja k : X × Y −→ Y × Y onde k(x, y) = (f(x), y); k e contınua e:

G(f) = k−1(∆)

e ∆ e fechado emX × Y .

4) A funcao f−1 : f(X) −→ X e uma bijecao fechada do espaco f(X) que e de Haus-dorff.

O ıtem 1 da proposicao [6.2], nao e valido sem a hipotese de ser de Hausdorff. Porexemplo, considere f = id e g = −id tal que

f, g :(

R,Tind

)

−→(

R,Tind

)

,

ambas sao contınuas e {x ∈ X / f(x) = g(x)} = {0}, que nao e fechado em(

R,Tind

)

.Note que as curvas contınuas e os planos sao fechados em R3 com a topologia usual.

6.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 95

Proposicao 6.3. Se X e compacto, Y e de Hausdorff e f : X −→ Y e contınua, entao f efechada.

Prova : Seja F ⊂ X fechado; logo e compacto; entao f(F ) e compacto, o que implicaf(F ) e fechado em Y e f fechada.

Corolario 6.3. Sejam X compacto, Y espaco de Hausdorff e f : X −→ Y contınua. Saoequivalentes:

1. f e um homeomorfismo.

2. f bijetiva.

Prova : Se f e um homeomorfismo, entao e bijetiva. Reciprocamente. Se f e bijetiva,entao f e aberta e fechada; logo e um homeomorfismo.

A condicao de compaciade e essencial no corolario [6.3]. De fato, considere os espacos(

R,Tus

)

,(

R,Tdis

)

e a funcao identidade:

id :(

R,Tdis

)

−→(

R,Tus

)

que e contınua, bijetiva e nao e um homeomorfismo.

Corolario 6.4. Sejam X compacto, Y espaco de Hausdorff e f : X −→ Y contınua e injetivaentao:

X ∼= f(X).

6.4 Topologia Quociente

Em geral, e falso, que espacos quocientes de um espaco de Hausdorff sejam de Haus-dorff.

Exemplo 6.4.

Seja R com a topologia usual e definamos a seguinte relacao de equivalencia:

x ∼ y ⇔ x = y ou {x, y} ⊂ (0, 1).

Consideremos(

X/

∼)

com a topologia quociente e Π a correspondente projecaocanonica. Se x0 ∈ (0, 1), entao Π−1([x0]) = (0, 1), que nao e fechado em R; logo {[x0]}nao e fechado em

(

X/

∼)

, o qual implica em que(

X/

∼)

nao pode ser de Hausdorff.

Teorema 6.3. SejaX compacto, de Hausdorff e f : X −→ Y uma identificacao. Se f e fechada,entao Y e de Hausdorff (compacto).

Prova : Sejam y1, y2 ∈ Y tal que y1 6= y2, entao f−1(y1) e f

−1(y2) sao compactos disjun-tos. Seja x ∈ f−1(y1) e b ∈ f−1(y2), entao existem Ux,b e Vx,b abertos disjuntos tais quex ∈ Ux,b e b ∈ Vx,b. Por outro lado, {Vx,b / b ∈ f−1(y2)} e uma cobertura de f−1(y2); logoexiste uma subcobertura finita {Vx,b / b ∈ B}, onde B ⊂ f−1(y2) e B finito. Sejam:

Ux =⋂

b∈B

Ux,b e Vx =⋃

b∈B

Vx,b,


Ux e Vx sao abertos tais que Ux ∩ Vx = ∅ e x ∈ Ux, f−1(y2) ⊂ Vx. Por outro lado,

{Ux / x ∈ f−1(y1)} e uma cobertura de f−1(y1), logo existe uma subcobertura finita{Ux / x ∈ A}, onde A ⊂ f−1(y1) e A finito. Sejam:

U =⋃

x∈A

Ux e V =⋂

x∈B

Vx,

U e V sao abertos disjuntos tais que f−1(y1) ⊂ U e f−1(y2) ⊂ V ; como f e fechada,entao f(U c) e f(V c) sao fechados em Y . Denotemos por:

W1 =(

f(U c))ce W2 =

(

f(V c))c.

W1 eW2 sao abertos tais que y1 ∈W1, pois f−1(y1) ⊂ U e y2 ∈W1, pois f

−1(y2) ⊂ V . Sey ∈ W1 ∩W2, entao y /∈ f−1(U c) e y /∈ f−1(V c); logo f−1(y) ∩ U c = ∅ e f−1(y) ∩ V c = ∅donde f−1(y) ⊂ U ∩ V = ∅ eW1 ∩W2 = ∅.

Corolario 6.5. Seja X compacto, de Hausdorff e A ⊂ X fechado. Definamos em X a relacaode equivalencia:

x ∼ y ⇔ x = y ou {x, y} ⊂ A.

Entao(

X/

∼)

e compacto e de Hausdorff.

Prova : Seja F ⊂ X fechado e Π a projecao canonica. Se F ∩A = ∅, entao Π(F ) = F . SeF ∩A 6= ∅, entao Π(F ) = Π(F − A) ∪ Π(F ∩A) que e fechado. De fato:

Π−1(

Π(F − A) ∪ Π(F ∩A))

= (F − A) ∪A = F ∪ A.Logo, Π e fechada.

E comum na literatura denotar-se X/

∼ por X/

A.

Corolario 6.6. SeX e umG-espaco compacto, de Hausdorff eG e finito, entaoX/G e compactoe de Hausdorff.

Prova : Seja F ⊂ X fechado, entao:

Π−1(

Π(F ))

=⋃

g∈G

θg(F ),

onde Π e a projecao canonica. θg e um homeomorfismo, para todo g ∈ G; entaoΠ−1

(

Π(F ))

e fechado e Π(F ) e fechado; logo Π e fechada.

Proposicao 6.4. SeX e compacto, Y e de Hausdorff e f : X −→ Y contınua sobrejetiva, entaof e uma identificacao.

Prova : Seja K ⊂ X fechado, entao K e compacto em X , logo f(K) e compacto emY , como Y e de Hausdorff, f(K) e fechado em Y e f e uma funcao fechada e pelaproposicao [4.2], f e uma identificacao.

Exemplo 6.5.

[1] Sn,n ≥ 1 e compacto e de Hausdorff.

[2] O toro T 2 e compacto e de Hausdorff. Em geral, T n e compacto e de Hausdorff

[3] O espacøprojetivo real RPn e CPn sao compactos e de Hausdorff.

[4] A faixa de Moebius e compacta e de Hausdorff.

[5] A garrafa de Klein e compacta e de Hausdorff.

6.5. HOMEOMORFISMOS 97

6.5 Homeomorfismos

Nas seguintes aplicacoes utilizaremos o seguinte corolario:

Corolario 6.7. Sejam X compacto, Y de Hausdorff ∼ uma relacao de equivalencia em X ef : X −→ Y contınua e sobrejetiva tal que x ∼ x1 ⇔ f(x) = f(x1). Entao:

X ∼= Y.

Exemplo 6.6.

Seja Sn−1 × {0} ⊂ Sn−1 × I , entao:

B[0, 1] ∼=(

Sn−1 × I)/(

Sn−1 × {0})

.

De fato, definamos f : Sn−1 × I −→ B[0, 1] por f(x, t) = t x.

Por outro lado f(x1, t1) = f(x2, t2) ⇐⇒ x 6= 0 ou x1 = x2 e t1 = t2 = 0, f e contınuae sobrejetiva. Logo, por passagem ao quocientes, f induz uma bijecao contınua F talque:

F ◦ Π = f.

Denotemos por X =(

Sn−1 × I)/(

Sn−1 × {0})

, temos o seguinte diagrama comutativo:

Sn−1 × I

f

��

Π // B[0, 1]

X

F

88rrrrrrrrrrr

Como X e compacto e B[0, 1] e de Hausdorff, entao F e um homeomorfismo o qual edefinido por F ([(x, t)]) = f(x, t).

A continuacao apresentamos as provas da alguns homeomorfismos introduzidos an-teriormente,

6.5.1 O Cırculo

Consideremos S1 ⊂ C com a topologia induzida pela usual de C,

O Cırculo como Espaco Quociente

Seja I = [0, 1] ⊂ R com a topologia usual, definamos o espa co quociente:

I/ ∼,


onde x ∼ y ⇔ x = y ou {x, y} = {0, 1}. Por outro lado, seja f : I −→ S1 definida porf(x) = e2πix. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

I

Π��

f// S1

I/

∼f

F

<<yyyyyyyy

Note que ∼ e ∼f sao equivalentes. De fato:

x ∼ y ⇐⇒ x = y ou {x, y} = {0, 1}.Se x = y, entao f(x) = f(y) e x ∼f y

Se {x, y} = {0, 1}, entao f(0) = f(1) = 1 e x ∼f y.

Reciprocamente:

x ∼f y ⇐⇒ e2πix = e2πiy ⇐⇒ e2πi(x−y) = 1.

Logo, x = y ou |x− y| = 1, como x, y,∈ I , temos {x, y} = {0, 1} e x ∼ y

Como f contınua e sobrejetiva, S1 e de Hausdorff e I/ ∼ e compacto, entao f e umaidentificacao, logo, F e um homeomorfismo:

S1 ∼=(

I/ ∼)

.

O Cırculo como Z-espaco

R e um Z-espaco com a operacao n ⊛ x = n + x. Seja f : I −→ S1 definida porf(x) = e2πix. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

R

Π��

f// S1

R/

Z

F

=={{{{{{{{

Analogamente ao caso anterior, x ∼ y ⇐⇒ existe n ∈ Z tal que y = n + x⇐⇒ f(x) =f(y). Por outro lado f e contınua e sobrejetora.

Afirmamos que f e aberta. De fato, considere (a, b) ∈ R:

Se |b− a| > 1, entao f((a, b)) = S1, logo f e aberta.

Se |b − a| ≤ 1, entao S1 − f((a, b)) = f([b, a + 1)]) que e fechado em S1, pois S1 e deHausdorff. Logo, f e uma identificacao.

Logo, F e um homeomorfismo, e:

R/Z ∼= S1.

Finalmente, temos que:

S1 ∼=(

I/ ∼) ∼= R/Z.


6.5.2 O Toro

O Toro como Espaco Quociente

De forma analoga ao cırculo, consideramos:

f :I × I −→ S1 × S1


Seja I2 ⊂ R2 com a topologia induzida pela topologia usual de R2 e para todo (x, y),(x1, y1) ∈ I2, consideremos a relacao de equivalencia:

(x, y) ∼ (x1, y1) ⇐⇒ (x, y) = (x1, y1) ou (0, y) ∼ (1, y) e (x, 0) ∼ (x, 1).

Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

I2

Π��

f// S1 × S1

I2/

∼F

99ttttttttt

Pelos mesmos argumentos utilizados no cırculo: como(

I2/

∼)

e compacto e T 2 e deHausdorff, entao F e um homeomorfismo:

S1 × S1 ∼= I2/

∼.

O Toro como Z × Z -espaco

De forma analoga, consideramos:

f :R × R −→ S1 × S1


e o seguinte diagrama comutativo:

R2

Π��

f// S1 × S1

R2/

Z2

F

99sssssssss

Pelos mesmos argumentos utilizados no cırculo, temos que:

R2/Z2 ∼= S1 × S1.

Seja T 2 e o toro de revolucao em R3, parametrizado por:

x(t, s) = (R+ r cos(2πs)) cos(2πt)

y(t, s) = (R+ r cos(2πs)) sen(2πt)

z(t, s) = r sen(2πt),


onde R > r > 0 e (t, s) ∈ R2.

Consideramos f : R2 −→ T 2 definido por f(t, s) = (x(t, s), y(t, s), z(t, s)). Nao e difıcilver que

f(t1, s1) = f(t2, s2) ⇐⇒ (t1 − t2, s1 − s2) ∈ Z2.

Por um argumento totalmente analogo ao anterior, obtemos um homeomorfismo:

R2/Z2 ∼= T 2.

Logo, provamos que:T 2 ∼= S1 × S1 ∼=

(

I2/

∼) ∼= R2

/

Z2.

Em geral, com argumentos analogos aos anteriores, se consideramos o toro n-dimen-sionalTn = S1 × S1 × . . .× S1, (n vezes), temos que:

Tn ∼= Rn/

Zn ∼= In/ ∼ .

6.5.3 Espacos Projetivos Reais

Seja X = Rn+1∗ , isto e Rn+1 menos a origem, definamos em X a seguinte relacao de

equivalencia:

x ∼ y ⇐⇒ existe λ ∈ R∗ tal que x = λ y.

Seja X =(

X/

∼)

, entao:

X ∼= RPn.

Considere Sn ⊂ Rn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Rn+1. Seja:

f : Sn −→ X

definida por f = Π ◦ i, onde i : Sn −→ Rn+1∗ e a inclusao e Π : Rn+1

∗ −→ X e a projecaocanonica. f e contınua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

Sn

Π��

f// RPn

XF

<<yyyyyyyyy

Como Sn e compacta e RPn e de Hausdorff, entao F e um homeomorfismo F .

E claro queRP0 e um ponto eRP1 ∼= S1. De fato, basta considerar a funcao f : S1 −→ S1

tal que f(z) = z2, por argumentos analogos aos anteriores, temos o seguinte diagramacomutativo:

S1

Π��

f// S1

RP1

F

==zzzzzzzz

Logo, temos que RP1 ∼= S1.


6.5.4 Espacos Projetivos Complexos

Seja X = Cn+1∗ , isto e Cn+1 menos a origem, definamos em X a seguinte relacao de

equivalencia:

z1 ∼ z2 ⇐⇒ existe λ ∈ C∗ tal que z1 = λ z2.

Seja X =(

X/

∼)

, entao:X ∼= CPn.

Considere S2n+1 ⊂ Cn+1 com a topologia induzida pela topologia usual de Cn+1. Seja:

f : S2n+1 −→ X

definida por f = Π ◦ i, onde i : S2n+1 −→ X e a inclusao e Π : Cn+1∗ −→ X e a projecao

canonica. f e contınua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

S2n+1

Π��

f// CPn

XF

::vvvvvvvvvv

Como S2n+1 e compacta e CPn e de Hausdorff, entao F e um homeomorfismo e:

X ∼= CPn.

6.5.5 Grupos Ortogonais

Seja O(n) o grupo ortogonal real e denotemos porH o subgrupo de O(n) definido por:A ∈ H se, e somente se:

A =

(

1 00 B

)

,

onde B ∈ O(n − 1). Nao e difıcil ver que H e O(n − 1) sao homeomorfos. Definamosem O(n) a seguinte relacao de equivalencia:

A1 ∼ A2 ⇐⇒ existe A ∈ H tal que A1 = A2A.

Afirmamos que:

O(n)/

O(n− 1) ∼= Sn−1.

Definamos f : O(n) −→ Sn−1 por:

f(A) = A

1...0

f e bem definida e sobrejetiva, pois para todo v ∈ Sn−1, existe uma rotacao A tal queAe1 = v. Verifique! f e claramente contınua.


Sejam A1 ∼ A2, entao A1 = A2A, para algum A ∈ O(n− 1); logo:

f(A1) = A1

1...0

= A2A

1...0

= A2

1...0

= f(A2).

Logo, temos o seguinte diagrama comutativo:

O(n)

Π��

f// Sn−1

O(n)/O(n− 1)

F

77pppppppppppp

F ([A]) = f(A). Como O(n) e compacto, entao O(n)/O(n− 1) e compacto, F e contınuae bijetiva e Sn−1 e de Hausdorff, enao F e um homeomorfismo e:

O(n)/

O(n− 1) ∼= Sn−1.

6.5.6 A Faixa de Moebius

SejaM a faixa de Moebius, entao:M ∼= F,

onde F e a superfıcie parametrizada em R3, por:

x(t, s) = (x2 − y2) (2 + x z)

y(t, s) = 2 x y (2 + x z)

z(t, s) = y z,

onde (t, s) ∈ R2.

Lembremos que M =(

C/

∼)

, onde C = {(x, y, z) / x2 + y2 = 1, |z| ≤ 1}. Sejap = (x, y, z) ∈ C e f : C −→ R3 definida por:

f(p) = ((x2 − y2) (2 + x z), 2 x y (2 + x z), x y).

Note que f(p) = f(x, y, z) = f(−x,−y,−z) = f(−p). A funcao f e injetiva, contınua,M compacto e f(M) ⊂ R3 de Hausdorff; logo

M ∼= f(M) = F.

6.6 Variedades Topologicas

Seja X um espaco topologico.

Definicao 6.3. X e uma variedade topologica de dimensao n, se:

1. X e de Hausdorff.

6.6. VARIEDADES TOPOLOGICAS 103

2. X possui uma base enumeravel.

3. Todo ponto deX possui uma vizinhanca homeomorfa a uma aberto de Rn.

Se X e uma variedade topologica de dimensao n. Todo ponto de X possui umavizinhanca homeomorfa a uma aberto de Rn; isto e todo x ∈ X possui uma vizinhancaU e um homeomorfismo:

h : U −→ Dn,

onde Dn ⊂ Rn e o disco unitario.

Ux

h

D

X

Figura 6.1: Variedade de dimensao 2

Os abertos de X homeomorfos aos abertos de Rn formam uma base para X . Umavariedade topologica de dimensao n e localmente homeomorfa a Rn.

Se n = 2, entao X e dita superfıcie topologica.

Se X e Y sao variedades de dimensao n e m, respectivamente, entao X × Y e umavariedade de dimensao n+m. (Verifique!).

Exemplo 6.7.

[1] Para todo n ∈ N, Rn e uma n-variedades.

[2] A esfera Sn e uma variedade topologica de dimensao n. Segue de imediato, bastaconsiderar a projecao stereografica.

[3] Tn = S1 × . . .× S1 (n-vezes) e uma variedad topologica de dimensao n.

[4] Os espacos projetivos reais e complexos sao variedades topologicas de dimensao ne 2n, respectivamente.

[5] A garrafa de Klein e uma superfıcie topologica.

[6] A Faixa de Moebius nao e uma superfıcie topologica. Por que?

[7]Mn×m(R) e uma n ·m-variedade.


6.7 Exercıcios

1. Verifique que se X e compacto e de Hausdorff, entao CX e compacto e de Haus-dorff.

2. Se X e de Hausdorff e f : X −→ Y e uma bijecao fechada. Verifique que Y e deHausdorff.

3. Seja X , onde a topologia em X e definida por: U e aberto se, e somente se U = ∅ou U c e finito. X e de Hausdorff?

4. Se X e de Hausdorff e A ⊂ X finito tal que A′ = ∅. Verifique que A e fechado.

5. Seja X = {(x, 1) ∈ R2 / x ∈ R} ∪ {(x,−1) ∈ R2 / x ∈ R}. Verifique queX nao e deHausdorff com a topologia induzida pela topologia usual de R2.

6. Ache exemplos de(

X,T1

)

espaco topologico,(

Y,T2

)

de Hausdorff e f : X −→ Ybijecao contınua tal que nao seja homeomorfismo.

7. Verifique que CP0 e um ponto e CP1 ∼= S2.

8. SeX e de Hausdorff. X e dito 0-dimensional seX possui uma base cujos elemen-tos sao abertos e fechados.

(a)(

R,Tus

)

,(

Q,Tus

)

e(

Z,Tus

)

sao 0-dimensionais?

(b) Se X e Y sao 0-dimensionais, entao X × Y e 0-dimensional?

9. Todos os conjuntos abertos de Rn sao variedades topologicas de dimensao n.

10. Verifique se a uniao do eixo dos x e do eixo dos y como subespacos de R2 e umavariedades topologicas de dimensao 2?

11. Sejam X uma variedade topologica de dimensao n, Y um espaco topologico e

f : X −→ Y um homeomorfismo local sobrejetivo. Verifique que Y e uma varie-dade topologica de dimensao n.

Capıtulo 7

CONEXIDADE

7.1 Introducao

Definicao 7.1. Seja X um espaco topologico. X e dito conexo se nao existem A e B abertosdisjuntos nao vazios tais que X = A ∪ B. Caso contrario X e dito desconexo.

Observacao 7.1.

A ⊂ X e conexo, se e conexo como subespaco deX .

Exemplo 7.1.

[1] {x} e ∅ sao sempre conexos.[2] Em

(

X,Tind

)

, todo subconjunto e conexo.

[3] Em(

X,Tdis

)

, os unicos conexos nao vazios sao os conjuntos de um elemento.

[4] Seja(

R,Tus

)

,

i) Q ⊂ R e desconexo. De fato, basta considerar:

A = (−∞,√

2) ∩ Q e B = (√

2,+∞) ∩ Q.

ii) Para todo x ∈ R, entao R − {x} e desconexo. De fato, basta considerar:

A = (−∞, x) e B = (x,+∞).

[5](

R,Tcof

)

e conexo. De fato, nesta topologia nao existem abertos nao vazios disjun-tos.

Proposicao 7.1. Seja R com a topologia usual. Os unicos conjuntos conexos em R com maisde um ponto sao os intervalos (abertos, fechados, etc).

Prova : Se Y e conexo, entao Y e um intervalo. Suponha que Y nao e um intervalo,entao existem a, b ∈ Y e c /∈ Y tal que a < c < b. Sejam A = (−∞, c) ∩ Y e B =(c,+∞) ∩ Y ; logo Y = A ∪ B e Y nao e conexo.

105

106 CAPITULO 7. CONEXIDADE

Se Y e um intervalo, entao e conexo. Se Y for desconexo, entao existem A e B abertosdisjuntos nao vazios tais que Y = A ∪ B. Sejam a ∈ A e b ∈ B tais que a < b (casocontrario, mudamos os papeis de a e b). Denotemos por:

α = sup{x / [a, x) ⊂ A}.

Logo α ≤ b; como Y e um intervalo, α ∈ Y . Por outro lado, α ∈ AY = A ∩ Y . ComoA = Y − B, entao A e aberto e fechado em Y ; logo α ∈ A =

◦

A e existe ε > 0 tal que(α− ε, α + ε) ⊂ A, contradicao, pois α e um supremo.Segue de imediato da proposicao anterior:

Corolario 7.1. Seja R com a topologia usual. A ⊂ R e conexo se, e somente seA = ∅, A = {x}ou A e um intervalo.

Teorema 7.1. Sao equivalentes:

1. X conexo.

2. Os unicos subconjuntos abertos e fechados em X sao X e ∅.

3. Nao existe funcao f :(

X,T)

−→(

{0, 1},Tdis

)

contınua e sobrejetiva.

Prova :1) ⇒ 2) Se A ⊂ X e aberto, fechado e nao vazio ou X , entao X = A ∪ Ac, entao Xdesconexo.

2) ⇒ 3) Suponha que f :(

X,T)

−→(

{0, 1},Tdis

)

e contınua e sobrejetivaa, logof−1(0) 6= ∅, como {0} e aberto e fechado em

(

{0, 1},Tdis

)

, entao f−1(0) e aberto e fe-chado em X .

3) ⇒ 1) Se X = A ∪ B onde A e B sao abertos disjuntos nao vazios, entao A e B saofechados e a funcao χ :

(

X,T)

−→(

{0, 1},Tdis

)

definida por:

χ(x) =

{

1 se x ∈ A

0 se x ∈ B

e contınua e sobrejetiva.

Exemplo 7.2. Segue do teorema que R, com a topologia usual e conexo.

Corolario 7.2.

1. Se X e conexo e f : X −→ Y e contınua, entao f(X) e conexo.

2. Seja X ∼= Y . Entao, X e conexo se, e somente se T e conexo.

3. A uniao arbitraria de subconjuntos conexos de X que tem pelo menos um ponto em co-

mum, e conexa. Isto e. Seja {Aλ /, λ ∈ Γ} tal que⋂

λ

Aλ 6= ∅, entao:

⋃

λ∈Γ

Aλ

e conexo.

7.1. INTRODUCAO 107

4. Seja A ⊂ X subconjunto conexo. Se B ⊂ X e tal que A ⊂ B ⊂ A, entao B e conexo.Em particular, o fecho de um conexo e conexo.

Prova : 1. Note que f : X −→ f(X) e contınua e sobrejetivaa. Se f(X) for desconexo,existe g : f(X) −→ {0, 1} contınua e sobrejetiva; logo g ◦ f : X −→ {0, 1} contınua esobrejetiva, o que e uma contradicao, pois X e conexo.

2. E imediata.

3. Sejam {Aα / α ∈ I} famılia de conexos, e:

A =⋃

α∈I

Aα, tal que x0 ∈⋂

α∈I

Aα.

Suponha que existe f : A −→ {0, 1} contınua. Como cada Aα e conexo f∣

∣

Aα

nao e

sobrejetiva. Por outro lado, como x0 ∈ Aα, para todo α ∈ I ; entao f(x) = f(x0), paratodo x ∈ Aα e α ∈ I ; caso contrario f

∣

∣

Aα

e sobrejetiva. Logo f nao e sobrejetiva.

4. Seja f : X −→ {0, 2} contınua; como A e conexo, entao f∣

∣

Anao e sobrejetiva. Por

outro lado, B = A ∩B = AB e pela continuidade de f :

f(B) = f(AB) ⊂ f(A) = f(A);

logo f nao e sobrejetiva.

Proposicao 7.2. X e Y sao conexos se, e somente se X × Y e conexo.

Prova : SejamX e Y conjuntos conexos tais queX×Y = A∪B, onde A e B sao abertosdisjuntos. Ou A = A1 × Y , A1 ⊂ X aberto ou existe x ∈ X tal que

(

{x} × Y)

∩ A 6= ∅ e(

{x} × Y)

∩B 6= ∅.

Exemplo 7.3.

[1] S1 ⊂ R2 com a topologia usual e conexo. De fato; seja f : [0, 1] −→ R2 definida porf(t) = e2πi t que e contınua e S1 = f([0, 1]. Em particular:

S1 ≇ R,

pois, R − {x} e desconexo e S1 − {p} e ainda conexo.[2] O toro T 2 = S1 × S1 e conexo. Em geral, T n e conexo.

[3] Rn e In = [0, 1] × · · · × [0, 1] sao conexos.

[4] A faixa de Moebius, o plano projetivo real, o plano projetivo complexo e a garrafade Klein sao conexos.

[5] SejamX = {(x, y) / y = sen(1/x), 0 < x ≤ 1} e Z = {0} × [−1, 1].

O conjunto X e conexo, pois e imagem de (0, 1] por uma funcao contınua, Z tambem econexo; pelo corolario [7.2], X ∪ Z e conexo. Note que em R2,X = X ∪ Z.


1

-1

1

Figura 7.1: X = X ∪ Z.

[6] Seja a famılia S1r = {(x, y) ∈ R2 / (x− r)2 +y2 = r2}, logo (0, 0) ∈ S1

r para todo r > 0.

Figura 7.2: A famılia S1r .

Como cada S1r e conexo, pelo corolario [7.2]:

D =⋃

r>0

S1r = {(x, y) ∈ R2 / (x− r)2 + y2 ≤ r2},

e conexo.

7.2 Aplicacoes

A primeira aplicacao que estudaremos e relativa as variedades topologicas:

Toda 1-variedades conexa e compacta e homeomorfa a S1 e toda 1-variedades conexae nao compacta e homeomorfa a R.

Teorema de Classificacao das Superfıcies: Toda superfıcie topologica, compacta e co-nexa e homeomorfa a S2, copias de T 2 ou copias PR2.

O caso da classificacao das 3-variedades e conhecida como a conjetura de geome-trizacao de Thurston que inclui a celebre conjetura de Poincare. O matematico rusoGrigori Perelman provou a conjetura de geometrizacao de Thurston recentemente.

7.2. APLICACOES 109

A segunda aplicacao que estudaremos e a generalizacao do teorema do Valor Inter-mediario do Calculo.

Proposicao 7.3. Sejam X conexo, R com a topologia usual e f : X −→ R contınua. Sejamx1, x2 ∈ X tais que f(x1) < f(x2). Entao para todo c ∈ R tal que f(x1) < c < f(x2), existex ∈ X tal que f(x) = c.

Prova : Se f e contınua, entao f(X) ⊂ R e conexo, logo f(X) e um intervalo. Sef(x1) = a e f(x2) = b, entao [a, b] ⊂ R; portanto, para todo c ∈ [a, b] existe x ∈ X tal quef(x) = c.

Corolario 7.3.

1. Toda f : [0, 1] −→ [0, 1] contınua admite, pelo menos menos um, ponto fixo. Isto e, existex ∈ [0, 1] tal que f(x) = x.

2. Teorema de Borsuk - Ulam para n = 1: Seja f : S1 −→ R contınua. Existem pontosantipodais que possuem a mesma imagem.

Prova : 1. Seja F (x) = f(x) − x; entao F (1) ≤ 0 ≤ F (0). Pelo teorema do valorintermediario, existe x ∈ [0, 1] tal que F (x) = 0.

2. Utilizando coordenadas polares, podemos denotar os elementos de S1 pelo anguloθ, medido em radianos. Logo, os pontos θ e θ+π sao antıpodas; consideremos a funcaoF (θ) = f(θ) − f(θ + π); entao como f(0) = f(2 π) e F (0) = −F (π), pelo teorema dovalor intermediario, existe θ1 ∈ [0, π] tal que F (θ1) = 0.

Proposicao 7.4. Seja n > 1 e A ⊂ Rn, A enumeravel. Entao Rn −A e conexo.

Prova : Sem perda de generalidade, podemos supor que a origem 0 /∈ A (caso contrario,por translacao, movemos a origem). Seja x ∈ Rn −A. Provaremos que a origem e cadax, estao contidos num conjunto conexo de Rn − A e pelo corolario [7.2], Rn − A sera

conexo. Denotemos por ~0x a semi-reta que liga a origem a x e por L uma reta qualquer

que intersecte ~0x em unico ponto diferente de 0 e x. Para todo z ∈ L, seja LZ = ~0z ∪ ~zx.Pelo corolario [7.2] cada Lx e conexo e LZ ∩ Lz′ = {0, x}.

x

0

L

Lz

zA

Figura 7.3:


Pelo menos um Lz ⊂ Rn −A; caso contrario se Lz ∩A 6= ∅, para todo z ∈ L, o ponto deintersecao, necessariamente, deve ser diferente para diferentes z ∈ L. Logo, terıamosuma correspondencia biunıvoca entre L e A, o que e impossıvel, pois A e enumeravel.

Corolario 7.4. R e Rn, n > 1 nao sao homeomorfos.

Prova : Suponha que Rn ∼=h R; entao(

Rn − {x}) ∼=

(

R − {h(x)})

. Como Rn − {x} econexo, R − {h(x)} seria conexo. Portanto nao podem ser homeomorfos.Provar que Rn ≇ Rm se n 6= m e, surpreendentemente, muito mais complicado. Esteresultado segue do teorema chamado da invariancia da dimensao, cujo enunciadoe: se Rn ∼= Rm, entao n = m. A prova deste teorema envolve delicados conceitostopologicos que ficam fora do contexto destas notas.

Definicao 7.2. Seja x ∈ X ,. A componente conexa de x e a uniao de todos os conjuntosconexos que contem a x.

Denotamos por C(x) a componente conexa de x. Pelo corolario [7.2], C(x) e o maiorconexo que contem x. Se X e conexo, entao C(x) = X , para todo x ∈ X .

Proposicao 7.5. C(x) e fechado em X .

Prova : Sabemos que C(x) ⊂ C(x), para todo x ∈ X e que C(x) e conexo. Como C(x) e

o maior conexo que contem x, entao C(x) ⊂ C(x).

Exemplo 7.4. Sn ⊂ Rn∗1, com a topologia usual, e conexo.

De fato; consideremos o homeomorfismo Sn − {p} ∼= Rn dado pela projecao estere-ografica. Como Rn e conexo, entao Sn − {p} e conexo e:

Sn = Sn − {p}.

7.3 Conexidade por Caminhos

Sejam(

X,T)

e I = [a, b] ⊂ R um intervalo fechado, com a topologia induzida pelatopologia usual de R.

Definicao 7.3. Um caminho em X e uma funcao α : I −→ X , contınua.

Os pontos α(a) e α(b) sao ditos ponto inicial e final do caminho, respectivamente. Umcaminho nao e um conjunto em X . Por exemplo, considerando R com a topologiausual, entao:

α1 : [0, 1] −→ R e α2 : [0, 1] −→ R,

definidos por α1(t) = t e α2(t) = t2 sao dois caminhos ligando 0 e 1.

Definicao 7.4. X e dito conexo por caminhos ou conexo por arcos, se para todo x1, x2 ∈X , existe caminho ligando x1 a x2.

7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 111

Exemplo 7.5.

[1] Rn e conexo por caminhos. Em geral, todo espaco vetorial e conexo por caminhos.

[2] O grupo O(n) nao e conexo por caminhos. De fato, se consideramos duas matri-zes em O(n), tais que uma tenha determinante positivo e a outra determinante nega-tivo, qualquer caminho contınuo ligando estas matrizes, necessariamente devera pas-sar pela matriz nula.

Proposicao 7.6. Seja X conexo por caminhos e f : X −→ Y contınua e sobrejetiva. Entao Ye conexo por caminhos.

Prova : Sejam y, y1 ∈ Y ; como f e sobrejetiva, existem x, x1 ∈ X tais que f(x) = y ef(x1) = y1. Como X e conexo por caminhos, existe α : I −→ X contınua ligando x ax1; logo definimos β = f ◦ α, que e um caminho que liga y a y1.

Corolario 7.5. Se X ∼= Y , entao X conexo por caminhos se, e somente se Y conexo porcaminhos.

Pelo corolario, podemos sempre considerar I = [0, 1]. Sejam α, β : I −→ X caminhostais que α(1) = β(0), isto e, o ponto final de α coincide com o ponto inicial de β. Nestacondicoes, podemos definir:

α ∗ β :I −→ X

t −→{

α(2 t) se 0 ≤ t ≤ 1/2

β(2 t− 1) se 1/2 ≤ t ≤ 1

O caminho α ∗ β e contınuo e (α ∗ β)(0) = α(0), (α ∗ β)(1/2) = α(1/2) = β(1/2) e(α ∗ β)(1) = β(1). Logo, α ∗ β e um caminho em X ligando α(0) a β(1).

Proposicao 7.7. Seja {Xλ / λ ∈ Γ} uma famılia arbitraria de espacos conexos por caminhostal que⋂

λ∈Γ

Xλ 6= ∅, entao:

X =⋃

λ∈Γ

Xλ

e conexo por caminhos.

Prova : Sejam x1, x2 ∈ X tais que x1 ∈ Xλ1e x2 ∈ Xλ2

. Se z ∈⋂

Xλ, existem α e β

caminhos com x1 ∈ Xλ1e x2 ∈ Xλ2

, ligando x1 a z e x2 a z, respectivamente. Bastaconsiderar o caminho α ∗ β, que liga x1 a x2.

Proposicao 7.8. Se X e Y sao conexos por caminhos, entao X × Y e conexo por caminhos.

Prova : Sejam (x, y), (x1, y1) ∈ X × Y . Denotemos por α : I −→ X e β : I −→ Ycaminhos ligando x a x1 e y a y1, respectivamente. Logo:

µ :I −→ X × Y

t −→ (α(t), β(t))

e um caminho em X × Y , ligando (x, y) a (x1, y1).


Teorema 7.2. Se X e conexo por caminhos, entao X e conexo.

Prova : Sejam x, x1 ∈ X e α um caminho ligando x a x1. Entao, α(I) e um conjuntoconexo que contem x e x1; logo x e x1 pertencem a mesma componente conexa, o queimplica queX possui uma unica componente conexa; portanto e conexo.

A reciproca do teorema e falsa. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 7.6.

Sabemos que se:

X = {(x, y) / y = sen(1/x), 0 < x ≤ 1} e Z = {0} × [−1, 1],

o conjunto Y = X ∪ Z e conexo, mas Y nao e conexo por caminhos.Provaremos que nao existe caminho α : [0, 1] −→ Y tal que α(0) ∈ X e α(1) ∈ Z.Suponha que tal caminho existe. Sem perda de generalidade, podemos supor queα(1) = (0, 1). Consideremos ε = 1/2; pela continuidade de α, existe δ > 0 tal que‖α(t) − (0, 1)‖ < 1/2 se 1 − δ ≤ t ≤ 1.

1

1

Figura 7.4:

Note que α([1 − δ, 1]) e conexo. Denotemos por α(1 − δ) = (x0, y0) e pr1(x, y) = x aprimeira projecao de R2; entao pr1 ◦ α : [0, 1] −→ R e contınua e o seguinte conjuntoC =

(

pr1 ◦ α)

([1 − δ, 1]) e conexo com 0 ∈ C, pois α(1) = (0, 1)); tambem x0 ∈ C.Por outro lado, C e um intervalo e contem [0, x0]; logo para todo x1 ∈ (0, x0], existet ∈ [1 − δ, 1] tal que α(t) = (x1, sen(1/x1)). Em particular, se m = 2nπ − π/2, para ngrande, temos que se x1 = 1/m, entao 0 < x1 < x0 e sen(1/x1) = sen(−π/2) = −1; logoo ponto (1/m,−1) = α(t), para algum t ∈ [1 − δ, 1], ou seja, o ponto (1/m,−1) esta auma distancia menor que 1/2 do ponto (0, 1). Istoe e uma contradicao, pois (1/m,−1)esta a uma distancia de pelo menos 2 do ponto (0, 1).

Proposicao 7.9. Seja Rn com a topologia usual, se A ⊂ Rn e aberto, entao A e conexo porcaminhos.

Prova : Seja p ∈ A e denotemos por:

F = {x ∈ A/x pode ser ligados a p por um caminho em A}

7.3. CONEXIDADE POR CAMINHOS 113

Afirmamos que F e aberto:

De fato, seja x ∈ F ⊂ A, como A e aberto, existe ε > 0 tal que D = {y / ‖x − y‖ < ε, }e uma vizinhanca de x e x ∈ D ⊂ A. Por outro lado, D e conexo por caminhos, (pois ehomeomorfo a Rn); logo, todo ponto de D pode ser ligado a p por um caminho em D.Por tanto, todo ponto de D pode ser ligado a p por um caminho em A. Isto e, D ⊂ F eF a aberto.

Afirmamos que F e fechado.:

De fato, sejaB = E−F ; logoB e o conjunto de todos os pontos deA que nao podem serligados a p por um caminho em A. Por um argumento analogo ao anterior e possıvelverificar que B e aberto e por tanto F e fechado. Logo, F e nao vazio, aberto e fechado,como A e conexo, entao A = F .


7.4 Exercıcios

1. Rn com a topologia usual. Verifique se os seguintes conjuntos sao ou nao conexos.

(a) {(x, y) / x > 1}.

(b) {(x, y) / x = y}.

(c) {(x, y) / x y > 0}.

(d) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 > 4}.

(e) {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 > 4}c.

2. Seja Y um conjunto ordenado, com a relacao de ordem ≤. Denotemos por y < y1

se y ≤ y1 e y 6= y1. Definamos a topologia em Y que tem como subbase S ={Ly, Ry}, onde:

Ly = {x ∈ Y / x < y} e Ry = {z ∈ Y / y < z}.

Note que se Y = R, entao o intervalo (a, b) = Ra∩Lb. A topologia gerada por estasubbase e chamada topologia da ordem e Y e dito espaco odenado. Verifique queo teorema do valor intermediario, pode ser estendido a espacos ordenados.

3. Verifique que:

(a) R ≇ S1.

(b) S1 ≇ Sn se n > 1.

4. Sejam(

X,T)

e R com a topologia usual. Dizemos que f : X −→ R e localmenteconstante se, para todo x ∈ X existe U vizinhanca de x tal que f : U −→ R econstante. Verifique que:

(a) Se X e conexo e f localmente constante, entao f e constante.

(b) Se toda f : X −→ R e localmente constante, entao X e conexo.

5. Seja f : X −→ Y um homeomorfismo local tal que X e compacacto e conexo.Verifique que existe n ∈ N tal que para todo y ∈ Im(f) a cardinalidade de f−1(y)e n.

6. Verifique que todo espaco com a topologia indiscreta e conexo por caminhos.

7.4. EXERCICIOS 115

7. Seja X um espaco topologico e ∼ a seguinte ralacao de equivalencia:

x ∼ y ⇔ se existe um caminho ligando x a y emX.

Verifique queX e conexo por caminhos⇔ X/

∼ e conexo por caminhos.

8. Un espaco X e dito totalmente disconexo, se os unicos subconjuntos conexos saoos de um elemento. Verifique:

(a) Se X e de Hausdorff e finito, entao e totalmente disconexo.

(b) SeX tem a topologia discreta, entao e totalmente disconexo. Vale a recıproca?

9. Seja X espaco topologico, denotemos por K = {f : X −→ Z2 contınuas}, Z2 coma topologia discreta. Definamos, para toda f, g ∈ K

(f + g)(x) = f(x) + g(x) mod 2.

(a) Verifique que K e um grupo abeliano com esta operacao.

(b) Verifique que f + g e contınua.

(c) Verifique que se X e conexo, se e, somente se K e isomorfo a Z2.

Bibliografia

[EL1] Lima E.: Analise em Rn, Projeto Euclides, Impa - Brasil

[EL2] Lima E.: Espacos Metricos, Projeto Euclides, Impa - Brasil

[DD] Dugundji J: Topology, Boston, Allyn & Bacon

[CK] Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press

117

ebook: topologia geral - mauricio a. vilches

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