curso basico de topologia

Nocoes (basicas) de Topologia Geral, espacos metricos,

espacos normados e espacos com produto interno

Andre Arbex Hallack

Setembro/2011

Introducao

O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminario (de mesmo nome) oferecido pelo

Departamento de Matematica da Universidade Federal de Juiz de Fora no Verao/2000 e tendo

como principal objetivo fornecer algumas nocoes basicas (elementares) de Topologia, tanto

de espacos topologicos em geral como a topologia de espacos metricos, espacos normados e

espacos com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma visao global de todos

esses tipos de espaco, a ser utilizada (ao menos como referencia) em estudos mais avancados

na Matematica.

Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matematica, o Seminario

pode ser bem aproveitado tambem por outros que tinham objetivos relacionados com o acima

citado.

Os pre-requisitos basicos para seguir o texto sao nocoes de Teoria dos Conjuntos e Algebra

Linear. Embora nao sendo absolutamente necessario, tambem e bom que se tenha tido algum

contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR -

conteudo geralmente visto em um primeiro curso de Analise), bem como nocoes de convergencia

de sequencias e series numericas.

O primeiro capıtulo trata de nocoes de Topologia Geral. Seguem-se capıtulos sobre espacos

metricos, espacos normados e espacos com produto interno. Ao final do texto, foram acrescen-

tados (a tıtulo de informacao adicional) tres apendices, tratando da Topologia Produto (sobre

produtos cartesianos de espacos topologicos), bases em espacos vetoriais e sobre o espaco IRn.

Andre Arbex Hallack

i

Indice

Introducao i

1 Topologia Geral 1

1.1 Espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Base para uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Subespacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Interior, vizinhancas, fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Espacos de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Sequencias em espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Espacos metricos 23

2.1 Espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 A Topologia Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Sequencias em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7 Compacidade em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

2.8 Metricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Espacos normados 39

3.1 Espacos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 A topologia da norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Transformacoes lineares em espacos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Espacos com produto interno 51

4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Norma a partir de um produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 O Teorema de Representacao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A Introducao a Topologia Produto 57

B Sobre bases em espacos vetoriais 63

C O espaco IRn 67

Referencias 75

Capıtulo 1

Topologia Geral

Nosso principal objetivo neste primeiro capıtulo e trabalhar com o conceito geral de espaco

topologico e nocoes de convergencia (de sequencias), continuidade de funcoes, conexidade e

compacidade neste contexto.

1.1 Espacos topologicos

Definicao 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X e uma colecao τ de subconjuntos

de X ( τ ⊂ P(X) ) satisfazendo as seguintes propriedades:

A.1) φ e X estao em τ .

A.2) A uniao dos elementos de qualquer subcolecao de τ esta em τ .

A.3) A intersecao dos elementos de qualquer subcolecao finita de τ esta em τ .

Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) e chamado ESPACO TOPOLOGICO.

Neste caso, dizemos que um subconjunto A ⊂ X e um conjunto ABERTO do espaco topologico

X se, e somente se, A ∈ τ .

Exemplos:

A) Topologia Discreta:

Seja X um conjunto qualquer. A colecao τ = P(X) de todos os subconjuntos de X e

uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA.

Qualquer subconjunto de X e aberto na Topologia Discreta.

1

2 CAPITULO 1

B) Topologia Caotica:

Seja X um conjunto qualquer. A colecao τ = {φ , X} e uma topologia sobre X,

conhecida como TOPOLOGIA CAOTICA.

Os conjuntos φ e X sao os unicos abertos de X na Topologia Caotica.

C) Seja X = {a, b, c, d}

τd = P(X) e a Topologia Discreta sobre X.

τc = {φ , X} e a Topologia Caotica sobre X.

τ1 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} e uma topologia sobre X.

τ2 = {φ , {a, b} , {c, d} , X} e uma topologia sobre X.

τ3 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , X} nao e uma topologia sobre X.

τ4 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d} , X} e uma topologia sobre X.

D) Topologia Usual da Reta:

Consideremos o conjunto IR dos numeros reais.

A colecao τ dada por: τ = {A ⊂ IR; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com (a− ε, a + ε) ⊂ A} e uma

topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta.

Os abertos de IR, na Topologia Usual, sao os subconjuntos A ⊂ IR tais que: todos os

seus pontos sao centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A.

E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR2):

Consideremos o conjunto C = {z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos numeros complexos.

A colecao τ dada por: τ = {A ⊂ C; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com Dε(a) ⊂ A} e uma topologia

(Usual) sobre C. Dε(a) = {z ∈ C; |z − a| < ε} e o disco aberto de centro a e raio ε > 0.

Os abertos de C, na Topologia Usual, sao os subconjuntos A ⊂ C tais que: cada um

de seus pontos e centro de um disco aberto inteiramente contido em A:

Topologia Geral 3

Comparando topologias:

Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X. Se τ ⊂ τ ′ entao dizemos que a

topologia τ ′ e MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ , ou equivalentemente, que

a topologia τ e MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ ′. (Exemplos)

Exercıcios:

1) Determine todas as topologias possıveis sobre o conjunto X = {a, b, c} .

2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τf a colecao dos subconjuntos U ⊂ X tais que

X\U e finito ou U = φ :

τf = { U ⊂ X ; X\U e finito} ∪ {φ }

(a) Mostre que τf e uma topologia sobre o conjunto X (e chamada a Topologia do Comple-

mento Finito).

(b) O que podemos dizer de τf se X e um conjunto finito?

3) Seja X um espaco topologico. Seja A ⊂ X tal que para cada x ∈ A existe um

conjunto aberto Ux com x ∈ Ux ⊂ A. Mostre que A e aberto em X.

1.2 Base para uma topologia

Definicao 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma colecao B de subconjuntos de X e uma

BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condicoes abaixo sao

satisfeitas:

1) Para cada x ∈ X, existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que x ∈ B.

2) Se x pertence a intersecao de dois conjuntos B1, B2 ∈ B entao existe um conjunto

B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2.

O termo BASE se justifica pois se B e base para uma topologia sobre X podemos construir

a partir de B uma topologia τB sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR B), dada

por:

τB = { U ⊂ X ; ∀ x ∈ U, ∃ B ∈ B com x ∈ B ⊂ U }

E imediato que B ⊂ τB (os conjuntos B ∈ B sao chamados ABERTOS BASICOS)

4 CAPITULO 1

Exemplos:

A) A colecao B = {I ⊂ IR ; I e intervalo aberto } e uma base para a Topologia Usual

da Reta, ou seja, e uma base para uma topologia em IR e a topologia gerada por B e a

Topologia Usual da Reta (verifique).

B) Seja X = {f : IR → IR} o conjunto de todas as funcoes de IR em IR (tambem de-

notado por IRIR). Dados um conjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ IR e uma colecao

de n abertos U = {U1, U2, . . . , Un} (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto

BF, U = { f ∈ X ; f(xi) ∈ Ui ∀ i = 1, 2, . . . , n} .

A colecao B = {BF, U ; F e U como acima (variando)} e uma base para uma topologia

sobre X (mostre).

Exercıcios:

1) Se B e uma base para uma topologia sobre X, mostre que τB definida anteriormente

e de fato uma topologia sobre X.

2) Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia τB sobre X. Mostre que

τB e a colecao de todas as unioes de elementos de B.

1.3 Subespacos topologicos

Definicao 1.3. Seja X um espaco topologico, munido de uma topologia τ .

Se Y e um subconjunto de X, podemos entao construir uma topologia natural sobre Y ,

a partir da topologia τ : τY = {Y ∩ A ; A ∈ τ} e uma topologia sobre Y (mostrar),

chamada TOPOLOGIA DE SUBESPACO e o espaco topologico (Y, τY ) e dito SUBESPACO

(TOPOLOGICO) do espaco topologico (X, τ).

Os abertos do subespaco Y ⊂ X consistem portanto de todas as intersecoes de Y com os

abertos de X. (Exemplos)

1.4 Conjuntos fechados

Definicao 1.4. Um subconjunto F de um espaco topologico X e dito ser FECHADO se, e

somente se, o conjunto A = X\F e aberto.

Topologia Geral 5

Teorema 1.5. Seja X um espaco topologico. Entao as seguintes condicoes sao satisfeitas:

F.1) φ e X sao fechados.

F.2) Intersecoes arbitrarias de conjuntos fechados sao conjuntos fechados.

F.3) Unioes finitas de conjuntos fechados sao conjuntos fechados.

Exercıcios:

1) Prove o Teorema 1.5 acima.

2) Mostre que se A e aberto em X (i. e, A e aberto do espaco topologico X) e F e fechado

em X entao A\F e aberto em X e F\A e fechado em X.

1.5 Interior, vizinhancas, fecho

Definicao 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espaco topologico X, definimos o

INTERIOR de B ( int B) como a uniao de todos os conjuntos abertos contidos em B.

Teorema 1.7. Seja X um espaco topologico. Sao consequencias imediatas da definicao de

interior de um conjunto (mostre):

a) int B ⊂ B ∀ B ⊂ X.

b) int B e aberto ∀ B ⊂ X.

c) B e abertoB⊂X

⇐⇒ B = int B.

d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B ∀ A, B ⊂ X.

e) int (A ∩ B) = int A ∩ int B ∀ A, B ⊂ X.

Exercıcio: Mostre que, ∀ A, B ⊂ X (espaco topologico), int (A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B.

De um exemplo em que esta inclusao nao se reduz a igualdade.

Definicao 1.8. (Vizinhanca) Seja X um espaco topologico. Um subconjunto V ⊂ X e uma

VIZINHANCA de um ponto x ∈ X se, e somente se, existe um aberto A tal que x ∈ A ⊂ V .

6 CAPITULO 1


vizinhanca (mostre):

a) V e vizinhanca de x ∈ X ⇔ x ∈ int V

b) A e abertoA⊂X

⇐⇒ A e vizinhanca de cada um de seus pontos.

Exercıcios:

1) Mostre que a intersecao de duas vizinhancas de um ponto e uma vizinhanca deste ponto.

2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.

Mostre que se V e uma vizinhanca de um ponto x ∈ X na topologia mais fraca τ entao

V e uma vizinhanca de X na topologia mais forte τ ′.

Mostre atraves de um exemplo que a recıproca da afirmacao acima nao e verdadeira.

Definicao 1.10. (Base de vizinhancas de um ponto)

Dado x ∈ X (espaco topologico), uma colecao Bx de vizinhancas de x e dita ser uma

BASE DE VIZINHANCAS DE x se, e somente se, para cada vizinhanca V de x e possıvel

obter uma vizinhanca B ∈ Bx tal que B ⊂ V .

Os elementos B ∈ Bx sao chamados VIZINHANCAS BASICAS DE x.

Exercıcios:

1) Seja B uma base para uma topologia τB sobre um espaco X (ver Secao 1.2). Dado

x ∈ X, mostre que a colecao Bx = {B ∈ B ; x ∈ B} e uma base de vizinhancas de x.

2) Mostre que Bx = { (x− ε, x + ε) ; ε > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto

x ∈ IR , formam uma base de vizinhancas de x na Topologia Usual da Reta.

3) Seja X = {f : IR → IR} . Considerando o Exemplo B da Secao 1.2, mostre que

BO = { VF, ε = {f ∈ X ; |f(x)| < ε ∀ x ∈ F } F (finito) ⊂ IR , ε > 0 } e uma base de vizi-

nhancas da funcao nula O : IR → IR na topologia considerada.

Definicao 1.11. (Fecho)

Seja X um espaco topologico. Dado um subconjunto B ⊂ X, definimos o FECHO DE B

(B ou cl XB ou cl B) como a intersecao de todos os conjuntos fechados que contem B.

Topologia Geral 7


fecho de um conjunto (mostre):

a) B ⊂ cl B ∀ B ⊂ X.

b) cl B e fechado ∀ B ⊂ X.

c) B e fechadoB⊂X

⇐⇒ B = cl B.

d) A ⊂ B ⇒ cl A ⊂ cl B ∀ A, B ⊂ X.

e) cl (A ∪ B) = cl A ∪ cl B ∀ A, B ⊂ X.

Teorema 1.13. Seja X um espaco topologico. Dados B ⊂ X e x ∈ X, temos:

x ∈ cl B se, e somente se, toda vizinhanca de x intersecta o conjunto B.

Prova:

Exercıcios:

1) Considere o conjunto X = {a, b, c, d, e} e a seguinte topologia sobre X:

τ = {φ , X, {a} , {a, b} , {a, c, d} , {a, b, c, d} , {a, b, e} } .

(a) Obtenha todas as vizinhancas do ponto c.

(b) Qual a “menor” base de vizinhancas do ponto a ?

(c) Obtenha o fecho do subconjunto {b, c} ⊂ X .

(d) Obtenha o interior do subconjunto {a, b, c} ⊂ X .

(e) Se A = {a, c, e}, qual e a topologia relativa (de subespaco) de A ?

8 CAPITULO 1

2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( cl A) 6= cl ( int A).

3) Considere B ⊂ X (espaco topologico). Mostre que X\ cl B = int (X\B) e que

X\ int B = cl (X\B).

4) Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Mostre que { Y ∩ F ; F e fechado em X } e a

colecao dos conjuntos fechados do subespaco topologico Y ⊂ X.

5) Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico). Mostre que cl Y B = Y ∩ cl XB.

Obs.: cl Y B e o fecho de B no espaco Y (subespaco topologico de X)

cl XB e o fecho de B no espaco X.

(Sugestao: use o exercıcio anterior)

6) Mostre que A ⊂ X (espaco topologico) e aberto se, e somente se, A ∩ cl (X\A) = φ .

7) Mostre que se A, B ⊂ X (espaco topologico), entao cl (A ∩ B) ⊂ ( cl A ∩ cl B).

De um exemplo em que esta inclusao nao se reduz a igualdade.

8) Se um aberto A contem pontos do fecho de B, entao A contem pontos de B (mostre).

9) (Pontos de acumulacao) Seja B ⊂ X (espaco topologico). Um ponto x ∈ X e

dito PONTO DE ACUMULACAO DE B se, e somente se, toda vizinhanca de x intersecta

B\ {x} . Denotamos por B′ o conjunto dos pontos de acumulacao de B.

Mostre que cl B = B ∪ B′ ∀ B ⊂ X. Podemos garantir que B′ e sempre fechado?

Caso a resposta seja SIM, prove. Se nao, apresente um contra-exemplo.

10) (Fronteira) Seja B ⊂ X (espaco topologico). Definimos a FRONTEIRA DE B

(e escrevemos fr B ou ∂B) como o conjunto:

fr B = cl B ∩ cl (X\B)

(a) Mostre que int B ∩ fr B = φ

(b) Mostre que fr B = φ ⇔ B e aberto e fechado.

(c) Mostre que A e aberto ⇔ fr A = ( cl A)\A.

(d) Mostre que se A e aberto entao sua fronteira possui interior vazio.

(e) De exemplo de um conjunto B, que nao seja vazio nem o espaco todo, cuja fronteira

seja um conjunto aberto.

(f) Mostre que se F e fechado entao sua fronteira tem interior vazio.

11) (Densidade) Um subconjunto B ⊂ X (espaco topologico) e DENSO EM X se, e

somente se, cl XB = X.

Um espaco topologico e dito SEPARAVEL se possuir um subconjunto enumeravel denso.

Topologia Geral 9

Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico). B e denso em Y se, e somente se, B e denso no

subespaco Y (com a topologia de subespaco), isto e, se, e somente se, cl Y B = Y .

Se B ⊂ Y ⊂ X (espaco topologico), mostre que B e denso em Y se, e somente se,

Y ⊂ cl XB.

12) Mostre que se A e aberto em X (espaco topologico) e D ⊂ X e denso em X entao

A ∩ D e denso em A.

13) Um subconjunto H de um espaco topologico X e chamado “NOWHERE DENSE”

(ou “RARO”) quando int ( cl XH) = φ .

Prove: Se H e um subconjunto “nowhere dense” de X, entao X\( cl XH) e denso em X.

14) Para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , seja An = { n, n + 1, n + 2, . . .}. Consideremos em

X = { 0, 1, 2, 3, . . .} a topologia τ = {φ , An ; n = 0, 1, 2, 3, . . .}.(a) Determine os subconjuntos fechados de (X, τ).

(b) Determine o fecho dos conjuntos { 8, 12, 36} e { 2n ; n ∈ X}.(c) Determine quais os subconjuntos de X que sao densos em X.

1.6 Espacos de Hausdorff

Definicao 1.14. Um espaco topologico X e dito ser um ESPACO DE HAUSDORFF se, e

somente se, para cada par de pontos distintos x, y ∈ X e possıvel obter abertos disjuntos

U e V tais que x ∈ U e y ∈ V .

Um espaco de Hausdorff e tambem chamado SEPARADO, ou T2.

Teorema 1.15. Todo conjunto unitario em um espaco de Hausdorff e fechado.

Prova:

Corolario 1. Todo conjunto finito em um espaco de Hausdorff e fechado.

(Exemplos)

10 CAPITULO 1

Exercıcios:

1) (Alguns axiomas de separacao) Consideremos as classificacoes abaixo:

T0 : Um espaco topologico X e dito ser T0 (ou a topologia de X e dita T0) se, e somente se,

dados dois pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existe um aberto contendo um destes pontos e

nao contendo o outro.

T1 : Um espaco topologico X e dito ser T1 se, e somente se, dados dois pontos distintos

x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos U e V tais que x ∈ U, y ∈ V, x 6∈ V e y 6∈ U .

T2 : Um espaco topologico X e dito ser T2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois

pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos disjuntos U e V tais que x ∈ U e

y ∈ V .

Obs.: Existem outros axiomas de separacao (T3, T31/2, T4, . . .)

(a) E obvio que todo espaco T2 e T1 e todo espaco T1 e T0. Porem nem todo espaco T0 e T1

e nem todo espaco T1 e T2 (caso contrario nao faria sentido definir espacos de tipos diferentes!)

De um exemplo de um espaco que nao e T0.

De um exemplo de um espaco que e T0 mas nao e T1.

De um exemplo de um espaco que e T1 mas nao e T2 (Sugestao: mostre que qualquer

conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exercıcios da Secao 1.1 - e T1

mas nao e T2).

(b) Mostre que um espaco topologico e T1 se, e somente se, todo subconjunto unitario e

fechado.

2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X (τ ′ mais forte que τ).

Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com relacao aos axiomas de

separacao T0, T1 e T2 ?

O que podemos concluir sobre as “chances” de uma topologia atender as condicoes T0, T1

ou T2, no que diz respeito a sua “forca”?

1.7 Sequencias em espacos topologicos

Definicao 1.16. Sejam X um espaco topologico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.

Um ponto x ∈ X e LIMITE da sequencia (xn) (equivalentemente dizemos que (xn)

converge para x e escrevemos xn → x) se, e somente se, para cada vizinhanca V de x e

possıvel obter um ındice n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V .

Topologia Geral 11

Observacao: E interessante notar a importancia da topologia no conceito de convergencia

de sequencias, ou melhor, dada uma sequencia (xn) em um espaco topologico X, a con-

vergencia ou nao de (xn) para um ponto x ∈ X depende fortemente da topologia

considerada sobre X. Por este motivo, as vezes e conveniente explicitarmos qual topolo-

gia esta sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma

topologia sobre um mesmo conjunto X.

Exemplo:

Exercıcio:

Sejam X um espaco topologico e (xn) uma sequencia em X.

(a) Dado x ∈ X, fixe uma base Bx de vizinhancas de x e mostre que xn → x se, e

somente se, para cada vizinhanca basica V ∈ Bx de x e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN

tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V . (Veja: base de vizinhancas de um ponto, Secao 1.5)

Obs.: Moral da estoria: podemos verificar (e ate definir) convergencia de sequencias

utilizando vizinhancas basicas.

12 CAPITULO 1

(b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de

que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhancas

desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma sequencia (xn) ⊂ IR converge para

um ponto x ∈ IR se, e somente se, dado ε > 0, existe um ındice n0 ∈ IN tal que

n > n0 ⇒ |xn − x| < ε.

Obs.: A caracterizacao de convergencia obtida acima em (b) (e utilizada como definicao

quando e fixada a Topologia Usual da Reta) e um caso particular da definicao 1.16!

Teorema 1.17. Se X e um espaco de Hausdorff entao toda sequencia convergente em X

converge para um unico limite.

Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre X (τ ′ mais forte do

que τ). Se (xn) ⊂ X e tal que xnτ ′→ x ∈ X entao xn

τ→ x.

Teorema 1.19. Sejam X um espaco topologico e B ⊂ X um subconjunto de X. Se existe

uma sequencia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) que converge para um ponto x ∈ X, entao x ∈ cl B.

Observacao: A recıproca do teorema acima nao e verdadeira em geral.

E possıvel obter um espaco topologico X, um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X

tais que x ∈ cl B mas nao existe nenhuma sequencia (xn) ⊂ B convergindo para x.

O contra-exemplo a seguir ilustra essa situacao.

Contra-exemplo:

Topologia Geral 13

Apesar de existirem (e muitos) espacos onde, devido a suas topologias, a recıproca do

Teorema 1.19 e verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), nao podemos

em geral, a luz da observacao e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto)

o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de sequencias em B.

Por esta inadequacao das sequencias na caracterizacao do fecho surgem novos con-

ceitos, de FILTROS e NETS (generalizacao de sequencias) que ajudam a contornar o problema

acima.

Exercıcios:

1) Prove o Teorema 1.17



4) Seja X um espaco topologico onde nao e valida a recıproca do Teorema 1.19, isto e,

existem um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X tais que x ∈ cl B mas nao existe

nenhuma sequencia (xn) ⊂ B convergindo para x.

Para cada D ⊂ X , definimos o conjunto D = {x ∈ X ; ∃ (xn) ⊂ D com lim xn = x}(D e o conjunto dos limites de sequencias em D).

Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre e fechado (seu comple-

mentar nao e aberto) e conclua (se quisermos naturalmente que os fechos sejam fechados) que

nao podemos definir o fecho de um conjunto F como F (isto e, o conjunto dos limites de suas

sequencias).

5) Um espaco topologico X satisfaz ao 1o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando

cada ponto de X possui uma base de vizinhancas enumeravel.

(a) Sendo X um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre

que cada x ∈ X possui uma base enumeravel de vizinhancas “encaixadas”:

Bx = { V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ . . . ⊃ Vn ⊃ . . .}

(b) Se X e um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre

que em X vale a recıproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho cl B

de um conjunto B ⊂ X, entao existe uma sequencia (xn) em B tal que xn → x. A partir

daı, conclua que neste tipo de espaco podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova

maneira (defina).

(c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR2) com suas Topologias Usuais sao

espacos topologicos que satisfazem ao 1o Axioma da Enumerabilidade (no estudo de Analise

na Reta e Analise no IRn, onde sao consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar

e portanto definir o fecho de um conjunto atraves de sequencias).

14 CAPITULO 1

1.8 Funcoes contınuas

Definicao 1.20. Sejam X e Y espacos topologicos. Uma funcao f : X → Y e dita ser

CONTINUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y , sua imagem inversa

f−1(A) e um aberto de X.

(Exemplos)

Teorema 1.21. Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y . Entao, sao equivalentes:

(1) f e contınua.

(2) Para todo conjunto F fechado em Y , f−1(F ) e fechado em X.

(3) Para todo subconjunto B ⊂ X, tem-se f( cl B) ⊂ cl (f(B)).

(4) Para todo subconjunto D ⊂ Y , tem-se f−1( int D) ⊂ int (f−1(D)) .

Prova: Exercıcio

Observacao: E importante notar que, dados dois espacos topologicos X e Y e uma funcao

f : X → Y , a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y .

Este fato enfatiza a natureza topologica do conceito de continuidade.

Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espacos topologicos. Temos:

(a) (Funcao constante) Se f : X → Y “leva” todo X em um unico ponto y0 ∈ Y entao

f e contınua.

(b) (Inclusao) Se B ⊂ X e subespaco de X, entao a funcao de inclusao j : B → X, dada

por j(x) = x ∀ x ∈ B, e contınua.

(c) (Composicao) Se f : X → Y e g : Y → Z sao contınuas entao a aplicacao composta

g ◦ f : X → Z e contınua.

(d) (Restringindo o domınio) Se f : X → Y e contınua e B ⊂ X e um subespaco de X,

entao a restricao f |B : B → Y e contınua.

(e) (Restringindo ou estendendo o contra-domınio) Seja f : X → Y contınua. Se Z ⊂ Y

e um subespaco de Y tal que f(X) ⊂ Z entao a funcao g : X → Z dada por g(x) = f(x)

para todo x ∈ X e contınua. Se Z e um espaco tal que Y ⊂ Z e subespaco de Z entao a

funcao h : X → Z dada por h(x) = f(x) para todo x ∈ X e contınua.

Prova: Exercıcio.

Topologia Geral 15

Definicao 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espacos topologicos. A aplicacao

f : X → Y e dita CONTINUA NO PONTO x0 ∈ X se, e somente se, para cada vizinhanca

V de f(x0) em Y e possıvel obter uma vizinhanca U de x0 em X tal que f(U) ⊂ V .

Teorema 1.24. Sejam X e Y espacos topologicos. A aplicacao f : X → Y e contınua se, e

somente se, f e contınua em todo ponto de X.

Prova: Exercıcio

Exercıcios:

1) Seja X = A ∪ B um espaco topologico, com A e B fechados em X.

Sejam f : A → Y e g : B → Y contınuas, de modo que f(x) = g(x) ∀ x ∈ A ∩ B.

Mostre que e possıvel combinar f e g para construir uma funcao contınua h : X → Y

pondo h(x) = f(x) se x ∈ A e h(x) = g(x) se x ∈ B.

2) Sejam X e Y espacos topologicos, Y de Hausdorff e f, g : X → Y contınuas em

a ∈ X. Mostre que se f(a) 6= g(a) entao existe uma vizinhanca V de a em X tal que

x, y ∈ V ⇒ f(x) 6= g(y).

3) Sejam X e Y espacos topologicos e f : X → Y .

(a) Dado x0 ∈ X, fixe uma base Bx0 de vizinhancas de x0 e uma base Bf(x0) de

vizinhancas de f(x0). Mostre que f e contınua em x0 se, e somente se, para cada vizinhanca

basica V ∈ Bf(x0) de f(x0) e possıvel obter uma vizinhanca basica U ∈ Bx0 de x0 tal que

f(U) ⊂ V .

Obs.: Moral da estoria: podemos verificar (e ate definir) continuidade de uma funcao

num ponto utilizando vizinhancas basicas.

(b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x ∈ IR constituem uma base

de vizinhancas desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma funcao f : IR → IR

e contınua em x0 ∈ IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado ε > 0 e

possıvel obter um δ > 0 tal que |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Obs.: A caracterizacao obtida acima em (b) (e utilizada como definicao quando e fixada

a Topologia Usual da Reta) e um caso particular da definicao 1.23!

4) Dados um conjunto X, um espaco topologico Y e uma funcao f : X → Y , determinar

a topologia mais fraca sobre X tal que f seja contınua.

16 CAPITULO 1

Teorema 1.25. Sejam X e Y espacos topologicos. Se a funcao f : X → Y e contınua em

x0 ∈ X entao, para toda sequencia (xn) ⊂ X tal que xn → x0 , temos que f(xn) → f(x0)

em Y .

Prova:

Observacao: A recıproca do teorema acima nao e verdadeira em geral.

Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as sequencias mostram-se inadequadas

para a caracterizacao da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por

exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a recıproca do teorema acima e

portanto tal caracterizacao e possıvel).

Exercıcio: Mostre que se X e um espaco topologico que satisfaz ao 1o Axioma da Enu-

merabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhancas enumeravel), entao

vale a recıproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade atraves

de sequencias.

1.9 Homeomorfismos

Definicao 1.26. Consideremos uma bijecao f : X → Y entre dois espacos topologicos X

e Y . Dizemos que f e um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua funcao inversa

f−1 : Y → X sao contınuas. Dois espacos topologicos sao ditos HOMEOMORFOS se existir

um homeomorfismo entre ambos.

Definicao 1.27. Sejam X e Y espacos topologicos. Uma aplicacao f : X → Y e dita

ABERTA se, e somente se, para todo A ⊂ X aberto em X tem-se f(A) ⊂ Y aberto em Y .

f : X → Y e dita FECHADA se, e somente se, para todo F ⊂ X fechado em X tem-se

f(F ) ⊂ Y fechado em Y .

Topologia Geral 17

Observacao:

Se X e Y sao espacos topologicos homeomorfos, por um homeomorfismo f : X → Y , entao

e imediato que se A ⊂ X e aberto entao f(A) ⊂ Y e aberto (f e uma aplicacao aberta),

se F ⊂ X e fechado entao f(F ) ⊂ Y e fechado (f e uma aplicacao fechada). E imediato

tambem que f−1 e uma aplicacao aberta e fechada.

Assim, se dois espacos topologicos X e Y sao homeomorfos, podemos dizer que ambos sao

INDISTINGUIVEIS DO PONTO DE VISTA TOPOLOGICO.

1.10 Conexidade

Definicao 1.28. (Cisao) Uma CISAO de um espaco topologico X e uma decomposicao

X = A ∪ B onde A ∩ B = φ e os conjuntos A e B sao ambos abertos em X.

Observacao: Todo espaco topologico X admite a cisao trivial X = X ∪ φ .

Definicao 1.29. (Conexos) Um espaco topologico X e dito CONEXO se, e somente se, ele

nao admite outra cisao alem da cisao trivial.

Observacao: E imediato que um espaco topologico e conexo se, e somente se, os unicos

subconjuntos de X que sao simultaneamente abertos e fechados em X sao o conjunto vazio φ

e o proprio espaco X.

O proximo teorema e util na caracterizacao de cisao de um subespaco topologico:

Teorema 1.30. Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Y = A ∪ B, com A ∩ B = φ , e uma

cisao do subespaco Y ⊂ X se, e somente se, cl A ∩ B = φ = A ∩ cl B, onde os fechos sao

considerados no espaco X.

Prova: Exercıcio.

Lema 1.31. Seja X = A ∪ B uma cisao do espaco topologico X. Seja Y ⊂ X. Se Y e

conexo (e nao-vazio) entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B.

Prova:

18 CAPITULO 1

Teorema 1.32. A uniao de uma colecao de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em

comum e conexa.

Prova:

Teorema 1.33. Se A ⊂ X e conexo e A ⊂ B ⊂ cl A entao B e conexo.

Prova:

Corolario 1. Se A e conexo e B e formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os

pontos de seu fecho entao B e conexo.

Exercıcios:

1) Seja { An} uma sequencia de subconjuntos conexos de um espaco topologico X, tais

que An ∩ An+1 6= φ para todo n. Mostre que a uniao⋃

An e conexa.

2) Seja { Aα} uma colecao de subconjuntos conexos de um espaco topologico X. Seja

A ⊂ X conexo. Mostre que se A ∩ Aα 6= φ para todo α, entao a uniao A ∪ (⋃

An) e

conexa.

3) (Teorema da Alfandega) Seja A ⊂ X (espaco topologico). Mostre que se C ⊂ X e

conexo, C ∩ A 6= φ e C ∩ (X\A) 6= φ entao C ∩ fr A 6= φ .

Topologia Geral 19

Teorema 1.34. A imagem de um espaco conexo por uma aplicacao contınua e conexa.

Prova:

Nota: O teorema acima garante que se um espaco topologico conexo X e homeomorfo a

um espaco Y , entao Y e conexo, ou melhor, a conexidade e uma invariante topologica. Por

este motivo, diz-se tambem que a conexidade e uma PROPRIEDADE TOPOLOGICA.

Exercıcios:

1) Uma aplicacao f : X → Y e dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se,

para todo x ∈ X existe uma vizinhanca V de x onde f e constante.

Mostre que se f : X → Y e localmente constante e X e conexo entao f e constante.

2) (Teorema do Valor Intermediario):

(a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) e um intervalo.

(b) Sejam X conexo e f : X → IR (Topologia Usual) contınua. Mostre que f tem a

PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIARIO, isto e, se existem x1, x2 ∈ X tais que

f(x1) = a < b = f(x2) entao, dado c entre a e b (a < c < b) existe x ∈ X tal que f(x) = c.

3) Seja A ⊂ X (espaco topologico). Dado a ∈ A, definimos a COMPONENTE CONEXA

Ca DE a como a reuniao de todos os subconjuntos conexos de A que contem a.

(a) Mostre que Ca e o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a.

(b) Seja h : X → Y um homeomorfismo. Mostre que se Cx e a componente conexa do

ponto x em X entao Dy = h(Cx) e a componente conexa de y = h(x) em Y .

Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma

bijecao entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .

20 CAPITULO 1

1.11 Compacidade

Definicao 1.35. (Cobertura) Uma colecao A de subconjuntos de um espaco topologico X e

dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a uniao dos elementos de A e igual a X. E

chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de A sao abertos em X.

Definicao 1.36. (Compactos) Um espaco topologico X e dito COMPACTO se, e somente

se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto e, contem uma subcolecao

finita que tambem cobre X.

Teorema 1.37. Seja Y ⊂ X (espaco topologico). Y e compacto se, e somente se, toda

cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita.

Prova: Exercıcio.

Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espaco compacto e compacto.

Prova:

Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espaco de Hausdorff e fechado.

Prova:

Topologia Geral 21

Teorema 1.40. A imagem de um espaco compacto por uma aplicacao contınua e tambem um

compacto.

Prova:

Nota: O teorema acima garante que a compacidade e uma invariante topologica.

Exercıcios:

1) Mostre que todo espaco discreto (Topologia Discreta) e compacto e finito.

2) Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.

Qual a relacao entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ ⊂ τ ′ ?

Mostre que se X e compacto e Hausdorff em ambas as topologias entao τ = τ ′ ou elas

nao sao comparaveis.

3) Mostre que se f : X → Y e contınua, X e compacto e Y e Hausdorff, entao f e uma

aplicacao fechada (i. e, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ).

4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espaco de Hausdorff X.

Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.

22 CAPITULO 1

Capıtulo 2

Espacos metricos

Neste segundo capıtulo introduzimos o conceito de espaco metrico e surgirao natural-

mente as topologias induzidas por metricas. Estudamos entao nocoes de convergencia (de

sequencias), continuidade (de funcoes) e compacidade em espacos metricos, alem de con-

tinuidade uniforme e metricas equivalentes.

2.1 Espacos metricos

Definicao 2.1. Uma METRICA sobre um conjunto X e uma funcao d : X ×X → IR que

associa a cada par ordenado de elementos x, y ∈ X um numero real d(x, y) chamado a

distancia de x a y, de modo que se tenha, para todos x, y, z ∈ X:

d.1) d(x, x) = 0

d.2) Se x 6= y entao d(x, y) > 0

d.3) d(x, y) = d(y, x) (Simetria)

d.4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Desigualdade Triangular)

Um conjunto X munido de uma metrica d (fixada) e chamado ESPACO METRICO.

Exemplos:

A) Metrica Discreta:

Seja X um conjunto qualquer. d : X ×X → IR dada por

{d(x, x) = 0

d(x, y) = 1 se x 6= y

e uma metrica em X, conhecida como METRICA DISCRETA.

23

24 CAPITULO 2

B) Metrica Usual da Reta:

Consideremos o conjunto IR dos numeros reais.

d : IR× IR → IR dada por d(x, y) = |x− y| e uma metrica em IR.

C) Algumas metricas no Plano Complexo (ou no IR2):

Consideremos o conjunto C = { z = x + iy ; x, y ∈ IR} dos numeros complexos e defi-

namos de, ds, dm : C× C → IR pondo, para todos a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C :

de(a, b) = |a− b| = |(a1 − b1) + i(a2 − b2)| =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2

ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2|

dm(a, b) = max {|a1 − b1| , |a2 − b2|}

Todas as tres funcoes acima sao metricas sobre C.

de e conhecida como Metrica Euclidiana.

ds e conhecida como Metrica da Soma.

dm e conhecida como Metrica do Maximo.

D) Subespaco metrico - metrica induzida:

Seja (X, d) um espaco metrico. Se Y e um subconjunto de X podemos induzir uma

metrica natural em Y , a partir da metrica d:

dY = d |Y×Y : Y × Y → IR e uma metrica em Y (induzida em Y por d)

O espaco metrico (Y, dY ) e dito SUBESPACO (METRICO) do espaco metrico (X, d).

Assim, todo subconjunto de um espaco metrico pode ser considerado, de modo natural,

como um espaco metrico.

E) Metrica do sup:

Seja X um conjunto arbitrario. Uma funcao real f : X → IR diz-se LIMITADA quando

existe uma constante k = kf > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X.

Seja B(X; IR) o conjunto das funcoes limitadas f : X → IR.

Definimos uma metrica d em B(X; IR) pondo, para todas f, g ∈ B(X; IR):

d(f, g) = supx∈X

|f(x)− g(x)|

Exercıcio: Verifique que d acima esta bem definida e que e uma metrica em B(X; IR).

Espacos metricos 25

Exercıcios:

1) Mostre que as funcoes dadas nos exemplos sao realmente metricas.

2) Seja d : X ×X → IR uma metrica em X. Mostre que α(x, y) =√

d(x, y),

β(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)e γ(x, y) = min {1, d(x, y)} tambem sao metricas em X.

2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados

Definicao 2.2. Sejam a um ponto num espaco metrico X e r > 0 um numero real. Definimos:

(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ X ; d(x, a) < r}

(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B [a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) ≤ r}

(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) = r}

Observacao: Seja Y ⊂ X um subespaco metrico do espaco metrico (X, d). Denotando

por BY (a; r) a bola aberta de centro a ∈ Y e raio r na metrica dY induzida em Y por d,

temos: BY (a; r) = B(a; r) ∩ Y , onde B(a; r) e a bola aberta de centro a e raio r em (X, d).

Tambem temos que BY [a; r] = B[a; r] ∩ Y e SY [a; r] = S[a; r] ∩ Y .

(Exemplos)

Definicao 2.3. Um subconjunto B ⊂ X de um espaco metrico X e dito LIMITADO quando

existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c quaisquer que sejam x, y ∈ B.

Se B 6= φ e B ⊂ (X, d) e um conjunto limitado, podemos definir o DIAMETRO de B

como

diam (B) = sup { d(x, y) ; x, y ∈ B}

Observacao: Os conceitos acima definidos dependem da metrica d tomada em X.

(Exemplos)

26 CAPITULO 2

2.3 A Topologia Metrica

Seja X = (X, d) um espaco metrico. Existe uma topologia natural sobre X, constru-

ıda a partir da metrica d da seguinte forma:

τ = { A ⊂ X ; ∀ a ∈ A, ∃ ε > 0 com B(a; ε) ⊂ A}

De fato, τ e uma topologia sobre X (exercıcio), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA

METRICA d.

Assim, todo espaco metrico X = (X, d) pode ser considerado como um espaco topologico

X = (X, τ) , onde a topologia τ e a topologia induzida pela metrica d, da forma acima descrita.

Proposicao 2.4. Sejam (X, d) um espaco metrico e τ a topologia induzida pela metrica d

sobre X. Temos:

(i) Para todo a ∈ X, a colecao Ba = {B(a; ε), ε > 0, ε ∈ IR} das bolas abertas de centro

a e uma base de vizinhancas de a na topologia τ .

(ii) Para todo a ∈ X e todo r > 0, r ∈ IR, B(a; r) ∈ τ, isto e, B(a; r) e aberto.

(iii) (X, τ) e espaco de Hausdorff.

(iv) ∀ a ∈ X , Ba = { B(a; 1/n), n ∈ IN } e uma base enumeravel de vizinhancas de a.

Prova: Exercıcio.

Definicao 2.5. Seja (X, τ) um espaco topologico. A topologia τ e dita METRIZAVEL se,

e somente se, existe uma metrica d em X tal que τ e a topologia induzida pela metrica d

sobre X.

Exemplos:

A) Metrica e Topologia Discretas:

Seja X um conjunto munido da Metrica Discreta d : X ×X → IR, dada por{d(x, x) = 0

d(x, y) = 1 se x 6= y

A topologia induzida por d sobre X e exatamente a Topologia Discreta τ = P(X).

B) Metrica e Topologia Usuais da Reta:

Consideremos o conjunto IR dos numeros reais, com a Metrica Usual d : IR × IR → IR

dada por d(x, y) = |x− y| , quaisquer que sejam x, y ∈ IR.

A topologia induzida por d sobre IR e exatamente a Topologia Usual da Reta.

Espacos metricos 27

C) Topologia Usual do Plano Complexo:

Consideremos o conjunto C dos numeros complexos.

A Topologia Usual do Plano Complexo e metrizavel, pois e a topologia induzida pela

Metrica Euclidiana de : C× C → IR dada por de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C.

Nota: Veremos mais tarde que as metricas ds (da Soma) e dm (do Maximo) tambem

induzem sobre C a Topologia Usual.

D) Topologias nao-metrizaveis:

Pela Proposicao 2.4, topologias que nao sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias

nao-metrizaveis. Assim, temos por exemplo:

(i) Se X e um conjunto com mais de um elemento e τ = {φ , X} a Topologia Caotica

sobre X, temos que τ nao e metrizavel.

(ii) Se X = {a, b, c, d} e τ = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} entao τ nao e metrizavel.

Nota: Convem observar que existem topologias (importantes) que sao Hausdorff e nao-

metrizaveis. Por exemplo, as topologias Fraca (w) e Fraca-Estrela (w∗) estudadas na Analise

Funcional sao em geral topologias Hausdorff e nao-metrizaveis.

Exercıcios:

1) Seja A um subconjunto de um espaco metrico (X, d).

Sabemos que a restricao de d a A× A e uma metrica em A (subespaco metrico de X), a

qual denotaremos por dA.

A metrica dA induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τdA.

Por “outro” lado, d induz uma topologia sobre X, que chamaremos τ e A pode ser visto

como subespaco topologico de X, com uma topologia τA dada pelas intersecoes de A com os

abertos de τ .

Mostre que τdA= τA, ou seja, a topologia de A como subespaco metrico de X e a mesma

topologia de A como subespaco topologico de X:

2) Um subconjunto D ⊂ X (espaco topologico) e dito DISCRETO quando todos os seus

pontos sao isolados, isto e, nenhum ponto de D esta em D′, ou melhor ainda, para todo a ∈ D,

existe uma vizinhanca V de a tal que V ∩ D = {a}.Mostre que todo espaco metrico finito e discreto.

28 CAPITULO 2

3) Seja D um subconjunto discreto de um espaco metrico (X, d). Obtenha para cada

x ∈ D uma bola aberta Bx = B(x; rx) em X tal que x, y ∈ D, x 6= y ⇒ Bx ∩ By = φ .

4) Sejam (X, d) um espaco metrico e A ⊂ X. Mostre que se A e limitado entao seu fecho

cl A tambem e limitado.

5) De exemplo de um conjunto limitado A em um espaco metrico (X, d) tal que nao

existam x0, y0 ∈ A com d(x0, y0) = diam A.

6) Seja (X, d) um espaco metrico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas sao conjuntos

fechados em X.

7) Seja A ⊂ X (espaco metrico). Para todo ε > 0, seja B(A; ε) =⋃a∈A

B(a; ε).

Mostre que cl A =⋂ε>0

B(A; ε).

2.4 Sequencias em espacos metricos

Definicao 2.6. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.

Um ponto x ∈ X e LIMITE da sequencia (xn) se, e somente se, xn → x na topologia

induzida por d sobre X.

Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X.

Um ponto x ∈ X e limite de (xn) (ou seja, xn → x) se, e somente se, para cada ε > 0

dado, e possıvel obter n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ d(xn, x) < ε.

Prova:

Obs.: Note que a convergencia de uma sequencia em um espaco metrico depende da

topologia induzida pela metrica.

Espacos metricos 29

Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espaco metrico e (xn) ⊂ X uma sequencia em X. Temos:

(a) (xn) nao pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite).

(b) Toda sequencia convergente e limitada (o conjunto de seus termos e limitado).

(c) Se lim xn = a entao toda subsequencia de (xn) converge para a.

Teorema 2.9. Sejam X um espaco metrico e B ⊂ X . Temos que x ∈ cl B (x ∈ X) se, e

somente se, existe uma sequencia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) tal que xn → x.

Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espacos metricos, as sequencias sao adequadas

para caracterizar o fecho de um conjunto (o que nao ocorre em espacos topologicos em geral).

Exercıcios:

1) Seja (X, d) um espaco metrico. Mostre que se existirem sequencias (xk) e (yk) em

X com lim xk = a, lim yk = b e d(yk, a) < r < d(xk, b) para todo k ∈ IN entao d(a, b) = r.

2) Seja X um espaco metrico. Se (xk) e uma sequencia em X tal que xk → b ∈ B(a; r)

(a, b ∈ X, r > 0), entao mostre que existe k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; r).

3) (Um espaco de funcoes)

Sejam X um conjunto qualquer e (M, dM) um espaco metrico.

Uma funcao f : X → M e dita LIMITADA quando sua imagem f(X) e um subconjunto

limitado de M .

Consideremos o conjunto B(X; M) das funcoes f : X → M limitadas.

Dadas f, g ∈ B(X; M), consideremos d(f, g) = supx∈X dM(f(x), g(x)).

Mostre que d esta bem definida e e uma metrica em B(X; M) (chamada de Metrica do

sup ou Metrica da Convergencia Uniforme).

4) (Sequencias de funcoes - Convergencias Pontual e Uniforme)

Consideremos sequencias de aplicacoes fn : X → M onde n ∈ IN, X e um conjunto qualquer

e (M, dM) e um espaco metrico. Consideremos dois tipos de convergencia:

(i) Diz-se que (fn) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplicacao

f : X → M quando, para cada x ∈ X, fn(x) → f(x) em M , isto e, dados x ∈ X e ε > 0, e

possıvel obter um ındice n0 ∈ IN (dependendo de x e ε) tal que n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ε.

(ii) Diz-se que (fn) converge UNIFORMEMENTE para uma aplicacao f : X → M

quando, dado ε > 0, e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN (dependendo apenas de ε) tal que

n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < ε, para todo x ∈ X.

30 CAPITULO 2

(a) Mostre que a sequencia de funcoes fn : IR → IR dadas por fn(x) =x

npara todo

n ∈ IN converge pontualmente, mas nao uniformemente para a funcao constante igual a zero.

(b) Mostre que a convergencia no espaco metrico B(X; M) com a topologia induzida pela

Metrica do sup (veja no exercıcio anterior) e uma convergencia uniforme.

Definicao 2.10. Uma sequencia (xn) num espaco metrico (X, d) chama-se uma Sequencia

DE CAUCHY quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice n0 ∈ IN tal que

m, n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.

Proposicao 2.11. Em um espaco metrico, toda sequencia convergente e de Cauchy.

Prova: Exercıcio.

Definicao 2.12. Diz-se que um espaco metrico X e COMPLETO quando toda sequencia de

Cauchy em X e convergente.

Exemplos:

Exercıcios:

1) Mostre que num espaco metrico X, toda sequencia de Cauchy e limitada.

2) Mostre que uma sequencia de Cauchy que possui uma subsequencia convergente e con-

vergente (para o mesmo limite da subsequencia).

3) Mostre que um espaco metrico (X, d) e completo se, e somente se, para toda sequencia

“decrescente” F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . de subconjuntos fechados nao-vazios Fn ⊂ X com

limn→∞ diam (Fn) = 0 existe um ponto a ∈ X tal que∞⋂

n=1

Fn = { a}.

(Teorema de Baire) Mostre que se (X, d) e um espaco completo e F =∞⋃

n=1

Fn onde cada

Fn e fechado e tem interior vazio entao int F = φ .

(Corolario) Mostre que se (X, d) e um espaco completo e X =∞⋃

n=1

Fn onde cada Fn e

fechado entao existe pelo menos um Fn0 tal que int Fn0 6= φ .

Obs.: O Teorema de Baire da origem a uma serie de importantes resultados, alguns dos quais

veremos no proximo capıtulo.

Espacos metricos 31

2.5 Funcoes contınuas

Ao analisarmos a continuidade de funcoes que envolvem espacos metricos consideraremos

(como no caso das sequencias) as topologias induzidas pelas metricas dos mesmos.

Temos entao:

Proposicao 2.13. Sejam X e Y espacos metricos (com metricas dX e dY respectivamente).

A aplicacao f : X → Y e contınua no ponto x0 ∈ X se, e somente se, para cada ε > 0

dado, e possıvel obter um δ > 0 tal que dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ε.

Proposicao 2.14. Sejam X e Y espacos metricos (com metricas dX e dY respectivamente).

A aplicacao f : W ⊂ X → Y , cujo domınio e o subespaco metrico W ⊂ X, e contınua no

ponto x0 ∈ W se, e somente se, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um δ > 0 tal que

x ∈ W, dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ε.

Nota: Convem observar que a continuidade de funcoes que envolvem espacos metricos

depende das topologias induzidas pelas metricas.

No primeiro capıtulo vimos que, em espacos topologicos em geral, sequencias sao inade-

quadas para caracterizar a continuidade de uma funcao. O teorema a seguir nos garante a

possibilidade de tal caracterizacao (de continuidade via sequencias) se o domınio da funcao for

um espaco metrico:

Teorema 2.15. Sejam X um espaco metrico e Y um espaco topologico. Uma funcao

f : X → Y e contınua em x0 ∈ X se, e somente se, para toda sequencia (xn) ⊂ X

com xn → x0 temos que f(xn) → f(x0) em Y .

Prova:

Definicao 2.16. Sejam (X, dX) e (Y, dY ) espacos metricos e f : X → Y .

Dizemos que f e uma aplicacao LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0

(chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) quaisquer

que sejam x, y ∈ X.

32 CAPITULO 2

Alguns casos particulares recebem denominacao propria:

f e uma CONTRACAO FRACA quando dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.

f e uma IMERSAO ISOMETRICA (neste caso dizemos que f preserva distancias) quando

dY (f(x), f(y)) = dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.

f e dita uma ISOMETRIA quando for uma imersao isometrica sobrejetora.

f e uma CONTRACAO quando existe uma constante c, com 0 ≤ c < 1, tal que para todos

x, y ∈ X temos dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) .

Observacao: As definicoes acima dependem das metricas consideradas.

Exercıcios:

1) Sejam X, Y espacos metricos. Mostre que se f : W ⊂ X → Y e contınua em a ∈ W

e f(a) 6∈ BY [b; r] (b ∈ Y ) entao e possıvel obter um δ > 0 tal que x ∈ W, dX(x, a) < δ ⇒f(x) 6∈ BY [b; r].

2) Sejam f, g : M → N contınuas, M, N espacos metricos.

Dado a ∈ M , suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f(x) = g(x).

Conclua que f(a) = g(a).

Use este fato para mostrar que se f, g : M → N sao contınuas e f = g em um

subconjunto D ⊂ M , D denso em M , entao f = g em todo espaco M .

3) (Limites)

Sejam X, Y espacos metricos, A ⊂ X, a ∈ A′ (a e ponto de acumulacao de A) e

f : A → Y .

Dizemos que b ∈ Y e o limite de f(x) quando x tende para a e escrevemos b = limx→a

f(x)

quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que x ∈ A\ { a} , dX(x, a) < δ ⇒dY (f(x), b) < ε .

(a) Mostre que se a ∈ A ∩ A′ entao f : A → Y e contınua em a se, e somente se,

f(a) = limx→a

f(x) .

(b) Mostre que b = limx→a

f(x) se, e somente se, para toda sequencia (xn) em A\ {a}com xn → a (em X) tem-se f(xn) → b (em Y ).

4) Sejam X e Y espacos metricos. Se uma sequencia de aplicacoes fn : X → Y , contınuas

no ponto a ∈ X, converge uniformemente (ver exercıcio da secao anterior) para uma aplicacao

f : X → Y , mostre que f e contınua no ponto a.

Usando a parte acima, conclua que a sequencia de funcoes fn : [0, 1] → IR dadas por

fn(x) = xn nao converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1] → IR.

Espacos metricos 33

5) De exemplo de uma aplicacao f : X → Y entre espacos metricos tais que:

(a) f e lipschitziana mas nao e uma contracao fraca.

(b) f e contracao fraca mas nao e imersao isometrica nem contracao.

(c) f e imersao isometrica mas nao e isometria.

(d) f e isometria.

De (contra-)exemplos e mostre que as definicoes em 2.16 dependem das metricas consideradas.

2.6 Continuidade uniforme

Definicao 2.17. Sejam X e Y espacos metricos. Uma aplicacao f : X → Y e dita ser

UNIFORMEMENTE CONTINUA quando, para cada ε > 0 dado, existir δ > 0 tal que para

todos x, y ∈ X, dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < ε.

(Exemplos)

Proposicao 2.18. Sejam X e Y espacos metricos. Uma aplicacao f : X → Y e uni-

formemente contınua se, e somente se, para todo par de sequencias (xn), (yn) em X tal que

dX(xn, yn) → 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que dY (f(xn), f(yn)) → 0 (tambem na

Topologia Usual da Reta).

Prova:

34 CAPITULO 2

Exemplo:

Observacao: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme nao e uma nocao

topologica, pois depende das metricas envolvidas, e nao apenas das topologias induzidas.

Exercıcios:

1) Mostre que toda aplicacao lipschitziana f : X → Y (X, Y espacos metricos) e uni-

formemente contınua.

2) Sejam X e Y espacos metricos e f : X → Y .

Mostre que se f e uniformemente contınua entao f transforma sequencias de Cauchy

(xn) ⊂ X em sequencias de Cauchy (f(xn)) ⊂ Y .

3) Seja f : A ⊂ X → Y (X, Y espacos metricos). Mostre que se Y e completo e f

uniformemente contınua entao, para todo a ∈ A′, existe limx→a

f(x).

4) Consideremos um espaco metrico X, munido de uma metrica d.

Dados a ∈ X e B ⊂ X, B nao-vazio, definimos a DISTANCIA DO PONTO a AO

CONJUNTO B como

d(a, B) = infx∈B

d(a, x)

Espacos metricos 35

Dados A, B ⊂ X, A e B nao-vazios, definimos a DISTANCIA ENTRE OS SUBCONJUN-

TOS A E B como

d(A, B) = inf { d(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}

(a) Mostre que d(A, B) = d( cl A, cl B).

(b) Dado T ⊂ X, T 6= φ , mostre que a funcao f : X → IR dada por f(x) = d(x, T ) e

uniformemente contınua.

(c) De exemplos de um espaco metrico (X, d) e conjuntos nao-vazios A e B em X tais

que A ∩ B = φ e d(A, B) = 0.

(d) Sejam A, B ⊂ X, A e B limitados e nao-vazios.

Mostre que

diam (A ∪ B) ≤ diam (A) + diam (B) + d(A, B)

2.7 Compacidade em espacos metricos

Teorema 2.19. Seja X um espaco metrico. Sao equivalentes:

1) X e compacto.

2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulacao.

3) Toda sequencia em X possui uma subsequencia convergente (para um ponto de X).

4) X e completo e totalmente limitado. (Um espaco metrico X e TOTALMENTE LIMI-

TADO quando para cada ε > 0 pode-se obter uma decomposicao X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn

de X como reuniao de um numero finito de subconjuntos , cada um dos quais com diametro

menor do que ε ).

Observacao: As afirmativas acima sao equivalentes em K ⊂ X subconjunto (subespaco)

de um espaco metrico X.

Teorema 2.20. Se K ⊂ X (espaco metrico) e compacto, entao K e limitado e fechado.

Prova:

36 CAPITULO 2

Observacao: A recıproca do resultado anterior nao e verdadeira em geral, conforme ilustra

o contra-exemplo abaixo:

Contra-exemplo:

Teorema 2.21. Sejam X e Y espacos metricos. Se a aplicacao f : X → Y e contınua e o

espaco X e compacto, entao f e uniformemente contınua.

Exercıcios:

1) Mostre que, dada uma sequencia “decrescente” K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . de

compactos nao-vazios em um espaco metrico X, sua intersecao∞⋂

n=1

Kn e compacta e nao-

vazia.

Mostre atraves de um exemplo que o resultado acima nao e valido se tomarmos conjuntos

fechados ao inves de compactos.

2) Prove o Teorema 2.21.

2.8 Metricas equivalentes

Definicao 2.22. Duas metricas d1 e d2 em um espaco X sao ditas EQUIVALENTES

quando induzem a mesma topologia sobre X.

Teorema 2.23. Duas metricas d1 e d2 em um espaco X sao equivalentes se, e somente

se, para toda bola aberta numa metrica (d1 ou d2) e possıvel obter uma bola aberta na outra

metrica, de mesmo centro e contida na primeira bola.

Prova:

Espacos metricos 37

Exemplo:

Definicao 2.24. Diremos que duas metricas d1 e d2 em X sao LIPSCHITZ-EQUIVALENTES

quando existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que

α · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β · d1(x, y) ∀ x, y ∈ X

Obs.1: Se duas metricas sao lipschitz-equivalentes entao elas sao equivalentes.

Exemplo:

Obs.2: A recıproca da Obs.1 acima nao e valida:

Contra-exemplo:

Exercıcio: Sejam (M1, d1), (M2, d2), . . . , (Mn, dn) espacos metricos.

Consideremos o seu produto cartesiano

M = M1 ×M2 × . . .×Mn = {x = (x1, . . . , xn) ; xi ∈ Mi, i = 1, . . . , n} .

Sejam de, ds, dm metricas em M dadas por:

38 CAPITULO 2

de(x, y) =√

d1(x1, y1)2 + d2(x2, y2)2 + . . . + dn(xn, yn)2

ds(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) + . . . + dn(xn, yn)

dm(x, y) = max { d1(x1, y1), d2(x2, y2), . . . , dn(xn, yn)}

(a) Mostre que estas tres metricas sao lipschitz-equivalentes.

(b) Mostre que uma sequencia (xk) = (x1k, x2k, . . . , xnk) converge em M , considerando

qualquer uma das 3 metricas acima , para um ponto a = (a1, . . . , an) ∈ M se, e somente se,

xik → ai ∀ i = 1, 2, . . . , n.

(c) Para cada i = 1, . . . , n considere a aplicacao projecao πi : M → Mi dada por

πi(x) = xi. Mostre que cada projecao e contınua.

(d) Seja f : X → M (X esp. metrico). Mostre que f e contınua em a ∈ X se, e somente

se, cada uma de suas funcoes coordenadas fi = πi ◦ f : X → Mi e contınua em a.

Capıtulo 3

Espacos normados

Iniciamos este capıtulo com o conceito de Espaco Normado. Em seguida apresentamos a

metrica e a topologia naturais induzidas pela norma, bem como espacos de Banach e series.

Ao final, apresentamos um breve estudo de transformacoes lineares em espacos normados.

3.1 Espacos normados

Definicao 3.1. Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Uma NORMA

em X e uma funcao ‖ ‖ : X → IR que associa a cada vetor x ∈ X um numero real ‖x‖chamado a norma de x, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes para quaisquer

x, y ∈ X, λ ∈ IK:

n.1) Se x 6= 0 entao ‖x‖ > 0

n.2) ‖λ.x‖ = |λ| . ‖x‖

n.3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualdade Triangular)

Um espaco vetorial X munido de uma norma ‖ ‖ (fixada) e dito um ESPACO NORMADO.

Exemplos:

A) Norma Usual da Reta:

A funcao modulo | | : IR → IR dada por |x| =

{x se x ≥ 0

−x se x < 0e uma norma em IR.

B) Algumas normas no Plano Complexo (ou no IR2):

Consideremos o conjunto C dos numeros complexos (ou entao IR2) como um espaco

39

40 CAPITULO 3

vetorial de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.

| | : C → IR (funcao modulo) dada por |a| =√

a21 + a2

2 para todo a = a1 + ia2 ∈ C e

uma norma em C, conhecida tambem como NORMA EUCLIDIANA.

‖ ‖s : C → IR dada por ‖a‖s = |a1| + |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C e uma norma

em C, conhecida tambem como NORMA DA SOMA.

‖ ‖m : C → IR dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C e uma

norma em C, conhecida tambem como NORMA DO MAXIMO.

C) Norma do sup:

Consideremos o espaco (sobre IR) B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR.

Definimos uma norma ‖ ‖∞ em B(X; IR) pondo, para toda f ∈ B(X; IR):

‖f‖∞ = supx∈X

|f(x)|

Exercıcio: Mostre que ‖ ‖∞ acima esta bem definida e que e uma norma em B(X; IR).

D) Alguns espacos de sequencias:

Seja `∞ o espaco das sequencias limitadas em um corpo IK (IR ou C), isto e:

`∞ = {(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ; (xn) limitada }

‖ ‖∞ : `∞ → IR dada por ‖(xn)‖∞ = supi∈IN

|xi| e uma norma em `∞.

Seja `1 o espaco das sequencias absolutamente somaveis em um corpo IK (IR ou C):

`1 =

{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;

∞∑i=1

|xi| < +∞

}

‖ ‖1 : `1 → IR dada por ‖(xn)‖1 =∞∑i=1

|xi| e uma norma em `1.

Seja `2 o espaco das sequencias quadrado somaveis, em um corpo IK (IR ou C):

`2 =

{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;

∞∑i=1

|xi|2 < +∞

}

‖ ‖2 : `2 → IR dada por ‖(xn)‖2 =

(∞∑i=1

|xi|2)1/2

e uma norma em `2

Espacos normados 41

3.2 A topologia da norma

Construindo metricas a partir de normas:

Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco vetorial normado. Podemos, a partir da norma ‖ ‖,construir uma metrica d : X ×X → IR pondo, de modo natural:

d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X

d e uma metrica em X (mostre), dita a METRICA INDUZIDA PELA NORMA ‖ ‖.

Portanto, todo espaco normado X = (X, ‖ ‖) pode ser considerado naturalmente como

um espaco metrico (X, d) onde a metrica d e a metrica induzida pela norma ‖ ‖, da forma

acima descrita.

Definicao 3.2. Seja (X, d) um espaco metrico. Quando existir uma norma ‖ ‖ em X tal

que d e a metrica induzida pela norma ‖ ‖, dizemos entao que A METRICA d PROVEM DA

NORMA ‖ ‖.

Exemplos:

A) Metrica e Norma Usuais da Reta:

Consideremos o conjunto IR dos numeros reais, munido da Norma Usual | | : IR → IR

dada por

|x| =

{x se x ≥ 0

−x se x < 0

A metrica induzida por | | e exatamente a Metrica Usual da Reta.

B) No Plano Complexo C (ou no IR2):

Consideremos o espaco C dos numeros complexos (ou entao IR2), que e um espaco vetorial

de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.

A Metrica Euclidiana (de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C) provem da Norma Euclidiana | |(funcao modulo).

A Metrica da Soma (ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2| ∀a, b ∈ C) provem da Norma da

Soma ‖ ‖s, dada por ‖a‖s = |a1|+ |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C .

A Metrica do Maximo (dm(a, b) = max { |a1 − b1| , |a2 − b2| } ∀a, b ∈ C) provem da

Norma do Maximo ‖ ‖m, dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C .

42 CAPITULO 3

C) Metrica e Norma do sup:

Consideremos o espaco (sobre IR) B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR.

A Metrica do sup ( d(f, g) = supx∈X

|f(x)− g(x)| ∀ f, g ∈ B(X; IR) ) provem da Norma

do sup ‖ ‖∞ , dada por ‖f‖∞ = supx∈X

|f(x)| para toda f ∈ B(X; IR).

D) Uma metrica que nao provem de norma alguma:

Seja X um espaco vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou C.

A Metrica Discreta d : X ×X → IR, dada por{d(x, x) = 0

d(x, y) = 1 se x 6= y

nao e proveniente de nenhuma norma em X (Exercıcio).

Bolas, esferas e conjuntos limitados:

Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco vetorial normado.

Dados a ∈ X e r > 0, r ∈ IR, definimos B(a; r) (bola aberta de centro a e raio r),

B[a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S[a; r] (esfera de centro a e raio r) atraves da

metrica d induzida pela norma ‖ ‖.

Tambem usamos a metrica d para caracterizar os conjuntos limitados em X.

Exercıcio: Mostre que um subconjunto Y ⊂ X (espaco normado) e limitado se, e somente

se, existe k > 0 tal que ‖y‖ ≤ k para todo y ∈ Y .

A topologia da norma:

Todo espaco vetorial normado X = (X, ‖ ‖) pode ser munido naturalmente da metrica

d induzida pela norma ‖ ‖ e consequentemente da topologia induzida por esta metrica d.

Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia e induzida pela norma ‖ ‖, ou que e a

TOPOLOGIA DA NORMA ‖ ‖.

A partir daı todos os conceitos topologicos estudados em espacos topologicos e metricos

sao verificados nos espacos normados, considerando-se a topologia e a metrica induzidas pela

norma.

Tambem as nocoes de continuidade uniforme, aplicacao lipschitziana, contracao, etc. sao

verificadas considerando-se a metrica induzida pela norma.

Espacos normados 43

Definicao 3.3. Seja X um espaco vetorial. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em X sao ditas

EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre X.

Proposicao 3.4. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em um espaco vetorial X sao equivalentes se,

e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que

α. ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β. ‖x‖1 ∀ x ∈ X

Prova: Exercıcio (Sugestao: faca uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais a frente)

Exercıcios:

1) Seja X um espaco normado. Mostre que se E ⊂ X e um subespaco vetorial de X e

E 6= X entao int E = φ .

2) Seja X = (X, ‖ ‖) um espaco normado.

(i) Mostre que ‖x− y‖ ≥ | ‖x‖ − ‖y‖ | para todos x, y ∈ X.

(ii) Usando o item anterior, mostre que se (xn) e uma sequencia em X tal que lim xn = a ∈ X

entao lim ‖xn‖ = ‖a‖.

3) Seja X um espaco vetorial normado sobre um corpo IK (IR ou C).

(i) Mostre que as translacoes Ta : X → X, dadas por Ta(x) = x + a (onde a ∈ X) sao

homeomorfismos.

(ii) Mostre que as homotetias Hλ : X → X, dadas por Hλ(x) = λ.x (com 0 6= λ ∈ IK) sao

homeomorfismos.

(iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X sao homeomorfas.

4) Seja X um espaco vetorial normado. Um subconjunto C ⊂ X e dito CONVEXO se,

e somente se, para todo par x, y ∈ C tem-se t.x + (1 − t).y ∈ C ∀ t ∈ [0, 1], ou seja, o

segmento [x, y] = { t.x + (1− t).y ; t ∈ [0, 1] } esta contido em C.

(i) Mostre que toda bola em X e convexa.

(ii) Mostre que a intersecao arbitraria de conjuntos convexos e convexa.

(iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo e convexo.

5) Seja B ⊂ X (espaco normado). A ENVOLTORIA CONVEXA de B e a intersecao

co (B) de todos os subconjuntos convexos de X que contem B.

Prove que co (B) e o conjunto de todas as combinacoes lineares α1.x1 + . . .+αn.xn tais que

x1, . . . , xn ∈ B, α1 ≥ 0, . . . , αn ≥ 0 (α1, . . . , αn ∈ IR) e α1 + . . . + αn = 1.

6) Seja B ⊂ X (espaco normado). A ENVOLTORIA CONVEXA FECHADA de B e a

intersecao co (B) de todos os subconjuntos convexos fechados de X que contem B.

Mostre que co (B) = cl ( co (B)).

44 CAPITULO 3

3.3 Espacos de Banach

Definicao 3.5. Um ESPACO DE BANACH e um espaco vetorial normado completo (toda

sequencia de Cauchy e convergente) quando tomamos a metrica induzida pela norma.

Exemplos:

A) O espaco (IR, | |) e um espaco de Banach.

B) O espaco dos numeros complexos C, munido de qualquer uma das normas | | (Eucli-

diana), ‖ ‖s (da Soma) ou ‖ ‖m (do Maximo) e um espaco de Banach.

C) O espaco B(X; IR) das funcoes limitadas f : X → IR, munido da norma do sup, e um

espaco de Banach.

D) Os espacos (`∞, ‖ ‖∞), (`1, ‖ ‖1) e (`2, ‖ ‖2) sao todos espacos de Banach.

E) Um espaco vetorial normado que nao e Banach:

Exercıcio: Mostre que os espacos dos exemplos de A) a D) sao espacos de Banach.

3.4 Series

Definicao 3.6. Uma serie∞∑i=1

xi em um espaco normado X = (X, ‖ ‖) e dita CON-

VERGENTE para um ponto x ∈ X se, e somente se, a sequencia de suas reduzidas

(sn) =

(n∑

i=1

xi

)convergir para x.

Definicao 3.7. Uma serie∞∑i=1

xi em um espaco normado X = (X, ‖ ‖) e dita NOR-

MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a serie de numeros reais∞∑i=1

‖xi‖ for

convergente, isto e,∞∑i=1

‖xi‖ < +∞ .

Espacos normados 45

Exercıcios:

1) Mostre que um espaco normado X e um espaco de Banach se, e somente se, toda serie

normalmente convergente for convergente.

2) (Teste M de Weierstrass) Seja∑

fn uma serie de funcoes no espaco B(X; IR) das

funcoes limitadas f : X → IR. Mostre que se existir uma serie convergente∑

cn de numeros

reais cn ≥ 0 e uma constante M tal que |fn(x)| ≤ M.cn para todos n ∈ IN e x ∈ X

entao a serie∑

fn e uniformemente convergente.

(Sugestao: use o exercıcio anterior e a norma do sup em B(X; IR))

3.5 Transformacoes lineares em espacos normados

Alguns exemplos interessantes:

A) Um operador linear que e injetivo mas nao e sobrejetivo:

B) Um operador linear que e sobrejetivo mas nao e injetivo:

C) Um funcional linear descontınuo:

46 CAPITULO 3

Definicao 3.8. (Transformacoes lineares “limitadas”) Sejam X e Y espacos normados. Uma

transformacao linear T : X → Y e dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante

c > 0 tal que ‖T (x)‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X.

Equivalentemente T : X → Y e limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0

tal que ‖T (x)‖Y ≤ c para todo x ∈ X com ‖x‖X ≤ 1 (isto e, para todo x ∈ B[0; 1] - bola

fechada unitaria de X), ou seja, T e limitada na bola unitaria fechada - de centro 0 - de X

(Exercıcio).

Denotaremos por L(X; Y ) o conjunto de todas as transformacoes lineares limitadas de X

em Y e sempre consideraremos X 6= {0} . E imediato que L(X; Y ) e um subespaco vetorial

do espaco vetorial de todas as transformacoes lineares de X em Y , com as operacoes usuais de

adicao e multiplicacao escalar (mostre).

Teorema 3.9. Sejam X e Y espacos vetoriais normados e T : X → Y uma transformacao

linear de X em Y . Entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1) T e contınua.

2) T e contınua em um ponto x0 ∈ X.

3) T e contınua no ponto 0 (vetor nulo).

4) Existe c > 0 tal que ‖Tx‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X (T e limitada).

Prova:

Espacos normados 47

A norma de uma transformacao linear:

Ja temos que L(X; Y ) e um espaco vetorial (subespaco do espaco de todas as trans-

formacoes lineares de X em Y ).

Agora, dada T ∈ L(X; Y ) (T e limitada, ou seja, T e contınua), defina

‖T‖ = sup { ‖Tx‖Y ; ‖x‖X ≤ 1}

A funcao ‖ ‖ : L(X; Y ) → IR acima definida e uma norma em L(X; Y ) (Exercıcio).

Observe que esta norma em L(X; Y ) depende das normas tomadas em X e Y .

Proposicao 3.10. Sejam X e Y espacos normados e T ∈ L(X; Y ) . Entao:

‖T‖ = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ ≤ 1} = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ = 1} =

= sup

{‖Tx‖‖x‖

; x 6= 0

}= inf { c > 0 ; ‖Tx‖ ≤ c. ‖x‖ ∀x ∈ X }

Prova: Exercıcio

Proposicao 3.11. (Propriedades Imediatas)

(i) ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ . ‖x‖ ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X; Y ) , com X e Y normados)

(ii) ‖TU‖ ≤ ‖T‖ . ‖U‖ ( T ∈ L(X; Y ), U ∈ L(W ; X), com W , X e Y normados)

Prova: Exercıcio

48 CAPITULO 3

Teorema 3.12. Sejam X e Y espacos normados. Entao L(X; Y ) e espaco de Banach se (e

somente se) Y e um espaco de Banach.

Prova: Exercıcio

Exercıcio: Mostre que se X e um espaco de Banach e A ∈ L(X) (isto e, A : X → X e

linear e contınua) entao a serie

eA =∞∑

n=0

An

n!= I + A +

A2

2!+

A3

3!+ . . .

converge para um operador linear contınuo eA : X → X (Sugestao: Mostre que a serie acima

e normalmente convergente).

Observacao: No caso particular X = IRn, este exercıcio diz que podemos definir (e bem)

a exponencial de uma n × n matriz real atraves da serie acima (e o resultado e ainda uma

n× n matriz real) !!!

Alguns resultados importantes (a tıtulo de informacao):

Teorema 3.13. (Princıpio da Limitacao Uniforme) Sejam X um espaco de Banach e Y um

espaco normado. Seja A uma famılia de transformacoes lineares contınuas de X em Y , ou

seja, A ⊂ L(X; Y ) .

Se A e pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { ‖Tx‖ ; T ∈ A} < +∞)

entao A e uniformemente limitada (existe M > 0 tal que ‖T‖ ≤ M para toda T ∈ A).

Podemos demonstrar o Princıpio da Limitacao Uniforme “olhando” para os conjuntos

Bn = { x ∈ X ; ‖Tx‖ ≤ n ∀ T ∈ A } e utilizando o Corolario do Teorema de Baire (veja nos

exercıcios do capıtulo sobre espacos metricos) - Tente!

Teorema 3.14. (Teorema da Aplicacao Aberta) Sejam X e Y espacos de Banach. Se

T ∈ L(X; Y ) e sobrejetiva, entao T e aberta, ou seja, T (A) e aberto em Y para todo A

aberto em X.

Podemos demonstrar o Teorema da Aplicacao Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja

nos exercıcios do capıtulo sobre espacos metricos).

Corolario 1. Se X e Y sao espacos de Banach e T ∈ L(X; Y ) e bijetiva, entao T−1 e

contınua, isto e, T−1 ∈ L(Y ; X).

Prova: Exercıcio

Espacos normados 49

Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):

50 CAPITULO 3

Capıtulo 4

Espacos com produto interno

Neste capıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e topicos

basicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade.

Apresentamos os espacos de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representacao de

Riesz.

4.1 Produto interno

Definicao 4.1. Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO

INTERNO sobre X e uma funcao < , >: X ×X → IK que associa a cada par ordenado de

vetores x, y ∈ X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y, de modo

que sejam satisfeitas as seguintes condicoes para quaisquer x, y, z ∈ X, λ ∈ IK:

p.i.1) < λ · x + y, z > = λ · < x, z > + < y, z >

p.i.2) < x, x > ≥ 0

p.i.3) < x, x > = 0 ⇒ x = 0

p.i.4) < x, y > = < y, x >

Obs.: < x, λy + z > = λ · < x, y > + < x, z >

51

52 CAPITULO 4

Exemplos:

A) Consideremos o conjunto C dos numeros complexos (ou entao IR2) como um espaco

vetorial de dimensao 2 sobre o corpo dos reais.

< , >: C× C → IR dada por

< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C

e um produto interno em C (equivale ao Produto Escalar no IR2).

B) Seja V o espaco das funcoes contınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores

complexos:

V = { f : [0, 1] → C ; f e contınua}

< , >: V × V → C dada por

< f, g > =

∫ 1

0

f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V

e um produto interno em V .

C) Seja `2 o espaco das sequencias quadrado somaveis, em um corpo IK (IR ou C):

`2 =

{(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;

∞∑i=1

|xi|2 < +∞

}

< , >: `2 × `2 → IK dada por

< (xn), (yn) > =∞∑i=1

xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2

e um produto interno em `2

D) Seja Cper [−π, π] o espaco vetorial das funcoes de IR em IR, contınuas e periodicas de

perıodo 2π.

< , >: Cper [−π, π]× Cper [−π, π] → IR dada por

< f, g > =

∫ π

−π

f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ Cper [−π, π]

e um produto interno em Cper [−π, π].

Espacos com produto interno 53

4.2 Norma a partir de um produto interno

Construcao:

Seja X um espaco vetorial munido de um produto interno < , >. A partir de < , >

construiremos uma funcao ‖ ‖ : X → IR, pondo

‖x‖ = (< x, x >)1/2 ∀ x ∈ X

A seguir, um importante resultado referente a funcao construıda acima:

Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)

|< x, y >| ≤ ‖x‖ . ‖y‖ ∀ x, y ∈ X

Prova: Exercıcio

A funcao ‖ ‖ : X → IR acima construıda a partir do produto interno < , > e uma norma

em X (mostre). Neste caso, dizemos que a A NORMA ‖ ‖ PROVEM DO PRODUTO

INTERNO < , >.

Exemplos:

A) A Norma Euclidiana | | : C → IR (funcao modulo) dada por

|a| =√

a21 + a2

2 ∀ a = a1 + ia2 ∈ C

provem do produto interno < , > dado por

< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C

B) A norma ‖ ‖2 : `2 → IR dada por

‖(xn)‖2 =

(∞∑i=1

|xi|2)1/2

∀ (xn) ∈ `2

provem do produto interno < , > dado por

< (xn), (yn) > =∞∑i=1

xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2

54 CAPITULO 4

C) Uma condicao necessaria (e suficiente):

Proposicao 4.3. Seja X um espaco vetorial. Se uma norma ‖ ‖ : X → IR provem

de um produto interno < , > em X, entao vale a IDENTIDADE DO PARALELO-

GRAMO:

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2.(‖x‖2 + ‖y‖2) ∀ x, y ∈ X

Prova: Exercıcio

As normas do Maximo ‖ ‖m : C → IR e da Soma ‖ ‖s : C → IR nao provem de produto

interno algum em C.

A norma ‖ ‖∞ : `∞ → IR nao provem de produto interno algum em `∞.

A norma ‖ ‖1 : `1 → IR nao provem de produto interno algum em `1.

Exercıcio: Prove as afirmacoes acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz

a Identidade do Paralelogramo.

4.3 Espacos de Hilbert

Definicao 4.4. Um ESPACO DE HILBERT X e um espaco vetorial com um produto interno

< , > tal que X e completo quando munido com a metrica d(x, y) = ‖x− y‖ , onde ‖ ‖ e a

norma que provem do produto interno < , >.

Exemplos:

A) O espaco C, munido do produto interno < a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 , e um

espaco de Hilbert.

B) O espaco `2 , munido do produto interno < (xn), (yn) > =∞∑i=1

xi.yi , e um espaco de

Hilbert.

Espacos com produto interno 55

4.4 Ortogonalidade

Definicao 4.5. Seja X um espaco com produto interno < , >. Dois vetores x, y ∈ X sao

ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x ⊥ y.

Dizemos que um subconjunto S ⊂ X e um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores

de S sao dois a dois ortogonais.

Teorema 4.6. (“Teorema de Pitagoras”) Sejam X um espaco com produto interno < , > e

seja ‖ ‖ a norma proveniente do produto interno < , >.

Se S ⊂ X e um conjunto ortogonal entao, dados x1, . . . , xn dois a dois distintos em S,

temos:

‖x1 + x2 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 + . . . + ‖xn‖2

Prova: Exercıcio

Proposicao 4.7. Se X e um espaco vetorial com produto interno, entao todo conjunto orto-

gonal de vetores nao nulos em X e linearmente independente (LI)

Prova: Exercıcio

4.5 O Teorema de Representacao de Riesz

Teorema 4.8. (Teorema de Representacao de Riesz) Seja X um espaco de Hilbert sobre um

corpo IK (IR ou C). Se L : X → IK e um funcional linear contınuo (limitado) entao existe

um unico vetor x0 ∈ X tal que L(x) = < x, x0 > para todo x ∈ X. Mais ainda, temos

‖L‖ = ‖x0‖.

Prova: Exercıcio

56 CAPITULO

Apendice A

Introducao a Topologia Produto

Este apendice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto

cartesiano de espacos topologicos, conhecida como a Topologia Produto.

Consideracoes iniciais:

Sejam X um conjunto, Y um espaco topologico e f : X → Y uma funcao de X em Y .

Se considerarmos uma topologia sobre X, e claro que quanto maior (ou mais forte) for esta

topologia, “maiores serao as chances” da funcao f ser contınua. Equivalentemente, quanto

menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X, menores serao as chances da funcao f ser

contınua. Surge entao uma interessante questao:

Qual a menor topologia sobre X para a qual a funcao f e contınua ?

Tentando responder a questao acima, chegamos naturalmente a colecao

τ ={

f−1(A) ; A aberto em Y}

Exercıcio: Mostre que a colecao τ acima e uma topologia sobre X tal que a funcao f e

contınua e τ e menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja contınua

(τ e portanto a topologia procurada na questao acima).

Consideremos agora uma famılia {τλ}λ∈L de topologias sobre um conjunto X. Uma

questao interessante associada a esta situacao e a seguinte:

Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X que contem cada uma

das topologias τλ , λ ∈ L ?

57

58 APENDICE A

Uma analise mais detalhada da situacao nos indica que a colecao

B = { A = Aλ1 ∩ Aλ2 ∩ . . . ∩ Aλn ; Aλi∈ τλi

; λi ∈ L }

das intersecoes finitas de abertos das topologias dadas e base para a topologia procurada na

questao acima!

Exercıcio: Mostre que a colecao B dada acima e base para uma topologia (τB) sobre X

e que a topologia τB , gerada por B , e a menor (mais fraca) topologia sobre X que contem

cada uma das topologias τλ , λ ∈ L, ou seja, τλ ⊂ τB ∀λ ∈ L e se τ e uma topologia sobre

X com τλ ⊂ τ ∀λ ∈ L entao τB ⊂ τ .

Encerrando esta etapa de consideracoes iniciais, consideremos um conjunto X e uma famılia

de funcoes fλ : X → Yλ de X em espacos topologicos Yλ , λ ∈ L. Chegamos entao a

generalizacao da primeira questao:

Qual a menor (mais fraca) topologia sobre o conjunto X para a qual todas as

funcoes fλ , λ ∈ L, sao contınuas ?

Utilizando as consideracoes anteriores, podemos concluir (mostre) que a colecao

B ={

A = f−1λ1

(Aλ1) ∩ f−1λ2

(Aλ2) ∩ . . . ∩ f−1λn

(Aλn) ; Aλiaberto em Yλi

; λi ∈ L}

das intersecoes finitas das imagens inversas pelas fλ de abertos dos espacos correspondentes

Yλ e base para a topologia procurada na questao acima.

Produtos cartesianos em geral:

Seja {Xλ}λ∈L uma famılia qualquer de conjuntos. O Produto Cartesiano (o qual definire-

mos mais tarde) desta famılia de conjuntos sera denotado por∏λ∈L

Xλ e identificado (infor-

malmente, a princıpio) com o conjunto de todas as L-uplas (xλ)λ∈L de elementos da uniao⋃λ∈L

Xλ tais que xλ ∈ Xλ para cada λ ∈ L.

Quando o conjunto L de ındices for claro (pelo contexto), denotaremos o produto simples-

mente por∏

Xλ e seu elemento geral por (xλ).

Se, em particular, tivermos um conjunto finito de ındices L = {1, 2, . . . , n} entao es-

creveremos X1 ×X2 × . . .×Xn para denotar o produto cartesiano e um elemento arbitrario

do produto sera dado por (x1, x2, . . . , xn) onde cada xi ∈ Xi.

Introducao a Topologia Produto 59

Exemplo: Dados dois conjuntos X e Y , seu produto cartesiano X × Y (neste caso

L = {1, 2} , X1 = X , X2 = Y ) e o conjunto dos pares (x, y) tais que x ∈ X e y ∈ Y .

Exemplo: Se L = {1, 2, . . . , n} e ainda X1 = X2 = . . . = Xn = IR entao o produto

cartesiano e o conjunto IRn = IR×IR×. . .×IR (n vezes) de todas as n-uplas (x1, x2, . . . , xn)

de numeros reais.

Definicao A.1. (Produto Cartesiano) Seja {Xλ}λ∈L uma famılia qualquer de conjuntos. O

PRODUTO CARTESIANO desta famılia de conjuntos, denotado por∏λ∈L

Xλ , e o conjunto

de todas as funcoes x : L →⋃λ∈L

Xλ tais que x(λ) = xλ ∈ Xλ para cada λ ∈ L.

Se, em particular, Xλ = X para cada λ ∈ L entao o produto cartesiano∏

Xλ e

simplesmente o conjunto XL de todas as L-uplas de elementos de X ou, equivalentemente,

e o conjunto de todas as funcoes f : L → X , uma vez que⋃λ∈L

Xλ = X.

Exemplo: Considerando L = IN e Xn = IR para cada n ∈ IN temos que o produto

cartesiano IRIN corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IN → IR , ou seja, todas as

sequencias (x1, x2, . . . , xn, . . .) de numeros reais.

Exemplo: Considerando L = IR e Xλ = IR para cada λ ∈ IR temos que o produto

cartesiano IRIR corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IR → IR.

Definicao A.2. (Projecoes) Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de conjuntos e seu produto

cartesiano∏λ∈L

Xλ . Para cada λ0 ∈ L existe uma funcao

πλ0 :∏λ∈L

Xλ → Xλ0

que associa a cada (xλ)λ∈L do produto a sua λ0-esima coordenada xλ0. Esta funcao e

chamada a APLICACAO PROJECAO do produto cartesiano∏λ∈L

Xλ sobre Xλ0 ou simples-

mente λ0-esima projecao.

Exemplo: Considerando L = {1, 2, . . . , n} , X1 = X2 = . . . = Xn = IR e o produto

cartesiano IRn = IR×IR×. . .×IR (n vezes), temos entao n projecoes π1, π2, . . . , πn : IRn → IR

com πi(x1, x2, . . . , xn) = xi para cada i = 1, 2, . . . , n.

60 APENDICE A

A Topologia Produto:

Dados uma famılia de conjuntos {Xλ}λ∈L e o seu produto cartesiano∏λ∈L

Xλ , existira

alguma topologia que seja natural sobre o produto cartesiano ?

Vimos que surgem naturalmente as chamadas projecoes: πλ :∏λ∈L

Xλ → Xλ e tambem

e natural pedirmos que, se cada Xλ for um espaco topologico, cada projecao πλ seja

contınua!

Definicao A.3. Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de espacos topologicos e seu produto

cartesiano∏λ∈L

Xλ .

A TOPOLOGIA PRODUTO e a menor (mais fraca) topologia sobre∏λ∈L

Xλ tal que cada

uma das projecoes πλ :∏λ∈L

Xλ → Xλ e contınua.

Ora, ja temos (nas consideracoes iniciais deste apendice) pronto um estudo mostrando que

a colecao

B ={

A = π−1λ1

(Aλ1) ∩ π−1λ2

(Aλ2) ∩ . . . ∩ π−1λn

(Aλn) ; Aλiaberto em Xλi

; λi ∈ L}

das intersecoes finitas das imagens inversas pelas projecoes de abertos dos espacos Xλ , e

base para a topologia produto.

O que faremos agora e simplesmente tentar enxergar melhor o “jeitao” destes abertos

basicos da topologia produto:

E facil ver que, dado um conjunto C ∈ Xλ0 , temos

π−1λ0

(C) =∏λ∈L

Dλ , com Dλ = Xλ ∀λ 6= λ0 e Dλ0 = C

Com o resultado acima, podemos finalmente concluir (mostre) que os abertos basicos da

topologia produto sobre∏λ∈L

Xλ sao da forma

A =∏λ∈L

Aλ

com Aλ aberto em Xλ e Aλ = Xλ para cada λ fora de um conjunto finito de

ındices.

Introducao a Topologia Produto 61

Exemplo: Sejam L = IN e Xn = IR (com a Topologia Usual) para cada n ∈ IN .

Ja sabemos que o produto cartesiano∏n∈IN

Xn = IRIN corresponde ao conjunto de todas as

funcoes f : IN → IR , ou seja, todas as sequencias (x1, x2, . . . , xn, . . .) (infinitas) de numeros

reais.

Se tomarmos, por exemplo, os conjuntos abertos A2 = (−3, 1) e A3 = (0, 5) , temos que

A = IR × (−3, 1) × (0, 5) × IR × IR × IR × . . . e um aberto basico da topologia produto em

IRIN , pois A =∏n∈IN

An com An aberto em IR e An = IR para cada n ∈ IN fora do

conjunto finito de ındices {2, 3} .

E imediato que o aberto basico A exibido acima e o conjunto de todas as sequencias

(x1, x2, . . . , xn, . . .) de numeros reais, tais que x2 ∈ (−3, 1) e x3 ∈ (0, 5).

Exemplo: Sejam L = IR e Xλ = IR (com a Topologia Usual) para cada λ ∈ IR . Ja

sabemos que o produto cartesiano∏λ∈IR

Xλ = IRIR corresponde ao conjunto de todas as funcoes

f : IR → IR.

Se tomarmos um ε > 0 , temos que, por exemplo, A =∏λ∈IR

Aλ com Aλ = IR para

todo λ 6=√

7 e A√7 = (−ε, ε) e um aberto basico da topologia produto em IRIR , pois

A =∏λ∈IR

Aλ com Aλ aberto em IR e Aλ = IR para cada λ ∈ IR fora do conjunto finito de

ındices{√

7}

.

Observemos que o aberto basico A exibido acima e o conjunto de todas as funcoes

f : IR → IR tais que f(√

7) ∈ (−ε, ε).

Exercıcios:

1) (Topologia Produto X Topologia de Caixa) Consideremos uma famılia {Xλ}λ∈L de

espacos topologicos e seu produto cartesiano∏λ∈L

Xλ . Mostre que os conjuntos dados por

A =∏λ∈L

Aλ , com Aλ aberto em Xλ

formam uma base para uma topologia sobre o produto cartesiano acima. Esta topologia e

chamada TOPOLOGIA DE CAIXA.

Compare a Topologia de Caixa com a Topologia Produto.

Sob quais condicoes podemos dizer que essas duas topologias coincidem ?

62 APENDICE A

2) (Topologia Produto e Tychonoff) Mostre que se o espaco∏λ∈L

Xλ e compacto (con-

siderando a Topologia Produto) entao cada Xλ e um espaco compacto.

A recıproca deste resultado e o importante Teorema de Tychonoff (ver [3], cap. 5):

“Se cada Xλ e um espaco topologico compacto, entao o produto cartesiano∏λ∈L

Xλ

(considerando a Topologia Produto) e compacto”.

O Teorema de Tychonoff e um dos motivos pelos quais a Topologia Produto e a mais natural

a ser definida sobre o produto cartesiano (repare que ela e definida como a menor topologia

tal que todas as projecoes sao contınuas e isso “aumenta as chances” do produto ser compacto).

3) (Topologia Produto e convergencia pontual) Consideremos L = IR e Xλ = IR (com

a Topologia Usual) para cada λ ∈ IR . Ja vimos que o produto cartesiano∏λ∈IR

Xλ = IRIR

corresponde ao conjunto de todas as funcoes f : IR → IR.

Mostre que a convergencia neste espaco IRIR das funcoes f : IR → IR , quando conside-

ramos a Topologia Produto, e a convergencia pontual (ver Capıtulo 2 - Espacos Metricos),

ou seja, uma sequencia de funcoes fn : IR → IR converge (na Topologia Produto) para uma

funcao f : IR → IR se, e somente se, para cada x ∈ IR fixado, tem-se fn(x) → f(x)

(convergencia pontual).

4) (Espacos Vetoriais Topologicos) Um ESPACO VETORIAL TOPOLOGICO (EVT) e

um espaco vetorial X (sobre um corpo IK) munido de uma topologia tal que as operacoes

de adicao de vetores: X × X → X e multiplicacao escalar: IK × X → X sao contınuas

(considerando a Topologia Usual em IK e as Topologias Produto em X ×X e IK×X ).

Mostre que todo espaco normado e um EVT.

Apendice B

Sobre bases em espacos vetoriais

Seja X um espaco vetorial sobre um corpo IK (IR ou C):

Definicao B.1. (Independencia linear) Um subconjunto E ⊂ X (E finito ou infinito)

e LINEARMENTE INDEPENDENTE (LI) se, e somente se, para todo subconjunto finito

{e1, e2, . . . , en} ⊂ E temos

c1e1 + c2e2 + . . . + cnen = 0

ci ∈ IK

}⇒ c1 = c2 = . . . = cn = 0

Definicao B.2. (Base de Hamel ou algebrica) Uma BASE (DE HAMEL) em um espaco

vetorial X e um subconjunto LINEARMENTE INDEPENDENTE MAXIMAL de X.

Para esclarecer, B e base (de Hamel) de um espaco X quando B e o “maior” conjunto

LI que contem B. Isto ocorre se, e somente se, B e LI e, para cada x ∈ X\B, o conjunto

B ∪ {x} nao e LI.

Exemplo: O conjunto B = {1, x, x2, x3, . . .} e uma base (de Hamel) do espaco

X = {a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx

n ; ai ∈ IR } , dos polinomios com coeficientes reais, pois

B e linearmente independente e B ∪ {p} nao e LI, qualquer que seja p ∈ X\B.

Teorema B.3. Todo espaco vetorial possui base (de Hamel).

Obs.: A demonstracao faz uso do Lema de Zorn.

63

64 APENDICE B

Teorema B.4. Seja B um subconjunto LI de um espaco vetorial X 6= { 0} .

B e uma base (de Hamel) de X se, e somente se, todo vetor x ∈ X pode ser escrito como

x =n∑

i=1

αiei = α1e1 + α2e2 + . . . + αnen , onde α1, . . . , αn ∈ IK e {e1, . . . , en} ⊂ B (ou

seja, todo vetor de X pode ser escrito como combinacao linear de elementos de um subconjunto

FINITO de B).

Prova: (⇒) Sejam B base (de Hamel) de X e x ∈ X.

Podemos supor que x 6∈ B (se x ∈ B ja teremos x = 1.x ).

Entao B ∪ {x} nao e LI (pois B e LI maximal) e portanto existem um subconjunto

finito {x, e1, e2, . . . , ek} ⊂ B ∪ {x} e escalares α0, α1, . . . , αk ∈ IK tais que:

α0x + α1e1 + . . . + αkek = 0 e α0 6= 0 (pois B e LI e B ∪ {x} nao e LI)

Logo:

x =

(−α1

α0

)e1 +

(−α2

α0

)e2 + . . . +

(−αk

α0

)ek

Portanto todo x ∈ X pode ser escrito como combinacao linear FINITA de elementos de B.

(⇐) B e LI. Para todo x ∈ X\B temos:

x = α1e1 + α2e2 + . . . + αkek

α1, . . . , αk ∈ IK

{e1, e2, . . . , ek} ⊂ B

⇒ B ∪ {x} nao e LI.

Logo podemos concluir que B e LI maximal, ou seja, B e uma base (de Hamel) de X .

Obs.: E atraves deste teorema que normalmente definimos base de um espaco vetorial em

nossos cursos de Agebra Linear.

Exemplo: Seja X = `∞ = { (xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IR ; (xn) e limitada } o espaco

das sequencias limitadas de numeros reais com as operacoes usuais de soma de vetores e

multiplicacao escalar.

O subconjunto E = { (1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . .} ⊂ `∞ e evidente-

mente LI, mas nao e base (de Hamel) de `∞ pois, por exemplo, x = (1, 1, 1, . . .) ∈ `∞ mas

x nao pode ser escrito como combinacao linear FINITA de elementos de E.

Sobre bases em espacos vetoriais 65

O teorema a seguir e uma bela aplicacao do Teorema de Baire (exercıcio do capıtulo 2 -

Espacos Metricos):

Teorema B.5. Seja X um espaco de Banach (espaco vetorial normado e completo - toda

sequencia de Cauchy e convergente - em relacao a metrica induzida pela norma).

Se X tem dimensao infinita entao toda base (de Hamel) de X e nao-enumeravel.

Prova: Suponhamos, por absurdo, que X tenha uma base (de Hamel) enumeravel

B = {e1, e2, e3, . . .} (obs.: B e um conjunto infinito pois X tem dimensao infinita).

Para todo n ∈ IN, seja Fn = [e1, e2, . . . , en] o subespaco de X gerado por {e1, e2, . . . , en} .

Temos

X =∞⋃

n=1

Fn

Para todo n ∈ IN, temos:

Fn tem dimensao finita ⇒ Fn e subconjunto fechado de X (ver Lima [2], p. 239).

Como Fn tem dimensao finita e X tem dimensao infinita, e imediato que Fn e subespaco

proprio do espaco normado X, de onde podemos concluir que int Fn = φ (exercıcio de

espacos normados).

Temos entao que X =∞⋃

n=1

Fn com Fn fechado e int Fn = φ para todo n ∈ IN.

Como X e Banach (completo), segue do Teorema de Baire que int X = φ (contradicao).

Entao, obrigatoriamente, toda base (de Hamel) de X e nao-enumeravel.

Observacao: Sempre usamos o termo base de Hamel (ou algebrica) para evitar confusao

com o conceito de BASE DE HILBERT (ou geometrica), que e referente aos conjuntos ORTO-

NORMAIS MAXIMAIS em espacos com produto interno.

66 APENDICE B

Apendice C

O espaco IRn

O espaco vetorial IRn:

Consideremos o conjunto IRn = { x = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR ; i = 1, 2, . . . , n } das n-

uplas de numeros reais.

Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)

Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos

numeros reais.

Produto interno no espaco IRn:

Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , >: IRn × IRn → IR pondo:

< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA EUCLI-

DIANA ‖ ‖ : IRn → IR pondo:

‖x‖ =√

< x, x > ∀ x ∈ IRn

67

68 APENDICE C

Obs.: Outras duas normas se destacam no IRn:

A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por

‖x‖m = max { |x1| , |x2| , . . . , |xn| } ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

E facil mostrar que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos:

‖x‖m ≤ ‖x‖ ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m

Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES.

Logo, as nocoes topologicas (convergencia de sequencias, limites, continuidade, etc.) inde-

pendem de qual destas tres normas e considerada!

Conjuntos limitados:

E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto

X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a

norma ‖ ‖2.

Teorema C.1. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equivalente

a Norma do Maximo) se, e somente se, suas projecoes X1 = π1(X), . . . , Xn = πn(X) sao

conjuntos limitados em IR.

Sequencias no espaco IRn:

Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo

k ∈ IN , xk =(x

(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n

), onde x

(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n

sequencias sao ditas as sequenciaS DAS COORDENADAS de (xk).

Teorema C.2. Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma equiv-

alente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para cada

i = 1, 2, . . . , n tem-se lim x(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a

coordenada correspondente de a.

Prova: Exercıcio (use a Norma do Maximo)

O espaco IRn 69

Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam

lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Entao:

(i) lim(xk + yk) = a + b

(ii) lim αk.xk = α.a

(iii) lim < xk, yk > = < a, b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:

Teorema C.3. (Bolzano-Weierstrass) Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer norma

equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.

Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-

nadas, juntamente com o teorema anterior)

Teorema C.4. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.

Demonstracao:

Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn

e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.

Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema

estara demonstrado.

(ii) Para a Norma da Soma valem os tres teoremas anteriores, pois ela e equivalente a

Norma do Maximo.

Consideremos a Base Canonica β = {e1, e2, . . . , en} do IRn.

Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:

‖x‖ = ‖x1e1 + . . . + xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . . + |xn|) = b. ‖x‖s

onde b = max { ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ } (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o

maximo em um conjunto finito de numeros reais).

Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)

70 APENDICE C

Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.

De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn

tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk

‖xk‖s

(note que a sequencia (uk) esta bem definida,

pois ‖xk‖s > 0 ∀k )

Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma

da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na

Norma da soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos entao que∥∥ukj

∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.

Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0

− u∥∥

s<

ε

2be

1

kj0

<ε

2

Logo

‖u‖ ≤∥∥ukj0

− u∥∥+

∥∥ukj0

∥∥ ≤ b.∥∥ukj0

− u∥∥

s+

1

kj0

.∥∥ukj0

∥∥s< b.

ε

2b+

ε

2= ε

Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!).

Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)

Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.

Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.

Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os teoremas anteriores sao

validos para qualquer norma considerada no IRn. Tambem temos que IRn e Banach

em relacao a qualquer norma considerada, ou seja, toda sequencia de Cauchy e convergente.

Continuidade:

A seguir, alguns resultados uteis:

A) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente

contınua e portanto contınua.

O espaco IRn 71

B) Se ϕ : IRm × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ

e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.

Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.

Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico

( < x, y > = x1y1 + . . . + xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B )

C) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm

( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.

A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR

dadas por fi = πi◦f ( i = 1, . . . , n ), chamadas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao

f .

Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .

Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).

Teorema C.5. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua no ponto a ∈ X se, e so-

mente se, cada uma das suas funcoes coordenadas fi = πi◦f : X → IR e contınua no ponto a.

Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn

dada por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.

Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas

entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,

(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por

< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.

Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),

para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto

x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.

Exemplos: f(x, y) = (( sen x).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.

A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.

72 APENDICE C

Compacidade:

Nosso principal objetivo agora sera mostrar que um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se,

e somente se, K e limitado e fechado. Os resultados a seguir ficam indicados como exercıcios

e irao “preparar o terreno” para cumprirmos o objetivo acima.

Teorema C.6. Um subconjunto K ⊂ IRn e limitado e fechado se, e somente se, toda

sequencia (xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.

Teorema C.7. (Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos

limitados, fechados e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1

Ki

(limitada e fechada) nao e vazia.

Lema C.8. Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel

E = {x1, x2, . . . , xl, . . .} ⊂ X, E denso em X.

Lema C.9. (Lindelof) Seja X ⊂ IRn um conjunto arbitrario. Toda cobertura aberta

X ⊂⋃

Aλ admite uma subcobertura enumeravel.

Chegamos entao ao resultado que nos interessa:

Teorema C.10. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, K e limitado e fechado.

Demonstracao:

(⇒) Ja feita no capıtulo sobre espacos metricos.

(⇐) Borel-Lebesgue:

Suponhamos que K seja limitado e fechado.

Seja K ⊂⋃

Aλ uma cobertura aberta de K.

Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel

K ⊂∞⋃i=1

Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .

Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha

Ki = K⋂

(X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))

O espaco IRn 73

Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.

Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi

) e fechado. Como K e fechado, temos

entao que Ki e fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .

Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂

∞⋃i=1

Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′

Logo∞⋂i=1

Ki = φ .

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ

Assim

φ = Ki0 = K⋂ (

X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0

)

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita, ou melhor, K e

compacto.

Conexidade por caminhos:

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida

num intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X

quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)

Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um

caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = { t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] }.

Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho

ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.

Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos

a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.

Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.

74 APENDICE C

Teorema C.11. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo.

Prova: Exercıcio.

Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:

Exemplo: X = {(x, sen 1/x) ; x ∈ (0, +∞)} ∪ {(0, 0)} ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo

por caminhos.

Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:

Teorema C.12. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.

Prova: Exercıcio.

Referencias

[1] Honig, Chaim S., Aplicacoes da Topologia a Analise, Projeto Euclides, IMPA, Rio de

Janeiro, 1976

[2] Lima, Elon Lages, Espacos Metricos, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1983

[3] Munkres, James R., Topology - A First Course, Prentice-Hall Inc. , New Jersey, 1975

75

curso basico de topologia

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