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Nome do Autor

Título do Livro

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Ficha técnica:

Título: título do livro

Autor: Nome do autor

Impressão e acabamentos: Departamento de Design e Artes Gráficas

Instituto Politécnico de Tomar.

Tomar, Mês de 2008.

ISBN 972-23-2345-X

Página para eventual dedicatória

Índice

Prefácio ...................................................................................................................................... v

Abreviaturas ........................................................................................................................... vii

Glossário de símbolos .............................................................................................................. ix

1 Escrever título do capítulo (nível 1) ..................................................................................... 1

1.1 Escrever título da secção (nível 2) ................................................................................................... 2

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2 Escrever título do capítulo (nível 1) ..................................................................................... 4


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Anexo A

A.1 Título ................................................................................................................................... 8

Anexo B

B.1 Título .................................................................................................................................. 10

Bibliografia .............................................................................................................................. 12

Prefácio

vi Prefácio

Resumo sobre o conteúdo e objectivo do livro. Eventual descrição da forma como o livro está

organizado e agradecimentos.

Tomar, mês de ano

Nome(s) do(s) autor(es)

Abreviaturas

viii Abreviaturas

ANOVA do inglês “analysis of variance”

EQM erro quadrático médio

f.c. função característica

f.d.c. função distribuição cumulativa

f.d.p. função densidade de probabilidade

v.a. variável aleatória

…

Glossário de Símbolos

x Glossário de símbolos

#A cardinal do conjunto A

cov(X, Y) covariância entre as v.a.’s X e Y

…

Escrever título do capítulo

1.1 Escrever título da secção (nível 2)

1.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3)


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2 1 Título do Capítulo 1


• Distribuição gama Dizemos que a v.a. X tem uma distribuição gama, com parâmetro de forma 0r > e taxa 0λ > , e

denotamos este facto por

( , )X gama r λ� , (1.1)

se a f.d.p. de X for dada por

1( ) e , ( 0)( )

rx r

Xf x x xr

λλ − −= >Γ

(1.2)

onde ( )rΓ é a função gama. Podemos recorrer à função gama incompleta

1

0

( , ) ez

r r xr z x dxλλ λ − −Γ = �

para representar a f.d.c. de X sob a forma

( , )( ) ( )

( )X

r xF x P X x

rλΓ= ≤ =

Γ

a qual, no caso de r ∈� , pode ser escrita como

1

0

( )( ) ( ) 1 e

!

jrx

Xj

xF x P X x

jλ λ−

−

=

= ≤ = − � .

A f.c. de X é dada por

( ) ( i )r rX t tϕ λ λ −= − , (1.3)

com 1/ 2i ( 1)= − e t ∈� (Grilo, 2005; Grilo e Coelho, 2007).

• Distribuição exponencial

Se em (1.1), (1.2) e (1.3) fizermos 1r = temos o caso particular de uma v.a. com distribuição

exponencial. Dizemos, então, que X tem distribuição exponencial com taxa 0λ > . Simbolicamente,

( )X exponencial λ� . (1.4)

É um resultado conhecido que, se ( ) ( 1,..., )iX exponencial i nλ =� forem n v.a.s independentes e

identicamente distribuídas (i.i.d.) então 1

( , )n

iiX gama n λ

=� � .

A distribuição exponencial é muito usada no estudo de filas de espera e de fiabilidade de sistemas

complexos (fiabilidade no instante t é a probabilidade do sistema ainda funcionar nesse instante). Esta

distribuição surge, frequentemente, associada a um processo de Poisson - processo que não tem

memória e que se refere à ocorrência de acontecimentos num intervalo de tempo ou numa região do

espaço (Pedrosa e Gama, 2004).


1.1.1 Escrever título da subsecção (nível 3) As tabelas devem ser numeradas e ter um título no topo.

Na Tabela 1.1 temos a distribuição dos alunos por curso superior. E como podemos confirmar…

Tabela 1.1: distribuição dos alunos por curso superior.

Curso N.º alunos % Conservação e Restauro 7 3,6 Fotografia 6 3,1 Artes Plásticas e Pintura 16 8,3 Tecnologia e Artes Gráficas 31 16,1 Gestão do Território e do Património Cultural 14 7,3 Eng.ª Electrotécnica e Computadores 16 8,3 Eng.ª Informática 11 5,7 Eng.ª Química 11 5,7 Eng.ª do Ambiente 9 4,7 Eng.ª Civil 72 37,3 Total 193 100,0


As figuras (gráficos, esquemas, imagens) devem ser numeradas e ter um título por baixo. Como

podemos ver na Figura 1.1, o planisfério apresenta…

Figura 1.1: Mapa-mundo.

…

Escrever título do capítulo




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Exemplo de uma nota de rodapé1…


Teorema do limite central (TLC)

Sejam 1,..., kX X variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição, que se admite ter

variância finita (quase todas as distribuições de interesse prático têm variância finita, pelo que esta

condição não é particularmente restritiva). Qualquer que seja a forma da distribuição destas variáveis,

se o valor n for suficientemente grande, a variável soma

1

n

kk

T X=

=�

segue aproximadamente uma distribuição normal. Esta distribuição é inteiramente especificada

através do valor esperado e da variância de T, que são dados por T Xnµ µ= e 2 2T Xnσ σ= onde Xµ e

2Xσ , representam o valor esperado e a variância das variáveis kX (Pestana e Velosa, 2002).

Deste teorema resulta imediatamente que, para uma qualquer população com variância finita, a

distribuição da média amostral calculada com base numa amostra aleatória simples tende para a

distribuição normal, à medida que a dimensão da amostra cresce. Na realidade, a média amostral

resulta de multiplicar a variável soma pelo coeficiente 1/n e, portanto, se a distribuição da soma se

aproxima de uma distribuição normal, o mesmo sucederá à distribuição da média amostral (Guimarães

e Cabral, 2007). Ou seja,

2 2

1

1( ; / )

n

k X Xk

X X N nn

µ µ σ σ=

= = =� �

pelo que

2( 0; 1)/

Z Z

XZ N

n

µ µ σσ

−= = =� .

1 Nota de rodapé 1…



Aaa

Bb

…

Anexo A

8 Anexo A

A.1 Título

Anexo B

10 Anexo B

B.1 Título

Bibliografia

12 Bibliografia

Alguns exemplos de referências bibliográficas:

Abramowitz, M., Stegun, I. A. (1974). Handbook of Mathematical Functions. (eds.). 9.ª ed., Dover,

New York.

Anderson, T. W. (1984). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. 2.ª ed., J. Wiley & Sons,

New York.

Guimarães, Rui C. e Cabral, José A. S. (2007). Estatística. 2.ª Edição, McGraw-Hill.

Grilo, L. M. (2005). Desenvolvimento de distribuições quase-exactas para vários cenários de

utilização da estatística Λ de Wilks. Dissertação de Doutoramento, Universidade Técnica de Lisboa

(ISA), Lisboa.

Grilo, L. M. e Coelho, C. A. (2007). Development and Comparative Study of two Near-exact

Approximations to the Distribution of the Product of an Odd Number of Independent Beta Random

Variables. Journal of Statistical Planning and Inference, 137, 1560-1575.

Pedrosa, A. C. e Gama, S. M. A. (2004). Introdução Computacional à Probabilidade e Estatística. Porto Editora. Pestana, Dinis D. e Velosa, Sílvio F. (2002). Introdução à Probabilidade e à Estatística. Vol. I, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Rao, C. R. (1948). Tests of significance in multivariate analysis. Biometrika, 35, 58-79. Rao, C. R. (1951). An asymptotic expansion of the distribution of Wilks criterion. Bull. Internat. Statist. Instit., 33, 329-58. Reis, E., Melo, P., Andrade, R., Calapez, T. (1996). Estatística Aplicada. Vol. I e II, Edições Sílabo. Schatzoff, M. (1966). Exact distributions of Wilks’ likelihood ratio criterion. Biometrika, 53, 347-358. Sugiura, N. e Fujikoshi, Y. (1969). Asymptotic expansions of the non-null distributions of the likelihood ratio criteria for multivariate linear hypothesis and independence. Ann. Math. Statist., 40, 942-952. Wilks, S. S. (1932). Certain generalizations in the analysis of variance. Biometrika, 24, 471-494. Wilks, S. S. (1935). On the independence of k sets of normally distributed statistical variables. Econometrika, 3, 309-326.

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