Título: CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESPAÇO­TEMPO DE UM

BURACO NEGRO COM CARGA E SEM ROTAÇÃO UTILIZANDO

ROTINAS COMPUTACIONAIS.

Autores: Rodrigo Ferreira Santos, Jonathas da Silva Maciel, Ednilton Santos de Oliveira e 

Luís Carlos Bassalo Crispino.

Resumo

Este   trabalho   tem   como   objetivo   mostrar,   por   meio   da   utilização   do

software Mathematica 5.0, a construção de diagramas espaço­temporais para a solução

de   Reissner­Nordström   das   equações   de   Einstein.   Esta   solução   descreve   o   espaço­

tempo ao redor de um buraco negro com carga elétrica e sem rotação. Apresentaremos

aqui  os diagramas espaço­temporais  de um buraco negro de Reissner­Nordström em

coordenadas polares esféricas e em coordenadas de Eddington­Finkelstein e o caminho

que trilhamos até a obtenção destes diagramas por meio de rotinas computacionais.

E­mails: jmaciel@ufpa.br, rfsantos@ufpa.br, ednilton@ufpa.br, crispino@ufpa.br. 

Palavras chave: Espaço­tempo, buraco negro, sistemas de coordenadas, Mathematica.

1

1 – Introdução

A   teoria   da   relatividade   geral   foi   formulada   por   Albert   Einstein   com   o

objetivo   de   generalizar   a   gravitação   newtoniana,   levando   em   consideração   os

desenvolvimentos da teoria da relatividade especial.  A relatividade geral tem por base

alguns   princípios   físicos,   dentre   os   quais   os   mais   conhecidos   são   o   princípio   da

correspondência   e   o   princípio   da   equivalência.   Esta   teoria,   assim   como   a   teoria

newtoniana, possui um conjunto de equações para a gravitação, apesar de não serem

lineares. Por isto, Einstein, ao publicá­las, acreditava que não houvesse soluções exatas

para tais equações [1]. Entretanto, após alguns meses da publicação das equações da

relatividade geral [2], em 1916, Karl Schwarzschild obteve a primeira solução exata das

equações de Einstein, que descreve como o espaço­tempo é modificado pela presença

de um ponto singular de massa  M, sem carga e sem rotação, localizado na origem do

sistema de coordenadas esféricas, de acordo com um observador parado no infinito [3].

Apesar de esta solução ser uma das soluções mais simples das equações

de Einstein, por meio desta solução já foi possível a explicação de fenômenos de origem

gravitacional que até  então a  teoria newtoniana da gravitação não conseguia explicar,

2

como por exemplo, a precessão do periélio de mercúrio, e o desvio de raios luminosos

perante fortes campos gravitacionais.

Após   a   descoberta   da   solução   de   Schwarzschild,   no   mesmo   ano,   o

engenheiro e físico alemão Hans Reissner conseguiu a primeira solução das equações de

Einstein na presença de campos eletromagnéticos e, em 1918, de maneira independente,

a solução foi encontrada pelo engenheiro e físico finlandês Gunnar Nordström [4]. Ambos

encontraram uma solução que generaliza a solução de Schwarzschild para o caso em

que, além da massa M, o buraco negro contenha carga elétrica Q. Esta solução mostra

que podem existir três regiões no espaço­tempo ao redor de um buraco negro carregado

e sem rotação.  Entre estas  regiões existem dois horizontes de eventos e a  luz pode

atravessá­los sem cair na singularidade espaço­temporal. Além disto, mostra­se também

que o  ponto  carregado  cria  uma barreira  de potencial  onde uma  partícula  que  tente

alcançar um dos seus horizontes é  naturalmente repelida,   ficando presa numa destas

regiões [2].  

. 

 2 –O elemento de linha de Reissner­Nordström 

       

Como no caso da solução de Schwarzschild, a solução das equações de

Einstein obtida pelos físicos Hans Reissner e Gunnar Nordström descreve um espaço­

tempo   estático   e   esfericamente   simétrico.   Um   espaço­tempo   é   dito   esfericamente

simétrico  se,  e  somente  se,  ele  admitir   três  vetores  de Killing   tipo­espaço   aX   cujas

órbitas   são   fechadas   e   que   satisfaçam   à   condição:   [ X1 , X2 ]=X3 ,   [ ] 132 , XXX = ,

3

[ ] 213 , XXX = [2].  Esta condição nos possibilita determinar uma forma canônica para o

elemento de linha escrito no sistema de coordenadas polares esféricos, a saber  

( )2 2 2 2 2 2 2sin .ν λ θ θ φ= − − +ds e dt e dr r d d , (2.1)

sendo que   ( )rt,νν =  e   ( )rt,λλ = . Como a solução é para o caso estático,   ( )rνν =  e

( )rλλ = .

Para   encontrarmos   o   elemento   de   linha   correspondente   à   solução   de

Reissner­Nordström, primeiro tomemos a seguinte equação:

Rab=8 T ab , (2.2)

na qual abR é o tensor de Ricci e  abT é o tensor energia­momento, que, em regiões livres

de fontes, onde somente o campo eletromagnético está presente, é dado por:

1 1 .4 4

cd cdab ac bd ab cdT g F F g F F

π ↵ ↵= − + ↵ ↵ ↵ ↵

, (2.3)

sendo   abg   a  métrica  que  descreve  o  espaço­tempo  e   abF   o   tensor  de  Maxwell  que

descreve o campo eletromagnético.

Tomando a equação de Maxwell em regiões livres de fontes,

0,abaF? = (2.4)

4

lembrando que o campo é gerado por uma partícula pontual carregada e admitindo que

ela esteja na origem do sistema de coordenadas,  concluímos que o campo é  do  tipo

eletrostático e radial. Sendo assim, o tensor de Maxwell assume a seguinte forma:

( )

0 1 0 01 0 0 0

.0 0 0 00 0 0 0

abF E r

−? ?? ?? ?=? ?? ?? ?

(2.5)

Reunindo as equações  (2.1) e (2.5) em (2.4),  obtemos a expressão do campo elétrico

gerado pela partícula pontual. Esta é dada por:

( )1 ( )2

2 .qE r er

ν λ+= (2.6)

Admitindo que a solução é assintoticamente plana, quando r tende para o infinito o campo

eletrostático   tende   ao   resultado   clássico,   isto   é,   ( ) 2rqrE →   para   ∞→r   e   portanto

0=+ λν  assintoticamente.

Substituindo agora as equações  (2.1),   (2.3)  e (2.6)  em (2.2)  quando os

índices são  0a b= =  e  1a b= = , obtemos:

0,ν λ+ =&& (2.7)

na qual o ponto denota diferenciação relação a r. Obtemos assim que  0=+ λν  quando

∞→r . Juntando este resultado com (2.6), concluímos que  0=+ λν  para qualquer r.

A equação em que  2a b= = , na expressão (2.2), leva a:

5

2

221 .m qer r

ν = − + (2.8)

Usando (2.8) e que  0=+ λν , obtemos:

12

221 ,m qer r

λ−

↵ ↵= − + ↵ ↵

↵ ↵(2.9)

sendo que m em (2.7) e (2.8) é uma constante de integração.

Substituindo as equações (2.8) e (2.9) em (2.1), obtemos o elemento de

linha de Reissner­Nordström, que é:

ds2=1−2 mr

q2

r2 dt2−1−2 mr

q2

r2 −1

dr2−r2 d 2sin2 d 2 (2.10)

Quando  0q = , esta equação se reduz ao elemento de linha de Schwarzschild e, assim,

identificamos m como sendo a massa geométrica, que em um sistema de unidades que

não seja o natural é   2/m GM c= , sendo  G  é a constante universal da gravitação,  M  a

massa do corpo e c a velocidade da luz no vácuo.  

Com   este   elemento   de   linha,   podemos   analisar   o   espaço­tempo   de

Reissner­Nordström ETR­N e encontrar as equações de movimento para partículas que

viajam nesse espaço­tempo.

3­ ETR­N

6

3.1 –  Em coordenadas polares esféricas

Primeiro, analisemos o elemento de linha de Reissner­Nordström, que em

coordenadas   esféricas   é   dado   por   (2.9).   A   partir   das   componentes   da   métrica   do

elemento de  linha do ETR­N, podemos encontrar  as regiões que delimitam o espaço­

tempo. Para isso basta tomar  000 =g , o que implica que  021 2

2

=+−rq

rm  e, assim, estas

superfícies, denominadas horizontes, são dadas por: 

r±=m±m2−q2

12 (3.1)

De (3.1) percebemos que o espaço­tempo é dividido em três regiões para o

caso em que   q2m2 , caso este ao qual nosso trabalho estará voltado. Estas regiões

são: I, para   rr∞ , II, em   +− << rrr   e III, na qual   0rr

− .  A separação destas

regiões é  feita por hipersuperfícies nulas (tipo luz), que estão localizadas em   r=r   e

r=r− . A situação em   r=r

 é semelhante ao caso de Schwarzschild em   r=2 m . Nas

regiões   I   e   III,   as   coordenadas   “t”   e   “r”   são   do   tipo   tempo   e   do   tipo   espaço,

respectivamente,   mas   elas   mudam   seus   papéis   na   região   II,   fazendo   com   que   nós

observássemos  que  a  solução  é   estática  nas   regiões   I   e   III,  porém na   região   II   ela

passaria a não ser mais estática. O sistema de coordenadas polar esférico não é o mais

adequado para descrever os fenômenos que ocorrem nessa região. Por isso, usaremos

as Coordenadas Avançadas de Eddington­Finkelstein.

3.2 ­ Encontrando as geodésicas do ETR­N em coordenadas polares esféricas.

7

As   geodésicas   são   curvas   ao   longo   das   quais   devem   se   dar   os

movimentos das partículas livres de forças em um dado espaço­tempo. Estas curvas são

encontradas   aplicando­se   o   método   variacional   para   geodésicas,   que   se   trata,

basicamente, do uso das equações de Euler­Lagrange [2]. 

Vamos considerar que o movimento da partícula se limite apenas ao longo

da   coordenada   radial.   Dessa   forma,

=cte . , =cte .

, de modo que   d =d =0 . Estamos interessados em geodésicas nulas, que são as

curvas correspondentes à linha de mundo do fóton. Isto implica que  ds2=0 , e, portanto,

o elemento de linha (2.9) torna­se:

12 22 2 2

2 22 21 1 0.m q m qds dt drr r r r

− ↵ ↵ ↵ ↵

= − + − − + = ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵ ↵

(3.2)

Diferenciando (3.2) com relação a um parâmetro afim u, definido por [2]:

2

2 0,d sdu

=

temos:

L≡ &s2=1−2 mr

q2

r2 &t2−1−2 mr

q2

r2 −1

&r2=0 . (3.3)

Utilizando   as   equações   de   Euler­Lagrange,   podemos   encontrar   as

geodésicas tipo luz. Fazendo isto, obtemos: 

8

ddu ∂ L

∂ &t −∂ L∂ t

=0 , (3.4)

que resulta em:

ddu r−r

r−r

−

r2&t =0 . (3.5)

Integrando, obtemos:

&t=k1r2

r−rr−r

−

. (3.6)

Tomando (3.6) e substituindo em (3.3), encontramos:

&r=±k1 . (3.7)

Os sinais positivo e negativo em (3.7) correspondem ao tipo da geodésica nula. Se

for positivo, temos a geodésica de saída, que são geodésicas para as quais o fóton

caminha   no   sentido   em   que  r  cresce,   e   se   for   negativo   temos   geodésicas   de

entrada, cujo sentido é  oposto ao das geodésicas de saída. As equações acima

mostram que t = t(r), então:

dtdr

=dtdu

dudr

=&t&r

. (3.8)

dtdr

=±r2

r−r r−r

−.   (3.9)

Integrando a equação (3.9) com relação a “r”, obtemos:

 

9

t=−r2 ln r−r

r−r

−

r−2 ln r−r

−r−r

−−rcte (3.10)

e

t=r2 ln r−r

r−r

−−

r−2 ln r−r

−r−r

−rcte ,  (3.11)

sendo que a equação (3.10) corresponde às geodésicas de entrada, que chamaremos

aqui   de   “outgoing”   e   a   equação   (3.11)   corresponde   às   geodésicas   de   saída   que

chamaremos aqui de “ingoing”.

Podemos concluir a partir de (3.10) e (3.11) que as linhas de mundo

dos fótons são curvas no ETR­N. As constantes de integração servirão para formar

as congruências nulas [2]. Dessa maneira, podemos criar os gráficos de t versus r

no Mathematica 5.0.

A seguinte rotina foi introduzida:

10

m =6;

q =5.7;

r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

outgoing =r+

2Hr+ - r-L Log@Abs@r - r+DD- r-2Hr+ - r-L Log@Abs@r - r-DD+ r;

ingoing =- outgoing;

P1 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,

ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,

ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,

ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing + 50, outgoing - 50, ingoing + 60<,8r, 0, r- - 0.01<,PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,

Ticks 888r- , "r=r- "<<, None<D;P2 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,

ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,

ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,

ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing + 50<,8r, r- + 0.01, r+ - 0.1<, PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,

Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<D;P3 =Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30,

ingoing + 20, outgoing + 20, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing,

ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 20, ingoing - 10, outgoing - 30,

ingoing - 20, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing - 40<,8r, r+ + 0.1, r+ + 5<, PlotRange 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<,TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic,

Ticks 888r+, "r=r+"<<, None<D;Show@8P1, P2, P3<, AxesLabel 8"r", "t"<, TextStyle 8FontFamily "Times", FontSize 14<,

Axes Automatic, Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<D;O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:

11

r=r -r

t

Fig.: 3.1

r

t

Fig.: 3.2

r

t

Fig.: 3.3

r=r - r=r+r

t

Fig.: 3.4   

 

12

Os gráficos das figuras (3.1), (3.2) e (3.3) mostram o comportamento das

geodésicas para cada região. Na figura (3.4), temos a descrição de todo o espaço­tempo.

Na região I ( ∞<<+ rr ) observamos que, para valores muito grandes de r,  o espaço­

tempo   assemelha­se   ao   de   Minkowski.   Percebemos   ainda   que,   pelos   cones   de   luz,

qualquer partícula que tenda a entrar no buraco negro, parece levar um tempo infinito

para alcançar o ponto  r=r , da mesma forma como acontece para Schwarzschild em

r=2 m . Na região II ( +− << rrr ) todos os cones de luz estão orientados para a região III

( 0rr− ) e é na região II onde ocorre a inversão das coordenadas “t” e “r”, ou seja, a

coordenada “t” passa a ser do tipo­espaço e coordenada “r” passa a ser do tipo­tempo.

Isso faz com que pensemos que ocorre a quebra do princípio da causa e efeito, pois os

cones de luz possibilitam que os fótons andem para trás no tempo. Como podemos ver,

cada   região   parece   estar   desconectada   da   outra,   devido   aos   cones   de   luz   nesses

gráficos terem orientações bem diferentes. Ressaltamos que isto se dá devido ao sistema

de   coordenadas   adotado,   que   não   é   o   melhor   para   descrever   o   espaço­tempo

considerado como um todo. 

3.2 – ETR­N em coordenadas avançadas de Eddington­Finkelstein.

Como  já   foi   citado,   pelo   fato   de   termos   anteriormente   plotado   gráficos

usando o sistema de coordenadas naturais (t,  r,  θ,  φ), surgiram­se algumas anomalias

que distorcem o entendimento físico do problema. Para podermos melhorar a estrutura do

diagrama   e   com   isso   dar   uma   visão   física   mais   adequada,   usaremos   as   coordenas

avançadas   de   Eddington­Finkelstein.   Neste   sentido,   fazemos   uma   mudança   na

coordenada temporal, de tal maneira que as geodésicas de entrada sejam retas. 

13

3.2.1 ­ Encontrando as geodésicas para o ETR­N em coordenadas avançadas de

Eddington­Finkelstein. 

Nosso objetivo agora é encontrar transformações de coordenadas de forma

que as geodésicas nulas de entrada sejam linhas retas. Definimos então as seguintes

transformações de coordenadas usando (3.10) [2]:

t=tr2 ln r−r

r−r

−−

r−2 ln r−r

−r−r

−.  (3.12)

Deste modo, as geodésicas nulas de entrada são dadas por:

t=−rcte .  (3.13)

Como podemos perceber, a expressão (3.13) corresponde a retas, que fazem um ângulo

de 135º com o semi­eixo positivo de r.  Partamos agora em busca das geodésicas nulas

de saída. Para isto, diferenciando (3.12), temos:

d t=dt{r r−r

−−r

r−

r−r r−r

− }dr . (3.14)

Substituindo (3.14) no elemento de linha de Reissner­Nordström (2.9), encontramos um

novo elemento de linha para a nova coordenada  t , que é:

ds2=1−2 mr

q2

r2 d t2− 4 mr

2 q2

r2 d t dr−12 mr

−q2

r2 dr2−r2 d 2sin2 d 2   .

(3.15)

14

Através de (3.15),  podemos, de forma análoga, como foi visto na seção

3.1.1  encontrar as geodésicas nulas de saída. Para isto, usando o método variacional

para geodésicas, obtemos:

2

2

2

2

21

21

m qdt r r

m qdrr r

+ −=

− +.  (3.16)

Integrando (3.16) temos:

 

t=r2 2 m2−q2

r−r

−

ln∣r−r

r−r−

∣2 m ln∣ r−rr−r

−∣cte . (3.17)

Estas são as geodésicas nulas de saída.

Com as geodésicas nulas encontradas, podemos então construir o gráfico  t  versus r.

A seguinte rotina foi introduzida:

m =5;

q =4.5;

r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

outgoing =r + 2 m Log@Abs@Hr - r+L Hr - r-LDD+ 22 m 2 - q2

r+ - r-LogAAbsAr - r+

r - r-EE;

ingoing =- r;

PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing - 15, outgoing + 30, outgoing - 30,

outgoing + 45, outgoing - 45, outgoing + 60, outgoing - 60, ingoing, ingoing + 15,

ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60, ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange 80, 50<,AxesLabel 9"r", "t

-"=, Ticks 888r- , "r=r- "<,8r+, "r=r+"<<, None<E;

15

O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:

r=r+r=r-r

t-

Fig.: 3.5.

Agora nós temos o gráfico que corresponde às coordenadas avançadas de

Eddington­Finkelstein. Como podemos observar, um sinal luminoso não pode escapar da

região II para a região I, o que nos mostra que a superfície   r=r   é um horizonte de

eventos, e qualquer partícula que atravesse essa região tende à singularidade intrínseca (

0r = ). Na região II os cones de luz estão orientados em direção à singularidade  0r = , e,

portanto, qualquer partícula que esteja na região II se moverá necessariamente para o

centro.   Na   região   III   os   cones   de   luz   não   estão   inclinados   para   o   centro   e

conseqüentemente as partículas não caem necessariamente na singularidade.

3.3 – ETR­N em coordenadas atrasadas de Eddington­Finkelstein

As coordenadas atrasadas de Eddington­Finkelstein correspondem à solução oposta a

das coordenadas avançadas. Esta solução matemática, que descreve o que chamamos

de buraco branco, é importante para a construção dos digramas de Kruskal e Penrose, a

partir dos quais se especula a existência dos chamados “buracos de minhoca” [1].

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3.3.1   ­  Encontrando as geodésicas para o ETR­N em coordenadas atrasadas de

Eddington­Finkelstein.

Podemos   encontrar   a   solução   reversa   no   tempo   definindo   uma   nova

transformação de coordenadas. Partindo de (3.11), definimos esta transformação como:

2 2ln( ) ln( )( ) ( )

r r r r r rt t tr r r r

+ + − +

+ − + −

− − →= − − +− −

% . (3.18)

Sendo assim, as geodésicas nulas de saída são agora retas que formam

um angulo de 45º em relação ao semi­eixo positivo de r e são dadas pela relação:

%t=rcte . (3.19)

Encontremos   agora   as   geodésicas   nulas   de   entrada.   Para   isto,

diferenciemos (3.18):

( )( )( )r r r r rdt dt drr r r r

+ − + −

+ −

↵ ↵− −= − − ↵ ↵− −↵% (3.20)

Substituindo   (3.20)   no   elemento   de   linha   de   Reissner­Nordström   (2.9),

encontramos um novo elemento de linha para a nova coordenada  t~ , que é:

ds2=1−2 mr

q2

r2 d %t2 4 mr

2 q2

r2 d %t dr−12 mr

−q2

r2 dr2−r2 d 2sin2 d 2 .

  (3.21)

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Finalmente, por meio de (3.21), podemos, de forma análoga ao que foi feito

em   Reissner­Nordström,   e   para   a   coordenada   de   Eddington­Finkelstein   encontrar   as

seguintes geodésicas nulas de entrada:

%t=−r−2 2 m2−q2

r−r

−

ln∣r−r

r−r−

∣−2 m ln∣r−rr−r

−∣cte . (3.22)

Dessa forma as geodésicas de entrada são dadas pela expressão (3.22) e as de saída

por (3.19).

A partir das expressões (3.19) e (3.22), podemos então construir o gráfico

de  t~  versus r.

A seguinte rotina foi introduzida:

q =4.5;

r+ =m +!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

r- =m -!!!!!!!!!!!!!m 2 - q2 ;

outgoing =- r - 2 m Log@Abs@Hr - r+L Hr - r-LDD-2

2 m 2 - q2

r+ - r-LogAAbsAr - r+

r - r-EE;

ingoing =r;

PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing + 30, outgoing + 45,

outgoing + 60, outgoing + 75, outgoing + 90, outgoing + 105,

ingoing, ingoing + 15, ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60,

ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange 80, 50<, AxesLabel 9"r", "t-"=,

Ticks 888r+, "r=r+"<,8r- , "r=r- "<<, None<E;O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi:

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r=r+r=r-r

t-

Fig.: 3.6.

A figura acima mostra como as geodésicas nulas se comportam segundo a coordenada

atrasada de Eddington­Finkelstein.

4 – Considerações finais

A solução de Reissner­Nordström, como mencionado anteriormente,  é  a

solução das equações de Einstein que descreve o espaço­tempo de um buraco negro

com carga elétrica. Devemos ressaltar,  no entanto, que é mais provável encontrarmos

corpos celestes neutros (carga elétrica nula) distribuídos pelo cosmos. 

Como uma especulação, poderíamos investigá­la em nível quântico, como

por   exemplo,   considerando   um   elétron   como   uma   partícula   pontual   e   analisando   o

espaço­tempo ao seu redor; mas neste contexto teríamos problemas relacionados com

as   ordens   de   grandezas   envolvidas   e   com   o   caráter   probabilístico   dos   sistemas

quânticos. Esta é mais uma situação que nos remete ao problema da compatibilização da

relatividade geral com teoria quântica.

A solução de Reissner­Nordström é importantíssima para física teórica, no

sentido   de   que   é   uma   generalização   do   caso   de   Schwarzschild,   além   de   ser   um

interessante elo entre o eletromagnetismo e a gravitação que pode nos fornecer dicas

para a construção de uma teoria unificada para as interações da natureza. É interessante

comparar  os diagramas feitos  e exibidos neste   trabalho com os do espaço­tempo de

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Schwarzschild   e   notar   que   a   presença   da   carga   elétrica   afeta   significativamente   o

caminho   das   geodésicas,   além   de   produzir   um   horizonte   de   eventos   adicional   com

relação ao caso de um buraco negro descarregado. O caso tratado aqui se assemelha à

solução de Kerr, que descreve o espaço­tempo de um buraco negro com rotação, que

pode ser tratada de maneira análoga à que foi feita no presente trabalho.

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5 – Referências

[1] PAIS, Abraham. Sutil é o Senhor... A ciência e a vida de Albert Einstein. Tradução

Fernando Parente e Viriato Esteve; revisão da tradução César Benjamim. Nova Fronteira,

Rio de Janeiro (1995).

[2]  D’INVERNO,  Ray.  Introducing Einstein`s Relativity. Clarendon Press, Oxford (1992).

[3] WALD, Robert M. General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago (1984).

[4] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,

Jorge   Castiñeiras;   VANZELLA,   Daniel   Augusto   Turolla.   Buracos   negros.   Scientific

American Brasil ­ Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p. 32­39, (2006).

 [5] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,

Jorge Castiñeiras. Horizonte de Eventos. Scientific American Brasil, São Paulo, v. 29, p.

50­56, (2004).

 [6] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ,

Jorge   Castiñeiras;   VANZELLA,   Daniel   Augusto   Turolla.   Singularidade   e   Informação.

Scientific American Brasil ­ Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p. 70­75, (2006).

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