UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

TEXTO DE APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS DE

FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

Rui Lança, Eq. Professor Adjunto

David Pereira, Eq. Professor Adjunto

MAIO DE 2008

i

Índice de matérias

1. Introdução..................................................................................................................................1 Questões teóricas .......................................................................................................................1 Problemas práticos .....................................................................................................................2

2.Cinemática..................................................................................................................................1 Questões teóricas .......................................................................................................................1

3.Cinemática - movimentos............................................................................................................5 Questões teóricas .......................................................................................................................5 Problemas práticos .....................................................................................................................7

4.Estática das partículas no plano .................................................................................................14 Questões teóricas .....................................................................................................................14 Problemas práticos ...................................................................................................................14

5.Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas..................................16 Questões teóricas .....................................................................................................................16 Problemas práticos ...................................................................................................................16

6.Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ...........................................................19 Questões teóricas .....................................................................................................................19 Problemas práticos ...................................................................................................................19

7.Produtos de inércia e Círculo de Mohr.......................................................................................20 Questões teóricas .....................................................................................................................20 Problemas práticos ...................................................................................................................20

8.Dinâmica de uma partícula ........................................................................................................22 Questões teóricas .....................................................................................................................22 Problemas práticos ...................................................................................................................22

9.Quantidade de movimento de um sistema de partículas .............................................................24 Questões teóricas .....................................................................................................................24 Problemas práticos ...................................................................................................................25

10. Trabalho e energia..................................................................................................................27 Questões teóricas .....................................................................................................................27 Problemas práticos ...................................................................................................................29

11.Mecânica dos fluidos...............................................................................................................31 Questões teóricas .....................................................................................................................31 Problemas práticos ...................................................................................................................32

1

1. Introdução

Questões teóricas

QT 1.1 Explique como procederia para determinar o ângulo formado entre dois vectores

num espaço tridimensional. Apresente a respectiva formulação.

Pela definição de produto interno de dois vectores

a b a b cos

a b a b a b a bx x y y z z

cos

a b a b a b

a bx x y y z z

QT 1.2 Num modelo à escala 1/10, faz-se uma experiência, em que um carrinho com

massa mA se desloca com velocidade Av . Como calcula a energia cinética do protótipo?

QT 1.3 Considere um modelo reduzido à escala [Lx]=[Ly]=[Lz]=1:20;

[M]=1:50;[T]=1:1 de um cubo com d (m) de aresta e Fg (N) de peso imerso em água.

Determine o peso, massa volúmico, peso aparente e impulsão do cubo na realidade.

Justifique todos os cálculos.

QT 1.4 Explique como são definidas as unidades das grandezas físicas fundamentais.

Indique três exemplos diferentes.

As unidades das grandezas físicas fundamentais são convencionadas. Ex: metro (m);

segundo (s); quilograma (kg).

QT 1.5 Qual é a diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física

derivada? Indique três exemplos para cada tipo de grandeza física.

As unidades de medição das grandezas físicas fundamentais são convencionadas. As

derivadas são obtidas com base nas anteriores.

QT 1.6 Deduza o factor de escala K para a grandeza física derivada energia cinética

medida num modelo reduzido 10 vezes.

2

2

21 vmEc

Como a energia cinética foi Medina mum modelo em que os comprimentos e a massa

estão reduzidas 10 vezes, logo:

2101021 vmEc

eloreal EcEc mod500

QT 1.7 Quais são as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis

e respectivas unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração.

Força [MLT-2]

Velocidade [LT-1]

Posição [L]

Aceleração [LT-2]

Problemas práticos

PP 1.1 Num referencial ortonormado OXYZ as coordenadas de posição de um vector

são:

(-1;2;3) e (7;-5;-2.6).

PP 1.1.1 Determine o módulo desse vector.

PP 1.2 Com base na seguinte figura, determine:

PP 1.2.1 As componentes escalares e o módulo do vector v .

PP 1.2.2 O co-seno, o seno, a tangente e a co-tangente do ângulo .

3

PP 1.3 Um vector de módulo 215 é a soma de dois vectores, cada um dos quais faz

com ele ângulos de 45º.

PP 1.3.1 Determine os módulos dos vectores componentes.

PP 1.4 Determine as componentes escalares de vector com módulo de 10 unidades que

forma um ângulo de 50º com o semi-eixo positivo x.

PP 1.5 Dois vectores são dados por: kjia ˆ1ˆ3ˆ4 kjib ˆ4ˆˆ1

PP 1.5.1 Determine ba

.

PP 1.5.2 Determine ba

.

PP 1.5.3 Determine um vector c tal que 0 cba .

PP 1.6 Dois vectores r e s estão no plano XY, os seus módulos são respectivamente 4,5

e 7,3 unidades e as suas direcções são de 320º e 85º medidos no sentido anti-horário a

partir do semi-eixo positivo dos x.

PP 1.6.1 Determine as componentes escalares.

PP 1.6.2 Qual o valor de sr .

PP 1.7 Considere os vectores 1F

, 2F

, 1r e 2r

:

kjiF ˆ1ˆ2ˆ41

jir ˆ1ˆ21

kjiF ˆ1ˆ1ˆ32

kjr ˆ1ˆ22

Sendo o vector M

dado por 2211 FrFr

e rF

por 21 FF

, verifique se rFM

.

PP 1.8 Considere os seguintes vectores: jia ˆ3ˆ2 jib ˆ2ˆ20

PP 1.8.1 Calcule o ângulo formado pelo vector a e o semi-eixo positivo do x.

PP 1.8.2 Calcule o ângulo formado pelo vector b

e o semi-eixo positivo do x.

PP 1.8.3 Calcule o ângulo formado entre os vectores a e b

.

PP 1.8.4 Sendo o vector baJ

, determine o módulo deste vector.

1

2.Cinemática

Questões teóricas

QT 2.1 Prove que o vector velocidade instantânea é sempre tangente à trajectória.

O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que

esse deslocamento ocorre, ou seja:

vrtm

O vector velocidade instantânea é dado pelo vector r sobre o intervalo t quando este tende para

zero.

vrtt

lim

0

dtrdv

A direcção de v é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante

considerado.

y

x

v

2

QT 2.2 Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes

diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo?

Apresente a equação que traduz o fenómeno.

A equação do movimento rectilíneo uniformemente variado,

20 2

1 tatvyy yy

não entra com a massa do objecto. Como não existe resistência ao movimento devido à experiência

se desenvolver no vácuo, a forma do objecto também não influencia. Logo desde que os dois

objectos estejam sujeitos à mesma aceleração (campo gravítico da terra), percorrem a mesma

distância no mesmo intervalo de tempo.

QT 2.3 Explique porque razão o vector aceleração normal é sempre dirigido para o interior da

curvatura? Utilize um esquema para justificar a sua resposta.

O vector aceleração média é dado por:

avtm

A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector v .

O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o

intervalo de tempo tende para zero.

y

x

vi

v f

v f

v

A

B

3

a avtt m t

lim lim

0 0

2

2

dtrd

dtvda

Da figura anterior, pode-se constatar que o vector v é sempre dirigido para o interior da

trajectória.

QT 2.4 Considere uma partícula que parte do repouso de uma altura H e cai em queda livre.

Estabeleça as equações para o cálculo da velocidade que a partícula tem quando atinge o solo,

através dos princípios da dinâmica e em paralelo com os princípios do trabalho e energia. No final

compare as expressões obtidas através dos dois métodos.

Principio do trabalho e energia. A energia potencial gravítica transforma-se em energia cinética,

hgmEpg

2

21 vmEc

mEcv

2

por substituição

mhgmv

2

hgv 2

Principio da dinâmica

tgvv 0 gtv 00

20 2

1 tgtvh tgv 0

22

21 tgtgh

ghgv

2

0

2

21 tgh hgv 20

ght

2

4

QT 2.5 Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas:

aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração

angular, período, frequência.

5

3.Cinemática - movimentos

Questões teóricas

QT 3.1 Deduza a equação da trajectória de um projéctil. Apresente todos os cálculos justificativos.

Considera-se que o movimento de um projéctil tem uma componente vertical sujeita à aceleração da

gravidade (MRUV) e uma componente horizontal sem aceleração (MRU).

Logo as equações das posições são:

tvxx o 0

200 tgtvyy

Por simplificação considera-se que o projéctil parte da posição (0,0)

tvx o

20 2

1 tgtvy

0vxt

2

000 2

1

vxg

vxvy

QT 3.2 "A trajectória de um projéctil é parabólica." Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Justifique, com base na equação da trajectória, a sua afirmação.

Na equação da trajectória deduzida na equação anterior, pode-se verificar que se trata de uma

parábola.

QT 3.3 Represente num gráfico a posição, velocidade e aceleração em função do tempo para um

movimento rectilíneo uniformemente variado. Considere um intervalo de tempo em que ocorre uma

inversão do sentido da partícula.

6

QT 3.4 Deduza a expressão para o cálculo da aceleração num movimento harmónico simples em

função da massa, da rigidez da mola e da elongação.

A força F será dada por:

F k x

F m a

k x m a

logo, explicitando a aceleração:

akm

x

QT 3.5 Elabore um gráfico onde representa a aceleração angular, velocidade angular e posição

angular em função do tempo para um movimento circular uniformemente variado (acelerado).

QT 3.6 Deduza as equações da aceleração, velocidade e posição para o movimento circular

uniformemente variado.

QT 3.7 Como caracteriza o movimento harmónico simples? Explique com base nas variáveis

cinemáticas e dinâmicas.

r, v, a

t

a

v

r

7

QT 3.8 Explique porque se diz que um movimento circular uniforme é um movimento periódico.

QT 3.9 Deduza a equação das velocidades do movimento rectilíneo uniforme?

QT 3.10 Estabeleça os gráficos da posição, velocidade e aceleração em função do tempo para um

movimento rectilíneo uniformemente acelerado e para um movimento rectilíneo uniformemente

retardado.

QT 3.11 Estabeleça a equação da aceleração a que uma massa (m) ligada a uma mola com rigidez

(k) e a oscilar na horizontal sobre um plano sem atrito está sujeita.

QT 3.12 Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica.

QT 3.13 Quais os tipos de movimentos que estudou? Relacione cada um destes movimentos com a

componente normal e tangencial da aceleração.

QT 3.14 Como caracteriza o movimento harmónico simples?

QT 3.15 Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme.

QT 3.16 Quais foram os movimentos que estudou? Indique a direcção e sentido das componentes

normal e tangencial do vector aceleração para cada um deles.

QT 3.17 Deduza a equação da posição angular para o movimento circular uniforme (M.C.U.).

Problemas práticos

PP 3.1 Uma partícula com movimento rectilíneo desloca-se segundo a seguinte equação: 25,0 tx

PP 3.1.1 Desenhe o gráfico da função r(t), no intervalo t=[0;5]s

PP 3.1.2 Calcule as velocidades médias nos intervalos de t=[0;5]s; t=[0;2]s e t=[0;1]s.

PP 3.1.3 Determine a velocidade instantânea.

PP 3.2 Um móvel inicialmente em repouso desloca-se com aceleração constante a= 2 m/s2.

PP 3.2.1 Quanto tempo leva a percorrer 100m.

8

PP 3.2.2 Se o móvel tivesse uma velocidade inicial de 5 m/s, quanto tempo seria necessário para

percorrer 100m.

PP 3.3 Uma partícula tem o seguinte movimento: ittr ˆ30 2

PP 3.3.1 Quais as velocidades nos instantes t1=10s e t2=20s.

PP 3.3.2 Qual o instante em que a partícula mais se afasta da origem.

PP 3.4 Um ponto material parte da posição mx 50 , com velocidade inicial smv /40 , com

movimento uniformemente retardado de aceleração de módulo 6,0 m/s2.

PP 3.4.1 Escreva a equação de movimento.

PP 3.4.2 Escreva a equação da velocidade.

PP 3.4.3 Verifique se o ponto pára em algum instante e em que posição.

PP 3.5 Um grave é lançado verticalmente e o seu movimento é traduzido pela seguinte equação:

jttr ˆ530 2

PP 3.5.1 Escreva a equação da velocidade.

PP 3.5.2 Indique o valor da velocidade inicial

PP 3.5.3 Indique o valor da aceleração.

PP 3.5.4 Em que intervalo de tempo o movimento é retardado e em que intervalo de tempo é

acelerado?

PP 3.5.5 De que movimento se trata?

PP 3.5.6 Desenhe o gráfico de avr e, para t=[0;6]s.

PP 3.6 Uma partícula move-se em linha recta segundo a seguinte equação:

itttr ˆ596 23

PP 3.6.1 Qual o intervalo de tempo em que a partícula se move no sentido negativo?

PP 3.6.2 Em que intervalos de tempo o movimento da partícula é acelerado e em que intervalos de

tempo o movimento da partícula é retardado?

PP 3.7 Um carro telecomandado desloca-se numa superfície plana de acordo com:

9

3

2

025,0125,02

ttytx

PP 3.7.1 Determine as coordenadas do carro no instante t=2s e a distância do operador nesse

mesmo instante, sabendo que este está na origem.

PP 3.7.2 Calcule o deslocamento e a velocidade média durante o intervalo de tempo t=[0;2]s.

PP 3.7.3 Determine a expressão geral da velocidade instantânea do carro em forma de vector e em

termos de módulo e direcção para t=2s.

PP 3.7.4 Determine a expressão geral da aceleração e calcule o módulo e a direcção para t=2s.

PP 3.7.5 Determine a componente tangencial e normal da aceleração no instante t=2s.

PP 3.8 O movimento de uma partícula segue a seguinte trajectória:

jttittr ˆ12ˆ52010 21

2

PP 3.8.1 Determine a equação geral da velocidade.

PP 3.8.2 Determine a equação geral da aceleração.

PP 3.8.3 No instante t=3s, calcule os módulos da componente normal e tangencial da aceleração.

PP 3.9 Uma partícula descreve uma trajectória dada pela seguinte equação:

ktjtitr ˆ05,0ˆ5ˆ2 21

3

PP 3.9.1 Calcule os vectores velocidade, aceleração e determine os módulos dos vectores

aceleração normal e aceleração tangencial para t=2s.

PP 3.10 Um automóvel viaja para leste numa estrada plana por 32 km. Ele vira para norte e viaja 47

km antes de parar. Determine o deslocamento resultante e o espaço percorrido.

PP 3.11 Um automóvel viaja para leste numa estrada com declive constante de 5% até atingir uma

altitude de 500m. Vira para norte por uma estrada com declive constante de -8% até à altitude de

200m. Qual o deslocamento resultante e o espaço percorrido?

10

PP 3.12 Uma partícula move-se em linha recta, segundo a seguinte equação:

itttr ˆ)1018122( 23

PP 3.12.1 Qual o intervalo de tempo em que a partícula se move no sentido negativo?

PP 3.12.2 Em que instante o movimento da partícula é acelerado e em que instante é retardado?

PP 3.13 Um jogador de golfe está a 250 m do buraco 18, medidos em linha recta. Quando executa a

tacada o comportamento da bola pode ser comparado aos seguintes dados, velocidade inicial

smv /500 , ângulo com a horizontal º30 .

PP 3.13.1 Determine a posição e o instante em que a bola atinge o ponto mais alto da trajectória.

PP 3.13.2 Verifique se a tacada é suficiente para chegar ao buraco.

PP 3.14 Uma bola é lançada com uma velocidade inicial (| 0v |), fazendo um ângulo de 60º com a

horizontal.

PP 3.14.1 Determine a velocidade inicial ( 0v ), para a situação descrita, de modo que a bola lançada

atinja o centro de um alvo colocado numa parede, que dista 45,00m do local onde a bola é lançada e

a uma altura igual a 3,75m.

PP 3.15 Uma partícula move-se, ao longo do eixo dos xx, de tal modo que a sua posição, em

qualquer instante, é dada por:

x = 5 t2 + 1 (m)

PP 3.15.1 Calcule a sua velocidade média nos intervalos de tempo seguintes:

PP 3.15.1.1 2 s a 3 s;

PP 3.15.1.2 2 s a 2,1 s;

PP 3.15.1.3 2 s a 2,00001 s.

PP 3.15.2 Calcule a velocidade instantânea para t = 2s.

11

PP 3.16 Considere as seguintes equações paramétricas de um movimento:

2

2

433510

ttyttx

PP 3.16.1 Escreva a equação do vector posição.

PP 3.16.2 Determine o vector velocidade instantânea.

PP 3.16.3 Determine o vector aceleração instantânea.

PP 3.16.4 Sabendo que a partícula que descreve este movimento tem 3,0kg de massa, determine o

vector força (incluindo módulo e direcção) que lhe induz esse movimento.

PP 3.17 A equação da trajectória que uma partícula descreve é dada por:

jttitr ˆ025,0ˆ25,02 32

PP 3.17.1 Represente a trajectória num gráfico XY.

PP 3.17.2 Determine o vector velocidade para t=0s, t=1s e t=2s. Represente no gráfico.

PP 3.17.3 Determine o vector aceleração para t=0s, t=1s e t=2s. Represente no gráfico.

PP 3.17.4 Calcule o módulo da aceleração normal e o módulo da aceleração tangencial para os

instantes t=0s, t=1s e t=2s.

PP 3.18 Uma bola de basebol é atirada com: smv 370 ; º1,53 ; jsmg ˆ81,9 2

PP 3.18.1 Determine a posição e o instante em que a bola atinge o ponto mais alto da trajectória.

PP 3.18.2 Determine a posição e o instante em que a bola atinge o chão.

PP 3.19 Um carro foi concebido para suportar uma aceleração lateral de 0,87 g. A uma velocidade

de 120 km/h qual o raio da curva mais apertada que poderá fazer?

PP 3.20 Um móvel parte do repouso para percorrer com movimento circular uniformemente

variado uma circunferência de 5cm de raio. Para efectuar a primeira volta demora 2s. Calcule o

valor da aceleração total do móvel ao fim de 3s.

PP 3.21 Sabendo que um grave, lançado na vertical, ao passar na cota 5

Ymáx tem uma velocidade de

15m/s, determine:

PP 3.21.1 A cota máxima atingida pelo grave.

12

PP 3.21.2 A velocidade máxima atingida pelo grave.

PP 3.22 Considere uma bala que é disparada com uma velocidade v fazendo um ângulo de tiro θ

acima do plano horizontal.

PP 3.22.1 Deduza a fórmula que permite calcular o alcance máximo. Sugestão: 2.senθ.cosθ =

sen2θ

PP 3.22.2 Determine o ângulo de tiro θ e altura máxima de uma bala que é disparada com uma

velocidade de grandeza 120 m/s e alcança um alvo no mesmo nível do disparo, mas à distância de

1300m.

PP 3.23 Uma determinada partícula descreve a trajectória dada pela seguinte expressão:

j)t(1i2tr(t) 32 (m)

PP 3.23.1 Determine o vector das velocidades e o valor da velocidade para t=2s.

PP 3.23.2 Determine o vector das acelerações e o valor da aceleração para t=2s.

PP 3.23.3 Calcule o módulo da aceleração normal e tangencial para t= 2s.

PP 3.24 Uma partícula descreve uma trajectória dada pela seguinte equação:

(m) j 2t1,5i 3t2,0r 32

PP 3.24.1 Determine a velocidade média para o intervalo de tempo entre 0s e 2s.(Indique o módulo,

sentido e direcção do vector)

PP 3.24.2 Determine a equação geral da velocidade.

PP 3.24.3 Determine a equação geral da aceleração.

PP 3.24.4 No instante t=2s, calcule os módulos da componente normal e tangencial da aceleração.

PP 3.25 Uma partícula descreve uma trajectória de acordo com:

2

3

3 0,402 0,050

x tm

y t t

PP 3.25.1 Determine a expressão geral da velocidade instantânea da partícula em forma de vector,

indicando o módulo e direcção para t = 3s.

PP 3.25.2 Determine a expressão geral da aceleração da partícula em forma de vector para t=3s

(indicando o módulo e direcção).

13

PP 3.25.3 Determine a componente normal e tangencial da aceleração em forma de vector para t=3s

(indicando o módulo e direcção).

14

4.Estática das partículas no plano

Questões teóricas

QT 4.1 Deduza a expressão da aceleração tangencial num pêndulo gravítico.

QT 4.2 Em que situação os vectores força e aceleração não têm exactamente o mesmo sentido e

direcção? Prove com base na diferença entre forma geral e a forma particular da 2ª lei de Newton.

Quando existe variação da massa ao longo da trajectória.

QT 4.3 Explique o que entende por diagrama de corpo livre e refira as regras para o elaborar.

Diagrama de corpo livre é uma representação gráfica do problema a resolver com a indicação das

forças de ligação aplicadas a todos os corpos.

QT 4.4 Enuncie a segunda lei de Newton na forma particular e na forma geral. Indique a

aplicabilidade de cada uma dessas equações.

Forma geral

dtvdmv

dtdm

dtvmd

dtpdF

Forma particular, válida quando a massa é constante.

amF

Problemas práticos

PP 4.1 Com base na figura 4.1, determine a tracção em cada cabo para que o sistema esteja em

equilíbrio.

PP 4.2 Com base na figura 4.2, determine as tracções em AC e BC para que o sistema se encontre

em equilíbrio.

PP 4.3 Um cabo de telefone está preso em A ao mastro AB (ver figura 4.3). Sabendo que a força de

tracção instalada na parte esquerda do cabo é T1=4,00kN, determine:

15

PP 4.3.1 A força de tracção T2 necessária na parte direita do cabo, se se pretender que a força

resultante R das forças exercidas no cabo em A seja vertical.

PP 4.3.2 A intensidade da força resultante R.

PP 4.4 Sabendo que o ponto C está em equilíbrio (ver figura 4.4), calcule:

PP 4.4.1 A força no cabo AC e o valor de F.

PP 4.5 Duas cordas estão unidas no ponto B (ver figura 4.5). Sabendo que a tracção máxima

permitida em cada corda é de 3,0kN, calcule a máxima força F que pode ser aplicada e o ângulo

indicado na figura.

PP 4.6 Dois cabos sujeitos a tracções conhecidas estão presos ao ponto B (ver figura 4.6). Um

terceiro cabo BC, é usado para sustentação. Determine a tracção em BC sabendo que a resultante

das três forças aplicadas em B deve ser vertical.

Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3

Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6

15º 25º

10m

15m

A

B

C

8kN 22kN

16

5.Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas

Questões teóricas

QT 5.1 Qual é a diferença entre centro de gravidade, centro de massa e centro geométrico de um

corpo qualquer?

Centro de geométrico

i

iiCG VOL

VOLrr

Centro de massa

i

iiCM m

mrr

Centro de gravidade

ii

iiiCg gm

gmrr

Se o corpo tiver uma densidade constante e estiver sujeito a um campo gravítico constante, os três

são coincidentes.

QT 5.2 Explique o significado de Momento de uma força em relação a um ponto. Quais são os

factores que influenciam o seu valor.

Momento de uma força em relação a um ponto, traduz o efeito de rotação que esta mesma força

causa em torno do respectivo ponto.

QT 5.3 Enuncie os dois teoremas de Pappus-Guldin e refira a sua utilidade na engenharia civil.

Problemas práticos

PP 5.1 Considere a secção representada na figura 5.1. Utilizando o teorema de Pappus-Guldinius,

calcule o volume gerado pela rotação de 45º em torno do eixo x.

PP 5.2 Calcule a área da superfície de revolução indicada na figura 5.2a e 5.2b, que se obtém pela

rotação de 2 de um quarto de circunferência em torno de um eixo vertical.

17

PP 5.3 Utilizando os teoremas de Pappus-Guldinius (ver figura 5.3a e 5.3b), determine:

a) o centróide de um semicírculo.

b) o centróide de uma semicircunferência.

Nota: Volume e a superfície da esfera são 34 π r3

e 24 π r , respectivamente.

PP 5.4 Com base na figura 2 determine:

PP 5.4.1 O momento estático Sx e Sy

PP 5.4.2 O centro de gravidade XG e YG.

PP 5.5 Considere o sistema de forças representado na figura 5.5.

PP 5.5.1 Substituindo o carregamento apresentado por uma única força, esta será igual a:

l 22,75 kN l 21,00 kN l 15,75 kN l 18,75kN l Nenhuma das anteriores

PP 5.5.2 A partir da extremidade esquerda da barra, a força resultante está localizada a:

12,00mm

9,00

mm

x

Figura 5.1 Figura 5.2a Figura 5.2b

Figura 5.3a Figura 5.3b

18

l 3,542m l 3,444m l 3,115m l 3,385m l Nenhuma das anteriores

x

y

O

1,50m 3,50m

8 kN/m5 kN/m

Figura 5.4 Figura 5.5

19

6.Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas

Questões teóricas

QT 6.1 Enuncie a extensão do teorema dos eixos paralelos e indique a sua utilidade no cálculo dos

eixos principais de inércia.

QT 6.2 Prove que numa viga sujeita a um estado de flexão pura, o momento flector é dado por

xx IkM

Problemas práticos

PP 6.1 Considere a figura 6.1.

PP 6.1.1 Determine o momento de inércia da superfície sombreada relativamente aos eixos x e y.

PP 6.1.2 Determine os momentos principais de inércia da secção em O.

PP 6.1.3 Determine a orientação dos eixos principais de inércia da secção em O.

PP 6.2 Considere a figura 2 e determine:

PP 6.2.1 O momento estático Sx e Sy.

PP 6.2.2 O centro de gravidade XG e YG.

PP 6.2.3 O momento de inércia da superfície sombreada relativamente aos eixos x e y indicados.

6.2.4 Os momentos principais

de inércia da secção em O.

x

y

O6,00mm

10,0

0mm

6,00

mm

x

y

O 6,00mm

8,00mm

3,00mm

5,00mm

Figura 6.1 Figura 6.2

20

7.Produtos de inércia e Círculo de Mohr

Questões teóricas

QT 7.1 Explique o significado de momento de inércia, momento polar de inércia, raio de giração e

produto de inércia.

QT 7.2 Desenhe qualitativamente o Circulo de Mohr para a seguinte secção. Identifique

aproximadamente os eixos principais de inércia na secção e no Círculo de Mohr.

QT 7.3 Explique a utilidade do círculo de Mohr. Indique um exemplo prático de utilização na

engenharia civil.

Problemas práticos

PP 7.1 Com base na seguinte figura 7.1, determine:

PP 7.1.1 As coordenadas do centro de gravidade.

PP 7.1.2 Os momentos estáticos Sx e Sy.

PP 7.1.3 Os momentos de inércia axiais Ix e Iy.

PP 7.1.4 O momento polar de inércia Io.

PP 7.1.5 O produto de inércia Ixy.

PP 7.1.6 Os eixos principais de inércia e respectivas inércias máximas e mínimas.

x

y

21

PP 7.1.7 Os momentos principais centrais de inércia e respectivos eixos.

PP 7.1.8 Represente o círculo de Mohr.

0,40m 0,20m

R0,10m

x

y

Figura 7.1

22

8.Dinâmica de uma partícula

Questões teóricas

QT 8.1 Quais são as diferenças entre a forma particular e geral da 2º Lei de Newton?

QT 8.2 Estabeleça a equação da aceleração a que uma massa (m) suspensa numa mola com rigidez

(k) e a oscilar na vertical está sujeita.

QT 8.3 O que são forças de ligação? Refira três exemplos.

São forças que traduzem a interacção de um corpo sobre outro. Como exemplo pode-se indicar a

reacção normal de um plano, reacção tangencial de um plano (força de atrito) e a acção de um cabo

sobre um corpo.

Problemas práticos

PP 8.1 Considere um pêndulo cónico com uma massa m1 suspensa por um cabo de comprimento

igual a 2,5 metros.

PP 8.1.1 Determine a velocidade angular por forma que o cabo faça um ângulo de 34º com a

vertical e deduza a expressão que permite calcular a força de tracção no cabo

PP 8.2 Um pêndulo gravítico é constituído por um cabo com 50 centímetros de comprimento e na

sua extremidade está uma esfera com 500 gramas de massa. Sabendo que a energia mecânica do

sistema é de 0,981J, determine:

PP 8.2.1 A amplitude máxima (máx) atingida pela massa.

PP 8.2.2 A velocidade da massa para = 0º.

PP 8.2.3 A energia cinética e energia potencial para = 30º.

PP 8.3 Um bloco sobe uma rampa com V0=5,5m/s. A rampa faz um ângulo de 20º com a

horizontal. Os coeficientes de atrito cinético e estático são respectivamente 0,20 e 0,25.

PP 8.3.1 Que distância percorre o bloco até parar?

PP 8.3.2 Verifique se o bloco após para escorrega ou permanece imóvel? Caso inicie o movimento

em sentido inverso, calcule a aceleração.

23

PP 8.4 Considere dois blocos com massas mA=1,25kg e mB=2,35kg colocados sobre um plano

horizontal cujos coeficientes de atrito estático e cinético são respectivamente 0,20 e 0,16.

PP 8.4.1 Represente todas as forças exercidas sobre os blocos.

PP 8.4.2 Sendo a força F=220N, determine as forças de contacto entre os blocos.

PP 8.5 Um camião com uma massa de 3000 kg que sobe uma estrada com uma inclinação de 5%

com uma velocidade inicial de 70 km/h, sabendo que a rampa tem uma extensão de 1 km, e que o

atrito transmitido às rodas do camião poderá ser representado por um coeficiente de atrito cinético

de 0.15. Verifique se a velocidade inicial será suficiente para efectuar a subida.

PP 8.6 Um bloco de massa 200 gramas ligado a uma mola, cuja constante elástica é de 5,00N/m,

oscila livremente numa superfície sem atrito. O bloco é deslocado da sua posição de equilíbrio de

5cm e libertado.

Determine:

PP 8.6.1 O período do movimento.

PP 8.6.2 A velocidade máxima do bloco.

PP 8.6.3 A aceleração máxima do bloco.

PP 8.6.4 Escreva as equações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo.

24

9.Quantidade de movimento de um sistema de partículas

Questões teóricas

QT 9.1 Qual a relação entre impulso e variação do momento linear. Justifique com base numa

demonstração.

Definição de impulso

dtFJ

Definição de momento linear ou quantidade de movimento

vmp

De acordo com a forma geral da 2ª Lei de Newton

dtpdF

dtFpd

dtFpp

0

Jp

QT 9.2 Prove que o impulso de uma força é igual à variação do momento linear.

QT 9.3 Numa brincadeira dois grupos de crianças atiram sacos cheios de água. Alguns sacos estão

rotos e perdem água durante a sua trajectória. Descreva qualitativamente a trajectória de um saco

que se manteve cheio até ao impacto e de um saco que perdeu água ao longo da sua trajectória.

Explique com base na forma geral da 2ª Lei de Newton a razão desta diferença.

QT 9.4 Em que situação ou situações ocorre conservação do momento linear num sistema de

partículas? Justifique.

Sempre que não existem forças exteriores.

QT 9.5 Elabore um esquema e explique o funcionamento de um pêndulo balístico. Estabeleça a

formulação para calcular a velocidade da bala antes do impacto em função das características do

pêndulo e da medição do ângulo de desvio máximo dos cabos com a vertical.

25

QT 9.6 Numa guerra medieval utilizam-se catapultas para lançar sacos de areia porque na região

não existem pedras. Alguns sacos estão rotos e perdem areia durante a sua trajectória. Descreva

qualitativamente a trajectória de um saco que se manteve cheio até ao impacto e de um saco que

perdeu areia ao longo da sua trajectória. Explique com base na Física a razão desta diferença.

QT 9.7 Qual é a diferença entre uma colisão perfeitamente elástica e uma colisão perfeitamente

inelástica. Apresente um esquema ilustrando a colisão de duas partículas com massas diferentes

para cada uma das situações.

QT 9.8 Demonstre que a variação do momento linear numa partícula é igual ao produto da

resultante das forças exteriores que nela actuam, pelo tempo de actuação da mesma.

QT 9.9Demonstre com base nas leis da dinâmica que o impulso é igual à variação da quantidade de

movimento.

QT 9.10 Qual é a diferença entre uma colisão elástica e uma colisão inelástica? Refira o ou os

pressupostos e formulações para o cálculo das velocidades de duas partículas antes e após a colisão

nas duas situações.

Em ambas existe conservação do momento linear. Na colisão elástica existe conservação da energia

cinética e na colisão inelástica ocorre dissipação da energia cinética.

QT 9.11 Em que situação os vectores força e aceleração não têm exactamente o mesmo sentido e

direcção? Refira um exemplo.

Quando existe variação da massa. O caso típico apresentado é o lançamento de um foguete com

proporção a jacto. O combustível é consumido muito rapidamente e como consequência a massa vai

diminuindo.

Problemas práticos

PP 9.1 Dois discos de metal (A e B) deslocam-se sobre uma pista plana sem atrito. O disco A tem

uma massa de 2,5kg e uma velocidade de 3,5m/s (paralelamente ao eixo x). O disco B tem uma

massa de 1,5kg e encontra-se em repouso. O disco A colide com o disco B, apresentando o disco B,

após a colisão, uma velocidade de 4,0m/s numa direcção que faz 20º com a direcção inicial.

PP 9.1.1 Qual a velocidade final do disco A?

26

PP 9.2 Uma bola com 0,40kg é atirada contra uma parede de betão. Atinge a parede a 30m/s e após

ressaltar nesta tem uma velocidade de 20m/s.

PP 9.2.1 Determinar o impulso aplicado na bola durante o contacto desta com a parede.

PP 9.2.2 Se o contacto entre a bola e a parede durar 0,010s, determine a força que a parede exerce

na bola durante este intervalo de tempo.

PP 9.3 Uma arma de fogo com massa igual a 3kg dispara uma bala com 5g de massa e uma

velocidade de 300m/s. Qual a velocidade da arma, considerando que esta está solta.

PP 9.4 Uma bala com 5g de massa atinge um bloco de madeira com 2kg e fica cravada nele.

Imediatamente depois do impacto verificou-se que este se desloca com uma velocidade de

0,767m/s.

PP 9.4.1 Qual a velocidade da bala antes do impacto?

PP 9.5 Dois carros deslocam-se em direcções perpendiculares. O veículo A com massa igual a

1000kg desloca-se com uma velocidade 15m/s. O veículo B com massa igual a 2000kg desloca-se

com uma velocidade de 10m/s. Num cruzamento colidem.

PP 9.5.1 Determine a quantidade de movimento total antes da colisão.

PP 9.5.2 Qual a velocidade dos dois veículos sabendo que estes permaneceram juntos após o

embate.

27

10. Trabalho e energia

Questões teóricas

QT 10.1 Qual é o trabalho realizado por uma força constante aplicada numa partícula que descreve

uma trajectória fechada? Justifique com base nas leis da física.

QT 10.2 Deduza a expressão para o cálculo da energia cinética de uma partícula com massa m que

se desloca com velocidade v.

QT 10.3 Deduza a expressão para o cálculo da energia potencial gravítica de uma partícula com

massa m que se encontra a uma cota h.

QT 10.4 Num pêndulo gravítico simples, indique os ponto da trajectória em que a aceleração atinge

os valores máximo e mínimo. Justifique com base no movimento harmónico.

A aceleração é nula no ponto mais baixo da trajectória, quando o afastamento da posição de

equilíbrio é nulo e é máxima no ponto mais alto da trajectória quando o afastamento da posição de

equilíbrio é máximo.

A força F será dada por:

F k x

F m a

k x m a logo, explicitando a aceleração:

akm

x

QT 10.5 Comente e diga justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa "O valor da

energia potencial gravítica é o simétrico do trabalho realizado pelo conjunto de forças aplicadas

no movimento de ascensão do corpo."

QT 10.6 Diga, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. "A variação da energia cinética é

igual à variação da energia potencial, num sistema isolado em que só actuam forças

conservativas".

28

QT 10.7 Explique o princípio de conservação da energia mecânica. Em que situações se verifica.

QT 10.8 Num movimento circular a força centrípeta realiza trabalho? Explique.

QT 10.9 Deduza a expressão para o cálculo da energia potencial elástica armazenada numa mola.

QT 10.10 No contexto do trabalho e energia qual é a diferença entre uma força conservativa e uma

força não conservativa?

QT 10.11 Enuncie o princípio da conservação da energia mecânica e indique três aplicações

directas na física mecânica.

QT 10.12 Qual é o trabalho realizado por uma força constante aplicada numa partícula que descreve

uma trajectória fechada? Justifique com base nas leis da física.

O trabalho é nulo. No final da trajectória, o vector deslocamento é nulo.

rFW

QT 10.13 Como determina o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória

rectilínea?

QT 10.14 Deduza a expressão para o cálculo da energia potencial elástica.

QT 10.15 Porque razão a energia a energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é

igual ao trabalho realizado pela força que fez o corpo adquirir essa velocidade e a energia potencial

é igual ao simétrico do trabalho da força associada a essa forma de energia?

QT 10.16 Comente e diga justificando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa "O valor da

energia potencial elástica contida numa mola é o simétrico do trabalho realizado pela força que

causou a deformação nessa mesma mola."

A afirmação está errada. A Força que causa a deformação da mola realiza um trabalho positivo,

pois a mola deforma no sentido em que a força é aplicada. Quando a mola deforma, afasta-se da sua

posição de equilíbrio e a energia potencial elástica nela contida aumenta. Logo ambas as variáveis

têm o mesmo sinal.

29

QT10.17 O que são forças não conservativas? Dê dois exemplos.

São forças cujo trabalho retira energia mecânica ao sistema e transforma-a noutra forma, por

exemplo vibrações sonoras ou calor.

Como exemplo indica-se a força de atrito desenvolvida por um plano inclinado e força de

resistência aerodinâmica num avião.

Problemas práticos

PP 10.1 Um bloco, com 20kg de massa, sobe uma rampa com 10º de inclinação e percorre 40m até

parar. Os coeficientes de atrito estático e cinético são respectivamente 0,26 e 0,20.

PP 10.1.1 Calcule a velocidade inicial do bloco, no instante em que este inicia a subida (resolva

segundo as leis do trabalho e energia).

PP 10.1.2 Verifique se o bloco, após parar, permanece imóvel ou inicia movimento descendente.

10.2 Um bloco de 20kg desce um plano inclinado que faz

30º com a horizontal. A força de atrito tem intensidade de

5N. Qual a velocidade do bloco depois de ter percorrido

2,0m, sabendo que no instante inicial tinha uma velocidade

de 10m/s.

10.3 Um pêndulo gravítico tem um cabo com 1,25m de

comprimento e uma massa de 2,75kg. Se afastarmos a

massa da posição de equilíbrio como indicada na figura 10.1, determine:

10.3.1 A velocidade no ponto A.

10.3.2 A velocidade no ponto B.

10.3.3 O valor da tracção no cabo no ponto B.

10.4 Uma esfera maciça, de massa 4kg, está no extremo de

uma corda com 1,8 metros de comprimento (ver figura

10.2). A esfera é abandonada da posição indicada na figura

e ao atingir o ponto mais baixo da sua trajectória, bate num

bloco de madeira com 3,8kg de massa que está assente e

em repouso sobre a superfície horizontal. O coeficiente de

AB

C

Figura 10.1

A

B

C

Figura 10.2

30

atrito cinético, entre o bloco e a superfície horizontal é de 0,20. Assumindo que após o impacto a

esfera permanece em repouso, determine com base no princípio da conservação da energia

mecânica e conservação do momento linear o deslocamento sofrido pelo bloco.

10.3 Um carrinho de massa 1,50kg, passa das posições A e B com velocidade de 6,00m/s e 8,00m/s

respectivamente e pára ao chegar ao ponto C (ver figura 10.3).

Determine:

10.3.1 O trabalho realizado pelo peso do

carrinho de A para B.

10.3.2 O trabalho realizado pelas forças

resistentes neste mesmo percurso.

10.3.3 A intensidade da força média resistente no percurso B para C sabendo que a distância entre

esses dois pontos é de 2,00m.

10.4 Uma mola de constante elástica 20 N/m está comprimida de 4 metros (ver figura 10.4). Após a

descompressão de 2 metros, determine:

10.4.1 O valor da energia cinética da

mola.

10.4.2 O valor da energia potencial

armazenada na mola.

10.4.3 O valor da força elástica da mola.

10.5 Um pêndulo gravítico tem um cabo com 25 centímetros de comprimento e na extremidade

uma esfera com 300 gramas de massa. Oscila com uma amplitude máxima de 60º.

10.5.1 Calcule a força mínima e máxima de tracção que o cabo será sujeito.

Figura 10.3

Figura 10.4

31

11.Mecânica dos fluidos

Questões teóricas

QT 11.1 Deduza a expressão para o cálculo da pressão hidrostática em função da profundidade.

QT 11.2 Deduza a expressão para o cálculo da força resultante da acção de um líquido em repouso

numa parede vertical com altura H e comprimento L.

QT 11.3 Deduza a expressão para o cálculo da força resultante da acção hidrostática de um líquido

numa parede plana de um reservatório que forma um ângulo com a vertical. Explique porque

razão optou por utilizar pressões relativas ou pressões absolutas para o cálculo da força.

QT 11.4 Deduza a expressão para o cálculo da impulsão actuante sobre um corpo parcialmente

imerso num líquido.

QT 11.5 Demonstre que a pressão num ponto a uma determinada profundidade é igual ao peso da

coluna de líquido acima do mesmo.

QT 11.6 Enuncie o teorema de Arquimedes? Qual é a sua principal aplicação?

QT 11.7 Deduza a expressão para o cálculo da distribuição hidrostática de pressões.

QT 11.8 Na lei de distribuição hidrostática de pressões, qual é a diferença entre pressão relativa e

pressão absoluta? Refira dois casos de estudos no âmbito da engenharia civil em que se utilizam

estes conceitos de pressão.

A diferença entre pressão relativa e pressão absoluta é o valor da pressão atmosférica. No cálculo da

acção hidrostática na parede de um reservatório utiliza-se a pressão relativa pois a pressão

atmosférica actua no interior e no exterior. Na verificação da cavitação numa estação elevatória,

utiliza-se a pressão absoluta pois esta analise entra em linha de conta com as passagens de estado da

água de liquido para gás que é função da temperatura e da pressão absoluta (valor de pressão real a

que as moléculas de H2O estão).

32

QT 11.9 Deduza a equação fundamental da hidrostática.

QT 11.10 Enuncie por extenso o teorema de Arquimedes? Justifique a citação com base numa

formulação adequada.

QT 11.11 Elabore um esquema do barómetro de mercúrio e explique o funcionamento deste

aparelho. Justifique com base nos conceitos de mecânica dos fluidos.

QT 11.12 Indique como procederia para calcular a massa volúmica de um corpo sólido utilizando

uma balança dinamómetro e um reservatório de grandes dimensões cheio de água.

QT 11.13 Deduza a expressão para o cálculo da força resultante da acção de um líquido em repouso

numa parede inclinada com altura H, comprimento L e forma um ângulo de 125º com a base do

reservatório.

Problemas práticos

PP 11.1 Considere dois corpos ligados por um cabo com

massa e volume desprezáveis que são colocados no

interior de vaso cheio de água e óleo (ver figura 7.1). A

massa volúmica do óleo (óleo) é de 550 kg/m3. O corpo

A tem uma massa mA = 3,0 kg e massa volúmica A de

750 kg/m3. O corpo B tem uma massa mB = 1,0 kg e

massa volúmica B de 4000 kg/m3.

PP 11.1.1. Determine a percentagem de volume do corpo

A que fica imersa na água.

PP 11.2 Com base na figura 11.2 e tabela 11.1, determine a altura do corpo 1 de modo que o

conjunto esteja em equilíbrio.

mA

Bm

Figura 11.1

33

PP 11.3 Um tubo em U contém água e clorofórmio cuja massa volúmica

é de 1,5 g/cm3 (ver figura 11.3). A altura h é:

a) 1,5cm b) 0,2cm c) 20 cm d) 35 cm

PP 11.4 Para testar a resistência de um barril adaptou-se-lhe um tubo.

Deitou-se água no tubo até 8,40m de altura (ver figura 11.4). Determine:

PP 11.4.1 Qual a pressão absoluta nos pontos A (topo) e B (base)?

PP 11.4.2 Qual a pressão relativa nos pontos A (topo) e B (base)?

PP 11.4.3 Sendo 70cm o diâmetro das bases do barril, qual é a força

total exercida no aro superior e no aro inferior, se eles tiverem a

largura de 1cm?

PP 11.5 O muro vertical de um depósito retém água até à altura H numa largura l. PP 11.5.1 Faça o diagrama da pressão absoluta e relativa em função

da profundidade.

PP 11.5.2 Determine a expressão da resultante e identificar o ponto de

aplicação.

Massa volúmica Peso largura comprimento[g/cm3] [N] [m] [m]

1 0.4 --- 0.5 0.52 0.8 981 0.5 0.53 1.2 --- --- ---

Figura 11.2 Tabela 11.1

Figura 11.3

Figura 11.4

34

PP 11.6 Considere o seguinte reservatório (ver figura 11.5).

Existe uma comporta com 0,75m x 2,00m e articulada em A.

O líquido contido no reservatório tem uma densidade relativa

igual a 1,10.

PP 11.6.1 Represente o diagrama de pressões relativas sobre

o paramento interior do reservatório, indicando o seu valor

máximo.

PP 11.6.2 O valor da resultante da acção do líquido sobre a

comporta.

Figura 11.5