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AnlisedeSinaisManuelDuarteOrtigueiraFernandoJ.VieiradoCoitoDEE,FaculdadedeCinciaseTecnologiaUniversidadeNovadeLisboaMaro,200122Contedo1 Sinais 71.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Exemplos Grcos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Classicao dos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Quanto varivel independente. . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Quanto s amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Quanto durao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Quanto reprodutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Quanto periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Quanto morfologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.7 Quanto ao carcter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Alguns Sinais Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Sinais a tempo contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Sinais a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Mdia, Energia e Potncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Mdia de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2 Energia de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.3 Potncia de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Discreto vs Contnuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Os Sinais Aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1 Motivao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2 Mdias no conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7 Processos Estacionrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8 Ergodicidade. Estimao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.8.1 Processos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.8.2 O rudo branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.9 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Operaescomsinais 512.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Operaes Morfolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.1 Sinal par - sinal mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.2 Amplicao ou atenuao . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 CONTEDO2.2.3 Mudana de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3 Comparao de sinais tipo energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4 Comparao de sinais tipo potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.1 Correlao de sinais tipo potncia . . . . . . . . . . . . . 602.4.2 A Correlao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.3 Correlao e Covarincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 A Convoluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.2 Propriedades da convoluo. . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6 Sobre o clculo de convolues e correlaes . . . . . . . . . . . . 652.6.1 Clculo da convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6.2 Exemplos de clculo de convolues . . . . . . . . . . . . 662.6.3 A convoluo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.4 O elemento neutro da convoluo. . . . . . . . . . . . . . 782.7 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Sistemas 833.1 Os sistemas e a sua importncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Noo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3 Propriedades Gerais dos Sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 Caracterizao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.1 Resposta Impulsional. Propriedades . . . . . . . . . . . . 943.5 Caracterizao por equaes diferenciais ou s diferenas . . . . . 993.6 Converses entre representaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.1 O caso de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.2 O caso de sistemas contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.7 Classicao de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.8 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064 AtransformadaZ 1134.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Propriedades gerais da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 Sinais cujas transformadas so fraces simples . . . . . . . . . . 1254.4 Inverso da TZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4.1 Integral de Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4.2 Inverso por decomposio polinmio + fraces simples 1314.4.3 Inverso por desenvolvimento em srie . . . . . . . . . . 1334.5 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135CONTEDO 55 AsriedeFourieremtempodiscreto 1395.1 As funes peridicas como vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2 Anlise de Fourier de sinais peridicos em tempo discreto . . . . 1415.3 Propriedades da SFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Simetrias circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.1 A simetria Hermiteana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.2 Srie trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4.3 Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.5 Observao experimental da sntese de sinais peridicos discretos 1545.6 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586 ATransformadadeFourieremtempodiscreto 1616.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2 Existncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3 Propriedades gerais da TFd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.4 A transformada de Fourier de sinais peridicos . . . . . . . . . . 1756.5 A srie de Fourier como amostragem da transformada de Fourier 1776.6 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787 Filtragem. Desenhodeltros 1817.1 Os ltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.1.1 Consideraes gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 Os ltros FIR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.2.2 Filtros FIR de Fase Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.3 Projecto dos ltros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3.1 Especicao de ltros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3.2 Projecto usando o mtodo das janelas . . . . . . . . . . . 1967.3.3 Mtodo da Amostragem na Frequncia . . . . . . . . . . . 1997.3.4 Mtodos Iterativos ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.3.5 Transformao passa-baixo/passa-alto . . . . . . . . . . . 2007.3.6 FIR versus IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4 Projecto de ltros IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4.1 Os SLIT a tempo contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4.2 Transformaes de frequncias em s . . . . . . . . . . . . 2047.4.3 Converso s para z do tipo Resposta Invariante . . . . . . 2047.4.4 Impulso invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.4.5 Algortmos de diferenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.4.6 Regra de Tustin ou transformao bilinear . . . . . . . . . 2137.4.7 Comparao entre o mtodo das diferenas e bilinear. . . 2197.4.8 Projecto de ltros IIR usando a transformao bilinear . . 2197.5 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.6 Apndice A - Prottipos de ltros a tempo contnuo . . . . . . . 2257.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276 CONTEDOCaptulo1Sinais1.1 IntroduoUm sinal qualquer funo associada a um fenmeno fsico, econmico ou sociale que transporta algum tipo de informao sobre ele. , portanto, uma descrioquantitativa de um dado fenmeno. Um sinal funo de uma ou vrias variveisindependentes1epodeserreveladaporuminstrumentoouapercebidapelohomem. Ossinaisestopresentespermanentementenoexteriorenointeriordos seres vivos, embora seja, muitas vezes, difcil ter acesso a eles.Exemplos:Sinal de vozSucesso de fotograasVelocidade do vento em funo da altura e/ou do tempoValores dos preos de um dado bem de consumo em dias sucessivosTemperaturas do ar ao longo de um diaSinais elctricos entre clulas do sistema nervosoECG, EEG,. . .Sucesso de valores de um ndice bolsista.. . .1Dadooseumaiorinteresseconsideraremos, pelomenosporora, apenassinaisescalaresfunesdeumanicavarivel independente.78 CAPTULO1. SINAISFigura 1.1: Preos de um dado bem de consumoParaumanicavarivel, umsinal umafunode RemR(ouC)quepassaremos a representar, matematicamente, por:x(t) < t < (1.1)Em geral, consideraremos como domnio da varivel independente o conjuntodos nmeros reais ou o conjunto dos nmeros inteiros, Z. Nos casos em que sejaoutroesteserexplicitamenteespecicado. Emalgumassituaespoderemostambm usar o conjunto dos racionais, Q. Em quase todos os exemplos grcosque apresentaremos de seguida, no daremos nenhuma indicao relativamenteao domnio e contradomnio dos sinais representados, de forma a manter o graude generalidade.1.1.1 ExemplosGrcos:ValoresdepreosdeumdadoprodutoemdiassucessivosOs preos de umproduto, mantm-se constantes aolongododia, sofrendoalteraesapenasnatransiodeumdiaparaoutro(comoserepresentanagura 1.1).Electroencefalograma(EEG)Trata-se de um registo superfcie da cabea dos sinais elctricos resultantes daactividade cerebral, normalmente em repouso (gura 1.2).1.2. CLASSIFICAODOS SINAIS 9Figura 1.2: Segmento de Electroe