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5/17/2018 AsSebenta-slidepdf.com http://slidepdf.com/reader/full/as-sebenta 1/229 Análise de Sinais Manuel Duarte Ortigueira Fernando J. Vieira do Coito DEE, Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade Nova de Lisboa Março, 20012

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Análise de Sinais

Manuel Duarte Ortigueira

Fernando J. Vieira do Coito

DEE, Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade Nova de Lisboa

Março, 20012

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Conteúdo

1 Sinais 71.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Exemplos Gráficos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Classificação dos Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Quanto à variável independente . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Quanto às amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Quanto à duração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Quanto à reprodutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Quanto à periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Quanto à morfologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.7 Quanto ao carácter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Alguns Sinais Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Sinais a tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Sinais a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Média, Energia e Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Média de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2 Energia de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.3 Potência de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Discreto vs Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Os Sinais Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2 Médias no conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Processos Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8 Ergodicidade. Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8.1 Processos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.8.2 O ruído branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Operações com sinais 512.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Operações Morfológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Sinal par - sinal ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.2 Amplificação ou atenuação . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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4 CONTEÚDO

2.2.3 Mudança de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Comparação de sinais tipo energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4 Comparação de sinais tipo potência . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.1 Correlação de sinais tipo potência . . . . . . . . . . . . . 602.4.2 A Correlação Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.3 Correlação e Covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 A Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5.2 Propriedades da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.6 Sobre o cálculo de convoluções e correlações . . . . . . . . . . . . 652.6.1 Cálculo da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6.2 Exemplos de cálculo de convoluções . . . . . . . . . . . . 66

2.6.3 A convolução circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.4 O elemento neutro da convolução . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3 Sistemas 83

3.1 Os sistemas e a sua importância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Noção de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3 Propriedades Gerais dos Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 Caracterização de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4.1 Resposta Impulsional. Propriedades . . . . . . . . . . . . 94

3.5 Caracterização por equações diferenciais ou às diferenças . . . . . 993.6 Conversões entre representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.1 O caso de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.2 O caso de sistemas contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7 Classificação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.8 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 A transformada Z 113

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Propriedades gerais da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3 Sinais cujas transformadas são fracções simples . . . . . . . . . . 1254.4 Inversão da TZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4.1 Integral de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4.2 Inversão por decomposição polinómio + fracções simples 1314.4.3 Inversão por desenvolvimento em série . . . . . . . . . . 133

4.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

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CONTEÚDO 5

5 A série de Fourier em tempo discreto 139

5.1 As funções periódicas como vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2 Análise de Fourier de sinais periódicos em tempo discreto . . . . 1415.3 Propriedades da SFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Simetrias circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4.1 A simetria Hermiteana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.2 Série trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4.3 Série harmónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 Observação experimental da síntese de sinais periódicos discretos 1545.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6 A Transformada de Fourier em tempo discreto 1616.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3 Propriedades gerais da TFd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.4 A transformada de Fourier de sinais periódicos . . . . . . . . . . 1756.5 A série de Fourier como amostragem da transformada de Fourier 1776.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7 Filtragem. Desenho de filtros 1817.1 Os filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.1.1 Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 Os filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.2.2 Filtros FIR de Fase Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.3 Projecto dos filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3.1 Especificação de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.3.2 Projecto usando o método das janelas . . . . . . . . . . . 1967.3.3 Método da Amostragem na Frequência . . . . . . . . . . . 1997.3.4 Métodos Iterativos óptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.3.5 Transformação passa-baixo/passa-alto . . . . . . . . . . . 2007.3.6 FIR versus IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.4 Projecto de filtros IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4.1 Os SLIT a tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.4.2 Transformações de frequências em s . . . . . . . . . . . . 2047.4.3 Conversão s para z do tipo Resposta Invariante . . . . . . 2047.4.4 Impulso invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.4.5 Algorítmos de diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.4.6 Regra de Tustin ou transformação bilinear . . . . . . . . . 2137.4.7 Comparação entre o método das diferenças e bilinear . . . 2197.4.8 Projecto de filtros IIR usando a transformação bilinear . . 219

7.5 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.6 Apêndice A - Protótipos de filtros a tempo contínuo . . . . . . . 2257.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

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6 CONTEÚDO

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Capítulo 1

Sinais

1.1 Introdução

Um sinal é qualquer função associada a um fenómeno físico, económico ou sociale que transporta algum tipo de informação sobre ele. É, portanto, uma descriçãoquantitativa de um dado fenómeno. Um sinal é função de uma ou várias variáveisindependentes 1 e pode ser revelada por um instrumento ou apercebida pelohomem. Os sinais estão presentes permanentemente no exterior e no interiordos seres vivos, embora seja, muitas vezes, difícil ter acesso a eles.

Exemplos:

• Sinal de voz

• Sucessão de fotografias

• Velocidade do vento em função da altura e/ou do tempo

• Valores dos preços de um dado bem de consumo em dias sucessivos

• Temperaturas do ar ao longo de um dia

• Sinais eléctricos entre células do sistema nervoso

• ECG, EEG, ...

• Sucessão de valores de um índice bolsista.

• . . .

1Dado o seu maior interesse consideraremos, pelo menos por ora, apenas sinais escalaresfunções de uma única variável independente.

7

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8 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.1: Preços de um dado bem de consumo

Para uma única variável, um sinal é uma função de R em R (ou C) quepassaremos a representar, matematicamente, por:

x(t) − ∞ < t < ∞ (1.1)

Em geral, consideraremos como domínio da variável independente o conjunto

dos números reais ou o conjunto dos números inteiros, Z. Nos casos em que sejaoutro este será explicitamente especificado. Em algumas situações poderemostambém usar o conjunto dos racionais, Q. Em quase todos os exemplos gráficosque apresentaremos de seguida, não daremos nenhuma indicação relativamenteao domínio e contradomínio dos sinais representados, de forma a manter o graude generalidade.

1.1.1 Exemplos Gráficos:

Valores de preços de um dado produto em dias sucessivos

Os preços de um produto, mantêm-se constantes ao longo do dia, sofrendo

alterações apenas na transição de um dia para outro (como se representa nafigura 1.1).

Electroencefalograma (EEG)

Trata-se de um registo à superfície da cabeça dos sinais eléctricos resultantes daactividade cerebral, normalmente em repouso (figura 1.2).

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 9

Figura 1.2: Segmento de Electroencefalograma (EEG)

Potenciais Evocados

Trata-se de um conjunto de sinais obtidos em sensores colocados no escalpo eresultantes da actividade cerebral após um estímulo externo (visual ou auditivo).Usam-se na detecção de tumores localizados na caixa craniana. Um exemplodeste tipo de sinais encontra-se representado na figura 1.3.

A variável independente t será, normalmente, chamada tempo, visto que,num grande número de aplicações práticas, trabalhamos com funções do tempo.No entanto, são muito importantes nas aplicações os sinais que são funções deduas coordenadas do espaço (p. ex., as imagens ) ou do espaço e do tempo.

1.2 Classificação dos Sinais

Os sinais podem ser classificados de diferentes formas, consoante as suas carac-terísticas e, principalmente, o tipo de domínio e contradomínio, o que faremos

seguidamente.Assim classificamo-los:

1.2.1 Quanto à variável independente

sinais a tempo

contínuo se t ∈ Rdiscreto se t ∈ Z

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10 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.3: Segmentos de potenciais evocados obtidos com um conjunto de 28sensores

Por simplicidade, chamar-lhes-emos, respectivamente, sinais contínuos e si-nais discretos2. Estes também se chamam sequências, séries temporais ou crono-séries3. Um exemplo de sinal discreto é a velocidade dos carros que passam porum sensor de velocidade rodoviário. Nete caso o "tempo"é definido pela ordemem que cada carro passa pelo sensor. Outros exemplos de sinais discretos são

a despesa de cada cliente numa loja, ou a cor de cada carro numa linha demontasgem.Os sinais discretos podem resultar, eventualmente, da amostragem de um

2Usaremos, frequentemente n, m, i, j, k, em vez de t.

3O termo sucessão será usado para designar uma sequência gerada de forma determinísticaatravés de uma fórmula; p. ex. 1/n.

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 11

Figura 1.4: Sinal discreto

sinal a tempo contínuo, por retenção dos valores do sinal num conjunto de pontos

tn : n ∈ Z : x(tn). Os pontos tn, n ∈ Z, chamam-se instantes de amostragem.Chama-se sinal amostrado o sinal discreto obtido por amostragem de um sinalcontínuo, Se os valores forem retidoa a intervalos regulares tn = nT , T ∈ R, aamostragem diz-se uniforme e T é o intervalo de amostragem. O seu inverso, r =1/T , chama-se taxa ou ritmo de amostragem. Frequentemente, representamosuma sequência x(tn) por x(n) ou xn. Usaremos uma ou outra indistintamente,consoante a comodidade, a facilidade de escrita ou a legibilidade.

Na figura 1.4 mostra-se a habitual representação gráfica de sinais discretos.

1.2.2 Quanto às amplitudes

sinal analógico - sinal contínuo cuja amplitude pode assumir uma gama con-

tínua de valores,sinal quantizado - sinal cuja amplitude pode assumir, apenas, uma gama dis-

creta de valores, a figura 1.5 representa um desses sinais, se considerarmoso tempo contínuo.

sinal digital - sinal resultante da codificação dum sinal amostrado e quanti-zado. A codificação consiste em atribuir a cada valor obtido por amostra-gem e quantificação uma sequência de dígitos: o código. Os códigos maisusado baseiam-se em dígitos binários (0 e 1 ou ±1).

1.2.3 Quanto à duração

Os sinais cujo domínio é limitado (suporte limitado) dizem-se de duração fi-nita, contrariamente aos restantes que são de duração infinita. Os sinais deduração finita também se chamam janelas (figura 1.7). Os de “muito” curtaduração dizem-se pulsos.

Há, no entanto, muitos sinais de duração infinita que assumem valores signi-ficativamente diferentes de zero, apenas num dado conjunto, e valores muito pe-quenos, para os restantes valores do domínio. Significa isto que estes sinais têm

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12 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.5: Sinal analógico quantizado

Figura 1.6: Sinal analógico e respectivo amostrado

uma duração efectiva finita. Para quantificar melhor esta noção introduzem-sediferentes medidas de duração que ultrapassam o âmbito deste estudo. Maistarde voltaremos a esta questão.

Os sinais nulos para t < τ (resp. t > τ ) dizem-se sinais direitos (resp.esquerdos). No caso particular de x(t) = 0 para t <0 (resp. t > 0) algunsautores dão ao sinal direito (esquerdo) a designação de causal (anti-causal).A figura 1.8 apresenta um sinal analógico direito e um sinal analógico esquerdo.

1.2.4 Quanto à reprodutibilidade

Quanto à possibilidade de, repetindo a mesma experiência, obter ou não o “mesmo” resultado, os sinais classificam-se em determinísticos e aleatórios,respectivamente. Um sinal diz-se determinístico se puder ser reproduzido, nasmesmas condições, tantas vezes quantas se queira. Tal não se passa com umsinal aleatório, que é efectivamente um membro de uma classe com uma estru-tura probabilística. Usualmente, diz-se um processo estocástico. As figuras1.1 e 1.9 representam segmentos de sinais aleatórios, contínuo e discreto, res-pectivamente.

Normalmente, um sinal determinístico dá-nos a possibilidade de, conhecendoum dado sinal num dado conjunto de valores sucessivos do tempo, “predizer

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 13

Figura 1.7: Sinal de duração limitada

Figura 1.8: a) Sinal analógico direito; b) Sinal analógico esquerdo

exactamente” um valor num instante posterior (ou anterior)4. Isto não acontece,em geral, com os processos estocásticos que possuem um grau de predizibilidade5

que depende das suas características probabilísticas e espectrais, como veremos,mais tarde.

1.2.5 Quanto à periodicidade

Os sinais determinísticos classificam-se, ainda, em aperiódicos e periódicos.Os sinais aperiódicos não são repetitivos, contrariamente aos periódicos queverificam a relação:

x(t) = x(t ± T ) ∀t (1.2)

sendo T uma quantidade positiva, denominada período que, no caso de si-

nais discretos, é um número natural . Os sinais aperiódicos com energia6 finita4A excepção é constituída pelos sinais de saída de sistemas caóticos que são determinísticos,

mas não são predizíveis, pelo menos a longa distância temporal.

5Achamos que este termo é mais correcto do que o comum “previsibilidade”.

6Adiante a definiremos.

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14 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.9: Sinal aleatório discreto

Figura 1.10: Sinal periódico contínuo

chamam-se transitórios. Todos os sinais representados nas figuras precedentessão aperiódicos. A figura 1.10 representa um sinal periódico.

As sinusóides

cos(ωot + φ) , sen(ωot + φ) e ei(ωot+φ)

são os mais simples e importantes exemplos de sinais periódicos (figura 1.11).O período com que um sinal sinusoidal se repete pode ser determinado atravésde

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 15

Figura 1.11: Sinais cos(ωot + φ) e sen(ωot + φ). Esta representação gráficacorresponde também à componente real e à componete imaginária de ei(ωot+φ),respectivamente

sen(ωot + φ) = sen (ωo(t + T ) + φ) ⇒sen(ωot + φ + 2π) = sen (ωot + ωoT + φ) ⇒

ωot + φ + 2π =ωot + ωoT + φ ⇒2π =ωoT ⇒T =

ωo

Qualquer sinal periódico pode representar-se como uma repetição periódicade um sinal básico, x, que, na maior parte dos casos de interesse prático, é umafunção de suporte limitado:

x(t) =+∞

n=−∞xb(t − nT o) (1.3)

Usando sucessões de pulsos triangulares nas figuras 1.13 a 1.14 mostramos

duas situações diferentes ilustrando a repetição referida, e onde tri

t

τ

é a

função triangular da figura 1.12.Se o período de repetição for superior a 2τ , temos a situação representada

na figura 1.13.Na figura 1.14 vemos uma ilustração da situação em que o período de repe-

tição é inferior a 2τ . Neste caso, em que a envolvente final do sinal periódicox(t) não coincide com a extensão periódica do sinal básico xb(t), dá-se o fe-nómeno chamado de “alisamento” ou “mascaramento” ou, ainda “sobreposição”(“aliasing”)7.

7Na literatura inglesa

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16 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.12: xb(t)= tri

t

τ

- triângulo de largura 2τ

Figura 1.13: Repetição periódica da função da figura 1.12 com período superiorà duração do sinal elementar

O sinal resultante parece mais “liso”, ou seja, tem variações mais lentas doque o sinal xb(t).

Este fenómeno é importantíssimo na conversão discreto-contínuo e verifica-seno domínio da frequência.

Estas considerações permitem-nos concluir que qualquer sinal não periódicode duração finita pode considerar-se como a restrição num intervalo ]a, b[ qual-quer, de largura T de uma dada função periódica, em que T = b − a

xb(t) =

x(t) a < t < b0 nos outros casos

(1.4)

Uma representação de x(t) coincidirá com xb(t) no intervalo ]a, b[. Como é

óbvio, este tipo de considerações é facilmente etensível aos sinais discretos.O período de um sinal periódico não é um valor único. Facilmente se verificaque se o sinal tem período de repetição T 1, então

x(t) = x(t + T 1) = x ((t + T 1) + T 1) = x ((t + 2 T 1) + T 1) = · · · = x(t + n T 1)(1.5)

o que significa que todos os múltiplos inteiros de T 1 são igualmente período dosinal.

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 17

Figura 1.14: Repetição periódica da função da figura 1.12 com período inferior

à duração do sinal elementar e sinal resultante

Dá-se a designação período fundamental do sinal ao menor valor positivoque T pode tomar, de modo a que a expressão (1.2) se verifique.

Uma combinação linear de sinais periódicos, x(t) = a1 x1(t) + a2 x2(t), podenão corresponder a um sinal periódico. A condição necessária (e suficiente) paraque x(t) seja um sinal periódico, é que os períodos T 1 e T 2 sejam comensuráveis.Isto significa que devem existir números inteiros n1 e n2 de modo a que severifique n1 T 1 = n2 T 2 = T .

Figura 1.15: Sinal x(t) = sen(2 t) + cos(3/2 t)

A título ilustrativo, na figura 1.15 representa-se o sinal x(t) = sen(2 t) +cos(3/2 t). A parcela sen(2 t) tem período T 1 = π, enquanto a cos(3/2 t) temperíodo T 2 = 4

3π. O período do sinal x(t) é T = 4T 1 = 3T 2 = 4π.

Se os valores T 1 e T 2 não são comensuráveis o sinal x(t), não será periódico.Neste caso o sinal diz-se quase periódico. Na figura 1.16 esá representado o sinal

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18 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.16: Sinal sen(2πt + 1) + sen(1.5t) (não peródico)

sen(2πt + 1) + sen(1.5t). A primeira sinusoide tem período T 1 = 1, enquanto asegunda tem período T 2 = 4π

3 . O sinal resultante não é periódico porque T 1 eT 2 não são comensuráveis.

Se um sinal periódico for tal que x(t) = - x(t + T/2), diz-se que tem simetriade meia onda. Os sinais cos(ωot + φ) , sen(ωot + φ) são exemplos de sinais comsimetria de meia onda.

1.2.6 Quanto à morfologia

Morfologicamente, os sinais podem apresentar as formas mais díspares, podendo,no entanto, possuir algum tipo de simetria ou regularidade. Assim, podemosencontrar sinais pares:

x(t) = x(−t) ∀t (1.6)

ou seja, sinais cujo gráfico é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas (vera figura 1.17),

Figura 1.17: Sinal par

e ímpares:x(t) = −x(−t) ∀t (1.7)

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1.2. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 19

Figura 1.18: Sinal ímpar

Figura 1.19: Sinal sem paridade definida

sinais cujo gráfico é simétrico relativamente à origem (ver a ilustração da figura1.18), ou nem uma coisa nem outra como o da figura 1.19.

Um aspecto interessante é que qualquer sinal, sem paridade definida, podeser representado como a soma de um sinal ímpar com um sinal par

x(t) = xi(t) + x p(t) (1.8)

basta, para isso que se considere:

xi(t)∆=

x(t) − x(−t)

2parcela ímpar (1.9)

x p(t)∆=

x(t) + x(−t)

2parcela par (1.10)

É fácil verificar que somando os sinais das figuras 1.17 e 1.18 se obtém osinal representado na figura 1.19.

Muito frequentemente, os sinais com que trabalhamos têm um “aspecto” 8

liso. No entanto, há sinais extremamente “ rugosos” e com o mesmo aspecto,qualquer que seja a escala a que sejam observados: são os sinais fractais (figura1.20), existindo bastantes exemplos em formas naturais.

Extremamente importantes são os sinais caóticos que, embora pareçam ale-atórios, são determinísticos. Na figura seguinte apresenta-se um exemplo. Estes

8Gráfico.

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20 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.20: Sinal fractal

Figura 1.21: Sinal caótico

sinais são gerados não-linearmente e têm fraca predizibilidade. Os sinais encon-

trados em Meteorologia são frequentemente deste tipo.

1.2.7 Quanto ao carácter

Até agora, considerámos, apenas, sinal como o resultado de uma medida sobreum fenómeno físico. Pode acontecer que, em vez de uma, tenhamos várias9.No primeiro caso temos um sinal escalar e no segundo um sinal vectorial. Porora, apenas consideraremos os sinais escalares, embora um grande número deresultados se generalize com certa facilidade a sinais vectoriais. O sinal desaída de agregado de sensores é um sinal vectorial. Por exemplo, o ECG é,normalmente, um sinal com três componentes, usualmente representadas porX,Y e Z.

1.3 Alguns Sinais Importantes

No decorrer deste estudo, vamos encontrar alguns sinais bastante importantese que apresentaremos de seguida.

9Por exemplo, o sinal obtido com um agregado de sensores.

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1.3. ALGUNS SINAIS IMPORTANTES 21

1.3.1 Sinais a tempo contínuo

Os sinais em degrau e rampa

Um sinal de entrada frequentemente utilizado no estudo do comportamento desistemas é o degrau unitário, ε(t) (figura 1.22)

Figura 1.22: Sinal degrau unitário

ε(t) =

1 se t ≥ 00 se t < 0

(1.11)

Um outro sinal de grande interesse é a rampa de declive unitário, ou rampaunitária r(t) = tε(t) (figura 1.23).

Figura 1.23: Sinal rampa unitária

r(t) =

t se t ≥ 00 se t < 0

(1.12)

O impulso unitário

Um sinal de grande importância no estudo de sistemas dinâmicos é o impulsounitário, ou impulso de Dirac (δ(t)) (figura 1.24).

δ(t) =

0 se t = 0∞ se t = 0

(1.13)

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22 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.24: Sinal impulso unitário (ou de Dirac)

O impulso unitário é um sinal que é sempre igual a zero, excepto para t = 0,instante em que a sua amplitude não é limitada. Este sinal é caracterizado pelofacto de: +∞

−∞δ(t)dt =

0+0−

δ(t)dt = 1 (1.14)

O impulso unitário δ(t) está relacionado com o degrau unitário ε(t) pelarelação:

ε(t) =

t−∞

δ(τ )dτ (1.15)

Uma aproximação mais intuitiva ao conceito de impulso de Dirac pode serobtida considerando o seguinte sinal:

δ∆(t) =dε∆(t)

dt(1.16)

onde ε∆(t) e δ∆(t) são os sinais representados na figura 1.25Verifica-se que δ∆(t) tem área unitária, qualquer que seja o valor de ∆, e

que vale 0 fora do intervalo 0≤t≤∆. À medida que ∆→0, a amplitude de δ∆(t)é progressivamente maior, enquanto que a sua duração é mais apertada. Nolimite tem-se:

δ(t) = lim∆→0

δ∆(t) (1.17)

Um sinal da forma kδ(t) corresponde a um impulso de Dirac de área k, i.e.,

t−∞

kδ(τ )dτ = kε(t) (1.18)

Generalizando este resultado verifica-se que, para um dado sinal x(t),

x(t)δ(t − τ ) = x(τ )δ(t − τ ) (1.19)

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1.3. ALGUNS SINAIS IMPORTANTES 23

Figura 1.25: Sinais ε∆(t) e δ∆(t)

Um outro facto igualmente importante é:

x(t) = x(t).1 = x(t)

+∞−∞

δ(t − τ )dτ =

=

+∞−∞

x(t)δ(t − τ )dτ =

= +∞−∞

x(τ )δ(t − τ )dτ (1.20)

O integral designa-se por integral de convolução (ou simplesmente convolu-ção) de x(t) e δ(t). A sua importância será realçada dentro em pouco.

1.3.2 Sinais a tempo discreto

Em geral, os sinais a tempo contínuo são representados por uma expressãomatemática. Já os sinais a tempo discreto, se forem de duração limitada, podemser descritos por meio de uma tabela com os valores que assumem:

1, 2, −9, 0, 1, 3, −6, −5

Nesta representação, se houver necessidade, indicaremos a origem dos tem-

pos com uma ↑:

1, 2, −9, 0, 1, 3, −6, −5 ↑

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24 CAPÍTULO 1. SINAIS

n0

1

δ(n)

a)

n0

x(−2)x(

−1)

x(0) · · ·x(n)

b)

Figura 1.26: a) Impulso unitário δ(n); b) Sinal x(n) representado como somade impulsos

Impulso unitário

Alguns dos sinais a tempo contínuo, definidos anteriormente, têm correspon-dência com sinais a tempo discreto. Comecemos por considerar o sinal impulso

unitário, a tempo discreto, (δ(n)) que se encontra representado na figura 1.26.a.Este sinal toma sempre o valor zero, com excepção do instante em que o seuargumento se anula. Nesse ponto o impulso unitário vale um:

δ(n) =

1 se n = 0

0 para todos os outros valores de n(1.21)

Um aspecto importante relativo ao sinal impulso unitário δ(n) é o factoqualquer sinal a tempo discreto se poder representar como uma soma de impulsosde amplitudes adequadas (1.26.b).

x(n) =+∞

k=−∞

x(k)δ(n

−k) (1.22)

Esta expressão define a operação de convolução entre os sinais a tempodiscreto x(n) e δ(n). Tem como correspondente, em tempo contínuo, o integralde convolução da expressão (1.20).

Os sinais degrau e rampa

O sinal degrau unitário a tempo discreto (figura 1.27) tem uma definição seme-lhante à do sinal degrau em tempo contínuo :

ε(n) =

1 se n ≥ 0

0 se n < 0(1.23)

O sinal ε(n) pode ser definido a partir do sinal δ(n) a través da expressão:

ε(n) =n

k=−∞δ(k)

Nesta expressão, para valores de n < 0, o cálculo do somatório correspondeà adição de um número infinito de parcelas, todas elas tomando o valor zero.

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1.3. ALGUNS SINAIS IMPORTANTES 25

n0

1

ε(n)

Figura 1.27: Degrau unitário ǫ(n)

n0

1

2

3

4nε(n)

Figura 1.28: Rampa unitária nǫ(n)

Já para valores de n ≥ 0 estaremos a adicionar um número, igualmente infinitode parcelas, das quais apenas uma (correspondente a n = 0) não é nula.

O sinal em rampa de declive unitário (figura 1.28), obtém-se multiplicandoo sinal degrau ε(n) pelo instante de tempo n:

r(n) = nε(n) (1.24)

O sinal rampa unitária pode igualmente ser obtido através da adição suces-siva dos valores do degrau unitário:

r(n) =n−1

k=−∞ε(k)

As sinusóides em tempo discreto

As sinusóides a tempo discreto têm algumas propriedades que as distinguemdos sinais sinusoidais a tempo contínuo. Uma delas é a sua relação com a

periodicidade. Considere o sinal sinusoidal:

x(n) = cos(Ωn)

O sinal é periódico se existir um número inteiro N que torne verdadeira aigualdade x(n) = x(n + N ), para todos os instantes de tempo n. A análise daigualdade conduz a:

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26 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.29: O sinal cos(n) não é periódico

Figura 1.30: As sinusóides cos(n) e cos((1 + 2π)n), apesar de term frequênciasdiferentes, são o mesmo sinal

x(n) =x(n + N ) →cos(Ωn) =cos(Ω(n + N )) →

cos(Ωn + 2πm) =cos(Ωn + ΩN ) →Ωn + 2πm =Ωn + ΩN →

Ω =2m

N π = r2π

Uma vez que N e m são números inteiros, esta igualdade só é válida se r forum número racional. Para valores de Ω correspondentes a valores de r que sejamirracionaiso sinal x(n) não ś periódico. Na figura 1.29 ilustra-se esta questãoconsiderando o caso Ω = 1. Facilmente se constata que o sinal cos(n) não éperiódico, ao contrário do seu equivalente a tempo contínuo cos(t).

Uma outra propriedade específica das sinusóides a tempo discreto é o factode cos(ωn) = cos((ω + 2π)n) (confirme esta igualdade). Isto significa que, emtempo discreto, sinusóides de frequências diferentes correspondem, na verdade,ao mesmo sinal, o que é evidenciado pelos sinais representados na figura 1.30.

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1.4. MÉDIA, ENERGIA E POTÊNCIA 27

Correspondência entre sinais a tempo contínuo e a tempo discreto

Sinal Definição do sinal a tempo discreto

Impulso unitário ou delta de Kronec-ker

δ(n) =

1 se n = 00 se n = 0

Escalão, degrau ou função de Heavi-side

ε(n) =

1 se n ≥ 00 se n < 0

Função sinal10 sgn(n) =

+1 se n > 00 se n = 0−1 se n < 0

Rampa r(n) = n.ε(n)

Módulo ou valor absoluto |n| = n. sgn(n)

Rectângulo RectN (n) = 1 se

|n

|< N

0 se |n| ≥ N

Triângulo triN (n) =

1 − |n|

N

. RectN (n)

Exponencial x(n) = zn z∈CExponencial causal x(n) = zn.ε(n) z∈CCisóide ou sinusóide complexa x(n) = eiωn = cos(ωn) + i.sen(ωn)

Função de Laplace x(n) = e−|n|

1.4 Média, Energia e Potência

1.4.1 Média de um sinal

Em linguagem electrotécnica, é vulgar falar em “componente contínua” de umatensão ou corrente. Em termos matemáticos, tal componente é, efectivamente,uma função constante. Tudo se passa como se um dado sinal x(n) seja a somade um sinal variável no tempo, s(n), com uma constante, mx, a que chamamosmédia:

x(n) = s(n) + mx (1.25)

Se se tratar de sinais com duração finita, o termo média é tomado no sentidousual:

mx(a, b) =1

|b − a|

b

n=a

x(n) (1.26)

onde x(n) é um sinal em tempo discreto, e a e b definem o intervalo no qual amédia é calculada. No caso contínuo

10Esta função aparece frequentemente definida de forma ligeiramente diferente. Com efeito,se se definir uma função sgn(n) =sgn(n) + δn, temos sgn’(n)=2un – 1 e δn=1/2[sgn’(n) -sgn’(n-1)], idênticas a semelhantes relações encontradas nos sinais a tempo contínuo.

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28 CAPÍTULO 1. SINAIS

mx(a, b) = 1b − a ba

x(t)dt (1.27)

Se a duração dos sinais for infinita, teremos de proceder à passagem ao limite.No cados discreto isto corresponde a:

mx = limN →∞

1

2N + 1

+N n=−N

x(n) (1.28)

e no caso contínuo podemos escrever:

mx(a, b) = limT →∞

1

2T

+T

−T

x(t)dt (1.29)

Como é evidente, qualquer sinal pode ser transformado em sinal de médianula por subtração de mx. As expressões (1.26) a (1.29) permanecem válidaspara sinais aleatórios e caóticos.

1.4.2 Energia de um sinal

Definimos potência instantânea de um sinal por:

p(t) = |x(t)|2 = x(t) x∗(t) (1.30)

e energia por

E xx =

+∞−∞

|x(t)|2dt =

+∞−∞

x(t)x∗(t)dt (1.31)

A energia de um sinal discreto corresponde a:

E xx =+∞

n=−∞|x(n)|2 =

+∞n=−∞

x(n)x∗(n) (1.32)

Os sinais que têm energia finita definem, matematicamente, a classe dasfunções de quadrado somável.

De forma similar, pode definir-se a energia cruzada de dois sinais por

E xy =+∞

n=−∞x(n)y∗(n) e E yx =

+∞n=−∞

y(n)x∗(n) (1.33)

No caso particular em que y(n) = x(n), a energia cruzada reduz-se à energiado sinal x(n). A energia cruzada não costuma ter uma interpretação intuitivasimples, salvo em certos casos de sinais a tempo contínuo.

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1.4. MÉDIA, ENERGIA E POTÊNCIA 29

1.4.3 Potência de um sinal

O conceito de energia de um sinal, atrás definido, só tem sentido para umconjunto bastante restrito de sinais, nomeadamente os de duração finita.

Existem muitos sinais que não verificam a relação anterior, entre eles os sinaisperiódicos, o escalão, etc. Para este outro tipo de sinais, requer-se a introduçãode outro conceito. Vejamos, em primeiro lugar, o caso dos sinais periódicos,porque nos indica como podemos proceder no caso mais geral.

Seja x(n) periódico com período N + 1, que provisoriamente supomos serum número natural ímpar. A energia do sinal por cada período será

E xx|N o=

no+No2

no−No2

|x(n)|2 (1.34)

Sem perda de generalidade, façamos n0 = 0. Definindo-se a potência média por

P xx|N o+1 =E xx|N o+1

N o + 1=

+No2

−No2

|x(n)|2

N o + 1(1.35)

A potência média em L períodos será (N = LN o + L)

P xx|N =

+N2

−N2

|x(n)|2

N

=1

N o + 1

+No2

−No

2|x(n)

|2 (1.36)

visto que todos os períodos têm todos a mesma energia. No caso de um númeroinfinito de períodos, vem

P xx = limN →∞

1

N

+N2

−N2

|x(n)|2 =1

N o + 1

+No2

−No2

|x(n)|2 (1.37)

A potência média é, portanto e neste caso, independente do número deperíodos considerados. Este conceito é útil e pode estender-se a sinais nãoperiódicos cuja energia é infinita. Assim, para qualquer sinal define-se, com

generalidade, a Potencia Média, P xx, por:

P xx = limN →∞

1

2N + 1

+N −N

|x(n)|2 (1.38)

onde, por comodidade, se fez uma ligeira alteração. Não é difícil mostrar que,para sinais de energia finita, esta potência média é zero.

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30 CAPÍTULO 1. SINAIS

No caso contínuo

P xx = limT →∞

12T

+T −T

|x(t)|2dt (1.39)

Segundo as definições anteriores, os sinais podem classificar-se em:

• Sinais de energia finita, ou sinais tipo energia, quando 0 < E xx < ∞ .

• Sinais de potencia média finita, ou sinais tipo potência, para os quais0 < P xx < ∞ .

Ambos os tipos de sinais se excluem mutuamente. Um sinal de energia finitatem potência média nula e um de potência média finita tem energia infinita.

Todos os sinais limitados de duração finita são de energia finita. Os sinais

periódicos são de potência média finita. A caracterização dos sinais de potênciafinita nem sempre é fácil. Os processos estocásticos estacionários pertencem aesta classe. Convém referir, ainda, que há sinais que não pertencem a nenhumadestas classes, pelas mais variadas razões. Ex.: a rampa, a parábola, etc.

1.5 Discreto vs Contínuo

Ao processo de obtenção de um sinal discreto a partir de um contínuo dá-se onome de discretização. À operação inversa damos o nome de reconstrução.

Um exemplo simples permite-nos ilustrar esta questão. Seja x(t) = e−t, oseu desenvolvimento em série de McLaurin é

+∞n=0

(−1)n

n!tn

que tem raio de convergência infinito. O sinal x(t) fica assim completamentedefinido pelos coeficientes xn = (−1)n

n!, que surgem como sendo valores de um

sinal discreto resultante da discretização de x(t).Este exemplo permite-nos, também, constatar que o processo de discretiza-

ção não é unívoco. Com efeito, se em vez de potências de t usássemos outrabase (p. ex., polinómios ortogonais) obteríamos um sinal discreto diferente. Deum modo geral os desenvolvimentos genéricos de Fourier (serão tratados numoutro capítulo) fornecem-nos soluções diferentes.

Note-se que, uma vez fixado o método de discretização, fica imediatamentefixado o de reconstrução.

É importante perceber que nem o domínio nem o contradomínio do sinaldiscreto são necessariamente subconjuntos dos correspondentes conjuntos dosinal original. Isto contece apenas numa situação especial que vamos definir emseguida.

Assim, ao processo que a um sinal contínuo associa um sinal discreto deforma que:

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1.5. DISCRETO VS CONTÍNUO 31

Figura 1.31: Discretização do sinal e−t. Em cima: representação gráfica dosinal; em baixo: sinal discretizado através da série de McLaurin

x(t) x(nT a) = xn

T a

Figura 1.32: Amostragem ideal

a) o domínio do sinal discreto é um subconjunto do domínio do sinal contínuo,

b) o contradomínio do sinal discreto é um subconjunto do contradomínio dosinal contínuo,

c) os dois sinais têm um valor comum na intersecção dos domínios,

diz-se amostragem. Ao processo inverso dá-se o nome de interpolação oureconstrução. Ao número de amostras por unidade de tempo dá-se o nome deritmo de amostragem. A conversão de um sinal analógico em sinal digitalusando a amostragem e quantização diz-se, simplesmente, uma conversãoA/D (conversão analógico-digital) e a inversa, conversão D/A (conversãodigital-analógico).

A amostragem pode ser considerada como sendo uma operação realizada porum sistema como o representado na figura 1.32.

Consiste, essencialmente, na leitura, em instantes discretos (geralmente, comdistribuição uniforme) dos valores assumidos pelo sinal x(t). Como parece evi-dente, variando o intervalo de tempo (T a) entre leituras sucessivas, obtemos umsinal discreto diferente. Este facto encontra-se ilustrado na figura 1.33, onde se

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32 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.33: Amostragem do sinal cos(2πt) com T a = 0, 05 e T a = 0, 025

representa a amostragem do sinal contínuo cos(2πt) com dois valores distintospara o intervalo de amostragem ( T a = 0, 05 e T a = 0, 025).

O fenómeno inverso também se verifica. A figura 1.34 ilustra a situação emque, variando o ritmo de amostragem, se obtém o mesmo sinal discreto comoresultado da amostragem de diferentes sinais contínuos.

De um modo geral, não é de esperar que, na ausência de qualquer tipo decondição adicional ou informação, um sinal possa ser especificado unicamente

por uma sequência de amostras igualmente espaçadas. Por exemplo, na figura1.35 são ilustrados três sinais diferentes, tendo todos eles valores idênticos emmúltiplos inteiros de T a = 1:

f 1(k) = f 2(k) = f 3(k).

Geralmente, existe um número infinito de sinais que pode gerar um dadoconjunto de amostras. No entanto, como será visto adiante, se um sinal for debanda limitada11 e se as amostras são efectuadas suficientemente juntas, emrelação à mais alta frequência presente no sinal, então as amostras especificamunivocamente o sinal e é possível realizar a sua perfeita reconstrução.

Vamos aprofundar um pouco mais este assunto. Considere um período de

um sinal sinusoidal:

xc(t) = A.cos(ω.t + φ) t∈RPara definir completamente esta função precisamos de 3 pontos, suficientes

para determinar as três constantes envolvidas. Como supomos uma amostragem

11De que falaremos adiante

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1.5. DISCRETO VS CONTÍNUO 33

Figura 1.34: Amostragem do sinal cos(2πt) com T a = 0, 05 e do sinal cos(4πt)com T a = 0, 025

uniforme, o intervalo entre pontos consecutivos é constante e igual a T a. O factode os valores obtidos, por este processo, poderem corresponder a mais do queuma sinusóide encontra-se ilustrado na figura 1.36. Constata-se que os valoresobtidos por amostragem num período da sinusóide de de frequência π, podemtambém ser associados a amostragem uniforme de sinais de frequência superior.Para garantir a unicidade do sinal associado às amostras, é necessário que o

processo de amostragem seja aplicado apenas a sinais de período não inferior a2T a.Na figura 1.37 está representada a amostragem uniforme, com intervalo T a,

de sinais sinusoidais de periíodo 2T a. Constata-se que a restrição feita ao pe-ríodo do sinal não é suficiente para assegurar a unicidade da relação entre o

Figura 1.35: Três sinais contínuos no tempo com valores idênticos para os intei-ros

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34 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.36: Amostragem uniforme de sinais sinusoidais.

sinal e as amostras obtidas - 2 sinais com o mesmo período, mas com ampli-tudes e desfasamentos distintos podem produzir a mesma sequência de valoresamostrados.

Figura 1.37: Amostragem uniforme de sinais sinusoidais - sinusóides com a

mesma frequência

Resulta daqui que a unicidade da relação entre o sinal em tempo contínuo ea respectiva sequência de amostras requer que, tal como se representa na figura1.38, as amostras sejam obtidas com um intervalo de amostragem estritamenteinferior a metade do período do sinal

T a < 2π

ω

.

Dediquemos, então, um pouco mais de atenaão à questão da amostragem

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1.5. DISCRETO VS CONTÍNUO 35

Figura 1.38: Amostragem uniforme de sinais sinusoidais - o período do sinal ésuperior a 2T a

uniforme de sinais periódicos. Consideremos o processo de amostragem do sinal

x(t) = x(t + P )

O sinal xn = x(nT a) não será, em geral, periódico. Com efeito, xn será periódicose

x(nT a) = x

n +

P

T a

T a

desde que

P

T aseja um número racional.

Por exemplo, seja o sinal de período 2

x(t) = sen (πt)

se T a

=√

2, o sinal xn

= sen √2π.n não será periódico. Se T a

= 3

5, x

n=

sen35πn

já é periódico de período 10.

De notar que o período do sinal discreto é maior do que o do sinal contínuo,o que sucederá, em geral.

Foi já anteriormente referido que o processo de obtenção de um sinal contínuoa partir de um discreto chama-se reconstrução ou interpolação. Contudo, ainterpolação pode significar a obtenção de um sinal discreto a partir de outro(também discreto), de forma a que o 2º tenha "mais amostras"num dado in-tervalo de tempo. Esta técnica é usada na chamada conversão multirritmo,muito útil, por exemplo, no processamento de sinais de música gravados emCDs, onde os sinais são lidos a um ritmo de 44.1kHz e processados a 48 kHz,ou na passagem de CDs para DVDs.

Como é evidente, podemos obter infinitos sinais reconstruídos ou interpo-

lados (contínuos ou não) a partir de um dado sinal discreto. A fórmula geralé:

x(t) =+∞−∞

xnϕ(t/T − n) t ∈ R (1.40)

onde ϕ(t) é a chamada função de interpolação. As mais conhecidas são:

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36 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.39: Saída de um retentor de ordem zero

• Retentor de ordem zero: ϕ(t) =

1 0 < t < 10 t ≥ 1

• Interpolador linear: ϕ(t) =

1 − |t| |t| < 10 |t| ≥ 1

• Interpolador ideal: ϕ(t) = sinc(t) =sen(πt)

πt

Com estas funções obtemos as seguintes fórmulas de interpolação:

a) Por retenção de ordem zero ou rectangular (figura 1.39):

x(t) = x(nT ) parat∈ [nT, (n + 1)T [ (1.41)

b) Linear com atraso (figura 1.40):

x(t) = x[(n − 1)T ] +x(nT ) − [(n − 1)T ]

T para t∈ [nT, (n + 1)T [ (1.42)

c) Ideal (figura 1.41):

x(t) =+∞

−∞x(nT )

sen[π(t/T − n)

π(t/T

−n)

(1.43)

Esta série traduz a chamada interpolação de Shannon-Whitaker e é extrema-mente importante. De referir que, em determinadas circunstâncias que têm aver com as características espectrais12 do sinal, o sinal pode ser reconstruídosem erro.

12A estudar posteriormente

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1.6. OS SINAIS ALEATÓRIOS 37

Figura 1.40: Interpolação linear. A linha a traço interrompido representa o sinaloriginal e a linha “quebrada” o sinal obtido

Figura 1.41: Sinal reconstruído idealmente

De notar que podemos, pelo menos teoricamente, usar o esquema reconstru-ção/amostragem para aumentar a taxa de valores por unidade de tempo (ritmo)de um dado sinal discreto – Conversão multirritmo.

1.6 Os Sinais Aleatórios

1.6.1 Motivação

Nesta secção vamos considerar os sinais não determinísticos. Para obter umanoção intuitiva do que é um sinal aleatório ou processo estocástico (PE), vamossupor a realização de duas experiências e sugerir alguns exemplos conhecidos.

Exemplo 1 -

Suponhamos que um conjunto de alunos de uma classe lança ao ar, cada um,uma moeda e regista com um 1 se sai “cara” e com um 0 se sai “coroa”. Obter-se-ão registos do tipo apresentado na figura 1.42.

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38 CAPÍTULO 1. SINAIS

01001011110010101100101100001111010110 ... ...11000110101110011101010010100110001010 ... ...10010110000111101011011000110101110011 ... ...00110101110001100011110101100111001010 ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Figura 1.42: Realizações de um processo estocástico binário

Figura 1.43: Realizações de um PE contínuo

Exemplo 2 -

Consideremos o conjunto de tensões, geradas pelo movimento térmico dos elec-trões aos terminais de um grande número de resistências idênticas, ou parestermoeléctricos, também idênticos. A figura 1.43 apresenta algumas destas ten-sões.

Outros exemplos - a inflação, electrocardiograma, electroencefalograma,sismograma, voz, etc.

Estes exemplos sugerem que:

• Experiências realizadas em condições semelhantes produzem resultadosdiferentes, embora estes resultados, possam ser parecidos.

• Não há nada que nos possa levar a privilegiar um de entre os diferentesresultados de um mesmo tipo de experiência.

Concluímos, então, que estamos tratando com sinais idênticos que devem serconsiderados como elementos de uma mesma classe. A esta classe daremos o

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1.6. OS SINAIS ALEATÓRIOS 39

nome de processo estocástico. O estudo dos processos estocásticos (PE) envolve

conhecimentos e noções de variáveis aleatórias. Uma variável aleatória x é umaregra que atribui um número x(ξ) ao resultado de uma experiência ξ. De formasemelhante, diremos que um sinal aleatório ou processo estocástico atribui umafunção x(t, ξ) ao resultado de uma experiência, desta forma, um sinal aleatórioé um conjunto de funções temporais dependentes de um parâmetro ξ. Quandonão haja ambiguidade, utilizar-se-á a notação x(t) para designar sinal aleatório,omitindo o parâmetro ξ.

Se se fixa o parâmetro ξ (resultado de uma experiência), obtém-se uma fun-ção temporal que se denomina “função amostra” ou “realização” do processo13.

Fixada a variável tempo, t, obtém-se uma variável aleatória x - ( t1→x1,t2→x2, ...), desta forma, um sinal aleatório pode considerar-se como um con-

junto infinito de variáveis aleatórias, uma para cada instante de tempo t (discretoou contínuo).

Fixados o parâmetro ξ e a variável temporal t obtém-se um número. Estasconsiderações mostram-nos que uma realização de um PE discreto não é maisdo que uma sequência de variáveis aleatórias.

1.6.2 Médias no conjunto

Define-se o valor médio ou, simplesmente, média de um PE, x(t), como o valoresperado da variável aleatória x(t) no instante t

η(t) = E x(t) =

+∞−∞

x.f (x, t)dx (1.44)

onde f (x, t) é a chamada função densidade de probabilidade.A autocorrelação14 de um processo R(t1, t2) define-se como o valor esperadodo produto x(t1)x(t2).

R(t1, t2) = E x(t1)x(t2) (1.45)

ou

R(t1, t2) =

+∞−∞

+∞−∞

x1x2f (x1, x2, t1, t2)dx1dx2 (1.46)

Esta função mede a relação ou dependência entre valores do PE obtidos eminstantes diferentes. Se for nula, os PE dizem-se incorrelacionados. Se os PE

forem independentes, a correlação é igual ao produto das médias.O valor R(t1, t2) para t1 = t2 = t é a potência média (ou só potência) doprocesso

13Salvo em casos excepcionais, não conhecemos os valores desta função em todo o intervalode definição.

14Notar a semelhança com a definição dada anteriormente. Qual a diferença?

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40 CAPÍTULO 1. SINAIS

P m(t) = R(t, t) = E

x2(t)

= +∞−∞ x2f (x, t)dx (1.47)

A autocorrelação do processo de média nula x(t)−η(t) chama-se autocovariância.É fácil de ver que

C (t1, t2) = R(t1, t2) − η(t1)η(t2) (1.48)

Se os PE forem independentes, a covariância é nula.

Exemplo 3 -

Seja o processox(t) = a cos(ωt + ϕ)

onde a e ϕ são duas variáveis aleatórias independentes e ϕ é uma variável alea-tória uniforme no intervalo ]−π, π], quer dizer :

f (ϕ) =

1

2π−π ≤ ϕ < π

0 |ϕ| > π(1.49)

O valor médio do processo será

η(t) = E x(t) = E aE cos(ωt + ϕ)Das propriedades das variáveis aleatórias, vem

E cos(ωt + ϕ) = π−π

12π

cos(ωt + ϕ)dϕ = 0

Logo η(t) = 0A autocorrelação virá dada por

R(t1, t2) = E x(t1)x(t2) = E

a2 cos(ωt1 + ϕ)cos(ωt2 + ϕ)

Desenvolvendo o produto de co-senos

R(t1, t2) =1

2E

a2

E cos[ω(t1 + t2) + 2ϕ] + cos [ω(t1 − t2)]

O valor médio do primeiro termo é zero, pelo que

R(t1, t2) =1

2E

a2

cos [ω(t1 − t2)]

A potência média do processo vale (t1 = t2)

P m = R(t, t) =1

2E a2

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1.6. OS SINAIS ALEATÓRIOS 41

Observe-se que, se a variável aleatória a for uma constante, os resultados

anteriores coincidem com os equivalentes de sinais periódicos determinísticos:η(t) = 0

R(t1, t2) = R(τ ) =1

2a2 cos(ωτ )

e

P m =1

2a2

com τ = t1 − t2 dado que a correlação do processo não depende dos instantesabsolutos t1 e t2, mas sim da sua diferença.

As definições anteriores podem estender-se ao caso em que x(t) seja com-plexo. O valor médio tem a mesma definição e a autocorrelação define-se como

R(t1, t2) = E x(t1)x∗(t2) (1.50)

A potência média será

P m = E |x(t)|2

(1.51)

Exemplo 4 -

Seja, agora, o sinalx(t) = a.ej(ωt+ϕ

onde a e ϕ têm o mesmo significado do exemplo anterior. Obtém-se, neste caso:

η(t) = 0

R(t1, t2) = E x(t1)x(t2) = E |a|2

ejω(t1−t2)

eP m = E |a|2

Exemplo 5 -

Seja r(n) uma sequência de variáveis aleatórias incorrelacionadas, de médianula e com a mesma função densidade de probabilidade (identicamente dis-tribuídas) e assumindo apenas 2 valores. Seja σ2

r a sua variância. Suponhamosum corpo que, no instante n = 0, se encontra na posição x = 0 e que, em ins-tantes sucessivos (n = 1, 2, · · · ), se desloca linearmente uma distância igual ar(n).

Ao fim de um tempo N , estará na posição

x(N ) =N i=1

r(i) = x(N − 1) + r(N )

.

Diz-se que o corpo realiza um passeio aleatório (“random walk”).Na figura 1.44, podemos ver 2 realizações de 1 passeio aleatório. A variância

do processo é dada por:

σ2x = E

N i=1

r(i)

N j=1

r( j)

=

N i=1

E

r2

= N σ2r

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42 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.44: 2 realizações de 1 passeio aleatório

1.7 Processos Estacionários

Em certas aplicações, encontram-se, muitas vezes, sinais que parecem ser maisou menos invariantes em relação a translações no tempo. Se se considerar umdesses sinais como uma realização dum PE dir-se-á que este exibe um “certograu” de estacionariedade. Entre as duas situações extremas:

a) Completa invariância (estatística) relativamente a translações no tempo,

b) Total dependência em relação a um dado instante,

há uma gama imensa de PE com diferentes graus de estacionariedade. OsPE da classe a) dizem-se estritamente estacionários, os da classe b) dizem-senão-estacionários. O grau de estacionariedade pode ser quantificado mediante aimposição de condições mais ou menos restritivas, que, seguidamente, se apre-sentam.

Diz-se que um PE x(n) é estritamente estacionário, sse a famíliade todas as suas distribuições de dimensão finita for invariante sobtranslações no tempo.

A consequência imediata é que a função de densidade de primeira ordem nãodepende do tempo

p(x, t) = p(x, t + c) = p(x)

e, portanto, o valor médio do processo será constante.

Analogamente, a função de densidade de segunda ordem não depende dosinstantes absolutos t1 e t2, mas, apenas, da sua diferença τ = t1 − t2:

p(x1, x2, t1, t2) = p(x1, x2, t1 + c, t2 + c) = p(x1, x2, τ ) (1.52)

Portanto, a autocorrelação só dependerá de τ e, para estes processos, podedefinir-se como sendo:

Rx(τ ) = E x(t + τ ) · x∗(t) (1.53)

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1.8. ERGODICIDADE. ESTIMAÇÃO 43

definição equivalente na forma à da autocorrelação de sinais de potência mé-

dia finita, trocando a média temporal destas últimas pela média no conjunto(esperança matemática). A potência média valerá

P m = E |x(t)|2

= R(0) (1.54)

que é independente do tempo.A grandeza definida por:

σ2 = R(0) − m2 (1.55)

chama-se variância e a sua raiz quadrada chama-se desvio padrão. Usando aterminologia da Electrotecnia, a variância representa a potência da componentevariável de um sinal e o desvio padrão é o chamado valor eficaz.

Pode definir-se a correlação cruzada ou intercorrelação de dois processos

estacionários15 comoRxy(τ ) = E x(t + τ ) y∗(t) (1.56)

Continuando com a questão do grau de estacionariedade, diz-se que um PEé estacionário de ordem M se a equação (1.52) for verdadeira para N ≤M .

Como é imediato concluir, se um PE for estacionário de ordem M , entãotambém é estacionário de ordem M − 1, M − 2, ... O caso da estacionariedadede 2ª ordem é excepcionalmente importante. Diz-se que um PE é estacionáriode ordem 2 ou estacionário em sentido lato, (ou, simplesmente, estacionário)se16:

E [x(n)] = mx (1.57)

E [x(k + n).x(k)] = Rx(n) (1.58)

onde m é a média e R(n) a função de autocorrelacão, (FA) de x(n). Destaforma, qualquer PE estacionário de ordem M > 2, com 1º e 2º momentos finitos,é estacionário em sentido lato. A reversa também é verdadeira no caso de PEgaussianos. Para estes processos, a estacionariedade em sentido lato implica aestacionariedade em sentido restrito. Em quase todas as situações a aparecernos capítulos seguintes, supor-se-á, apenas, estacionariedade em sentido lato.

A função de autocorrelação possui as seguintes propriedades:P1 – R(n) = R(−n) – a FA é simétrica,P2 – R(0) > |R(n)| ∀n > 0 – a FA tem o máximo na origem.

1.8 Ergodicidade. Estimação

O problema central da teoria de processos estocásticos é a estimação das suaspropriedades estatísticas, quando estas não são conhecidas. Se as proprieda-des estatísticas de um processo (funções de distribuição e/ou de densidade de

15Uma definição equivalente pode dar-se para dois processos quaisquer.

16Passaremos a raciocinar em termos de variáveis discretas.

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44 CAPÍTULO 1. SINAIS

probabilidade) forem desconhecidas, mas se dispuser de um grande número de

realizações do processo, x(t, ξi) i = 1, · · · , N , o valor médio e a autocorrelaçãopodem obter-se de forma aproximada a partir de

η(t)∼= 1

N

N i=1

x(t, ξi) (1.59)

e

R(t1, t2)∼= 1

N

N i=1

x(t1, ξi)x(t2, ξi) (1.60)

No entanto, em muitas aplicações, só se tem acesso a um número reduzido derealizações17 e a única média que pode utilizar-se é a média temporal. Vamosver em que condições faz sentido substituir a média no conjunto pela médiatemporal. Tal substituição pode ser feita se a realização, quando observadanum intervalo “ grande”, der uma imagem “suficientemente boa” do que se passano conjunto num instante qualquer, pelo menos no que se refere a uma dadagrandeza: valor médio, variância, etc. Isto significa, de imediato, que o processodeve ser estacionário18. Os processos estocásticos para os quais tem significadosubstituir uma dada média no conjunto pela média temporal dizem-se processosergódicos. Há, assim, processos ergódicos na média, na mediana, etc. Paraefectuar as médias no tempo, atendemos ao facto de que os processos estocásticosestacionários (PEE) são sinais tipo potência, pelo que podemos usar as definiçõesdadas na secção 1.4. Seja x(n) um processo estocástico estacionário de médiamx, x(n) uma realização do processo e considere-se a média temporal

mN

=1

N

N

n=1

x(n) (1.61)

Como é evidente, mN varia de realização para realização. É, portanto, umaariável aleatória e sobre ela várias questões se podem (devem) pôr:

• Existirá limN →∞ mN ?

• Sendo, em geral, tal limite, se existir, uma variável aleatória, em quecondições é uma constante igual a mx?

Há várias formas de abordar a questão, dependendo do tipo de estacio-nariedade do processo em causa. Vai considerar-se o caso em que x(n) éestacionário em sentido lato.

Teorema 1.8.1 (Teorema da Ergodicidade) Seja x(n) um processo estocás-tico estacionário de média finita mx, se, quando N →∞,

1

N

N −1n=0 Rx(n) tender

para m2x, então mN tende para mx.

17Frequentemente, apenas, uma.

18Condição necessária.

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1.8. ERGODICIDADE. ESTIMAÇÃO 45

Pode mostrar-se, ainda, que mN tende para mx para quase todas as reali-

zações do processo. Não se fará aqui a demonstração, por ser fastidiosa e forados objectivos pretendidos.Estas considerações levam-nos à necessidade de efectuar estimativas dos pa-

râmetros associados a um dado PE obtidas a partir de realizações finitas. Assim,a uma expressão, estatística ou algoritmo que permite atribuir um valor a umadada função de uma variável aleatória chama-se estimador e esse valor diz-seuma estimativa.

1.8.1 Processos gaussianos

Um processo x(t) é dito normal ou gaussiano se as variáveis aleatórias

x(t1), x(t2) · · · , x(tn)

forem conjuntamente normais para todo o n, t1, t2, · · · , tn. Para x(t) ser normal,não basta que a função densidade de primeira ordem seja normal. As propri-edades estatísticas de um processo normal são dadas em termos da sua médiaη(t) e autocorrelação R(t1, t2) ou autocovariância C (t1, t2).

A função densidade de primeira ordem é dada por:

f (x, t) =1

2πC (t, t)e−[x−η(t)]2/C (t,t) (1.62)

quando

E x(t) = η(t) (1.63)

σ2

x(t)= c(t, t) (1.64)

Exemplo 6 -

Considere o processo x(t) dado por

x(t) = a.cos(ωt) + b.sin(ωt)

onde a e b são duas variáveis aleatórias normais independentes com

E a = E b = 0

E

a2

= E

b2

= σ2

e ω, uma constante. Cada variável aleatória x(ti) (i = 0, 1, 2, · · · ) é uma com-

binação linear das variáveis aleatórias normais a e b. Sendo assim, as variáveisaleatórias x(ti) (i = 0, 1, 2, · · · ) são conjuntamente normais.Agora vamos calcular a média e a autocorrelação de x(t). Pelo enunciado,

conclui-se que E x(t) = 0. e desde que

E ab = 0

temos

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46 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.45: Segmento de uma realização de um processo estocástico gaussianode média 1 e variância 4 e histograma obtido a partir de 50 000 pontos

R(t1, t2) = E (a cos(ωt1) + b sen(ωt1)) (a cos(ωt2) + b sen(ωt2))= σ2 cos[ω(t1

−t2)]

Como a média de x(t) é nula e a variância igual a σ2, podemos concluir que

f (x, t) =1

σ√

2πe−[x2/2σ2]

As variáveis aleatórias x(t1) e x(t2 também têm média nula e variância σ2.Para o cálculo da função densidade conjunta necessitamos do seu coeficiente decorrelação.

Este é dado por

r =R(t1, T 2)

R(t1, t1) R(t2, t2)

Desta forma, a função densidade de segunda ordem de x(t) é

f (x1, x2, t1, t2) =1

2πσ

1 − cos(2ωτ )e

x21 − 2x1x2 cos(ωτ ) + x22

2σ2(1 − cos2(ωτ ))

onde τ = t1 − t2.Notar que f (x, t) é independente de t e f (x1, x2, t1, t2) apenas depende de

t1 − t2.

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1.9. CONCLUSÕES 47

1.8.2 O ruído branco

Damos o nome de ruído branco19 ao processo estocástico cuja função de auto-correlação é dada por

Rn = σ2.δ(n) (1.65)

Em muitas aplicações, supomos que é gaussiano, mas tal não é, em geral,necessário.

Este PE é muito importante nas aplicações. Para ver porquê, suponhamosque excitamos um sistema linear invariante no tempo com ruído branco depotência (variância) unitária. Como veremos adiante, se h(n) for a respostaimpulsional do sistema,

Ryx(n) = h(n) ∗ Rxx(n) (1.66)

Ryy(n) = h(n) ∗ h∗(−n) ∗ Rxx(n) (1.67)

e fazendo com que a entrada seja ruído branco, de variância σ2, concluímos comrelativa facilidade que:

Ryx(n) = σ2.h(n) (1.68)

ou seja, a correlação cruzada entrada saída é, à parte um factor, igual à respostaimpulsional do sistema linear.

Semelhantemente, a autocorrelação da saída é, à parte um factor, igual à

autocorrelação da resposta impulsional:

Ryy(n) = σ2.h(n) ⋆ h⋆(−n) (1.69)

Estas relações são usadas frequentemente em modelação de sistemas linearesmesmo que não sejam invariantes no tempo.

1.9 Conclusões

Neste capítulo apresentámos as características gerais dos sinais. Contrariamenteao que é habitual em Matemática, não nos preocupámos com as suas proprieda-des analíticas, mas mais com as suas propriedades morfológicas e globais. Em

particular, estudámos a periodicidade e definimos média, energia e potência.Estudámos também a amostragem e reconstrução de sinais a tempo contínuo.Finalmente, apresentámos uma breve introdução aos processos estocásticos. Re-ferimos as suas características gerais e as propriedades mais importantes.

19O nome deriva do facto de o seu espectro ser constante e por analogia com a luz branca.Mais tarde abordaremos esta questão.

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48 CAPÍTULO 1. SINAIS

Figura 1.46: 2 realizações de ruído branco, gaussiano (acima) e uniforme(abaixo)

1.10 Exercícios

Exercício 1 – Usando a definição, estude os seguintes sinais quanto à perio-dicidade [t∈R, n∈Z]. No caso de um dado sinal ser periódico , diga qual o valordo seu período e faça uma representação gráfica dos valores do sinal durante umperíodo.

a) 2ej(t+π/4).ε(t) Como é evidente, não é periódico. Porquê?

b) 2ej(πt+π/4) Este sinal é periódico. Com efeito, temos: 2ej[π(t+T )+π/4] =2ej(πt+π/4)ejπT . Se T = 2, ejπT = 1 e, portanto, 2ej[π(t+T )+π/4] = 2ej(πt+π/4),

sendo o sinal periódico de período igual a 2.

c) (−1)n

d) in

Exercício 2 – Procedendo de forma análoga, mostre que:

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1.10. EXERCÍCIOS 49

a) ε(n) + ε(−n) é aperiódico

b) ε(n) + ε(−n − 1) é aperiódico

c)+∞

k=−∞ [δ(n − 2k) − δ(n − 1 − 2k)] é periódico com período igual a 2.

d)+n

k=−n [δ(n − 2k) − δ(n − 1 − 2k)] é aperiódico

e) cos(9t) + cos(9πt) t∈R é aperiódico (quase periódico)

f) cos2(9πt) t∈R é periódico de período 2

g) cos(16πt2) t∈R é aperiódico

h) cos(9n) é aperiódico (quase periódico)

i) cos(π/7 n) é periódico de período 14 j) cos(3π/7 n) é periódico de período 14

k) cos2(3π/7 n) é periódico de período 14

l) cos(9n2) é aperiódico

m) cos(π/8 n2) é periódico de período 4

n) cos(9πt)sen(12πt) t∈Ro)

+∞k=0 ε(t − k) −−1

k=−∞ ε(−t − k) é aperiódico

p) t −+

∞k=0 ε(t − k) +−

1

k=−∞ ε(−t − k) é periódico de período 1

Exercício 3 – Considere o sinal x(t) = |t| para |t| < 1, t∈R.Estude o sinal periódico x p(t) =

+∞n=−∞ x(t − n). Qual o período?

Exercício 4 – Seja x(n) um sinal discreto. Considere os sinais:

y(n) = x(3n)z(n) =

x

n

3

se n for múltiplo de 3

0 outros casos

Diga se as afirmações seguintes são verdadeiras ou não e, em caso afirmativo,

determine a relação entre os períodos dos sinais considerados, em caso negativodê contra-exemplos.

a) se x(n) é periódico, então y(n) também o é,

b) se y(n) é periódico, então x(n) também o é,

c) se x(n) é periódico, então z(n) também o é,

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50 CAPÍTULO 1. SINAIS

1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1

+ Soma módulo 2

registo de deslocamento

Figura 1.47: Exercício 9 – gerador de sequências pseudo-aleatórias

d) se z(n) é periódico, então x(n) também o é,

Exercício 5 – Calcule a energia ou potência dos sinais seguintes:

a) x(n) = cos(2πn) + 2.sen(2π.20n) + 3.cos(2π.32n + π/3) P = 7

b) x(t) = cos 2(2πn) P = 1/2

c) x(n) = ε(n) − ε(n − 20) E = 21

Exercício 6 – Calcule o valor médio dos sinais do problema anterior.

Exercício 7 – Seja x(t) = cos(2πt). Amostre este sinal com os seguintesintervalos de amostragem: T = 0.1, 0.2, 0.4, 0.5. Diga se, para algum caso, há

“aliasing”.

Exercício 8 – Um PE y(t) é o resultado da modulação em amplitude de umaportadora cos(ω.t + φ), com φ uniformemente distribuído no intervalo ]−π, π],por um PE estacionário em sentido lato x(t) e independente de θ. Será y(t)estacionário? Em que sentido?

Exercício 9 – Considere o sistema discreto representado na figura 1.47.Trata-se dum gerador de sequências pseudo-aleatórias.

a) Verifique que gera sinais periódicos.b) Conte o nº de agrupamentos de cada espécie por período.

c) Calcule a função de autocorrelação.

d) Repita a questão anterior admitindo que cada símbolo é representado porum pulso rectangular.

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Capítulo 2

Operações com sinais

2.1 Introdução

O estudo dos sinais com vista a obter deles determinado tipo de informaçõesenvolve a utilização de uma série de operações que grosseiramente se podemclassificar de acordo com o domínio onde são realizadas: tempo, frequência outempo-frequência. Neste capítulo vamos, preferencialmente, prestar atenção àmanipulação efectuada no domínio do tempo. Começamos com as operaçõesdo tipo morfológico. Em certo tipo de aplicações, torna-se necessário efectuarcomparações entre sinais de forma a medir o grau de semelhança entre eles.Em Telecomunicações essa necessidade surge em múltiplas situações. Nalgumascircunstâncias, interessa, em vez da semelhança entre sinais, medir o grau de

dependência entre valores de um mesmo sinal, para o que se compara esse si-nal com uma sua versão transladada. Isto conduz-nos à noção de correlação.Atendendo à enorme importância, introduzimos também as convoluções lineare circular.

2.2 Operações Morfológicas

Em muitas situações é útil considerar sinais relacionados entre si por meio deuma modificação da variável independente. Por exemplo, na figura 2.1 o sinalx(−t) resulta do sinal x(t) através de uma reflexão em torno do ponto t = 0.

Se o sinal x(t) representar o sinal sonoro obtido ao reproduzir uma fitamagnética num gravador, o sinal x(

−t) corresponde ao que se obteria ao passar

a mesma fita em sentido contrário.Uma outra transformação encontra-se representada na figura 2.2, onde os

dois sinais têm a mesma forma, mas em que o segundo se encontra deslocadono tempo (translacção) x(t − 0, 5).

Há uma outra translação que se verifica quando fazemos uma translaçãolinear a um sinal periódico e que se ilustra na figura 2.3. A figura mostra adiferença entre a translação circular e a translação linear de um sinal de duração

51

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52 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.1: Reflexão

Figura 2.2: Translação linear

finita. Como é natural, se o sinal for periódico, as duas são coincidentes. Natranslação circular verifica-se a igualdade seguinte:

x(t − τ ) = x(t − τ + k.T ) com k ∈ Z

o que não acontece, em geral, na translação linear. Na translação circular há umapermutação dos valores do sinal como se eles estivessem sobre uma circunferênciaque roda de um ângulo igual a τ . Para traduzir esta permutação circular usa-senormalmente a notação seguinte:

x(t − τ + kT ) = x((t − τ )T )

2.2.1 Sinal par - sinal ímpar

Um sinal diz-se par se for semelhante à sua reflexão, em torno da origem:

x(t) = x(−t) (2.1)

Um sinal diz-se ímpar se:

x(t) = −x(−t) (2.2)

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2.2. OPERAÇÕES MORFOLÓGICAS 53

Figura 2.3: Translação linear e circular

Figura 2.4: Sinal par

Figura 2.5: Sinal ímpar

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54 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Decomposição em sinais par e ímpar:

Qualquer função real pode escrever-se na forma

x(t) = x p(t) + xi(t) (2.3)

em que x p(t) e xi(t) são funções par e ímpar dadas, respectivamente, por:

x p(t)∆=

x(t) + x(−t)

2(2.4)

e

xi(t)∆=

x(t) − x(−t)

2(2.5)

Esta decomposição pode ser útil em várias situações, nomeadamente, nocálculo de transformadas.

Figura 2.6: Decomposição par/ímpar da função de Airy representada na faixasuperior

Por outro lado, pode existir paridade relativamente a um eixo paralelo aoeixo vertical, ou a um ponto que não a origem1. Para sinais complexos nãoé difícil obter decomposições idênticas em termos das partes hermiteanas eanti-hermiteanas.

Se se tratar de sinais complexos, as noções anteriores generalizam-se. Se

x(t) = x∗(−t) ∀t (2.6)

os sinais dizem-se hermiteanos, ou

x(t) = −x∗(−t) ∀t (2.7)

caso em que os sinais se dizem anti-hermiteanos. O sinal eiωt = cos(ωt) +i. sen(ωt) é hermiteano.

1Basta fazer uma translação de uma função par ou ímpar.

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2.2. OPERAÇÕES MORFOLÓGICAS 55

Figura 2.7: Amplificação

Figura 2.8: Mudança de escala da função de Airy(acima), g(t/4) (a meio) eg(4t) (abaixo)

2.2.2 Amplificação ou atenuação

y(t) = K.x(t) (2.8)

Se K > 1, há uma amplificação, enquanto que, se K < 1, há uma atenuação.Se K = −1, há uma simetrização ou reflexão relativamente ao eixo horizontal.

2.2.3 Mudança de escalay(t) = x(α.t)

Se |α| > 1 diz-se uma compressão, se |α| < 1 diz-se uma dilatação. Se alémdisto for α < 0, há uma reflexão relativamente ao eixo vertical.

O caso de sinais a tempo discreto merece uma atenção especial. Assim,consideremos o sinal definido por:

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56 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.9: Compressão de um sinal discreto

y(n) = x(nN ) (2.9)

com N natural. O resultado desta operação está ilustrado na figura 2.9, comN = 3. Como se vê, com relativa facilidade, procedeu-se a uma amostragemdos valores do sinal, de 3 em 3, sendo os restantes descartados. A esta operaçãodá-se o nome de decimação2.

Consideremos agora o sinal y(n) que se obtém de x(n) da forma seguinte:

y(n) =

x (n/N ) se n = kN

0 se n = kN k ∈ Z (2.10)

e que se ilustra na figura 2.10. Como se observa, além da efectiva dilatação,houve uma interpolação nula, de forma a garantir que a taxa de amostras semantém constante.

Na prática, usam-se outras transformações como sejam, por exemplo:alisamento (“smoothing”), corte de picos (“clipping”), polaridade (±1), limitação,etc.Há uma categoria de operadores chamados, genericamente, de filtros morfológicos(p. ex., filtros de mediana), que têm sido objecto de estudo recente e cuja apli-cação no processamento de imagens é importantíssima. Na prática, podemaparecer várias destas operações simultaneamente. P. ex. y(t) = x(at − τ ) quepode ser interpretada de duas formas:

a) x(t)→x(t − τ )→x(at − τ ) translação de τ seguida de mudança de escalat→a.t

b) x(t)→x(at)→x[a(t−τ/a)] mudança de escala t→a.t seguida de translaçãode τ /a

2Este termo teve origem no costume romano de, em caso de derrota, matar um de cada 10soldados.

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2.3. COMPARAÇÃO DE SINAIS TIPO ENERGIA 57

Figura 2.10: Dilatação de um sinal discreto

2.3 Comparação de sinais tipo energia

A forma mais intuitiva de fazer a comparação de sinais do tipo energia é dadapela energia do erro no intervalo de existência de ambos os sinais. No casocontínuo, esta medida é

d2(τ ) =

+∞−∞

[x(t) − y(t − τ )]2

dt (2.11)

ou

d2(τ ) = +∞

−∞

[x(t + τ ) − y(t)]2 dt (2.12)

que traduz uma distância entre sinais.Desenvolvendo o quadrado e substituindo no integral, obtém-se

d2(τ ) =

+∞−∞

x2(t + τ )dt +

+∞−∞

y2(t)dt − 2

+∞−∞

x(t + τ )y(t)dt

d2(τ ) = E xx + E yy − 2Rxy(τ ) (2.13)

Rxy(t) =

+∞−∞

x(t + τ )y(τ )dτ (2.14)

O valor da distância depende da função Rxy(t), que, se chama correlação

cruzada. Quanto maior for esta, mais pequena será a distância e vice-versa.Significa que, quanto maior for a correlação, mais semelhantes são os sinais.

Posto que d2(τ ) ≥ 0, teremos Rxy(t) ≤ (E xx + E yy) /2Utilizando a desigualdade de Schwartz:

ba

u(t)v(t)dt

2

≤ ba

|u(t)|2 dt

ba

|v(t)|2 dt

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58 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

com u(t) = x(t + τ ) e v(t) = y(t) tem-se que

|Rxy(t)|2 ≤ E xxE yy (2.15)

O sinal igual verifica-se quando u(t) e v(t) são proporcionais. Generalizandopara sinais complexos, à expressão

Rxy(t) =

+∞−∞

x(t + τ )y∗(τ )dτ (2.16)

com Ryx(t) = R∗xy(−t) dá-se o nome de correlação cruzada ou intercorrelação,

que não é mais do que uma medida da dependência ou da relação entre dois sinaisem instantes diferentes. Quanto maior é esta, mais pequena será a distância evice-versa. Significa que, quanto maior for a correlação, mais semelhantes sãoos sinais.

Note-se que Rxy(0) = E xy (energia cruzada). Observe-se também que

Rxy(t) =

+∞−∞

x(τ )y∗(τ − t)dτ = x(t) ∗ y∗(−t) (2.17)

Se y(t) = x(t), a função correlação cruzada converte-se na função de au-tocorrelação (FA)

Rxx(t) =

+∞−∞

x(t + τ )x∗(τ )dτ (2.18)

De notar queRxx(0) = E xx (Energia do sinal).Da desigualdade de Schwartz, apresentada anteriormente, deduz-se que

|Rxx(t)|2 ≤ E xxE xx = R2xx(0) (2.19)

|Rxx(t)| ≤ Rxx(0) (2.20)

o que significa que a FA tem um máximo na origem. Neste caso o d2(t) é nulo,o que seria de esperar.

No caso discreto, aquela medida é dada por

d2(n) =+∞

m=−∞[x(m) − y(m − n)]2 (2.21)

ou

d2(n) =+

∞m=−∞

[x(m + n) − y(m)]2 (2.22)

Desenvolvendo o quadrado,

[x(m + n) − y(m)]2 = x2(m + n) + y2(m) − 2x(m + n)y(m)

e substituindo no somatório, obtém-se

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2.3. COMPARAÇÃO DE SINAIS TIPO ENERGIA 59

d2(n) =+∞

m=−∞x2(m + n) +

+∞m=−∞

y2(m) − 2+∞

m=−∞x(m + n)y(m)

ou, ainda

d2(n) = E xx + E yy − 2Rxy(n) (2.23)

onde

Rxy(n) =+∞

m=−∞x(m + n)y(m) (2.24)

Que representa a versão discreta da correlação cruzada ou intercorrelação.

Posto que d(n)≥0, teremos Rxy(n)≤ (E xx + E yy) /2. Utilizando a chamadadesigualdade de Schwarz:

ba

u(n)v(n)

2

≤ba

|u(n)|2 ·ba

|v(n)|2

com u(n)≡x(m + n) e v(n)≡y(n), tem-se que

|Rxy(n)|2 ≤ E xx E yy

Para sinais complexos, a intercorrelação escreve-se

Rxy(n) =+∞

m=−∞

x(n + m)y∗(m) =+∞

m=−∞

x(m)y∗(m−

n) (2.25)

Note-se que novamente Rxy(0) = E xy (energia cruzada) e

Ryx(n) = R∗xy(−n) (2.26)

Se x(n) = y(n), obtemos a FA

Rxx(n) =+∞

m=−∞x(n + m)x∗(m) (2.27)

que tem simetria hermiteana:

Rxx(n) = R∗xx(

−n) (2.28)

De notar que Rxx(0) = E xx (Energia do sinal).Da desigualdade de Schwarz, apresentada anteriormente, deduz-se que

|Rxx(n)|2 ≤ E xxE yy = R2xx(0) (2.29)

|Rxx(n)| ≤ Rxx(0) (2.30)

o que significa que a FA de sinais discretos também tem um máximo na origem.

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60 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

−tτ

T 2

ε(τ ) ε(t + τ )

Figura 2.11: Sinais ε(τ ) e ε(t + τ )

2.4 Comparação de sinais tipo potência

2.4.1 Correlação de sinais tipo potência

Se atendermos ao que dissemos anteriormente sobre os sinais tipo potência eà secção anterior, facilmente generalizamos as noções aí introduzidas. Assim,temos, no caso de sinais contínuos, temos

Rxy(t) = limT →∞

1

T

T

x(t + τ )y∗(τ )dτ (2.31)

para a correlação cruzada. Se ambos os sinais forem iguais, obtem-se a funçãode autocorrelação

Rxxy(t) = limT →∞

1

T

T

x(t + τ )x∗(τ )dτ (2.32)

Estas funções têm as mesmas propriedades das análogas dos sinais de energia

finita. Nomeadamente, temos para a função de autocorrelação:

Rxx(0) = P xx e Rxx(t) ≤ Rxx(0)

Exemplos - a) Autocorrelação da função degrau unitário

Tendo em atenção a representação gráfica da figura 2.11 a autocorrelação dodegrau unitário corresponde a:

Rεε(t) = limT →∞

1

T

T 2

−T 2

ε(t + τ )ε(τ )dτ = limT →∞

1

T

T

2+ t

= lim

T →∞T + 2t

2T =

1

2

Exemplos - b) Correlação cruzada de sinusóides

Sejam x(t) = ejω1t e y(t) = ejω2t dois sinais que, como veremos em breve,se chamam sinusóides complexas ou cisóides. A ω1 (e ω2) dá-se o nome defrequência angular. A correlação cruzada Rxy(t) será

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2.4. COMPARAÇÃO DE SINAIS TIPO POTÊNCIA 61

Rxy(t) = limT →∞1

T T 2−T

2

ejω1(t+τ )e−jω2τ dτ =

= ejω1t limT →∞

1

T

T 2

−T 2

ej(ω1−ω2)τ dτ = ejω1t limT →∞

2sen

(ω1 − ω2)T 2

T (ω1 − ω2)

Rxy(t) =

0 se ω1 = ω2

ejω1t se ω1 = ω2

(2.33)

donde se conclui que duas sinusóides de frequências angulares diferentes sãoincorrelacionadas.

No caso de sinais discretos obtemos relações análogas:

Rxy(n) = limN →∞

12N + 1

m=−N

+N x(n + m)y∗(m) (2.34)

com Ryx(n) = R∗xy(−n), para correlação cruzada e

Rxx(n) = limN →∞

1

2N + 1

m=−N

+N x(n + m)x∗(m) (2.35)

com Rxx(n) = R∗xx(−n), para a autocorrelação. Estas noções são importantís-

simas no estudo de processos estocásticos.As suas propriedades são análogas às dos sinais de energia finita. Nomeada-

mente, temos para a função de autocorrelação:

Rxx(0) = P xx e Rxx(n) ≤ Rxx(0)

Exemplos - c) Correlação cruzada de sinusóides discretas

Sejam x(n) = ejω1n e y(n) = ejω2n dois cisóides discretos. A correlação cruzadaRxy(n) será

Rxy(n) = limN →∞

1

2N + 1

N m=−N

ejω1(n+m)e−jω2m =

= ejω1n limN →∞

1

2N + 1

N

m=−N

ej(ω1−ω2)m = ejω1n limN →∞

sen [(ω1 − ω2)(N + 1/2)]

(2N + 1)sen[(ω1 − ω2)/2]

e, finalmente

Rxy(n) =

0 se ω1 = ω2

ejω1n se ω1 = ω2

(2.36)

donde se conclui que duas sinusóides de frequências angulares diferentes sãoincorrelacionadas.

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62 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

2.4.2 A Correlação Circular

As expressões da correlação definidas na secção anterior adquirem uma formaparticular quando aplicadas a sinais periódicos. Vejamos o caso discreto e supo-nhamos que o período vale N : x(n) = x(n + N ). Sem perda de generalidade,podemos admitir que, no cálculo do limite, usamos um número inteiro de perío-dos: M = K.N . Temos:

Rxy(n) = limM →+∞

1

2M + 1

+M m=−M

x(n + m).y∗(m) =

= limK→+∞

1

(2K + 1)N

+K

k=−K

N −1

r=0

x(n + kN + r).y∗(kN + r) =

= limK→+∞

1

(2K + 1)N

+Kk=−K

N −1r=0

x(n + r).y∗(r) =

= limK→+∞

2K + 1

(2K + 1)N

N −1r=0

x(n + r).y∗(r)

donde se conclui que a correlação de dois sinais periódicos é um sinal periódicocom o mesmo período e dado por:

Rxy(n) =1

N

N −1r=0

x(n + r)N .y∗(r) (2.37)

e é chamada correlação circular. De salientar que os limites usados no so-matório não são necessariamente os indicados. Podemos usar qualquer intervalode largura igual (ou múltiplo) ao período. Em 2.37 usámos uma notação espe-cial para indicar a translação circular chamando a atenção ao facto de, quandoefectuarmos o seu cálculo, devemos ter em conta que, se n + r ≥ N, x(n + r)N =x(n + r − N ) devido à periodicidade.

Estas definições estendem-se facilmente ao caso em que os dois sinais nãotêm períodos iguais, desde que sejam comensuráveis. Neste caso, basta tomarcomo período o menor múltiplo comum dos períodos de cada um dos sinais.

Para sinais continuos, define-se também uma correlação circular idênticaà definida para sinais discretos. Porém tem pouco significado e imporatânciaprática pelo que não a estudaremos.

2.4.3 Correlação e Covariância

A comparação entre sinais atrás efectuada levou-nos à noção de correlação que,no entanto, não coincide com a utilizada em certos meios científicos. Vamosabordar a questão introduzindo a outra “correlação”. Antes vamos introduziruma grandeza associada e que também é importante: a covariância (temporal).

Define-se a covariância a partir de:

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2.5. A CONVOLUÇÃO 63

C xy(t) = Rxy(t) − mx.my (2.38)que mostra que se os sinais tiverem média nula as duas grandezas são iguais. Namaior parte das aplicações é conveniente subtrair a média de forma a trabalharsempre com sinais de média nula. Nesta situação, a correlação e a covariânciacoincidem. O valor da covariância na origem coincide com o valor da potência(energia) da componente variável do sinal.

Em certos domínios científicos como a Economia é hábito definir a correlaçãocomo sendo:

xy =C xy(t)

C xy(0)(2.39)

ou seja, a covariância normalizada pelo valor na origem. Embora seja usada emproblemas de estimação não parece ter alguma vantagem evidente sobre C xy(n).Em Engenharia, dá-se-lhe o nome de correlograma. A xy(1) dá-se o nome decoeficiente de correlação.

2.5 A Convolução

2.5.1 Definição

Sejam f (t) e g(t) duas funções de quadrado integrável. Define-se convolução def (t) e g(t) como sendo a função dada por:

h(t) = R

f (t − τ )g(τ ) dτ (2.40)

e representa-se por h(t) = f (t) ∗ g(t).Sejam x(n) e y(n) duas sequências de quadrado somável. Define-se convolu-

ção dex(n) e y(n) como sendo a sequência dada por:

h(n) =+∞

k=−∞x(n − k)y(k) (2.41)

e representa-se abreviadamente por z(n) = x(n) ∗ y(n)

2.5.2 Propriedades da convolução

As propriedades da convolução são muito importantes e simples de deduzir, peloque as deixamos sem demonstração que fica como exercício. As propriedades sãovĺidas quer para sinais em tempo contínuo quer para sinais em tempo discreto.

Linearidade:

x ∗ (y1 + y2) = x ∗ y1 + x ∗ y2 (2.42)

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64 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Comutatividade:

x ∗ y = y ∗ x (2.43)

Translação: Se τ for o operador de translação e se x∗y existir, existe tambémτ x ∗ y e

τ x ∗ y = τ x ∗ y = x ∗ τ y (2.44)

Diferenciação: Seja D o operador de derivação, no caso de sinais em tempo

contínuo

Dx(t) =dx(t)d t

, e de diferença (Dx(n) = x(n) − x(n − 1)), no caso

discreto. Se existir x ∗ y, então D(x ∗ y) existe também e

D(x ∗ y) = Dx ∗ y = x ∗ Dy (2.45)

Associatividade: Se x ∗ y e y ∗ z existirem então:

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (2.46)

Desde que existam ambos os membros.

Elemento neutro: Se existir, o elemento neutro será um sinal, δ, tal que:

x ∗ δ = x (2.47)

Esta “função” é o delta de Dirac, δ(t), no caso contínuo, e o delta de Kro-necker, δ(n), no caso discreto. Adiante serão estudados.

Elemento inverso: Se existir elemento inverso, será um sinal, x−1, tal que:

x ∗ x−1 = δ (2.48)

Mais tarde, veremos como podemos calculá-lo.

Somabilidade: Se x e y forem somáveis, então, x ∗ y é somável.

Duração (suporte): Sejam T 1 (N ) e T 2 (M ) as durações de x e y, respecti-vamente para sinais contínuos e discretos. A duração (suporte) da convoluçãode x e y é igual a T1+T2 no caso dos sinais contínuos e N+M-1 no caso dosdiscretos.

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 65

Atraso e avanço:

z(t) = x(t) ∗ y(t)⇒x(t − a) ∗ y(t − b) = z(t − a − b) (2.49)

Esta propriedade aplica-se de forma semelhante no caso de sinais em tempodiscreto.

Em particular

x ∗ δ(t − a) = x(t − a) t, a ∈ R (2.50)

x ∗ δ(n − ko) = x(n − ko) n, ko ∈ Z (2.51)

Paridade: A convolução de sinais com a mesma paridade é uma função par.Se tiverem diferentes paridades, a convolução é ímpar.

Integração e Acumulação: t−∞

x(τ )d τ = x(t) ∗ ε(t) (2.52)

nk=−∞

x(k) = x(n) ∗ ε(n) (2.53)

Causalidade: A convolução de sinais causais é causal.Uma das características mais interessantes da convolução é o facto de me-

lhorar o “comportamento” dos sinais, na medida em que é mais “lisa” do quecada um dos factores.

2.6 Sobre o cálculo de convoluções e correlações

Atendendo às definições apresentadas atrás, podemos concluir que os cálculosdas convoluções e correlações são semelhantes. Vamos apresentar o caso dasconvoluções salientando que a única diferença relativamente à correlação residena fase I do cálculo abaixo apresentado.

O cáculo de convoluções pode ser esquematizado duma forma simples. Asfases do processo são:

I - Simetrização ou reflexão temporal – substituição de n por −n, estaoperação não deve fazer-se no cálculo de correlações. Operação a realizarapenas sobre um dos sinais.

Para cada ponto:

II - Translação linear,

III - Multiplicação,

IV - Soma.

Finalmente

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66 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

V - Justaposição dos valores obtidos.

Para cada translação, obtem-se o valor de um dos pontos da convolução,pelo que esta se constrói iterativamente, “ponto a ponto”. Frequentemente, aorealizar este cálculo, é possível deduzir o seu resultado para intervalos de tempodeterminados, diminuindo assim o esforço requerido.

Em seguida ilustra-se graficamente o esquema descrito, usando pulsos rec-tangulares e triangulares. Deve ter-se em atenção que, para a maioria dos sinaisde interesse prático, não é possível usar o método gráfico.

O cálculo da correlação Rxy realiza-se de forma parecida. As diferenças são:

• não se efectua a simetrização temporal

• o segundo sinal (y) deve ser previamente conjugado

2.6.1 Cálculo da convolução

Na figura 2.12, ilustra-se o esquema descrito, usando um pulso triangular e umrectangular, contínuos.

Exemplifica-se na figura2.13 a convolução linear de duas sequências de com-primento finito, tomando como referência dois pulsos rectangulares, x(n) e h(n),de comprimento N = 10 e M = 8, respectivamente.

Na figura 2.14 ilustra-se graficamente a sequência de operações conducentesao valor da convolução num dado ponto. y(n) = x(n) * h(n)

Na figura 2.15, apresenta-se a correlação dos dois sinais usados no exemploanterior.

2.6.2 Exemplos de cálculo de convoluçõesExemplo 1 -

Se x(n) for tal que x(n) = 1 para n = 0, 1, 2, 3 e x(n) = 0 para os restantesvalores de n, calcular a convolução de x(n) com ela própria. O esquema dafighura 2.16 mostra o cálculo para 3 valores de n.

Exemplo 2 -

Calcular a correlação dos sinais seguintes, cuja representaão gráfica pode serobservada na figura 2.17:

x(t) = 1T

rect

t − T /2T

h(t) = e−t/toε(t)

Uma vez que a convolução é comutativa

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

T t=0

x(τ )h(t − τ )d τ =

T t=0

x(t − τ )h(τ )d τ

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 67

a b τ

z(τ )

1

c d τ

y(τ ) 1

−b −a τ

z(−τ )

1

t − b t − a τ

z(t − τ )

1I

II

τ

y(τ ).z(t − τ )

III

IV

t

x(t)vx(t)

a + c b + d

Figura 2.12: Convolução de sinais contínuos.

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68 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.13: Convolução linear de dois impulsos rectangulares: (a) cálculo dey(0), (b) cálculo de y(1), (c) cálculo de y(M + N − 2), (d) representação do

resultado final da convolução

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 69

Figura 2.14: Convolução de sinais discretos

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70 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.15: Correlação de sinais discretos

pelo que podemos simetrizar temporalmente x(τ ) ou h(τ ). Em qualquer caso,podem distinguir-se 3 zonas (figura 2.18):

A) Se t < 0, os sinas não se sobrepõem, pelo que a sua multiplicação originaum sinal sempre nulo (situação A da figura 2.18). Portanto, o integral ézero.

y(t) = 0 t < 0

B) No caso em que 0 < t < T , há sobreposição parcial dos dois sinais. Amultiplicação h(t − τ )x(τ ) é um sinal diferente de zero, no intervalo [0, t](situação B da figura 2.18), pelo que

y(t) = t0

1

T e−(t−τ )/to

dτ =toT

1 − e−t/to

0 < t < T

C) Quando t > T os sinais sobrepõem-se em todo o intervalo [0, T ] (situaçãoC da figura 2.18), pelo que o integral de convolução corresponde a

y(t) =

T 0

1

T e−(t−τ )/todτ =

toT

e−t/to

eT/to − 1

t > T

O sinal resultante y(t) está representado na figura 2.19.

Exemplo 3 -

Calcular a convolução de um troço de uma sinusoide e um rectângulo (figura2.20).

x(t) = cos

πt

rect

t

h(t) =

1

T rect

t

T

T /2 > β

Neste exemplo ter-se-ão cinco zonas (figura 2.21).

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 71

Figura 2.16: Cálculo de 3 valores da função de autocorrelação

A) Se t < −β − T /2, os sinas não se sobrepõem, pelo que a sua multiplicaçãoorigina um sinal sempre nulo (situação A da figura 2.21). Portanto, ointegral é zero.

y(t) = 0 t < −β − T /2

B) Se −β < t + T /2 < β, existe uma sobreposição parcial dos dois sinais. Osinal resultante da convolução corresponde a:

y(t) =

t+T/2

−β

1

T cos

πτ

dτ −β − T /2 < t < β + T /2

C) Se t − T /2 < −β e β < t + T /2, existe uma sobreposição total de amboso sinais. O sinal resultante da convolução corresponde a:

y(t) =

β−β

1

T cos

πτ

dτ β − T /2 < t < T/2 − β

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72 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.17: Rectângulo e exponencial

A) B)

C)

Figura 2.18: As três situações do exemplo 2

D) Se −β < t − T /2 < β, os sinais apenas se sobrepõem parcialmente, o queconduz a:

y(t) =

βt−T/2

1

T cos

πτ

dτ T /2 − beta < t < T /2 + β

E) Para valores de t > β +T /2, os sinais não se sobrepõem, pelo que o integralé zero.

y(t) = 0 t > β + T /2

Combinando as rexpressões anteriores obtém-se:

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 73

Figura 2.19: Sinal y(t) obtido no Exemplo 2

Figura 2.20: Sinais usados no Exemplo 3

y(t) =

0 t < −β − T /22β

πT

1 + sen

π(T /2 + t)

−β − T /2 < t < β − T /2

πtβ − T /2 < t < −β + T /2

πT

1 + senπ(T /2

−t)

2β −β + T /2 < t < β + T /2

0 t > β + T /2

Observe-se que a duração de y(t) é a soma das durações de x(t) e h(t).

No caso de sinais discretos há várias alternativas interessantes para o cálculoda convolução, no caso de sinais finitos. Um dos métodos mais conhecido é oda régua deslizante. Neste método, um dos sinais é simetrizado (no tempo)escrito sobre uma régua deslizante que sofre sucessivos deslizamentos em frentedos valores do outro. A soma dos diferentes produtos dá o valor da convoluçãopara o correspondente deslizamento. Vejamos um exemplo para clarificar.

Sejam os sinais:

x(n) =

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5↑

e y(n) =

−1 2 1 3 0 1↑

onde ↑ indica o elemento correspondente ao instante 0.

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74 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

A) B)

C) D)

E)

Figura 2.21: Sinais usados no Exemplo 3

Temos para n = 0

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5↑

1 0 3 1 2 −1↑

⇒ (−1) × 1 + 2 × 0 + (−9) × 3 + 0 × 1 + 1 × 2 + 3 × (−1) = −29

Para n = −2

−1 2

−9 0 1 3

−6

−5

↑1 0 3 1 2 −1

↑⇒ (−1) × 3 + 2 × 1 + (−9) × 2 + 0 × (−1) = −19

Para n = 3

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 75

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5↑1 0 3 1 2 −1

↑⇒ 0 × 1 + 1 × 0 + 3 × 3 + (−6) × 1 + (−5) × 2 = −7

Repetindo o procedimento obtemos o seguinte resultado:

1 −4 12 −19 −4 −29 15 −10 −7 −22↑

−12 −6 −5

É interessante notar que, como esperado, a duração da convolução é dadapor:

8 + 6 − 1 = 13

A convolução tem uma ligação directa com a multiplicação de polinómios.Com efeito, se x(n) e y(n) forem os coeficientes de dois polinómios, a convoluçãorepresenta os coeficientes do polinómio produto dos dois. A relação íntima entrea convolução e a multiplicação é evidenciada no seguinte algoritmo de cálculoque é auto-explicativo:

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5

−1 2 1 3 0 1

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5−3 6 −27 0 3 9 −18 −15

−1 2 −9 0 1 3 −6 −5−2 4 −18 0 2 6 −12 −10

1 −2 9 0 −1 −3 6 5

1 −4 12 19 −4 29 15 −10 −7 −22 −12 −6 −5

Um método alternativo a este consiste em colocar os valores das duas sequên-cias nos lados de um rectângulo e construir uma tabela com os produtos dosnúmeros de cada sequência. A convolução obtém-se somando os valores ao longodas diagonais. Este métoo encontra-se exemplificado na figura 2.22.

Estes métodos podem formular-se matricialmente, dando um esquema muitoútil, inclusive, quando um dos sinais tem duração infinita. Vejamos como seprocede.

Começamos por criar uma matriz derivada de um dos sinais fazendo des-locamentos. Suponhamos é x(n) esse sinal e que tem N valores. Seja M aduração do outro sinal. A matriz deverá ser do tipo (N + M − 1) × M . Sejaz(n) a convolução, representada por um vector z e y o vector correspondente aosegundo sinal. No exemplo acima, temos:

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76 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.22: Cálculo da convolução de sinais discretos usando tabela

X =

−1 0 0 0 0 02 −1 0 0 0 0

−9 2 −1 0 0 00 −9 2 −1 0 01 0 −9 2 −1 03 1 0 −9 2 −1

−6 3 1 0 −9 2−5 −6 3 1 0 −90 −5 −6 3 1 00 0 −5 −6 3 10 0 0 −5 −6 30 0 0 0

−5

−6

0 0 0 0 0 −5

com z = X · y

Como se vê as colunas da matriz são obtidas por deslizamento do vector deum dos sinais. A este tipo de matriz cujos valores ao longo das diagonais serepetem dá-se o nome de matriz de Toeplitz.

2.6.3 A convolução circular

Consideremos, agora, o cálculo da convolução de sinais periódicos. Comecemospor notar que a convolução de funções periódicas não existe, no caso geral,visto o integral que define a convolução não existir. No entanto, se se tratarde funções com o mesmo período, é possível definir uma convolução de forma a

que resulte uma função periódica com o mesmo período. Dá-se-lhe o nome deconvolução circular.

Sejam duas funções, y(t) e z(t), de período T . A convolução circular define-se, no caso contínuo, por:

x(t) = y(t)⊛ z(t) =

T 0

y(τ )z(t − τ )dτ (2.54)

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 77

Figura 2.23: Cálculo da correlação circular

e no caso discreto, por

x(n) = y(n)⊛ z(n) =

N −1

k=0

y(k)z ((n − k)N ) (2.55)

onde (n − k)N = n − k + m.N, m∈Z. Para compreender melhor a convoluçãocircular deve imaginar-se que os sinais são colocadas sobre duas circunferênciasconcêntricas: uma fixa e outra móvel, inscrevendo os valores com a mesmaseparação angular (figura 2.23).

Para efectuar a convolução, basta multiplicar os valores colocados frente afrente e somar3. As diferentes fases do processo são análogas às da convoluçãolinear:

I - simetrização temporal,

II - translação circular4,

III - multiplicação,

IV - soma,

3No caso de sinais de diferentes durações podemos imaginar que se acrescentam zeros paraobter duas sequências com o mesmo comprimento, porque só faz sentido falar de convoluçãocircular de sinais com o mesmo período.

4Equivalente a uma rotação de 2π/N.

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78 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

V - justaposição dos valores obtidos.

Há uma relação entre as duas convoluções, que é fácil de verificar. Suponha-mos que y e z são de suporte limitado a N . A sua convolução linear, z = x ∗ y,tem suporte limitado a 2N − 1. Suponhamos que repetimos x com período N 5.A função periódica obtida coincide com a convolução circular. Por exemplo,consideremos um período de cada um de dois sinais x(n) =

1 −1 −2

e

y(n) = −2 0 1

. A sua convolução linear vale

−2 2 5 −1 −2

.Por outro lado, procedendo como se disse, um período da convolução circular

vale: −3 −3 0

.

Também se pode obter a convolução linear a partir da circular. Para isso,basta acrescentar zeros a cada sequência de forma a obter sinais de duração,pelo menos, igual à duração da convolução. Suponhamos que queremos calculara convolução de dois sinais com durações 8 e 6. Sendo assim, basta acrescentar5 zeros ao primeiro e 7 ao segundo e calcular a convolução circular dos sinaisresultantes. Cada período desta dá-nos a convolução linear.

Vejamos como podemos calcular directamente a convolução circular. Vamos,apenas, apresentar o método matricial. Os outros são facilmente generalizáveis.O procedimento śemelhante ao apresentado anteriormente. A única diferençareside na construção da matriz que é, agora, uma matriz circulante N × N :

X =

1 −2 −1

−1 2 −2−2 −1 1

Trata-se de uma matriz de Toeplitz, visto que os valores ao longo das dia-gonais principais se repetem.Mais tarde, retomaremos o estudo da convolução circular e do seu cálculo

usando a Transformada Discreta de Fourier.

2.6.4 O elemento neutro da convolução

No estudo da convolução, introduzimos várias das suas propriedades. Em parti-cular, verificando-se as propriedades (2.43), (2.46) e (2.47), estamos em presençade um grupo comutativo. Porém, não apresentámos, ainda, o elemento neutro.A solução é simples e é dada pelo símbolo de Kronecker:

δ(n − k) =

1 se n = k0 se n = k

(2.56)

Com efeito x(n) =+∞

k=−∞ x(n − k)δ(k) =+∞

k=−∞ x(k)δ(n − k). Se x(n) =ε(n), tem-se:

5Estamos a provocar um fenómeno de mascaramento ( “aliasing”).

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2.6. SOBRE O CÁLCULO DE CONVOLUÇÕES E CORRELAÇÕES 79

ε(n) =

nk=−∞

ε(k) =

+∞k=0

ε(n − k) (2.57)

donde se conclui queδ(n) = ε(n) − ε(n − 1) (2.58)

Ao sinal resultante da repetição periódica de um delta dá-se o nome depente:

p(n) =+∞

k=−∞δ(n − kN ) (2.59)

De forma análoga, Dirac procurou introduzir uma "função" δ(t − τ ) queobedecesse a relações análogas às relações (2.56) a (2.58),

δ(t) =1

2

d [sgn(t)]

dt(2.60)

onde sgn(t) é a função sinal

sgn(t) =

1 se t > 0

−1 se t < 0(2.61)

e, sendo x(t) uma função complexa de variável real, suficientemente "bem com-portada",

x(t)δ(t − τ ) = x(τ )δ(t − τ ) (2.62)

ex(t) =

+∞−∞

x(τ )δ(t − τ )dτ (2.63)

Em particular,

1 =

+∞−∞

δ(t − τ )dτ (2.64)

Atendendo a (2.64) e, seguindo Dirac, atribuamos a δ(t − τ ) o valor nulopara t = τ . Sendo assim, em t = τ , δ(t − τ ) deve "assumir" o valor +∞:

δ(t − τ ) =

+∞ se t = τ

0 se t = τ (2.65)

Esta "definição" conduz a uma contradição, visto que, segundo ela, δ(t−τ ) =2.δ(t − τ ) e, portanto, atendendo a (2.64) , 1 = 2. Tal facto tem a ver com o"valor num ponto" de uma dada Função Generalizada, que não definiremos.

À função generalizada definida por (2.60) e que goza das propriedades (2.62)a (2.60) chamaremos delta de Dirac ou impulso.

Uma sua primitiva é a função sinal representada na figura 2.25 e que verificaa relação seguinte:

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80 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

Figura 2.24: delta de Dirac

Figura 2.25: Função sinal

sgn(t) = 2.ε(t) − 1 (2.66)

onde ε(t) é a função degrau ou de Heaviside, donde se pode concluir que δ(t),também, pode ser considerada como a derivada de ε(t). A razão de se preferir(2.66) reside no facto de assim se manter a regra da paridade na derivação: aderivada de uma função par é ímpar e vice-versa. Sendo assim, δ(t) deve serconsiderada como sendo par.

2.7 Conclusões

Neste capítulo apresentámos algumas operações sobre sinais e entre sinais. Asmais importantes são a correlação e a convolução extremamente úteis no pro-cessamento de sinais, sobretudo aleatórios.

2.8 Exercícios

Exercício 1 – Qual das seguintes propriedades não é certa para a operaçãode convolução de duas sequências?

a) Se as duas sequências forem de duração finita de N 1 e N 2 amostras, a duraçãoda convolução de ambas é de N 1 + N 2 − 1.

b) A convolução é comutativa e, portanto, o resultado de convolucionar as duassequências será uma função par.

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2.8. EXERCÍCIOS 81

c) A operação de convolução é distributiva, ainda que só em relação à soma.

d) Mesmo que a duração de qualquer das sequências seja infinita, a convoluçãodelas pode ter duração finita.

Exercício 2 – Calcular a convolução dos seguintes pares de sinais.

a) x(n) = αnε(n), h(n) = βnε(n), α ≤ β

x(n) ∗ h(n) =n

k=0 αkβn−k = βnn

k=0 αkβ−k

se α = β → x(n) ∗ h(n) = (n + 1)βnε(n).

se α = β → x(n) ∗ h(n) = βnn

k=0 (α/β)k

= β|n1

−(α/β)n−1

1 − (α/β) =

=βn+1 − αn+1

β − α

b) x(n) = 2nε(−n) h(n) = ε(n)

c) x(n) = (−1)n

[ε(−n) − ε(−n − 8)] h(n) = ε(n) − ε(n − 8)

d) x(n) = 1 para todo o n, h(n) =

12

nn ≥ 0

4n n < 0

e) x(n) = ε(n) − ε(−n) h(n) = 12n n

≥0

4n n < 0

Exercício 3 – Determinar se cada uma das seguintes afirmações ou equações écorrecta, em geral. Demonstrar as que crê que são certas e dar contra-exemplospara as que crê que são falsas. Neste caso corrigi-las, se possível.

a) x(n) ∗ h(n)g(n) = x(n) ∗ h(n) g(n)

b) αnx(n) ∗ αnh(n) = αn x(n) ∗ h(n)c) Se y(n) = x(n) ∗ h(n), então y(2n) = 2x(2n) ∗ h(2n)

a) F b) V c) V

Exercício 4 – Determinar se cada uma das seguintes afirmações ou equações écorrecta, em geral. Demonstrar as que crê que são certas e dar contra-exemplospara as que crê que são falsas. Neste caso corrigi-las, se possível.

a) Considere duas funções de duração finita. Calcule a sua convolução.

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82 CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM SINAIS

b) Repita periodicamente as duas funções. Defina uma convolução para funções

periódicas.c) Compare os resultados das alíneas anteriores e diga se há alguma relação

entre eles.

Exercício 5 – Verificar que a convolução de nε(n) com ela própria é dadapor: (n + 1)n(n − 1)/6. E a autocorrelação?Exercício 6 – Se x(n) = ε(n) − ε(n − 4), calcular x ∗ x ∗ x.Exercício 7 – Calcular a autocorrelação de x(n) do problema anterior.Exercício 8 – Calcule a autocorrelação de y(n) = −x(−n − 1) + x(n), onde

x(n) é o sinal do problema 6 .Exercício 9 – Diga qual é a intercorrelação entre x(n) e y(n) dos dois

problemas anteriores.

Exercício 10 – Repita de forma periódica cada um dos anteriores sinais x ey, e calcule as correspondentes correlações circulares.Exercício 11 –

a) Considere duas funções de duração finita. Calcule a sua convolução.

b) Repita periodicamente as duas funções. Defina uma convolução para funçõesperiódicas.

c) Compare os resultados das alíneas anteriores e diga se há alguma relaçãoentre eles.

d) Verifique

x(t)

h(t)

=

[x(t) ∗ h(t)]

e) Verifique x(t) ∗ ε(t) =

x(t)

Exercício 12 – Mostre que, se y(t) = x(t) ∗ z(t),

a) x(t + τ ) ∗ z(t) = y(t + τ )

b) x(t + τ ) ∗ z(t + ν ) = y(t + τ + ν )

Exercício 13 – Mostre que

a) t.δ(t) = 0

b) se n > 0, tn.δ(t) = 0

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Capítulo 3

Sistemas

3.1 Os sistemas e a sua importância

A Teoria dos Sistemas estuda a modelação matemática de sistemas dinâmicose a análise da resposta destes sistemas, com vista à compreensão do comporta-mento de cada sistema e, em especial, à melhoria do seu desempenho.O estudo dos sistemas, se bem que não de uma forma sistemática e coerente,

já vem de longe. Podemos referir, p.ex. os trabalhos de Arquimedes, de Gali-leu, de Leonardo da Vinci, etc. Contudo, não havia uma base matemática quepermitisse uma boa compreensão do comportamento dos sistemas existentes elevasse ao projecto de novos. Foi no domínio da Mecânica que houve maioresdesenvolvimentos e onde encontramos ideias extremamente interessantes. Por

exemplo: os teares, os moinhos, os barcos, etc.Historicamente o trabalho de Isaac Newton constitui um marco fundamentalno desenvolvimento da Teoria dos Sistemas. Eis alguns aspectos relevantes dotrabalho de Isaac Newton:

• Desenvolveu as leis do movimento

• Definiu claramente a natureza da massa, peso, força, inércia e aceleração

• Descobriu o cálculo diferencial e integral

• Calculou o movimento da Lua (1679)

Do nosso ponto de vista, a formulação do cálculo diferencial e integral ésem dúvida um marco fundamental na Teoria de Sistemas, porque forneceu asferramentas necessárias à compreensão de muitos sistemas em funcionamento eo desenvolvimento de novos, sobretudo a partir de finais do sćulo XIX com oestudo e desenvolvimento de sistemas eléctricos.As Telecomunicações e o Controlo foram, provavelmente, os maiores motores dodesenvolvimento da Teoria de Sistemas. Um problema famoso na história dos

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84 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Figura 3.1: Regulador de Watt

sistemas de controlo automático foi a procura de meios de controlar a velocidadede rotação de um veio. As primeiras tentativas de resolução deste problematerão sido motivadas pelo desejo de controlar a velocidade da mó em moinhosde vento, usados na produção de farinha. Dos diversos métodos experimentadoso mais prometedor consistiu na utilização de um pêndulo cónico rotativo. Estedispositivo foi usado para medir a velocidade de rotação do moinho, as velas domoinho eram enroladas ou libertadas por meio de cordas e poleias, de modo amanter constante a velocidade. Foi, no entanto, a adaptação deste mecanismo à

máquina a vapor, realizada nos laboratórios de James Watt cerca de 1788, quelhe conferiu a fama de que hoje disfruta.O funcionamento do regulador de velocidade centrífugo é simples de explicar.

Suponhamos que o motor está a funcionar no regime pretendido, no instanteem que se lhe aplica uma carga. Nesta altura a velocidade do motor tende adiminuir e as massas do regulador baixam, originando um cone mais fechado. Oângulo entre as massas é utilizado como medida da velocidade de rotação. Pormeio de um sistema de alavancas, a diminuição do ângulo faz aumentar a ali-mentação de vapor ao motor, compensando a velocidade perdida. Note-se que,a fim de que a válvula de admissão de vapor se desloque para uma posição dife-rente da inicial, é necessário que o ângulo entre as massas também seja diferentedo ângulo inicial. Isto faz com que a velocidade de rotação, após a aplicaçãoda carga, não seja exactamente a mesma que o motor tinha inicialmente. Paracompensar completamente a variação de velocidade seria necessário alterar ocomprimento das diferentes alavancas utilizadas no mecanismo de compensa-ção. Outros inventores introduziram posteriormente mecanismos para integraro desvio de velocidade, permitindo o ajuste automático do regulador. Watt, talcomo os moleiros antes dele, era um practicionista, não se envolvendo nos aspec-tos teóricos do regulador. Os primeiros estudos da teoria do controlo terão sidolevados a cabo entre 1673 e 1868. De entre as diversas contribuições destacam-se

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3.1. OS SISTEMAS E A SUA IMPORTÂNCIA 85

as devidas a G. B. Airy, professor matemática e astrónomo. O problema de Airy

consistia no controlo de velocidade, se os seus telescópios pudessem rodar, deforma a compensar a rotação da terra, as estrelas fixas poderiam ser observadasdurante períodos muito mais longos. Utilizou o regulador de pêndulo centrífugoe descobriu que este poderia dar origem a movimentos instáveis (1840). Destemodo, Airy foi o primeiro cientista a discutir o problema da estabilidade emsistemas de controlo e a analisar o sistema utilizando equações diferenciais, in-troduzindo o estudo da dinâmica dos sistemas com retroacção.O primeiro estudo sistemático sobre a estabilidade de sistemas com retroacçãodeve-se a J. C. Maxwell (1868). Maxwell desenvolveu as equações diferenciais doregulador, linearizou-as em torno do ponto de equilíbrio e determinou que a es-tabilidade depende do facto de as soluções de uma certa equação (característica)terem parte real negativa. Em 1877 E. J. Routh desenvolveu um critério quepermite determinar se um dado sistema será, ou não, estável. O interesse deste

critério é tal que, ainda hoje, os engenheiros de controlo aprendem a aplicá-lo.O estudo da equação característica de um sistema permaneceu como a base dateoria do controlo até à invenção do amplificador electrónico realimentado, em1927, nos laboratórios Bell.Paralelamente com estas aplicações em Controlo, desenvolveram-se as aplica-ções em Telecomunicações. Ficou famosa a frase de Samuel Morse que, em1838, enviou através de um telégrafo com 16 km: Attention, the Universe!By kingdoms, right wheel!. Desde então, foi enorme o desenvolvimento dasTelecomonicações que se deveu fundamentalmente à compreensão dos sistemase consequente utilização prática. Longe vão os tempos em que dois relatoresdesportivos se interferiam mutuamente por desconhecimento das característi-cas frequenciais dos sistemas e da manipulação dos sinais. A introdução do

amplificador electrónico tornou possível a realização de ligações telefónicas alongas distâncias. Isto forçou a um estudo mais aprofundado dos sinais e sis-temas envolvidos para o que foi necessário deitar mão a técnicas matemáticasque permitissem uma interpretação correcta dos fenómenos envolvidos na mo-dulação e transmissção. Assim se chegou ao uso das transformadas de Laplacee Fourier. Os problemas tecnológicos associados ao desenvolvimento das comu-nicações telefónicas e da introdução dos amplificadores realimentados vieramrealçar as limitações da teoria de controlo existente na altura, baseada na apli-cação do critério de Routh. Uma vez que os engenheiros de telecomunicações seencontravam muito familiarizados com os conceitos de resposta em frequênciae a matemática dos números complexos, foi esta a nova abordagem seguida.Em 1932 H. Nyquist publicou um artigo descrevendo um método para estu-dar a estabilidade de sistemas com retroacção a partir de uma representaçãográfica da sua resposta em frequência. Em paralelo com o desenvolvimento doamplificador realimentado, o controlo por retroacção de sistemas industriais foiganhando terreno. Nesta área, caracterizada por processos que são simultanea-mente complexos e não-lineares, e apresentando tempos de atraso elevados entreo actuador e os sensores da saída, foram sendo desenvolvidos, de uma forma ex-perimental, controladores conjugando efeitos do tipo Proporcional mais integralmais derivativo - o conhecido controlador PID (1936). Esta metodologia, ba-

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86 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

seada num extenso trabalho experimental, e em que a dinâmica dos sistemas a

controlar era representada por simples modelos linearizados, conduziu ao desen-volvimento de métodos sistemáticos, susceptíveis de aplicação prática e capazesde ajustar adequadamente os parâmetros de controladores PID. A 2ªGuerraMundial proporcionou um grande desenvolvimento aos sistemas de controlo re-alimentados. Durante esta época desenvolveu-se um conjunto de técnicas parao projecto de mecanismos de controlo, ou servo-mecanismos, como viriam a serchamados posteriormente. Simultaneamente, assistiu-se a um incremento nautilização de conceitos ligados aos processos estocáticos que desembocaram naAnálise Espectral em finais dos anos 40 e no estudo cada vez mais aprofundadoda Fala e seu tratamento. Foi o início do Processamento de Sinais Ao longo dadécada de 50, diversos autores voltaram a considerar a abordagem das equa-ções diferenciais como meio da análise de sistemas de controlo. Este trabalhofoi grandemente influenciado pelo desenvolvimento dos computadores digitais,

que permitiram a realização de cálculos impensáveis apenas alguns anos antes.Durante este período verificaram-se grandes avanços na teoria do controlo, no-meadamente na teoria do controlo óptimo, mas os maiores e mais importantesavanços verificaram-se no domínio dos sistemas discretos com a implementaçãoem microprocessadores e computadores. A introdução da FFT foi um marcofundamental. Desde então assistiu-se a um desenvolvimento notável da Teoriade Sistemas, principalmente discretos, e a um incremento no número de apli-cações que passaram a envolver todos os campos da actividade humana, masos mais importantes são, sem sombra de dúvida, as comunicações móveis e asaplicações biomédicas. Aqui temos um conjunto enorme de utilizações que vãodo ECG ao EEG, da Ecografia à Ressonância Magnética, etc

3.2 Noção de Sistema

A noção de sistema é excepcionalmente importante e a sua introdução merecealgum cuidado. Porém, por ora, vamos efectuar uma abordagem simples. Maistarde, procuraremos enquadrar os sistemas num esquema formal mais rigoroso.O termo sistema é usado, na linguagem do dia a dia, para traduzir processosdo tipo acção-reacção. Duma forma genérica, um sistema reage a um estímulode entrada, produzindo um dado comportamento ou produto. Por exemplo, apressão do pé no acelerador de um automóvel altera o estado de movimento, areacção de um ácido com uma base dá origem a um sal e água - trata-se de umsistema químico com 2 entradas e 2 saídas, um armazém recebe encomendase efectua as respectivas vendas - trata-se de um sistema económico/comercial.Um sistema é uma combinação de componentes, actuando em conjunto, paracumprirem um determinado objectivo.

Exemplos:

• Gravador de fita

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3.2. NOÇÃO DE SISTEMA 87

– Componentes

∗ Bobines∗ Motores eléctricos

∗ Fita

– O comportamento do sistema está associado a um conjunto de Gran-dezas físicas

∗ Som∗ Tensão/corrente eléctrica

∗ Velocidade da fita

• Máquina a vapor

– Componentes

∗ Eixo∗ Vapor

∗ Regulador de velocidade

– Grandezas físicas

∗ Consumo de vapor

∗ Velocidade de rotação

• Sistema finaceiro

• Sistema de Comunicações

• Sistema de Transportes

• Sistema Auditivo

• . . .

Figura 3.2: Gravador de fita magnética

Com generalidade, sistema refere-se a um processo físico que gera saídas(produtos acabados, comportamentos desejados, estímulos, etc.) perante deter-minados estímulos de entrada. Do ponto de vista matemático, estes estímulos

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88 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

são representados por sinais e o processo físico subjacente é representado por

um modelo matemático. A contrução do modelo matemático, que deve reflec-tir o comportamento global do processo, é baseada em determinadas hipótesessobre a natureza do processo físico em causa e em determinadas aproximaçõesmatemáticas de forma a tornar o modelo manuseável. O modelo matemáticoobtido torna-se um ente com uma grande generalidade no sentido de que podepassar a ser modelo de um grande número de sistemas com características físicascompletamente diferentes. A este modelo passaremos a chamar, simplesmente,sistema.Com generalidade, define-se sistema como uma aplicação no conjuntodos sinais ou, seja, uma transformação 1 de um sinal x(t) noutro y(t).Seja T [.] um operador que representa simbolicamente tal transformação, então

y(t) = T [x(t)] (3.1)

A x(t) dá-se o nome de entrada ou excitação e a y(t) de saída ou resposta.Um sistema diz-se contínuo/discreto se as suas entradas e saiídas forem sinaiscontínuos/discretos.

Figura 3.3: Sistema

3.3 Propriedades Gerais dos Sistemas

Genericamente, os sistemas podem possuir determinadas características impor-tantes nas aplicações. Vamos descrevê-las em seguida.

• Invariância TemporalNas aplicações do dia a dia, trabalhamos, frequentemente, com sistemascuja estrutura e características físicas ou de comportamento são supostasser constantes ao longo dum dado intervalo de tempo. Este facto leva-nosà definição seguinte:Um sistema é invariante no tempo se a resposta a uma dadaentrada for independente da altura em que ela é aplicada:

T [x(t)] = y(t) ⇒ T [x(t − t0)] = y(t − t0) (3.2)

1mo parece óbvio, devemos admitir que é unívoca, nada se dizendo acerca da sua continui-dade.

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3.3. PROPRIEDADES GERAIS DOS SISTEMAS 89

Exemplo 2 - Integrador

O sistema cujo operador é T [.] =t

−∞[.]dτ é invariante.Com efeito,

y(t) =

t −∞

x(τ )dτ

et

−∞x(t0)dτ =

t−t0 −∞

x(τ )dτ = y(t − t0)

Exemplo 3 - Modulador de amplitude

O sistema cujo operador é T [.] = (.). cos ω0t é variante. Basta notar que:

y(t − to) = x(t − to)cos[ω0(t − to)] = x(t − to)cos ω0t

Exercício 14 –

Estude os sistemas seguintes do ponto de vista da invariância temporal

– y(n) = sen[πx(n)]

– y(n) = n.x(n)

Como parece evidente, a estrita invariância não existe nos sistemas prá-ticos, visto que os parâmetros que definem os sistemas poderem ter flu-tuações ao longo do tempo. No entanto, podemos supôr que, não sendoexcedidos certos limites de tolerância, um grande número de sistemas prá-ticos é invariante.

• CausalidadeDiz-se que um sistema é causal, ou não-antecipativo, se não responde an-tes que chegue a entrada, seja, se a entrada for nula, a saída também oé. Portanto, a saída num dado instante não depende de futuros valoresda entrada. Intuitivamente, causalidade significa que, sem causa, não háefeito. Duma forma mais rigorosa podemos definir causalidade por:

Um sistema diz-se causal sse para duas entradas quaisquer x1(t)e x2(t), com x1(t) = x2(t) para t < t0,

T [x1(t)] = T [x2(t)] t < t0

Se se verificarem estas condições, mas com as desigualdades ao revés, osistema diz-se anti-causal. Se o sistema não for nem causal nem anti-causal diz-se acausal.

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90 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Os sistemas causais são de grande importância, pois todo o sistema, inici-

almente em repouso, trabalhando em tempo real, é causal. Não obstante,os sistemas causais não são os únicos que têm significado e interesse prá-tico. Há exemplos práticos de situações em que o sistema pode utilizarvalores futuros da entrada, p.ex. em :

– Processamento de imagem (ampliação)

– Sinais pregravados : voz, geofísicos, metereológicos, etc.

Assim pois, em processamento de sinais, a causalidade não deve ser umarestrição.

Há uma questão relacionada com a causalidade e que convém ter emmente: a das condições iniciais. Acontece, frequentemente, que, ao "li-

gar"um dado sistema já haja energia acumulada nas suas componentes.Isso significa que poderá aparecer na saída uma componente que não tema ver com a entrada que estamos a inserir no sistema. Sendo assim e deacordo com o que dissemos acima o sistema deverá ser considerado comonão-causal. No entanto e dado que essas condições iniciais são fruto de en-tradas anteriores, devemos considerar que elas não afectam a causalidade,pelo que o sistema deve ser considerado como causal. Porém devemoscalcular separadamente a resposta devida à entrada e a resposta devidaàs condições iniciais.

• EstabilidadeA estabilidade é uma propriedade extremamente importante que assegura

um "funcionamento normal"de um dado sistema. Com efeito, se um dadosistema for instável, o seu comportamento pode tornar-se perigoso, sobre-tudo se está ligado a outros sistemas. A definição mais usual de estabili-dade é a chamada estabilidade BIBO2:

Um sistema é estável se, para toda a entrada limitada, a saida élimitada.

Exemplo 4 - Integrador

O sistema definido por y(n) =

n−∞x(k) não é estável. Com efeito, se x(n)

for a função de Heaviside que úma função limitada, a saída será nǫ(n) quenão é limitada.

Exemplo 5 -

2Bounded Input, Bounded Output

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3.3. PROPRIEDADES GERAIS DOS SISTEMAS 91

O sistema definido por y(n) =n

−∞x(k)2−|k| é estável. Com efeito, se

x(n) for a função de Heaviside que úma função limitada, a saída será

y(n) =n0

2−k = 1−2−(n+1)1−1/2 que é limitada.

• MemóriaUm sistema causal diz-se com memória se a saída no instante t dependerdas entradas e/ou saídas anteriores. De forma análoga se define para ossistemas não-causais.

Exemplo 6 -

O sistema cujo operador é T [.] = (.)2 não tem memória, contrariamente

ao sistema contínuo T [.] = a.(.) + b.(.)′.Os sistemas com memória também se dizem sistemas dinâmicos, contra-riamente aos que não têm memória que se dizem estáticos.

• LinearidadeA linearidade é uma das propriedades mais importantes dos sistemas, em-bora se trate de uma mera simplificação que, no entanto, se revela extre-mamente útil na prática.

Um sistema é linear (SL) se for representado, formalmente, porum operador linear. Isto significa que verifica as propriedadesde aditividade e homogeneidade

y(t) = T [a1x1(t) + a2x2(t)] =

= a1T [x1(t)] + a2T [x2(t)] = a1y1(t) + a2y2(t) (3.3)

Daqui se conclui que num SL, é válido o princípio da sobreposição.

Exemplo 7 -

O sistema contínuo T [.] = d[.]dt

é linear. Com efeito,

d

dt[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1y′(t) + a2y′(t)

Exemplo 8 -

O sistema T [.] = (.)2 não é linear. Com efeito

[a1x1(t) + a2x2(t)]2 = a21x21(t) + a22x2

2(t) + 2a1a2x1(t)x2(t)

e[a1x1(t) + a2x2(t)]2 = a1x2

1(t) + a2x22(t)

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92 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Os SL que mais nos interessam podem exprimir-se como associações de

sistemas simples, sendo chamados sistemas de parâmetros concentrados,e são descritos por equações diferencias/diferenças ordinárias contraria-mente aos de parâmetros distribuidos, descritos por equações às deriva-das/diferenças parciais. Os referidos sistemas lineares (SL) simples são:

Sistemas discretos Sistemas contínuosMultiplicação por constante →a.[.] Multiplicação por constante →a.[.]

Translacção temporal →[.](n ± k) Derivação →d[.]dt

Um sistema diz-se incrementalmente linear se variações na entrada es-tão relacionadas linearmente com variações na saída. Esta noção permitetratar como lineares sistemas com condições iniciais não nulas e, eventu-

almente, fontes internas.Na figura apresentam-se as características de alguns sistemas não lineares,sem memória, encontradas frequentemente em aplicações de Controlo

Figura 3.4: Exemplos de sistemas não linearesEm termos da representação da figura 3.4, um SL é representado por umalinha recta que passa pela origem e um sistema incrementalmente linearpor uma que não passa pela origem.

• DistorçãoUm sistema diz-se sem-distorção se a sua saída for uma réplica amplifi-

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3.3. PROPRIEDADES GERAIS DOS SISTEMAS 93

cada e/ou transladada da entrada:

y(t) = A.x(t − t0) (3.4)

Os sistemas práticos têm distorção, excepto em situações particulares.

• InvertibilidadeUm sistema diz-se invertível sse existir um outro sistema cujooperador, T −1 , é tal que

T −1T [x(t)] = x(t)

A invertibilidade dos sistemas tem muita importância em Telecomuni-cações (p.ex. sistemas de Compressão/Expansão, Igualização, etc), emTeoria dos Sistemas (Identificação), Modelação, etc. Matematicamente e

desde que T [.] seja uma bijecção, existe sistema inverso, porém, esse sis-tema pode ter características que o tornam inútil - p.ex. o sistema inversopode ser instável.

• InterconectabilidadeEm geral, os sistemas podem ser decompostos em subsistemas mais simplesinterconectados. No caso dos sistemas lineares, essa associação resume-sea 3 formas básicas diferentes:

a) série ou cascata É uma associação em a estrada de um sistema é a saída de outro,como se mostra na figura 3.5

Figura 3.5: Associação em série de 2 sistemas

O operador da associação é dado por:

y(t) = T 2 [y1(t)] = T 2 [T 1 [x(t)]] = T [x(t)]

O operador equivalente é:

T = T 2 [T 1 [.]] = T 2T 1

b) paralelo ou derivaçãoNeste caso os sistemas em paralelo têm a mesma entrada e as saídas

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94 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

adicionam-se

y(t) = y1(t) + y2(t) = T 1 [x(t)] + T 2 [x(t)] = T [x(t)]

O operador equivalente é:

T = T 1 + T 2

Figura 3.6: Associação em paralelo

c) rectroacçãoNeste caso saída do sistema dito de malha aberta, T 1, é a entrada dooutro sistema (malah de retroacção) cuja saída se adiciona à entrada

do primeiro

y(t) = T 1 [x(t)] ± T 1T 2 [y(t)]

Portanto, o operador equivalente é dado por:

T = [I ± T 1T 2]−1

T 1

onde I é o operador identidade. No caso de sistemas não lineares,podem existir outras formas de associação.

3.4 Caracterização de Sistemas Lineares

3.4.1 Resposta Impulsional. Propriedades

A importância dos sistemas lineares (SL) nos vários domínios científicos é enorme.Embora se reconheça que, na maior parte das situações correntes, nomeada-mente em Telecomunicações e Sistemas e Controlo, não são os sistemas maiscorrectos, mas podem ser os mais adequados, atendendo aos fins em vista. Hávários motivos que justificam a sua grande utilização:

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3.4. CARACTERIZAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 95

Figura 3.7: Associação em rectroacção

• facilidade de tratamento matemático,

• simplicidade formal,

• fácil implementação,

• bons resultados quando usados convenientemente,

• óptimos auxiliares no estudo de sistemas mais complicados,

• . . .

Vamos, por isso, fazer uma introdução ao estudo destes sistemas.Como vimos, atrás, os SL caracterizam-se pela relação (3.3) que é a traduçãosimultânea de duas propriedades:

• aditividadeT [x1(t) + x2(t)] = T [x1(t)] + T [x2(t)] (3.5)

• homogeneidadeT [ax1(t)] = a [x1(t)] (3.6)

que são as características tradutoras do usual princípio de sobreposição. Anoção de SL é muito rica, de tal forma que pode englobar sistemas que sãoautenticamente patologias sem utilidade prática. A maior parte dos SL que nosinteressam podem ser considerados como associações de subsistemas construí-dos com os elementos simples atrás apresentados. Nesta situação, tais siste-

mas podem ser descritos por uma equação diferencial ou às diferenças (linear).Eventualmente, a ordem pode ser infinita3. Serão estes os sistemas lineares queconsideraremos a partir de agora e que designaremos simplesmente por sistemaslineares. Por razões que se verão, em seguida, estes sistemas também se chamamsistemas convolucionais.No domínio do tempo, os sistemas lineares podem caracterizar-se por:

3Por exemplo, um sistema contínuo tal que T [x(t)] = x(t − t0).

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96 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

• Resposta impulsional

• Equações lineares - diferenciais ou às diferenças

• Variáveis de estado

Consideraremos, por ora, apenas as duas primeiras.A resposta Impulsional (RI), hτ (t) é a resposta do SL no instante t a um impulsoaplicado no instante τ , δ(t − τ ):

hτ (t) = T [δ(t − τ )] (3.7)

Se o sistema for invariante no tempo (SLIT),

hτ (t) = h0(t − τ ) = h(t − τ )

Dado que, como vimos anteriormente, x(t) = x(t) ∗ δ(t), no caso dum SLIT, éfácil mostrar que:

y(t) = x(t) ∗ T [δ(t)] = x(t) ∗ h(t) (3.8)

Portanto, para calcular a resposta dum SLIT dada a entrada, basta efectuar aconvolução desta com a Resposta Impulsional. No que se segue, trabalharemos,apenas, com SLIT, mais tarde, consideraremos o caso dos SL variantes no tempo.As propriedades dos SL podem, agora, ser traduzidas em termos da sua RI.Assim:

• CausalidadeNo caso de SL a causalidade pode exprimir-se na forma seguinte:Se hτ (t) é a resposta de um sistema linear no instante t a um impulso no

instante τ , o sistema será causal sehτ (t) = 0 t < τ

Se o sistema, além de linear, for invariante

h(t − τ ) = 0 t < τ

Exemplo 9 -

O SLIT de Resposta Impulsional h(t) = ǫ(t) é causal.

Se

h(t − τ ) = 0 τ < t,o sistema diz-se anti-causal. Será acausal nos restantes casos.

Exemplo 10 -

O SLIT de resposta Impulsional h(t) = ǫ(−t) é anti-causal, enquanto osistema que tem RI h(t) = e−|t| é acausal.

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3.4. CARACTERIZAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 97

• Estabilidade

A definição de estabilidade atrás apresentada implica que:

Um SLIT é estável se a sua Resposta Impulsional for absoluta-mente integrável/somável

Vamos fazer a demonstração para o caso contínuo. Para o caso discreto,é fácil fazer a prova análoga. Se |x(t)| < M , ∀t (entrada limitada)

|y(t)| =

∞ −∞

x(t − τ )h(τ )dt ≤∞

−∞|x(t − τ )||h(τ )|dτ < M

∞ −∞

|h(τ )|dτ

Logo, para que a saída seja limitada, deve verificar-se∞

−∞|h(τ )|dτ < ∞ (3.9)

que é uma condição suficiente . Pode mostrar-se que esta condição tambémé necessária, contudo não o faremos agora deixando-a para mais tarde.A esta estabilidade também se dá o nome de estabilidade assintóticaou estabilidade restrita. Este nome vem do facto de não poderem serconsiderados como estáveis sistemas para os quais a RI é limitada e o in-tegral/soma do seu módulo ser finito para limites finitos. Está neste casoo integrador/somador. Para incluir estes casos define-se a estabilidade

em sentido lato:

Um sistema diz-se estável se a sua RI for uma função limitadaAI (AS) entre quaisquer limites finitos.

• InvertibilidadeUm SLIT é invertível se existir g(t) tal que

g(t) ∗ h(t) = δ(t)

A função g(t) naquelas condições será respresentada por h−1(t). Por exem-plo, o diferenciador é o sistema inverso do integrador. Que sucederá no

caso inverso? Será integrador o sistema inverso do diferenciador?• Funções próprias

Com as propriedades acabadas de apresentar, podemos tirar uma conclu-são extremamente importante. As exponenciais:

– est, t ∈ R, s ∈ C no caso dos sistemas contínuos

– zn, n ∈ Z, z ∈ C no caso dos sistemas discretos

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98 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

são funções próprias dos SLIT4 Vamos mostrar que tal acontece efectiva-

mente.• Considere-se, então, um SLIT discreto e seja x(n) = zn a entrada do

sistema. A saída será:

y(n) =

∞k=−∞

h(k)zn−k

y(n) = H (z)zn (3.10)

com H (z) dado por:

H (z) =

∞k=−∞h(k)z−

k

(3.11)

• No caso contínuo, obter-se-á:

y(t) =

∞ −∞

h(τ )es(t−τ )dτ

y(t) = H (s)est (3.12)

com

H (s) = ∞ −∞

h(τ )e−sτ dτ (3.13)

A função representada por H apenas depende da Resposta Impulsional do sis-tema e, portanto, serve também como característica do SLIT, chama-se Funçãode Transferência (FT)5 Por outro lado, as expressões anteriores mostramcomo se pode calcular a resposta dum SLIT a uma entrada qualquer: bastaexprimi-la como uma combinação linear de exponenciais. Mais tarde, regressa-remos a esta questão. As expressões (3.11) e (3.13) traduzem respectivamente,as transformadas Z e de Laplace das Respostas Impulsionais que serão es-tudadas mais tarde. Nos casos em que s = iω e z = eiω as FT chamam-se

respostas em frequência e representam as amplitudes complexas das saídasquando as entradas são sisóides complexas de amplitude unitária.

4Com efeito e por defini[c]ão: deve ter-se: f ∗h = a.f , para todas as RI. Isso significa que f deve ser muito "bem comportada", pelo que vamos supôr que é analítica, sendo assim, existee é analítico quase em toda a parte o seu inverso aritmético, donde f ∗ h/f = a, quase emtoda a parte. Então, f (t− τ )/f (t) = g(τ ) e, normalizando f de forma que f (0) = 1, g = 1/f ,donde se conclui que f (t) = f (t − τ ).f (τ ) e, portanto, deve ser uma exponencial.

5Também chamado Operador Linear de Transmissão

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3.5. CARACTERIZAÇÃO POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS OU ÀS DIFERENÇAS 99

3.5 Caracterização por equações diferenciais ou

às diferenças

Como referimos anteriormente, consideramos SL caracterizados por uma equa-ção diferencial ou às diferenças (ED) que estabelece uma relação entrada/saída.Exemplos de sistemas de este tipo são os circuitos RLC, os sistemas mecânicosmassa-mola-atrito. Se forem invariantes no tempo, a equação terá coeficientesconstantes e adopta a forma geral:

N k=0

akDky(t) =M k=0

bkDkx(t) (3.14)

onde D é um operador tal que:

• Dkx(t) = dkx(t)dtk

se o sistema for contínuo

• Dkx(t) = x(t − k) se o sistema for discreto.

A solução da equação (3.14) é da forma

y(t) = yl(t) + y p(t)

onde

• yl(t) é a solução da equação quando a entrada é nula e corresponde à res-posta devida às condições iniciais. Chama-se solução de regime livre.

• y p(t) é a solução particular, correspondente a uma dada entrada. É averdadeira solução causal. Chama-se solução de regime forçado.

O funcionamento linear implica que o sistema tenha inicialmente condições nu-las, ou seja, que não haja energia armazenada no sistema ( sistema em repouso).A resposta yl(t) tem, no entanto, interesse para o estudo do comportamentotransitório do sistema. Este tipo de funcionamento do sistema chama-se regimetransitório e pressupõe um dado instante inicial de entrada em funcionamento.Se admitirmos que a excitação do sistema se deu em t = −∞, obtemos a si-tuação de regime permanente a estudar, mais tarde.A descrição de um sistemamediante equações diferenciais ou às diferenças é, em muitas ocasiões, de difícilmanipulação e resolução, obriga a entrar em considerações sobre a constituição

do sistema, quer dizer, requere o conhecimento dos coeficientes e, finalmente,não é um método experimental de análise de sistemas lineares. Antes de prosse-guir, convém notar que uma equação pode descrever vários sistemas consoanteo estado ou não de repouso, a direcção do "fluir"do tempo e a estabilidade. Asequações (4.15) permitem a obtenção dum esquema chamado forma directa I6

muito útil, como veremos, mais tarde.

6mais tarde, veremos outras

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100 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Figura 3.8: Realização em forma directa I de um SLIT

Esse esquema, representado na figura 3.8, não é mais do que a traduçãográfica da equação usando os sistemas lineares elementares apresentados atrás7.As equações diferenciais ou às diferenças são, no entanto, muito úteis na ob-tenção da função de transferência (FT) do sistema. Para isso, basta ter ematenção o que se afirmou atrás. Faz-se a entrada do sistema ser uma exponen-cial. Atendendo a que a saída também o é, obtem-se com facilidade, usando(3.10) e (3.12):

H (z) =

M k=0

bkz−k

N k=0

akz−k

(3.15)

7supôs-se M=N, se tal não for o caso basta fazer nulos alguns coeficientes.

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3.6. CONVERSÕES ENTRE REPRESENTAÇÕES 101

e

H (s) =

M k=0

bksk

N k=0

aksk(3.16)

donde se conclui que a FT é uma função racional. Mais tarde retomaremosesta questão e veremos como podemos usar a FT no estudo das propriedades dosistema, nomeadamente, o seu comportamento em regime permanente. Comose observa, a FT contém a mesma informação que a ED, pelo que serve paracaracterizar completamente o sistema. No estudo que efectuaremos mais tardea FT será peç fundamental no estudo dos SLIT. Nas representações (3.15) e(3.16) costumamos normalizar a 1 os coeficientes a0 e aN respectivamente, semperda de generalidade.

3.6 Conversões entre representações

Como é natural, podemos ter necessidade de passar de uma representação aoutra. Já vimos como passar da ED para a FT. Passar da FT para a ED ésimples quando se usam as propriedades da transformada Z e Laplace. Maistarde, vamos ver como passar da FT para a RI. Porém, convém saber comopassar da ED para a RI e desta para a ED. Todas estas passagens são relati-vamente simples no caso de sistemas discretos, mas podem ser complicadas nocaso contínuo. A conversão da RI para a FT não é muito interessante, por serdifícil pô-la na forma fraccional. No entanto, já é importante o caso particularda Resposta em Frequência.

Vamos considerar, para já, o caso discreto.

3.6.1 O caso de sistemas discretos

Determinação da resposta impulsional partir da equação às diferenças

Consideremos o caso simples da equação y(n) + a.y(n − 1) = x(n) e façamosx(n) = δn, com condições iniciais nulas. Se o sistema for causal temos y(0) = 1e y(n) = −a.y(n − 1) para n > 0. Então,

y(1) = −a, y(2) = a2, y(3) = −a3, . . .

Se o sistema for anti-causal, temos y(0) = 1 e y(n − 1) = −1/a.y(n) para n < 0.Então,

y(−1) = −1/a,y(−2) = 1/a2, y(−3) = −1/a3 . . .

Em geral, procede-se como neste caso. Faz-se x(n) = δn e calcula-se a saídarecursivamente. Em computador é de muito fácil implementação. Usando aforma geral (3.14)

N k=0

aky(n − k) =M k=0

bkx(n − k)

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102 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

com x(n) = δn e atendendo a que a0 = 1, temos:

y(n) = −N k=1

aky(n − k) + bn se n ≤ M

e

y(n) = −N

k=1

aky(n − k) se n > M

Como se observa, a parte direita da ED só afecta os primeiros M pontos da RI,pelo que se conclui que a parte esquerda, correspondente ao denominador daFT, é determinante nas caracterśticas do sistema.Resultados semelhantes podem ser obtidos a partir da resposta ao degrau queconstitui outra forma de caracterizar um sistema. Para isso vejamos primeiro

a relação entre o impulso e o degrau. Seja rd(n) a resposta ao degrau unitário(função de Heaviside)

rd(n) =

∞−∞

ǫnh(n − k) =

∞0

h(n − k) =

n−∞

h(k)

Logo

rd(n) =

n−∞

h(k)

Como δn = ǫn − ǫn−1,h(n) = rd(n)

−rd(n

−1)

Estas relações são úteis, na prática. Para obter rd(n), faz-se agora x(n) = ǫn eprocede-se como no caso anterior. Obtemos

rd(n) = −N k=1

aky(n − k) +

min(M,n)k=0

bk

Passagem da RI para a ED

Para encontrar a ED a partir da RI, já temos de proceder de forma algo diferente.Reescrevamos (3.14) para este caso particular:

N k=0

akh(n − k) =

M k=0

bkδn−k

Daqui concluimos imediatamente que:

h(n) = −N k=1

akh(n − k) + bn se n ≤ M

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3.6. CONVERSÕES ENTRE REPRESENTAÇÕES 103

ou

bn =N k=0

akh(n − k) se n ≤ M (3.17)

e

h(n) = −N k=1

akh(n − k) se n > M (3.18)

O sistema é fácil de resolver porque a matriz é triangular e, além disso, é umamatriz de Toeplitz8 o que permite uma solução recursiva. Na prática, a existên-cia de solução recursiva alivia o problema do desconhecimento de M e N . Umavez obtida a solução de (3.18), (ai, i = 1, . . . , N ), substituímo-la em (3.17) para

determinar os bn.

3.6.2 O caso de sistemas contínuos

Neste caso, não é simples efectuar algumas das conversões efectuadas no casodiscreto. Vamos aqui considerar apenas o cálculo dos coeficientes que definema ED a partir do conhecimento da RI. Regressemos a (3.16) e tenhamos ematenção (3.13). Podemos escrever:

M

k=0

bksk

N k=0

aksk=

∞ −∞

h(τ )e−sτ dτ =

∞m=0

M msm (3.19)

onde

M m =

∞ −∞

h(τ )τ m

m!dτ

são os chamados momentos de ordem m que podem ser calculados a partir daRI e desempenham aqui um papel idêntico ao da RI discreta nas equações (3.17)e (3.18). Para obtar os coeficientes a e b podemos reescrever (3.19) na forma

M k=0

bkskN k=0

aksk =N k=0

ak

∞m=0

M msk+m (3.20)

8Matriz com valores iguais ao longo das diagonais principais. Se fosse ao longo das secun-dárias, seria chamada de Hankel.

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104 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Por identificação das potências em s de ambos os membros da equação, podemos

escrever, para o caso em que M < N :b0 = a0M 0b1 = a0M 1 + a1M 0b2 = a0M 2 + a1M 1 + a2M 0. . . . . .bM = a0M M + a1M M −1 + a2M M −2 + · · · + aM M 00 = a0M M +1 + a1M M + a2M M −1 + · · · + aM +1M 0. . . . . .0 = a0M N + a1M N −1 + a2M N −2 + · · · + aN M 00 = a0M N +1 + a1M N + a2M N −1 + · · · + aN M 10 = a0M N +2 + a1M N +1 + a2M N + · · · + aN M 2. . . . . .

Com uma mudança de variável l = k+m, podemos reescrever a equação anteriorna forma:

M k=0

bkskN k=0

aksk =∞

m=0

min(m,N )

k=0

akM m−k

sm (3.21)

O que significa que os coeficientes do 2ºmembro são a convolução dos coefi-cientes do denominador e os momentos da RI e que nos leva a 2 sistemas deequãoções semelhantes a (3.17) e (3.18). Deixamos como exercício a obtençãodesses resultados.

3.7 Classificação de sistemas

Retornemos à equação (3.14) e consideremos, por ora o caso discreto. Os inteirosN e M chamam-se ordens do sistema. Se N e M forem não nulos, o sistemachama-se sistema ARMA (autoregressivo-média móvel ou ajustável) 9. Se M =0, o sistema só tem memória das saídas, pelo que se chama Autoregressivo (AR).Se N = 0, o sistema só tem memória das entradas passadas e diz-se Média Móvelou Média Ajustável (MA). Em termos da Função de Transferência e sabendoque um zero ou pólo localizado na origem apenas introduz atraso ou avanço,podemos afirmar que:

• Os sistemas ARMA(N,M) têm N pólos e M zeros

• Os sistemas AR(N) só têm pólos (N).

• Os sistemas MA(M) só têm zeros (M).

Atendendo agora ao facto de o sistema inverso ter uma FT que é a inversa daFT do sistema, podemos afirmar que:

9Quando for necessário especificar as ordens, escreveremos ARMA(N,M).

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3.7. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 105

• Qualquer sistema ARMA tem um equivalente AR(∞) e um MA(∞)

• Qualquer sistema AR(N ) tem um equivalente MA(∞)

• Qualquer sistema MA(M ) tem um equivalente AR(∞)

• O inverso de um sistema AR(∞) pode não ser um ARMA ou um MA deordem finita

• O inverso de um sistema MA(∞) pode não ser um ARMA ou um AR deordem finita.

De notar que estas afirmações não têm em conta as questões ligadas à esta-bilidade. Em geral, o inverso não é estável. Este assunto será tratado maisadiante. Não é difícil verificar que os sistemas AR e ARMA têm uma respostaimpulsional com duração infinita, enquanto the os sistemas MA têm uma RIcom duração finita. São estas razões que levam a que se chame aos primeirossistems IIR (“infinite impulse response”) e FIR (“finite impulse response”) aossegundos. Estes são extremamente importantes e responsáveis por muitas dasrealizações práticas do dia a dia, como sejam as Comunicações Móveis. Comefeito, o facto de terem uma RI finita, portanto uma memória curta faz com quetenham transitórios também curtos. Além disso, há métodos de desenho muitoeficientes que permitem controlar a forma da RF, nomeadamente da fase.Consideraremos, apenas, o caso de SL causais e estáveis. O conhecimento dospólos e zeros define a amplitude (à parte um factor constante) e a fase ( a menosde uma constante ). Por outro lado, dada uma amplitude, pode haver váriasfases para as quais temos um SL causal e estável. As diferentes fases dependemdas posições dos zeros. Se o sistema tiver todos os zeros no interior da circun-

ferência unitária o sistema diz-se de fase mínima e há uma relação entre aamplitude e a fase10. Se o sistema tiver todos os zeros no exterior da circunfe-rência unitária o sistema diz-se de fase máxima. Nos outros casos, diz-se defase mista. Há uma relação entre o tipo de fase e a forma como a resposta aodegrau evolui. Estude esta questão, usando alguns exemplos. A classe dos SLITa que pretence o exemplo usado acima merece uma consideração especial: sãoos SLIT de fase linear. Estes sistemas são os SLIT de resposta impulsiva finitacom os zeros sobre a circunferência unitária. Estude esta questão considerandozeros em posições reversas relativamente à circunferência unitária (zk = 1/zk).O caso dos SLIT contínuos é um algo diferente na medida em que não fazsentido falar de sistemas MA contínuos, pelo facto de serem instáveis. Paramostrar isto, basta considerar o caso em que a entrada é um degrau. Como

sabemos a sua derivada de qualquer ordem é infinta na origem. Isso significaque os SLIT contínuos são sempre IIR. Portanto, podemos fazer as seguintesafirmações relativamente aos sistemas conínuos,facilmente justificáveis:

• para serem estáveis, têm de ter, no máximo tantos zeros quantos pólos.

• para terem inversos estáveis, têm de ter, tantos zeros quantos pólos.

10uma é a transformada de Hilbert da outra.

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106 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

De forma semelhante ao discreto, se definem sistemas de fase:

• mínima, se todos os zeros estiverem no semi-plano complexo esquerdo

• máxima, se todos os zeros estiverem no semi-plano complexo direito

• mista se houver zeros em ambos os semi-planos.

3.8 Conclusões

Apresentámos, neste capítulo, uma abordagem, muito simplificada, da noçãode sistema. Apresentámos as características mais importantes dos sistemas queparticularizámos para os sistemas lineares. Neste caso, definimos resposta im-pulsional e função de transferência através da introdução das exponenciais como

funções próprias destes sistemas. Apresentaram-se os Sistemas ARMA, AR eMA, IIR e FIR.

3.9 Exercícios

Exercício 15 – Considere os seguintes sistemas : 1) y(n) = (a.n + b)x(n);2) y(n) = ay(n − 1) + bx(n) + c; 3) y(n) = x(n). cos(ωn)ǫn quais das seguintesafirmações são correctas?

a) Os sistemas 1 e 3 são lineares

b) Os sistemas 1 e 3 são variantes com o tempo

c) O sistema 3 não é causal

d) Os sistemas 1 e 2 são instáveis

e) Os sistemas 1 e 2 são sempre causais

Exercício 16 –Estude os sistemas definidos pelas relações seguintes no que diz respeito a

linearidade, causalidade, invariância temporal e estabilidade. Quando a variávelé t, o sistema é contínuo; quando é n, é discreto. h representa a RI.

a) y(n) =n+n0

k=n−n0

x(k)

b) y(t) = ax(t) + b

c) y(n) = x(n)cos ωn + x(n − 1)

d) y(n) =n

k=0

x(k)

e) h(n) = ǫn

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3.9. EXERCÍCIOS 107

f) h(n) = 1(n+1)2

ǫn

g) h(n) = e−|n|

h) y(n) = x(n) − 2y(n − 1)

i) y(n) = x(n) − ny(n − 1)

j) y(t) = sen |x(t)|k) y(n) = nx(n)

l) y(t) = x(2t)

m) h(n) = 1(n+1)2

n) y(n) = x(n) − ny(n − 1)o) y(t) = sen |x(t)|

Exercício 17 – Os sistemas descritos por y(n) = a.x(n) + b, y(n) = a.x(n −2)ey(n) = a.x(n)−b.x(n+1) são causais (C), anti-causais(AC) ou acausais (A)?

a) C, C, A b) AC,C,C c) A,C,AC d) A,C,A e) outra

Exercício 18 –Um modulador de amplitude é um sistema tal que:

y(t) = A.x(t).cos(2πf 0t + θ) Mostre que o sistema é linear variante no tempo.

Exercício 19 – Considere um filtro tipo média móvel (MA - média ajustável)A saída deste filtro é a média obtida a partir de M amostras:

y(n) =1

M

M −1k=0

x(n − k)

a) Calcule a RI do filtro.

b) Particularize para M = 5. Se x(n) = cos(2π/5n), qual será a saída?

c) Calcule a resposta do sistema a um pulso rectangular de duração 10.

d) Será invertível?

Exercício 20 –Esboçar um diagrama de blocos ( usando a interconectabilidade e as ope-

rações básicas: multiplicação por constante, somador e atraso) de um sistemadiscreto que sirva para gerar y(n) = ǫ(n)cos(2πf 0n) para uma entrada δ(n).Idem para o seno.

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108 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

Para resolver o problema basta usar 2 relações trigonométricas excepcional-

mente úteis:cos(a ± b) = cos(a). cos(b) ∓ sen(a). sen(b)e sen(a ± b) = sen(a). cos(b) ± cos(a). sen(b)Começa-se por usar a primeira na função cos(2πf 0n):cos(2πf 0n) = cos[2πf 0(n − 1)]cos(2πf 0) − sen [2πf 0(n − 1)]sen(2πf 0)e, semelhantemente:cos[2πf 0(n − 2)] = cos [2πf 0(n − 1)]cos(2πf 0) + sen[2πf 0(n − 1)]sen(2πf 0)Somando membro a membro as duas igualdades, obtem-se:cos(2πf 0n) − 2cos[2πf 0(n − 1)]cos(2πf 0) + cos [2πf 0(n − 2)] = 0Como cos(0) = 1, podemos escrever:

x(n) − 2cos(2πf 0) x(n − 1) + x(n − 2) = δ(n)

Exercício 21 –Considere o sistema causal descrito pela equação seguinte:

y(n) − a.y(n − 1) = x(n) |a| < 1

mostre que a sua RI é dada por: hn = an.ǫ(n) e que a soma dos N primeiros

valores é dada por S = 1−aN

1−a. Mostre que se a = 1, o sistema é um acumulador.

Exercício 22 –Considere um dado SLIT discreto caracterizado pela função de transferência

H (z) = − 1z−1 . A equação às diferenças que caracteriza este SLIT é:

a) y(n) = −x(n) − y(n − 1)

b) y(n) = −x(n − 1) − y(n − 1)

c) y(n) = −x(n − 1) + y(n − 1)

sendo a correspondente resposta impulsional:

a) h(n) = (−1)nǫ(n) para |z| > 1

b) h(n) = ǫ(n) para |z| < 1

c) h(n) = ǫ(n) para |z| > 1

Se a entrada for

∞k=0 = (−1)

k

δ(n − k) qual será a saída?

Exercício 23 –

Seja y(n) =3

k=0

= (−1)kδ(n − k) o sinal de saída de um dado SLIT discreto

causal. Sabe-se que a sua função de transferência é H (z) = z−3.A correspondente resposta impulsional é:

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3.9. EXERCÍCIOS 109

a) h(n) = δ(n + 3)

b) h(n) = ǫ(n + 3)

c) h(n) = ǫ(n − 3)

sendo o sinal de entrada x(n) para que se obtenha y(n) dado:

a) x(n) =3

k=0

(−1)kδ(n + k)

b) x(n) =3

k=0

(−1)kδ(n − k)

c) x(n) = δ(n)

Exercício 24 –Seja um SLIT caracterizado pela seguinte equação às diferenças y(n + 1) −

ay(n) = bx(n) Para |a| > 1, qual das seguintes frases é verdadeira quandoreferida ao sistema?

a) causal e estável

b) não causal e instável

c) causal e instável

d) nenhuma das respostas anteriores

Exercício 25 –Sabendo que se tem à saída de um dado SLIT discreto causal y1(n) = δ(n)+

2ǫ(n − 1) quando a entrada é x1(n) = δ(n) − δ(n − 2), qual será o sinal de saíday2(n) para a entrada x2(n) = δ(n) − δ(n − 1)?

a) y2(n) = ǫ(n)

b) y2(n) = y1(2n)

c) y2(n) = δ(n)

d) nenhuma das respostas anteriores

Exercício 26 –Um PE x(n) de autocorrelação R(n) = δ(n) é aplicado a um SLIT.

a) Exprima a saída y(n) em termos da entrada.

b) Qual o valor médio da saída?

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110 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

c) Qual a autocorrelação da saída?

d) Qual a correlação cruzada entrada/saída?

Exercício 27 –Um sistema linear pode representar-se, no domínio do tempo, por uma

equação às diferenças (3.14). Suponha, para simplificar, que as ordens sãoM = N = 3. A resposta do sistema ao sinal zn, onde z é um complexo e num inteiro quaisquer é dada por y(n) = H (z).zn e onde H (z) é a função detransferência. Que sucederá se o sinal de entrada for zn.ǫ(n)? De que necessitamais para calcular completamente a resposta?Para resolver o problema, multiplique ambos os membros da equação por ǫ(n)que corresponde à sua janela de observação. Fica então com termos do tipox(n

−i).ǫ(n) que tem de pôr na forma x(n

−i).ǫ(n

−i)

a) Mostre que x(n − i).ǫ(n) = x(n − i).ǫ(n − i) +x(k−i)k=0

e faça o mesmo para

y(n − i).ǫ(n − i).

b) Substitua expressões obtidas na ED e obtenha uma nova onde saliente ostermos devidos às condições iniciais.

c) Para especificar completamente a resposta devemos saber os valores iniciaisx(− j) e y(− j) ( j = 1, . . . , i). Uma solução interessante consiste em fazer can-

celar os termos devidos a ambas as condições iniciais, obtendo-se a resposta,no caso concreto que temos:

y(n) = H (z).zn.ǫ(n)

d) Mostre que as condições iniciais satisfaçam a um sistema de equações lineares

Exercício 28 –O objectivo deste problema é verificar a razão pela qual os bancos conce-

dem empréstimos. Para isso considere-se um empréstimo de 100 mil euros quese deve devolver em 30 anos. Cada mês deve devolver-se ao banco uma quotaconstante de p euros. Por outro lado, o banco aplica um dado juro anual sobre

o capital que falta devolver.

a) Se y(n) representar o capital pendente desde que se efectuou o n-ésimo pa-gamento mensal, escrever a equação às diferenças que relaciona o capitalpendente, o juro mensal, r, a quota constante mensal, p, e o capital pen-dente no mês n − 1.

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3.9. EXERCÍCIOS 111

b) Identificar a anterior equação com a equação geral (3.14). Dar o valor de M ,

N , ak , bk e x(n).c) Demonstrar por indução que11

y(n) = (1 + r)ny(0) − (1 + r)n − 1

rpǫ(n)

d) A partir desta expressão calcular a quota mensal constante p necessária paradevolver o empréstimo em 30 anos

e) Calcular a quantidade total que se devolve ao banco nos 30 anos.

Exercício 29 –

Um SLIT é caracterizado pela resposta impulsional indicada como h(t). Seaplica a entrada x(t) ao referido sistema obtendo-se uma resposta y(t).

a) Esboce graficamente a resposta indicando os valores mais relevantes.

b) Será estável o sistema? Justifique.

Figura 3.9: Resposta impulsional e entrada do SLIT do problema 16

11Note que se trata de uma progressão geométrica.

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112 CAPÍTULO 3. SISTEMAS

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Capítulo 4

A transformada Z

4.1 Introdução

Tal como a transformada de Laplace, a transformada Z (TZ) é importantís-sima no estudo dos sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT). Contudo, éadequada ao estudo dos SLIT a tempo discreto. Vamos debruçar-nos essencial-mente sobre as suas propriedades mais úteis nas aplicações.Como é sabido, a resposta, y(n), de um SLITd a uma entrada x(n) é dada pelaconvolução discreta:

y(n) = x(n) ∗ h(n) (4.1)

onde h(n) é a Resposta Impulsional do SLIT. De (4.1) concluímos, facilmente

e de forma análoga à do caso contínuo, que as exponenciais discretas são asfunções próprias dos SLITd. Com efeito, se z ∈ C

x(n) = zn

, a saída será:

y(n) = H (z)zn (4.2)

com

H (z) =

∞−∞

h(n).z−n (4.3)

H (z) é a Função de Transferência (FT) e apenas depende da Resposta Impul-sional do sistema servindo, portanto, como característica do SLIT. Por outrolado, as expressões anteriores mostram como se pode calcular a resposta dumSLIT a uma entrada qualquer: basta exprimi-la como uma combinação linearde exponenciais. Mais tarde, regressaremos a esta questão. Como vimos an-teriormente, no caso em que z = eiω a FT chama-se resposta em frequência erepresenta a amplitude complexa da saída quando a entrada é uma sisóidede amplitude unitária.

113

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114 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

A TZ1 apresentada em (4.3) é também chamada bilateral para distingui-la da

TZ unilateral definida por:

H (z) =∞0

h(n).z−n (4.4)

que é utilizada frequentemente no estudo de sistemas. Notar que a variável k é"muda", ou seja, é uma variável que desaparece uma vez calculado o somatório.A transformada Z converte o sinal x(·), função do "tempo discreto"n (ou, k,m, . . . ), numa função complexa X (), numa variável complexa (frequentemente,usa-se a letra z, mas pode usar-se outra qualquer).Os SLIT discretos mais importantes nas aplicações são descritos por uma Equa-ção às Diferenças da forma:

N i=0

aiy(n − i) =M i=0

bix(n − i) (4.5)

Desta equação obtemos facilmente a função de transferência (FT)

H d(z) =

M m=0 bmz−mN m=0 amz−m

(4.6)

que é uma função racional de z. Mais tarde, retomaremos esta questão e vere-mos como podemos usar a FT no estudo das propriedades do sistema, nomea-damente, o seu comportamento em regime permanente.

É usual representar graficamente, no plano complexo, a localização dos pó-los e dos zeros de uma função daquele tipo. Nesta representação utiliza-seuma cruz "x"para indicar a localização de cada pólo, enquanto que para oszeros, se usa um pequeno círculo "o". A essa representação dá-se o nome dediagrama de pólos e zeros da função. Na figura 4.1 representam-se os pólos ezeros de

X (z) =z3 + 1.1z2 + 0.75z + 0.225

z4 − 0.85z2 + 0.06z + 0.0864

O conceito por detrás da transformada pressupõe que a substituição da fun-ção x(n) por outra X (z) seja de modo a que o seu processamento e as conclusõesque sobre ele sejam tiradas tenham uma equivalência em y(n) (4.2).

Isto pressupõe a existência de um mecanismo de inversão da transformação,

associado a uma relação biunívoca entre o sinal no tempo x(k) e a sua transfor-mada X (z) (4.3).O problema do cálculo da transformada inversa será tratadoadiante.

Em geral, a expressão (4.3) não converge para todos os valores de z ∈ C .Normalmente aquele somatório pode ser calculado apenas numa região do plano

1Em alguns domínios científicos, usa-se z em vez de z−1 e, noutros, é frequentementechamada função geradora e função característica.

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4.1. INTRODUÇÃO 115

Figura 4.1: Diagrama pólos-zeros da função X (z) no exemplo referido

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116 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Figura 4.2: O processamento usando a TZ

complexo a região de convergência (também referida por RC) , a qual é umsubconjunto de C. As condições de existência da TZ são semelhantes às daTransformada de Laplace, com que tem alguma afinidade. Assim,

Se a função h(n) for tal que sejam finitos

0 |

h(n)

|.rn

e −1−∞

|h(n)|.rn+

para r− e r+ reais positivos, existe a TZ e a gama de valores para os quais aquelas séries convergem, define a denominada região de convergência (RC).

Deve ter-se em atenção que esta condição é suficiente, mas não necessária. Ossinais que a verificam não crescem mais rapidamente que uma exponencial:chamam-se sinais de ordem exponencial:

Um sinal discreto, x(n), diz-se de ordem exponencial se existirem N e M , in-teiros e α,β,AeB reais positivos tais que A.αN < |x(n)| < B.βM para n < N e n > M .

Para estes sinais existe a TZ e a RC é uma coroa circular centrada na origemque, em geral, é delimitada por duas circunferências de raios r− e r+ tais quer− < |z| < r+. No entanto, há casos em que a coroa se pode tornar infinita.

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4.1. INTRODUÇÃO 117

Figura 4.3: Utilização da transformada Z

Assim,

• o sinal for direito, a RC é o exterior de uma circunferência centrada na origem ( r+ = ∞): |z| > r−.

• Semelhantemente, se o sinal for esquerdo, a RC é o interior de uma cir-cunferência centrada na origem ( r− = 0): |z| < r+.

• Se se tratar de um pulso, a RC é o plano complexo, eventualmente, com

exclusão da origem. Na RC, a Transformada Z define uma função analí-tica.

De salientar que a RC faz parte da definição de uma dada TZ. Isto significaque podem existir diferentes sinais com a mesma função como TZ, mas diferen-tes RC.Se a região de convergência contiver a circunferência unitária fazendo z = eiω,obtém-se a Transformada de Fourier de sinais a tempo discreto, que designare-mos simplesmente por Transformada de Fourier (TF), a menos que possa haverperigo de confusão. Isto significa que nem todos os sinais com TF têm TZ.Só aqueles para os quais a RC que contém a circunferência unitária e aquela énão-degenerada. Para certos sinais, a RC degenera na circunferência unitária,pelo que não existe a TZ, é o caso das sinusóides ou da função constante.

Exemplo 1 - Calcular a TZ do pulso rectangular

x(n) = ǫ(n) − ǫ(n − 5)

. Temos

X (z) = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + z−4 =1 − z−5

1 − z−1

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118 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Figura 4.4: Regiões de convergência de TZ

sendo a RC todo o plano complexo, excuindo o ponto z = 0

Exemplo 2 - Calcular a TZ da exponencial direita

x(n) = anǫ(n).

Figura 4.5: Exponencial direita com a = 2/3

Como é evidente, é um sinal de ordem exponencial. Temos:

X (z) =∞0

h(n).z−n =1

1 − a.z−1se |a.z−1| < 1 (4.7)

atendendo a que se trata de uma série geométrica de razão az−1, portantoconvergente se o módulo da razão for inferior a 1. Sendo assim, a RC é o

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4.1. INTRODUÇÃO 119

exterior da circunferência definida por |z| > |a|. De acordo com o que se disse

atrás, se |a| < 1, fazendo z = e

, obtemos a TF do sinal x(n) = a

n

ǫ(n). Emparticular, podemos obter a TZ do degrau unitário ǫ(n). Basta fazer a = 1,vindo

T Z [ǫ(n)] =1

1 − z−1se |z| > 1 (4.8)

Figura 4.6: Região de convergência da transformada da exponencial direita coma = 2/3

Exemplo 3 -

Calcular a TZ do sinal x(n) = −ǫ(−n − 1) +12

nǫ(n).

De forma análoga à dos exemplos anteriores, temos

X (z) = −−1∞

z−n +∞0

1

2

n

z−n

=z

z − 1+

1

1 − 12

.z−1

onde a convergência da primeira série impõe que |z| < 1 e a da segunda que|z| > 1/2. Sendo assim, a RC é uma coroa circular centrada na origem edelimitada pelas circunferências de raios 1/2 e 1. Finalmente, podemos escrever:

X (z) =z(2z − 3/2)

(z − 1)(z − 1/2)

Podemos concluir que o sinal x(n) = −ǫ(−n − 1) +12

nǫ(n) não tem TF como

função ordinária, visto a circunferência unitária não pertencer à região de con-vergência.

Exemplo 4 -

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120 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Calcular a TZ do sinal x(n) = − 12−n

ǫ(−n − 1) + 12

nǫ(n).

1

2

−n

ǫ(−n − 1)

=

2z

1 − 2z

para |z| < 1/2, e 1

2

n

ǫ(n)

=

z

z − 2

para |z| > 2. Então, obtém-se:

X (z) =2z

1 − 2z+

z

z − 2

para 1/2 > |z| > 2. Portanto, o sinal x(n) não tem TZ. A sua RC é oconjunto vazio.

Em geral e relembrando o que se disse atrás:

• Se o sinal for lateral direito, a respectiva região de convergência é o exteriorda circunferência, centrada em 0, que passa pelo pólo mais afastado daorigem.

• Se o sinal for lateral esquerdo, a respectiva região de convergênciaé ointerior da circunferência, centrada em 0, que passa pelo pólo mais próximoda origem

• Se o sinal for bilateral, se tiver transformada Z, a sua região de conver-gência será sempre uma coroa circular que pode degenerar no conjuntovazio.

• Se o sinal for de duração finita, a sua região de convergência é o planocomplexo completo, com a possível excepção de z = 0

• A região de convergência da transformada Z de um sinal não contém pólos(todos os pólos se encontram fora da sua RC).

4.2 Propriedades gerais da transformada

As propriedades da TZ são muito úteis quer no cálculo de transformadas, querna sua inversão. Vamos apresentá-las seguidamente. Admitiremos a seguintenotação: X (z) = T Z [x(n)], sendo R a sua RC.

1. Linearidade/homogeneidadeA TZ verifica a propriedade da linearidade/homogeneidade. Com efeito:

T Z [a.x(n) + b.y(n)] = a.X (z) + b.Y (z) (4.9)

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4.2. PROPRIEDADES GERAIS DA TRANSFORMADA 121

Exemplo 5 -

Como aplicação vamos calcular a TZ de cos(ω).ǫ(n) e sen(ω).ǫ(n).Começamos por notar que eiωnǫ(n) = cos(ω).ǫ(n) + isen(ω).ǫ(n), donde,pela linearidade:

T Z [eiωn.ǫ(n)] = T Z [cos(ω).ǫ(n)] + i.TZ [sen(ω).ǫ(n)]

Como

T Z [eiωn.ǫ(n)] =1

1 − eiω.z−1|z| > 1

Obtemos, com facilidade:

1

1 − eiω.z−1=

1 − cos ωz−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2+ i

senω.z−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2

donde se conclui que

T Z [cos(ωn).ǫ(n)] =1 − cos ωz−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2(4.10)

e

T Z [sen(ωn).ǫ(n)] =senω.z−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2(4.11)

"matando dois coelhos com uma cajadada". Como se observa, podemosconsiderar as sinusóides como respostas impulsionais de sistemas com doispólos sobre a circunferência unitária, tendo argumentos iguais a ±ω.Quando usarmos esta propriedade temos de ter em em conta a intersecçãodas RC. Não é difícil verificar que, em geral, a RC será uma coroa circu-lar, eventualmente, degenerada no interior de um círculo ou o seu exterior.

2. Modulação (Mudança de escala em z)

T Z [zn0 x(n)] = X (z−10 z) (4.12)

Se z0 tiver módulo unitário, há apenas uma rotação no plano complexo.

Exemplo 6 -

Se z0 = eiωn , obtemos facilmente a TZ de eiωnǫ(n) a partir de (4.8).

Exemplo 7 -

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122 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Use a mudança de escala em z e as relações 4.10 e 4.11 para mostrar que

T Z [ρn cos(ωn).ǫ(n)] =1 − ρ cos ωz−1

1 − 2ρ cos ω.z−1 + ρ2z−2(4.13)

e

T Z [ρnsen(ωn).ǫ(n)] =ρsenω.z−1

1 − 2ρ cos ω.z−1 + ρ2z−2(4.14)

3. Translacção temporal

T Z [x(n − k)] = z−kX (z), k ∈ Z (4.15)

Portanto, um atraso (ou avanço) no tempo é equivalente a uma multipli-cação por uma potência de z−1, traduzindo-se numa variação da fase, por

adição dum termo linear. A RC é R com exclusão de z = 0 ou z = ∞Para efectuar a demonstração, basta usar a definição (4.3) e efectuar asubstituição m = n − k no somatório.

4. Diferenciação no tempoSe Dx(n) = x(n − 1). Então 2

T Z

[(1 − D)kx(n)]

= [1 − z−1]kX (z) (4.16)

Portanto, diferenças no tempo implicam multiplicações por potências dez no domínio transformado.

Exemplo 8 -

Como aplicação, temos

δn = ǫ(n) − ǫ(n − 1)

[1 − z−1].E (z) = 1

dondeT Z [δn] = 1 (4.17)

5. Derivação no plano complexoEsta propriedade é a dual da anterior e pode obter-se por derivação deF (z), k vezes. Seja T Z [x(n)] = X (z). Então

T Z

(−1)k

(n − 1 + k)!

(n − 1)!x(n)

= zk

dk

dzkX (z) (4.18)

Basta derivar ambos os membros de (4.3) em ordem a z. Adiante faremosaplicação desta propriedade.

2O operador indicado tem o seguinte significado: [1 − D]x(n) = x(n) − x(n − 1), [1 −D]2x(n) = x(n) − 2x(n − 1) + x(n − 2), . . .

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4.2. PROPRIEDADES GERAIS DA TRANSFORMADA 123

6. Convolução temporal

Sejam x(n) e y(n) duas funções cujas TZ são X (z) e Y (z). A sua convo-lução, z(n), tem TZ dada por:

T Z [z(n)] = T Z [x(n) ∗ y(n)] = X (z).Y (z) (4.19)

A demonstração desta propriedade é imediata a partir da definição de TZ.

Exemplo 9 -

Como aplicação, consideremos a função triangular

x(n) =

3 n = 0

2

|n

|= 1

1 |n| = 20 |n| > 2

que corresponde à figura seguinte: Como é fácil de verificar, a sua TZ é

Figura 4.7: Sinal triangular

dada por:

X (z) =z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 1

z2

Esta expressão tem significado para todos os valores de z = 0, pelo que aRC é C 0.Porém, a função triangular acima representada pode ser considerada com

a auto-convolução do rectângulo

r(n) =

1 |n| ≤ 1

0 |n| > 1

cuja TZ vale:

R(z) =z2 + z + 1

z

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124 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

pelo que

X (z) = R(z)

2

A propriedade dual desta é a seguinte:

T Z [x(n)y(n)] =1

2πi

C

X (z/w)Y (w)w−1dw (4.20)

A convolução no domínio da transformada é feita ao longo de uma circun-ferência de raio 1 centrada na origem. Para demonstrar esta propriedadetemos de nos socorrer do integral de inversão que será apresentado maistarde.

7. Acumulação

T Z n−∞

x(k)

= X (z)1 − z−1

(4.21)

A RC contém a intersecção de R com |z| > 1. Trata-se de um casoparticular da transformada da convolução:

n−∞

x(k) = x ∗ u (4.22)

8. CorrelaçãoSejam x(n) e y(n) duas funções cujas TZ são X (z) e Y (z). A sua corre-lação, Rxy(n), tem TZ dada por:

T Z [Rxy(n)] = X (z).Y (z−1) (4.23)

Se os sinais forem complexos, a fórmula (4.23) requer uma pequena alte-ração que se deixa como exercício.

Exemplo 10 -

Se x(n) = anǫ(n) e y(n) = bnǫ(n),

T Z [Rxy(n)] =1

1 − a.z−11

1 − b.z=

Em particular,

T Z [Rxx(n)] =1

1 − a.z−11

1 − a.z=

1

1 + a2 − a.(z + z−1)

9. Reversão temporalA reversão temporal provoca a substituição de z por z−1 e "inversão"daRC:

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4.3. SINAIS CUJAS TRANSFORMADAS SÃO FRACÇÕES SIMPLES 125

Se T Z [x(n)] = X (z) para b < |z| < a, com a, b ∈ R+0 , então,

T Z [x(−n)] = X (z−1)

para 1/a < |z| < 1/b Eventualmente, pode ter-se a = +∞ e/ou b = 0. Nocaso causal, a = +∞ e b > 0; no anti-causal, será a > 0 e b = 0.

Estas propriedades são frequentemente usadas no estudo dos SLIT. Em par-ticular, a aplicação da TZ à equação às diferenças (ED) (4.5) permite-nos obteruma equação algébrica:

Y (z) = H (z).X (z) (4.24)

onde

H (z) =Y (z)

X (z)=

M i=0 biz

−i

N i=0 aiz−i

(4.25)

é a função de transferência do SLIT, sendo o numerador e denominador, res-pectivamente, as TZ das sequências dos coeficientes direitos e esquerdos da ED.Isto mostra que o uso da TZ permite transformar uma ED numa mera equaçãoalgébrica, mais fácil de resolver. Como se observa a FT de um SLITd é umafunção racional de z. Para escrever a ED correspondente a uma dada FT racio-nal, basta escrevê-la na forma (4.25) e aplicar a propriedade da translação. Paraexemplificar, consideremos a transformada de sen(ω)ǫ(n) atrás apresentada:

T Z [sen(ω).ǫ(n)] =senω.z−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2

Tomando-a com a FT de um SLIT, podemos escrever, atendendo a (4.25):

Y (z) =senω.z−1

1 − 2cos ω.z−1 + z−2X (z)

donde 1 − 2cos ω.z−1 + z−2

Y (z) =

senω.z−1

X (z)

Obtemos, então a equação:

y(n) − 2cos ω.y(n − 1) + y(n − 2) = x(n) − senω.x(n − 1) (4.26)

que representa um "oscilador"discreto.

4.3 Sinais cujas transformadas são fracções sim-ples

Consideremos as duas exponenciais e respectivas regiões de covergência. Temos:

∞0

an.z−n =1

1 − a.z−1|z| > |a| (4.27)

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126 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

−1

−∞ an.z−n =1

1 − a.z−1

|z

|<

|a

|(4.28)

resultados a que se chega usando as propriedades da série geométrica. Aquelessinais têm a mesma expressão analítica da TZ, mas diferentes regiões de con-vergência.As fracções dos 2ºmembros de (4.27) e (4.28) são casos particulares de fracçõessimples. Em geral, damos o nome de fracções simples a fracções do tipo

F (z) =1

(1 − a.z−1)n(4.29)

ou do tipo

F (z) =1

(z−

a)n(4.30)

Continuemos com as fracções do tipo (4.29) e tentemos encontrar os sinais deque elas são transformadas. Comecemos pelo caso causal. Vejamos como seprocede passo a passo.

1. Derivemos ambos os membros de (4.27) em ordem a z:

−∞1

nan.z−n−1 =−a.z−2

(1 − a.z−1)2|z| > |a|

donde se obtém

1

nan−1.z−n+1 =1

(1 − a.z−1)2 |z|

>|a|

e, depois de uma mudança de índice, k = n − 1

∞0

(k + 1)ak.z−k =1

(1 − a.z−1)2|z| > |a|

donde se conclui que

T Z [(n + 1)anǫ(n)] =1

(1 − a.z−1)2|z| > |a| (4.31)

2. Continuando, derivemos ambos os membros de (4.31):

−∞1

n(n + 1)an.z−n−1 =−2a.z−2

(1 − a.z−1)3|z| > |a|

donde ∞1

n(n + 1)an−1.z−n+1 =2

(1 − a.z−1)3|z| > |a|

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4.3. SINAIS CUJAS TRANSFORMADAS SÃO FRACÇÕES SIMPLES 127

e, outra vez, depois de uma mudança de índice, k = n − 1,

∞0

(k + 1)(k + 2)ak.z−k =2

(1 − a.z−1)3|z| > |a|

concluindo-se que:

T Z [(n + 1)(n + 2)anǫ(n)] =2

(1 − a.z−1)3|z| > |a| (4.32)

3. Repetindo o processo k vezes, concluimos que, sendo k > 0:

T Z [(n + 1)kanǫ(n)] =k!

(1

−a.z−1)k+1

|z| > |a| (4.33)

onde(α)k = (α)(α + 1)(α + 2) . . . (α + k − 1) (4.34)

com (α)0 = 1 representa o chamado factorial transladado ou símbolo de Pochhammer.A relação (4.33) é perfeitamente geral e, se usada reversamente, mostracomo podemos obter a TZ inversa de uma fracção simples de ordem k.

4. Escolhendo a região interna, obtemos, a partir de (4.28)

−1−∞

nan.z−n−1 =−a.z−2

1 − a.z−1|z| < |a|

e−

−1−∞

nan−1.z−n+1 =1

(1 − a.z−1)2|z| < |a|

e, depois de uma mudança de índice, k = n − 1 dá

−−2−∞

(k + 1)ak.z−k =1

(1 − a.z−1)2|z| < |a|

donde,

T Z [−(n + 1)anǫ(−n − 2)] =1

(1

−a.z−1)2

|z| < |a| (4.35)

5. Para obter resultados semelhantes aos obtidos atrás no caso causal repete-se o procedimento. Não vamos fazer todos os passos acima, limitando-nosa indicar o resultado geral:

T Z [−(n + 1)kanǫ(−n − k − 1)] =1

(1 − a.z−1)k+1|z| < |a| (4.36)

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128 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

6. Para o caso das fracções simples do tipo (4.28), começamos por notar que:

1

(1 − a.z−1)k+1=

zk+1

(z − a)k+1

donde, atendendo ao teorema da translação, obtemos de (4.33):

T Z

(n − k)kan−k−1ǫ(n − k − 1)

=k!

(z − a)k+1|z| > |a| (4.37)

Em particular, para k = 0, obtemos:

T Z

an−1ǫ(n − 1)

=1

z − a|z| > |a|

7. De (4.36), vem:

T Z −(n − k)kan−k−1ǫ(−n)

=

k!

(z − a)k+1|z| < |a| (4.38)

Para k = 0, vem:

T Z −an−1ǫ(−n)

=

1

z − a|z| < |a|

Nota muito importante:todas as relações acabadas de apresentar são válidas para qualquervalor de a, real ou complexo.

Com (4.33) e (4.37) ou (4.36) e (4.38), podemos efectuar a inversão de trans-formadas racionais, nomeadamente, funções de transferência. Para este casoparticular, os resultados acima apresentados permitem-nos extrair algumas con-clusões relativamente à influência dos pólos na resposta no tempo:

• Quanto mais perto da circunferência unitária estiverem os pólos, maislento é o decaimento da RI.

• No caso limite de os pólos estarem sobre a circunferência, a RI não tendepara zero.

– Ordem do pólo superior a 1 - cresce indefinidamente.– Ordem do pólo igual a 1

∗ mantém-se constante, se o pólo for igual a 1

∗ oscila, se o pólo for complexo

Na figura seguinte ilustramos estas situações com os pólos em 1/4, −1/3, 1/2, −1.

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4.4. INVERSÃO DA TZ 129

Figura 4.8: Respostas impulsionais correspondentes a fracções simples com pólosem 1/4, −1/3, 1/2, −1

4.4 Inversão da TZ

4.4.1 Integral de Inversão

3

A TZ inversa obtem-se efectuando o cálculo de um integral de inversão:

x(n) =1

2πi

C

X (z)zn−1dz (4.39)

onde C é uma circunferência centrada na origem localizada na RC da trans-formada. Para calcular a transformada inversa, no caso geral, necessitamos decalcular o integral em (4.39). No entanto, a maior parte dos casos encontradosna prática não necessitam de tal procedimento. Podemos usar a decomposiçãoem fracções simples ou em série da McLaurin. Porém, vamos mostrar comose pode usar o integral de inversão. O cálculo usa o teorema de Cauchy dasfunções de variável complexa que diz que

x(n) é igual à soma dos resíduos de X (z)zn

−1 correspondentes aos

pólos no interior da região delimitada pelo contorno C .

Além dos pólos de X (z) temos de considerar o pólo de ordem n − 1 quandon ≤ 0. Se representarmos por p um pólo genérico de ordem m de X (z) o resíduo

3Esta secção pode ser saltada numa primeira leitura se apenas estivermos em aplicaçõesque envolvam função de transferência racionais

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130 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

correspondente será dado por:

Res p(n) =1

(m − 1)!dm

dzm

(z − p)X (z)zn−1 |z= p (4.40)

Se n ≤ 0 temos que juntar o termo correspondente ao pólo na origem. Paran = 0, esse resíduo vale:

Res0(0) = X (0)

Para n < 0, é dado por

Res0(n) =1

|n|!d|n|

dz|n|[X (z)] |z=0 (4.41)

Há um facto a ter em conta neste tipo de cálculo:

Quando a função integranda é racional com um grau do denomina-dor superior em, pelo menos, duas unidades ao do numerador e todosos pólos se encontram no interior da região delimitada pelo contornode integração, o somatório dos resíduos é zero.

Exemplo 11 -

Seja X (z) = z(z−0.75)(z+0.5)

para |z| > 0.75. Temos uma função integrandacom 2 ou 3 pólos, consoante o valor da variável independente n e a região deconvergência escolhida. Assim, no nosso caso, temos três situações. Seja r oraio da circunferência contorno de integração.

1. Solução causalA RC definida por |z| > 0.75. Portanto devemos escolher um r maior que0.75. Como os pólos são simples, obtemos imediatamente:

x(n) = (4/5)[0.75n − (−0.5)n] ǫ(n)

2. Solução anti-causalA RC definida por |z| < 0.5. Portanto devemos escolher um r menor que0.5. Neste caso, temos, para n ≤ 0 um pólo na origem cuja multiplicidadeé igual a |n|. Não é difícil verificar que para n = 0, o resíduo vale: −8/3.Os casos em que n < 0 envolvrm derivadas de X (z), pelo que são traba-lhosos. Podemos evitar este trabalho fazendo uma mudança de variável

no integral z = 1/w de forma que

(a) a circunferência de raio menor que 0.5 é transformada noutra de raiomaior que 2 e descrita no sentido inverso

(b) passamos a ter 2 pólos no interior da circunferência em 4/3 e −2

Sendo assim passamos a um procedimento semelhante ao 1ºcaso.

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4.4. INVERSÃO DA TZ 131

3. Solução bilateral

Esta solução corresponde a escolher uma circunferência de raio 0.5 < r <0.75. Como é evidente, resultado final é a soma das soluções: causal,correspondente ao pólo em −0.5 e a anti-causal, correspondente ao póloem 0.75.

4.4.2 Inversão por decomposição polinómio + fracções sim-ples

Como vimos atrás, as FT que nos interessam têm a forma4

H d(z) =

M m=0 bmz−m

N m=0 amz−m

Sem perda de generalidade podemos fazer a0 = 1. Duma forma perfeita-mente geral, podemos decompor a FT anterior na soma de um polinómio e umafracção própria, funções de z−1:

H d(z) =M −N +1m=0

γ mz−m +

N −1m=0 βmz−mN m=0 amz−m

(4.42)

O caso do polinómio é extremamente simples e resolve-se por mera inspecçãovisual.

X (z) =

M −N +1

m=0

γ mz−m ⇒ x(n) =

γ n para 0 ≤ n ≤ M − N + 1

0 para 0 < n e n > M − N + 1(4.43)

A parte fraccionária pode sempre decompôr-se numa combinação linear de frac-ções simples:

Q(z) =

N i=1

mij=1

aij

(1 − piz−1)j(4.44)

para z no interior da RC. Fazendo K =N 1

mn,

Q(z) = zKN i=1

mij=1

aij

(z − pi)j(4.45)

O termo zK será usado apenas no final da decomposição. Os números na-turais mi nas expressões acima são as ordens dos pólos. Sendo assim, sempreque possamos decompôr uma dada TZ na soma de um polinómio em z ou z−1

com uma fracção própria, a inversão, embora trabalhosa, é relativamente sim-ples atendendo aos resultados apresentados atrás. Convém referir que nas duas

4Obviamente que pode ser função de z em vez de z−1. Todos os resultados obtidos a partirdaqui são facilmente convertíveis para este caso

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132 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

expressões (4.44) e (4.45) está implícita a condição de Q(z) ser uma fracção

própria. Para inverter Q(z) basta-nos saber inverter cada fracção simples dotipo indicado na secção anterior.

Exemplo 12 -

Suponhamos que uma dada TZ tem 2 zeros nos pontos z = ±i e 3 pólos nospontos z = −0, 9 e 2.e±iθ, θ ∈ ]−π, π]:

H (z) =(z − j).(z + j)

(z − 2.e−iθ).(z − 2.eiθ).(z + 0.9)

A decomposição em fracções simples é dada por5:

H (z) =

A

z − 2.eiθ . +

A∗

z − 2.e−iθ . +

1

z + 0.9

As 2 primeiras fracções têm como RC as regiões definidas por: |z| > 2 e |z| < 26.A última tem como RC |z| > 0.9 e |z| < 0.9. Isto significa que a função H (z)representa uma dada TZ se e só se lhe atribuirmos uma dada RC. Como temos 3RC possíveis, há três sinais diferentes cuja TZ é H (z):

1. Região A: RC = z ∈ C : |z| < 0.9 ⇒ xA(n), sinal esquerdo,

2. Região B: RC = z ∈ C : 0.9 < |z| < 2 ⇒ xB(n), sinal ambidextro,

3. Região C: RC = z ∈ C : |z| > 2 ⇒ xC (n), sinal direito.

Em apêndice, apresentamos os métodos usualmente indicados para decomporQ(z) em fracções simples e um método expedito que não necessita de derivaçõese que pode ser facilmente implementado em computador. Os coeficientes A e C são dados por:

A =4e−i2θ + 1

4isen(θ)(2e−iθ + 0.9)e C =

0.92 + 1

(0.9 − 2e−iθ)(0.9 − 2eiθ)=

0.81 + 1

0.81 − 4

Em particular, para θ = π/4, obtemos: A = 0.6647.e−i0.4434πden e C = 0.5117.Com estes valores e usando (4.37) e (4.38), os sistemas causal e anti-causal serãoinstáveis, a resposta correspondente ao sistema acausal estável será dada por:

hn = −A2

n

−1

e

i(n

−1)π/4

ǫ(−n) − A ∗ 2

n

−1

e−i(n

−1)π/4

ǫ(−n) + C 0.9

n

−1

ǫ(n)

Os dois primeiros termos podem combinar-se dando uma sinusóide real.

Exemplo 13 -

5Usámos já o facto de que constantes correspondentes a pólos complexos conjugados sãoconjugadas.

6Rigorosamente, deveríamos escrever RC = z ∈ C : |z| < 2

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4.4. INVERSÃO DA TZ 133

Considere-se o sinal com TZ

X (z) = 3 − 56z−1

(1 − 14z−1)(1 − 1

3z−1)

com RC: z > 13

.Para fazer desaparecer os termos em z−1 , comece-se por multiplicar o numera-dor e o denominador de X (z) por z2 , resultando

X (z) = z3z − 5

6

(z − 14)(z − 1

3)

O termo z que foi deixado em evidência será útil mais adiante. Utilizandoum qualquer método de decomposição em fracções simples (ver apêndice B), aexpressão anterior pode-se escrever com a forma

X (z) = z

1

z − 14

+2

z − 13

=z

z − 14

+2z

z − 13

=1

1 − 14

z−1+

2

1 − 13

z−1

Agora, a inversão é imediata. Basta usar (4.7) para obter

x(n) =

1

4

n

+ 2

1

3

nǫ(n)

Deixamos como exercício obter as transformadas inversas com as outras RC.

4.4.3 Inversão por desenvolvimento em série

O método de inversão por desenvolvimento em série é menos geral que o anterior,mas é muito útil em situações em que só temos uma ou duas soluções: causale/ou anti-causal. Como parece evidente, consiste em obter o desenvolvimentoem série de potências de z−1 ou z.

Exemplo 14 -

Considere o sinal cuja transformada é

X (z) =z5 + 2z4

−3z2

−2z + 1

z3

cuja RC é |z| > 0 X (z) pode escrever-se na forma

X (z) = z2 + 2z − 3z−1 − 2z−2 + z−3

Invertendo termo a termo, obtemos

x(n) = δ(n + 2) + 2δ(n + 1) − 3δ(n − 1) − 2δ(n − 2) + δ(n − 3)

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134 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Exemplo 15 -

Seja H (z) dada por

H (z) =1

1 − z2

Se |z| < 1, temos

H (z) =

∞0

z2n =0

−∞z−2n

donde se conclui que

h(n) = 1 se n par ≤ 0

0 se n ímpar ou n par > 0

De forma semelhante, se |z| > 1, temos

H (z) = −z−2∞0

z−2n =

∞1

z−2n

donde se conclui que

h(n) =

−1 se n par ≥ 2

0 se n ímpar ou n par ≤ 0

Exemplo 16 -

Seja X (z) = e1/z para |z| > 0. Atendendo a que

X (z) =∞0

1

n!z−n

conclui-se imediatamente que

x(n) =1

n!ǫ(n)

4.5 Conclusões

Fizemos uma breve apresentação da transformada Z e das suas propriedadesmais importantes. Mais tarde, estudaremos a sua aplicação ao estudo dos siste-mas discretos lineares invariantes no tempo. Vimos como se calculam as trans-formadas e estudámos a correspondente inversão.

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4.6. EXERCÍCIOS 135

4.6 Exercícios

Exercício 30 – Deduza as relações (4.31, 4.32, 4.33 e 4.35) por derivação de(4.29 e 4.30) em ordem a a.Exercício 31 – Deduza as relações (4.10 e 4.11) directamente, isto é, subs-

tituindo as funções sen e cos pelas suas expressões dadas pelas fórmulas deEuler.Exercício 32 – A partir do exercício anterior obtenha as TZ das funções sen

e cos anti-causais.Exercício 33 – Considere o sinal representado na figura seguinte x(k) =

−akǫ(−n − 1) onde a é um número complexo qualquer. Mostre que a sua TZ édada por X (z) = z

z−a para |z| > |a|

Exercício 34 – Considere agora o sinal u(k) = 0.5kǫ(k) + 0.87k cos π/4kǫ(k).

Mostre que a sua TZ é dada por X (z) =z

z−0.5 +z(z

−0.615)

(z−0.615)2+0.6152 com a RCrepresentada na figura seguinte.

Exercício 35 – Calcule a TZ do sinal x(n) = 1(−n)!

ǫ(−n). E se for x(n) =(−1)n(−n)!

ǫ(−n) Indique as respectivas RC.

Exercício 36 – Mostre que a TZ do sinal x(n) = 3(1/2)nǫ(n) + 2(1/3)nǫ(n)

é dada por: 30z2−12z6z2−5z+1

. Qual é a RC?

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136 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

Exercício 37 – Calcule todos os sinais cuja TZ é dada por:

Q(z) = 1 + 394z − 1

+ 120(z − 1)2

− 378z − 2

+ 360(z − 2)2

Exercício 38 – Repita o problema anterior para

Q(z) = 1 +394

1 − z−1+

120

(1 − z−1)2− 378

1 − 2z−1+

360

(1 − 2z−1)2

Exercício 39 – Determine a transformada Z do sinal x(k) = e−akǫ(k − 2)usando o teorema da translacção. Note que ak = ak + 2a − 2aExercício 40 – Calcule a TZ dos sinais x(k) = e−|k| e x(k) = 0, 8−kǫ(k) +

0, 5kǫ(−k)

Exercício 41 – Calcule a TZ inversa de X (z) = ez2

Exercício 42 – Calcule as TZ inversas de:

1. X 1(z) = z3 − 1

2. X 2(z) = 1 − z+1(z−0.5) para |z| > 0.5

3. X 3(z) = 2z2−4z+2z(z−1) para |z| > 1

h1(k) = δ(k + 3) − δ(k)

h2(k) = −1.50.5k−1ǫ(k − 1)

h3(k) = 2δ(k) − 2δ(k)

Exercício 43 – Calcule as TZ inversas de:

1. X (z) = 1z4−1

2. X (z) = 1(z+0.9)3(z−0.5)

3. X (z) = z3−z2+z−1(z+0.9)3

4. X (z) = ez + e1/z

Exercício 44 – Mostre que

T Z [

1

n.x(n)ǫ(n − 1) =

z

X (u)u−1

du

e

T Z [1

n.x(n + 1)ǫ(n − 2) =

∞ z

X (u)du

Quais as RC?

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4.6. EXERCÍCIOS 137

Exercício 45 – Mostre que

T Z

x(n/k) se n for múltiplo de k0 se n não for múltiplo de k

= X (zk)

Exercício 46 –Considere todos as TZ de sinais causais calculadas acima. A partir delas

obtenha as TZ correspondentes aos casos anti-causais

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138 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMADA Z

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Capítulo 5

A série de Fourier em tempo

discreto

5.1 As funções periódicas como vectores

As sinusóides discretas foram estudadas em capítulo anterior. Como então sefrisou, há uma certa diferenç de comportamento quando comparadas com as si-nusóides contínuas. Tal como as contínuas, não é difícil mostrar que o conjuntodas funções periódicas discretas com o mesmo período é um espaço vectorial.Com efeito,

1. A soma de duas quaisquer funções periódicas com o mesmo período é umafunção periódica com o mesmo período.

2. A multiplicação por uma constante não altera o carácter periódico.

3. Existe elemento neutro: a função constante.

4. Existe elemento inverso: à parte uma constante, é o simétrico.

Neste espaço vectorial podemos definir produto interno (x|y) de dois sinais pe-riódicos por:

(x|y) =1

N

N

x(n).y∗(n) (5.1)

onde a soma é feita ao longo de um período, N . Com estas definições, verifica-mos, com facilidade, que as harmónicas são sinais ortogonais. Com efeito, sejamxk(n) = ei

2kπN

n e xm(n) = ei2mπN

n duas sinusóides harmonicamente relacionadas.O seu produto interno é dado por:

(x|y) =1

N

N −1n=0

ei2(k−m)π

Nn

139

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140 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Atendendo a que a expressão acima representa a soma dos N primeiros termos

de uma progressão geométrica, obtemos

(x|y) =1

N

1 − ei2(k−m)π

1 − ei2(k−m)π

N

=

1 k = m

0 k = m

que mostra que as sinusóides harmónicas discretas são ortogonais. Contraria-mente ao caso contínuo a soma de sinais periódicos de períodos diferentes dásempre um sinal periódico, porque os períodos são sempre comensuráveis. Noentanto, se somarmos dois sinais com períodos, N 1 e N 2, o sinal resultantepode não ter um período igual ao menor múltiplo comum dos dois períodos.Consideremos o exemplo seguinte:

Exemplo 1 - Soma de sinais periódicos

x = [. . . 2, 4, 4, 3, 3, 5, . . . ]

de período 6

y = [. . . 0, 0, 0, 3, 3, −2, 1, 1, 1, 4, −1, −12, 2, 2, . . . ]

de período 15 A sua soma tem período 10 e é dada por:

z = [. . . 2, 4, 4, 6, 6, 3, 3, 5, 5, 7 . . . ]

O período correcto é dado pelo quociente entre o menor múltiplo comum dosperíodos e um valor d que divide o produto dos factores comuns de N 1 e N 2.O valor limite inferior do período da soma é dado pelo quociente entre o menormúltiplo comum dos períodos e o seu máximo divisor comum. Para exemplificar,pode mostrar-se que, somando sinais com períodos 36 e 225 podem obter-se

sinais com períodos iguais a 100, 300, ou 900. Esta questão não tem muitaimportância prática, porque, em geral, podemos trabalhar com um múltiploqualquer do período. Por outro lado, o problema inverso é mais importante:dado um sinal periódico qualquer, como podemos decompô-lo? A resposta aesta pergunta exige o conhecimento das funções de base sobre as quais se efectuaa decomposição. Vejamos um exemplo.

Exemplo 2 - Soma de 2 sinais periódicos sinusoidais

Tome-se o sinal sinusoidal x1(k) = 1, 71 cos(4π/k), representado na figura5.1 com os vcírculos "ocos". Este sinal é periódico e o seu período fundamental éN = 8. Considere-se agora uma outra sinusóide com o mesmo período, x2(k) =0, 293 cos(3π/4k), a qual se representa na figura 5.1 com os círculos "cheios".Ao adicionar ambas as sinusóides obtém-se o sinal da figura 5.2, o qual é umsinal periódico triangular, significativamente diferente das sinusóides que lhederam origem.

Claro que a forma do sinal da figura 5.2 foi conseguida por meio de umaescolha criteriosa das parcelas a utilizar, mas o resultado assim obtido podeser generalizado para qualquer sinal periódico discreto - um sinal periódico dis-creto pode ser construído como uma combinação linear de sinais sinusoidais (umnúmero finito).

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5.2. ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS EM TEMPO DISCRETO141

Figura 5.1: Sinais sinusoidais de período 8. O sinal x1 está representado porsímbolos a branco, o sinal x2 está representado por símbolos a negro.

Figura 5.2: Soma dos sinais x1 e x2

5.2 Análise de Fourier de sinais periódicos em

tempo discreto

Tendo estabelecido que um sinal discreto, periódico, pode ser originado pormeio de uma soma de sinusóides, levanta-se a questão de como determinar acombinação adequada de sinusóides de forma a obter o sinal desejado. Pelafacilidade analítica que daí resulta far-se-á uso de sinusóides complexas da formaxk(n) = eikω0n, harmónicas da sinusóide elementar x1(n) = eiω0n, de períodofundamental N = 1/f 0. As funções desta classe são distintas, linearmenteindependentes e ortogonais. Isto significa que podem ser consideradas comouma base dum espaço vectorial de dimensão N . Qualquer vector, x(n), desteespaço é uma função periódica e terá, sempre, uma representação do tipo:

x(n) =N −1k=0

X kei2πN

kn (5.2)

onde os coeficientes de Fourier, X k, k = 0, 1, 2, . . . , são as projecçõesde x(n) sobre cada vector da base dadas pelo produto interno do sinal e afunção de base correspondente1. Para entender um pouco melhor este assunto,

1Basta notar que num espaço 3-D, qualquer vector se representa na forma:v = v1e1 +

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142 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

vejamos como procedeíamos se não soubéssemos nada de espaços vectoriais.

Condideremos o exemplo seguinte:

Exemplo 3 - Desenvolvimento em SFd

Considere o sinal discreto representado na figura 5.3 que é periódico deperíodo N = 5.

Figura 5.3: Sinal do Exemplo 3

Atendendo a (5.2), podemos escrever

x(n) = X 0e0 + X 1ei2π5 n + X 2ei

2π5 2n + X 3ei

2π5 3n + X 4ei

2π5 4n

Tomando cinco instantes de tempo consecutivos obtém-se o sistema de equa-ções

x(0) = X 0 + X 1 + X 2 + X 3 + X 4

x(1) = X 0 + X 1ei2π5 + X 2ei

4π5 + X 3ei

6π5 + X 4ei

8π5

x(2) = X 0 + X 1ei2π5 2 + X 2ei

4π5 2 + X 3ei

6π5 2 + X 4ei

8π5 2

x(3) = X 0 + X 1ei2π5 3 + X 2ei

4π5 3 + X 3ei

6π5 3 + X 4ei

8π5 3

x(4) = X 0 + X 1ei2π5 4 + X 2ei

4π5 4 + X 3ei

6π5 4 + X 4ei

8π5 4

Substituindo os valores de x e resolvendo o sistema de equações obtêm-se osvalores dos coeficientes X n: X = [0.6 0.3236 − 0.1236 − 0.1236 0.3236[

Na figura 5.4 encontram-se representadas as componentes de cada uma dasfrequências ωk = 2π

5k do sinal. Como cada componente X ke

2π5kn corresponde

a uma função complexa, a sua representação gráfica tem de ser decomposta emparte real e parte imaginária.

Adicionando todas as componentes da figura 5.4 obtém-se o sinal x(n), re-

presentado na figura 5.3. Apesar de as várias componentes corresponderem afunções complexas, a sua adição produz um sinal real.Embora, para sinais periódicos, seja sempre possível determinar os coeficientesda série de Fourier pela forma utilizada no Exemplo 3, este processo é fasti-dioso. Para termos uma ideia um pouco mais correcta do que está em causa,reescrevamos o anterior sistema de equações na forma matricial.

v2e2 + v3e3 =

3

1viei

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5.2. ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS EM TEMPO DISCRETO143

Figura 5.4: Harmónicas do Exemplo 3

x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)

=

1 1 1 1

ei2π5 ei

4π5 ei

6π5 ei

8π5

ei4π5 ei

8π5 ei

12π5 ei

16π5

ei6π5 ei

12π5 ei

18π5 ei

24π5

ei8π5 ei

16π5 ei

24π5 ei

32π5

X 0X 1X 2X 3X 4

A matriz acima chama-se matriz de Vandermonde e é muito conhecida efácil de inverter. No entanto, o número de operações envolvidas é da ordem de

N

2

. Por outro lado, não nos fornece uma fórmula "fechada"para cálculo doscoeficiente de Fourier. Para obtermos uma solução simples do nosso problemade obter os coeficientes de Fourier, vamos proceder da forma seguinte:

• Retomemos a equação

x(n) = X 0e0 + X 1ei2π5 n + X 2ei

2π5 2n + X 3ei

2π5 3n + X 4ei

2π5 4n

• Suponhamos que queremos calcular X 3. Multipliquemos ambos os mem-bros por e−i 2π

5 3n para obter

x(n)e−i 2π5 3n = X 0e−i 2π

5 3n + X 1e−i 2π5 2n + X 2ei

−2π5

n + X 3 + X 4ei2π5n

• Somemos para todos os valores de n, obtendo40

x(n)e−i 2π5 3n =

X 0

40

e−i 2π5 3n + X 1

40

e−i 4π5n + X 2

40

ei−2π5

n + X 3

40

1 + X 4

40

ei2π5n

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144 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Usando o conhecido resultado

N −10

an = 1 − aN

1 − a

concluimos que todas as parcelas do segundo membro, excepto uma, sãonulas, pelo que chegamos ao resultado seguinte:

5X 3 =40

x(n)e−i 2π5 3n

Procedendo de forma semelhante para o caso geral, isto é, multiplicando ambosos membros de (5.2) e somando em n, obtemos a expressão geral dos coeficientesde Fourier.

X k =1

N

N −1n=0

x(n)e−i 2πN

kn (5.3)

Como se pode verificar, com facilidade, X 0 coincide com o valor médio dex(n). As eqs.(5.2) e (5.3) constituem o par análise/síntese da chamada sériede Fourier discreta, 2SFD . Adiante veremos que este par constitui, essenci-almente, o par definidor da Transformada de Fourier Discreta (TFD ouDFT - discrete Fourier transform)3

A DFT é extraordinariamente importante no moderno processamento de sinais,sobretudo devido à sua implementação rápida: a Transformada Rápida deFourier (Fast Fourier Transform ou FFT ). A transformação (5.2) permite-nos passar de uma descrição temporal constituída pelos N valores do sinal para

uma descrição frequencial constituída por N valores das amplitudes comple-xas das harmónicas constituintes do sinal. No que se segue, representaremos,simbolicamente, por X k = SF D[x(n)] e x(n) = SF D−1[X k]. De notar que asequência X k, k = 0, 1, 2, . . . também é periódica de período N .Não é obrigatório que a soma seja efectuada de n = 0 a n = N − 1. Podeser qualquer outro intervalo de largura N . Frequentemente, usa-se a notaçãoN

em vez deN −10

. Uma escolha adequada da gama de valores para n pode

simplificar significativamente os cálculos.

Exemplo 4 - Escolha alternativa da gama de valores de n

Considere novamente o sinal do Exemplo 3. Os coeficientes da série deFourier podem ser determinados pela expressão

X k =2−2

x(n)e−i 2π5 kn

2De notar que é efectivamente um polinómio de Fourier e não uma série. Por razões deanalogia com o caso contíno, continuaremos a usar o termo série.

3Há uma diferença que tem a ver com a colocação do factor 1/N . Optámos por pô-lo naequação de análise, mas podemos colocá-lo na de síntese. Devemos é ser coerentes.

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5.2. ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS EM TEMPO DISCRETO145

que conduz a X k = 15 1 + 2 cos( 2πn

5) Apesar desta expressão ser, formalmente,

diferente da obtida no exemplo 3, facilmente se verifica que o valor associado acada coeficiente X k é o mesmo.

Exemplo 5 - Onda rectangular

Seja r(n) uma onda rectangular periódica de período N

r(n) =

1 0 ≤ n ≤ M

0 M < n < N − 1

Os correspondentes coeficientes de Fourier são dados por:

Rk =1

N

sen[π(M+1)N k]

sen[ πN k].e−iπM

Nk k = 0

M + 1 k = 0

Obtenha, a partir deste, o desenvolvimento de uma onda rectangular alternada.De notar o aparecimento da chamada função sinc discreta sen θN

sen θ que encontra-remos noutras situações.

Exemplo 6 - Onda em dente de serra

Seja d(n) uma onda em dente de serra dada de período 4 por

d(n) = n + 1, 0 ≤ n ≤ 3

Os seus coeficientes de Fourier são

D = [10/4 (−1 + i)/2 − 1/2 (−1 − i)/2]

Exemplo 7 - Onda triangular

Seja t(n) uma onda triangular dada de período 6 por

t(n) = [0 1 2 3 2 1]

Os seus coeficientes de Fourier são

T =1

6

2cos

π

3k

+ 4 cos

3k

+ 3(−1)k

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Aproveite o resultado para calcular o desenvolvimento de uma onda rectangularalternada, usando a diferença t(n) − t(n − 1).

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146 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

5.3 Propriedades da SFD

A representação em série de Fourier possui um conjunto de propriedades quesão de grande utilidade no estudo de sinais, e que permitem reduzir significati-vamente a complexidade do seu cálculo em muitos sinais. São bastante fáceisde demonstrar, pelo que apenas faremos as demonstrações mais delicadas.

1. LinearidadeSejam x(n) e y(n) dois sinais de período N . Então, como referimos, z(n) =ax(n) + by(n) é periódico de período N e os seus coeficientes são dadospor:

Z n = aX n + bY n (5.4)

2. Dualidade SF D [X n] = 1N x(−k) Com efeito,

N

X ne−i 2πknN =N

X nei 2π(−

k)nN

donde o resultado.

3. Translação (circular)4 Seja m um inteiro qualquer y(n) = x(n − m):

Y k = e−i(2πm/N )kX k (5.5)

Para demonstrar a relação, basta efectuar a substituição l = n − m nosomatório.

Exemplo 8 - Onda rectangular transladada

Sejam M e N naturais pares e o sinal rectangular

r(n) =

1 0 ≤ |n| ≤ M/2

0 M/2 < |n| < N/2

Os correspondentes coeficientes de Fourier são dados por:

Rk =1

N

sen[π(M+1)N

k]sen[ πN k]

k = 0

M + 1 k = 0

Esta propriedade permite transformar uma equação às diferenças numaequação algébrica. Com efeito, tomemos a equação

N 0m=0

amy(n − m) =

M 0m=0

amx(n − m) (5.6)

4O uso do termo circular deriva do facto de, estando a trabalhar com um sinal periódico, aofazer uma translacção, os valores que saiem da janela de duração igual ao período, pela direitasão os que entram pela esquerda. Tudo se passa como se os valores estivessem dispostos sobreuma circunferência rotativa.

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5.3. PROPRIEDADES DA SFD 147

Substituindo nela y(n) e x(n) pelas correspondentes SF e usando a pro-

priedade anterior obtemos uma equação algébricaN 0l=0

ale−i(2πl/N )kY k =

M 0m=0

ame−i(2πm/N )kX k (5.7)

donde se obtem a resposta em frequência:

H k =

N 0l=0 ale

−i(2πl/N )kM 0m=0 ame−i(2πm/N )k

(5.8)

que resulta de H (z) por substituição de z por e−i(2π/N ). Com o resultado(5.8) estamos em condições de calcular a resposta de um sistema lineardiscreto a um sinal periódico. Para isso, calculamos os coeficientes de

Fourier da entrada, multiplicamo-los por H k e sintetizamos o sinal usandoa equção de sńtese (5.2). Para exemplificar, consideremos a onda rectan-gular considerada acima e um filtro cuja função de transferência seja dadapor H (z) = 1

1−a.z−1 com |a| < 1. Na figura seguinte, apresentam-se osresultados correspondentes a filtragens com filtros passa-baixo (a < 0) epassa-alto (a > 0).

Figura 5.5: filtragem passa-baixo de uma onda rectangular

4. Translacção na frequência. Modulação Seja M um inteiro arbitrário

SF D

x(n)e−i(2π/N )Mn

= X k−M (5.9)

Esta propriedade é a dual da anterior.

Exercício 47 – Multiplicação por sinusóide

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148 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Figura 5.6: filtragem passa-alto de uma onda rectangular

Calcular a SFD da função x(n). cos2πN M n

, onde x(n) é um sinal pe-

riódico de periódo N . Basta passar a função cos2πN M n

para a forma

exponencial, usando a respectiva fórmula de Euler.

5. Conjugaçãoy(n) = x∗(n) ⇒ Y n = X ∗n (5.10)

6. Reversibilidade temporal

y(n) = x(−n) ⇒ Y n = X −n (5.11)

7. Convolução periódica (circular)As convoluções circulares apresentadas atrás são sinais periódicos. Oscoeficientes de Fourier associados são dados por:

z(n) =1

N

N

x(m).y(m − n) ⇒ Z n = N.X n.Y n (5.12)

Para fazer a demonstração, basta introduzir z(n) na expressão que dá oscoeficientes de Fourier, vindo:

Z k

=1

N N

N

x(m).y(n−

m)e−i(2π/N )kn =

=1

N

N

x(m)N

y(n − m)e−i(2π/N )kn =

=1

N

N

y(m)e−i(2π/N )kmN

x(n)e−i(2π/N )kn

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5.3. PROPRIEDADES DA SFD 149

donde se obtém o resultado.

Assim, se y(n) for a resposta impulsional de um sistema linear discreto,esta propriedade, mostra que, no domínio da frequência, os coeficientes deFourier da saída se obtêm multiplicando os da entrada pela resposta emfrequência calculada nas frequências das harmónicas. Trata-se do resul-tado obtido na propriedade anterior, mas por uma via diferente. A dualdesta propriedade é expressa pela relação

z(n) = x(n).y(n) ⇒ Z n = N.X n ∗ Y n (5.13)

Para fazer a demonstração, temos duas alternativas:ou usar (5.2), substituir lá uma das séries associadas a x(n) ou y(n) e trocar os operadores de somatórioou

partir da série associada a z(n).Vamos seguir esta última, deixando a outra como exercício. A série asso-ciada a z(n) é dada por:

z(n) =N

N

X kY mei(2π/N )knei(2π/N )mn =

=N

N

X kY mei(2π/N )(k+m)n

Fazendo a mudança de índice k + m = l no 2ºsomatório, obtemos

z(n) = N N

X kY l−k ei(2π/N )ln

resultando, imediatamente, (5.13)

8. Relação de Parseval

1

N

N

|x(n)|2 =N

|X n|2 (5.14)

Como o 1ºmembro representa o valor médio da potência do sinal, a re-lação de Parseval mostra que podemos calcular a potência a partir doscoeficientes de Fourier.Para demonstrar a igualdade basta fazer y(n) = x∗(n) em (5.13) e tomaro valor em k = 0. Deixa-se a demonstração como exercício.

9. Correlação periódica (circular)A correlação pode ser considerada como uma convolução com um dossinais simetrizado no tempo. Os coeficientes de Fourier associados podemobter-se a partir dos da correlação.

z(n) =1

N

N

x(m).y(m + n) ⇒ Z n = N.X n.Y ∗n (5.15)

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150 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Para fazer a demonstração, basta introduzir z(n) na expressão que dá os

coeficientes de Fourier.10. Simetria hermiteana

Se x(n) for real, os seus coeficientes de Fourier são hermiteanos

x(n) = x∗(n) ⇒ X ∗n = X −n (5.16)

Desta propriedade podem deduzir-se, facilmente, várias conclusões rela-tivas à simetria das partes real e imaginária dos coeficientes ou ao seusmódulo e fase. Deixamos esta demonstração como exercício. Que sucedese x(n) for par? e ímpar?Regressaremos a este tema mais tarde.

11. Reformulação da equação de síntese

Há um facto que deve ter-se em conta nas aplicações práticas. A equaçãode síntese (5.2) pode escrever-se na forma :

x(n) =

N

X ∗ke−i 2πN

kn

(5.17)

Isto significa que o algoritmo usado para o cálculo da transformada directatambém nos serve para calcular a inversa.

5.4 Simetrias circulares

5.4.1 A simetria HermiteanaComo se afirmou anteriormente a periodicidade é interpretável em termos deuma circunferência sobre a qual se colocam os valores do sinal e que roda comuma velocidade angular igual a 2π/N onde N é o período. Isto é equivalente aobservar o sinal através de uma janela de comprimento N de tal forma que osvalores que saiem do lado direito, entram do lado esquerdo.

. . . 7... 0 1 2 3 4 5 6 7

... 0 1 2 . . .

. . . 2... 3 4 5 6 7 0 1 2

... 3 4 0 . . . Este facto permite a introdução de novas simetrias, chamadas simetrias circu-lares. Estas são definidas em relação ao ponto médio da janela de observação,que pode não ser um ponto da sequência. Sê-lo-á se N for ímpar, como no casoacima. Se for par, será um ponto fictício. Raciocinando em termos de umacircunferência, p. ex., a circunferência unitária, a simetria será estabelecida emrelação ao ponto 1.

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5.4. SIMETRIAS CIRCULARES 151

Figura 5.7: Um período de sinal para ilustrar a circularidade

Entretanto e por razões que se prendem com a implementação computacional de (5.2) e (5.3), vamos, a partir daqui, tomar sempre o período que começa na origem

. . . 7

... -5 1 -2 3 4 5 6 7... − 5 1 − 2 . . .

↑Para deduzirmos e, ao mesmo tempo, descobrirmos o interesse deste tipo desimetrias, vamos retomar a equação (5.2) e considerar o caso de sinais reais.

x(n) = x∗(n)

N −1k=0

X kei2πN

kn =N −1k=0

X ∗ke−i 2πN

kn

Fazendo k = N − j num dos somatórios obtemos

N j=1

X N −je−i 2πN jn =N

−1

k=0

X ∗ke−i 2πN kn

Como o ńdice do somatório é uma veriável muda, podemos escrever:

N k=1

X N −ke−i 2πN

kn =N −1k=0

X ∗ke−i 2πN

kn

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152 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Comparando os dois membros da equação anterior e, atendendo à periodiocidade

dos coeficientes de Fourier, concluimos que:X ∗k = X N −k k = 1, 2, 3, . . . N − 1

X 0 = X N k = 0, N (5.18)

Em termos de uma representação geométrica como a da figura 5.7 significa que,se os números representarem os coeficientes de Fourier, os que estão no semi-plano superior são os conjugados das suas imagens no semi-plano inferior. Areferida figura permite-nos concluir ainda que, se N for par, além de X 0 há outrovalor real: o que corresponde a k = N/2. Se N for mpar, apenas X 0 é real.Esta simetria constitui uma forma diferente de traduzir a simetria Hermiteanano caso de sinais periódicos. Paralelamente, diz-nos como devemos colocar oscoeficientes no vector correspondente para efeitos de cálculo de (5.2). Temos asseguintes situações:

X 0 X 1 X 2 X 3 . . . X N/2 . . . X ∗3 X ∗2 X ∗1

N par

[X 0 X 1 X 2 X 3 . . . X ∗3 X ∗2 X ∗1 ] N ímpar

5.4.2 Série trigonométrica

Vamos ver quais as consequências da simetria hermiteana para as partes reaise imaginária dos coeficientes de Fourier e para a obtenção de representaçõesalternativas a (5.2) e (5.3). Assim, comecemos por respresentar os coeficientede Fourier na forma cartesiana X k = ak − ibk

5 que inserida em (5.18) conduz a:

ak = aN −k k = 1, 2, 3, . . . N − 1bk = −bN −k k = 1, 2, 3, . . . N − 1

(5.19)

O coeficiente a0 será definido mais tarde. Concluimos que a parte real dos co-eficientes de Fourier tem simetria par, enquanto que a parte imaginária temsimetria ímpar. Vejamos quais as implicações para a representação (5.2). Po-demos começar por escrever:

X kei2πN

kn = [ak − ibk]

cos

N kn

+ i sen

N kn

=

= ak cos2π

N

kn + bk sen2π

N

kn+i −bk cos2π

N

kn + ak sen2π

N

knAtendendo à simetrias dos ak e bk acima apresentadas, concluimos que:

N −1k=0

ak sen

N kn

− bk cos

N kn

= 0

5A escolha do sinal − permite uma uniformização das fórmulas

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5.4. SIMETRIAS CIRCULARES 153

por ser a soma de termos anti-simétricos. Sendo assim, podemos concluir que,

sendo x(n) real se tem:

x(n) =

N −1k=0

ak cos

N kn

+

N −1k=1

bk sen

N kn

(5.20)

com a0 = X 0. Esta expressão ainda pode ser manipulada de forma a reduzir onúmero de termos do somatório, usando (5.19). Deixamos esse trabalho comoexercício. No que se refere à equação de análise, ela origina:

ak =N −1n=0

x(n)cos

N kn

(5.21)

e

bk =

N

−1

n=0

x(n)sen

2πN

kn

(5.22)

As relações (5.20) a (5.22) representam a série trigonométrica de Fourier discreta(STFd).

De acordo com o que dissemos acima, podemos introduzir formalmente asnoções de sequência par e ímpar.

• Sequência parUma sequência periíodica com N pontos por período é par (circularmente)se

x(N − n) = x(n) 0 ≤ n ≤ N − 1

Esta simetria pode representar-se esquematicamente por:. . . 1

... 1 2 3 4 3 2 1... 1 2 3 . . .

• Sequência ímparUma sequência periíodica com N pontos por período é ímpar (circular-mente) se

x(N − n) = −x(n) 0 ≤ n ≤ N − 1

Esta simetria pode representar-se esquematicamente por:. . . − 1

... 1 2 3 0 -3 -2 -1... 1 2 3 . . .

Como referido anteriormente, qualquer sinal pode ser decomposto na soma deum sinal par com um ímpar. Tal situação verifica-se também no caso da simetriacircular. Regressando às expressões da STF, concluimos facilmente que:

• se x(n) é real e par X k também o é: ak = X k e bk = 0

• se x(n) é imaginária pura e ímpar X k também o é: bk = iX k e ak = 0

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154 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

5.4.3 Série harmónica

Vamos agora escrever os coeficientes de Fourier na forma polar, X k = Akeiϕk eusar (5.18). A

Ak =

a2k + b2k

damos o nome de espectro de amplitude e a

ϕk = − arctanbkak

o nome de espectro de fase. De forma semelhante à seguida no caso cartesiano,podemos obter com relativa facilidade:

Ak = AN −k k = 1, 2, 3, . . . N − 1

ϕk =−

ϕN −k k = 1, 2, 3, . . . N

−1

(5.23)

Vamos manipular (5.2), desdobrando o somatório. Seja N par:

N −1n=0

X kei2πN

kn = X 0 +

N/2−1k=1

X kei2πN

kn + X N/2(−1)n +

N −1k=N/2+1

X kei2πN

kn =

= X 0 +

N/2−1k=1

X kei2πN

kn + X N/2(−1)n +

N/2−1k=1

X N −ke−i 2πN

kn

Usando agora (5.18) e as fórmulas de Euler podemos concluir que:

x(n) = A0 + 2

N/2−1

n=1 Ak cos

N kn + ϕk

+ X N/2(−1)

n

(5.24)

Se N for ímpar, a representyação é ligeiramente diferente

x(n) = A0 + 2

(N −1)/2n=1

Ak cos

N kn + ϕk

(5.25)

As expressões (5.24) e (5.25) representam a série de Fourier em componentesharmónicas que é muito útil para efectuar a síntese computacionalmente.

5.5 Observação experimental da síntese de sinais

periódicos discretosPara fazer a síntese em computador é recomendável usar a chamada série deFourier em componentes harmónicas ou, simplesmente, série harmónica (SH),visto trabalhar, apenas com sinais reais. A vantagem da representação em SHreside no facto de permitir somar as harmónicas reais uma a uma e, portanto,visualizar o sinal sintetizado à medida que vai reconstruindo o sinal original.Vejamos 2 exemplos.

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5.5. OBSERVAÇÃO EXPERIMENTAL DA SÍNTESE DE SINAIS PERIÓDICOS DISCRETOS 155

Exemplo 9 - Onda rectangular

As figuras seguintes são de fácil compreensão e ilustram claramente o efeito desomar os termos um a um na síntese da onda rectangular. De notar que aquinão surge o problema do efeito Gibbs.

Figura 5.8: síntese da onda rectangular depois da 2ªharmónica

Figura 5.9: síntese da onda rectangular depois da 4ªharmónica

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156 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Figura 5.10: síntese da onda rectangular depois da 6ªharmónica

Figura 5.11: síntese final da onda rectangular

Exemplo 10 - Onda rectangular

Vamos considerar ainda a onda rectangular para observarmos separadamente oefeito das harmónicas de baixa e alta frequência. Neste caso o sinal tem período20 e os seus coeficientes são dados por

X k =e−i 9πn20

20

1 − (−1)k

sen kπ/2

sen kπ/20

e encontram-se representados na figura 5.12

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5.5. OBSERVAÇÃO EXPERIMENTAL DA SÍNTESE DE SINAIS PERIÓDICOS DISCRETOS 157

Figura 5.12: Partes real e imaginária dos coeficientes da série de Fourier doexemplo 10

Na figura 5.12 representam-se os coeficientes do desenvolvimento em série deFourier do sinal, podendo-se constatar que os seus valores se repetem de formaperiódica, de 20 em 20. Considere-se agora apenas o sinal composto apenas pelasprimeiras 6 harmónicas do sinal. Este sinal encontra-se representado na figura5.13. Comparando-o com o sinal x(n), semelhante ao que está representado nafigura 5.11, constata-se que as harmónicas de baixa frequência correspondem aum sinal que apresenta variações mais suaves, se bem que alternando em tornodos mesmos patamares que o sinal original.

Figura 5.13: Sinal correspondente às primeiras 6 harmónicas do exemplo 10

Pelo contrário, no sinal obtido a partir das harmónicas de alta frequência(harmónicas 7 a 10), representado na figura 5.14, as variações no valor do sinalsão rápidas e centradas em torno do valor zero.

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158 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Figura 5.14: Sinal correspondente às harmónicas de alta frequência do exemplo10 (harmónicas 7 a 10).

5.6 Conclusões

Acabámos de ver como, a partir de uma formulação simples baseada na noçãode espaço vectorial e nas propriedades das sinusóides discretas se introduzem asferramentas básicas de análise frequencial de sinais periódicos. Introduzimos asséries de Fourier discretas e apresentámos as suas propriedades, tendo já referidoalgo do seu interesse prático que retomaremos, mais tarde. Não referimos aindaa forma de cálculo computacional que abordaremos em capítulo próprio.

5.7 Exercícios

Exercício 48 –Considere-se o sinal x(k) = 1, 71 cos π

4k + 0, 293 cos 3π

4k. Pretende-se deter-

minar a sua representação em série de complexa de FourierR. A solução é imediata. Basta substituir os cosenos pelas correspondentes

fórmulas de Euler. Os coeficientes valem: X 3 = X −3 = 0, 146, X 1 = X −1 =0, 85 e X 2 = X −2, = X 0 = 0. Todos os restantes coeficientes são nulos.Exercício 49 –

Pretende-se estudar a composição harmónica de sinais periódicos.

1. Considere o sinal x(k) = cos 2π7

k. Observe a forma do sinal. É periódico?Qual é o seu período?

2. Determine a representação em série de Fourier do sinal x(k). Observecada uma das harmónicas que compõem o sinal. Qual é a mais "lenta"?E a mais "rápida"? Qual o significado do coeficiente de Fourier de ordemzero?

3. Construa o sinal x(k) somando as suas harmónicas. Observe o sinal obtidoe compare-o

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5.7. EXERCÍCIOS 159

Exercício 50 –

calcular a SFd de

x(n) =

1 n = 4.l + 1

0 n = 4l + 1l = 0, ±1, ±2, . . .

Exercício 51 –Seja, agora, X k uma SFd definida por :

X k =

1 k = 16.l + 2 k = 16.l + 14

0 resto

e de período 16. Mostrar que a sua SFd inversa vale : x(n) = 2cos (πn/4)Exercício 52 –

Os coeficientes da SFd de uma sequência periódica x(n) com período N = 8são dados pela expressão

8.X k = cos(πk/4) + sen(3πk/4)

Qual é a expressão de x(n) no período 0 ≤ n ≤ 7?

1. x(n) = 1/2[δ(n − 1) + δ(n − 7) + δ(n − 3) + δ(n − 4)]

2. x(n) = 1/2[δ(n − 1) + δ(n − 5) + iδ(n − 1) + iδ(n − 5)]

3. x(n) = 1/2[δ(n − 1) + iδ(n − 7)]

4. x(n) = 1/2[δ(n − 1) + δ(n − 7) + iδ(n − 3) − iδ(n − 5)]

5. x(n) = 1/2[δ(n − 1) − δ(n − 7) + iδ(n − 3) + iδ(n − 7)]Exercício 53 –

Atenda ao exemplo 8 e calcule os coeficientes de Fourier do sinal periódicode período N (par)

xn =

1 0 ≤ n ≤ N/2 − 1

−1 N/2 < n < N

Note que os coeficientes de ordem par são nulos. Porque será?Exercício 54 –

Retome o problema anterior. Seja yn =n0

xm

1. Verifique obtem um triângulo que repetido com período N permite obter

uma onda rectangular. Calcule a sua média.

2. Usando a fórmula de síntese de xn e a alínea anterior, mostre que oscoeficientes de Fourier de yn são dados, para k ímpar, por:

Y k =4

N .

11 − e−i 2π

Nk2

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160 CAPÍTULO 5. A SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

3. Mostre que a média de yn é dada por:

my =N −10

4

N .

11 − e−i 2π

Nk

1 − ei2πN

k

Exercício 55 – Calcule a SFd da sequência [1 0 0 1 1 1 0]. Use o resultadopara calcular as autocorrelação circular da sequência. Calcule a autocorrelaçãolinear e compare com a circular

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Capítulo 6

A Transformada de Fourier

em tempo discreto

6.1 Definição

Nos dois capítulos referentes às séries de Fourier vimos como se pode analisar esintetizar um dado sinal periódico à custa de sinais elementares periódicos. Ateoria apresentada surge, naturalmente, a partir das noções de função periódicae de espaço vectorial. Se o sinal não for periódico, a situação não é tão simples erequer alguma atenção. Consideremos, em primeiro lugar, o caso dos sinais dis-cretos e retomemos as relações análise-síntese da SFc. Tomemos os coeficientesX n. Podemos considerar a sua sequência como um sinal discreto que verifica aequação de síntese

X n =1

T 0

T 0

x(t)e−inω0tdt

Com uma mudança de variável t = f T 0, com T 0ω0 = 2π e escolhendo umaintegração entre −T 0/2 e T 0/2 obtemos:

X n =

1/2−1/2

x(f )e−in2πf df

Se n for agora um tempo, f será uma frequência pelo que podemos reescrevera equação acima na forma:

X n = 12π

π

−π

x(ω)e−inωdω

Procedendo de forma semelhante con a relação

x(t) =+∞−∞

X neinω0t

161

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162CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

obtemos

x(ω) =

+

∞−∞

X neinω

Para manter a coerência de notação reescrevemos as equações anteriores numaforma ligeiramente diferente 1:

X (ω) =+∞−∞

x(n)e−inω (6.1)

e

x(n) =1

π−π

X (ω)einωdω (6.2)

As equações anteriores admitem a seguinte interpretação:

um sinal discreto pode exprimir-se como uma sobreposição contínua de sinu-sóides elementares com amplitudes complexas infinitesimais, 1

2πX (ω)dω e de

frequências, ω ∈ (−π, π] infinitamente próximas .

Com esta interpretação, (6.1) e (6.2) traduzem um par análise/síntese de sinaisdiscretos e são chamadas transformada de Fourier de sinais discretos (TFSD ouTFd)2 e sua inversa. Como é evidente, a TFSD é periódica de período 2π 3.Notemos que as relações (6.1) e (6.2) podem obter-se da transformada Z fazendoz = eiω o que nos permite extrair uma conclusão importantíssima:

Qualquer sinal com transformada Z cuja região de convergência contém a cir-cunfrerência unitária, tem também transformada de Fourier que se pode obter da transformada Z por uma simples mudança de variável z = eiω

Para salientar este facto, escreveremos frequentemente, X (eiω)

Exemplo 1 - Exponencial causal: x(n) = anǫ(n) |a| < 1

A transformada de Fourier deste sinal é

X (eiω) =∞−∞

anǫ(n)e−iωn =∞0

ae−iω

n

Se |a| < 1 então também |ae−iω < 1 , pelo que o somatório pode ser calculadousando a regra habitual de som adas séries geométricas para obter

T F [anǫ(n)] =1

1 − ae−iω(6.3)

Nas figuras seguintes representam-se os espectros de amplitude e fase corres-pondentes a a > 0 e a < 0

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6.1. DEFINIÇÃO 163

Figura 6.1: Módulo e argumento da transformada de Fourier do exemplo 1,quando 0 < a < 1.

Note-se que, independentemente do valor do coeficiente a, a função X (ω) éperiódica, com período 2π.

Exemplo 2 - Exponencial bilateral: x(n) = a|n| |a| < 1

Temos duas formas de efectuar o cálculo da TF deste sinal. Numa insere-sex(n) em (6.1) e desdobra-se o somatório em dois correspondendo aos valores den de 0 a +∞ e de −∞ a −1. Então teremos:

X (eiω) =∞−∞

a|n|e−iωn =∞0

ae−iω

n+

−1−∞

ae−iω

−n

=∞0

ae−iω

n+

∞1

ae−iω

n

=1

1 − ae−iω+

aeiω

1 − aeiω

T F

a|n|

=1 − a2

1 − 2a cos ω + a2(6.4)

1usaremos a letra ω para representar a frequência angular de forma semelhante ao caso daTF de sinais a tempo contínuo. Sempre que houver perigo de confusão substuímo-la por Ω.

2Sempre que não haja perigo de confusão, falaremos de transformada de Fourier e poremos,simplesmente, TF.

3Normalmente, representaremos apenas um período

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164CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Figura 6.2: Módulo e argumento da transformada de Fourier do exemplo 1,quando −1 < a < 0.

Figura 6.3: Exponencial bilateral

Podíamos resolver o problema de outra forma. Notemos que

a|n| = a|n| [ǫ(n) + ǫ(−n − 1)] = anǫ(n) + a−nǫ(−n) − δ(n)

e, como veremos mais tarde, a TF de uma soma é igual à soma das transforma-das, pelo que podemos usar (6.3). Precisamos ainda saber o qual o valor da TFde δ(n). Não é difícil de verificar que

T F [δ(n)] = 1 (6.5)

Neste caso a transformada de Fourier X (ω) é real e par4. Na figura 6.4representa-se graficamente esta função, para o caso em que a > 0.

Exemplo 3 - pulso rectangular

Consideremos o pulso rectangular:

p(n) =

1 |n| ≤ N

0 |n| > N

4Mais tarde veremos porquê.

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6.1. DEFINIÇÃO 165

Figura 6.4: TF (módulo) da exponencial bilateral para o caso em que a > 0.

Temos

P (eiω) =N −N

e−iωn =N 0

e−iωn+−1−N

e−iωn =N 0

e−iωn+N 1

eiωn =N 0

e−iωn+N 0

eiωn−1

Somando as progressões geométricas, obtemos:

P (eiω) =1 − e−iω(N +1)

1 − e−iω+

1 − eiω(N +1)

1 − eiω− 1

donde

P (eiω) = 2eiω

N+12 − e−iωN+1

2

eiω/2

− e−iω/2

−1 = e−iωN

2sen

ω N +1

2 sen(ω/2)

+eiωN2

sen

ω N +1

2 sen(ω/2) −

1 =

= 2sen

ω N +1

2

sen(ω/2)

cos

ω

N

2

− 1

Usando identidades trigonométricas bem conhecidas 5 obtemos

P (eiω) =sen

ω

N + 12

+ sen(ω/2)

sen(ω/2)− 1

e, finalmente

T F [ p(n)] =sen

ω

N + 12

sen(ω/2)

(6.6)

Exemplo 4 - pulso em rampaSeja agora o sinal r(n) = n + 1 para 0 ≤ n ≤ N . Temos

R(eiω) =N 0

e−iωn +N 0

ne−iωn

5sen (a ± b) = sen a cos b ± cosa sen b

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166CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

= R1(eiω)

−i

dR1(eiω)

dωonde

R1(eiω) =1 − e−iω(N +1)

1 − e−iω

O resultado final obtém-se facilmente.

Exemplo 5 - pulso triangular

Seja agora o sinal t(n) = [0 1 2 3 2 1] . Temos

T (eiω) =N 0

ne−iωn +54

(6 − n)e−iωn

= −i dR1(eiω)dω

+ 2e−4iω + e−5iωn

onde R1(eiω) foi calculado no exemplo anterior.

Figura 6.5: TF (módulo) de rectângulo e triângulo

6.2 ExistênciaUma vez que, em geral, a transformada de Fourier resulta da adição de um nú-mero infinito de parcelas, é natural questionar-se em que condições o somatórioanterior converge. Note-se que, ao contrário do que sucede para a transformadaZ, onde a convergência era assegurada por uma conveniente escolha do domíniode variação para a variável independente, z, na TF temos um domínio previ-amente fixado, a circunferência unitária. Assim, para um certo sinal x(n), a

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6.2. EXISTÊNCIA 167

questão que se coloca é, simplesmente: ou o somatório converge ou não. No

primeiro caso o resultado é a transformada de Fourier do sinal x(n), no segundodiz-se que o sinal não tem transformada de Fourier. Se o sinal tiver duraçãofinita e amplitudes finitas, existe, sempre, a TF. No caso geral, temos de estudara convergência da série. Para deduzir uma condição suficiente de convergência,basta tomar o valor absoluto em (6.1). Temos

|X (ω)| ≤+∞−∞

|x(n)| < ∞

porquee−inω

= 1. Então, se o sinal for absolutamente somável existe a sua TFe a convegência da série em (6.1) é uniforme no intervalo [−π, π]. Esta condiçãonão é necessária, existindo sinais que não a verificam. Por exemplo, as sequên-

cias com energia finita

+∞−∞ |x(n)|

2

< ∞ podem não ser absolutamente somáveise terem TF. Neste caso a convergência não é uniforme mas em média quadrá-tica, isto é, calculando na frequência, a energia do erro entre a TF correcta e afunção que se obtém somando um número finito de termos da série, essa energiatende para zero com o aumento do número de termos. A teoria exposta quandoefectuámos o estudo da SFc pode ser usada aqui, com a conveniente adaptação.Como então dissémos, se o sinal tender para zero com, pelo menos, 1/na, coma > 1, quando |n| tende para infinito, a convergência será uniforme e a TFserá uma função contínua. O caso extremo e sumamente importante é o dasfunções que tendem para zero exponencialmente. As correspondentes TF sãoindefinidamente diferenciáveis.Porém, se aquela condição não se verificar, a TF será necessariamente descontí-

nua. Nesta situação, deve usar-se a convergência em média quadrática. Vamosestudar este caso, usando um exemplo interessante.

Exemplo 6 - O filtro ideal passa-baixo

Considere-se o sistema, linear e invariante no tempo, cuja resposta cujaresposta em frequência está representada na figura 6.6

A resposta em frequência pode ser escrita na forma6:

H (ω) =

1 |ω| < Ω

0 Ω < |ω| < π

Vamos calcular a sua TF inversa, usando o integral de inversão (6.2). Temos,então

h(n) =1

Ω−Ω

1.einωdω =1

einω

in

−Ω=

senΩn

πn

que é um sinal que tende para zero com 1/|n| e cuja transformada é, como seobserva na figura, uma função descontínua. Note-se um facto importante, o

6Consideramos o caso geral em que a largura de banda é Ω, que, neste caso, vale 1

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168CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Figura 6.6: resposta em frequência do filtro ideal passa-baixo

Figura 6.7: Resposta em frequência do filtro ideal passa-baixo

sistema ideal passa-baixo não é causal. A sua resposta impulsional é bilateral,como pode observar na figura 6.7.

Na figura 6.8 ilustra-se o cálculo da TF de senn

πn

para 30, 100, 500 e 1000

termos da série. Como se pode observar há uns picos que não esperaríamos.Tal se deve a que, como referido atrás, a SF não converge uniformemente emtodo o intervalo. Nos pontos de descontinuidade surgem os referidos picos quetraduzem o chamado efeito Gibbs que é uma consequência do não convergênciauniforme e do número finito de termos usado no cálculo. No entanto, no pontode decontinuidade todas as curvas passam no ponto 1/2. Com efeito, a sérieconverge para a semi-soma dos valores laterais da função.

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6.3. PROPRIEDADES GERAIS DA TFD 169

0 2 4 6 8−0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8−0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8−0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 6.8: Sucessão das somas parciais no cálculo da resposta em frequênciado filtro ideal passa-baixo para 50, 100 , 500 e 1000 termos da série

6.3 Propriedades gerais da TFd

1. Linearidade/homogeneidadeA TF verifica a propriedade da linearidade/homogeneidade. Com efeito:

T F [a.x(n) + b.y(n)] = aX (ω) + b.Y (ω) (6.7)

2. Simetria hermiteanaA TF de um sinal real é hermiteana, enquanto que a de um sinal imagináriopuro é anti-herminteana. Daqui se conclui que a TF de um sinal real e paré real e par e a TF de um sinal real e ímpar é imaginária pura e ímpar.Seja x(n) real, com TF

X (ω) =+∞−∞

x(n)cos ωn −+∞−∞

x(n)sen ωn

Se x(n) for real, as partes real e imaginária da TF são dadas por

R(ω) =+∞−∞

x(n)cos ωn

e

I (ω) = −+∞−∞

x(n)sinωn

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170CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Verifica-se que:

R(−ω) = R(ω) ⇒ Função par,I (−ω) = −I (ω) ⇒ Função ímparSe x(n) for real a sua TF verifica a relação

X (−ω) = X ∗(ω)

ou seja, X (ω) é hermiteana

Seja agora y(n) = ix(n). Temos

R(ω) = −+∞−∞

y(n)sinωn

e

I (ω) =

+∞−∞

x(n)cos ωn

pelo que I (−ω) = I (ω) ⇒ Função par,R(−ω) = −R(ω) ⇒ Função ímparDonde se conclui que

Y (−ω) = −Y ∗(ω)

e, portanto, Y (ω) é anti-hermitena Daqui se deduz que

• a TF de um sinal real e par, é real e par

• a TF de um sinal real e ´ mpar, é imaginária pura e ímpar

Sendo uma função complexa de variável real, podemos escrevê-la na forma

polar:X (ω) = A(ω)eiϕ(ω)

comA(ω) =

R(ω)2 + I (ω)2

e

ϕ (ω) = arctan

I (ω)

R(ω)

respectivamente, os espectros de amplitude e de fase. Não é difícildeduzir agora que

• o espectro de amplitude é par ⇒ A(−ω) = A(ω)

• o espectro de fase é ímpar ⇒ ϕ(−ω) = −ϕ(ω)

3. Reversão temporalSeja X (ω) = T F [x(n)], então

T F [x(−n)] = X (e−iω) (6.8)

Para demonstrar este resultado, basta substituir n por −n em (6.1).

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6.3. PROPRIEDADES GERAIS DA TFD 171

4. Mudança de escala

Seja T F [x(n)] = X (ω), k um número inteiro e y(n) tal que:

y(n) =

x(n/k) se n for múltiplo de k

0 se n não for múltiplo de k

EntãoT F [y(n)] = X (eikω) (6.9)

A demonstração é imediata. Esta propriedade mostra que dilatações notempo provocam contracções na frequência e vice-versa.

Exercício 56 – Seja a racional e y(n) tal que:

y(a.n) = x(n) se a.n for inteiro

0 se a.n não for inteiro

Calcule Y (eiω) em função de X (eiω)

5. Translacção temporalSeja X (ω) = T F [x(n)], então

T F [x(n − k)] = e−ikωX (eiω) (6.10)

Para demonstrar esta propriedade basta fazer uma mudança de índice nosomatório definidor da TF. Conclui-se imediatamente que uma translacçãono tempo traduz-se numa variação da fase, por adição dum termo linear.

Exemplo 7 - Delta transladado

T F [δ(n − k)] = e−ikω (6.11)

A aplicação repetitiva desta propriedade permite transformar uma equa-ção às diferenças numa equação algébrica linear. Com efeito, tomemos aequação

N 0m=0

amy(n − m) =

M 0m=0

amx(n − m) (6.12)

Substituindo nela y(n) e x(n) pelas correspondentes SF e usando a pro-priedade anterior obtemos uma equação algébrica

N 0l=0

ale−iωlY (eiω) =

M 0m=0

ame−iωmX (eiω) (6.13)

donde se obtem a resposta em frequência:

H (eiω) =

N 0l=0 ale

−iωlM 0m=0 ame−iωm

(6.14)

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172CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

que resulta de H (z) por substituição de z por e−iω. Com o resultado

(6.14) estamos em condições de calcular a resposta de um sistema lineardiscreto a um sinal periódico. Para isso, calculamos a TF de Fourierda entrada, multiplicamo-la por H (eiω) e sintetizamos o sinal usando aequção de sńtese (6.2).

6. Translacção frequencial. Modulação

Consideremos, agora, a propriedade dual da anterior. Não é difícil verificarque

T F −1

X (ei(ω−ω0))

= eiω0nx(n) (6.15)

Para provar esta relação podemos usar (6.2) ou, então, deduzi-la de idên-tica propriedade da TZ.

Exemplo 8 - Multiplicação por sinusóide real

Seja y(n) = x(n). cos(ω0n) Qual é a Tf de y(n)? Usando a fórmula deEuler, podemos escrever

y(n) = x(n). cos(ω0n) =1

2eiω0nx(n) +

1

2e−iω0nx(n)

donde se obtém

Y (eiω) =1

2X (ei(ω−ω0)) +

1

2X (ei(ω+ω0))

que representa a versão discreta da vulgar modulação de amplitude comportadora suprimida usada em Telecomunicações.

7. Diferenciação no tempoSeja X (ω) = T F [x(n)], então

T F [x(n) − x(n − 1)] =

1 − e−iω

X (eiω) (6.16)

donde se conclui que diferenciar no tempo é equivalente a multiplicar por1 − e−iω

no domínio da frequência. A prova é imediata se se atender à

translacção.

8. Diferenciação na frequência

Seja X (ω) = T F [x(n)], então

T F [nx(n)] = idX (eiω)

dω(6.17)

donde se conclui que diferenciar na frequência é equivalente a multiplicarpor n no domínio do tempo. A prova é imediata se se calcular a derivadade ambos os membros em (6.1).

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6.3. PROPRIEDADES GERAIS DA TFD 173

9. Convolução

Sejam x(n) e y(n) duas funções cujas TF são X (e

) e Y (e

). A suaconvolução z(n) tem TF dada por:

T F [x(n) ∗ y(n)] = X (eiω).Y (eiω) (6.18)

A propriedade dual desta é a seguinte:

T F [x(n).y(n)] =1

2πX (eiω) ∗ Y (eiω) (6.19)

Vamos demonstrar a primeira, deixando esta como exercício. Tomemos aconvolução

z(n) =∞−∞

x(k).y(n − k)

e efectuemos a substituição de y(n − k) pela sua expressão integral:

y(n − k) =1

π−π

Y (ω)ei(n−k)ωdω

vindo, depois de intercambiar as operações de soma e integração:

x(n) ∗ y(n) =1

π−π

∞−∞

x(k)e−ikω

Y (eiω)eiωndω

obtendo-se, imediatamente, (6.16).

10. AcumulaçãoSeja X (ω) = T F [x(n)], então

T F

n−∞

x(k)

=

X (eiω)

[1 − e−iω]+ πX (ei0)

+∞−∞

δ(ω − 2kπ) (6.20)

Para demonstrar esta propriedade, começamos por notar quen−∞

x(k) =

x(n) ∗ ǫ(n). Então, basta-nos calcular a FT da função de Heaviside eaplicar a propriedade anterior, tendo em conta as características da funçãoδ. A T F [ǫ(n)] não pode ser calculada directamente, visto a série que adefiniria não ser somável. Para obter o resultado pretendido, notamos queδ(n) = ǫ(n) − ǫ(n − 1), donde, por aplicação da TF se obtém:

1 = 1 − e−iω

E (eiω)

Esta equação tem, como solução: E (eiω) = 1[1−e−iω ] se ω = 2kπ,k ∈ Z.Nos pontos ω = 2kπ e, em particular, para ω = 0 a solução tem mais um

termo da forma+∞−∞

δ(ω − 2kπ) pelo que

E (eiω) =1

[1 − e−iω]+ π

+∞−∞

δ(ω − 2kπ) (6.21)

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174CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

donde se obtém, facilmente, o resultado (6.20). Se considerarmos, apenas,

o intervalo fundamental, obtemos:

T F

n−∞

x(k)

=

X (eiω)

[1 − e−iω]+ πX (ei0)δ(ω) (6.22)

Exercício 57 – Função sinal

Usando a relação (6.21) calcule as TF de

(a)

sgn(n) =

1 n > 0

0 n = 0

−1 n < 0.

(b)

sgnd(n) =

1 n ≥ 0

−1 n < 0.

exprimindo-as em termos da função degrau unitário acima considerada.

11. Correlação

Esta propriedade resulta facilmente da propriedade da convolução. Bastasubstituir y(n) por y(−n). Temos então

T F ∞

−∞x(k).y(k

−n) = X (eiω).Y (e−iω) (6.23)

Sendo y(n) real, podemos escrever, atendendo ao facto de a sua TF serhermiteana:

T F

∞−∞

x(k).y(k − n)

= X (eiω).Y ∗(eiω) (6.24)

12. Relação de ParsevalEsta relação permite calcular a energia de um dado sinal no domínio dafrequência. Basta usar o integral de inversão na equação acima e fazern = 0. Com efeito

∞−∞

x(k).y(k) = 12π

π

−π

X (eiω).Y ∗(eiω)dω

que é a relação de Parseval generalizada. Fazendo y(n) = x(n), obtemos

∞−∞

|x(k)|2 =1

π−π

X (eiω)2 dω (6.25)

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6.4. A TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 175

que é a relação de Parseval usual. A relação de Parseval estabelece que

a energia de um sinal também pode ser determinada integrando a ener-gia por unidade de frequência, 12π

X (eiω)2, ao longo de um intervalo de

comprimento 2π. A funçãoX (eiω)

2 é designada por densidade espectralde energia do sinal.

6.4 A transformada de Fourier de sinais periódi-

cos

Considere-se o sinal cuja transformada de Fourier verifica a condição X (ω) =2πδ(ω − ω0), para intervalo valores de ω, ω0 ∈ [0, 2π[ . O sinal pode ser deter-minado analiticamente recorrendo à expressão (6.2), obtendo-se

T F −1 [2πδ(ω − ω0)] = eiω0n (6.26)

Conclui-se assim que o sinal em estudo é a exponencial complexa de frequênciaω0 ou, dito de forma inversa, a transformada de Fourier da exponencial com-plexa eiω0n é a função que, no intervalo [0, 2π[ corresponde ao impulso unitáriocentrado na frequência ω0. Deve, no entanto, ter-se em atenção que, uma vezque a transformada de Fourier é periódica, X (ω) deverá ser uma função cujosvalores se repetem em intervalos de largura 2π, tal como se representa na figura6.9

Figura 6.9: Transformada de Fourier da exponencial complexa eiω0n

A expressão que corresponde à função representada na figura 6.9 é X (ω) =

2π +∞−∞

δ(ω − ω0 − 2kπ). Esta expressão é válida para qualquer valor de ω.

Considere-se agora um sinal periódico genérico. A sua representação em sériede Fourier é, como vimos

x(n) =N −1k=0

C kei2πN

kn

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176CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Cada uma das N exponenciais complexas ei2πN

kn que o compõem tem uma

transformada de Fourier da forma 2π

+

∞m=−∞ δ(ω − 2πnN − 2mπ). Fazendo uso da

linearidade da transformada de Fourier, facilmente se verifica que

X (ω) =N −1k=0

C k2π+∞

m=−∞δ(ω − 2πk

N − 2mπ)

Trocando a ordem dos somatórios a função escreve-se na forma

X (ω) = 2π+∞

m=−∞

N −1k=0

C kδ(ω − 2πk

N − 2mπ) (6.27)

cuja representação gráfica se ilustra na figura 6.10.

Figura 6.10: Transformada de Fourier de um sinal periódico de período 5

Exercício 58 – Sinusóides reaisUse o resultado expresso em (6.26) para calcular as TF de

1. sen ω0n e cos ω0n

2. sen(ω0n + θ) e cos(ω0n + θ)

3. sen2 (ω0n + θ) e cos2 (ω0n + θ)

4. sen(ω0n + θ)cos(ω0n + θ)

Exemplo 9 - TF da soma de 2 sinais periódicos

Considere-se o sinal x(n) = sen 4π8

n + 12

sen 6π8

n de período 8. Mostre que osseus coeficientes de Fourier valem: C 2 = −X −2 = 1

2i, C 3 = −X −3 = 1

4i, sendo

os restantes coeficientes são todos zero. Daqui resulta o espectro da figura 6.11

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6.5. A SÉRIE DE FOURIER COMO AMOSTRAGEM DA TRANSFORMADA DE FOURIER177

Figura 6.11: Transformada de Fourier de x(n) = sen4π8n + 12

sen6π8n

Figura 6.12: Sinal aperiódico de duração finita

6.5 A série de Fourier como amostragem da trans-

formada de Fourier

Considere o sinal não periódico x(k), representado na figura 6.12A sua TF é dada por:

X (ω) =

N 2N 1

x(k)e−iωk

Construa-se o sinal de período N = N 2 − N 1 + 1 por repetição de x(k). Essesinal, representado na figura 6.13, tem como coeficientes de Fourier

X k =

N 2N 1

x(n)e−i

2πk

N n

Pode-se concluir que, para valores de frequência correspondentes a ω = 2πkN , a

transformada de Fourier do sinal x(n) pode ser calculada a partir dos coeficientesda série de Fourier do sinal periódico, de período N , construído a partir de x(n):

X (ωk) = N X k

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178CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

Ou seja, podemos concluir que amostrar a TF X (ω) numa grelha ωk = 2πkN

com

k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 é equivalente a repetir o sinal cuja transformada é X (ω)com um período igual a N . Se for x p(n) o sinal obtido através dessa repetição,temos:

x p(n) =+∞

m=−∞x(n − mN )

Figura 6.13: Sinal periódico obtido por repetição de um sinal de duração finita

Se a duração de x(n) for inferior a N , este sinal pode sempre ser recuperado apartir de um período qualquer do sinal x p(n). Tal não acontece se essa duraçãofor superior a N . Nesse caso, há sobreposição de troços originando o que secostuma chamar "aliasing". Por exemplo, o sinal x(n) = anǫ(n), por maiorque se escolha o valor de N , há sempre "aliasing"que, no entanto, se pode tornar

tão pequeno quanto se queira. Na figura 6.14 esse efeito pode observar-se nasamplitudes dos picos.

6.6 Conclusões

Apresentámos a análise de Fourier de sinais discretos não periódicos determi-nísticos. Introduzimos a Transformada de Fourier e apresentámos as suas pro-priedades. Esta transformada permite-se passar do domínio do tempo para odomínio da frequência onde algumas operações são mais fáceis de realizar ealgumas características dos sinais mais facilmente observáveis e interpretadas.

6.7 ExercíciosExercício 59 – Determine a transforma de Fourier de

1. cos pi4

n

. [ǫ(n + 20) − ǫ(n − 20)]

2.

1 2 < n < 10

0 outros valoes de n

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6.7. EXERCÍCIOS 179

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

Figura 6.14: Sinal periódico obtido por repetição de um sinal de duração infinita

3.+∞

m=−∞δ (n − 2 − 5m)

4. sen pi4

n

.2−nǫ(n)

5. sen pi4 n

.e−iπn

Exercício 60 – Determine a transforma inversa de Fourier de

1. cos(ω) . [ǫ(ω + π/4) − ǫ(ω + π/4)]

2.

1 π/4 < |ω| < π/2

0 outros valoes deω

3.+∞

m=−∞δ (ω − 2 − 2πm)

4. 1e2iω−0.8

5. 1e−2iω+2

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180CAPÍTULO 6. A TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO

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Capítulo 7

Filtragem. Desenho de filtros

7.1 Os filtros

7.1.1 Considerações gerais

A designação de filtro, habitualmente usada em referência aos sistemas lineares,deriva da possibilidade de certos sistemas1 eliminarem ou atenuarem fortementecertas harmónicas ou bandas. O sistema funciona, neste caso, como um selectorde frequências, deixando passar umas e retendo outras: é o caso do filtro usadona sintonia de emissores de rádio. A este tipo de sistema damos o nome defiltro de selectividade. A banda onde o filtro praticamente não altera o sinalchama-se banda passante (BP), em oposição à banda de rejeição (BR),

onde o sinal é eliminado ou fortemente atenuado. No caso dos filtros não-ideais há uma banda entre aquelas duas e que é chamada banda de transição(BT). No entanto, há outros Sistemas Lineares, também apelidados de filtros,que se destinam, não a filtrar no sentido precedente, mas a alterar a forma doespectro de um dado sinal: são os filtros de forma. O conceito de filtro deforma é extremamente importante na modelação de certos sinais encontradosna prática. No entanto, o seu estudo ultrapassa o âmbito deste texto, pelo quenão regressaremos a este tema.Vamos dedicar atenção exclusivamente aos SL como selectores que referiremos,apenas, como filtros. Para entender um pouco melhor a sua acção, introduzimos,seguidamente, a noção de filtro ideal. O conceito de filtro ideal é extremamenteimportante em Processamento de Sinais, pela comodidade e facilidade que in-

troduz em certo tipo de análise, embora sabendo não ter realizabilidade física.Além disso, é sempre um sistema acausal. As figuras seguintes mostram os dia-gramas espectrais de três tipos de filtros ideais. Normalmente só se representa odiagrama de amplitude. A fase supõe-se sempre como sendo uma função linearda frequência. Como este tipo de fase apenas provoca um atraso no tempo,vamos supor frequentemente que ela é nula. Estando a lidar com filtros a tempo

1Não necessariamente lineares

181

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182 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

discreto, as respostas em frequência representadas são periódicas de período 2π.

No entanto, restringiremos a RF ao intervalo [-π,π[, sempre que tratarmos dequestões teóricas, ou ao intervalo [0,2π[, quando nos referirmos a questões deíndole prática, pelo facto de nas aplicações usarmos a DFT, que privilegia osegundo intervalo.

Na figura .1, está representado um filtro passa-baixo ideal de espectro deamplitude

H b(ω) =

1 |ω| ≤ W 0 |ω| > W

(7.1)

e, como se disse, fase linear. A resposta impulsional é, então, dada, no casode fase nula, por:

hb(n) =sen(W n)

πn (7.2)

onde, obviamente, W deve ser inferior a π.

Figura 7.1: Filtro ideal passa-baixo

O caso passa-banda obtém-se com relativa facilidade a partir do caso ante-rior. Seja ω0 a frequência central da banda passante. Não é difícil de verificarque a resposta em frequência do filtro, HB(ω) é dada por:

H B(ω) = H b(ω + ω0) + H b(ω − ω0) (7.3)

donde, aplicando a propriedade da modulação, se obtém a resposta impulsi-onal:

hB(n) = eiω0nsen(W n)

πn+ e−iω0n

sen(W n)

πn= 2cos (ω0n)

sen(W n)

πn(7.4)

O caso passa-alto obtém-se a partir do passa-baixo da forma seguinte:

H a(ω) = H b(ω + π) (7.5)

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7.1. OS FILTROS 183

Α(ω)

π−πFigura 7.2: Filtro ideal passa-banda com fase nula

ou porH a(ω) = 1 − H b(ω) (7.6)

que se pode escrever duma forma mais explícita na forma:

H a(ω) =

1 |ω| W 0 |ω| < W

(7.7)

Então a resposta impulsional é:

ha = δ(n) − sen(W n)

πn(7.8)

De forma análoga se obtém um elimina-banda a partir de um passa-banda:He(ω) = 1 - HB(ω)sendo a resposta impulsional dada por

he = δ(n) − 2cos(ω0n) sen(W n)πn

(7.9)

Figura 7.3: Filtro ideal passa-alto de fase nula

Como se intui das figuras anteriores, um filtro ideal elimina completamenteas componentes frequenciais localizadas na banda de rejeição. Este facto éresponsável pelos caracteres acausal e IIR dos filtros ideais.

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184 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Alguns filtros úteis

Seguidamente, apresentamos alguns filtros extremamente importantes:

• O acumulador

A resposta impulsional do acumulador é dada por:

hA(n) = un (7.10)

a que corresponde a RF

H A(eiω) =1

1 − e−iω(7.11)

Como é facil de verificar, a equação às diferenças correspondente é:

y(n) − y(n − 1) = x(n) (7.12)

Essencialmente é uma tradução de uma aproximação reactangular de umintegrador. Há um sistema muito semelhante cuja RF é dada por:

H A(eiω) =1

2

1 + e−iω

1 − e−iω(7.13)

A que corresponde a seguinte equação:

y(n)

−y(n

−1) =

x(n) + x(n − 1)

2

(7.14)

Não é mais do que a versão discreta de um integrador trapezoidal. Maistarde, usaremos estes dois "integradores” quando tratarmos do desenhode filtros IIR.

• O diferenciador

Trata-se de um sistema que efectua a derivação numérica. É um sistemadiscreto cuja RF, representada na fipura seguinte, é dada por:

H D(eiω) = iω − π ω π (7.15)

A correspondente RI é

hD(n) =

(−1)n

n n = 00 n = 0

(7.16)

Não há nenhuma equação às diferenças que represente exactamente esteSLIT. Usando técnicas de desenho de filtros, conseguimos obter filtros queaproximam razoavelmente bem este filtro. O sistema cuja RF é dada por:

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7.1. OS FILTROS 185

Figura 7.4: Diferenciador ideal e aproximado

H A(eiω) = 1 − e−iω (7.17)

é uma boa aproximação nas baixas frequências. A correspondente respostaimpulsional é igual a:

ha = δ(n) − δ(n − 1) (7.18)

e a equação às diferenças é:

y(n) = x(n) − x(n − 1) (7.19)• O transformador de Hilbert Trata-se de um sistema muito útil em

Telecomunicações e na definição de frequência instantânea de um sinal,porque permite a criação de um sinal com uma única banda lateral. Asua RF é dada por:

H H (eiω) = −isgn(ω) (7.20)

sendo a correspondente RI:

hH (n) =

2sen2(nπ/2)

πn n = 00 n = 0

(7.21)

Esta RI pode escrever-se na forma:

hH (n) =

2πn

n impar0 n par

(7.22)

Nas aplicações práticas, opta-se por uma de duas soluções:

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186 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.5: Tranformador de Hilbert

– Truncar as RI de forma a ficarem com 2N+1 pontos ( N ∈ ℵ) e transladam-se para a direita N pontos para se obterem sistemas cau-sais.

– Desenhar, usando métodos que mais tarde descreveremos, filtros dotipo FIR que aproximem razoavelmente bem a RF acima apresentada.

O uso da DFT permite uma implementação simples trabalhando directa-mente na frequência.

7.2 Os filtros FIR

7.2.1 Introdução

Nesta secção vamos analisar alguns dos aspectos mais relevantes dos filtros deresposta ampulsional finita (FIR). Estes filtros são extremamente importantesnas aplicaç oes justifacando um estudo cuidadoso. Embora não estudemos empormenor todos tipos de projecto destes filtros, focaremos adiante os mais im-portantes.De acordo com o refererido nos capítulos precedentes, em geral, podemos clas-sificar os filtros em tempo discreto de acordo com o esquema seguinte

FILTROS F IR

N ao − recursivosRecursivos

IIR

De salientar que os filtros não recursivos são sempre FIR. No entanto, épossível ter-se filtros FIR recursivos. Por exemplo, o sistema definido pela RI:

h(n) = an−1[u(n − 1) − u(n − 5)] (7.23)

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7.2. OS FILTROS FIR 187

Como facilmente se verifica a resposta impulsional h(n) é de duração finita;

logo estamos na presença de um FIR. A sua função de transferência H(z) é dadapor:

H (z) =4

n=1

an−1z−n = a−14

n=1

a

z

n(7.24)

ou

H (z) =z−1 − a4z−5

1 − a−1(7.25)

que invertida dá a equação às diferenças

y(n) = x(n − 1) − a4x(n − 5) + ay(n − 1) (7.26)

Verifica-se que (7.26) contém uma malha de rectroacção devido à prepença

de y(n-1). Em termos de uma estrutura do tipo apretentado anteriormemte,pode-se expressar na forma representada na figura .13.

Figura 7.6: Estrutura de um filtro FIR recursivo

onde se pode visualizar a presença da rectroacção. Devido ao facto de os fil-tros FIR utilizarem predominantemente estruturas não-recursivas, considerare-mos que os FIR são sempre não-recursivos, salvo os casos em que eventualmentese indique explicitamente o contrário. O caso não-recursivo é descrito, sempre,por uma equação do tipo:

y(n) =

M

i=0

bix(n − i) (7.27)

A resposta impulsional é dada por:

h(n) = bn n = 0,...,M (7.28)

e a FT por:

H (z) =M i=0

biz−i (7.29)

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188 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

O processo de transformar a equação às diferenças numa estrutura de pa-

râmetros concentrados chama-se realização do filtro. Para realizar os filtrosexistem muitas estruturas possíveis. Como vimos anteriormente, um filtro naforma canónica contém o menor número de elementos de atraso. Para imple-mentar (ffil21), podemos recorrer ao seguinte esquema, que não é mais do queuma tradução directa e genérica da equação às diferenças, e que se designa porForma Directa ou Forma Transversal .

Figura 7.7: Forma directa de um filtro FIR

Como se observa na figura anterior, os coeficientes do filtro coincidem comof valores da RI. Tal não sucede, por exemplo, na estrutura em grade que jáapresentámos anteriormente. No entanto, as implementações com base nestaestrutura apresentam várias particularidades interessantes e relevantos em ter-mos de processamento de sinal,como por exemplo:

• A resposta na frequência destes filtros é pouco sensível a variações ns pre-cisão dos coeficientes

• Esta estrutura tem uma boa corrempondência com certos modelos que fo-ram formulados para a voz humana. Logo, podem obter-se vartagens con-sideráveis aquando da utilização destes no processamento de voz

• Esta estrutura, devido às suas propriedades, é boa para realizar filtros adaptativos, isto é, filtros cujos coeficientes variam de modo a satisfazerem certos critérios e de acordo com as caraccerítticas do sinal de entrada.

• Muitas vezes refere-se esta estrutura como uma estrutura em escada. Os

coeficientes são calculados a partir dos coeficientes da resposta impulsio-nal, h(n), usando a recursão de Levinson anteriormente apresentada.

7.2.2 Filtros FIR de Fase Linear

Consideremos a FT de um filtro FIR (7.29). Trata-se de um polinómio em z−1,portanto factorizável na forma:

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7.2. OS FILTROS FIR 189

H (z) = H 0

M i=1

1 − ziz−1

(7.30)

Atentendo a que se trata de um sistema real, as raízes zi, i = 1, ..., M, ousão reais ou complexas conjugadas, 2 a 22. Se além disso, forem recíprocas 2a 23, o polinómio gerado por elas tem coeficientes simétricos ou anti-simétricos(ver a figura seguinte). Nesta situação, é relativamente fácil ver que o sistemaassociado tem fase linear. Definindo atraso de grupo de um filtro como umamedida do atraso médio do filtro, ou seja, o atraso da saída do sistema, emtermos de número de amostras, relativamente ao sinal de entrada que lhe dáorigem,

τ g =dΘ(ω)

(7.31)

no caso de um filtro de fase linear, o atraso de grupo é constante, pelo queas componentes do sinal de diferentes frequências sofrem todas o mesmo atrasona passagem eelo filtro.

Figura 7.8: Distribuição dos zeros de um filtro FIR simétrico

Suponhamos que o filtro FIR em causa é de ordem M. Pode mostrar-se queo sinal de saída tem um atraso de grupo de M/2 amostras. Se M fo ímpar, este

ponto é um número inteiro de amostras, logo, pertence a h(n). Se M for par, oponto situa-se entre duas amostras de h(n). O diferenciador e o transformadorde Hilbert são exemplos de sistemas anti-simétricos, embora iIR. As relaçõesentre os coeficientes permitem obter realizações de filtros FIt mais eficientes,em termos de esforço domputacional, como é o caso da figura seguinte.

2evidentemente que pode haver raízes múltiplas.3Dois números dizem-se recíprocos, se o seu produto for igual a 1.

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190 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.9: Estrutura que explora a simetria dos coeficientes

Na definição rntroduzida de filtro FIR, a ordem é M. Contudo e motivadopelo uso da FFT, é usual representar a ordem por N-1. Faremos isso, a partirdaqui.

Estudo da resposta na frequência de filtros de fase linear

Para fazer este estudo, vemos subdividi-lo em 2+2 casos possíveis de H(eiω),consoante a simetria dos coeficientes e a paridade da ordem. Sendo assim, te-mos:

FIRdefaselinear coefs.simetricos : h(n) = H (N − 1 − n)

coef s. anti − simetricos : h(n) = −H (N − 1 − n)

Vejamos em termos s gráfilos essa subdivisão para filtros tipo passa-baixo.Na tabela da página seguinte, apresentam-se as expressões de H(eiω) para os

quatro casos. Analisando H(eiω) para os casos em que ω=0,π, podem axtrair-seas seguintes conclusões:

• Coeficientes Simétricos - N parComo a resposta na frequência tem que verificar H(eiπ)=0, este tipo defiltros não é aconselhável para realizar filtros passa-alto e rejeita-banda.

• Coeficientes Simétricos - N ímpar

Pode ser utilizado para qualquer tipo de filtro.

• Coeficientes Anti-Simétricos - N par

Como H(ei0)=1, os filtros obtidos são tipo transformadores de Hilbertpassa-alto e diferenciadores “ideais”.

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7.2. OS FILTROS FIR 191

Figura 7.10: Coeficientes simétricos de filtros FIR tipo passa-baixo para M=24e M=23

• Coeficientes Anti-Simétricos - N ímpar

Quando o N é ímpar, a resposta na frequência tem que ser 0 para os casosω=0,π. Sendo assim o filtro de Hilbert é do tipo passa-banda, enquantoo diferenciador desce abruptamente para 0 só na vizinhança de π.

Coeficientes N H(eiω)

h(n) = h(N-1-n) par e−iωN2

N2

k=1 bkcos (ω(k − 1/2)]

h(n) = h(N-1-n) ímpar e−iωN−12

N−12

k=1 akcos(ωk)

h(n) = - h(N-1-n) par e−i(ωN−12 −π

2 ) N2

k=1 bksen (ω(k − 1/2)]

h(n) = - h(N-1-n) ímpar e−i(ωN−12

−π2 ) N

2

k=1 aksen(ωk)

ak = 2hN −12 − k

bk = 2h

N 2

− k

k = 0, 1, . . .

Vai-se proceder de seguida à dedução da expressão para H (eiω), mas para ocaso de coeficientes simétricos e N ímpar, que, na realidade, reflecte o caso maiscomum. Usando as opções de simetria e o facto de N ser ímpar resulta:

H(eiω) = N−12

−1n=0 h(n)e−iωn + h N −1

2 e−iωN−12 + N −1

n=N−1

2+1

h(n)e−iωn

ou

H (eiω) =

N−32

−1n=0

h(n)e−iωn + h

N − 1

2

e−iωN−1

2 +N −1N+12

h(n)e−iωn (7.32)

Trabalhemos sobre a última parcela de (7.32). Utilizando h(n) = -h(N-1-n), m

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192 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.11: Coeficientes anti-simétricos de filtros FIR tipo passa-baixo paraN=22 e N=21

= n-(N-1) transforma-se em:

N −1N+12

h(n)e−iωn =N −1

N+12

h(N − 1 − n)e−iωn =

=0

n=−N−32

h(−n)e−iω(N −1+n)

e fazendo n = -m transforma-se em:

N −1N+12

h(n)e−iωn =n=N−3

20 h(−n)e−iω(N −1−n)

Substituindo em (7.32) obtém-se

H (eiω) = 2e−iωN−12

N−32

n=0 h(n)

eiω

N−12 +e−iω

N−12

2

+ h

N −12

e

H (eiω) = 2e−iωN−12

N−32

n=0 h(n)cos(ω N −12

) + hN −12

fazendo k=N −1

2 − n, resulta

H (eiω) = 2e−iωN−12

N−12

n=0

h(n)cos(ωN − 1

2)

(7.33)

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7.3. PROJECTO DOS FILTROS FIR 193

onde se usaram as relações da última linha da tabela antes apresentada. Temos

estado a analisar o caso de filtros causais. Se não estivermos preocupados como atraso, podemos remover o factor de fase e obter um sistema acausal. Os doissistems têm o mesmo espectro de amplitude A(ω) mas diferente espectro de fase,Θ(ω). Recorrendo á propriedade da translação no tempo dos sinais discretospodemos concluir que h(n) = h[n + N −1

2]. Sendo assim h(n) é simétrica e o

sistema é acausal, mas tem fase nula. Isto é importante em certas aplicações.

7.3 Projecto dos filtros FIR

O projecto de um filtro segue um procedimento em 5 etapas:

• Especificação do filtro - Pode incluir:

– respostas em frequências desejadas– tolerâncias aceitáveis

– comprimento de palavra, no caso de realização digital

• Cálculo dos coeficientes –Este cálculo está dependente das especifica-ções

• Realização –Escolha da estrutura

• Análise dos problemas da precisão finita –Essenciais no caso de im-plementação em DSP.

• Implementação –Produção do software ou hardware implementando o

filtro

Estas etapas devem ser seguidas duma forma iterativa com acertos e conces-sões sucessivas de forma a obter uma solução aceitável. Atendendo a este factoe antes de nos debruçarmos sobre a questão do projecto de filtros FIR vamos es-tudar a especificação. Por ora, apresentaremos a especificação standard em quesó se específica uma banda passante ou só uma banda de rejeição. A generali-zação para especificações multibanda é imediata. Há várias formas de projectarfiltros FIR. Vamos estudar as mais importantes. Convém acrescentar que o pro-

jecto de filtros é assunto sempre em actualidade, sendo propostos novos métodose/ou algoritmos com bastante frequência. Os métodos mais importantes são:método das janelas, por amostragem na frequência e o método óptimo.

7.3.1 Especificação de filtros

As especificações desejadas para o filtro do tipo passa-baixo são expressas pelasgrandezas, que se indicam na figura seguinte.

No entanto, é habitual fixar a amplitude desejada na banda pessante (BP)igual a 1. Depois da realização, a RF vai oscilar em torno daquele valor dentrode um intervalo [1 − δ p, 1 + δ p]. As grandezas a aspecificar são as seguintes:

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194 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.12: – Especificação de um filtro passa-baixo

• A p atenuação máxima que se pode verificar na banda passante

• Cálculo dos coeficientes –Este cálculo está dependente das especificações

• As atenuação mínima que se pode verificar na banda passante

As = −20log10 (δs)

• δs amplitude da oscilação (tremor)

• f c - frequência de corte da banda passante

• f s - frequência de corte da banda de rejeição

• ∆ –largura das bandas de transição ∆ = f s − f c

Nas figuras seguintes, apresentamos as especificações dos outros tipos defiltros.

Apresentam-se na tabela seguinte as expressões das respostas impulsionaisdos filtros ideais, hd(n), consoante o tipo de filtro desejado. Há uns fiíltros es-pecialmente importantes na implementação de sistemas multirritmo onde sãousados como filtros anti-imagem. São os chamados filtros de meia-banda quesão filtros de fase linear mas que têm uma largura de banda passante igual àlargura da banda de rejeição, ou seja:

f s =1

2− f c (7.34)

Este tipo de filtros é muito utilizado quando se pretende variar o ritmo deamostragem em factores de 2. A generalização das especificações para filtrosmulti-banda é óbvia.

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7.3. PROJECTO DOS FILTROS FIR 195

Figura 7.13: – Especificação de um filtro passa-alto

Figura 7.14: – Especificação de um filtro passa-banda

Tipo de filtro hd(n) comPassa-baixo 2f 0sinc(f 0n) f 0 = f c+f s

2 ∆f = f c − f s

Passa-alto −2f 0sinc(f 0n) n = 0

1 − 2f 0 n = 0

f 0 = f c+f s2

∆f = f c−

f s

Passa-Banda

2f 02sinc(f 02n)−2f 01sinc(f 01n) n = 0

2(f 02 − f 01) n = 0

∆f l = f c1 − f s1 f 01 = f c1 − ∆f 2

∆f h = f s2 − f c2 f 02 = f c2 + ∆f 2

∆f = min [∆f l, ∆f h]

Elimina-banda

2f 01sinc(f 01n)−2f 02sinc(f 02n) n = 0

2(f 01 − f 02) n = 0

∆f l = f s1 − f c1 f 01 = f c1 + ∆f 2

∆f h = f c2 − f s2 f 02 = f c2 − ∆f 2

∆f = min [∆f l, ∆f h]

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196 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.15: – Especificação de um filtro elimina-banda ou tampão

7.3.2 Projecto usando o método das janelas

O método daf janelas recorre à resposta impulsional ideal h d(n) para cada tipode filtro – Pb, PA, PB, RB4. As especificações dos filtros baseiam-se nos filtrosstandard uma vez que só se especifica uma banda passante, ou só uma bandade rejeição.Come se sabe, hd(n) é ilimitada e acausal, daí ter-se de truncar hd(u) usandouma janela. Comecemos por analisar o caso clássico de um filtro passa-baixoideal:

H (eiωT ) = 1

|ω| ≤

ωc0 ωc < |ω| < π (7.35)

e cuja RI é dada por:

hd(n) = 2f c.sinc(f cn) (7.36)

onde f c = ωc2π

. Um filtro com esta resposta impulsional não é implementável,pois a resposta impulsional é infinita e acausal. Para se obter uma respostafinita trunca-se hd(n), aplicando uma japela, w(n).

h(n) = w(n).hd(n) (7.37)

Se a janela mantiver a secção central da RI, então, obtém-se um filtro FIR

de fase linear. Convém notar que esta utilização da janela não dá origem a umsistema causal. Para que tal aconteça desloca-se, no tempo, a resposta impulsi-onal h(n), como vimos atrás. Posto isto e como uma translação no tempo nãoafecta A(ω), pode-se calcular e usar uma RI, h(n), acausal e depois transladar osvalores de modo a obter-se uma resposta impulsional causal. O recurso a uma

janela rectangular, na truncagem, dá origem ao chamado efeito Gibbs. Este

4Passa-baixo, passa-alto, passa-banda e elimina-banda (tampão).

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7.3. PROJECTO DOS FILTROS FIR 197

fenómeno manifesta-se através de oscilações nas zonas de transição abruptas,

isto é, nas bandas de transição. Estas oscilações têm um valor máximo, que éde cerca de 9 do valor da variação de atenuação entre a banda passante e ade rejeição. Mais ainda, este valor não decresce com o aumento do tamanhoda janela, ou seja, da resposta impulsional. O que acontece é que as oscilaçõesficam confinadas a um intervalo menor. Pode-se, desde logo, verificar que autilização da janela rectangular não é uma forma muito eficaz de se obterem oscoeficientes do filtro. O fenómeno de Gibbs pode ser atenuado através do usode uma truncagem menos abrupta, isto é, recorrendo a janelas que convirjamsuavemente para zero. Claro está que esta melhoria tem o reverso da medalha,ou seja, a redução das oscioações é sempre acompanhada de um aumento dabanda de transição. No entanto esta largura é passível de ser controlada atravésdo aumento da ordem N do filtro.

Janelas mais comuns

As janelas mais usadas no desenho de filtros FIR pelo método das janelas são:

• Rectangular5

wr(n) = 1 |n| ≤ N − 1

2(7.38)

• Hamming

wH (n) = α + (1 − α)cos

2πn

N

|n| ≤ N − 1

2comα = 0.54 (7.39)

• Hanning 6

É semelhante à de Hamming e obtém-se da expressão anterior, fazendoα = 0.5.

• Blackman

wB(n) = 0.42+0.5cos

2πn

N − 1

+0.08 cos

4πn

N − 1

|n| ≤ N − 1

2(7.40)

Para comparar as diferentes janelas escolheram-se os parâmetros A, B, C eD ver a figura 0.32. Sabe-se que a diferença entre o nível do lóbulo principale o nível máximo dos lóbulos laterais é um bom indicador da atenuação entre

bandas e o declive na banda de transição determina a largura desta.Na tabela seguinte pode-se observar um estudo quantitativo dos parâmetros

para estas quatro janelas. A partir da tabela verifica-se que o nível máximo dotremor na janela de Hamming é consideravelmente menor que o observado na

janela rectangular. Mas, em contrapartida, a largura da banda de transição (B)

5Suporemos que N é ímpar; se N for par, teremos |n| ≤ N

26Mais correctamente Hann.

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198 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.16: Parâmetros característicos das janelas

é maior. Isto significa que, a um aumento em C, correspondem bandas de tran-sição menos abruptas e a tremores nas bandas passante e de rejeição menores.É com estes dois aspectos que se joga quando se utilizam estas janelas. A tabelaanterior salienta o facto de que, às janelas com um maior declive útil (A), istoé, lóbulos laterais menores, correspondem valores da largura do lóbulo principal(C) maiores. Sendo assim e com o intuito de se obterem bandas de transiçãomenores, é necessário aumentar a ordem N do filtro.

Tabela .2

Janela A B (2π x) C D Tremor na BPRectangular 13 dB 0.9/N 4π/N 21 dB 0.7416

Hamming 41 dB 3.3/N 8π/N 53 dB 0.0194

Hann 31 dB 3.1/N 8π/N 44 dB 0.0546Blackman 57 dB 5.5/N ≈ 12π/N 74 dB 0.0017

A janela rectangular tem claramente a banda de transição mais estreita paraum dado N. As três primeiras janelas padecem de um problema: a largura dolóbulo principal é inversamente proporcional a N, isto é, à largura, no tempo,da janela. Logo, se pretendermos filtros com bandas de transição menores, ouseja, se aumentarmos N , vemo-nos confrontados com o facto de que a largurada banda passante também diminui. Outro facto a ter em conta é a mínimaatenuação na banda de rejeição (D). Esta atenuação é independente da largurada janela, N , e depende somente do tipo de janela em si. Sendo assim, paraatingirmos uma atenuação mínima desejada temos de procurar qual a janela quea proporciona. Pode-se, desde já, resumir e enumerar algumas das propriedades

desejáveis nas janelas utilizadas no projecto de filtros FIR com fase linear. As janelas devem ter uma:

• Duração finita,

• Transformada de Fourier que seja o mais próxima possível de uma fudçãolimitada, ou seja, os lóbulos laterais da resposta na frequência da janela devem decrescer rapidamente para 0 à medida que ω tende para π,

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7.3. PROJECTO DOS FILTROS FIR 199

• A relação entre a energia do lóbulo principal e dos lóbulos laterais a maior

possível.Existem janelas que maximizam esta relação de energia e são denominadas

por “prolate-spheroidal wave functions”, só que são extremamente difíceis de cal-cular e utilizar. O método das janelas, apesar de ser fácil de utilizar, tem algunsproblemas que, por vezes, impedem a sua utilização. Como se pode verificar, aexpressão de hd(n) tem de ser conhecida ou então os seus valores determinados"a priori". Nem sempre os valores de hd(n) são fáceis de determinar. Outra des-vantagem reside no facto de que a ordem N , obtida para implementar o filtro,não está optimizada, logo um maior esforço computacional será exigido ao fil-tro. Sendo assim, os desempenhos dos filtros podem ser melhoradas recorrendoa outros métodos, como se verá mais adiante.

7.3.3 Método da Amostragem na FrequênciaEste método recorre à Transformada de Fourier inversa. Suponhamos que fixa-mos uma dada resposta em frequência H (ω) e que a amostramos em N pontosigualmente espaçados sobre a circunferência unitária. A estes N pontos po-demos aplicar a IDFT para se obterem os N pontos da resposta impulsional.Com este procedimento, podemos garantir que nas N frequências considera-das a aproximação é exacta, enquanto que nas frequências intermédias existemdiferenças sobre as quais não se tem controlo directo. De modo a minorar oerro nas frequências intermédias, algumas das amostras podem ser consideradascomo variáveis flexíveis. Ou seja, por vezes, as amostras que coincidem com asbandas de transição têm um peso inferior às amostras nas bandas passante ede rejeição. Desta maneira, consegue-se minorar o erro entre as respostas na

frequência nas zonas de maior interesse. Convém salientar que, nem sempre,se pode ignorar o que se passa na banda de transição. Na prática, ao invés dese amostrar a resposta ideal na frequência só em N pontos, procede-se a umadmostragem mais fina. Para determinarmos h(n) e como só se pretendem N valores, vai-se aplicar novamente uma jacela ao resultado da IDFT. Este mé-todo é interessante porque permite o projecto ae filtros multibanda, designaçãorelacionada com a possibilidade de se terem várias bandas nas especificações, aocontrário do que se passa no caso do método das janelas. Se a resposta desejadano filtro for razoavelmente suave, isto é, se a resposta na frequência não variarradicalmente entre bandas, o erro de interpolação é geralmente pequeno.

7.3.4 Métodos Iterativos óptimos

Este conjunto de métcdos deixou de ger analítieo tara passar a ser numérico.Parte-se de uma resposta em frequência desejada e tenta-se calcular uma que selhe aproxime optimamente, claro está, de acordo com um determinado critério.Comparendo os métodos analíticos com os numéricos, surgem, desde logo, asseguintes vantagens dos métodos analíticos:

• falicidade de implementação

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200 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

• facilidade de utilização, o que é significativo para os casos em que os coe-

ficientes têm de ser calculados em tempo real.Quanto às desvantagens podemos adiantar as seguintes:

• os tremores δs e δ p têm de ser iguais,

• não há optimização do número de coeficientes N .

Há um número enorme de algoritmos para efectuar esta optimização. Osmais importantes são:Mínimos Quadrados e Minimax. Nestes métodos, a or-dem N do filtro é fixada antecipadamente e os coeficientes são calculados deacordo com um dado critério e correspondente algoritmo de optimização. Nocaso Mínimos Quadrados minimiza-se o integral do quadrado do erro entre a

resposta desejada e a função, ideal e linear por troços, calculada por recurso àinterpolação de Lagrange. Na versão Minimax recorre-se a um algoritmo queminimiza o erro máximo entre a resposta actual e a desejada. Podem-se utilizarvários algoritmos de optimilação do filtro, mas o mais comum é o de Parks-McClellan. Este algoritmo é um processo iterativo que visa minimizar o númerode coeficientes do filtro com fase linear. Este algoritmo faz uso da interpolaçãode Lagrange para obter um polinómio que verifique os tremores permitidos de1 ± δ p e δs, mas com o objectivo de minimizar N .Nos métodos Multibanda são permitidas zonas indiferentes ("don’t care”) farada banda passante. Estas são zonas em que a resposta do filtro não tem queforçosamente respeiter um valor de atenuação máxiro. Através do uso destaszonas obtêm-se filtros de menores ordens. Este tipo de especificações podem

ser muito úteis para os filtros FIR utilizados em sistemas multirritmo. O re-curso a métodos numéricos, na determinação dos coeficientes do filtro, exigecuidados suplementares na sua utilização. Nestes métodos, as zonas das bandasde transição consideradas indeferentes, durante o processo de dosenho, podemter como consequência o falhar da solução numérica, especialmente nas bandasde transição. Um tipo de falha musto frequente sucede nos filtros PB quandoas bandas de transição têm dimensões muito diferantes entre elas. Como re-sultado, podemos obter um lóbulo, na banda de transição de maior dimensão,com amplitude superior ao próprio lóbulo principal da banda passante. Comoprecaução, quando se recorre a métodos numéricos para minimizar N e deter-minar os cosficientes do filtro, deve-se confrontar as especificeções iniciais como resultado obtido pela aplicação do método.

7.3.5 Transformação passa-baixo/passa-alto

O desenho de filtros pode, muitas vezes, ser aligeirado pelo uso de filtros jádefinidos, que podemos alterar. Uma das formas de o fazer é a mudança deescala que permite a alteração da largura de banda, mas que não é muito fácil deimplementar. Outra, muito simples e útil, é a transformação passa-baixo/passa-alto que se obtém usando as relações seguintes:

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7.3. PROJECTO DOS FILTROS FIR 201

h pa(n) = (−1)n

h pb(n) (7.41)e

H pa(f ) = H pb(1

2− f ) (7.42)

7.3.6 FIR versus IIR

Vamos salientar as principais diferenças entre os filtros FIR e IIR.Vantagens dos filtros FIR:

• Podem ser desenhados com fase linear.

• É um ponto importante quando a informação de fase do sinal inicial é necessária, ou seja, quando não se pode introduzir distorção de fase. Comoexemplos, temos o caso do processamento de voz e a transmissão de dados.

• No caso dos IIR, a fase linear só é conseguida de uma forma aproximada e através de um circuito adicional que irá incrementar a complexidade final do sistema.

• Os filtros FIR podem ser eficientemente realizados recorrendo a estruturas,tanto recursivas como não-recursivas.

• Os filtros FIR, quando implementados através de estruturas não-recursivas,são sempre sistemas estáveis (o facto de terem uma resposta impulsional limitada e finita garante que h(n) é absolutamente somável). Isto implica que, no máximo, tenham um pólo na origem.

• Têm menor propagação de erros. Os FIR, quando não-recursivos, estãomenos sujeitos a propagações de erro e ao estado inicial das memórias,pois este só afectará, no máximo, um número de saídas igual à dimensãoda resposta impulsional h(n), que é finita.

• Ruído de quantificação, que é inerente às realizações com aritmética finita,pode ser diminuido quando se recorre a uma estrutura não-recursiva, só possível nos FIR. Para o caso dos FIR recursivos, especial cuidado deve ser tomado, para se obter uma compensação exacta dos pólos e zeros.

• Os filtros FIR podem recorrer com eficiuência a uma filosofia multirritmo.Este tipo de implementação pode permitir reduções importantes na ordem dos filtros.

• Os filtros FIR têm um transitório com duração finita. A resposta de um FIR só depende de um número finito de entradas, logo o transitório é

finito.

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202 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

• A maioria dos métodos de desenho dos filtros IIR baseiam-se nas especifi-

cações clássicas (banda única). No caso dos FIR este tipo de especificações também é válido, e podem ainda ser especificados para situações com vá-rias bandas, para diferenciadores e para satisfazer determinados requisitos na banda de transição.

As desvantagens dos FIR têm origem no facto de, para as mesmas especifi-cações, os filtros FIR requererem ordens mais elevadas relativamente aos IIR.Este facto tem como consequência:

• Mais memória para armazenar os coeficientes, as entradas passadas e para os resultados das operações,

• Maiores atrasos (proporcionais a N) na resposta a uma dada entrada.

• Conforme N seja par ou ímpar, assim se obtêm atrasos na saída, iguais a um número fraccionário ou inteiro, de amostras para o caso dos FIR com

fase linear.

• Existe uma relação directa entre a ordem do filtro FIR e a complexidade final do sistema.

7.4 Projecto de filtros IIR

7.4.1 Os SLIT a tempo contínuo

Os SLIT a tempo contínuo (TC) mais comuns e mais úteis são os sistemas deparâmetros concentrados que são descritos por equações lineares diferenciaiscom o formato geral:

N n=0

anDny(t) =

M m=0

amDmx(t) (7.43)

onde D é o operador de derivação, ddt . A função exponencial est é a função

própria do sistema a tempo contínuo. Semelhentementa, a função exponencial,a tempo discreto, zn, é a função própria do sistema a tempo discreto (TD).Então, fazendo x(t) = est e xn = zn as entradas de ambos os sistemas, assaídas serão y(t) = H c(s)est e yn = H n(z).zn, para os sistemas a TC e TD,respectivamente. Sejam H c(s) e H d(z) as FT dadas por:

H c(s) =

M m=0 amsmN n=0 ansn

(7.44)

e

H d(z) =

M m=0 amz−mN n=0 anz−n

(7.45)

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 203

No que se segue, suporemos que os sistemas são causais e estáveis. Conse-

quentemente, todos os pólos de H c(s) estarão no semi-plano complexo esquerdo,enquanto que os de H d(z) estarão no círculo unitário. Em aplicações práticas,éimportante a transformação TC/TD para:

• Simular sistemas a TC por meio de sistemas a TD.

• Processar sinais a TC por meio de sistemas a TD.

• Projectar sistemas a TD usando as técnicas bem conhecidas de Projectode sistemas a TC.

• Modelar sistemas a TC práticos usando sinais a TD obtidos em medições experimentais.

Nesta secção daremos mais atendção ao ponto c) na sequência do que fizemosna secção anterior. Estas aplicações motivaram o desenvolvimento de diversastécnicas para converter uma equação direrencial puma equação às diferenças(s2z) e vice-versa (z2s). Podemos agrupar os métodos mais importantes emclasses de acordo com a sua forma de conversão:

• Tornando certas respostas invariantes, ou seja, uma dada resposta dum sistema a TC é amostrada para dar a resposta do sistema discreto equiva-lente.

• Transformando cada um dos factores da FT.

• Transformando cada uma das fracções simples na decomposição em frac-ções simples.

• Tornando invariante o espectro de amplitude da FT.

• Convertendo a equação diferencial numa equação às diferenças usandooperadores de diferença.

• Resolvendo numericamente a equação diferencial usando algoritmos de integração numérica.

• Procurando aproximações racionais da função exponencial.

Convém acrescentar que alguns métodos de conversão, embora formalmantediferentes, podem conduzir à mesma solução. Se H c(s) = H 0, H d(z) = H 0,sendo um caso trivial. No caso de sistemas a TC, suporemos, sempre, queM ≤ N , por razões de estabilidade. Embora no caso discreto, não tenhamos tallimitação, continuamos a supô-la, porque o equivalente a TC dum sistema FIRnão é descrito por uma equação diferencial do tipo (7.44).No apêndice A apresentam-se vários protótipos de filtros a tempo contínuo quepodem ser usados para projectar filtros IIR.

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204 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

7.4.2 Transformações de frequências em s

Os protótipos de filtros a tempo contínuo apresentados são do tipo passa-baixonormalizados de forma a que a frequência de corte seja igual a 1 rad/s. Parapassar para um filtro com frequência de corte f c Hz ou ωc rad/s, basta substituirs por s.2πf c ou s.wc. Nada dissemos acerca dos outros tipos de filtros. Vamosagora resolver o problema. Para tal basta-nos usar transformações de frequência.Com elas podemos interconverter diferentes tipos de filtros. Estas transforma-ções são importantes quando, no projecto de filtros Pb, se usa a transforma-ção bilinear que provoca desvios para as baixas frequências, como veremos adi-ante. Assim, efectuando previamente uma passagem para passa-baixo reduzimosaquele efeito.

Suponhamos que temos em filtro passa-baixo (FPb) de frequência de corteW c e e queremos obter outro com f.c. Ωc. Basta efectuar a substituição:

s ⇒ W cΩc

s (7.46)

Com esta substituição, o novo filtro continua a ser um FPb, mas com frequên-cia de corte Ωc. No caso de pretendermos converter um FPb num FPA, asubstituição a fazer será

s ⇒ W cΩcs (7.47)

Para passar de um FPb para um filtro passa-banda (FPB), efectuamos asubstituição:

s ⇒ W cs2 + ΩiΩs

s(Ωs − Ωi)(7.48)

onde ΩiΩs são as frequências de corte inferior e superior. De forma análoga, apassagem de um FPb para um Filtro Elimina-Banda (FEB) ou tampão, obtém-se com a substituição:

s ⇒ W cs(Ωs − Ωi)

s2 + ΩiΩs(7.49)

Isto mostra a razão de nos termos debruçado apenas sobre o desenho de filtrospassa-baixo.

7.4.3 Conversão s para z do tipo Resposta Invariante

A transformaeão resposta invariante é utilizada para obter um sinal discreto a

partir da amostragem de um sinal contínuo de forma análoga ao que foi feitoatrás com a exponencial. Exemplos muito conhecidos ressultantes da definiçãodesta transformação são a resposta impulsional , a resposta ao degrau e aresposia à rampa . Dado um sistema analógico definido por uma função de transferênciaH (s), é possível aproximá-la por uma função de transferência discreta H (z)utilizando a transformdção resposta invariante do seguente modo:

• A entrada x(t) é escolhida (ex.: impulso, degrau ou rampa).

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 205

• A resposta y(t) é calculada através da transformada de Laplace inversa de

H (s)X (s).• A resposta y(n) é obtida através da amostragem de y(t) em intervalos de

amostragem T e Y (z) é a sua transformada Z.

• A entrada x(n) é obtida através da amostragem de x(t), sendo X (z) a correspondente transformada.

• Avaliar a função transferência discreta H (z) = Y (z)/X (z).

Em todas as transformações que apresentaremos, necessitamos de usar umdado intervalo de amostragem, T, ou seja, uma dada frequência de amostragemf a = 1/T . Convém escolher uma frequência maior que o dobro da frequênciade corte do filtro. Mais tarde regressaremos a este assunto.

No exemplo seguinte é aplicada a transformação resposta invariante à funçãotransferência H (s) = 4(s+1)(s+2)

.

Exemplo 1

• Impulso Invariante

Para x(t) = δ(t) temos X (s) = 1Y (s) = H (s)X (s) = 4

(s+1)(s+2)= 4

s+1− 4

s+2ey(t) = 4.[e−t − e−2t]u(t),donde, por amostragem, obtemosy(n) = 4.[e−nT

−e−2nT ]u(n),

cuja Transformada Z éY D(z) = 4z

z−e−T − 4z

z−e−2T

Se x(n) = δn, X (z) = 1H (z) = 4z

z−e−T − 4z

z−e−2T |z| > 1

• Degrau invariante

Para x(t) = ε(t) temos X (s) = 1/sY (s) = H (s)X (s) = 4

s(s+1)(s+2)= 2

s− 4

s+1+ 2

s+2ey(t) = [2 − 4e−t − 4e−2t]ε(t),donde, por amostragem, obtemos

y(n) = [2 − 4e−nT

− 4e−2nT

]ε(n),cuja Transformada Z éY (z) = 4z

(z−e−T )− 4z

(z−e−2T )

Se x(n) = ε(n), X (z) = zz−1

Y D(z) = H (z).X (z) = 2zz−1 − 4z

z−e−T + 2zz−e−2T |z| > 1

Sendo zz−1 a TZ do degrau discreto, obtemos para a função de trasnferência

H (z) = 2 − 4(z−1)z−e−T

+ 2(z−1)z−e−2T

|z| > e−T

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206 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.17: Respostas impulsionais (acima) e correspondentes espectros deamplitude (abaixo): sistema contínuo – traço a cheio, sistema discreto – traçointerrompido

Na figura seguinte mostra-se a comparação entre os diagramas espectraisde amplitude do sistema contínuo original e do sistema discreto.

• Rampa invariante

Para x(t) = tε(t) temos X (s) = 1/s2

Y (s) = H (s)X (s) = 4s2(s+1)(s+2)

= −3s + 2

s2 + 4s+1

− 1s+2

ey(t) = [−3 + 2t + 4e−t − e−2t]ε(t),donde, por amostragem, obtemosy(n) = [−3 + 2nT + 4e−nT − e−2nT ]ε(n),cuja Transformada Z éY D(z) = − 3z

z−1+ 2zT

(z−1)2+ 4z

(z−e−T )− z

(z−e−2T )

Se x(n) = nT ε(n), X (z) = zT (z−1)2

H (z) = −3(z−1)T + 2 − 4(z−1)2

z−e−T + 2(z−1)2

z−e−2T |z| > e−T

A transformação resposta invariante produz uma função de transferênciaque é uma boa aproximação apenas para a resposta ao sinal escolhidoe nção para outras entradas. A qualidade da aproximação depende dointervalo de amostragem T , sendo possível obter bons resultados se T forsuficientemente pequeno.Vamos debruçar-nos um pouco mais sobre o método do impulso invariante.

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 207

Figura 7.18: Respostas em frequência, sistema contínuo – traço a cheio, sistema

discreto – traço interrompido

7.4.4 Impulso invariante

A transformação impulso invariante é um caso particular em que a entrada éx(t) = δ(t). Este método permite efectuar um mapeamento directo de H (s)para H (z). Dada a função de transferência H (s), começamos por decompô-laem fracções simples e transformamos cada uma delas.Considerando H (s) com N pólos simples, pk, k = 1, . . . , N , então H (s) pode serdescrita na forma:

H (s) =N

k=1

Ak

s − pk(7.50)

vindo para as respostas impulsionais a tempo contínuo e discreto, h(t) e h(n)respectivamente:

h(t) =N k=1

Ake pktε(t) e h(n) =N k=1

Ake pkTnε(n) (7.51)

Aplicando a transformada Z a h(n) temos a função transferência discreta:

H (z) =

N k=1

Akz

z − e pkTn=

N k=1

Ak

1 − e pkTnz−1|z| > e− pmT (7.52)

onde pm é o valor máximo do módulo dos pólos. Comparando (7.50) e (7.52)é fácil verificar que, para a transformação impulso invariante, o mapeamentoa efectuar é 1

s− pk ⇒ zz−epkT

= 11−epkT z−1

para o caso causal. Para obter omapeamento para raízes repetidas consideramos o k-ésimo termo H k(s) commultiplicidade M :

H k(s) =Ak

(s − pk)M ⇒ hk(t) =

Ak

(M − 1)!tM −1e pktε(t) (7.53)

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208 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Amostrando hk(t) obtém-se hk(n)

hk(n) = Ak

(M − 1)!(nT )M −1e pkTnε(n) (7.54)

H k(z) = T M −1 Ak

(M − 1)!

−z

d

dz

−z

d

dz

. . . M − 1vezes...

z

z − e pkT

(7.55)

As transformações para raízes distintas, repetidas e complexas estão sumariadasna tabela seguinte

H (s) H (z)1

s − p1

1−epT z−1

1(s − p)2

TepT z−1(1−epT z−1)2

1

(s − p)312T 2epT z−1

( 1 + e pT z−1)(1 − e pT z−1)2

1

(s − p)M T M −1 A

(M −1)!−z d

dz

−z d

dz

. . . M − 1vezes...

z

z−epkT

Exemplo 2

No exemplo seguinte é aplicado o método impulso invariante à função de trans-ferência H (s) = 4

(s+1)(s2+4s+5). Começamos por transformar H (s) numa soma

de fracções simples:

H (s) =

2

2s+1 +

K

s+2+j +

K∗

s+2−jcom K = −1 − i =

√2e−i 3π

4 . A função transferência discreta pode ser obtidada tabela anterior, com b = e−T e a = e−2T

H (z) = 4√2z

z−b

z2cos( 3π4 )−zacos(T − 3π4 )

z2−2azcos(T )+a2

Exemplo 3

Como exemplo aplicamos os resultados anteriores á função de transferênciaH (s) = 1

(s− p)4 :Obtemos a função de transferência discreta:

H (z) = T 3

6 az

(z−a)2 + 6a2z(z−a)3 + 6a3z

(z−a)4 que pode escrever-se na formaH (z) = T 3

6a3z+4a2z2+az3

(z−a)4

7.4.5 Algorítmos de diferenças

Apresentam-se de seguida três métodos para passar de contínuo para discreto,sendo dois deles lineares - directo ( forward ) e reverso (backward ) e o último

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 209

(Tustin ) bilinear. Os dois primeiros efectuam uma aproximação da derivada pela

razão incremental atrasada˙

f (t) =

f (t)

−f (t

−T )

T ou avançada˙

f (t) =

f (t+T )

−f (t)

T que correspondem a fazer uma integração usando uma aproximação rectangulardo sinal. Têm o problema de poderem não preservar a estabilidade. Como severifica facilmente, no primeiro caso, temos uma diferença entre o sinal num dadoinstante e um valor do passado (é um sistema causal). No outro acso, a situaçãoé reversa, vamos do futuro para o passado, pelo que o sistema é anti-causal.Obviamente que este conduzirá a um sistema instável. Sendo assim, deixa deter utilidade, visto que estamos preferencialmente interessados em conversõesque garantam a estabilidade. Esta questão pode estudar-se melhor a partir dastransformações implícitas nas formúlas acima. Com efeito, podemos escrevê-lasna forma:

s =1 − z−1

T (7.56)

es =

z − 1

T (7.57)

Como se pode facilmente verificar, a primeira ransforma o semi-plano complexoesquerdo no interior de uma circunferçência contida no círculo unitário, garan-tindo assim a estabilidade. Tal não acontece no outro caso. O método de Tustinvem resolver esse problema pois a uma função de tranferência contínua estávelfaz corresponder uma função de transferência discreta estável também. Trata-se de um método que utiliza uma aproximação trapezoidal do sinal, revelandopor isso melhores resultados que os dois métodos lineares anteriormente citados.Estes algoritmos são apresensados juntamente com um método de cálculo quepermite uma fácil implementação computacional.

Método das diferenças descendentes

Este método usa a transformação s = 1−z−1

T para passar do plano s para o

plano z. Em Processamento de Sinais é habitual chamar a esta transformaçãodirecta “forward”, contrariamente à literatura Matemática onde se lhe chamareversa. O nome directa é mais correcto, porque está ligado ao fluir do tempo,do passado para o futuro. Suponhamos então que a função de transferência doSLIT a TC tem a forma habitual que aqui se representa:

G(s) =

M m=0 bmsmN n=0 ansn

(7.58)

e onde se substitui s pelo 2ºmembro de (7.56), obtendo-se:

Gd(z) =

M m=0 bmT −m(1 − z−1)mN n=0 anT −n(1 − z−1)n

(7.59)

Atendendo ao desenvolvimento binomial

(1 − z−1)n =n0

(−1)k

n

k

z−k (7.60)

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210 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Isto sugere que se procure uma representação em potências de z−1. Após algu-

mas manipulações obtemos a seguinte expressão para coeficientes dos numeradore denominador de Gd(z):

bk =(−1)k

k!

M n=k

bnT −n n!

(n − k)!(7.61)

e

ak =(−1)k

k!

N n=k

anT −n n!

(n − k)!(7.62)

vindo

Gd(z) =

M m=0 bmz−mN n=0 anz−n

(7.63)

que pode facilmente exprimir-se como uma função de z. As fórmulas paraobtenção dos coeficientes dos polinómios podem reescrever-se na forma genérica:

α = B.α (7.64)

com

αk = akT −k, k = 0, 1, 2, . . . (7.65)

onde α é o vector dos coeficientes originais multiplicados por potências de

T −1

e α o dos transformados. B é uma matriz triangular superior cujos elemen-tos são os coeficientes binomiais multiplicados por (−1)n, n = 0, 1, 2,...

B =

1 1 1 1 1 1 . . .0 −1 −2 −3 −4 −5 . . .0 0 1 3 6 10 . . .0 0 0 −1 −4 −10 . . .0 0 0 0 1 5 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(7.66)

De notar que, à parte as mudanças de sinal, os coeficientes da matriz acima, sãoos coeficientes binomiais que se podem obter do triângulo de Pascal.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

. . .

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 211

Dado que para valores pequenos de T os coeficientes acima determinados podem

assumir valores muito elevados, podemos reduzir os valores a manipular, divi-dindo os coeficientes obtidos pela soma de todos eles originando o aparecimentode um ganho K dado por:

K =

M 0 βkN 0 αk

(7.67)

pelo que o sistema discreto se pode escrever na forma:

Gd(z) = K

M m=0 bmz−mN n=0 anz−n

(7.68)

onde agora os coeficientes de ordem zero estão normalizados a 1

Exemplo do cálculo de Gd

(z)

Consideremos um SLIT contínuo com FT dada por:

G(s) =2s2 + 6s + 4

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1

Vamos efectuar o cálculo da sua aproximação discreta, Gd(z). Tendo em contaos graus dos polinómios da função de transferência (N e M ) construimos asmatrizes adequadas ao cálculo dos novos coeficientes polinomiais.

B4 =

1 1 1 1 10 −1 −2 −3 −40 0 1 3 60 0 0

−1

−4

0 0 0 0 1

dado que o denominador é de grau 4 (gera uma matriz 5x5), e

B2 =

1 1 1

0 −1 −20 0 1

dado que é grau 2 (gera uma matriz 3x3).Tendo em conta um intervalo de amostragem de, p.ex., 0.1 s obtêem-se os se-guintes vectores:

α4 =

1 40 300 2000 10000

e

β2 =

4 60 200

Multiplicando cada vector pela matriz correspondente de modo a obter os novospolinómios que devem ser normalizados como dito acima. Os denominador enumerador da função de transferência discreta desejada são dados por:

1.0000 −3.779 5.3723 −3.4033 0.810

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212 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

e

1 −1.7424 0.7576

sendo o ganho igual aK = 0.0214donde vem:

Gd(z) = 0.02141 − 1.7424z−1 + 0.7576z−2

1 − 3.779z−1 + 5.3723z−2 + 3.4560z−3 + 0.810z−4

Os pólos de Gd(z) estão localizados em 0.87, 0.97, 0.9796 ± ∠0.046π. É inte-ressante estudar o efeito da variação de T. Para isso, considerou-se o caso emque T=1 e recalculou-se o polinómio denominador, tendo-se obtido o seguintepolinómio para o denominador 1

−1.8z−1+ 1.3636z−2+ 0.5455z−3 + 0.0909z−4

a que correspodem os pólos 0.7638, 0.4, 0.544 ± ∠0.2954π. Como se observa, adiminuição de T desloca os pólos em direcção ao ponto 1.

Este exemplo sugere que esta transformação preserva a estabilidade. Comefeito, tal sucede. Vejamos como. Regressemos à forma geral da função detransferência do sistema contínuo e reescrevamo-la na forma factorizada:

G(s) = K 0

M m=1(s − zm)N n=1(s − pn)

(7.69)

e façamos a substituição de s dado por (7.56). Obtemos

Gd(s) = K 0T N −M

M m=1(1 − zmT − z−1)N n=1(1 − pnT − z−1)

(7.70)

Como se observa, quer os pólos, quer os zeros, têm a forma genérica:

γ =1

1 − wT

onde w é um número complexo. Se se tratar de um pólo não pode estar nosemi-plano direito, Observa-se também que, à parte um possível pólo extra naorigem se trata de uma transformção pólo/pólo e zero/zero. Isto significa que,essencialmente, estamos a considerar uma transformação biunívoca entre o planos e o plano z:

z = 11 − sT

(7.71)

Para vermos qual o efeito desta transformação, vamos decompô-la noutras maissimples:

• s −→ w = −sT — trata-se de uma mera mudanç de escala e simetrização.Portanto, o semi-plano esquerdo passa a ser o direito e vice-versa.

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 213

• w −→ r = w + 1 — há uma translacção que leva a origem para o ponto

1. O eixo imaginário é transformado numa recta vertical passando peloponto 1.

• r −→ z = 1/r — é uma inversão que transforma rectas que não passam pela origem em circunferências que passam pela origem. Isto quer dizer que a imagem da recta que passa pelo ponto 1 é uma circunferência que passa pela origem e também pelo ponto 1. Tal se deve a que o ponto mais afastado da origem (∞) é transformado no mais próximo 0, enquanto que o mais prximo 1 se transforma no mais afastado 1. Como a recta vertical é simétrica relativamente ao eixo horizontal, a sua imagem (circunferência)também o é. Sendo assim, trata-se de uma circunferência de raio 1/2centrada no ponto 1/2. Convém salientar um facto importante: quandopercorremos a recta de baixo para cima, a circunferência é descrita no

sentido directo.

Como não é difícil de verificar, o semmi-eixo real negativo é transformadono diâmetro da circunferência e o semi-plano esquerdo vai "cair"no interior dacircunferência. Perante estes factos, concluimos que:

• A passagem de um sistema contínuo para discreto preserva a estabilidade,mas pode não preservar a característica de fase. Um sistema de fase mńima é transformado num de fase mínima, mas um de fase mista ou máxima pode ser transformado num de fase mínima.

• A situação reversa é diferente. O sistema contínuo correspondente a um sistema discreto estável pode não ser estável. O mesmo se passa com a

fase.

7.4.6 Regra de Tustin ou transformação bilinear

A regra de Tustin para transformação s para z corresponde ao chamado métodonumérico de integração trapezoidal e traduz-se na transformação bilinear ou deMöbius:

s =2

T

1 − z−1

1 + z−1=

2

T

z − 1

z + 1(7.72)

ou

z =2 + sT

1

−sT

= 1 +4

sT

−2

(7.73)

Este método de conversão é muito usado, pois a uma função de transferênciacontínua estável corresponde sempre uma função de transferência discreta tam-bém estável, sendo o semi-plano esquerdo do plano da variável s transformadono círculo unitário em z como se ilustra na figura seguinte. Para entendermoso efeito desta transformação, vamos decompô-la noutras mais simples:

• s −→ w = sT — trata-se de uma mera mudança de escala.

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214 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.19: Conversão s para z usando as diferenças

• w −→ r = w − 2 — há uma translacção que leva a origem para o ponto−2. O eixo imaginário é transformado numa recta vertical passando peloponto

−2.

• r −→ z = 1/r — novamente, é uma inversão que transforma rectas que não passam pela origem em circunferências que passam pela origem. Istoquer dizer que a imagem da recta vertical que passa pelo ponto −2 é uma circunferência que passa pela origem e também pelo ponto −1/2. Tal se deve a que o ponto mais afastado da origem (∞) é transformado no mais próximo 0, enquanto que o mais prximo −2 se transforma no mais afastado−1/2. Como a recta vertical é simétrica relativamente ao eixo horizontal,a sua imagem (circunferência) também o é. Sendo assim, trata-se de uma circunferência de raio 1/4 centrada no ponto −1/4. Convém salientar um facto importante: quando percorremos a recta de baixo para cima, a circunferência é descrita no sentido directo.

• r −→ q = 4r — trata-se de uma mera homotetia que transforma a cir-cunferência de raio 1/4 centrada no ponto −1/4 numa circunferência de raio 1 centrada no ponto −1.

• q −→ s = q + 1 — a circunferência de raio 1 é transladada de forma a ficar centrada na origem.

Como não é difícil de verificar, o semmi-eixo real negativo é transformado

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 215

no diâmetro da circunferência e o semi-plano esquerdo vai "cair"no interior da

circunferência. Perante estes factos, concluimos que:• A passagem de um sistema contínuo para discreto preserva a estabilidade

e a característica de fase. Um sistema de fase mńima é transformado num de fase mínima, assim como um de fase mista ou máxima é transformadonum de fase do mesmo tipo.

• A situação reversa é idêntica. Na passagem de z para s há preservação da estabilidade e da característica de fase.

Figura 7.20: Conversão s para z usando a transformação bilinear

De acordo com o que dissemos acima, o eixo imaginário s = iω é transfor-mado na circunferência unitária z = eiΩ , Ωǫ[−π, π]. Por outro lado, a trans-formação é biunívoca. Isto significa que o eixo imaginário é comprimido e de-formado ("empenado- warped). A relação entre os dois eixos de frequências édada por:

ω =

2

T tan

Ω

2 (7.74)Na figura ???? podemos observar o efeito desta compressão de frequências.

A escolha de T não é muito importante quando se faz a conversão s para z.No entanto, é importante no caso do desenho de filtros com prè-especificação defrequências. Com efeito, partindo de uma especificação no domínio da variávelz, transformando para s ( “pre-warping”) e regressando a z, obtemos uma fun-ção de transferência que não depende de T . Pode fazer-se 2/T = arctg(πf c/f a),

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216 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.21: Compressão de frequências na transformação bilinear

com f c a frequência de corte do filtro passa-baixo e f a a frequência de amostra-gem. Frequentemente, faz-se f a = 4f c.

Há duas formas de converter um SLIT contínuo em discreto usando esta trans-formação.

Conversão directa de pólos e zeros em pólos e zeros

O facto de esta transformação nos levar do semi-plano complexo esquerdo parao interior da circunferência de raio 1, garantindo, como se disse, a preservaçãoda estabilidade, faz com que possamos transformar pólos em pólos e zeros emzeros, mantendo também as características de fase: máxima, mínima ou mista.Neste caso, partimos da forma (7.69) e usando a transformação z para s (7.73)verificamos facilmente que um binómio da forma s − p se transforma em(2− pT )z−(2+ pT )

z+1= (2 − pT )

z− (2+pT )(2−pT )

z+1. Como se observa, qualquer pólo, p, (ou

zero) transforma-se no pólo (ou zero)

(2+ pT )

(2− pT ) permitindo uma conversão rápida.Cada termo contribui também com um factor do tipo (2 − pT ) para o ganho.Entretanto, surge um pólo ou zero extra no ponto z = −1, devido aos factoresz + 1.Se N > M , temos um zero de multiplicidade N − M , se M > N , temosum pólo de multiplicidade M − N . Assim, supondo o caso N > M , obtemos:

Gd(s) = K (z + 1)N −M

M m=1

z − 2+zmT

2−zmT

N

n=1

z − 2+ pnT

2− pnT (7.75)

e onde

K = K 0M m=1(2 − zmT )

N n=1(2

− pnT )

(7.76)

De notar que este ganho não coincide com o ganho estático que se obtém de(7.75) fazendo z = 1.

Conversão dos polinómios numerador e denominador

Se não dispusermos da forma factorizada da função de transferência, devemosfazer a conversão dos polinómios de forma análoga á seguida no caso do método

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 217

das diferenças. Apresenta-se de seguida um método de cálculo dos coeficientes

de Gd(z), a partir de G(s) de fácil implementação computacional.Substituindo s dado pela transformação bilinear em (7.58) vem:

Gd(z) =

M m=0 bm

2T

m 1−z−1

1+z−1

mN

n=0 an

2T

n 1−z−1

1+z−1

n (7.77)

Sejam

αk = ak

2

T

k

, k = 0, 1, 2, . . . (7.78)

e semelhantemente para os b’s.

Gd(z) = (1 + z−1)N −M M m=0 βm(1 − z−1)m(1 + z−1)M −m

N

n=0 αn(1 − z−1

)n

(1 + z−1

)N −n

(7.79)

Para calcular os novos coeficientes temos de efectuar as convoluções dos coefi-cientes binomiais correspondentes a (1 − z−1)m e (1 + z−1)M −m. A forma maissimples de fazê-lo é a recursiva.Sejam A e B os vectores colunas dos referidos coeficientes (αk e βk, k = 0, 1, 2, . . . )e A e B os vectores cujos coeficientes são an, bn, n = 0, 1, 2, . . . ,. Os vectores Ae B podem ser determinados através das relações:

A = P.A e B = P.B (7.80)

onde P é uma matriz quadrada de dimensão igual ao grau do denominador (N +1), é a matriz de Pascal. Se o grau do numerador for inferior ao do denominador,como acontece em geral com filtros passa-baixo, incluímos coeficientes nulos.

A construção desta matriz faz-se da forma seguinte:• a primeira linha só tem 1s. item os elementos da primeira coluna podem

ser calculados a partir de:

P 0,i =

N

i

i = 0, 1, 2, . . . , N (7.81)

• os elementos da última coluna podem ser calculados a partir de:

P N,i = (−1)i

N

i

i = 0, 1, 2, . . . , N (7.82)

Duma forma geral, os elementos da linha N − i são os da linha i multipli-cados por (−1)j, j = 0, 1, 2, . . . .

• Os restantes elementos da matriz podem obter-se de:

P i,j = P i−1,j + P i−1,j+1 + P i,j+1 (7.83)

onde i = 1, 2, 3, . . . , N , j = N, N − 1, . . . , 2, 1.. Isto é: para calcular umdado elemento da matriz, somam-se o seu "vizinho"que está ao seu ladodireito com os 2 imediatamente acima dele e do seu vizinho. Vejamos oexemplo em que N = 4. Sabemos imediatamente que:

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218 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

P =

1 1 1 1 14 x y z

−4

4 ? ? w 6... . . . . . . . . .

...

As regras acima dizem-nos, imediatamente, que z = −4 + 1 + 1 = −2, peloque y = −2 + 1 + 1 = 0, x = 0 + 1 + 1 e w = 6 − 2 − 4 = 0. Deixamoscomo exercício o cálculo dos restantes.

É possível fazer uma conversão directa de passa-baixo contínuo para passa-altodiscreto usando, em vez de P , uma matriz Q, tal que:

Qi,j = P i,N −j i, j = 0, 1, 2, . . . , N (7.84)

mantendo-se o resto do algoritmo. A matriz Q obtém-se de P por uma rotaçãoem torno de um eixo vertical, ou seja, uma é a imagem da outra num espelho.Para ilustrar a aplicação destas regras vamos apresentar um exemplo.

Exemplo 4

SejaH (s) = s2+5.153

0.929s3+2.781s2+4.344s+5.153

e façamos 2/T = 1. Obtemos

P =

1 1 1 13 1 −1 −33 −1 −1 3

1 −1 1 −1

A = [13.207 14.235 11.121 2.661]eB = [6.153 − 14.459 14.4596.153]vindo, finalmenteH d(z) = 0.4658 1+2.35z−1+2.35z−2+z−3

1+1.0778z−1+0.842z−2+0.2015z−3

que é um filtro passa-baixo, como esperado. Para obter o filtro passa-alto, pro-cedemos como se disse, usando a matriz “rodada”

Q =

1 1 1 1−3 −1 −1 −3

3 −1 −1 3

−1

−1 1 1

obtendo-seA = [13.207 − 14.235 11.121 − 2.661]eB = [6.153 − 14.459 14.459 − 6.153]vindo, finalmenteH d(z) = 0.4658 1−2.35z−1+2.35z−2−z−3

1−1.0778z−1+0.842z−2−0.2015z−3

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 219

7.4.7 Comparação entre o método das diferenças e bilinear

Consideremos o SLIT contínuo cuja FT é

G(s) =2s2 + 6s + 4

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1

e as respectivas versões discretas obtidas pelos métodos das diferenças ebilinear. Na figura seguinte, apresentamos os diagramas espectrais de amplitude.

Figura 7.22: Respostas em Frequência: Contínuo (acima), Diferenças (no meio)

e de Tustin (abaixo)

Na figura seguinte, apresentam-se as correspondentes respostas impulsionais.

7.4.8 Projecto de filtros IIR usando a transformação bili-near

Analisando as técnicas apresentadas nas secções precedentes, concluimos que atécnica que menos problemas cria é a baseada na transformação bilinear. Comefeito, esta transformação:

• transforma pólos e zeros em pólos e zeros, mais geralmente, transforma osemi-plano complexo esquerdo no círculo unitário centrado na origem,

• preserva a estabilidade,

• é fácil de implementar.

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220 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.23: Respostas Impulsionais, Contínuo (acima), Diferenças (no meio) ede Tustin (abaixo)

Contudo, tem um inconveniente, consequência do facto de o eixo imaginárioser transformado na circunferência de raio 1: há uma compressão das frequên-cias de que falámos anteriormente. Com efeito, invertendo a relação (7.74),obtemos

Ω = arctanωT

2(7.85)

que permite concluir que:• Todo o eixo ω ∈ R é convertido no intervalo −π ≤ Ω ≤ π

• o ponto s = ∞ ´ transformado no ponto z = −1, pelo que um passa-baixocom apenas um pólo é transformado num sistema com um zero no ponto−1.

• As baixas frequências são transformadas quase linearmente.

Nas aplicações, invertemos o problema:Especificamos o filtro discreto usando o eixo de frequências normalizado, peloque, como veremos com um exemplo, a transformação não vai utilizar um valor particular de T . Para efeitos computacionais, podemos usar um qualquer.

Suponhamos que pretendemos desenhar um filtro passa-baixo com um pólo,tal que a sua largura de banda a 3dB seja π/4, usando um filtro passa-baixoanalógico. Procedemos da forma seguinte:Calculamos a frequência de corte do filtro analógico, ωc, usando (7.74). Obte-mos ωc = 2

T tan(π/8) = 0.41422T . Admitindo que o sistema contínuo tem um

ganho estático igual a 1, a sua FT será: H (s) = 0.8284/T s+0.8284/T Usando a transfor-

mação bilinear, obtém-se facilmente:

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 221

H d(z) = 0.41421 1+z−1

1.4142−0.5858z−1

O ganho estático vale 1 e para Ω = π/4, o ganho vale 0.707(−3dB), como re-querido.Suponhamos, agora, que pretendemos um filtro com as mesmas especificações,mas de 2ªordem, obtido a partir de um filtro Butterworth de 2ªordem de frequên-cia de corte igual a 1rad/s:H (s) = 1

s2+√2s+1

Com a mudança de variável s por sT /0.8284, seguida do uso da transformaçãobilinear, obtemos:H d(z) = 0.0976 1+2z−1+z−2

1−0.94z−1+0.33z−2

que se representa na figura seguinte. Como se vê o resultado final não dependeda escolha de T , pelo que podemos, para simplificar, fazê-lo igual a 1 (ou, 2).Para efectuarmos uma comparação calculámos as RF correspondentes e as res-

Figura 7.24: Sistema obtido usando um filtro Buttrworth de 2ªordem

pectivas respostas impulsionais que se podem observar na figura seguinte. Denotar que o sistema discreto tem um zero no ponto −1 que força a RF a ir azero.

Com este exemplo ilustrámos o procedimento para projectar filtros IIR apartir dos correspondentes filtros analógicos. Contudo, este procedimento, apli-cado cegamente, pode conduzir a resultados muito maus, nomeadamente, no

caso de filtros passa-banda ou passa-alto. Vejamos um exemplo. Exemplo

Exemplo 5

Pretende-se projectar um filtro passa-banda de 4ªordem com frequências decorte ΩL = π/4 e ΩU = π/2. Começamos por frazer “pre-warp”das frequênciasde corte:ωL = 2 tan[(π/4)/2] = 2 tan(π/8) = 0.828

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222 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.25: Comparação dos sistemas analógico e discreto de 2ªordem

ωU = 2 tan[(π/2)/2] = 2 tan(π/4) = 2

Partindo de H (s) = 1s2+2s+1

, fazemos a substituição de s por s2+1.661.17s

, obtendoa FT de um filtro analógico passa-banda:H (s) = 1.37s2

s4+1.65s3+4.69s2+2.75s+2.76ou, expressa em factores de 2ªordem por:H (s) = 1.37s2

(s2+1.08s+3.22)(s2+0.565s+0.857

Substituindo s por 2(z

−1)/(z + 1) obtemos:

H (s) = 0.098 (1−z−1

)2

(1+z−1

)2

(1−0.167z−1+0.535z−2)((1−0.105z−1+0.62z−2

Na figura seguinte, temos as representações das RF e RI.

Transformações de frequências em z

De forma idêntica à contínua, podemos efectuar transformações análogas nocaso de filtros a tempo discreto. Todas as transformações têm como base osistema “passa-tudo”:

f (z) =

N i=1

z−1 − ai

1 − aiz−1(7.86)

onde |ai| < 1, para assegurar que o novo sistema é estável. Semelhantementeao caso analógico, temos as seguintes transformações:

• De passa-baixo para passa-baixo:

z−1 ⇒ z−1 − a

1 − az−1(7.87)

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7.4. PROJECTO DE FILTROS IIR 223

Figura 7.26: Comparação dos sistemas analógico e discreto de 2ªordem do sis-tema anterior

onde

a =sen[(W c − Ωc)/2]

sen[(W c + Ωc)/2](7.88)

com W c e ωc são as frequências de corte inicial e final.

• De passa-baixo para passa-alto:

z−1 ⇒ z−1

+ a1 + az−1

(7.89)

onde

a =cos[(W c + Ωc)/2]

cos[(W c − Ωc)/2](7.90)

• De passa-baixo para passa-banda:

z−1 ⇒ z−2 − a1z−1 + a2a2z−2 − a1z−1 + 1

(7.91)

onde

a1 = −2αK

K + 1 a2 =K

−1

K + 1 (7.92)

α =cos[(Ωs + Ωi)/2]

cos[(Ωs − Ωi)/2](7.93)

K = cot(Ωs − Ωi

2)tan(

W c2

) (7.94)

sendo Ωs e Ωi as frequências superior e inferior do filtro passa-banda.

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224 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Figura 7.27: – Comparação dos sistemas analógico e discreto de 2ªordem dosistema anterior

• De passa-baixo para elimina-banda: outra vez a transformação

z−1 ⇒ z−2 − a1z−1 + a2a2z−2 − a1z−1 + 1

mas agora com

a1 =−2α

K + 1a2 = −K − 1

K + 1(7.95)

7.5 Conclusões

Neste capítulo, fizemos um breve estudo dos filtros, nomeadamente FIR, e seuprojecto. Estudámos as suas características fundamentais e os principais méto-dos de projecto. Apresentámos os métodos mais comuns de obtenção de sistemasdiscretos a partir de sistemas contínuos. Em particular, estudámos a trans-formação bilinear e a sua utilização. Convém referir que existem funções demapeamento de ordem superior que podem permitir uma melhor aproximaçãona obtenção dos filtros em tempo discreto. No entanto, têm alguns problemas,nomeadamente de estabilidade. Modernamente, propuseram-se algoritmos queaproximam de forma óptima o espectro de amplitude ou de fase. O seu estudoenvolve a utilização de técnicas de modelação linear que não estudaremos.

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7.6. APÊNDICE A - PROTÓTIPOS DE FILTROS A TEMPO CONTÍNUO225

7.6 Apêndice A - Protótipos de filtros a tempo

contínuoVamos considerar, apenas, as versões tipo passa-baixo de frequência de corte f c.

1. Filtros Butterworth

Os filtros Butterworth são filtros só com pólos tais que a correspondenteRF é maximamente plana á frequência 0. Supondo que se usa uma FTde forma que a frequência de corte seja 1 rad/s, um filtro Butterworth deordem N tem como pólos as raízes da equação:(−s2)N + 1 = 0localizadas no semi-plano esquerdo. Essas raízes ficam uniformementeespaçadas de π

N e são da forma:

sk = i.eiπ 2k−1

2N

com k = 1, 2, . . . , (N + 1)/2 se N for ímpar e k = 1, 2, . . . , N /2 se N forpar. A fórmula geral para a FT de um filtro Butterworth passa-baixo comfrequência de corte ωC é:

H (s) =1

1 + sωC

P ⌊ n2⌋

k=1

1 + 2sen

(2k − 1)π

2n

sωC

+

sωC

2 (7.96)

onde ⌊n2⌋ é a parte inteira de n

2e P = 0 ou 1 dependendo se n é par ou

ímpar. Os denominadores para ordens N = 1, 2, 3, 4, e 5 são dados por:

s + 1

s2 +√

2s + 1

(s2 + s + 1)(s + 1)

(s2 + 0.76537s + 1)(s2 + 1.84776s + 1)

(s2 + 0.61803s + 1)(s2 + 1.61803s + 1)(s + 1)

2. Filtros Chebyshev

O bom comportamento dos filtros Bctterworth nas baixas frequências podenão ser compensado pela degradação das suas características na banda de

rejeição. Isto significa que, alterando as caracteríticas da aproximaçãona banda passante, podemos melhorar o comportamento na banda derejeição. Os filtros Chebyshev minimizam o desvio máximo relativamenetà característica ideal. Se Am for o tremor na BP, define-se o parâmetro ǫdado por:

ǫ =

100.1Am − 1 (7.97)

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226 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

e os filtros são dados por uma FT da forma H (s) = K/P (s). Os pólos

dum filtro Chebyshev de ordem N são dados por:sk = σk + iωk k = 0, 1, 2, 3, . . . 2N − 1 (7.98)

onde

σk = ±sen

π

2

2k + 1

n

senh

y

N

(7.99)

e

ωk = ± cos

π

2

2k + 1

n

cosh

y

N (7.100)

com

ǫ = senh(y) (7.101)

onde senh e cosh são as funções seno e co-seno hiperbólicos. Estes pólosencontram-se sobre uma elípse.

Para exemplificar, consideramos o caso em que Am = 1dB. Assim, paraas ordens N = 1, 2, 3, 4 e 5, temos para P (s) e K :

1.96523 s + 1.965230.98261 s2 + 1.09773s + 1.10251

0.49130 (s2 + 0.49417s + 0.9942)(s + 0.49417)

0.24565 (s2 + 0.27907s + 0.9865)(s2 + 0.67374s + 0.2794)

0.12283 (s2 + 0.17892s + 0.98831)(s2 + 0.46841s + 0.4293)(s + 2.8949)

3. Filtros elípticos

Nas aproximações precedentes, aatenuação na banda de rejeição cresce aum máximo de 6N dB/oitava para um filtro de ordem N . Isto eignificaque estamos a usar um descrescimento superior ao necessário, o que éuma fonte de ineficiência. A aproximação elíptica ou de Cauer procuraremediar esta situação. É a forma mais cumum de desenho de filtros.Como característica distintiva deste tipo de filtros é o facto de ter pólosde atenuação na banda de rejeição. A aproximação elíptica conduz auma função racional com pólos e zeros finitos. Introduzindo Ω igual ao

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7.7. EXERCÍCIOS 227

quociente entre as frequências de corte da BR e da BP, temos os seguintes

filtros para N = 2, 3, 4 e 5, correspondentes a Ω = 3. Não se indicam osvalores do ganho K

Numerador Denominadors2 + 17.48528 s2 + 1.35715s + 1.55532s2 + 11.82718 (s2 + 0.58942s + 1.14559)(s + 0.65263)

(s2 + 10.4554). (s2 + 0.32979s + 1.063281)(s2 + 58.471) (s2 + 0.86258s + 0.37787)

(s2 + 10.4554). (s2 + 0.21066s + 1.0351).(s2 + 58.471) .(s2 + 0.58441s + 0.496388)(s + 0.37452)

4. Filtros de Bessel

Contrariamente às aproximações anteriores em que só se prestou aten-ção à característica de amplitude, nesta aproximação, presta-se tambématenção às características de fase e atraso. Os filtros de Bessel são filtrossó com pólos em que o denominador é um polinómio de Bessel:

BN (s) =N k=0

aksk (7.102)

onde os coeficientes são dados por

ak =(2N − k)!

2N −kk!(N − k)!(7.103)

Seguidamente apresentam-se alguns dos polinómios e a correspondenteconstante K.

KPolinomio

1 s + 1

3 s2 + 3s + 3

15 (s2 + 3.67782s + 6.45944)(s + 2.32219)

105 (s2 + 5.79242s + 9.14013)(s2 + 4.20758s + 11.4878)

945 (s2 + 6.7039s + 14.2725)(s2 + 4.64934s + 18.15631)(s + 3.64674)

7.7 Exercícios

Exercício 61 – Um filtro FIR é descrito pela equação:y(n) = x(n) − 0.95x(n − 1) + 0.9x(n − 2)Esboce os seus diagramas de ganho e fase.

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228 CAPÍTULO 7. FILTRAGEM. DESENHO DE FILTROS

Exercício 62 – Considere a seguinte resposta impulsional:

[1 − 2 − 1 0 0.5 0.9]1. Escreva a ED correspondente,

2. Desenhe a correspondente estrutura transversal,

3. Calcule a FT e represente os diagramas de Bode de amplitude e fase (usea DFT),

4. Calcule os coeficientes de reflexão da estrutura em grade.

Exercício 63 – Repita o problema anterior considerando o sistema cujoszeros são: 1, −1, 2e±iπ/4, 1

2e±iπ/4.

Exercício 64 – Considere dois filtros de fase linear quaisquer, definidos pelassuas RI. Estude as suas respostas em frequência e desenhe estruturas adequadas.

Exercício 65 – Repita o problema anterior, mas procedendo a partir dodiagrama de zeros.

Exercício 66 – Calcular os coeficientes do filtro com as seguintes caracterís-ticas

A p= 0.05dB,As= 50dB,

f p= 100 Hz,f s= 200 Hz,F = 1000 Hz,O filtro terá ordem N = 31.

Exercício 67 – Desenhe um filtro Meia-banda com as seguintes especificações:A p= 0.1dB,

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7.7. EXERCÍCIOS 229

As= 44dB,

f p= 200 Hz,f s= 300 Hz,F = 1000 Hz,O filtro terá ordem N = 27. Como facilmente se verifica a fase é linear e o

número de coeficientes não nulos da resposta impulsional é dado por (N +3)/2 =(27 + 3)/2 = 15 e h(0) = 0.5.

Exercício 68 – Seja h(n) a RI de um filtro FIR que verifica h(n) = h(M −n),0 ≤ n ≤ M .

1. Demonstre que, se z1 for um zero de H (z), então 1/z1 também é um zerode H (z).

2. Demonstre que, se M for ímpar, então H (z) tem um zero em z = −1.Que implicações tem este facto no projecto de filtros FIR?

3. Tendo em conta os resultados anteriores calcule a resposta impulsional deum filtro FIR com coeficientes reais, simetria par e M = 5, tal que umdos seus zeros está em z1 = 0.5i. Esboce a sua RF.

Exercício 69 – Pretende-se um filtro IIR passa-baixo com frequência decorte 1/4 e uma atenuação de, pelo menos, 20dB para frequências acima de 3/8.Usando como protótipo um filtro "Butterworth"passa-baixo e a transformaçãobilinear, a ordem mínima requerida é de 3 e a correspondente FT com frequênciade corte igual a 1 rad/s é dada por: H (s) = 1

(s2+s+1)(s+1)

Desenhe o filtro discreto e compare as RF e RI.

Exercício 70 – Pretende-se um filtro IIR passa-banda com frequências decorte em 400Hz e 2kH z. A frequência de amostragem é de 8kH z. Supondo umganho de 0dB na banda passante, o ganho deve ser inferior a −20dB abaixo de50Hz e entre 3kH z e 4kH z. Mostrar que a solução pode estar numa cascata deum passa-baixo e um passa-alto. Projecte tal filtro.