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TI de Matemática A – Versão 1 • Página 3/ 9

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.

• Não apresente cálculos, nem justificações.

• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na Figura 1, está representada uma roda gigante de um parque de diversões.

Um grupo de amigos foi andar nessa roda.

Depois de todos estarem sentados nas cadeiras, a roda começou a girar.

Uma das raparigas, a Beatriz, ficou sentada na cadeira número 1, que estava na posição indicada na Figura 1, quando a roda começou a girar.

A roda gira no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e demora um minuto a dar uma volta completa.

Seja d a função que dá a distância da cadeira 1 ao solo, t segundos após a roda ter começado a girar.

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função d ?

(A) (B)

t

d

O 15 30 45 60 75 90 t

d

O 15 30 45 60 75 90

(C) (D)

t

d

O 15 30 45 60 75 90 t

d

O 15 30 45 60 75 90

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 1

Página 1 de 22.


2. Uma piscina tem a forma de um paralelepípedo rectângulo. Essa piscina tem dez metros de comprimento e seis metros de largura.

Num certo dia, às 9 horas da manhã, começou a encher-se a piscina, que estava vazia.

A altura, h , em metros, da água na piscina, t horas depois das 9 horas desse dia, é dada por h(t ) = 0,3 t

A piscina esteve a encher ininterruptamente até às 14 horas desse dia.

Quantos litros de água havia na piscina às 14 horas?

(A) 72000

(B) 78000

(C) 84000

(D) 90000

3. Na Figura 2, está representado um cubo de aresta 4

Os pontos A , B e C são vértices da mesma face do cubo.

O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC 3=

4

3

A

C

D

B

Figura 2

Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD ?

(A) 10

(B) 12

(C) 20

(D) 25

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4. Considere a condição x y x1 1 2 02 2/# $+ + −_ _i i

Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy , o conjunto de pontos definido por esta condição?

(A) (B)

O x

y

O x

y

(C) (D)

O x

y

O x

y

5. Na Figura 3, está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ABCDEFGH ] e na pirâmide triangular não regular [GIJK ]

Sabe-se que:

• o cubo tem aresta 6

• o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK ] com a aresta [GF ]

• o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK ] com a aresta [GH ]

• o ponto G é o ponto médio do segmento [CK ]

Qual é o valor do volume da pirâmide [GIJK ] ?

(A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 9

6

A B

CD

EF

GH

I

J

K

Figura 3

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GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Na Figura 4, está representado, em referencial o.n. xOy , o gráfico de uma função f de domínio [-5, 6]

y

xO 1 6

1

-5

Figura 4

1.1. Qual é o contradomínio de f ?

1.2. Indique todos os números reais cujas imagens, por meio de f , são iguais a -1

1.3. Indique o conjunto solução da condição f (x ) > 2

Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais.

2. Considere a função g , de domínio , definida por g(x ) = x4 + 2x 3 - 1

O gráfico da função g , num referencial o.n. xOy , intersecta a recta de equação y = 3 em dois pontos. Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.

Determine a área do triângulo [AOB ] , recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.

Apresente o resultado arredondado às décimas.

Na sua resposta deve:

• reproduzir, num referencial, a parte do gráfico da função g que visualizou na sua calculadora;

• representar, no mesmo referencial, o triângulo [AOB ]

• indicar as abcissas dos pontos A e B , arredondadas às centésimas;

• apresentar a área do triângulo [AOB ], com o arredondamento pedido.

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3. Na Figura 5, está representada, em referencial o.n. xOy , a recta r, definida pela equação y = 2x - 2

Tal como a figura sugere, A e B são os pontos de coordenadas (1, 0) e (6, 0), respectivamente, e C é o ponto da recta r de abcissa 6

A B

C

P

O x

y

1 6

Figura 5

r

Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de recta [AC ] , nunca coincidindo com o ponto A , nem com o ponto C

A cada posição do ponto P corresponde um rectângulo em que uma das diagonais é o segmento [BP ] e em que um dos lados está contido no eixo Ox

Seja x a abcissa do ponto P ,x 1 6!a k7A

Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

Nota – A calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

3.1. Mostre que a área do rectângulo é dada, em função de x , por

2 14 12S x x x= − + −2_ i

3.2. Determine os valores de x para os quais a área do rectângulo é inferior a 8

Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

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4. Na Figura 6, está representado, em referencial o.n. Oxyz , o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH ]

x

y

z

A

E

H

DC

B

F

G

O

Figura 6

As coordenadas dos pontos A, B e G são (11, -1, 2), (8, 5, 0) e (6, 9, 15), respectivamente.

4.1. Determine as coordenadas do ponto H

4.2. Escreva uma equação que defina a superfície esférica com centro no ponto A e que passa no ponto B

4.3. Escreva uma condição que defina a recta que passa no ponto G e que é paralela ao eixo Oy

5. Na Figura 7, está representado um cilindro de altura h e raio da base r

Sejam A e B os centros das bases do cilindro.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento [AB ], nunca coincidindo com o ponto A , nem com o ponto B

Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases do cilindro.

Mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P

Sugestão – Designe por a a altura de um dos cones.

FIM

A

B

P

r

h

Figura 7

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Teste Intermédio de Matemática A - 10.º Ano - Versão 1 - Página 2

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letracorrespondente à opção que seleccionar para responder a esse item.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

• Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a respostaserá classificada com zero pontos.

1. Considere, num referencial o.n. , a recta que intersecta o eixo no ponto deBSC < SB

abcissa e que intersecta o eixo no ponto de ordenada # SC )

Qual é a equação reduzida da recta ?<

(A) (B) C œ � %B � ) C œ %B � )

(C) (D) C œ � #B � % C œ #B � %

2. Considere a função , de domínio , definida por 1 1ÐBÑ œ l B l � $‘

Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) (B) (C) (D) 1ÐBÑ œ " 1ÐBÑ œ # 1ÐBÑ œ $ 1ÐBÑ œ %

3. Sejam , e três números reais.+ , -

Seja a função, de domínio , definida por 0 0ÐBÑ œ +B � ,B � -‘#

Sabe-se que:

• + � !

• a função tem um único zero, que é o número real 0 &

Qual é o contradomínio de ?0

(A) (B) (C) (D) Ó �∞ß !Ó Ò!ß �∞Ò Ó �∞ß &Ó Ò&ß �∞Ò

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4. Seja a função cujo gráfico está representado na figura 1.0

Figura 1

Seja a função definida por 2 2ÐBÑ œ 0ÐB � "Ñ � "

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função ?2

(A) (B)

(C) (D)

5. Considere a função , de domínio , definida por 1 1ÐBÑ œ

B � =/ B Ÿ "

B � =/ B � "

‘

ÚÝÝÛÝÝÜ

"

'

"

#

Qual é o valor de ?1Ð Ñ#

$

(A) (B) (C) (D) " $ & (

$ & ' '

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GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos

todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre ovalor exacto.

1. Na figura 2, estão representados, num referencial o.n. , um prisma quadrangularSBCD

regular e uma pirâmide.

A base da pirâmide, , está contida no plano e coincide com a baseÒSTUVÓ BSC

inferior do prisma.

O ponto , vértice da pirâmide, coincide com o centro da base superior, , do[ ÒWXYZ Ó

prisma.

O ponto tem coordenadas T Ð&ß !ß !Ñ

Figura 2

1.1. Defina, por uma condição, a superfície esférica de centro no ponto e que passaU

no ponto S

1.2. Sabe-se que o volume da é igual a pirâmide (&

Determine as coordenadas do ponto , vértice da pirâmide.[

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2. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a

Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai

de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para

casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e

cada uma delas caminha a uma velocidade constante.

Seja a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, minutos0 >

depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de

casa e termina quando ela chega à escola).

Seja a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, minutos1 >

depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da

escola e termina quando ela chega a casa).

Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as

funções e 0 1

Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções, uma

razão pela qual a rejeita.

(A) (B)

(C)

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3. A figura 3 representa o projecto de um canteiro com a forma de um triângulo isósceles

Š ‹EG œ FG

Nesse triângulo, a base e a altura relativa a esta base medem ambas 12 metros.ÒEFÓ

O canteiro vai ter uma zona rectangular, destinada à plantação de flores, e uma zona

relvada, representada a sombreado na figura.

O lado do rectângulo está contido em e os vértices e pertencem,ÒHKÓ ÒEFÓ I J

respectivamente, a e a ÒEGÓ ÒFGÓ

Figura 3

Seja a distância, em metros, do ponto ao ponto B E H B − Ó!ß 'Ò � �Resolva os três itens seguintes .ß usando exclusivamente métodos analíticos

Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

3.1. Mostre que a área, em metros quadrados, da zona relvada é dada, em função

de , porB

WÐBÑ œ %B � #%B � (##

3.2. Determine o valor de para o qual a área da zona relvada é mínima e calculeB

essa área.

3.3. Determine o conjunto dos valores de para os quais a área da zona relvada éB

superior a %!7#

Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

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4. Seja a função, de domínio , definida por 0 0ÐBÑ œ B � B � (B � B � '‘% $ #

4.1. O gráfico da função intersecta o eixo das abcissas em quatro pontos.0

Designemos esses quatro pontos por , , e , sendo o que temE F G H E

menor abcissa e sendo o que tem maior abcissa.H

O ponto tem abcissa e o ponto tem abcissa E � $ G "

Seja o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo dasI 0

ordenadas.

Determine a área do triângulo , .ÒFIHÓ sem recorrer à calculadora

4.2. O contradomínio de é um intervalo da forma 0 Ò +ß �∞Ò

Determine o valor de , arredondado às décimas, + recorrendo às capacidades

gráficas da calculadora.

Obtenha o gráfico de numa janela que lhe permita visualizar o ponto relevante0

para a resolução do problema. Reproduza, na sua folha de prova, o gráfico

visualizado e assinale, nesse gráfico, o ponto relevante para a resolução do

problema.

FIM

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Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2

GRUPO I


• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letracorrespondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.


• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos,o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura 1 está representada, em

referencial o.n. , uma circunferênciaBSC

de centro no ponto T Ð#ß � "Ñ

Qual das condições seguintes define a

região sombreada, incluindo a fronteira?

Figura 1

(A) ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ Ÿ % • B !# #

(B) ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ Ÿ % • C !# #

(C) ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ Ÿ % • C !# #

(D) ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ Ÿ % • B !# #

2. Na figura 2 está o gráfico de uma função, de

domínio , definida por ,‘ 0ÐBÑ œ lB � +l � ,

em que e designam dois números reais.+ ,

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

Figura 2

(A) (B) + � ! • , � ! + � ! • , � !

(C) (D) + � ! • , � ! + � ! • , � !

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3. Considere a função , de domínio , definida por 1 1ÐBÑ œ l B l � (‘

Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas?

(A) (B) (C) (D) 1ÐBÑ œ $ 1ÐBÑ œ & 1ÐBÑ œ ( 1ÐBÑ œ *

4. Na figura 3 estão representadas, em referencial

o.n. , duas parábolas geometricamenteBSC

iguais, que são os gráficos de duas funções

quadráticas, e .0 1

Os vértices das duas parábolas têm a mesma

abcissa.

A ordenada de um dos vértices é igual a e a$

ordenada do outro vértice é igual a .%

Qual das expressões seguintes define a função ?1

Figura 3

(A) (B) (C) (D) � 0ÐBÑ � ( � 0ÐBÑ � " � 0ÐBÑ � " � 0ÐBÑ � ( Ò Ó Ò Ó

5. Uma empresa de telecomunicações anuncia o seguinte plano de preços para as chamadas

telefónicas feitas a partir de um telefone registado nessa empresa:

• 12 cêntimos pelo primeiro minuto de conversação (se a chamada durar menos de um

minuto, o preço a pagar também é 12 cêntimos);

• 0,1 cêntimos por segundo, a partir do primeiro minuto.

Por exemplo, se uma chamada durar um minuto e meio, o preço a pagar é 15 cêntimos (12

cêntimos pelo primeiro minuto, mais 0,1 cêntimos por cada um dos trinta segundos seguintes).

Qual das expressões seguintes dá o preço a pagar, em cêntimos, por uma chamada feita a

partir de um telefone registado nessa empresa, em função do tempo de duração da>

chamada, medido em segundos?

(A) (B) œ œ"# > =/ > Ÿ '! "# > =/ > Ÿ '!"# � ! " Ð> � '!Ñ =/ > � '! "# � ! " > =/ > � '!, ,

(C) (D) œ œ"# =/ > Ÿ '! "# =/ > Ÿ '!"# � ! " Ð> � '!Ñ =/ > � '! "# � ! " > =/ > � '!, ,

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GRUPO II

Nas respostas a itens deste grupo apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos

todas as justificações necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o exacto.

1. Na figura 4 está representado, em

referencial o.n. , o prisma triangularSBCDnão regular ÒEFGHIJÓ

Sabe-se que:

• as bases são triângulos isósceles

( e )EF œ EG HI œ HJ

• a base está contida no planoÒEFGÓBSC

• as arestas laterais do prisma são

perpendiculares às bases

• o ponto tem coordenadas E Ð%ß !ß !Ñ

• o ponto tem coordenadas I Ð!ß $ß )Ñ

• o ponto é o simétrico do ponto ,J Irelativamente ao plano BSD

Figura 4

1.1. Determine uma equação vectorial da recta HJ

1.2. lateral Determine a área do prisma.

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2. Na figura 5 está representada uma circunferência de centro e que contém os pontos ,S VW X e .

Figura 5

Um ponto desloca-se ao longo do trajecto que a figura sugere: inicia o percurso em T T Ve termina-o em , percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda e o arco .X ÒVWÓ WXPara cada posição do ponto , seja o tempo decorrido desde o início do percurso e sejaT >. T S a distância do ponto ao ponto .

Apenas um dos gráficos a seguir representados pode relacionar correctamente as variáveis >e .

(A) (B)

(C) (D)

Numa pequena composição, indique o gráfico que pode relacionar correctamente as variáveis

> . e e apresente, para cada um dos gráficos rejeitados, uma razão pela qual o considerou

incorrecto.

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3. Na figura 6 está representado um rectângulo ÒEFGHÓ

Figura 6

Este rectângulo é o esboço de uma placa decorativa de de comprimento por "% -7 "! -7de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por umaparte em madeira (representada a branco).

A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.

Cada triângulo tem um vértice no centro do rectângulo ÒEFGHÓ

Seja o lado de cada quadrado, medido em B -7 B − Ó !ß &Òˆ ‰

, resolva os três itens seguintes.Sem recorrer à calculadora

3.1. Mostre que a área, em , da parte em metal da placa decorativa é dada, em-7#

função de , porB EÐBÑ œ 'B � #%B � (!#

3.2. Determine o valor de para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essaBárea.

3.3. Determine o valor de para o qual a área da parte em metal é igual à área da parteBem madeira.

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4. Seja a função, de domínio , definida por 0 0ÐBÑ œ B � $B � 'B � )‘$ #

4.1. , resolva a inequação , sabendo que um dosSem recorrer à calculadora 0ÐBÑ � !zeros de é .0 %

Apresente o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais.

4.2. Sejam e os pontos do gráfico de cujas abcissas são e ,E F 0 � $ !respectivamente.

A recta intersecta o gráfico de em mais um ponto. Designemos esseEF 0ponto por .G

Determine as coordenadas do ponto , percorrendo as etapas indicadas a seguir:G

• determine a equação reduzida da recta EF

• , visualize o gráfico de e arecorrendo às capacidades gráficas da calculadora 0recta , escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto EF G

• reproduza, na sua folha de prova, o que visualiza na calculadora, assinalando

também os pontos , e E F G

• recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas doponto e indique-as no gráfico que desenhou (as coordenadas do ponto sãoG Gnúmeros inteiros).

FIM

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Grupo I


• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só umaestá correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada item.

• Se apresentar mais do que uma letra, a resposta será classificada com zero pontos, omesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.


1. Em , qual das condições seguintes é equivalente à inequação ?‘ B � %#

(A) (B) (C) (D) B � # B � % B � # B � % | | | |

2. Na figura está representada, em referencial o.n. , uma semicircunferência de centro naBSCorigem e que passa nos pontos e .T U

O ponto tem coordenadas e o ponto tem coordenadas .T Ð � $ß %Ñ U Ð$ß %Ñ Na figura está também representado o segmento de recta .ÒTUÓ

Qual das condições seguintes define o domínio plano sombreado?

(A) B � C Ÿ #& • � $ Ÿ B Ÿ $# #

(B) B � C Ÿ #& • C %# #

(C) B � C Ÿ "' • � $ Ÿ B Ÿ $# #

(D) B � C Ÿ "' • C %# #

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3. Considere, em referencial o.n. , a recta que intersecta o eixo no ponto deBSC < SB

abcissa e que intersecta o eixo no ponto de ordenada .# SC '

Qual é a equação reduzida da recta ?<

(A) (B) C œ � $B � ' C œ $B � '

(C) (D) C œ � #B � $ C œ #B � $

4. Em referencial o.n. considere:SBCD,

• a esfera definida pela condição I B � C � D Ÿ %# # #

• a recta de equação vectorial < ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !ß #Ñ � 5 Ð!ß "ß !Ñ ß 5 − ‘

A intersecção da esfera com a recta éI <

(A) um segmento de recta de comprimento 2

(B) um segmento de recta de comprimento 4

(C) um ponto

(D) o conjunto vazio

5. Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma

turma tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito estão representados no gráfico que sesegue:

Em média, quantos livros foram lidos por aluno?

(A) (B) (C) (D) " ) # # & $, ,

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Grupo II

Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Pretende-se construir um jardim junto a um lago, conforme a figura ilustra.

Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede. Pretende-se que lados consecutivos do jardim sejam sempre perpendiculares.

As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Tal como a figura mostra, é a medida, em metros, de um dos lados do jardim.B Vão ser utilizados, na sua totalidade, 100 metros de rede.

1.1. Mostre que a área, em , do jardim, é dada, em função de , por7 B#

+ÐBÑ œ � #B � %!B � "%!!#

1.2. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de para o qual é máxima a área doBjardim e determine essa área máxima.

2. Seja a função de domínio definida por 0 0ÐBÑ œ B � $B � $B � "%B‘% $ #

Sabe-se que o gráfico de intersecta o eixo em apenas dois pontos. Um deles tem0 SBabcissa .� #

2.1. Decomponha o polinómio num produto de três polinómios,B � $B � $B � "%B% $ # sendo dois do primeiro grau e um do segundo grau.

2.2. O contradomínio de é um intervalo da forma 0 Ò +ß �∞Ò , determine o valor de ,Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora +

arredondado às décimas.

Reproduza, na sua folha de prova, o gráfico de visualizado na calculadora, depois0de ter escolhido uma janela que lhe permita visualizar o ponto relevante para aresolução do problema proposto. Assinale esse ponto no seu gráfico.

Página 21 de 22.


3. Na figura está representado, em

referencial o.n. , um cuboSBCD

ÒSTUVWXYZ Ó

A aresta está contida noÒST Ó

semieixo positivo , a arestaSB

ÒSVÓ está contida no semieixo

positivo e a aresta estáSC ÒSWÓ

contida no semieixo positivo .SD

O ponto tem coordenadasY

Ð#ß #ß #Ñ

No eixo está representado umSD

ponto , cuja cota é E %

3.1. Defina, por meio de uma condição, a aresta ÒYUÓ

3.2. Averigúe se o ponto pertence ao plano mediador do segmento X ÒEZ Ó

3.3. Na figura acima , a lápis, a secção produzida no cubo pelo plano e,desenhe TUE

na sua folha de prova, o seu perímetro.determine

:Nota importante

O seu desenho é feito no enunciado.

Por este motivo, escreva o seu nome no enunciado e entregue o enunciado em

conjunto com a sua folha de respostas.

FIM

Página 22 de 22.

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