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Testa os conhecimentos de Geometria Descritiva

Para testar os conhecimentos de Geometria Descritiva, procede da seguinte forma:

responde por escrito à questão escolhida; em seguida, clica no Hiperlink da pergunta para comparares a tua resposta

com a resposta correcta; se acertares, passa à pergunta seguinte; se errares, consulta as páginas indicadas do livro ou outro material à disposição.

Sistemas de Projecção Descreve como se processa uma Projecção Ortogonal. Em que consiste a Dupla Projecção Ortogonal ?

Em que consiste o Rebatimento dos Planos de Projecção ?

Como se identifica uma Projecção Horizontal ?

Como se identifica uma Projecção Frontal ?

Representação do Ponto Define Afastamento no espaço e em projecção.

Define Cota no espaço e em projecção.

Define Abcissa no espaço e em projecção.

Que acontece às projecções de um Ponto com Afastamento Negativo ?

Que acontece às projecções de um Ponto com Cota Negativa ?

Que acontece às projecções de um Ponto com Afastamento Nulo ?

Que acontece às projecções de um Ponto com Cota Nula ?

Como se caracteriza um Ponto contido no β 1,3 ? Como são as suas projecções?

Como se caracteriza um Ponto contido no β 2,4 ? Como são as suas projecções?

Representação da Recta Como se pode definir uma Recta ?

Indica em que condições é que, em projecção, um Ponto pertence a uma Recta.

Que são Pontos Notáveis da Recta ?

Define Traço Horizontal de uma Recta. Como se caracteriza?

Define Traço Frontal de uma Recta. Como se caracteriza?

Define Traço da Recta no β 1,3. Como se caracteriza?

Define Traço da Recta no β 2,4. Como se caracteriza?

Alfabeto da Recta Como se caracteriza uma Recta Horizontal ?

Como se caracteriza uma Recta Frontal ?

Como se caracteriza uma Recta de Topo ?

Como se caracteriza uma Recta Vertical ?

Como se caracteriza uma Recta Fronto-Horizontal ?

Como se caracteriza uma Recta Passante ?

Como se caracteriza uma Recta de Perfil ?

Como se caracteriza uma Recta Oblíqua ?

Posição relativa entre Rectas Quais as Posições Relativas possíveis entre rectas?

Como são as projecções de 2 Rectas Paralelas ?

Como são as projecções de 2 Rectas Concorrentes ?

Sistemas de Projecção Projecção Ortogonal Para projectar ortogonalmente um ponto, faz-se passar uma Projectante (linha recta) pelo Ponto, perpendicularmente ao Plano de Projecção e a Projecção do Ponto é a intersecção da Projectante e o Plano de Projecção.

Plano de projecção

Projecção do PontoPonto

ProjectanteA A1

Para se visualizar melhor o acto de projectar, o observador deverá estar de frente para o plano e imaginar uma linha recta que sai de um dos seus olhos em direcção ao ponto e chega ao Plano de Projecção (ou à folha de papel) na perpendicular (fazendo um ângulo de 90º).

Poderás imaginar ainda uma lanterna que emite luz em direcção perpendicular ao Plano de Projecção – a sombra do Ponto no plano é a projecção do Ponto.

Para projectar formas mais complexas, serão necessárias várias Projectantes, sempre perpen-diculares ao Plano de Projecção, passando por todos os pontos da forma.

A A1

B B1

C C1

Para mais informações, consulta as páginas 20 a 23.

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Sistemas de Projecção Dupla Projecção Ortogonal A Dupla Projecção Ortogonal consiste na projec-ção em dois planos de projecção perpendiculares entre si – no Plano Horizontal de Projecção e no Plano Frontal de Projecção – obtendo-se duas Projecções.

x

P2

P1

Projecção Horizontal

Projecção Frontal (Vertical)

Nota: a intersecção dos dois planos corresponde ao eixo x .

Monge – este método de representação também é conhecido como Método de Monge – consi-dera que representando (projectando) uma forma em dois planos, perpendiculares entre si, será dada toda a informação necessária e suficiente para dela se ter um conhecimento tão cor-recto como a que existe no espaço.

Os dois planos de projecção denominam-se: Plano Horizontal de Projecção ou νo (lê-se Niú zero)

Plano Horizontalde Projecção

Projecção Horizontaldo Ponto

Ponto

Projec

tante

horiz

ontal

A

A1

Plano Frontal de Projecção ou ϕo (lê-se Fi zero)

Assim far-se-á primeiramente a projecção no Plano Horizontal de Projecção, utilizando as projectantes horizontais (na realidade estas estão na vertical)

– obtém-se a Projecção Horizontal

e seguidamente a projecção no Plano Frontal de Projecção, utili-zando as projectantes frontais (na realidade estas estão na hori-zontal)

– obtém-se a Projecção Frontal.

Plano Frontalde Projecção

Projecção Frontaldo Ponto

Ponto

Projectante frontalA A2

Para mais informações, consulta as páginas 26 a 27 e 11 a 12. Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.

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Sistemas de Projecção Rebatimento dos Planos de Projecção O Rebatimento dos Planos de Projecção consiste na rotação do Plano Frontal de Projecção, em torno do eixo x e no sentido contrário ao dos pon-teiros do relógio, até ficar coincidente com o Pla-no Horizontal de Projecção.

P1

P2

P2

Nota: o eixo x corresponde à intersecção dos dois pla-nos de projecção.

Após a realização das duas projecções é necessário planificar – converter em duas dimensões – o sistema de projecção tridimensional.

Com este processo a Projecção Frontal vai Rebater sobre o plano horizontal de projecção, fi-cando esta projecção alinhada com a Projecção Horizontal segundo uma linha perpendicular ao eixo x (consequência da dupla projecção ortogonal) – a linha de chamada (desenhada a traço fino).

P2

P1

P2

P1

Pode-se agora transpor a representação para o Papel.

Para mais informações, consulta as páginas 46 a 47. Observa a animação “Flash” Rebatimento do PFP.

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Sistemas de Projecção Projecção Horizontal A Projecção Horizontal é (sempre) identificada com o número 1, colocado em índice a seguir à letra de identificação do Ponto ou da Recta.

Plano Horizontalde Projecção

Projecção Horizontaldo Ponto

Ponto

Projec

tante

horiz

ontal

A

A1

Exemplos:

A1 P1 Z1 a1 r1 z1 A forma de se distinguirem as projecções, realizadas em planos diferentes, é verificar qual o número em índice – todas as projecções com o número 1 são referentes a Projecções Horizon-tais.

Para mais informações, consulta a página 45. Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.

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Sistemas de Projecção Projecção Frontal A Projecção Frontal é (sempre) identificada com o número 2, colocado em índice a se-guir à letra de identificação do Ponto ou da Recta.

Plano Frontalde Projecção

Projecção Frontaldo Ponto

Ponto

Projectante frontalA A2

Exemplos:

A2 P2 Z2 a2 r2 z2

A forma de se distinguirem as projecções, realizadas em planos diferentes, é verificar qual o número em índice – todas as projecções com o número 2 são referentes a Pro-jecções Frontais.

Para mais informações, consulta a página 45. Observa a animação “Flash” Projecção do Ponto.

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Representação do Ponto Afastamento Afastamento é a distância de um ponto ao Plano Frontal de Projecção ou ϕo.

x

P2

P1



0

Em projecção, é a distância da projecção hori-zontal (por exemplo P1) do ponto ao eixo x .

De facto, se observarmos a posição do Ponto no espaço, a distância e vai do Plano Frontal de Projecção ao Ponto é a distância de P2 a P, no entanto, esta di nsão projecta-se com igual valor no Plano Horizontal de Projecção e corresponde à distância eixo x ou de Po a P1.

P2

P1

Afas

tamen

to

Nota: Po é a projecção do ponto no eixo x e situa-se nachamada do ponto com o eixo x .

O Afastamento corresponde ao eixo y do Referencial a três dimensõe

Nas coordenadas de um ponto, o Afastamento é o primeiro valor (quduas coordenadas) ou ao segundo valor (quando se indicam as três P(0;5;3).


P

qume do

P0

intersecção da linha de

s.

ando apenas se indicam coordenadas): A(5;3) ou

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Representação do Ponto Cota Cota é a distância de um ponto ao Plano Horizon-tal de Projecção ou νo .

0

x

P2

P1



Em projecção, é a distância da projecção frontal (por exemplo P2) do ponto ao eixo x .

De facto, se observarmos a posição do Ponto no espaço, a distânc ue vai do Plano Hori-zontal de Projecção ao Ponto é a distância de P1 a P, no entanto, e dimensão projecta-se com igual valor no Plano Frontal de Projecção e corresponde à distân do eixo x ou de Po a P2 .

P2

P1

Cota

P0

Nota: Po é a projecção do ponto no eixo x e situa-se nchamada do ponto com o eixo x .

A Cota corresponde ao eixo z do Referencial a três dimensões.

Nas coordenadas de um ponto, a Cota é o segundo valor (quando apeordenadas) ou ao terceiro valor (quando se indicam as três coordenad


P

ia qstacia

a intersecção da linha de

nas se indicam duas co-as): A(5;3) ou P(0;5;3).

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Representação do Ponto Abcissa Abcissa é a distância de um ponto ao Plano de Perfil ou πo .

x

P2

P1



Em projecção, é o posicionamento das projec-ções do Ponto na direcção do eixo x .

A Abcissa é um dado importante quando se representam dois ou mais pontos, permitindo defi-nir a distância entre eles ao longo do eixo x.

O Plano πo atrás referido não é um plano de projecção mas apenas um plano de referência zero para as Abcissas. Para a sua esquerda são medidas as Abcissas positivas e para a sua direita as negativas.

Uma vez que a sua intersecção com os Planos de Projecção correspondem aos eixos y e z, na representação desenha-se uma recta perpendicular ao eixo x e identifica-se como y≡z , que corresponde à abcissa zero.

P2

P1

AbcissaP0

y=z

A Abcissa corresponde ao eixo x do Referencial a três dimensões.

Nas coordenadas de um ponto, a Abcissa é o primeiro valor (quando se indicam as três coor-denadas): P(2;5;3).

Para mais informações, consulta as páginas 10 a 12 e 54 a 55.

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Representação do Ponto Ponto com Afastamento Negativo Quando um Ponto tem Afastamento negativo, a sua Projecção Horizontal fica acima do eixo x.

x


Projecção Frontal

P2

P2P1

x


Projecção Frontal

P2

P2

P1

Se um ponto se situar no II ou III quadrantes, o seu Afastamento passa a ser negativo – quan-do se mede a distância “para lá” do Plano Frontal até ao ponto está-se a medir no sentido ne-gativo.

Como se pode observar na representação espacial, a projecção horizontal do Ponto situado no II ou no III quadrante fica situada no Semi-plano Horizontal Posterior, logo situa-se na zona acima do eixo x (após realizado o rebatimento dos planos de projecção).

P2

P1

P2

P1

Exemplo: P(-2;3) [IIQ] P(-2;-3) [IIIQ]


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Representação do Ponto Ponto com Cota Negativa Quando um Ponto tem Cota negativa, a sua Projec-ção Frontal fica abaixo do eixo x.

x


Projecção Frontal

P2

P2

P1

x


Projecção Frontal

S2

S2S1

Se um ponto se situar no III ou IV quadrantes, a sua Cota passa a ser negativa – quando se mede a distância “para baixo” do Plano Horizontal até ao ponto está-se a medir no sentido ne-gativo.

Como se pode observar na representação espacial, a projecção frontal do Ponto situado no III ou no IV quadrante fica situada no Semi-plano Frontal Inferior, logo situa-se na zona abaixo do eixo x (após realizado o rebatimento dos planos de projecção – note-se que o SPFI roda até se sobrepor ao Semi-plano Horizontal Anterior).

P2

P1

S2

S1

Exemplo: P(-2;-3) [IIIQ] S(2;-3) [IVQ]


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Representação do Ponto Ponto com Afastamento Nulo Quando um Ponto tem Afastamento nulo, a sua Pro-jecção Horizontal fica contida no eixo x.

x


Projecção Frontal

P2

P2

P1

Nota: a projecção frontal fica coincidente com o próprio Ponto no espaço.

Se um ponto se situar no Plano Frontal de Projecção (plano relativamente ao qual se medem os afastamentos), o seu Afastamento passa a ser nulo (igual a zero).

Como se pode observar na representação espacial, a projecção horizontal do Ponto situado no Plano Frontal de Projecção vai-se efectuar no eixo x (que é a referência zero para a medição dos afastamentos).

Se o ponto se situar no Semi-plano Frontal Superior, a projecção frontal fica acima do eixo x (porque tem cota positiva). Exemplo: P(0;3)

P2P

P1 R2R

R1

Se o ponto se situar no Semi-plano Frontal Inferior, a projecção frontal fica abaixo do eixo x (porque tem cota negativa). Exemplo: R(0;-3)


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Representação do Ponto Ponto com Cota Nula Quando um Ponto tem Cota nula, a sua Projecção Frontal fica contido no eixo x.

x


Projecção Frontal

P2

P1

Nota: a projecção horizontal fica coincidente com o próprio Ponto no espaço.

Se um ponto se situar no Plano Horizontal de Projecção (plano relativamente ao qual se me-dem as cotas), a sua Cota passa a ser nula (igual a zero).

Como se pode observar na representação espacial, a projecção frontal do Ponto situado no Plano Horizontal de Projecção vai-se efectuar no eixo x (que é a referência zero para a medi-ção das cotas).

Se o ponto se situar no Semi-plano Horizontal Anterior, a projecção horizontal fica abaixo do eixo x (porque tem afastamento positivo). Exemplo: P(3;0)

P

P2

P1

T

T2

T1

Se o ponto se situar no Semi-plano Horizontal Posterior, a projecção horizontal fica acima do eixo x (porque tem afastamento negativo). Exemplo: T(-3;0)


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Representação do Ponto Ponto contido no β 1,3

Um Ponto contido no β 1,3 tem Cota e Afastamento igual.

x P1

P2

P2

As suas projecções são simétricas em relação ao eixo x (estão equidistantes do eixo x).

P2

P1

O β 1,3 é um plano bissector – é um plano que divide os quadrantes ímpares ao meio (em 4 di-edros iguais) – pelo que todos os Pontos situados neste plano têm Cota e Afastamento igual, como é característica de qualquer ponto situado nos Quadrantes Ímpares (Afastamento e Cota positivas – IQ – e Afastamento e Cota negativas – IIIQ).

Exemplo: P(3;3)

β1,3P2 P

P2 P1Vista de lado dos Planos de Projecção

Devido a esta característica, após efectuar as projecções de um Ponto, quando se rebate o plano frontal de projecção sobre o plano horizontal de projecção a projecção frontal do ponto do ponto fica, relativamente ao eixo x, oposta e a igual distância da projecção horizontal do ponto.

Para mais informações, consulta as páginas 16 a 17 e 53.

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Representação do Ponto Ponto contido no β 2,4

Um Ponto contido no β 2,4 tem Cota e Afastamento igual, mas de sinal contrário.

x

P1 P2

P2

As suas projecções são coincidentes (estão sobrepos-tas).

P2P1

O β 2,4 é um plano bissector – é um plano que divide os quadrantes pares ao meio (em 4 die-dros iguais) – pelo que todos os Pontos situados neste plano têm Cota e Afastamento igual, mas de sinal diferente (se um é positivo o outro é negativo), como é característica de qualquer ponto situado nos Quadrantes Pares (Afastamento negativo e Cota positiva – IIQ – e Afasta-mento positivo e Cota negativa – IVQ).

Exemplo: P(-3;3)

β2,4

P2P

P2P1Vista de lado dos Planos de Projecção

Devido a esta característica, após efectuar as projecções de um Ponto, quando se rebate o plano frontal de projecção sobre o plano horizontal de projecção a projecção frontal do ponto do ponto fica sobreposta à projecção horizontal do ponto.

Para mais informações, consulta as páginas 16 a 17 e 53.

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Representação da Recta Definição de uma RectaUma Recta define-se por dois Pontos ou um Ponto e uma Direcção.

A

P

r

r

d

B

Este conceito relaciona-se com o menor número de informações necessárias para traçar uma determinada recta, e deverá estar sempre presente na resolução de problemas geométricos.

Assim, com apenas dois pontos é possível desenhar a Recta pretendida. Num exemplo prático, um pedreiro quando precisa de construir uma parede de tijolos (numa linha recta) basta-lhe espetar dois ferros (2 pontos) e atar-lhe uma linha para alinhar os tijolos.

Ou então, se tiver um Ponto e uma Direcção, pode-se igualmente desenhar a Recta pretendi-da. Num exemplo prático, o mesmo pedreiro para construir uma parede paralela à anterior a uma dada distância, basta-lhe espetar um ferro à distância pretendida (1 ponto) e alinhar os tijolos na mesma direcção da parede anterior (que, neste caso, é uma direcção paralela a ou-tra).

Para mais informações, consulta as páginas 57.

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Representação da Recta Ponto de uma RectaUm Ponto pertence a uma Recta quando as suas projecções estão contidas nas projecções do mesmo nome (homónimas) da recta.

x

r2

r1

A2

A1

rA2

r2

A1

r1

Como acontece com o Ponto, em Dupla Projecção Ortogonal também a recta é representada com duas projecções – a Projecção Horizontal da recta e a Projecção Frontal da recta.

Quando se pretende identificar um Ponto da Recta (ou fazer passar a recta por um ponto) ter-se-á de considerar as duas projecções do Ponto – observe-se o que acontece na representa-ção espacial:

a Projecção Horizontal do Ponto vai coincidir com um ponto da Projecção Hori-zontal da Recta;

a Projecção Frontal do Ponto vai coincidir com um ponto da Projecção Frontal da Recta.

Por isso, esta condição é importante para se verificar numa representação se um Ponto per-tence ou não a uma Recta.

Poderão haver situações que causem dúvidas, como: A2r2

C1B2

A1

r1C2

B1

apenas uma projecção do ponto ser coincidente com um pon-to da projecção da recta (mesmo que seja homónima) – caso do ponto B;

ou ambas projecções serem coincidentes mas de projecções contrárias – caso do ponto C;

e nestas duas situações nem o ponto B nem o ponto C per-tencem à recta (porque não respeitam o conceito de perten-ça).

Para mais informações, consulta as páginas 58 a 60. voltar

Representação da Recta Pontos Notáveis da RectaPontos Notáveis da Recta são os pontos de intersec-ção da Recta com os Planos de Projecção e os Pla-nos Bissectores.

Numa Recta existem quatro pontos notáveis – Traço Horizontal, Traço Frontal, Traço no β 1,3 e Traço no β 2,4 – correspondentes aos pontos onde a Recta intersecta, respectivamente o Plano Horizontal de Projecção, o Plano Frontal de Projecção, o β1,3 e o β2,4 .

Estes pontos permitem determinar as mudanças de Quadrante (traços Horizontal e Frontal) e de Octante (traços no β 1,3 e no β 2,4 ) e, consequentemente, o Percurso da Recta no Espaço (quadrantes e octantes por que passa). Relativamente à visibilidade, considera-se visível (traço contínuo) a parte da recta contida no 1º quadrante.

Vista de lado

Nota: durante o estudo do Alfabeto da Recta verificar-se-á que algumas rectas podem não ter alguns pontos notáveis.

Para mais informações, consulta as páginas 61 a 67. Ver as 4 questões seguintes (com pormenores sobre os Traços da Recta).

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Representação da Recta Traço Horizontal de uma Recta

Traço Horizontal de uma Recta é o ponto de inter-secção da recta com o Plano Horizontal de Projec-ção.

Este ponto tem Cota nula.

Nota: o Traço Horizontal coincide com a sua projecção horizontal.

Uma vez que o Traço Horizontal da recta resulta da sua intersecção com o Plano Horizontal de Projecção, este ponto só pode ter Cota igual a zero.

Este Ponto (identificado com a letra H) é um ponto simultaneamente da recta e do νo , assim, para o determinar:

procura-se na projecção frontal da recta o sítio de cota nula – ponto de intersec-ção da projecção frontal com o eixo x;

identifica-se, aí, a projecção frontal do Traço Horizontal da recta – H2 ;

desenha-se a linha de chamada até à projecção horizontal da recta;

aí identifica-se a projecção horizontal do Traço Horizontal da recta – H1 ;

Para mais informações, consulta as páginas 62 e 63. Ver a questão Ponto com Cota Nula. voltar

Representação da Recta Traço Frontal de uma RectaTraço Frontal de uma Recta é o ponto de intersec-ção da recta com o Plano Frontal de Projecção.

Este ponto tem Afastamento nulo.

Nota: o Traço Frontal coincide com a sua projecção fron-tal.

Uma vez que o Traço Frontal da recta resulta da sua intersecção com o Plano Frontal de Pro-jecção, este ponto só pode ter Afastamento igual a zero.

Este Ponto (identificado com a letra F) é um ponto simultaneamente da recta e do ϕo , assim, para o determinar:

procura-se na projecção horizontal da recta o sítio de afastamento nulo – ponto de intersecção da projecção horizontal com o eixo x;

identifica-se, aí, a projecção horizontal do Traço Frontal da recta – F1 ;

desenha-se a linha de chamada até à projecção frontal da recta;

aí identifica-se a projecção frontal do Traço Frontal da recta – F2 ;

Para mais informações, consulta as páginas 61 e 62. Ver a questão Ponto com Afastamento Nulo. voltar

Representação da Recta Traço da Recta no β 1,3

Traço da Recta no β 1,3 é o ponto de intersecção da recta com o Plano Bissector dos Quadrantes Ímpares ou β 1,3 .

Este ponto tem Cota e Afastamento iguais.

Uma vez que o Traço da recta no β1,3 resulta da sua intersecção com o β1,3 , este ponto só pode ter Afastamento igual à Cota.

Este Ponto (sempre identificado com a letra Q) é um ponto simultaneamente da recta e do β1,3 , assim, para o determinar:

desenha-se um arco de circunferência (com abertura qualquer) com centro na in-tersecção da projecção horizontal da recta (também se pode utilizar a outra pro-jecção) com o eixo x;

com centro na intersecção do arco com o eixo x abre-se o compasso até à inter-secção da projecção horizontal com o arco; desenha-se o arco de circunferência até intersectar noutro ponto o primeiro arco;

traça-se uma recta que una o ponto atrás calculado e o ponto que serviu de cen-tro ao primeiro arco de circunferência;

na intersecção da recta auxiliar desenhada e a projecção frontal identifica-se a projecção frontal do Traço da recta no β1,3 – Q2 ;

desenha-se a linha de chamada até à projecção horizontal da recta;

aí identifica-se a projecção horizontal do Traço da recta no β1,3 – Q1;

Para mais informações, consulta as páginas 63 e 64. Ver a questão Ponto contido no β1,3 . Consulta no Site o texto Traço da Recta no beta 1,3 . voltar

Representação da Recta Traço da Recta no β 2,4

Traço da Recta no β 2,4 é o ponto de intersecção da recta com o Plano Bissector dos Quadrantes Pares ou β 2,4.

Este ponto tem Cota e Afastamento iguais, mas de sinal contrário.

Uma vez que o Traço da recta no β2,4 resulta da sua intersecção com o β2,4 , este ponto só pode ter Afastamento igual e de sinal contrário à Cota.

Este Ponto (sempre identificado com a letra I) é um ponto simultaneamente da recta e do β2,4 , assim, para o determinar:

procura-se a intersecção da projecção horizontal com a projecção frontal da rec-ta;

identificam-se, aí, as projecções do Traço da recta no β2,4 – I1 e I2 .

Para mais informações, consulta a página 63. Ver a questão Ponto contido no β2,4 . voltar

Alfabeto da Recta Recta Horizontal ou Recta de Nível Recta Horizontal é toda a Recta que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção e oblíqua ao Plano Frontal de Projecção.

Todos os seus pontos têm cota constante.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Horizontal apesar de ser pa-ralela ao Plano Horizontal de Projecção, é na projecção frontal h2 que se observa a posição relativa da recta ao νo – ficando paralela ao eixo x – sendo a outra projecção h1 oblíqua ao eixo x.

Sendo a recta paralela ao νo , observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm cota constante; apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 2º ou o 3º e o 4º (se a recta tiver cota negativa); não tem Traço Horizontal.

Análise do percurso da recta no espaço e respectivas visibilidade e invisibilidade:

Para mais informações, consulta a página 71. voltar

Alfabeto da Recta Recta Frontal ou Recta de Frente

Recta Frontal é toda a Recta que é paralela ao Pla-no Frontal de Projecção e oblíqua ao Plano Horizon-tal de Projecção.

Todos os seus pontos têm afastamento constante.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Frontal apesar de ser paralela ao Plano Frontal de Projecção, é na projecção horizontal f1 que se observa a posição relativa da recta ao ϕo – ficando paralela ao eixo x – sendo a outra projecção f2 oblíqua ao eixo x.

Sendo a recta paralela ao ϕo , observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm afastamento constante; apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 4º ou o 3º e o 2º (se a recta tiver afastamento negativo); não tem Traço Frontal.



Alfabeto da Recta Recta de Topo ou Recta Projectante Frontal Recta de Topo é toda a Recta que é perpendicular ao Plano Frontal de Projecção (e, por consequência, paralela ao Plano Horizontal de Projecção).

Todos os seus pontos têm cota e abcissa constan-tes.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Projectante Frontal (ou de Topo) apesar de ser perpendicular ao Plano Frontal de Projecção, é na projecção horizontal t1 que se observa a posição relativa da recta ao ϕo – ficando perpendicular ao eixo x – sendo a outra projecção t2 um ponto na mesma abcissa de t1.

Sendo a recta perpendicular ao ϕo , observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm cota e abcissa constantes (daí todos as suas projec-ções frontais coincidirem com t2); apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 2º ou o 3º e o 4º (se a recta tiver cota negativa); não tem Traço Horizontal.


Vista de lado

Notas: repara que I1 é a única projecção horizontal que coincide com t2 . O percurso da recta tem de ser feito na vertical, para acompanhar a direcção da recta.

Para mais informações, consulta as páginas 72 e 73. voltar

Alfabeto da Recta Recta Vertical ou Recta Projectante Horizontal Recta Vertical é toda a Recta que é perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção (e, por consequência, paralela ao Plano Frontal de Projecção).

Todos os seus pontos têm afastamento e abcissa constantes.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Projectante Horizontal (ou Vertical) apesar de ser perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, é na projecção frontal v2 que se observa a posição relativa da recta ao νo – ficando perpendicular ao eixo x – sendo a outra projecção v1 um ponto na mesma abcissa de v2.

Sendo a recta perpendicular ao νo , observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm afastamento e abcissa constantes (daí todos as suas projecções horizontais coincidirem com v1); apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 4º ou o 2º e o 3º (se a recta tiver afastamento negativo); não tem Traço Frontal.


Vista de lado

Notas: repara que I2 é a única projecção frontal que coincide com v1 . O percurso da recta tem de ser feito na vertical, para acompanhar a direcção da recta.


Alfabeto da Recta Recta Fronto-Horizontal ou Recta Paralela a x

Recta Fronto-Horizontal é toda a Recta que é parale-la ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizon-tal de Projecção.

Todos os seus pontos têm afastamento e cota cons-tantes.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Fronto-Horizontal por ser pa-ralela aos dois Planos de Projecção, as suas projecções horizontal p1 e frontal p2 ficam parale-las ao eixo x.

Sendo a recta paralela ao ϕo e ao νo , observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm afastamento e cota constantes; apenas atravessa um quadrante; não tem Pontos Notáveis.



Alfabeto da Recta Recta Passante

Recta Vertical é toda a Recta oblíqua aos Planos de Projecção e passa (é concorrente) no eixo x.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Passante por ser oblíqua aos dois Planos de Projecção, as suas projecções horizontal a1 e frontal a2 ficam oblíquas ao eixo x, e são concorrentes (intersectam-se) num ponto do eixo x.

Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo e concorrente com o eixo x, observa-se o seguinte:

apenas atravessa dois quadrantes – o 1º e o 3º ou o 2º e o 4º (é a única recta que passa por quadrantes e octantes não consecutivos); os seus Pontos Notáveis situam-se no eixo x.


As Rectas Passantes podem ser Passantes Oblíquas (caso analisado) e Passantes de Perfil.

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Vista de lado

Para mais informações, consulta a página 79.

Alfabeto da Recta Recta de Perfil Recta de Perfil é toda a Recta oblíqua aos Planos de Projecção e ortogonal (perpendicular) ao eixo x.

Todos os seus pontos têm abcissa constante.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta de Perfil, apesar de ser oblí-qua aos Planos de Projecção, as projecções horizontal p1 e frontal p2 ficam coincidentes e per-pendiculares ao eixo x devido à sua posição ortogonal com o eixo x.

Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo e ortogonal ao eixo x, observa-se o seguinte:

todos os seus pontos têm abcissa constante; atravessa três quadrantes – o 1º, 2º e 3º ou o 2º, 3º e 4º ou 3º, 4º e 1º ou 4º, 1º e 2º; a recta para estar bem definida, tem de estar representada com dois dos seus pontos.

Representação correcta da recta e seus pontos notáveis:

Notas: devido à posição da recta de perfil, a determinação dos pontos notáveis e do seu per-curso no espaço só é possível recorrendo aos métodos auxiliares (matéria do 11º ano). A recta poderá não ter um dos traços nos planos bissectores se for paralelo (ou perpendicular) a um deles. É a única excepção à aplicação do conceito de Ponto pertencente a uma Recta.

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Vista de lado

Para mais informações, consulta as páginas 77 e 78.

Alfabeto da Recta Recta Oblíqua

Recta Vertical é toda a Recta oblíqua aos dois Pla-nos de Projecção.

Como se pode observar na representação tridimensional, a recta Oblíqua tem as suas projec-ções horizontal a1 e frontal a2 oblíquas ao eixo x.

Sendo a recta oblíqua ao νo e ao ϕo , observa-se o seguinte:

atravessa três quadrantes – o 1º, 2º e 3º ou o 2º, 3º e 4º ou 3º, 4º e 1º ou 4º, 1º e 2º.


Vista de lado

Notas: a recta poderá não ter um dos traços nos planos bissectores se for paralelo a um deles.


Posição relativa entre Rectas Rectas Complanares e Rectas não Complanares

Duas rectas são: Complanares ou não Complanares entre si. As Rectas Complanares são Concorrentes ou Paralelas.

Duas rectas no espaço são Complanares se estiverem contidas no mesmo plano (ou se nelas for possível assentar um plano).

As Rectas Complanares dividem-se em:

Rectas Paralelas – são rectas que têm a mesma direcção (são concorrentes no

infinito);

ectas Concorrentes – são rectas que têm um ponto comum (e, por isso, direc-

s Rectas Concorrentes podem ainda ser:

elas for diferente de 0 e 90º;

s Rectas não Complanares, ou Rectas Enviesadas, são rectas com direcções diferentes e

Rectas Enviesadas as Rectas Ortogonais – rectas que não são complana-

s informações, consulta as páginas 68 a 70.

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Rções diferentes).

A

Oblíquas – se o ângulo entre

Perpendiculares – se o ângulo entre elas for igual a 90º.

Anão concorrentes.

São res, mas são paralelas a duas rectas perpendiculares (como é o caso das rectasde Perfil em relação ao eixo x).

Para mai

Posição relativa entre Rectas Rectas Paralelas

As projecções homónimas (do mesmo nome) de Rectas Paralelas são paralelas entre si.

Quando duas rectas são Paralelas entre si no espaço, qualquer que seja o ponto de vista de observação, são vistas como paralelas (descontando, obviamente, o efeito de perspectiva do nosso modo de visão) – assim, as projecções das rectas em qualquer plano serão sempre pa-

ralelas.

m dupla projecção ortogonal as projecções horizontais das rectas serão paralelas (a1 // b1)

ara mais informações, consulta a página 68.

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Eentre si e as projecções frontais (a2 // b2) também – se esta dupla condição não se confirmar então as rectas não são paralelas.

P

Posição relativa entre Rectas Rectas Concorrentes

As projecções homónimas de Rectas Concorrentes são concorrentes nas respectivas projecções do ponto de concorrência.

Quando duas rectas são Concorrentes, têm um ponto comum – o ponto de concorrência ou de intersecção – assim, as projecções horizontais das rectas (a1 e b1) passam na projecção horizontal do ponto (P1) e as projecções frontais das rectas (a2 e b2) contêm a projecção frontal do ponto (P2).

Em dupla projecção ortogonal, se a dupla condição não se confirmar então as rectas não são concorrentes.


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