tese evolutas involutas

Evolutas, Involutas e Roulettes

Maria Teresa Carrapa Ribeiro de Carvalho Mestrado em Matemtica para Professores Departamento de Matemtica

2013

Orientador

Helena Mena Matos, Professora Auxiliar, Faculdade de Cincias

Todas as correes determinadas

pelo jri, e s essas, foram efetuadas.

O Presidente do Jri,

Porto, ______/______/_________

Agradecimentos

minha orientadora, Professora Doutora Helena Mena Matos, agradeo a ajuda cons-

tante que me deu, com o seu conhecimento e permanente disponibilidade.

Agradeo tambm a todos os professores e colegas deste mestrado porque de alguma

forma contribuiram para este trabalho.

Resumo

O objetivo desta dissertao foi fazer um estudo de um modo acessvel geometria das

curvas planas diferenciveis, falando de noes e resultados bsicos que juntamente com

uma preparao mnima em matemtica, permitissem chegar a resultados atrativos

e interessantes. A restrio ao conjunto das curvas planas permitiu trabalhar num

ambiente familiar, o plano euclidiano, e ainda usar o computador tanto para obter

representaes grcas das curvas como para explorar as suas propriedades atravs de

animaes.

Neste trabalho so apresentados os conceitos, e algumas propriedades, de curvatura,

circunferncia osculadora, evoluta, involuta e roulette. Como exemplo de roulettes so

estudadas com mais detalhe as trocoides. So includas duas aplicaes, o pndulo

iscrono, concebido e utilizado por Huygens em 1659 na construo de um relgio de

pndulo e o perl cicloidal utilizado para garantir a transmisso de movimento uniforme

entre as rodas dentadas de uma engrenagem.

Palavras-chave: Curvatura, evoluta, involuta, roulette, pndulo iscrono, perl ci-

cloidal

iv

Abstract

The aim of this thesis was to study the geometry of dierentiable plane curves, covering

basic material presented in a manner suitable for achieving attractive and interesting

results with minimal mathematical preparation. The restriction to plane curves allowed

us to work in a familiar environment, the Euclidean plane, and to use the computer

for both plotting curves and exploiting their properties through animations.

In this work we consider some properties of curvature, osculating circle, evolute,

involute and roulette curves. As an example of roulettes, the trochoids are studied in

more detail. Two applications are included, the isochronous pendulum, conceived by

Huygens in 1659 and applied by himself to build an isochronous pendulum clock and

the cycloidal tooth prole used for constant velocity transfer between two gears.

Keywords: Curvature, evolute, involute, roulette, isochronous pendulum, cycloidal

tooth prole

v

ndice

Lista de Figuras ix

Introduo 1

1 Generalidades sobre curvas 3

1.1 Curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Curvatura e circunferncia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Circunferncia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Evolutas e Involutas 19

2.1 Evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Curvas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Involutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Roulettes 30

3.1 Discusso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Epitrocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 Hipotrocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.3 Perodo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.4 Dupla gerao das trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Aplicaes 44

4.1 Relgio de pndulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 O problema da tautcrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Determinao da evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Perl dos dentes de rodas dentadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Lei do Engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 Perl cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

vi

FCUP vii


5 Animaes com o Geogebra 60

5.1 Curvatura e circunferncia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Elipse: evoluta e paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Involutas de uma circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 Trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Dupla gerao da epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.7 Dupla gerao da hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.8 Pndulo iscrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.9 Propriedade tautcrona da cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.10 Par conjugado: epicicloide e hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.11 Perl cicloidal: engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Referncias Bibliogrcas 69

Lista de Figuras

1.1 ngulo do vetor tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Sinal da curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Circunferncia osculadora como limite das circunferncias que passam por P0 = (t0),

P1 = (t0 h) e P2 = (t0 + h), quando h 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Centros de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Famlia de circunferncias osculadoras nos pontos do arco da elipse (t), t [0,pi

2

]. . . . 18

2.1 Evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Evoluta como envolvente das normais de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Curvas paralelas elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Pontos no regulares das curvas paralelas elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Construo da involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Involutas da circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Construo da roulette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Cicloide invertida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Construo da epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Posio inicial do ponto P , gerador da hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 Trocoides congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Dupla gerao das trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Manuscrito com as retries do pndulo de 1657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Pndulo iscrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 A curva que liga O a P parte de uma cicloide invertida . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Componente tangencial do peso no ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 A fora tangencial diretamente proporcional ao comprimento do arco . . . . . . . . . . 53

4.6 Cicloide invertida e a sua evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7 Circunferncias primitivas de duas rodas dentadas sendo C o ponto de contacto entre um

par de dentes em ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8 Lei do Engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.9 Construo do perl cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.10 Ponto de contacto da hipocicloide com a epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

viii

FCUP ix


4.11 Epicicloide como a envolvente das posies sucessivas da hipocicloide . . . . . . . . . . 59

5.1 Instantneos de Curvatura e circunferncia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Instantneos de Elipse: evoluta e paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Instantneos de Involutas de uma circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Instantneos de Cicloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 Instantneos de Trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Instantneos de Dupla gerao da epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.7 Instantneos de Dupla gerao da hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.8 Instantneos de Pndulo iscrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.9 Instantneos de Propriedade tautcrona da cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.10 Instantneos de Par conjugado: epicicloide e hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.11 Instantneos de Perl cicloidal: engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Introduo

O objetivo desta dissertao foi fazer um estudo de um modo acessvel geometria

de curvas planas diferenciveis, falando de noes e resultados bsicos que juntamente

com uma preparao mnima em matemtica, permitissem chegar a resultados atra-

tivos e interessantes. A restrio ao conjunto das curvas planas permitiu trabalhar

num ambiente familiar, o plano euclidiano, e ainda usar o computador tanto para

obter representaes grcas como para explorar propriedades das curvas atravs de

animaes.

No primeiro captulo so introduzidos os conceitos de curva parametrizada, com-

primento de arco, curvatura e circunferncia osculadora. demonstrado que a funo

curvatura determina completamente a curva a menos de um movimento rgido e ainda

que a circunferncia osculadora num ponto a circunferncia com maior ordem de

contacto nesse ponto. No segundo captulo so denidas evolutas, paralelas e involutas

de uma curva. A evoluta o lugar geomtrico dos centros de curvatura da curva. Ao

desenrolar um o que contorna a curva, conservando-o esticado, a extremidade des-

creve uma involuta dessa curva. No terceiro captulo apresentado um tipo especial de

curvas, as roulettes. Uma roulette a curva gerada por um ponto rigidamente ligado

a uma curva mvel quando esta rola sem deslizar sobre uma curva xa. De modo a

facilitar a obteno das parametrizaes destas curvas considera-se o plano de Argand.

Como exemplos de roulettes so estudadas as cicloides e as trocoides. Em ambos os

casos a curva mvel uma circunferncia e a xa uma reta no primeiro e uma cir-

cunferncia no segundo. As trocoides podem ter formas muito diversas e visualmente

atrativas. Em 1965 foi inventado por Danys Fisher o espirgrafo, um brinquedo para

as desenhar. No quarto captulo feita referncia ao enquadramento histrico do pro-

blema da tautcrona resolvido por Huygens. estudada a curva tautcrona e a sua

aplicao na construo de um pndulo iscrono com recurso ao conceito de evoluta.

Como um segundo problema considera-se a determinao do perl dos dentes das rodas

dentadas de uma engrenagem com a qual se pretende uma transmisso de movimento

uniforme. As curvas utilizadas tradicionalmente para os pers so as hipocicloides e

epicicloides e a involuta da circunferncia. apresentada a construo do perl cicloi-

dal, hoje em dia muito menos utilizado do que o perl de involuta, mas que continua a

ser utilizado essencialmente nas engrenagens dos relgios. Finalmente no captulo cinco

so apresentadas as animaes desenvolvidas em GeoGebra para visualizar conceitos e

propriedades das curvas. As denies e os resultados apresentados nos captulos de

1

FCUP 2


um a trs so maioritariamente adaptaes feitas a partir dos textos de Rutter [8] e

Gibson [3].

Faz parte integrante desta tese um CD com um conjunto de pginas em HTML5,

guardadas numa pasta designada WEBSITE, que contm as animaes apresentadas

no captulo cinco.

1Generalidades sobre curvas

1.1 Curva parametrizada

No espao R2 designaremos um vetor por ~u e um ponto por uma consoante maisculaP . Consideramos este espao munido do produto interno cannico denido por ~u ~v =u1v1 + u2v2, onde ~u = (u1, u2) e ~v = (v1, v2). A norma de um vetor dada por

~u = ~u ~u.A ideia intuitiva de curva plana a de uma linha contnua contida num plano.

Facilmente se aceitam como exemplos de curvas uma reta, uma circunferncia ou uma

parbola, usualmente descritas por equaes cartesianas. As curvas planas podem ser

descritas matematicamente por uma equao cartesiana em x e y, explicitamente por

y = f(x) correspondendo ao grco de uma funo ou de forma implcita por f(x, y) =

0 correspondendo neste caso ao conjunto de pontos{

(x, y) R2 : f(x, y) = 0}.Outro modo de pensar numa curva consiste em olhar a curva como o caminho

traado por um ponto a mover-se em R2. Se (t) representar o vetor posio desseponto no instante t, a curva ser descrita por uma aplicao de parmetro t com valores

no espao euclidiano R2. Esta ideia d origem denio de curva parametrizada.

Denio 1 Uma curva parametrizada uma aplicao contnua : I R2 onde I um intervalo de R. A (I) chamamos trao da curva. Escrevendo (t) = (x(t), y(t))as funes x e y so as funes componentes de .

Dizemos que uma curva parametrizada suave se cada uma das suas funes

componentes possuir derivada de todas as ordens.

Se nada for dito em contrrio, sempre que usarmos a palavra curva estaremos a

referir-nos a curvas parametrizadas suaves.

3

FCUP 4


1.2 Comprimento de arco

Chamamos vetor velocidade da curva a (t) = (x(t), y(t)) que quando no nulodene a direo da tangente curva no instante t. De facto, notemos que o vetor

(t+ t) (t)t

paralelo corda que liga os pontos (t + t) e (t) do trao de e medida que

t tende para zero, a corda torna-se paralela tangente em (t). Logo, a tangente

dever ser paralela a

limt0

(t+ t) (t)t

= (t).

Se o vetor velocidade de nunca se anula, a curva diz-se regular e tem uma direo

tangente bem denida em cada instante. Se a curva no regular, os pontos onde

(t) = ~0 chamam-se pontos singulares de . Para denir o comprimento de umacurva vamos considerar curvas regulares.

Suponhamos que a curva est denida num intervalo [a, b]. Se considerarmos

uma partio arbitrria de [a, b], em subintervalos de igual amplitude,

a = t0 < t1 < < tk1 < tk < tk+1 < < tn = b

denimos uma linha poligonal P0, P1, , Pn onde Pk = (tk) = (xk, yk). O compri-mento da curva aproximado pelo comprimento da linha poligonal que substitui o

trao da curva em [tk1, tk] pelo segmento que une (tk1) = Pk1 a (tk) = Pk. Ocomprimento da linha poligonal dado por

nk=1

Pk Pk1 =nk=1

(xk xk1)2 + (yk yk1)2

Fazendo t = tk tk1 pode-se reescrever o ltimo somatrio como

nk=1

(xk xk1

t

)2+

(yk yk1

t

)2t

e fazendo t tender para zero obtm-se para o comprimento da curva entre a e b

l() =

ba

(dx

dt

)2+

(dy

dt

)2dt =

ba

(t) dtDenio 2 Dizemos que o comprimento de arco de uma curva a partir do ponto

(t0) a funo

s(t) =

tt0

v(u)du

onde

v(t) =(t)

FCUP 5


a velocidade escalar da curva no instante t.

Assim tem-se que s(t0) = 0 e s(t) > 0 ou s(t) < 0 consoante t > t0 ou t < t0.

Note-se que se (t) = 1 para qualquer t, ento s(t) = t t0, isto t mede ocomprimento de arco a menos de uma constante.

Dizemos que uma curva est parametrizada pelo comprimento de arco quando

percorrida com velocidade escalar constante igual a 1.

Se uma curva denida no intervalo [a, b], regular e no parametrizada pelo

comprimento de arco, pode ser reparametrizada de modo a que tenha velocidade escalar

constante igual a 1. Com efeito uma vez que s(t) = v(t) > 0, a funo s crescente eportanto injetiva. Assim s uma bijeo de [a, b] em [0, l()]. Chamando h inversa

de s tem-se que h uma reparametrizao de pelo comprimento de arco pois

( h)(s) = h(s)(h(s)) = 1v(h(s))

(h(s)).

Daqui resulta que ( h)(s) = 1v(h(s))

(h(s)) = 1para qualquer s [0, l()].

Teorema 1 Em qualquer curva regular e parametrizada pelo comprimento de arco

ou (t) = ~0 ou (t) perpendicular a (t), para qualquer t.

Demonstrao.

Como

1 =(t)2 = (t) (t)resulta derivando relativamente a t

2(t) (t) = 0.

Como regular, (t) 6= ~0, t e portanto ou (t) = ~0 ou (t) perpendicular a(t), para qualquer t.

Este resultado justica que se considerem curvas parametrizadas pelo comprimento

de arco, pela simplicao de clculos que da resulta. As frmulas deduzidas adaptam-

se para quaisquer outras reparametrizaes.

1.3 Curvatura e circunferncia osculadora

Quando pensamos numa curva, provvel que a primeira imagem que nos ocorra seja

a de uma trajetria com alterao contnua da direo. Quanto maior for a alterao

da direo por unidade de distncia percorrida mais acentuada ser a curva. Assim

FCUP 6


a forma da curva est associada rapidez de alterao da sua direo, aquilo a que

chamaremos curvatura. Com a curvatura queremos medir quanto curva uma curva.

Como medir a curvatura de uma curva? De acordo com a nossa intuio, a curva-

tura de uma recta dever ser zero e a curvatura de uma circunferncia dever ser igual

em todos os pontos e diminuir quando o raio aumenta. Ento uma medida possvel

da curvatura em qualquer ponto da circunferncia de raio r seria1

rj que quando r

aumenta

1

rdiminui. Alm disso, se considerarmos a reta como uma circunferncia de

raio innito a sua curvatura seria zero.

No caso de uma curva parametrizada qualquer, t (t), suave e regular, a para-metrizao dene um sentido de percurso ao longo do trao da curva correspondente

ao crescimento do parmetro t. A direo da curva num ponto P a direo do vetor

tangente curva nesse ponto, que pode ser medida pelo ngulo orientado que esse

vetor faz com o semi-eixo positivo Ox. Medir a rapidez com que a curva muda a direo

equivale a medir a variao do ngulo de um ponto para outro comparada com a

distncia percorrida. Isto sugere que a curvatura em qualquer ponto de seja medida

pela taxa de variao de com respeito ao comprimento de arco. A curvatura assim

denida pode ser positiva, negativa ou nula. O valor absoluto da curvatura mede o

grau de encurvamento, diminuindo quando a curva se torna menos acentuada. O sinal

indica a orientao da curva sendo a curvatura positiva ou negativa consoante a curva

vire esquerda ou direita.

1.3.1 Curvatura

Seja : I R2 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Aparametrizao dene a orientao da curva no sentido em que s cresce. Seja ~t(s) =

(s) o vetor unitrio tangente a no ponto (s). Para cada s I, dene-se o vetorunitrio normal ~n(s) que se obtm de ~t(s) por rotao de pi2 radianos no sentido positivo

(anti-horrio).

Assim se (s) = (x(s), y(s)) ento

~t(s) = (x(s), y(s))~n(s) = (y(s), x(s))

Seja (s) o ngulo orientado que ~t(s) faz com o semieixo positivo Ox (Fig. 1.1).

Denio 3 A curvatura com sinal de no ponto (s) a taxa de variao da direo

do vetor tangente a esse ponto com respeito ao comprimento de arco, isto

k (s) =d (s)

ds.

Se a curva vira para a esquerda, (s) aumenta juntamente com s logo a curvatura

positiva; se a curva vira para a direita, (s) diminui quando s aumenta logo a curvatura

FCUP 7


Figura 1.1: ngulo do vetor tangente

negativa (Fig. 1.2). Assim o sinal da curvatura num ponto depende da orientao

dada pela parametrizao. Se a orientao for alterada por uma reparametrizao

ento o sinal da curvatura ser tambm alterado.

(a) k > 0 (b) k < 0

Figura 1.2: Sinal da curvatura

Sendo

~t(s) um vetor unitrio, ele representa o vetor posio de um ponto da cir-

cunferncia de raio 1 centrada na origem, logo temos

~t(s) = (cos(s), sin(s))

~n(s) = ( sin(s), cos(s))

Derivando estas frmulas obtemos

~t (s) = (s) ( sin(s), cos(s)) = (s)~n(s)

~n (s) = (s) ( cos(s), sin(s)) = (s)~t(s)

isto

~t (s) = k(s)~n(s)

~n (s) = k(s)~t(s)

concluindo-se que

~t (s) colinear com ~n(s) assim como ~n (s) colinear com ~t(s), e

FCUP 8


ainda que

k(s) = ~t (s) = (s)De

~t (s) = k(s)~n(s) resulta, aplicando o produto escalar por ~n(s) a ambos osmembros,

k (s) = ~t (s) ~n (s)

e portanto

k(s) = xy xy

Exemplo 1 Clculo da curvatura da circunferncia x2 + y2 = r2.

Se considerarmos a parametrizao pelo comprimento de arco dada por

(s) = r(

coss

r, sin

s

r

)a circunferncia ca orientada no sentido anti-horrio, logo a curvatura ser positiva.

Temos que

~t(s) = (s) =( sin s

r, cos

s

r

),

~n(s) =( cos s

r, sin s

r

),

~t (s) = (s) = 1r

(cos

s

r, sin

s

r

)=

1

r~n(s)

Donde

k(s) =1

r

Se considerarmos agora a parametrizao pelo comprimento de arco dada por

(s) = r(

coss

r, sin s

r

)a circunferncia ca orientada no sentido horrio, logo a curvatura ser negativa. Temos

que

~t(s) = (s) =( sin s

r, cos s

r

),

~n(s) =(

coss

r, sin s

r

),

~t (s) = (s) = 1r

(cos

s

r, sin s

r

)= 1

r~n(s)

Donde

k(s) = 1r

Em valor absoluto a curvatura da circunferncia constante e igual ao inverso do seu

raio.

A cada curva planar est associada a funo curvatura, o prximo resultado [7]

FCUP 9


mostra que dada a funo curvatura esta determina a curva a menos de um movimento

rgido

1

.

Teorema 2 Dada uma funo diferencivel k : [a, b] R, existe alguma curva para-metrizada pelo comprimento de arco : [a, b] R2 cuja curvatura em (s) k (s).Qualquer outra curva com a mesma funo curvatura a composta de com algum

movimento rgido do plano.

Demonstrao.

Seja s0 [a, b] e dena-se para qualquer s [a, b],

(s) =

ss0

k(u)du

(s) =

( ss0

cos(t)dt,

ss0

sin(t)dt

)

Esta curva satisfaz as condies pedidas pois (s) = (cos(s), sin(s)) que umvetor unitrio que faz um ngulo (s) com o eixo dos xx, logo a curvatura de dada

por (s) = k(s). Ficando assim demonstrada a existncia de .Seja agora outra curva com a mesma funo curvatura. Ento

(s) = (cos (s), sin (s)) e (s) = k(s).

Portanto

(s) =

ss0

k(u) du+ C = (s) + C com C = (s0)

e

(s) =

( ss0

cos (t) dt,

ss0

sin (t) dt

)+ (s0)

donde

(s) = (s0) +

( ss0

cos ((t) + C) dt,

ss0

sin ((t) + C) dt

)

Como

cos ((t) + C) = cos(t) cosC sin(t) sinCsin ((t) + C) = sin(t) cosC + cos(t) sinC

resulta que ( ss0

cos ((t) + C) dt,

ss0

sin ((t) + C) dt

)1

Por movimento rgido entendemos a composio de uma translao com uma rotao

FCUP 10


dado por(cosC

ss0

cos(t) dt sinC ss0

sin(t) dt, cosC

ss0

sin(t) dt+ sinC

ss0

cos(t) dt

)ou (

cosC sinCsinC cosC

)( ss0

cos(t)dt,

ss0

sin(t)dt

)E portanto,

(s) = (s0) +

(cosC sinCsinC cosC

) (s)

A rotao de ngulo C = (s0) seguida da translao associada ao vetor (s0) trans-

forma em .

Exemplo 2 Provemos que as nicas curvas com curvatura constante no nula so

circunferncias (ou arcos de circunferncias).

Seja k(s) = c, c 6= 0. Pelo teorema anterior, existe uma curva parametrizada pelocomprimento de arco : I R2 cuja curvatura com sinal igual a c. Para determinartal curva faamos

(s) =

s0c du = cs

logo

(s) =

( s0

cos(ct)dt,

s0

sin(ct)dt

)=

(1

csin(cs),1

ccos(cs) +

1

c

)Fazendo r =

1

cvem

(r sin

s

r,r cos s

r+ r)

=(r sin

s

r,r cos s

r

)+ (0, r)

Como

(r sin

s

r,r cos s

r

) uma parametrizao da circunferncia de raio |r| e centro

(0, 0), o trao de a circunferncia de raio |r| e centro (0, r). Qualquer outracurva com curvatura constante a composta de com um movimento rgido do plano.

Como rotaes e translaes transformam circunferncias em circunferncias conclui-se

o pretendido.

Se (t) = (x(t), y(t)) for uma curva arbitrria no necessariamente parametrizada

pelo comprimento de arco, dene-se a curvatura de como a curvatura de uma qual-

quer reparametrizao de pelo comprimento de arco. Como a reparametrizao

FCUP 11


pelo comprimento de arco nem sempre conduz a frmulas simples, torna-se necessrio

encontrar uma frmula para a curvatura em funo do parmetro dado.

O vetor unitrio tangente de denido por

~t(t) =(t)(t) =

1

v(t)(t)

logo

~t =1

x2 + y2(x, y

)O vetor unitrio normal obtido por rotao do vetor

~t no sentido positivo depi

2radianos

~n =1

x2 + y2(y, x)

Seja (s) uma reparametrizao de pelo comprimento de arco. O vetor unitrio

tangente e a curvatura de no ponto (s) so, respetivamente, ~t(s) = (s) e k(s). Sek (t) a curvatura de no ponto (t) ento k (t) = k(s(t)).

De

~t(t) = ~t (s (t)) resulta derivando ambos os membros

~t(t) = ~t (s (t))ds

dt

= k(s(t)) ~n(s(t))ds

dt

= k(t)~n(t)ds

dt

A ltima igualdade pode ser reescrita na forma (omitindo t para simplicar a

notao)

~t = kv ~n

Por outro lado, como

= v ~t

resulta derivando

= v~t+ v~t

= v~t+ v(vk~n)

= v~t+ v2k~n

Formando o produto interno de ambos os membros da ultima igualdade com ~n resulta

~n = v2k

donde

k =1

v2 ~n = 1

v3 v~n

FCUP 12


Obtm-se assim a frmula para a curvatura de

k =(x, y) (y, x)(

x 2 + y 2)3

=xy xy(x 2 + y 2)

32

1.3.2 Circunferncia osculadora

If a Circle touches any Curve on its concave side, in any given point,

and if it be of such magnitude that no other tangent Circle be inscribed in the

angle of contact of that Point, that Circle will be of the same Curvature as

the Curve is of, in the Point of Contact. Therefore the Centre of Curvature

to any Point of the Curve is the Centre of the Circle equally curved, and

thus the Radius or Semi-diameter of Curvature is Part of the Perpendicular

to the Curve which is terminated at the Centre.

Isaac Newton, The Method of Fluxions

Veremos que em qualquer ponto de curvatura no nula de uma curva existe uma

circunferncia que passa nesse ponto, com a mesma curvatura e a mesma tangente

que a curva nesse ponto. O centro e o raio dessa circunferncia so denominados

respetivamente por centro de curvatura e raio de curvatura de nesse ponto e a

circunferncia por circunferncia osculadora. Esta circunferncia aquela que tem

maior ordem de contacto com no ponto considerado.

Tambm podemos dizer que a circunferncia osculadora passa por trs pontos in-

nitamente prximos da curva. Mais especicamente, a circunferncia osculadora em

P0 = (t0) pode ser considerada como a posio limite das crcunferncias que passam

por P0 e por outros dois pontos da curva sucientemente prximos de P0, P1 = (t1) e

P2 = (t2), quando t1 e t2 tendem para t0 (Fig. 1.3). Nesse caso o centro de curvatura

a posio limite dos centros dessas circunferncias, e o raio de curvatura o limite da

sucesso dos seus raios.

Num arco da curva com curvatura montona, crescente ou decrescente, veremos

que as circunferncias osculadoras dispem-se umas dentro das outras sendo duas a

duas disjuntas.

Denio 4 Seja (t0) um ponto regular de uma curva . O centro de curvatura de

em (t0) o ponto

(t0) = (t0) +1

k(t0)~n(t0)

FCUP 13


(a) h = 0, 6 (b) h = 0, 2

(c) h = 0

Figura 1.3: Circunferncia osculadora como limite das circunferncias que passam por P0 = (t0),P1 = (t0 h) e P2 = (t0 + h), quando h 0

e a grandeza

1

|k(t0)| o raio de curvatura de em (t0).

O centro de curvatura situa-se na normal curva no ponto (t0) a uma distncia

igual ao raio de curvatura e est esquerda da curva (no sentido de ~n(t0)) se k(t0) > 0

e direita da curva (no sentido de ~n(t0)) se k(t0) < 0 . Em qualquer caso o centrode curvatura est no lado cncavo da curva (Fig. 1.4).

(a) k > 0 (b) k < 0

Figura 1.4: Centros de curvatura

FCUP 14


Denio 5 Seja (t0) um ponto regular de uma curva com curvatura k0, no nula,

para t = t0. A circunferncia osculadora no ponto (t0) a circunferncia com centro

no centro de curvatura e raio igual ao raio de curvatura, sendo

C (s) = (t0) +1

k0(cos (k0s) , sin (k0s)) , 0 s 2pi|k0|

sua parametrizao pelo comprimento de arco.

Dada uma curva qualquer podemos medir numa vizinhana de cada um dos seus

pontos quanto a curva se aproxima de uma circunferncia. O grau de proximidade de

duas curvas, e , na vizinhana de um ponto comum medido pela ordem de contacto.

Se for uma curva parametrizada t (t) e estiver denida implicitamente porf(x, y) = 0, denimos (t) = f(x(t), y(t)) = f((t)) cujos zeros so os pontos comuns

das duas curvas, isto , (t0) = 0 se e s se (t0) pertencer curva .

Denio 6 Seja (t0) um ponto regular de e no singular de . As curvas tm

contacto de ordem n no ponto P0 = (t0) se

(t0) = (t0) = = (n)(t0) = 0 (n+1)(t0) 6= 0

Se as curvas tm ordem de contacto 1 em (t0), isto , se (t0) = (t0) = 0ento as curvas tm a mesma tangente em (t0). De facto de

= fxx + fyy = grad f

resulta que (t0) = 0 se e s se o gradiente de f , que normal a f(x, y) = 0 em (t0), ortogonal a (t0) que tangente a em (t0).Vamos vericar agora que a circunferncia que melhor se aproxima de uma curva

numa vizinhana de um dos seus pontos a circunferncia osculadora.

Teorema 3 Dada uma curva , a circunferncia com maior ordem de contacto com

num ponto de curvatura no nula a circunferncia osculadora nesse ponto.

Demonstrao.

Em cada ponto P0 = (t0) = (x (t0) , y (t0)) pretendemos medir o grau de proximi-

dade da curva com uma circunferncia. Para isso consideremos uma circunferncia

qualquer, com centro (a, b) e que passe em P0, de equao f (x, y) = 0 onde

f (x, y) = (x a)2 + (y b)2 R2, R > 0

e a funo

(t) = f ( (t)) = (x (t) a)2 + (y (t) b)2 R2

ou

(t) = (t) (a, b)2 R2

FCUP 15


Como a circunferncia passa em P0, t = t0 uma soluo bvia da equao (t) = 0.

Alm disso, a circunferncia que melhor se aproxima da curva em P0 ser aquela para

a qual (t) tenha o maior nmero de derivadas nulas em t0:

(t0) = 0, (t0) = 0, , (n)(t0) = 0,

No entanto como uma circunferncia depende apenas de trs parmetros, as duas coor-

denadas do centro e o raio, em geral o contacto de ordem 2, cando a circunferncia

determinada apenas pelas trs condies

(t0) = 0, (t0) = 0, (t0) = 0

Derivando obtemos

(t) = 2(t) ((t) (a, b)) (t) = 2

[(t) ((t) (a, b)) + (t)2]Vejamos que a, b e R cam determinados pelas condies

(t0) (a, b)2 = R2 (1.3.1) (t0) ((t0) (a, b)) = 0 (1.3.2)(t0) ((t0) (a, b)) +

(t0)2 = 0 (1.3.3)De 1.3.2 conclui-se que (t0) (a, b) um vetor normal a em (t0) donde

(t0) (a, b) = ~n (t0)

substituindo em 1.3.1 obtm-se ~n (t0) 2 = R2 donde

|| = R

e substituindo em 1.3.3 obtm-se (t0) ~n (t0) + (t0)2 = 0 pelo que

1

(t0)2(t0) ~n (t0) = 1

= k (t0)

onde k (t0) representa a curvatura de em (t0).

Portanto R o raio de curvatura em (t0) j que

R = || = 1|k (t0)|

FCUP 16


e (a, b) o centro de curvatura de em (t0), pois

(a, b) = (t0) ~n (t0)= (t0) +

1

k (t0)~n (t0)

Conclumos assim que a circunferncia que procurvamos a circunferncia osculadora.

Na situao tpica a circunferncia osculadora atravessa a curva no ponto de con-

tacto, o que acontece sempre que a ordem de contacto nesse ponto for par e mantm-se

do mesmo lado da curva numa vizinhana do ponto de contacto se a ordem de contacto

nesse ponto for mpar. De facto, para que a circunferncia osculadora atravesse a curva

no ponto de contacto (t0), (t) tem de mudar de sinal em t0 o que se verica no

caso do contacto ser de ordem par.

Pelo teorema Tait-Kneser [2], descoberto por Peter Tait no nal do sculo XIX

e redescoberto por Adolf Kneser no incio do sculo XX , sabemos que ao longo de

um arco de uma curva com curvatura montona de sinal constante, as circunferncias

osculadoras dispem-se encaixadas umas dentro das outras sendo duas a duas disjuntas.

Teorema 4 Qualquer circunferncia osculadora de um arco de uma curva regular com

curvatura montona de sinal constante contm cada uma das menores circunferncias

osculadoras desse arco e est contida em cada uma das circunferncias osculadoras

maiores desse arco.

Demonstrao.

Seja (s) uma parametrizao da curva pelo comprimento de arco e (s0) um ponto

da curva. Suponhamos que k(s) crescente e positiva em [s0, s1].

Vejamos que s ]s0, s1] a circunferncia osculadora em (s) est contida nacircunferncia osculadora em (s0).

Seja c(s) = (s) +1

k(s)~n(s) a curva constituda pelos centros das circunferncias

osculadoras. A sua velocidade dada por

c(s) = (s) +1

k(s)~n (s) k

(s)k2(s)

~n(s)

= ~t(s) +1

k(s)

(k(s)~t(s)) k(s)k2(s)

~n(s)

= k(s)k2(s)

~n(s)

e a velocidade escalar por c(s) = k(s)k2(s).

Como a curvatura de nunca se anula, a curvatura de c tambm nunca se anula,

ento o comprimento de qualquer corda de c menor do que o comprimento do arco

FCUP 17


correspondente. Em particular tem-se

c(s) c(s0) = s

s0

c(u) du s

s0

c(u) du (1.3.4)Como s

s0

c(u) du = ss0

k(u)k2(u)

du

= 1k(s)

+1

k(s0)

a desigualdade 1.3.4 traduz que a distncia entre os centros das circunferncias oscu-

ladoras em (s0) e (s) menor que a diferena dos seus raios, pelo que a segunda

circunferncia est estritamente contida na primeira.

Com efeito, se P um ponto da circunferncia osculadora em (s) ou no seu

interior, ento

P c(s0) P c(s)+ c(s) c(s0) 1

k(s)+

1

k(s0) 1k(s)

=1

k(s0)

isto , P est no interior da circunferncia osculadora em (s0).

Exemplo 3 Disposio das circunferncias osculadoras ao longo de um arco de elipse.

Consideremos a elipse parametrizada por (t) = (a cos (t) , b sin (t)), onde a > b > 0.

(t) = (a sin (t) , b cos (t)) e (t) = (a cos (t) ,b sin (t)), logo a curvatura dadapor

k (t) =ab sin2 t+ ab cos2 t(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 32

=ab(

a2 sin2 t+ b2 cos2 t) 32

e

k (t) =3ab (a2 b2) sin t cos t(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 52

O mximo e o mnimo da funo curvatura so respetivamente

a

b2e

b

a2e ocorrem

nos vrtices. Nestes, k anula-se, e as circunferncias osculadoras tm contacto deordem 3 com a elipse enquanto nos restantes pontos o contacto de segunda ordem.

Para 0 < t < pi2 , tem-se que k < 0 e portanto a curvatura decrescente no intervalo[

0,pi

2

]. No arco correspondente a este intervalo as circunferncias osculadoras ocupam

FCUP 18


a rea entre a de menor raio, em t = 0, e a de maior raio, em t =pi

2, sendo disjuntas

duas a duas. (Fig. 1.5)

(a) As circunferncias osculadoras nos vrtices no cruzam a elipse

(ordem de contacto 3), nos restantes pontos cruzam a elipse (ordem

de contacto 2)

(b) As circunferncias osculadoras so disjuntas, dispostas umas dentro das

outras

Figura 1.5: Famlia de circunferncias osculadoras nos pontos do arco da elipse (t), t [0,pi

2

]

2Evolutas e Involutas

O lugar geomtrico dos centros de curvatura de uma curva regular uma nova curva

com o nome de evoluta. O processo inverso de formao da evoluta corresponde a

procurar uma curva, denominada involuta, que admita a primeira como evoluta. Este

processo conduz famlia de curvas paralelas a . Alternativamente, a evoluta pode

ser denida como o lugar geomtrico dos pontos irregulares das curvas paralelas a

ou como a envolvente das normais a . Uma involuta pode ser denida como a curva

descrita pela extremidade de um o que mantido esticado enquanto se enrola ou

desenrola ao longo de .

2.1 Evoluta

Chama-se evoluta de uma curva ao lugar geomtrico constitudo pelos centros de cur-

vatura dessa curva.

Denio 7 Se : I R2 uma curva com curvatura sempre no nula, ento a suaevoluta a curva : I R2 parametrizada por

(t) = (t) +1

k(t)~n(t) (t I)

= (t) +1

k(t)v(t)(y(t), x(t))

Exemplo 4 Evoluta de uma circunferncia.

Como qualquer circunferncia C tem curvatura constante e igual em valor absoluto

ao inverso do seu raio, conclui-se que o centro de curvatura em qualquer ponto de C

coincide com o centro da circunferncia. Assim o trao da evoluta de uma circunferncia

resume-se a um nico ponto, o seu centro.

19

FCUP 20


Exemplo 5 Evoluta de uma elipse.

Dada a elipse parametrizada por (t) = (a cos t, b sin t), onde a > b > 0 e t [0, 2pi[, temos que (t) = (a sin t, b cos t), (t) = (a cos t,b sin t) e k (t) =

ab(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 32

. Ento, como k(t) 6= 0t, a evoluta (Fig. 2.1(a)) dada por

(t) = (t) +1


= (a cos t, b sin t) +

(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 32

ab(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 12

(b cos t,a sin t)

=

(a cos t a

2 sin2 t cos t+ b2 cos3 t

a, b sin t a

2 sin3 t+ b2 cos2 t sin t

b

)=

(a2 b2a

cos3 t,b2 a2a

sin3 t

).

Exemplo 6 Evoluta da parbola semicbica

Dada a parbola semicbica parametrizada por (t) =(t2, t3

), t R, temos que

(t) =(2t, 3t2

)e (t) = (2, 6t); tem exatamente um ponto no regular em t = 0(no qual a curvatura no est denida). Nos pontos regulares de , a curvatura dada

por

k(t) =6t2

(4t2 + 9t4)23

=6

|t| (4 + 9t2) 23.

Logo a evoluta (Fig. 2.1(b)) dada por

(t) = (t) +1


=(t2, t3

)+

4 + 9t2

6(3t2, 2t)

=

(t2 9

2t4, 4t3 +

4

3t

), t 6= 0

Note-se que, embora (0) seja um ponto no regular de , a frmula da evoluta tem

signicado para t = 0. O facto da evoluta estar denida em t = 0 justica-se porque

quando t 0, k(t) + e consequentemente o raio de curvatura tende para zero.Portanto, quando t 0, (t) (0). Logo denindo (0) = (0), temos

(t) =(t2 9

2t4, 4t3 +

4

3t

), t .

FCUP 21


(a) Elipse e a sua evoluta (b) Parbola semicbica e a sua evoluta

Figura 2.1: Evolutas

Teorema 5 Se e so regulares em t = t0 ento a tangente evoluta em (t0) a reta normal a em (t0) e vice-versa.

Demonstrao.

Derivando (t) = (t) +1

k(t)~n(t) em ordem a t, tem-se

= +(

1

k

)~n+

1

k~n

= v~t k

k2~n 1

kkv~t

= k

k2~n

A ltima equao mostra que (t0) ortogonal a (t0) donde se concluiu que atangente evoluta em (t0) a reta normal a em (t0) e vice-versa.

Chama-se envolvente de uma famlia de curvas do plano a uma curva que tangente

a cada membro da famlia em algum ponto. Se desenharmos retas normais a uma

curva qualquer , estas retas concentram-se aparentemente ao longo de uma curva,

envolvendo-a. Esta curva aparente corresponde envolvente da famlia das normais a

. Como as normais a so tangentes sua evoluta concluimos que a envolvente da

famlia das normais a a evoluta de (Fig. 2.2).

FCUP 22


(a) Normais a uma elipse (b) Normais a uma cicloide

Figura 2.2: Evoluta como envolvente das normais de uma curva

2.2 Curvas Paralelas

Uma paralela a uma curva dada o lugar geomtrico dos pontos que esto a uma

distncia xa da curva medida sobre as normais. Veremos que curvas paralelas tm os

mesmos centros de curvatura e portanto a mesma evoluta.

Denio 8 Se uma curva regular, uma paralela a distncia |c| , c R acurva

c = + c ~n.

Retas paralelas e circunferncias concntricas so exemplos de curvas paralelas. Em

ambos os casos as curvas paralelas so semelhantes curva dada. Embora se possa

esperar que tal acontea para qualquer curva, deparamo-nos com o facto inicialmente

surpreendente, de as curvas paralelas a uma curva dada no serem em geral semelhantes

curva original. A elipse paralela a curvas com pontos no regulares (Fig. 2.3).

Figura 2.3: Curvas paralelas elipse

FCUP 23


A paralela c uma curva diferencivel e a sua derivada dada por

c = + c ~n

= + c(kv~t)= ckv~t= (1 ck)

Desta igualdade resulta que se c regular em t ento os vetores tangentes a e c

para esse valor de t so paralelos. Tero o mesmo sentido se 1 ck > 0 ou sentidoscontrrios se 1 ck < 0. claro que c ter a mesma normal que em t, mas osvetores unitrios normais podem ter sentidos diferentes, de acordo com os sentidos dos

vetores tangentes. Como consequncia imediata da mesma igualdade, sabemos que os

pontos no regulares de c so aqueles para os quais 1 c k(t) = 0.

Teorema 6 Seja uma curva regular e c uma sua paralela. c(t0) um ponto no

regular da paralela se e s se pertencer evoluta de , isto , c(t0) = (t0).

Demonstrao.

Como c no regular em t0 se, e s se, c =1

k(t0), tem-se

c(t0) = (t0) + c ~n

= (t0) +1

k(t0)~n

= (t0)

donde resulta que c(t0) pertence evoluta de e portanto os pontos no regulares

das paralelas a percorrem a sua evoluta.

Veremos agora que duas curvas paralelas tm a mesma evoluta em valores de t para

os quais ambas so regulares e de curvatura no nula.

Teorema 7 Se para um dado valor de t os pontos de uma curva e uma sua paralela

c so regulares e de curvatura no nula ento os centros de curvatura de ambas as

curvas nesses pontos so coincidentes.

Demonstrao.

Com efeito, derivando os vetores unitrios normais s curvas e c,temos

~n = k

~nc = Lc

onde k e L representam, respetivamente, o valor da curvatura em e na sua paralela.

FCUP 24


Se 1 ck > 0 temos que k = Lc = L(1 ck) logo1

L=

1

k c, e se 1 ck < 0temos que k = Lc = L(1 ck) logo

1

L=

1

k c.Ento o centro de curvatura da paralela dado em qualquer dos casos por

C = c +1

L~nc

= + c~n+

(1

k c)~n

= +1

k~n,

que o centro de curvatura de .

Exemplo 7 Curvas paralelas elipse

Vamos considerar as curvas paralelas elipse parametrizada por

(t) = (a cos (t) , b sin (t)) , onde a > b > 0 e t [0, 2pi[,

nas quais se incluem as indicadas na Fig. 2.3.

Temos que

k (t) =ab(

a2 sin2 t+ b2 cos2 t) 32

e

k (t) =3ab(a2 b2) sin t cos t(a2 sin2 t+ b2 cos2 t

) 52

A elipse tem quatro vrtices correspondentes a t = 0, t =pi

2, t = pi e t =

3

2pi. O valor

mximo da curvatura

a

b2e ocorre para t = 0 e t = pi; o valor mnimo

b

a2e ocorre

para t =pi

2e t =

3

2pi.

Para 0 < t a, acircunferncia mvel rola no interior ou no exterior da circunferncia xa (Fig. 3.5).

1

o

caso: a > b

Figura 3.4: Construo da epitrocoide

FCUP 36


(a) a > b (b) a < b

Figura 3.5: Posio inicial do ponto P , gerador da hipotrocoide

Em algum instante os quatro pontos O, O, C e P estaro alinhados sobre uma retar, os trs primeiros por esta ordem e P para a direita de O. Escolhendo o centro dacircunferncia xa, O, para a origem do referencial e a reta r para o eixo Ox, obtemos

parametrizaes pelo comprimento de arco para as circunferncias xa e mvel, dadas

respetivamente por

: w(t) = aeita

: z(t) = a b+ bei tb .

Dado que w(0) = z(0) = a, w(0) = z(0) = i e |w(t)| = |z(t)| = 1, t, as parametriza-es esto de acordo com o Teorema 10, pelo que a curva descrita por P = a b+ hbcom h 0 dada por

Z1(t) = aei ta + ei(

ta t

b)(a b+ hb (a b) bei tb )= (a b)ei ta + hb ei ta(abb )

Fazendo

t

a= a parametrizao da hipotrocoide, quando a > b,

Z1() = (a b)ei + hb ei(abb ), h 0

2

o

caso: a < b

Procedendo de modo anlogo ao 1

o

caso, em algum instante os quatro pontos O,O, C e P estaro alinhados sobre uma reta r, os trs primeiros por esta ordem e P

para a direita de O. Escolhendo o centro da circunferncia xa, O, para a origem doreferencial e a reta r para o eixo Ox, obtemos parametrizaes pelo comprimento de

FCUP 37


arco para as circunferncias xa e mvel, dadas respetivamente por

: w(t) = aeita

: z(t) = a b+ bei tb .

Como as parametrizaes esto de acordo com o Teorema 10, a curva descrita por

P = a b+ hb com h 0 dada por

Z2(t) = (a b)ei ta + hb eita(

abb )

logo fazendo

t

a= a parametrizao da hipotrocoide, quando a < b,

Z2() = (a b)ei + hbei(abb ), h 0

que igual parametrizao da hipotrocoide no primeiro caso.

Analisando as parametrizaes obtidas para uma epitrocoide e para uma hipotro-

coide podemos dizer que uma trocoide pode ser parametrizada por

Z() = (a+ b)ei hbei(a+bb )

onde a > 0, h 0 e b 6= 0. Se b > 0 trata-se de uma epitrocoide, e no caso de b < 0trata-se de uma hipotrocoide.

Uma hipotrocoide depende de trs parmetros xos, a, b, h e um varivel, , pelo

que ser representada por H [; a, b, h].

Em R2, as correspondentes equaes paramtricas de H [; a, b, h] so

x() = (a b) cos () + hb cos(a bb

)y() = (a b) sin () hb sin

(a bb

).

3.3.3 Perodo fundamental

Quando o raio da circunferncia xa um mltiplo do raio da circunferncia mvel,

o ponto gerador da trocoide, depois da circunferncia ter rolado uma vez em torno da

circunferncia xa, retorna posio inicial e desenha a mesma curva. Mais geralmente

se os raios so comensurveis, o ponto gerador da trocoide, aps um certo nmero de

revolues em torno da circunferncia xa, retorna sua posio inicial. Neste caso a

curva gerada fechada. Por outro lado, se os raios so incomensurveis o ponto nunca

regressar mesma posio descrevendo uma srie innita de arcos iguais, mas que

nunca coincidiro. Neste caso a curva transcendente.

Assumiremos que

a

b um nmero racional por forma a garantir que as trocoides

FCUP 38


sejam funes peridicas e portanto curvas fechadas. O seu perodo fundamental (me-

nor perodo positivo) corresponde ao nmero de revolues do centro da circunferncia

mvel at completar a curva uma vez.

Teorema 11 Se

a

b Q e a

b=m

ncom m,n N e m.d.c.(m,n) = 1 ento H [; a, b, h]e E [; a, b, h] tm como perodo fundamental P = 2pi n.

Demonstrao.

Com efeito, as coordenadas de um ponto de uma trocoide so uma combinao

linear de duas funes sinusoidais, com perodos 2pi e 2pib

a+ bou 2pi e 2pi

b

a b conso-ante a curva uma epitrocoide ou uma hipotrocoide. Ento o perodo da trocoide o

nmero P tal que P = min (2h1pi) , h1 N e 2h1pi = 2h2pi ba b , h2 Z.Trata-se assim de encontrar o menor valor de h1 tal que

2h1pi = 2h2pib

a bh1 = h2

b

a b

Como a =m

nb tem-se

h1 = h2n

m nh1m = (h2 h1)n

Como m.d.c.(m,n) = 1 obtemos h1 = n e h2 h1 = m.O perodo fundamental ento 2npi.

Nota: No caso de a, b N e m.d.c.(a, b) = 1 o perodo fundamental 2pib.

3.3.4 Dupla gerao das trocoides

Cada trocoide pode ser gerada de duas maneiras diferentes por duas circunferncias

mveis de raios diferentes a rolar sobre duas outras circunferncias xas de raios di-

ferentes, mas concntricas. O caso particular da dupla gerao das epicicloides e das

hipocicloides foi demonstrado pela primeira vez por La Hire no seu Trait des picy-

cloides, publicado em 1694, redescoberto por Daniel Bernoulli como consta numa carta

de 1725 enviada por Nicolas Bernoulli a Goldbach e estabelecido novamente por Euler

no volume correspondente a 1781 de Nova Acta Petropolitana[9].

Quando uma circunferncia de raio b rola no interior de uma circunferncia xa de

raio a, com a > b, a hipotrocoide gerada por um ponto P ligado primeira pode ser

gerada pelo mesmo ponto ligado a uma outra circunferncia mvel a rolar em sentido

contrrio no interior de outra circunferncia xa concntrica com a primeira.

FCUP 39


Teorema 12 Se a > b ento H [; a, b, h] = H

[a b

b; ah, h(a b), 1

h

].

Demonstrao. A equao paramtrica de H

[a b

b; ah, h(a b), 1

h

]

Z

(a b

b

)= [ah h(a b)] ei(abb ) + 1

hh(a b)ei(

abb)(ahh(ab)h(ab)

)

= hbeiabb + (a b)ei(abb )( bab)

= (a b)ei + hbei(abb )

que a equao paramtrica de H [; a, b, h].

Qualquer epitrocoide pode ser gerada como uma hipotrocoide em que o raio da

circunferncia mvel maior do que o da xa e vice-versa.

Teorema 13

1. E [; a, b, h] = H

[a+ b

b; ah, h(a+ b),

1

h

]

2. Se b > a ento H [; a, b, h] = E

[a b

b; ah, h(b a), 1

h

]

Demonstrao.

1. A equao paramtrica de H

[a+ b

b; ah, h(a+ b),

1

h

]

Z

(a+ b

b

)= [ah h(a+ b)] eia+bb + 1

hh(a+ b)e

ia+bb(ahh(a+b)h(a+b)

)

= hbeia+bb + (a+ b)eia+bb ( ba+b)

= (a+ b)ei hbei(a+bb )

que a equao paramtrica de E [; a, b, h].

2. A equao de E

[a b

b; ah, h(b a), 1

h

]

Z

(a b

b

)= [ah+ h(b a)] ei(abb ) 1

hh(b a)ei(

abb)(ah+h(ba)h(ba)

)

= hbeiabb (b a)ei(abb )( bba)

= (a b)ei + hbei(abb )

que a equao paramtrica de H [; a, b, h].

FCUP 40


Os teoremas 12 e 13 garantem que a mesma trocoide pode ser gerada de duas

maneiras diferentes s quais correspondem equaes diferentes. Embora cada uma das

representaes da curva produza o mesmo trao o seu perodo fundamental diferente,

pelo que escolhendo a equao que representa a curva com menor perodo pode ser

poupado tempo computacional.

Para a > b, o teorema 12 garante que

H1 = H [; a, b, h] e H2 = H

[a b

b; ah, h(a b), 1

h

]tm o mesmo trao embora geradas em sentidos contrrios.

Se

a

b=m

ncom m,n N e m.d.c.(m,n) = 1 ento o perodo fundamental de H1

2pin. Comoah

h(a b) =a

a b =m

m ne dado que m.d.c.(m,n) = 1 implica que m.d.c.(m,m n) = 1, podemos concluirque o perodo fundamental de H2 2pi(m n). Logo para representar gracamente ahipotrocoide, se no for relevante o sentido em que a curva descrita, usando o menor

dos valores entre n e m n pode ser poupado tempo computacional (Fig. 3.6(a)).Do mesmo modo se b > a, o teorema 13 garante que H = H [; a, b, h] e E =

E

[a b

b; ah, h(b a), 1

h

]tm o mesmo trao. O perodo fundamental de H 2pin

e o perodo fundamental de E 2pi(nm). Mais uma vez usando o menor dos valoresentre n e nm pode ser poupado tempo computacional (Fig. 3.6(b)).

(a) H[; 6, 5, 1] , P = 10pi e H[; 6, 1, 1];P = 2pi (b) H [; 5, 6, 1] , P = 12pi e E[; 5, 1, 1];P = 2pi

Figura 3.6: Trocoides congruentes

A explicao geomtrica da dupla gerao das trocoides foi feita por M. Fouret

[1], que partindo das circunferncias xa e mvel e do ponto P que gera a trocoide,

constri as novas circunferncias xa e mvel que fazem com que o mesmo ponto P ,

rigidamente ligado nova circunferncia mvel, descreva a mesma trocoide quando

FCUP 41


esta rola na nova circunferncia xa. O que torna a demonstrao geomtrica atraente

a simplicidade dessa construo, tanto no caso da epitrocoide (Fig. 3.7(a)) como no

da hipotrocoide (Fig. 3.7(b)) e ser apresentada de seguida.

Seja O o centro da circunferncia xa de raio a, A o centro da circunferncia mvel

de raio b, C o ponto de contacto destas duas circunferncias, P o ponto gerador da

curva. Tracemos por P uma paralela a OA e por O uma paralela a AP , e chamemos

A interseo destas duas retas. C a interseo de AO com CP . Consideremosduas novas circunferncias tangentes em C , uma com centro em A de raio b e outracom centro em O de raio a . Se a circunferncia de centro em A rolar sobre a novacircunferncia de centro O, o ponto P rigidamente ligado a ela gerar a mesma curva

que descreve com as duas circunferncias originais, desde que as circunferncias mveis

se desloquem no mesmo sentido ou em sentido contrrio, consoante se trate de uma

epitrocoide ou uma hipotrocoide.

Dado que as demonstraes so idnticas, diferindo apenas nos sinais de alguns ter-

mos, sero apresentadas conjuntamente usando o sinal duplo em que o sinal superior se

refere ao caso da epitrocoide descrito na Fig. 3.7(a) e o inferior ao caso da hipotrocoide

descrito na Fig. 3.7(b).

Seja N o ponto onde AP encontra a circunferncia de centro A e I o ponto da

circunferncia xa correspondente com o qual N esteve em contacto; N o ponto deinterseo de AP com a circunferncia de centro A e I o ponto de interseo de OIcom a circunferncia de centro O e raio a. Vejamos que I o ponto da circunfernciaxa correspondente com o qual N esteve em contacto, isto, o arco C I

_ igual ao

arco C N _.

Como por hiptese CI_

= CN_tem-se IOC a = PAC b ou

IOC

PAC=b

a

donde

PAC IOCPAC

=a ba

=OA

OC

Como PAC = COC vem PAC IOC = COC I OC = I OC . Alm dissoPAC = PAC e OA = AP e portanto

I OC

PAC =APOC

Da semelhana dos tringulos APC e OCC obtemos

APOC

=AC

OC

e portanto

I OC

PAC =AC

OC =b

a

FCUP 42


donde

I OC a = PAC b

o que traduz a igualdade entre os arcos C I _e C N _.

Vimos at agora que se zermos rolar as circunferncias mveis sobre as xas, no

mesmo sentido ou em sentido contrrio consoante a curva inicial uma epitrocoide ou

uma hipotrocoide, os pontos N e N iro coincidir respetivamente com I e I , e o pontoP quer seja transportado por uma ou outra das circunferncias mveis, encontrar-se-

nesse momento a reta II . Nos dois casos o ponto P ocupa a mesma posio sobre estareta, uma vez que

PN PN = II

Com efeito, reconhece-se facilmente na Fig. 3.7 que

PN = OA bPN = b OA

Como OA = a b e OA = (b a) tem-se

PN PN = (b a b) (b a b) = a a = II PN + PN = (b a+ b) + (b + a b) = a a = II

FCUP 43


(a) Epitrocoide

(b) Hipotrocoide

Figura 3.7: Dupla gerao das trocoides

4Aplicaes

Neste captulo veremos dois problemas cuja origem remonta ao sculo XVII. O pri-

meiro, a construo do pndulo iscrono, foi resolvido por Huygens em 1659, como

parte integrante da construo do seu relgio de pndulo. O segundo, consiste na

determinao do perl dos dentes das rodas dentadas de uma engrenagem de eixos

paralelos em que se pretende que uma roda transmita velocidade constante outra.

Foi tratado por La Hire [4] no seu Un trait des picycloides et de leur usage dans

les mchaniques, publicado em 1694, onde refere a importncia do estudo da forma

dos dentes das rodas dentadas para um bom funcionamento das engrenagens e apre-

senta exemplos de engrenagens com perl cicloidal, que surgem como uma aplicao

do estudo das epicicloides. No prefcio da sua obra refere mesmo j'ai donc cru qu'il

fallait examiner avec un trs grand soin, quelle devait tre la gure des dents des roues

puisque ce n'est que par ces dents que les roues agissent l'une sur l'autre, et que c'est

par leur moyen qu'on peut mnager la force mouvante pour en tirer tout l'avantage

possible. Il y a environ vingt ans que j'avais commence travailler cet ouvrage et

javais dtermin d'une manire trs simple, que les dents des roues devoient avoir la

gure d'une cycloide qui a pour base un cercle, ce que l'on appelle picycloide....

O processo de aplicao da matemtica nem sempre consiste em pegar numa sua

teoria e aplic-la num determinado domnio ou problema. O que acontece muitas ve-

zes no existir a matemtica requerida e nesse caso nova matemtica emerge como

resultado da aplicao. Um exemplo a criao da teoria das evolutas de Huygens que

surge na sequncia dos seus estudos sobre o pndulo e aparece no tratado Horologium

Oscillatorium(1673)(O relgio de pndulo). O problema da determinao da longi-

tude, associado medio exata do tempo, fez com que Huygens se interessasse pela

construo e aperfeioamento dos relgios levando-o construo do relgio de pn-

dulo. O pndulo circular, no sendo iscrono, conduziu-o ao problema da tautcrona,

que consiste em encontrar a curva ao longo da qual um corpo sem velocidade inicial

e apenas sujeito fora da gravidade, chega ao ponto mais baixo sempre no mesmo

intervalo de tempo, independentemente do seu ponto de partida. Huygens descobre e

demonstra por processos geomtricos que a cicloide invertida tautcrona, mas ca

com um novo problema. Como deve ser construdo o pndulo para que a sua massa

44

FCUP 45


descreva uma cicloide? A resposta seria dada resolvendo outra questo matemtica,

encontrar a curva cuja tangente em cada ponto normal a uma dada cicloide, isto

, encontrar a evoluta da cicloide. Mais uma vez por processos geomtricos Huygens

consegue demonstrar que a evoluta da cicloide outra cicloide, sendo-lhe nalmente

possvel idealizar um ajustamento mecnico para contruir o pndulo iscrono. A par-

tir da inveno do clculo diferencial por Newton e Leibniz, este ltimo discpulo de

Huygens, os problemas de mecnica comeam a ser resolvidos usando equaes dife-

renciais. Em 1690, Jacob Bernoulli, demonstrou novamente que a cicloide tautcrona

estabelecendo uma equao diferencial para essa curva e resolvendo-a.

Neste captulo faremos a resoluo analtica do problema da tautcrona e a determi-

nao da evoluta da cicloide invertida, os dois resultados que permitiram a Huygens a

construo do relgio de pndulo iscrono e veremos como as epicicloides e hipocicloides

podem ser utilizadas no perl dos dentes de rodas dentadas de modo a assegurar ao

conjugada, isto , que a razo das velocidades angulares das duas rodas da engrenagem

seja constante.

4.1 Relgio de pndulo de Huygens

No sculo XVII, tornou-se imperioso encontrar um mtodo para medir a longitude,

que permitisse nas grandes viagens martimas, sem referncias terrestres, identicar a

localizao atual. Este problema estava intimamente ligado ao da determinao precisa

do tempo. Em teoria, como 15

o

de longitude correspondem a uma hora, se fosse possvel

manter a bordo um relgio acertado pela hora de um local de longitude conhecida,

ao marcar nesse relgio o meio-dia local, a diferena entre as horas locais permitiria

determinar a diferena das suas longitudes e consequentemente determinar a longitude

do local. Contudo, na poca os melhores relgios atrasavam-se ou adiantavam-se vrios

minutos por dia, impossibilitando a manuteno do tempo de referncia nos navios.

Galileu(1564-1642) foi o primeiro a desenhar um relgio regulado por um pndulo

esperando com a sua utilizao obter a preciso na medio do tempo que faltava aos

relgios da poca. Do estudo que fez sobre o pndulo simples acreditou que este seria

iscrono, isto , o tempo de uma oscilao completa seria independente da amplitude da

mesma. Consequentemente as variaes de amplitude provocadas quer pela resistncia

do ar quer pelo impulso para manter o movimento pendular, no alterariam o seu

perodo pelo que este poderia ser usado como uma medida constante do tempo. Embora

tenha deixado o seu projeto por nalizar e no tenha construdo nenhum relgio de

pndulo deixou a ideia para a sua construo.

Retomando a ideia de Galileu, Huygens(1629-95) construiu o primeiro relgio de

pndulo em 1657, e desde ento trabalhou no desenho e desenvolvimento de relgios,

tentando criar o relgio que pudesse ser utilizado como cronmetro martimo. Em 1657,

ciente que o pndulo simples ao oscilar descreve um arco de circunferncia que no

iscrono, embora o seja aproximadamente para pequenas amplitudes, questionou-se se

existiria uma curva ao longo da qual o movimento do pndulo fosse independente da

FCUP 46


amplitude. Huygens tentou encontrar essa curva empiricamente colocando o pndulo

entre duas placas metlicas que limitavam o seu balano e que tinham como funo

acelerar o movimento medida que o pndulo se afastava da vertical. Quando o

pndulo oscilasse com amplitudes maiores, as placas produziriam um encurtamento do

o, correspondendo a esse encurtamento um aumento de velocidade, de modo a que

o tempo gasto a descrever esse arco de maior amplitude tornar-se-ia igual ao tempo

necessrio a percorrer um arco de pequena amplitude sem qualquer restrio.

Figura 4.1: Manuscrito com as retries do pndulo de 1657

Embora Huygens no soubesse a forma a dar a essas placas para que o pndulo

descrevesse uma trajetria iscrona, e a sua determinao tenha sido emprica, ele

tem uma justicao terica. Na gura 4.1, a trajetria do pndulo representada no

manuscrito constituda por arcos circulares GK, EG e AE cujos centros so H, F e B

e cujos raios vo sendo cada vez menores. Estes pontos actuam como centros de rotao

e em qualquer instante o o perpendicular ao arco que descreve. Cada ponto da placa

metlica visto como um centro de rotao instantneo ou centro de curvatura isto

as placas constituem o lugar geomtrico dos centros de curvatura da curva descrita pela

massa do pndulo, ou seja a sua evoluta. Quando o o oscila enrolando e desenrolando

ao longo de uma placa, a parte livre do o mantida esticada, sendo normal trajetria

do pndulo e tangente superfcie da placa no ponto de contacto. Huygens descobriu

a propriedade que relaciona a curva descrita pelo pndulo com a curva das placas

metlicas. A normal trajetria pendular dever ser tangente curva das placas.

Em 1656, ele no conhecia nenhuma das curvas. Em Dezembro de 1659, Huygens

FCUP 47


demonstrou que a curva tautcrona era uma cicloide e a sua evoluta era outra cicloide.

Figura 4.2: Pndulo iscrono

Para construir o pndulo iscrono (Fig. 4.2), que teoricamente marca o tempo

certo

1

, basta determinar o comprimento do o a partir da frmula do perodo, L =t2g

4pi2,

moldar duas placas com a forma da cicloide gerada por uma circunferncia de dimetro

L

2e pendurar o pndulo entre elas. A construo do pndulo iscrono envolveu a

resoluo de dois problemas:

1. encontrar a curva tautcrona, ao longo da qual a massa do pndulo se deve mover

2. encontrar um modo de suspender o pndulo garantindo que este se mova ao longo

da curva tautcrona, isto a determinao da sua evoluta

4.1.1 O problema da tautcrona

O problema da tautcrona, consiste em determinar a curva plana ao longo da qual

um corpo, sem velocidade inicial e sujeito somente fora da gravidade, desliza at ao

ponto mais baixo da curva sempre no mesmo intervalo de tempo, independentemente

do seu ponto de partida.

Considere-se um arame com a forma de uma curva suave que representa meia

oscilao do pndulo, e deixe-se uma conta partindo do repouso na posio (x0, y0),

escorregar ao longo do arame at ao ponto mais baixo, que assumiremos como a origem

(0, 0). Se a conta escorrega sem frico ento pelo princpio de conservao da energia

mecnica, a energia cintica em qualquer instante ser igual variao da energia

1

Na prtica a utilizao das placas foi a origem de vrios problemas que alteravam a preciso do

relgio pelo que a soluo adotada foi manter o pndulo com pequenas oscilaes.

FCUP 48


potencial,

1

2mv2 = mg (y0 y)

onde m representa a massa da conta, v = dsdte s o comprimento de arco entre a

origem e o ponto (x, y). Da equao anterior resulta

ds

dt=

2g (y0 y)

Considerando s = f (y), o tempo de descida desde a altura y0 at origem dado

por

T (y0) =

0y0

dsdy

2g (y0 y)dy

=

y00

f (y)2g (y0 y)

dy

Fazendo a mudana de varivel y = y0z, obtm-se

T (y0) =

10

f (y0z)2g (y0 y0z)

y0dz

=12g

10

f (y0z)(1 z)y0

y0dz

=12g

10

f (y0z)y0

(1 z) dz

Para que T seja constante, dever ter-se

y0

(f (y0z)

y0)

= 0

o que conduz equao diferencial

2f (y) y + f (y) = 0 para 0 < y < y0

Substituindo f por g, obtemos uma equao de primeira ordem homognea

2g (y) y + g (y) = 0

ou dividindo ambos os membros por 2y,

g (y) +1

2yg (y) = 0

FCUP 49


Esta equao separvel e portanto tem como soluo geral

g (y) = ce12ln(y) =

cy

onde c uma constante positiva pois g ter de ser positiva dado que f uma funo

crescente.

Por outro lado da igualdade

(ds

dt

)2=

(dx

dt

)2+

(dy

dt

)2resulta usando a regra da

cadeia (ds

dy

)2=

(dx

dy

)2+ 1

donde

dx

dy=

(f (y))2 1

e integrando ambos os membros em ordem a y

x = (

cy

)2 1 dy =

c2 yy

dy

Para calcular o integral vamos fazer a substituio y = c2(

1 cos 2

)= c2 sin2

2onde

0 pi. Ento

x =

c2 yy

dy

=

c2 c2 sin2 2c2 sin2 2

c2 sin

2cos

2d

= c2

cos2

2d

= c2

1 + cos

2d

= c2

2

(1 + cos ) d

= c2

2( + sin ) + k

onde k a constante de integrao.

Logo a curva que procuramos parametrizada por

x =c2

2( + sin ) + k

y =c2

2(1 cos )

para pi pi.

FCUP 50


Para determinar k basta ter em conta que esta curva deve passar na origem. Para

y = 0 resulta que cos = 1 logo = 0. Portanto para que se tenha x = 0 deve ter-se

k = 0.

A constante c determinada exigindo que a curva passe em (x0, y0) 6= (0, 0), isto resolvendo o sistema

x0 =c2

2(0 + sin 0)

y0 =c2

2(1 cos 0)

em ordem a c > 0 e 0.

Este sistema pode ser resolvido em ordem a c e 0 [pi, pi], em funo de x0 ey0 se e s se 0 0 e [pi, pi]. Para estudar o movimento da conta ao longo deste arco,comecemos por calcular a distncia que esta percorre para a direita ou para a esquerda

da origem O, isto , o comprimento de arco, s, desde a origem at um ponto arbitrrio

P . Ento

s =

0

[r (1 + cosu)]2 + [r sinu]2 du

=

0

2r2 (1 + cosu) du

=

0

4r2 cos2

u

2du

=

0

2r cosu

2du

= 4r sinu

2

0

= 4r sin

2

Note-se que se P estiver esquerda de O ento < 0 e nesse caso s ser negativo.

Como a conta est sujeita apenas fora da gravidade, a causa do movimento ao

longo do arame a componente tangencial desta fora (Fig. 4.4) dada por

mg sin

onde representa a inclinao da tangente cicloide no ponto P . Como tan =dy

dxpodemos relacionar com . De facto,

dy

dx=

dy

ddx

d

=r sin

r + r cos =

1 cos2

(1 + cos )2=

1 cos 1 + cos

= tan

2

Conclumos assim que tan = tan

2ou =

2e a componente tangencial da fora

pode ser escrita como mg sin 2. Pela segunda lei de Newton

md2s

dt2= mg sin

2

FCUP 52


Finalmente, usando o comprimento de arco s = 4r sin

2obtemos a equao

d2s

dt2= g

4rs

cuja soluo como funo do tempo uma funo sinusoidal. Ser

s (t) = s0 cos

g

4rt

se no instante inicial a distncia entre a conta e a origem, medida ao longo da curva,

dada por s0 e a velocidade inicial nula. O perodo independente da amplitude

e dado por T = 4pi

r

gpelo que o tempo de descida de P at O ser dado por

1

4T = pi

r

g.

A conta executa um movimento harmnico simples, oscilando em torno da origem

que corresponde posio de equilbrio. Se a conta for colocada na origem, a fora

tangencial ser nula e portanto no haver movimento. Mas se for colocada noutro

ponto qualquer do arame a fora tangencial ser diretamente proporcional sua dis-

tncia origem. Assim se considerarmos duas posies diferentes cujas distncias

origem sejam dadas por s0 e s1 = ks0 (Fig. 4.5), a fora tangencial na segunda posio

ser k vezes a fora tangencial que atua sobre a conta na primeira, o que implica que a

acelerao e a velocidade sero tambm multiplicadas por k, logo a conta percorrer a

Figura 4.4: Componente tangencial do peso no ponto P

FCUP 53


distncia ks0 no mesmo intervalo de tempo em que percorreria s0 a partir da primeira

posio.

Figura 4.5: A fora tangencial diretamente proporcional ao comprimento do arco

4.1.2 Determinao da evoluta

Dada a cicloide invertida parametrizada por () = (r + r sin , r r cos ) temos

() = (r + r cos , r sin )

() = (r sin , r cos )

logo

k() =(r + r cos )(r cos ) (r sin )(r sin )

r3((1 + cos )2 + sin2

) 32

=1

232 r

1 + cos

e

() = () +1

k() ()(y(), x())

= (r + r sin , r r cos ) + 2(r sin , r + r cos )= (r r sin , 3r + r cos )= (r( pi) + r sin( pi) + rpi, r r cos( pi) + 2r)= ( pi) + (rpi, 2r)

A ltima linha mostra que a evoluta de uma cicloide invertida a mesma curva

trasladada para outra posio (Fig. 4.6).

FCUP 54


Figura 4.6: Cicloide invertida e a sua evoluta

4.2 Perl dos dentes de rodas dentadas

A transmisso de movimento de rotao entre dois eixos, sejam paralelos, concor-

rentes ou no complanares, pode ser materializada por engrenagens, isto , pares de

rodas dentadas cada uma delas xa ao respetivo eixo. Pretende-se que a roda man-

dante, a rodar com velocidade angular constante, transmita um movimento uniforme

roda mandada garantindo uma boa preciso dos movimentos de rotao de modo a

evitar vibraes que produzem rudo e desgaste rpido. Para que seja possvel obter

ao conjugada necessrio, entre outros fatores, a correta denio da geometria do

perl dos dentes das rodas dentadas. Veremos a geometria e as condies fundamentais

de transmisso do movimento entre eixos paralelos com engrenagens cilndricas retas,

construdas a partir de cilindros nos quais so gerados os dentes paralelos ao eixos. O

perl cicloidal e o perl em involuta de circunferncia so os pers tradicionalmente

utilizados para obter ao conjugada. Faremos o estudo do perl cicloidal.

4.2.1 Lei do Engrenamento

Imaginemos inicialmente que a transmisso feita por dois cilindros pressionados um

contra o outro. Se a fora tangencial exercida pelo cilindro que roda com velocidade

angular constante no exceder a fora de atrito entre as duas superfcies, os cilindros

rolam sem deslizar um no outro e a razo de transmisso (razo entre as velocidades

angulares) constante [6]. Mas se a fora tangencial exceder a fora de atrito, vai haver

deslizamento entre as duas superfcies alterando-se a razo de transmisso. Para evitar

este deslizamento so gerados na superfcie de ambos os cilindros os dentes, surgindo

as rodas dentadas. Uma roda movimenta a outra por presso entre os dentes que

entram sucessivamente em contacto. As superfcies cilndricas so chamadas superfcies

primitivas e o perl dos dentes deve ser denido de tal forma que estes transmitam

o mesmo movimento que seria transmitido por frico entre os cilindros primitivos.

Quando numa engrenagem um par de dentes atua um contra o outro transmitindo

movimento de rotao mantendo a razo entre as velocidades angulares constante, os

dentes esto em ao conjugada e os seus pers so curvas conjugadas.

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Figura 4.7: Circunferncias primitivas de duas rodas dentadas sendo C o ponto de contacto entre um par

de dentes em ao.

As seces de uma engrenagem cilndrica obtidas por planos perpendiculares aos ei-

xos so iguais pelo que o estudo da transmisso do movimento pode ser feito num plano.

Na representao plana da engrenagem (Fig. 4.7), as superfcies primitivas reduzem-se

a circunferncias denominadas circunferncias primitivas e o seu ponto de contacto P

chamado ponto primitivo. Estas circunferncias situadas algures entre o topo e a base

dos dentes das rodas dentadas, so linhas imaginrias que rolam sem deslizar uma

na outra. Dada a ausncia de deslizamento, as velocidades das duas circunferncias

primitivas no ponto de contacto P so iguais, donde resulta que w1r1 = w2r2 onde

w1, w2, r1 e r2 so as velocidades angulares e os raios das circunferncias primitivas

correspondentes. Portanto, a razo das velocidades angulares constante dada por

w1w2

=r2r1concluindo-se que as velocidades angulares so inversamente proporcionais

aos raios primitivos. Assim, numa engrenagem pretende-se que a roda mandante, a

rodar com velocidade angular constante w em torno do eixo O1, transmita pela ao

dos dentes em contacto, outra roda um movimento de rotao em torno do seu eixo

O2 com velocidader1r2w.

Para assegurar uma ao conjugada o perl dos dentes deve satisfazer a chamada

Lei do Engrenamento [5, 6]. Esta lei estabelece que os pers dos dentes devem ter uma

forma tal que a normal comum no ponto de contacto dever passar sempre no ponto

primitivo, independentemente da posio do ponto de contacto.

Consideremos um par de rodas dentadas R1 e R2 em ao conjugada. R1 roda

em torno de O1 com velocidade angular w1 e transmite o movimento de rotao

roda R2 que roda em torno de O2 com velocidade angular w2. Num determinado

instante um par de dentes esto em contacto no ponto C. As curvas a e b representam,

respetivamente, parte do perl do dente de R1 e R2. As retas t e n so a tangente e a

normal comuns a a e b no ponto C. O ponto C em cada roda executa um movimento

circular uniforme, logo a velocidade linear de C em R1 e em R2 dada respetivamente

por

V1 = CM1 = O1C w1 e V2 = CM2 = O2C w2

FCUP 56


onde M1 e M2 so tais queV1=

CM1 e

V2=

CM2. Donde resulta

w1 =CM1

O1Ce w2 =

CM2

O2C

e portanto

w1w2

=CM1

O1C O2CCM2

Embora as velocidades lineares dos dois pers no ponto C,V1 e

V2, sejam diferentes

as suas componentes ao longo da normal n tero de ser iguais por forma a manter o

contacto. Da semelhana dos tringulos O1CR e CKM1 (critrio AAA), temos

CM1

O1C=CK

O1R

Figura 4.8: Lei do Engrenamento

FCUP 57


Da semelhana dos tringulos O2CS e CKM2 (critrio AAA), temos

O2C

CM2=O2S

CK

Portanto,

w1w2

=CM1

O1C O2CCM2

=CK

O1R O2SCK

=O2S

O1R

Ainda da semelhana dos tringulos O1PR e O2PS, temos

O2S

O1R=O2P

O1P

donde

w1w2

=O2S

O1R=O2P

O1P=r2r1.

Podemos ento concluir que a razo das velocidades angulares igual razo inversa

dos comprimentos dos segmentos em que a normal comum no ponto de contacto corta a

linha dos centros. Para que a razo das velocidades angulares seja constante, a normal

comum aos pers no ponto de contacto deve intersetar a linha dos centros sempre no

mesmo ponto P . Este ponto corresponde ao ponto de contacto das circunferncias

primitivas.

4.2.2 Perl cicloidal

Embora seja possvel construir gracamente um perl conjugado a partir de um perl

dado utilizando a Lei do Engrenamento, as curvas utilizadas tradicionalmente para o

perl dos dentes so a epicicloide, a hipocicloide e a involuta da circunferncia.

O perl cicloidal constitudo por dois arcos de curvas distintas. O perl do topo

do dente, exterior circunferncia primitiva, corresponde a um arco de uma epicicloide

e o perl da base, interior circunferncia primitiva, corresponde a um arco de uma

hipocicloide. Estes arcos fazem parte duma epicicloide e hipocicloide geradas por

circunferncias, em geral de raios diferentes, a rolar na circunferncia primitiva. Os

dois arcos so unidos sobre a circunferncia primitiva (Fig. 4.9). Quando um par de

dentes entra em ao a base do dente da roda transmissora entra em contacto com

o topo do outro dente. O ponto de contacto desliza ao longo do perl e o topo do

primeiro dente vai estar em contacto com a base do segundo. Portanto o perl da base

de um dente e o perl do topo do outro tm de ser curvas conjugadas. Para que tal

acontea no perl cicloidal basta trocar os papis s circunferncias geradoras, isto ,

numa engrenagem cicloidal com ao conjugada, o perl da base do dente da roda R1

e o perl do topo do dente da roda R2 devem ser gerados por circunferncias com o

mesmo raio a rolar, respetivamente, no interior da circunferncia primitiva de R1 no

exterior da circunferncia primitiva de R2.

Para demonstrar que assim , consideremos as circunferncias primitivas, C1 e C2,

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Figura 4.9: Construo do perl cicloidal

de duas rodas dentadas, e uma circunferncia auxiliar C de raio r no interior de C1 e

tangente com C1 e C2 no ponto primitivo P . Se uma dessas circunferncias roda em

torno do seu centro, fora as outras duas a rodar em torno dos respectivos centros e as

trs vo descrever arcos de igual comprimento a partir de P , tal como aconteceria se as

circunferncias primitivas permanecessem imveis e a circunferncia de raio r rolasse

sobre elas.

Quando a circunferncia de raio r rola no interior de C1 o ponto P descreve uma

hipocicloide. Se xarmos agora a circunferncia auxiliar C e rodarmos C1 juntamente

com a hipocicloide, em torno de O1 com velocidade constante w, a hipocicloide interseta

a circunferncia xa num ponto K que se move ao longo da circunferncia C com

velocidade angular constante

r1rw. Quando a circunferncia de raio r rola no exterior

de C2 o ponto P descreve uma epicicloide. Novamente, se xarmos a circunferncia

auxiliar C e rodarmos C2 juntamente com a epicicloide, em torno de O2 com velocidade

angular constante r1r2w, a epicicloide intersecta a circunferncia xa num ponto que

se move ao longo desta com velocidade angular constante igual a

r1rw. Vemos deste

modo que se rodarmos as circunferncias C1 e C2 simultaneamente, a hipocicloide e a

epicicloide tero sempre o ponto K em comum, que descreve a circunferncia xa (Fig.

4.10). Note-se que os dentes fazem contacto sempre sobre as circunferncias geradoras

do perl, logo a curva de contacto constituda por uma combinao de dois arcos

dessas circunferncias.

Por outro lado, quando uma circunferncia mvel gera uma hipocicloide ou epi-

cicloide a rolar numa circunferncia xa, o ponto de contacto de ambas um centro

instantneo de rotao para a circunferncia mvel, logo a reta que une o ponto gerador

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Figura 4.10: Ponto de contacto da hipocicloide com a epicicloide

da curva com o ponto de contacto normal curva nesse ponto. Concluimos assim que

a hipocicloide e epicicloide geradas pela circunferncia de raio r, para alm de terem

o ponto K em comum so tangentes nesse ponto e a normal comum passa no ponto

primitivo e portanto so curvas conjugadas.

Note-se que, se mantivermos xa a circunferncia primitiva c2 e deixarmos rolar

c1 juntamente com a hipocicloide em c2, a epicicloide a envolvente das posies

sucessivas da hipocicloide (Fig. 4.11).

Figura 4.11: Epicicloide como a envolvente das posies sucessivas da hipocicloide

5Animaes com o Geogebra

"Mathematics is not a deductive science - that's a clich. When you

try to prove a theorem, you don't just list the hypotheses, and then start

to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork.

You want to nd out what the facts are, and what you do is in that respect

similar to what a laboratory technician does, but it is dierent in the degree

of precision and information."

Paul Halmos, I want to be a Mathematician

Ao longo do trabalho desenvolvido nos captulos anteriores o GeoGegra constituiu

um recurso metodolgico importante. As suas capacidades de modelao dinmica,

permitindo a transformao quase contnua de conguraes mantendo um conjunto

de restries, e a possibilidade de testar propriedades, facilitaram a experimentao

matemtica, contribuindo para a claricao de conceitos e para a compreenso de

resultados. Como consequncia da utilizao do GeoGebra caram algumas animaes

geomtricas, que permitem visualizar e apreender de forma rpida, alguns dos conte-

dos abordados tornando-os acessveis a todos. claro que estas animaes, por si s,

no explicam o porqu dos resultados mas fornecem evidncias que podero despertar

curiosidade e fornecer motivao para exploraes matemticas.

As legendas das guras constituem um link para as correspondentes animaes.

5.1 Curvatura e circunferncia osculadora

Para uma curva xa, esta animao permite visualizar a circunferncia osculadora

e o centro de curvatura, num ponto de curvatura no nula P0. A posio de P0

pode ser alterada movendo o seletor P0, percebendo-se que a circunferncia osculadora

est sempre do lado cncavo da curva. Quando se faz variar a posio de P0 ao

longo da curva assinalado no grco da funo curvatura o valor correspondente

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(a) (b)

Figura 5.1: Instantneos de Curvatura e circunferncia osculadora

da curvatura cando percetvel que o raio de curvatura varia na razo inversa do

valor absoluto da curvatura. O ponto P0 pode ser posicionado diretamente nos pontos

de curvatura mnima, nula ou mxima, carregando nos botes correspondentes. O

ponto de curvatura nula assinalado como um ponto onde no existe circunferncia

osculadora. Para qualquer posio de P0, a circunferncia osculadora pode ser vista

como a posio limite duma sucesso de circunferncias que passam por trs pontos

distintos da curva,P0, P1 e P2 quando estes se fazem coincidir. Os botes aproximar

e afastar fazem coincidir ou afastar os trs pontos.

5.2 Elipse: evoluta e paralelas

(a) (b)

Figura 5.2: Instantneos de Elipse: evoluta e paralelas

A elipse est denida por e(t) = (a cos t, b sin t) com t [0, 2pi[. Os seletores a e bpermitem escolher os parmetros a e b. Cada paralela elipse est denida por p(t) =

e(t) + c~n. Movendo o seletor c podem ser visualizadas diferentes paralelas. O seletor

t permite movimentar o ponto P na elipse e simultaneamente o ponto correspondente

na paralela. Ao usar as caixas de mostrar/ocultar objetos, podem ser visualizadas as

FCUP 62


circunferncias osculadoras, os centros de curvatura, a evoluta e os vetores unitrios

tangentes e normais da elipse e da sua paralela nos pontos assinalados, sendo possvel

vericar que para cada valor de t, a elipse e a sua paralela tm a mesma normal, o

mesmo centro de curvatura e os vetores unitrios tangentes e normais so paralelos

com o mesmo sentido ou sentidos contrrios consoante 1 ck maior ou menor do quezero.

Fazendo variar t pode visualizar-se a evoluta da elipse como o lugar geomtrico dos

centros de curvatura e vericar que as paralelas da elipse tm a mesma evoluta em

valores de t para os qua

tese evolutas involutas

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