term odd metro

7/23/2019 Term odd Metro

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Atividade 2: Termometro

September 15, 2015

1 Problema proposto

Analisar o comportamento dinamico do deslocamento do fluido (xo), dada uma diferenca detemperatura (T). Encontrar o tempo de assentamento ts(5%).

1.1 Equacao diferencialCalor que entraCalor quesai= Energia armazenada

U Ab(TiTt,f) dt0 =VbC dTt,f

U AbTiU AbTt,f =VbCdTt,f

dt

VbCdTt,f

dt +U AbTt,f =U AbTi

Substituindoxo= KexVb

AcTt,f, tem-se:

CAcKex

dxodt

+U AbAc

KexVbxo= U AbTi (1)

Utilizando =CVb

U Ab[s] eK=

KexVbAc

mK

, e possvel reescrever a equacao (1) da seguinte

forma:

K

dxodt

+ 1

Kxo= Ti (2)

2 Solucao

Os parametros encontrados para a solucao da equacao (1) sao baseados em um termometrode vidro cilndrico preenchido com mercurio. O termometro possui as seguintes dimensoes epropriedades:

Comprimento do bulbo: L= 0.012 m

Diametro externo do bulbo: dout = 0.005 m

Diametro interno do bulbo: din = 0.003 m

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Espessura do vidro: t= 0.001 m

Diametro do capilar: dc = 0.0003 m

Tabela 1: Propriedades fsicas

Mercurio (Hg) Vidro (g)

kgm3

13550 2000

C

JkgK

139, 4 800, 0

Kex

m3

m3K

1, 8104 0, 2104

2.1 Consideracoes realizadas

1. Sera considerada a capacidade de armazenamento de calor do vidro. Logo, sera escritocomo:

=CHgmHg +Cgmg

U Ab[s] (3)

2. Tanto a expansao do mercurio como a expansao do vidro serao contabilizadas. Se aexpansao do vidro nao fosse considerada, o resposta do deslocamento do mercurio seriamaior do que a realidade. Para considerar este efeito, sera utilizado um coeficiente deexpansao diferencial equivalente Kex= Kex,HgKex,g. Portanto, K sera escrito como:

K=KexVb

Ac=

(Kex,HgKex,g)VbAc

mK

(4)

3. A massa de fluido dentro do bulbo e constante. O volume de fluido que sai do bulbo parapreencher o capilar e muito menor do que o fluido restante no bulbo.

4. Os valores de calor especfico do vidro e do mercurio sao considerados constantes, poisnao ha uma grande diferenca de temperatura.

5. Hipoteses utilizadas na modelagem do coeficiente global de transferencia de calor U:

(a) O aumento da area do bulbo Ab devido a expansao do vidro nao sera levada emconsideracao para o calculo da transferencia de calor;

(b) Nao ha gradiente de temperatura no mercurio, pois o mercurio possui uma condu-tividade termica muito maior que condutividade do vidro. Portanto a temperaturado mercurio e considerada uniforme;

(c) A transferencia de calor ocorre apenas no bulbo, nao havendo trocas de energiaatraves do haste do termometro;

(d) O coeficiente global de transferencia de calor U e constante, pois nao ha grandediferenca de temperatura.A parir destas consideracoes, Upode ser calculado como:

U= 1

(Rconv+Rcond)A

U= 1

1

h+

routlnroutrin

kg

(5)

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2.2 Coeficiente global de transferencia de calor U

Para determinar U e preciso obter o valor do coeficiente medio de conveccaoh e do coeficientede conducao do vidrokg.

Considerando que o termometro esteja inicialmente a 20 C, e entao submerso em um re-cipiente com agua a temperatura constante de 50 C, havera uma diferenca de temperatura de30 C, ou seja Ti = 303 K. De acordo com a bibliografia, para o caso em que a agua nao estejaagitada (conveccao natural), o coeficiente medio de conveccao e aproximadamente 750 W/m2K.

O coeficiente de conducao do vidro pode ser obtido diretamente atraves de tabelas de pro-priedades fsicas. Neste caso kg = 1, 4 W/mK

Substituindo estes valores na equacao (5) obtem-se:

U= 445, 3 W/m2K

2.3 Solucao da equacao diferencial

Aplicando a transformada de Laplace na equacao (2), tem-se:

L

K

dxodt

+ 1

Kxo

=L {Ti}

KsXo(s) +

1

KXo(s) =Ti(s)

Ks+

1

K

Xo(s) =Ti(s)

Xo(s)

Ti(s) =

K

s+ 1 (6)

SeTi(s) for uma entrada do tipo degrauTi(s) =

Ti

s, ondeTi = [K], a funcao de transferencia(6) fica:

Xo(s) =Ti

s

K

s+ 1

Utilizando fracoes parciais, o resultado anterior pode ser escrito como:

Xo(s) = TiK

s

TiK

s+ 1

e, aplicando a transformada inversa, obtem-se:

L1

{Xo(s)}= TiKL11

s 1

s+ 1

xo(t) =TiK(1e

t ) (7)

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2.4 Calculos

1. Volumes:

(a) Volume do bulbo: Vb=d2in

4 L= 8, 48108 m3

(b) Volume de vidro: Vg = L4

(d2outd2in) = 1, 51107 m3

(c) Volume total: Vt= Vb+Vg = 2, 36107 m3

2. Areas:

(a) Area do bulbo: Ab = doutL= 1, 88104 m2

(b) Area do capilar: Ab =d2c

4 = 7, 07108 m2

3. Massas:

(a) Massa do mercurio: mHg =HgVb= 1, 1510

3

kg(b) Massa do vidro: mg = gVg = 3, 0210

4 kg

4. Constantes e K:

(a) Constante de tempo : Substituindo os valores encontrados nos calculos anterioresna equacao (3), tem-se:

=CHgmHg +Cgmg

U Ab

= 4, 78 s

(b) Constante de sensibilidade estatica K: Substituindo os valores encontrados nos

calculos anteriores na equacao (4), tem-se:

K=(Kex,HgKex,g)Vb

Ac

K= 5, 44104 m/K

2.5 Resultados

A partir da equacao (7) e possvel analisar algumas caractersticas fundamentais da resposta dodeslocamento do mercurio devido a diferenca de temperatura.

a) Quando t = 0, xo= 0, ou seja, nao ha deslocamento de fluido no instante inicial.

b) Quando t = , xo = 0, 632TiK = 0, 102 m ou 10, 2 cm. Este valor expressa o desloca-mento atingido depois de uma constante de tempo , que corresponde a 63, 2% do valor finaldo deslocamento, ou seja, quando o regime estacionario for atingido.

c) Quando t , xo= VF =TiK= 0, 161 m ou 16, 1 cm. Este valor representa o desloca-mento atingido pelo mercurio quando o sistema entra em regime estacionario.

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d) Tempo de assentamento: Utilizando o valor final (VF) do sistema, e possvel encontrar otempo de assentamento ts(5%) da seguinte maneira:

x95% = VF0, 95

x95% = 0, 154 m

Substituindox95% na equacao (7) e isolando o tempo, tem-se:

x95% = TiK

1ets(5%)

ts(5%) = ln

1

x95%TiK

ts(5%) = 14, 3 s

Utilizando o software MATLAB e possvel ver a resposta do sistema a entrada do tipo degraude Ti = 303 K.

Grafico 1: Resposta do sistema de primeira ordem a entrada do tipo degrau.

3 Referencias Bibliograficas

1. ROFFEL, Brian; BETLEM, Ben. Process Dynamics and Control: Modeling forControl and Prediction. West Sussex: Wiley, 2006;

2. INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P.. Fundamentos de Transferencia deCalor e de Massa. 6. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2008.

3. THOMSEN, Volker. Response Time of a Thermometer. The Physics Teacher, Fitch-burg, v. 36, n. 1, p.540-541, dez. 1998.

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