teoria, roteiro e folha de dados...semana 2: teoria da medida e dos erros; semana 3: gráficos...

Departamento de Ciências Naturais - DCN

Física Experimental I

Mecânica

Teoria, Roteiro e Folha de Dados

Licenciatura em Física

Centro Universitário Norte do Espírito Santo Rodovia BR 101 Norte, km 60. Bairro Litorâneo, CEP 29932-540

São Mateus – ES – Brasil Sítio eletrônico: http://www.ceunes.ufes.br

1

Sumário

Apresentação ............................................................................................................................................................ 3

Desenvolvimento do Curso ................................................................................................................................. 4

Critérios de Avaliação ............................................................................................................... 4

Testes: ................................................................................................................................................................ 4

Provas: ............................................................................................................................................................... 4

Relatórios: ........................................................................................................................................................ 4

Informações gerais sobre o curso .............................................................................................. 5

Cronograma ............................................................................................................................... 5

Relatórios ................................................................................................................................... 6

Partes de um relatório ............................................................................................................... 6

Abordagem teórica ................................................................................................................................................. 8

Introdução à Física Experimental ................................................................................................................. 8

Teoria da Medida e dos Erros ...................................................................................................................... 10

Grandezas Físicas e Padrões de Medidas ................................................................................ 10

Medidas Físicas ....................................................................................................................... 11

Erros e Desvios ........................................................................................................................ 12

Classificação de Erros ............................................................................................................. 13

Incertezas ................................................................................................................................. 14

Propagação de incertezas ......................................................................................................... 15

Soma ou subtração .................................................................................................................. 16

Outras operações ..................................................................................................................... 17

Algarismos Significativos ........................................................................................................ 18

Exercícios ............................................................................................................................................................ 20

Instrumentos de Medida ................................................................................................................................ 21

Introdução ................................................................................................................................ 21

Aparelhos Analógicos .............................................................................................................. 21

A Régua Milimetrada ............................................................................................................... 22

Balanças Tri-escala ................................................................................................................. 22



2

Aparelhos não Analógicos ....................................................................................................... 23

Exercício em Grupo: Medidas de Densidade Superficial ........................................................ 26

Gráficos ............................................................................................................................................................... 28

Introdução ................................................................................................................................ 28

Construção de Gráficos ........................................................................................................... 28

Gráficos e Equações Lineares .................................................................................................. 29

Métodos de Determinação dos Coeficientes a e b ................................................................... 30

Método Gráfico........................................................................................................................ 31

Exercícios ................................................................................................................................ 35

Roteiros e Folha de Dados ................................................................................................................................. 37

Primeira Sequência de Experiências ............................................................................................................... 37

Experiência 1: Estudo de Cinemática Utilizando Colchão de Ar ........................................... 37

Experiência 2: Sistema em Equilíbrio Estático (Opcional) .................................................... 42

Experiência 3: Forças no Plano Inclinado com Atrito ............................................................. 45

Experiência 4: Lançamento Horizontal, Conservação da Energia e da Quantidade de

Movimento .............................................................................................................................. 49

Experiência 5: Deformações Elásticas ..................................................................................... 57

Experiência 6: Determinação da Aceleração da Gravidade Utilizando Pêndulo Simples ....... 59

Roteiros da Segunda Sequência ....................................................................................................................... 61

Experiência 7: Momento de Inércia Rotacional ...................................................................... 61

Experimento 8: Segunda Lei de Newton ................................................................................ 65

Experiência 9: Movimento Harmônico Simples e Lei de Hooke ............................................ 69

Experiência 10: Movimento Circular Uniforme (MCU)................................................................72

Experiência 11: Pêndulo Físico................................................................................................................................76

Apêndice .................................................................................................................................................................. 81

Dedução da Equação dos Mínimos Quadrados ....................................................................... 81

8. Bibliografia .................................................................................................................................................... 82



3

APRESENTAÇÃO

O laboratório fornece ao estudante uma oportunidade única de vivenciar

diversos fenômenos físicos de uma maneira quantitativa num experimento real. A

experiência no laboratório ensina ao estudante as limitações inerentes à aplicação das

teorias físicas, a situações físicas reais e introduz várias maneiras de minimizar esta

incerteza experimental. O propósito dos laboratórios de Física é tanto o de demonstrar

algum princípio físico geral, quanto permitir ao estudante aprender e apreciar a

realização de uma medida experimental cuidadosa.

Esta apostila desenvolvida pelo grupo de professores de Física da UFES/

CEUNES contempla um estudo introdutório à teoria de erros com vista ao tratamento de

dados obtidos no Laboratório e a construção de gráficos lineares, além da descrição

detalhada de 11 experimentos de mecânica (sendo um opcional) que contemplam a

cinemática, leis de Newton, oscilações e movimento circular.

Professores Autores:

Eduardo Perini Muniz

André Luíz Alves



4

DESENVOLVIMENTO DO CURSO

As três primeiras aulas estão reservadas para um estudo introdutório à teoria dos

erros, com vistas ao tratamento dos dados obtidos no Laboratório, sendo que a segunda

aula será reservada, especificamente, para o estudo de gráficos em papel milimetrado

e/ou monolog.

No restante das aulas serão realizadas oito experiências, divididas em duas séries

de quatro, havendo a possibilidade de uma experiência extra.

Os alunos serão distribuídos em quatro grupos, sendo que cada grupo

desenvolverá uma experiência em cada aula.

CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO

As avaliações de relatórios, provas e testes ficarão a critério de cada professor.

Uma sugestão é usar o seguinte critério:

= Média aritmética das notas obtidas nas 2 provas parciais

= Média aritmética das notas obtidas nos 2 testes

= Média aritmética das notas obtidas nos relatórios.

Testes:

O primeiro teste consistirá de questões referentes ao conteúdo de teoria de erros.

O segundo teste consistirá na elaboração de um gráfico (em papel milimetrado e/ou

monolog) incluindo todos os procedimentos e cálculos pertinentes.

Provas:

A primeira prova será aplicada após as quatro primeiras experiências, portanto com

o conteúdo abordado nestas experiências.

A segunda prova será aplicada após se completarem as quatro experiências finais,

sendo abordado o conteúdo referente a estas experiências.

As provas consistirão de problemas ou questões que poderão abordar qualquer

aspecto das experiências, como procedimentos, conceitos físicos envolvidos diretamente

com as mesmas, dedução de fórmulas específicas para os cálculos das grandezas,

cálculos numéricos, etc.

Relatórios:

Após cada aula com experiência, o grupo deverá elaborar um relatório seguindo os

roteiros disponibilizados pelos professores contendo: os cálculos, os gráficos (quando

houver), discussão das questões propostas, dedução de fórmulas se forem solicitadas na



5

apostila e conclusão que deverá incluir comentários referentes aos resultados obtidos,

aos procedimentos adotados e sua relação com a teoria envolvida.

Observações:

Cada grupo deverá apresentar apenas um relatório elaborado por todos os seus

membros.

Os grupos deverão apresentar o relatório, na aula seguinte àquela da realização da

experiência, sem prorrogação.

Pontualidade: será dada uma tolerância de, no máximo, 15 minutos. Um atraso

maior será considerado na nota do relatório correspondente.

INFORMAÇÕES GERAIS SOBRE O CURSO

NÃO será permitido, em hipótese nenhuma, o uso de calculadoras programáveis

(tipo HP ou similares), em provas e testes. Entretanto, recomenda-se a utilização de

uma calculadora científica comum.

Em caso de reutilização de apostilas de anos anteriores, NÃO deverão constar, em

hipótese nenhuma, os dados tomados naquela ocasião: estes deverão estar todos

apagados.

O aluno poderá repor, em caso de falta, apenas UMA experiência da primeira série

e UMA experiência da segunda série, nos dias e horários de ‘Reposição de

Experiências’ indicados no calendário.

A „Reposição de Experiências‟ é feita somente com a presença do monitor e o

relatório relativo à experiência reposta só poderá atingir o valor máximo de 7,0.

É importante repetir: os relatórios das experiências (1 relatório por grupo) deverão

ser apresentados na aula seguinte daquela da realização da experiência, sem

prorrogação.

Em caso de falta do aluno às aulas dos dias dos testes, NÃO caberá reposição dos

mesmos. Em caso de falta do aluno a uma das provas e somente mediante a

apresentação de atestado médico na aula seguinte ao dia da prova, esta poderá ser

reposta.

CRONOGRAMA

Semana 1: Apresentação do curso;

Semana 2: Teoria da Medida e dos Erros;

Semana 3: Gráficos lineares;

Semana 4: Experimentos;





6



Semana 9: Semana de Reposição de Experimentos;

Semana 10: Primeira prova;






Semana 16: Semana de Reposição de Experimentos;

Semana 17: Segunda prova;

Semana 18: Prova final.

RELATÓRIOS

De uma forma geral, em ciência os resultados de um dado estudo são registrados e

divulgados na forma de relatórios científicos. Entende-se por relatório científico um

documento que segue um padrão previamente definido e redigido de forma que o leitor,

a partir das indicações do texto, possa realizar as seguintes tarefas:

Reproduzir as experiências e obter os resultados descritos no trabalho, com igual ou

menor número de erros;

Repetir as observações e formar opinião sobre as conclusões do autor;

Verificar a exatidão das análises, induções e deduções, nas quais estiverem baseadas as

conclusões do autor, usando como fonte as informações dadas no relatório.

PARTES DE UM RELATÓRIO

1. Capa: Deve incluir os dados do local onde a experiência foi realizada (Universidade,

Instituto e Departamento), disciplina, professor, equipe envolvida, data e título da

experiência.

2. Introdução: A introdução não deve possuir mais que duas páginas em texto. Esta parte

deve incluir um as equações mais relevantes (devidamente numeradas), as previsões do

modelo teórico (de preferência em forma de tabela ou lista) e todos os símbolos

utilizados para representar as grandezas físicas envolvidas.

3. Dados experimentais: Deve apresentar os dados obtidos (preferencialmente em forma

de tabelas), ou seja, todas as grandezas físicas medidas, incluindo suas unidades. Dados



7

considerados anômalos devem ser identificados com uma anotação. As incertezas de

cada medida devem estar indicadas. As tabelas devem ser numeradas em sequência e

conter uma legenda descritiva.

4. Cálculos: Todos os cálculos devem ser apresentados, incluindo as etapas intermediárias

(cálculo de erros, métodos de análise gráfica, etc.), para permitir a conferência e

recálculo pelo mesmo caminho. Os resultados experimentais devem ser apresentados

com os algarismos significativos apropriados.

Em caso de repetição de procedimentos idênticos de cálculo, como, por exemplo, a

multiplicação de 10 valores da posição de um corpo por uma constante é permitido que

apenas o primeiro cálculo seja detalhado no relatório, mas os resultados de todos eles

devem ser apresentados sob a forma de tabela.

Aliás, os valores de cada grandeza obtida por meio dos cálculos devem ser apresentados

de forma organizada (preferencialmente sob a forma de tabelas) no fim desta seção.

Caso a tabela com os resultados dos cálculos claramente apresentados não seja incluída,

o professor tem a opção de cortar todos os pontos referentes a esta seção do relatório.

Quando houver gráficos, com cálculo de coeficiente angular, estes devem ser incluídos

nesta seção. O cálculo do coeficiente deve ser feito nas costas da folha de gráfico.

Deve-se evitar que sucessivos arredondamentos e/ou truncamentos conduzam a valores

incorretos para as incertezas resultantes dos cálculos efetuados. Assim, recomenda-se:

Efetuar os cálculos intermediários para a propagação das incertezas com, no mínimo,

três algarismos "significativos" nas incertezas.

Ao avaliar graficamente o coeficiente angular de uma reta e sua incerteza, considere

esta avaliação como um cálculo intermediário.

Os resultados finais devem ser apresentados com um só algarismo significativo na

incerteza.

5. Análise de dados: Nesta parte o aluno verifica quantitativamente se o objetivo

inicialmente proposto foi atingido. As previsões teóricas mostradas na introdução

devem ser confrontadas com os resultados experimentais e a diferença numérica entre

os valores esperados e obtidos deve ser discutida. Sempre que possível, a comparação

deve ser feita sob a forma de tabelas ou gráficos que devem ser comentado (as) no texto.

Também é razoável comentar aqui valores de coeficientes angulares obtidos na seção

anterior. O objetivo é comprovar ou não as hipóteses feitas na teoria.

6. Conclusão: A conclusão apresenta um resumo dos resultados mais significativos da

experiência e sintetiza os resultados que conduziram à comprovação ou rejeição da

hipótese de estudo. Aqui deve ser explicitado se os objetivos foram atingidos, utilizando

preferencialmente critérios quantitativos. Também deve-se indicar os aspectos que

mereciam mais estudo e aprofundamento.

7. Bibliografia: São as referências bibliográficas que serviram de embasamento teórico.



8

ABORDAGEM TEÓRICA

1. Introdução à Física Experimental

A Física Experimental ou, em termos mais amplos, o método experimental, é um

dos pilares fundamentais da Ciência. Embora haja ramos da ciência onde a

experimentação seja desnecessária, o método experimental é parte essencial do

chamado método científico. Para nosso propósito imediato podemos dizer que o método

científico compreende um conjunto de procedimentos e critérios que permitem

compreender e explicar de modo confiável as leis e fenômenos naturais. De modo

esquemático e bastante simplificado podemos resumir o método científico com o

diagrama abaixo ( Figura 1).

Figura 1- Diagrama esquemático para definir método científico.

O processo compreende as seguintes fases importantes:

Observação. Nesta fase de coleta de dados por meio de medidas diversas ocorrem,

simultaneamente, dúvidas e ideias acerca do fenômeno observado;

Busca de uma relação entre os fatos observados e conceitos ou fatos pré-

estabelecidos;

Hipóteses, modelos e planejamento de experiências de verificação;

Realização dos experimentos. Nesta fase novamente são efetuadas diversas

medições criteriosas e cuidadosas;

Interpretação dos dados obtidos, conclusões e divulgação dos resultados para que

possam ser apreciados, reproduzidos e realimentados por ideias de outros

pesquisadores.



9

Deve-se notar que ao longo de todo o processo, a capacidade interrogativa e criativa

do homem acha-se presente e atuante, criando um ciclo dinâmico de retroalimentação

de novas dúvidas, novas observações e novas experimentações, Isto gera resultados

cada vez mais detalhados e confiáveis ou ainda novas conclusões, estabelecendo-se um

acúmulo continuado de conhecimentos.

Para maior confiabilidade, o método experimental deve obedecer ainda a dois

requisitos fundamentais. Em primeiro lugar os experimentos devem ser,

obrigatoriamente, reprodutíveis por qualquer pessoa e em qualquer lugar, respeitadas as

condições e métodos empregados. Em segundo lugar, temos o princípio da falsificação,

isto é, toda proposição científica deve admitir experimentos que, caso não forneçam os

resultados esperados permitam refutar a hipótese levantada. Uma consequência

importante destes aspectos é que qualquer resultado inesperado exige o reexame

completo e minucioso das hipóteses e modelos construídos.

A Física é uma ciência que se baseia quase sempre na observação do fenômeno

natural e na identificação e medida das propriedades que o caracterizam.

Frequentemente, essas observações e medidas não são feitas diretamente pelos nossos

sentidos, mas através de equipamentos complexos, desenvolvidos para essa finalidade e

fruto, eles também, de experiências anteriores sobre o mesmo tema. A Física, ao mesmo

tempo em que busca a solução dos problemas fundamentais de como e porque as coisas

ocorrem ou são como são, busca, em primeiro lugar, responder às questões quando,

quanto, a que distância, de que tamanho dentre outras de igual teor. A ciência sempre

parte do mais simples para o mais complexo. Uma postura contrária, fatalmente

prejudicaria a análise e conduziria a um alto índice de erros.

Como ciência exata, a Física busca desvendar não apenas os aspectos qualitativos

dos mistérios da natureza, mas também os aspectos quantitativos. É fácil então entender

que a matemática é um instrumento essencial para o físico, pois a matemática é a

linguagem que permite expressar de modo exato, unívoco e universal as regularidades e

padrões de comportamento observados na natureza. Entretanto, o uso da chamada

intuição física é essencial, pois muitas vezes a essência de um fenômeno não pode ser

entendida apenas através de equações. Os princípios físicos fundamentais também

podem e devem ser entendidos sem auxílio da matemática.

A Física Teórica constrói modelos para explicar fenômenos observados

experimentalmente, procurando a partir deles, predizer os resultados de novos

experimentos. O critério final de sucesso é a concordância das previsões do modelo com

os resultados determinados de forma experimental. Isto cria uma interação e

realimentação permanente entre a experiência e a teoria, com desafios cada vez maiores

para a inteligência humana.

Percebe-se neste processo todo que a realização de medições é um aspecto muito

importante para a Ciência sendo parte fundamental da metodologia científica. Não

existe observação ou análise sem alguma forma de medição. Por este motivo, o

conhecimento das unidades de medida e dos instrumentos adequados ao tipo de medida

que se pretende realizar tem relevância prática fundamental. Além disto, qualquer

medição está sujeita a erros. Erros devido a defeitos do instrumento, erros devido à

falhas do operador e erros inerentes ao problema em foco. Disto, segue a importância de

se conhecer bem os instrumentos e métodos a serem utilizados bem como procurar

adquirir um bom embasamento teórico do fenômeno a ser estudado.



10

2. Teoria da Medida e dos Erros

Grandezas Físicas e Padrões de Medidas

Grandezas físicas são propriedades às quais podemos atribuir um valor impessoal,

ou seja, um valor numérico obtido por comparação com um valor padrão. Por exemplo,

duas grandezas físicas para um ser humano são: seu peso e sua altura. Quando dizemos,

por exemplo, que a altura de um homem é de 1,90 metros, queremos dizer que ele

possui uma altura 1,90 vezes o comprimento de um padrão (o metro) gravado em uma

barra metálica que está guardada em Sèvres, nos arredores de Paris, no Bureau

International dês Poids et Mesures. Repare que não medimos o homem e sim uma de

suas propriedades: a altura. Neste exemplo, o padrão (metro) define uma unidade da

grandeza comprimento: uma unidade padrão de comprimento chamada metro.

Generalizando, todas as grandezas físicas podem ser expressas em termos de um

pequeno número de unidades padrões fundamentais. Neste contexto, fazer uma medida

significa comparar uma quantidade de uma dada grandeza, com outra quantidade

definida como unidade padrão da mesma grandeza.

A escolha de unidades padrões de grandezas determina o sistema de unidades de

todas as grandezas usadas em Física. O sistema de unidades “oficial” usado pela maioria

dos cientistas e engenheiros denomina-se normalmente sistema métrico, porém desde

1960, ele é conhecido oficialmente como Sistema Internacional, ou SI (das iniciais do

nome francês Système International), porém, ainda existem outros sistemas de unidades

utilizados, como o CGS. O SI é baseado em sete unidades padrões fundamentais:

Grandeza Nome da Unidade Símbolo

Comprimento metro m

Massa quilograma kg

Tempo segundo s

Corrente elétrica ampère A

Temperatura termodinâmica kelvin K

Quantidade de substância mol mol

Intensidade luminosa candela cd

As unidades de outras grandezas como velocidade, força, energia e torque são

derivadas das sete grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas

grandezas:

Grandeza Dimensão Unidade

Velocidade m/s

Trabalho 1 N . m Joule (J)

Potência 1 J/s Watt (W)



11

Força 1 Kg . m/s2

Newton (N)

Aceleração 1 m/ s2

Densidade 1 kg/m3

No quadro abaixo também estão listados os prefixos dos múltiplos e submúltiplos

mais comuns das grandezas fundamentais, todos na base de potências de 10. Os prefixos

podem ser aplicados a qualquer unidade:

Múltiplo Pref

ixo

Símb

olo 10

12 tera T

109 giga G

106 meg

a

M

103 kilo k

10-2

cent

i

c

10-3

mili m

10-6

micr

o

μ

10-9

nan

o

n

10-12

pico p

Como exemplo de algumas ordens de grandeza do universo:

Próton 10-15

m , 10-27

kg

Átomo 10-10

m

Vírus 10-7

m , 10-19

kg

Gota de chuva 10-6

kg

Período da radiação da luz

visível

10-15

s

Terra 107

m , 1024

kg , 1017

kg

Sol 109

m , 1030

kg

Via-Láctea 1021

m , 1041

kg

Universo Visível 1026

m , 1052

kg , 1018

s

Medidas Físicas

As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias:

medidas DIRETAS e INDIRETAS. A medida direta de uma grandeza é o resultado da

leitura de uma magnitude mediante o uso de instrumento de medida, como por exemplo,

um comprimento com régua graduada, ou ainda a de uma corrente elétrica com um



12

amperímetro, a de uma massa com uma balança ou de um intervalo de tempo com um

cronômetro.

Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que

vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis. Como exemplo, a

medida da velocidade média v de um carro pode ser obtida através da medida da

distância percorrida ΔS e o intervalo de tempo t , sendo ⁄ .

Erros e Desvios

Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando

conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um

resultado diferente, dizemos que o valor observado está afetado de um erro, o qual pode

ser definido como:

ERRO Diferença entre um valor observado (Vobs) ao se medir uma

grandeza e o valor real (VReal) ou correto da mesma.

obs RealErro V V (1)

Conforme teremos oportunidade de estudar, obter o valor real da maioria das

grandezas físicas, através de uma medida, é quase impossível. Apesar de não podermos

encontrar o valor real de determinada grandeza, podemos estabelecer, através de

critérios que estudaremos oportunamente, um valor adotado que mais se aproxima do

valor real, como é o caso da aceleração da gravidade. Neste caso, ao efetuarmos uma

medida, falamos em desvios e não em erros.

O desvio é definido como:

DESVIO Diferença entre um valor observado (Vobs) ao se

medir uma grandeza e o valor adotado (Vadot) que mais se

aproxima teoricamente do valor real.

obs adotDesvio V V (2)

Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não com erros. Os

desvios podem ser apresentados sob duas formas:

Desvio - já definido

Desvio Relativo - é a relação entre o desvio absoluto e o valor adotado como o

mais próximo teoricamente do valor real desta grandeza.

Desvio Relativo adotado

Desvio

V (3)

O desvio relativo percentual é obtido, multiplicando-se o desvio relativo por

100%. Este desvio nos dá, de certa forma, uma informação a mais acerca da qualidade

do processo de medida e nos permite decidir, entre duas medidas, qual a melhor.



13

Classificação de Erros

Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o

instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe

uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma grandeza física com sua unidade.

Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias:

grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais.

Erros Grosseiros

Erros que ocorrem devido à imperícia ou distração do operador. Como exemplos,

podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo e erro de paralaxe. Devem

ser evitados pela repetição cuidadosa das medições.

Erros Sistemáticos

Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e em princípio, podem

ser eliminados ou compensados. Estes erros fazem com que as medidas efetuadas

estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão das

medidas. Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como:

• ao instrumento que foi utilizado, por exemplo, intervalos de tempo medidos com

um relógio que atrasa;

• ao método de observação utilizado, por exemplo, medir o instante da ocorrência

de um relâmpago pelo ruído do trovão associado;

• a efeitos ambientais, por exemplo, a medida do comprimento de uma barra de

metal, que pode depender da temperatura ambiente;

• a simplificações do modelo teórico utilizado, por exemplo, não incluir o efeito da

resistência do ar numa medida da gravidade baseada na medida do tempo de queda de

um objeto a partir de uma dada altura.

Erros Aleatórios ou Acidentais

Erros devidos a causas diversas, bem como a causas temporais que variam durante

observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua

imprevisibilidade, prejudicando a precisão das medidas. Podem ter várias origens, entre

elas:

• Instabilidades nos instrumentos de medidas;

• Erros no momento da medida como, por exemplo, uma leitura com precisão

maior do que aquela fornecida pela escala;

• Pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade,

fontes de ruídos, etc.).

Erros aleatórios podem ser tratados quantitativamente através de métodos

estatísticos, de maneira que seus efeitos sobre a grandeza física medida, podem ser, em

geral, determinados.

A distinção entre erros aleatórios ou sistemáticos é, até certo ponto, subjetiva,

entretanto, existe uma diferença clara, a contribuição dos erros aleatórios pode ser

reduzida pela repetição das medidas, enquanto àquela relativa a erros sistemáticos em

geral é insensível à repetição.



14

Incertezas

O erro é inerente ao processo de medida, isto é, nunca será completamente

eliminado. O erro poderá ser minimizado, procurando-se eliminar o máximo possível as

fontes de erro acima citadas. Portanto, ao realizar medidas é necessário avaliar

quantitativamente as INCERTEZAS nas medições (x ). Aqui devem ser diferenciadas

duas situações: a primeira trata de medidas diretas, e a segunda de indiretas.

Incertezas em Medidas Diretas

A medida direta de uma grandeza x com sua incerteza estimada pode ser feita de duas formas distintas:

a) Medindo-se apenas uma vez a grandeza x : neste caso, a estimativa de incerteza

na medida, x , é feita a partir do instrumento de medida utilizado e, o resultado será

expresso por:

x x

Obs: O sinal não indica que x pode ser tanto positivo como negativo (como no

caso 2 4, logo 2) x x , mas sim que o valor obtido na medida é único, porém,

devido à limitação do instrumento de medida, não é exatamente o valor lido, e pode ser

qualquer número do intervalo [ x x , x x ]. Se forem detectadas outras fontes de

erro, o valor de x deve ser incrementado com o valor estimado da contribuição do

referido erro.

b) Medindo-se N vezes a mesma grandeza x , sob as mesmas condições físicas. Os

valores medidos 1x , 2x , ..., Nx não são geralmente iguais entre si e descontando os

erros grosseiros e sistemáticos, as diferenças entre eles são atribuídas aos erros

aleatórios. Neste caso, o resultado da medida é expresso em função das incertezas

como: mx x x . Nesta representação, mx é o valor médio das N medidas e x é a

incerteza da medida e representa a variabilidade e a dispersão das medidas.

O valor de mx é calculado como: 1

N

im

i

xx

N

Existem outros parâmetros que podem representar os valores centrais em torno dos

quais estes dados se distribuem, tais como: a moda, a média quadrática e a mediana. A

escolha do parâmetro depende do tipo de distribuição dos dados e do sistema.

A incerteza pode ser determinada de várias formas. Neste curso, trabalharemos com

a incerteza absoluta e o desvio padrão.

Incerteza Absoluta:

1

| |

Nm i

i

x xx

N



15

Desvio Padrão:

2

1

( )

Nm i

i

x xx

N

Para um pequeno número de medidas, a incerteza (ou erro) associado a cada

medida será dada por:

2

1 1

Ni m

i

x xx

N

Outra grandeza importante é a incerteza relativa

m

x

x. Por exemplo, se uma

barra de aço tem comprimento dado por (2,5 0,5) m , significa que esse comprimento

está sendo comparado com o padrão denominado metro e que a incerteza associada à

medida é de 0,5 m . A incerteza relativa nesta medida é de 0,5

0,22,5

ou 20% .

Quando o número de medidas cresce indefinidamente, a distribuição de frequência

das medidas tende, usualmente, à distribuição de Gauss. Medidas diretas que se

distribuem segundo a distribuição de Gauss, tem a seguinte propriedade:

68,3% das medidas estão entre ( ) ( ) m mx e x

95,5% das medidas estão entre ( 2 ) ( 2 ) m mx e x

97,7% das medidas estão entre ( 3 ) ( 3 ) m mx e x

Dependendo do tipo de sistema, outros tipos de distribuições estatísticas podem ser

mais indicados, como por exemplo: a distribuição de Poisson, distribuição Binomial,

distribuição Gama, etc.

Os valores médios e os desvios padrões podem ser obtidos por programas de

ajustes, como por exemplo, o Origin e algoritmos do MATLAB, a partir de um

conjunto de medidas.

Incertezas em Medidas Indiretas

Geralmente é necessário usar valores medidos e afetados por incertezas para

realizar cálculos a fim de se obter o valor de outras grandezas indiretas. É necessário

conhecer como a incerteza na medida original afeta a grandeza final.

Propagação de incertezas

Nas medidas indiretas o valor da grandeza final dependerá das incertezas de cada

uma das grandezas obtidas direta ou indiretamente, bem como da forma da expressão

matemática utilizada para obtê-las.



16

Consideremos que a grandeza V a ser determinada esteja relacionada com outras

duas ou mais, através da relação: 1 1 2 2( , ,..., ) n nV f x x x x x x , onde f é uma

função conhecida de 1 1 2 2, ,..., n nx x x x x x .

Examinaremos então como se obtém a incerteza do valor da grandeza que se mede

indiretamente, em função das incertezas das medidas diretas.

Um método usualmente aplicado e que nos dá o valor de V , imediatamente, em

termos de 1 2, ,..., nx x x , é baseado na aplicação do cálculo diferencial:

1

n

i

i i

VV x

x

Uma derivada parcial, como por exemplo 1

V

x, é a derivada de V em relação a 2x ,

assumindo as demais n-1 variáveis (as demais grandezas diretas) constantes. Para

maiores detalhes, consulte livros de cálculo diferencial e numérico.

Os termos do tipo

i

V

x são chamados fatores de sensibilidade de V em relação a xi.

Outra equação encontrada na literatura (deduzida a partir do cálculo estatístico

considerando uma distribuição Gaussiana) é:

2

2

1

n

i

i i

VV x

x

Consideremos agora, um método mais imediato, envolvendo apenas operações de

álgebra elementar.

Soma ou subtração

Considerando as medidas de n grandezas: A, B, C, ..., e suas respectivas

incertezas:

, , ,

, , ,

A a a

B b b a b c valores medidos

C c c a b c incertezas absolutas

... S A B C

valor da soma

incerteza absoluta da soma

sS s s

r

MÉTODO I:

MÉTODO II:



17

Aplicando o MÉTODO I:

( ...) ( ...) s s a b c a b c

Aplicando o MÉTODO II:

2 2

2 2 2 2... ...

s ss a b a b

a b

Para o caso da subtração as expressões análogas são:

( ...) ( ...) d d a b c a b c

2 2

2 2 2 2... ...

d dd a b a b

a b

Outras operações

A multiplicação, a divisão, a radiciação e a potenciação, poderão ser englobadas na

fórmula monômio.

. . . F K A B C

Demonstra-se teoricamente (faça a derivada e analise) que, adotando o MÉTODO I

a incerteza absoluta f poderá ser colocada em função das incertezas absolutas das

grandezas que a compõem pela seguinte fórmula:

k a b cf f

k a b c

onde:

Constante que não depende da medida

A a a

B b b

C c c

K k k

. . . F f f f k a b c

Discussão sobre a constante K

A constante K poderá aparecer nas seguintes formas:

Número formado por quantidade finita de dígitos (número exato). Neste caso a

incerteza absoluta é nula.



18

Número que matematicamente comporte infinitos dígitos (irracional, dízima). Neste

caso a incerteza absoluta dependerá da quantidade de dígitos adotada. Se utilizarmos

uma calculadora que opere com dez dígitos, teremos = 3,141592654. O último

dígito foi arredondado pela máquina; está afetado por uma "incerteza" de uma

unidade (no máximo = 0,000000001).

Algarismos Significativos

A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o

operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no

número de algarismos que usamos para representar as medidas. Devemos utilizar só os

algarismos medidos ou calculados pela média que são confiáveis devido à precisão do

instrumento utilizado, admitindo-se apenas o uso de um único algarismo duvidoso. Por

exemplo, se afirmarmos que o resultado de uma medida é 3,24 cm estamos dizendo

que os algarismos 3 e 2 são precisos e que o algarismo 4 é o duvidoso, não tendo

sentido físico escrever qualquer algarismo após o número 4.

Algumas observações devem ser feitas:

1. Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo

diferente de zero. Assim, tanto 32,5l m como 20,325 10l x m representam a

mesma medida e têm 3 algarismos significativos. Outros exemplos:

4 = 0,4 x 10 = 0,04 x 102 = 0,004 x 103 (1 algarismo significativo);

0,00036606 = 0,36606 x 10-3 = 3,6606 x 10-4 (5 algarismos significativos).

2. Zero à direita de algarismo significativo também é algarismo significativo.

Portanto, 32,5l cm e 32,50l cm são diferentes, ou seja, a primeira medida têm

3 algarismos significativos, enquanto a segunda é mais precisa e têm 4 algarismos

significativos.

3. Quando for necessário fazer arredondamento de algum número utilizaremos a

seguinte regra: quando o último algarismo depois dos significativos for menor que

5 este é abandonado; quando o último algarismo for maior ou igual a 5 , somamos1

unidade ao algarismo significativo anterior. Exemplo:

8,234 cm é arredondado para 8,23 cm;

8,235 cm é arredondado para 8,24 cm;

8,238 cm é arredondado para 8,24 cm.

Operações com algarismos significativos:

1. Soma e subtração: Após realizar a soma, o resultado deve apresentar apenas um

algarismo duvidoso. Exemplo:

133,35cm – 46,7cm = 86,65cm = 86,7cm.

2. Produto e divisão: O resultado da operação deve ser fornecido com o mesmo

número de algarismos significativos do fator que tiver o menor número de

algarismos significativos. Exemplos:



19

32,74cm x 25,2cm = 825,048cm2 = 825cm2

37,32

5,00940 5,017,45

m m

s s

3. Algarismos significativos em medidas com incerteza: Suponhamos que uma

pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra l , tenha obtido os seguintes resultados:

Comprimento médio: 82,7390l cm;

Incerteza estimada: 0,538 l cm;

Como a incerteza da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido

fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por

diante. Ou seja, a incerteza estimada de uma medida deve conter apenas um algarismo

significativo. Os algarismos a direita deste, serão utilizados apenas para efetuar os

cálculos e arredondamentos ou simplesmente desprezados. Neste caso l deve ser expresso apenas por:

0,5 cml

Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso

porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3, 9

e 0 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos

são utilizados para efetuar os cálculos e arredondamentos ou simplesmente desprezados.

O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então:

(82,7 0,5) cml

Quando se trabalha com uma grandeza sem explicitar a sua incerteza é preciso ter

em mente a noção exposta no texto referente ao conceito de algarismo significativo.

Mesmo que não esteja explicitada, você sabe que a incerteza afeta "diretamente" o

último dígito de cada número. Para verificar esta afirmação sugerimos que assinale com

um traço todos os algarismos cuja ordem seja superior ou igual à ordem de grandeza da

incerteza. Considere algarismo significativo, os algarismos assinalados.

Exemplos:

a) 2186,3 1,7 186 1,86 10 ou x

b) 45,37 0,13 45,4 4,54 10 ou x

c) 425231 15 2,523 10 x

As operações que você efetuar com qualquer grandeza retornarão, como

resultado, números que tem uma quantidade "bem definida" de algarismos

significativos.



20

Exercícios

1) Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo:

a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32 x 106.

2) Aproxime os números acima para 3 algarismos significativos.

3) Efetue as seguintes operações levando em conta os algarismos significativos:

a) (2,5 0,6) cm + (7.06 0,07) cm;

b) (0,42 0,04) g/(0,7 0,3) cm;

c) (0,7381 0,0004) cm x (1,82 0,07) cm;

d) (4,450 0,003) m - (0,456 0,006) m.

4) Efetue as seguintes operações levando em conta os algarismos significativos:

a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m;

b) 0,052 cm/1,112 s;

c) 10,56 m – 36 cm.

5) As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 4 vezes e

os resultados estão colocados na tabela abaixo. Determine:

a) Os valores médios da massa, comprimento e largura da folha;

b) As incertezas absolutas das medidas da massa, comprimento e largura da folha;

c) Os desvios padrão das medidas de massa, comprimento e largura da folha;

d) As incertezas relativas das medidas da massa, comprimento e largura da folha.

Massa

(g)

Largura

(cm)

Comprimento

(cm) 4,51 21,0 30,2

4,46 21,2 29,8

4,56 20,8 29,9

4,61 21,1 30,1

6) Utilizando os resultados do exercício 5 e a teoria de propagação de erros, determine:

a) A área da folha e sua respectiva incerteza;

b) A densidade superficial da folha e sua respectiva incerteza.



21

3. Instrumentos de Medida

Introdução

Descreveremos em detalhes alguns dos instrumentos mais utilizados para medir

grandezas físicas de massa, tempo e comprimentos, com enfoque nos aparelhos

disponíveis no laboratório. São eles:

Grandeza Aparelho Precisão

Comprimento Régua 1 mm

Comprimento Paquímetro 0.1 mm

Massa Balança Digital -

Tempo Cronômetro 0,01s até 0,0001s

A precisão de um instrumento de medida corresponde à quantidade mínima da

grandeza física que o instrumento é capaz de diferenciar. Por exemplo, numa régua

centimetrada, a precisão é de 1cm.

O resultado de uma medida deve vir sempre na forma:

m m

Onde m é o valor medido na escala do instrumento e m é a incerteza associada á medida. Esta incerteza depende do aparelho utilizado e dos erros aleatórios ocorridos

durante a medida. Portanto, podemos escrever m como a soma de duas contribuições, e será chamada incerteza total:

aparelho aleatóriosm m m

O cálculo das incertezas aleatórias, como já foi mostrado, depende do número de

medidas e das operações envolvidas na obtenção da grandeza m. O cálculo de aparelhom

(incerteza do aparelho) depende do instrumento utilizado e há diversos critérios para

determiná-la (quando a mesma não for informada pelo fabricante). Nesse sentido, é

interessante classificar os aparelhos em analógicos e não analógicos. Esta classificação

surge em função da escala do aparelho, e da possibilidade de estimativa de incerteza,

conforme veremos a seguir.

Aparelhos Analógicos

Os instrumentos analógicos são aqueles onde a análise das escalas permite que o

algarismo duvidoso da medida seja avaliado. Neste caso, é usual adotar a incerteza da

escala como sendo a metade da precisão, ou seja:

1

precisão do aparelho2

aparelhom

Alguns exemplos são: réguas, multímetros, cronômetros, balança de braço e

termômetros.



22

A Régua Milimetrada

Instrumento capaz de medir comprimentos com a precisão máxima de milímetros.

O erro de escala é:

1

precisão do aparelho 0,52

aparelhom mm

Para entender a origem deste critério, considere, por exemplo, que desejamos medir

o tamanho de uma folha de papel usando uma régua milimetrada. Com o olho bem

treinado ou com o auxílio de uma lupa, e se os traços da marcação dos milímetros

inteiros da régua forem suficientemente estreitos, pode-se avaliar até décimos de

milímetro. Contudo, este procedimento pode não ser válido. Se uma régua é graduada

em milímetros é porque o material com que é feito pode resultar em variações do

comprimento total comparáveis com a sua menor divisão. Ou então, o próprio processo

de fabricação pode não ser seguro, dando variações comparáveis com a menor divisão.

Nestes casos, supor a régua exata e avaliar décimos de milímetro pode se irrealista. Por

outro lado, arredondando até o milímetro inteiro mais próximo pode acarretar perda de

informação. Assim, avaliar a incerteza em metade da precisão é um meio termo

aceitável. É importante notar que esta incerteza corresponde na verdade ao erro máximo

que pode ser cometido utilizando uma régua milimetrada, excluindo-se os erros

aleatórios. A figura abaixo mostra um exemplo de leitura utilizando uma régua.

Figura 2- Exemplo de uma medida feita com régua milimetrada .

Neste caso podemos avaliar o comprimento da barra em 8,36 cm. Assim, os

algarismos exatos são 8 e 3, ao passo que o duvidoso é 6, uma vez que sua obtenção

surgiu de uma apreciação do experimentador. Portanto, o resultado final da medida deve

ser l=(8,36 0,05) cm. Se utilizássemos um paquímetro poderíamos obter para a grandeza em foco um valor de 8,371 cm. Neste caso, quais os algarismos duvidosos e

quais os exatos? Já um micrômetro nos permitiria obter um valor que poderia ser 8,3713

cm.

Balanças Tri-escala

A balança tri-escala é assim denominada porque possui três escalas: uma graduada

em gramas, outra em dezenas de gramas, outra em centésimos de gramas. Assim o

resultado de uma medida com esta balança pode ser apresentado com algarismos até a

casa do milésimo da grama, sendo este algarismo duvidoso. A precisão da balança é na

casa do centésimo de grama. Antes de fazer uma medida com a balança, deve-se

verificar se a mesma está zerada. Para isto, sem nenhum objeto no prato da balança,

deve ser verificado se, ao colocar os pesos das escalas nos zeros das mesmas, o ponteiro

situado na extremidade do braço da balança está apontando para o zero de uma escala

vertical, situado nesta extremidade. A inclinação do braço da balança pode ser ajustada



23

girando um parafuso situado na base da balança. A balança deve ser zerada para evitar

erros sistemáticos nas medidas.

Ao pesar um objeto colocando-o no prato da balança, o braço desta ficará

levantado, sendo necessário posicionar os pesos das escalas de forma que o ponteiro

volte para o zero da escala vertical. Assim feito, os números nas escalas, indicados pelos

pesos das escalas, poderão ser lidos.

Como exemplo, a leitura feita na figura abaixo (e indicada pelas flechas) seria de

165,345 0,005 m g , onde 0,005 g corresponde á incerteza da medida.

Figura 3 - Balança tri-escala.

Aparelhos não Analógicos

Aparelhos Digitais

Os aparelhos digitais não permitem que o erro de escala seja avaliado: o algarismo

duvidoso é simplesmente lido no display do aparelho, ou conforme especificado pelo

fabricante. Usualmente, o erro corresponde ao menor valor que o aparelho pode medir:

precisão do aparelho aparelhom

Alguns exemplos de aparelhos digitais são: o cronômetro digital, termômetro

digital e multímetro digital.

Cronômetros Digitais:

Cronômetros são aparelhos que medem intervalos de tempo e cuja precisão

depende do fabricante. Os cronômetros utilizados neste curso apresentam um display

digital com intervalos de tempo no formato:

XX 'XX XX‟‟ XX‟”

horas minutos segundos décimos de segundos

Portanto, o último dígito de precisão encontra-se na casa dos centésimos de

segundo. Assim, o erro de escala deste aparelho corresponde à menor medida que o

mesmo pode fazer, ou seja:

0,01 aparelhom s



24

Desta forma, um exemplo de leitura com display indicando 0201 significa (2,01 0,01) s.

Obs: Lembre-se quando o cronômetro for acionado manualmente, deve ser incluído

também o tempo de reação humano, que é de aproximadamente 0,1 s para cada

acionamento.

Multímetro

Multímetros digitais são aparelhos que medem várias grandezas elétricas, como:

resistência, tensão, corrente, capacitância, indutância, tensões de junções de diodos e de

transistores, etc. Os multímetros apresentam um display digital e várias escalas para

cada função, que podem ser selecionadas por um cursor. Para perfeita utilização.

Para o caso do multímetro, existem duas fontes de erro possíveis:

a) O último algarismo (z) pode flutuar em torno do valor mais estável e neste caso a

incerteza devido à flutuação é calculada, estimando-se a flutuação média em torno

do valor mais provável do último algarismo, da seguinte forma:

max min( ) / 2 fx z z

O limite de erro instrumental ( ix ) fornecido pelo fabricante que possui a forma:

% algarismo ix a da leitura b dígitos no último

A incerteza absoluta resultante das duas contribuições é:

f ix x x

Como exemplo, se uma leitura mais estável no amperímetro foi 33,04 mA e flutuou

entre 33,02 e 33,05 mA na escala de 200 mA, que por sua vez, possui uma incerteza de

0,05% da leitura + 2 dígitos, então:

(0,05 0,02) / 2 0,015

0,0005 33,03 0,02 0.036515

0,015 0.036515 0,051515 0,05

f

i

x

x

x

O valor da medida é então: 33,04 0,05 i mA.

Aparelho com Nônio: Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares internas,

externas e de profundidade de um corpo. Consiste em uma régua graduada, com encosto

fixo, sobre a qual desliza um cursor. O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre

movimentação, com um mínimo de folga. Para muitas medidas com escalas graduadas é

desejável estimar-se uma fração da menor divisão das mesmas. Existe um dispositivo

que aumenta a precisão desta estimativa: o nônio ou vernier (acoplado ao cursor). Esta

escala especial foi criada por Pierre Vernier (1580-1637), para obter medidas lineares

menores que a menor divisão de uma escala graduada.



25

Figura 4 - Paquímetro.

O nônio ou vernier nos permite efetuar a leitura de uma fração da menor divisão de uma

régua ou escala graduada. Ele é constituído de uma pequena escala com N divisões de

valores conhecidos, que se move ao longo da régua principal, porém relacionam-se entre si de

uma maneira simples. Por exemplo, considere um paquímetro possuindo um nônio com N =

10 divisões que correspondem, em comprimento, a 9 divisões da escala principal. Cada

divisão do nônio é mais curta que a divisão da escala principal de 1

N da divisão desta escala.

Figura 5 - Representação do Nônio.

Neste caso, a primeira divisão do nônio é 1

10 mais curta que a divisão da escala

principal. A segunda divisão do nônio está a 2

10 de divisão a esquerda da próxima marca da

escala principal, e assim por diante, até a décima marca do nônio coincida com a nona marca

da escala principal. Se a escala Vernier é movida para a direita até que uma marca sua

coincida com uma marca da escala principal, o número de décimos de divisões da escala

1. Orelha fixa

2. Orelha móvel

3. Nônio ou vernier (polegada)

4. Parafuso de trava

8. Encosto fixo

9. Encosto móvel

10. Bico móvel

11. Nônio ou vernier (milímetro)

12. Impulsor



26 principal que a escala do nônio se deslocou é o número de divisões do nônio, n, contadas

a partir de sua marca zero até a marca do nônio que coincidiu com uma marca qualquer da

régua principal. Um exemplo de leitura é mostrado na figura abaixo, na qual o comprimento

l corresponde a (12,4 0,1) mm , onde neste caso, a incerteza do aparelho corresponde à precisão do mesmo.

Para se obter bons resultados na medição:

1. O contato dos encostos com as superfícies do objeto deve ser suave. Exageros na pressão

do impulsor podem danificar o objeto e resultar em medidas falsas.

2. Manter a posição correta do paquímetro relativamente ao objeto. Inclinações do

instrumento alteram as medidas.

3. Antes de efetuar as medições, limpar as superfícies dos encostos e as faces de contato do

objeto.

4. Medir o objeto a temperatura ambiente. As possíveis dilatações térmicas acarretam erros

sistemáticos.

Ao fazer a leitura, orientar a visão na direção dos traços e perpendicular a linha

longitudinal do instrumento.

Em nosso laboratório o paquímetro possui um nônio com N = 20 divisões que

correspondem, em comprimento, a 39 divisões da escala principal. A precisão do mesmo é de

0,05 m, que corresponde ao valor da incerteza.

Exercício em Grupo: Medidas de Densidade Superficial

Materiais: Folha, Régua, Paquímetro e Balança.

1. Densidade superficial de uma folha.

a) Cada aluno do grupo deve medir, utilizando uma régua milimetrada, as dimensões L1 e L2

da folha;

b) Fazer a média das medidas de L1 e L2 , com seus respectivos erros totais 1L e 2L ;

c) Determinar a área média (A) da folha, com sua incerteza A .

d) Cada aluno do grupo deve medir a massa da folha com a balança;

e) Fazer a média das medidas da massa (m) da folha e obter a incerteza total (m );

f) Obter a densidade superficial da folha (ρ), com a respectiva incerteza ( ).

12

0

0 10 20 30 40

3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 l

mm

4 - traço coincidente

Nônio

Figura 6- Exemplos de medidas utilizando um paquímetro.



27 2. Repetir as medidas do item 1, com o paquímetro.

3. Comparar a densidade superficial média da folha (com sua respectiva incerteza total)

obtida utilizando a régua milimetrada e o paquímetro.

Use as tabelas abaixo para expressar as medidas e os cálculos:

Medidas da densidade superficial (ρ) da folha:

Régua Paquímetro Balança

L1 (cm) L2 (cm) L1 (cm) L2 (cm) m (g)

Cálculos:

Tipos de cálculos Régua Paquímetro Balança

L1 (cm) L2 (cm) L1 (cm) L2 (cm) m (g)

Valor médio

Incerteza absoluta

Desvio Padrão

Incerteza Total*

A incerteza devido aos erros aleatórios deve ser escolhida entre a incerteza absoluta ou

desvio padrão.

Resultados finais:

Régua Paquímetro

A (cm2) A (cm2) A (cm

2) A (cm2)

Δ(cm2) (g/cm2) Δ(cm2) (g/cm2)



28

4. Gráficos

Introdução

Um gráfico é uma curva que mostra a relação entre duas variáveis medidas. Quando, em

um fenômeno físico, duas grandezas estão relacionadas entre si o gráfico dá uma ideia clara

de como a variação de uma das quantidades afeta a outra.

Assim, um gráfico bem feito pode ser a melhor forma de apresentar os dados

experimentais. Ao realizarmos uma medida sugere-se colocar num gráfico todos os pontos

experimentais e traçar curvas que se ajustem o mais aproximadamente possível a esses

pontos. A forma dessas curvas pode auxiliar o experimentador a verificar a existência de leis

físicas ou leva-lo a sugerir outras leis não previamente conhecidas.

Muitas vezes nos defrontaremos com o problema de encontrar uma função que descreva

apropriadamente a dependência entre duas grandezas medidas no laboratório. Algumas das

curvas mais comuns são: a reta, parábolas, exponenciais, senóides, etc.

Construção de Gráficos

Há algumas regras básicas que devem ser seguidas na construção de gráficos:

1. Colocar um título, especificando o fenômeno físico em estudo, que relaciona as grandezas

medidas;

2. Escrever nos eixos coordenados as grandezas representadas, com suas respectivas

unidades. A escala deve conter a informação do número de algarismos significativos das

medidas. No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente, isto é, a

variável cujos valores são escolhidos pelo experimentador, e no eixo vertical é lançada a

variável dependente, ou seja, aquela obtida em função da primeira;

3. Em geral, a relação de aspecto (altura/largura) deve ser menor do que 1, pois o gráfico

será de mais fácil leitura (por esta razão é que a tela de cinema e a da televisão tem relação

de aspecto menor do que 1);

4. Se possível cada eixo deve começar em zero;

5. Escolher escalas convenientes tais que facilitem tanto a construção quanto a leitura dos

gráficos. A escala deve ser simples e sugere-se adotar valores múltiplos ou submúltiplos

de números inteiros;

6. A escala adotada num eixo não precisa ser igual à do outro;

7. Escolher escalas tais que a curva cubra aproximadamente toda a folha disponível do papel

do gráfico;

8. Deve-se ter o cuidado de nunca assinalar na escala as coordenadas dos dados

experimentais;

9. Marque cada um dos pontos do gráfico, cuidadosamente e claramente, escolhendo para

isto um símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou

um quadradinho) com um pontinho no centro. Nunca marque os pontos apenas com um

pontinho do lápis;



29 10. Marque claramente as barras de erro em cada ponto. Se o erro for muito pequeno para

aparecer na escala escolhida anote ao lado: as barras de erro são muito pequenas para

aparecer na figura.

Figura 7 – Gráfico mostrando os dados experimentais e a curva traçada.

Quando todos os pontos experimentais já estiverem marcados no gráfico, resta traçar a

curva. Esta não precisa passar sobre todos os pontos; de fato, é possível que a curva não passe

por nenhum ponto do gráfico. Sendo assim, não é necessário que a curva tenha início no

primeiro e termine no último ponto experimental. A figura 7 mostra um exemplo de dados

experimentais cuja dependência é caracterizada por uma parábola. Os quadrados (▪)

representam os dados experimentais e sua dispersão é devida aos erros cometidos durante a

experiência. A linha contínua representa a curva que melhor descreve a dependência

quadrática da grandeza x com a grandeza y.

Gráficos e Equações Lineares

A seguir trataremos apenas de grandezas físicas (x e y) relacionadas por uma função y =

f(x) = ax + b, com a e b constantes, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

O coeficiente angular corresponde à inclinação da reta, ou seja, / a y x , enquanto

que o coeficiente linear b é obtido pela interseção da reta com o eixo y (veja Figura 8).

Figura 8 – Determinação dos coeficientes a e b da curva y.



30 Alguns exemplos típicos são:

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU):

Neste caso têm-se duas grandezas físicas (posição x e tempo t) relacionadas pela função

linear:

0 0 x v t x ,

onde 0v é a velocidade do corpo (constante) e 0x sua posição inicial. Portanto, lançando num

gráfico os pontos medidos de t (no eixo x) e x (no eixo y), conforme a Figura 9, teremos o

coeficiente angular correspondente a 0v e o coeficiente linear a 0x .

Figura 9 – Exemplo de gráfico do movimento retilíneo uniforme.

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV):

Neste tipo de movimento temos duas grandezas físicas: tempo t e velocidade v de um corpo sujeito a uma aceleração constante a , descrito pela função:

0 v at v

Neste caso, a construção de uma reta com eixo x correspondendo ao tempo t e a velocidade v ao eixo y, implicará que os coeficientes angular e linear fornecerão os valores

da aceleração a e da velocidade inicial 0v do movimento, respectivamente.

A seguir, descreveremos dois métodos que nos permitem determinar estes coeficientes a

partir dos dados experimentais.

Métodos de Determinação dos Coeficientes a e b

Conforme já foi mencionado, será comum em laboratório nos defrontarmos com medidas

de grandezas correlacionadas com as quais não temos uma relação estabelecida. Nestes casos

quase sempre a primeira atitude é buscar através de gráficos uma lei simples ligando uma



31 grandeza à outra. Aqui apresentaremos dois métodos para determinar esta relação no caso

de uma dependência linear, a partir de dados experimentais.

Método Gráfico

Este método permite estimar os parâmetros de uma reta e é recomendado quando não

se dispõe de calculadora ou computador para realização de cálculos. As únicas ferramentas

necessárias são: um lápis (ou caneta) e uma régua (de preferência transparente).

Para ilustrar o método, consideremos os dados representados na figura 10.

Figura 10 – Pontos experimentais e reta média.

Siga os passos abaixo:

1. Estime o centro de gravidade dos pontos ( , )x y , onde min max( ) / 2 x x x e

min max( ) / 2 y y y . Os índices min e max referem-se aos valores mínimos e

máximos de x e y medidos. As retas, vertical e horizontal, que passam por este ponto

divide o gráfico em quatro quadrantes. No exemplo da figura 10, os dados estão

metade no quadrante 1 e metade no quadrante 3.

2. Coloque a ponta do lápis no ponto ( , )x y e apoie a régua no lápis.

3. Gire a régua em torno do ponto ( , )x y até que 50% dos pontos de cada quadrante

estejam por cima, e 50% abaixo da régua. (Note que mais de uma reta satisfazem esta

condição e você deve escolher uma média.) Trace a reta média. A reta não

necessariamente precisa passar por todos os pontos e nem pelos pontos iniciais e

finais. A equação desta reta será:

y = mx + b

1º. Quadrante 2º.

Quadrante

3º. Quadrante

4º. Quadrante



32 Coeficiente Angular (m) e Linear (b) da Reta Média

Para avaliar o coeficiente angular da reta média escolha dois pontos sobre a reta, como

sugerido na figura 11 (pontos P e Q).

Figura 11 – Determinação do coeficiente angular da reta média.

Os pontos P e Q não são pontos experimentais e devem ser escolhidos em uma posição

fora da região delimitada pelos dados experimentais. O coeficiente angular da reta será dado

por:

P Q

P Q

Y Ym

X X

O coeficiente linear (b), por sua vez, permanece, sendo, simplesmente, o ponto em que a

reta toca o eixo y.

Incertezas dos coeficientes das retas médias

Método Gráfico

Para estimar a incerteza no coeficiente angular da reta média, considere as duas diagonais

do quadrilátero ABCD como mostra a figura 12. Para obter os segmentos de reta AB e CD

proceda da seguinte forma. Assinale em cada janela de incerteza, o vértice mais distante da

reta média. Esse procedimento vai gerar um conjunto de pontos acima e abaixo da reta média.

O conjunto de pontos que ficou acima permite traçar uma reta média auxiliar e determinar o

segmento AB pela interseção desta reta com as verticais que passam por Xi e Xf. O segmento

CD é obtido de forma análoga.



33

Figura 12 – Procedimento gráfico para obtenção dos coeficientes da reta média.

Então é possível calcular m e b , a partir das duas diagonais do quadrilátero ABCD:

max min

max min

( )

2

( )

2

m mm e

b bb

onde mmax = (YB - YD)/(Xf - Xi) e mmin = (YC – YA)/(Xf - Xi); bmax e bmin são as extrapolações

das duas diagonais até o eixo y.

Método dos Mínimos Quadrados

O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é importante, pois ao contrário

do método gráfico, é independente da avaliação do experimentador.

Este método consiste em minimizar o erro quadrático médio (S) das medidas. Considere

então um conjunto de N medidas ( , )i ix y , com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é

definido como:

2

1 1

( )

N N

i ii i

S S y y ,

onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x + b). O objetivo é somar os iS das N medidas e

traçar uma reta que torne a soma dos iS mínima. Matematicamente isso corresponde a

0

S

a e 0

S

b. É razoável acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar

entre todos os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos

parâmetros a e b . O resultado é:



34

1 1 1

2 2

1 1

( )

N N N

i i i i

i i i

N N

i i

i i

N x y x y

a

N x x

e

2

1 1 1 1

2 2

1 1

( )

N N N N

i i i i i

i i i i

N N

i i

i i

N x y x y x

b

N x x

,

onde usou-se a notação de somatório: 1 2

1

...

N

i N

i

x x x x .

Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear

Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme efetuado por um carrinho no

laboratório. Foram medidos tanto sua posição x (em metros) quanto o tempo t (em segundos)

e os resultados estão conforme a tabela abaixo. Construa o gráfico que representa o

movimento e determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos

mínimos quadrados e o método gráfico.

Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a construção de uma tabela,

conforme indicado abaixo, lembrando qu aqui o eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à

posição x:

x(s) y(m) xy x2

0,100 0,51 0,051 0,0100

0,200 0,59 0,12 0,0400

0,300 0,72 0,22 0,0900

0,400 0,80 0,32 0,160

0,500 0,92 0,46 0,250

x = 1,500 y = 3,54 xy=1,17 x2 = 0,550



35 Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a e b e

lembrar que neste caso temos N = 5 medidas:

2

5 1,17 1,500 3,54 0,541,08 / 1,1 /

5 0,550 (1,500) 0,50

x xa m s m s

x

2

0,550 3,54 1,17 1,500 0,200,40

5 0,550 (1,500) 0,50

x xb m

x

Portanto, temos 0v = 1,1m/s e 0x = 0,40m.

Para construir a curva, basta atribuir pelo menos dois valores para t e encontrar os correspondentes x . Verifica-se que x = 0,30s e y = 0,71m. Com este centro de gravidade

determina-se conforme a figura anterior os valores 0v = 1,0m/s e 0x = 0,40m. Observe a

concordância dos dois métodos.

Exercícios

1) Na Tabela abaixo estão apresentadas as posições sucessivas de um certo objeto, em

movimento retilíneo e uniforme.

Tempo(s) 0,01 0,14 0,20 0,32 0,44 0,52 0,64

Posição (mm) 4 879 895 919 949 964 970

Marque os pontos em papel milimetrada, trace a reta média e obtenha a velocidade do

objeto. A seguir desenhe as barras de incerteza e obtenha v v pelo método gráfico.

Obs: As barras de erro ou incerteza indicam a faixa de valores prováveis para a grandeza

medida.

2) Estudando o movimento de um carrinho, efetuado ao longo de um trilho de ar (movimento

retilíneo uniforme) obteve-se os seguintes dados experimentais, após:

Posição (mm) 1t (s) 2t (s) 3t (s) 4t (s) 5t (s)

879 0,1400 0,1500 0,1400 0,1200 0,1200

895 0,2000 0,2200 0,2400 0,2500 0,2000

919 0,3200 0,3300 0,2900 0,3400 0,3300

949 0,4400 0,4500 0,4600 0,4600 0,4500

964 0,5200 0,5200 0,5100 0,5300 0,5900

970 0,6400 0,7200 0,7000 0,6900 0,6000



36 Acima uma posição para o sensor de medida no trilho foi escolhida e então mediu-

se o tempo gasto pelo carrinho para atingi-lo. Esta medida foi feita 5 vezes, correspondendo

aos valores 1t , 2t , 3t , 4t e 5t . Em seguida repetiu-se o procedimento para outras 5 posições do

sensor ao longo do trilho.

Determine utilizando o método dos mínimos quadrados a velocidade do carrinho e sua

posição inicial com os erros associados.



37

ROTEIROS E FOLHA DE DADOS

5. Primeira Sequência de Experiências

Experiência 1: Estudo de Cinemática Utilizando Colchão de Ar

Objetivos

Reconhecer o movimento retilíneo uniforme (MRU) e o uniformemente variado (MRUV);

Obter a velocidade média de um corpo em movimento retilíneo de translação a partir do

gráfico de distância percorrida em função do tempo;

Obter a aceleração média de um corpo em movimento retilíneo de translação a partir do

gráfico da velocidade em função do tempo;

Entender a diferença experimental entre medidas instantâneas e médias.

Materiais Necessários

Um colchão de ar com elevação através de fuso milimétrico;

Um carro com imã, haste e mola com suporte na cabeceira esquerda;

Quatro massas acopláveis de 0,5 N;

Um computador para ser utilizado como cronômetro digital;

Dois sensores fotoelétricos.

Procedimento Experimental

Parte 1 – MRU

1. Para os procedimentos experimentais de 2 a 15, observe a Figura 1.

2. Cuidado: Não arraste o carro sobre o trilho com o colchão de ar desligado.

3. Com o colchão de ar sem inclinação, colocar o imã na extremidade direita do carro e 04

pesos de 50 N sobre este, conforme Figura 1.

4. Coloque a extremidade esquerda do carro sobre a posição 250 mm da escala (800 mm na

escala do outro lado). O primeiro sensor deve ser posicionado de forma a que a sombra da

haste lateral do carro esteja sobre o buraco do mesmo, quando o carro se encontrar na

posição descrita.

5. Coloque a extremidade esquerda do carro sobre a posição 300 mm da escala. Utilize a

sombra da haste lateral do mesmo para posicionar o segundo sensor. Determine a

incerteza na medida da posição por este método.

6. Ligue o colchão de ar e verifique se o fluxo de ar é suficiente para eliminar o atrito entre o

carrinho e o trilho, se não, regule com cuidado a bomba de ar.



38 7. Use o medidor de nível para verificar se o trilho está nivelado, se não, realize os

ajustes necessários.

8. Posicione o carro de forma a que o imã em sua extremidade direita fique encostado

exatamente no centro da bobina posicionada na extremidade direita do trilho. Quando

solto nesta posição o carro não deve se mover.

9. Um dos integrantes do grupo deve posicionar-se junto ao computador e colocar o

cronômetro do experimento para funcionar.

10. Dispare o carro da posição anterior usando o botão de acionamento da bobina. Verifique

se o carro não está “pulando” ao ser lançado pela bobina, se o movimento não for

horizontal desde o inicio chame o professor.

11. Anote o tempo que o carro levou para percorrer a distância entre os sensores.

12. Após o carro chegar ao outro lado do colchão, pare o movimento e retire o carro.

13. Repita os procedimentos 3 até 11, quatro vezes, anote os tempos obtidos na Tabela 1. O

desvio padrão destas medições será adotado como a incerteza no tempo.

14. Mova o segundo sensor 50 mm na escala (para 350 mm). Repita os procedimentos 8 a 13

para esta nova distância, depois aumente a distância mais 50 mm ... repita até que a

posição final do segundo cursor seja de 600 mm.

15. Anote os valores obtidos na Tabela 1.

Parte 2 – MRUV

1. Substitua o imã no carro por um componente metálico, de forma a que a bobina passe a

atrair ao invés de repelir o carro. Você também pode optar por segurar o carrinho, no

movimento inicial.

2. Incline a rampa em torno de 10 graus. Avalie a incerteza no ângulo medido.

3. Coloque a haste o mais próximo possível do primeiro sensor, no movimento inicial, para

garantir que vo ~ 0 m/s. Isto simplificará os cálculos de velocidade instantânea.

4. Refaça as medições em analogia com a parte 1 deste roteiro. Preencha a Tabela 2.

Figura 1 – Montagem experimental do colchão de ar.

Ímã

Pesos

Colchão de ar

1º Sensor

Carrinho



39 5. Obtenha uma equação para as velocidades instantâneas, utilizando as equações

abaixo. Obtenha, deste cálculo, uma expressão para as incertezas nas velocidades.

Lembre-se que vo ~ 0 m/s.

0

2

0 02

v v a t

a tx x v t

6

teoria, roteiro e folha de dados...semana 2: teoria da medida e dos erros; semana 3: gráficos...

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