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Teoria do Escoamento Compressível J. R. Simões Moreira 23

CAPÍTULO 2 – Escoamento Unidimensional e Quase-unidimensional

Velocidade do som e número de Mach – suponha que

uma onda de pequena amplitude se propaga em um

meio fluido em repouso na condição indicada como 1

na ilustração abaixo. Ao se movimentar (da direita para

a esquerda na figura), o pequeno sinal de pressão

modifica levemente as propriedades do meio 2. Para

efeito de análise considere que o observador se

movimenta junto com a onda, de forma que ele “vê” o

fluido no estado 1 caminhando em direção a ele com

velocidade c. Considerando que o escoamento é

unidimensional e em regime permanente.

A lei unidimensional da conservação de massa pode ser escrita como:

dccdc ou

d

dcc

onde, o produto de infinitésimos dc. d foi desprezado (2ª ordem).

Analogamente, utilizando a equação da quantidade de movimento

22 dccddPPcP

Distribuindo-se o quadrado perfeito,

])(2[])(2[ 22222 dccdccddccdccdPPcP

Expandindo-se a equação,

cdcddccdccdPPcP 22 222

Após desprezar o produto de diferenciais e substituindo

cddc , tem-se:

c

P

T

c +dc

P+dP

+d

T+dT

1 2

onda de pequena

amplitude

0 0

0


d

dPc 2

No processo de propagação deste pequeno sinal sonoro (acústico), o meio sofre

perturbações infinitesimais, de forma que se pode considerar um processo reversível, isto

é, isoentrópico. Assim, deve-se acrescentar o índice “s” à derivada para indicar a condição

de reversibilidade, de forma que

s

Pc

2 (2.1)

De forma alternativa, a expressão de velocidade do som pode ser obtida para um processo

isoentrópico como:

dss

Pd

PdPsPP

s

,

define-se como 2c

lembrando (pág.) da definição de compressibilidade isentrópica s

sP

1, tem-se

s

c

1 (2.2)

Assim, um fluido incompressível 0s tem uma velocidade do som infinita.

s

s Pv

vPc

22

; v

1

Derivada fundamental da dinâmica dos gases

Tomando-se a derivada de 2c com relação a P , com s = const.

0


1

22

2

2

3

42

ssP

v

v

cv

P

c (2.3)

Define-se a “derivada fundamental da dinâmica dos gases" (ver Thompson, pág. 252).

sP

v

v

c

2

2

3

4

2 (2.4a)

Através de manipulação de propriedades, também pode-se mostrar que

sv

P

c

v

2

2

2

3

2 (2.4b)

Ao longo de uma linha de corrente, a eq. (14f) pode ser escrita como: (sem efeitos

gravitacionais)

0uduvdP (2.5)

também, 2

2dc

c

PdP

s

Por outro lado, das eqs. (2.3) e (2.4), tem-se: 2112 dcvdP

, o que subst. na eq.

(2.5), resulta em

01

cdcudu

(2.6)

Por definição, o número de Mach é c

uM , de forma que em termos diferenciais tem-se

c

dc

u

du

M

dM (2.7)

ou, introduzindo a derivada fundamental e utilizando (2.6), tem-se:


2)1(1 M

MdM

u

du

(2.8)

Se M 1 aumenta monotonicamente com a velocidade.

Para um gás perfeito, é fácil mostrar que:

2

1

(2.9)

uma vez que a razão entre calores específicos é sempre maior ou igual à unidade, ou seja,

11 . Num gás perfeito, a derivada fundamental é também sempre maior (ou

igual) à unidade. Entretanto, é possível que assuma valores menores que a unidade e até

negativos para gases reais. Nesse caso, alguns fenômenos poucos usuais podem ocorrer,

tais como a não formação de ondas de choque e a possível formação de ondas de choques

de expansão. Isto será discutido mais adiante (veja também o artigo do autor nos Anexos

intitulado: Comportamento Termodinâmico de Substâncias de Complexidade Molecular

Elevada – apresentado ao III CIDIM - 1997)

Voltando para a expressão de (eq. 2.4), nota-se que é diretamente proporcional à

curvatura de uma linha isoentrópica no diagrama P-v, cujo sinal (2º derivada) indica-se a

concavidade se a linha isoentrópica é positiva, negativa ou se é um ponto de inflexão. Tal

comportamento ocorre próximo à região crítica.

Fonte: Thompson (1988)


Velocidade do som em Gás Perfeito – combinando a eq. (1.6b) com a definição dada pela

eq. (2.1), obtém-se:

RTc

PPconstconst

Pc

s

12

(2.10)

É importante lembrar que R é a constante particular do gás em estudo. Esta simples relação

indica que a velocidade do som em um gás perfeito é função apenas da temperatura e da

natureza do Gás ),( M .

A tabela 1 indica valores selecionados da velocidade do som à temperatura ambiente

(Thomson).

Tabela 1 – Velocidade do som

Substância c (m/s)

H2 1,405 1320

He 1,667 1020

Ar 1,400 347

U238

F6 1,200 92,4

Elétrons

(nuvem )

1,667 87400

ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL E QUASE-UNIDIMENSIONAL

EM REGIME PERMANENTE

Em muitas situações o escoamento pode ser tratado como tendo apenas uma dimensão em

que as propriedades variam significativamente. Tal é o caso de escoamento em um dutos

retos e através de ondas de choque normais. Esta é a modelagem unidimensional. Verifica-

se também que pode ocorrer situações (como escoamento em bocais com comprimento

dominante face ao diâmetro) em que, embora o duto não tenha uma área variável, o


escoamento pode ser aproximado como sendo unidimensional. Este é o chamado

escoamento quase-unidimensional.

Equação da conservação de massa unidimensional

Seja o volume de controle fixo, 0

b . Da equação (1.8) para regime permanente, tem-se:

222111 AA (2.11)

Equação da conservação da energia unidimensional

Da equação (1.10), considerando a definição de entalpia específica, sem geração interna de

calor, isto é, 0q e volume de controle fixo, 0

b , permitindo apenas uma troca de

calor (por unidade de massa) 0q , tem-se:

2

1

2

2122

1uuhhq (2.12a)

se o escoamento for adiabático, isto é, 0q , tem-se:

consthuhuhh oo 2

2

22

2

1112

1

2

1 (2.12b)

já considerando a definição da entalpia específica de estagnação. Dessa forma, vê-se que a

entalpia específica de estagnação permanece inalterada no escoamento unidimensional,

desde que não ocorra trocas de calor e também sem geração interna.

21 oo hh (2.12c)

A entalpia de estagnação também é considerada a

entalpia de reservatório, em que o volume é muito

grande de tal forma que a velocidade u é nula.

Considerando novamente (2.12b) e assumindo um gás

perfeita com dTCdh p , ainda pode-se obter a seguinte

expressão:


00 ududTCududh p , que integrando para Cp const. obtém-se:

0

2 .2

1TCconstuTC pp (2.12d)

Note que a equação da energia estabelece que a entalpia de estagnação permanece

constante, com isso também mostra-se que:

0201 TT (2.12e)

Isto é a temperatura de estagnação também é constante. Nesse desenvolvimento, admitiu-

se que a entalpia de referência é nula para uma dada condição de temperatura).

(veja comentários nas páginas 44 e 45 de Liepmann e Roshko)

Da segunda lei:

00102 ss processo isentrópico

processo irreversível

usando as relações de G. P (página 6), tem-se

01101

02

02

01

0102

T

TnC

P

PnRss p (2.12f)

Uma vez que 0201 TT no caso do escoamento adiabático, tem-se

102

01 P

P (2.12g)

ou

01

02

0102 1P

PnRss (2.12h)


Também, os processos de definição das condições de estagnação são isoentrópicos, isto

significa que ss 0 . Portanto,

01

02

12 1P

PnRss (2.12i)

Assim, uma medida da variação da pressão total de um escoamento pode indicar a

“isoentropicidade” do escoamento.

Equação de Bernoulli. Esta equação já esta definida em (1.14f), basta torná-la

unidimensional, isto é, uV

.2

2

constgzudP

(2.13a)

Se os efeitos gravitacionais forem desprezíveis (o que é, em geral, verdade para gases),

tem-se:

.2

2

constudP

(2.13b)

se o fluido for incompressível,

.2

2

constu

P (2.13c)

Note que estas equações foram obtidas a partir da equação da energia. Podem também ser

obtidas através da equação da quantidade de movimento.

Equação da conservação da quantidade de movimento unidimensional

– Da equação (1.9d) com as hipóteses de regime permanente e sem efeitos gravitacionais,

tem-se:

2

222

2

111 uPuP (2.14)


Isto considerando que a área é constante.

Se for considerada a variação da área

(tubos não retos) tem-se:

2

1

22111

2

112

2

22

A

A

PdAAPAPAuAu (2.15)

Escoamento compressível x incompressível – Para baixos valores do número de Mach o

escoamento pode ser considerado incompressível. (ver mais detalhes em Thompson pág.

254)

Da equação da energia (2.12b), com a definição de cuM / , tem-se:

2

2

2

0 M

c

hh

, Agora obtém-se a expansão em série de Taylor de 0hh e 2

0

2 cc em

torno de 0PP

...........2

2

1 2

02

2

00

PP

P

hPP

P

hhh

ss

(2.15a)

e

..........2

1 2

02

22

0

22

0

2

PP

P

cPP

P

ccc

ss

(2.15b)

Lembrando que

2

2

2

2

c

v

P

v

P

h

P

hv

sss

(definições termodinâmicas)


e 122

v

P

c

s

(ver página 25)

Após considerável trabalho, Thompson mostra que

...........34

24

1

4

11

2

1 422

00 MMuPP (2.15c)

Esta é uma versão modificada da equação de Bernoulli. Note que para 3,0M efeitos de

compressibilidade são desprezíveis e a forma incompressível da equação de Bernoulli, isto

é, (2.13c) é restaurada Pu

P 2

2

00

Fonte: Thompson (1988)


Relação área – velocidade

Uma expressão muito importante envolvendo o número de Mach, velocidade e área da

seção transversal é apresentada a seguir. Para mostrar tal expressão, primeiro a equação da

continuidade (2.11) é diferenciada, obtendo

0u

du

A

dAd

(2.16a)

Agora da equação diferencial de Bernoulli, tem-se 0 ududP

. Usando o conceito de

escoamento isentrópico, isto fornece .2 dcdP Substituindo acima e com a definição do

número de Mach, tem-se .2

u

duM

d

Finalmente, esse último resultado é substituído

na eq. (2.16a), para obter a expressão desejada

A

dA

Mu

du

1

12

(2.16)

Note, também, que da equação da quantidade de movimento uma variação em velocidade

du é acompanhada em uma variação em pressão dP de sinal oposto, ou seja, de (2.13a)

0 ududP (2.17)

Uma vez que e u são grandezas positivas, então dudP , isto é, a variação de pressão

ocorre em oposição à variação de velocidade. Assim, pode-se construir a seguinte tabela

que indica a variação de propriedades em canais convergente e divergente.

dA Geometria 1M (subsônico)

1M (supersônico)

0dA canal divergente

0

0

dP

du

difusor subsônico

0

0

dP

du

0dA canal convergente

0

0

dP

du

0

0

dP

du

difusor supersônico


Escoamento Transônico. Utilizando a eq. (2.8) em que aparece a derivada fundamental e

substituindo-a em (2.16), tem-se:

A

dA

M

M

M

dM

1

112

2

(2.18a)

Note que na condição transônica em que 1M só é possível se houver uma variação em

área tal que 0dA (isto é, área mínima ou máxima no duto). Analisando a expressão

acima, percebe-se que esse limite conduz a uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, para

se obter a condição transônica, a regra do cálculo de L’Hospital é empregada, como

indicado na nota de abaixo. A expressão final da condição transônica é:

AdA

dM 22

2

(2.18b)

Uma vez que 2dM é sempre uma grandeza positiva, verifica-se que a segunda derivada

da área deve ter o mesmo sinal da derivada fundamental para que haja solução física. As

duas possibilidades > 0 e < 0 estão ilustradas no esquema abaixo e analisadas a seguir.

nota: obtenção da condição transônica em um bocal pelo cálculo do limite de M 1 da eq. (2.18a)

,

211

12

1

lim

0

lim

1

lim

M

M

M

A

dA

dA

M

dM

M mas agora empregando a regra de L’Hospital das derivadas do numerador

e do denominador dessa expressão, tem-se

2211

1212

211

2

1

lim

2

22

0

lim

1

lim

M

dMMM

M

MdM

M

A

dA

A

Ad

dA

M

dM

M

Agora simplificando os valores nulos, substituindo o limite (M=1) e rearranjando a expressão, obtém-se a

forma desejada que é

AdA

dM 2

2

2

0

0


A maioria dos gases ordinários apresenta > 0. Particularmente, 2

1

para gases

perfeitos (eq. 2.9). Nestas condições, as seguintes observações podem ser traçadas com o

apoio da ilustração da figura acima:

(1) Para atingir velocidade supersônica (M>1) em um gás “normal” deve-se utilizar um

bocal convergente-divergente. A velocidade sônica é atingida na “garganta” do bocal.

(2) Para desacelerar um gás “normal” de supersônico para subsônico deve-se utilizar

também um bocal convergente-divergente.

(3) No caso de um gás não-convencional ( < 0) o bocal apresenta uma seção de área

máxima e não mínima para que os efeitos de aceleração e desaceleração mencinados

nos itens (1) e (2) acima sejam alcançados.

O bocal convergente-divergente também é conhecido por “Laval” (veja notas históricas ao

final do capítulo).

Mais relações de estagnação – Partindo da eq. (2.12d) e utilizando as relações isentrópicas

das págs. 1.6 e 1.7, pode-se facilmente mostrar que condições de estagnação ou de

reservatório (índice “o”) podem ser obtidas.

opp TCuTC 2

2

1 (2.12d)


utilizando RTc e rearranjando tem-se:

222

2

1ucco

(2.19a)

ou ainda, dividindo por 2c e usando a

uM , tem-se:

2

2

2

2

11 M

T

T

c

c oo

(2.19b)

Utilizando as relações isentrópicas de gás perfeito já desenvolvidas, tem-se:

12

2

11

M

P

Po (2.19c)

11

2

2

11

Mo (2.19d)

Note que a razão entre a condição de estagnação e a propriedade local (isto é

c

c

P

P

T

T 0000 ;;;

) é função apenas do número de Mach e da natureza do gás via a razão de

calores específicos, .

Para o ar 4,1 estas relações são normalmente tabeladas e consistem nas chamadas

tabelas isentrópicas. Uma cópia dessas tabelas encontra-se na seção de anexos.


Estado de referência sônico (*)

É útil em muitas situações referenciar as propriedades de um gás a alta velocidade à

condição sônica, isto é, M = 1. Isso pode facilmente ser obtido, substituindo o valor

unitário do número de Mach nas expressões acima e, para evitar dificuldades e confusões

de notação, as propriedades no estado sônico passam a ser assinaladas com um asterisco.

Então, Das equações (2.19b) a (2.19d), obtém-se: 1M

1

2

0 T

*T (2.20a)

1

0 1

2*

P

P (2.20b)

11

0 1

2*

(2.20c)

2*

22

12

1

21c

uc

(2.20d)

Note que *c é constante

Alguns valores destas grandezas estão apresentados na tabela abaixo para valores distintos

de :

Expressão Cv

Cp

79 )(

57 ar

35

0

*T

T 0,8750 0,8333 0,7500

0

*P

P 0,5483 0,5283 0,4871

0

*

0,6267 0,6339 0,6495

O número de Mach normalizado, M* - pode-se também definir o número de Mach

normalizado como a razão entre a velocidade local, u, e a velocidade do som na garganta,


c* Note que M* não é o número de Mach na garganta, o qual é constante e vale 1 em

condições de regime de operação como o bocal de Laval.

*** 0

0 c

c

c

cM

c

uM (2.21a)

das expressões (2.19b), tem-se:

21

2

1

1

1

2

*

M

MM

(2.21b)

Umas das grandes vantagens de se utilizar M* ao invés de M é que M* permanece finito

quando M cresce muito e tende ao infinito, como indicado na tabela abaixo

M 0 1

M* 0 1 1

1

Máxima velocidade que se pode atingir em um local é dado pelo limite da eq. (2.19a)

fazendo com que 0c . Assim

0.1

2cumáx

(2.22)

para o ar 4,1 024,2 cumáx

Isto corresponde a M e 1

1*

M

Relação número de Mach – área


Da equação da conservação de massa (eq. 2.11) para as

seções indicadas na figura ao lado, pode-se escrever:

AuuA ***

ou u

u

A

A **

*

; mas como ** cu

u

c

A

A **

*

0

0

; (2.23a)

substituindo as eqs. (2.19a) (2.20c) e (2.21b), na expressão acima tem-se:

1

1

2

2

2

2

11

1

21

*

M

MA

A (2.23b)

Esta expressão oculta informações que a primeira vista pode passar desapercebidas. Note

que, num dado bocal isoentrópico o número de Mach local é função exclusiva da razão

entre a área da seção de interesse e a área da garganta do bocal, para um dado gás de

conhecido. Na verdade, para uma dada razão de áreas, essa expressão possui duas soluções

para o número de Mach: uma subsônica e outra supersônica. De forma, que se costuma

analisar a referida equação de forma inversa, ou seja, como Mach em função da razão de

áreas, isto é, *A

AfM para constante. Evidentemente M = 1 é atingido quando

A=A*.

Geralmente a expressão acima é vista de forma gráfica, como aquele ilustrado na próxima

figura. Como se depreende do gráfico, nenhuma solução isoentrópica é possível para uma

seção de área transversal menor que a da garganta, De forma que, necessariamente,

*AA . A função (A/A*) como função do número de Mach, encontra-se tabelada e pode

ser vista na seção de anexos nas tabelas isentrópicas para o ar.


Relações para ondas de choque normais– Um problema associado com o escoamento

supersônico é que qualquer perturbação do escoamento à jusante não pode propagar à

montante como ilustrado na figura abaixo extraída do livro de Anderson.

No caso do escoamento subsônico )1( M , o escoamento é “avisado” do obstáculo à

frente e se auto ajusta para esta condição.

No caso supersônico )1( M as ondas

acústicas não conseguem “avisar” o

escoamento em tempo para que ele possa

se ajustar à presença do obstáculo. Assim,

a natureza cria uma onda de

descontinuidade (choque), de e o

escoamento se torna subsônico (na sua

parte frontal) e as linhas de corrente

podem se ajustar obstáculo.

Para algumas geometrias de escoamento (como a região do escoamento que é frontal ao

obstáculo da figura anterior, escoamento em bocais quase-unidimensional e tubos de seção


uniforme) é possível modelar o fenômeno de ondas de choque do ponto de vista

unidimensional. Nesse caso, a onda de choque é normal à direção ao escoamento. Assim,

as eqs. (2,11), (2,12a) e (2,14) se aplicam, as quais são rescritas novamente abaixo:

2211 uu (2.24)

2

222

2

111 uPuP (2.25)

22

2

22

2

11

uh

uh (2.26)

Estas equações são absolutamente válidas não somente para ondas de choque, como

também para qualquer tipo de descontinuidade unidimensional. Para um gás perfeito, elas

podem ser manipuladas para se obter expressões mais simples. Para um gás genérico elas

devem ser solucionadas numericamente em conjunto com uma equação de estado válida

para o gás em questão. Voltando para a situação de gás perfeito, primeiro divide-se a eq.

(2.25) pela eq. (2.24) juntamente com o fato de que

P

RTc

1

2

1

2

2

2

11

1

22

221

u

c

u

c

u

P

u

Puu

Rearranjando tem-se:

2

2

2

2

2

2

1

2

1 *12

1

1212c

cucu

com a ajuda da eq. (2.20d)

Rearranjando novamente, tem-se:

2

21 *cuu (2.27a)

Esta é a chamada relação de Prandtl-Meyer.

Utilizando a definição *

*c

uM , tem-se:

*

1

*

21

MM (2.27b)

Note que, como se depreende desse simples resultado, o escoamento através de uma

descontinuidade deve mudar de regime. Ou seja, se o escoamento à montante da onda é

supersônico, isto é, 1*

1 M , então necessariamente, o escoamento se torna subsônico ao


atravessar a onda de choque, ou seja, 1*

2 M . Embora o oposto também seja

matematicamente possível, existe um impedimento físico estabelecido pela 2ª Lei (ao

menos para fluidos normais), já que um decréscimo de entropia específica seria necessário

(ver eq. 2.12h).

Rearranjando a eq. (2.20d) com as definições de M e M*, tem-se:

21

12

22*

M

MM

(2.28)

Substituindo apropriadamente em (2.27b), obtém-se:

2

12

11

2

1

2

12

2

M

M

M (2.29)

Através de manipulações pode-se mostrar que:

11

21 2

1

1

2

MP

P

(2.30)

e

11

1

121 2

12

1

2

1

2

1

2

M

M

M

T

T

(2.31)

2

1

2

1

2

1

1

2

12

1

M

M

u

u

(2.32)

Casos limites do número de Mach para o ar 4,1

1) 1M


378,02

1lim2

1

M

M

1

2

1

lim

P

P

M

61

1lim

1

2

1

M

1

2

1

lim

T

T

M

2) 11 M

todos os casos 112 MM 12 ; 12 PP ; 12 TT

o salto em entropia específica é:

1

2

1

212 lnln

P

PR

T

TCss p , subst. as eqs. apropriadas para as razões indicadas,

isto é, as eqs. (2.30) e (2.31), vem

1

1

21ln1

1

1

121ln 2

1

2

12

1

2

1

212 MRMM

MCsss p

(2.33)

Analisando esta expressão, tem-se:

Se 011 sM (não há choque!)

Se 011 sM (choque de compressão – choque normalmente conhecido)

Se 011 sM (não é possível ocorrer choque de expansão) (ao menos para

fluidos normais que apresentam >0). Isto confirma o mencionado na página anterior.

A figura da página seguinte ilustra o comportamento das propriedades como função do

número de Mach. Na seção de anexos, estão as tabelas de choque normal baseadas nas

equações de salto, as quais indicam as variações das propriedades do ar quando ocorre uma

onda choque normal.

A razão entre pressões de estagnação é:


1

2

1

2

11

1

2

1

01

02

21

11

1

21

M

MM

P

P (2.34)

Fonte: Anderson (1990)

Exemplo proposto

Num escoamento supersônico a pressão estática é de 0,5 bar.

Um tubo de Pitot é inserido e indica uma pressão de 2 bar.

Calcule o número de Mach, a temperatura e a pressão.

Sabendo que o escoamento é isoentrópico.

Resposta:

O tubo de Pitot vai medir a pressão total atrás da onda de choque que é formada junto à

extremidade do tubo de tomada de pressão. Portanto barP 202 e barP 5,01

4 ,45,0

2

01

02

1

01

01

02

01

02 P

P

P

P

P

Pmas

P

P

tabelas isentrópicas f(M1)

tabelas choque normal f(M1)

solução iterativa. continuar o problema

!

teoria do escoamento compressível j. r. simões...

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