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TEORIA DE CONTROLE

Controle

“Supervisionar e manter o processo em um determinado ponto de operação. Tomada de decisão, envia sinais de correção para os atuadores.”

“Medir o valor da variável controlada e aplicar o valor conveniente a variável manipulada (sinal de correção) de modo a limitar o erro ou desvio.”

Benefícios do controle bem realizado: diminuição de funções repetitivas, melhora de produtividade, diminuição de erros e perdas no processo.

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Exemplos de Sistemas de Controle -sistema de controle de velocidade -sistema de controle de robô -sistema de controle de temperatura -sistema de controle de posição -sistema de controle de seleção de peças

Hoje o Controle Automático, entre outras, estápresente: na indústria manufatureira (comando de máquinas), na indústria aeroespacial (sistemas automáticos inteligentes), na indústria automobilística (linha de produção), na indústria química e petroquímica (vazão, pressão, nível, temperatura, densidade, etc)

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Controle em Processo Discreto

“Tomada de decisão baseado em eventos. Abertura e fechamento de contatos, acionamentos, temporizações, sistemas de alarme e proteção. Indústria de fabricação por lote.”

Controle em Processo Contínuo

“Manter os valores dentro do ponto de operação. Envolve variáveis como temperatura, pressão, nível e vazão. Indústria química.”

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Exemplos de Sistemas de Controle de Processos Discretos

-Separação de Peças, Contagem de Peças por Lote, etc. -Controle a partir de Eventos.

Esteira Separadora de Caixas

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Exemplos de Sistemas de Controle de Processos Contínuos

-Controle de temperatura, vazão, nível, pressão, etc. -Controle Variáveis Analógicas.

Sistema de Controle de Nível

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Processo

“Trata-se do objetivo do sistema de automação, a finalidade.”

“Operação que evolui continuamente para atingir uma meta. Todas as ações são realizadas para se conseguir este objetivo.”

Sistema

“Combinação de componentes que atuam em conjunto com um objetivo. Não necessita ser algo físico. Sistema a Controlar é conhecido como Planta.”

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Variável Controlada

“Grandeza que é medida e controlada”

Variável Manipulada

“Grandeza variada pelo controle de modo a afetar a variável controlada”

Distúrbio

“Perturbação que afeta de modo adverso a variável controlada. Ruído.”

Introdução

TEORIA DE CONTROLE

Exemplo: Controle de Temperatura de um Tanque. Objetivo manter a temperatura da água a 35oC. O controle atua aquecendo por meio do aumento da vazão de vapor que circula em uma serpentina.

+- CONTROLE PLANTA

SENSOR

PONTO DE SOMA

X YC

R

+ +

D

E

Elementos de uma Malha de Controle

TEORIA DE CONTROLE

X – sinal de referência (set-point). No exemplo 35oC. Y – variável controlada. Temperatura da água do tanque. C –variável manipulada. Vazão do Vapor. E –sinal de erro. Diferença entre o medido e o desejado. R –sinal medido (sinal de retroação). Valor do sensor. D – distúrbio do sistema. Temperatura ambiente.


TEORIA DE CONTROLE

Exemplo: Controle de Posição. Objetivo manter a “bolinha” em 40 cm. O controle atua em um ventilador.


TEORIA DE CONTROLE

Conceito de Retroação

“Trata-se de um sistema que mantém uma relação entre a grandeza sinal de saída e um valor de referência. A grandeza variável controlada é medida e é comparada com um valor de referência (set-point), a diferença obtida a partir desta comparação é informada ao controle que atua na planta de modo a diminuir ou anular tal desvio.”

Sistemas em Malha Fechada são Sistemas com Retroação

Sistemas em Malha Aberta, o valor do sinal de saída não afeta o controle.

Malha Aberta e Malha Fechada

TEORIA DE CONTROLE

Controle em Malha Aberta (MA)

“Neste sistemas o sinal de saída não é medido, e não afeta a ação de controle. A exatidão do sistema depende de uma calibração. Portanto são usados quando não existe distúrbio atuando.”

CONTROLE PLANTACalibração

Exemplo: Máquina de lavar roupas


TEORIA DE CONTROLE

Controle em Malha Fechada (MF)

“Neste sistemas o sinal de retroação da variável controlada é comparado com o set-point. A diferença obtida desta comparação (o erro) é utilizada como parâmetro de entrada do controle, que então atua na planta com o objetivo de diminuir o próprio erro.”

+- CONTROLE PLANTA

SENSOR

XYC

R

E


TEORIA DE CONTROLE

Controle MF

“Este tipo de controle torna o sistema insensível as perturbações externas. A partir da medição da variável controlada e da comparação do seu valor com o set-pointatua para garantir a estabilidade. Contudo esta estabilidade nem sempre é fácil de se garantir, e para isto torna-se necessário sintonizar o controle de tal modo que atue o suficiente para corrigir os erros, nem mais nem menos.”

Exemplo: A maioria dos sistemas industriais atua em controle MF (controle de pressão, de nível, de vazão, de separação de peças, etc)


TEORIA DE CONTROLE

-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1998.

-SILVEIRA, P. R., SANTOS, W. E. Automação e Controle Discreto.7a Edição. Editora Érica. São Paulo. 1998.

Referências

TEORIA DE CONTROLE

Introdução

“Um Sistema é uma combinação de componentes que atuam em conjunto para atingir um objetivo.”

“O Modelo Matemático consiste em um conjunto de equações que representam com certa precisão a dinâmica do sistema.”

“O Modelo deve ser adequado para resolver um problema específico.”

“Um Modelo Matemático deve aliar simplicidade e precisão.”

Modelagem Matemática

TEORIA DE CONTROLE

Introdução

“O Modelo simplificado ignora alguma propriedades físicas. Para que os resultados matemáticos sejam semelhantes aos práticos o efeito destas propriedades para o sistema é pequeno.”

“A equivalência linear para os sistemas não-lineares, visando facilitar a análise matemática do sistema, faz com que o modelo seja validado apenas para determinadas faixas de operação, por exemplo válido para baixas freqüências ou para baixas velocidades (muitas relações físicas são não-lineares).”


TEORIA DE CONTROLE

Teoria de Controle Moderna

“A abordagem é centrada no domínio do tempo. Aplicável em sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas, lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo.”

Teoria de Controle Convencional

“A abordagem é no domínio da freqüência. Aplicável em sistemas com uma entrada e uma saída, lineares e invariantesno tempo.”

Modelagem por Espaço de Estados

Teoria de Controle Moderna


TEORIA DE CONTROLE

Modelagem por Espaço de Estados

Conceitos

Estado, Variáveis de Estado, Vetor de Estado,

Espaço de Estado, Equações no Espaço de Estados.

a) Estado

“É o menor conjunto de valores das variáveis ditas variáveis de estado. O conhecimento deste valores para t>to e t=to determina o comportamento do sistema em qualquer instante nesta faixa de tempo.”


TEORIA DE CONTROLE

b) Variáveis de Estado

“Conjunto de valores que determina o estado do sistema. Pode ser um conjunto de variáveis x1, x2, x3 e xn. Édesejável que sejam variáveis mensuráveis e observáveis.”

c) Vetor de Estado

“Vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante de tempo t=to e t>to.”

d) Espaço de Estados e Equações de Espaço de Estados

“Envolve 3 tipos de variáveis na modelagem: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado.”


TEORIA DE CONTROLE

“A representação de um sistema em espaço de estados não é única, exceto que o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer representação.”

Exemplo

Suponha:

-sinais de entrada: u1(t), u2(t), ..., ur(t)

-sinais de saída: y1(t), y2(t), ..., ym(t)

-variáveis de estado: x1(t), x2(t), ..., xn(t)


TEORIA DE CONTROLE

O sistema pode ser descrito como: x1(t) = f1(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)

x2(t) = f2(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)

xn(t) = fn(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)

Os valores dos sinais de saída: y1(t) = g1(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)

y2(t) = g2(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)

ym(t) = gm(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)


TEORIA DE CONTROLE

Então:


TEORIA DE CONTROLE

As equações: x(t) = f(x, u, t) Equação de Estado

y(t) = g(x, u, t) Equação de Saída

Linearizando as equações: x(t)= A(t).x(t) + B(t).u(t)

y(t)= C(t).x(t) + D(t).u(t)

Onde: - A é a matriz de estado - B é a matriz de entrada - C é a matriz de saída - D é a matriz de transmissão


TEORIA DE CONTROLE

Representação em Diagrama em Blocos

y(t)

D(t)

B(t) d(t)

A(t)

C(t)x(t) x(t)u(t)

Se as funções vetoriais f e g não envolvem tempo t o sistema é dito invariante no tempo e então:

x(t)= A.x(t) + B.u(t) y(t) = C.x(t) + D.u(t)


TEORIA DE CONTROLE

Exemplo de Modelamento de Sistema

Sistema do “Carrinho” - Força X Velocidade


TEORIA DE CONTROLE Modelagem Matemática

TEORIA DE CONTROLE

Equação de Saída


TEORIA DE CONTROLE

Diagrama em Blocos do Sistema

d(t)v(t)=y(t)F(t)=u(t) v(t)1

m

b m


TEORIA DE CONTROLE

Exemplo de Modelamento de Sistema

Sistema do Motor – Tensão x Velocidade


TEORIA DE CONTROLE Modelagem Matemática

TEORIA DE CONTROLE

Desenvolvendo as Equações


TEORIA DE CONTROLE

Deste Modo:


TEORIA DE CONTROLE

Comparando com as Equações


TEORIA DE CONTROLE

Diagrama em Blocos do Sistema

y(t)=w(t)d(t) 1 0x(t) x(t)u(t)=V(t)

-b K J J

-K -R L L

0

1 L


TEORIA DE CONTROLE


- SITE http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/examples.html. Acesso em: 02/03/2007.

Referências

TEORIA DE CONTROLE

Transformada de Laplace

“Resolução de equações diferenciais de uma maneira mais vantajosa.”

“Converte-se funções temporais como seno, cosseno, etc em funções algébricas de uma variável complexa S. Operações como integração e diferenciação também pode ser resolvidas de forma algébrica no domínio S.”

“Auxilia na análise dos sistemas de controle, permitindo o estudo do comportamento dos sistemas sem a necessidade de resolver as equações diferenciais.”

Transformada de Laplace e Plano S

TEORIA DE CONTROLE

Transformada de Laplace

“A Transformada de Laplace possui um conjunto de propriedades para a resolução de sinais originalmente no tempo. Por exemplo a convolução de 2 sinais no tempo é a multiplicação deste sinais na Transformada de Laplace.”

x(t) y(t)= x(t)*h(t)h(t)

X(S) Y(S)= X(S).H(S)H(S)


TEORIA DE CONTROLE

Plano S e variável S

“A análise da Transformada de Laplace é feita no domínio da freqüência complexa S.”

“A representação da freqüência complexa é dada em um plano S.”“Por meio do Plano S pode-se analisar um sistema em relação à causalidade, estabilidade e resposta em freqüência.”“Estas características são influenciadas pela localização dos pólos (xxxx) e zeros (o) no Plano S.”


TEORIA DE CONTROLE

Plano S


TEORIA DE CONTROLE

Definição da Transformada de Laplace

Transformada Direta

Transformada Inversa

Propriedade


TEORIA DE CONTROLE

Transformada de Laplace Unilateral

“Existem muitas aplicações da TL nas quais é razoável pensar que os sinais envolvidos sejam causais, ou seja, zero para t<0.”

Transformada Direta Transformada Inversa


TEORIA DE CONTROLE

Sinais Típicos de Sistemas de Controle

“Existem sinais típicos que são utilizados no estudo do controle. São importantes para controle porque modelam muitos sinais físicos que ocorrem na natureza.”

a) Função Impulso (Função Delta de Dirac)

“Quando o sistema é submetido a ações

do tipo surto.”


TEORIA DE CONTROLE

b) Função Degrau

“Quando o sistema ésubmetido a mudanças

abruptas do sinal de entrada. Mudança de set-point.”

“Trata-se de um sinal simples de ser aplicado, pode ser visto como um sinal DC sendo aplicado a um circuito após o fechamento de uma chave em t=0.”


TEORIA DE CONTROLE

c) Função Rampa

“Quando o sistema ésubmetido a uma excitação resultante de uma função que varia gradualmente no tempo.”

“A função rampa é o resultado da integral do sinal da função degrau no tempo.”


TEORIA DE CONTROLE

“Sistema que tem como sinal de entrada o deslocamento angular de um eixo com rotação constante. Presumindo que o sistema teve um ponto de partida onde o eixo iniciou a rotação partindo da velocidade 0 (zero) para a velocidade final (wf) de forma instantânea em t0 (tempo inicial).”


TEORIA DE CONTROLE

d) Sinal Senoidal


TEORIA DE CONTROLE

e) Sinal Exponencial

Exponencial Decrescente b < 0

Exponencial Crescente b > 0


TEORIA DE CONTROLE

f) Sinal Senoidal Amortecido


TEORIA DE CONTROLE

- HAYKIN, S., VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas. Editora Bookman. Porto Alegre. 2001

- OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1998.

Referências

TEORIA DE CONTROLE

Algumas Propriedades da Transformada de Laplace


TEORIA DE CONTROLE

Pares da Transformada de Laplace


TEORIA DE CONTROLE

Transformada Inversa de Laplace

“Trata-se de um cálculo que pode ser complexo. Deste modo utiliza-se o Método das Frações Parciais.”


TEORIA DE CONTROLE

Função de Transferência (FT) “Modela o sistema caracterizando uma relação

entrada/saída dos seus componentes.”“Requisito para utilizar FT: sistema linear e

invariante no tempo e descrito por equações diferenciais.”

H(S)X(S) Y(S)

H(S)=Y(S)X(S)

Y(S) – Função Resposta. Transformada de Laplace do sinal de saída do sistemaX(S) –Função Excitação. Transformada de Laplace do sinal de entrada do sistemaH(S) –Função de Transferência.

Transf. de Laplace e Função de Transferência

TEORIA DE CONTROLE

Função de Transferência “Representa a dinâmica dos sistemas através de

equações algébricas em S.”

“Onde n é a ordem do sistema.”

Propriedades da FT “Modelo matemático. Expressa operacionalmente a

equação diferencial que relaciona entrada e saída.”“É uma propriedade intrínseca do sistema. Independe

da natureza do sinal de entrada (Função Excitação).”


TEORIA DE CONTROLE

Propriedades da FT

“As FT´s de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas. Não fornece informação quanto a estrutura do sistema.”

“Se a FT de um sistema for conhecida, esta pode ser estudada para diferentes tipos de sinal de entrada.”

“Se a FT for desconhecida pode ser obtida a partir de sinais de entrada conhecidos.”

“Descreve as características físicas do sistema de forma relativamente precisa.”


TEORIA DE CONTROLE

Modelagem por meio da FT

Sistema do “Carrinho” -

Força X Velocidade

Modelos Matemáticos de Sistemas Físicos (Conversão)

TEORIA DE CONTROLE

Modelagem por meio da FT Sistema do Motor – Tensão x Velocidade


TEORIA DE CONTROLE

Modelagem por meio da FT Sistema Elétrico – Circuito RLC


TEORIA DE CONTROLE

Modelagem por meio da FT Sistema de Fluído – Planta de Nível


TEORIA DE CONTROLE

Considerando: Q – valor da vazão quando sistema estável qi - pequeno desvio de vazão na entrada qo- pequeno desvio de vazão na saída N – valor do nível quando sistema estável n – pequeno desvio de nível

E ainda: R e C


TEORIA DE CONTROLE

Outras considerações: “O sistema é linear se o fluxo for laminar (no de

Reynolds < 2000). Mesmo sendo turbulento (no de Reynolds > 3000) pode ser linearizado se as variações de qo, qi e n forem muito pequenas.”

“Considerando o sistema linear a equação diferencial para o sistema pode ser obtida como: vazão de entrada menos a vazão de saída em pequeno intervalo de tempo é a quantidade armazenada.”


TEORIA DE CONTROLE

Então para se obter a FT da planta:


TEORIA DE CONTROLE

Y(S)

+-Controle (Kp)Proporcional

R

RCS + 1

Ganho da Bóia

R(S)

X(S) E(S) Qi(S)


TEORIA DE CONTROLE

Y(S)+- 2

1

S + 2

2

R(S)

X(S) E(S) C(S)

Exemplo: Para o sistema da figura abaixo obtenha aresposta y(t)(equação e esboço gráfico) devido a ocorrência de: a) um surto na entrada b)uma mudança abrupta de set-point (calcular o erro quando o sistema está estável) c)um rampeamento de set-point.


TEORIA DE CONTROLE

-HAYKIN, S., VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas. Editora Bookman. Porto Alegre. 2001

- SITE http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/examples.html. Acesso em: 01/03/2007.


Referências

TEORIA DE CONTROLE

Diagrama em Blocos

“Utilizado para mostrar as funções desempenhadas por cada componente do sistema.”

“Setas indicam o fluxo dos sinais dentro do sistema. Propriedade unilateral.”

“Cada Bloco Funcional (Bloco) representa a operação matemática que ocorre no sinal de entrada para produzir o sinal de saída.”

“Permite analisar a contribuição de cada bloco individualmente, ou permite analisar o sistema como um todo por meio da obtenção do diagrama global do sistema.”

Álgebra de Blocos -Diagrama em Blocos

TEORIA DE CONTROLE

Diagrama em Blocos para Malha Aberta (MA)

Y(S)G1(s)

X(S) X1(S) X2(S)

G2(s) G3(s)


TEORIA DE CONTROLE

Diagrama em Blocos para Malha Fechada (MF)Y(S)

+-R(S)

X(S) E(S)G(S)

H(S)

“H(S) converte o sinal de saída para a mesma grandeza física do sinal de entrada.”


TEORIA DE CONTROLE

Efeito do Distúrbio em um Diagrama em Blocos para MA

Y(S)G1(s)

X(S) X1(S) X2(S)

G2(s) G3(s) + +

D(S)


TEORIA DE CONTROLE

Efeito do Distúrbio em um Diagrama em Blocos para MF

Y(S)

H(S)

+-R(S)

X(S) E(S)G(S) + +

D(S)


TEORIA DE CONTROLE

Regras para a Álgebra de Blocos


TEORIA DE CONTROLE

Múltiplas Entradas

- considera apenas uma entrada ativa por vez (as outras são iguais a zero) - encontra o valor de saída para cada entrada -soma todas as saídas parciais


TEORIA DE CONTROLE

Múltiplas Entradas – Múltiplas Saídas

Y1 e Y2 são distintas não podem ser somadas


TEORIA DE CONTROLE

-DISTEFANO, J. J., STUBBERUD, A. R., WILLIAMS, I. J. Sistemas de Retroação e Controle. Editora McGraw-Hill. São Paulo. 1972.


Referências

TEORIA DE CONTROLE

Introdução

“Na prática os sinais de entrada em geral não são conhecidos. Mesmo assim os sistemas são testados com sinais conhecidos a priori.”

“Com o uso destes sinais típicos tanto a análise matemática quanto a análise experimental podem ser feitas mais facilmente.”

Resposta ao Degrau: sistemas que sofrem transições bruscas Resposta ao Impulso: sofrem ações tipo surtoReposta a Rampa: sofrem ações com variação gradual

Análise da Resposta Temporal

TEORIA DE CONTROLE

Introdução

“Resposta temporal de um sistema consiste de duas partes: parte transitória e parte estacionária.”

Parte Transitória:ocorre desde um estado inicial até um estado final. Parte Estacionária:ocorre quando o sistema tende ao infinito.

“A análise da resposta temporal considera tanto a parte transitória (tempo de subida, tempo de acomodação, sobressinal), quanto a parte estacionária (erro em regime permanente).


TEORIA DE CONTROLE

Estabilidade “Da observação da resposta temporal pode-se

definir um sistema quanto a sua situação de estabilidade (para sistemas lineares e invariantes no tempo).”

Sistema Estável:a saída do sistema retorna ao estado de equilíbrio mesmo após o sistema ser submetido a uma condição inicial. Sistema Criticamente Estável:apresenta oscilações que se conservam indefinidamente. Sistema Instável:a saída diverge após o sistema ser submetido a uma nova condição (na prática ocorre saturação da saída).


TEORIA DE CONTROLE

Sistemas de 1ª Ordem

Y(S)+- 1

1

T.S

1

R(S)

X(S) E(S) C(S)

1

T.S + 1

Y(S)X(S)

Aplicando a Álgebra de Blocos para encontrar a FT global


TEORIA DE CONTROLE

Resposta ao Degrau1

T.S + 1

Y(S)X(S)

T- constante de tempo. y(T) = 63% Quando t=2.T, 3.T e 4.T a saída é

respectivamente 86.5%, 95% e 98,2%. Quando t> 4.T, erro<2%. Regime

Estacionário.


TEORIA DE CONTROLE

Resposta ao Impulso1

T.S + 1

Y(S)X(S)

X(S)=1


TEORIA DE CONTROLE

Resposta a Rampa1

T.S + 1

Y(S)X(S)

X(S)=1/S2


TEORIA DE CONTROLE


Y(S)+- 1

wn2

S.(S+2.ζ.wn)

1

R(S)

X(S) E(S) C(S)

wn2

S2 + 2.ζ.wn.S + wn2

Y(S)X(S)

Aplicando a Álgebra de Blocos para encontrar a FT global


TEORIA DE CONTROLE


wn2

S2 + 2.ζ.wn.S + wn2

Y(S)X(S)

“Pólos reais ou complexos.”“wn é a frequência natural não amortecida.”“ ζ é o coeficiente de amortecimento.”

Sistema subamortecido: 0 < ζ < 1

Sistema criticamente amortecido: ζ = 1

Sistema superamortecido: ζ > 1


TEORIA DE CONTROLE

Sistemas de 2ª Ordem wn=1 e ζ variável


TEORIA DE CONTROLE

Sistemas de 2ª Ordem ζ = 0,5 e wn variável


TEORIA DE CONTROLE


Referências

TEORIA DE CONTROLE

Introdução “A característica da resposta transitória de um sistema

está relacionada a localização dos pólos em MF.”“Quando tal sistema está sujeito a ação de um ganho

variável a localização dos pólos em MF depender do valor deste ganho.”

“É importante saber como os pólos em MF se movem no plano S quando o ganho é variado.”

“A ferramenta para esta tarefa é o método do lugar das raízes. É uma ferramenta gráfica que torna possível prever a localização dos pólos em MF devido à variação do ganho e a localização de pólos e zeros em MA.”

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Construção do Lugar das Raízes (resumo das regras)

-localize os pólos e zeros em MA no plano S; -os pontos onde o ganho K=0 são os pólos, portanto cada lugar das raízes do sistema se origina num pólo e termina em um zero; -se o número de pólos em MA excede o número de zeros supõe que os zeros restantes estão no infinito; -lugar das raízes no eixo real: se o número de raízes (pólos ou zeros) a direita do ponto de teste for ímpar, o ponto em questão é ponto de lugar das raízes;

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Construção do Lugar das Raízes (resumo das regras)

-no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 2 pólos existe um ponto de separação; -no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 2 zeros um existe um ponto de chegada; -no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 1 pólo e um 1 zero o ponto pode ser de chegada ou de separação;

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Exemplo de Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Pólos em MF

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Projetos de Sistemas d Controle “Para o projeto de um sistema de controle algumas

especificações de desempenho são desejadas, especificações que se relacionam com exatidão, estabilidade relativa e velocidade de resposta.”

“Visando atender estas especificações surge a compensação, que diz respeito a modificações na dinâmica do sistema.”

“A primeira opção para ajustar um sistema de controle é a alteração do ganho, contudo somente isto pode ser insuficiente, e neste caso surge a necessidade de re-projetar o sistema alterando a sua estrutura (compensação).”

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Projetos de Sistemas d Controle “A questão primordial é escolher pólos e zeros para o

compensador de modo que altere o formato do lugar das raízes, e deste modo permita-se que o sistema alcance as especificações de desempenho desejadas.”

“O Lugar das Raízes pode indicar que não se consegue alcançar as especificações desejadas apenas pela alteração do ganho. Ou ainda pode ser que o sistema não seja estável para todos os valores de ganho. Nestes casos a compensação com pólos e zeros torna-se interessante, pois permite alterar a forma do lugar das raízes e com isso chegar também a valores de ganho que faça o sistema atender as especificações.”

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Inserção de Pólos e Zeros

-adição de pólo:tende a puxar o lugar das raízes para a direita diminuindo a estabilidade.

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE

Inserção de Pólos e Zeros

-adição de zero:tende a puxar o lugar das raízes para a esquerda tornando o sistema mais estável.

Lugar das Raízes

TEORIA DE CONTROLE


Referências

TEORIA DE CONTROLE

Introdução “A resposta em freqüência em regime estacionário é

obtida a partir da excitação do sistema por meio de uma entrada senoidal.”

“Aplica-se uma variação da freqüência do sinal de entrada e observa-se o comportamento da resposta do sistema. Na prática pode-se colocar um gerador de funções na entrada do sistema, e variar a freqüência do sinal.”

“Um sistema linear a invariante no tempo quando submetido a uma excitação senoidal em determinada freqüência terá na saída um sinal também senoidal na mesma freqüência, mas em geral, com fase e amplitudes diferentes.”

Domínio da Freqüência

TEORIA DE CONTROLE Domínio da Freqüência

TEORIA DE CONTROLE

Cálculos de Amplitude e Fase

“A FT senoidal é uma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude e por fase.”

“Ângulo negativo – atraso de fase.”“Ângulo positivo – avanço de fase.”

Domínio da Freqüência

TEORIA DE CONTROLE

“A FT senoidal pode ser representada de forma gráfica por Diagrama de Bode (ou diagrama de Nyquist).”

“Os Diagramas de Bode são gráficos logarítmicos (diagramas de Nyquist – gráficos polares).”

Diagramas de Bode“Neste diagrama a FT senoidal pode ser representada

por meio de 2 gráficos: gráfico do módulo e gráfico de fase.”“Ambos os gráficos são constituídos em função da

freqüência e em uma escala logarítmica.”“A representação do módulo é dada por 20.log/G(jw)/ e

a unidade é o dB(decibel).”“Para a fase a unidade utilizada é graus.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

“A escala logarítmica facilita o desenho da curva de resposta em freqüência.”

Entre os fatores que influenciam a construção do diagrama de Bode estão:

- ganho K - fatores integral e derivativo - fatores de primeira ordem - fatores quadráticos

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

a) Ganho K“O valor do módulo para um ganho K é 20.logK em dB,

e o ângulo de fase é nulo.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

“Número maior que a unidade, o valor em dB épositivo. Número menor que a unidade, o valor em dB énegativo.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

b) Gráficos de Bode (s+a)

Fazendo s=jw tem-se:

G(jw) = jw + a

Sendo w a freqüência em análise. Para baixas freqüências:

G(jw) ~ a

Então o módulo é:

20log/G(jw)/ = 20log a

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para w >> a

G(jw) = jw ou w 90º

Módulo

20log w

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para o gráfico de fase tem-se:θ = tg-1(w/a)

w << a -> θ = 0o

w = a -> θ = 45º

w >> a -> θ = 90o

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

c) Gráficos de Bode 1/(s+a)

De modo análogo: G(jw) = 1/(jw + a)

w << a :G(jw) = 1/a = a-1 Módulo:20log(a-1) = -20log /a/

w >> a:G(jw) = 1/jw = jw-1 Módulo: -20log w

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para o gráfico de fase tem-se:

G(jw) = (a-jw)/(a2+w2) então θ = - tg-1 w/a

w<<a-> θ = 0o w=a-> θ = -45º w>>a-> θ = -90o

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

d) Gráficos de Bode de s

G(s) = s G(jw)=jw Módulo:20log w

θ=tg-1 w/0 = 90o

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

e) Gráficos de Bode de 1/s

G(s) = 1/s G(jw)=1/jw=jw-1 Módulo: -20log w

θ=-tg-1 w/0 = - 90o

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. EditoraLTC. Rio de Janeiro. 2002

-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. EditoraLTC. Rio de Janeiro. 1998.

Referências

TEORIA DE CONTROLE

f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)ζ=0,5 wn=2 G(S)= S2+2S+4

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)ζ=1 wn=2 G(S)= S2+4S+4

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)ζ=1,5 wn=2 G(S)= S2+6S+4

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)ζ=0,5 wn=4 G(S)= 1/(S2+4S+16)

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)ζ=1 wn=4 G(S)= S2+8S+16

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)ζ=2 wn=4 G(S)= S2+16S+16

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Estabilidade“Se um sistema tem seus pólos no semi-plano

esquerdo ele é estável para MA.”“Para que seja estável em MF a resposta em

freqüência do sistema deve apresentar uma magnitude menor que a unidade quando a fase é +/-180º.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Estabilidade Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)]

G dB = -52dBEstabilidade entre-52dB e 0dB para fase em -180º.

Então:Ganho K pode aumentar em até 400. Pois 20logK=52dB

Estabilidade : 0 < K < 400

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Estabilidade Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)]

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Margem de Ganho e Margem de Fase“A margem de ganho (MG) é obtida a partir da

observação do gráfico de fase, quando a fase é 180º.”“A margem de fase (MF) é obtida a partir da

observação do diagrama de magnitude, quando o ganho é 0 dB.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Exemplo: G(S) = K/[(S+2)(S+4)(S+5)] com K = 200

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)] com K = 200

MG = 0dB - 5,5 dB = 5,5dB

MF = -156º - (-180º) = 24º

EXERCÍCIO

G(S) = K/[(S+5)(S+20)(S+50)]

Encontre: a) a faixa de valores de K para a estabilidade a partir do diagrama de Bode. b) margem de ganho, margem de fase, freqüência de 0dB e freqüência de 180o para K=10.000 .

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. Editora LTC. Rio de Janeiro. 2002

Referências

TEORIA DE CONTROLE

Resposta Transitória e Resposta de Freqüência em MF

“Para a análise do sistema existe uma relação entre a resposta transitória e a resposta de freqüência em malha fechada (MF).”

“As características extraídas a partir da análise da resposta em freqüência são relacionadas com características temporais como tempo de pico, tempo de acomodação, tempo de subida, entre outros.”

Considere a seguinte Malha de Controle

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para wn=1 e ζ=0.1 Gráfico de Bode em Malha Aberta

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para wn=1 e ζ=0.1 Gráfico de Bode em Malha Fechada

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

MP(magnitude de pico), wp(freqüência de pico), wBw(banda passante)

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

MP, wp, wBw Equações

“A magnitude máxima está relacionada ao amortecimento. Portanto, também relacionada ao sobre-sinal da resposta temporal.”“A freqüência de pico não é a freqüência natural. Pode ser consideradas iguais apenas para baixos valores de amortecimento.”“Não ocorre pico de magnitude para valores de ζ > 0,707. ATENÇÃO: este pico se refere ao pico de magnitude do gráfico de Bode, contudo ocorre pico de reposta temporal (sobre-sinal) para 0< ζ<1.

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Velocidade de Resposta Temporal e Resposta de Freqüência em MF“Ta e Tp são os tempos da resposta temporal, sendo Tp o tempo de pico e Ta o tempo de acomodação.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Sobre-sinal da Resposta Temporal e Amortecimento ζ“O valor de pico UP (sobre-sinal) da resposta temporal é influenciado pelo coeficiente de amortecimento ζ. O sobre-sinal UP deixa de ocorrer quando ζ > 1.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Margem de Fase e Amortecimento ζ“ΦM = 65,52º para ζ=0,707, ou seja, para que a resposta de freqüência em MF não apresente pico de magnitude o valor da ΦM em MA deve ser >= 65,53o.”

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

Para ζ=0,8 ΦM = 69,9o

Diagrama de Bode

TEORIA DE CONTROLE

-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. Editora LTC. Rio de Janeiro. 2002

Referências

TEORIA DE CONTROLE

Introdução“Um controle automático é aplicado na MF com o objetivo de

aumentar a eficiência no processo.”“O controle automático compara o valor real da variável

controlada, que é medida, com o valor de set-point. A partir desta comparação obtém um desvio, e a parir deste desvio age por meio da ação de controle com o objetivo de reduzir este desvio.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

“Ou seja, a maneira pela qual o controlador atua é chamada de ação de controle.”“O sinal de correção é o sinal de saída do controlador, é o resultado da interação da ação de controle com o sinal de erro (desvio).”“Este sinal de correção (c(t)) é o sinal que vai atuar em uma válvula ou em algum motor.”“Sinal de Correção e Variável Manipulada.”“As ações de controle são classificadas da seguinte forma:

ação de controle on-off; ação de controle proporcional; ação de controle integral; ação de controle proporcional-integral; ação de controle proporcional-derivativo; ação de controle proporcional-integral-derivativo.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

a) Ação de Controle ON-OFF

“Sinal de saída faz que o elemento atuante opere apenas em duas posições: ligado e desligado.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

“Resposta típica de uma ação de controle ON-OFF. A variável controlada oscila entre um valor máximo e um mínimo.”“O controle com ação ON-OFF trata-se de uma opção barata.”“Caso seja o objetivo diminuir a amplitude de oscilação da variável controlada, pode-se diminuir o diferencial entre SP Max e SP min. Com isso a atuação com controle, que apresenta apenas um valor máximo C1 ou um valor mínimo C2, irá modificar de valor com maior freqüência podendo diminuir a vida útil do atuador.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Controle ON-OFF sem histerese

Variável lenta Controle de Temperatura

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Controle ON-OFF com histerese

Variável rápida Controle de Pressão

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

b) Ação de Controle Proporcional

“Sinal de saída c(t), em controle contínuo também chamado de sinal de correção, faz que o elemento atuante opere em uma faixa de valores de 0 a 100%. Kp é um amplificador com ganho ajustável. ”

“No controle ON-OFF PV varia em torno do SP. No controle contínuo PV se mantém constante. ”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Controle Proporcional em MA

“A análise ocorre entre o sinal de erro e(t) e o sinal de correção c(t).”“Po é o valor que c(t) assume quando o erro é nulo, é chamado de polarização inicial do controlador.”“Ação Direta: o valor do erro e(t) é somado à polarização.”“Ação Reversa: o valor do erro e(t) é subtraído da polarização.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Banda Proporcional e Ganho Kp

“A Banda Proporcional (BP) é definida com a faixa de erro responsável pela variação de 0 à 100 % da saída do controlador. Existe uma relação entre Banda Proporcional e Kp.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

c) Ação de Controle Integral

“Sinal de saída c(t) varia com uma taxa proporcional ao sinal de erro atuante.”

“Ki é o ganho integral.”

“Erro nulo, variação de saída nula. Porém o sinal c(t) é constante.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

d) Ação de Controle Proporcional-Integral

“Ti é chamado tempo de integração, e é ajustável assim como Kp.”“Efeito da ação proporcional: tende a estabilizar o sistema. Efeito da ação integral: elimina o erro em regime permanente. A inserção da ação integral pode tornar o sistema instável para valores grandes de Kp.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

e) Ação de Controle Proporcional-Derivativo

“Td é chamado constante de tempo derivativo, e é ajustável assim como Kp.”“Efeito da ação derivativa: antecipa a correção da ação proporcional. Também éconhecida como ação antecipatória.”“A ação derivativa é efetiva em períodos transitórios.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

f) Ação de Controle Proporcional-Integral-Derivativo

“Combina as vantagens das 3 ações de controle individuais.”“Kp, Ti e Td são os parâmetros ajustáveis da ação de controle PID.”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Características da Ação de Controle PID“Quando a resposta transitória e em regime permanente ésatisfatória sem a necessidade de compensação dinâmica basta a utilização do controle proporcional.”“Para melhorar a resposta em regime permanente utiliza-se a ação PI.”“Para melhorar a resposta transitória do sistema utiliza-se a ação PD.”“A ação de controle PID é utilizada para melhorar a resposta transitória e a resposta em regime permanente, adicionando 2 zeros e 1 pólo ao sistema.”3 aspectos relevantes do controlador PID: “adição de controle P melhora o tempo de subida”“adição de controle D melhora o efeito da sobre-elevação.”“adição de controle I elimina o erro em regime permanente (offset).”

Ações de Controle

TEORIA DE CONTROLE

Equação no tempo do controle PID

Referência


Ações de Controle

teoria do controle.pdf

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