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CENTRO EDUCACIONAL LEONARDO DA VINCI - UNIASSELVI

ENGENHARIA ELÉTRICA INDAIAL - SC

TEORIA DE CONTROLE

Prof. Aloizio Carlos Eble 2012

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SUMÁRIO

1. APRESENTAÇÃO 6 1.1. DEFINIÇÕES 6 1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE 8 1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 9 1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 10 1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF) 11 1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA 12 1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA 13 1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL 13 1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL 14 1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ? 16 1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 17 1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 21 2.1. INTRODUÇÃO 21 2.2. OBJETIVO 22 2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? 22 2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS 23 2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE 23 2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES 24 2.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL 24 2.8. FUNÇÃO DEGRAU 26 2.9. FUNÇÃO RAMPA 28 2.10. FUNÇÃO SENO 30 2.11. FUNÇÃO COSENO 32 2.12. TEOREMA DA TRANSLACÃO 34 2.13. FUNÇÃO PULSO OU GATE 36 2.14. FUNÇÃO IMPULSO 37 2.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 39 2.16. LINEARIDADE 40 2.17. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR te 40 2.18. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn 41 2.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS 42 2.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS 43 2.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 44 2.22. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 45 2.23. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 45 2.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE RAÍZES REAIS E DISTINTAS 47 2.25. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS 50

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2.26. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS 55 2.27. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO 60 2.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) 63 2.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) 63

3. MODELAGEM MATEMÁTICA 65 3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS 65 3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS 65 3.3. MODELAGEM MATEMÁTICA 68 3.4. CONTROLE CLÁSSICO 68 3.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 68 3.6. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 69 3.7. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 70 3.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E

IMPRÓPRIA 70 3.9. SISTEMAS ELÉTRICOS 71 3.10. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 71 3.11. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS 72 3.12. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 76 3.13. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 79 3.14. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA 80 3.15. SISTEMAS MECÂNICOS 81 3.16. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 81 3.17. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS 81 3.18. MASSA 81 3.19. MOLA 82 3.20. AMORTECEDOR 82 3.21. 2 LEI DE NEWTON 83 3.22. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 88 3.23. SISTEMAS HIDRÁULICOS 90

4. DIGRAMA DE BLOCOS 94 4.1. INTRODUÇÃO: DIGRAMA DE BLOCOS 94 4.2. COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS 94 4.3. BLOCO FUNCIONAL 94 4.4. PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO 95 4.5. PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO 96 4.6. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA 96 4.7. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA 97 4.8. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA 98 4.9. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA) 98

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4.10. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA 100 4.11. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PERTURBAÇÃO (DISTÚRBIO)

101 4.12. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS 103 4.13. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRIE 103 4.14. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO 104 4.15. ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO 105 4.16. REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO 106 4.17. REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO 107 4.18. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM BLOCO 108 4.19. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM BLOCO 108 4.20. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA Á FRENTE DE UM BLOCO 108 4.21. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRÁS DE UM BLOCO 109 4.22. REDISPONDO PONTO DE SOMA (1) 110 4.23. REDISPONDO PONTO DE SOMA (2) 111 4.24. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM PONTO DE SOMA 111 4.25. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM PONTO DE SOMA 112 4.26. REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA 112 4.27. RESUMO DA SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS 113 4.28. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB 116 4.29. BLOCOS EM SÉRIE COM MATLAB 116 4.30. BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB 117 4.31. REALIMENTAÇÃO (FEEDBACK) 118

5. RESPOSTA TRANSITÓRIA 128 5.1. INTRODUÇÃO 128 5.2. SINAIS DE TESTE TIPÍCOS 128 5.3. RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA 129 5.4. PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA 129 5.4.1. PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 129 5.4.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 130 5.4.3. EXEMPLO DE PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 130 5.5. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 135 5.5.1. EQUAÇÃO PADRÃO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 135 5.5.2. FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTALMENTE 138 5.5.3. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM 140 5.5.4. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 141 5.5.4.1. RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO 141 5.5.4.1.1. MANEIRAS DE IDENTIFICAR EXPERIMENTALMENTE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM

144 5.5.4.2. RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA 145 5.5.4.3. RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO 148

iv

5.6. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 150 5.7. INTRODUÇÃO 150 5.8. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM 152 5.9. ANALISE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA DIFERENTES VALORES DO AMORTECI-MENTO 154 5.10. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM 155 5.11. RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO 155 5.12. DEFINIÇÕES E ESPECIFICAÇÕES DE REGIME TRANSITÓRIO 162 5.13. ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTAS TRANSITÓRIAS 164 5.14. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIA 164

6. ERRO EM REGIME PERMANENTE 173 6.1. INTRODUÇÃO 173 6.2. ERRO EM REGIME PERMANENTE 173 6.3. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA 173 6.4. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA 174 6.5. CLASSIFICAÇÃO 176 6.6. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU 177 6.7. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA 178 6.8. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABÓLICA 180 6.9. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES 182 6.10. ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO 184

7. ESTABILIDADE 188 7.1. DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE 188 7.2. TEOREMA DA ESTABILIDADE 188 7.3. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ 189 7.4. ESTABILIDADE RELATIVA 191

8. LUGAR DAS RAÍZES 192 8.1. INTRODUÇÃO 192 8.2. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 193 8.3. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES 194 8.4. RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES 196 8.5. REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES 197 8.6. COMENTÁRIOS SOBRE OS GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES 201 8.7. CANCELAMENTO DOS PÓLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S) 202 8.8. CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓLOS E ZEROS E O LUGAR DAS RAÍZES CORRESPONDEN-

TES 203

v

9. CONTROLADORES 214 9.1. INTRODUÇÃO 214 9.2. AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS 214 9.3. AÇÕES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA) 215 9.4. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) 215 9.5. AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL 218 9.6. AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA 220 9.7. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL 222 9.8. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA 224 9.9. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO 226 9.10. REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID 235 9.11. REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID 235 10. BIBLIOGRAFIA 245 10.1. INTRODUÇÃO 245 11. ANEXO 1 246 11.1. SISTEMAS ELÉTRICOS 246 11.2. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 246 11.3. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR 246 11.4. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO INDUTOR 248 11.5. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA 249 11.6. LEIS DE KIRCHHOFF 249

6

CAPÍTULO 1

1. APRESENTAÇÃO

1.1. DEFINIÇÕES

Sistema: é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo

objetivo. Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes, sem limitações de quantidade

ou qualidade. Um sistema pode ter qualquer tamanho ou de quaisquer proporções dimensionais.

Por exemplo: o sistema elétrico de uma casa tem dimensões completamente diferentes das de um

sistema elétrico de um país. Além disso, um sistema não está limitado a algo físico. O conceito de

sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados

em economia.

Dinâmica: refere-se a uma situação ou estado que é dependente do tempo. Mesmo uma

variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica

uma vez que uma constante é também uma função do tempo.

O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comporta-

mento, em função do tempo, de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imagi-

nariamente separada para esse fim.

Controle: é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém.

Assim, um Sistema de controle: é uma disposição de componentes, conectados ou relaci-

onados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmos ou a outros sistemas. A Figura 1.1

mostra um sistema de controle elementar onde um espelho controla o feixe de luz.

Figura 1.1 - Espelho controlando feixe de luz

Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entra-

das ou saídas.

Entrada: é o estimulo ou excitação aplicados a um sistema de controle por meio de uma

fonte de energia externa, geralmente a produzir uma resposta especifica do sistema de controle.

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ENTRADAS = SINAIS ATUANTES = EXCITAÇÕES

Saída: é a resposta, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta

específica inferida da entrada.

SAÍDAS = VARIAVEIS CONTROLADAS

Variável controlada: é uma grandeza ou condição que é medida e controlada. Normal-

mente é a saída ou resposta do sistema.

Variável manipulada: é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para

que modifique o valor da variável controlada.

No controle pode-se medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao

sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em rela-

ção a um valor desejado.

Perturbações (ou distúrbios): Sinais indesejados (internos ou externos). São sinais que

tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. Se a perturbação for gerada dentro do

sistema, ela é denominada perturbação interna, enquanto que uma perturbação (distúrbio) externa

é gerada fora do sistema e constitui uma entrada.

Planta: é uma parte de um equipamento, eventualmente um conjunto de itens de uma má-

quina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma certa operação. No nosso caso é

qualquer objeto físico a ser controlado. Exemplo: um forno, uma aeronave, etc.

Processo: é uma operação ou desenvolvimento natural, que evolui progressivamente, ca-

racterizado por mudanças graduais que se sucedem, um em relação às outras, de um modo relati-

vamente fixo (ordenado) e conduzindo a um resultado ou finalidade particular; - uma operação

artificial ou voluntária, que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações contro-

ladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular.

Processo é qualquer operação a ser controlada. Ex: processos químicos, econômicos biológicos.

Controle realimentado: refere-se a uma operação que, mesmo na presença de perturba-

ções ou distúrbios, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de refe-

rência e que opera com base nessa diferença.

Sistema de controle realimentado: é um sistema que mantém uma determinada relação

entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um

meio de controle.

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Sistema regulador automático: é um sistema de controle realimentado em que a entra-

da de referência ou a saída desejada ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem

como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações

1.2. EXEMPLOS DE SISTEMA DE CONTROLE

1) Controle da temperatura de um ambiente

Um aquecedor ou estufa, termostaticamente controlado, regulando automaticamente a tem-

peratura de uma sala ou caixa, é um sistema de controle. A entrada para este sistema é uma tem-

peratura de referência, geralmente especificada pelo ajuste apropriado de um termostato. A saída

é a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a saída é menor que a en-

trada, a estufa proporciona calor até que a temperatura da caixa se torne igual à entrada de refe-

rência. Então a estufa é automaticamente desligada. A

Figura 1.2 mostra o sistema de controle de temperatura de uma sala.

Figura 1.2 - Sistema de controle de temperatura de uma sala

2) Controle da temperatura do corpo humano

Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de perspiração.

Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glândulas sudoríparas se-

gregam fortemente, induzindo ao resfriamento da pele por evaporação. As secreções são reduzidas

quando o efeito de resfriamento desejado é obtido ou quando a temperatura do ar cai suficiente-

mente.

A entrada para este sistema é a temperatura “normal” ou confortável da pele. A saída é a

temperatura presente da pele.

9

3) Comutador elétrico

Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo da eletricida-

de. Por definição, o aparelho ou a pessoa que aciona o comutador não é parte desse sistema de

controle.

O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado como a entra-

da. A entrada pode ser um dos dois estados – ligado ou desligado. A saída é o fluxo ou não fluxo

(dois estados) da eletricidade.

O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares.

4) Ato de apontar um objeto com o dedo

O ato de aparentemente de apontar para um objeto com o dedo requer um sistema de con-

trole biológico, consistindo principalmente dos olhos, do braço, da mão, do dedo e do cérebro de

um homem. A entrada é a direção precisa do objeto (deslocando-se ou não) com respeito a algu-

ma referência e a saída é a direção apontada presentemente com respeito a alguma referência.

5) Homem dirigindo um automóvel

O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo um automóvel, tem componentes

que são claramente artificiais e biológicos. O motorista deseja manter o automóvel na faixa apro-

priada da rodovia. Ele consegue isto observando constantemente o rumo do automóvel com res-

peito à direção da estrada. Neste caso, a direção da estrada, representada pela guias ou linhas de

cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientação do automóvel é à saída do

sistema. O motorista controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corri-

gindo-a com as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema de controle são:

as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e o veículo.

1.3. APRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE

Servosistema (servomecanismo): é um sistema de controle realimentado em que a saí-

da é alguma posição, velocidade ou aceleração mecânicas. O termo servosistema e sistema de

controle de posição (ou velocidade ou aceleração) são sinônimos. São sistemas extensivamente

usados na indústria moderna.

Sistema de controle de processos: é um sistema regulador automático no qual a saída é

uma variável tal como temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH. É exaustivamente usado

na indústria.

Sistema de controle robusto: é um sistema de controle que é insensível a Variações de

parâmetros.

10

Sistema de controle adaptativo: é aquele sistema que tem a habilidade de se auto-

ajustar ou automodificar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou de

estrutura. O próprio sistema de controle detecta variações nos parâmetros da planta e faz os ajus-

tes necessários no nos parâmetros do controlador a fim de manter um desempenho ótimo.

Sistema de controle com aprendizado: é aquele sistema de controle que tem habilidade

de aprender.

1.4. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE

Sistema de controle não-linear Sistema de controle linear

A rigor, os sistemas físicos s ão não lineares

em vários pontos;

N ão é valido o princípio da superposição dos

efeitos;

Elementos n ão-lineares, tipo on-off, são in-

troduzidos intencionalmente no sistema para

otimizar o desempenho. Exemplo: controle de

mísseis.

Se a faixa de variações das variáveis do

sistema não for ampla, então o sistema pode

ser linearizado dentro de uma faixa de varia-

ção relativamente pequena das variáveis;

É valido o princípio da superposi ção dos

efeitos.

Sistema de controle invariante no tempo Sistema de controle variante no tempo

Um SCIT é aquele cujos parâmetros n ão

variam com o tempo (sistema de controle de

coeficientes constantes);

A sua resposta é independente do instante

em que a entrada é aplicada;

Um SCVT é aquele em que um ou mais

parâmetros variam com o tempo (sistema de

controle de coeficientes variáveis);

A sua resposta é dependente do instante

em que a entrada é aplicada;

Exemplo: sistema de controle de um veículo

espacial. (a massa varia com o tempo confor-

me o combustível vai sendo consumido).

Sistema de controle de tempo contínuo Sistema de controle de tempo discreto

Todas as variáveis do sistema s ão funções

de um tempo contínuo t.

Envolve uma ou mais variáveis que são

conhecidas somente em instantes de tempo

discreto.

Sistema de controle de entrada simples saída simples (SISO)

Sistema de controle de múltiplas entradas múltiplas saídas (MIMO)

Exemplo: sistema de controle de posiç ão,

onde há uma entrada de comando (posição

desejada) e uma saída controlada (posição fi-

nal).

Exemplo: sistema de controle de processo,

onde as entradas são pressão e temperatura e

duas saída, também pressão e temperatura.

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Sistema de controle centralizado Sistema de controle distribuído

É controlado através de processador de

central conectado a varias unidades I/O (de

entrada e saída);

Normalmente a comunicaç ão entre o pro-

cessador e as unidades I/O consiste somente

em mensagens de dados. Outros tipos de men-

sagens não têm nenhum significado para um

sistema centralizado;

A comunicaç ão entre o controlador e as

unidades I/O é feita somente através de pedi-

dos de dados e respostas pré-definidas.

Capacidade de processamento distribuída

através de pontos ou nós. Os vários controlado-

res de sistema são interconectados por um vin-

culo de comunicação;

A comunicaç ão entre os diferentes nós con-

siste então de mensagens de dados (medidas,

etc.), mensagens de configuração, pedidos e

respostas, estado, mensagens de erro, até

mensagens de controle de diferentes tipos;

Como conseqü ência, a complexidade de um

Sistema de Controle Distribuído pode ser bem

mais alta do que aquela para o Sistema de Con-

trole Centralizado.

Sistema de controle de parâmetros Con-

centrados

Sistema de controle de parâmetros distri-

buídos

Podem ser descritos por equaç ões diferenci-

ais ordinárias.

Podem ser descritos por equaç ões diferenci-

ais parciais.

Sistema de controle determinístico Sistema de controle estocástico

Se sua resposta à uma entrada é prognosti-

cável e é repetível.

Se sua resposta à uma entrada não é prog-

nosticável e repetível.

Sistema de controle de malha aberta Sistema de controle de malha fechada

Sistema de controle n ão realimentado. Sistema de controle realimentado.

1.5. SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA (SCMA) E MALHA FECHADA (SCMF)

Sistema de controle a malha aberta (SCMA): é aquele sistema em que a saída não tem

nenhum efeito sobre a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida

nem realimentada para comparação com a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas. A Figura

1.3 mostra um sistema de controle de malha aberta.

Figura 1.3 - Sistema de controle de malha aberta

12

Sistema de controle a malha fechada (SCMF): nome dado ao sistema de controle rea-

limentado. Num SCMF a diferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável

controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no con-

trolador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado. O termo contro-

le a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro

do sistema. A Figura 1.4 mostra um sistema de controle de malha fechada.

Figura 1.4 - Sistema de controle de malha fechada

1.6. COMPARAÇÃO ENTRE O SISTEMA DE MALHA FECHADA E ABERTA

Sistema de controle a malha fechada Sistema de controle a malha aberta

Uso da realimentação torna a resposta do

sistema relativamente insensível a distúrbios

externos e variações internas nos parâmetros

do sistema;

Possuem vantagens somente quando os

distúrbios e/ou variações imprevisíveis nos

componentes estão presentes;

A estabilidade é sempre um problema fun-

damental no SCMF, o qual pode tender a corri-

gir erros que podem causar oscilações de am-

plitude constante ou variável;

É possível usar componentes baratos e sem

muita precisão para obter o controle preciso de

uma planta (processo);

Maior número de componentes utilizados

em relação ao SCMA;

Geralmente resultam em sistemas cujo

custo e potência são mais altos;

Na presença de perturbaç ões, um SCMA não

desempenhará a tarefa desejada;

Uso aconselhável quando as entradas s ão

conhecidas antecipadamente e nas quais não há

distúrbio;

É mais fácil construir porque a estabilidade

não constitui um problema significativo;

A precis ão do sistema depende de uma cali-

bração;

S ão usados componentes mais precisos

(mais caros);

Onde aplicável, o SCMA pode ser usado para

diminuir a potência requerida de um sistema;

13

1.7. EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLE DE MALHA ABERTA

O sistema mostrado na Figura 1.5 é normalmente classificado como “malha aberta”. Siste-

mas de controle de malha aberta são aqueles nos quais a informação sobre a variável contro-

lada (nesse caso, a temperatura de saída do líquido) não é usada para ajustar nenhuma das entra-

das do sistema para compensar as variações nas variáveis do processo.

Figura 1.5 - Processo simples de troca de calor

Um sistema de controle malha fechada implica que a variável controlada é medida e o

resultado dessa medida é usado para manipular uma das variáveis do processo, como o calor.

1.8. CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO (RETROALIMENTAÇÃO) – FEEDBACK CONTROL

A realimentação ou feedback pode ser feita através de um operador humano (controle ma-

nual) ou pelo uso de instrumentos (controle automático).

Controle manual: um operador periodicamente mede a temperatura; se a temperatura,

por exemplo, estiver abaixo do valor desejado, ele aumenta a vazão de vapor, pela abertura da

válvula de vapor.

Controle automático: Um dispositivo sensor de temperatura é usado para produzir um si-

nal (elétrico, pneumático, mecânico,....) proporcional à temperatura medida. Esse sinal alimenta

um controlador que a compara com um valor desejado pré-estabelecido, ou ponto de ajuste. Se

existir alguma diferença, o controlador muda a abertura da válvula controladora de vapor para

corrigir a temperatura. Ver Figura 1.6.

Anotações

14

Figura 1.6 - Controle automático de um processo de troca de calor por realimentação

1.9. CONTROLE POR PRÉ-ALIMENTAÇÃO - FEEDFOWARD CONTROL

O controle por pré-alimentação está se empregando largamente. Distúrbios do processo

são medidos e compensados sem se esperar que uma mudança na variável controlada indique que

um distúrbio ocorreu. O controle pré-alimentado é também útil onde a variável de controle final

não pode ser medida.

Figura 1.7 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré-alimentação

No exemplo mostrado na Figura 1.7, o controlador Feedfoward possui habilidade computaci-

onal: usa a taxa de vazão e temperatura medidas na entrada do líquido para calcular a taxa de

vapor necessária para manter a temperatura desejada do líquido de saída.

A equação resolvida pelo controlador relaciona:

a) o calor contido no líquido de entrada

b) vazão de vapor

c) temperatura do líquido de saída

é geralmente denominado modelo do processo.

15

Raros são os modelos e controladores perfeitos; assim, é preferível uma combinação de con-

trole pré e realimentado. Ver Figura 1.8.

Figura 1.8 - Controle automático de um processo de troca de calor por pré e re-

alimentação combinadas

O arranjo de um controlador fornecendo o ponto de ajuste para outro controlador é

conhecido como controle em cascata e é comumente usado no controle por realimentação.

Anotações:

16

1.10. COMO RESOLVER UM PROBLEMA DE CONTROLE ?

A seguir é mostrado um diagrama de blocos de como resolver problemas em sistemas de

controle:

Figura 1.9 - Diagrama de blocos de como resolver problemas de controle

17

1.11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Identifique as quantidades que são entradas e saídas para o espelho ajustá-vel pivotante da Figura 1.10.

Figura 1.10 - Espelho controlando feixe de luz

A entrada é o ângulo de inclinação do espelho , regulado pela rotação do parafuso. A saída

é a posição angular do feixe refletido + da superfície de referência.

02) Identifique uma entrada possível e uma saída possível para um gerador de

eletricidade rotacional.

A entrada pode ser a velocidade rotacional de um motor primário (e.g. uma turbina a va-

por), em revoluções por minuto. Supondo que o gerador não tenha carga aplicada a seus terminais

de saída, a saída pode ser a tensão induzida, nos terminais de saída.Alternativamente, a entrada

pode ser expressa como momento angular do eixo do motor primário e a saída em unidades de

potência elétrica (watts) com uma carga ligada ao gerador.

03) Identifique a entrada e a saída para uma máquina automática de lavar.

Muitas máquinas de lavar (mas nem todas) são operadas da seguinte maneira:

Depois que as roupas forem colocadas na máquina, o sabão ou detergente, o alvejante, e a

Água dão entrada nas quantidades apropriadas. A programação para lavar e torcer é então fixada

pelo regulador de tempo e a lavadeira é ligada. Quando o ciclo é completado a máquina se desliga

por si própria. Se as quantidades apropriadas de detergente, alvejante e água e a temperatura

desta são predeterminadas pelo fabricante da máquina, ou entram, automaticamente, então a

entrada é o tempo em minutos para o cicio da lavagem e espremedura. O regulador de tempo é

geralmente ajustado por um operador humano.

A saída de uma máquina de lavar é mais difícil de identificar. Definamos limpo como a au-

sência de todas as substancias estranhas dos itens a serem lavados. Então podemos identificar a

saída como, a porcentagem de limpeza. Portanto, no inicio de um ciclo, a saída é menos do que

100 %, e, no fim de um ciclo, a saída ideal é igual a 100% (roupas limpas não são sempre obti-

das).

Para muitas máquinas, operadas com moedas, o ciclo é fixado e a máquina começa a funci-

onar quando a moeda entra. Neste caso, a porcentagem de limpeza pode ser controlada, ajustan-

18

do-se a quantidade de detergente, alvejante, água, e a temperatura desta. Podemos considerar

todas as quantidades como entrada.

Outras combinações de entradas e saídas são também possíveis.

04) Identifique os componentes entrada e saída, e descreva a operação de um sistema de controle biológico, consistindo num ser humano que tenta apanhar um ob-

jeto.

Os componentes básicos desse sistema de controle são: o cérebro, o braço, a mão e os

olhos.

O cérebro envia pelo sistema nervoso o sinal desejado para o braço e a mão, a fim de apa-

nhar o objeto. Este sinal é amplificado nos músculos do braço e da mão, que servem como atuado-

res de potência para o sistema. Os olhos são empregados como um dispositivo sensível, continua-

mente “retroagindo" á posição das mãos para o cérebro.

A posição da mão é a saída para o sistema. A entrada é a posição do objeto.

O objetivo do sistema de controle é reduzir a zero a distância entre a posição da mão e a

posição do objeto.

05) Explique como uma máquina automática de lavar de malha fechada pode operar.

Suponha que todas as quantidades descritas como entradas possíveis no problema 03), a

saber: ciclo, tempo, volume de água, temperatura da água, quantidade de detergente, quantidade

de branqueador, podem ser ajustados por dispositivos tais como válvulas e aquecedores. Uma má-

quina de lavar de ciclo fechado mediria continuamente ou periodicamente a porcentagem de lim-

peza (saída) dos itens que estão sendo lavados, ajustaria as quantidades de entrada e desligar-se-

ia quando 100% de limpeza fossem atingidos.

06) Como são calibrados os seguintes sistemas de ciclo aberto: (a) máquina au-tomática de lavar (b) Torradeira automática (c) voltímetro?

(a) As máquinas automáticas de lavar são calibradas considerando-se qualquer combinação

das seguintes quantidades de entrada: (1) quantidade de detergente, (2) quantidade de alvejante,

(3) quantidade de água, (4) temperatura da água, (5) ciclo de tempo.

Em algumas máquinas de lavar uma ou mais dessas entradas são predeterminadas pelo fa-

bricante.

As restantes quantidades devem ser fixadas pelo usuário c dependem de fatores tais como,

grau de dureza da água, tipo de detergente e tipo ou eficácia do alvejante. Uma vez determinada

19

esta calibração para um tipo especifico de lavagem (e.g. só roupas brancas, roupas muito sujas)

em geral não terá que ser alterada durante a vida da máquina.

Se a máquina apresenta defeito e são instaladas pelas de reposição, provavelmente será ne-

cessária uma recalibração.

(b) Conquanto o mostrador do regulador de tempo em muitas torradeiras automáticas seja

calibrado pelo fabricante (e.g. clara-média-escura), a quantidade de calor produzido pelo elemento

aquecedor pode variar dentro de uma ampla faixa. Além disso, a eficiência do elemento aquecedor

normalmente se reduz com o tempo. Em conseqüência, o prazo exigido para uma “boa torrada"

deve ser fixado e periodicamente reajustado pelo usuário. Primeiramente, a torrada em geral mui-

to clara ou escura. Depois de várias tentativas diferentes, sucessivas, o tempo de torração neces-

sário para uma qualidade desejada de torrada é obtido.

(c) Em geral, um voltímetro, é calibrado pela comparação com uma fonte padrão de tensão

conhecida, e apropriadamente marcada a escala de leitura a intervalos especificados.

07) Identifique a ação de controle nos sistemas dos problemas 01, 02 e 04.

Para o sistema de espelho do problema 01, a ação de controle é igual á entrada, isto é, o

ângulo de inclinação do espelho . Para o gerador do problema 02 a ação de controle é igual à

entrada, a velocidade de rotação ou momento angular do eixo do motor primário. A ação de con-

trole, no sistema humano do problema 04, é igual á distância entre a mão e a posição, do objeto.

08) Quais dos sistemas de controle dos problemas 01, 02 e 04 são de malha aber-

ta? De malha fechada?

Visto que ação de controle é igual à entrada para o sistema do problema 01 e 02, não existe

realimentação e os sistemas são de malha aberta. O sistema humano do problema 04 é de malha

fechada porque ação de controle é dependente da saída, posição da mão.

1.12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) (a) Explique a operação dos sinais ordinários de tráfego, que controlam o fluxo automo-

bilístico nas interseções das rodovias. (b) Por que são eles sistemas de controle em malha aberta?

(c) Como pode o tráfego ser controlado mais eficientemente? (d) Porque é o sistema (c) de malha

fechada?

02) (a) Indique os componentes e as variáveis do aparelho de controle biológico envolvido

na marcha em uma direção determinada (b) Porque é a marcha uma operação de malha fechada ?

(c) Sob quais condições o aparelho marcha humana se torna um sistema de malha aberta?

20

03) Desenvolva um sistema de controle simples que ligue automaticamente a lâmpada da

sala ao anoitecer e desligue-a a luz do dia. Mostre um esboço do seu sistema.

04) Desenvolva um sistema de controle para levantar ou abaixar automaticamente uma pon-

te levadiça a fim de permitir a passagem de navios. Não é permissível um operador humano contí-

nuo. O sistema deve funcionar inteiramente automático.

21

CAPÍTULO 2

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUÇÃO

A Transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que

surgem na matemática aplicada à Engenharia. Essa transformação reduz o problema de resolver a

equação diferencial a um problema puramente algébrica.

Outra vantagem consiste no fato de que o método leva em conta as condições iniciais sem a

necessidade de determinar em primeiro lugar a solução geral para dela então obter a solução par-

ticular. Particularmente, em Engenharia Elétrica esse método é aplicado em:

Circuitos Elétricos;

Conversão de Energia;

Sistemas de Controle e Servomecanismos.

Algumas vantagens da aplicação da Transformada de Lapace em controle são:

a) Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema de controle sem

a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem.

b) Resolvendo a equação diferencial, obtém-se tanto a resposta transitória como a de regi-

me permanente.

A Transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo, digamos f(t), numa

outra função F(s) onde s=+j é uma variável complexa. Em de terminadas condições, as funções

f(t) e sua transformada F(s) estão relacionadas de forma biunívoca.

Figura 2.1 - Relação das Transformadas diretas e inversas

Transformada Inversa

Transformada Direta

F(S) F(t)

22

O uso de Transformadas de Laplace nos permitirá agora aprofundar a análise das proprie-dades dos sistemas de controle. Encare a abordagem deste Capítulo como uma nova perspectiva, e não perca de vista um aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se mantém!

2.2. OBJETIVO

Este não é um curso de Cálculo. Este Capítulo não tem a intenção de ensinar Transformadas

de Laplace. Nos limitaremos a reunir aqui algumas definições e propriedades já conhecidas (e es-quecidas?) necessárias ao curso de controle.

2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ?

Exemplo: A multiplicação de dois números romanos, VI XIV, com a resposta em número romano.

Procedimento:

Transformar estes números romanos em números arábicos: VI 6; XIV 14;

Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84; Converter a solução do problema transformado para a solução do problema original: 84

LXXXIV : Transformação Inversa.

Procedimento adotado:

Figura 2.2 – Procedimento adotado para se realizar uma transformada

Resolução

Transformada

Inversa

Transformada

Aplicação da PROBLEMA ORIGINAL

VI x XIV

PROBLEMA TRANSFORMADO

6 x 14

SOLUÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL

LXXXIV

SOLUÇÃO DO PROBLEMA TRANSFORMADO

6 x 14

23

2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS

Variáveis complexas: Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária,

sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, teremos então o

que se denomina variável complexa. Na Transformada de Laplace, utiliza-se anotação “s”como

variável complexa. Ou seja:

s j

Onde é a parte real e é a parte imaginária.

Funções complexas: uma função complexa G(s) é uma função de “s”que se tem uma

parte real e uma parte imaginária ou

X YG(s) G jG

Onde Gx e Gy são quantidades reais. O módulo de G(s) é 2 2x yG G , e o argumento angular

de G(s) é 1X Ytg (G /G ) . O ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do sentido positi-

vo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) é x yG(s) G jG .

2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE

Inicialmente, apresentaremos a definição de Transformada de Laplace e em seguida, dare-

mos alguns exemplos para ilustrar a dedução da Transformada de Laplace de várias funções co-

mumente utilizadas.

Vamos definir: f(t) uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0;

S uma variável complexa;

L um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é para

ser transformada pela integral de Laplace st

0e dt

F(s) Transformada de Laplace de f(t)

Então a Transformada de Laplace é de f(t) é definida por:

st st

0 0L[f(t)] F(s) e dt f(t) f(t) e dt

Anotações

24

2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES

2.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial é uma das funções mais importante porque as exponenciais aparecem

sempre na solução das equações diferenciais. A função exponencial é definida como:

t

0 f(t)

A e

p / t 0p / t 0

Onde A e α são constantes.

Por definição:

st

0F(s) L[f(t)] f(t) e dt

onde: tf(t) Ae

Temos:

t t st ( s)t

0 0F(s) L[Ae ] Ae e dt A e dt

Artifício: u -( s) t

du -( s) dt 1

dt - du( s)

Então: u u u

00 0

du A AF(s) A e e du e

( s) ( s) ( s)

Mas:

u -( s) t Logo:

( s)t 0

0

A A AF(s) e e e

( s) ( s) ( s)

AF(s)

(s )

Portanto:

tf(t) A e A

F(s) (s )

25

Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:

a) 6tf(t) 3 e F(s)

b) 3tf(t) 2 e F(s)

c) 3tf(t) 2 e F(s)

d) 8tf(t) e F(s)

e) tf(t) 9 e F(s)

f) tf(t) e F(s)

02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções:

a) 3

F(s) (s 2)

f(t) =

b) 4

F(s) (s 3)

f(t) =

c) 7

F(s) (s 5)

f(t) =

d) 3

F(s) (s 5)

f(t) =

e) 1

F(s) (s 1)

f(t) =

f) 1

F(s) (s 1)

f(t) =

Anotações

26

2.8. FUNÇÃO DEGRAU

A função degrau corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma determinada

condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num

capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o início da

ação de uma força por exemplo. A função degrau é definida como:

0

f(t)A

p / t 0p / t 0

Onde A é constante.

Por definição:

st


onde: f(t) A

Temos:

st st

0 0F(s) L[A] A e dt A e dt

Artifício: u -s t

du -s dt 1dt - du

s

Então: u u u

00 0

du A AF(s) A e e du e

s s s

mas: u -s t

Logo:

s t 0

0

A A AF(s) e e e

s s s

A

F(s) s

Portanto:

f(t) A AF(s) s

27

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:

a) f(t) 3

F(s)

b) f(t) 2

F(s)

c) f(t) 4

F(s)

d) f(t) 1

F(s)

e) f(t) 9

F(s)

f) f(t) 1

F(s)

02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções

a) 3F(s)

s

f(t) =

b) 4F(s)

s

f(t) =

c) 7F(s)

s

f(t) =

d) 3F(s)

s

f(t) =

e) 1F(s)

s

f(t) =

f) 1F(s)

s

f(t) =

Anotações

28

2.9. FUNÇÃO RAMPA

A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma

ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tem-

po tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não

ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é defi-

nida por:

0

f(t)A t

p / t 0 p / t 0

Onde A é constante. Por definição:

st


onde: f(t) A t

Temos:

st st

0 0F(s) L[At] A t e dt A t e dt A u v v du

Artifício: u t -stdv e

du dt dt du -st1v - e

s

Então:

st st

0

v vu du0

1 1 F(s) A t e e dt

s s

s( ) s(0) st

0

1 1 1F(s) A e 0 e e dt

s s s

s s 0st2 2 2 2 20

1 1 1 1 AF(s) A e A e e A

s s s s s

2

AF(s)

s

Portanto:

f(t) A t 2A

F(s) s

29

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 t

F(s)

b) f(t) 2 t

F(s)

b) f(t) 4 t

F(s)

d) f(t) 1 t

F(s)

e) f(t) 9 t

F(s)

f) f(t) t

F(s)


a) 23

F(s) s

f(t) =

b) 24

F(s) s

f(t) =

c) 27

F(s) s

f(t) =

d) 2

3F(s)

s

f(t) =

e) 2

1F(s)

s

f(t) =

f) 2

1F(s)

s

f(t) =

Anotações

30

2.10. FUNÇÃO SENO

Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmô-

nica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é defi-

nida como:

0 p / t 0 f(t)

A sen( t) p / t 0

Onde: A e ω são constantes.

A Amplitude da forma da onda.

ω Freqüência da forma da onda.

Por definição:

st


onde: f(t) A sen( t)

Temos:

st st

0 0F(s) L[A sen( t)] A sen( t) e dt A sen( t) e dt

Fórmula Euler: je cos j sen j je e

sen 2j

je cos - j sen j je e

cos 2

Então:

j t j t

st (s j )t (s j )t

0 0

e e AF(s) A e dt e e dt

2j 2j

(s j )t (s j )t (s j )t (s j )t

0 00 0

A A 1 1F(s) e dt e dt e e

2j 2j (s j ) (s j )

0 0A 1 1F(s) e e e e

2j (s j ) (s j )

2 2A 1 1 A (s j ) (s j ) A (s j s j )

F(s)2j (s j ) (s j ) 2j (s j )(s j ) 2j s

2 2

A j j AF(s)

2j 2js

2j2 2 2 2

As s

2 2A

F(s)s

Portanto:

f(t) A sen( t) 2 2A

F(s)s

31

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 sen(t)

F(s)

b) f(t) 2 sen(3t)

F(s)

b) f(t) 4 sen(7t)

F(s)

d) f(t) sen(t)

F(s)

e) f(t) 4 sen(8t)

F(s)

f) f(t) 3 4 sen(2t)

F(s)


a) 23

F(s) s 5

f(t) =

b) 24

F(s) s 6

f(t) =

c) 27

F(s) s 9

f(t) =

d) 23

F(s) s 25

f(t) =

e) 21

F(s) s 1

f(t) =

f) 2

23F(s)

s 6

f(t) =

Anotações

32

2.11. FUNÇÃO COSENO

Essa função de teste também pode simular um sinal de natureza harmônica. Ela é definida

como:

0 p / t 0

f(t)A cos( t) p / t 0

Onde: A e ω são constantes.

A Amplitude da forma da onda.

ω Freqüência da forma da onda.

Por definição:

st


onde: f(t) A cos( t)

Temos:

st st

0 0F(s) L[A cos( t)] A cos( t) e dt A cos( t) e dt

Fórmula Euler: je cos j sen j je e

sen 2j

je cos - j sen j je e

cos 2

Então:

j t j t

st (s j )t (s j )t

0 0

e e AF(s) A e dt e e dt

2 2

(s j )t (s j )t (s j )t (s j )t

0 00 0

A A 1 1F(s) e dt e dt e e

2 2 (s j ) (s j )

0 0A 1 1F(s) e e e e

2 (s j ) (s j )

(s jA 1 1 A (s j ) (s j ) AF(s)

2 (s j ) (s j ) 2 (s j )(s j ) 2

s j 2 2

)

s

2 2A 2s A

F(s)2 2s

22 2 2 2

s Ass s

2 2As

F(s)s

Portanto:

f(t) A cos( t) 2 2As

F(s)s

33

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 cos(t)

F(s)

b) f(t) 2 cos(3t)

F(s)

b) f(t) 4 cos(7t)

F(s)

d) f(t) cos(t)

F(s)

e) f(t) 4 cos(8t)

F(s)

f) f(t) 3 4 cos(2t)

F(s)


a) 23s

F(s) s 5

f(t) =

b) 24s

F(s) s 6

f(t) =

c) 27s

F(s) s 9

f(t) =

c) 23s

F(s) s 25

f(t) =

d) 2s

F(s) s 1

f(t) =

e) 2

2s3F(s)

s 6

f(t) =

Anotações

34

2.12. TEOREMA DA TRANSLACÃO

Vamos obter a Transformada de Laplace da função transladada f(t ) u(t ) , onde

0 . Essa função é zero para t . As funções f(t) u(t) e f(t ) u(t ) são mostradas a

seguir:

Por definição, a Transformada de Laplace de f(t ) u(t ) é dada por:

st

0L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt

Substituindo a variável independente t por (letra grega Tal), em que t , obtemos:

st s( )

0L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt f( )u( ) e d

Como estamos considerando f(t) 0 para t 0 , para f( )u( ) 0 para 0 . Como con-

seqüência, podemos mudar o limite inferior da integração de para 0. Assim:

s( ) s( )

0L[f(t - )u(t - )] f( )u( ) e d ( )u( ) e d

s s s s s

0 0L[f(t - )u(t - )] f( ) e e d e f( ) e d e F(s)

Onde: st


Então: sL[f(t - )u(t - )] e F(s) para 0

Esta ultima equação estabelece que a translação de uma função no tempo f(t) u(t) de

(onde 0 ) corresponde à multiplicação da transformada F(s) por se .

Portanto:

- sF(s) L[f(t - )u(t - )] e F(s)

Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:

35

a)

Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por: f(t) A u(t - ) - A u t -

Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:

s s s sA A AF(s) e e e es s s

b)

Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por:

A A Af(t) t u(t) t u t t u(t) t u(t )

Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempo é necessário escrever

a função no tempo, na forma: sF(s) L[f(t - )u(t - )] e F(s) , logo:

A Af(t) t u(t) (t ) u(t ) t u(t) (t ) u(t ) u(t )

A A Af(t) t u(t) (t ) u(t ) u(t )

Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:

s s s s2 2 2 2

A A A A 1 1F(s) e e e e

s ss s s s

s s s2 2

A 1 AF(s) 1 e se 1 e 1 s

s s

Exercícios:

36

01) Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:

a)

b)

2.13. FUNÇÃO PULSO OU GATE

37

0 p / t 0 u(t) A p / 0 t

0 p / t

Onde: A é uma constante.

Do teorema da translação temos:

f(t) A u(t) A u(t ) (função pulso no domínio do tempo)

Aplicando a Transformada de Laplace temos:

F(s) L[f(t)] L[A u(t)] L[A u(t ) ]

- sA AF(s) - e

s s - sA

F(s) 1 - es

Portanto:

f(t) A A u(t ) - sAF(s) 1 - e

s

Anotações

2.14. FUNÇÃO IMPULSO

Considerando a seguinte função pulso com a área do pulso igual a 1:

38

Logo a função é dada por:

1 1

f(t) (t) u(t - A)A A

Se a largura do pulso for diminuída e a altura for aumentada, mantendo sempre unitária a área sobre o pulso, no limite, A0 resulta num pulso de largura zero, amplitude infinita e área

unitária.

Neste limite, o pulso é chamado de Impulso Unitário. Veja afigura a seguir:

t 0

0 p / t 0 1(t) lim p / 0 t tt

0 p / t t

A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um

intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois

cessa a atuação. Esta função é também conhecida como função “delta de Dirac”.

Na função impulso unitário a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém

a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito

pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exem-

plo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impul-

so unitário é definida como:

A 0

(t) lim f(t)

A 0

1 1(t) lim - u(t - A)

A A

-As-As

-As

A 0 A 0 A 0

d 1 - e1 e 1 dAL[ (t)] lim lim 1 - e limdAs As As (As)

dA

39

-As

A 0

seL[ (t)] lim 1s

Portanto:

L[ (t)] 1

A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal.

Anotações

2.15. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

40

A Transformada de Laplace (T.L.) possui várias propriedades gerais. Estas propriedades faci-

litam a obtenção da Transformada de muitas funções.

2.16. LINEARIDADE

A Transformada de Laplace (T.L.) é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e

g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos:

1 2 1 2 1 2L[C f(t) C g(t)] L[C f(t)] L[C g(t)] C L[f(t)] C L[g(t)]

Exemplo 01: a) L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)]

L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] L[2 sen(3t) ] L[-4 cos(2t)] 2 L[sen(3t) ] - 4 L[cos(2t)]

2 2 2 2 2 2

3 s 6 4sL[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] 2 - 4 -

s 3 s 2 s 9 s 4

2 26 4s

L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] -s 9 s 4

Exercícios

01) Obter a T.L. das seguintes funções aplicando a propriedade de linearidade:

a) -3tL[2e 5sen(t) - 7t]

b) -t 3 2L[8cos(5t) 3δ(t) - 6e 3sen(4t) 4t 2t 3t 9]

2.17. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR te

41

Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de

f(t) será obtida como:

- t - t

0L[e f(t)] e f(t)dt F(s )

Isto é, a substituição de “s” por “(s-)” na Transformada correspondente a multiplicação da

função original por se .

Exemplo 01: a) tL[e cos( t)]

t

2 2

sL[e cos( t)]

s

b) tL[e sen( t)]

t

2 2L[e sen( t)]

s

Exercícios

01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) 2tL[e sen(3t)]

b) 2tL[e cos(7t)]

2.18. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn

42

Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de

f(t) será obtida como:

n

n nn

d F(s)L[t f(t)] ( 1)

ds Dica:

2

f f ' g - g ' fg g

Se tf(t) e , então:

n - tn 1

n!L[t e ]

(s )

Onde : (n=1,2,3,......)

Exemplo 01: 2 5tL[t e ]=

Logo: n=2 e 5 , então:

2 5t

2 1 3 32! 2 1 2

L[t e ](s 5) (s 5) (s 5)

Exercícios

01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) 2L[t sen(t)]

b) 3 -7tL[t e ]

2.19. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS

43

Se existe a Transformada de f(t) e de f’(t), então a T.L. de f’(t) será obtida como:

-st

0L[f '(t)] f '(t) e dt

0

L[f '(t)] uv v du

Artifício: -stu e -stdu -se dt

dv f '(t) dt v f(t)

Então:

st st0 0

L[f '(t)] e f(t) f(t) se dt

0 st

0L[f '(t)] [e f( ) e f(0)] s f(t)e dt

L[f '(t)] f(0) sF(s) sF(s) f(0)

L[f '(t)] sF(s) f(0)

Similarmente para a derivada n-ésima de f(t):

n

n n-1 n-2 n-2 n-1n

d [f(t)]L s F(s) - s f(0) - s f '(0) sf (0) - f (0)

dt

Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos:

n

nn

d [f(t)]L s F(s)

dt

Anotações

2.20. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS

Se existe a Transformada de f(t), então a T.L. da integral de f’(t) será obtida como:

44

t t -st

0 0 0L f(t)dt f(t)dt e dt

t

0L f(t)dt uv v du

Artifício: t

0u f(t)dt du f(t)dt

stdv e dt st1v e

s

Então: t t st st

0 0 00

1 1L f(t)dt f(t)dt e e f(t)dt

s s

t t st

0 0 0t 0

1 1L f(t)dt f(t)dt f(t)e dt

s s

Fazendo: t1

0 t 0f (0) f(t)dt

Teremos:

1t

0

f (0) F(s)L f(t)dt

s s

Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos:

t

0

F(s)L f(t)dt

s

Anotações

2.21. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de

Laplace F(s) é chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notação utilizada para designá-la

45

é 1L . A Transformada Inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da se-

guinte integral de inversão:

c j1 st

c j

1L [F(s)] f(t) F(s)e ds

2πj

, para t > 0

onde “c”, abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é

deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos

singulares.

O cálculo da integral de inversão é, aparentemente, complicado. Na prática, raramente utili-

zaremos essa integral para a obtenção de f(t). Existem métodos mais simples para encontrar f(t).

Esses métodos são apresentados a seguir.

2.22. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Conhecendo-se a Transformada de Laplace de uma função, pode-se obter a função no tem-

po que a originou aplicando-se as técnicas de transformação inversa. Em muitos casos, pode-se

usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando não possível, deve-se aplicar as

técnicas de decomposição, como:

Integral de convolação;

Expansão em Frações Parciais.

No curso de Teoria de Controle, vamos utilizar o Método de Expansão em Frações Par-

ciais que será apresentado a seguir.

2.23. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t),

apresenta-se freqüentemente do seguinte modo:

B(s)

F(s)A(s)

onde A(s) e B(s) são polinômios em “s”. Na expansão de F(s)= B(s)/A(s) em frações parciais, é

importante que a maior potência de “s” em A(s) seja maior do que a maior potência de

“s” em B(s). Se não for esse o caso, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para

resultar um polinômio em “s” mais um resto (uma relação de polinômio em “s” cujo numerador é

de menor grau que o denominador). Ou seja:

46

B(s) A(s)

R(s) Q(s)

Podemos escrever da seguinte forma:

Q(s) A(s) R(s) B(s)

Dividindo a expressão anterior por A(s), temos:

Q(s) A(s) R(s) B(s) A(s)

Q(s) A(s)

A(s)R(s) B(s)

A(s) A(s)

Logo:

R(s) B(s)

Q(s) = A(s) A(s)

B(s) R(s)

F(s) Q(s) A(s) A(s)

Exemplo 01: Obter a Transformada Inversa de Laplace de:

a) 2B(s) s 3s 3

F(s)A(s) s 1

2 s2

3s 3 s 1

s

s s 2

2s

3

-2s

- 2

1

Logo: 1F(s) s 2

s 1

Aplicando a T.I.L. temos:

1 1 1 1 1L [F(s)] L [s] L [2] L

s 1

tdδ(t)f(t) 2δ(t) e

dt

Exercícios

01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de:

47

a)

3 2B(s) s 5s 9s 7F(s)

A(s) s 1 s 2

Se a potência de “s” em A(s) é maior do que a maior potência de “s” em B(s) en-

tão, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes:

1 2 nF(s) F (s) F (s) F (s)

e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s) são conhecidas de imediato, então:

1 1 1 1

1 2 nL [F(s)] L [F (s)] L [F (s)] L [F (s)]

Logo:

1 2 nf(t) f (t) f (t) f (t)

onde f1(t), f2(t),....., fn(t) são as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s), respectivamente.

Ao aplicar a técnica de expansão em frações parciais para achar a Transformada Inversa de

Laplace de F(s)= B(s)/A(s), devem-se conhecer de antemão as raízes do polinômio do denomina-

dor A(s). [Em outras palavras, este método não é aplicável enquanto o polinômio do denominador não for fatorado.]

A vantagem do método da expansão em frações parciais é que termos individuais de F(s),

resultando da expansão na forma de frações parciais, são funções muito simples de “s”; portanto

não necessitamos consultar uma tabela de Transformadas de Laplace se memorizarmos vários

pares de Transformadas de Lapalce simples.

2.24. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS

Consideremos a F(s) escrito na forma:

48

1 2 k m

1 2 k n

K s z s z s z s zB(s)F(s)

A(s) s p s p s p s p

, para m < n

Onde 1p , 2p , ..., np e 1z , 2z , ..., nz são quantidades reais. Se F(s) possuir somente pólos

(raízes) distintos, ela então poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples, como

está indicado a seguir:

1 2 k n

1 2 k n

b b b bB(s)F(s)


(2.1)

Onde kb (k= 1, 2, ..., n) são constantes. O coeficiente kb é chamado de resíduo do pólo em

ks p . O valor de kb pode ser encontrado ao multiplicar ambos os lados da eq.(2.1) pelo coefi-

ciente genérico “ ks p ” e ao fazer ks p , que resulta em:

k

1 2k k k

1 2s -p

b bB(s)s p s p s p

A(s) s p s p

k

k nk k k

k n s p

b bs p s p b

s p s p

Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de kb . Assim o resí-

duo é determinado por:

k

k ks p

B(s)b s p

A(s)

Note que, como f(t) é uma função real de tempo. Como:

kp t -1 kk

k

bL b e

s p

A função f(t) é obtido como:

1 2 np t p t p t1 2 nf(t) b e b e b e , para t 0.

Anotações

RESUMO:

1 2 k n

1 2 k n

b b b bB(s)F(s)


49

Onde: 1 2 k np ,p , ,p , ,p são reais

Determinação do coeficiente bk qualquer:

Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genérico “(s+pk)” e faz

–se s=-pk, obtendo-se:

k

k ks p

B(s)b s p

A(s)

Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:

a)

s 3F(s)

s 1 s 2

A expansão em frações parciais de F(s) é

1 2b bs 3

F(s)s 1 s 2 s 1 s 2

Onde b1 e b2 são determinados por meio de:

1

S 1 S 1S 1

s 3 s 3 (-1) 3 2b s 1 2

s 1 s 2 s 2 (-1) 2 1

2S 2 S 2S 2

s 3 s 3 (-2) 3 1b s 2 1

s 1 s 2 s 1 (-2) 1 -1

Assim:

-1f(t) L F(s)

-1 -1 -12 -1 2 -1f(t) L L L

s 1 s 2 s 1 s 2

-t 2tf(t) 2e e para t 0

Exercícios

01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:

50

a) 2

s 7F(s)

s 8s 15

b) 2

s 3F(s)

s 9s 20

2.25. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS

A metodologia, neste caso, é semelhante à situação com raízes reais e distintas. Se p1 e p2

são pólos complexos conjugados, então a seguinte expressão pode ser usada:

51

31 2 k n

1 2 3 k n

bs b bB(s)F(s)

A(s) s p s p s p s p s p

(2.2)

Os valores de β1 e β2 determinados multiplicando-se ambos os lados da eq.(2.2) por 1 2s p s p e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:

1

31 2 1 2 1 2

3s -p

bB(s)s p s p [ s ] s p s p

A(s) s p

k1 2

k

bs p s p

s p

1

n1 2

n s p

bs p s p

s p

Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de do termo

1 2( s ) . Portanto:

1

1

1 2 1 2s -ps -p

B(s)s s p s p

A(s)

(2.3)

Como 1p é uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) são grandezas complexas.

Igualando as partes reais de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma equação. Da mesma for-

ma, igualando as partes imaginarias de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma outra equação.

Dessas duas equações é possível determinar β1 e β2. Os outros coeficientes b3,....,bk,....,bn serão

obtidos como no primeiro caso.

RESUMO:

31 2 k n

1 2 3 k n

bs b bB(s)F(s)

A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) (s p )

Onde: 1 1 1p R jI e 2 2 2p R jI são pólos conjugados complexos

Determinação dos coeficientes “β1” e “β2”:

Multiplica-se todos os numeradores por “(s+p1) (s+p2)” e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:

11

1 2 1 2s ps p

B(s)s (s p )(s p )

A(s)

Iguala-se as partes reais e imaginarias de ambos lados da equação. Resolvendo-as obtém os

coeficientes “β1” e “β2”. Os outros coeficientes “b3”, “bk” e “bn” são obtidos como no primeiro caso.

Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:

a) 2

s 1F(s)

s s s 1

52

Para obter β1 e β2:

A F(s) pode ser expandida da seguinte forma:

31 2

2

bss 1 s 1F(s)

s 0s s s 1 1 3j 1 3j 1 3j 1 3js s s - s s -2 2 2 2 2 2 2 2

31 2

2

bss 1F(s)

s 0s s s 1 1 3j 1 3js s -

2 2 2 2

(2.4)

Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por 1 3j 1 3j

s s -2 2 2 2

e impõe

1 3js - -

2 2 obtendo:

11

1 2 1 2s ps p

B(s)s (s p )(s p )

A(s)

1 3j1 2 s -2 2

s 1s

1 3js s2 2

1 3js -2 2

1 3js

2 2

1 3js -

2 2

1 3js -

2 2

1 3j1 2 s - 1 3j2 2 s -2 2

s 1s

s

1 2

1 3j 1 3j- 1 -2 2 2 21 3j-

2 2 1 3j 1 3j- -2 2 2 2

(multiplica-se pelo conjugado)

1 1 2

1 3j 1 3j 1 3j 3j 3-2 2 2 21 3j 4 4 4 4x

2 2 1 3j 1 3j 1 3j- -2 2 2 2 4 4

3j4

1 3j2 23

4

Logo:

1 2 11 3j 1 3j2 2 2 2

53

Para obter b3:

Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equação, respectivamente

obtemos:

1 2

1

1 12 2

3j 3j2 2

Resolvendo o sistema de equações, resulta:

1 1

2 0

Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por s e faz s = 0 , obtêm:

3s 1

bs

2s

(s s 1) 2 2S 0S 0

s 1 (0) 1 11

1s s 1 (0) (0) 1

3b 1

Portanto:

22

s 1 s 1F(s)

ss s 1s s s 1

A equação: 2s s 1 pode ser reescrita da seguinte forma: (s+R)2+I2, onde R é a parte re-

al e I é a parte imaginaria das raízes complexas. Ou seja:

222 1 3

s s 1 s2 2

Logo:

2 22 2

s 1 s 1 s 1F(s)s ss s 1s s s 1 1 3s

2 2

2 2 22 2 2

11 1 1ss 1 122 2 2F(s)s s1 3 1 3 1 3s s s

2 2 2 2 2 2

A Transformada Inversa de Laplace F(s) é então dada por:

-1f(t) L F(s)

54

-1 -12 22 2

1 3 1s 12 2 2f(t) L F(s) Ls1 3 3 1 3

s s2 2 2 2 2

1 1t t2 23 3 3

f(t) e cos t e sen t 12 3 2

para t 0

DICA:

A ocorrência de raízes complexas gera a presença de termos oscilatórios na resposta dinâmica e a

possibilidade de uma formatação genérica para a solução final, usando funções trigonométricas.

Portanto, o modo mais usual é fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e

uma função cossenoidal amortecida.

t2 2

L e sen ts

t

2 2

sL e cos t

s


a) 22s 12

F(s)s 2s 5

A função F(s) pode ser expandida em uma função senoidal amortecida e uma função cosse-

noidal amortecida:

2 2 22s 12 2s 12 2(s 1) 10

F(s)s 1 2j s 1 - 2js 2s 5 s 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22s 12 2(s 1) 10 (s 1) 2

F(s) 2 5s 2s 5 s 1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2

-1f(t) L F(s)

-1 -1

2 2 2 2

(s 1) 2f(t) 2L 5L

s 1 2 s 1 2

t tf(t) 2 e cos 2t 5 e sen 2t para t 0

Exercícios


55

a) 2s 7

F(s)(s 2s 5)(s 3)

b) 2

s 2F(s)

s 3s 4

2.26. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS

56

Considere a F(s) =B(s)/A(s), onde A(s) =0 tem raízes P1 de multiplicidade “r”. [As outras raízes são supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como:

r1 r 12 r 2 nA(s) s p s p s p s p

A expansão em frações parciais de F(s) é:

r jr r 1 1

r r 1 r j11 1 1

bb b bB(s)F(s)

A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p )

r 1 r 2 n

r 1 r 2 n

a a as p s p s p

(2.5)

Onde br, br-1,...., b1 são dados por:

1

rr 1

s p

B(s)b (s p )

A(s)

1

rr 1 1

s p

d B(s)b (s p )

ds A(s)

1

jr

r j 1js p

1 d B(s)b (s p )j! A(s)ds

1

r 1r

1 1r 1s p

1 d B(s)b (s p )(r 1)! A(s)ds

Estas relações para os valores de “b” podem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da

eq.(2.5) por (s+p1)r e fazer s tender a –p1, temos:

1

rr 1

s p

B(s)b (s p )

A(s)

Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e então derivarmos com relação a

“s”, r r

r 1 11 r r 1r r 1

1 1

(s p ) (s p )d B(s) d d(s p ) b b

ds A(s) ds ds(s p ) (s p )

r r1 1

1 r 1rr 11

(s p ) (s p )d db a

ds ds (s p )(s p )

r1

nn

(s p )da

ds (s p )

57

O primeiro termo do lado direito desta ultima equação é igual a zero. O segundo termo é

igual a br-1. Cada um dos outros termos contém alguma potência de (s+p1) como fator, resultando

que quando “s” tende ao valor –p1, estes termos se anulam. Portanto,

11

r rr 1 1 1s p s p

d B(s) d B(s)b lim (s p ) (s p )

ds A(s) ds A(s)

Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciações com relação a “s” e fazendo “s”tender a

–p1, obtemos equações para os br-j.

Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)n é dada por:

1

n 1p t -1

n1

1 tL e

(n 1)!s p

As constantes ar+1, ar+2, ...., na, na eq. (2.5) são determinadas a partir de:

k

k ks p

B(s)a (s p )

A(s)

k r 1,r 2, ,n

A Transformada Inverda de Laplace de F(s) é então obtida como visto a seguir:

1p t -1 r 1 r 2r r-1

2 1b b

f(t) L [F(s)] t t b t b er 1 ! r 2 !

r 1 r 2 np t p t p tr 1 r 2 na e a e a e (t ≥ 0)

RESUMO:

r jr r 1 1r r 1 r j

11 1 1

bb b bB(s)F(s)

A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p )

Onde: r

1(s p ) são os pólos múltiplos

Determinação do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1:

1

rr 1

s p

B(s)b (s p )

A(s)

1

rr 1 1

s p

d B(s)b (s p )

ds A(s)

1

jr

r j 1js p

1 d B(s)b (s p )j! A(s)ds

1

r 1r

1 1r 1s p

1 d B(s)b (s p )(r 1)! A(s)ds

Dica: n 1 at

n1 1

t e(n 1)! (s a)

58


a) 2

3s 2s 3

F(s)(s 1)

A expansão em frações parciais dessa F(s) envolve três termos:

3 2 13 2 1

b b bB(s)F(s)

A(s) (s 1) (s 1) (s 1)

Onde b3, b2 e b1 são determinados como vistos a seguir:

2

3 3 23 3

s 1 s 1

B(s) s 2s 3b (s 1) (s 1) ( 1) 2( 1) 3 2

A(s) (s 1)

2

3 32 3

s 1 s 1

d B(s) d s 2s 3b (s 1) (s 1)

ds A(s) ds (s 1)

22 s 1

s 1

db s 2s 3 2s 2 2(-1) 2 0

ds

3 1 2 2

3 31 3 1 2 3

s 1 s 1

1 d B(s) 1 d s 2s 3b (s 1) (s 1)

(3 1)! A(s) (2)!ds ds (s 1)

1 s 1s 1

1 d 1 2b 2s 2 2 1

2 ds 2 2

Portanto obtemos:

1f(t) L F(s)

1 1 13 2 1

2 0 1f(t) L L L

(s 1) (s 1) (s 1)

2 t tf(t) t e e

2 tf(t) (t 1)e para t 0

59

Exercícios


a) 3

4(s 2s 5)

F(s)(s 3)

b) 2

4

(s 3s 2)F(s)

(s 7) (s 1)

60

2.27. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO

Nesta seção vamos abordar o uso do método da Transformada de Laplace na solução de

equações diferenciais lineares e invariantes no tempo.

O método da transformada de Laplace conduz à solução completa (solução complementar e

solução específica) de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Os métodos clássicos

para a determinação da solução completa de equações diferenciais requerem o cálculo de constan-

tes de integração a partir das condições iniciais. No caso do método da Transformada de Laplace,

entretanto, esse requisito não é necessário porque as condições iniciais estão incluídas automati-

camente na transformada de Laplace da equação diferencial.

Se todas as condições iniciais forem nulas, então a transformada de Laplace da equação di-

ferencial será obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2/dt2 por s2 e assim por diante.

Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo método da Trans-

formada Laplace, estão envolvidas duas etapas.

1. Aplicar a transformada de Laplace a cada termo de uma dada equação diferencial, conver-

ter a equação diferencial em uma equação algébrica em “s” e obter a expressão da Transformada

de Laplace da variável dependente, reorganizando a equação algébrica assim obtida.

2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela Transformada Inversa

de Laplace da variável dependente.

Na discussão a seguir, utilizaremos dois exemplos para ilustrar a solução de equações dife-

renciais lineares invariantes no tempo, por meio do método da Transformada de Laplace.

Exemplo 01: Encontre a solução x(t) da equação diferencial:

x 3x 2x 0 , x(0) a , x(0) b

Onde a e b são constantes.

Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou

L[x(t)] X(s)

Obtemos:

L[x(t)] sX(s) x(0) 2L[x(t)] s X(s) sx(0) x(0)

E, assim, a equação diferencial dada torna-se: 2s X(s) sx(0) x(0) 3 sX(s) x(0) 2X(s) 0

Substituindo as condições iniciais dadas nessa última equação, obtemos:

2s X(s) as b 3 sX(s) a 2X(s) 0

61

Ou

2s 3s 2 X(s) as b 3a

Resolvendo em relação a X(s), temos:

2

as b 3a as b 3a 2a b a bX(s)

(s 1)(s 2) (s 1) (s 2)s 3s 2

A Transformada Inversa de Laplace de X(s) resulta em:

1 1 12a b a bx(t) L X(s) L L

(s 1) (s 2)

t 2tx(t) (2a b)e (a b)e , para t ≥ 0

Que é a solução da equação diferencial dada. Note que as condições iniciais a e b aparecem

na solução. Assim, x(t) não tem constantes indeterminadas.

Exemplo 01: Encontre a solução da equação diferencial:

x 2x 5x 3 , x(0) 0 , x(0) 0

Observando-se que L[3] 3 / s , x(0) 0 , x(0) 0 , a transformada de Laplace da equação

diferencial torna-se:

2 3s X(s) 2sX(s) 5X(s)s

Resolvendo para X(s), encontramos:

2 2

3 3 1 3 s 2X(s)

5 s 5s(s 2s 5) s 2s 5

2 2 2 2

3 1 3 2 3 s 1X(s)

5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2

Conseqüentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se:

1x(t) L X(s)

1 1 12 2 2 2

3 1 3 2 3 s 1x(t) L L L

5 s 10 5(s 1) 2 (s 1) 2

t t3 3 3

x(t) e sen(2t) e cos(2t)5 10 5

, para t ≥ 0

Que é a solução da equação diferencial.

62

Exercícios

01) Qual é a solução das seguintes equações diferenciais ? a) 2x 7x 3x 0 , x(0) 3 , x(0) 0

b) 2n nx 2 x x 0 , x(0) a , x(0) b

63

2.28. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI)

O teorema do valor inicial (TVI) permite que se descubra o valor inicial f(0 ) do sinal f(t)

cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que:

t 0 sf(0 ) lim f(t) lim s F(s)

2.29. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)

O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor final f( ) do sinal f(t) cuja

Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que:

t s 0f( ) lim f(t) lim s F(s)

Restrições de aplicação : Os pólos de F(s) B(s) / A(s) , após cancelamento dos termos comuns, têm que estar no

semi-plano esquerdo (SPE); Só é permitido um único pólo em s=0 (é de esperar f( ) = cte como na função degrau);

O valor de f( ) é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo j , pois a

f(t) conterá funções de tempo oscilante. O valor de f( ) é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo no semi-

plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conterá funções de tempo crescentes exponencialmente. Este teorema não se aplica quando f(t) for uma função senoidal sen(t), pois s F(s) tem

pólos em s= j e o tlim f(t)

não existe.

Exemplos: Encontre valor inicial f (0 ) o valor final f( ) dos sinais abaixo:

a)

2

12(s 1)F(s)

s(s 1)

Valor inicial:

2s

12(s 1)f(0 ) lim s 0

s(s 1)

Valor final: Indefinido, pois F(s) tem pólos conjugados s = ±j2 no eixo j

64

b) 4s 5

F(s)2s 1

Valor inicial: Como a ordem dos dois polinômios numerador e denominador são iguais efetua-se a

divisão polinomial:

4s 5 3

F(s) 2 2 Y(s)2s 1 2s 1

e aplica-se o teorema do valor inicial a Y(s):

s s

3f(0 ) lim sY(s) lim s 1.52s 1

Valor final: Podemos aplicar o teorema do valor final diretamente a F(s):

2

s 0 s 0

4s 5sf( ) lim s F(s) lim s 0

2s 1

65

CAPÍTULO 3

3. MODELAGEM MATEMÁTICA

3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS

Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e

efeito de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos as-

semelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora representativos das características

mais importantes. Os modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos

sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças).

Pode-se prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico

ou matemático. Por exemplo, seja o sistema dinâmico mostrado na Figura 3.1, composto por uma

massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se

desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A equação mate-

mática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da massa e da ex-

tremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na figura.

0 0 i 0 imx b(x x ) k(x x ) 0

Figura 3.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a sus-

pensão de um veículo.

3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS

O diagrama mostrado Figura 3.2 ilustra os diferentes tipos de sistemas e os modelos mate-

máticos utilizados na sua representação. Sistemas dinâmicos estocásticos possuem um comporta-

mento imprevisível, e portanto não podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma dinâ-

mica estocástica. Sistemas determinísticos, ao contrário, possuem uma dinâmica previsível que

pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinístico, ele pode ser modelado por

parâmetros concentrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros concentrados significa que, dado

as condições do sistema num instante, é possível prever a sua condição em qualquer instante. Já

com parâmetros distribuídos, o estado é uma função de outros parâmetros. Um exemplo de um

sistema com parâmetros concentrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Figura

3.1. Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferencial no tempo (df/dt). A distribuição

66

de temperatura numa placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos,

uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posição do ponto e do tempo. Sistemas a

parâmetros distribuídos são governados por equações diferenciais parciais (∂f/∂x). Quando o sis-

tema possuir parâmetros concentrados, ele poderá ser modelado por funções contínuas ou discre-

tas no tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados ins-

tantes de tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade

discreta pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição

for discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de

sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a

temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc. Se um sistema dinâ-

mico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível

obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos calculados pelo com-

putador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o sufi-

ciente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.

Figura 3.2 - Sistemas dinâmicos e sua representação por modelos matemáticos

67

Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou não linear. Sis-

temas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se assemelham à

equação de uma reta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o

cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os

coeficientes da equação linear podem ser constantes ou então variar lentamente no tempo. Se os

coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear.

Exemplos de sistemas com parâmetros variantes no tempo são aeronaves e foguetes. Neles, a

massa do veículo varia conforme o combustível é consumido, e as características dinâmicas sofrem

influência desta variação. Finalmente, os sistemas podem ainda depender de apenas uma ou de

mais de uma variável de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas monovariáveis e no segundo

tem-se sistemas multivariáveis. A Figura 3.1 mostra um exemplo de sistema monovariável. Porém,

o conjunto completo de suspensão de um veículo seria um sistema multivariável, já que depende-

ria do número de rodas presentes no veículo. Para cada roda, acrescenta-se uma equação a mais

no modelo matemático e, portanto, mais uma variável de estado.

Serão utilizados aqui apenas modelos matemáticos, uma vez que eles permitem efetuar a

análise do comportamento dinâmico dos sistemas, bem como sua controlabilidade, isto é, a verifi-

cação se estes sistemas podem ou não ser controlados e como deve ser este controle. Além disso,

serão abordados sistemas lineares na quase totalidade do curso, principalmente em virtude de que

a teoria de controle moderna deriva exclusivamente de sistemas lineares. Um sistema y = H(x) é

linear se obedece à relação:

1 2 1 2 1 2H( x x ) H(x ) H(x ) y y

Seja, por exemplo, a equação diferencial ordinária de 2a ordem y mx bx kx y.

Esta equação é linear, pois se x = x1 + x2, então:

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

y mx bx kx m(x x ) b(x x ) k(x x )

mx bx kx mx bx kx

De onde se conclui que:

y = y1 + y2

Nem todos os sistemas físicos reais são lineares. Na verdade, a grande maioria deles é não

linear até um certo grau. Isto não significa que a teoria de controle de sistemas lineares não possa

ser aplicada a sistemas não lineares, mas sim que se deve proceder a uma linearização (quando

possível) do sistema a fim de tornar o controle menos suscetível às não linearidades. Infelizmente

nem sempre esta prática resulta num sistema controlável.

68

3.3. MODELAGEM MATEMÁTICA

A maioria dos sistemas dinâmicos, independente de serem biológicos, elétricos, hidráulicos,

etc, podem ser caracterizados por equações diferenciais utilizando as leis físicas.

Modelos matemáticos é a descrição matemática das características dinâmicas de um siste-

ma. Na obtenção de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do

modelo e precisão dos resultados da analise. Por exemplo:

O exemplo acima mostra um motor de indução com seu respectivo modelo matemático.

3.4. CONTROLE CLÁSSICO

3.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Em teoria de controle, funções chamadas Funções de Transferência são comumente usadas

para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descri-

tos por equações diferencias lineares invariantes no tempo.

A Função de Transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariantes no

tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta) para a

Transformada de Laplace da entrada (função de excitação) sob a hipótese de que todas as condi-

ções iniciais são nulas.

Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferenci-

al:

(n) (n 1) (m) (m 1)

0 1 n 1 n 0 1 m 1 ma y a y a y a y b u b u b u b u

(nm) (3.1)

Onde y é chamada de variável de saída e u é a variável de entrada.

A Função de Transferência deste sistema é obtida tomando-se as Transformadas de Laplace

de ambos os membros da eq.(3.1) e sob hipótese de que todas as condições iniciais são nulas, ou:

n n 1

0 1 n 1 nm m 1

0 1 m 1 m

a s Y(s) a s Y(s) a sY(s) a Y(s)

b s U(s) b s Y(s) b sU(s) b U(s)

69

n n 1 m m 10 1 n 1 n 0 1 m 1 mY(s) a s a s a s a U(s) b s b s b s b

m m 10 1 m 1 m

n n 10 1 n 1 n

b s b s b s bY(s)F(s)

U(s) a s b s a s a

(3.2)

Condições iniciais nulas

L [saída]Função de transferência F(s)L [entrada]

(3.3)

Usando o conceito de Função de Transferência, é possível representar a dinâmica do sistema

pelas equações algébricas em s.

3.6. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A Função de Transferência de um sistema tem várias propriedades úteis:

1) A Função de Transferência de um sistema é a Transformada de Laplace da sua resposta

ao impulso. Isto é, se a entrada para um sistema com Função de Transferência F(s) é o impulso

em todos os valores iniciais zero, a transformada da saída é F(s).

2) A Função de Transferência de um sistema pode ser determinada a partir da equação dife-

rencial do sistema tomando-se a Transformada de Laplace e ignorando todos os termos que resul-

tam dos valores iniciais. A Função de Transferência F(s) é então dada pela eq.(3.3).

3) A equação diferencial do sistema pode ser obtida da Função de Transferência substituin-do-se a variável s pelo operador diferencial d dt .

4) A estabilidade de um sistema linear, invariante com o tempo, pode ser determinada a par-

tir da equação característica. O denominador da Função de Transferência de um sistema igualado a

zero é a equação característica. Conseqüentemente, se todas as raízes do denominador tiverem

partes reais negativas, o sistema é estável.

5) As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os ze-

ros do sistema. A Função de Transferência do sistema pode então ser especificada, a menos de

uma constante, especificando-se os pólos e zeros do sistema. Esta constante, geralmente repre-

sentada por K, é o fator-ganho do sistema. Os pólos e zeros do sistema podem ser representados

esquematicamente por um mapa pólo-zero no plano-s.

70

3.7. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Considerando novamente a Função de Transferência dada pela equação a seguir:

m m 1

0 1 m 1 mn n 1

0 1 n 1 n


U(s) a s b s a s a

(3.4)

Fatorando o polinômio do numerador e do denominador esta mesma Função de Transferên-

cia pode ser expressa em termos do produto dos fatores como:

1 2 m 1 m

1 2 n 1 n

K s z s z s z s zY(s)F(s)

U(s) s p s p s p s p

(3.5)

Quando is z , s é referido para ser um zero da função transferência e quando is p , s é

referido para ser um pólo da Função de Transferência. Assumindo agora que os pólos ip são reais ou complexos mas distintos, podemos escrever

a eq.(3.4) como uma fração parcial:

1 2 n 1 n

1 2 n 1 n

C C C CY(s)F(s)

U(s) s p s p s p s p

(3.6)

Onde 1 2 n 1 nC ,C , ,C ,C são chamados de resíduos e podem ser calculado pelo método fra-

ções parciais visto no capitulo 2.

3.8. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BI-PRÓPRIA E IMPRÓPRIA

Dada uma Função de Transferência F(s), diz-se que é uma Função de Transferência racional

porque ambos (numerador e denominador) são polinômios.

m m 1

0 1 m 1 mn n 1

0 1 n 1 n


U(s) a s b s a s a

As raízes do numerador são chamadas de zeros da Função de Transferência.

As raízes do denominador são conhecidas como os pólos da Função de Transferência.

Se m > n, F(s) é chamada uma Função de Transferência imprópria. Se m n, F(s) é chamada uma Função de Transferência própria.

Se m < n, F(s) é chamada uma Função de Transferência estritamente própria.

Se m = n, F(s) é chamada uma Função de Transferência biprópria, porque sua inversa é

também própria.

71

3.9. SISTEMAS ELÉTRICOS

3.10. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os componentes dos circuitos elétricos são: o capacitor, o indutor e a resistência. Estes

componentes, bem como a relação de tensão e corrente entre eles são descritos no anexo 1. RESUMO:

Quando uma corrente elétrica flui através de cada um dos três componentes básicas de um

sistema elétrico, nominalmente resistência, indutor e capacitor, ela flui de forma proporcional à

diferença de potencial no caso da resistência, como uma integral no tempo para o indutor e como

uma derivada no tempo para o capacitor.

Porém, a função de transferência a ser considerada em cada um destes casos, depende de

qual é a fonte considerada, isto é, a diferença de potencial ou a corrente elétrica. Ou seja, qual das

duas é suposta a variável de entrada e qual delas será a variável de saída. saída. Assim,

R

i e

saídaientradae

seRei

saídaeentradai

seiRe

R

R1

e

e

i

i

C

i e

saídaientradae

setdedCi

saídaeentradai

sedtiC

e 1

sC

1

sC

i

e

e

i

saídaientradae

sedteL

i

saídaeentradai

setdidLe

1

L

i e

sL

sL1

e

i e

i

72

3.11. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS

Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura Abaixo,

considerando que a entrada é a tensão de alimentação vE(t) e a saída é a carga vS(t) nos terminais

do capacitor.

Solução:

Como todos os elementos estão em série, a corrente i(t) que passa pelo circuito é única. A

tensão ve(t) é então dividida entre os diversos elementos, ou seja, a soma das tensões nos termi-

nais dos 3 elementos é igual à tensão de alimentação. Aplicando a segunda lei de Kirchhoff (Lei da

tensão na malha) temos:

Malha 01

E R L CV (t) V (t) V (t) V (t)

E1 di(t)V (t) R i(t) i(t)dt Lc dt

(I)

Malha 02

S CV (t) V (t)

S1

V (t) i(t)dtc

(II)

Aplicando Laplace na eqs.(I e II) temos:

EI(s)

V (s) R I(s) LsI(s)Cs

(III)

SI(s)V (t)Cs

(IV)

Função de Transferência é a relação da transformada de Laplace da saída pela entrada

quando as condições iniciais são nula, logo dividindo a eq.(IV) pela eq.(III) temos:

S

E

I(s) CsI(s)V (s) Cs Cs

I(s) Cs I(s)V (s) R I(s) LsI(s) CRs I(s) CLsI(s)Cs Cs

73

S2 2 2E

1V (s) 1 1 CL

R 1V (s) CRs 1 CLs CLs CRs 1 s sL CL

S

2E

1V (s) CL

R 1V (s) s sL CL

(Função de Transferência)

Exemplo 02: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura abaixo,

considerando que a entrada é a tensão de alimentação VE(t) e a saída é a carga VS(t) nos terminais

do capacitor C2.

Solução:

Malha 01

1 1E R CV (t) V (t) V (t)

E 1 1 1 21

1V (t) R i (t) [i (t) i (t)]dt

C (I)

Malha 02

1 2 2C R C0 V (t) V (t) V (t)

2 1 2 2 21 2

1 10 [i (t) i (t)]dt R i (t) i (t)dt

C C (II)

Malha 03

2S CV (t) V (t)

S 22

1V (t) i (t)dt

C (III)

Aplicando Laplace na eqs.(I e II e III) temos:

E 1 1 1 21

1V (s) R I (s) I (s) I (s)

C s (IV)

74

2 1 2 2 21 2

1 10 I (s) I (s) R I (s) I (s)

C s C s (V)

S 22

1V (s) I (s)

C s (VI)

Da equação (V), obtemos I1(s):

2 1 2

2 21 1 2

I (s) I (s) I (s)R I (s) 0

C s C s C s

1 2 2

2 21 1 2

I (s) I (s) I (s)R I (s)

C s C s C s

2 11

I (s) C sI (s)

1C s2 1

1 2 2I (s) C s

C s R I (s) 2C s

1

1 2 1 2 2 22

CI (s) I (s) C R s I (s) I (s)

C

Substituindo I1(s) na equação (IV)

E 1 1 1 21

1V (s) R I (s) I (s) I (s)

C s

1 1E 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 1 2

C C1V (s) R I (s) C R s I (s) I (s) I (s) C R s I (s) I (s) I (s)

C C s C

1 1 2 2E 1 2 1 1 2 2

2 1

C R I (s) I (s)V (s) R I (s) C R R s I (s)

C C s 1 2 2 1 2 2

1 2 1 1

C R s I (s) C I (s) I (s)C s C C s C s

1 1 1 2 1E 2 1 1 1 2

2 1 2 1

C R C R s CV (s) I (s) R C R R s

C C s C C s

2 2 2

2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1E 2

2 1

C C R s C C R R s C R s C C R s CV (s) I (s)

C C s

2 2 22 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1

E 22 1

C C R R s (C C R C R C C R )s CV (s) I (s)

C C s

(VII)

Dividindo a equação (VI) pela (VII) temos:

75

2

S

E

I (s)

V (s)V (s)

2C s2 2 2

2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 12

2

C C R R s (C C R C R C C R )s CI (s)

C

1C s

S

2E 2 1

V (s) 1V (s) C C

2

1 2 2 1R R s (C C 21 1R C 1 2 1R C C 2 1R )s C

1C

S

2E 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

V (s) 1V (s) C C R R s (C R C R C R )s 1

(Função de Transferência)

Exercícios

01) Obter a Função de Transferência VS(s)/VE(s)

76

3.12. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS

Para resolver circuitos elétricos complexos (os de múltiplas malhas e nós) usando o método

das malhas, podemos executar os seguintes passos:

1. Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.

2. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas

Transformadas de Laplace.

3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.

4. Resolver a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.

5. Resolver o sistema de equações em termos da saída.

6. Elaborar a função de Transferência.

Exemplo 01:

Dado o circuito abaixo, obter a Função de Transferência I2(s)/V(s)

O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em Transformada de Laplace

das impedâncias e das variáveis de circuito, supondo condições iniciais nulas. O resultado está

mostrado abaixo.

O circuito com qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a Fun-

ção de Transferência. Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de

cada malha através da quais se supõe que circulem as correntes I1(s) e I2(s). Ao longo da Malha 1,

onde circula I1(s),

1 1 1 2R I (s) Ls I (s) I (s) V(s)

ou

1 1 2[R Ls] I (s) LsI (s) V(s)

77

Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s),

2 1 2 2 21

Ls[I (s) I (s)] R I (s) I (s) 0Cs

ou

1 2 21

LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs

Combinando os termos, as equações anteriores se tornam equações simultâneas em I1(s) e

I2(s):

1 1 2[R Ls] I (s) LsI (s) V(s)

1 2 21

LsI (s) [Ls R ] I (s) 0Cs

Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de

equações) para resolver a equação anterior em termos de I2(s). Assim:

1

21

2

R Ls V(s)Ls 0

I (s)R Ls Ls

1Ls Ls RCs

Elaborando a Função de Transferência, Resulta

1

2

1 2

[(R Ls) (0)] [( Ls) V(s)]I (s)

1(R Ls) Ls R [( Ls) ( Ls)]Cs

22 21

1 1 2

LsV(s)I (s)

RR Ls R R L s

Cs

2 2

2Ls

R Ls L sCs

2 2 21 1 2 1 2

LsV(s)I (s)

R LCs R R Cs R R CLs LsCs

2

2 21 2 1 2 1

LCs V(s)I (s)

R LC R CL s R R C L s R

2

22

1 2 1 2 1

I (s) LCsV(s) R LC R CL s R R C L s R

78

A seguir é mostrada uma forma geral para escrever rapidamente as equações das malhas do

circuito elétrico.

1 2

Soma das Soma das impe- Soma das tensões impedâncias ao I (s) dâncias comuns às I (s) applicadas ao

longo da Malha 1 duas malhas longo da Malha 1

1 2

Soma das impe- Soma das Soma das tensõesdâncias comuns às I (s) impedâncias ao I (s) applicadas ao

duas malhas longo da Malha 2 longo da Malha 2

Exercícios

01) Obter a Função de Transferência I3(s)/V(s)

Resp: 3 2

34 3 2

I (s) 8s 13s sV(s) 24s 30s 17s 16s 1

79

3.13. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS

80

3.14. MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA

O motor CC é um dispositivo atuador de potência que entrega energia a uma carga, como

está mostrado na Fig. 2.15(a); um esboço de um motor CC está mostrado na Fig. 2.15(b). Uma

vista em corte de um motor CC do tipo panqueca é fornecida na Fig. 2.16.

O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua (CC) em energia mecânica rotati-

va. Uma grande parte do torque gerado no rotor (armadura) do motor está disponível para acionar

uma carga externa. Devido a recursos tais como torque elevado, possibilidade de controle de velo-

cidade sobre uma ampla faixa de valores, portabilidade, característica velocidade-torque bem com-

portada e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle, os motores CC ainda são usados

largamente em numerosas aplicações de controle, incluindo manipuladores robóticos, mecanismos

de transporte de fitas, acionadores de disco, máquinas-ferramentas e atuadores de servoválvulas.

A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação linear

do motor real, e os efeitos de segunda ordem, como histerese e queda de tensão nas escovas,

serão desprezados. A tensão de entrada pode ser aplicada aos terminais de campo ou de armadu-

ra. O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo, desde que o campo não

esteja saturado, ou seja:

f fK i

81

3.15. SISTEMAS MECÂNICOS

3.16. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL

Sistemas mecânicos translacionais são aqueles nos quais os deslocamentos seguem linhas

retas.

3.17. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS

Existem 3 componentes lineares nos sistemas mecânicos translacionais: a massa, a mola e o

amortecedor. Cada um deles possui uma equação que define seu comportamento dinâmico e serão

vistos a seguir.

3.18. MASSA

Massa corresponde à idéia intuitiva de "quantidade de matéria existente em um corpo".

Aplicando-se a lei de Newton numa massa m, por exemplo, tem-se que

f ma mv my ’

Que pode ser interpretada na forma: a força aplicada à massa é igual ao produto da massa

pela aceleração. Nota-se que a aceleração pode ser expressa por meio da derivada temporal da

velocidade v ou então pela segunda derivada do deslocamento y. A massa pode estar submetida a

mais de uma força, e neste caso a equação pode ser generalizada na forma:

if ma mv my

Aplicando-se a Transformada de Laplace nesta relação, tem-se o resultado:

2

iF(s) mA(s) msV(s) ms y(s)

Onde A(s), V(s) e Y(s) representam a Transformada de Laplace da aceleração, velocidade e

deslocamento, respectivamente. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma

massa sujeito à ação de forças.

82

Figura 3.3 - Representação de uma massa m submetida a ação de forças

3.19. MOLA

Uma mola é um objeto elástico flexível usado para armazenar a ener-

gia mecânica . As molas são feitas geralmente de aço endurecido. A equação

da mola é dada pela lei de Hook:

f K y

Onde k é a constante da mola. Nota-se que a força gerada pela mola é sempre contrária ao

deslocamento, isto é, se o deslocamento for positivo a força é negativa e vice-versa. As extremida-

des da mola podem estar submetidas a deslocamentos distintos, como mostra a representação da

mola na Figura 3.5, e portanto a equação fica:

1 2f K (y y )

Nota-se que a mola é admitida como ideal, o que significa que sua massa é nula e que a

força nas suas extremidades são iguais e contrárias. A força na mola pode ser posta também em

função da velocidade das suas extremidades:

k 1 2 1 2f K (y y ) k V dt V dt

Aplicando agora a transformada de Laplace a esta equação, tem-se

K 1 2 1 2K

F (s) K Y (s) Y (s) V (s) V (s)s

A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma mola de coeficiente K sujeita

à ação de forças.

Figura 3.4 - Representação de uma mola de coeficiente k submetida a ação de forças

3.20. AMORTECEDOR

Um amortecedor é um componente capaz de resistir ao movimen-

to de seus terminais. Um amortecedor automotivo é um bom exemplo

deste componente, e sua função é dissipar a energia de oscilação do

veículo causada pela mola. A força no amortecedor é proporcional à

83

velocidade com que as sua extremidades se aproximam ou se afastam, como mostra o esquema

da Figura 3.6, ou seja:

b 1 2 1 2f K v v b y y

A transformada de Laplace da equação acima resulta em:

b 1 2 1 2F (s) K V (s) v (s) bs Y (s) Y (s)

É claro que amortecedores mecânicos são também idealizados, isto é, admite-se que possu-

em massa nula. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma amortecedor sujeito

à ação de forças.

Figura 3.5 - Representação de um amortecedor b submetido a ação de forças

3.21. 2 LEI DE NEWTON

A Lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a 2 Lei de Newton. Para sistemas

de translação a lei estabelece que:

F ma

Onde:

m = massa, kg;

a = aceleração m2/s;

F = força, N.

Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N, a massa

de 1 kg acerela com 1 m/s2.

“Na 2ª lei de Newton, a massa é igual à razão entre a força aplicada num corpo e a respec-

tiva aceleração”.

84

Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema mecânico mostrado na Figura abaixo,

considerando que o termo forçante f(t) é a entrada e a posição da massa, x(t) é a saída.

Solução:

As forças que atuam na massa m são o termo forçante f(t), a força da mola e a força do

amortecedor. Aplicando a lei de Newton nesta massa tem-se:

f(t) kx(t) bx(t) mx(t)

Nota-se que, para deslocamentos positivos, isto é, deslocamentos da massa no sentido posi-

tivo de x, as forças tanto da mola quanto do amortecedor são negativas (direção contrária à de x).

Em virtude disso, deve-se acrescentar o sinal negativo nestas forças quando se calcula a resultan-

te. Aplicando a transformada de Laplace na equação acima tem-se

2F(s) ms X(s) bsX(s) kX(s)

A Função de Transferência é então dada por:

2X(s) 1

G(s)F(s) ms bs k

Dividindo a equação anterior por m, temos:

2

1X(s) mG(s)

b kF(s) s sm m

85

Exemplo 02: Sismógrafo. A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sis-

mógrafo. Um sismógrafo indica o deslocamento de sua carcaça em relação espaço inercial. É utili-

zada para medir deslocamentos de terra durante terremoto (abalos sísmicos).

Vamos definir:

xi = deslocamento da carcaça relativo ao espaço inercial

xo = deslocamento da massa m relativa ao espaço inercial

y = xo - xi = deslocamento da massa m relativamente a carcaça

(Note que, desde que há a produção e uma deflexão estacionária na mola devido á gravidade,

medimos, o deslocamento Xo da massa m em relação à posição de equilíbrio estático.) A equação

para este sistema e dada por:

0 0 i 0 imx b(x x ) k(x x ) 0

Substituindo 0 ix y x nesta última equação, obtemos; uma equação diferencial em y.

(note que y é um sinal que podemos realmente medir.)

imy by ky mx

Tomando a Transformada de Laplace da equação anterior, supondo condições iniciais nulas,

obtemos:

2 2

ims Y(s) bsY(s) kY(s) ms X (s)

2 2iY(s) ms bs k ms X (s)

86

Considerando xi como entrada e y como saída, a Função de Transferência:

2

2i

Y(s) msX (s) ms bs k

2

2i

Y(s) sb kX (s) s sm m

Exemplo 03: A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sistema de sus-

pensão do automóvel. Quando o carro se move ao longo da estrada, os deslocamentos verticais

em pneus a agir como o movimento de excitação do automóvel sistema de suspensão. A resolução

deste sistema consiste em um movimento de translação da centro de massa e de um movimento

rotacional sobre o centro de massa. Modelagem matemática do completar o sistema é bastante

complicada.

Pela 2 lei de Newton temos:

f ma

amor molaf f ma

0 i 0 i 0b(y y ) k(y y ) my

0 i 0 i 0by by ky ky my


87

20 0 0 i ibsY (s) kY (s) ms Y (s) bsY (s) kY (s)

2

0 ims bs k Y (s) bs k Y (s)

02 2i

b ksY (s) bs k m mb kY(s) ms bs k s sm m

Exemplo 03: O sistema de suspensão de uma das rodas de uma camionete clássica está ilustrado

na Figura abaixo. A massa do veículo é m1, e a massa da roda, m2. A mola da suspensão possui

uma constante de mola k1, e o pneu, uma constante de mola k2. A constante de amortecimento do

amortecedor é b. Obter a função de transferência Y1(s)/X(s), a qual representa a resposta do veí-

culo aos solavancos devidos a irregularidades da estrada.

Suspensão de uma camionete

Pela 2 lei de Newton temos:

1 1 1 2 1 1 2m y b(y y ) k (y y ) 0

2 2 2 1 1 2 1 2 2 2m y b(y y ) k (y y ) k y k x


2

1 1 1 2 1 1 1 2m s Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) 0 2

2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2m s Y (s) bsY (s) bsY (s) k Y (s) k Y (s) k Y (s) k X(s)

Simplificando as equações temos:

88

2

1 1 1 1 2m s bs k Y (s) bs k Y (s) 0

22 1 2 2 1 1 2[m s bs k k ]Y (s) [bs k ]Y (s) k X(s)

Após resolver Y1(s)/X(s), temos:

1 2 1

22 21 1 2 1 2 1

Y (s) k [bs k ]X(s) m s bs k m s bs k k bs k

3.22. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL

Sistemas mecânicos rotacionais são bastante semelhantes a sistemas translacionais. A lei de

Newton pode ser aplicada também a elementos que giram, como rotores, freios e molas torcionais.

O equivalente da massa translacional em sistemas mecânicos rotacionais é a inércia ou momento

de inércia. É igual ao produto da massa pelo quadrado do raio de giro.

Portanto, o momento de inércia depende da massa do corpo e também da direção do eixo

de rotação. Um cilindro, por exemplo, possui diferentes momentos de inércia para eixos paralelos

ou perpendiculares ao seu eixo de simetria. O momento de inércia de um corpo qualquer é defini-

do como:

2

vI r dV

Onde r é o raio de giro do elemento de volume dV e ρ é a densidade do material na posição

r. A integral deve ser efetuada em todo o volume V da massa. O raio de giro r é a distância do

elemento de volume dV ao eixo de rotação. O momento de inércia de um cilindro de raio r e massa

m com relação ao seu eixo de simetria vale:

2

cilr

I m2

Uma esfera de raio r e massa m possui momento de inércia com relação a um eixo que pas-

sa pelo seu centro igual a:

2

esfr

I 2m5

A lei de Newton aplicada a uma inércia rotacional é:

iI I I i

89

Onde i é um dos torques aplicados na inércia I, e causa a aceleração angular . ω e θ re-

presentam, respectivamente, a velocidade angular e o ângulo de rotação da inércia. A representa-

ção esquemática da inércia é mostrada na Figura a seguir:

Figura 3.6 – Representação do momento de inércia I, da mola torcional e do amortecedor rotacio-nal.

A transformada de Laplace do torque aplicado à inércia I gera:

2

iT (s) IA(s) Is (s) Is (s)

Sendo que Τ(s), Α(s), (s) e Θ(s) são as transformadas do torque , da aceleração angular

, da velocidade angular ω e do deslocamento angular θ, respectivamente.

A mola torcional (semelhante à mola de um relógio) e o amortecedor rotacional (dois discos

face a face em fricção, como a embreagem de um veículo), mostrados também na Figura 3.5,

seguem expressões análogas aos equivalentes translacionais:

k 1 2 1 2K ( ) k dt dt

Aplicando a transformada de Laplace nestas expressões, tem-se:

k 1 2 1 2k

T (s) k (s) (s) (s) (s)s

e

b 1 2 1 2T b (s) (s) bs (s) (s)

90

3.23. SISTEMAS HIDRÁULICOS

Exemplo 02: Desenvolver o modelo matemático de um Tanque de Liquido. O modelo matemático

irá calcular o nível h, em qualquer instante de tempo. A entrada poderá ser modificada através do

ajuste do sinal de controle da bomba, u.

Assumimos o seguinte (os parâmetros utilizados nas expressões abaixo estão definidos na fi-

gura acima):

A densidade do líquido é a mesma na entrada, na saída, e no reservatório.

O reservatório tem paredes retas e verticais.

A massa do líquido e o nível são relacionados por:

m(t) A h(t)

Onde: é a densidade do líquido (assumida constante)

densidade da água = 1 g/cm3 = 1000 kg/m3

A é a área do fundo do tanque em m2;

m(t) é a massa do liquido em Kg;

h(t) é o nível do liquido em m.

A entrada de fluxo volumétrico através da bomba é proporcional ao sinal de controle da

bomba:

in uq (t) K u(t)

91

O saída de fluxo volumétrico através da válvula é proporcional à raiz quadrada da queda de

pressão sobre a válvula. Esta queda de pressão é assumida para ser igual à pressão hidrostática no

fundo do tanque:

out vq (t) K g h(t)

Balanço de massas (isto é, a variação da taxa de massa é igual ao fluxo entrada menos o

fluxo de saída) produz a seguinte equação diferencial:

in outdm(t) q q

dt

Usando as relações acima, temos:

u vd Ah(t)

K u(t) K g h(t)dt

Vamos agora traçar um diagrama de bloco do modelo matemático. Um bom ponto de parti-

da para começar a traçar o diagrama de blocos, é escrever a equação diferencial como um modelo

de espaço estado, isto é, como uma equação diferencial com a derivada de primeira ordem sozinha

no lado esquerdo. Isto pode ser feito trazendo ρ e A fora da diferenciação e, em seguida, dividindo

ambos os lados por ρA. O resultado da equação diferencial torna-se:

u vd h(t) 1

K u(t) K g h(t)dt A

Esta é uma equação diferencial para h(t). Ela diz como a derivada dh(t)/dt pode ser calcula-

da. h(t) é calculado, integrando dh(t)/dt em relação ao tempo, de um tempo 0 a um tempo t, com

um valor inicial de h(0), na qual vamos denotar por hinit..

Para desenhar o diagrama de blocos do modelo, podemos começar por adicionar um inte-

grador ao diagrama de blocos. A entrada para este integrador é dh/dt, e a saída é h(t). Em segui-

da, adicionamos os blocos da função matemática para construir a expressão dh/dt, na qual esta do

lado direito da equação diferencial. O digrama de blocos resultante para o modelo é mostrado na

figura abaixo.

92

Exemplo 03: O nível de água, h(t), é controlado por um sistema a malha aberta, como está mos-

trado na Figura abaixo. Um motor CC controlado pela corrente de armadura ia gira um eixo, que

abre uma válvula. A indutância do motor CC é desprezível, isto é, La = 0. Igualmente, o atrito de

rotação do eixo do motor e da válvula é desprezível, isto é, b =0. A altura da água no reservatório

é

é

h(t) 1,6 (t) -h(t) dt

A constante do motor é Km = 10 e a inércia da árvore do motor e da válvula é J = 6 X 10-3 kg-m2.

Determinar (a) a equação diferencial para h(t) e v(t) e (b) a função de transferência H(s)/V(s).

93

94

CAPÍTULO 4

4. DIGRAMA DE BLOCOS

4.1. INTRODUÇÃO: DIGRAMA DE BLOCOS

Um sistema de controle pode consistir em vários componentes. Para mostrar as funções de-

sempenhadas por cada componente, em engenharia de controle, comumente usamos um diagra-

ma chamado diagrama de blocos.

Diagrama de blocos é uma representação gráfica de modelos de processos, mais utilizada

em modelos de funções de transferência, e construído usando elementos básicos para representar

as relações entre as variáveis em estudo num determinado processo. Ele permite uma visualização

mais eficiente e rápida das características dinâmicas e dos efeitos de determinadas variáveis sobre

outras que lhes são dependentes. Os diagramas podem indicar claramente o caminho e a trans-

formação de variações entre as variáveis e partes de um mesmo processo ou entre o processo e os

instrumentos interligados a ele para o controle do processo.

Em diagramas de blocos, todas variáveis do sistema são ligadas às outras através de blocos

funcionais.

4.2. COMPONENTES DOS DIGRAMA DE BLOCOS

4.3. BLOCO FUNCIONAL

Bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática sobre o sinal

de entrada do bloco que produz a saída. As Funções de Transferência dos componentes são usu-

almente introduzidas nos blocos correspondentes, que são conectados por setas para indicar o

sentido do fluxo dos sinais. Notar que o sinal pode passar somente no sentido das setas. Assim,

um diagrama de blocos de um sistema de controle mostra explicitamente uma propriedade unilate-

ral. A Figura 4.1 mostra um elemento do diagrama e blocos. O segmento orientado (seta) que

aponta para o bloco indica a entrada [X(s)], e o segmento orientado que sai do bloco representa a

saída [Y(s)]. Tais são citadas como sinais.

Figura 4.1 - Elemento de um digrama de blocos

95

Notar que as dimensões do sinal de saída do bloco são as dimensões do sinal de entrada

multiplicado pelas dimensões da Função de Transferência no bloco.

As vantagens da representação por diagrama de blocos de um sistema residem no fato de

que é fácil formar o diagrama de blocos global do sistema inteiro simplesmente conectando os

blocos dos componentes de acordo com o fluxo do sinal e que é possível avaliar a contribuição de

cada componente para o desempenho global do sistema.

Em geral, a operação funcional do sistema pode ser visualizada mais prontamente exami-

nando-se o diagrama de blocos do que examinando-se o próprio sistema físico. Um diagrama de

blocos contém informação concernente ao comportamento dinâmico, mas ele não inclui nenhuma

informação sobre a construção física do sistema. Conseqüentemente, muitos sistemas não-

similares e não-relacionados podem ser representados pelo mesmo diagrama de blocos.

Deve -ser notado, que em um diagrama de blocos a principal fonte de energia não é explici-

tamente mostrada e que o diagrama de blocos de um dado sistema não é único. Inúmeros dia-

gramas de blocos diferentes podem ser traçados para um sistema, dependendo do ponto de vista

da análise.

4.4. PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO

Com referência à Figura 4.2, um circulo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação

de soma. O sinal mais ou menos em cada segmento orientado indica se este sinal deve ser adicio-

nado ou subtraído. É importante que as grandezas a serem somadas ou subtraídas tenham as

mesmas, dimensões e as mesmas unidades.

Figura 4.2 - Ponto de soma ou detector de erro

Ponto de soma ou detector de erro ou produz um sinal que é a diferença entre a entrada de

referência e o sinal realimentado pelo sistema de controle.

Anotações

96

4.5. PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO

Ponto de junção ou derivação é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco

vai simultaneamente para outros blocos ou pontos de soma. A Figura 4.3 mostra um ponto de

junção ou derivação.

Figura 4.3 - Ponto de junção ou derivação

4.6. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA

A Figura 4.4 mostra um exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha fecha-

da.

Figura 4.4 - Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada

A saída C(s) é realimentada ao ponto de soma, onde ela é comparada com a entrada R(s) de

referência. A natureza de malha fechada do sistema esta claramente indicada pela Figura 4.4. A

saída do bloco, C(s) neste caso, é obtida pela multiplicação da Função de Transferência G(s) pela

entrada no bloco, E(s). Qualquer sistema de controle linear pode ser representado por um diagra-

ma de blocos que, consiste em blocos, pontos de soma e pontos de junção.

Quando a saída é realimentada no ponto de soma para comparação com a entrada, é neces-

sário converter a forma do sinal de saída na forma do sinal de entrada. Por exemplo, em um siste-

ma de controle de temperatura, o sinal de saída é usualmente a temperatura controlada. O sinal de

saída, que tem a dimensão de temperatura, deve ser convertido, em uma força ou posição ou ten-

são (voltagem) antes que possa ser comparado ao sinal de entrada. Esta conversão é realizada

pelo elemento de realimentação cuja Função de Transferência é H(s), conforme mostrado na Figu-

ra 4.5.

97

Figura 4.5 - Sistema de malha fechada

O papel do elemento de realimentação é modificar a saída antes que ela seja comparada

com a entrada. (Na maioria dos casos o elemento de realimentação é um sensor que mede a saída

da planta. A saída do sensor é comparada com a entrada, e o sinal de erro atuante é gerado.) No

presente exemplo, o sinal de realimentação que é realimentado para o ponto de soma para compa-

ração com a entrada é B(s) = H(s) C(s).

4.7. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA

Com referência na Figura 4.6, mostrada a seguir:

Erro! Fonte de referência não encontrada.

Figura 4.6 - sistema de malha aberta

A razão do sinal de realimentação B(s) para o sinal do erro atuante E(s) é chamada Função

de Transferência de malha aberta. Assim:

B(s) H(s) Y(s) (4.1)

Y(s) G(s) E(s) (4.2)

Substituindo Y(s) na eq.(4.1), temos:

98

B(s) H(s) G(s) E(s)

Logo a Função de Transferência de malha aberta é dada por:

B(s)

H(s) G(s) E(s)

4.8. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA

Com referência na Figura 4.7Erro! Fonte de referência não encontrada., mostrada a

seguir:

Figura 4.7 - Sistema de alimentação direta

A razão da saída C(s) para o sinal de erro atuante E(s) é chamada Função de Transferência

de alimentação direta, de modo que:

C(s)

G(s) E(s)

4.9. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA)

Dado o sistema de malha fechada mostrado na Erro! Fonte de referência não encon-trada.:

99

Figura 4.8 - Sistema de malha fechada

Onde:

R(s) Sinal de entrada

C(s) Sinal de saída

B(s) Sinal de realimentação

G(s) F.T direta

E(s) Sinal de erro atuante

H(s) F.T de realimentação

A saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas como segue:

C(s) G(s) E(s) (4.3)

E(s) R(s) - B(s) (4.4)

B(s) H(s) C(s) (4.5)

Substituindo B(s) da eq.(4.5) na eq.(4.4), temos:

E(s) R(s) - H(s)C(s) (4.6)

Substituindo E(s) da eq.(4.6) na eq.(4.3), temos:

C(s) G(s) [R(s)-H(s)C(s)] C(s) G(s) R(s)-G(s)H(s)C(s) C(s) G(s)H(s)C(s) G(s) R(s) C(s)[1 G(s)H(s)] G(s) R(s)

Logo a Função de Transferência de malha fechada é dada por:

C(s) G(s)

R(s) [1 G(s)H(s)]

A equação característica do sistema é determinada a partir de:

1 G(s) H(s) 0

Anotações

100

4.10. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA

Para o sistema mostrado na Figura 4.9 a seguir:

Figura 4.9 - Sistema de malha fechada com realimentação unitária

A Função de Transferência de realimentação é H(s)=1. Logo a saída C(s) e a entrada R(s)

estão relacionadas como segue:

C(s) G(s) E(s) (4.7)

E(s) R(s) - B(s) (4.8)

B(s) C(s) (4.9)

Substituindo B(s) da eq.(4.9) na eq.(4.8), temos:

E(s) R(s) - C(s) (4.10)

Substituindo E(s) da eq.(4.10) na eq.(4.7), temos:

C(s) G(s) [R(s)-C(s)]

C(s) G(s) R(s)-G(s)C(s)

C(s) G(s)C(s) G(s) R(s)

C(s)[1 G(s)] G(s) R(s)

Logo a função transferência de malha fechada com realimentação unitária é dada por:

C(s) G(s)

R(s) [1 G(s)]

A equação característica do sistema é determinada a partir de:

1 G(s) 0

101

4.11. FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PERTURBAÇÃO (DIS-TÚRBIO)

A Figura 4.10 mostra um sistema de malha fechada sujeito a uma perturbação.

Figura 4.10 - Sistema de malha fechada com perturbação

Quando duas entradas (a entrada de referência e a de perturbação) estão presentes em um

sistema linear, cada entrada pode ser tratada independentemente da outra, e as saídas correspon-

dentes a cada entrada sozinha podem ser adicionadas para dar a saída completa. A maneira pela

qual cada entrada é introduzida no sistema é mostrada no ponto de soma ou por um sinal mais ou

por um sinal menos.

Considerar o sistema mostrado na Figura 4.10. Examinando o efeito da perturbação D(s),

podemos admitir que o sistema está em repouso inicialmente com erro nulo; podemos então calcu-

lar a resposta CD(s) somente para a perturbação. Esta resposta pode ser achada da seguinte for-

ma: Para R(s)=0 Calcular a resposta CD(s) devida unicamente à perturbação. Logo:

Arrumando o diagrama de blocos anterior temos:

Obs: Não esquecer de compensar o sinal negativo do ponto de soma da referência R(s). Pode

compensar o sinal em G1(s) ou no ponto de soma da perturbação Ds.

102

Simplificando o diagrama anterior temos:

Deste diagrama podemos obter a seguinte função transferência com relação a perturbação:

D 2

1 2

C (s) G (s)

D(s) 1 G (s) G (s)H(s)

Por outro lado, na consideração da resposta à entrada R(s) de referência, podemos admitir

que a perturbação é zero. Então a resposta CR(s) à entrada de referencia R(s) pode ser obtida da

seguinte forma: Para D(s)=0 Calcular a resposta CR(s) devida unicamente à entrada de referência. Logo:

Simplificando o diagrama anterior temos:

Deste diagrama podemos obter a seguinte função transferência com relação à referência:

R 1 2

1 2

C (s) G (s)G (s)

R(s) 1 G (s) G (s)H(s)

A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e da perturbação pode ser obtida

adicionando as duas respostas individuais. Em outras palavras, a resposta C(s) devido à aplicação

simultânea da entrada de referencia R(s) e da perturbação D(s) é dada por:

R DC(s) C (s) C (s)

103

1 2 2

1 2 1 2

G (s)G (s) G (s)C(s) R(s) D(s)

1 G (s) G (s)H(s) 1 G (s) G (s)H(s)

2

11 2

G (s)C(s) [G (s)R(s) D(s)]

1 G (s) G (s)H(s)

Considerar agora o caso em que |G1(s)H(s)| >>> 1 e |G1(s)G2(s)H(s)| >>> 1. Neste caso, a

função transferência de malha fechada CD(s)/D(s) torna-se quase zero, e o efeito da perturbação é

suprimido. Esta é uma vantagem do sistema de malha fechada.

Por outro lado, a Função de Transferência de malha fechada CR(s)/R(s) tende para 1/H(s)

quando o ganho G1(s)G2(s)H(s) aumenta. Isto significa que se |G1(s)G2(s)H(s)| >>> 1, então a

Função de Transferência de malha fechada CR(s)/R(s) torna-se inversamente proporcional a H(s),

de modo que as variações de G1(s) e G2(s) não afetam a Função de Transferência de malha fecha-

da CR(s)/R(s). Esta é a vantagem do sistema de malha fechada. Pode ser facilmente visto que

qualquer sistema de malha fechada com realimentação unitária, H(s)=1, tende a equalizar a entra-

da e a saída.

4.12. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS

É importante notar que os blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um

bloco não for afetada pelo bloco seguinte. Se houver quaisquer efeitos de carregamento entre os

componentes é necessário combinar estes componentes em um único bloco.

Qualquer número de blocos em cascata representando componentes sem efeito de carrega-

mento pode se substituído por um único bloco, cuja Função de Transferência é simplesmente o

produto das funções de transferência individuais.

Um diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser

simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de diagramas de bloco.

Algumas destas importantes regras são dadas a seguir.

Deve ser notado, no entanto, que como o diagrama de blocos é simplificado, as Funções de

Transferências nos novos blocos tornam-se mais complexas porque novos pólos e novos zeros são

gerados.

4.13. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRIE

A Figura a seguir mostra os blocos em serie e sua respectiva redução.

104

Prova: Partindo do diagrama de bloco original

2C(s) G (s) Y(s) (4.11)

1Y(s) G (s) R(s) (4.12)

Substituindo Y(s) na eq.(4.11), temos:

2 1C(s) G (s) G (s) R(s)

Logo:

1 2

C(s)G (s) G (s)

R(s)

4.14. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO

A Figura a seguir mostra os blocos em paralelo e sua respectiva redução.

Prova: Partindo do diagrama de bloco original:

C(s) X(s) Y(s) (4.13)

1Y(s) G (s) R(s) (4.14)

2X(s) G (s) R(s) (4.15)

Substituindo a eq.(4.14) e a eq.(4.15) na eq.(4.13), temos:

1 2C(s) G (s) R(s) G (s) R(s)

1 2C(s) R(s) [G (s) G (s) ] Logo:

1 2

C(s)G (s) G (s)

R(s)

105

4.15. ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO

A Figura a seguir mostra os blocos de um sistemas com realimentação sua respectiva redu-

ção.

Prova: Partindo do diagrama de bloco original

1C(s) G (s) X(s) (4.16)

X(s) R(s) -Y(s) (4.17)

1Y(s) H (s) C(s) (4.18)

Substituindo a eq.(4.18) na eq.(4.17), temos:

1X(s) R(s) H (s) C(s) (4.19)


1 1C(s) G (s)[R(s) H (s) C(s)]

1 1 1C(s) G (s)R(s) G (s)H (s) C(s)

1 1 1G (s)R(s) C(s) G (s)H (s) C(s)

1 1 1G (s)R(s) C(s)[1 G (s)H (s)]

Logo:

1

1 1

G (s)C(s)

R(s) 1 G (s)H (s)

Anotações

106

4.16. REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO

A Figura a seguir mostra a combinação de blocos em paralelo, bem como a eliminação de

um dos blocos no ramo direto.

Prova: Partindo do diagrama de bloco equivalente

C(s) X(s) Y(s) (4.20)

1

2

G (s)Y(s) X(s)

G (s) (4.21)

2X(s) G (s) R(s) (4.22)


12

1

G (s)Y(s) G (s) R(s)

G (s) (4.23)


12 2

1

G (s)C(s) G (s) R(s) G (s) R(s)

G (s)

2 1C(s) R(s) [G (s) G (s)]

Logo:

1 2C(s)

G (s) G (s) R(s)

Anotações

107

4.17. REMOVENDO UM BLOCO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO

A Figura a seguir mostra um sistemas com realimentação, bem como a eliminação do bloco

no ramo de realimentação.


1 1C(s) G (s) H (s)X(s) (4.24)

X(s) Y(s) C(s) (4.25)

1

1Y(s) R(s)

H (s) (4.26)


1

R(s)X(s) C(s)

H (s) (4.27)


1 11

R(s)C(s) G (s)H (s) -C(s)

H (s)

1 1

1 11

G (s)H (s)R(s)C(s) -G (s)H (s)C(s)

H (s)

1 1 1C(s) G (s)R(s)-G (s)H (s)C(s)

1 1 1G (s)R(s) C(s)[1 G (s)H (s)]

Logo:

1

1 1

G (s)C(s)

R(s) 1 G (s)H (s)

Anotações

108

4.18. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM BLOCO

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de derivação a frente de um bloco.


1C(s) G (s) R(s)

1C(s)

G (s)R(s)

4.19. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM BLOCO

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de derivação atrás de um bloco.

Prova: Partindo do diagrama de bloco equivalente:

1

1R(s) C(s)

G (s)

1C(s)

G (s) R(s)

4.20. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA Á FRENTE DE UM BLOCO

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de soma a frente de um bloco.

109


1C(s) G (s) Y(s) (4.28)

Y(s) R(s) Z(s) (4.29)

1

1Z(s) X(s)

G (s) (4.30)


1

1Y(s) R(s) X(s)

G (s) (4.31)


11

1C(s) G (s) R(s) X(s)

G (s)

(4.32)

Logo:

1C(s) G R(s) X(s) (4.33)

Partindo do diagrama de bloco original

C(s) Y(s) X(s)

1Y(s) G (s)R(s)

1C(s) G R(s) X(s) (4.34)

Comparando a eq.(4.34) com a eq.(4.33), obtém-se a prova.

4.21. DESLOCANDO UM PONTO DE SOMA ATRÁS DE UM BLOCO

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de soma atrás de um bloco.


110

C(s) Z(s) Y(s) (4.35)

1Y(s) G (s)R(s) (4.36)

1Z(s) G (s) X(s) (4.37)


1 1C(s) G (s)X(s) G (s)R(s) (4.38)

Logo:

1C(s) G (s)[X(s) R(s)] (4.39)


1C(s) G (s)Y(s)

Y(s) R(s) X(s)

1C(s) G [R(s) X(s)] (4.40)


4.22. REDISPONDO PONTO DE SOMA (1)

A Figura a seguir mostra o deslocamento dos pontos de soma.


C(s) K(s) Y(s)

K(s) R(s) X(s)

Logo:

C(s) R(s) X(s) Y(s) (4.41)


111

C(s) K(s) X(s)

K(s) R(s) Y(s)

Logo:

C(s) R(s) Y(s) X(s) (4.42)


4.23. REDISPONDO PONTO DE SOMA (2)

A Figura a seguir mostra o deslocamento dos pontos de soma.


C(s) K(s) R(s)

K(s) Y(s) X(s)

Logo:

C(s) R(s) X(s) Y(s) (4.43)


C(s) K(s) X(s)

K(s) R(s) Y(s)

Logo:

C(s) R(s) Y(s) X(s) (4.44)


4.24. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO Á FRENTE DE UM PONTO DE SOMA

112

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de derivação á frente de um ponto de

soma.


C(s) R(s) X(s) (4.45)


C(s) R(s) X(s) (4.46)


4.25. DESLOCANDO UM PONTO DE DERIVAÇÃO ATRÁS DE UM PONTO DE SOMA

A Figura a seguir mostra o deslocamento de um ponto de derivação atrás de um ponto de

soma.


C(s) R(s) X(s)

R(s) C(s) X(s) (4.47)


C(s) R(s) X(s)

R(s) C(s) X(s) (4.48)

Comparando a eq.(4.47) com a eq.(4.48.), obtém-se a prova.

4.26. REAGRUPAMENTO DE PONTOS DE SOMA

113

A Figura a seguir mostra o reagrupamento de um ponto de soma.


C(s) K(s) X(s)

K(s) R(s) Y(s)

Logo:

C(s) R(s) Y(s) X(s) (4.49)


C(s) R(s) Y(s) X(s) (4.50)


Anotações

4.27. RESUMO DA SIMPLIFICAÇÃO DOS DIAGRMAS DE BLOCOS

114

RESUMO

Tipos Diagramas de blocos originais

Diagramas de blocos equivalentes

1

Combinando blocos em série

2

Combinando blocos em pa-

ralelo

3

Removendo um bloco de per-curso direto

4

Eliminando uma malha de realimentação

5

Removendo um bloco de uma malha de rea-

limentação

6

Deslocamento de um ponto

de derivação á frente de um

bloco

7

Deslocamento de um ponto de derivação atrás de um

bloco

8

Deslocamento de um ponto de soma á

frente de um bloco

9


de soma atrás de um bloco

10

Redispondo pontos de soma (1)

115

11

Redispondo pontos de Soma(2)

12


de derivação à frente de um

bloco

13

Deslocamento de um ponto de derivação atrás de um

bloco

14

Reagrupamento de pontos de

soma

Anotações

116

4.28. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS COM O MATLAB

4.29. BLOCOS EM SÉRIE COM MATLAB

Suponha que temos desenvolvido modelos matemáticos na forma de Função de Transferên-

cia para a planta, representada por G(s), bem como o controlador, representado por H (s) e, pos-

sivelmente, muitos outros componentes do sistema como sensores e atuadores. O objetivo é inter-

ligar esses componentes para formar um sistema de controle. Iremos utilizar funções do MATLAB

para realizar as transformações do diagrama de blocos. O processo a ser controlado é mostrado na

Figura 4.11.

Figura 4.11 - Sistema de malha aberta

Um simples sistema de controle de malha aberta pode ser obtido através da interligação da

Planta e do Controlador em séries como ilustrado na Figura 4.12. Podemos utilizar o MATLAB para

calcular a Função de Transferência R (s) para Y (s), conforme ilustrado no Exemplo a seguir


Exemplo 01: Conexão Série:

Seja o processo, representada pela Função de Transferência 2

1G(s)

500s e o controlador,

representado pela Função de Transferência cs 1

G (s)s 2

. Podemos usar a função “series” para a

cascata de duas Funções de Transferência 1G (s) e 2G (s) como mostra a Figura 4.13.

Y(s) num

T(s)U(s) den

1num1

G (s)den1

2num2

G (s)den2

[nun,den]=series(num1,den1,num2,den2)

Figura 4.13 - Função sseerriieess

117

A Função de Transferência cG (s)G(s) é calculado utilizando a função “sseerriieess”” como mos-

trado na Figura 4.14.

nnuummgg==[[11]];; ddeenngg==[[550000 00 00]];;

nnuummhh==[[11 11]];; ddeennhh==[[11 22]];;

[[nnuumm,,ddeenn]]==sseerriieess((nnuummgg,,ddeenngg,,nnuummhh,,ddeennhh));;

pprriinnttssyyss((nnuumm,,ddeenn))

nnuumm//ddeenn == s 1

500s ^ 3 1000s ^ 2

Figura 4.14 – Aplicação da Função sséérriieess

O resultado da Função de Transferência, cG (s)G(s) é :

c 3 2num s 1

G (s)G(s)den 500s 1000s

4.30. BLOCOS EM PARALELO COM MATLAB

Diagramas Blocos muitas vezes têm uma Função de Transferência em paralelo. Em tais ca-

sos, a função “ppaarraalllleell”” pode ser bastante útil. A Função “ppaarraalllleell”” é descrita na

Y(s) num

T(s)U(s) den

1num1G (s)den1

2num2G (s)den2

[nun,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

Figura 4.15 - Função ppaarraalllleell

118

4.31. REALIMENTAÇÃO (FEEDBACK)

Y(s) num

T(s)U(s) den

num1G(s)

den1 num2

H(s)den2

[nun,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sinal)

Figura 4.16 - Função ffeeeeddbbaacckk

Exemplo:

Um sistema multi-malha é mostrado na Figura a seguir. Determine a função de Transferência

de Malha Fechada.

119

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Reduzir o diagrama de blocos mostrado na figura abaixo a uma única Função de Transferência.

Resp:

02) Reduzir o sistema mostrado na figura abaixo a uma única Função de Transferência.

Resp:

120

EXERCÍCIOS ROPOSTOS

01) Obter a Função de Transferência equivalente C(s)

T(s)R(s)

, relativa ao sistema mostrado na

figura abaixo.

Resp. 3

4 2s 1

T(s)2s s 2s

02) Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura a seguir a uma única Função de Transferên-

cia, C(s)T(s)

R(s)

. Use os seguintes métodos:

a) Redução de diagramas de blocos;

b) Matlab.

121

03) Obtenha a Função de Transferência, C(s)

T(s)R(s)

, para o sistema mostrado na Figura a seguir

usando a redução de diagramas de blocos.

Resp.

122

123

124

04) Obtenha a Função de Transferência equivalente, C(s)

T(s)R(s)

, para o sistema mostrado na

Figura a seguir.

05) Reduzir o sistema mostrado na figura abaixo a uma única Função de Transferência, C(s)

T(s)R(s)

.

125

06) Obtenha a Função de Transferência, C(s)T(s)

R(s) , para o sistema mostrado na Figura a seguir.

Use os seguintes método:

a) Redução de diagramas de blocos;

b) Matlab. Use as seguintes Funções de Transferência: 11

G (s)s 7

, 2 21

G (s)s 2s 3

,

31G (s)

s 4

, 4

1G (s)s

, 55G (s)

s 7

, 6 2

1G (s)

s 5s 10

, 7

3G (s)s 2

, 81G (s)

s 6

.

06) Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura a seguir a um único bloco, C(s)

T(s)R(s)

.

126

08) Determine o sistema com realimentação unitária que é equivalente ao mostrado na Figura

abaixo

09) Dado o diagrama de blocos de um sistema mostrado na Figura abaixo, obtenha a Função de

Transferência, 22

11G(s)

.

127

10) Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura a seguir a um único bloco, C(s)T(s)

R(s) .

CAPÍTULO 5

5. RESPOSTA TRANSITÓRIA

5.1. INTRODUÇÃO

Uma vez que os capítulos anteriores habilitaram a derivar um modelo matemático para os

sistemas elétricos e eletromecânicos, passaremos, agora, para a análise de desempenho dos sis-

temas. O método explorado neste capítulo é a análise da resposta no tempo do sistema a sinais de

teste de entrada típicos como as funções degrau, rampa, aceleração, impulso e senoidais, os quais

serão apresentados a seguir.

5.2. SINAIS DE TESTE TIPÍCOS

Os sinais de entrada para teste comumente usados são funções degrau, rampa, aceleração,

impulso, senoidal,os quais apresentamos na tabela abaixo.

Tabela 5.1 - Sinais de teste típicos

Sinal Definição Transformada de Laplace

Impulso unitário ou delta de

Dirac

0 ;t 0(t)

Indefinido ;t=0

1

Degrau unitário 1 ;t 0

u(t)0 ;t 0

1

s

Rampa unitária t ; t 0

f(t)0 ;t 0

2

1s

Parábola unitária 2t ;t 0f(t)0 ;t 0

31s

Com estes sinais de teste, tanto a análise matemática quanto a análise experimental de sis-

temas de controle podem ser feitas com facilidade, uma vez que estes sinais são funções tempo-

rais muito simples.

A determinação de qual ou quais destes sinais de entrada típicos devem ser usados para

analisar características do sistema depende da forma de solicitação a que o sistema será sujeito,

mais freqüentemente, sob condições normais de operação.

Quando as excitações de um sistema de controle são representadas por funções que variam

gradualmente com o tempo, então a solicitação em rampa pode ser um bom sinal de teste. Para

sistemas sujeitos a perturbações de transição brusca, uma solicitação em degrau pode ser um bom

sinal de teste; e, para sistemas submetidos a excitações do tipo surto, uma função impulso pode

ser a melhor escolha.

Uma vez projetado o sistema de controle com base nos sinais de teste, normalmente o de-

sempenho do sistema para entradas reais é satisfatório. O uso de tais sinais de teste permite com-

parar o desempenho de todos os sistemas com relação a uma mesma base.

5.3. RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA

A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes: resposta transi-tória e a resposta estacionária. Entende-se por resposta transitória aquela que vai do esta-

do inicial até o estado final. Por resposta estacionaria entende-se a maneira como o sinal de

saída do sistema se comporta quando t tende a infinito.

5.4. PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA

A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a res-

posta natural. Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a aplicação

da Transformada de Laplace Inversa permitam calcular essa resposta, tais técnicas são trabalhosas

e consomem muito tempo. A produtividade é favorecida pelas técnicas de análise e de projeto que

produzam resultados com um mínimo de tempo. Se a técnica for tão rápida que seja possível obter

o resultado desejado por inspeção, usamos algumas vezes o atributo qualitativo para descrever o

método. O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no domínio do tempo

é uma dessas técnicas. O aprendizado dessa relação permite o "manuseio" qualitativo de proble-

mas. O conceito de pólos e zeros, fundamental na análise e no projeto de sistemas de controle,

simplifica o cálculo da resposta de um sistema.

5.4.1. PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Os pólos de uma Função de Transferência são (1) os valores da variável, s, da Transformada

de Laplace que fazem com que a Função de Transferência se tome infinita ou (2) quaisquer raízes

do denominador da Função de Transferência que sejam comuns às raízes do numerador.

Estritamente falando, os pólos de uma Função de Transferência satisfazem o (1) da defini-

ção. Por exemplo, as raízes do polinômio do característico no denominador são valores de s que

tornam a Função de Transferência infinita; portanto, são pólos. Contudo, se um fator do denomi-

nador puder ser cancelado com um fator igual do numerador, a raiz desse fator não mais fará com

que a Função de Transferência se tome infinita. Em sistemas de controle, nos referimos à raiz do

fator cancelado em denominador como pólo, mesmo que a Função de Transferência não se torne

infinita para este valor. Daí termos incluído (2) na definição.

5.4.2. ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Os zeros de uma Função de Transferência são (1) os valores da variável, s, da Transformada

de Laplace que fazem com que a Função de Transferência se torne igual a zero ou (2) quaisquer

raízes do numerador da Função de Transferência que sejam comuns às raízes do denominador.

Estritamente falando, os zeros de uma função de transferência satisfazem o (1) da definição.

Por exemplo, as raízes do polinômio do numerador são valores de s que tornam a Função de Trans-

ferência nula; portanto, são zeros. Contudo, se um fator do numerador puder ser cancelado com

um fator igual do denominador, a raiz desse fator não mais fará com que a Função de Transferên-

cia se torne nula. Em sistemas de controle, nos referimos à raiz do fator cancelado em numerador

como zero, mesmo que a Função de Transferência não se tome nula para este valor. Daí termos

incluído (2) na definição.

5.4.3. EXEMPLO DE PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM

Dada a Função de Transferência s 2G(s)s 5

, há um pólo em s=-5 e um zero em -2. Estes

valores são plotados no plano complexo na Figura a seguir usando um X paro o pólo e um para

o zero.

Figura 5.1 – a) Sistema mostrando entrada e saída; b) diagrama de pólos e zeros do sistema; c) evolução de uma resposta de sistema. Siga as setas voltadas para baixo para ver a evolução dos

componentes da resposta gerada pelo pólo ou pelo zero.

Para mostrar as propriedades dos pólos e zeros, obtenhamos a resposta do sistema a um

degrau unitário. Multiplicando Função de Transferência s 2G(s)

s 5

pela Transformada de um

degrau resulta:

32s 2 A B 5 5Y(s)s s 5 s s 5 s s 5

s 2A

s

ss 5

s 0

0 2 20 5 5

s 2

Bs s 5

s 5

s 5

5 2 35 5

Assim: 5t2 3y(t) e

5 5

Com base no desenvolvimento resumido da Figura anterior, tiramos as seguintes conclusões:

1. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada (isto é, o pólo na ori-

gem gerou a função degrau na saída).

2. Um pólo da Função de Transferência gera a forma da resposta natural (isto é, o pólo em -5 gerou 5te ).

3. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma te , onde - é a lo-

calização do pólo sobre o eixo real. Assim, quanto mais à esquerda fique situado pólo

sobre o semi-eixo real negativo, tanto mais rápido será o decaimento da resposta transi-tória exponencial para zero (isto é, uma vez mais o pólo -5 gerou; 5te ; ver Figura a se-

guir para o caso geral.

4. Os pólo e zeros geram as amplitude para ambas as respostas, natural e forçada (isto

pode ser visto a partir dos cálculos de A e B na equação anterior.

Figura 5.2 - Efeito de um pólo real sobre a resposta transitória

Cada pólo da função de transferência do sistema sobre o eixo real gera uma resposta expo-

nencial e que é uma constante da resposta natural. O Pólo da entrada gera a resposta forçada.

Exemplo: Cálculo da resposta usando pólos

Dado sistema da figura abaixo, escrever a saída, y(t). Especificar as partes forçadas e natu-

ral da resposta.

Solução: Cada pólo do sistema gera uma exponencial como o parque da resposta natural. O pólo

da entrada gera a resposta forçada. Portanto:

31 2 BB Bs 2 AY(s)

s s 5 s s 2 s 4 s 5

Onde:

s 3A

s

s

s 2 s 4 s 5 s 0

0 3 3 30 2 0 4 0 5 ( 2)( 4)( 5) 40

1

s 3B

s s 2

s 2s 4 s 5

s 2

2 3 1 1( 2) 2 4 2 5 ( 2)( 2)( 3) 12

2s 3

Bs s 2 s 4

s 4

s 5

s 4

4 3 1 1( 2) 4 2 4 5 ( 2)( 2)( 1) 4

3s 3

Bs s 2 s 4 s 5

s 5

s 5

5 3 2 2( 5) 5 2 5 4 ( 5)( 3)( 1) 15

3 21 1

40 1512 4Y(s) s s 2 s 4 s 5

Resposta Forçada Resposta Natural

Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos

-2t -4t -5t3 1 1 2

y(t) e e e 40 12 4 15

Resposta Forçada Resposta Natural

Comentário: Os pólos determinam a natureza da resposta no domínio do tempo: os pólos da

função de entrada determinam a forma da resposta forçada e os pólos da função de transferência

determinam a forma da resposta natural. Os zeros e pólos da função de entrada ou da função de

transferência contribuem para as amplitudes das partes componentes da resposta total. Para con-

cluir, pólos sobre o eixo real geram respostas exponenciais.

Exercício

01) Um sistema possui uma Função de Transferência

10 s 4 s 6G(s)

s 1 s 7 s 8 s 10

. Deter-

mine a saída do sistema para uma entrada degrau unitário.

5.5. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

5.5.1. EQUAÇÃO PADRÃO PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM

Um sistema de primeira ordem pode ser representado por uma equação diferencial de pri-

meira ordem, assim como dada a seguir:

dy(t)

a y(t) b r(t)dt

Aplicando a Transformada de Laplace na equação anterior temos:

sY(s) aY(s) bR(s)

Y(s) s a bR(s)

Y(s) bR(s) s a

Dividindo a equação anterior por a temos:

b

Y(s) a1R(s) s 1a

Definindo:

1a

Constante de tempo.

b

Ka

Ganho em regime permanente, e

Temos que:

Y(s) KR(s) s 1

ou Equação padrão de um sistema de 1ª ordem

KY(s)1R(s) s

A Função de Transferência é mostrada na figura a seguir:

Figura 5.3 – a) Sistema de primeira ordem; b) gráfico do pólo

Se a entrada for um degrau unitário, onde R(S) =1/s, a Transformada de Laplace da respos-

ta ao degrau será Y(s), onde:

K A B

Y(s)s1 1s s s

K

As

s1 s s 0

K

e K

B1s s

1s

1s

K

Logo: K K

Y(s)1s s

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa, a resposta ao degrau é dada por:

1

t

f ny(t) y (t) y (t) K Ke

Onde o pólo de entrada situado na origem gerou a resposta forçada fy (t) K , e o pólo do

sistema em 1 , gerou a resposta natural

1t

ny (t) Ke .

Se b=a, o ganho em regime permanente é igual a 1 (K=1), logo a resposta ao degrau da

equação anterior torna-se:

1t

f ny(t) y (t) y (t) 1 1e

Examinemos a importância do parâmetro , o único parâmetro necessário agora para des-

crever a resposta transitória. Quando t ,

1t 1

t 1e e 0,37

ou 11t

t ty(t) 1 e 1 e

11 e 1 0,37 0,63

Usamos agora as equações anteriores para definir três especificações de desempenho da

resposta transitória.

Constante de Tempo ()

Chamamos de constante de tempo da resposta. Com base na equação

1t 1t 1e e 0,37

, podemos descrever a constante de tempo como o tempo necessário para

que a resposta 1t

e se reduza a 37% do seu valor inicial. Alternativamente, com base na equação

1t

t 1 t 1y(t) 1 e 1 0,37 0,63

, a constante de tempo é o tempo necessário para que a

resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final. Ver figura a seguir:

O inverso da constante de tempo é homogêneo a 1/segundos, ou seja, a freqüência. Assim,

podemos chamar o parâmetro 1 de freqüência exponencial. Como a derivada de

1t

e é 1

para a t=0, 1 é a taxa inicial de variação da exponencial em t = 0. Portanto, a constante de

tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória de um sistema de primeira ordem, uma vez que ela está relacionada a com velocidade com que o sistema respon-

de a uma entrada em degrau.

A constante de tempo também pode ser calculado a partir dos diagramas de pólos da figura 5.3 b. Como o pólo da função de transferência é 1 , podemos dizer que o pólo fica localizado

no inverso da constante de tempo, e quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, tanto mais

rápida será a resposta transitória.

O vejamos outras especificações da resposta transitória, como tempo de subida, Tr, e tempo

de acomodação, Ts, como mostrado na figura anterior.

Tempo de Subida (Tr)

O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1

a 0,9 do seu valor final. O tempo de subida é obtido resolvendo a equação:

1

ty(t) 1 1e

Para a diferença entre os valores de t para os quais y(t) =0,9 e y(t) = 0,1. Portanto:

r2,31 0,11 2,2

T 2,21 1 1

rT 2,2

Tempo de acomodação (Ts)

O tempo de acomodação ou assentamento é definido como o tempo necessário para que a

resposta alcance uma faixa de valores de 2% em tomo do valor final e aí permaneça. Fazendo y(t)

= 0,98 na Equação: 1

ty(t) 1 1e

E resolvendo em função de t, obtermos o tempo de acomodação como:

sT 4

5.5.2. FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM OBTIDA EXPERIMENTAL-

MENTE

Freqüentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de

um sistema. Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis

facilmente. Como a função de transferência é uma representação do sistema relacionando a entra-

da à saída, a resposta do sistema ao degrau pode levar à obtenção de uma representação mesmo

que não seja conhecida a construção interna. Com uma entrada em degrau, podemos medir a

constante de tempo e o valor de estado estacionário, a partir de cujos valores podemos calcular a

função de transferência. Considere um sistema de primeira ordem simples,

KY(s)

1s

,cuja

resposta ao degrau é:

K K KY(s)

1s1 ss s

Se pudermos identificar os valores de K e de a partir de ensaios em laboratório, podere-

mos obter a Função de Transferência do sistema. Por exemplo, suponha que a resposta ao degrau

unitário seja dada na Figura abaixo:

Figura 5.4 - Resultados de laboratório de um ensaio com resposta de um sistema ao degrau

Constatamos que ela possui as características de primeira ordem vistas anteriormente, como

ausência de ultrapassagem e inclinação inicial não nula.

Aplicando o Teorema do valor final para uma para uma entrada degrau temos:

x 0

K 1y( ) lim s 0,72

s1s

K

0,721

K 0,72

A partir da resposta medimos a constante de tempo (), isto é, o tempo necessário para que

a amplitude alcance 63% do seu valor final. Como o valor final é cerca de 0,72, a constante de tempo () é calculada onde a curva atinge o valor 0,63 X 0,72 = 0,45, ou seja cerca de 0,13s. Em conseqüência, 0,13 .

Substituindo os valores de K e na Função de Transferência do sistema obtemos:

0,72

0,13Y(s)1s 0,13

ou

5,54Y(s)

s 7,7

. É interessante observar que a resposta da Fig. 5.4 foi

gerada usando a função de transferência ,

5Y(s)

s 7

.

5.5.3. EXEMPLO DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM

Um exemplo de um típico um sistema de primeira ordem é dado pela Figura abaixo, na qual

mostra um circuito RC:

Lei Kirchhoff das tensões:

e1v (t) R i(t) i(t) dtC

o1

v (t) i(t) dtC

Aplicando Laplace, nas equações anteriores temos:

eI(s)

V (s) R I(s)sC

oI(s)V (s)sC

Portanto, a Função de Transferência do sistema é a relação da entrada pela saída quando as

condições iniciais são nulas:

o

e

I(s) I(s)V (s) I(s) 1sC sC

I(s) RC s I(s) I(s)V (s) I(s) [R C s 1] RC s 1R I(s)sC sC

o

e

1V (s) RC1V (s) s RC

onde =RC

Outro exemplo pode ser representado por um sistema térmico.

5.5.4. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

5.5.4.1. RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO

Função degrau unitário no domínio do tempo:

0

r(t)1

p / t 0p / t 0

1R(s)s

Seja o sistema de primeira ordem dado a seguir:

KY(s) K1R(s) s 1 s

Adotando K=1 e substituindo 1R(s)

s (degrau unitário na entrada), obtemos:

1Y(s)

1 1ss

1 1 11

Y(s)1 1 1ss s (s ) (s 0) (s )

Expandindo em Y(s) em frações parciais (pólos simples):

1 A B

Y(s)s 01 1(s 0) s s

1 1

A s 0 111 s 0(s 0) s

1 1

1B s 11 1s1(s 0) s

Logo, temos

1 1 1 1 1

Y(s)s 0 s 01 1 1(s 0) s s s

1 1Y(s)

s 0 1s

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa em Y(s), obtemos:

1 1 11 1L Y(s) L L

s 0 1s

1 t

y(t) 1 e para t 0

Para valores de tempo (t) na equação anterior obtemos os valores y(t) e construímos a se-

guinte tabela:

t (tempo) y(t) (%do valor final)

0 0

1 63,8

2 86,5

3 95,0

4 98,2

5 99,3

100

Da tabela acima construímos a curva de resposta no domínio do tempo:

Figura 5.5 - Curva de resposta exponencial

Analise: Inicialmente a saída y(t) é nula e finalmente se torna unitária. Uma das características im-

portantes desta curva de resposta exponencial y(t) é que no instante t= o valor de y(t) é 0,632,

ou seja, o valor da resposta y(t) alcançou 63,2 % de sua excursão total. Isto pode ser visto facil-mente substituindo-se t= em y(t). Ou, seja:

1

1y( ) 1 e 1 e 0,632

Note-se que quanto menor a constante de tempo , mais rápida será a resposta do sistema.

A seguir Figura 5.6 mostra varias curvas para1 t

y(t) 1 e

com diferentes constantes de tempo

().

Figura 5.6 - Respostas dos sistemas de 1 ordem comparadas

Outra característica importante da curva de resposta exponencial é que a inclinação da tan-

gente em t=0 é 1/, pois:

1 t 1 tdy(t) d (1 e ) 1 10 e

dt dt t 0

A saída alcançaria o valor final em t= caso se mantivesse a sua velocidade inicial de respos-

ta. Constata-se, a partir da equação anterior, que a inclinação da curva de resposta y(t) decresce monotonicamente de 1/, em t = 0 e para zero em t=.

A resposta exponencial y(t) dada é mostrada na Figura 5.6. No intervalo de tempo corres-

pondente a uma constante de tempo, a resposta exponencial foi de 0 a 63,2% do valor final. Em duas constantes de tempo, a resposta alcançou 86,5 do valor final. Em t = 3, 4 e 5, a resposta

alcança 95%, 98,2% e 99,3%, respectivamente, do valor final. Portanto para t 4, a resposta

permanece dentro de 2% do valor final. Como visto a partir da equação de y(t), o regime estacio-

nário é alcançado matematicamente somente após um tempo infinito. Na prática, entretanto, uma

estimativa razoável do tempo de resposta é o tempo que a curva de resposta necessita para alcan-

çar a linha de 2% do valor final, ou seja, quatro constantes de tempo.

5.5.4.1.1. MANEIRAS DE IDENTIFICAR EXPERIMENTALMENTE UM SISTEMA DE PRI-

MEIRA ORDEM

Considere-se o sistema indicado na figura abaixo.

Para determinar experimentalmente se o sistema é ou não de primeira ordem: Traça-se o gráfico da curva log y(t) y( ) , onde y(t) é à saída do sistema, em função de t. Se ocorrer da

curva ser um reta, o sistema é de primeira ordem.

A constante de tempo pode ser lida do gráfico como sendo o tempo =t que satisfaz a se-guinte equação y( ) y( ) 0,368 y(0) y( ) .

Outra maneira:

Note-se que em vez de traçar o gráfico log y(t) y( ) , em função de t, é conveniente fazer

o gráficoy(t) y( )

y(0) y( )

em função de t em papel semi-logarítmico, como visto na figura a seguir.

Figura 5.7 - Gráfico de |y(t)-y()|-|y(0)-y()| x t em papel monolog

Se ocorrer da curva ser um reta, o sistema é de primeira ordem. A constante de tempo pode ser lida do gráfico como sendo o tempo =t que satisfaz a se-

guinte equação:

y( ) y( )0,368

y(0) y( )

5.5.4.2. RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA

Função rampa unitária no domínio do tempo

0 para t 0

r(t)t para t 0

21

R(s)s


KY(s) K

1R(s) s 1 s

Adotando K=1 e substituindo 21

R(s)s

(rampa unitária na entrada), obtemos:

2

1Y(s)1 1ss

2 2 2

1 1 11Y(s)1 1 1ss s (s ) (s 0) (s )

Expandindo em Y(s) em frações parciais (pólos múltiplos):

2 12

1 A B CY(s)

1 1(s 0)(s 0) s ss 0

22

1 1A s 0 1

11 s 0(s 0) s

2

22

11 d 1 -1B s 0

1 ! ds 1 s 0 s 0(s 0) s 1 s

22

1 11C s 1s1(s 0) s 1

Logo, temos

22

1 1Y(s)

s 01 1(s 0) s ss 0


1 1 1 1

21L Y(s) L L L

s 1s s

1 t

y(t) t e

para t 0

Note-se que quanto menor a constante de tempo , menor o erro estacionário maior da res-

posta do sistema. A seguir Figura 5.9 mostra varias curvas para a equação anterior com diferentes constantes de tempo ().

Figura 5.8 - Respostas dos sistemas de 1 ordem comparadas – Entrada rampa

Erro do sistema:

O sinal de erro e(t) é então:

e(t) r(t) y(t)

1 1t t

e(t) t (t e ) (1 e )

Quando t , a exponencial 1 te 0 , portanto o erro:

1

e( ) (1 e ) 0

5.5.4.3. RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO

Função impulso unitário no domínio do tempo:

0 para t 0

r(t)(t) para t 0

r(s) 1


1Y(s) 11R(s) s 1 s

Substituindo, R(s) 1 (impulso unitário na entrada), obtemos:

1Y(s)

11 s

1 1Y(s) 1

1 1s (s )

1

Y(s)1 s


1 1

1L Y(s) L

1s

1

t1y(t) e

para t 0

Note-se que quanto menor a constante de tempo , mais rápida será a resposta do sistema.

A Figura a seguir mostra varias curvas para a equação anterior com diferentes constantes de tem-

po ().

Figura 5.9 - Respostas dos sistemas de 1 ordem comparadas – Entrada Impulso

Propriedade importante para todos os sistemas lineares invariante no tempo

Na analise vista anteriormente, mostrou-se que para uma excitação em rampa unitária a sa-

ída y(t) é:

1 t

y(t) t e para t 0

Para uma excitação em degrau unitário, que é a derivada da rampa unitária, a saída y(t) é:

1 t

y(t) 1 e

para t 0

Finalmente, para uma excitação em impulso unitário, que é a derivada do degrau unitário, a

saída y(t):

1

t1y(t) e

para t 0

A comparação das respostas dos sistemas a estas três entradas mostra claramente que a

resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida derivando-se a resposta do sistema

para o sinal original. Também pode-se ver que a resposta à integral do sistema original pode ser

obtida integrando-se a resposta do sistema original e determinando-se as constantes de integração

a partir da condição inicial de saída nula. Esta é uma propriedade de sistemas lineares invariante

no tempo. Sistemas lineares variante no tempo e sistemas não lineares não possuem essa proprie-

dade.

5.6. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

5.7. INTRODUÇÃO

De uma maneira genérica, sistemas de 2a ordem são aqueles descritos pela equação dife-

rencial:

2

2 1 0 02

d c dca a a c b rdtdt

(5.1)

Dividindo-se (5.1) por 0a tem-se:

2

02 12

0 0 0

ba ad c dc c ra a dt adt

(5.2)

Aplicando Transformada de Laplace na eq.(5.14) temos:

2 02 1

0 0 0

ba as C(s) sC(s) C(s) R(s)

a a a (5.3)

Define-se:

0n

2

aa

Freqüência natural não amortecida

1

2 0

a

2 a a Fator de amortecimento

0

0

bK

a Ganho em regime

Encontrando o valor de 2

0

aa

:

0n

2

aa

2

2 0n

2

a( )

a

2 0

n2

aa

22

0 n

a 1a


0

aa

:

1

2 0

a

2 a a 2 0 12 a a a 2 0 1

0 0

2 a a aa a

2 01

0 0

2 a aaa a

2 01

20 0

a aa2

a a 1 2

0 0

a a2

a a

1

0 n

a 12

a

1

0 n

a 2a


0

ba

:

0

0

bK

a

Substituindo 2

0

aa

, 1

0

aa

, 0

0

ba

em função de n , e K na eq.(5.15) temos:

2

2nn

s 2 s1 C(s) K R(s)

Logo:

22

nn

C(s) K s 2 sR(s) 1

(5.4)

OUTRA FORMA MUITO UTILIZADA PARA REPRESENTAR OS SISTEMAS DE 2a ORDEM

Dividindo a eq.(4.22) por 2a , temos:

2

0 012

2 2 2

a bad c dcc r

a dt a adt (5.5)

Aplicando Transformada de Laplace em eq.(5.17) temos:

2 0 01

2 2 2

a bas s C(s) R(s)

a a a

(5.6)


2

aa

:

1

2 0

a

2 a a 2 0 12 a a a 2 0 1

2 2

2 a a aa a

2 01

2 2

2 a aaa a

2 01

22 2

a aa2

a a 01

2 2

aa2

a a

1n

2

a2

a 1

n2

a2

a


2

aa

:

0n

2

aa

2

2 0n

2

a( )

a

2 0

n2

aa

20n

2

aa


2

ba

:

0

0 2 2

b Ka a a

0 0

2 2

b Kaa a

20n

2

bK

a

20n

2

bK

a

Substituindo 1

2

aa

, 0

2

aa

, 0

2

ba

em função de n , e K na eq.(5.18) temos:

2 2 2

n n ns 2 s C(s) K R(s)

2n

2 2n n

KC(s)

R(s) s 2 s

(5.7)

5.8. DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM

Dados os diagramas de blocos da na Figura a seguir:

Figura 5.10-(a) Diagrama de blocos de um sistema de 2a ordem. (b) Diagrama de bloco

simplificado

A relação da entrada pela saída é dada por:

2n

2 2 2n n

2 2n n

C(s) 1R(s) s 2 s 2 s

s 1

2n

2 2n n

C(s)R(s) s 2 s

(5.8)

Onde:

n Freqüência natural do sistema

Fator de amortecimento do sistema

A equação característica da função transferência da eq.(5.20) é:

2 2

n ns 2 s 0 (5.9)

Logo, os pólos do sistema de segunda ordem são obtidos da seguinte forma:

A eq.(5.21) é uma equação do segundo grau, onde n2n

a 1 b 2

c

Portanto:

2b b 4 a c

s2 a

Onde:

2 2 2

n n n1

2 (2 ) 2s

2

(5.10)

2 2 2

n n n2

2 (2 ) 2s

2

(5.11)

Simplificando a eq.(5.22) e a eq(5.23), obtemos:

21 n ns 1 (5.12)

22 n ns 1 (5.13)

Portanto, a eq.(5.20), torna-se:

2n

2 2n n n n

C(s)R(s) (s 1) (s 1)

(5.14)

5.9. ANALISE DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA DIFERENTES VALORES DO AMORTECIMENTO

1) Sistemas subamortecidos:

Fator de amortecimento entre 0 1 : O Sistemas possuirá duas raízes complexas conju-

gadas:

Figura 5.11 – Representação dos pólos para sistemas subamortecidos

2) Sistemas superamortecidos:

Fator de amortecimento para 1 : O Sistemas possuirá duas raízes reais distintas:

Figura 5.12 – Representação dos pólos para sistemas superamortecidos

3) Sistemas criticamente amortecidos:

Fator de amortecimento para 1 : O Sistemas possuirá duas raízes reais iguais:

Figura 5.13 – Representação dos pólos para sistemas criticamente amortecidos

5.10. RESPOSTAS DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM

5.11. RESPOSTAS AO DEGRAU UNITARIO

Seja o sistema de segunda ordem dado pela eq.(4.29):

2n

2 2n n

C(s)R(s) s 2 s

(5.15)

Seja o mesmo sistema de segunda ordem da eq.(5.27), representado agora em função dos

pólos:

2n

2 2n n n n

C(s)R(s) (s 1) (s 1)

(5.16)

Substituindo, 1R(s)

s (degrau unitário na entrada), obtemos a saída do sistema:

2n

2 2n n n n

C(s)(s 1) (s 1) s

(5.17)

CASO SUBAMORTECIDO (0 1 )

Se 0 1 os pólos a malha fechada são complexos conjugados e se situam no semi-plano

esquerdo do plano s. O sistema então é dito subamortecido, e a resposta é oscilatória. Então os

pólos do sistema:

21 n ns 1

22 n ns 1

Torna-se:

21 n ns j 1 (5.18)

22 n ns j 1 (5.19)

Fazendo:

2d n 1 (5.20)

Substituindo a eq.(4.43) nas eq.(4.41) e eq.(4.42), temos os pólos do sistema da seguinte

forma:

1 n ds j (5.21)

dn2 js (5.22)

Onde d é chamada de freqüência natural amortecida

n é chamada de atenuação do sistema

Logo a eq.(5.29) torna-se:

2n

n d n dC(s)

(s j )(s j ) s

(5.23)

Expandindo a eq.(5.35) em frações parciais (pólos complexos conjugados) leva a:

1 2 1

n d n d

s aC(s)

(s j )(s j ) s

(5.24)

Obtendo os coeficientes 1 e 2

n d

n d

1 2 S j

2n

n d n dn d n d S j

s

(s j )(s j ) (s j )(s j ) s

n d

n d

2n

1 2 S jS j

s s

2n

1 n d 2n d

( j ) ( j )

Multiplicando pelo conjugado:

2

n dnn 1 d 1 2

n d n d

( j )j

( j ) ( j )

3 2n n d

n 1 2 d 1 2 2 2n d

jj

( )

23n dn

n 1 2 d 1 2 2 2 2 2 2n d n d

jj

( ) ( )

(5.25)

Mas, da eq.(5.32) temos:

2 2 2d n( ) ( 1 )

2 2 2

d n(1 ) 2 2 2 2d n n 2 2 2 2

n n d

Substituindo 2 2 2 2n d n na eq.(5.37), temos

23n dn

n 1 2 d 1 2 2n n

jj

n 1 2 d 1 n dj j (5.26)

Igualando-se as partes imaginárias na eq.(5.38), temos:

d 1 d

1 1

Igualando-se as partes reais na eq.(4.48) onde 1 1 , temos

n 2 n

2 n2

Obtendo o coeficiente 1a :

2 2 2n n n

1 2 2 2 2n d n d n d ns 0

a s(s j )(s j ) s

1a 1

Retornando os coeficientes 1 , 2 e 1a na eq. (5.36), temos:

n

n d n d

s 2 1C(s)

(s j )(s j ) s

(5.27)

Como n d n d(s j )(s j ) pode se escrito da seguinte forma:

2 2

n d n d n d(s j )(s j ) (s )

A eq.(5.39) torna-se:

n2 2

n d

s 2 1C(s)

s(s )

(5.28)

Nesses casos a função temporal sempre envolve o produto de uma exponencial de um co-seno e um seno como indicado a seguir. Adicionando e subtraindo n no primeiro termo da ex-

pressão para obter produto de uma exponencial de um co-seno, temos:

n n n

2 2n d

s 2 1C(s)

s(s )

(5.29)

Logo:

n n2 2 2 2

n d n d

s 1C(s)s(s ) (s )

Como temos 2d n 1 , multiplicamos e dividimos o segundo termo da eq.(5.41) por

2n 1 . Então temos:

2

n n n2 2 2 22

n d n dn

(s ) 1 1C(s)

s(s ) (s )1

dn2 2 2 22

n d n d

s 1C(s)

s(s ) (s )1

Aplicando a Transformada de Laplace inversa em C(s), obtemos:

1L C(s) c(t)

n nt td d2

c(t) e cos t e sen t 11

ntd d2

c(t) 1 e cos t sen t1

para t 0 (5.30)

Ou:

n 2t

1d2

1ec(t) 1 sen t tan

1

para t 0 (5.31)

O sinal de erro para este sistema é a diferença entre a entrada e a saída, e é:

e(t) r(t) c(t)

ntd d2

e(t) 1 1 e cos t sen t1

ntd d2

e(t) e cos t sen t1

Esse sinal de erro apresenta uma oscilação senoidal amortecida. Em regime permanente, ou em t= não existe erro entre a entrada e a saída. Se o coeficiente for igual a zero, a resposta

se torna não amortecida e as oscilações continuam indefinidamente. A resposta c(t) para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se =0 na eq.(5.42) resultando:

t cos1)t(c d para t 0 (5.32)

Portanto, da eq.(5.43) vê se que n representa a freqüência natural não-amortecida do sis-

tema. Isto é, n é a freqüência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a

zero. Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a freqüência natural não-

amortecida não poderá ser observada experimentalmente. A freqüência que pode ser observada é

a freqüência natural amortecida d que é igual a 2n 1 . Esta freqüência é sempre menor que

a freqüência natural não-amortecida. Um aumento em irá reduzir a freqüência natural amortecida

d. Se o valor de for aumentado além da unidade, a resposta se tornará superamortecida e não

irá oscilar.

CASO CRITICAMENTE AMORTECIDO ( 1 )

Se 1 os pólos a malha fechada são reais, negativos e iguais e se situam no semi-plano

esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema:

21 n ns 1

22 n ns 1

Torna-se:

1 ns 1 0 (5.33)

2 ns 1 0 (5.34)

Logo temos:

1 2 ns s (5.35)

Logo a eq.(5.29) torna-se:

2n

n nC(s)

(s )(s ) s

(5.36)

Então:

2n

2n

C(s)(s ) s

(5.37)

Onde d 0 para este caso.

Expandindo a eq.(5.49) em frações parciais (pólos múltiplos) leva a:

2 1 1

2nn

b b aC(s)

(s ) s(s )

(5.38)

2 2 2

2n n n2 n n2

n n nn

b (s ) s s s - (s ) s

2

2n1 n2

nn

2 2n n

2n n

1 db (s ) s1 ! ds (s ) s

d s sds s s

2 2 2n n n

1 2 2 2n nn

b 1s s

2 2 2 2n n n n

1 2 2 2 2n n n n

a s 1s 0 s 0(s ) s (s ) (0 )

Retornando os coeficientes 2b , 1b e 1a na eq. (5.50), temos:

n2

nn

1 1C(s)

(s ) s(s )

(5.39)

Aplicando a Transformada de Laplace inversa em C(s), obtemos:

1L C(s) c(t)

n nt t

nc(t) t e e 1

nt

nc(t) 1 e 1 t para t 0 (5.40)

CASO SUPER AMORTECIDO ( 1 )

Se 1 os pólos a malha fechada são reais, negativos e distintos e se situam no se-

mi-plano esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema continuam desta forma:

21 n ns 1

22 n ns 1

Logo a eq.(5.29) se mantém na mesma forma:

2n

2 2n n n n

C(s)(s 1) (s 1) s

Expandindo C(s) em frações parciais e aplicando a Transformada de Laplace inversa em C(s),

obtemos:

1L C(s) c(t)

2 2

n n1 t 1 t

2 2 2 2

1 1c(t) 1 e e

2 1 1 2 1 1

1 2s t s t

n2 1 2

e ec(t) 1 s s2 1

para t 0 (5.41)

Onde 21 ns 1 e 2

2 ns 1 . Portanto, a resposta c(t) inclui dois termos

de exponencial decrescente. Quando for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas

exponenciais decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo da ex-

ponencial mais rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado. Isto é, se –s2, estiver localizado muito mais perto do eixo j do que de –s1, (o que significa

2 1s s ), então para se obter uma solução aproximada pode-se desprezar –s1. Isto é permissível

porque o efeito de –s1, na resposta é muito menor que o de –s2, pois o termo contendo –s1, na

eq.(5.53) decai muito mais rapidamente do que o termo contendo –s2. Uma vez que o termo ex-

ponencial mais rápido desaparece, a resposta é similar à de um sistema de primeira ordem e

C(s)/R(s) pode ser aproximada por:

2

n n 22 2n n

1 sC(s)

R(s) s ss 1

Esta forma aproximada é uma conseqüência direta do fato de que os valores inicial e final

tanto da C(s)/R(s) original como da aproximação coincidem.

Com a função de transferência C(s)/R(s) aproximada, a resposta ao degrau unitário pode ser

obtida como:

2

n n2

n n

1C(s)

(s 1) s

A resposta temporal c(t) é então:

2

n( 1) tC(s) 1 e

Isto fornece uma resposta aproximada ao degrau unitário quando um dos pólos de,

C(s)/R(s) pode ser desprezado.

5.12. DEFINIÇÕES E ESPECIFICAÇÕES DE REGIME TRANSITÓRIO

Em muitos casos práticos, as características de desempenho desejadas de sistemas de con-

trole são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo. Sistemas com armazena-

mento de energia não podem responder instantaneamente e terão respostas transitórias sempre

que submetidos a excitações ou a perturbações.

Freqüentemente, as características de desempenho de um sistema de controle são especifi-

cadas em termos da resposta transitória a uma excitação em degrau unitário, pois este sinal é fácil

de ser gerado e corresponde, a uma solicitação suficientemente severa. (Conhecendo-se a respos-

ta a uma excitação em degrau, é matematicamente possível computar a resposta para qualquer

outro tipo de sinal).

A resposta transitória de um sistema a uma excitação em degrau unitário depende das con-

dições iniciais. Por uma questão de conveniência na comparação de respostas transitórias de vários

sistemas, constitui uma praxe usar a condição inicial padrão de que o sistema está inicialmente em

repouso com valor nulo da variável de saída e de todas as suas derivadas. Assim as características

do sinal de resposta podem ser facilmente comparadas.

Na pratica, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta osci-

lações amortecidas antes de alcançar o estado ou regime estacionário. Ao especificar as caracterís-

ticas de resposta transitória de um sistema de controle a uma excitação em degrau unitário, é co-

mum especificar-se o seguinte:

1. Tempo de atraso, td;

2. Tempo de subida, tr;

3. Instante de pico, tp;

4. Maximo valor de ultrapassagem, Mp

5. Tempo de acomodação, ts.

Figura 5.14 - Curva de resposta ao degrau unitário

1. Tempo de atraso, td: o tempo de atraso é o tempo necessário para que a resposta al-

cance, pela primeira vez , a metade do valor final.

2. Tempo de subida, tr: o tempo de subida é o tempo necessário para que a resposta pas-

se de 10% a 90%, de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas de segunda

ordem subamortecidos, normalmente se usa o tempo de subida de 0% a 100%. Para sistemas de

segunda ordem superamortecidos, o tempo de subida normalmente usado diz respeito ao intervalo

de 10% a 90%.

3. Instante de pico, tp: o instante de pico é o tempo necessário para que a resposta al-

cance o primeiro pico de ultrapassagem.

4. Máxima ultrapassagem (percentual), Mp: a máxima ultrapassagem é o máximo valor

de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário. Quando o valor final de regime

estacionário da resposta difere da unidade, é comum usar-se a máxima ultrapassagem percentual,

definida por:

pc(t ) c

Máxima ultrapassagem percentual 100 %c

O valor de máxima ultrapassagem (percentual) indica diretamente a estabilidade relativa do

sistema.

5. Tempo de acomodação, ts: o tempo de acomodação é o tempo necessário para que a

curva de resposta alcance valores dentro de uma faixa em torno do valor final e aí permaneça. O

intervalo de valores no interior da faixa é especificado por uma porcentagem absoluta do valor

final (normalmente 2% ou 5%). O tempo de acomodação esta relacionado com a maior constante

de tempo do sistema de controle. A escolha de que porcentagem usar no critério de erro pode ser

determinada a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão.

As especificações de domínio de tempo que se acabou de fornecer são bastante importan-

tes, visto que a maioria dos sistemas de controle são sistemas no domínio do tempo, isto é, eles

devem apresentar respostas temporais aceitáveis. (Isto significa que o sistema de controle deve

ser modificado até que a resposta transitória seja satisfatória). Observe-se que se forem especifi-

cados os valores de td, tr, tp, ts, Mp, então a forma da curva de resposta estará virtualmente deter-

minada. Isto pode ser visto claramente na figura abaixo:

Figura 5.15 - Especificações de regime transitório

Note-se que nem todas estas especificações se aplicam necessariamente a qualquer caso

dado. Por exemplo, para um, sistema superamortecido, os termos instante de pico e máxima ultra-

passagem não se aplicam. (Para sistemas que apresentam erros de regime estacionário a excita-

ções em degrau, este erro deve ser mantido dentro de um nível percentual esperado).

5.13. ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTAS TRANSITÓRIAS

Exceto em certas aplicações, onde não se podem tolerar oscilações, é desejável que a res-

posta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida. Portanto, para uma

resposta transitória aceitável de um sistema de segunda ordem, o coeficiente de amortecimento deve estar situado entre 0,4 e 0,8. Valores menores para ( 0,4 ) acarretam valores de máxi-

ma ultrapassagem excessivos na resposta transitória, e um sistema com um valor grande de ( 0,8 ) respondera de forma lenta.

Será visto que a máxima ultrapassagem e o tempo de subida são especificações conflitantes.

Em outras palavras, não se pode minimizar a máxima ultrapassagem e o tempo de subida simulta-

neamente. Se um deles for reduzido, o outro necessariamente aumentará.

5.14. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM E ESPECIFICAÇÕES DE RESPOSTA TRANSITÓRIA

A seguir serão obtidas expressões para determinar o tempo de subida, o instante de pico, a

máxima ultrapassagem e o tempo de acomodação de sistemas de segunda ordem descritos pela

equação a seguir:

2n

2 2n n

C(s)R(s) s 2 s

Estes valores serão obtidos em termos de e n. Supõe-se que o sistema seja subamorteci-

do:

Tempo de subida tr: Referindo-se eq.(5.42), obtém-se o tempo de subida tr, fazendo

rc(t ) 1 , ou seja:

n rtr d r d r2

c(t ) 1 1 e cos t sen t1

(5.42)

n rtd r d r2

e cos t sen t 01

(5.43)

Como 0e rn t , obtém-se o seguinte resultado com base na eq.(5.55)

d r d r2cos t sen t 0

1

(5.44)

Dividindo a eq.(5.56) por d rcos t :

0t cost sen

1t cost cos

rd

rd

2rd

rd

d r21 tg t 0

1

2 2

dn nd r

n n t

1 1tg t

t n constante de tempo do sistema de 2a ordem

dd r

ttg t

1 dr

d t d

1 -t tg

Figura 5.16- Definição do ângulo

Onde é definido na Figura 5.16. É claro que um valor pequeno de tr impõe que se tenha

um valor grande para n.

Instante de pico, tp: Com base na eq eq.(5.42), pode se obter o instante de pico derivando-se )t(c com relação ao tempo e fazendo a derivada igual a zero. Assim:

n rtd r d r2


(5.45)

n r

n r

tn d d2

t dd d d2

dce cos t sen t

dt 1

e sen t cos t1

(5.46)

Nesta ultima equação, os termos envolvendo cosseno se cancelam e d c(t) dt , calculando

em t=tP pode ser simplificado para:

n rp

tt t d p 2

dcsen t e 0

dt 1

(5.47)

Isto fornece a seguinte equação:

d psen t 0 (5.48)

Ou:

d p t 0, , 2 , 3 , (5.49)

Como o instante do pico correspondente ao primeiro pico da ultrapassagem d p t . Por-

tanto:

pd

t

(5.50)

O instante do pico tP correspondente ao meio ciclo de freqüência da oscilação amortecida.

Maximo valor de ultrapassagem, MP. O Maximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, em p

dt t . Portanto da eq.(5.42), MP é obtido como sendo:

p pM c(t ) 1

n ptp d p d p2

M 1 e cos t sen t 11

n

d( )

p 2M e cos sen

1

t 2

d

( )( ) 1pM e e

O valor máximo de ultrapassagem percentual é t

d( )

e 100 % .

Tempo de acomodação ts: Para sistemas subamortecidos de segunda ordem, a resposta

transitória é obtida a partir da eq.(4.52) como sendo:

ntd d2


para 0t

n 2t

1d2

1ec(t) 1 sen t tan

1

para 0t

As curvas nt 21 ( e / 1 ) são as envoltórias da resposta transitória a uma excitação

em degrau unitário. A curva de resposta c(t) sempre permanece no interior do espaço delimitado

pelo par de envoltórias, conforme mostrada na Fig.4.8. A constantes de tempo desta curva envol-

tória é n

1

.

Figura 5.17 - Par de curvas envoltórias da resposta ao degrau unitário.

A velocidade de decaimento da resposta transitória depende do valor da constante de tempo

n1 . Para um dado valor de n o tempo de acomodação, é uma função do coeficiente de amor-

tecimento .

Figura 5.18 - Curvas de amortecimento.

Da Figura 5.18 vê-se que para o mesmo valor de n e para a gama de valores de entre 0 e

1, o tempo de acomodação ts, para um sistema ligeiramente amortecido, é maior do que para um

sistema adequadamente amortecido. Para um sistema superamortecido, o tempo de acomodação

ts se torna grande por causa do inicio lento da resposta.

O tempo de acomodação correspondente a uma faixa de tolerância de 2% ou 5% pode ser medido em termos da constante de tempo

n1T , a partir das curvas da Fig.4.8 para dife-

rentes valores de . Os resultados são mostrados na Figura 5.19.

Figura 5.19 - Curvas de tempo de acomodação

Para 0 < < 0,9 se for utilizado o critério de 2%, então ts, é aproximadamente quatro vezes

a constante de tempo do sistema. Se for utilizado o critério de 5%, então ts aproximadamente é

três vezes a constante de tempo. Note-se que o tempo de acomodação alcança um valor mínimo em torno de = 0,76 (para o critério de 2%) ou = 0,68 (para o critério de 5%) e depois aumen-

ta quase linearmente para grandes valores de . As descontinuidades nas curvas da Fig. 4.9 sur-

gem porque uma variação infinitesimal no valor de pode causar uma variação finita no tempo de

acomodação.

Por conveniência, na comparação das respostas dos sistemas comumente definem-se os va-

lores de tempo de acomodação ts como sendo:

st n

3 4t 4T

(critério de 2%)

Ou

st n

3 3t 3T

(critério de 5%)

Nota-se que o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao produto do coeficiente

de amortecimento pela freqüência natural não-amortecida do sistema. Como o valor de normal-

mente determinado a partir da especificação requerida de máximo valor de ultrapassagem, o tem-po de acomodação é determinado principalmente pela freqüência natural não-amortecida n. Isto

significa que a duração do período transitório pode ser variada, sem modificar o valor máximo de ultrapassagem, pelo ajuste da freqüência natural não-amortecida n

Da análise anterior, fica evidente que para uma resposta rápida, n deve ser grande. Para

limitar o valor máximo de ultrapassagem MP e fazer o tempo de acomodação pequeno, o coeficien-te de amortecimento não deve ser muito pequeno. A relação entre o valor máximo de ultrapas-

sagem percentual MP e o coeficiente de amortecimento é apresentada na Fig.4.10. Convém ob-

servar que se o coeficiente de amortecimento estiver situado entre 0,4 e 0,8, então o valor máxi-

mo de ultrapassagem percentual para resposta ao degrau estará entre 25% e 2,5%.

Figura 5.20 - Curvas de Mp versus

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Seja o sistema visto na figura abaixo, onde 0,6 e n 0,5 rad/s. Calcule o tempo de

subida (tr), o tempo de pico (tp), o tempo de acomodação (ts) para 2% e 5% e a máxima ultrapas-

sagem, quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário.

02) A Figura a seguir mostra um sistema mecânico vibratório. Quando uma força (entrada degrau)

de 2 lb é aplicada ao sistema, a massa oscila, como mostra a curva de resposta. Determine m, b e

k do sistema a partir da curva de resposta.

03) A figura abaixo descreve as respostas à entrada degrau para cinco sistemas de segunda or-

dem, cujas funções de transferência são dadas e identificadas com letras de “A” a “E”. A curva

correspondente à função de transferência “A” está indicada na figura.

a) 225

s 2s 25 b) 2

25s 10s 25

c) 25(s 5)

s 2s 25

d) 2100

s 4s 100 d) 2

25s 20s 25

Pede-se:

a) Associar cada uma das curvas, de B a E, a uma das funções de transferência dadas, justificando

e caracterizando cada uma das curvas, de B a E, quanto: 1) ao amortecimento (sub, super ou críti-

co) e à relação de amortecimento (faixa em que se encontra), 2) quanto à fase (mínima ou não),

deixando claro porque cada um dos sistemas é diferente ou semelhante àquele associado à função

de transferência “A”. (respostas sem justificativas serão desconsideradas)

b) Localizar os pólos e zeros (quando houver) das funções de transferência de “A” a “E” no plano

complexo s, esboçando um plano separado para cada função.

03) Para cada uma das respostas ao degrau unitário mostradas na figura abaixo, determine a Fun-

ção de Transferência do sistema.

a)

b)

c)

CAPÍTULO 6

6. ERRO EM REGIME PERMANENTE

6.1. INTRODUÇÃO

Quando uma entrada de comando é aplicada a um sistema de controle, espera-se que de-

pois do transitório a saída do sistema se estabilize no valor de comando. O erro entre este valor é

a entrada de comando é chamado erro em regime permanente. É uma medida da precisão do

sistema de controle de rastrear uma entrada de comando e é o erro que aparece depois que a

resposta transitória já terminou. O erro em regime permanente para um sistema depende da estru-

tura do sistema e da forma da entrada. Para analisar os erros em regime permanente dos siste-

mas, é necessário classificar os sistemas conforme o seu tipo. O tipo indica para cada entrada o

erro em regime permanente que vai ocorrer.

6.2. ERRO EM REGIME PERMANENTE

O erro em qualquer sistema é a diferença entre o sinal de saída desejado, isto é, o sinal de

referência de entrada que especifica o valor desejado, e o sinal de saída real que ocorre.

6.3. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA

Para um sistema de controle em malha aberta para uma entrada U(s) e uma saída Y(s), o

erro E(S) é:

E(s) U(s) Y(s) (6.1)


Como a Função de Transferência do sistema é:

Y(s)

G(s)U(s)

(6.2)

Então temos que :

Y(s) G(s)U(s) (6.3)

Substituindo a eq.(6.3) na eq.(6.1) temos que:

E(s) U(s) G(s)U(s)

E(s) [1 G(s)] U(s) (6.4)

Pela eq.(6.4) podemos notar que o erro depende não só do sistema determinado pela sua

Função de Transferência, mas também pela forma do sinal de entrada U(s).

6.4. ERRO NOS SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA

Para um sistema de controle em malha fechada, considere uma simplificação para uma rea-

limentação unitária Figura 6.2. Para uma entrada de referência R(s) e um valor de saída real Y(s),

o sinal realimentado é Y(s) e assim o erro E(S) é:

E(s) R(s) Y(s) (6.5)


Se G(s) é a Função de Transferência do ramo direto e se a realimentação é unitária:

Y(s) G(s)R(s) 1 G(s)

(6.6)

Então temos que:

G(s)R(s)Y(s)

1 G(s)

(6.7)

Substituindo a eq.(6.7) na eq.(6.5) temos que:

G(s)R(s)E(s) R(s)

1 G(s)

1E(s) R(s)

1 G(s)

(6.8)

O erro depende do sistema como especificado por sua Função de Transferência G(s) e da

entrada R(s).

Se o sistema em malha fechada tem uma malha de realimentação H(s), com. mostrado na

Figura 6.3 (a), então ele pode ser convertido em um sistema com realimentação unitária pelo pro-

cesso mostrado na Figura 6.3 (b). O resultado é um sistema com realimentação unitária equivalen-

te na forma indicada na Figura 6.3 (c).

Figura 6.3 - (a) Sistema de controle em malha fechada, (b) conversão para realimentação unitária

e (c) sistema equivalente com realimentação unitária.

A Função de Transferência do ramo direto é dada por:

G(s)

1 G(s)[H(s) 1]

Simplificar o sistema convertendo-o para realimentação unitária possibilita a aplicação da

eq.(6.8). Para calcular o erro em regime permanente (ess), podemos aplicar o Teorema do Valor

Final. O erro em regime permanente é o valor do erro, que é uma função do tempo t quando o

transitório termina. Portanto o valor de t tende a infinito. De acordo com o teorema do valor final,

essa condição é dada por:

ss t s 0

e lim e(t) lim s E(s)

(6.9)

Assim, para um sistema em malha aberta, dado pela eq.(6.4), temos:

ss s 0

e lim s 1 G(s) R(s)

(6.10)

Para um sistema em malha fechada, pela eq.(6.8), temos:

ss s 0

1e lim s R(s)

1 G(s)

(6.11)

6.5. CLASSIFICAÇÃO

O erro em regime permanente para um sistema depende do valor de:

ss s 0e lim s E(s)

E o valor de E(s) depende da Função de Transferência do ramo direto de um sistema em

malha fechada com realimentação unitária. Em discussões sobre classificação de sistemas, é im-

portante lembrar que em todos os casos o sistema em malha fechada considerado tendo realimen-

tação unitária. Os sistemas são classificados com base na função de transferência do ramo direto

com realimentação unitária, sendo freqüentemente chamada função de transferência de malha

aberta de um sistema em malha fechada. Para um sistema com uma Função de Transferência do

ramo direto G(s) e de realimentação H(s), a função de transferência de malha aberta G0(s) é:

0G(s)

G (s)1 G(s)[H(s) 1]

A função de transferência de malha aberta de sistemas pode ser representada em geral por

uma equação da forma:

m m 1 m 2

m 1 m 2 1 0q n n 1 n 2

n 1 n 2 1 0

K(s a s a s a s a )

s (s b s b s b s b )

(6.12)

Onde K é uma constante, m e n são inteiros e a0 e b0 são diferentes de zero. q é um nú-

mero inteiro, e é o valor chamado tipo ou classe do sistema. Se q = 0, o sistema é dito ser tipo 0.

Se q =1, é tipo 1, se q = 2, é tipo 2.

O número que identifica o tipo é o número de fatores 1/s na função transferência de malha

aberta. Como 1/s é integração, o número do tipo é o número de integradores na função de trans-

ferência de malha aberta.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Levando em conta as Funções de Transferência do ramo direto dos sistemas abaixo, identifique

o tipo de cada sistema:

a) 4/(s+1)

b) 10/[(s+1)(s+2)]

c) 5/[(s2-3s+5)]

d) 6(s+3)/[(s+2)(s+6)]

e) 10/[s2(s2+2s+1)]

6.6. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA DEGRAU

O erro em regime permanente (ess) para um sistema em malha fechada é dado pela

eq.(6.13) como:

ss s 0 0

1e lim s R(s)

1 G (s)

(6.13)

Onde G0(s) é a Função de Transferência de malha aberta. Uma entrada degrau unitário tem 1

R(s)s

. Para a tal entrada:

ss s 0 0

1 1e lim s

1 G (s) s

ss s 0 0

1e lim

1 G (s)

(6.14)

A Função de Transferência de malha aberta é dada pela eq(6.12) como:

m m 1 m 2

m 1 m 2 1 0

q n n 1 n 2n 1 n 2 1 0

K s a s a s a s a

s s b s b s b s b

(6.15)

Quando s tende a zero, a Função de Transferência para um sistema do tipo 0 será 0

0

Kab

, isto

é uma constante; e para todos os outros tipos, será infinito. É comum representarmos o valor para o qual tende a Função de Transferência quando s0 como uma constante Kp. Onde Kp é denomi-

nado constante de erro de posição e não tem unidades.

p 0s 0K lim G (s)

(6.16)

Em termos da equação anterior para a Função de Transferência de malha aberta:

0p

0

aK K

b (6.17)

para um sistema tipo 0, e infinito para todos os outros tipos.

A conseqüência disto é que o erro em regime permanente para um sistema tipo 0 será :

ss0

0

1e

Ka1

b

ou

ssp

1e

1 K

(6.18)

e para todos os outros tipos, zero. A Figura 6.4 mostra o tipo de resposta para o sistema tipo 0.

Depois do transitório, qualquer que seja sua forma, existe um erro em regime permanente de

1/(1+KP).

Figura 6.4 - Erro em regime permanente para uma entrada degrau.

Isto representa a situação para uma entrada em degrau unitário. Se a entrada tem uma am-

plitude A, então o erro em regime permanente para o sistema tipo 0 será A/(1 + KP).

Para um sistema tipo 0, a amplitude do erro em regime permanente para uma entrada de-

grau depende do valor de KP: quanto maior seu valor, menor o erro. Mas KP é diretamente propor-

cional a K (Equação 6.15). K é o fator pelo qual os sinais que passam pelo ramo direto do sistema

são multiplicados. Um exemplo pode ser visto na Figura 6.5. Assim, aumentando esse fator de

amplificação ou ganho, o erro em regime permanente pode ser reduzido.

Figura 6.5 - Um sistema tipo 0

6.7. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA RAMPA

O erro em regime permanente para um sistema em malha fechada é dado pela Equação a

seguir:

ss s 0 0

1e lim s R(s)

1 G (s)

Onde é a Função de Transferência de malha aberta. Uma entrada rampa unitária tem

21

R(s)s

. Para essa entrada:

ss 2s 0 0

1 1e lim s

1 G (s) s

ss s 0 0

1e lim R(s)

s sG (s)

(6.19)

Quando s tende a zero, o termo s no denominador torna-se zero. Então o fator que vai de-terminar a amplitude do erro é o valor sG0(s) quando s0, isto é, a eq.(6.13) torna-se:

ss0s 0

1e

lim sG (s)

(6.20)

ssV

1e

K (6.21)

Onde KV é uma constante conhecida como constante de erro de velocidade. E tem a

unidade de segundos-1.

V 0s 0

K lim sG (s)

(6.22)

A Função de Transferência G0 é dada pela eq.(6.12) como:

m m 1 m 2

m 1 m 2 1 0

q n n 1 n 2n 1 n 2 1 0

K s a s a s a s a

s s b s b s b s b

O valor de sG0(s) é:

m m 1 m 2m 1 m 2 1 0

q n n 1 n 2n 1 n 2 1 0

sK s a s a s a s a

s s b s b s b s b

Para o sistema tipo 0, q = 0, portanto sK/sq = sK. Assim, quando s tende a zero,

sG0(s) para o sistema tipo 0 torna-se zero e KV será zero. O erro em regime permanente se-

rá 1/0 ou infinito. Para um sistema tipo 1, q = 1, portanto sK/sq = K. Quando s tende a zero,

sG0(s) torna-se Ka0/b0, ou seja, este é o valor de KV. O valor do erro em regime permanen-

te será 1/KV ou 1/(Ka0/b0). A Figura 6.6 mostra o tipo de resposta que deve ocorrer para um

sistema tipo 1.

Figura 6.6 - Erro em regime permanente para entrada rampa.

Depois do transitório, qualquer que seja sua forma, existirá um erro em regime per-

manente de 1/KV. Para um sistema tipo 2, q=2, portanto sK/sq = K/s. Quando s tende a zero,

sG0(s) torna-se infinito e portanto o erro em regime permanente será zero.

A situação apresentada acima é para uma entrada rampa unitária. Se a entrada em uma

rampa com uma razão de variação com o tempo de uma constante A, então o erro em regime

permanente para o sistema tipo 1 será A/KV.

6.8. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADA PARABÓLICA

O erro em regime permanente (ess) para um sistema em malha fechada é dado pela

eq.(6.13) como:

ss s 0 0

1e lim s R(s)

1 G (s)

(6.23)

Onde G0(s) é a Função de Transferência de malha aberta. Uma entrada parabólica unitária

tem 3

1R(s)

s . Para essa entrada:

ss 3s 0 0

1 1e lim s

1 G (s) s

ss 2 2s 00

1e lim

s s G (s)

(6.24)

Quando s tende a zero, o termo s no denominador torna-se zero. Então o fator que vai de-terminar a amplitude do erro é o valor sG0(s) quando s 0, isto é, a eq.(6.24) torna-se:

ss 20s 0

1elim s G (s)

(6.25)

ssa

1e

K (6.26)

Onde Ka é uma constante, conhecida como constante de erro de aceleração. Tem a unidade

de segundos-2.

2

a 0s 0

K lim s G (s)

(6.27)

A Função de Transferência de malha aberta G0 é dada pela eq.(6.12) como:

m m 1 m 2

m 1 m 2 1 0

q n n 1 n 2n 1 n 2 1 0

K s a s a s a s a

s s b s b s b s b

O valor de s2G0(s) é:

2 m m 1 m 2m 1 m 2 1 0

q n n 1 n 2n 1 n 2 1 0

s K s a s a s a s a

s s b s b s b s b

Para o sistema tipo 0, q = 0, portanto s2K/sq = s2K. Assim, quando s tende a zero, s2G0(s)

para o sistema tipo 0 torna-se zero, e então Ka será zero. O erro em regime permanente será 1/0

ou infinito. Para um sistema tipo 1, q = 1, portanto s2K/sq = sK. Quando s tende a zero, s2G0(s)

torna-se zero, e então Ka será zero. O erro em regime permanente será 1/0 ou infinito. Para um

sistema tipo 2, q = 2, portanto s2K/sq = K.

Quando s tende a zero, s2G0(s) torna-se (Ka0/b0), ou seja, este é o valor de Ka. O erro em

regime permanente será 1/Ka ou 1/(Ka0/b0). A Figura 6.7 mostra o tipo de resposta que deve

ocorrer para um sistema tipo 2. Depois do transitório, qualquer que seja sua forma, existirá um

erro em regime permanente de 1/Ka. Para sistemas de tipos maiores, quando s tende a zero,

s2G0(s) torna-se infinito, e portanto o erro em regime permanente será zero.

Figura 6.7 - Erro em regime permanente para uma entrada parabólica

A situação apresentada acima é para uma entrada parabólica unitária. Se a entrada é para-

bólica da forma A/s3, onde A é uma constante, então o erro em regime permanente para o sistema

tipo 2 será A/Ka.

6.9. ERRO EM REGIME PERMANETE PARA UMA ENTRADAS DIFERENTES

A Tabela 6.1 e a Figura 6.8 resumem o que já vimos até aqui com respeito a erros em regi-

me permanente que podem ocorrer para diferentes entradas em vários tipos de sistemas. Para

sistemas lineares, se uma entrada R1 produz uma saída Y1 e uma entrada R2 produz uma saída Y2

então uma entrada (R1+ R2). Isto é conhecido como o princípio da superposição. Quando temos

uma entrada para um sistema linear de, digamos, (1/s) + (1/s2) então o erro em regime perma-

nente é a soma dos erros devidos a cada segmento da entrada quando considerada sozinha, isto é,

o erro devido a (1/s) mais o erro devido a (1/s2).

Anotações

Figura 6.8 - Erros em regime permanente: (a) entrada degrau, (b) entrada rampa e (c) en-

trada parabólica

Tabela 7.1 - Erros em regime permanente.

Erro em regime permanente para entradas unitárias

Tipo do Degrau 1/s Rampa Parábola 1/s4

0 1/(1+Kp)

1 0 1/Kv

2 0 0 1/Ka

3 0 0 0 1/K4

4 0 0 0 0

Anotações

6.10. ERRO EM REGIME PERMANETE DEVIDO AO DISTURBIO

Considere o sistema mostrado na Figura 6.9 sujeito a uma entrada de referência e uma en-

trada de distúrbio. Ambas as entradas podem dar origem a erros em regime permanente.

Figura 6.9 – (a) Sistema com realimentação unitária sujeito a distúrbio, (b) Quando D(s) = 0

e (c) Quando R(s) = 0

A Função de Transferência de malha aberta é determinada primeiro para D(s) =0 e R(s) di-

ferente de zero e o erro em regime permanente será determinado e depois para R(s) = 0 e D(s)

diferente de zero. Os erros em regime permanente, quando ambas as entradas não são zero, são

então a soma dos erros determinados separadamente.

Assim, para D(s)=0 temos:

1 2

01 2

G (s)G (s)G (s)

1 G (s)G (s)

O erro é a diferença entre a entrada de referência e a saída do sistema:

E(s) R(s) Y(s)

Se 0Y(s)

G (s)R(s)

:

1 2

1 2

G (s)G (s)E(s) R(s) R(s)

1 G (s)G (s)

1 2

1E(s) R(s)

1 G (s)G (s)

Portanto o erro em regime permanente é:

ss s 0 1 2

1e lim s R(s)

1 G (s)G (s)

(6.28)

Quando R(s)=0, o sistema tem uma Função de Transferência do ramo direto de G2(s) e de

realimentação G1(s). O sistema pode ser convertido em um sistema com realimentação unitária

pelo método mostrado na Figura 6.9 e então a Função de Transferência é:

2

02 1

G (s)G (s)

1 G (s) G (s) 1

Se R(s) 0 , o erro é:

0E (s) R(s) Y(s) Y(s)

2

2 1

G (s)E(s) D(s)

1 G (s) G (s) 1

Portanto o erro em regime permanente é:

2ss s 0 2 1

G (s)e lim s D(s)

1 G (s) G (s) 1

(6.29)

O erro total quando existe uma entrada de referencia e uma entrada de distúrbio é então a

soma dos erros dados pelas eqs.(6.28 e 6.29).


01) Um braço de motor e uma câmara poderiam ser usados para colher frutas. A câmara é

usada para fechar a malha de retroação com um microcomputador que controla o braço. O proces-

so é:

2

KG(s)

(s 3)

a) Calcule o erro de estado estacionário esperado da garra para um comando em degrau de

amplitude A, como uma função de K;

b) Determine os valores de K para que o sistema tenha um erro de estado estacionário me-

nor que 10% para uma entrada degrau;

c) Indicar um possível sinal de perturbação para este sistema;

02) Considere o sistema em malha fechada representado na Figura abaixo, no qual a planta G(s) é

definida por:

s1

10G(s)s(s 2)(s 3)

Considerando um controlador proporcional C(s) = k:

(a) Calcule as constantes de posição (Kp), de velocidade (Kv) e de aceleração (Ka).

(b) Calcule os erros em regime permanente para entradas degrau, rampa e parábola unitários.

(c) Qual a melhor escolha para o ganho k considerando o desempenho em regime permanente?

Qual a conseqüência dessa escolha no comportamento do sistema em malha fechada durante o

transitório?

03) Para cada um dos sistemas mostrados nas Figuras abaixo, determine o seguinte:

a) O tipo do sistema;

b) A constante de erro apropriada Kp, Kv e Ka;

c) A forma de onda que conduz a constante de erro.

d) O erro em regime permanente para uma entrada unitária da forma de onda obtida em c)

e) O valor do erro em regime permanente do sinal atuante.

Sistema 1

Sistema 2

CAPÍTULO 7

7. ESTABILIDADE

7.1. DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE

Um sistema linear é estável quando qualquer sinal de entrada de amplitude finita produz si-

nais de saída também de amplitude finita.

7.2. TEOREMA DA ESTABILIDADE

“Um sistema linear invariante no tempo (SLIT) e de parâmetros concentrados é estável se e

somente se nenhum dos pólos de sua Função de Transferência (ou seja, nenhuma das raízes de

sua equação característica) pertence ao semi-plano direito, SPD do plano complexo s-jω, incluindo

também o próprio eixo jω”.

Região de estabilidade no plano complexo s

7.3. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWTIZ

A determinação da estabilidade de um sistema dada a sua Função de Transferência envolve

a determinação das raízes do denominador da função e consideração de que qualquer uma delas

seja positiva. Entretanto, as raízes não são muito facilmente obtidas se o denominador tema a

forma:

n n 1 n 2

n n 1 n 2 1 0a s a s a s a s a (7.1)

E n é maior que 3 ou 4. O critério de Routh-Hurwitz, entretanto, apresenta um método que

pode ser usado em tais situações.

1°TESTE: Inspecionar os coeficientes, isto é, os valores dos coeficientes da eq.(7.1)

Se qualquer coeficiente é negativo, então o sistema é instável. Exemplo: 3 2s 2s 3s 1 Existe um coeficiente negativo

Se qualquer coeficiente é zero, o sistema pode ser no máximo criticamente estável.

Exemplo: 3 2s 2s 3s Falta um termo

Se eles são todos positivos e se nenhum é zero, então o sistema pode ser estável.

Exemplo: 3 2s 2s 3s 1 Todos os coeficientes estão

presentes e todos são positivos.

Para sistemas que tem denominadores que podem ser estáveis, um segundo teste deve ser

realizado.

2°TESTE: Os coeficientes da eq.(7.1) são escritas em uma ordem particular chamada arran-

jo de Routh.

sn an an-2 an-4 ...

sn-1 an-1 an-3 an-5 ...

As linhas seguintes no arranjo são determinadas por cálculos feitos a partir dos elementos

nas duas linhas imediatamente acima. Linhas sucessivas são calculadas até que apenas zeros apa-

reçam. O arranjo deve então conter (n+1) linhas, uma linha correspondente a cada um dos termos

sn a s0.

sn an an-2 an-4 ...

sn-1 an-1 an-3 an-5 ...

sn-2 b1 b2 b3 ...

sn-3 c1 c2 c3 ...

. . . . ...

. . . . ..

. . . . .

s2 x1 x2 X3

s1 y1 y2

s0 z1

Elementos na terceira linha são obtidos pelos elementos das duas linhas anteriores por:

n1 n 2 n 3

n 1

ab a a

a

n2 n 4 n 5

n 1

ab a a

a

Elementos na quarta linha são obtidos pelos elementos das duas linhas anteriores por:

n 11 n 3 2

1

ac a b

b

n 12 n 5 3

1

ac a b

b

Uma outra forma de lembrar essas regras para determinação dos elementos é ilustrada na

Figura 7.1. Quando o arranjo estiver completo, deve ser examinado. Se todos as elementos

na primeira coluna do arranjo são positivos, todas as raízes tem parte real negativa e estão locali-

zados no semi plano esquerdo do diagrama de pólos e zeros. O sistema é então estável se todos

os elementos da primeira coluna são positivos. Se existem elementos negativos na primeira coluna,

o número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes com parte real positi-

va.

Figura 7.1 – Determinação de elementos no arranjo de Routh


01) São dados os denominadores de Funções de Transferência de alguns sistemas. Por inspeção,

quais poderiam ser estáveis, instáveis e criticamente estáveis?

a) 4 3s 3s 2s 3

b) 3 2s 2s 3s 1

c) 5 2 3 2s 4s 3s 2s 5s 2

d) 5 4 3 2s s 5s 2s 3s 2

e) 5 3 2s 2s 3s 4s 5

02) Usar o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz para determinar se o sistema que tem a se-

guinte Função de Transferência é estável:

a) 4 3 2

2s 1G(s)

s 2s 3s 4s 1

b) 4 3 22s 1

G(s)s s s 4s 1

03) O denominador da Função de Transferência de um sistema é:

3 2s 4s 8s k

Qual faixa de variação de ganho K para o sistema ser estável ?

04) Para o sistema mostrado na figura abaixo, qual a faixa de K que resulta em estabilidade ?

7.4. ESTABILIDADE RELATIVA

CAPÍTULO 8

8. LUGAR DAS RAÍZES

8.1. INTRODUÇÃO

A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada depende es-

sencialmente da localização dos pólos de malha fechada. Se o ganho de malha do sistema for vari-

ável, então a localização dos pólos de malha fechada dependerá do valor do ganho de malha esco-

lhido. E importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no

plano s, à medida que o ganho de malha varia.

Do ponto de vista do projeto, em alguns sistemas, o simples ajuste do ganho pode mover os

pólos de malha fechada para a localização desejada. Então, o problema do projeto pode se reduzir

à escolha de um valor de ganho apropriado. Se somente o ajuste do ganho não produzir o resulta-

do desejado, será necessário adicionar um compensador ao sistema.

Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica. A determinação das raí-

zes de uma equação característica de grau superior a 3 é trabalhosa e requer a busca de uma so-

lução por meio de um computador. (O MATLAB fornece uma solução simples para esse problema.)

Entretanto, apenas a determinação das raízes da equação característica pode ser uma solução

limitada, porque, à medida que o ganho da função de transferência de malha aberta varia, a equa-

ção característica se altera e os cálculos devem ser refeitos.

Um método simples para a determinação das raízes da equação característica foi desenvolvi-

do por WR. Evans e tem sido amplamente utilizado na engenharia de controle. Esse método, cha-

mado método do lugar das raízes, permite que as raízes da equação característica sejam represen-

tadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema. As raízes correspondentes

a um valor específico desse parâmetro podem, então, ser localizadas no gráfico resultante. Note-se

que o parâmetro é normalmente o ganho, mas é possível utilizar qualquer outra variável da função

de transferência de malha aberta. A menos que se estabeleça o contrário, vamos supor que o ga-

nho da função de transferência de malha aberta seja o parâmetro a ser variado por toda a gama

de valores, de zero a infinito.

Utilizando o método do lugar das raízes, o projetista pode prever quais os efeitos da varia-

ção do valor do ganho ou da adição de pólos de malha aberta e/ou zeros de malha aberta sobre a

localização dos pólos de malha fechada. Portanto, é desejável que o projetista tenha uma boa

compreensão do método de geração do lugar das raízes do sistema de malha fechada, tanto ma-

nualmente como por meio de aplicativos como o MATLAB.

Método do lugar das raízes. A idéia básica do método do lugar das raízes é a de que os valo-

res de s que fazem a função de transferência ao longo da malha igual a —1 devem satisfazer a

equação característica do sistema.

O lugar das raízes é o lugar das raízes da equação característica do sistema de malha fecha-

da quando um parâmetro específico (normalmente o ganho K) varia de zero a infinito, dando ao

método seu nome. Esse gráfico mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de malha

aberta nas localizações dos pólos de malha fechada.

No projeto de um sistema de controle linear vemos que o método do lugar das raízes prova

sua eficiência, pois indica o modo pelo qual os pólos e os zeros de malha aberta devem ser modifi-

cados, para que a resposta satisfaça as especificações de desempenho do sistema. Esse método é

em particular eficiente para a obtenção rápida de resultados aproximados.

Pelo fato de a geração do lugar das raízes pelo MATLAB ser bastante simples, pode-se pen-

sar que esboçar o lugar das raízes manualmente seja desperdício de tempo e esforço. Entretanto,

a experiência em esboçar manualmente o lugar das raízes é da maior importância para a interpre-

tação do próprio lugar das raízes gerado por computador, além de servir para se ter, de maneira

rápida, uma idéia aproximada do lugar das raízes.

Empregando o método do lugar das raízes é possível determinar o valor do ganho de malha

K que resulte no coeficiente de amortecimento prescrito para os pólos dominantes de malha fe-

chada. Se a localização de um pólo ou zero de malha aberta for uma variável do sistema, então o

método do lugar das raízes sugerirá um meio de escolher a localização desse pólo ou desse zero

de malha aberta.

8.2. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Considere o sistema de primeira ardem mostrado na Figura 8.1.

Figura 8.1 - Sistema de primeira ordem

A Função de Transferência de malha aberta do sistema Go(s) é dada por:

0KG (s)

s 1

Para uma realimentação unitária, o sistema tem uma função de Transferência G(s) de:

K

Y(s) Ks 1G(s)KR(s) s 1 K1

s 1

Que pode ser escrita como:

Y(s) K

G(s)R(s) s 1 K

8.3. GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES

Condições de ângulo e de módulo. Considere o sistema mostrado na Figura 6.1.

Figura 8.2 - Sistema de controle

A função de transferência de malha fechada é:

Y(s) G(s)R(s) 1 G(s)H(s)

(8.1)

A equação característica desse sistema de malha fechada é obtida igualando a zero o deno-

minador do lado direito da eq.(8.1). Ou seja,

1 G(s)H(s) 0

Ou

G(s)H(s) 1 (8.2)

Aqui, vamos supor que G(s)H(s) seja uma relação dos polinômios em s. Como G(s)H(s) é

uma grandeza complexa, a eq.(8.2) pode ser dividida em duas equações: uma garantindo a igual-

dade dos ângulos dos dois lados da eq.(8.2) e a outra garantindo a igualdade dos módulos, obten-

do-se:

Condição angular:

G(s)H(s) 180 (2k 1) k=0,1,2,3.... (8.3)

Condição de módulo:

G(s)H(s) 1

(8.4)

Os valores de s que satisfazem tanto a condição angular como a de módulo são as raízes da

equação característica, ou os pólos de malha fechada. Um lugar dos pontos no plano complexo que

satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes. As raízes da equação característica (os

pólos de malha fechada) que correspondem a um dado valor do ganho podem ser determinadas

pela condição de módulo.

Em muitos casos, G(s)H(s) envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica

pode ser escrita como:

1 2 m 1 m

1 2 n 1 n

K s z s z s z s z1

s p s p s p s p

(8.5)

Então o Lugar das Raízes do sistema é o lugar dos pólos de malha fechada quando o ganho

K varia de zero a infinito.

Note que para começar o esboço;o do lugar das raízes de um sistema pelo método do lugar

das raízes, devemos conhecer a localização dos pólos e zeros de G(s)H(s). Lembre-se de que os

ângulos dos vetores no plano complexo (grandezas complexas) que se originam nos pólos e zeros

de malha aberta e vão ate o ponto de teste s são medidos no sentido anti-horario.

Por exemplo, se G(s)H(s) for dado por:

1

1 2 3 4

K s zG(s)H(s)

s p s p s p s p

Onde -p2 e -p3 são pólos complexos conjugados, então o ângulo de G(s)H(s) será:

z1 p1 p2 p3 p4G(s)H(s)

Onde z1 p1 p2 p3 p4, , , , são medidos no sentido anti-horário, como mostram as figuras

a seguir:

Figura 8.3 - (a) e (b) Diagramas que mostram medidas dos ângulos a partir do ponto de testes s e dos pólos e zeros de malha aberta

O modulo de G(s)H(s) para esse sistema é:

z1

p1 p2 p3 p4

KBG(s)H(s)

A A A A

Onde p1 p2 p3 p4A , A , A , A e z1B são os módulos das grandezas complexas s + p1, s + p2, s

+ p3, s + p4 e s+z1 respectivamente, como mostra a Figura 8.2(a).

Note que, pelo fato de os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta, caso exis-

tam, situarem-se sempre simetricamente em relação ao eixo real, o lugar das raízes será também

sempre simétrico em relação a esse eixo. Portanto, será necessário construir apenas a metade

superior do lugar das raízes e desenhar a imagem espelhada da metade superior na metade inferi-

or do plano s.

8.4. RESUMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES

Para um sistema complexo, com muitos pólos e zeros de malha aberta, a construção do grá-

fico do lugar das raízes pode parecer complicada, mas, na verdade, não é difícil, se forem aplica-

das as regras de construção para esse fim. Pela localização de pontos específicos e assíntotas e

pelo cálculo dos ângulos de partida de pólos complexos e ângulos de chegada em zeros comple-

xos, pode-se construir a forma geral do lugar das raízes sem dificuldade.

O propósito desta seção é resumir as regras gerais para a construção do lugar das raízes do

sistema da Figura a seguir.

Figura 8.4 – Resumo das regras gerais para a construção do lugar das raízes

Embora o método do lugar das raízes seja essencialmente com base na técnica de tentativa

e erro, o número de tentativas requeridas pode ser bastante reduzido se utilizarmos essas regras.

8.5. REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES

Vamos resumir agora as regras e os procedimentos gerais para a construção do lugar das

raízes do sistema mostrado na Figura 8.4.

Obtenha inicialmente, a equação característica:

1 G(s)H(s) 0

Em seguida, modifique essa equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como

fator de multiplicação na forma:

1 2 m 1 m

1 2 n 1 n

K s z s z s z s z1

s p s p s p s p

Vamos supor que o parâmetro de interesse seja o ganho K, sendo K > 0.

REGRAS:

1. Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano s. Os ramos do lugar das raízes se

iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros (zeros finitos ou zeros no infinito). A par-

tir da forma fatorada da função de transferência de malha aberta, determinar a localização dos

pólos e dos zeros de malha aberta no plano s. [Note que os zeros de malha aberta são os zeros de

G(s)H(s), enquanto os zeros de malha fechada constituem os zeros G(s) e os pólos de H(s).]

Observe que os lugares das raízes são simétricos ao eixo real do plano s porque os pólos

complexos e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados.

Um gráfico do lugar das raízes possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação ca-

racterística. Como o número de pólos de malha aberta geralmente excede o número de zeros, o

número de ramos é igual ao de pólos. Se o número de pólos de malha fechada for o mesmo que o

de pólos de malha aberta, então o número de ramos individuais do lugar das raízes que terminam

em zeros finitos de malha aberta será igual ao número m dos zeros de malha aberta. Os n - m

ramos restantes que terminam no infinito (n - m zeros implícitos no infinito) ao longo das assínto-

tas.

Se forem incluídos pólos e zeros no infinito, o número de pólos de malha aberta será igual

ao de zeros de malha aberta. Portanto, pode-se afirmar que os lugares das raízes que se iniciam

nos pólos de G(s)H(s) e terminam nos zeros de G(s)H(s), à medida que K varia de zero a infinito,

inclui os pólos e zeros que se situam tanto no plano finito de s como no infinito.

2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real. Os trechos do lugar das ra-

ízes no eixo real são determinados pelos pólos e zeros de malha aberta que se encontram sobre

ele. Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta da função de transferência não têm

nenhum efeito na determinação dos trechos do lugar das raízes no eixo real, porque a contribuição

angular de um par de pólos ou zeros complexos conjugados sobre o eixo real é de 360°. Cada

região do lugar das raízes no eixo real se estende sobre uma área de um pólo ou zero a outro pólo

ou zero. Para a construção dos trechos do lugar das raízes no eixo real, escolha um ponto de teste

sobre ele. Se o número total de pólos reais e zeros reais à direita desse ponto de teste for ímpar,

então esse ponto estará situado em uma região do lugar das raízes. Se pólos de malha aberta e

zeros de malha aberta forem pólos simples e zeros simples, então o lugar das raízes e seus com-

plementos formarão segmentos alternados ao longo do eixo real.

3. Determinar as assíntotas dos lugares das raízes. Se o ponto de teste s estiver loca-

lizado distante da origem, então o ângulo de cada vetor do plano complexo poderá ser considerado

o mesmo. Um zero de malha aberta e um pólo de malha aberta podem cancelar seus efeitos mu-

tuamente. Portanto, os lugares das raízes, se os valores de s forem muito elevados, deverão ser

assintóticos para as retas cujos ângulos (inclinações) forem dados por:

Ângulo das assíntotas 180 (2k 1)

(n m)

(k=0,1,2,....)

Onde: n = número finito de pólos de G(s)H(s)

m = número de zeros finitos de G(s)H(s)

Aqui, k = 0 corresponde às assíntotas de menor ângulo em relação ao eixo real. Embora k

assuma infinito número de valores, à medida que k aumenta o ângulo se repete, o número de

assíntotas distintas é n - m.

Todas as assíntotas se cruzam no eixo real. Os pontos de intersecção são obtidos como a

seguir. Se tanto o numerador como o denominador da função de transferência de malha aberta

forem expandidos, o resultado será:

m m 11 2 m 1 2 m

n n 11 2 n 1 2 n

K s z z z s z z zG(s)H(s)

s p p p s p p p

Se um ponto de teste for situado muito distante da origem, então, dividindo o denominador

pelo numerador, será possível escrever G(s)H(s) como:

n m n m 11 2 n 1 2 m

KG(s)H(s)

s p p p z z z s

Ou:

n m1 2 n 1 2 m

KG(s)H(s)

p p p z z zs

n m

(8.6)

A abscissa do ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é então obtida igualando

a zero o denominador do lado direito da eq(8.6) e resolvendo para s ou

1 2 n 1 2 mp p p z z zs

n m

(8.7)

Uma vez determinada a intersecção, pode-se desenhar as assíntotas no plano complexo.

É importante notar que as assíntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para s 1. Um ramo do lugar das raízes pode se situar de um lado da assíntota correspondente ou

pode cruzar a assíntota correspondente de um lado ao outro.

4. Determinar os pontos de partida e os de chegada ao eixo real. Pelo fato de o lu-

gar das raízes ser simétrico, os pontos de partida ao eixo real e os de chegada estão localizados

sobre o eixo real ou ocorrem em pares complexos conjugados.

Se um lugar das raízes estiver localizado entre dois pólos de malha aberta adjacentes no ei-

xo real, então existirá pelo menos um ponto de partida do eixo real entre os dois pólos. Da mesma

maneira, se o lugar das raízes estiver entre dois zeros adjacentes (um dos zeros pode estar locali-zado em -) no eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada entre os dois

zeros. Se o lugar das raízes se situar entre um pólo e um zero de malha aberta (finito ou infinito)

sobre o eixo real, poderão existir pontos de partida e de chegada simultaneamente, mas não de

modo isolado.

Suponha que a equação característica seja dada por:

B(s) KA(s) 0

Os pontos de partida e os de chegada ao eixo real correspondem às raízes múltiplas da

equação característica. Então, os pontos de partida e de chegada podem ser determinados a partir

das raízes de:

2

dK B '(s)A(s) B(s)A '(s)0

ds A (s)

(8.8)

Onde o apóstrofo indica a diferenciação em relação a s. É importante notar que os pontos

de partida e os de chegada devem ser as raízes da eq.(8.8), mas nem todas as raízes da eq.(8.8)

são pontos de partida ou pontos de chegada. Se uma raiz real da eq.(8.8), não estiver sobre a

região do lugar das raízes no eixo real, então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de

partida nem a um ponto de chegada. Se

no eixo real, então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de partida nem a um ponto

de chegada. Se duas raízes s = s1 e s = - s1 da eq.(8.8), forem um par de complexos conjugados e

se não for certo que pertençam ao lugar das raízes, então será necessário verificar o valor corres-

pondente de K. Se o valor de K correspondente a uma raiz s = s1 de dK/ds = 0 positivo, o ponto s

= s1 será realmente um ponto de partida ou um ponto de chegada. (Como se supõe que K seja

não negativo, se o valor de K assim obtido for negativo, ou um vetor no plano complexo, então o

ponto s = s1 não será nem um ponto de partida nem um ponto de chegada.)

5. Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (ou de chegada a um ze-ro complexo) do lugar das raízes. Para esboçar o lugar das raízes com precisão razoável, deve-

se determinar a direção dos ramos do lugar das raízes próximos aos pólos e zeros complexos. Se

um ponto de teste for escolhido e for movido nas proximidades de um pólo complexo (ou de um

zero complexo), pode-se considerar que a soma das contribuições angulares de todos os outros

pólos e zeros permanece invariável. Assim, o ângulo de partida (ou o ângulo de chegada) do lugar

das raízes de um pólo complexo (ou em um zero complexo) pode ser determinado subtraindo de

180 a soma de todos os ângulos dos vetores de todos os outros pólos e zeros que chegam ao

pólo complexo (ou do zero complexo) em questão, incluindo os sinais apropriados. Ângulo de partida de um pólo complexo = 180

- (soma dos ângulos dos vetores que chegam ao pólo complexo em questão, com origem

em outros pólos)

+ (soma dos ângulos dos vetores que chegam ao pólo complexo em questão, com origem

nos zeros) Ângulo de chegada em um zero complexo = 180

- (soma dos ângulos dos vetores que chegam ao zero complexo em questão, originários de

outros zeros)

+ (soma dos ângulos dos vetores de chegada ao zero complexo em questão, partindo dos

pólos)

O ângulo de partida é mostrado na Figura a seguir

Figura 8.5 – Construção do lugar das raízes: ângulo de Partida = 180-[1-2]+

6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário. Os pontos onde o lugar·das raízes cruza o eixo j podem ser determinados facilmente (a) pelo uso do

critério de estabilidade de Routh ou (b) fazendo s = j na equação característica, igualando a zero

tanto a parte real como a parte imaginária e resolvendo para e K. Os valores de assim deter-

minados fornecem as freqüências em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. O valor de K

correspondente a cada freqüência de cruzamento representa o ganho desse ponto de cruzamento.

7. Obter uma série de pontos de teste na região da origem do plano s e esboçar o lugar das raízes. Determinar o lugar das raízes em uma ampla região nas proximidades do eixo

j e da origem. A parte mais importante do lugar das raízes não se situa nem no eixo real nem

junto às assíntotas, mas em uma região próxima ao eixo j e à origem. O formato do lugar das

raízes nessa importante região do plano s deve ser obtido com uma precisão razoável. (Se for ne-

cessário obter a forma do lugar das raízes com exatidão, pode-se usar o MATLAB, em vez de fazer

o cálculo manualmente.)

8. Determinar os pólos de malha fechada. Um ponto em particular sobre cada um dos

ramos do lugar das raízes será um pólo de malha fechada, se o valor de K nesse ponto satisfizer a

condição de módulo. Reciprocamente, a condição de módulo possibilita que se determine o valor

do ganho K em qualquer ponto especificado sobre o lugar das raízes. (Se necessário, o lugar das

raízes pode ser graduado em função de K. Os valores de K variam continuamente ao longo do

lugar das raízes.)

O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido com a utiliza-

ção da condição de módulo, ou seja:

produto da distância entre o ponto s e os pólos

Kproduto da distância entre o ponto s e os zeros

Esse valor pode ser calculado tanto gráfica como analiticamente. (O MATLAB pode ser utili-

zado para graduar o lugar das raízes em função de K).

Se o ganho K da função de transferência de malha aberta for um dado do problema, então,

pela aplicação da condição de módulo pode-se determinar as posições corretas dos pólos de malha

fechada em cada um dos ramos do lugar das raízes, para um dado valor de K. Para isso, pode-se

utilizar o método de tentativa e erro ou o MATLAB.

8.6. COMENTÁRIOS SOBRE OS GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES

Observa-se que a equação característica do sistema cuja função de transferência de malha

aberta é:

m m 11 m

n n 11 n

K s b s bG(s)H(s)

s a s a

( n≥ m)

É uma equação algébrica de grau n em s. Se a ordem do numerador de G(s)H(s) for menor

do que a do denominador em duas ou mais unidades (o que significa que existem dois ou mais

zeros no infinito), então o coeficiente a1 será a soma com o sinal trocado das raízes das equações

e é independente de K. Nesse caso, se algumas das raízes se moverem para a esquerda sobre o

lugar das raízes, à medida que K aumenta, então as outras raízes devem se mover para a direita

conforme K aumenta. Essa informação é útil na determinação da forma geral do lugar das raízes.

Note também que uma pequena alteração na posição dos pólos e zeros pode causar mudan-

ças importantes na configuração do lugar das raízes. A Figura 8.5 demonstra que uma pequena

variação no posicionamento de um zero ou de um pólo resultará em uma configuração do lugar

das raízes bastante diferente.

Figura 8.6 – Gráfico do lugar das raízes

8.7. CANCELAMENTO DOS PÓLOS DE G(S) COM ZEROS DE H(S)

É importante notar que, se o denominador de G(s) e o numerador de H(s) contiverem fato-

res comuns, então os pólos e os zeros de malha aberta correspondentes se cancelarão mutuamen-

te, reduzindo o grau da equação característica em uma ou mais unidades. Por exemplo, considere

o sistema da Figura 8.6. (Esse sistema possui realimentação de velocidade.)

Mudando o diagrama de blocos da Figura 8.6 (a) para o mostrado na Figura 8.6 (b), fica cla-

ro que G(s) e H(s) têm em comum o fator s+1. A função de transferência de malha fechada

C(s)/R(s) é:

Y(s) KR(s) s s 1 s 2 K s 1

A equação característica é:

s s 2 K s 1 0

Figura 8.7 – (a) Sistema de controle com realimentação de velocidade; (b) e (c) diagramas

de blocos modificado

Entretanto, em virtude do cancelamento dos termos (s+1) que aparecem em G(s) e H(s),

tem-se:

K s 1 s s 2 K1 G(s)H(s) 1

s s 1 s 2 s s 2

A equação característica reduzida é:

s s 2 K 0

O gráfico do lugar das raízes de G(s)H (s) não mostra todas as raízes da equação caracterís-

tica, mas apenas as raízes da equação reduzida.

Para obter o conjunto completo dos pólos de malha fechada, deve-se adicionar o pólo can-

celado de G(s)H(s) aos pólos de malha fechada obtidos a partir do gráfico do lugar das raízes de

G(s)H(s). É importante lembrar que o pólo cancelado de G(s)H(s) é um pólo de malha fechada do

sistema, como mostra a Figura 8.6 (c).

8.8. CONFIGURAÇÕES TÍPICAS DE PÓLOS E ZEROS E O LUGAR DAS RAÍZES CORRES-

PONDENTES

Em resumo, mostramos na Tabela a seguir várias configurações de pólos e zeros de malha

aberta e seus correspondentes lugares das raízes. O padrão do lugar das raízes depende apenas

da separação relativa dos pólos e zeros de malha aberta. Se o número de pólos exceder o número

de zeros finitos em três ou mais unidades, haverá um valor do ganho K além do qual o lugar das

raízes entrará no semi-plano direito do plano s e, assim, o sistema se tomará instável. Para que um

sistema seja estável, todos os pólos de malha fechada devem se situar no sem-iplano esquerdo do

plano s.

Observe que, uma vez que se tenha alguma experiência com o método, é possível avaliar

com facilidade as alterações no Lugar das Raízes, em decorrência de modificações no número e no

posicionamento dos pólos e zeros. Consegue-se isso visualizando o gráfico do lugar das raízes

resultante das várias configurações de pólos e zeros.

Tabela 8.1 - Configurações de pólos e zeros de malha aberta e os correspondentes lugares das

raízes.

Exemplo 01: Considere o sistema da Figura abaixo. (Vamos supor que o valor do ganho K

seja não negativo).

Para esse sistema:

K

G(s)s s 1 s 2

, H(s) 1

Vamos esboçar o gráfico do lugar das raízes e, em seguida, determinar o valor de K, de mo-do que o coeficiente de amortecimento do par de pólos complexos conjugados dominantes, de

malha fechada, seja 0,5.

Para o sistema dado, a condição angular é:

K

G(s) s s 1 s 2 180 (2k 1)s s 1 s 2

(k=0,1,2,....)

A condição de módulo é:

K

G(s) 1s s 1 s 2

Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte:

1. Determinar o lugar das raízes no eixo real. O primeiro passo na construção de um

gráfico do lugar das raízes é localizar, no plano complexo, os pólos de malha aberta s=0, s=-1 e

s=-2. (Não existem zeros de malha aberta nesse sistema.) As posições dos pólos de malha aberta

são indicadas por cruzes. (As posições dos zeros de malha aberta serão indicadas por pequenos

círculos.) Note que os pontos de partida do lugar das raízes (os pontos correspondentes a K = 0)

são os pólos de malha aberta. O número de lugares das raízes individuais para esse sistema é três,

que é igual ao número de pólos de malha aberta.

Para determinar o lugar das raízes no eixo real, seleciona-se um ponto de teste s. Se esse

ponto de teste estiver no eixo real positivo, então:

s s 1 s 2 0

Isso demonstra que a condição angular não pode ser satisfeita. Então, não existe lugar das

raízes no eixo real positivo. A seguir, seleciona-se um ponto de teste no eixo real negativo entre 0

e -1. Então: s 180 , s 1 s 2 0

Assim, s s 1 s 2 180

E a condição angular é satisfeita. Dessa maneira, o segmento negativo do eixo real entre 0 e

-1 pertence ao lugar das raízes. Se um ponto de teste for selecionado entre -1 e -2, então:

s s 1 180 , s 2 0

E, s s 1 s 2 360

Pode-se observar, então, que a condição angular não será satisfeita. Portanto, o eixo real

negativo entre -1 e -2 não pertence ao lugar das raízes. Da mesma maneira, se um ponto de teste for localizado entre -2 e - no eixo real negativo, a condição angular será satisfeita. Portanto, o

lugar das raízes existirá sobre o eixo real negativo entre 0 e -1 e entre -2 e -.

2. Determinar as assíntotas do lugar das raízes. As assíntotas do lugar das raízes, à

medida que s se aproxima do infinito, podem ser definidas da seguinte maneira: se um ponto de

teste for selecionado muito distante da origem, então:

3s s s

K Klim G(s) lim lim

s s 1 s 2 s

E a condição angular torna-se:

3 s 180 2k 1 (K=0,1,2,3,........)

Ou:

Ângulo das assíntotas 180 (2k 1)

(n m)

(k=0,1,2,....)

Como o ângulo se repete à medida que K varia, os ângulos distintos para as assíntotas são

determinados como 60°, -60° e 180°. Assim, existem três assíntotas. A que corresponde ao ângulo de 180° é o eixo real negativo.

Antes de podermos desenhar essas assíntotas no plano complexo, devemos determinar o ponto onde elas cruzam o eixo real. Como:

K

G(s)s(s 1)(s 2)

se um ponto de teste estiver muito distante da origem, então C(s) poderá ser escrito como:

3 2

KG(s)

s 3s

Para valores elevados de s, essa última equação pode ser escrita aproximadamente como:

3

KG(s)

(s 1) (8.9)

Um gráfico do lugar das raízes de Y(s) dado pela eq.(8.9) consiste em três retas. Isso pode

ser visto a seguir, onde a equação do lugar das raízes é:

3K 180 (2k 1)

s 1

Ou:

3 s 1 180 (2k 1)

Que pode ser escrita como:

s 1 60 (2k 1)

Substituindo s = + j nessa última equação, obtemos:

j 1 60 (2k 1)

Ou

1tg 60

1

, -60, 0

Considerando a tangente de ambos os lados dessa última equação,

31

, 3 , 0

Que podem ser escritas como:

1 03

, 1 03

, 0

Essas três equações representam três linhas retas, como mostra a Figura a seguir:

Essas três linhas retas são as assíntotas. Elas se encontram no ponto s = -1. Assim, a abs-

cissa de intersecção entre as assíntotas e o eixo real é obtida igualando a zero o denominador do

lado direito da eq.(8.9) e resolvendo para s. As assíntotas são praticamente partes do lugar das

raízes nas regiões muito distantes da origem.

3. Determinar o ponto de partida do eixo real. Para desenhar com precisão o lugar das

raízes, deve-se definir o ponto de partida do eixo real, onde as ramificações do lugar das raízes

originárias dos pólos em 0 e -1 saem do eixo real (à medida que K aumenta) e se movem no plano

complexo. O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes

múltiplas da equação característica.

Existe um método simples para a determinação do ponto de partida do eixo real, que apre-

sentaremos a seguir. Vamos escrever a equação característica como:

f(s) B(s) KA(s) 0 (8.10)

Onde A(s) e B(s) não contêm K. Note que f(s) = 0 tem raízes múltiplas nos pontos onde:

df(s)

0ds

Isso pode ser visto como se segue. Suponha que f(s) tenha raízes múltiplas de ordem r. En-

tão, f(s) pode ser escrita como:

r

1 2 nf(s) (s s ) (s s ) (s s )

Derivando essa equação com relação a s e igualando s = s1, teremos:

1s s

df(s)0

ds

(8.11)

Isso indica que raízes múltiplas de f(s) satisfazem a eq.(8.11). A partir eq.(8.10), obtemos:

df(s)

B '(s) KA '(s) 0ds

(8.12)

Onde:

dA(s)

A '(s)ds

, dB(s)B '(s)

ds

O valor específico de K que produzirá raízes múltiplas da equação característica é obtido a

partir da eq.(8.12) como:

B '(s)

KA '(s)

Se substituirmos esse valor de K na eq.(8.10), teremos:

B '(s)

f(s) B(s) A(s) 0A '(s)

Ou:

B(s)A '(s) B '(s)A(s) 0 (8.13)

Se a eq.(8.13) for resolvida em relação a s, podem ser obtidos os pontos onde ocorrem as

raízes múltiplas. Por outro lado, a partir da eq.(8.10), obtemos:

B(s)

KA(s)

e

2

dK B '(s)A(s) B(s)A '(s)0

ds A (s)

Se dK/ds for igualado a zero, obteremos novamente a eq.(8.13). Assim. os pontos de partida

do eixo real podem ser determinados a partir das raízes de:

dK 0ds

Pode-se notar que nem todas as soluções da eq.(8.13) ou de dK/ds = 0 correspondem ao

real ponto de partida do eixo real. Se um ponto no qual dK/ds = 0 estiver sobre o lugar das raízes,

este será mesmo um ponto de partida ou de chegada ao eixo real. Em outras palavras, se o valor

de K for real e positivo em um ponto em que dK/ds = 0, então esse será de fato um ponto de par-

tida ou de chegada do eixo real.

No presente exemplo, a equação característica G(s) + 1 = 0 é dada por:

K

1 0s(s 1)(s 2)

Ou 3 2K (s 3s 2s)

Definindo dK/ds = 0, obtemos:

2dK

(3s 6s 2) 0ds

Ou:

s = -0,4226 s = -1,5774

Como o ponto de partida do eixo real deve estar sobre o lugar das raízes entre 0 e -1, está

claro que s = -0,4226 corresponde efetivamente ao ponto de partida do eixo real. O ponto s = -

1,5774 não está sobre o lugar das raízes. Então, esse ponto não é de fato um ponto nem de parti-

da nem de chegada. De fato, o cálculo dos valores de K correspondentes a s = -0,4226 e s = -

1,5774 resulta em:

K=0,3849 para s = -0,4226

K=-0,3849 para s = -1,5774

4. Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Esses

pontos podem ser determinados com a utilização do critério de estabilidade de Routh, do seguinte

modo: como a equação característica para o presente sistema é:

3 2s 3s 2s K 0

A matriz de Routh toma-se:

3s 1 2 2s 3 K 1s (6-K)/3 0s K

O valor de K que faz com que o termo S1 na primeira coluna seja igual a zero é K = 6. Os

pontos de cruzamento com o eixo imaginário podem então ser determinados com a resolução da

equação auxiliar obtida a partir da linha s2, isto é,

2 23s K 3s 6 0

Do que resulta:

s j 2

As freqüências no ponto de cruzamento do eixo imaginário são, portanto, j 2 . O valor

do ganho correspondente aos pontos de cruzamento é K = 6. Um método alternativo é fazer s = j na equação característica, igualar a zero tanto a parte

real como a parte imaginária e então resolver para e K. Para o presente sistema, a equação ca-

racterística, com s = j, é:

3 2j 3 j 2 j K 0

Ou

2 3K 3 j 2 0

Igualando tanto a parte real como a imaginária dessa última equação a zero, obtemos:

2K 3 0 , 32 0

A partir da qual:

2 , K 6 ou 0 , K 0

Assim, o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em 2 , e o valor de K no ponto de

cruzamento é 6. Além disso, um ramo do lugar das raízes no eixo real toca o eixo imaginário em 0 .

5. Escolher um ponto de teste nos entornas do eixo j e da origem, como mostra a

Figura a seguir, e aplicar a condição angular.

Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes, então a soma dos três ângulos, 1+ 2+

3, deve ser 180°. Se o ponto de teste não satisfizer a condição angular, selecione outro ponto de teste

até que a condição seja atendida. (A soma dos ângulos no ponto de teste indicará qual a direção em

que o ponto de teste deve ser movido.) Continuar esse processo e localizar um número suficiente de

pontos que satisfaçam a condição do ângulo.

6. Desenhar o lugar das raízes, com base nas informações obtidas nos passos anteriores como

mostra a Figura a seguir.

7. Determinar um par de pólos complexos conjugados dominantes de malha fe-chada, de modo que o coeficiente de amortecimento seja 0,5. Os pólos de malha fechada

com =0,5 situados em linhas que passam pela origem e formam ângulos ±cos-1() = ±cos-1(0,5)

= ±60° com o eixo real negativo. Com auxilio da Figura anterior, esses pólos de malha fechada com = 0,5 são obtidos da seguinte maneira:

s1 = -0,3337 + j0,5780, s2 = -0,3337 – j0,5780

O valor de K que fornece esses pólos é determinado pela condição de módulo, como se se-

gue:

1 s 0,3337 j0,5780s s(s 1)(s 2) 1,0383

Utilizando esse valor de K, o terceiro pólo é obtido em s = -2,3326.

Note que, a partir do passo 4, pode-se ver que para K = 6 os pólos dominantes de malha

fechada se situam no eixo imaginário em s j 2 . Com esse valor de K, o sistema apresentará

oscilações permanentes. Para K > 6, os pólos de malha fechada dominantes se situam no semi-

plano direito do plano s, resultando em um sistema instável.

Por fim, note que, se necessário, o lugar das raízes pode ser facilmente graduado em termos

dos valores de K, utilizando para isso a condição de módulo. Simplesmente seleciona-se um ponto

sobre o lugar das raízes, mede-se o módulo das três grandezas complexas s, s+ 1 e s+ 2 e multi-

plicam-se esses valores; o produto é igual ao valor do ganho K naquele ponto ou

s s 1 s 2 K

CAPÍTULO 9

9. CONTROLADORES

9.1. INTRODUÇÃO

Um controlador automático compara o valor real da grandeza de saída do processo com a

grandeza de referência (valor desejado), determina o desvio e produz um sinal de controle que

reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador automático

produz o sinal de controle é chamada ação de controle.

9.2. AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS

Classificação de controladores analógicos industriais. Os controladores analógicos in-

dustriais podem ser classificados, de acordo com a ação de controle, como:

1. Controladores de duas posições ou liga-desliga (on-off)

2. Controladores proporcionais

3. Controladores do tipo integral

4. Controladores do tipo proporcional e integral

5. Controladores do tipo proporcional e derivativo

6. Controladores do tipo proporcional, integral e derivativo.

A maioria dos controladores analógicos industriais utiliza eletricidade ou fluido pressu-

rizado, tais como fonte de energia. Os controladores também podem ser classificados, de acordo

com o tipo de fonte energia empregada na operação, como controladores pneumáticos, controla-

dores hidráulicos ou controladores eletrônicos. A espécie de controlador a ser utilizada deve ser

decidida com base no tipo de processo a controlar e nas condições incluindo considerações como

segurança, custo, disponibilidade, precisão, confiabilidade, peso e dimensão.

Controlador automático, atuador e sensor (elemento de medição). A Figura 9.1 traz

um diagrama de blocos de um sistema de controle industrial que consiste em um controlador au-

tomático, um atuador, um processo e um sensor (elemento de medição). O controlador detecta o

sinal de erro atuante, usualmente em um baixo nível de potência, e o amplifica até um nível sufici-

entemente alto. O sinal de saída do controlador automático alimenta a atuador tal como um motor

ou válvula pneumática, um motor hidráulico ou um motor elétrico. (O atuador é um dispositivo de

potência que produz o sinal destinado a agir sobre o processo, de acordo com o sinal de controle,

de tal modo que o sinal de retroação o tenda ao valor do sinal de referência).

O sensor ou elemento de medição é um dispositivo que converte a variável de saída em uma

outra variável adequada, tal como um deslocamento, uma pressão ou uma tensão elétrica que

pode ser usada para comparar o sinal de sinal de referência. Este elemento fica no elo de retroa-

ção do sistema a malha fechada. O valor do ponto de ajuste do controlador (setpoint) deve ser

convertido em um sinal de referência com as mesmas unidades que o sinal de retroação proveni-

ente do sensor ou elemento de medição.

Figura 9.1 - Diagrama de blocos de um sistema de controle industrial que consiste em um

controlador automático, um atuador, um processo e um sensor (elemento de medição).

9.3. AÇÕES DE CONTROLE ON-OFF (LIGA-DESLIGA)

De todas as ações de controle, a ação em duas posições é a mais simples e também a mais

barata, e por isso é extremamente utilizada tanto em sistemas de controle industrial como domés-

tico.Como o próprio nome indica, ela só permite duas posições para o elemento final de controle,

ou seja: totalmente aberto ou totalmente fechado.

Assim, a variável manipulada é rapidamente mudada para o valor máximo ou o valor míni-

mo, dependendo se a variável controlada está maior ou menor que o valor desejado.

Devido a isto, o controle com este tipo de ação fica restrito a processos prejudiciais, pois es-

te tipo de controle não proporciona balanço exato entre entrada e saída de energia.

Para exemplificar um controle ON-OFF, recorremos ao sistema de controle de nível mostrado

na figura a seguir. Neste sistema, para se efetuar o controle de nível utiliza-se um flutuado para

abrir e fechar o contato (S) energia ou não o circuito de alimentação da bobina de um válvula do

tipo solenóide.

Este solenóide estando energizado permite passagem da vazão máxima e estando desener-

gizado bloqueia totalmente o fluxo do líquido para o tanque. Assim este sistema efetua o controle

estando sempre em uma das posições extremas, ou seja, totalmente aberto ou totalmente fecha-

do.

9.4. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P)

Nesse controle, a saída do controlador u(t) é diretamente proporcional a sua entrada, sendo

esta o sinal de erro atuante e(t) . Assim:

pu(t) K e(t) (9.1)

Onde pK é uma constante denominada sensibilidade proporcional ou ganho proporcio-

nal. A saída do controlador depende apenas da amplitude do erro no instante de tempo. Aplicando

a Transformada de Laplace na eq.(9.1), temos a Função Transferência do controlador proporcional:

pU(s)

K E(s)

(9.2)

O controlador é apenas um amplificador com um ganho constante. Um grande erro em algum instante de tempo acarreta um valor alto na saída do controlador nesse instante

de tempo. O ganho constante, entretanto, tende a existir somente para uma certa faixa de erros,

chamada banda proporcional. Um gráfico da saída pelo erro seria uma linha reta com uma inclina-ção de K p dentro da banda proporcional, assim como mostra a figura abaixo:

Figura 9.2 - Controle proporcional

É comum exprimirmos a saída do controlador como uma porcentagem da saída total possível

do controlador. Assim uma variação de 100% na saída do controlador corresponde a uma mudança

no erro de um extremo da banda proporcional a outro. Assim:

p100

K Banda Proporcional

(9.3)

Como a saída é proporcional á entrada, se a entrada do controlador é um erro em degrau,

então a saída é também um degrau, de mesma forma da entrada, assim como mostra a Figura 9.3.

Figura 9.3 - Controle proporcional

Isto acontece porque o controlador esta operando dentro da banda proporcional. No contro-

le proporcional, quanto maior a magnitude do erro atuante, maior é a ação corretiva aplicada.

Sistema com controle proporcional. O controle proporcional é simples de aplicar, reque-

rendo essencialmente alguma forma de amplificação. Pode ser um amplificador eletrônico, mecâni-

co na forma de uma alavanca. O sistema de controle com controle proporcional tem a forma mos-

trada na Figura a seguir.

Figura 9.4 - O sistema com controle proporcional

A desvantagem principal dessa ação de controle é que o controlador não introduz o termo

1/s ou integrador no ramo direto. Isto significa que se o sistema era do tipo 0, continua sendo do

tipo 0, e portanto com erro em regime permanente. O controlador não introduz quaisquer novos

pólos em malha aberta. Isso acontece porque a função de transferência de malha fechada com

controlador e realimentação unitária é:

p p

p p

K G (s)C(s)G(s)

R(s) 1 K G (s)

(9.4)

E a equação característica de p p[1 K G (s)] tem os valores das raízes afetados pelo valor de

K p .

Sistema de segunda ordem com controle proporcional. O sistema de controle de se-

gunda ordem com controle proporcional é mostrada na Figura 9.5.

Figura 9.5 - O sistema de segunda ordem com controle proporcional

Obtendo a função transferência de malha fechada da planta com o controlador, temos:

2 2p n p n

2 2 2 2n n n n

2 2 2 2p n n n p n

2 2 2 2n n n n

K K

s 2 s s 2 sC(s)R(s) K s 2 s K

1 s 2 s s 2 s

2

p n2 2 2

n n p n

KC(s)R(s) s 2 s K

(9.5)

9.5. AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL

Nesse controle, o valor da saída do controlador u(t) é variado segundo uma taxa proporcio-

nal ao sinal de erro atuante e(t) Assim:

idu(t) K e(t)

dt

Ou

t

i 0u(t) K e(t) dt (9.6)

onde iK é uma constante chamada ganho integral. A Figura 9.6 mostra o que acontece

quando o erro tem a forma de um degrau. A integral entre t e 0 é de fato a área sob a curva do

erro entre t e 0. Assim, quando aparece o sinal de erro, a área sob a curva aumenta em uma razão

regular e a saída do controlador deve também aumentar em uma razão regular. A saída em qual-

quer instante de tempo é proporcional ao acumulo de efeitos do erro em instantes anteriores.

Figura 9.6 - Controle integral

Aplicando a transformada de Laplace na eq.(9.6), temos a Função Transferência do

controlador integral:

iK U(s)E(s) s

(9.7)

Sistema com controle integral. No controle integral se o erro e(t) é dobrado, então o

valor de u(t) varia duas vezes mais rápido. Para erro atuante nulo, o valor de u(t) permanece

estacionário. O sistema de controle com controle integral tem a forma mostrada na Figura 9.7.

Figura 9.7 - O sistema com controle integral

Uma vantagem do controle integral é que a introdução de um termo s no denominador au-

menta o tipo do sistema de 1. Se o sistema é do tipo 0, o erro em regime permanente que deveria

ocorrer para uma entrada degrau desaparece para o controle integral. Uma desvantagem do con-trole integral é que um termo (s 0) no denominador significa que um pólo foi introduzido na

origem. Como nenhum zero foi introduzido, a diferença entre o número de pólos n e zeros m au-

mentou de 1.

A função de transferência de malha fechada com controlador e realimentação unitária é:

Ip

Ip

KG (s)C(s) sG(s)

KR(s) 1 G (s)s

(9.8)

Sistema de segunda ordem com controle integral. O sistema de controle de segunda

ordem com controle integral é mostrada na Figura 9.8.

Figura 9.8 - O sistema de segunda ordem com controle integral


2 2I n I n

2 2 2 2n n n n

2 2 2 2I n n n I n

2 2 2 2n n n n

K K

s(s 2 s ) s(s 2 s )C(s)R(s) K s(s 2 s ) K

1 s(s 2 s ) s(s 2 s )

2

I n3 2 2 2

n n I n

KC(s)R(s) s 2 s s K

(9.9)

9.6. AÇÃO DE CONTROLE DERIVATIVA

Nesse controle, o valor da saída do controlador )t(u é proporcional à taxa de variação do

sinal do erro atuante )t(e Assim:

dde(t)

u(t) K dt

(9.10)

Onde dK é uma constante chamada ganho derivativo. A Figura 9.9 mostra o que acon-

tece quando existe um erro em rampa. Com controle derivativo, tão logo o sinal de erro apareça à

saída do controlador pode tornar-se grande, já que a saída é proporcional à taxa de variação do

sinal de erro e não do erro propriamente dito. Isto pode fornecer uma grande ação corretiva antes

que um grande sinal de erro realmente ocorra. Entretanto, se o erro é uma constante, então não

existe ação corretiva, mesmo que o erro seja grande. O controle derivativo é insensível a sinais de

erro constantes ou de variação lenta, e conseqüentemente não é usado sozinho, mas combinado

com outras formas de controle.

Figura 9.9 - Controle derivativo

Aplicando a transformada de Laplace na eq.(9.10), temos a Função Transferência do contro-

lador derivativo:

dU(s)

K sE(s)

(9.11)

Sistema com controle derivativo:. O sistema de controle com controle derivativo tem a

forma mostrada na Fig. 5.10.

Figura 9.10 - O sistema com controle derivativo.

A função de transferência de malha fechada com controlador e realimentação unitária é:

d p

d p

K sG (s)C(s)G(s)

R(s) 1 K sG (s)

(9.12)

Se a planta é um sistema do tipo 1 ou maior, a ação derivativa cancela um s no denomina-

dor e reduz a orem de 1. Entretanto, como mencionado anteriormente, a ação derivativa não é

usada sozinha, mas juntamente com outras formas de controle e aumenta a velocidade de corre-

ção da resposta de um sistema ao erro.

Sistema de segunda ordem com controle derivativo. O sistema de controle de segun-

da ordem com controle derivativo é mostrada na Figura 9.11.

Figura 9.11 - O sistema de segunda ordem com controle derivativo


2 2

D n D n2 2 2 2

n n n n2 2 2 2

D n n n D n2 2 2 2

n n n n

K s K s

s 2 s s 2 sC(s)R(s) K s s 2 s K s

1 s 2 s s 2 s

2

D n2 2 2

n D n n

K sC(s)R(s) s (2 K )s

(9.13)

9.7. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS INTEGRAL

A redução na estabilidade relativa resultante do controle integral pode ser resolvia, até certo

ponto, pela ação de controle proporcional mais integral (PI). Para essa combinação, a saída do

controlador é:

t

p i 0u(t) K e(t) K e(t) dt (9.14)

Figura 9.12 - - Sistema com controle proporcional mais integral.

A Figura 9.13 mostra a saída de um controlador quando existe um erro degrau.

Figura 9.13 - Controle proporcional mais integral


controlador proporcional mais integral:

ic p

KU(s)G (s) K

E(s) s

p ic

s K KU(s)G (s)

E(s) s

ip

pc

K K s KU(s)G (s)E(s) s

(9.15)

onde: p

i

KK

é chamada constante de integral i . Assim:

p

ic

1 K sU(s)

G (s)E(s) s

(9.16)

Assim um, zero em i1 e um pólo em 0 vão ser adicionados ao sistema pelo uso do

controle PI. O fator s1 aumenta o tipo do sistema de 1 e remove a possibilidade de um erro em

regime permanente para uma entrada degrau. Devido a inserção de um novo pólo e um novo zero,

a diferença entre o numero de pólos n e o número de zeros m não é alterada. Simplificando o dia-

grama de bloco da Figura 9.13, obtemos:

Figura 9.14 - Sistema com controle proporcional mais integral simplificado


pi

p

c

pi

p

1 K sG (s)C(s) sG (s)

R(s) 1 K s1 G (s)

s

(9.17)

Sistema de segunda ordem com controle proporcional mais integral. O sis-

tema de controle de segunda ordem com controle proporcional derivativo é mostrada na Figura

9.15.

Figura 9.15 - O sistema de segunda ordem com controle proporcional mais integral


2P i n

2 2 2n n P i n

2 2 2 2P i n n n P i n

2 2n n

(K s K )

s(s 2 s ) (K s K )C(s)R(s) (K s K ) s(s 2 s ) (K s K )

1 s(s 2 s )

2 2

P n i n3 2 2 2 2

n p n n i n

K s KC(s)R(s) s 2 s (K )s K

(9.18)

9.8. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL MAIS DERIVATIVA

É a combinação do controle proporcional e derivativo. A ação deste controlador é definido

pela seguinte equação:

p dde(t)u(t) K e(t) K

dt (9.19)

Figura 9.16 - Sistema com controle proporcional mais integral.


controlador proporcional mais derivativo:

c p DU(s)

G (s) K K sE(s)

Pc D

D

U(s) KG (s) K sKE(s)

c DD

U(s) 1G (s) K sE(s)

(9.20)

onde: PD

D

KK

é chamada constante de tempo derivativo. Nesta forma de controle um

zero é introduzido em D

1s . Também nenhuma mudança ocorreu no tipo do sistema, e, por-

tanto no erro em regime permanente.

Simplificando o diagrama de bloco da Figura 9.16, obtemos:

Figura 9.17 - Sistema com controle proporcional mais derivativo simplificado


D p

Dc

D pD

1K s G (s)C(s)

G (s)R(s) 11 K s G (s)

(9.21)

Sistema de segunda ordem com controle proporcional mais derivativo. O sistema

de controle de segunda ordem com controle proporcional derivativo é mostrada na

Figura 9.18.

Figura 9.18 - O sistema de segunda ordem com controle proporcional mais integral


2P D n

2 2 2n n P D n

2 2 2 2P D n n n P D n

2 2n n

(K K s)s 2 s (K K s)C(s)

R(s) (K K s) s 2 s (K K s) 1

s 2 s

2 2

D n P n2 2 2 2 2

n D n p n n

K s KC(s)R(s) s (2 s K )s (K )

(9.22)

9.9. AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO

É a combinação do controle proporcional e integral e derivativo. A ação deste controlador é

definido pela seguinte equação:

t

p i do

de(t)u(t) K e(t) K e(t)dt K dt

(9.23)

Figura 9.19 - Sistema com controle proporcional integral derivativo


controlador proporcional integral derivativo:

Ic p D

KU(s)G (s) K K s

E(s) s (9.24)

Como a constante de tempo integral i é ip

KK

e a constante derivativa D é PD

KK

podemos escrever:

I Dc P

P P

U(s) K K sG (s) K 1 K s KE(s)

c P DI

U(s) 1G (s) K 1 ssE(s)

(9.25)

Simplificando o diagrama de bloco da figura 5.16, obtemos:

Figura 9.20 - Sistema com controle proporcional mais derivativo simplificado


P D p

ic

P D pi

1K 1 s G (s)sC(s)G (s)

R(s) 11 K 1 s G (s)s

(9.26)

O controlador PID aumenta de 2 o numero de zeros e de 1 pólos.

Exemplo Geral: Ccontroladores para um Sistema de segunda ordem com entrada degrau

unitário.

Dados: Fator de amortecimento de 6,0

Freqüência natural não amortecida rad/s 2n

Obtemos função transferência de malha aberta da planta de segunda ordem assim

como mostra a figura abaixo:

MA 2C(s) 4

FTU(s) s 2.4s 4

Para uma entrada degrau unitário [U(s)=1] obtemos a curva de resposta a malha aberta:

Figura 9.21 - O sistema de segunda ordem de malha aberta com entrada degrau

Notar que o sistema estabiliza no degrau unitário. Isto é: c() = 1.

Agora obtemos a função transferência de malha fechada para o mesmo sistema em questão:

MF 2

C(s) 4FT

R(s) s 2.4s 8

Para uma entrada degrau unitário [U(s)=1] obtemos a curva de resposta a malha fechada:

Figura 9.22 - O sistema de segunda ordem de malha fechada com entrada degrau

Aplicando o teorema do valor final obtemos a saída c(t) em regime permanente para a en-

trada degrau unitário:

2s 0 s 0

4 1 1c( ) Lim s F(s) Lim s 0,5

s 2 s 2,4s 8

Notar que o sistema estabiliza em 0,5. Isto é: c() = 0.5 e na realidade deveria

estabilizar no degrau unitário, ou seja, c() = 1. Portanto existe um erro estacionário e(t)

em regime permanente na qual é determinado da seguinte forma: e(t) r(t) c( )

e(t) 1 0,5 0,5

e(t) 0,5

Este erro pode ser visto claramente quando traçamos as duas curvas juntas.

Figura 9.23 - O sistema de segunda ordem de malha aberta e fechada com entrada degrau

Para reduzir esse erro e atender as especificações dos projetos de sistemas de controle utili-

zamos os controladores.

1) Controlador proporcional -P

A seguir são apresentadas varias curvas de saídas para Kp= 2, 5, 10 e 50, além das de saída

de malha fechada e aberta.

Figura 9.24 - O sistema de segunda ordem de malha fechada com controlador proporcional

Analise: Do gráfico podemos concluir que aumentando o valor do ganho proporcional (Kp)

diminuímos o erro em regime estacionário e(t). No entanto não é possível elimina-lo totalmente.

Aumentando o valor do ganho proporcional (Kp) também podemos notar que a freqüência

de oscilação do sistema aumenta, produzindo elevados picos.

2) Controlador Integral -I

A seguir são apresentadas varias curvas de saídas para Ki = 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 e 1.1, além

das de saída de malha fechada e aberta.

Analise: Do gráfico podemos concluir que aumentando o valor do ganho proporcional (Ki)

diminuímos o erro em regime estacionário e(t).

No entanto para valores pequenos de Ki a curva de resposta tem um elevado amortecimento

demorando assim um longo tempo para alcançar a referência de entrada (degrau unitário).

Aumentando os valores de Ki diminuímos o amortecimento e aumentamos a freqüência de

oscilação do sistema aumenta, produzindo elevados picos. Note que o valor de Ki deve ser bem

ajustado, coso contrario pode levar a instabilidade do sistema. Isto ocorre por que um zero foi

introduzido na origem

3) Controlador Devivativo - D

A seguir são apresentadas varias curvas de saídas para Kd = 0.5, 1, 3, 5, 10, 20 e 50, além

das de saída de malha fechada e aberta.

Analise: Do gráfico podemos concluir que para qualquer valor de ganho derivativo (Kd) a

resposta do sistema se estabiliza em zero. Isso ocorre porque quando o erro se torna uma cons-

tante sua derivada é igual a zero, então não existe ação corretiva, mesmo que o erro seja grande.

O controle derivativo é insensível a sinais de erro constantes ou de variação lenta, e conseqüente-

mente não é usado sozinho, mas combinado com outras formas de controle.

4) Controlador Proporcional mais integral - PI

A seguir são apresentadas varias curvas de saídas para Kp = 0.1, 1, 3, 5 e i=1, além das de

saída de malha fechada e aberta.

A seguir são apresentadas varias curvas de saídas para Kp = 3, 5, 7 e i=2, além das de saí-

da de malha fechada e aberta.

5) Controlador Proporcional mais derivativo -PD





9.10. REGRAS DE SINTONIA PARA CONTROLADORES PID

A Figura a seguir mostra o controle PID de uma planta. Se um modelo matemático da planta

pode ser obtido, então é possível aplicar várias técnicas de projeto na determinação de parâmetros

controlador que vão impor as especificações do regime transitório e do regime permanente do

sistema de malha fechada. Contudo, se a planta for muito complexa, de modo que seu modelo

matemático não possa ser obtido facilmente, então a abordagem analítica do projeto do controla-

dor PID não será possível. Temos então de recorrer a abordagens experimentais de sintonia de

controladores PID.

Figura 9.25 – Controle PID de uma planta

O processo de selecionar parâmetros do controlador que garantam uma dada especificação

de desempenho é conhecido como sintonia do controlador. Ziegler e Nichols sugeriram regras para

a sintonia de controladores PID (o que significa ajustar os valores de Kp, Ti e Td) baseadas na res-

posta experimental ao degrau ou no valor de Kp que resulta em uma estabilidade marginal, quando

somente uma ação proporcional é utilizada. As regras de Ziegler-Nichols, as quais são brevemente

apresentadas a seguir, são úteis quando os modelos matemáticos da planta são desconhecidos.

(Essas regras podem, é claro, ser aplicadas ao projeto de sistemas com modelos matemáticos co-

nhecidos.) Elas sugerem um conjunto de valores de Kp, Ti e Td que vão proporcionar uma operação

estável do sistema. Contudo, o sistema resultante pode exibir um máximo sobre-sinal grande devi-

do à resposta do degrau, o que é inaceitável. Nesse caso, precisamos fazer uma série de sintonias

finas até que um resultado aceitável seja obtido. De fato, as regras de sintonia de Ziegler- Nichols

fornecem estimativas dos valores dos parâmetros e proporcionam um ponto de partida na sintonia

fina, e não os valores definitivos de Kp, Ti e Td logo na primeira tentativa.

9.11. REGRAS DE ZIGLER-NICHOLS PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID

Ziegler-Nichols propuseram regras para a determinação de valores do ganho proporcional Kp,

do tempo integral Ti, e do tempo derivativo Td baseadas na característica da resposta temporal de

uma dada planta. Essa determinação dos parâmetros dos controladores PlD pode ser feita por

engenheiros de campo, por meio de experimentos com a planta. (Numerosas regras de sintonia

para controladores PID vêm sendo propostas desde a proposta de Ziegler-Nichols. Elas estão dis-

poníveis na literatura e com os fabricantes desses controladores.)

Existem dois métodos denominados regras de sintonia de Ziegler-Nichols: o primeiro e o se-

gundo método. Fornecemos aqui uma breve apresentação desses dois métodos.

PRIMEIRO MÉTODO No primeiro método, obtemos experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em

degrau unitário, como mostra a Figura a seguir.

Figura 9.26 – Resposta ao degrau unitário de uma planta

Se a planta não possui integradores e nem pólos complexos conjugados dominantes, então

essa curva de resposta ao degrau unitário pode ter o aspecto de um S, como mostra a Figura a

seguir.

Figura 9.27 – Curva de resposta em forma de S

Esse método se aplica se a curva de resposta ao degrau de entrada tiver o aspecto de um S.

Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simula-

ção dinâmica da planta.

A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes, o atraso L e a

constante de tempo T. O atraso e a constante de tempo são determinados desenhando-se uma

linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato em S e determinando-se a intersecção

da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha c(t) = K, como mostra a Figura anterior. A fun-

ção de transferência C(s)/U(s) pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com um

atraso de transporte, como se segue:

LsC(s) Ke

U(s) Ts 1

Ziegler-Nichols sugeriram escolher os valores Kp, Ti e Td de acordo com a fórmula que apa-

rece na Tabela a seguir.

Tabela 9.1 - Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da planta

Tipo de controlador Kp Ti Td

P TL

0

PI T0,9L

L

0,3 0

PID T1,2L

2L 0,5L

Note que o controlador PID sintonizado pelo primeiro método das regras de Ziegler-Nichols

fornece:

c p di

1G K 1 T s

T s

cT 1

G 1,2 1 0,5LsL 2Ls

2

c

11

LsG 0,6T

s

Portanto, o controlador PID tem um pólo na origem e zeros duplos em s =-1/L.

SEGUNDO MÉTODO No segundo método, definimos primeiro Ti = e Td = 0. Utilizando somente a ação de con-

trole proporcional (veja a Figura a seguir), aumente Kp de 0 ao valor crítico Kcr no qual a saída

exibe uma oscilação sustentada pela primeira vez. (Se a saída não exibe uma oscilação sustentada

parar qualquer valor que Kp pode assumir, então esse método não se aplica.)

Figura 9.28 – Sistema de malha fechada com um controlador proporcional

Portanto, o ganho crítico Kcr e o correspondente período Pcr são determinados experimen-

talmente (veja a Figura 10.5).

Figura 9.29 – Oscilação sustentada com período Pcr

Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores dos parâmetros Kp, Ti, e Td de acordo com a

fórmula mostrada na Tabela abaixo.

Tabela 9.2 - Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho critico Kcr e no período crítico Pcr

Tipo de controlador Kp Ti Td

P cr0,5 K

0

PI cr0,45 K cr1

P1,2

0

PID cr0,60 K cr0,5 P cr0,125 P

Note que o controlador PID sintonizado pelo segundo método das regras de Ziegler-Nichols

fornece:

c p di

1G (s) K 1 T s

Ts

c cr crcr

1G (s) 0,6K 1 0,125P s

0,5P s

2

crc cr cr

4s

PG (s) 0,075 K P

s

Portanto, o controlador PID tem um pólo na origem e zeros duplos em s = -4/Pcr.

Note que, se o sistema tem o modelo matemático conhecido (como a Função de Transferên-

cia), então podemos utilizar o método do lugar das raízes para encontrar o ganho crítico Kcr e a freqüência de oscilações sustentadas cr onde 2/cr = Pcr. Esses valores podem ser encontrados a

partir dos pontos de cruzamento dos ramos do lugar das raízes com o eixo j (obviamente, se os

ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j, esse método não se aplica.)

COMENTÁRIOS. As regras de sintonia de Ziegler-Nichols (e outras regras de sintonia apre-

sentadas na literatura) vêm sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em sistemas

de controle de processo em que as dinâmicas da planta não são precisamente conhecidas. Por

muitos anos, essas regras de sintonia provaram ser muito úteis. As regras de sintonia de Ziegler-

Nichols podem, é claro, ser aplicadas às plantas cujas dinâmicas são conhecidas. (Se as dinâmicas

da planta são conhecidas, várias abordagens gráficas e analíticas para o projeto de controladores

PID estão disponíveis, além das regras de Ziegler-Nichols).

EXEMPLO 01

Considere o sistema de controle mostrado na Figura baixo no qual um controlador PID é uti-

lizado para controlar o sistema. O controlador PID tem a Função de Transferência:

c p di

1G (s) K 1 T s

Ts

Figura 9.30 – Sistema de controle PID

Embora vários métodos analíticos estejam disponíveis para o projeto de um controlador PID,

para o sistema dado, vamos aplicar uma regra de sintonia de Ziegler-Nichols na determinação dos

parâmetros Kp, Ti e Td. Para tanto, obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o

sistema projetado exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o máximo sobre-sinal

for excessivo (40% ou mais), faça uma sintonia fina e reduza o valor do máximo sobre-sinal para

aproximadamente 25% ou menos.

Como a planta tem um integrador, utilizamos o segundo método das regras de sintonia de

Ziegler-Nichols. Fazendo Ti = e Td = 0, obtemos a Função de Transferência de malha fechada

como se segue:

p

p

KC(s)R(s) s(s 1)(s 5) K

O valor Kp que torna o sistema marginalmente estável, de modo que ocorram oscilações sus-

tentadas, pode ser obtidas pelo uso do critério de estabilidade de Routh. Uma vez que a equação

característica do sistema em malha fechada é:

3 2

ps 6s 5s K 0

O arranjo de Routh fica como:

3s 1 5 2s 6 Kp 1s (30- Kp)/6 0s Kp

Examinando os coeficientes da primeira coluna da tabela de Routh, determinamos que, se Kp

=.30, oscilações sustentadas vão existir. Portanto, o valor crítico Kcr é:

Kcr = 30

Com o ganho Kp igual a Kcr (= 30), a equação característica resulta em:

3 2s 6s 5s 30 0

Para encontrar a freqüência da oscilação sustentada, substituímos s = j na equação carac-

terística, como se segue:

3 2(j ) 6(j ) 5(j ) 30 0

Ou

2 26(5 ) j (5 ) 0

a partir da qual determinamos a freqüência de oscilação sustentada como 2 5 ou 5 . Logo

o período de oscilação sustentada é:

2 2

Pcr 2,80995

Referindo-se a tabela 9.2 determinamos Kp, Ti e Td como segue

P crK 0,60 K 0,60 30=18

i crT 0,5 P 0,5 2,8099 1,405

d crT 0,125 P 0,125 2,8099 0,35124

A Função de Transferência do controlador PID é, portanto:

c p di

1G (s) K 1 T s

Ts

c p1

G (s) K 1 0,35124s 1,405s

2c

6,3223 s 1, 4235G (s)

s

O controlador PID tem um pólo na origem e um zero duplo em s= -1,4235. Um diagrama de

blocos do sistema de controle com o controlador PID projetado é mostrado na figura a seguir:

Em seguida, vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitário. A Função de Trans-

ferência C(s)/R(s) é dada por:

2

4 3 2

C(s) 6,3223s 18s 12,811R(s) s 6s 11,3223s 18s 18,811

A resposta ao degrau unitário desse sistema pode ser facilmente obtida com o Matlab. Veja

o programa a seguir em Matlab

Programa em Matlab

%% ------------ RReessppoossttaa aaoo ddeeggrraauu UUnniittáárriioo ------------

cclleeaarr

ccllcc

nnuumm == [[00 00 66..33222233 1188 1122..881111]];;

ddeenn == [[11 66 1111..33222233 1188 1122..881111]];;

sstteepp((nnuumm,, ddeenn))

ggrriidd oonn

ttiittllee((''RRrreessppoossttaa aaoo DDeeggrraauu UUnniittáárriioo''))

A curva de resposta ao degrau unitário resultante é mostrada a seguir.

O máximo sobre-sinal na resposta ao degrau unitário é de aproximadamente 62%. O valor

do máximo sobre-sinal é excessivo. Ele pode ser reduzido fazendo-se uma sintonia fina dos parâ-

metros do controlador. Essa sintonia fina pode ser feita pelo computador.

Obtemos que, mantendo Kp = 18 e movendo o zero duplo do controlador PID para s= -0,65,

ou seja, utilizando o controlador PID:

cs 0,651

G (s) 18 1 0,7692s 13,8463,077s s

O máximo sobre-sinal na resposta ao degrau unitário pode ser reduzido para aproximada-

mente 18%. Ver figura a seguir.

Se o ganho proporcional KP for aumentado para 39,42, sem alterar a localização do zero

duplo (s= -0,65), ou seja, utilizando o controlador PID,

cs 0,651G (s) 39,42 1 0,7692s 30,322

3,077s s

Então a velocidade de resposta é aumentada, porém o máximo sobre- sinal é também au-

mentado para aproximadamente 28% como mostra a figura a seguir.

Uma vez que o máximo sobre-sinal nesse caso é bem próximo a 25% e a resposta é

mais rápida do que a do sistema com a GC(s) da equação:

cs 0,651

G (s) 18 1 0,7692s 13,8463,077s s

Podemos considerar a Gc(s) dada pela equação

cs 0,651G (s) 39,42 1 0,7692s 30,322

3,077s s

Como aceitável. Assim, os valores sintonizados de Kp, Ti e Td resultam em:

PK 39,42 , iT 3,077 , dT 0,7692

É interessante observar que esses valores são de aproximadamente o dobro dos valores su-

geridos pelo segundo método das regras de sintonia de Ziegler-Nichols. O aspecto importante a ser

observado aqui é que a regra de sintonia de Zigler-Nichols forneceu um ponto de partida para a

sintonia fina.

É instrutivo notar que, para o caso em que o zero duplo está localizado em s = -1,4235,

aumentar o valor de Kp aumenta a velocidade de resposta. Contudo, sendo o máximo sobre-sinal o

objetivo, a variação do ganho Kp tem pouquíssima influência. A razão para isso pode ser vista por

meio da análise do lugar das raízes. A Figura 10.11 mostra o gráfico do lugar das raízes para o

sistema projetado pelo uso do segundo método das regras de sintonia de zigler-Nichols. Uma vez que os ramos dominantes do lugar das raízes estão sobre as linhas com = 0,3 para uma faixa

considerável de K, variar o valor de K (de 6 a 30) não alterará muito o coeficiente de amortecimen-

to dos pólos dominantes de malha fechada. Contudo, a variação da localização do zero duplo tem

um efeito significativo no máximo sobre-sinal, porque o coeficiente de amortecimento dos pólos

dominantes da malha fechada pode ser alterado significativamente. Isso também pode ser visto

pela análise do lugar das raízes. A Figura 10.2 mostra o gráfico do lugar das raízes para o sistema

em que o controlador PID tem o zero duplo em s = -0,65. Note a alteração na configuração do

lugar das raízes. Essa alteração na configuração torna possível modificar o coeficiente de amorte-

cimento dos pólos dominantes de malha fechada.

CAPÍTULO 10

10. BIBLIOGRAFIA

10.1. INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 11

11. ANEXO 1

11.1. SISTEMAS ELÉTRICOS

11.2. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os componentes de circuitos elétricos são: o capacitor, o indutor e a resistência. Estes com-

ponentes são elementos passivos, isto é, não necessitam de suprimento de energia para funciona-

rem adequadamente. Existem, é claro, diversos outros elementos de circuitos elétricos, como tran-

sistores, amplificadores operacionais, chaves de potência, etc. Todos eles, porém, necessitam de

suprimento externo de energia e são não lineares. São, portanto, tratados diferentemente dos

circuitos passivos. Da mesma forma que a força estabelece as relações dinâmicas nos sistemas

mecânicos, nos sistemas elétricos é a corrente que faz este papel. Porém é mais prático represen-

tar esta dinâmica não em termos da corrente, mas sim da tensão elétrica (voltagem). Há, de fato,

uma grande analogia entre os sistemas elétricos e mecânicos (e também entre estes e os sistemas

hidráulicos). A mudança da representação de corrente para tensão não altera esta analogia.

11.3. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO CAPACITOR

A capacitância é propriedade de um circuito elétrico a se opor a qualquer variação de tensão

no circuito. Alternativamente, capacitância é a capacidade de um circuito elétrico armazenar ener-

gia em um campo eletrostático.

Existe uma certa relação entre a tensão aplicada entre duas placas paralelas separadas por

um dielétrico e a carga que aparece nestas placas. Considere o par de placas da Figura abaixo que

estão inicialmente descarregadas, ou seja, q=0, v=0.

Figura 3.7 - O capacitor simples

Ao ser fechada a chave, cargas vindas da fonte se distribuem nas placas, isto é, ocorre circu-

lação de uma corrente. Inicialmente esta corrente i é alta, mas quanto mais cargas são acumula-

das, e portanto mais tensão desenvolvida sobre as placas, estas cargas acumuladas tendem a se

opor ao fluxo de novas cargas. Finalmente, quando cargas suficientes tiverem sido transferidas de

uma placa a outra, a tensão v = E terá sido desenvolvida sobre as placas. As placas estão então

carregadas a um máximo e, sendo a tensão sobre as placas igual à tensão da fonte, a corrente i

tem de ser igual a zero. Em uma situação ideal, a transferência de cargas ocorre em um tempo

zero, mas, na prática, o processo de carga requer um tempo muito pequeno, mas finito.

Se for traçado um gráfico de cargas acumuladas em função da tensão desenvolvida sobre as

placas, será obtida uma relação linear, como na Figura a seguir:

Figura 3.8 - Relação carga x tensão

A constante de proporcionalidade que relaciona a carga e a tensão, isto é, a inclinação da

reta, é definida como capacitância:

Q

CV

ou Q C V

Durante o período transitório, a carga e a tensão sobre o capacitor são variáveis. Assim,

usando valores instantâneos na equação anterior, temos:

q C v e, para uma pequena variação de tensão v, a variação na carga é:

q C v (3.7)

As variações infinitesimais são estudadas em cálculos matemáticos, e o símbolo é substituí-

do por um d de forma que a eq.(3.7), em termos de variações infinitesimais, é expressa como:

cdq C dv

Um índice e foi acrescentado ao termo de tensão para especificar a tensão no capacitor; e,

embora isso agora pareça redundância, mais tarde tornar-se-á necessário.

Além disso, sendo que a carga e a tensão são variáveis com o tempo, é apropriado expres-

sar suas variações infinitesimais em relação ao tempo.

cdvdq C

dt dt

Os valores dq/dt e dv/dt são as respectivas variações de carga e de tensão que ocorrem em

um intervalo de tempo infinitesimal dt, isto é, são taxas de variação de q e v. A taxa de variação da

carga com relação ao tempo, portanto, a corrente instantânea. Assim:

c

cdv

i C dt

Da equação anterior temos:

c c1

dv i dtC

Integrando a equação anterior em ambos os lados obtemos a tensão no capacitor:

c c1

dv i dtC

c c1v i dtC

11.4. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NO INDUTOR

A indutância é propriedade de um circuito elétrico a se opor a qualquer variação de corrente

no circuito. Alternativamente, indutância é a capacidade de um circuito elétrico armazenar energia

em um campo magnético.

Sempre que um campo magnético varia no tempo registra-se uma diferença de potencial em

um indutor. Como a corrente é proporcional ao campo magnético, define-se que a relação entre a

tensão e a variação da corrente no tempo é chamada de indutância do componente e tem como

unidade o Henry (H), definido como homenagem ao cientista Americano Joseph Henry.

L

Ld i (t)

v L dt

Da equação anterior temos:

LL

vd i (t)= dt

L

Integrando a equação anterior em ambos os lados obtemos a corrente no indutor:

L L1di (t) v (t) dtL

L L1i (t) v (t) dtL

11.5. RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Resistência elétrica é a oposição de um material (circuito) à circulação de corrente elétrica.

Pela lei de Ohms temos que:

r rv (t) R i (t)

Ou:

rr

v (t)i (t)=

R

11.6. LEIS DE KIRCHHOFF

1ª Lei: Lei dos nós: "A soma das intensidadades das

correntes que chegam a um nó é igual à soma das intensida-

des das correntes que deixam o nó".

Pela 1º lei de Kirchhoff temos que:

Substituindo por letras temos que:

1 3 5 6 2 4I I I I I I

Se considerarmos as correntes que entram num nó como positivas (+) e as que saem do

mesmo nó como negativas (-), então esta lei afirma também que a soma algébrica de todas as correntes que se encontram numa junção comum é zero. Utilizando o símbolo de somatório, ,

temos: I 0

Onde I, a soma algébrica de todas as correntes num ponto comum, é zero.

1 2 3 4 5 6I I I I I I 0

Soma de todas as corrente que entram em um nó = Soma de todas as corrente que saem do nó

Se transpusermos os termos negativos para o lado direito do sinal de igual, teremos a mes-

ma forma da equação original.

2ª Lei: Lei das malhas: “A tensão aplicada a um circuito fe-

chado é igual à soma das quedas de tensão naquele circuito.

Pela segunda lei de Kirchhoff temos que:

Substituindo por letras:

A 1 2 3V V V V 0

Ou

A 1 2 3V (V V V ) 0

Introduzindo um símbolo novo, , a letra grega maiúscula sigma, temos:

A 1 2 3V V V V V 0

Na qual V, a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer circuito fechado, é

igual a zero.

Atribuímos um sinal positivo (+) para um aumento de tensão e um sinal negativo para uma queda de tensão na fórmula V = 0. Ao acompanhar as quedas de tensão ao longo de um circuito,

comece no terminal negativo da fonte de tensão. O percurso do terminal negativo até o terminal

positivo passando pela fonte de tensão corresponde a um aumento de tensão. Continuamos a

acompanhar o circuito do terminal positivo passando por todos os resistores e voltamos ao termi-

nal negativo da fonte.

Tensão aplicada menos soma das quedas de tensão é igual a zero

teoria de controle.pdf

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