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Fernando Nogueira Teoria de Filas 1

Teoria de FilasTeoria de Filas

Agner Krarup Erlang(*1878, Lonborg, Dinamarca; �1929, Copenhagen, Dinamarca).


Introdução

O estudo de Teoria de Filas trata com o fenômeno de aguardar em fila usando medidasrepresentativas da performance do sistema, tais como comprimento médio da fila,tempo médio de espera na fila, utilização média do sistema, entre outros.

USA (2001) ⇒ estimativa de 37.000.000.000 horas gastas em filas pela população/ano.

Pesquisa realizada nos E.U.A. em 1988, com 6000 pessoas. Fonte: Fitzsimmons e Fitzsimmons (2000).


Exemplo de como calcular com incertezas

Dois trens vão ocupar um mesmo terminal de carga. Os horários de chegada, de saída e

de permanência dos trens no terminal são tratados como variáveis aleatórias.

7 .6 8 .4 9 .2 1 0 1 0 .8 1 1 .6 1 2 .4 1 3 .2 1 4 1 4 .8 1 5 .6 1 6 .4 1 7 .2

1 2

G a n tt

h o ra

term

inal

( )( ) ( ) ( ) ττ−τ=∗ ∫∞

∞−

dtgftgf

( )( ) ( ) ( )∑ −=∗n

nmgnfmgf

A soma de 2 variáveis aleatórias,

f e g, é realizada pela

convolução de f e g:

Contínuo

Discreto


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 1 chegar no terminal: Tc1=8.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: Ts1 = Tc1 + Pt => Ts1 = conv(Tc1,Pt)=12.4


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar no terminal: Tc2=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do periodo de terminal: Pt=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal: Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.05

0.1

0.15

0.2

distribuição de probabilidade do horario de haver 2 trens (FILA) no terminal: P(fila)=0.37333 E(h.fila)=11.9482


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 1 sair do terminal: E(Ts1)=12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 chegar do terminal: E(Tc2)==12.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal (SEM FILA): Ts2 = Tc2 + Pt => Ts2 = conv(Tc2,Pt)=16.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do periodo de fila no terminal: E(Tempo.fila)=0.55533

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

distribuição de probabilidade do horario do trem 2 sair do terminal + FILA: TsF2 = Ts2 + f => TsF2 = conv(Ts2,f)=16.9553


Estrutura Básica de um Modelo de Fila

Fonte de Entrada ⇒ onde gera-se os clientes.

1)Tamanho da População: finita ou infinita.

2)Distribuição de Probabilidade que os clientes são gerados sobre o tempo (Poisson).

3)Distribuição de Probabilidade do tempo entre chegadas (Exponencial).

obs: 2) ⇔ 3) se 2) Poisson e 3) Exponencial

Fonte de

Entrada

Fila

Mecanismo de

Atendimento

Clientes Clientes Atendidos

Sistema de Fila

Disciplina da Fila


Fila ⇒ onde os clientes aguardam antes de serem atendidos.

1)Número máximo de clientes que a fila pode conter (buffer): finito ou infinito.

Disciplina da Fila ⇒ ordem que os clientes em fila são selecionados para atendimento.

First In First Out (FIFO) = First Come First Served (FCFS), Last In First Out (LIFO),Randômica, Prioridade, entre outras.

Mecanismos de Atendimento (Serviço) ⇒ onde o cliente é atendido.

1)Número de instalações de atendimento em série (não necessariamente).

2)Numero de canais de atendimento (servidores) em paralelo para cada inst. de atend.

3)Distribuição de Probabilidade para cada servidor (Exponencial).

instalação de atendimento 1

Clientes

Clientes Atendidos

Sistema de Fila

444 8444 76 Fila

CCCCCC

C

C

C

C

14

13

12

11

S

S

S

S

44 844 76 Fila

CCCCinstalação de

atendimento 2C

C

C

23

22

21

sss

Clientes Atendidos


t

f(t)

:densid

ade d

e p

robabili

dade

pdf - Exponencial

λ

0 E(t)=1/ λ0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)

:pro

babili

dade a

cum

ula

da

PDF - Exponencial

Distribuição Exponencial

As variáveis aleatórias Tempo Entre Chegadas e Tempo de Atendimento são

modeladas geralmente pela Distribuição Exponencial. Seja t um v.a. com

Distribuição Exponencial com parâmetro λ, então:

( )λ

=1

tE ( )2

1tvar

λ=

{ }

{ }

( )0t

edteTtP

e1dteTtP

T

T

t

T

T

0

t

≥

=λ=>

−=λ=≤

λ−∞

λ−

λ−λ−

∫

∫( )

<

≥λ=

λ−

0tpara0

0tparaetf

t


Perda de Memória

{ } { }

{ } { }{ }

{ }{ }

( )

( ) { }TtPee

e

ttP

tTtP

ttP

tttTtPtttTtP

TtPtttTtP

T

t

tT

>===∆>

∆+>=

∆>

∆>∩∆+>=∆>∆+>

>=∆>∆+>

λ−

∆λ−

∆+λ−

Se agora são 8:20hs e a última chegada ocorreu 8:00hs, a probabilidade que a próxima chegadairá ocorrer após 8:30hs é função apenas do intervalo entre 8:20hs e 8:30hs (T), ou seja, é

independente do intervalo entre 8:00hs (quando ocorreu a última chegada) e 8:20hs (∆t). Exemplo:

Uma máquina quebra a cada 40 minutos em média com distribuição exponencial. Assim, a taxamédia de quebra é:

A função densidade é:

Se agora são 8:20hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:

Porém, se agora são 7:00hs, a probabilidade que a próxima quebra seja até 8:30hs é:

hora/quebra5.140

60==λ( ) 0t,e5.1tf t5.1 >= −

22.0e160

10tP 60

105.1

≈−=

≤

−

89.0e160

90tP 60

905.1

≈−=

≤

−

{ } { }APBAP =∩⇒

B A =

B contém A

A

∆t Τ t

t >∆t+T

t >∆t

t >∆t+T ∩ t >∆t


Processos de Nascimento e Morte: relação entre Poisson e Exponencial

Processo de Nascimento Puro ⇒ somente chegadas são permitidas. Ex: emissão de

certidão de nascimento.

Processo de Morte Puro ⇒ somente saídas são permitidas. Ex: retirada aleatória de

itens de um estoque.

Tempo entre Chegadas e Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial com

parâmetros λn e µn, respectivamente ⇒ Cadeia de Markov em Tempo Contínuo.

Processo de Nascimento Puro

Seja p0(T) a probabilidade de nenhuma chegada durante um período T. Dado que o

Tempo entre Chegadas t é exponencial e que a taxa de chegada é λ clientes por unidade

de tempo, então:

Expandindo p0(T) em Taylor, para um intervalo de tempo h > 0 , porém pequeno, fica:

Considerando que em um intervalo pequeno, no máximo um evento pode ocorrer, então

para h → 0:

( ) { } { } ( ) TT

0 ee11TtP1TtPTp λ−λ− =−−=≤−=≥=

( ) ( ) ( )2

2

h

0 hOh1...!2

hh1ehp +λ−=−

λ+λ−== λ−

( ) ( ) h)h1(1hp1hp 01 λ=λ−−≈−=


Este resultado mostra que a probabilidade de uma chegada durante h é diretamente

proporcional à h com taxa de chegada λ (constante de proporcionalidade).

A distribuição do número de chegadas pn(T) durante um período T, pode ser deduzida

por:

Na primeira equação, n chegadas serão percebidas durante T + h se há n chegadas

durante T e nenhuma chegada durante h, ou n-1 chegadas durante T e uma chegada

durante h. Todas as outras combinações são impossíveis para a distribuição exponencial

(no máximo um evento pode ocorrer para um intervalo de tempo pequeno). Uma vez

que chegadas são eventos independentes, o produto das probabilidades pode ser

aplicado no lado direito das 2 equações acima. Na segunda equação, zero chegadas

durante T + h podem ocorrer somente se nenhuma chegada ocorrer durante T e h. As

derivadas das 2 equações dadas acima são:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n,h1.Tphp.TphTp

0n,h.Tph1.Tphp.Tphp.TphTp

0000

1nn11n0nn

=λ−=≈+

>λ+λ−=+≈+ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

=λ−=−+

=′

>λ+λ−=−+

=′

→

−→

0n,Tph

TphTplimTp

0n,TpTph

TphTplimTp

000

0h0

1nnnn

0hn


A solução do sistema de equações diferenciais resulta em:

que é a distribuição de Poisson com média chegadas durante T. A variância

é . O resultado mostra que se o Tempo entre Chegadas é Exponencial com

média 1/λ então o número de chegadas durante T é Poisson com média λT.

( ) ( ),...2,1,0n,

!n

eTTp

Tn

n =λ

=λ−

{ } TTnE λ={ } TTnvar λ=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

n - numero de chegadas no periodo T = 1

Pro

babili

dade

Funçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n - numero de chegadas no periodo T = 1

Pro

babili

dade A

cum

ula

da

Funçao Distribuiçao de Probabilidade:Poisson - Lambda = 3


Exemplo:

Um terminal de carga recebe caminhões a uma taxa de 1 caminhão a cada 12

minutos. O Tempo entre Chegadas é exponencialmente distribuído.

a)O número médio de caminhões por dia é:

b)O número médio de caminhões por ano é:

c)A probabilidade de nenhum caminhão chegar em um dia é:

d)A probabilidade de chegar 50 caminhões em 3 horas dado que 40 caminhões

chegaram durante as 2 primeiras horas do período de 3 horas é:

Processo de Morte Puro

O sistema possui N clientes e nenhuma chegada é permitida. Atendimentos

ocorrem em uma taxa µ clientes por unidade de tempo. A probabilidade pn(T)

de n clientes permanecerem após T unidades de tempo é:

dia/hoesminca12024*12

60==λ

ano/hoesminca43800365*120T ==λ

( ) ( )0

!0

e1*1201p

1*1200

0 ≈=−

( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )

( )018.0

!10

e1*51p

!4050

e23*12

60

23p1*510

10

1*12

604050

4050 ≈==−

−

=−−

−−

−


( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )∑

=

µ−−

+

+

−==−

µ=

µ=′

<<µ+µ−=′

µ−=′

→

µ+=+

<<µ+µ−=+

µ−=+

N

1n

n0

TnN

n

10

1nnn

NN

100

1nnn

NN

Tp1TpN,...,2,1n,!nN

eTTp

TpTp

Nn0,TpTpTp

TpTp

0hCom

h.Tp1.TphTp

Nn0,h.Tph1.TphTp

h1.TphTp

A solução deste sistema de equações

diferencias resulta na Distribuição de

Poisson Truncada.

Distribuição de Poisson Truncada

Exemplo:

Uma loja de flores recebe 18 buquês de rosas no começo de cada semana.

Em média, a loja vende 3 buquês de rosas por dia sendo que tal demanda

possui distribuição de Poisson. Sempre que o nível do estoque alcança 5

buquês de rosas, um novo pedido de 18 buquês de rosas é feito para ser

entregue no começo da próxima semana. Todo o estoque no fim da semana

(sobra) é perdido.

( )

( )⇒µ

⇒µ−

h

h1

prob. de realizar 0

atendimentos em h

prob. de realizar 1

atendimento em h


a) Uma vez que o atendimento é realizado numa taxa µ = 3, a probabilidade de

fazer um novo pedido (quando o estoque chega em 5 buquês) em qualquer dia

da semana é:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )∑=

−−

≤

=−

+=

+++=

5

1n

T3n18

0

5105n

7,...,2,1T,!n18

eT3Tp

Tp...TpTpTp

Gráficos para T = 3


b) O número médio de buquês de rosas que serão perdidos no fim de cada

semana é:

{ } ( ) buquês664.7np7tnE18

0n

n∑=

==≥

( )7T7t =⇔≥

Gráficos para T = 7


Modelo de Fila de Poisson Generalizado

�Processo de Nascimento e Morte combinados (Tempo entre Chegadas e

Tempo entre Saídas possuem distribuição exponencial)

�Modelo é baseado em situação do processo operando sobre condições de

Estados Estavéis (Estados em Fase de Regime, Estados Estacionários).

�O estado do sistema é o número n de clientes no Sistema de Fila.

�Para n > 0 e h → 0, o estado n pode somente mudar para o estado n – 1

quando um atendimento ocorre na taxa µn ou para o estado n + 1 quando uma

chegada ocorreu na taxa λn. Obs: estado 0 só pode mudar para o estado 1

quando uma chegada ocorre na taxa λ0. µ0 não é definido porque nenhum

atendimento pode ocorrer para n = 0.

�Probabilidades pn são obtidas através do Diagrama de Transição de Taxa:


Em condições de Estados Estáveis, para n > 0, a taxa esperada de fluxo

entrando e saindo do estado n precisa ser igual. Uma vez que o estado n pode

mudar somente para o estado n – 1 ou n + 1, tem-se:

1n1n1n1n ppnestadonoentrando

fluxodeesperadataxa++−− µ+λ=

( ) nnn p

nestadodosaindo

fluxodeesperadataxaµ+λ=

Igualando as 2 taxas, tem-se a seguinte equação de balanço:

( ) 0n,ppe,...2,1n,ppp 1100nnn1n1n1n1n =µ=λ=µ+λ=µ+λ ++−−

Para n = 0, tem-

se:0

1

01 pp

µ

λ=

Para n = 1, tem-

se:( ) 0

12

0121112200 ppppp

µµ

λλ=⇒µ+λ=µ+λ

Por indução:

,...2,1n,p...

...p 0

11nn

02n1nn =

µµµ

λλλ=

−

−−

p0 é determinado através de:1p

0n

n =∑∞

=


Exemplo 1:

Uma mercearia possui a seguinte regra para definir o número de caixas

operando na loja dependendo do número de clientes:

No de clientes na loja

No de caixas operando

1 a 3 1

4 a 6 2

+ de 6 3

A Taxa de Chegada, com distribuição Poisson, é 10

clientes/h e o Tempo de Atendimento, com

distribuição Exponencial, é 12 minutos/cliente.

Determine a distribuição de probabilidade pn de n

clientes no Sistema de Fila em condições de

Estados Estáveis.

==

==

==

=µ

==λ=λ

,...8,7n,h/clientes155*3

6,5,4n,h/clientes105*2

3,2,1n,h/clientes512

60

,...1,0n,h/clientes10

n

n

00

3

4

00

3

3

00

2

2

001

p8p10

10

5

10p

p8p5

10p

p4p5

10p

p2p5

10p

=

=

=

=

=

=

=

=

,...8,7n,p3

28

p15

10

10

10

5

10p

p8p10

10

5

10p

p8p10

10

5

10p

0

6n

0

6n33

n

00

33

6

00

23

5

=

=

=

=

=

=

=

−

−


p0 é determinado por:

1...3

2

3

21831p1...

3

28

3

28

3

28888842pp

2

0

32

00 =

+

+

++⇒=

+

+

+

+++++++

Usando a soma da série geométrica , tem-se:1x,x1

1x

0i

i <−

=∑∞

=

55

1p1

3

21

1831p 00 =⇒=

−

+

De posse de p0, pode-se calcular então qualquer probabilidade pn. Por

exemplo, a probabilidade que somente um caixa esteja operando é dada por:

( ) 255.055

1842ppp 321 ≈++=++

e o número esperado de caixas ociosos é:

( ) ( ) ( ) caixa1...pp0ppp1ppp2p3 876543210 =+++++++++


Terminologia


Em condições de Estados Estáveis (não transiente)

Relações entre L, W, Lq e Wq

Fórmula de Little

obs: se

⇒λ= WL

qq WL λ=

λ−≠λ seutilizacten

µ+=

1WW q

µ

λ+=⇒

µ

λ+λ=λ⇒λ

µ+=λ qqq LLWW

1WW

µ

λ=−= qLLs

número médio de

servidores ocupadoss

s=ρ


Exemplo 2:

A taxa de chegada de carros é 6 carros/h com distribuição de Poisson em um

estacionamento que possui 5 vagas. O intervalo de tempo que os carros ficam

estacionados é distribuído exponencialmente com média de 30 min. Os carros

que não encontram uma vaga disponível, podem esperar em uma área

provisória até que algum carro estacionado deixe o estacionamento. Esta área

pode suportar até 3 carros. Demais carros que não conseguem estacionar nem

aguardar na área provisória vão embora.

a) a probabilidade, pn, de ter n carros no sistema:

( )( )

==

===µ

==λ

=

8,7,6n,h/carros1030

605

5,...,2,1n,h/carrosn230

60n

7,...,1,0n,h/carros6

5s

n

n

=

=

=

−8,7,6n,p

5!5

3

5,...,2,1n,p!n

3

p

05n

n

0

n

n

15!5

3

5!5

3

5!5

3

!5

3

!4

3

!3

3

!2

3

!1

3pp1p...pp

3

8

2

765432

00810 =

++++++++⇒=+++

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

pn .04812 .14436 .21654 .21654 .16240 .09744 .05847 .03508 .02105


b) A taxa efetiva de chegada (λeff):

Se 8 carros já estão no estacionamento, então um outro carro não poderá

entrar, assim a proporção de carros que não entrarão é p8.

c) O número médio de carros no estacionamento e na área provisória é:

d) O tempo médio que um carro aguarda na área provisória (Wq) é:

e) O número médio de vagas ocupadas (servidores ocupados) é:

f) O fator de utilização do estacionamento:

Fonte Sistema

λ λeff

λ lost � λ=λeff + λlost

h/carro8737.51263.06eh/carro1263.002105.0x6p losteff8lost =−=λ−λ=λ==λ=λ

carros1286.3p8...p1p0L 810 =+++=

hora03265.2

153265.

1WWq =−=

µ−=hora53265.

8737.5

1286.3LW

eff

==λ

=

vagas9386.22

8737.5LLs eff

q ==µ

λ=−=

58737.2*5

8737.5

sou58737.

5

9368.2

s

s eff ==µ

λ=ρ===ρ


Notação (a/b/c):(d/e/f)

a: distribuição do tempo entre chegada (M, D, Ek, G, GI);

b: distribuição do tempo de atendimento (M, D, Ek, G, GI);

c: número de servidores (canais de atendimento);

d: disciplina da fila (FIFO, FCFS, LIFO, Randômica, Prioridade, Qualquer, ...)

e: número máximo de clientes no sistema (finito ou infinito);

f: tamanho da fonte de entrada (finito ou infinito).

onde:

M: Markoviano (Exponencial (tempo) ↔ Poisson (taxa));

D: Determinístico (tempo constante);

Ek: Distribuição de Erlang ou Gama ↔ soma de distrib. exponenciais independentes

G: distribuição geral (não se sabe nada sobre os tempos de chegada/serviço);

GI: distribuição geral em que os tempos de chegada/serviço são i.i.d..

Exemplos: (M/M/1):(Fifo/∞/∞), (M/D/10):(Rand/20/∞)


Modelo (M/M/s):(qq/∞∞∞∞/∞∞∞∞)

λeff = λ ⇒ fila (buffer) infinita 0n,n ≥λ=λ

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

≥µλ

=µ

λ=

µ

µ

λ

<≤µλ

=µ

λ=

µµµµ

λ

=−−

=

∏sn,p

s!sp

s!sp

si

sn0,p!n

p!n

pn...32

p0sn

n

0nsn

n

0s

1i

n

0

n

0n

n

0

n

n

≥µ

<µ=µ

sn,s

sn,nn

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1s

,s1

1

!s!n

s!s!np

1s1s

0n

n

1

sn

sns1s

0n

n

0

<µ

λ

µλ−

µλ+

µλ=

=

µ

λµλ+

µλ=

−−

=

−∞

=

−−

=

∑

∑∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )2

0

s

0

s

0k

k

0

s

0k

k

0

s

0k 0k

0

k

s

sk

sn

nq

1!s

p

1

1

d

dp

!sd

dp

!s

d

dp

!sp

!skkppsnL

ρ−

ρµλ=

ρ−ρρ

µλ=

ρ

ρρ

µλ

=ρ

ρρ

µλ=ρ

µλ==−=

∑

∑∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=+

∞

= µ

λ+= qLL

λ=

q

q

LW

λ=

LW

obs: (M/M/s) é um caso especifico do Modelo de Fila de Poisson Generalizado.

Modelo de Fila de Poisson Generalizado → independente da disciplina de fila.

{ } ( )( )

( )

µλ−−

−

ρ−

µλ+=>ω

µλ−−µ−µ−

1s

e1

1!s

p1eTp

1sTs

0T { } { }( ) ( )T1s

qq e0p1Tp ρ−µ−=ω−=>ω { } ∑−

=

==ω1s

0n

nq p0p

01sse =µλ−− ( ) T1se1 1sT µ=µλ−−−⇒ µλ−−µ−

s–1 e não s porque é a probabilidade de um clientechegar e não ficar em fila. Se um cliente chegar, quandojá houver s clientes, este ficará na fila.

n=0 e não n=1 porque se nuncahouver fila p{wq=0} = 1 e sem p0 asomatória não resulta em 1.


Exemplo:

Um hospital possui apenas um médico de plantão.Um estudo foi realizado para analisar

a viabilidade de contratar mais um médico plantonista, sendo o intervalo entre chegadas

estimado de 30 min. e o tempo de atendimento estimado de 20 min, ambos distribuídos

exponencialmente.

λ = 2, µ = 3.

De posse dos resultados acima, o hospital entendeu que o tempo aguardado esperado na

fila para um único médico (Wq= 2/3 horas = 40 min.) é grande, fato que justifica a

contratação de mais médico plantonista.


Modelo (M/M/s):(qq/N/∞∞∞∞), s ≤≤≤≤ N

Difere do modelo (M/M/s):(qq/∞/∞) no número máximo de clientes no sistema

que é finito e igual a N. O comprimento máximo da fila é Lq = N-s e λeff ≠ λ.

≥

<≤λ=λ

Nn0

Nn0,n

≤≤µ

<≤µ=µ

Nns,s

sn0,nn

( )

( )( )

≤≤µλ

<≤µλ

=

−Nns,p

s!s

sn1,p!n

p

0sn

n

0

n

n

( ) ( )( ) 1

s

0n

N

1sn

snsn

0s!s!n

p

−

= +=

−

µ

λµλ+

µλ= ∑ ∑

( ) ( )( )( )( )

( )

( )( )

µ

λ−

µ

λ−−

µ

λ−

µλ−

µλµλ=

−−

s1

ssN

s1

s1!s

spL

sNsN

2

s

0q

1s

Para ≠µ

λ

( ) ( )( )0

s

q p!s2

1sNsNL

+−−µλ=

( )λ−=λ−λ=λλ=λ NlosteffNlost p1ep

µ

λ+= eff

qLL

eff

q

q

LW

λ=

eff

LW

λ=

µ

λ=ρ

seff

1s

Para =µ

λ

Mesmo quando (λ/sµ) ≥ 1 o sistema

pode alcançar a condição de estados

estáveis porque λn= 0 para n ≥ N.


Exemplo:

Uma companhia de entrega possui 4 caminhões. São observados em média 16 pedidos

de entregas por hora com distribuição Poisson e o intervalo de tempo gasto por entrega

é em média 12 minutos com distribuição Exponencial. Do ponto de vista de Teoria de

Filas, os caminhões são os servidores e os pedidos de entregas são os clientes. A

companhia está estudando a possibilidade de implementar (ou não) a seguinte política:

advertir a pessoa que solicita um pedido de entrega de um potencial atraso excessivo

toda vez que houver 6 pedidos de entrega na fila. Comparar os resultados do modelo

sem e com a implantação da política citada.

λ= 16, µ = 5

Cenário 1: (M/M/4):(qq/∞/∞) ⇒ Sem política: Fila (Buffer) infiníta

Cenário 2: (M/M/4):(qq/10/∞) ⇒ Com política: Fila (Buffer) finíta, N = 4 + 6 = 10


Modelo (M/M/R):(qq/K/K), R ≤≤≤≤ K

Aplicação típica: existem R pessoas para dar manutenção em K máquinas. λ é a taxa em

que as máquinas quebram e µ é a taxa em que as máquinas são reparadas.

Se todas as máquinas estão quebradas não há mais máquinas para quebrarem ⇒Tamanho da População Finita: λn = (K – n)λ, 0 ≤ n ≤ K.

( )

≥

<≤λ−=λ

Kn0

Kn0,nKn

≤≤µ

<<µ=µ

KnR,R

Rn0,nn

( )

( ) ( )

≤≤

µ

λ

−

≤≤

µ

λ

−=

−KnR,p

R!R!nK

!K

Rn0,p!n!nK

!K

p

0

n

Rn

0

n

n

( ) ( ) ( )

1R

0n

K

1Rn

n

Rn

n

0 .R!R!nK

!K.

!n!nK

!Kp

−

= +=−

µ

λ

−+

µ

λ

−= ∑ ∑

∑=

=K

0n

nnpL ( ){ } ( )LKnKEeff −λ=−λ=λ

eff

q

q

LW

λ=

eff

LW

λ=

µ

λ=ρ

seff

µ

λ−= eff

q LL


Exemplo:

Uma companhia possui 22 máquinas. Cada máquina quebra, em média, a cada 2 horas,

sendo gastos 12 minutos, em média, para realizar o reparo. O tempo entre quebras e o

tempo de reparo são distribuídos Exponencialmente. Analisar a produtividade da

companhia em função do número de pessoas encarregadas de dar manutenção.

λ= 0.5, µ = 522

L22

sdisponiveimáquinas

quebradasmáquinassdisponiveimáquinas

máquinas

adeprodutivid −=

−=


Modelo (M/G/1):(qq/∞∞∞∞/∞∞∞∞)

Distribuição do tempo de atendimento é qualquer com média 1/µ e variância

σ2.

Para

1<µ

λ=ρ

ρ−=1p0 ( )ρ−

ρ+σλ=

12L

222

qλ

=q

q

LW

µ+=

1WW q

pn é intratável

analiticamente

Exemplo:

Um lava-jato recebe, em média, 4 carros por hora com distribuição Poisson e o tempo

de atendimento é 10 minutos por carro com distribuição exponencial se a lavagem é

realizada por um funcionário. Se a lavagem for realizada por uma máquina o tempo de

atendimento é também 10 minutos, porém constante (determinístico ⇒ σ2 = 0).

Comparar as medidas de performance do sistema operando com o funcionário e com a

máquina. λ = 4, µ = 6.

ρ+= qLL


nível de serviço

cu

sto

s

Modelo de Custos para Filas

EOC

EWC

ETC

Nível deserviçoótimo

Modelos de Custos

( ) ( ) ( )

( )

esperadotempodeunidadeporaguardardecustoEWC

esperadosistemadooperaçãodecustoEOC

esperadototalcustoETC

serviçodenívelsoux

:onde

xEWCxEOCxETC

=

=

=

µ=

+=

Geralmente utiliza-se:

( )( ) LCxEWC

xCxEOC

2

1

=

=

clienteportempodeunidadeporaguardarporcustoC

tempodeunidadeporxdeunidadeporcustoC

:onde

2

1

=

=


Exemplo:

Uma gráfica necessita comprar uma copiadora. Existem 4 modelos de copiadoras no

mercado com suas características dada na tabela abaixo. Os Jobs chegam com

distribuição Poisson com média de 4 jobs/dia. O tamanho de cada job é em média de

10000 folhas. Contratos com os clientes da gráfica estipula uma penalidade de $80,00

por job/dia de atraso. Qual copiadora a gráfica deve comprar?

Os valores de C1i são os custos de operação dados na tabela acima. Para fins práticos,

cada copiadora pode ser tratada como um modelo (M/M/1):(qq/∞/∞). A taxa de

chegada é λ = 4 jobs/dia e a taxa de atendimento µi (jobs/dia) é:

Modelo custo de operação ($/h)

velocidade(cópias/min)

1 15 302 20 363 24 504 27 66 sii1i

ii2i1i

iii

L80C24ETC

LC24CETC

EWCEOCETC

ielomod4,3,2,1i

+=

×+×=

+=

⇒=

Modelo i λλλλi µµµµi Lsi EOCi($) EWCi($) ETCi($)

1 4 30*60*24/10000 = 4.320 12.50 360,00 1000,00 1360,00

2 4 36*60*24/10000 = 5.184 3.39 480,00 271,20 751,20

3 4 50*60*24/10000 = 7.200 1.25 576,00 100,00 676,00

4 4 66*60*24/10000 =9.504 0.73 648,00 58,40 706,40

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