teoria de controle np2 - home - meccom eletronica · funções de transferência caracterizam os...

TEORIA DE CONTROLE MECATRÔNICA

www.meccomeletronica.com Página 1

A engenharia de controle baseia-se no princípio da realimentação (ou retroação) e objetiva o controle de determinadas variáveis de um sistema. Embora esteja tradicionalmente ligada a engenharia elétrica, a engenharia de controle é interdisciplinar e encontra aplicações em engenharia química, mecânica, aeronáutica, biomédica, etc. Um processo industrial simples permite ilustrar o problema básico da engenharia de controle.

O exemplo considerado é o controle de velocidade de um motor de corrente contínua em uma linha de produção industrial. O objetivo é manter constante a velocidade do motor, o qual aciona uma carga. Esta velocidade, denominada de referência, pode ser escolhida pelo operador. A carga pode variar, mas mesmo assim a velocidade deve ser mantida o mais próximo possível da velocidade de referência. Pode-se ainda considerar que além de possíveis variações da carga, o uso intensivo de um tal sistema industrial provocará desgaste e portanto variações dos parâmetros do sistema com o tempo. No entanto, neste exemplo, apenas perturbações externas (variação da carga) serão consideradas. Uma primeira solução seria verificar a tensão a ser aplicada ao motor para que, acionando a carga, se obtenha a velocidade de referência.

COMPONENTES DE UM SISTEMA DE CONTROLE

Uma versão detalhada do diagrama funcional de um SCMF para a atuação de um braço robótico é mostrado abaixo.

Este diagrama mostra os principais componentes do sistema de controle. Referência : Valor desejado da variável a ser controlada. Comparador : Dispositivo que constrói o sinal de erro entre o valor desejado e o obtido. Controlador : Dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que será aplicado no sistema, afim de corrigir a variável a ser controlada. Atuador : Dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal com potência suficiente para atuar sobre o sistema. Sistema : Dispositivo ou fenômeno que se deseja operar com alguma finalidade Medidor : Transdutor, responsável pela medição e conversão da variável a ser controlada para fins de comparação e obtenção do erro de saída.

COMPARADOR GERADOR DE ACIONAMENTO

SENSOR DE VELOCIDADE

M

MEDIDOR

SISTEMA PROCESSO OU PLANTA

COMPARADOR +

CONTROLADOR



EXEMPLOS DE SISTEMAS COM SEUS RESPECTIVOS BLOCOS DE CONTROLE

Ação humana tentando pegar um objeto

Controle de temperatura de uma sala

A ideia construção de um sistema em blocos é representar todos os seus estágios, uma variável de entrada (controle), uma relação de correção (função de transferência) e uma de saída (controlada).

SISTEMA

É uma disposição, conjunto ou coleção de partes conectadas ou relacionadas de tal maneira a formarem um todo. Pode ser físico, biológico, econômico, etc. Sendo assim todo sistema de controle de qualquer robô é realizado por meio de hardware e software.

Este sistema processa os sinais de entrada e converte estes sinais em uma ação ao qual foi programado.

O software pode ser desenvolvido em um computador ou microcontrolador. O hardware pode constituir-se de motores, dispositivos de entrada, sensores e

amplificadores de potência.

Um dos fatores mais importantes é a utilização de sensores, pois podem pertencer a um SCMF (sistema de controle de malha fechada).

CONTROLE MODERNO O objetivo do modelo de variáveis de estado, ou modelo de espaço de estados, é desenvolver uma representação que preserve a relação entrada-saída (a mesma da Função de Transferência), mas que é expressa em n equações de primeira ordem para um sistema de ordem n. A vantagem de n equações de primeira ordem é que, além das características entrada-saída, as características internas do sistema são representadas. Outras razões para o desenvolvimento dos modelos de estado são as seguintes:

BRAÇO E MÃO CÉREBRO

SALA CONDICIONADOR DE AR



Analise e projeto dos modelos de estado auxiliados por computador são executados

mais facilmente para os sistemas de ordem elevada, enquanto abordagem pela Função de Transferência tende a falhar para estes sistemas.

Nos procedimentos de projeto por variáveis de estado, é realimentado um maior

número de informações (variáveis internas) sobre o processo, assim podemos implementar um controle mais completo para o sistema que o elaborado a partir do método da Função de Transferência.

Os procedimentos de projeto que resultam no melhor sistema de controle são quase todos baseados nos modelos de varáveis de estado. Por melhor sistema devemos entender que ele foi projetado de forma a minimizar (ou maximizar) a função matemática que expressa o critério de projeto.

Mesmo se não implementarmos o projeto por variáveis de estado, podemos produzir a melhor resposta do sistema. Então procuramos nos aproximar desta melhor resposta usando o método clássico de procedimento de projeto.

Os modelos de varáveis de estado geralmente são necessários para as simulações (soluções de equações diferenciais pelo computador).

MODELAGEM POR VARIÁVEIS DE ESTADO

Um sistema dinâmico pode ser escrito por equações diferenciais em que o tempo é a variável independente. Usando-se notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representando por uma equação matricial-vetorial de primeira ordem. Se n elementos do vetor são um conjunto de variáveis de estado, então a equação matricial-vetorial diferencial é chamada equação de estado.

FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ES TADOS Considerando o sistema cuja Função de Transferência e dada por:

Este sistema pode ser representado em espaço de estados pelas seguintes equações:

Onde x é o vetor de estado, u é a entrada e y é a saída. As Transformadas de Laplace das equações anteriores são dadas por:



Já que a Função de Transferência foi previamente definida como a razão da Transformada de Laplace da saída para a Transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais fossem zero, admitimos que x(0) na equação abaixo é zero.

Então temos:

Portanto multiplicando (sI − A)^-1 em ambos os membros desta última equação, obtemos:

Substituindo as equações

Colocando U(S) em evidência

Simplificando a equação, encontramos a função da transformada

Esta é a expressão da Função de Transferência em termos de A, B, C e D. Notar que o segundo membro da equação anterior envolve (sI − A)^-1 . Daí F(s) pode ser escrita assim:

Onde Q(s) é o polinômio característico em s. Portanto |SI – A| é igual ao polinômio característico de F(s). Em outras palavras os autovalores de A são idênticos aos polos de F(s).



BLOCOS DE DIAGRAMA

Um diagrama de Blocos (DB) consiste de blocos operacionais interligados que mostram a direção de fluxo e as operações sobre a variáveis do sistema de tal modo que se estabelece uma relação entre entrada e saída quando se percorre um caminho sobre o diagrama.

O fluxo de variáveis do sistema de um bloco para outro é representado por uma linha. Como funções de transferência caracterizam os blocos, apenas equações algébricas e operações de soma e multiplicação estão envolvidas nos blocos.

Em síntese, um diagrama de blocos de um sistema é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada subsistema e do fluxo de sinais entre eles. Esse método é utilizado para descrever o comportamento existente entre os sub-sistemas que compõem o sistema principal.

O segmento orientado (seta ) que aponta para o bloco indica a entrada [R(s)] , e o segmento orientado que sai do bloco representa a saída [C(s)] . Tais são citadas como sinais.

Notar que as dimensões do sinal de saída do bloco são as dimensões do sinal de entrada multiplicado pelas dimensões da Função de Transferência no bloco. As vantagens da representação por diagrama de blocos de um sistema residem no fato de que é fácil formar o diagrama de blocos global do sistema inteiro simplesmente conectando os blocos dos componentes de acordo com o fluxo do sinal e que é possível avaliar a contribuição de cada componente para o desempenho global do sistema. Em geral, a operação funcional do sistema pode ser visualizada mais prontamente examinando-se o diagrama de blocos do que examinando-se o próprio sistema físico. Um diagrama de blocos contém informação concernente ao comportamento dinâmico, mas ele não inclui nenhuma informação sobre a construção física do sistema.

G(s)

PONTO DE SOMA DERIVAÇÃO

G(s) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

DE G(s)



Consequentemente, muitos sistemas não similares e não-relacionados podem ser representados pelo mesmo diagrama de blocos. Deve ser notado, que em um diagrama de blocos a principal fonte de energia não é explicitamente mostrada e que o diagrama de blocos de um dado sistema não é único. Inúmeros diagramas de blocos diferentes podem ser traçados para um sistema, dependendo do ponto de vista da análise. PONTO DE SOMA OU DETECTOR DE ERRO

Com referência na representação descrita abaixo, observamos um círculo com uma cruz, que representa uma operação de soma. O sinal mais ou menos em cada segmento orientado indica se este sinal deve ser adicionado ou subtraído. É importante que as grandezas a serem somadas ou subtraídas tenham as mesmas, dimensões e as mesmas unidades. Ponto de soma ou detector de erro, produz um sinal que é a diferença entre a entrada de referência e o sinal realimentado pelo sistema de controle. PONTO DE JUNÇÃO OU DERIVAÇÃO Ponto de junção ou derivação é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai simultaneamente para outros blocos ou pontos de soma. A Figura 3.3 mostra um ponto de junção ou derivação.

H(s)



DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE MALHA FECHADA

A saída C(s) é realimentada ao ponto de soma, onde ela é comparada com a entrada R(s) de referência. A natureza de malha fechada do sistema está claramente indicada pela no exemplo acima. A saída do bloco, C(s) neste caso, é obtida pela multiplicação da Função de Transferência G(s) pela entrada no bloco, E(s). Qualquer sistema de controle linear pode ser representado por um diagrama de blocos que, consiste em blocos, pontos de soma e pontos de junção. Quando a saída é realimentada no ponto de soma para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída na forma do sinal de entrada. Por exemplo, em um sistema de controle de temperatura, o sinal de saída é usualmente a temperatura controlada. O sinal de saída, que tem a dimensão de temperatura, deve ser convertido, em uma força ou posição ou tensão antes que possa ser comparado ao sinal de entrada. Esta conversão é realizada pelo elemento de realimentação cuja Função de Transferência é H(s). O papel do elemento de realimentação é modificar a saída antes que ela seja comparada com a entrada. (Na maioria dos casos o elemento de realimentação é um sensor que mede a saída da planta. A saída do sensor é comparada com a entrada, e o sinal de erro atuante é gerado.) No presente exemplo, o sinal de realimentação que é realimentado para o ponto de soma para comparação com a entrada é B(s) = H(s) C(s).

FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA

G(s)

PONTO DE SOMA

DERIVAÇÃO

H(s)

G(s)

H(s)

G(s) H(s)



A razão do sinal de realimentação B(s) para o sinal do erro atuante E(s) é chamada Função de Transferência de malha aberta. Assim: B(s) = H(s) Y(s) - I Y(s) = G(s) E(s) - II Substituindo Y(s) na eq. I, temos: B(s) = H(s) G(s) E(s)

Logo a Função de Transferência de malha aberta é dada por:

FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE ALIMENTAÇÃO DIRETA

A razão da saída C(s) para o sinal de erro atuante E(s) é chamada Função de Transferência de alimentação direta.

A razão da saída C(s) para o sinal de erro atuante E(s) é chamada Função de Transferência de alimentação direta, de modo que:

G(s)

H(s)

G(s)



FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA (FORMA CANÔNICA)

Onde: R(s) → Sinal de entrada C(s) → Sinal de saída B(s) → Sinal de realimentação G(s) → F.T direta E(s) → Sinal de erro atuante H(s) → F.T de realimentação

A saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas como segue: C(s) = G(s) E(s) - I E(s) = R(s) - B(s) - II B(s) = H(s) C(s) - III Substituindo B(s) da eq. III na eq. II, temos: E(s) = R(s) - B(s) - II E(s) = R(s) - H(s)C(s) - IV Substituindo E(s) da eq. IV na eq. I, temos: C(s) = G(s) E(s) - I C(s) = G(s) [R(s)-H(s)C(s) ] C(s) = G(s) R(s)-G(s)H(s)C(s) C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s) R(s) C(s)[1 + G(s)H(s)] = G(s) R(s)

Logo a Função de Transferência de malha fechada é dada por:

A equação característica do sistema é determinada a partir de

Inversão de sinal na equação

G(s)

H(s)



FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA COM REALIMENT AÇÃO UNITÁRIA

A Função de Transferência de realimentação é H(s)=1. Logo a saída C(s) e a entrada R(s) estão relacionadas como segue: C(s) = G(s) E(s) - I E(s) = R(s) - B(s) - II B(s) = C(s) - III Substituindo B(s) da eq. III na eq. II, temos: E(s) = R(s) - B(s) - II E(s) = R(s) - C(s) - IV Substituindo E(s) da eq. IV na eq. I, temos: C(s) = G(s) E(s) - I C(s) = G(s) [R(s)-C(s)] C(s) = G(s) R(s)-G(s)C(s) C(s) + G(s)C(s) = G(s) R(s) C(s)[1 + G(s)] = G(s) R(s) Logo a função transferência de malha fechada com realimentação unitária é dada por:

A equação característica do sistema é determinada a partir de:

Inversão de sinal na equação



FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA SUJEITA A PER TURBAÇÃO (DISTÚRBIO)

Quando duas entradas (a entrada de referência e a de perturbação) estão presentes em um sistema linear, cada entrada pode ser tratada independentemente da outra, e as saídas correspondentes a cada entrada sozinha podem ser adicionadas para dar a saída completa. A maneira pela qual cada entrada é introduzida no sistema é mostrada no ponto de soma ou por um sinal mais ou por um sinal menos. Considerar o sistema mostrado na Figura 3.10. Examinando o efeito da perturbação D(s), podemos admitir que o sistema está em repouso inicialmente com erro nulo; podemos então calcular a resposta CD(s) somente para a perturbação. Esta resposta pode ser achada da seguinte forma: Para R(s)=0 → Calcular a resposta CD(s) devida unicamente à perturbação. Logo:

Racionando o diagrama de blocos anterior temos

Simplificando o diagrama

G1(s)

H(s)

G2(s)

G1(s)

H(s)

G2(s)

H(s)

G2(s)

G1(s)

G2(s)

G1(s) H(s)



Deste diagrama podemos obter a seguinte função transferência com relação a perturbação:

Por outro lado, na consideração da resposta à entrada R(s) de referência, podemos admitir que a perturbação é zero. Então a resposta CR(s) à entrada de referencia R(s) pode ser obtida da seguinte forma: Para D(s)=0 → Calcular a resposta CR(s) devida unicamente à entrada de referência. Logo:

Simplificando o diagrama anterior temos:

Deste diagrama podemos obter a seguinte função transferência com relação à referência:

A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e da perturbação pode ser obtida adicionando as duas respostas individuais. Em outras palavras, a resposta C(s) devido à aplicação simultânea da entrada de referencia R(s) e da perturbação D(s) é dada por:

G1(s) G2(s)

H(s)

G1(s)

H(s)

G2(s)



Considerar agora o caso em que |G1(s)H(s)| >>> 1 e |G1(s)G2(s)H(s)| >>> 1. Neste caso, a função transferência de malha fechada CD(s)/D(s) torna-se quase zero, e o efeito da perturbação é suprimido. Esta é uma vantagem do sistema de malha fechada. Por outro lado, a Função de Transferência de malha fechada CR(s)/R(s) tende para 1/H(s) quando o ganho G1(s)G2(s)H(s) aumenta. Isto significa que se |G1(s)G2(s)H(s)| >>> 1, então a Função de Transferência de malha fechada CR(s)/R(s) torna-se inversamente proporcional a H(s), de modo que as variações de G1(s) e G2(s) não afetam a Função de Transferência de malha fechada CR(s)/R(s). Esta é a vantagem do sistema de malha fechada. Pode ser facilmente visto que qualquer sistema de malha fechada com realimentação unitária, H(s)=1, tende a equalizar a entrada e a saída. REDUÇÃO DE DIGRAMAS DE BLOCOS É importante notar que os blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte. Se houver quaisquer efeitos de carregamento entre os componentes é necessário combinar estes componentes em um único bloco. Qualquer número de blocos em cascata representando componentes sem efeito de carregamento pode ser substituído por um único bloco, cuja Função de Transferência é simplesmente o produto das funções de transferência individuais. Um diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de diagramas de bloco. Algumas destas importantes regras são dadas a seguir. Deve ser notado, no entanto, que como o diagrama de blocos é simplificado, as Funções de Transferências nos novos blocos tornam-se mais complexas porque novos polos e novos zeros são gerados. COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM SÉRE

Os blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte. Um diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo.

Partindo do diagrama de bloco original C(s) = G2 (s) Y(s) - I Y(s) = G1(s) R(s) - II Substituindo Y(s) na eq. I, temos: C(s) = G2 (s) Y(s) - I C(s) = G2 (s) G1(s) R(s) - III Logo:

G1(s) G2(s)

G1(s) G2(s)



COMBINAÇÃO DE BLOCOS EM PARALELO

Prova: Partindo do diagrama de bloco original: C(s) = X(s) + Y(s) - I Y(s) = G1(s) R(s) - II X(s) = G2 (s) R(s) - III Substituindo a eq. II e a eq. III na eq. I, temos: C(s) = X(s) + Y(s) (3.13) - I C(s) = G1(s) R(s) + G2 (s) R(s) Colocando R(s) em evidência C(s) = R(s) [G1(s) + G2 (s)] Logo:

ELEMINAÇÃO DE UMA MALHA DE REALIMENTAÇÃO Prova: Partindo do diagrama de bloco original C(s) = G1(s) X(s) - I X(s) = R(s) -Y(s) - II Y(s) = H1(s) C(s) - III

G1(s)

G2(s)

+_ G1(s) +_G2(s)

G1(s

H1(s)



Substituindo a eq. III na eq. II, temos: X(s) = R(s) -Y(s) - II X(s) = R(s) − H1(s) C(s) - IV Substituindo a eq. IV na eq. I, temos: C(s) = G1(s) X(s) - I C(s) = G1(s)[R(s) − H1 (s) C(s)] C(s) = G1(s)R(s) − G1(s)H1(s) C(s) G1(s)R(s) = C(s) + G1(s)H1(s) C(s) Colocando C(s) em evidência G1(s)R(s) = C(s)[1 + G1(s)H1(s)] Logo: REMOVENDO UM BLOCO DE UM RAMO DIRETO

G1(s)

G2(s)

()

() G2(s)



SISTEMA COM REALIMENTAÇÃO, BEM COMO A ELIMINAÇÃO DO BLOCO NO RAMO DE REALIMENTAÇÃO

G1(s)

H1(s)

() G1(s) H1(s)



APLICAÇÕES PRÁTICAS Num sistema de posicionamento de uma antena utilizando azimute, os sistemas de controle de posição encontram aplicações muito difundidas em antenas, braços robóticos e acionamento de disco rígido de computador. A antena de radiotelescópio da apresentada abaixo é um exemplo de sistema que utiliza o controle de posição. Procedimento desejados a) Transformar os requisito descrito em um sistema físico b )Desenhar um diagrama de blocos funcional c) Descrever as partes/componentes do sistema (isto é, função e/ou hardware) e mostra suas interconexões. d) Criar um diagrama esquemático. SOLUÇÃO a)

b)



c)



PID - PROPORTIONAL, INTEGRAL, DERIVATIVO

PROPORCIONAL Vamos supor que você está dirigindo pela estrada e tentando manter uma distância definida atrás do carro que está na sua frente, mensurada aqui como distância X.

Se você está seguindo um carro a uma distância X e você começa a ficar mais longe dele, então deverá acelerar proporcionalmente para retornar novamente ao ponto X. No entanto, se você acelerar muito vai acabar passando do ponto X, tornando a distância agora menor do que X e neste caso deverá frear para não bater no carro da frente e voltar ao ponto X. Mas se você frear e desacelerar muito, vai passar X novamente e terá de acelerar novamente para voltar ao X. Isso continuará se repetindo caso a sua aceleração proporcional não for a correta. A aceleração que é imprimida ao pisar no acelerador para ganhar velocidade e alcançar o veículo é chamada de ganho ou proporcional em um controle PID. Veja que se o ganho for alto, acabamos por passar do ponto alvo (Setpoint) e então devemos imprimir uma correção. Por este motivo é comum ver uma oscilação (acima e abaixo do Setpoint) quando não temos um ganho bem definido. RESUMINDO Se o carro estiver parado e ao sair quisermos atingir uma velocidade de 80 km/h, podemos pressionar o pedal do acelerador de forma que a velocidade do veículo aumente a uma velocidade próxima do objetivo de 80 km/h que poderia ser de 75 km/h. Quando chegamos nos 75km/h, começamos a aliviar o pedal do acelerador para evitar que o veículo vá além dos 80km/h. Este alívio no pedal do acelerador pode ser diretamente comparado com a entrada da banda proporcional ou da banda em relação à velocidade requerida. Veja que se não olharmos para o velocímetro, certamente conduziremos o carro a uma velocidade que não é a nossa velocidade desejada e teremos um erro (para cima ou para baixo).

INTEGRAL

A integral ajuda você a recuperar a distância X novamente e mantê-la de forma precisa. O integral em nosso exemplo seria você estar a uma distância maior que X do veículo da frente e pisar levemente no acelerador alcançando exatamente à distância X e mantendo-a muito mais suave do que apenas proporcionalmente (acelerando e desacelerando). Este procedimento pode ser comparado ao tempo integral de um controle PID.

RESUMINDO Se olharmos agora para o velocímetro e observarmos que estamos abaixo da nossa velocidade desejada (no caso a 75 km/h), podemos usar esse feedback visual para corrigir o erro (que no caso é de -5 km/h) e começar a pressionar lentamente o pedal do acelerador. Como resultado, nossa velocidade aumenta lentamente, diminuindo o erro e atingindo a velocidade desejada de 80 km/h (Setpoint).



DERIVATIVO

No controle PID, a derivada é usada para eliminar um erro acumulado na integral. Em nosso exemplo isso seria você perceber a distância X crescer ou decrescer e rapidamente impedir que esta diferença fique maior. O derivativo age para diminuir a oscilação em torno do Setpoint tornando-a o menor possível.

Agora estamos exatamente em nosso Setpoint de 80 km/h e continuamos a manter essa velocidade através do feedback visual do velocímetro. Mas se nos deparamos com uma mudança repentina na inclinação da estrada, como uma colina íngreme, temos que corrigir a redução de velocidade por conta da subida pressionando o pedal do acelerador mais do que seria necessário em uma reta. Se após subir a colina e encontrarmos novamente uma reta, é necessário desacelerar um pouco para evitar que a velocidade ultrapasse os 80km/h e fique constante no Setpoint desejado. A quantidade de correção e o tempo para estabilizar o erro (diferença da velocidade em torno do Setpoint) para zero pode ser comparado ao derivativo no controle PID. Por isso falamos que o derivativo trata diretamente da oscilação em torno do objetivo.

Para estabelecer uma velocidade ao veículo em que nós somos o condutor e, portanto, o controlador do processo de mudar a velocidade do carro iremos criar o diagrama de blocos de controle para tal. Representaremos o loop de controle do carro andando a uma velocidade constante.

Observando o bloco de controle acima notamos que é importante fechar o loop de realimentação. Caso o loop do feedback (olho do motorista no velocímetro), seja removido, estaremos entrando em “controle de loop aberto” e neste caso teremos que controlar a posição do carro com os olhos fechados! Isso obviamente é impossível mas felizmente, estamos sob “controle de loop fechado” utilizando nossos olhos para o feedback de posição.



A maioria dos sistemas de controle funcional de forma análoga ao exemplo acima. Assim, em um sistema de controle de temperatura industrial por exemplo, o controlador de temperatura toma os sinais PV (valor real que pode ser coletado por um sensor de temperatura termopar) e SP (Setpoint ou valor desejado inserido diretamente no controlador) e então coloca estes sinais em uma caixa preta que calcula qual deve ser a saída do controlador. Essa saída do controlador é enviada então para um atuador que se move para realmente controlar o processo. O atuador poderia ser um drive que dosa a energia na resistência que por sua vez aquece um forno industrial. Nesses sistema abordado, o que realmente nos interessa é a atuação da caixa preta, ou seja, realmente o que ela faz e quais são os cálculos proporcional, integral e derivativo que a partir da medição do valor PV, são aplicados de forma com que o sistema atue para que o valor chegue no Setpoint. Estes cálculos, chamados de “Modos de Controle” incluem:

Proporcional (P) Integral (I) Derivativo (D)

Afinando o entendimento sobre o assunto aplicaremos um forma simplificada de como o controle PID atua em um sistema de controle de temperatura.



Analise a atuação de um grupo gerador, que quando uma carga acima do esperado é aplicada consequentemente sua saída será modificada. Aplique o conceito de PID e demonstre os gráficos para correção do sistema.

Analise a atuação de um chuveiro elétrico cuja resistência máxima e mínima é de 22W e 11W, respectivamente. O sistema pretende ajustar a temperatura de operação partindo de 10ºC mínimo ate 37ºC máximo. Nessa condições o valor adotado para Kp é de 300 e G(0) = 0,4. Deseja-se determinar o erro final do sistema e o ponto de saturação.



Deseja-se levantar a característica dinâmica de um sistema, para tal foi necessário aplicar um degrau de 0V a 40V no instante de 10 segundos, com vazão de fluido aquecido na saída do processo constante, essa operação gerou uma resposta de temperatura mostrada na figura abaixo. Pode-se observar que, inicialmente, o fluido está em temperatura ambiente. Sabendo que o sistema é linear, responda os itens a seguir.

a) Calcular o ganho de K (ºC/V)

b) Calcular a temperatura obtida observando e o tempo que a resposta demora para atingir aproximadamente 63% do valor final.

c) Qual o tipo de ação é utilizado nesse sistema e sua característica fundamental para correção do erro estacionário?

SOLUÇÃO a) Para calcular o ganho de K basta visualizar a amplitude da saída (10ºC) dividida pela variação da entrada (40V). K = (35 - 25) / (40 - 0) => 0,25ºC/V b) Para t1 = 10 seg – Temperaruta 25ºC Para t2 = 15 seg – Temperatura ??? Tempo de resposta da ação 10 – 15 => 5 seg Pt.(DTF- DTI)+ TI Pt = percentual de trabalho DTF = Diferença de temperatura final DTI = Diferença de temperatura inicial TI = Temperatura inicial 0,63.(35 - 25) + 25 =: 31,3ºC Para o Tempo de resposta t = 15 seg (tempo para atingir 31,3ºC) - 10seg (tempo inicial) = 5 seg

c) Nesse sistema é utilizado uma ação integradora, e a característica fundamental da ação integradora, em sistemas de controle estáveis, é a tendência a minimização do erro estacionário para uma entrada em degrau.



AMPLIFICADORES OPERACIONAIS Os amplificadores operacionais são dispositivos extremamente versáteis com uma imensa gama de aplicações em toda a eletrônica. Os amplificadores operacionais são amplificadores de acoplamento direto, de alto ganho, que usam realimentação para controle de suas características. Eles são hoje encarados como um componente, um bloco fundamental na construção de circuitos analógicos. Internamente, são constituídos de amplificadores transistorizados em conexão série.

Os amplificadores operacionais são usados em amplificação, controle, geração de formas de onda senoidais ou não em freqüências desde C.C. ate vários Megahertz. Com emprego na realização das funções clássicas matemáticas como adição, subtração, multiplicação, divisão, integração e diferenciação, os amplificadores operacionais são os elementos básicos dos computadores analógicos. São úteis ainda em inúmeras aplicações em instrumentação, sistemas de controle, sistemas de regulação de tensão e corrente, processamento de sinais, etc. AMPLIFICADOR OPERACIONAL IDEAL As propriedades de um circuito amplificador operacional ideal são: a) ganho de tensão diferencial infinito b) ganho de tensão de modo comum igual a zero c) tensão de saída nula para tensão de entrada igual a zero d) impedância de entrada infinita e) impedância de saída igual a zero f) faixa de passagem infinita g) deslocamento de fase igual a zero h) deriva nula da tensão de saída para variações de temperatura Na prática, as limitações dos amplificadores operacionais são muitas, ocorrendo, entretanto, um contínuo aperfeiçoamento das características dos mesmos pelos seus fabricantes. AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL Algumas considerações Ganho de tensão - Normalmente chamado de ganho de malha aberta, medido em C.C.(ou em freqüências muito baixas), é definido como a relação da variação da tensão de saída para uma dada variação da tensão de entrada. Este parâmetro, notado como A ou Avo, tem seus valores reais que vão desde alguns poucos milhares até cerca de cem milhões em amplificadores operacionais sofisticados. Normalmente, Av0 é o ganho de tensão diferencial em C.C.. O ganho de modo comum é, em condições normais, extremamente pequeno. Tensão de "offset" - A saída de um amplificador operacional ideal é nula quando suas entradas estão em curto circuito. Nos amplificadores reais, devido principalmente a um casamento imperfeito dos dispositivos de entrada, normalmente diferencial, a saída do amplificador operacional pode ser diferente de zero quando ambas entradas estão no potencial zero. Significa dizer que há uma tensão C.C. equivalente, na entrada, chamada de tensão de "offset". O valor da tensão de "offset" nos amplificadores comerciais estão situado na faixa de 1 a 100 mV. Os componentes comerciais são normalmente dotados de entradas para ajuste da tensão de "offset". Corrente de "offset" - O amplificador operacional ideal apresenta impedância de entrada infinita. Os amplificadores operacionais reais, entretanto, apresentam correntes C.C. de polarização em suas entradas. Essas correntes são, geralmente devidas às correntes de



base dos transistores bipolares de entrada do amplificador operacional ou ainda correntes de fuga da porta do transistor de efeito de campo em amplificadores dotados de FETs à entrada. Como, na prática, os dispositivos simétricos de entrada não são absolutamente iguais, as duas correntes de entrada são sempre ligeiramente diferentes. A diferença dessas correntes é chamada de corrente de "offset" de entrada. AMPLIFICADOR NÃO INVERSOR Na configuração de amplificador não inversor, mostrada na figura abaixo, a fase do sinal de saída é a mesma do sinal de entrada. O ganho é determinado pelo resistor de realimentação. As fórmulas dadas a seguir são usadas para determinar esse ganho.

FÓRMULA 1 Ganho

Onde: G é o ganho R1 e R2 são as resistências em ohms FÓRMULA 2 Ganho de tensão

Onde: Uout é a tensão de saída em volts Uin é a tensão de entrada em volts R1 e R2 são as resistências em ohms Obs.: A tensão de saída não pode exceder a tensão de alimentação. Exemplo de Aplicação: No circuito mostrado na figura 2, R2 é um resistor de 100 k? e R1 é um resistor de 10 k? resistor. Determine o ganho.

Dados: R1 = 10 k R2 = 100 k G = ?



AMPLIFICADOR INVERSOR A polaridade do sinal de saída é oposta à do sinal de entrada. A configuração básica de um amplificador operacional inversor é mostrada na figura abaixo.

FÓRMULA 3 Ganho do amplificador inversor

Onde: G é o ganho R1 e R2 são as resistências em ohms AMPLIFICADOR SEGUIDOR DE TENSÃO O seguidor de tensão é uma configuração especial onde R1 e R2 são nulos (zero). Essa configuração tem um ganho de tensão unitário (1), conforme mostra a figura abaixo.

AMPLIFICADOR SOMADOR A configuração básica de um amplificador somador usando um amplificador operacional é mostrada na figura 5. A tensão de saída é dada pela soma algébrica das tensões de entrada, multiplicada pela relação entre R2 e R1.

FÓRMULA 4 Amplificador somador

Onde: Uout é a tensão de saída em volts U1, U2....Un são as tensões de entrada em volts R1, R2 são as resistências em ohms



EXEMPLO DE APLICAÇÃO No amplificador somador mostrado na figura 6, R2 tem 100 k ?, e R1 10 k ?. Determine a tensão de saída quando as tensões de entrada são U1=100 mV, U2 = -200 mV e U3 = 250 mV. Dados: R2 = 100 k R1 = 10 k U1 = 100 mV U2 = -200 mV U3 = 250 mV Uout = ? Aplicado a fórmula 4

Uout = 10x(150x103) = 1500 mV = 1.5 V AMPLIFICADOR SUBTRATOR Não confundir com o diferenciador. O subtrator ou amplificador diferença produz uma tensão de saída que é a diferença das tensões aplicadas em suas entradas. Essa configuração é mostrada na figura abaixo.

FÓRMULA 5 Subtractor

Onde: Uout é a tensão de saída em volts U1 e U2 são as tensões de entrada em volts R1 e R2 são os resistores em ohms Obs: a tensão de saída deve ser menor que a tensão de alimentação.



DIFERENCIADOR Diferenciação (derivada) é o processo usado para se encontrar a variação instantânea de um sinal, pelo traçado de uma linha tangente ao ponto de interesse no gráfico que representa esse sinal. Conforme mostra a figura 8 temos um circuito que faz essa operação com um sinal usando um amplificador operacional.

FORMULA 6 Diferenciação

Onde: Uout é a tensão instantânea em volts Uin é a tensão de entrada em volts R é a resistência em ohms C é a capacitância em farads (F) APLICAÇÕES PRÁTICAS O esquema abaixo apresenta uma aplicação onde um motor de indução trifásico é acionado através de um inversor de frequência, cuja a entrada é ligado à rede elétrica que possui uma frequência constante de 60Hz. Pela variação da corrente de referência (Iref) que opera de 4 a 20mA, a velocidade de rotação do motor varia linearmente de 0 a 2000RPM. A corrente de referência vem de um circuito analógico dotado de amplificadores operacionais nas configurações a seguir: 1 - Amplificador não Inversor 2 - Conversor de tensão corrente A entrada do amplificador não inversor é ligada a uma fonte de tensão constante com tensão igual a 1VDC. Considerando esse sistema, determine o valor da resistência do potenciômetro que levará o motor à rotação de 1000 RPM.



SOLUÇÃO

De 4 a 20mA => 2000RPM 4 – 20 = 16 16 – 4 = 12 Com 12 mA => 1000 RPM Para obter uma corrente de 12mA na saída do Amplificador Operacional na função de conversor de corrente, a tensão de entrada deverá ser: V = I.R => V = 0,012 * 250 => 3V O ganho do Amplificador Operacional é dado por: A = 1 +

R2 = Rv1

3 = 1 +

= > 3 − 1 =

=> 2 =

=> 20000 = Rv1 => =

Em ambientes industriais, quando é necessário são comuns dois problemas: I - Dificuldade de se ter um instrumento adequado devido à baixa amplitude do sinal II - Distorção do sinal por ruído, gerado tanto pela rede elétrica de 60 Hz quanto por máquinas que operam nas proximidades. Para contornar esses problemas, pode-se utilizar um filtro passa-baixas ativo como mostrado abaixo, que permite tanto à amplificação quanto a atenuação de sinais de frequências acima de um valor desejado. Considerando a necessidade de medir sinais de baixa amplitude (da ordem de mV), os valores adequados dos resistores e do capacitor para que o filtro mostrado ao lado tenha um módulo do ganho em corrente contínua de 1000 e uma frequência de corte de 200 rad/s, são: SOLUÇÃO



Para o circuito a seguir, determine: a) A equação de Vo, considerando Rf = 10,0 kΩ e Rs = 4,0 kΩ; b) O valor de Vo para Vs = 2V; c) O valor de Vo para Vs = ‐5V; d) O valor de Vo para Vs = 8V; e) Os limites de variação de Vs para que a saída Vo não sature. SOLUÇÃO



Para o circuito a seguir, determine: a) A equação de Vo, considerando Rf = 10,0 kΩ e Rs = 5,0 kΩ; b) O valor de Vo para Vs = 2V; c) O valor de Vo para Vs = ‐4,5V; d) O valor de Vo para Vs = 6V; e) Os limites de variação de Vs para que a saída Vo não sature.

SOLUÇÃO



DEFINIÇÕES DE UMA FUNÇÃO DE LAPLACE Para representar uma função de Laplace por F(s) = N(s)/D(s) , temos como definição: N(s) = Polinômio do numerador D(s) = Polinômio denominador Os quais são variáveis complexas em s. POLINÔMIO CARACTERÍSTICO A equação matemática de D(s) identifica o comportamento do sistema no domínio do tempo, recebendo portanto o nome de polinômio característico. ORDEM DO SISTEMA Se resume ao grau do polinômio característico, ou seja, se D(s) é um polinômio de 1º grau, o sistema será de 1º ordem, se for do 2º grau, será de 2º ordem e assim sucessivamente. ZERO DO SISTEMA Representa os valores de s que anulam o polinômio do numerador N(s). POLOS DO SISTEMA Representado pelos valores de s que anulam o polinômio do característico D(s).

Para a função de transferência () = ()

(), determinar quem é seu polinômio característico, a

ordem do sistema e a posição de polos de zeros.

Resolução

Sendo () = ()

()=

()

!() , logo o polinômio característico é D(s) = (s+1)

Como a ordem do sistema é determinada pelo polinômio característico e neste caso o polinômio é de 1º ordem (s+1), o sistema é de primeira ordem.

Igualando N(s) à zero, temos os zeros do sistema. (S + 3) = 0 => s = -3 O zero do sistema se encontra na posição -3 Igualando D(s) à zero, temos os polos do sistema. (S + 1) = 0 => s = -1 O polo do sistema se encontra na posição -1 Montando a representação dos polos e dos zeros do sistema em coordenadas cartesianas com o nome de planos S.



Dada a função de transferência () = (""#)

($#), determine a ordem do sistema, os polos de

zeros e represente o sistema no plano s.

Resolução

Sendo () = (""#)

($#)=

()

!() , logo o polinômio característico é D(s) = (s² + 4s +5)

N(s) = ( − − #)

D(s) = ( + $ + #)

Determinar o lugar das raízes (pólos de malha fechada em função de K) para o seguinte sistema:

)20(5

1

)20(5

)(

++

+=

ss

Kss

K

sT520

5)(

2 Kss

KsT

++=



TRANSFORMADAS DE LAPLACE Histórico Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuicoes a mecânica celeste e a teoria das probabilidades. Em sua obra “Theorie Analitique”(1812) apresenta a transformação que leva o seu nome, isto e, a Transformada de Laplace. Definições matemáticas das transformadas de Laplace Matematicamente a transformada de Laplace é definida por:

Onde: • f(t) = função temporal em que f(t)=0 para t<0 • s = variável complexa de Laplace • L= símbolo que indica transformação por Laplace de f(t) • F(s) = transformada de Laplace de f(t) A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que deve ser utilizada para agilizar a obtenção de resultados em controle, portanto uma vez calculada as funções de interesse para nossa área, as mesmas estão tabeladas, dispensando a necessidade do cálculo integral, bastante demorado e trabalhoso. ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANS FORMADA DE LAPLACE

Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais e que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.



Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a integral:

existe, onde:

uma variável complexa, a função f(s) e chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por:

Exemplo: F(t) = 1 então:

Exemplo:



CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA UTILI ZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE Ex: 1: F(t) = 3(t) + 5 L( F(t) ) = ?

teoria de controle np2 - home - meccom eletronica · funções de transferência caracterizam os...

Documents