3 Educação não transforma o mundo, educação muda pessoas. Pessoas transformam o mundo.”

Paulo Freire MAT-II

Módulo 02

PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

A-01. No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.

A-02. No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.

A-03. No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectiva mente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED.

A-04. No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.

A-05. No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectiva- mente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF.

A-06. No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapézios ABFE e CDEF.

A-07. No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respecti- vos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar : a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. b) a medida do perímetro do triângulo BCF.

A-08. No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG.

TEMAS DE ESTUDO Aula 05 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS – POLÍGONOS CONVEXOS

Aula 06 – PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Aula 07 – SEGMENTOS PROPORCIONAIS - SEMELHANÇA

DE TRIÂNGULOS Módulo - 02

Aula 05 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

ATIVIDADES DE AULA

4 Educação não transforma o mundo, educação muda pessoas. Pessoas transformam o mundo.”

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Módulo 02

A-09. (U. Taubaté-SP) O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o: a) dodecágono b) pentágono c) decágono d) hexágono e) octógono A-10. (FUVEST/SP) - Na figura, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é a) 32 b) 34 c) 36 e) 38 e) 40º A-11. (Mack-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b)104 c) 119 d) 135 e) 152

A-12 (ITA-SP) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77 A-13 (UNIFESP-SP)Pentágonos regulares congruentes podem ser conecta- dos, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na

figura. Nestas condições, o ângulo mede: a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º

AULA 05 (Cont.): POLÍGONOS CONVEXOS

Aula 6: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

ATIVIDADES DE AULA

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Módulo 02

A-14 Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC. A-15 Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio. A-16

No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: a) a área do triângulo ABC; b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG.

TEOREMA DE TALES

“Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais”.

A-17 Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de x.

A-18

Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x. a) b) A-19 A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos no mesmo posicionamento forem iguais e os lados correspondentes, proporcionais. Observe:

Os ângulos A, B e C são, de forma posicional, iguais aos ângulos A’, B’ e C’.

TEOTEMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA

“Se em um triângulo for traçado um segmento de reta paralelo

a um dos lados e que intersecta os outros dois lados em pontos

diferentes, temos que será determinado um segundo triângulo

semelhante ao primeiro”.

Observe a semelhança entre os lados:

AB proporcional a AE

AC proporcional a AD

BC proporcional a DE

Aula 7: SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Veja algumas proporções

AB/BC = DE/EF

BC/AB = EF/DE

AB/DE = BC/EF

DE/AB = EF/BC

Uma mediana divide o triângulo em dois

triângulos de mesma

área

Aula 7(Continuação): SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

C’

A’

B’ a’

b’ c’

B

A

C

c d

a

ATIVIDADES DE AULA

ATIVIDADES DE AULA

Então:

ABC A’B’C’ k

c

c

b

b

a

a

'''

6 Educação não transforma o mundo, educação muda pessoas. Pessoas transformam o mundo.”

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Módulo 02

A-20

No da figura a seguir, DE//BC nessas condições determine: a) a medida x

b) o perímetro do ABC A-21 (UEL) O gráfico a seguir mostra a atividade de café, em milhões de toneladas, em certo município do estado do Paraná. De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em 1994, a produção de café nesse município foi, em milhões de toneladas, a) 9,5 b) 9 c) 10,5 d) 11 e) 12,5 A-22 (Ufsm) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede a) 33 m

b) 38 m

c) 43 m

d) 48 m

e) 53 m

A-23 (FUVEST) Num terreno, na

forma de um triângulo

retângulo com catetos com

medidas 20 e 30 metros,

deseja-se construir uma casa

retangular de dimensões x e y,

como indicado na figura ao

lado.

a) Exprima y em função de x.

b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?

A-24

(Unesp) Na figura, B é um ponto

do segmento de reta AC e os

ângulos DAB, DBE e BCE são

reto

Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3. d) 7 e 4. e) 9 e 2.

A-25 Na figura, os quadriláteros são quadrados. Determine a medida do lado do maior deles.

A-26

(FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e n pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: a) 4. b) 8. c) 12. d) 14 e) 16.

A-27 (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa, cujos olhos estão a 1,60 m do chão, posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. Com os dados anteriores, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: a) 2,82 m.

b) 3,30 m.

c) 3,85 m.

d) 3,00 m.

e) 3,52 m.

ATIVIDADES DE AULA

GABARITO

A-01. 6cm A-02. 32º; 64º; 90º e 116º A-03. 25cm

A-04. 7cm; 9cm e 8cm A-05. x +z A-06. 36cm e 42cm

A-07. Baricentro e 46cm A-08. 19cm; 6cm; 6cm e 7cm

A-09. b A-10. c A-11. A-12. A-13.d A-14. 118º

A-15. O poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos

vértices são as três casas.

A-16. a) 42 cm² b) 7 cm² c) 28 cm² A-17. A-18. a) b) A-19. A-20. a) 5 b)35 A-21.d A.22.b

A-23. a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.

A-24. e A-25. 20m A-26.b A-27.e