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SECÇÃO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I

Problemas 1. Complementos de Estática 2. Cascas Finas Axissimétricas 3. Cabos 4. Esforço Axial em Peças Lineares 5. Flexão em Peças Lineares

João Carlos Gomes Rocha de Almeida

Resistência de Materiais I

2

1. Complementos de Estática

1. Classifique as seguintes estruturas planas quanto às estatias exterior, interior e global, justificando. Comente a boa ou má distribuição das ligações interiores e exteriores. Em caso negativo proponha soluções que transformem o mecanismo em uma estrutura estável.

Figura 1-1

Figura 1-2

Figura 1-3

Figura 1-4


3

Figura 1-5

Figura 1-6

Figura 1-7

Figura 1-8


4

2. Considere as estruturas esquematizadas.

a. Determine todas as reacções de apoio. b. Trace os diagramas de esforços da estrutura, indicando todos os valores

necessários à sua perfeita definição.

Figura 1-9

Figura 1-10

Figura 1-11

Figura 1-12

[m] A

B

C D E

F

2,0 2,0 4,0 4,0

2,0 kN/m

5,0 kNm

3,0 kN 3,0

[m]

15,0 kN/m 40,0 kN

A B C D E

2,0 2,0 2,0 2,0

[m]

4,0

A

B C

D

4,0

40,0 kN

20,0 kN/m 10,0 kN/m

a

0ME

A B C

D F G

a a a

4a


5

Figura 1-13

Figura 1-14

Figura 1-15

Figura 1-16

[m]

A B

C D

E

2,0 kN/m

2,0

2,0

2,0 2,0 2,0 2,0

R

P

A

B C R

q

C

B

A D

P

2 kN/m

3,0

3,0

4 kN

A

C

B

D [m]


6

Figura 1-17

3. Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a n cargas concentradas

igualmente espaçadas. A carga total aplicada é P, logo a intensidade de cada carga é P n . O comprimento da viga é L, logo o espaçamento entre as cargas é ( )1L n + .

Figura 1-16

a. Determine o momento flector máximo na viga. b. Compare o resultado anterior com o valor obtido para a mesma viga sujeita

a uma carga uniformemente distribuída com intensidade q tal que qL P= .

A B

Pn

Pn

Pn

L 1

Ln + 1

Ln +1

Ln +

...

...

A

B E

D C

5 kN

A≡B 5 kN

D

E

C

2,0

2,0

4,0

3 kN/m 3 kN/m

3 kN/m

Planta

3 kN/m

[m]


7

2. Cabos 4. O cabo ABCD está sujeito a duas cargas concentradas, como se representa na

figura. Determine: a. a distância h;

b. as reacções nos apoios; c. a força de tracção máxima no cabo.

Figura 2-1

5. O cabo representado na figura encontra-se sujeito ao seu peso próprio, o qual é

igual a 60 N/m. Considere que a forma do cabo é uma parábola. a. Determine a força de tracção máxima no cabo; b. Determine o comprimento do cabo c. Admitindo que a flecha f pode variar, determine o valor de f para o qual a

tracção máxima no cabo é a menor possível.

Figura 2-2

6. Resolva o Problema 5, considerando agora que a forma do cabo é uma catenária.

P

D B A C

8 kN 10 kN

9 m 4 m 5 m

2 m h

P

B A

20 m

f = 4 m


8

3. Cascas Finas Axissimétricas 7. Um reservatório consiste numa casca cilíndrica de eixo vertical tapada na base por

uma casca semiesférica, como indicado. O peso do sistema é suportado por um apoio contínuo distribuído ao longo do perímetro superior do cilindro. O reservatório encontra-se cheio com um líquido de peso específico γ . Determine:

Figura 0-1

a. As tensões circunferenciais e longitudinais máximas na região cilíndrica.

b. As tensões máximas na região semi-esférica.

8. Dois cilindros de parede fina encontram-se dispostos em paralelo como mostrado

na figura. Os cilindros interior e exterior são de cobre e aço, respectivamente. Determine as tensões circunferenciais em cada material devidas a um aumento de temperatura de 35ºC. Despreze os efeitos introduzidos pela expansão longitudinal dos cilindros.

Figura 0-2

6

6

205

12 10 º

90

17 10 º

aço

aço

cobre

cobre

E GPa

C

E GPa

C

α

α

−

−

=

= ⋅

=

= ⋅

9. Deduza a expressão da extensão volumétrica de um cilindro delimitado por uma

casca cilíndrica de parede fina submetida a uma pressão uniforme interna p . As extremidades da casca encontram-se limitadas por lajes circulares. Admita que a extensão radial é constante ao longo do comprimento.

R

R

H t

0,52 0,51

0,50

[m]

Aço

Cobre


9

3. Esforço Axial em Peças Lineares 10. Uma barra longa com a forma de um cone de revolução de comprimento L e

diâmetro d na base encontra-se suspensa na vertical sob acção do seu peso próprio (ver figura a). A barra tem peso próprio γ e módulo de elasticidade E.

Figura 3-1

a. Determine o deslocamento do vértice da barra cónica. b. Se a mesma quantidade de material for utilizada numa barra prismática de

secção circular e comprimento L (ver figura b), determine o correspondente deslocamento na extremidade livre.

11. Determine a forma que o pilar representado na figura deve ter tal que a tensão seja

igual em todas as secções transversais. Considere que o pilar está sujeito à força P e que o seu peso próprio por unidade de volume é γ .

Figura 3-2

L L

d

L

P

a b


10

12. Considere a barra encastrada no topo e sujeita à acção do seu peso próprio.

Figura 3-3

a. Determine o campo de deslocamentos na direcção vertical. b. Determine o deslocamento máximo na barra.

13. Calcule as tensões normais na secção de betão armado da figura quando esta se

encontra submetida a um esforço axial de 250 kN. Admita que os materiais têm comportamento elástico linear, que a aderência entre o aço e o betão é perfeita e que as secções se mantêm planas após deformação.

Figura 3-4

l2

l1 γ1=80 kN/m3

E1=200 GPaA1=30 mm2 l1=5 m

1

2

γ2=60 kN/m3 E2=250 GPa A2=40 mm2 l2=6 m

0,3

0,3

[m]

Eaço=210 Gpa Ebetão=14 GPa

8φφ12


11

14. Considere a barra representada na figura, constituída por dois materiais perfeitamente aderentes.

Figura 3-5

a. Determine o ponto onde os elementos de redução das tensões são equivalentes apenas a N.

b. Supondo que o aço é substituído por betão, determine a área de betão necessária para se terem as mesmas características de deformabilidade.

c. Determine as extensões, 33ε , e as tensões, 33σ , instaladas nos dois materiais.

15. A barra representada na figura, de secção transversal uniforme, possui uma placa

na sua extremidade inferior. Um peso P é libertado do topo da barra e cai livremente ao longo da barra até atingir a placa. Determine o alongamento máximo e a tensão axial máxima na barra devidos ao impacto do peso na placa.

Figura 3-6

L

P

0,3

0,5

[m] Eaço=210 Gpa Ebetão=30 GPa

0,2

10,0

N N

aço

betão


12

16. A barra prismática AB de comprimento L possui a meio vão (ponto C) um apoio elástico de rigidez k. Um bloco de massa m é largado sobre o ponto B à altura h.

Figura 3-7

Admitindo que a barra AB é rígida e de peso desprezável, mostre que a expressão para o deslocamento máximo no ponto B, Bδ , devido ao impacto do objecto é:

1 2

B

41 1

2mg khk mg

δ

= + +

17. Um tirante comprido apoiado na sua extremidade superior é introduzido num poço

de petróleo e suporta uma carga P na extremidade oposta. O material do tirante tem uma relação constitutiva bilinear, como mostrado na figura, onde E1 e E2 são os declives das duas partes do diagrama.

Figura 3-8

Determine o alongamento da barra devido ao seu peso próprio e à força P sendo o peso específico 328 /kN mγ = , a área da secção transversal 2960A mm= , o comprimento

360L m= e a carga 92P kN= .

2L

m

k

A C B h

2L

ε

σ

L

100 MPa

P

A

E2=12 GPa

E1=75 GPa

B 0


13

18. Considere o sistema indicado na figura, constituído por cinco barras biarticuladas.

Figura 3-9

a. Determine os esforços nas barras. b. Calcule o deslocamento relativo entre os pontos A e B devido à deformação

axial elástica das barras utilizando: 1. princípio da conservação de energia; 2. princípio dos trabalhos virtuais; 3. considerações geométricas.

19. As barras AC e CB possuem secção transversal constante, como indicado na

figura. Os apoios nas extremidades impedem todos os movimentos. O sistema encontra-se submetido a uma carga concentrada no ponto C e a uma variação uniforme de temperatura na barra CB.

Figura 3-10

Determine, em função de P e ∆T: a. as reacções de apoio em A e C; b. o diagrama de esforço axial nas barras; c. o deslocamento do ponto C; d. o valor de ∆T para que o esforço axial na barra AC seja nulo.

L

P P A

C

D

B

P

3 m 3 m

E1 = 200 GPa Ω1 = 40 mm2 α1 = 10−5/ºC

A B C

∆T

E2 = 100 GPa Ω2 = 60 mm2 α2 = 2x10−5/ºC

EΩ = const.


14

20. Considere a treliça representada na figura seguinte.

Figura 3-11

Calcule os deslocamentos vertical e horizontal do ponto C, Cvδ e C

hδ , respectivamente. Para tal utilize:

a. equações de compatibilidade de deslocamentos; b. princípio dos trabalhos virtuais.

21. Considere a treliça representada na figura. Todas as barras têm rigidez axial EΩ e

coeficiente de dilatação térmica linear α. Para além das cargas concentradas P aplicadas nos pontos B e C, a estrutura está sujeita a uma variação uniforme de temperatura na barra EF de valor ∆T. Nestas condições, calcule:

Figura 3-12

a. o grau de indeterminação estática da estrutura; b. os esforços axiais nas barras; c. o deslocamento vertical em B.

L L

L

P

A B

C

( ) ABEΩ

( )BCEΩ

( )ACEΩ

( ) ( ) ( )AC AB BCE E E EΩ = Ω = Ω = Ω

A B C D

E F

L L L

L

.E constΩ =

T∆

P P


15

22. A treliça seguinte está sujeita a um aumento de temperatura de 40ºC na barra AC,

a um assentamento de apoio vertical nos pontos B, 100Lδ = , e a uma carga vertical

de 20 kN actuante no ponto C. Determine os correspondentes esforços normais nas barras, sabendo que todas elas têm módulo de elasticidade E = 200 GPa e coeficiente de dilatação linear α = 12 x 10−6/ºC.

Figura 3-13

23. Admite-se que os cabos da estrutura seguinte têm comportamento elasto-plástico

perfeito, com E = 200 GPa e σc = 200 MPa. A deformabilidade da barra ADE

pode ser desprezada face à das restantes barras. Nestas condições, determine:

Figura 3-14

a. a carga de cedência da estrutura;

b. o deslocamento vertical no ponto F para P=Pc;

c. a carga última e os esforços no instante do colapso.

2 T∆

20 kN

A B B

C

L

L L

Ω 2Ω Ω

ΩΩ

A

B C

E, Ω

4 m 2 m

D E

E, Ω

F

P

2 m

3 m


16

24. Uma barra heterogénea é constituída por dois materiais A e B, ambos com

coeficiente de dilatação linear 50,6 10α −= ⋅ /ºC. O material da barra A pode

considerar-se rígido-plástico e o da barra B elasto-plástico com endurecimento linear, como representado na figura.

Figura 3-15

Trace os diagramas de variação de tensão e das deformações com a variação de temperatura em ambas as barras. Despreze os efeitos tridimensionais admitindo 0ν = .

25. No poste representado na figura, os tirantes AB e CD são de aço macio com um

diagrama σ-ε elasto-plástico perfeito.

a. Determine a carga máxima P que pode actuar na estrutura sem provocar deformações permanentes nos tirantes.

b. Determine a carga que provoca o colapso plástico da estrutura.

A B

250 mm 250 mm

0,01

700

740

1

700 Material B

Material A

ε

[ ]MPa

σ−

[ ]MPaσ

ε 1

E 235

-235

E=210 GPa Ω=100 mm2

EΩ

EΩ

2,0 0,3

3,0

3,0

P

P

A B

C D

E

F

Figura 3-16


17

26. Considere a estrutura representada na figura, onde todas as barras biarticuladas têm igual rigidez ΩE . A deformabilidade por flexão e por esforço transverso da barra horizontal pode ser desprezada face à deformabilidade das barras biarticuladas, as quais têm comportamento elasto-plástico perfeito.

Figura 3-17

a. Determine os esforços nas barras em regime elástico e o deslocamento da barra rígida em função de P.

b. Determine a carga de cedência, cP , e o deslocamento da barra rígida para essa situação.

c. Determine a carga de colapso, uP , e o deslocamento da barra rígida para essa situação.

d. Na iminência do colapso, descarrega-se a estrutura. Calcule o correspondente deslocamento residual da barra rígida.

e. Tendo em conta as alíneas anteriores, trace o diagrama carga-deslocamento da barra rígida.

f. Se a estrutura voltar a ser carregada, os valores das cargas de cedência e de colapso serão diferente dos valores determinados acima? Justifique.

A B C

D

E

F

l

l l P

l

43

cσ

cσ−

σ

ε

barra rígida

l = 4 m σc = 235 MPaE = 210 GPa Ω = 300 mm2


18

27. Considere a estrutura representada na figura, na qual a barra AB tem a secção

indicada.

Figura 3-18

a. Determine as tensões nos materiais que constituem a secção do tirante devidas à carga p.

b. Calcule o deslocamento vertical no ponto C devido à carga p, utilizando: 1. princípio dos trabalhos virtuais; 2. compatibilidade de deformações.

c. Determine a carga de colapso da estrutura, pu, associada à plastificação da barra AB, utilizando:

1. equilíbrio de forças; 2. princípio dos trabalhos virtuais.

D C

E

A B

p

( )1EΩ ( )1

EΩ

( )2EΩ ( )2

EΩ

2,5 2,5 2,5 2,5

2,5

( )( )

61

52

10 /

10

10

p kN m

E kN

E kN

=

Ω =

Ω =

Secção da barra AB

Material B Material A

200aE GPa=

348MPa

348MPa−

210a cmΩ =

ε

σ

30bE GPa=

3MPa

30MPa−

2100b cmΩ =

ε

σ

Material A

Material B

[m]


19

4. Flexão em Peças Lineares

28. A viga representada na figura encontra-se submetida a um estado de flexão pura

no tramo BC. A secção transversal da viga é um perfil INP 140 (I = 57 300 cm4).

Figura 4-1

Determine: a. a tensão normal máxima na viga; b. o raio de curvatura no troço central; c. a flecha na secção C; d. o ângulo entre as secções sob os apoios da viga deformada.

29. Considere a estrutura seguinte.

Figura 4-2

a. Determine a posição das rótulas CD de modo a tirar o máximo partido da secção transversal da viga AF.

b. Dimensione para a situação da alínea anterior a secção transversal a utilizar na viga AF. Utilize um critério de tensões admissíveis ( 210 MPaadmσ = ).

A B C D

E

P=10 kNP P

INP 140

3.8 [m] 3.8 0.8 0.8

5.0 5.0 15.0

a a b

p=60 kN/m

A

[m]

D C B F E


20

30. Um arame com módulo de elasticidade E, diâmetro t e comprimento L é flectido por momentos 0M originando um arco de circunferência cujo ângulo central é α .

Figura 4-3

a. Trace os diagramas de tensões e deformações longitudinais. b. Se o ângulo central aumentar, a tensão máxima irá aumentar ou diminuir?

31. A viga esquematizada suporta uma força concentrada P e tem a secção indicada

na figura. Se a tensão admissível for 120 MPa, determine o máximo valor de P.

Figura 4-4

32. Considere uma viga de aço com secção em U, carregada como mostrado na figura.

Determine as máximas tensões de tracção e compressão devidas à flexão.

Figura 4-5

A B 0M 0M

L

α

t

20 kN/m

3

10 kN⋅m

1 1 [m]

[mm]

40 225 40

200 40

10

P

0,5 1,5 [m]

[mm]

10

30

30

10

30

10

15 15

C B A


21

33. Uma viga de secção transversal circular tem a geometria indicada na figura e está sujeita a uma força vertical a meio vão. Determine a localização do ponto onde ocorre a máxima tensão de flexão e o valor dessa tensão.

Figura 4-6

34. Considere uma viga em consola AB com secção rectangular de largura xb e altura

xh variáveis. A viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída q . Se a

largura variar linearmente em x de acordo com a expressão x Bb b x L= ,

determine a expressão de xh para que a tensão máxima em todas as secções da consola seja a mesma.

Figura 4-7

P

x 2d

y

d

2L

2L

L

x

Bhxh

q

xh

xb

Bh

Bb

B

A


22

35. A viga representada na figura tem secção transversal em L com as características geométricas indicadas.

Figura 4-8

Determine: a. o diagrama de tensões normais na secção de encastramento; b. a posição da linha neutra.

36. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura.

Figura 4-9

[m]

Secção Transversal

A-A

0,25

p=14 kN/m

0,25

1,25

0,8

N N

[m]

A

A

N

5,0 10,0

A B

P=5kN

P

2,0 m

200

57,368

57,368

200

20

20

[mm]

G

Ix=Iy=2880, 070 cm4

Pxy= -1705,263 cm4

y

x


23

a. Desenhe o núcleo central da secção A-A, indicando as coordenadas dos seus vértices.

b. Determine a força N a aplicar ao nível da extremidade inferior do núcleo central para que não ocorram tensões de tracção na secção de momento flector máximo.

c. Trace os diagramas de tensões normais na secção A-A.

37. Considere o pórtico triarticulado representado na figura, cuja secção transversal é

constituída por um perfil HEB 260.

Figura 4-10

a. Localize o centro de pressões das secções A-A, B-B e C-C. b. Desenhe o núcleo central da secção, indicando a posição de todos os vértices. c. Represente o diagrama de tensões normais na secção C-C, indicando os

valores significativos e a posição da linha neutra.

100 kN/m

A-A

1,5 [m] 1,5 1,5 1,5

1,5

1,5

1,5

B-B

C-C

[mm]

HEB 260 A=118,40 cm2 Ix=14919 cm4 Iy=5135 cm4

260

260

17,5

10

24

X X

Y

Y


24

38. Uma viga de aço com secção em T é reforçada por duas vigas de madeira.

Figura 4-11

Sabendo que a secção está sujeita a um momento flector de +50 kNm, determine: a. a tensão máxima na madeira; b. a tensão máxima no aço.

39. Uma laje de betão armado (Ebetão = 30 GPa, Eaço = 210 GPa) tem 12,5 cm de

espessura. Os varões de aço têm 16 mm de diâmetro, 125 mm de afastamento e estão colocados 25 mm acima da face inferior da laje. Sabendo que o betão não resiste à tracção e que na laje actua um momento flector por unidade de comprimento de +12 kNm/m, determine:

a. a tensão máxima no betão; b. a tensão no aço.

40. A placa indicada está assente num solo com tensão normal admissível de 400 kPa.

Figura 4-12

a. Para M = 80 kNm, trace os diagramas de tensões normais no solo. b. Para M = 120 kNm, trace os diagramas de tensões normais no solo. c. Determine o maior momento M que pode ser aplicado à placa.

200

20

300

75 75 20

[mm]

Emadeira= 12,5 GPa Eaço= 200 GPa

300 kN M1 m

2 m


25

41. Determine a elástica das seguintes estruturas.

Figuras 4-13 e 4-14

42. Numa viga simplesmente apoiada de vão L e largura s acumula-se um líquido de

peso específico γ. O consequente aumento da deformação da viga faz com que se acumule mais líquido. Suponha que a configuração da viga antes da aplicação do líquido é w1(x) = w0sen(πx/L).

Figura 4-15

a. Determine a elástica da viga. b. Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector.

L

x

y

p s wγ=

A B

1w

2w

L

H

A

B C

P

50 kN

1,0 3,0 1,0 [m]

I 2 I I

EI = const.


26

43. Utilizando os teoremas de Mohr, determine a força P e o momento M que é necessário aplicar na extremidade de uma viga em consola de comprimento L para que a flecha na extremidade livre seja δ e a rotação seja nula. Considere que a rigidez de flexão EI é constante ao longo do eixo longitudinal da peça.


Figura 4-10

a. Determine o diagrama de momentos flectores da estrutura. b. Determine o deslocamento vertical em C devido ao carregamento indicado.


Figura 4-11

a. Mostre que o momento flector na secção de encastramento pode variar entre PL− e 4PL+ , dependendo do valor da rigidez da mola.

b. Calcule o deslocamento vertical no ponto C. c. Determine os esforços na estrutura devidos apenas a uma variação

diferencial de temperatura na barra AC igual a T+∆ e T−∆ nas faces inferior e superior da viga, respectivamente.

L/2

P/2

A

B C D

L/2

L

P

Barra AB EI EΩ=∞

Barra BD EI

L/2

A B C

D

L/2

P Barra AC EI h=L/10

K


27

46. Quando descarregada, a face inferior da viga metálica (EI = 8400 kN⋅m2) representada na figura, está a uma distância d=0.3 cm do apoio central B.

Figura 4-12

Determine: a. a reacção vertical no apoio B; b. a rotação no apoio A.

47. Considere a estrutura hiperstática representada na figura. O tirante AC tem

módulo de elasticidade igual a 200 GPa e a área da sua secção transversal é igual a 10 cm2. O módulo de elasticidade da barra ABC é 30 GPa.

Figura 4-13

Determine: a. o deslocamento vertical do ponto B (considere a deformabilidade axial e de

flexão); b. o diagrama de tensões normais na secção S; c. as coordenadas do centro de pressões na secção S.

3 m

p=6 kN/m

A B

C

[m] 3 m

0,3 cm

4,0

10 kN

A

B

C

[m]

45º

1,0

Secção S

[cm]

50

30

x1

x2 S


28

48. Um projéctil P, com 20 g de massa e velocidade de 300 m/s, atinge o ponto B da viga esquematizada, a qual tem secção quadrada. Sabendo que o material da viga tem um módulo de elasticidade de 210 GPa e uma tensão admissível de 160 MPa, dimensione a secção transversal da viga.

Figura 4-14

49. O arco semicircular representado na figura tem secção rectangular de 0,6 x 1,0 m.

Figura 4-16

Determine: a. as tensões normais na secção B; b. a flecha no ponto B (despreze a deformabilidade por esforço axial).

50. O anel representado na figura tem um diâmetro médio de 500 mm e uma secção

transversal circular com um diâmetro de 80 mm. Para uma tensão admissível de 40 MPa à tracção e à compressão, calcule a carga máxima admissível P.

P

0,5 1,5 [m]

C B A

P P

0,6 0,6 3,6 3,6

90 kN

[m]

E =10 GPa

B

A C

Figura 4-17

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