técnicas de continuação

Professor Luiz Antonio Farani de Souza

1 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação

Técnicas de continuação

Conteúdo 1. Introdução ................................................................................................................................. 2

2. Técnicas de continuação ........................................................................................................... 3

2.1 Técnica do controle de carga constante ............................................................................. 3

2.2 Técnica do controle de deslocamento constante ............................................................... 3

2.3 Técnica do controle trabalho externo constante ................................................................ 4

2.4 Técnica do controle Norma Mínima dos Deslocamentos Residuais ................................... 5

2.5 Técnica do controle Deslocamento Generalizado (GDCM) ................................................. 6

3. Problema numérico ................................................................................................................... 7

Solução do problema ................................................................................................................ 7

4. Programa computacional ........................................................................................................ 10

4.1 Programa principal ............................................................................................................ 10

4.2 Sub-rotinas (funções) ........................................................................................................ 12

Função tecnicas_cont .......................................................................................................... 12

5. Exercícios propostos ................................................................................................................ 12

5.1 Exercício proposto 1 .......................................................................................................... 12

5.2 Exercício proposto 2 .......................................................................................................... 12

Referências .................................................................................................................................. 13



1. Introdução

Uma forma de representação gráfica da resposta não linear de uma estrutura consiste no

traçado de um diagrama carga-deslocamento, no qual a abscissa corresponde a uma componente

de deslocamento (ou rotação) de um nó selecionado, e a ordenada representa o parâmetro de

carga (LACERDA, 2014).

Uma curva suave apresentada num diagrama carga-deslocamento é chamada de

trajetória de equilíbrio. Cada ponto numa trajetória de equilíbrio representa uma configuração

de equilíbrio estático (LACERDA, 2014).

A solução de problemas não lineares é usualmente obtida por meio da utilização de

combinação de esquemas incrementais e iterativos. Técnicas de solução apropriadas devem ser

capazes de superar os problemas numéricos associados com o comportamento não linear

(RODRIGUES, 2000).

No contexto da implementação computacional, devem ter a capacidade de detectar

pontos críticos, tais como pontos limites e pontos de bifurcação, e seguir a trajetória de

equilíbrio além dos pontos críticos. Problemas com salto dinâmico sob controle de carga (snap-

through), mostrado na Figura 1a, e salto sob controle de deslocamento (snap-back), na Figura

1b, devem ser tratados por estas técnicas (RODRIGUES, 2000).

Figura 1: a) Salto dinâmico sob controle de carga; e b) Salto dinâmico sob controle de

deslocamento. Fonte: adaptada de Rodrigues (2000).

Muitos dos métodos de resolução (solvers) de sistemas não lineares são variações do

método de Newton-Raphson. Os mais empregados são o método de Newton-Raphson Padrão

(NRP) e o método de Newton-Raphson Modificado (NRM). A diferença básica entre eles é que,

no NRP, a matriz de rigidez tangente é atualizada a cada iteração, ao passo que no NRM, a

matriz de rigidez tangente é mantida constante durante um incremento ou um conjunto de

incrementos (RODRIGUES, 2000).

O método de Newton-Raphson só fornece a solução de um simples ponto no caminho

de equilíbrio. Para obter outros pontos, combina-se as iterações de Newton-Raphson com um

procedimento incremental.

O procedimento incremental-iterativo é importante para materiais que exibem

dependência do caminho seguido pela estrutura durante sua deformação. Diferentes tensões

podem ser obtidas dependendo da forma com que são aplicadas as cargas. Aplicar incrementos

de cargas pequenos permite seguir mais de perto o caminho de deformação e obter a solução

correta do problema (BORST et al., 2012).

Diversos procedimentos de solução têm sido propostos para se traçar as trajetórias de

equilíbrio até e além dos pontos críticos. Muitos são baseados em variantes do método de

Newton-Raphson e incorporam diferentes técnicas de continuação, tais como: técnicas de

controle de deslocamento; de controle de energia; técnicas do tipo comprimento do arco

constante (Arc-Length); e a técnica do controle de deslocamento generalizado (GDCM).



2. Técnicas de continuação

2.1 Técnica do controle de carga constante

A técnica do controle de carga consiste em manter o parâmetro de carga λ constante ao

longo de um ciclo iterativo de um incremento de carga, ou seja, Δλ(k+1)

= 0. Nesse caso, o

incremento de carga não proporciona o retorno à trajetória de equilíbrio, sendo, portanto, tal

estratégia útil apenas para a análise até o primeiro ponto limite de força para curvas

apresentadas nas Figura 1a e 1b (RODRIGUES, 2000).

Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de carga

constante é (ROCHA, 2000):

__________________________________________________________________________

Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx

Solução predita

λ λ

λ

Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx

λ

λ

Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________

2.2 Técnica do controle de deslocamento constante

A técnica do controle de deslocamento foi desenvolvida por Batoz e Dhatt (1979). Esta

técnica consiste em controlar não o incremento do parâmetro de carga, λ, mas uma determinada

componente “j” do vetor de deslocamento (uj(k+1)

), que é escolhida como a variável

independente.

Uma equação de restrição deve ser introduzida para compensar a incógnita adicional λ.

Para a técnica do controle de deslocamento esta equação, escreve-se (RODRIGUES, 2000):

(1)

que pode ser escrita da forma:

(2)

Assim subincremento de carga λ

fica:

λ

(3)

A técnica de controle de deslocamento é muito útil quando se deseja passar por pontos

limites de trajetórias que apresentam saltos dinâmicos sob controle de carga (snap-through),



porém não funciona com pontos limites de deslocamento em trajetórias que apresentam saltos

sob controle de deslocamento (snap-back).

Por outro lado, Powell e Simons (1981) estabeleceram uma estratégia incremental-

iterativa. O subincremento de carga λ

é dado por:

λ

(4)

Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de

deslocamento constante é (ROCHA, 2000):

__________________________________________________________________________


Solução predita

λ

λ


λ

λ


2.3 Técnica do controle trabalho externo constante

Caso particular de um procedimento geral proposto por Powell e Simons (1981), tem-se

a condição de que o incremento de trabalho externo deve manter-se constante ao longo do

processo iterativo. Para o acréscimo de carga Fr a variação do trabalho externo é dada por

(ROCHA, 2000):

λ

(5)

Como W = 0, chega-se à correção procurada do parâmetro de carga:

λ

(6)


deslocamento constante é (ROCHA, 2000):



__________________________________________________________________________


Solução predita

λ

λ


λ

λ


2.4 Técnica do controle Norma Mínima dos Deslocamentos Residuais

Chan (1988) apresentou uma estratégia de iteração bastante eficiente, definida como o

método dos deslocamentos residuais. Nessa estratégia, ao invés de se usarem restrições

geométricas, procura-se eliminar diretamente os deslocamentos residuais (deslocamentos

iterativos) devido às forças desequilibradas. O procedimento desenvolvido fornece a norma

mínima dos deslocamentos residuais a cada iteração.

O subincremento de carga λ

é dado por:

λ

(7)

Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle Norma

Mínima dos Deslocamentos Residuais é (ROCHA, 2000):

__________________________________________________________________________


Solução predita

λ

λ

λ




λ

λ


2.5 Técnica do controle Deslocamento Generalizado (GDCM)

A técnica do controle de deslocamento generalizado (generalized displacement control

method) foi apresentada por Yang e Shieh (1990) e é uma técnica alternativa à do comprimento

do arco constante, uma vez que a solução não passa pela solução de uma equação do segundo

grau, contornando os problemas de escolha da raiz apropriada e da presença de raízes

complexas que podem ocorrer na técnica do controle do arco constante (RODRIGUES, 2000).

A técnica consiste na utilização de um parâmetro geral de rigidez (GSP), definido a

seguir:

(8)

O parâmetro do incremento de carga inicial é calculado por:

λ λ (9)

Ainda, a mudança de sinal do parâmetro GSP serve como um bom indicador para a

mudança do sentido de crescimento da carga, pois o mesmo é negativo somente nos

incrementos da carga imediatamente após a passagem por pontos limites.

Assim, verifica-se o sinal de GSP. Se GSP < 0, multiplicar λ

por -1 para mudar o

sentido de crescimento do parâmetro de carga.

O subincremento de carga λ

é dado por:

λ

(10)


deslocamento generalizado é (ROCHA, 2000):

__________________________________________________________________________


Solução predita

λ λ

λ λ

λ




λ

λ


3. Problema numérico

Considere a estrutura correspondente a uma cobertura articulada plana, abatida e não

simétrica, conforme ilustrada na Figura 2. Essa estrutura foi estudada por Powell e Simons

(1981) e Menin (2006), apresentando 18 nós e 33 elementos de barra, com rigidez axial

adimensional EA = 9,0 106 e está submetida ao efeito de três forças P de igual magnitude. A

trajetória de equilíbrio não linear para o deslocamento vertical do nó cinco versus força P é

obtida. Nas simulações foram considerados 0 l = 1,0, kmáx = 150, Nd = 5, tol = 1,0 10

-7 e P =

100.

Figura 2: Modelo estrutural da treliça abatida não simétrica

Fonte: Adaptada de Menin (2006)

Solução do problema Foi considerada formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para a

discretização do problema e a deformação de Green-Lagrange.

Os sistema de equações não lineares que descreve o problema estrutural foi solucionado

com o método de Newton-Raphson padrão. Foi considerada a mesma solução predita para todas

as técnicas de continuação baseada no método de comprimentos de arco linear:

λ

λ



Dados de entrada do método de solução

Definição da técnica de continuação

Barra de progresso

Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Norma

Mínima dos Deslocamentos Residuais



Resultados numéricos (ktotal, NP, kmédio e t)

Técnica de continuação NP ktotal kmédio t (s) Comprimento de Arco Linear Fixo 45 133 2,66 3,5650577 Comprimento de Arco Linear Atualizado 44 129 2,58 3,3386126 Norma mínima dos Deslocamentos Residuais 45 132 2,64 3,5912192 Trabalho Externo Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio Deslocamento Generalizado 45 133 2,66 3,4365265 Deslocamento Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio

Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Trabalho

Externo Constante

Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Deslocamento

Constante



4. Programa computacional

4.1 Programa principal //Programa principal - treliça 2D

//Formulação Posicional do Método dos Elementos Finitos //Análise não linear geométrica

//Deformação de Green-Lagrange

//Método de solução: Newton-Raphson padrão //Técnica de continuação: comprimento de arco linear

clear clc

exec('DKG.sci',-1);

exec('DFG.sci',-1); exec('dkelem.sci',0);

exec('ensamkg.sci',-1);

exec('contkg.sci',-1); exec('dfelem.sci',-1);

exec('ensamfg.sci',-1);

exec('contfg.sci',-1); exec('apontador.sci',-1);

exec('result.sci',-1);

exec('krenk.sci',-1); exec('dofs.sci',-1);

exec('tecnicas_cont.sci',-1);

//_____________________________________

//entrada de dados (pré-processamento)

//tol - tolerância //deltal - comprimento de arco inicial

//Nd - número desejável de iterações

//kmax - número máximo de iterações por passo //nmax - número máximo de passos de carga

//P - incremento de carga

txt = ['tolerância:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:';'comprimento de arco inicial:';'número de iterações

desejadas por passo de carga:';'incremento de carga:'];

sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-7';'150';'50';'1';'5';'-100']) tol = evstr(sig(1));

kmax = evstr(sig(2));

nmax = evstr(sig(3)); deltal = evstr(sig(4));

Nd=evstr(sig(5)); P=evstr(sig(6));

l1 = list('Escolha:',1,['Arco Linear Fixo','Arco Linear Atualizado','Deslocamentos Residuais','Trabalho Externo','Deslocamento Generalizado','Deslocamento Constante']);

rep = x_choices('Técnicas de continuação',list(l1));

[Fr,E0,A,coord, dofno,itipo,inci,NTNOS,NTEL,NTGL,NOCC,NNOSCC]=krenk(P)

d=dofs(coord);

d0=d;

//_____________________________________

//processamento //inicialização

lambda=0;

E=E0; deltal0=deltal;

u=zeros(NTGL,1);

du=zeros(NTGL,1); dg=zeros(NTGL,1);

DU=zeros(NTGL,1);

FG=zeros(NTGL,1); //vetor de força interna vu(1,1)=0;

vf(1,1)=0;

ktotal=0; ierro=0;



aux2=norm(Fr);

tic //inicia um cronômetro

winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso realtimeinit(0);

//for np=1:nmax //passos de carga

np=0; while abs(u(10,1))<16

np=np+1;

[KG]=DKG(d,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dr=KG\Fr;

if np==1

drt=dr; end

Dlambda=deltal/norm(dr); if DU'*dr<0 then

Dlambda=-Dlambda;

end D0=Dlambda*dr;

DU=D0;

[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas

k=0;

realtime(np); while k<kmax //ciclo iterativo

k=k+1; //contador

[KG]=DKG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dgi1=dg;

dg=KG\g;

dr=KG\Fr; [dlambda]=tecnicas_cont(D0,dg,dr,DU,Fr,drt,rep); //subincremento do parâmetro carga

du=dg+dlambda*dr; //vetor subincremento de coordenadas nodais

DU=DU+du; //vetor incremento de coordenadas nodais Dlambda=Dlambda+dlambda; //incremento do parâmetro carga

[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna

g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas if norm(g)<=aux2*tol //critério de convergência

break

end end

if k==kmax

messagebox('não convergiu!') ierro=1;

break

end drt=dr;

d=d+DU; //vetor de coordenadas nodais

lambda=lambda+Dlambda; //parâmetro de carga total deltal = deltal0*(Nd/k)^0.5;

u=d-d0; //vetor de deslocamentos nodais

vu(1+np,1)=-u(10,1); vf(1+np,1)=-lambda*Fr(14*2,1);

ktotal=ktotal+k; //contador iterações acumuladas

waitbar(np,winH); //barra de progresso end

close(winH); //fecha a barra de progresso

kmedio=ktotal/nmax; //número médio de iterações por passo t=toc() //lê o cronômetro

//_____________________________________ //saída de dados (pós-processamento)

if ierro==0

//trajetória de equilíbrio [v1,vf1]=result(); //resultados Menin(2006)

plot(vu,vf,'b-','marker','s','markerFaceColor','b','markerEdgeColor','k','markersize',4); set(gca(),"auto_clear","off")

gca().grid=[1 1 1]; //linhas de grade

plot(v1,vf1,'blackx','markersize',11); xlabel('Deslocamento vertical','fontsize',4); //eixo y

ylabel('Carga P','fontsize',4); //eixo x

legend('programa 2D','Menin (2006): Green-Lagrange',4); //legenda end

//resultados numéricos

disp('Número total de iterações (ktotal):') disp(ktotal)

disp('Número de passos de força (NP):')



disp(np) disp('Número médio de iterações (kmédio):')

disp(kmedio)

disp('Tempo de processamento em segundos (t):') disp(t)

4.2 Sub-rotinas (funções)

Função tecnicas_cont function [dlambda]=tecnicas_cont(D0, dg, dr, DU, Fr, drt, rep)

//Calcula o subincremento do parâmetro carga de acordo com a técnica de continuação adotada if rep==1 //Comprimento de Arco Linear Fixo

dlambda=-(D0'*dg)/(D0'*dr);

elseif rep==2 //Comprimento de Arco Linear Atualizado dlambda=-(DU'*dg)/(DU'*dr);

elseif rep==3 //Norma mínima dos Deslocamentos Residuais

dlambda=-(dr'*dg)/(dr'*dr);

elseif rep==4 //Trabalho Externo Constante

dlambda=-(Fr'*dg)/(Fr'*dr);

elseif rep==5 //Deslocamento Generalizado dlambda=-(drt'*dg)/(drt'*dr);

else //Deslocamento Constante

dlambda=-dg(10,1)/dr(10,1); end

endfunction

5. Exercícios propostos

5.1 Exercício proposto 1

Resolver o exemplo da Seção 3 com o método de Newton-Raphson Modificado

considerando as técnicas de continuação:

- Comprimento de Arco Linear Fixo;

- Comprimento de Arco Linear Atualizado;

- Norma mínima dos Deslocamentos Residuais;

- Trabalho Externo Constante;

- Deslocamento Generalizado;

- Deslocamento Constante.

Adaptar o algoritmo apresentado na Seção 4.1.

Comparar as soluções numéricas obtidas numa tabela considerando os parâmetros ktotal,

NP, kmédio e t.

5.2 Exercício proposto 2

Resolver o exemplo da Seção 3 com o método de Newton-Raphson padrão associado à

técnica de continuação Deslocamento Generalizado, cujo sinal do incremento de carga inicial é

obtido pelo parâmetro GSP dado pela Equação (8).

Se GSP < 0, multiplicar λ

por -1 para mudar o sentido de crescimento do parâmetro

de carga.

Obter a trajetória de equilíbrio.



Referências

BATOZ, J. L.; DHATT, G. Incremental Displacement Algorithms for Nonlinear Problems.

International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 14, p. 1262-1267, 1979.

CHAN, S. L. Geometric and Material Non-Linear Analysis of Beam-Columns and Frames

Using the Minimum Residual Displacement Method. International Journal for Numerical

Methods in Engineering, v. 26, p. 2657-2669, 1988.

LACERDA, E. G. M. Análise não linear de treliças pelo Método dos Elementos Finitos

Posicional. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Programa de Pós-graduação em

Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2014.

MENIN, R. C. G. M. Aplicação da Descrição Cinemática Co-Rotacional na Análise Não-

Linear Geométrica de Estruturas Discretizadas por Elementos Finitos de Treliças, Vigas e

Cascas. Tese (Doutorado em Estruturas e Construção Civil) - Departamento de Engenharia

Civil e Ambiental, Faculdade de Tecnologia, Universidade de Brasília, Brasília, 2006.

POWELL, G.; SIMONS, J. Improved iteration strategy for nonlinear structures. International

Journal for Numerical Methods in. Enginnering, v. 17, n. 10, p. 1455-1467, 1981.

ROCHA, G. Estratégias de incremento de carga e de iteração para análise não linear de

estruturas. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto, Escola de Minas,

Departamento de Engenharia Civil, 2000.

RODRIGUES, P. F. N. Ferramentas Numéricas para a Análise Não-Linear Física e

Geométrica de Estruturas Reticuladas na Exploração de Petróleo Offshore. Tese

(Doutorado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, 2000.

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