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Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

Superfícies em R4 do ponto de vista da teoria das

singularidades

Por

Paulo do Nascimento Silva

sob orientação do

Prof. Dr. Lizandro Sanchez Challapa

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do

Programa de Pós-Graduação emMatemática-

CCEN-UFPB, como requisito parcial para

obtenção do título de Mestre em Matemática.

maio - 2013

João Pessoa - Paraíba

Superfícies em R4 do ponto de vista da teoria das

singularidades

por

Paulo do Nascimento Silva

Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-

Graduação em Matemática-CCEN-UFPB, como requisito parcial para

obtenção do título de Mestre em Matemática.

Área de Concentração: Singularidades

Aprovada por:

Prof. Dr. Lizandro Sanchez Challapa

Orientador

Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes

Examinador

Prof. Dr. Pedro Antonio Gomez Venegas

Examinador

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

maio - 2013

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

Data: maio - 2013

Autor: Paulo do Nascimento Silva

Tìtulo: Superfícies em R4 do ponto de vista

da teoria das singularidades

Depto.: Matemática

Grau: M.Sc. Convocação: maio Ano: 2013

Permissão está juntamente concedida pela Universidade Federal da

Paraíba à circular e ser copiado para propósitos não comerciais, em sua

descrição, o título acima sob a requisição de indivíduos ou instituições.

Assinatura do Autor

iii

Dedico este trabalho a Deus, à minha

mãe, ao meu irmão e à minha noiva.

iv

Agradecimentos

Para conseguir obter o diploma de mestre foram necessários muitos dias e

noites de estudo, e muitas vezes abdicar de momentos com a família, noiva e amigos,

sem esquecer das muitas orações que �z e que �zeram por mim durante esse tempo.

Primeiramente agradeço à Deus por ter me dado forças, paz interior e

sabedoria durante este curso.

À minha mãe que sempre cuidou bem de mim, ensinando-me valores e dando uma

boa educação, além de sempre acreditar em mim quando nem mesmo eu acreditava.

Ao meu irmão Petrônio, pela torcida e por ser sempre prestativo.

À minha noiva Juliana, por seu amor, carinho e compreensão.

Ao meu amigo Jailson por ser um dos primeiros que me incentivou a cursar o

mestrado.

Aos colegas do mestrado, pelo prazer de suas amizades, momentos de estudo em

grupo, pela troca de conhecimentos, listas de exercícios , conversas , futebol e etc,

em particular, ao Danilo, Eberson, Edna, Erinaldo, Francisco, Ginaldo, Guilherme,

Gustavo, José Carlos, Luan, Luando, Mariana, Max, Mônica, Nacib, Pedro,

Renato, Reginaldo, Ricardo, Yane, entre outras que conheci durante esta caminhada.

Um agradecimento especial ao Francisco Viera de Oliveira, que ao longo desta

caminhada se tornou um grande amigo, sempre dando esperança e apoio nos

momentos mais necessários. Muito obrigado Francisco.

Agradeço ao professor Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro, pelas boas aulas na

disciplina Introdução a Ánalise Real durante o verão para seleção do mestrado.

Agradeço aos meus professores do mestrado, Dr. Alexandre de Bustamante Simas ,

v

Dra. Jacqueline Rojas, Dr. Pedro Antônio Hinojosa Vera, Dr. Serguey Agafonov,

Dra. Miriam da Silva Pereira .

Em especial, agradeço a meu orientador Dr. Lizandro Sanchez Challapa pela

paciência, incentivos, por acreditar que eu era capaz, sugestões, dicas, en�m por

uma boa orientação.

Agradeço aos professores Dr. Alexandre César Gurgel Fernandes e Dr. Pedro

Antonio Gomez Venegas por terem aceitado fazer parte da banca.

Também gostaria de agradecer ao professor Dr. Roberto Callejas Bedregal por ter

sido um dos principais responsáveis pela minha viagem à USP de São Carlos onde

pude adquirir o conhecimento necessário para escrever minha dissertação.

À professora Dra. Maria Aparecida Ruas coordenadora do projeto Procad, por

liberar a viagem para à USP a�m de que pudesse utilizar os livros e artigos da

biblioteca da USP de São Carlos para o desenvolvimento desta dissertação.

Ao professor Marcelo José Saia da USP de São Carlos, pelo acolhimento e pelas

boas aulas na disciplina Singularidades de aplicações diferenciáveis.

Aos professores e funcionários do Programa de pós-graduação em Matemática da

UFPB, em especial aos professores Dr. Everaldo Souto de Medeiros e Dr. Daniel

Marinho Pellegrino que foram ambos coordenadores do mestrado durante o período

em que era mestrando.

Aos meus antigos professores da Universidade Federal da Paraíba, em especial aos

professores Dr. Antônio Sales da Silva,Dr. Eduardo Gonçalves dos Santos,Dr. João

Batista Alves Parente, Dr. Milton de Lacerda Oliveira e Dra. Rogéria Gaudêncio do

Rego pelas boas aulas e conselhos.

Também agradeço ao REUNI pela bolsa, pois sem ela, não teria condições de

concluir este curso.

En�m, agradeço a todos que de maneira direta e indireta contribuíram para a

concretização deste trabalho.

vi

Índice

Agradecimentos v

Resumo viii

Abstract ix

Introdução x

1 Preliminares 11.1 Singularidades de germes de funções suaves . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Classi�cação dos germes de codimensão 6 5 . . . . . . . . . . 61.2 Variedade Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Conjuntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Contato entre subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 As equações de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Superfícies em R4 212.1 Elipse curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Os Invariantes de Superfícies em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Formas Quadráticas Degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos 363.1 Variedade canal de uma superfície em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Caraterização geométrica das singularidades de funções altura . . . . 42

Referências Bibliográ�cas 49

vii

Resumo

Neste trabalho estudamos a geometria das superfícies em R4 através da variedade

canal e das singularidades das famílias de funções altura das superfícies. Provaremos

que os pontos de in�exão das superfície são os pontos umbílicos das famílias de funções

altura. Além disso, veremos que pontos de in�exão do tipo imaginário serão pontos

isolados da curva ∆−1(0). Como uma consequência deste estudo provaremos que

qualquer mergulho genérico convexo de S2 em R4 tem pelo menos um ponto de

in�exão.

Palavras-Chave: Singularidades, Segunda Forma Fundamental, Elípse de

Curvatura, Função Altura, Ponto de In�exão, Ponto Umbílico, Mergulho Genérico.

viii

Abstract

We study the geometry of surfaces immersed in R4 through the singularities of

their families of height functions. In�ection points on the surfaces are shown to

be umbilic points from their families of height functions. Furthermore, we see that

in�ection points of imaginary type are isolated points of the curve ∆−1(0). As a

consequence we prove that any dive generic convexly embedded S2 in R4 has in�exion

points.

Keywords:

Singularities, Second Fundamental Form, Ellipse Curvature, Height Function, In-

�exion Point, Umbílic Point, Embedding Generic.

ix

Introdução

Resultados importantes da geometria das superfícies em R4 podem ser obtidos

através da análise de seus contatos genéricos com hiperplanos, esses contatos serão

dados pelas singularidades da família de funções altura.

Para nosso estudo da geometria das superfícies em R4 vamos considerar uma

imersão de uma superfície em R4. Para cada ponto da superfície podemos de�nir uma

elipse no subespaço normal, denominada elipse de curvatura. A elipse de curvatura

é dada pela segunda forma fundamental da superfície. Um ponto da superfície será

chamado de ponto de in�exão quando a elipse de curvatura associada a esse ponto

for um segmento de reta radial, esse conceito é encontrado em [10].

Este trabalho baseia-se no artigo �The Geometry of Surfaces in 4-space from a

Contact Viewpoint� e está dividido em três capítulos.

No capítulo 1, apresentamos alguns conceitos e resultados importantes na teoria

de singularidades que podem ser encontrados em sua grande maioria em [8], como

por exemplo: germes de aplicações, conjuntos singulares, codimensão de um germe,

classi�cação dos germes de codimensão ≤ 5, contato entre subvariedades. Finalizamos

o capítulo estudando equações de estrutura de uma superfície imersa em R4, através

das equações de estrutura do Rn. Na sessão 1.2 introduzimos alguns conceitos de

geometria Riemanniana relacionados a conexão de uma variedade Riemanniana.

No capítulo 2, calculamos os coe�cientes da segunda forma fundamental da su-

perfície utilizando o referencial móvel, o qual é de�nido na sessão 1.6 no capítulo 1.

Encontramos a curvatura gaussiana da superfície, usando o famoso teorema de Gauss

( veja [4]). Também estudamos a elipse de curvatura e os invariantes associados a

x

superfície.

No capítulo 3, interpretamos geometricamente as singularidades das funções altura

associada a superfície com o objetivo de obter informações geométricas da superfície.

Também introduzimos o conceito da variedade canal associada a superfície, para

desenvolver uma técnica que permite obter informações geométricas da superfície a

partir da variedade canal. Como consequência deste estudo provaremos que qualquer

mergulho genérico convexo de S2 em R4 tem pelo menos um ponto de in�exão.

xi

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo introduzimos as notações e de�nições básicas, usualmente utili-

zadas na Teoria de Singularidades e aplicações suaves. Em seguida, introduzimos

alguns conceitos de geometria Riemanniana. Finalizamos este capítulo com estudo

das equações de Estrutura associadas a uma imersão de uma superfície em R4. Os

resultados deste capítulo são inspirados em [8], [13],[12],[4].

1.1 Singularidades de germes de funções suaves

Uma aplicação f : U → Rp é de classe Ck no aberto U ⊂ Rn quando existem e

são contínuas em U todas as derivadas parciais de f de ordem ≤ k. Sejam U e V

conjuntos abertos de Rn e Rp, respectivamente. Em grande parte do trabalho estamos

considerando, quando não é dito contrário, aplicações f : U → V suaves, ou C∞, isto

é, que possui derivadas de todas as ordens.

De�nição 1.1. Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. Dizemos que x ∈ Rn é um

ponto singular de f se, o posto da matriz jacobiana de f no ponto x,

Jf(x) =

(∂fi∂xj

(x)

), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n,

não é máximo. Caso contrário, dizemos que x é um ponto regular de f . O ponto x

também pode ser chamado de uma singularidade de f .

1

Capítulo 1. Preliminares

É claro que um ponto ser uma singularidade de uma aplicação é uma propriedade

local. Neste trabalho estaremos interessados em aplicações que tem um singularidade

na origem. Por este motivo introduzimos a seguinte relação de equivalência:

De�nição 1.2. Dadas duas aplicações suaves f1 : U1 → Rp e f2 : U2 → Rp, onde U1,

U2 ⊂ Rn, com x ∈ U1 e x ∈ U2. Dizemos que f1 ∼ f2 se, e somente se, existe uma

vizinhança U ⊂ U1 ∩ U2 de x tal que f1(x) = f2(x), ∀ x ∈ U

As classes de equivalência sobre essa relação são chamadas de germes de aplicações

em x. Denotemos o germe de um elemento f : Rn → Rp em x por f : (Rn, x) →(Rp, y), onde y = f(x). Dizemos que x e y são respectivamente fonte e meta do germe.

Para cada germe f : (Rn, x)→ (Rp, y) , associamos a sua derivada dfx : Rn → Rp que

é de�nido como sendo a derivada em x de qualquer um representante. Um germe é

invertível se, e somente se, sua derivada é invertível. O posto de um germe é de�nido

como o posto de sua derivada em x. Quando o posto de f : Rn → Rp é igual a n

dizemos que o germe é uma imersão. No caso em o posto é igual a p, dizemos que o

germe é uma submersão.

De�nição 1.3. Dois germes f : (Rn, x1)→ (Rp, y1) e g : (Rn, x2)→ (Rp, y2) são equi-

valentes quando existem germes invertíveis h : (Rn, x1) → (Rn, x2) e k : (Rp, y1) →(Rp, y2) para os quais o diagrama comuta,

(Rn, x1)f //

h

��

(Rp, y1)

k

��

(Rn, x2) g// (Rp, y2),

isto é, k ◦ f = g ◦ h.

Denotamos por En,p o conjunto dos germes de aplicações f : (Rn, 0) → Rp de

classe C∞. Quando p = 1, este conjunto é denotado por En. Observemos que εn é

2


um anel local cujo ideal maximal é mn := {f ∈ En; f(0) = 0}. Além disso é possível

veri�car que mn é o ideal gerado por x1, ..., xn.

De�nição 1.4. Sejam f , g ∈ En. Dizemos que f e g são R-equivalentes e denotamos

por f ∼ g se existe um germe de difeomor�smo h : (Rn, 0) → (Rn, 0) tal que f =

g ◦ h−1.

Para nosso estudo é importante o conhecimento de alguns resultados básicos da

análise no espaço euclidiano.

De�nição 1.5. Seja f : Rn → R uma função suave. Um ponto x0 em Rn é um

ponto crítico não degenerado se x0 é um ponto singular de f e a Hessiana, que é o

determinante da matriz (∂2f

∂xi∂xj(x0)

), 1 ≤ i, j ≤ n,

é não nulo.

De�nição 1.6. Uma função suave f : Rn → R é dita ser uma uma função de Morse

se todos os seus pontos singulares são pontos críticos não degenerados.

Observação 1.7. Note que uma função regular f : Rn → R é também uma função

de Morse.

É bem conhecido do cálculo que as funções de Morse desempenham um papel

importante em suas aplicações e possuem uma forma normal na vizinhança de um

ponto crítico não degenerado como veremos a seguir.

Lema 1.8. Seja f : (Rn, x0)→ R um germe suave. Então:

1) Se x0 é um ponto regular de f , então o germe é equivalente a π : (Rn, 0) → R,dada por π(x1, ..., xn) = x1.

2) Se x0 um ponto crítico não degenerado de f , então o germe é equivalente a g :

(Rn, 0)→ R, dado por

g(x) = x21 + x2

2 · · ·+ x2λ − x2

λ+1 − · · · − x2n.

3


Denotaremos por P k(Rn,Rp) o espaço vetorial real das aplicações f : Rn → Rp

tal que cada componente fi de f = (f1, f2..., fp) é um polinômio de grau 6 k nas

coordenadas x1, x2, ..., xn de Rn com termo constante nulo. A noção de espaço de k-

jato de aplicações suaves é introduzida em [11]. Neste trabalho utilizamos a seguinte

identi�cação:

Proposição 1.9. Seja Jk(Rn,Rp) o espaço dos k-jatos. Então existe uma bijeção

canônica entre o espaço de k-jatos e o conjunto Rn × Rm × P k(Rn,Rp).

De�nição 1.10. Para cada aplicação f = (f1, f2, ..., fp) ∈ C∞(Rn,Rp) e cada a ∈ Rn,

de�nimos a aplicação

Jkf : Rn −→ Jk(Rn,Rp)

a 7−→ Jkf(a) = (a, f(a), P1(a), ..., Pn(a)),(1.1)

onde Pi(a) é o polinômio de Taylor da funçao fi de ordem k em a, sem o termo

constante.

Denotaremos por jkf(a) = (P1(a), ..., Pn(a)). A aplicação Jkf é de classe C∞ e

jkf(a) é chamado o k-jato de f em a.

Exemplo 1.11. Seja f : R→ R uma função suave. Neste caso temos que:

jkf(a) = f′(a)x+

f′′(a)

2!x2 + · · ·+ fk(a)

k!xk,

e Jkf(a) pode ser identi�cado com um elemento do espaço Rk+2 com a correspondên-

cia

(a, f(a), f′(a) +

f′′(a)

2!x2 + · · ·+ fk(a)

k!xk)↔ (a, f(a), f

′(a),

f′′(a)

2!, · · · , f

k(a)

k!).

Ao conjunto C∞(Rn,Rp) vamos associar uma topologia, chamada Topologia de

Whitney.

De�nição 1.12 (Topologia de Whitney). Seja f ∈ C∞(Rn,Rp). Uma base para a

topologia de Ck de Whitney de C∞(Rn,Rp) é dada pelos seguintes conjuntos

V (f, δ) = {g ∈ C∞(Rn,Rp);∥∥Jkg(x)− Jkf(x)

∥∥ < δ(x)},

onde δ : Rn → R é contínua e positiva.

4


A Topologia C∞ de Whitney C∞(Rn,Rp) tem como base a união de todos os

abertos das topologias Ck de Whitney, com k ≥ 0.

De�nição 1.13. Um germe f ∈ En é k-determinado se para qualquer germe g ∈ Encom jk(g)(0) = jk(f)(0) temos que f é R-equivalente a g.

Um germe f ∈ En é �nitamente determinado se existir um k ∈ N tal que f seja

k-determinado.

De�nição 1.14. Seja f : (Rn, 0)→ (Rn, 0) um germe tal que 0 é isolado de f−1(0).

A multiplicidade µ0[f ] de f em 0 é de�nida por

µ0[f ] = dimR[En/〈f1, . . . , fn〉],

onde 〈f1, . . . , fn〉 é o ideal gerado pelas componentes fi de f em 0. Dizemos que f é

�nito se µ0[f ] <∞.

Dada uma aplicação g : Rn → Rn, onde g = (g1, . . . , gn) com cada gi sendo um

polinômio homogêneo tal que 0 é isolado em g−1(0), temos que µ0[g] =∏n

i=1 di, onde

di é o grau de cada gi.

Proposição 1.15 ([16]). Seja f : (Rn, 0) → (Rn, 0), um germe �nito. Considere

f = (f1, . . . , fn) e fi = fkii + q , onde fkii é a parte homogênea de fi com grau ki e

jkiq(0) = 0. Então:

i) µ0[f ] ≥∏n

i=1 ki.

ii) µ0[f ] =∏n

i=1 ki se, e somente, se o sistema fkii = 0 para i = 1, . . . , n tem apenas

solução trivial em Cn.

De�nição 1.16. Seja f : (Rn, 0)→ R uma germe. A Re-codimensão de f , denotada

por cod(f,Re) é de�nida como:

cod(f,Re) = µ0[∇f ].

A Re-codimensão, que foi de�nida acima, pode ser encontrada em [8].

Proposição 1.17 ([8]). Sejam dois germes f e g em En. Temos que,

i) Se f e g são R-equivalentes então cod(f,Re) = cod(g,Re).

ii) cod(f,Re) = 0 se, e somente se, 0 é um valor regular de f .

5


1.1.1 Classi�cação dos germes de codimensão 6 5

De�nição 1.18. Um germe f ∈ m2n (isto é, a origem é um ponto singular) é não

degenerado quando a matriz Hessiana Hf =(

∂2f∂xi∂xj

(0))é não singular.

Lema 1.19 (Lema de Morse). Seja f ∈ m2n. Então, cod(f,Re) = 1 se, e somente se,

f é não degenerado. Neste caso f será R-equivalente a um germe da forma

x21 + ...+ x2

s − x2s+1 − ...− x2

n.

De�nição 1.20. Sejam f ∈ m2n e cod(f,Re) ≥ 2. Dizemos que f tem coposto c se o

posto da matriz Hessiana é n− c.

Observação 1.21. O coposto das funções de Morse é nulo.

Lema 1.22 (Lema da Separação). Seja f ∈ m2n um germe �nitamente determinado

de coposto c. Então, f é R-equivalente a um germe

(x1, ..., xn)→ g(x1, ..., xc)± x2c+1 ± ...± x2

n,

com g ∈ m3c .

Proposição 1.23. Sejam f ∈ m2n de coposto 1 e cod(f,Re) = k. Então, f é R-

equivalente ao germe

(x1, ..., xk)→ ±xk+11 ± x2

2 ± ...± x2n.

Este germe é chamado de singularidade Ak.

Demonstração: Ver referência [8]

Lema 1.24. Seja f ∈ m2n um germe de Re-codimensão �nita e de coposto c, então

cod(f,Re) ≥ c(c+1)2

+ 1.

Pelo lema acima, temos que para classi�car os germes de codimensão≤ 5, considera-

se apenas os germes de coposto ≤ 2.

6


Proposição 1.25 ([8]). Seja f ∈ m2n de coposto 2 e cod(f,Re) ≤ 5. Então, f é

equivalente a um dos seguintes germes

±(x31 − x1x

22)± x2

3 ± ...± x2n

±(x31 + x3

2)± x23 ± ...± x2

n

±(x21x2 + x4

2)± x23 ± ...± x2

n.

Teorema 1.26 (Teorema de Thom). Seja f ∈ m2n de modo que 1 ≤ cod(f,Re) ≤ 5.

Então, a menos da soma de uma forma quadrática nas outras variáveis, e multipli-

cação por ±1, f é R-equivalente a um dos seguintes germes listados na tabela abaixo.

Símbolo Nome Germe Coposto cod(f,Re)A1 Morse x2 0 1A2 Dobra x3 1 2A3 Cúspide x4 1 3A4 Rabo de andorinha x5 1 4A5 Borboleta x6 1 5D4− Umbílico elíptico (x3 − xy2) 2 4D4+ Umbílico hiperbólico (x3 + y3) 2 4D±5 Umbílico parabólico (x2y + y4) 2 5

Tabela 1.1: singularidades

1.2 Variedade Riemanniana

Transversalidade é uma idéia importante e profunda no estudo da teoria das

singularidades. Grandes resultados sobre genericidade em conjuntos foram obtidos

combinado-se os teoremas demonstrados por René Thom com a idéia de transver-

salidade entre subvaridades. Neste trabalho a transversalidade aparecerá diversas

vezes.

De�nição 1.27. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e

uma família de aplicações biunívucas xα : Uα ⊂ Rn →M de abertos Uα de Rn em M

tais que:

7


1.⋃α

xα(Uα) = M.

2. Para todo par α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos xα−1(W ) e

xβ−1(W ) são abertos em Rn e as aplicações xβ−1 ◦ xα são suaves.

3. A família {(Uα, xα)} é máxima relativamente às condições 1 e 2.

O par (Uα, xα) (ou aplicação xα) com p ∈ xα(Uα) é chamado de parametrização

(ou sistema de coordenadas) de M em p; xα(Uα) é então chamada uma vizinhança

coordenada de p. Uma família {(Uα, xα)} satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura

diferenciável em M .

De�nição 1.28. SejamM1 eM2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M1 →M2 é diferenciável em p ∈ M1 se dada uma parametrização y : V ⊂ Rp → M2 em

ϕ(p) existe uma parametrização x : U ⊂ Rn →M1 em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a

aplicação

y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn → Rp

é diferenciável em x−1(p).

De�nição 1.29. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável

α : (−ε, ε)→M é chamada uma curva diferenciável em M . Suponha que α(0) = p ∈M , e seja D o conjunto das funções de M diferenciáveis em p. O vetor tangente à

curva α em t = 0 é a função α′(0) : D → R dada por

α′(0)f =d(f ◦ α)

dt|t=0 f ∈ D.

Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε)→M

com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por TpM .

O conjunto TpM , com as operações usuais de funções, forma um espaço vetorial

de dimensão n e é chamado o espaço tangente de M em p. Para maiores detalhes

veja [4].

8


Observação 1.30. Seja M uma variedade diferenciável e seja TM = {(p, v); p ∈M, v ∈ TpM}. O conjunto TM munido de uma estrutura diferenciável será chamado

�brado tangente de M . Para maiores detalhes veja [4].

De�nição 1.31. Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciá-

vel ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : TpM → Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M .

Se, além disso, ϕ é um homeomor�smo sobre ϕ(M) ⊂ N , onde ϕ(M) tem a topologia

induzida por N , diz-se que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é

um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de N .

De�nição 1.32. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma

correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM . Em ter-

mos de aplicações, X é uma aplicação de M no �brado tangente TM . O campo é

diferenciável se a aplicação X : M → TM é diferenciável.

Proposição 1.33. Sejam U ⊂ Rm+n aberto e f : U → Rn uma aplicação suave.

Consideremos o conjunto

M = {p ∈ U ; f(p) = c e dfp : Rn+m → Rn sobrejetora}

Então,

(i) M é aberto em f−1(c).

(ii) Supondo que M é não vazio, M é uma variedade suave de dimensão m do Rm+n,

e

(iii) TpM = ker (df)p para todo p ∈M .

De�nição 1.34. Sejam M e N sendo variedades suaves e f : M → N sendo uma

aplicação suave. Considere S sendo uma subvariedade de N e seja x ∈ M . Então f

intersecta S transversalmente em x se;

i) f(x) /∈ S ou

ii) f(x) ∈ S e (df)x(TxM) + Tf(x)S = TxN .

onde TxM é o espaço tangente à M em x.

9


Diremos que f é transversal a S, denotado por f t S, quando, para todo x ∈M ,

f for transversal a S na ponto x.

Teorema 1.35. (Transversalidade de Thom) Para toda subvariedade fechada S de

Jk(Rn,Rp), o conjunto das aplicações F em C∞(Rn,Rp) tal que jkF t S é aberto e,

portanto denso na Cr-topologia,qualquer que seja r > k + 1.

Como consequência do teorema de transversalidade de Thom, temos os seguinte

resultado:

Lema 1.36. O conjunto de todas as funções de Morse é denso em C∞(Rn,R).

De�nição 1.37. Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma

variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M

um produto interno 〈, 〉p (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva de�nida) no

espaço tangente TpM , que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Para todo

par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função

〈X, Y 〉 é diferenciável em V .

Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma

variedade Riemanniana.

As de�nições e os resultados sobre conexão podem ser encontrados em [4].

Indicaremos por X (M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M .

De�nição 1.38. Uma conexão a�m ∇ em uma variedade diferenciável M é uma

aplicação

∇ : X (M)×X (M)→ X (M)

(X, Y ) 7→ ∇XY

que satisfaz as seguintes propriedades:

i) ∇fX+gYZ = f∇XZ + g∇YZ,

10


ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

iii) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y, Z ∈ X (M) e f, g ∈ D(M).

De�nição 1.39. Sejam X, Y ∈ X (Rn) e p ∈ Rn, a conexão em Rn será dada por

(∇XY )(p) = (dY )p(X(p)).

Corolário 1.40. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível

com a métrica se e só se

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 , X, Y, Z ∈ X (M).

De�nição 1.41. Uma conexão a�m ∇ em uma variedade diferenciável M é dita

simétrica quando

∇XY −∇YX = [X, Y ]

para todo X, Y ∈ X (M).

Teorema 1.42 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma

única conexão a�m ∇ em M satisfazendo as seguintes condições:

a) ∇ é simétrica.

b) ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.

A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão Riemanniana (ou de

Levi-Cita) de M .

Seja f : M → M uma imersão de uma variedade suave M de dimensão n em

uma variedade Riemanniana de dimenão n+m. A métrica Riemanniana de M induz

de maneira natural uma métrica Riemanniana em M : se v1, v2 ∈ TpM , de�ne-se

〈v1, v2〉 = 〈dfp(v1), dfp(v2)〉. Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica

de M em M . Note que f é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança

11


U ⊂ M de p tal que f : U → R4 é um mergulho, o qual implica que f(U) ⊂ M

é uma subvariedade de M . Denotamos f(U) = M . Agora, iremos introduzir a

segunda forma fundamental considerando-a relativamente a um campo ξ normal a

M . Nossa variedade M será munida da conexão riemanniana ∇ induzida da conexão

Riemanniana ∇ de M .

Sejam X, Y campos locais de vetores em M . Denotamos por X, Y as extensões

locais dos campos X e Y a M , respectivamente . A conexão riemanniana ∇ em M é

de�nida como

∇XY = (∇XY )T ,

onde (∇X Y )T é a projeção ortogonal do campo de vetores ∇X Y no espaço tangente

de M .

De�nição 1.43. Sejam X e Y campos locais de vetores em M . De�nimos o campo

local de vetores em R4 normal a M . Como

B(X, Y ) = ∇X Y −∇XY = (∇X Y )N .

O campo local de vetores B(X, Y ) não depende das extensões X, Y .

Vamos indicar por X (M)⊥ os campos de vetores suaves normais a f(U).

Proposição 1.44. Se X, Y ∈ X (M), então a aplicação B : X (M) × X (M) →X (M)⊥ dada por

B(X, Y ) = ∇XY −∇XY

é bilinear e simétrica.

Observação 1.45. O valor de B(X, Y )(p) depende apenas de X(p) e Y (p).

Seja p ∈M e ξ ∈ (TpM)⊥. A aplicação Kξ : TpM × TpM → R dada por

Kξ(x, y) = 〈B(x, y), ξ〉 , x, y ∈ TpM,

é pela proposição acima, uma forma bilinear e simétrica.

12


De�nição 1.46. Seja x ∈ TpM . A forma quadrática IIξ de�nida em TpM por

IIξ(x) = Kξ(x, x)

é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor ξ.

Se x, y ∈ Tf(q)f(M) ⊂ Tf(q)M , são linearmente independentes, indicaremos por

K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente. Para maiores

detalhes sobre a curvatura seccional veja [4]. O teorema abaixo exprime as diferenças

das curvaturas seccionais de M e M por meio de expressões construídas a partir da

segunda forma fundamental.

Teorema 1.47 (Gauss). Sejam q ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tf(q)f(M).

Então

K(x, y)−K(x, y) = 〈B(x, x), B(y, y)〉 − ‖B(x, y)‖2.

Demonstração: Veja [4]

1.3 Conjuntos singulares

Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. O conjunto singular Σ(f) é o conjunto

de todos os pontos singulares de f . A imagem de Σ(f), f(Σ(f)), é chamado de

discriminante ou conjunto de bifurcação.

Exemplo 1.48. A aplicação cúspide de Whitney no plano é uma aplicação suave

f : R2 → R2 dada por (x, y) 7→ (u, v) onde u = x, v = y3 − xy. O conjunto singular

é o conjunto de todos os pontos onde a matriz Jacobiana tem rank < 2, isto é a

parabóla x = 3y2. E o conjunto bifurcação é a imagem desta parabóla sob f, ou seja,

a cúbica cuspidal que tem a equação 4u3 − 27v2 = 0.

13


Figura 1.1: Parabóla e Cúspide.

De�nição 1.49. Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave. Para cada i = 1, ...,min{n, p},o conjunto de singularidades de primeira ordem Σi(f) é de�nido da seguinte

maneira:

Σi(f) = {x ∈ Rn : dim(ker(dfx)) = i}.

Exemplo 1.50. Seja f : (R2, 0) → (R2, 0) de�nida por f(x, y) = (x2, y2), vamos

calcular Σi(f), i = 0, 1, 2.

Primeiramente, temos

df(x,y) =

[2x 0

0 2y

]e daí, notemos que dim(ker(df(x,y))) = 2 se, e somente se, (x, y) = (0, 0). Desta

forma, Σ2(f) = {(0, 0)}. O conjunto Σ1(f) é determinado pelas equações x 6= 0 e

y = 0 ou x = 0 e y 6= 0. Portanto, Σ1(f) = {{(x, 0)} ∪ {(0, y)} − {(0, 0)}.E �nalmente temos que Σ0(f) = {(x, y) ∈ R;x 6= 0, y 6= 0}, pois, para esses

pontos dim(ker(df(x,y))) = 0.

Observe que todos os Σi(f) deste exemplo são subvariedades do R2.

De�nição 1.51. Dada uma aplicação suave f : Rn → Rp temos os conjuntos de sin-

gularidades de primeira ordem Σi(f). Se esses são subvariedades podemos introduzir

14


os conjuntos de singularidades de segunda ordem Σi,j(f) = Σj(f |Σi(f)). E este pro-

cesso pode ser continuado. Se esses conjuntos são subvariedades podemos introduzir

os conjuntos de singularidades de terceira ordem Σi,j,k(f) = Σk(f |Σi,j(f)). E assim

por diante. Os conjuntos obtidos dessa maneira são os conjuntos de singularidade de

ordem superior de f.

Exemplo 1.52. Dado um ε > 0 considere uma aplicação suave f : R2 → R2 de�nida

por f(x, y) = (u, v) onde u = x2 − y2 + 2εx e v = 2xy − 2εy.

A matriz jacobiana de f é [2x+ 2ε −2y

2y 2x− 2ε

],

que tem rank < 2 quando seu determinate se anula, ou seja, no círculo x2 + y2 = ε2.

Então, tal círculo é o conjunto singular de f . Se parametrizarmos o conjunto singular,

colocando

x = ε cos θ y = ε sin θ

então obtemos uma parametrização do discriminante na forma

u = ε2(cos 2θ + 2 cos θ) v = ε2(sin 2θ − 2 sin θ)

que é uma representação usual de um hipociclóide tricuspidal.

Na verdade nosso círculo x2 + y2 = ε2 é precisamente o conjunto Σ1(f) de singu-

laridades de primeira ordem, pois note que a matriz jacobiana não pode ter rank = 0.

Temos que existem três pontos no círculo que precisam ser distinguidos dos outros na

medida em que são levados por f a cúspides no hipociclóide.

Analisaremos agora a restrição f |Σ1(f). Vamos calcular o rank da restrição num

ponto (x, y) no círculo. Relembre que a diferencial da restrição é a restrição da

diferencial de f para a reta tangente ao círculo. Agora a reta tangente ao círculo

num ponto (x, y) é a reta que passa pela origem perpendicular a este vetor. Um vetor

tangente unitário será (−y/ε, x/ε) e a imagem deste sob a diferencial de f em (x, y)

15


Figura 1.2: Hipociclóide.

será obtida através da aplicação da matriz jacobiana a ele, obtendo-se o vetor[2x+ 2ε −2y

2y 2x− 2ε

][−y/ε

x/ε

]= 2/ε

[−2xy − εy−y2 + x2 − εx

].

A diferencial da restrição certamente tem rank ≤ 1; e ela tem rank 0 somente

quando este último vetor for nulo, ou seja, exatamente nas raízes cúbicas de ε3. Em

outras palavaras nossos três pontos são distinguidos precisamente pelo fato que eles

são pontos Σ1(f) para a restrição f |Σ1(f), ou seja, pontos Σ1,1(f).

1.4 Contato entre subvariedades

Sejam U e V duas subvariedades em Rn, de�nidas localmente através da imersão

f : Rm → Rn e da submersão g : Rn → Rk, onde U = f(Rm) e V = g−1(0), com

p ∈ U∩V , ou seja, p = f(x0), x0 ∈ Rm e g◦f(x0) = 0. Supondom ≥ k, consideramos

que existe contato entre U e V em p se as duas subvariedades não são transversais

nesse ponto. Isto equivale a dizer que a diferencial dx0(g ◦ f) não é sobrejetiva [11];

portanto a aplicação g ◦ f tem uma singularidade ou um ponto critico em x0.

O tipo de contato entre as subvariedades U e V será determinado pelo tipo de sin-

gularidade que a aplicação g◦f tem no ponto x0. Este é o motivo que a denominamos

de aplicação de contato.

16


Segue abaixo a de�ção de K-equivalência (ou equivalência de contato).

De�nição 1.53. ( Montaldi) Dados dois germes f, g : (Rm, 0)→ (Rn, 0) dizemos que

f e g são k-equivalentes e denotamos por fK∼ g, se existem difeomor�smos de germes

h : (Rm, 0)→ (Rm, 0) e H : (Rm×Rn, (0, 0))→ (Rm×Rn, (0, 0)) tais que o diagrama

comuta

(Rm, 0)(ImR ,f)

//

h

��

(Rm × Rn, (0, 0))

H

��

(Rm, 0)(ImR ,g) // (Rm × Rn, (0, 0)),

ou seja, H(x, 0) = (h(x), 0) e H(x, f(x)) = (h(x), g ◦ h(x)) para todo x ∈ Rm.

Seja M uma suferfície imersa em Rn, n ≥ 4, localmente de�nida por M = φ(R2),

onde φ : R2 → Rn é uma imersão. Os contatos deM de com hiperplanos e hiperesferas

são determinados pelo subconjunto ψ−1(0) ⊂ Rn, n ≥ 4, onde ψ : Rn → R é uma

submersão.

Se a subvariedade é um hiperplano de vetor normal unitário v ∈ Sn−1 e distância

à origem ρ ∈ R+. A submersão será dada por

ψ(x1, ..., xn) = x1v1 + · · ·+ xnvn + ρ.

Portanto, os contatos de M com a família de hiperplanos são dados pelas

singularidades da família de funções altura:

λ(φ) : R2 × Sn−1 → R((x, y), v) 7→ λ(φ)((x, y), v) = 〈φ(x, y), v〉 .

De�nição 1.54. Sejam φ : Rm → Rn imersão e ψ : Rn → R submersão que de�nem

localmente as subvariedades U = φ(Rm) e V = ψ−1(0). Dizemos que U e V tem

contato de ordem ≥ 2 em p ∈ U ∩ V se, e somente se, todas derivadas de ψ ◦ φ de

ordem ≤ 2 se anulam em p, ou seja se, e somente se,∂ψ◦φ∂x1

(p) = · · · = ∂ψ◦φ∂xm

(p) = 0∂2ψ◦φ∂x21

(p) = · · · = ∂2ψ◦φ∂x2m

(p) = ∂2ψ◦φ∂x1∂x2

(p) = · · · = ∂2ψ◦φ∂xm−1∂xm

(p) = 0.

17


1.5 As equações de Estrutura

Seja U ⊂ Rn um conjunto aberto e seja e1, ..., en campos de vetores diferenciáveis

tal que para cada produto interno

〈ei(p), ej(p)〉p = δij,

onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j. O conjunto de campo de vetores e1, ..., en

é chamado um referencial móvel em U . Dado um referencial móvel {ei}, i = 1, ..., n,

podemos de�nir 1-formas ωi pela condição

ωi(ej) = δij, i = 1, ..., n;

ou seja, em cada p, a base {(ωi)p} é a base dual de {(ei)p}. O conjunto das formas

{ωi} é chamado o correferencial associado ao referencial móvel {ei}.Cada campo de vetores ei é uma aplicação suave ei : U ⊂ Rn → Rn. Para cada p

e cada v ∈ Rn podemos escrever

(dei)p(v) =n∑j=1

(ωij)p(v)ej(p).

Note que, as expressões (ωij)p(v) =⟨

(dei)p(v), ej(p)⟩, de�nidas acima, dependem

linearmente de v. Portanto (ωij)p é uma aplicação linear em Rn e, desde que ei é

um campo de vetores diferenciável, ωij é uma 1-forma diferencial. Sabendo disso,

podemos escrevern∑j=1

ωijej.

As formas ωij asssim de�nidas são chamadas as formas de conexão de Rn no referencial

móvel {ei}.Observe que, se diferenciarmos 〈ei, ej〉 = δij, obtemos

0 = 〈dei, ej〉+ 〈ei, dej〉 = ωij + ωji,

isto é, as formas de conexão ωij = −ωji são antisimétricas nos indíces i, j. O ponto

crucial no método do referencial móvel é que as formas ωi, ωij satisfazem as chamadas

equações de estrutura de Elie Cartan.

18


Proposição 1.55 (As equações de estrutura do Rn). Seja {ei} um referencial móvel

em um conjunto aberto U ⊂ Rn. Seja ωi um correferencial associado associada a ei

e ωij as formas de conexão de U no referencial ei. Então

dωi =n∑k=1

ωk ∧ ωki, (1.2)

dωij =n∑k=1

ωik ∧ ωkj, i, j, k = 1, ..., n. (1.3)

Demonstração: Ver [6].

Lema 1.56 (Lema de Cartan). Seja M uma variedade. Considere dimM = n ≥ k

e sejam ω1, ..., ωk 1-formas em M que são linearmente independentes em cada ponto.

Suponha que existam 1-formas θ1, ..., θk tal que

k∑i=1

θi ∧ ωi = 0.

Então existe uma matriz simétrica k × k de funções suaves (Aij) tal que

θi =k∑j=1

Aijωj para i = 1, . . . , k.

Agora, iremos calcular as equações de estrutura de uma imersão f : M → R4 de

uma variedade diferenciável M de dimensão 2 em R4.

Para q ∈ M existe uma vizinhança U ⊂ M de q tal que a restrição f : U → R4

é um mergulho, ou seja, a imersão é localmente um mergulho. Desta forma, seja

V ⊂ R4 uma vizinhança de f(q) em R4 tal que V ∩f(M) = f(U). Suponha que existe

um referencial móvel {e1, e2, e3, e4} em V com a propriedade que, quando restrito a

f(U), os vetores e1, e2 são tangentes a f(U); um tal referencial móvel é dito ser um

referencial adaptado.

Em V temos, associado ao referencial {e1, e2, e3, e4}, as formas ωi e ωij que satisfe-

zem as equações de estrutura (1.2) e (1.3). Os indíces i, j ∈ {1, 2, 3, 4}. Agora, dadov ∈ Tf(q)f(U) temos que v = λ1e1(p) + λ1e2(p), onde f(q) = p e λ1, λ2 são escalares.

19


Logo, (ω3)p(v) = (ω3)p(λ1e1(p)+λ1e2(p)) = 0 e analogamente (ω4)p(v) = 0. Portanto

ω3 = ω4 = 0 para todo p ∈ f(U). Assim, temos que

0 = dω3 = ω31 ∧ ω3 + ω32 ∧ ω2,

0 = dω4 = ω41 ∧ ω1 + ω42 ∧ ω2.

Como ω1 e ω2 são independentes. Segue-se do lema de Cartan, que

ω13 = aω1 + bω2,

ω23 = bω1 + cω2,

ω14 = eω1 + fω2,

ω24 = fω1 + gω2.

(1.4)

A função N de�nida pela fórmula:

dω34 = −Nω1 ∧ ω2,

é chamada de curvatura normal.

Para calcular N usaremos 1.3 e as equações dadas por 1.4, assim temos que

dω34 = ω31 ∧ ω14 + ω32 ∧ ω24

= [(−aω1 − bω2) ∧ (eω1 + fω2)] + [(−bω1 − ω2) ∧ (fω1 + gω2)]

= −[(a− c)f − (e− g)b]ω1 ∧ ω2.

Portanto,

N = (a− c)f − (e− g)b.

20

Capítulo 2

Superfícies em R4

Neste capítulo estudaremos a geometria diferencial das superfícies em R4, ana-

lisando a elipse curvatura e os invariantes associados a essas superfícies. Também

estudaremos as formas quadráticas associadas a elipse curvatura.

2.1 Elipse curvatura

Sejam N uma variedade suave, compacta, 2-dimensional e f : N → R4 uma

imersão de N em R4. A métrica Riemanniana euclidiana de R4 induz de maneira

natural uma métrica Riemanniana em N : se v1, v2 ∈ TpM , de�ne-se 〈v1, v2〉 =

〈dfp(v1), dfp(v2)〉. Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica de N em R4.

Note que f é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança U ⊂M de p tal

que f : U → R4 é um mergulho, o qual implica que f(U) ⊂ R4 é uma subvariedade

de R4. Denotamos f(U) = M .

De�nição 2.1. Dado m ∈M , para cada v ∈ S1 ⊂ TmM seja γ(s) uma curva em M

parametrizada pelo comprimento de arco que passa por f(m) e escolhida de modo que

o vetor tangente a γ em f(m) é v. O vetor curvatura normal η(v) é de�nido como

sendo a projeção de d2γds2

(m) em NmM . A imagem de η é chamada de elipse curvatura

de M em m.

21

Capítulo 2. Superfícies em R4

Veremos mais adiante que a de�nição acima é independente da escolha da curva

γ. Assim, podemos escolher a curva como intersecção de M com o hiperplano em

f(m) composto pela soma direta do plano normal NmM e a reta na direção tangente

representada por v. Uma tal curva é chamada a seção normal de M na direção v.

Agora, note que:

B(v, v) = (∇γ′γ′)N = η(v).

Para calcular B(v, v) usaremos o referencial móvel {e1, e2, e3, e4}, com e1, e2 ∈ TmMe as formas ωi e ωij que satisfazem as equações abaixo

ω13 = aω1 + bω2,

ω23 = bω1 + cω2,

ω14 = eω1 + fω2,

ω24 = fω1 + gω2,

ambas associados ao mergulho, e introduzidas no capítulo 1.

Assim, v = cos θe1 + sin θe2 e o vetor curvatura normal no ponto m coincide com:

η(v) = 〈B(v, v), e3〉 e3 + 〈B(v, v), e4〉 e4,

Como B é bilinear e simétrica, então

B(v, v) = cos2θB(e1, e1) + 2 cos θ sin θB(e1, e2) + sin2θB(e2, e2)

onde v = cos θe1 + sin θe2 (e1e2 é uma base tangente �xada). Note que 〈B(v, v), e3〉e 〈B(v, v), e4〉 ambas determinam formas quadráticas, e abaixo calcularemos os coe-

�cientes de 〈B(X,X), e3〉.

22


• 〈B(e1, e1), e3〉 =⟨

(∇e1e1)N, e3

⟩=⟨

[(de1)p(e1)]N , e3

⟩=⟨

[ω11(e1)e1 + ω12(e1)e2 + ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4]N , e3

⟩= 〈ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4, e3〉

= 〈[aω1(e1) + bω2(e1)]e3 + [eω1(e1) + fω2(e1)]e4, e3〉 = a

• 〈B(e1, e2), e3〉 =⟨

(∇e1e2)N, e3

⟩=⟨

[(de2)p(e1)]N , e3

⟩=⟨

[ω21(e1)e1 + ω22(e1)e2 + ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4]N , e3

⟩= 〈ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4, e3〉

= 〈[bω1(e1) + cω2(e1)]e3 + [fω1(e1) + gω2(e1)]e4, e3〉 = b

• 〈B(e2, e2), e3〉 =⟨

(∇e2e2)N, e3

⟩=⟨

[(de2)p(e2)]N , e3

⟩=⟨

[ω21(e2)e1 + ω22(e2)e2 + ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4]N , e3

⟩= 〈ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4, e3〉

= 〈[bω1(e2) + cω2(e2)]e3 + [fω1(e2) + gω2(e2)]e4, e3〉 = c

23


Analogamente a 〈B(v, v), e3〉 podemos calcular os coe�cientes de 〈B(v, v), e4〉 eassim temos que

• 〈B(e1, e1), e4〉 = e

• 〈B(e1, e2), e4〉 = f

• 〈B(e2, e2), e4〉 = g

Logo, B(e1, e1) = ae3 + ee4, B(e1, e2) = be3 + fe4, B(e2, e2) = ce3 + ge4. Portanto,

η(v) = (acos2θ + 2b cos θ sin θ + csin2θ)e3 + (ecos2θ + 2f cos θ sin θ + gsin2θ)e4.

Esta equação mostra que a elipse curvatura não depende da escolha da curva para-

metrizada.

Note que η : S1 → NmM é uma aplicação de S1 em NmM .

O vetor curvatura média da elipse de curvatura, que será denotado por H, é dado

por

H =1

2(a+ c)e3 +

1

2(e+ g)e4.

Usando as identidades trigonométricas

cos2θ =1 + cos 2θ

2, sin2θ =

1− cos 2θ

2e cos θ sin θ =

cos 2θ

2,

podemos escrever

η(θ) = (1

2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + (

1

2(e− g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 +H. (2.1)

Como matriz (2.1) tem a seguinte forma

(η −H)(θ) =

[12(a− c) b

12(e− g) f

][cos 2θ

sin 2θ

].

Note que det(η −H) = 1/2N , onde N é a curvatura normal de�nida no capítulo 1.

Mostraremos abaixo que a imagem do círculo por (η −H) é uma elipse.

Proposição 2.2. Supondo que det(η −H) 6= 0, temos que a imagem do círculo por

(η −H) é uma elipse no plano normal.

24


Demonstração: Seja p ∈M , vamos considerar θ como sendo uma direção variando

de 0 à 2π em S1 ⊂ Tf(p)f(M) e (x, y) as coordenadas de (η −H)(θ) em Nf(p)f(M).

Assim, temos:

[12(a− c) b

12(e− g) f

][cos 2θ

sin 2θ

]=

[x

y

]

⇒

[12(a− c) b

12(e− g) f

]−1 [12(a− c) b

12(e− g) f

][cos 2θ

sin 2θ

]=

[12(a− c) b

12(e− g) f

]−1 [x

y

]

⇒

[cos 2θ

sin 2θ

]= 1

det(η−H)

[f −b

−12(e− g) 1

2(a− c)

][x

y

]=

= 11/2N

[fx− by

−12(e− g)x+ 1

2(a− c)y

]

Como cos22θ + sin22θ = 1, temos que

1

(1/2N)2[(fx− by)2 + (−1

2(e− g)x+

1

2(a− c)y)2] = 1.

o que implica

1

(1/2N)2

[(f2 +1

4(e− g)2)x2 +2(−fb− 1

4(e− g)(a− c))xy+ (b2 +

1

4(a− c)2)y2] = 1. (2.2)

Sejam A = f 2 + 14(e− g)2 , B = −fb − 1

4(e − g)(a − c) e C = b2 + 1

4(a− c)2. A

cônica será uma elipse quando A > 0 e AC − B2 > 0 ver referência [5]. Abaixo será

mostrado que estas condições são satisfeitas.

i) A = f 2 + 14(e− g)2 > 0

pois

det(η −H) = 12(a− c)f − 1

2(e− g)b 6= 0.

25


ii) C = b2 + 14(a− c)2 > 0, det(η −H) 6= 0.

iii) AC −B2 > 0, pois

AC −B2 = (f 2 + 14(e− g)2)(b2 + 1

4(a− c)2)− f 2b2 − 1

2fb(e− g)(a− c)

− 116

(e− g)2(a− c)2

= f 2b2 + 14f 2(a− c)2 + 1

4(e− g)2b2 + 1

16(e− g)2(a− c)2

−12fb(e− g)(a− c)− 1

16(e− g)2(a− c)2

= 14f 2(a− c)2 − 1

2fb(e− g)(a− c) + 1

4(e− g)2b2

= (12(a− c)f − 1

2(e− g)b)2 = (det(η −H))2 > 0.

Portanto concluímos que (2.2) de�ne uma elipse.

Observação 2.3. 1) Geometricamente, o vetor curvatura média H da expressão (2.1)

da elipse de curvatura, representa o vetor com extremos em p e no centro de η(θ).

Figura 2.1: Vetor curvatura

2) A de�nição 2.1 também pode ser introduzida para superfície imersa em R3. Neste

caso, o espaço normal a M em m é uma reta e a �elipse de curvatura� é um segmento

26


de reta ou é apenas um ponto. Veja a �gura abaixo.

Figura 2.2: Superfície M em R3

Vamos utilizar o Teorema 1.47 acima para calcular a curvatura Gaussiana da

superfícieM que será denotada por k. Como a curvatura seccional de R4 é nula temos,

k(e1, e2) = 〈B(e1, e1), B(e2, e2)〉 − ‖B(e1, e2)‖2

=⟨

(∇e1e1)N, (∇e2e2)

N⟩−⟨

(∇e1e2)N, (∇e1e2)

N⟩

=⟨

(de1(e1))N , (de2(e2))N⟩−⟨

(de2(e1))N , (de2(e1))N⟩.

No cálculo dos coe�cientes da segunda forma fundamental vimos que,

(de1(e1))N = ω13(e1)e3 + ω14(e1)e4,

(de2(e2))N = ω23(e2)e3 + ω24(e2)e4,

(de2(e1))N = ω23(e1)e3 + ω24(e1)e4,

27


Logo

k(e1, e2) =⟨

(de1(e1))N , (de2(e2))N⟩−⟨

(de2(e1))N , (de2(e1))N⟩

= ω13(e1)ω23(e2) + ω14(e1)ω24(e2)− ((ω23(e1))2 + (ω24(e1))2)

= (aω1(e1) + bω2(e1))(bω1(e2) + cω2(e2)) + (eω1(e1) + fω2(e1))(fω1(e2) + gω2(e2))

−[(bω1(e1) + cω2(e1))2 + (fω1(e1) + gω2(e1))2]

= ac+ eg − b2 − f 2.

Portanto, teremos

k = ac− b2 + eg − f 2.

A curvatura Gaussiana também pode ser calculada da seguinte forma:

Observação 2.4. A curvatura Gaussiana k da variedade M é dada pela igualdade

dω12 = −kω1 ∧ ω2.

De fato, usando 1.3 e as equções 1.4, teremos

dω12 = ω13 ∧ ω32 + ω14 ∧ ω42

= [(aω1 + bω2) ∧ (−bω1 − cω2)] + [(eω1 + fω2) ∧ (−fω1 − gω2)]

= −[ac− b2 + eg − f 2]ω1 ∧ ω2.

Logo,

k = ac− b2 + eg − f 2.

2.2 Os Invariantes de Superfícies em R4

Usando a elipse de curvatura podemos detectar invariantes escalares. A elipse de

curvatura como um conjunto de pontos do plano normal é independente de rotações

no espaço tangente.

28


Proposição 2.5. O vetor curvatura média H = (a + c)e3 + (e + g)e4 é um vetor

invariante.

Demonstração: A prova segue observando que (a+c) é o traço da forma quadrática

ax2 + 2bxy + cy2 e (e+ g) o traço de ex2 + 2fxy + cy2.

Trataremos agora de um invariante que determina a posição da origem de NpM

em relação à elipse de curvatura. Este invariante é

∆ =1

4det

a 2b c 0

e 2f g 0

0 a 2b c

0 e 2f g

.

Antes de mostrarmos que ∆ é um invariante será útil desenvolver duas formas qua-

dráticas invariantes. Escreva e = xe1 + ye2 e considere

〈de, e3〉 ∧ 〈de, e4〉 .

Agora de = xde1 + dxe1 + yde2 + dye2 de modo que

〈de, e3〉 = xω13 + yω23

〈de, e4〉 = xω14 + yω24

.

Assim, usando as equações (1.4), podemos escrever:

〈de, e3〉 ∧ 〈de, e4〉 = [xω13 + yω23] ∧ [xω14 + yω24]

= [x(aω1 + bω2) + y(bω1 + cω2)] ∧ [x(eω1 + fω2) + y(fω1 + gω2)]

= [(af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf)y2]ω1 ∧ ω2.

Desta maneira, temos uma forma quadrática em x e y, que denotaremos por Q(x, y),

ou seja

Q(x, y) = (af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf)y2.

29


Sabemos que, dado uma forma quadrática temos uma matriz simétrica associada a

esta forma, logo para a forma acima temos a matriz

Q =

[(af − be) 1

2(ag − ce)

12(ag − ce) (bg − cf)

].

O traço e o determinante de Q são funções escalares de�nidas na variedade. Note que

o traço de Q, (af − be) + (bg − cf), é igual a curvatura normal N .

Com alguns cálculos podemos mostrar que

∆ = detQ

Portanto, isto mostra que ∆ é um invariante.

Teorema 2.6. Seja m identi�cada com a origem de NmM e det(η −H) 6= 0, então:

a) ∆ < 0 ⇒ m está fora da elipse de curvatura (tal ponto é chamado um ponto

hiperbólico de M);

b) ∆ > 0⇒ m está dentro da elipse de curvatura (ponto elíptico);

c) ∆ = 0⇒ m está sobre a elipse de curvatura (ponto parabólico);

Demonstração: Veja [2].

Quando det(η −H)(θ) = 0, a elipse de curvatura pode degenerar-se em um seg-

mento de reta radial, caso em que f(m) é conhecido como um ponto de in�exão da

superfície. O ponto de in�exão é do tipo real quando f(m) pertence à elipse de cur-

vatura, e do tipo imaginário quando não pertence. Um ponto de in�exão é do tipo

�at ou degenerado quando f(m) é um ponto �nal da elipse de curvatura. A torção

τθ de γθ em f(m) é chamada a torção normal de f(M) na direção θ em f(m). Uma

direção θ0 em Tf(m)f(M) para a qual η(θ0) e ∂η∂θ

(θ0) são paralelos é chamada uma

direção assintótica. Consideremos a matriz

α(m) =

(a

e

b

f

c

g

).

Ao invés de mostrarmos o Teorema 2.6, vamos provar a proposição abaixo:

30


Proposição 2.7. Em um ponto hiperbólico existem exatamente duas direções assin-

tóticas, em um ponto elíptico não existe direção assintótica e, em um ponto parabólico

uma única (a menos que o ponto seja um ponto de in�exão, caso em que todas as

direções são assintóticas).

Demonstração: Usando (2.1) temos

∂η

∂θ(θ) = ((c− a) sin 2θ + 2b cos 2θ)e3 + ((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)e4

O vetor η(θ) é paralelo a ∂η∂θ

(θ) se

(1

2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ +

1

2(a+ c))((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)

+((a− c) sin 2θ + 2b cos 2θ)(1

2(e− g) cos 2θ + b sin 2θ +

1

2(e+ g)) = 0

O que implica

1

2(a− c)(g − e) cos 2θ sin 2θ + (a− c)fcos22θ + (g − e)bsin22θ

+2bf cos 2θ sin 2θ +1

2(a+ c)(g − e) sin 2θ +

1

2(a+ c)2f cos 2θ

+1

2(a− c)(e− g) cos 2θ sin 2θ + (a− c)fsin22θ +

1

2(a− c)(e+ g) sin 2θ

−b(e− g)cos22θ − 2bf cos 2θ sin 2θ − b(e+ g) cos 2θ = 0.

O que implica

(a−c)f+(g−e)b+[1

2(a+c)(g−e)+

1

2(a−c)(e+g)] sin 2θ+[(a+c)f−b(e+g)] cos 2θ = 0

Ou ainda,

[(a−c)f+(g−e)b](cos2θ+sin2θ)+2(ag−ce) sin θ cos 2θ+[(af−be)−(bg−cf)](cos2θ−sin2θ) = 0.

31


Resultando em

2[(af − be)cos2θ + (ag − ce) cos θ sin θ + (bg − cf)sin2θ] = 0.

A matriz associada a forma quadrática acima entre os colchetes temos a matriz:

[(af − be) 1

2(ag − ce)

12(ag − ce) (bg − cf)

].

O determinante desta matriz é (af − be)(bg − cf)− 14(ag − ce)2 que é exatamente o

∆ . Portanto a forma quadrática terá duas, uma ou zero soluções, assim como ∆ < 0

, ∆ = 0 e ∆ > 0 respectivamente.

Um estudo mais detalhado do item c do Teorema 2.6 permite distinguir as

seguintes possibilidades:

Proposição 2.8. :

i) ∆(m) = 0, k(m) > 0 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo imaginário.

ii)∆(m) = 0, k(m) < 0 e

{rankα(m) = 2 ⇒ a elipse de curvatura é não degenerada.

rankα(m) = 1 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo real.

iii) ∆(m) = 0, k(m) = 0 ⇒ f(m) é um ponto de in�exão do tipo �at.

Demonstração: ∆ é o resultante de dois polinômios az2 + 2bz + c e ez2 + 2fz + g.

Desta forma, temos que ∆(m) = 0 implica que az2 + 2bz + c = 0 e ez2 + 2fz + g = 0

têm pelo menos uma raiz não trivial em comum. Assim vemos que se a elipse passa

pelo origem segue que η(θ) = 0 para algum θ ∈ [0, 2π] então os dois polinômios tem

uma raiz comum, ou seja cos θ/sin θ, de modo que ∆ = 0. De fato, neste caso a

raiz não trivial comum é real. Desde que raízes de uma forma quadrática são ambas

reais ou ambas imaginárias,elas tem uma raiz real comum se, e somente se, todas

as quatros raízes são reais. A condição para isto é que b2 − ac > 0, f 2 − eg > 0.

32


Consequentemente k 6 0 para que a elipse passe pela a origem.

Aplicando à k(p) < 0, temos:

rank α(p) = 2⇒ a elipse é não degenerada e passa pelo ponto f(m).

rank α(p) = 1 ⇒ a elipse é degenerada em um segmento de reta radial. (Teorema

1.2, pag. 269-270, [10]).

Note que k(m) = 0⇒ rank α(m) 6 1 . (Teorema 1.2, pag. 269-270, [10]).

Dessa forma, η(θ) = (acos2θ + 2b sin θ cos θ + csin2θ)e3 + (ecos2θ + 2f sin θ cos θ +

gsin2θ)e4 = (e3 +λe4)(acos2θ+2b sin θ cos θ+csin2θ) = (√|a| cos θ +

√|c| sin θ)2(e3 +

λe4), para algum λ ∈ R, λ 6= 0. Observe que (√|a| cos θ +

√|c| sin θ)2 > 0 para todo

θ ∈ [0, 2π], logo, a elípse de curvatura se degenera em segmento de reta radial tendo

f(m) como ponto extremo.

Segue abaixo uma tabela ilustrativa do comportamento da elipse de curvatura em

relação à f(m) de acordo com valores de ∆(m), α(m) e k(m).

Figura 2.3: Elipse de curvatura

33


2.3 Formas Quadráticas Degeneradas

Um forma quadrática é dada por ax2 + 2bxy + cy2. Denotamos por H2(2, 1) o

espaço de todas as formas quadráticas. Sejam q1, q2 ∈ H2(2, 1). Um feixe de formas

quadráticas gerado por q1 e q2 é um subespaço de H2(2, 1) de�nido por

[q1, q2] = {α1q1 + α2q2/α1, α2 ∈ R.}

Observe que o feixe [q1, q2] pode ser um plano que atravessa a origem, uma reta que

passa na origem, ou apenas a própria origem. Note que H2(2, 1) pode ser identi�cado

com R3 pela identi�cação da forma quadrática ax2 + 2bxy + cy2 com o ponto (a, b, c)

de R3. Os vários tipos de formas quadráticas são separados exatamente pelo cone

D = b2 − ac = 0.

Sob a ação do grupo GL(2)×GL(1), obtemos as seguintes 4 órbitas de H2(2, 1):

(i) O cone b2 = ac, cone D, compreende as formas de rank 1 (tipo parabólico).

(ii) A origem representa a forma nula de rank 0 (tipo simbólico).

O restante do espaço compreende as formas quadráticas de rank 2:

(iii) As que estão dentro do cone correspondem as formas de semi-índice 0 (tipo

elíptico).

(iv) As de fora do cone são as formas de semi-índice 1 (tipo hiperbolíco).

As quatro orbitas acima são representadas na �gura abaixo:

Figura 2.4:

Para maiores detalhes veja [8]

34


Proposição 2.9. Consideremos p ∈ M e seja (q1, q2) a segunda forma fundamental

de M em p.

1. Se ∆(p) < 0, [q1, q2] é um plano que intercepta o cone D em duas retas.

2. Se ∆(p) > 0, [q1, q2] é um plano que não intercepta o cone D.

3. Se ∆(p) = 0 e rankα(p) = 2, o plano [q1, q2] é tangente ao cone.

4. Se rankα(p) = 1 e:

(a) k(p) > 0 então [q1, q2] é uma reta dentro do cone.

(b) k(p) < 0 então [q1, q2] é uma reta fora do cone.

(c) k(p) = 0 então [q1, q2] é uma reta sobre o cone.


35

Capítulo 3

Contatos de Superfícies em R4 com

hiperplanos

Neste capítulo estudamos a geometria das superfícies em R4 através da função

altura associada. Na seção 3.1, introduzimos a variedade canal associada R4. Uma

das propriedades desta variedade é que é uma hipersuperfície em R4

3.1 Variedade canal de uma superfície em R4

Seja f : M → R4, n ≥ 4, uma imersão de uma variedade diferenciável M de

dimensão 2 em R4. Para cada v ∈ S3, a função altura fv : M → R de f na direção v

é dada por

〈f(x, y), v〉 .

A família de funções altura é dada por

λ(f) : M × S3 → R

(m, v) 7→ 〈f(m), v〉 = fv(m)

Escolhendo um sistema de coordenadas em M , temos o seguinte: m ∈ M é um

36

Capítulo 3. Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos

ponto singular de fv se, e somente se,∂fv∂x

(m) = 0

∂fv∂y

(m) = 0

⇔

⟨∂f∂x

(m), v⟩

= 0

⟨∂f∂y

(m), v⟩

= 0

,

se, e somente se, v ∈ Nf(m)f(M).

Proposição 3.1. Seja M uma superfície imersa em R4. Dados m um ponto em

M e v um vetor não nulo em NmM , as formas quadráticas IIv(m) e Hess(fv)(m)

coincidem.

Observe que, por M não ser uma hipersuperfície em R4 a aplicação normal de

Gauss sobreM não esta de�nida de maneira usual. Entretanto, utilizamos o conceito

da 3-variedade canal, denotada por CM , para desenvolver uma técnica que permite

obter informações geométricas sobre M a partir de CM .

A 3-variedade canal da superfície CM ⊂ R4 é de�nida como CM = {f(m) + εv ∈R4 : m ∈M e v ∈ Nf(m)f(M) sendo v unitário}, aqui ε é um número real positivo

su�cientemente pequeno escolhido tal que CM seja mergulhada em R4.

Denotamos por∼f o mergulho natural de CM em R4:

∼f : CM → R4

(m, v) 7→∼f(m, v) = f(m) + εv,

e por (m, v) o ponto f(m) + εv ∈ CM . Do teorema de Looijenga's [9], segue que

existe um subconjunto residual de mergulhos f : M → R4, tal que a família de funções

altura:λ(f) : M × S3 → R

(m, v) 7→ 〈f(m), v〉 = fv(m)

seja localmente estável como uma família de funções em M com parâmetros em S3.

Além disso, a família de funções altura λ(∼f) na variedade canal é também genérica.

De fato as singularidades de λ(f) e λ(∼f) são totalmente relacionados [15].

37


Essas podem ser, para um f genérico, de um dos seguintes tipos: A1, A2, A3, A4,

D+4 e D_

4 . Além disso, as singularidades da aplicação normal de Gauss, Γ : CM → S3

(também chamada generalização da aplicação de Gauss sobre M) podem ser descritas

em termos destas como as seguintes:

Lema 3.2. Dado um ponto crítico m ∈M da função altura fv:

(a) m é um ponto crítico não degenerado de fv ⇔ (m,v) é um ponto regular de Γ.

Ou equivalentemente,

(a') m é um ponto crítico degenerado de fv ⇔ (m,v) é um ponto singular de Γ.


Seja Kc : CM → R a função curvatura Gaussiana em CM . O conjunto parabólico,

Kc−1(0), de CM é o conjunto singular de Γ, pois Kc(m, v) = det(dΓ(m, v)) [7]. Pode

ser mostrado [14] que para um mergulho genérico de M , Kc−1(0) é uma superfície

regular exceto por um número �nito de pontos (m, v) que são singularidades do tipo

Σ2,0(Γ).

Seja ξ : CM → M a projeção de CM em M , ou seja, ξ(m, v) = m. O próximo

lema prova que a imagem do conjunto de pontos parabólicos K−1c (0) por ξ é o conjunto

{m ∈M ; ∆(m) ≤ 0}, que será denotado por ∆ ≤ 0. Mais precisamente:

Lema 3.3. (1) Se ∆(m) > 0, então m é um ponto critico não degenerado de fv, ∀v ∈ Nf(m)f(M).

(2) Se ∆(m) < 0, então existem dois vetores b1, b2 ∈ Nf(m)f(M), tal que m é um

ponto crítico degenerado de fbi.

(3) Se ∆(m) = 0, então existe um único vetor b ∈ Nf(m)f(M) tais que m é um ponto

critico degenerado de fb.

Demonstração: Seja f : M → R4 uma imersão localmente dada pelo mergulho

f : (R2, 0)→ (R4, 0)

(x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y)),

38


onde f1 e f2 são função diferenciáveis satisfazendo ∂fi∂x

(0, 0) = ∂fi∂y

(0, 0) = 0, para

todo i ∈ {1, 2}, e seja

fv : (R2, 0)→ (R, 0)

(x, y) 7→ fv(x, y) = v1x+ v2y + v3f1(x, y) + v4f2(x, y)

a função altura na direção v, onde v = (v1, v2, v3, v4) ∈ S3.

Vamos identi�car m com (0, 0) ∈ R2, e com isso temos,

∂f

∂x(0, 0) = (1, 0, 0, 0),

∂f

∂y(0, 0) = (0, 1, 0, 0),

∂fv∂x

(0, 0) = v1 e∂fv∂y

(0, 0) = v2.

Se (0, 0) é um ponto crítico da função altura fv, teremos que v1 = v2 = 0 e

(0, 0, v3, v4) ∈ Nf(m)f(M). Usando a Proposição 3.1 que a�rma que as formas

quadráticas IIv(m) e Hess(fv)(m) coincidem, veremos que o determinante da matriz

Hessiana de fv em (0, 0) é dado por:

detH(fv)(0, 0) = (ac− b2)v23 + (ag + ce− 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2

4,

onde (a, b, c), (e, f, g) são os coe�cientes da segunda forma fundamental de M em

(0, 0). Veja que, detH(fv)(0, 0) nos dá uma forma quadrática nas variáveis v3, v4 e

associada a tal forma quadrática temos uma matriz simétrica, cujo o determinante

será

∆ = (ac− b2)(eg − f 2)− 1

4(ag + ce− 2bf)2.

Logo, estudando as possíveis raízes reais de (ac− b2)v23 + (ag+ ce− 2bf)v3v4 + (eg−

f 2)v24 = 0, obtemos que:

a) se ∆(m) > 0 então (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2

4 6= 0 para

todo v ∈ Nf(m)f(M), ou seja, (0, 0) é um ponto crítico não degeneredo de fv,

∀v ∈ Nf(m)f(M).

b) se ∆(m) < 0, a equação (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2

4 = 0

39


possui duas raizes reais e diferentes, que é equivalente a a�rmar que existem dois

vetores b1, b2 ∈ Nf(m)f(M), tais que (0, 0) é um ponto crítico degenerado de fbi ,

i ∈ {1, 2}.

c) se ∆(m) = 0, a equação (ac − b2)v23 + (ag + ce − 2bf)v3v4 + (eg − f 2)v2

4 = 0

admite apenas uma raiz com multiplicidade 2, o que equivale a dizer que existe um

único vetor b ∈ Nf(m)f(M) tal que (0, 0) é um ponto crítico degenerado de fb.

Observação 3.4. Quando m é um ponto crítico degenerado de fb, o hiperplano Hb,

ortogonal a b tem contato de ordem superior com f(M) em f(m). Assim, por analogia

com curvas em R4, diremos que b é um vetor binormal de f(M) em f(m) e Hb um

hiperplano osculador. Como já vimos, uma função altura fv : M → R tem uma

singularidade degenerada em m se, e somente se, v é um vetor binormal de f(M) em

f(p).

Seja ξ a restrição de ξ para a superfície K−1c (0)−

∑2(Γ), e denote porM− = {m ∈M : ∆(m) < 0} e B = {(m, v) ∈ Kc−1(0) : m ∈M−}.

Proposição 3.5. (i) ξ|B : B → M− é um difeomor�smo local, mais precisamente;

ele é um recobrimento duplo.

(ii) ∆(m) = 0 e m não é um ponto de in�exão ⇔ existe v ∈ S3 tal que (m,v) é um

ponto singular (dobra) de ξ.

Demonstração: Seja (m, v) ∈ B. Então, podemos escolher coordenadas para CM

tal que m = (0, 0) e v = (0, 0, 0, 1). Agora, isto é su�ciente para notar que se v é uma

direção degenerada então

detH(fv)(0, 0) = (ac− b2)v23 + (ag + ce− 2bf)v3 + (eg − f 2)

= Kc(m, v3) = 0.

Então:

(i) v3 = 0 é uma raiz simples de Kc(m, v3) = 0 ⇔ (∂Kc/∂v3)(0, 0) 6= 0 ⇔ ξ é um

difeomor�smo local.

40


(ii) v3 = 0 é uma raiz dupla deKc(m, v3) = 0⇔ (∂Kc/∂v3)(0, 0) = 0 e (∂2Kc/∂v23)(0, 0) 6=

0⇔ (m, v) é um ponto de dobra para ξ.

Observação 3.6. Em cada ponto de K−1c (0)−

∑2(Γ) existe um única direção principal

de curvatura nula para CM . Esta direção é tangente a superfície K−1c (0) sobre uma

curva formada de pontos do tipo Σ1,1(Γ).

Proposição 3.7. A imagem das direções principais de curvatura nula no conjunto

K−1c (0)−

∑2(Γ) sob ξ são direções assintóticas sobre M.

Demonstração: A seguinte expressão para o vetor curvatura η(θ) é dada no capítulo

2 desta dissertação:

η(θ) = (1

2(a− c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + (

1

2(e− g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 +H,

onde H = 12(a + c)e3 + 1

2(e + g)e4, é o vetor curvatura média, também de�nido no

capítulo 2. Agora podemos escolher um sistema de coordenadas locais para M tal

que

α(m) =

a b c

0 0 1

.

Está escolha implicará que e1 = (1, 0, 0, 0) ∈ T(m,v)CM é a direção de curvatura

nula, e dξ(m,v)(e1) = e1 ∈ TmM . Então, temos que η(0) = ae3 e (∂η/∂θ)(0) = 2be3,

ou seja, η(0) e (∂η/∂θ)(0) são paralelos.

Seja (m, v) ∈ K−1c (0) e U×V uma vizinhança de (m, v), como na Proposição II.5.5,

página 37, [7]. A matriz de dΓ(m, v) é simétrica de ordem 3 em cada ponto (m, v)

de U × W e, portanto diagonlizável. Os auto-valores correspondem às curvaturas

principais, seus auto-vetores às direções principais de curvatura e seu determinante

em cada ponto sua curvatura Gaussiana. Então, podemos escrever:

dΓ(m, v) =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 1

(m, v)

41


para λj ∈ C∞(U × W ), j ∈ {1, 2}. Dessa forma, λj(m, v) são os auto-valores e

denotamos os autovetores por ej(m, v), ej ∈ C∞(U ×W,T f(U ×W )). Então, temos:

a) (m, v) ∈ Σ1(Γ) ⇔ coposto dΓ(m, v) = 1. Podemos supor λ1(m, v) = 0 e

λ2(m, v) 6= 0. Além disso, diminuindo U , se necessário, podemos assumir que λ2

não se anula em U ×W . Portanto, podemos de�nir Σ1(Γ), localmente, pela equação

λ1 = 0 e a restrição λ2(m,u) 6= 0.

Em todos os casos genéricos, Σ1(Γ) de�ne uma subvariedade de U×W de dimensão

menor igual à 2.

O conjunto Σ1(Γ), (q, u) estará em Σ1,1(Γ) ou Σ1,0(Γ) conforme a direção principal

de curvatura e1(q, u) estiver em T(q,u)Σ1(Γ) ou não. Isto de�ne, outra vez, uma

subvariedade Σ1,1(Γ) de Σ1(Γ), de dimensão ≤ 1. Podemos de�nir indutivamente

Σ

i−1︷︸︸︷1, . . . , 1,0(Γ) e Σ

i︷︸︸︷1, . . . , 1(Γ) como segue: um ponto (q, u) ∈ Σ

i−1︷︸︸︷1, . . . , 1(Γ) está em

Σ

i−1︷︸︸︷1, . . . , 1, 0(Γ) se e1(q, u) não é tangente a Σ

i−1︷︸︸︷1, . . . , 1(Γ) e está em Σ

i︷︸︸︷1, . . . , 1(Γ), caso

contrário.

b) Um ponto (m, v) ∈ U ×W está em Σ2(Γ) ⇔ dΓ(m, v) tem coposto 2 (pontos

umbílicos). Como no caso a), podemos assumir que Σ2(Γ) é, localmente, dado por

λ1(m, v) = 0 e λ2(m, v) = 0.

3.2 Caraterização geométrica das singularidades de

funções altura

Temos visto que uma função altura fv : M → R tem uma singularidade degene-

rada em m se, somente se, v é um vetor binormal de f(M) em f(m). Nesta seção

caracterizaremos os tipos de singularidades que ocorrem genericamente.

Denote por γ a seção normal de M tangente na direção assintótica θ em f(M)

associado ao vetor binormal v, e seja χ a curva formada de pontos do tipo Σ1,1 (isto

é, cúspides e caudas de andorinha de Γ).

Lema 3.8. Dado m ∈M e uma função altura fv : M → R, temos que:

42


(i) m é uma singularidade de dobra de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,0(Γ).

(ii) m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0(Γ).

(iii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0(Γ).

(iv) m é um ponto umbílico de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ2,0(Γ).

Teorema 3.9. Para m ∈ M tal que ∆(m) < 0: m é singularidade de dobra de fv

⇔ γ tem torção normal não-nula em m. Agora, se γ tem torção normal nula em m,

m ∈ ξ(χ) e temos que:

(i) m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ θ é transversal a ξ(χ).

(ii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ θ é tangente a ξ(χ) com

contato de ordem 1 em m.

Demonstração: Como antes, podemos escolher um sistema de coordenadas local tal

que f é dada em forma de Monge, e a direção degenerada v é (0, 0, 0, 1). Isto é,

(R2, 0)f→(R4, 0)

(x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y))

com

f1(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 +M1x3 + 3M2x

2y + · · ·f2(x, y) = y2 + P1x

3 + 3P2x2y + 3P3xy

2 + P4y3 +Q1x

4 + · · · .

Então, a curvatura Gaussiana Kc é dada por:

R2 × R, 0 Kc→R, 0(x, y, v3) 7→ Kc(x, y, v3) = A0(x, y)v2

3 + A1(x, y)v3 + A2(x, y)

onde

A0(x, y) = f1xx(x, y).f1yy(x, y)− f 21xy(x, y)

A1(x, y) = f1xx(x, y).f2xx(x, y) + f1yy(x, y)f1xx(x, y)

−2f1xy(x, y).f2xy(x, y)

A2(x, y) = f2xx(x, y).f2yy(x, y)− f 22xy(x, y).

43


A direção de curvatura nula de CM em (m, v) nessas coordenadas é o eixo x.

Então dξ(m,v)(e1) = e1 = θ (Proposição anterior). A seção normal γ pose ser parame-

trizada por

γ : (R, 0)→ (R4, 0)

s 7→ γ(s) = (s, 0, as2 + · · · , P1s3 + · · · )

Logo, segue que γ tem torção não nula ⇔ P1 6= 0.

Vamos mostrar que P1 6= 0⇔ m é um ponto de dobra de fv.

Considere a aplicação

h : (R2, 0)→ (R2, 0)

(x, y) 7→ (h1(x, y), h2(x, y)),

onde

h1(x, y) = ∂fv∂x

(x, y) = 3P1x2 + 6P2xy + 3P3y

2 + 4Q1x3 + · · ·

h2(x, y) = ∂fv∂y

(x, y) = 2y + 3P2x2 + 6P3xy + 3P4y

2 + · · ·

Observe que o sistema abaixo{hk11 = 3P1x

2 + 6P2xy + 3P3y2 = 0

hk22 = 2y = 0.

tem apenas a solução trivial em C2 ⇔ P1 6= 0. Daí temos que cod(fv,Re) = 2 ⇔P1 6= 0. Pela tabela de singularidades do capítulo 1 temos que, se m for um ponto

de dobra de fv então cod(fv,Re) = 2. Portanto, concluímos que P1 6= 0 ⇔ m é um

ponto de dobra de fv.

Agora, se P1 = 0, (m, v) ∈ Σ1,1(Γ). Então

(i) m é um ponto de cúspide de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0(Γ) ⇔ a direção de curvatura

nula é tangente a K−1c (0) e transversal a curva Σ1,1,0(Γ).

(ii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0(Γ)⇔ a dire-

ção principal nula não é tangente a Σ1,1,1(Γ) ⇔ a direção principal nula é tangente a

44


Σ1,1,0(Γ) com contato de primeira ordem.

Desde que ξ : B → M− é um difeomor�smo local, θ é transversal a ξ(Σ1,1,0(Γ))

em (i) e tangente a ξ(Σ1,1,0(Γ)), com contato de primeira ordem em (ii).

Observação 3.10. (i) Genericamente, as curvas de M composta de pontos tendo

uma singularidade mais degenerada que uma dobra não podem encontrar a curva

∆−1(0) em um ponto rabo de andorinha.

A caracterização das singularidades das funções altura sobre a curva ∆−1(0) é

dada pelo teorema abaixo:

Teorema 3.11. (i) Se ∆(m) = 0, e m não é um ponto de in�exão de M , então m

é uma dobra ou uma cúspide de fv e:

• m é uma singularidade de dobra de fv ⇔ θ é transversal a curva ∆−1(0) de

pontos parabólicos de f(M).

• m é uma singularidade de cúspide de fv ⇔ θ é tangente a ∆−1(0).

(ii) m é um ponto umbílico de fv ⇔ m é um ponto de in�exão de M . Além disso,

• m é um ponto de cruzamento normal de ∆−1(0) ⇔ m é um ponto de in�exão

do tipo real;

• m é um ponto de in�exão isolado de ∆−1(0) ⇔ m é um ponto de in�exão do

tipo imaginário.

Demonstração: Com a mesma escolha de coordenadas como no teorema anterior,

temos:

Kc = A0(x, y)v23 + A1(x, y)v3 + A2(x, y),

45


ondeA0(x, y) = −4b2 + 12[(cM1 − 2bM2)x+ (cM2 − 2bM3)y] + · · · ,

A0(0, 0) 6= 0

A1(x, y) = 12[(M1 + cP1 − 2bP2)x+ (M2 + cP2 − 2bP3)y] + · · · ,A2(x, y) = 12(P1x+ P2y) + [24Q1 + 36(P1P3 − P 2

2 )]x2

+[48Q2 + 36(P1P4 − P2P3)]xy

+[24Q3 + 36(P2P4 − P 23 )]y2

+[40R1 + 72(P1Q3 + P3Q1 − 2P2Q2)]x3 + · · ·

Ainda, nessas coordenadas, a função ∆ : M → R tem a seguinte representação local

∆ : (R2, 0)→ (R, 0)

(x, y) 7→ ∆(x, y) = 116

[A0(x, y)A2(x, y)− 14A2

1(x, y)].

Agora, o conjunto discriminante de K−1c (0), é dado por:

{(x, y)/∃v3 : Kc(x, y, v3) = 0 e (∂Kc/∂v3)(x, y, v3) = 0}.

Temos que ∂Kc

∂v3(x, y, v3) = 2A0(x, y)v3 + A1(x, y) = 0⇒ v3 = −A1(x,y)

2A0(x,y)(A0(0, 0) 6= 0).

Desta forma,

A0(x, y)

[−A1(x, y)

2A0(x, y)

]2

+ A1(x, y)

[−A1(x, y)

2A0(x, y)

]+ A2(x, y) = 0⇔

=−A2

1(x, y) + 4A0(x, y)A2(x, y)

4A0(x, y)= 0⇔

A0(x, y)A2(x, y)− 14A2

1(x, y) = 0⇔ ∆(x, y) = 0, ou seja, a curva ∆ = 0 é o conjunto

discriminante de K−1c (0). Então:

(a) m é um ponto de dobra de fv ⇔ (∂A2/∂x)(0, 0) = 12P1 6= 0⇔ a direção assintó-

tica e1 é transversal a curva ∆ = 0.

(b) Em um ponto de cúspide, ∆x(0, 0) = −4b2P1 = 0, ∆y(0, 0) = −4b2P2 6= 0, e assim

a direção assintótica e1 é tangente a curva ∆ = 0.

Como consequência deste teorema temos a seguinte observação:

46


Observação 3.12. Se f é um mergulho genérico de M em R4, então cada uma das

componentes conexas de ∆−1(0) pode ser de um dos seguintes tipos:

(1) curva mergulhada;

(2) curva imersa com um número �nito de auto-intersecções transversais, e

(3) ponto isolado.

Corolário 3.13. Se f é um mergulho genérico de M em R4, então ∆−1(0)∩k−1(0) =

∅.

Corolário 3.14. Dado um mergulho genérico f de M em R4 sem pontos de in�exão,

o conjunto de pontos parabólicos, ∆−1(0) é uma união disjunta de círculos.

Corolário 3.15. Dado um mergulho generico f de M em R4 sem pontos de in�exão

então:

(1) H0(M−) = H0(K−1c (0))

(2) H0(∆−1(0)) = H0(K−1c (0)) + g(K−1

c (0)), onde g denota o gênero e Hj o j-ésimo

grupo de homologia com coe�cientes inteiros.

Demonstração: Como o mergulho genérico f é sem pontos de in�exão temos pelo

Corolário 3.14 que ∆−1(0) é uma união disjunta de círculos, neste caso, cada uma das

componentes conexas de K−1c (0) se projeta sobre uma componente conexa de M−.

Além disso, cada componente com genus g de K−1c (0)) dá origem a g+1 componentes

de ∆−1(0), Isto mostra o corolário.

De�nição 3.16. Dizemos que T é um hiperplano suporte local de f(M) em f(p) se

existe uma vizinhança V de p tal que f(V ) �ca de um mesmo lado de T .

Se para todo p ∈M , f(M) possui um hiperplano suporte local em f(p), dizemos

que M é localmente convexa.

Corolário 3.17. Seja f um mergulho genérico de M em R4. Então, M é localmente

convexa se, e somente se, ∆ ≤ 0 e ∆−1(0) consiste de pontos de in�exão isolados de

M .

47


Demonstração: Consideremos f dada na forma de monge, (x, y) 7→ (x, y, f1(x, y), f2(x, y)),

e seja (q1, q2) a 2a forma fundamental de M em p, onde q1, q2 são respectivamente os

2-jatos de f1, f2. Note que o 2-jato da função altura fv é v3q1 + v4q2

A�rmamos que M não é localmente convexa em ponto p tal que ∆(p) > 0. De

fato, neste caso pela Proposição 2.9 temos que o feixe [q1, q2] intersecta o cone D

apenas na origem. Implicando, que não existe forma quadrática q ∈ [q1, q2] de�nida

positiva (ou negativa). Logo, todas as funções altura tem uma sela não-degenerada

em p. Portanto a a�rmação é provada. Por outro lado, se ∆(p) < 0 temos pela

Proposição 2.9 que o feixe [q1, q2] intersecta D em duas retas. Daí, temos que

existem números reais α e β tais que q = αq1 +βq2 está dentro do cone D, ou seja, q é

uma forma quadrática de�nida positiva (ou negativa). Desta maneira a função altura

fv onde v = (0, 0, α, β) tem um máximo (ou mínimo) local em p, detH(fv)(p) 6= 0,

pois, note que H(fv)(p) é a matriz associada a forma quadrática q = αq1 + βq2, esta

por sua vez é de�nida positiva (ou negativa) e, portanto o hiperplano ortogonal a v é

um hiperplano suporte local.

Agora, se p é um ponto de in�exão do tipo imaginário, temos que ∆(p) = 0, k(p) > 0

e rankα(p) = 1, logo, segue da Proposição 2.9 que o feixe [q1, q2] é uma reta

dentro do cone D, implicando que fv tem um máximo (ou mínimo) local em p, onde

v = (0, 0, 0, 1). Assim o hiperplano ortogonal a v é um hiperplano suporte local.

Corolário 3.18. Seja f : S2 → R4 um mergulho genérico convexo. Então, S2 tem

pontos de in�exão.

Demonstração: Suponha que f não tem pontos de in�exão. Então, pelo Corolário

3.15, H0(M−) = H0(K−1c (0)). Como é M é convexa, segue do Corolário 3.17 que o

conjunto ∆−1(0) é vazio. Então, pela Proposição 3.5, K−1c (0) é difeomorfo a duas

copias disjuntas de S2, a qual é uma contradição com o Corolário 3.15.

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