Sucessões Reais

Ana Isabel MatosDMAT

18 de Outubro de 2000

Conteúdo

1 Noção de Sucessão 2

2 Limite de uma Sucessão 2

3 Sucessões Limitadas 3

4 Propriedades dos Limites 4

5 Limites In�nitos 85.1 Propriedades dos Limites In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Sucessões Monótonas 12

7 Subsucessões 14

8 Resultados úteis no cálculo de limites 16

9 Sucessões de�nidas por recorrência 179.1 O Método de Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

10 Exercícios Propostos 21

11 Exercícios Complementares 25

1 18/Outubro/2000

1 Noção de Sucessão

De�nição 1 Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicaçãou do conjunto N; dos inteiros positivos, em R, a qual pode ser representadapor (un)n2N, (un)n ou simplesmente por (un). A un chama-se o termo geralda sucessão.

São exemplos de sucessões de números reais:

u : Nn�!�!

Run=

n+3n

; v : Nn�!�!

Rvn=e�n

2e t : N

n�!�!

Rtn=

3psinn:

Exemplo 1 A progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;cujos termos são a; a+ r; a+ 2r; : : :, é de�nida por:

un = a+ (n� 1) r , 8n2N:

Exemplo 2 A progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;cujos termos são a; ar; ar2; : : :, é de�nida por:

un = arn�1 , 8n2N:

2 Limite de uma Sucessão

De�nição 2 Diz-se que o número real a é limite da sucessão (un) ; ouque (un) converge ou tende para a; e escreve-se

limn!+1

un = a ou un ! a ou abreviadamente limun = a

se para qualquer � > 0 existe p 2 N tal que para qualquer n > p , jun � aj < �.Isto é

un ! a sse 8� > 0 9 p 2 N : n > p) jun � aj < � .

Ou seja, un ! a sse para qualquer � > 0, existe uma ordem a partir daqual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo ]a� �; a+ �[.

De�nição 3 Uma sucessão (un) diz-se convergente se existe um númeroreal a tal que un ! a. Uma sucessão que não é convergente diz-se diver-gente.

2 18/Outubro/2000

Exemplo 3 Dada a sucessão de termo geral un = 12n+3

, mostremos, porde�nição, que limun = 0; ou seja que

8� > 0 9p 2 N : n > p) jun � 0j < �:

Seja � > 0;

jun � 0j < � ,���� 1

2n+ 3

���� < � , 1

2n+ 3< � ,

pois 2n+3; �>0

, 2n+ 3 >1

�, 2n >

1

�� 3, n >

1

2

�1

�� 3�:

Considere-se p 2 N tal que p � 12

�1�� 3�. Então para n > p tem-se que�� 1

2n+3� 0�� < �.

As sucessões ((�1)n)n e (2n+ 3)n são divergentes.

Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma sucessão quandoexiste é único.

De�nição 4 Uma sucessão que converge para zero diz-se um in�nitésimo.

Da de�nição de limite de uma sucessão, conclui-se imediatamente que:

un converge para a sse un � aé um in�nitésimo.

Observação 1 Assim como de�nimos as noções de sucessão e sucessão con-vergente nos reais, podemos também de�nir estas noções nos complexos ouem qualquer corpo onde esteja de�nida uma relação de ordem que seja com-patível com as operações (por exemplo, nos racionais). Em qualquer umadestas situações, podemos fazer um estudo análogo ao que aqui será feitopara o caso dos reais.

3 Sucessões Limitadas

Recordemos que sendo A um subconjunto de R e a e b reais, diz-se que b éum majorante de A se qualquer elemento de A for menor ou igual a b ediz-se que a é um minorante de A se qualquer elemento de A for maior ouigual a a. Diz-se que um subconjunto de R émajorado (ou limitado supe-riormente) se tiver majorantes, minorado (ou limitado inferiormente)se tiver minorantes e limitado se for majorado e minorado. Um conjuntoque não seja limitado diz-se ilimitado.

3 18/Outubro/2000

De�nição 5 Uma sucessão (un) diz-se limitada se o conjunto dos seus ter-mos, fu1; u2; u3; : : : ; un; : : :g ; é limitado, ou seja se,

9L;M 2 R 8n 2 N; L � un �M .

Note-se que a condição anterior é equivalente à seguinte:

9M 2 R+ 8n 2 N; junj �M .

Por exemplo as sucessões de termos gerais un = (�1)n, vn = sin2 n ewn =

1nsão limitadas.

Proposição 2 Toda a sucessão convergente é limitada.

Observação 2 O recíproco desta proposição não se veri�ca. Considere-se,por exemplo, a sucessão ((�1)n)n. Esta sucessão é limitada mas não é con-vergente.

Proposição 3 Se (un) é um in�nitésimo e (vn) é uma sucessão limitadaentão (un:vn) é um in�nitésimo.

Exemplo 4 Consideremos a sucessão de termo geral

vn =sin2 (n+ 1)

2n+ 3:

A sucessão�sin2 (n+ 1)

�é limitada pois 0 � sin2 (n+ 1) � 1; 8n2N .

Pela proposição anterior, a sucessão de termo geral vn =sin2(n+1)2n+3

convergepara zero, uma vez que é o produto do in�nitésimo

�1

2n+3

�pela sucessão

limitada�sin2 (n+ 1)

�.

4 Propriedades dos Limites

Proposição 4 Não se altera o limite de uma sucessão convergente modi�-cando um número �nito de termos da sucessão.

Proposição 5 Se os termos de uma sucessão são todos iguais a uma certaconstante, então a sucessão tem por limite essa constante.

Por exemplo, aplicando os dois resultados anteriores conclui-se que a

sucessão de termo geral vn =�

1nn � 7

2 n > 7converge para 2.

4 18/Outubro/2000

Proposição 6 Se (un) e (vn) são sucessões convergentes tais que, a partirde certa ordem, un � vn , então limun � lim vn.

Observação 3 Note-se que o resultado anterior não se veri�ca para desigual-dades estritas, isto é, não é verdade que sendo (un) e (vn) sucessões conver-gentes tais que, para qualquer n 2 N; un < vn, se tenha necessariamente quelimun < lim vn.Por exemplo, sendo un = � 1

ne vn = 0, tem-se que un < vn para qualquer

n 2 N, e no entanto limun = lim vn = 0:

Proposição 7 (Propriedades operatórias) Sejam(un) e (vn) sucessões taisque un ! a e vn ! b, com a; b 2 R. Então:

1. un + vn ! a+ b;

2. cun ! ca, sendo c 2 R;

3. un:vn ! ab;

4. se b 6= 0 e vn 6= 0;8n2N então unvn! a

b;

5. se p 2 N; upn ! ap;

6. junj ! jaj ;

7. se p 2 N e un � 0;8n2N então ppun ! p

pa;

8. se p 2 N e p é ímpar então ppun ! p

pa:

Exemplo 5 Considerem-se as sucessões cujos termos gerais são:

un =1

n

e

vn =

�� 1nn � 7

�2 n > 7:

Como un ! 0 e vn ! �2 tem-se:

un + vn ! �2; un:vn ! 0; v2n ! 4; 4pun ! 0; � �un ! 0; jvnj ! 2;

unvn! 0 e 3

pvn ! 3

p�2:

5 18/Outubro/2000

Observação 4 A sucessão (junj) pode ser convergente sem que (un) sejaconvergente. Por exemplo, (�1)n é divergente mas j(�1)nj = 1! 1.No entanto é verdade que

un ! 0 sse junj ! 0;

o que é consequência imediata da de�nição de limite de uma sucessão.

Teorema 8 (Sucessões enquadradas) Sejam (un), (vn) e (wn) sucessõestais que, a partir de certa ordem, un � vn � wn.Se un ! a e wn ! a; então vn ! a.

Exemplo 6 Vimos, no exemplo 4 , que a sucessão�sin2(n+1)2n+3

�é um in-

�nitésimo. Podemos chegar à mesma conclusão aplicando o teorema dassucessões enquadradas:

0 � sin2 (n+ 1) � 1; 8n2N ) 0 � sin2 (n+ 1)

2n+ 3� 1

2n+ 3; 8n2N ;

como o limite da sucessão nula é 0 e lim 12n+3

= 0; então lim sin2(n+1)2n+3

= 0.

Exemplo 7 Considere-se a sucessão de termo geral

un =1

n2 + 1+

1

n2 + 2+ � � �+ 1

n2 + n:

Vamos mostrar que un ! 0, para o que utilizaremos o teorema das sucessõesenquadradas.Facilmente se veri�ca que un � 0; 8n2N. Por outro lado temos que:1

n2 + 1+

1

n2 + 2+ � � �+ 1

n2 + n� 1

n2 + 1+

1

n2 + 1+ � � �+ 1

n2 + 1=

=n

n2 + 1:

Tem-se assim,0 � un �

n

n2 + 1:

Como o limite da sucessão nula é 0 e lim nn2+1

= 0, pelo teorema das sucessõesenquadradas conclui-se que limun = 0.

Observação 5 Convém observar que para calcular o limite da sucessão determo geral un = 1

n2+1+ 1n2+2

+� � �+ 1n2+n

não é possível aplicar as propriedadesoperatórias dos limites, visto estas serem válidas apenas quando o número deparcelas é �xo, o que não acontece neste caso. Embora no caso do exemploanterior esse raciocínio, apesar de ser errado, conduzisse ao valor certo dolimite, isso já não se veri�ca no exemplo que se segue.

6 18/Outubro/2000

Exemplo 8 Considere-se a sucessão de termo geral

wn =n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ � � �+ n

n2 + n:

Embora todas as parcelas desta soma tendam para zero, vamos mostrar,utilizando o teorema das sucessões enquadradas, que wn ! 1.Usando um raciocínio similar ao do exemplo anterior, tem-se que

n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ � � �+ n

n2 + n� n

n2 + 1+

n

n2 + 1+ � � �+ n

n2 + 1=

=n:n

n2 + 1;

isto é,

wn �n2

n2 + 1:

Por outro lado,

n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ � � �+ n

n2 + n� n

n2 + n+

n

n2 + n+ � � �+ n

n2 + n=

= nn

n2 + n=

n2

n2 + n=

n

n+ 1

ou seja,wn �

n

n+ 1:

Portanto,n

n+ 1� wn �

n2

n2 + 1:

Como,

limn

n+ 1= lim

nn

nn+ 1

n

= 1

e

limn2

n2 + 1= lim

n2

n2

n2

n2+ 1

n2

= 1;

pelo teorema das sucessões enquadradas conclui-se que

limwn = lim

�n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ � � �+ n

n2 + n

�= 1:

7 18/Outubro/2000

5 Limites In�nitos

De�nição 6 Diz-se que uma sucessão (un) tem limite mais in�nito outende para mais in�nito e, escreve-se,

limun = +1 ou un ! +1;

se, para todo o número L positivo existe uma ordem p tal que para n > p; uné maior do que L.Ou seja, un ! +1 sse para qualquer real positivo existe uma ordem a

partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que esse real.Simbolicamente,

un ! +1, 8L > 0 9p 2 N : n > p) un > L:

Se �un ! +1 diz-se que (un) tem limite menos in�nito ou tende paramenos in�nito e escreve-se

limun = �1 ou un ! �1:

Isto é,un ! �1, 8L < 0 9p 2 N : n > p) un < L:

Finalmente, se junj ! +1 diz-se que (un) tem limite in�nito ou tendepara in�nito e escreve-se

limun =1 ou un !1:

Isto é,un !1, 8L > 0 9p 2 N : n > p) junj > L:

De�nição 7 Uma sucessão com limite in�nito diz-se um in�nitamentegrande. Caso o limite seja +1 ou �1 a sucessão dir-se-á um in�nita-mente grande positivo ou in�nitamente grande negativo, respectiva-mente.

Por exemplo:- a sucessão de termo geral un = 2n3 + 1 é um in�nitamente grande

positivo;- a sucessão de termo geral vn = �2n3 + 1 é um in�nitamente grande

negativo;- a sucessão de termo geral wn = (�1)n n3+1 é um in�nitamente grande

(sem sinal determinado).Uma sucessão diz-se propriamente divergente se tende para mais in-

�nto ou para menos in�nto. Uma sucessão diz-se oscilante se não for con-vergente nem propriamente divergente.Em resumo, as sucessões classi�cam-se do seguinte modo:

8 18/Outubro/2000

� convergentes (limite �nito);

� divergentes

8<:propriamente divergentes (limite +1 ou �1)

oscilantes (nos restantes casos).

5.1 Propriedades dos Limites In�nitos

Proposição 9 Sendo(un) e (vn) duas sucessões tem-se que:

1. se un ! +1 e, a partir de certa ordem, un � vn, então vn ! +1;

2. se un ! �1 e, a partir de certa ordem, vn � un, então vn ! �1:

Exemplo 9 Mostremos que

un =pn2 + 2n! +1:

Temos que un =pn2 + 2n �

pn2 para n � 1 e como

pn2 = n ! +1,

então pelo resultado anterior conclui-se quepn2 + 2n! +1:

Proposição 10 (Propriedades operatórias) Sendo (un) e (vn) duas su-cessões tem-se que:

1. se un ! +1 e vn ! +1 então un + vn ! +1;

2. se un ! �1 e vn ! �1 então un + vn ! �1;

3. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! a; com a 2 R; então un + vn ! +1(resp. �1);

4. se un !1 e vn ! a; com a 2 R; então un + vn !1;

5. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! b; com b 2 R+; então un:vn ! +1(resp. �1);

6. se un ! +1 (resp. �1) e vn ! c; com c 2 R�; então un:vn ! �1(resp. +1);

7. se un !1 e vn !1 então un:vn !1:

Observação 6 Muitas vezes estas propriedades são indicadas num modomais abreviado, que a seguir exempli�camos para o caso das alíneas 1 e 7:

(+1) + (+1) = +1 e 1:1 =1:

9 18/Outubro/2000

Os símbolos

1+1; 1�1; (+1)� (+1) ; (+1) + (�1) ;0:1; 0: (+1) ; 0: (�1)

são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizerque nestes casos o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor,depende das sucessões envolvidas.Por exemplo, consideremos as sucessões de termos gerais

un = 2n2 + 1; vn = n

3 + 3 e wn = n3 + 2:

Como (un) ; (vn) ; e (wn) tendem para+1; as sucessões (vn � wn) e (un � wn)correspodem a situações de indeterminação, sendo no entanto fácil estudá-lasquanto à convergência. De facto:

� lim (vn � wn) = lim [(n3 + 3)� (n3 + 2)] = 1;

� lim (un � wn) = lim [(2n2 + 1)� (n3 + 2)] = lim (�n3 + 2n2 � 1) == lim�n3

�1� 2

n+ 1

n3

�= �1:

Proposição 11 Sendo (un) uma sucessão de termos diferentes de zero, tem-se que:

1. se un !1 então 1un! 0 (isto é, o inverso de um in�nitamente grande

é um in�nitésimo);

2. se un ! 0 então 1un! 1 (isto é, o inverso de um in�nitésimo é um

in�nitamente grande).

De�nição 8 Se uma sucessão (un) tende para a e, a partir de certa ordem,un > a diz-se que (un) tende para a por valores superiores e escreve-seun ! a+: Analogamente, se uma sucessão (un) tende para a e, a partir decerta ordem, un < a diz-se que (un) tende para a por valores inferiorese escreve-se un ! a�:

É fácil ver que

se un ! 0+�resp. 0�

�então

1

un! +1 (resp. �1) :

Por exemplo, vimos que a sucessão de termo geral

vn =sin2 (n+ 1)

2n+ 3

10 18/Outubro/2000

é um in�nitésimo. Pela proposição anterior podemos concluir que�1vn

�é um

in�nitamente grande. Reparando que vn > 0; para qualquer n 2 N, podemosmesmo a�rmar que

�1vn

�é um in�nitamente grande positivo.

Combinando os dois últimos resultados tem-se:

Proposição 12 Se (un) e (vn) são duas sucessões, tendo a última os termostodos diferentes de zero, então:

1. se vn !1 e (un) tem limite �nito, unvn! 0;

2. se vn ! 0 e (un) tem limite in�nito ou �nito e diferente de zero,unvn!1;

Tal como no caso anterior, estas propriedades são por vezes representadasdo seguinte modo:

a

1 = 0 ,10=1 e

a

0=1, se a 6= 0:

Os símbolos0

0,11 e

�1�1

são também símbolos de indeterminação, pois tal como na situação an-terior, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende dassucessões envolvidas.Consideremos novamente as sucessões de termos gerais

un = 2n2 + 1; vn = n

3 + 3 e wn = n3 + 2:

Todas tendem para +1; pelo que as sucessões unvn; vnune vnwncorrespondem

a situações de indeterminação do mesmo tipo. No entanto, facilmente sedeterminam os seus limites que são, respectivamente, 0; +1 e 1. De facto,

unvn=2n2 + 1

n3 + 3=

2n2

n3+ 1

n3

n3

n3+ 3

n3

=2n+ 1

n3

1 + 3n3

! 0

e analogamente se prova para os restantes casos.

Observação 7 Usando o raciocínio anterior, facilmente se prova que sendoP (n) = a0 + a1n+ � � �+ apnp , com ap 6= 0; e Q (n) = b0 + b1n+ � � �+ bqnq ,com bq 6= 0; polinómios de graus p e q, respectivamente, tem-se que:

� limP (n) =�+1 ; se ap > 0�1 ; se ap < 0;

� lim P (n)Q(n)

=

8<:1 , se p > q0 , se p < qapbq

, se p = q:

11 18/Outubro/2000

6 Sucessões Monótonas

De�nição 9 Uma sucessão (un) diz-se crescente (em sentido lato) se un+1 �un, para todo o n 2 N.Dir-se-á estritamente crescente se un+1 > un , para todo o n 2 N.Uma sucessão (un) diz-se decrescente (em sentido lato) se un+1 � un ,

para todo o n 2 N.Dir-se-á estritamente decrescente se un+1 < un , para todo o n 2 N.Uma sucessão (un) diz-se monótona se for crescente ou decrescente e

estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente de-crescente.

Exemplo 10 Consideremos a sucessão de termo geral

un =1pn2 + n

:

É claro que esta sucessão é decrescente, uma vez que o numerador é cons-tantemente igual a 1 e o denominador é positivo e crescente. De facto,

(n+ 1)2+(n+ 1) > n2+n; pelo queq(n+ 1)2 + (n+ 1) >

pn2 + n , donde

(sendo números positivos) se conclui que 1p(n+1)2+(n+1)

< 1pn2+n

: Portanto,

un+1 < un ,8n 2 N; pelo que (un) é estritamente decrescente.

Exemplo 11 Para veri�car que a sucessão

an =pn2 � n

é estritamente crescente, podemos recorrer ao estudo da diferença an+1 � anou do quociente an+1

an. Isto é, ver que an+1 � an > 0 para qualquer n 2 N;

ou que an+1an

> 1 para qualquer n 2 N (note-se que an+1an

> 1 é equivalente aan+1 > an porque an > 0, 8n2N).Intuitivamente deve ser claro que esta sucessão é crescente, pois no seu

termo geral a parcela n2 cresce mais rapidamente que a parcela n e a raizquadrada é uma função crescente.Assim,

an+1 � an =q(n+ 1)2 � (n+ 1)�

pn2 � n =

pn2 + n�

pn2 � n =

=

�pn2 + n�

pn2 � n

� �pn2 + n+

pn2 � n

��pn2 + n+

pn2 � n

� =

=2np

n2 + n+pn2 � n

> 0 ,8n2N:

12 18/Outubro/2000

Analogamente poderíamos mostrar que, para qualquer n > 1;

an+1an

=

q(n+ 1)2 � (n+ 1)

pn2 � n

=

rn2 + n

n2 � n =rn+ 1

n� 1 > 1 :

Como a1 = 0 e, para qualquer n > 1;an+1an

> 1; com an > 0, conclui-se quean+1 > an:Portanto, a sucessão an =

pn2 � n é estritamente crescente.

Observe-se que no caso do exemplo anterior torna-se mais fácil averiguara desigualdade an+1

an> 1.

Teorema 13 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.Mais precisamente, toda a sucessão crescente e majorada tem limite (igual

ao supremo do conjunto dos seus termos) e toda a sucessão decrescente eminorada tem limite (igual ao ín�mo do conjunto dos seus termos).

Re�ra-se que o supremo de um conjunto é o menor dos seus majorantese o ín�mo é o maior dos seus minorantes.

Exemplo 12 Consideremos novamente a sucessão do exemplo anterior supondon > 1. Como

an =pn2 � n > 0 e an < an+1 vem que

1

an>

1

an+1:

Portanto, a sucessão�1an

�; de�nida para n > 1; é monótona decrescente e,

como é limitada�pois 0 � 1p

n2�n �1p2;8n > 1

�; conclui-se que tem limite

�nito.

Proposição 14 Toda a sucessão monótona tem limite �nito ou in�nito.

Assim, dada uma sucessão monótona, tem-se um de dois casos:

� a sucessão é limitada e, portanto, tem limite �nito, visto que é conver-gente;

� a sucessão não é limitada, e neste caso tem limite +1 ou �1 conformeé crescente ou decrescente.

A sucessão (an) do exemplo anterior é monótona crescente e não é limi-tada, pelo que tem limite +1.Analogamente, a sucessão de termo geral �an = �

pn2 � n é decrescente

e não é limitada, pelo que tende para �1.

13 18/Outubro/2000

Exemplo 13 Considere-se a sucessão de termo geral�1 +

1

n

�n:

Prova-se que esta sucessão é crescente e tem todos os termos compreen-didos entre 2 e 3. É , portanto, uma sucessão monótona e limitada, pelo queé convergente em R:O limite desta sucessão é um número real muito importante e representa-

se por \e". Assim,

lim

�1 +

1

n

�n= e;

sendo este número um irracional.

7 Subsucessões

De�nição 10 Seja (un) uma sucessão e (nk) uma sucessão estritamentecrescente de elementos de N. A sucessão vk = unk diz-se uma subsucessãode (un).

Uma subsucessão duma sucessão (un) é simplesmente uma sucessão queé extraída da original escolhendo certos índices, em número in�nito, porordem crescente. Escolhendo n1; n2; n3; : : : ; com n1 < n2 < n3 < : : : ; econsiderando a sucessão un1 ; un2 ; un3 ; : : : , constituída pelos elementos dasucessão original correspondentes a esses naturais, obtemos uma subsucessãoda sucessão original.Duma sucessão (un) podem extrair-se uma in�nidade de subsucessões:

u2; u4; : : : ; u2k; : : : (dos termos de índice par); u1; u3; : : : ; u2k�1; : : : (dos ter-mos de índice ímpar); u3; u6; u9; : : : ; u3k; : : : (dos termos de índice múltiplode 3); etc.Por exemplo, no estudo da sucessão de termo geral un = (�1)n 1

nsão

particularmente importantes duas sucessões - a subsucessão dos termos deordem par, de termo geral vn = u2n =

12n; e a subsucessão dos termos de

ordem ímpar, de termo geral wn = u2n�1 = � 12n�1 .

Proposição 15 Toda a subsucessão duma sucessão com limite (�nito ouin�nito) tem o mesmo limite.

Corolário 16 Se uma sucessão tiver duas subsucessões com limites dife-rentes, a sucessão não tem limite.

14 18/Outubro/2000

Por exemplo, a sucessão de termo geral

vn =

8<:1nse né número primo

12se n não é número primo

tem duas subsucessões com comportamentos perfeitamente distintos - a sub-sucessão dos termos correspondentes aos naturais primos e a subsucessão dostermos correspondentes aos naturais não primos. A primeira subsucessãotem limite 0 e a segunda tem limite 1

2, pelo que a sucessão não tem limite.

Proposição 17 Se (un)n é uma sucessão tal que as suas subsucessões dostermos de ordem par e dos termos de ordem ímpar são ambas convergentese têm o mesmo limite, então (un)n é convergente.

Por exemplo, aplicando este resultado, conclui-se facilmente que a sucessão�(�1)n 1

n

�né convergente.

Proposição 18 Toda a sucessão de reais tem uma subsucessão com limite(�nito ou in�nito).

De�nição 11 Chama-se limite superior de uma sucessão (un) ; e representa-se por limun ou lim supun; ao maior dos limites (�nitos, +1 ou �1) dassubsucessões que se podem extrair de (un). Chama-se limite inferior deuma sucessão (un) ; e representa-se por limun ou lim inf un, ao menor doslimites (�nitos, +1 ou �1) das subsucessões que se podem extrair de (un).

No caso da sucessão de termo geral

vn =

8<:1nse né número primo

12se n não é número primo

tem-se que

limvn =1

2e limvn = 0:

Exemplo 14 Seja xn = n sin�n�2

�: Desta sucessão podemos extrair três

subsucessões:

uk = x2k = 2k sin (k�) = 0

vk = x4k+1 = (4k + 1) sin�2k� +

�

2

�= 4k + 1

wk = x4k+3 = (4k + 3) sin

�2k� +

3�

2

�= �4k � 3

15 18/Outubro/2000

cujos limites são, respectivamente, 0; +1 e�1. Qualquer outra subsucessãode (xn) tende para um destes limites, tendo-se

limxn = +1 e limxn = �1:

Observação 8 Os limites superior e inferior de um sucessão (un) podemtambém obter-se do seguinte modo:

limun = limn!1

�supk�nuk

�, sendo sup

k�nuk = sup fuk : k � ng

e

limun = limn!1

�infk�nuk

�, sendo inf

k�nuk = inf fuk : k � ng :

Recorde-se que o supremo de um subconjunto de R é o menor dos seusmajorantes e o ín�mo o maior dos seus minorantes (caso existam).

8 Resultados úteis no cálculo de limites

Proposição 19 (Limite da potência) Sendo a um escalar real tem-se que

lim an =

8>>>><>>>>:+1 , se a > 10 , se jaj < 11 , se a = 1não existe , se a = �11 , se a < �1:

Proposição 20 (Limite da média aritmética) Se (un) é uma sucessãotal que un ! a, com a 2 R, a = +1 ou a = �1, então

u1 + u2 + � � �+ unn

! a .

Exemplo 15 lim 1n

�1 + 1

2+ 1

3+ � � �+ 1

n

�= 0; pois 1

n! 0:

Corolário 21 Sendo (un) uma sucessão,

se (un+1 � un)! a entãounn! a:

Exemplo 16 Considere-se a sucessão de termo geral un = lnnn:

limlnn

n= 0; pois [ln (n+ 1)� lnn] = ln n+ 1

n! ln 1 = 0:

16 18/Outubro/2000

Proposição 22 (Limite da média geométrica) Se (un) é uma sucessãode reais não negativos e un ! a; com a 2 R ou a = +1, então

npu1u2 : : : un ! a.

Corolário 23 Sendo (un) uma sucessão de reais positivos,

seun+1un

! a então npun ! a:

Exemplo 17 Sendo a > 0, lim npa = 1 pois lim a

a= 1:

Exemplo 18 Considere-se a sucessão de termo geral un =npn!:

limnpn! = +1 pois lim

(n+ 1)!

n!= lim (n+ 1) = +1:

Proposição 24 Se (un) é um in�nitamente grande e a 2 R; então

lim

�1 +

a

un

�un= ea .

Exemplo 19 Considere-se a sucessão de termo geral un =�n�2n+2

�nlim

�n� 2n+ 2

�n= lim

�1 +

�4n+ 2

�n+2: lim

�1� 4

n+ 2

��2= e�4:1 = e�4

9 Sucessões de�nidas por recorrência

Uma sucessão pode ser de�nida por uma relação de recorrência. Nesta situ-ação não é dada a expressão do termo geral sendo indicado o valor do primeirotermo (ou dos primeiros termos) e o valor de um certo termo é de�nido apartir do anterior (ou então a partir de mais do que um termo anterior),como por exemplo, �

u1 = 1un+1 = n

2un , 8n2N;cujos cinco primeiros termos são 1; 1; 4; 36; 576; ou�

v1 = 1 , v2 = 2vn+2 = 2vn+1 � 3vn , 8n2N;

17 18/Outubro/2000

cujos cinco primeiros termos são 1; 2; 1; �4; �11:Duas sucessões bem conhecidas, das quais já falámos anteriormente, que

podem ser de�nidas por recorrência, são:

- progressão aritmética de razão r e primeiro termo a;de�nida por �

u1 = aun+1 = un + r , 8n2N;

- progressão geométrica de razão r e primeiro termo a;de�nida por �

u1 = aun+1 = un:r , 8n2N:

9.1 O Método de Indução

Consideremos a sucessão (un)n de�nida por recorrência do seguinte modo:�u1 =

12

un+1 = u2n , 8n2N

:

Deve ser intuitivo que, qualquer que seja n 2 N; 0 < un < 1, visto que oprimeiro termo é 1

2(que é positivo e menor do que 1), o segundo termo é o

quadrado deste (e portanto também é positivo e menor do que 1) e assimsucessivamente.OMétodo de Indução Finita, que se apresenta de seguida, é o método

ideal para provar esta a�rmação.De facto, este método é fundamental para provar muitas das propriedades

dos naturais e também outras propriedades em que intervêm naturais. Comose perceberá facilmente, é especialmente indicado para provar propriedadesde sucessões de�nidas por recorrência.

Teorema 25 (Princípio de Indução Finita) Seja P (n) uma condição navariável (natural) n tal que

� P (1) é verdadeira,

� para qualquer n 2 N, P (n)) P (n+ 1).

Então P (n) é verdadeira, para qualquer n 2 N.

OMétodo de Indução Finita aplica-se, então do seguinte modo:

� prova-se que P (1) é verdadeira;

18 18/Outubro/2000

� para n 2 N (arbitrário), assume-se como hipótese que P (n) é ver-dadeira (é chamada Hipótese de Indução) e prova-se que P (n+ 1)é verdadeira (é chamada Tese de Indução) - a este passo chama-sePasso de Indução, e uma propriedade P (n) nestas condições diz-sehereditária;

� conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que P (n) é verdadeirapara qualquer n 2 N.

Observação 9 De ummodo intuitivo, este método funciona porque podemosobter qualquer número natural a partir do 1 adicionando sucessivamente 1:De facto, sabendo que se P (n) é verdadeira então P (n+ 1) é verdadeira

(para qualquer natural n), e tendo provado que P (1) é verdadeira, tem-seque P (2) é verdadeira (pois 2 = 1 + 1 e P (1) é verdadeira), sendo P (2)verdadeira, então P (3) é verdadeira (pois 3 = 2 + 1 e P (2) é verdadeira), eassim sucessivamente.

Deve ser claro que métodos perfeitamente análogos funcionam para pro-priedades em N0 ou propriedades que sejam verdadeiras apenas para os na-turais maiores ou iguais a um certo k 2 N. A diferença reside, no primeirocaso, em começar-se por provar que P (0) é verdadeira, e no segundo caso,que P (k) é verdadeira.

Exemplo 20 Consideremos a sucessão de�nida por recorrência do seguintemodo: �

u1 =12

un+1 = un � u2n , 8n2N:

Provemos, por indução, que 0 < un < 1, 8n2N .Neste caso, a propriedade P (n) é 0 < un < 1:

� P (1) é verdadeira, pois u1 = 12, pelo que 0 < u1 < 1;

� Suponhamos que 0 < un < 1, com vista a provar que 0 < un+1 < 1:

Tem-se que un+1 = un � u2n.Como 0 < un < 1, u2n < un; pelo que 0 < un � u2n:Por outro lado, como u2n � 0, un � u2n � un < 1.Portanto, 0 < un � u2n = un+1 < 1.

� Pelo Princípio de Indução conclui-se que, para qualquer n 2 N;0 < un < 1.

19 18/Outubro/2000

É agora fácil provar que a sucessão é convergente e calcular mesmo o valordo seu limite.De facto, provámos que a sucessão é limitada e é imediato que é decres-

cente ( pois un+1 = un � u2n < un), pelo que é convergente.Seja a 2 R o limite desta sucessão.Como

un ! a; un+1 ! a e un+1 = un � u2n;pelas propriedades dos limites conclui-se que a = a� a2, pelo que a = 0:Note-se que para podermos aplicar o método que seguimos para o cálculo

deste limite, é indispensável provar primeiro que tal limite existe, isto é, quea sucessão é convergente.

Observação 10 Por indução, é fácil provar que:

� a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, (an) ; derazão r e 1o termo a; é dada por Sn = a+an

2:n;

� a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, (an) ; derazão r 6= 1 e 1o termo a; é dada por Sn = 1�rn

1�r :a:

Referências

[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;

[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;

[3] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais de Matemática,Gradiva, 1998;

[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;

[5] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;

20 18/Outubro/2000

10 Exercícios Propostos

Exercício 1 Prove, por de�nição, que limn!+1

n+102n�1 =

12.

Exercício 2 Calcule o limite das seguintes sucessões:

1. n2+13n2�2n+1

2. n3+12n2�3

3. n�2n3+2n2�2

4. (n+2)!�n!n!(n2+2)

5. 1+2+3+:::+nn2

6.nPk=0

�13

�k7. 2n+3n

2n�3n

8. n�pn2 � n

9. n+sen2n2n+3

10. cos(n�)n2

11. nn+1

nn+2

12. npn2+n

13. np(n+ 1)!� n!

14. n

qn3�14n3+2

15. nplog n

16.�4n�34n+1

�n17.

�nn�1��2n

18. 12n+ 1

4n+ 1

6n+ � � �+ 1

2n2

Exercício 3 Utilize o teorema das sucessões enquadradas para calcular osseguintes limites:

21 18/Outubro/2000

1. 1n2+ 1

(n+1)2+ � � �+ 1

(n+n)2=

nPk=0

1(n+k)2

2.nPk=1

1pn2+k

3. n!nn

4. 2n

n!

Exercício 4 Diga, justi�cando, quais das seguintes a�rmações são verdadei-ras ou falsas:

1. A sucessão de termo geral

an =

�nn+1

se n � 103 se n > 10

é divergente.

2. A sucessão de termo geral

an =

�nn+1

se né par3 se né ímpar

é divergente.

3. Se (un)n é uma sucessão decrescente de termos positivos então é con-vergente.

4. Uma sucessão decrescente de termos positivos tende para zero.

Exercício 5 Estude a natureza das seguintes sucessões e indique se são ounão limitadas. Calcule, em cada caso, os limites inferior e superior.

1. [2 + (�1)n] :n

2. (sen n)n

5n�1

3. cos(n�)+cos(2n�)n

4. an

42n; a 2 R

5. (�1)n n!

6. [(�1)n + 1] 2n2�nn2+2n

22 18/Outubro/2000

7. n(�1)n

8. senn�3+ cos n�

3

9. n+(�1)n(2n�1)n+1

:

Exercício 6 Prove que, para qualquer n 2 N,nPi=1

i = n(n+1)2:

Exercício 7 Sendo (an)n a progressão aritmética de razão r e 1o termo a,

prove que Sn = na+an2; onde Sn é a soma dos n primeiros termos desta

progressão.

Exercício 8 Seja (an)n a progressão geométrica de razão r e 1o termo a.

1. Sendo Sn a soma dos n primeiros termos desta progressão, prove,supondo a 6= 0 que, se r 6= 1 então Sn = a1�r

n

1�r :

2. Diga em que condições a sucessão (Sn) é convergente.

Exercício 9 Sendo a 2 R; com 0 < a < 1, considere a sucessão de�nida porrecorrência do seguinte modo:�

u1 = aun =

un�1un�1+1

;8n > 2:

1. Prove, por indução, que 0 � un � 1;8n 2 N:

2. Prove que (un) é convergente e calcule o seu limite.

Exercício 10 Seja (an) uma sucessão de�nida por recorrência do seguintemodo: �

a1 = 1an+1 = nan ;8n > 1:

Seja (bn) a sucessão de termo geral

bn = � +annn:

1. Calcule b3:

2. Prove, por indução, que 0 � an � nn�1, para todo o natural n.

3. Prove que � � bn � � + 1n, para todo o natural n.

23 18/Outubro/2000

4. Mostre que (bn) é convergente e calcule o seu limite.

Exercício 11 Considere a sucessão�u1 =

34

un+1 = 2un + 1;8n > 1:

1. Mostre que un > n; 8n > 1.

2. Mostre que limn!+1

un = +1:

24 18/Outubro/2000

11 Exercícios Complementares

Exercício 12 Sejam (un) e (vn) duas sucessões de termos positivos tais que

u1 = 4; v1 = 2; un+1 =un + vn2

e vn+1 =punvn;8n 2 N:

1. Prove, por indução que un > vn , 8n 2 N ;

2. Justi�que que (un) é decrescente.

Exercício 13 Considere a sucessão un = 3n

n!.

1. Mostre, usando o princípio de indução �nita, que se tem, qualquer queseja n > 3 , un <

�34

�n42;

2. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas e o resultado da alíneaanterior, determine limun .

Exercício 14 Determine, caso exista, o limite das sucessões que têm portermo geral:

1. cos(n�)n+1

+ (�1)n+1n

+ 3;

2. n3+n+5p2n5+3n4

;

3. (2n3 + n2)13 � n

4.P2n

k=0

pnp

n3+k;

5.�2n2+n+5n2+3

�3n2+2;

6. [(n+ 3)!� (n+ 2)!]1n :

Exercício 15 Seja un =�1� 1

n2

�2ne vn = 1

1!+ 1

2!+ 1

3!+ � � � + 1

n!, em que

n 2 N:

1. Calcule lim un;

2. Prove, pelo método de indução �nita que vn < 3� 1n!; 8n 2 N ;

3. Justi�que que (un + vn) é convergente.

25 18/Outubro/2000

Exercício 16 Considere a sucessão�u1 = �1

un+1 =un

1�2un

1. Prove, pelo método de indução matemática que un = 11�2n ;

2. Calcule limn!+1

un:

26 18/Outubro/2000

Soluções

1: -2.1: 1

3; 2.2: +1; 2.3: 0; 2.4: 1; 2.5: 1

2; 2.6: 3

2; 2.7: �1; 2.8: 1

2; 2.9: 1

2;

2.10: 0; 2.11: +1; 2.12: 1; 2.13: +1; 2.14: 1; 2.15: 1; 2.16: e�1; 2.17:e�2; 2.18: 0;3.1: 0; 3.2: 1; 3.3: 0; 3.4: 0;4.1: falsa; 4.2: verdadeira; 4.3: verdadeira; 4.4: falsa;5.1: propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; 5.2: convergente, lim-itada, 0; 0; 5.3: convergente, limitada, 0; 0; 5.4: se jaj < 16; conv.,limitada; 0; 0; se a > 16, propriamente divergente, ilimitada, +1; +1; sea < �16, oscilante, ilimitada, �1;+1; se a = 16, conv., limitada, 1; 1; sea = �16, oscilante, limitada, �1, +1. 5.5: oscilante, ilimitada, �1;+1;5.6: oscilante, limitada, 0,4; 5.7: oscilante, ilimitada, 0;+1; 5.8: oscilante,limitada,�

p3+12;p3+12; 5.9: oscilante, limitada, �1, 3;

6: -7: -8.1: -; 8.2: jrj < 19.1: -; 9.2: 010.1: � + 2

2710.2: -; 10.3: -; 10.4: �

11: -12: -13.1: -; 13.2: 014.1: 3; 14.2: +1; 14.3: +1; 14.4: 2; 14.5: +1; 14.6: +115.1: 1; 15.2: -; 15.3: -16.1: -; 16.2: 0

27 18/Outubro/2000