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São Carlos, v.7 n. 23 2005

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Reitor: Prof. Titular ADOLFO JOSÉ MELFI

Vice-Reitor:

Prof. Titular HÉLIO NOGUEIRA DA CRUZ

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Diretor: Prof. Titular FRANCISCO ANTONIO ROCCO LAHR

Vice-Diretor:

Prof. Titular RUY ALBERTO CORREA ALTAFIM

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

Chefe do Departamento: Prof. Titular CARLITO CALIL JÚNIOR

Suplente do Chefe do Departamento:

Prof. Titular SÉRGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA

Coordenador de Pós-Graduação: Prof. Associado MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA

Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico:

MARIA NADIR MINATEL e-mail: [email protected]

Editoração e Diagramação:

FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI

TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.7 n. 23 2005

Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos – USP Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro

CEP: 13566-590 – São Carlos – SP Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482

site: http://www.set.eesc.usp.br

SSUUMMÁÁRRIIOO Uma adaptação do MEF para análise em multicomputadores: aplicações em alguns modelos estruturais Valério da Silva Almeida & João Batista de Paiva 1 Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença 33 Análise dinâmica bidimensional não-linear física e geométrica de treliças de aço e pórticos de concreto armado Rogério de Oliveira Rodrigues & Wilson Sergio Venturini 61 Deslocamentos transversais em lajes-cogumelo Tatiana Theophilo Silvany & Libânio Miranda Pinheiro 95 Comportamento de conectores de cisalhamento em vigas mistas aço-concreto com análise da resposta numérica Gustavo Alves Tristão & Jorge Munaiar Neto 121

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 23, p.1-32, 2005

UMA ADAPTAÇÃO DO MEF PARA ANÁLISE EM MULTICOMPUTADORES: APLICAÇÕES EM ALGUNS

MODELOS ESTRUTURAIS Valério da Silva Almeida1 & João Batista de Paiva2

Resumo

Apresenta-se uma adaptação dos procedimentos utilizados nos códigos computacionais seqüenciais advindos do MEF, para utilizá-los em multicomputadores. Resolve-se o sistema de equações lineares geradas mediante a rotina do PIM (Parallel Iterative Method). São feitas adaptações deste pacote para se aproveitar as características comuns do sistema linear gerado pelo MEF: esparsidade e simetria. A técnica de resolução do sistema em paralelo é otimizada com o uso de dois tipos de pré-condicionadores: a decomposição incompleta de Cholesky (IC) generalizado e o POLY(0) ou Jacobi. É feita uma aplicação para a solução de pavimento com o algoritmo-base totalmente paralelizado. Também é avaliada a solução do sistema de equações de uma treliça. Mostram-se resultados de speed-up, de eficiência e de tempo para estes dois modelos estruturais. Além disso, é feito um estudo em processamento seqüencial da performance dos pré-condicionadores genéricos (IC) e do advindo de uma série truncada de Neumann, também generalizada, utilizando-se modelos estruturais de placa e chapa. Palavras-chave: Multicomputadores; método dos elementos finitos; processamento paralelo; pré-condicionadores; método dos gradientes conjugados.

1 INTRODUÇÃO

Tendo em vista a crescente necessidade de se estudar modelos estruturais cada vez mais complexos e que demandem grande quantidade de memória e tempo computacional, é necessário o desenvolvimento de ferramentas que suportem estas análises, já que as máquinas de processamento existentes têm demostrado que não conseguem acompanhar a taxa de crescimento no tratamento de modelos complexos da mecânica dos sólidos. Desta forma, a utilização de máquinas para processamento paralelo é a opção para a possível aplicação de sistemas estruturais mais sofisticados em análise numérica via, por exemplo, método dos elementos finitos (MEF).

Nota-se que a partir do início da década de 60, algoritmos numéricos começaram a ser desenvolvidos de forma a serem aplicados não somente em máquinas de 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP 2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected]

Valério da Silva Almeida & João Batista de Paiva

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 23, p. 1-32, 2005

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arquiteturas seqüenciais mas também em paralelas, já que tais computadores poderiam oferecer maior recursos em termos de velocidade e de tamanho de memória.

O avanço nas aplicações, mediante o método dos elementos finitos em processamento paralelo, começou a ser feito naturalmente, explorando tais algoritmos ou readaptando-os, de forma a resolver seus problemas intrínsecos. Citam-se os trabalhos de NOOR & HARTLEY (1978) e o de NOOR & LAMBIOTTE (1979).

A partir da metade da década de 80, as implementações em computação paralela começaram a ser realizadas de maneira volumosa, como por exemplo, o desenvolvimento de um pseudocódigo realizado por ZOIS (1988a e 1988b).

Técnicas para otimizar as aplicações dos modelos de MEF começaram a ser objeto de interesse para melhorar a potencialidade oferecida pelos computadores de natureza paralela. Por exemplo, uma técnica precursora da utilização do tratamento da estrutura em subdomínio para computação paralela foi o trabalho de LAW (1986).

Uma outra forma de otimização em tais computadores é a solução do sistema, que é uma das etapas mais importantes de todo o processo e que despende mais tempo para conclusão. A resolução do sistema linear empregada comumente é com o uso de métodos diretos (Gauss, Cholesky). Entretanto, nos últimos quinze anos, têm-se despontado o uso de métodos iterativos que, como maior vantagem, oferecem menos dependência entre os dados dos diferentes processadores.

O grande problema gerado com o emprego de um método iterativo é a respeito do condicionamento da matriz de rigidez, que leva a uma demora na convergência para os deslocamentos. De sorte, uma outra maneira de otimizar a resolução do sistema linear através de métodos iterativos é acelerar a convergência de sua resposta, utilizando um pré-condicionador.

Nos últimos cinco anos vários tipos de pré-condicionadores têm sido objeto de interesse para solução dos problemas via método dos gradientes conjugados. Na literatura, uma gama muito grande de pré-condicionadores têm sido analisados e implementados para a abordagem de problemas estruturais, citando-se os trabalhos de SCHMIT & LAI (1994) e BITZARAKIS et al. (1997). Percebe-se que a “migração” do MEF para este novo tipo de arquitetura já tem sido feita desde a metade da década de 70, MIRANKER (1971). No Brasil, este campo tem sido pouco explorado nos centros de pesquisas ligados a resolução de problemas da engenharia estrutural, mostrando uma carência de estudo e de aplicação nesta área.

Assim, o trabalho aqui apresentado teve o intuito de mostrar uma forma para resolução de um problema estrutural analisado via MEF em sistema de computadores de memória distribuída, também conhecido por multicomputadores. Com isso, o trabalho foi desenvolvido alterando-se as características intrínsecas do código, ou seja, dividindo-se todas as etapas do algoritmo dentre os vários processadores (nós), sendo que todos os procedimentos em paralelo foram desenvolvidos para funcionarem com qualquer número de nós. Destaca-se que deu-se ênfase à montagem e a resolução do sistema linear para análise em paralelo. Para o primeiro procedimento, utilizou-se a técnica desenvolvida em REZENDE (1995). A resolução do sistema linear já não apresenta vantagens quanto a sua paralelização como no procedimento anterior. Assim, tem sido objeto de estudo a busca de metodologias cada vez mais eficientes na sua otimização em arquitetura paralela. Hoje em dia a técnica dos Gradientes Conjugados, com o uso de um adequado pré-condicionador, tem se destacado na aplicação da resolução do sistema linear em paralelo. Por isso, este trabalho pretendeu utilizar desta técnica com emprego do pré-condicionador denominado decomposição incompleta de Cholesky (IC), que aqui fora

Uma adaptação do MEF para análise em multicomputadores: aplicações em alguns modelos...


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generalizado para a influência de qualquer combinação de espectros das colunas não negligenciadas. O computador que foi usado para a realização deste trabalho é o IBM 9900/SP, que possui três nós com 256 Mbytes em cada um (ver TUTORIAL do IBM SP (1998)). O sistema de troca de mensagens adotado é o PVM desenvolvido pela IBM, que é denominado de PVMe (ver TUTORIAIS do CISC (1998)).

2 PROCESSAMENTO PARALELO

2.1 Arquiteturas de Computadores

O projeto na arquitetura de computadores engloba tanto o estudo da estrutura isolada de cada um de seus componentes, como por exemplo, os tipos e a capacidade de memória, os modelos de processadores, etc., como também o estudo entre essas estruturas funcionando como um conjunto interdependente e sistematicamente organizado no sistema computacional. Com relação a forma de organizar e interligar esses componentes para realização de instruções, surgiram vários conceitos (paradigmas) de organização de instruções para computadores, sendo o mais comum é o tipo denominado de Máquina de von-Neumann (instruções dirigidas).

2.2 Computadores de alto desempenho

O conceito de desempenho em computação está ligado diretamente com o termo taxa de execução, que representa o número de operações em ponto flutuante realizadas por segundo pelo processador :flops (flow point operation per second). Esta taxa de execução depende basicamente de três parâmetros, os quais influenciam na maior ou menor taxa de execução, que são relacionados basicamente da seguinte forma:

taxa de execução(multiplicidade).(Concorrência)

= Ciclo (2.1)

O ciclo indica o período em que estas operações são realizadas no processador. A multiplicidade refere-se ao número de operações que se realiza em um ciclo.

O último fator é a concorrência, a qual indica o número de instruções que serão realizadas em um mesmo ciclo. 2.2.1 Modelos de concorrência

A concorrência ou paralelismo é a forma de se obter com mais eficácia poderosos computadores de alto desempenho. Paralelismo significa executar jobs de um ou mais programas simultaneamente. Existem basicamente duas formas de executar essa concorrência: o paralelismo descrito pela técnica de pipeline ou com o uso de dois ou mais processadores interligados para executar uma mesma tarefa. A técnica de pipeline consiste em realizar a concorrência das instruções paralelamente em um processador, e tipo de paralelismo está em nível de hardware. A outra forma de paralelismo se caracteriza pelo ganho na taxa de execução obtido apenas dependente de se acoplar vários processadores existentes para realizarem uma mesma tarefa. Mas, há a necessidade do programador desenvolver seu programa



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explorando esta arquitetura. Para esses modelos de concorrência, o grau de paralelismo pode dar em diferentes níveis de tarefas, descritas a seguir:

• Processamento distribuído: esse tipo de processamento está em nível de

programa, ou seja, diferentes programas realizando diferentes tarefas, e as variáveis (matrizes ou vetores) necessárias em outro (s) processador (es) são transferidos pela interconexão existente no sistema de trocas de mensagens;

• Processamento paralelo: ocorre quando a paralelização está em nível de rotinas e processos. Assim, para um mesmo programa, pode-se dividir suas subrotinas e/ou partes do processo entre os vários processadores;

• Processamento vetorial: a paralelização está em nível de laços e/ou instruções, sendo que a técnica mais empregada neste tipo de procedimento é a técnica de pipeline.

2.2.1.1 Multiprocessadores Uma maneira de aumentar o nível de paralelismo é realizar diferentes instruções sobre os dados com o uso de vários processadores independentes simultaneamente.

Uma gama muito grande de computadores enquadram-se nesta classificação, sendo que a forma de conexão entre eles (interconexão), o número de processadores interligados (granulometria) e, principalmente, a arquitetura da memória (local ou global) são parâmetros que distinguem os vários grupos de multiprocessadores existentes. O tipo de acesso à memória é um fator que abre caminho para duas novas formas bem distintas de desenvolvimento de algoritmos para o maior aproveitamento de sua arquitetura específica. Por um lado, há os computadores com memória global (memória compartilhada), onde todos os processadores têm acesso a ela. Por outro lado, existem os computadores onde cada processador tem sua memória local (memória distribuída). Assim, as alterações são feitas localmente e os dados são conhecidos pelos demais processadores mediante a troca de mensagem ocorrida pela rede. Com estes dois tipos de modelos de sistemas existentes, são apresentadas, algumas vantagens e desvantagens inerentes a ambos os paradigmas de memória: Memória Compartilhada: conforme DeCEGAMA (1989) três problemas ocorrem com este tipo de memória: conflito de software, de hardware e alto custo para escalabilidade. O conflito de software ocorre quando dois ou mais processadores alteram a mesma variável sem a devida sincronização das instruções. Sabe-se, então, que a sincronização dos processos entre os vários processadores tem fator importante para evitar este problema, que é conhecido como racing condition. O conflito de hardware está ligado ao acesso simultâneo de um ou mais processadores à memória, devendo-se também usar métodos de sincronização para o controle de busca e envio de dados na memória pelos diferentes processadores O terceiro empecilho que tem causado o não avanço deste tipo de arquitetura refere-se ao alto custo para aumentar o número de máquinas que podem ser ligadas para acesso à memória. Isto porque para se fazer uma arquitetura em que se tenha, por exemplo, 8 processadores próximos e que tenham acesso à memória, é necessário sistemas de controle de temperatura e de ligação entre processador e memória. Memória Distribuída: conforme DeCEGAMA (1989), é mostrado que os computadores de memória distribuída têm dois tipos de conflito que devem ser ressaltados. O primeiro refere-se a forma de se particionar os dados entre os vários processadores e trocando mensagens para atualizar as dependências entre as várias



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partes divididas do mesmo problema. Contudo, estas trocas de mensagens acarretam uma grande perda de tempo no processo e quanto mais dependente for o algoritmo numérico mais lento é o envio e o recebimento de dados entre os processadores. A outra forma de conflito é a pouca disponibilidade de compiladores autoparalelizantes, ou seja, aqueles que averiguem os pontos que possam ser implicitamente paralelizados sem a necessidade de adaptar os programas existentes para computadores convencionais. Alega-se a insuficiência de tais compiladores devido a complexidade que existe para este procedimento. Mas estes dois problemas de conflito, destacados por DeCEGAMA (1989), têm sido objeto de estudo para serem superados por pesquisadores do mundo inteiro desde há última década (80), citando os trabalhos de NOOR & PETERS (1989), JOHNSSON & MATHUR (1990), FARHAT & ROUX (1991). Estes autores procuram diminuir tal empecilho, estudando novos procedimentos numéricos para se obter o mínimo possível de trocas de mensagens. Isto fez com que novas rotinas, até então já bem definidas, fossem abordadas sob outro enfoque como, por exemplo, a resolução de sistemas lineares advindos do MEF, que de maneira geral, era resolvido mediante métodos diretos. Começaram-se a explorar métodos iterativos para se resolver o mesmo problema, citando-se o trabalho de SCHMIT & LAI (1994).

3 O MEF ADAPTADO AOS MULTICOMPUTADORES

Para a resolução de estruturas via MEF, o procedimento numérico necessário para se obter os parâmetros do domínio da estrutura estudada é, sucintamente, dado por:

a) montagem da matriz de rigidez (KEL) dos elementos de uma estrutura: para cada elemento, calcula-se sua matriz de rigidez local e esta é alocada na posição global da matriz de rigidez da estrutura (K): elemento por elemento;

b) obtenção das ações nodais equivalentes (F): com as ações aplicadas na estrutura, estas são transformadas em forças nodais, montando-se o vetor de ação (F);

c) solução do sistema linear e obtenção dos deslocamentos nodais (U): resolve-se o sistema linear ([K]U=F), obtendo os deslocamentos do domínio da estrutura;

d) cálculo das tensões de cada elemento: com as relações entre tensão-deformação usadas pelo modelo, avaliam-se as tensões de cada elemento.

Como este método (MEF) é baseado em parâmetros que incluam todo o domínio da estrutura, isto faz com que o sistema linear, principalmente a formação da matriz de rigidez da estrutura, tenha dimensões proporcionais ao número de nós vezes o grau de liberdade do modelo usado. Chega-se a uma dicotomia interessante: por um lado, a maior discretização do problema leva a resultados mais próximos do real e, por outro lado, quanto maior esta discretização, maior a necessidade de espaço físico de memória e de manipulação de grande quantidade de dados pelo processador. Isto causa uma limitação de custo e tempo. Assim, o impacto do processamento em paralelo com o uso de metodologias de divisão do problema em subproblemas têm aberto um outro campo de interesse na engenharia.

3.1 Técnica da subestruturação

A técnica da subestruturação consiste em se dividir o domínio da estrutura em subestruturas entre pontos internos (nós internos) e pontos do contorno dessa sub-região (nós externos). Dessa forma, para não se montar a matriz de rigidez com todos os



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parâmetros do domínio da estrutura, relacionam-se os nós internos do domínio com os externos mediante a “condensação” da rigidez desses primeiros e associando-as aos parâmetros externos do contorno da sub-região. Assim, tem-se no final, uma matriz de rigidez apenas em função das incógnitas dos deslocamentos desses nós externos, diminuindo relevantemente o sistema linear a ser resolvido. Após esses deslocamentos dos nós externos de cada sub-região serem conhecidos, calcula-se os deslocamentos e as tensões dos pontos internos. Esquematicamente, tem-se

12

1/2

N O S IN T E R N O SD O D O M IN IO 1

N O S D O C O N T O R N O

D O D O M IN IO 2N O S IN T E R N O S

Figura 3.1 - Esquema da técnica de subestruturação em dois subdomínios

3.2 Decomposição em Domínio

Uma das formas mais imediatas de se usar o paralelismo em elementos finitos é dividindo-se a malha gerada em sub-regiões. Este procedimento é conhecido como a técnica da decomposição em domínio, a qual é empregada subdividindo-se o domínio de um corpo em subdomínios tais que cada um ou vários são alocados em processadores diferentes, independentemente. Esta forma de se resolver um problema de MEF tem sido utilizado por muitos pesquisadores, citando-se os trabalhos de FARHAT & ROUX (1991), SAXENA & PERUCCHIO (1992), BITZARAKIS et al. (1997) e ADELI & KAMAL (1992), que aplicam a técnica de decomposição em domínio.

Para se otimizar a utilização da técnica da decomposição em domínio, deve-se ter em mente que a divisão da malha não deve ser feita aleatoriamente. Isto porque, como cada conjunto de subdomínios vai estar em um determinado processador, nada impede que em cada um desses haja uma maior quantidade de graus de liberdade do que em outro processador, podendo acarretar uma divisão da carga de trabalho desigual. Outro critério também importante para a melhor utilização da técnica de decomposição em domínio, é procurar gerar o menor número possível de nós na interface para que a comunicação entre os processadores seja mínima, ver NASCIMENTO et al. (1997). Aproveitando-se as técnicas da subestruturação, estas têm sido implementadas recentemente no método da decomposição em domínio. O procedimento para esta otimização consiste em se fazer com que as variáveis de cada domínio interno sejam lançadas para as interfaces das subestruturas, sendo que os parâmetro da interface podem ou não estar em um mesmo processador. Resolve-se o sistema particionado entre os processadores apenas com os nós do contorno, fazendo as trocas de mensagens necessárias entre os processos. Finalmente, para cada processador com posse dos deslocamentos das interfaces dos subdomínios, calculam-se seus parâmetros internos.

Cond. estática

dos nós internos

KΓ 1 , FΓ 1

KΓ 2 , FΓ 2⇒ KΓ1 2/

, FΓ1 2/⇒ UΓ½

Ω1 : KΩ 1 , FΩ 1

Ω2 : KΩ 2 , FΩ 2

Ω1 : UΩ 1 , σΩ 1

Ω2 : UΩ 2 , σΩ 2



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3.3 Simples particionamento do sistema linear

No procedimento anterior, mostra-se que para o emprego adequado daquela técnica deve se preocupar, principalmente, com a forma em que a malha é dividida. Com isso, quando se altera o número de processadores, o domínio é dividido de forma diferente, comprometendo o desempenho do algoritmo desenvolvido. Mediante esse “gargalo” apresentado acima e aproveitando-se o trabalho de REZENDE (1995), propõe-se aqui uma outra alternativa de particionamento do domínio para a abordagem em computadores de arquitetura paralela com memória distribuída: o simples particionamento do sistema linear. Antes de se descrever o procedimento propriamente dito, apresenta-se, de forma genérica, o que foi desenvolvido por REZENDE (1995). 3.3.1 Abordagem Nodal

Em REZENDE (1995) é proposto a montagem da matriz de rigidez via abordagem nodal. Assim, determinam-se todos os elementos associados a um mesmo nó e, então, uma varredura de todos os nós é feita e, desta forma, vai se contabilizando a contribuição de todos os elementos para cada nó, montando então a matriz de rigidez da estrutura linha a linha, esquematicamente tem-se

1

3

4

6

5

2

1

3

4

2

Figura 3.2 - Montagem da matriz de rigidez c/ abordagem nodal em um modelo c/ três graus de

liberdade (Adaptado de Rezende (1995). É observado na figura 3.2a, uma malha plana de uma estrutura genérica com a numeração dos elementos e dos nós. Em 3.2b, mostra-se a montagem da matriz de rigidez apenas dos parâmetros do nó 5, e na figura 3.22c esquematiza-se a alocação da parcela referente ao nó 5 na matriz global. 3.3.2 Montagem da matriz de rigidez em paralelo via abordagem nodal

Mesmo o estudo realizado por REZENDE (1995) tendo sido feito pensando em computadores de memória compartilhada, ou seja, todos os processadores têm conhecimento de todas as variáveis do sistema, aproveita-se neste trabalho sua técnica de abordagem nodal para a montagem da matriz de rigidez da estrutura em computadores paralelo de memória distribuída.

Tal fato é possível porque em multicomputadores, para se aproveitar os vários processadores trabalhando concorrentemente, pode-se dividir os graus de liberdade de toda a estrutura dentre os vários processadores impostos e, via abordagem nodal, ir montando linha a linha em cada processo uma subparte da matriz.

Este procedimento difere do apresentado pela técnica da decomposição em domínio, porque neste último divide-se o domínio físico e no que é proposto aqui divide-se o domínio dos graus de liberdade. A grande vantagem da técnica realizada neste trabalho é que o balanceamento de cargas pode ser feito facilmente, já que apenas

(18 x 18)

(a)

[K5]=

x ...... x ...... x x ...... x ...... x

(3 x 18)

(b)

[K] → K5

• •••

(c)



8

com o número total de graus de liberdade e com o número de processadores obtêm-se uma divisão bem equilibrada. Como a quantidade total de graus de liberdade não necessariamente é um valor múltiplo do número de processadores requeridos, a diferença existente entre cada processador, no balanceamento da distribuição, é dada pela seguinte relação apresentada na figura (3.3):

Figura 3.3 – Pseudo-algoritmo e balanceamento da divisão de dados entre os processadores

A abordagem nodal é realizada simultaneamente em todos os processos. O

mesmo procedimento é feito com o vetor de ações e com o vetor deslocamento. Na figura (3.4) mostra-se o procedimento utilizado.

Figura 3.4 - Esquema geral da técnica utilizada para o simples particionamento

3.4 Esforços por elemento

Os esforços que devem ser obtidos em nível de elemento são de fácil obtenção em paralelo. Assim, neste trabalho usou-se os seguintes procedimentos: - fazer com que todos os processadores conheçam os deslocamentos de toda estrutura; - para cada processador, aplicando-se as relações entre deslocamento, deformação e tensão-deformação, obter as deformações e os esforços elemento por elemento; - todos os processadores (escravos), menos o primeiro (mestre), enviam seus valores de deformação e esforços para o mestre imprimir.

η = ( graus de liberdade) ∗ (n° nós ); (total de equações) n = n° de processadores; ( n << η) k = int(η/n) resto = η- nk ∗ P1 → Pn = k (*) Se resto ≠ 0 P1 → Presto = 1 (**)

Fim de Se

Processador (n)

n° de graus de

liberdade Total de (η / n)

P1 P2 ••••• Presto •••• PN-1 PN

k k •••• k •••• k k (*) 1 1 •••• (**)

(k+1) (k+1) •••• (k+1) •••• k k

Leitura de Dados

P1 P2 PN-1 PN • • • • • •

K1= F1=

K2= F2=

KN-1= FN-1=

KN= FN=

• • • • •

Instruções p/ a resolução do sistema

Faça em Paralelo

Fim do Paralelo



9

Na figura (3.5), mostra-se esquematicamente o procedimento discutido neste item.

Figura 3.5 - Esquema geral utilizado para a obtenção dos esforços em cada elemento

3.5 Esforços por nó

Os esforços obtidos por nós, aproveitando-se o procedimento realizado para se obter os esforços por elementos, foram feitos da seguinte maneira: • obtêm-se os esforços nodais deste elemento, alocando estes em um vetor Aux em

uma posição referente ao seu nó; • ao final, todos os processadores enviam este vetor para o processador mestre e assim

faz-se uma somatória global destes esforços; • um vetor é criado com o número de elementos que concorrem nodalmente; • tira-se a média dos esforços por nó.

Esquematicamente, na figura (3.6), é apresentado o que fora feito neste item.

Figura 3.6 - Obtenção do vetor Aux nos diferentes processadores

Resolução do Sistema

U1 U2 UN-1 UN • • • • •

Faça em Paralelo

Uglobal

1Pε

1Pσ

Uglobal

2Pε

2Pσ

Uglobal

1−NPε

1−NPσ

Uglobal

NPε

NPσ

• • • •

Enviam para o processador

Fim Paralelo

Uglobal

Imprime:

k

17

9

Ω1: P1

Γ1/2

Ω2: P2

Aux1 = k

7σ

..

..

..

..

nó k

Aux2 =

kk91 σσ +

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

nó k



10

Após todos os processadores (np) montarem o vetor auxiliar (Aux), enviam-no para o processador mestre, fazendo então a somatória dos esforços e, linha a linha, obtendo os esforços nodais médios, ou seja:

• mestre: Aux = ∑=

np

jjAux

1 ; Média_esforços = ∑

=

nósn

iiConcElem

Aux_

1)

_

(

4 RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR

4.1 Resolução do sistema linear em processamento paralelo

Com o início da utilização do processamento paralelo aplicado ao campo da engenharia, principalmente para a resolução de um sistema linear, os métodos iterativos começaram a se destacar. Isto pelo fato que estes métodos possuem características adequadas a este tipo de arquitetura, como boa versatilidade e o procedimento onde se faz, a cada iteração, o produto matriz-vetor.

A boa versatilidade no tratamento de sistemas esparsos significa que para sistemas muito grandes, pode-se ao invés de se armazenar toda a matriz de rigidez em banda de dimensão )( mn ⋅ , guarda-se - em vetores – apenas as posições diferentes de zero, já que a matriz [K] não irá ser alterada. Em relação ao produto matriz-vetor, a vantagem oferecida pelo método se apresenta, principalmente, para aplicação em sistemas de multicomputadores, já que pode-se dividir os dados da matriz entre os diversos processadores e se realizar o produto sob estes diferentes dados em cada processador local, tendo-se que apenas após este produto, atualizar globalmente o vetor resultante desta operação, trocando-se mensagens.

Alguns trabalhos que comentam as vantagens de se aplicar os métodos iterativos para análise em processamento em paralelo são: CUMINATO & MENEGUETTE (1998), GROSSO & RIGHETTI (1988), LAW (1986) e BITZARAKIS et al. (1997).

Para o trabalho aqui apresentado, a resolução do sistema foi realizada via um método iterativo denominado de método dos gradientes conjugados.

4.2 Método dos Gradientes Conjugados

O Método dos Gradientes Conjugados é aplicado sobre a matriz [K], sendo esta simétrica e positiva definida.

O Método dos Gradientes Conjugados (GC) é baseado na estratégia do método da descida íngreme. Nessa estratégia, é escolhido um ponto U0, como valor inicial, e mediante uma série de aproximação U1, U2, U3...., Un. Assim, aplicando as técnicas do cálculo variacional no sistema linear, chega-se a expressão:

Φ(Up+αrp)= ).().(][)(21 FrUrUKrU T

ppppT

pp ⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅+ ααα

(4.1) onde rp é o vetor resíduo, dado por:



11

rp = ][ 0UKF ⋅− (4.2)

O valor do escalar α para que Φ(Up+αrp ) seja mínimo é

][

pTp

pTp

CRITICO rKrrr⋅⋅

⋅=α (4.3)

e então, a próxima aproximação do vetor U será,

1 pcriticopp rUU ⋅+=+ α (4.4) Para o Método dos Gradientes Conjugados (GC) é usado a estratégia de sempre ir buscando direções ortogonais p0, p1, p2,....., pn-1 às direções já calculadas no passo anterior. Para cada uma dessas direções, se encontrará uma das coordenadas de U, com isso, após n passos, que é a dimensão de U, o processo terminará e a solução procurada é encontrada. A aproximação do vetor U fica neste processo:

1 jjjj puu α+=+ (4.5) e a garantia para atingir a ortogonalidade das direções de pi e pi+1 de forma que sejam K- ortogonais é: 0][ =⋅⋅ j

Ti pKp , para i ≠ j (4.6)

e o pseudo- algoritmo do Método dos Gradientes Conjugados é apresentado na figura (4.1).

Os teoremas (4.1) e (4.2), que têm suas respectivas demonstrações em CUMINATO & MENEGUETTE (1998) e LUENBERGER (1969), complementam os critérios de convergência do método: Teorema 4.1: Se as direções de busca p0,....., pn-1 são K-conjugados (K-ortogonais)

e o escalar αj é escolhido da forma que: ][][

jTj

jTj

j pKprKp

⋅⋅

⋅⋅−=α então o processo

termina em, no máximo, n passos, onde n é a dimensão da matriz quadrada [K]. Teorema 4.2: Seja [K] simétrica e definida positiva, o algoritmo dos GC produz uma seqüência de vetores U0,.. , Uj.., com a seguinte propriedade:

κ

κκ )

11(2 0

+−

⋅−⋅≤−KKj UUUU (4.7)

onde κ= λλ

max

mine λmáx e λmín são, respectivamente, o maior e o menor autovalor de [K] e

κ é conhecido como número de condição. Em relação ao que foi exposto nos teoremas (4.1) e (4.2), duas questões têm que ser salientadas:



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1) Pelo teorema (4.1), o Método dos GC é matematicamente um método direto. Isto porque se conhece inicialmente o número máximo de iterações. Mas, numericamente, em virtude da limitada precisão numérica computacional existente, as direções conjugadas não são precisamente alcançadas, fazendo com que - muitas vezes – o limite de convergência não seja finito. Costuma-se chamá-lo , de método iterativo.

Figura 4.1 – Pseudo-algoritmo do método dos gradientes conjugados

2) Pelo teorema (4.2) e pela equação (4.7) dois fatores influenciam na convergência do método dos gradientes conjugados: a aproximação inicial U0 e no número de condição (κ). • Em relação a aproximação inicial, em geral, na literatura é comentado que este fator é de pouca importância para a eficiência do método. Entretanto, no trabalho de SCHMIT & LAI (1994) é apresentado um estudo de otimização onde se obtêm uma aproximação inicial para o vetor U0. E nos últimos anos, a pesquisa na área de inteligência artificial tem dado atenção a este item, onde a estratégia é criar bancos de dados de deformações e/ou de esforços de determinados modelos estruturais e, assim, aplicar algoritmos especiais - conhecidos como meta-algoritmos – para se otimizar a aplicação deste método. No trabalho de GROSSO & RIGHETTI (1988) é feito um estudo introdutório neste assunto para aplicação no MEF. •Pela equação (4.9), nota-se que a influência da variação do número de condição (κ) na convergência do método, é mais significativo do que a aproximação inicial U0, assim, quanto maior é a diferença entre os autovalores da matriz [K], mais demorada é a convergência do método. Assim, busca-se técnicas para se ter um número de condição (κ) de [K] o mais próximo do valor unitário. Nos últimos cinco anos, extensos estudos têm sido dedicados à busca de técnicas matemáticas para se obter um número de condição (κ) o mais próximo do valor um.

A idéia básica é de ao invés de se resolver o sistema ][ FUK =⋅ , resolve-se um sistema do tipo ][][][ FMUKM ⋅=⋅⋅ , tal que a matriz obtida do produto seja o mais próximo possível da matriz identidade. Esta matriz [M], é conhecida como pré-condicionador, que nada mais é do que um acelerador de convergência para o método.

4.3 Pacote PIM

Para a implementação em paralelo do método dos Gradientes Conjugados (GC) utilizou-se o pacote de subrotinas PIM, ver CUNHA & HOPKINS (1998), que foi desenvolvido para a resolução em ambiente paralelo de sistemas lineares.

→ p0 = r0 = F - K U0

→ j = 1

→ Enquanto rj < ε (critério de parada)

→ α jjT

j

jT

j

r r

p K p=

⋅

⋅ ⋅

→ Uj+1 = Uj + αj pj

→ rj+1 = rj - αj K pj

→ βjjT

j

jT

j

r r

r r=

⋅

⋅+ +1 1

→ pj+1 = rj+1 + βj+1 pj

→ j =j + 1

→ Fim Enquanto



13

O pacote PIM, tem o intuito de dar total liberdade ao usuário no que se refere ao armazenamento da matriz, bem como oferecer portabilidade aos diversos tipos de ambientes de programação em computadores paralelos. Para se atingir estes dois fatores, três pontos que são de responsabilidade do usuário para serem implementados no método são:

• O produto matriz-vetor; • A implementação com o pré-condicionador (se houver); • Produtos internos dos escalares e critério de parada.

4.3.1 Produto matriz-vetor Apresenta-se aqui a metodologia heurística desenvolvida para se poder aproveitar as características advindas do modelo do MEF comum: simetria e esparsidade. Para se realizar o produto matriz-vetor de um sistema em banda é necessário efetuar o produto de cada valor da matriz duas vezes (menos para os valores da primeira coluna que representam a diagonal principal), ou seja:

• Para a linha i, o valor [Kij] multiplica o valor do vetor Uj, armazenando este valor na linha i (se i≠j);

• Para a linha j, o valor [Kij] multiplica o valor do vetor Ui e armazena-o em j (se i≠j).

Desta forma, na figura (4.2) mostra-se esquematicamente o procedimento

empregado para se executar o produto matriz-vetor sendo a matriz em semibanda em paralelo. Na figura (4.3), apresenta-se esquematicamente o procedimento em forma de pseudocódigo da metodologia empregada para se fazer o produto matriz-vetor com a matriz em semibanda. Resumidamente, tal procedimento é explicado como:

Figura 4.2 – Produto matriz-vetor para multicomputadores

P1 P2 P3 P4 .

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

a b cd e fg h i

j k l

• •

=

Aa+Bb+Cc+Dd+Ee+Ff+Gg+Hh+Ii Ba+Jb+Kc+Ld+Me+Nf+Og+Ph+Qi+Rj

Ca+Kb+ • • • • Da+Lb+ • • • • Ea+Mb+ • • • • Fa+Nb+ • • • •

Ga+Ob+ • • • • Ha+Pb+ • • • • Ia+Qb+ • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

→ valores que devem ser conhecidos pelo processador 2 → valores que devem ser conhecidos pelo processador 3 → valores que devem ser conhecidos pelo processador 4

→ envio dos subprodutos

LEGENDA:



14

• Para cada processador em cada passo, gera-se um vetor auxiliar (Aux) que contenha as características do deslocamento (U), que é referente aos valores das posições armazenadas em sua memória local e as posições que estão nos processadores adjacentes que influenciam em seu produto local. Desta forma é necessário fazer troca de mensagem destes valores não conhecidos por cada processador.

• Para cada processador, obtêm-se os valores do vetor (V) resultante do produto local, os quais foram gerados pelo próprio processo. Cria-se um outro vetor auxiliar (S) que armazena os valores de um produto local, advindo da simetria, mas, que devem ser conhecidos pelos processadores adjacentes;

• Finalmente, em cada processador - menos o primeiro – somam-se os seus valores resultantes locais com os produtos gerados pela simetria, ou seja o vetor (S), que foram obtidos pelos outros processadores adjacentes.

Figura 4.3 – Procedimento esquemático do algoritmo para o produto matriz-vetor 4.3.2 Produto Interno

Conforme apresentado pelo algoritmo da figura (4.1), verifica-se a necessidade de se realizar um produto interno do tipo vuT ⋅=α ∑ =

⋅=n

i ii vu1

, onde u e v são vetores distribuídos dentro dos diversos processadores. Sem perda de

generalidade, assume-se que cada processador armazena n p elementos, onde n é o total de graus de liberdade da estrutura e p é número de processadores. Este procedimento computacional em paralelo pode ser dividido em três partes:

1. A computação local de cada processador é dada por β j =

∑ =⋅

pn

i ii vu1

para cada processador; 2. A acumulação dos valores de β j é feita através da seguinte forma

apresentada na figura (4.4), com um exemplo com 7 processadores em grupo e obtêm-se:α β=

=∑ jj

p

1 e armazena-se no processo pai

VP2= [K]Aux S= [K] UP2 VP2= VP2+SP2

VPn-1=[K]Aux S=[K] UPn-1 VPn-1= VPn-1+SPn-1

• •

VP1= [K]Aux S= [K] UP1

UP1 UP2 .... UPk

Aux =

P2→Pn

UP2 UP3 .... UPk

Aux =

P3→Pn

UPn-1 UPn

Aux =

Pn

VPn=[K]UPn VPn= VPn+SPn

UPn Aux =

P1 P2 Pn-1 Pn

Pi→Pj : processador i envia para os processadores (i+1) até j



15

Figura 4.4 – Modelo de transferência de dados em árvore

3. Transmite-se, assim, para todos os processadores o valor de .α

5 PRÉ-CONDICIONADORES

5.1 Introdução

A técnica do pré-condicionamento consiste em transformar a equação (3.1) em um sistema equivalente do tipo:

~~~][][][ FUK =⋅ (5.1)

Para que isto não ocorra, as características da matriz pré-condicionadora [M]

tem quer ser as mesmas que a da matriz de rigidez [K], para garantir a equivalência de sistemas e com isso as mesmas propriedades necessárias para o método dos GC. Além disso, esta matriz [M] tem que ser uma boa aproximação da matriz [K], mas que tenha uma estrutura tal que seja fácil obter a sua inversa. Em resumo, a técnica de pré-condicionamento consiste em se pré-multiplicar o sistema linear de modo que a matriz

gerada pelo produto ~

][K = ][][ 1 KM ⋅− seja melhor condicionada que a matriz original [K]. Isto é possível fazendo com que a matriz [M]-1 se aproxime de [K]-1. Ou seja, do sistema inicial, pré-multiplica-se pela inversa da matriz pré-condicionadora:

][])[]([ 11 FMUKM ⋅=⋅⋅ −− (5.2)

a matriz de rigidez alterada ( ][~K ) melhor condicionada é dada por:

][~K = ][][ 1 KM ⋅− (5.3)

de modo que quanto mais [M]-1 se aproxime de [K]-1, tem-se, no limite, a relação A estratégia numérica buscada no estudo destes pré-condicionadores é a obtenção de uma matriz especial que seja a mais próxima possível da inversa de [K],

β4 β5 β6 β7

β2 β3

β1

lim 1)(~

=Kκ ou lim 1=ite M-1→K-1 M-1→K-1

(5.4)



16

contudo, com um reduzido esforço computacional para a sua montagem e a garantia da eficácia para a convergência do sistema equivalente.

5.2 Algoritmo do método GC com pré-condicionamento

A adaptação do pseudo-algoritmo apresentado pela figura (4.1) do método dos GC puro, considerando-se o efeito do pré-condicionamento, é feita da seguinte forma

][][][ 11~

UKMFMr p ⋅⋅−⋅= −− (5.5) Ou, implicitamente, pode se escrever a equação (5.5) da seguinte maneira:

][ 1~

pp rMr ⋅= − (5.6)

Assim, a figura (5.1) apresenta o pseudo-algoritmo implícito para a implementação com um pré-condicionador genérico.

Figura 5.1 – Pseudo-algoritmo do método GC com pré-condicionador

Foram implementados neste trabalho 2 tipos de pré-condicionadores: decomposição incompleta de Cholesky (IC :Incomplete Cholesky), e o advindo de uma série polinomial truncada, conhecido na literatura como POLY.

5.3 Decomposição Incompleta de Cholesky (IC)

O IC parte da idéia de se obter a matriz pré-condicionadora pela fatorização de [K] em uma decomposição de Cholesky, ou seja

][][][ TLLK ⋅= (5.7) onde [L] é uma matriz triangular inferior e [LT] é a sua transposta.

Nestas matrizes triangulares, os valores negligenciados podem ocorrer em lugares arbitrários3 (mas fora da diagonal principal) e as posições (i,j) não nulas serão indicadas por um conjunto P que é descrito a seguir:

3 Não tão arbitrários assim, pois dependendo da escolha destas posições, a matriz incompleta [L] pode não ser positiva-definida.

→ r0 = F - K U0

→ montar [M]-1 → z0 = [M]-1. r0

→ p0 = z0 / j = 0

→ Enquanto (algum critério de parada)

→ j

Tj

jTj

j pKpzr⋅⋅

⋅=α

→ Uj+1 = Uj + αj pj

→ rj+1 = rj - αj K pj

→ zj+1 = [M]-1. rj+1

→ j

Tj

jTj

j zrzr⋅

⋅= ++ 11β

→ pj+1 = zj+1 + βj+1 pj

→ j =j + 1

→ Fim Enquanto



17

P ⊂ PN ≡ (i , j) | i ≠ j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n (5.8) Desta forma, pode-se escolher um campo de preenchimento das matrizes [L], onde o par (i,j) indicará as posições de todos os valores diferentes de zero.

Por exemplo, seja o campo dado pelo conjunto:

P1 ≡ (i , j) ⎪ |i - j| ≠ 0, 1, 2 (i, j = 1 ... n) (5.9) Sendo este campo esquematicamente representado pelas seguintes posições indicadas em P1:

Figura 5.2 –Campo considerado de [K] para montar [L] Assim, ao se montar as matrizes [L], apenas as posições dadas pelo conjunto P1 serão consideradas e as demais serão anuladas. Apresenta-se na figura (5.3), o pseudo-algoritmo conhecido na literatura – por exemplo em GOLUB & LOAN (1984) - que constrói a matriz triangular inferior [L] através da matriz original do sistema [K], sendo que este pseudo-algoritmo foi adaptado para se armazenar a matriz [L] em banda, onde m é o comprimento de semibanda.

Figura 5.3 – Pseudo-algoritmo da montagem de [L] no método IC

5.3.1 Variações dos espectros sobre L

Desenvolveu-se um algoritmo em que o espectro de influência sobre as posições não nulas na matriz [L] são variáveis de entrada do problema. Pode-se, assim, ser escolhido o comprimento de influência das diagonais a partir da diagonal principal, como também a partir da última diagonal não nula, conforme figura (5.4). Desta forma, utiliza-se o pseudo-algoritmo mostrado na figura (5.1), adaptando-o para que as posições de influência determinada pelo campo de m1 e m2 sejam consideradas, negligenciando os valores fora deste espectro para se montar [L].

eda

bc

[K] =

0

0 aij → | i-j | = 0

bij , dij → | i-j | = 1

cij , eij → | i-j | = 2

(i, j = 1 ... n)

→ Faça i = 1, n

→ Faça j = 1 , m

→ L(i,j) = K(i,j)

→Fim de Faça

→Fim de Faça

Faça k=1, n

L(k,1)= )1,(kL

Faça i =2, m

L(k,i) =L(k,i) / L(k,1)

Fim de Faça

aux=1

Faça j = k+1, n

aux = aux+1

Faça i=1, m

se (aux ≤ m) a1=L(k,aux)

senão a1=0

se (j-k+i > m) a2=0

senão a2 = L(k,j-k+i)

se (L(j,i) = 0) L(j,i)=0

senão

L(j,i) =L(j,i) - 12 aa ⋅

Fim de faça

Fim de faça

Fim de faça



18

Figura 5.4 – Espectro de influência de m1 e m2 sobre [K]

Como os valores de m1 e m2 podem não ser iguais, neste trabalho não poderia ser utilizado a abreviatura apresentada em MEIJERINK & van der VORST (1977). Por isso, criou-se uma referência específica para a abreviação do método para se incluir os parâmetros m1 e m2.Como exemplo, considere um campo de P tal que m1 = 4 e m2 = 3. Assim, o conjunto P será denominado de 2

1

mmP e será dado por:

3

4P ≡ (i , j) ⎪ |i - j| ≠ 0, 1, 2,3,m-3,m-2,m-1 (5.10) A notação para a utilização do método dos gradientes conjugados com este pré-condicionador com influência genérica, será indicada por ICCG(m1,m2). 5.3.2 Paralelização do método IC

Nota-se pelo pseudo-algoritmo da figura (5.1) que este é próprio para se realizar em programação seqüencial, já que a técnica em si é feita percorrendo-se todas as linhas da matriz [K] e, então, a partir de cada linha, que chamaremos de linha-base, altera-se as demais linhas e colunas abaixo desta linha–base, procedendo assim para cada variação da linha-base. Para os diversos processadores que têm domínio sobre as linhas que estão abaixo da linha-base, estes tem que esperar o processador que tem controle da linha-base realizar a instrução sobre sua linha. Em seguida, este processador envia esta linha para os processadores inferiores. Só então, estes podem realizar sua instrução. Percebe-se, também, que se o (s) processador (es) tem (têm) domínio sobre as linhas que estão acima da linha-base, e este (s) tem que ficar ocioso (s) esperando o final do processo. A seguir, mostra-se de forma esquemática o procedimento discutido.

Figura 5.5 – Obtenção da matriz [L] em programação paralela

5.4 Pré-condicionador Polinomial

O pré-condicionador polinomial é uma outra técnica para se obter a aproximação da inversa da matriz [K], mediante uma aproximação para a inversa desta matriz com o

Processador (P1) : ociosoP1

P2

P3

P4

Processador (P2) envia linha-base p/ P3 e P4 e realiza seu processo

LINHA-BASE

Processador (P3) : recebe linha-base e realiza seu processo

Processador (P4) : recebe linha base e realiza seu processo

mm1

simétrico

0 [K] =



19

uso de uma expansão polinomial em potências de [K]. Parte-se, inicialmente, da hipótese de que a matriz [K] tem que ser simétrica e positiva-definida e, então, pode-se reescrevê-la da seguinte forma:

[ ] [ ] ([ ] [ ] [ ])K D I D KS S= ⋅ + ⋅−−

1 (5.11) e, portanto, pode-se mostrar que se obtêm

1

0

11 ][])[]([)1(][ −−∞

=

−− ∑ ⋅−= SJ

JS

J DKDK (5.15)

5.4.1 Pré-Condicionador Polinomial Incompleto

Neste trabalho, extrapolando o conceito da fatorização incompleta apresentada no item anterior, aplicou-se esta técnica para a série polinomial.

Para cada aproximação da série pelo truncamento da potência, realizou-se também um truncamento sobre o número de colunas da matriz que está sendo multiplicada por ela mesma, ou seja, JK ][ . Monta-se, então, a aproximação pela série, considerando apenas as colunas que estejam mais próximas da diagonal principal, já que são estes elementos que tem valores mais relevantes para obtenção da inversa de [K].

Em função da possibilidade de se variar o espectro de influência sobre o produto da matriz por ela mesma, desenvolveu-se uma outra notação para especificar o tipo de série polinomial e o número de diagonais (m1), a partir da diagonal principal, que serão consideradas. Desta forma utilizando a notação apresentada anteriormente incluiu-se apenas o número de diagonais, ou seja, a notação fica POLY (nT , m1).

5.5 Aplicações

Apresenta-se dois exemplos em que se comparam os dois métodos de pré-condicionamento. Foram consideradas todas as colunas para o POLY, se indicará a forma POLY(nT , m), onde m representa o comprimento de semibanda. Os resultados foram obtidos em um microcomputador PENTIUM II 300 com 64 Mbytes e em programação seqüencial. 5.5.1 Placa quadrada simplesmente apoiada

O modelo utilizado foi uma estrutura bidimensional de placa com elementos DKT, sendo que as características geométricas do material e o tipo de carregamento é apresentado a seguir. Também tem-se os resultados para o sistema sem o uso de pré-condicionadores, considerando a matriz identidade como pré-condicionador.



20

Figura 5.6 – Esquema da placa, sua orientação e parâmetros de geometria e do material

Figura 5.7a – Curva (número de iterações x N° de equações) para aplaca apoiada ao longo do

bordo Figura 5.7b – Curva (tempo x N° de equações) para aplaca apoiada ao longo do bordo

Destaca-se o uso do )8,6(ICCG , que apresentou uma alta convergência tanto em termos de número de iterações quanto em tempo.

O POLY(4,m), ou seja, o polinomial considerando-se todos os valores da matriz [K] na montagem implícita da inversa de [K], demostrou alta convergência para o número de iteração. Mas em função da grande quantidade de operações necessárias o seu tempo de resposta foi deficitário. A adaptação adotada aqui para a montagem incompleta do POLY(2,5), mostrou-se eficaz neste exemplo, sendo efetiva em termos do baixo tempo necessário para convergência. 5.5.2 Chapa retangular com lados paralelos

Neste exemplo são apresentado os resultados de convergência, tanto em número de iterações quanto em tempo, de uma estrutura plana formada por elementos de chapa. O elemento finito utilizado para discretizar o modelo é o CST. Assim, na figura (5.8) é mostrado a estrutura discretizada, a orientação dos elementos e as características adotadas.

q

q

L

t = 1,0 L = 1,0 q = 1 E = 10,92 ν = 0,3 ε = 1E-4 U0T = 0..0...0....0 norma euclidiana aplicado ao resíduo

Convergência com pré-condicionadoresPlaca apoiada no bordo

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Número de equações

Tem

po (s

)

ICCG(4,3)ICCG(6,8)POLY(0)POLY(2,5)POLY(4,m)Identidade

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000


Núm

ero

de it

eraç

ões

ICCG(4,3)ICCG(6,8)POLY(0)POLY(2,5)POLY(4,m)Identidade

a) b)



21

Figura 5.8 – Esquema da chapa, sua orientação e parâmetros de geometria e do material

Figura 5.9 – Curvas para a chapa

Para este exemplo, os resultados encontrados com o uso do pré-condicionador ICCG(6,6) mostrou ser bem mais efetivo que os encontrados pelos demais pré-condicionadores. O tempo de convergência com o uso do ICCG(6,6) foi aproximadamente 60% menor que o encontrado pelo segundo melhor pré-condicionador - Poly(2,5). Neste exemplo, o Poly(0) mostrou-se pouco eficiente quando comparado com o exemplo anterior, apresentando nenhuma vantagem em relação ao método puro dos gradientes conjugados (sem pré-condicionador). O Poly(4,m) não revelou bons resultados de convergência nem em tempo e nem em número de iterações.

6 APLICAÇÕES EM PROCESSAMENTO PARALELO

6.1 Introdução

Este item apresenta dois exemplos de estruturas que foram analisadas em processamento paralelo: pavimento e treliça tridimensional.

Para o primeiro caso, faz-se uma adaptação completa do código sequencial deste modelo para computadores de arquitetura paralela. Assim, a ambientalização em paralelo começa a partir da leitura de dados até a obtenção dos esforços de cada elemento.

Com os resultados de tempo conseguidos com a variação do número de processadores, fez-se assim a medida de desempenho de cada conjunto: número de processador e pré-condicionadores. Tal análise é necessária para mostrar a menor ou maior eficiência do uso do paralelismo nos dois exemplos com os pré-condicionadores utilizados. Ressalta-se que os resultados são obtidos na máquina do CISC localizado no campus da USP em São Carlos, sendo um computador com arquitetura paralela do tipo IBM 9900/SP com 3 processadores com 256 Mbytes por nó, ver TUTORIAL do IBM (1998) e TUTORIAIS do CISC (1998).

Número de Iterações x Número de Equações - Chapa

0

400

800

1200

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Núm ero de Equações

Núm

ero

de It

eraç

ões

ICCG(6,6)

ICCG(4,3)

Poly(0)

Poly(2,5)

Poly(4,m)

Ident idade

2L

L

Modelo E = 1,0 ν = 0,25 L = 4,0 F = 1,0 t = 1,0 ε = 1E-4 U0T= 0..0...0....0 norma euclidiana aplicado ao resíduo

Tempo x Número de Equações - Chapa

0

250

500

750

1000

0 4000 8000 12000Núm ero de Equações

Tem

po (s

)

ICCG(6,6)

ICCG(4,3)

Poly(0)

Poly(2,5)

Poly(4,m)

Ident idade



22

6.2 Treliça Tridimensional

Figura 6.1 - Planta e perspectiva do modelo de treliça

A seguir, nas tabelas de (6.1) a (6.4), são apresentados os gráficos de speed-up por número de processadores e de eficiência por número de processadores.

Para o caso dos pré-condicionadores advindo da decomposição incompleta de Cholesky, escolheu-se 3 pré-condicionadores: ICCG(6,8), ICCG(4,3) e ICCG(3,1).

Figura 6.2 –Eficiência e Speed-up da rede A

Rede A - Eficiência

0

25

50

75

100

1 2 3Número de Processadores

Efic

iênc

ia (%

)

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)

Sem pré-condicionador

Ideal

Rede B - Speed-up

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 2 3

Número de Processadores

Spee

d-up

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)


Ideal

Rede A: 19208 elementos e 4901 nós Rede B: 63368 elementos e 16021 nós Rede C: 95048 elementos e 23981 nós



23

Figura 6.3 – Eficiência e Speed-up da rede B Os valores de speed-up e de eficiência encontrados para a treliça demonstram, como era de se esperar, que o uso do paralelismo só se torna significativo quando tem-se um número de equações do sistema relativamente grande, ou seja, a partir do modelo B. Pelos valores encontrados para o modelo B, tanto para speed-up como para

Figura 6.4 –Convergência em termos de tempo da rede B e C

eficiência, nota-se que com a maior quantidade de trocas de mensagens e também com a maior dependência entre os diversos processadores, que ocorre com o uso dos pré-condicionadores do tipo ICCG, a performance do sistema diminui a medida que aumenta-se o número de processadores, no caso de 1, 2 e 3. Por outro lado, um outro fator que, também, deve ser considerado na performance do programa é o seu tempo comparativo de convergência para os diversos pré-condicionadores sob os diversos processadores. Já que os medidores de desempenho são parâmetros de comparação de eficiência do paralelismo no código computacional, mas não mostrando a performance relativa de tempo entre os diferentes pré-condicionadores. Por exemplo, o valor do speed-up para a rede B com o pré-condicionador ICCG(6,8) foi de 1,9 enquanto que sem o uso de pré-condicionador obteve-se um speed-up de 2,4, ambos com 3 processadores. Por outro lado, o tempo requerido para resolver o sistema com o pré-condicionador ICCG(6,8) foi em torno de 5000 segundos e o tempo sem pré-condicionador foi da ordem de 15000 segundos. Assim, na figura (6.4) é apresentado os tempos de resolução das diversas redes sob os diversos aceleradores de convergência. Para confirmar a eficiência em termos de tempo dos pré-condicionadores ICCG(6,8) e ICCG(4,3) com 3 processadores, na figura (6.5) é plotado para as diversas redes deste modelo, uma curva associando o número de graus de liberdade versus o tempo de processamento, sendo que isto foi feito para três processadores.

Rede B - Tempo x Número de processadores

0

10000

20000

30000

40000

1 2 3


Tem

po (s

)

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)

Sem pr é-condicionador

Rede C - Tempo x Número de processadores

0

20000

40000

60000

80000

1 2 3


Tem

po (s

)

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)


Rede B - Eficiência

0

25

50

75

100


Efic

iênc

ia (%

)

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)


Ideal

Speed-up - Pavimento B

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 2 3

N úmero de Processadores

MPC - ICCG(6,6)

MPC - ICCG(3,1)

Mont ar Sist ema

Obter esf orços

Resolver KU=F - ICCG(6,6)


Resolver KU=F - Poly(0)



24

Figura 6.5 –Curva (Tempo x N° de equações) para a treliça

O último ponto da curva da figura (6.5) foi realizado em uma rede com 113288 elementos e 28561 nós, ou seja, com 85683 incógnitas no sistema linear.

6.3 Pavimento Quadrado

Para este modelo, discretizou-se a estrutura em elementos finitos de placa e de viga formando o pavimento e foi considerado duas redes e a norma utilizada no método dos gradientes conjugados é a norma euclidiana aplicada sobre o vetor resíduo e a precisão é de 1E-4 (ε = 1E-4).

Figura 6.6 –Esquema do pavimento analisado e suas características

Nas figuras (6.7) a (6.11), apresenta-se os valores de speed-up e de eficiência para as duas redes adotadas. É mostrado estes valores de eficiência para todos os processos relevantes para resolução do problema em MEF. Assim, obtêm-se valores de tempo em ambiente paralelo para:

Leitura de dados e montagem do sistema linear; Montagem do pré-condicionador do tipo ICCG (MPC); Resolução do sistema; Obtenção dos esforços.

Treliça - 3 processadores

0

20000

40000

60000

80000

0 25000 50000 75000 100000


Tem

po (s

)

ICCG(6,8)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)


L

L = 600 cm

HVIGA = 50 cm

bVIGA = 10 cm

HLAJE = 7 cm

Jtorção = 1E-4 cm4

E = 2500 kN/cm2

ν = 0,25

q = 1E-3 kN/cm2

Redes adotadas

Pavimento A: 11250 elementos de placa e 314 elementos de viga; Pavimento B: 33800 elementos de placa e 534 elementos de viga;



25

Figura 6.7 – Speed-up para o pavimento A

Figura 6.8 –Eficiência para o pavimento A

Figura 6.9 – Speed-up para o pavimento B

Eficiência - Pavimento A

0

25

50

75

100

1 2 3Núm e ro de Proce s s adore s

Efic

iênc

ia (%

)

MP C - ICCG( 6,6)

MP C - ICCG( 3,1)

Mont ar S ist ema

Obt er esf orç os

Resolver K U=F - ICCG( 6,6)

Resolver K U=F - ICCG( 3,1)

Resolver K U=F - P oly ( 0)

Speed-up - Pavimento A

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3


Spee

d-up

MPC - ICCG(6,6)

MPC - ICCG(3,1)

Montar Sistema

Obter esforços

Resolver KU=F -ICCG(6,6)Resolver KU=F -ICCG(3,1)Resolver KU=F - Poly(0)

Speed-up - Pavimento B

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 2 3


Spee

d-up

MPC - ICCG(6,6)

MPC - ICCG(3,1)

Montar Sistema

Obter esforços






26

Figura 6.10 – Eficiência para o pavimento B Em relação aos valores obtidos de eficiência para os diferentes procedimentos na análise deste pavimento, apresenta-se a seguir conclusões preliminares destes resultados encontrados: Leitura de dados e montagem do sistema linear: averigua-se que em função deste procedimento ser um caso em que o paralelismo é realizado sem a necessidade de trocas de mensagens entre os processadores, ou seja, uma completa independência no tratamento dos dados, os valores de eficiência tanto para o pavimento A quanto para B, levaram a excelentes resultados de performance. Sem perda de generalidade, pode-se afirmar que para este caso a eficiência é ideal para a abordagem em multiprocessadores. Montagem do pré-condicionador do tipo ICCG: a montagem deste tipo de pré-condicionador é um procedimento ineficiente no tratamento em ambiente paralelo, principalmente a medida em que se aumenta a escalabilidade do sistema. Isto ocorre, pois a montagem de uma matriz do tipo ICCG leva a ociosidade dos processadores que já realizaram as mudanças sobre as suas linhas na matriz. Resolução do sistema: o POLY(0) mostrou ser mais eficiente do que o do tipo ICCG, chegando a ter para o pavimento B um speed-up de 1,52, ou seja, uma eficiência de 51%. Acredita-se que a eficiência para o pré-condicionador do tipo ICCG venha a se evidenciar com o aumento do sistema linear e do número de processadores no ambiente paralelo, conforme pode ser observado nas figuras de (6.7) a (6.10). Obtenção de esforços: a obtenção dos esforços de todo o pavimento e o envio destes valores para um único processador para impressão, mostrou ser o procedimento mais ineficiente em todo o processamento paralelo neste modelo. Isto deve ter ocorrido, pois para a obtenção dos esforços médio nos nós, tem-se que os elementos que concorrem em um determinado nó não estejam armazenados no mesmo processador, assim há a necessidade de trocas de mensagens, e em virtude de se realizar paralelismo em um número pequeno de dados, isto causa um “gargalo” no tratamento destes dados em paralelo. A seguir, mostra-se as curvas de tempo versus número de processadores para as duas redes analisadas sob os diferentes pré-condicionadores.

Eficiência - Pavimento B

0

25

50

75

100

1 2 3


Efic

iênc

ia (%

)

MPC -ICCG(6,6)

MPC - ICCG(3,1)

Montar Sistema

Obter esforços






27

Figura 6.11 – Convergência em termos de tempo do pavimento A

Figura 6.12 – Convergência em termos de tempo do pavimento B

Conforme mostra as figuras (6.11) e (6.12), o pré-condicionador POLY(0) demostra ser o mais eficiente para análise em paralelo para este modelo. Assim a medida que aumenta-se o número de incógnitas do sistema a ser resolvido e com aumento do número de processadores, percebe-se que o tempo para resolução do sistema vai diminuindo.

O pré-condicionador ICCG(6,6) mostra-se mais eficiente em um único processador em relação ao POLY(0), mas vai perdendo sua performance no sistema com 2 processadores e começa lentamente a melhorar o tempo de resposta para 3 processadores, mas ainda não alcançando a performance em paralelo que o pré-condicionador POLY(0) demostra.

7 CONCLUSÃO

O presente trabalho teve o intuito de adaptar um código computacional advindo do método dos elementos finitos aplicado na análise de uma estrutura por MEF em multicomputadores. Convêm ressaltar que o ponto de “gargalo” para a otimização do método em processamento paralelo ocorre justamente na resolução do sistema. Assim,

Tempo (s) x Número de Processadores Pavimento A

0

2500

5000

7500

10000

1 2 3Núm ero de Processadores

Tem

po (s

)

ICCG(6,6)

ICCG(4,3)

ICCG(3,1)

Poly(0)

Tempo x Número de Processadores Pavimento B

0

20000

40000

60000

80000

1 2 3

Núm e ro de Proce s s adore s

Tem

po (s

)

ICCG(6,3)

ICCG(6,6)

ICCG(3,1)

Poly ( 0)



28

para se adaptar o MEF para este tipo de arquitetura, é necessário dar ênfase a esta fase, sendo os demais procedimentos, de certa forma, corriqueiros na paralelização. Para a montagem do sistema linear, utilizou-se o procedimento proposto por REZENDE (1995). A grande vantagem oferecida por esta técnica, comparada com a técnica da decomposição em domínio, é que para esta última é necessário aplicar um pré-processador para se redividir a rede, de tal modo a se obter um balanceamento equilibrado dentre os vários processadores. Na técnica aqui empregada, o balanceamento de carga é obtido naturalmente. Para a resolução do sistema linear, utilizou-se um método iterativo denominado de gradiente conjugado. Esta técnica adequou-se bem na análise em multicomputadores, pois, para cada passo, é necessário realizar um produto matriz-vetor, sendo este procedimento bem adequado na realização em paralelo. Implementou-se este produto levando-se em consideração a simetria e a esparsidade características do sistema. Com isso, aumentou-se a dependência entre os diversos processadores, mas procurando-se não perder o potencial oferecido pelo produto sob diversos processadores, e em virtude dos resultados encontrados, este resultado demonstrou ser eficiente.

Implementou-se também a soma global de um escalar, que é originado do produto interno local de cada processador, advindo tanto para a procura da direção que resolva o sistema quanto para o escalar originado pela norma utilizada. O grande obstáculo que existe na utilização do MGC é a dependência para convergência do método em relação ao número de condição da matriz de rigidez. Assim, o método pode se tornar eficiente ou ineficiente conforme as características intrínsecas deste sistema.

Para solucionar este problema, é comum aplicar o pré-condicionamento sobre o sistema, a fim de tornar o método mais eficaz. Assim, neste trabalho, inicialmente foi proposto o estudo e a implementação de um tipo de pré-condicionador em paralelo: decomposição incompleta de Cholesky (IC); considerando-se 3 e 6 diagonais na matriz incompleta ([L]). Mas, generalizou-se este modelo em paralelo para poder considerar qualquer combinação de diagonais extras na montagem de [L], além de se fazer um estudo de convergência numérica em processamento seqüencial para o pré-condicionador polinomial também generalizado advindo de uma série truncada (POLY).

Para este segundo caso, além de se utilizar o procedimento convencional para aplicar o POLY, testou-se aqui em processamento seqüencial - como extensão da idéia da decomposição incompleta - a montagem da inversa da matriz de rigidez pela aproximação da série, levando-se em consideração apenas algumas colunas da matriz originária, diminuindo-se, assim, o número de instruções a serem realizadas. Mostrou esta adaptação resultados interessantes a serem estudados e implementados em processamento paralelo, propondo-se a trabalhos futuros a sua utilização.

Aplicou-se, então, as duas técnicas generalizadas a alguns modelos estruturais em processamento seqüencial. O que mostrou-se é que estes pré-condicionadores trazem uma grande vantagem em termos de convergência, tanto em número de iterações quanto em termos de tempo, se comparados a resolução do sistema sem o seu uso.

Para os exemplos em processamento paralelo, foi utilizada a técnica da decomposição incompleta, além do pré-condicionador POLY(0). Dessa forma, analisou-se 2 modelos estruturais: treliça tridimensional e pavimento.

Os resultados, embora sejam restritos a um pequeno número de computadores (no máximo 3) aqui não são generalizados em virtude do restrito universo de computadores utilizados. Tem-se sim o intuito de verificar qualitativamente a validade dos modelos implementados neste campo e a potencialidade dos pré-condicionadores em processamento paralelo.



29

Para o exemplo da treliça tridimensional, percebe-se que o tempo de convergência com o uso do )3,4(ICCG é um pouco inferior ao obtido pelo ICCG(6,8). O segundo mostra uma convergência em termos de iteração um pouco menor que o primeiro. Porém, em virtude da quantidade de operações serem maior no ICCG(6,8), em geral, o ICCG(4,3) mostrou-se mais adequado para grandes sistemas. Ambos, quando comparados com POLY(0), e sem o pré-condicionador, apresentaram valores da ordem de 3

1 inferiores aos dois últimos. Vê-se também que a eficiência destes dois primeiros foi de 63% para 3 processadores.

Para o pavimento analisado, por outro lado, o pré-condicionador POLY(0) demostrou ser mais eficiente que o advindo da decomposição incompleta de Cholesky. A eficiência alcançada com o uso deste pré-condicionador foi de aproximadamente 51% com 3 processadores, ou seja, um speed-up de 1,52, enquanto que para a pequena quantidade de processadores utilizados, a eficiência do ICCG não tenha se evidenciado. Acredita-se que, em virtude do alto número de iterações para convergência deste segundo modelo (aproximadamente 20% do total de incógnitas) o ICCG deve ter se tornado ineficiente para este pequeno número de processadores, em virtude da sua caraterística seqüencial. Todavia, conforme o aumento do número de processadores, a sua potencialidade deve se evidenciar.

Ressalta-se que, os resultados encontrados para o pré-condicionador ICCG(6,6) foram bem próximas as encontradas pelo ICCG(6,8). Contudo, como já salientado, muitas vezes este último pré-condicionador pode levar a montagem da matriz decomposta [L] com características positivas não-definidas, enquanto que o ICCG(6,6) não apresentou este problema, preferindo-se então o uso deste.

De acordo com os resultados obtidos nos capítulos 5 e 6, acredita-se que o uso dos pré-condicionadores ICCG(6,6) e ICGG(4,3) se tornaram eficientes frente ao pré-condicionador POLY(0) ou Jacobi. Isto é verdade desde que o número de iterações fique em torno de 5 a 10% do número de graus de liberdade do sistema. Nos exemplos numéricos apresentados, em geral, isso ocorreu como demonstrado. Mas para o caso do pavimento, conforme já salientado, este valor ficou na ordem de 20%, mostrando então a não potencialidade desse tipo de pré-condicionador ou a pouca eficiência do POLY(0) frente a este pequeno universo de processadores.

Supõe-se que isto tenha ocorrido em virtude do acoplamento de dois elementos finitos, que atribuam diferentes valores em ordem de grandeza à matriz de rigidez. Para o caso do pavimento isto se evidencia, já que a rigidez da viga é bem superior ao da placa. Essa diferença relativa de rigidez leva a um aumento no número de condição (κ) da matriz do pavimento, e com isso a convergência desse sistema se torna lento, acarretando um maior tempo nos procedimentos paralelos a serem executados. Isto demonstra ser mais ineficiente ainda nas técnicas onde o paralelismo se evidencia, ou seja, no método da decomposição incompleta do Cholesky.

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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n.23, p. 33-60, 2005

ESTUDO E APLICAÇÃO DE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO

FUNDAMENTADOS NA MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO

José Julio de Cerqueira Pituba1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

Resumo

No trabalho estudam-se alguns aspectos relativos à formulação teórica e à simulação numérica de modelos constitutivos para o concreto, fundamentados na Mecânica do Dano Contínuo, incluindo-se os chamados métodos simplificados de análise estrutural. O modelo de dano proposto por Mazars para o concreto submetido a carregamento proporcionalmente crescente é inicialmente considerado. Na sequência, analisa-se o modelo constitutivo proposto por La Borderie em seus aspectos de formulação e resposta numérica. O modelo é mais completo que o de Mazars, permitindo levar em conta deformações permanentes e anisotropia, induzidas pela evolução do dano, e a resposta unilateral do concreto submetido a solicitações com inversão de sinal. Um outro aspecto em destaque no trabalho é a aplicação dos modelos estudados na análise de estruturas em pórtico, incluindo-se ainda a técnica de divisão dos elementos estruturais em estratos e um modelo dito simplificado. Neste último caso, o modelo de Flórez-López é analisado e a simplificação consiste na definição prévia, sobre a estrutura discretizada em elementos de viga e de coluna, de zonas de localização da plastificação e do dano; no limite com a evolução do processo de carregamento, aquelas zonas passam a se constituir em rótulas. Uma recente generalização do modelo anterior, proposta por Álvares, é também considerada. Os resultados numéricos fornecidos pelos modelos são confrontados com os experimentais de vigas em concreto armado (biapoiadas e com diferentes taxas de armadura) e de um pórtico em concreto armado. Palavras-chave: concreto; modelos constitutivos; mecânica do dano.

Abstract

The work is related to some theoretical and numerical aspects of Continuum Damage Mechanics (CDM) models for concrete, including simplified methods of structural analysis. First of all, the damage model proposed by Mazars for the concrete under

1 Professor da Faculdade de Engenharia da UNOESTE, [email protected] 2 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença


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proportional increasing load is considered. In the sequence the constitutive model proposed by La Borderie is analyzed in its aspects of formulation and numerical response. This model is more complete than the Mazars one, allowing account for permanent strains and anisotropy induced by the damage processes and also for unilateral response of the concrete submitted to loadings with signal inversion is also incorporated in its formulation. An additional aspect considered in the work is related to the employment of the CDM models to the analysis of framed structures. The modeling includes the technique of layer division of the structural elements and implementation of a so called simplified model. In this case, the Flórez-López proposal is analyzed, consisting of a previous definition of yielding and damage zones over the assembly of beam and column elements. In the limit with evolution of the loading process these zones becomes generalized hinges. Finally, a generalization of the previous model proposed by Álvares is also considered. The numerical responses of constitutive models are compared with the experimental ones of reinforced concrete beams and of a reinforced concrete frame. Keywords: concrete; constitutive models; damage mechanics.

1 INTRODUÇÃO

Uma lei constitutiva, ou modelo constitutivo é um modelo mecânico-matemático que descreve idealmente o comportamento tensão-deformação do material, LUCCIONI (1993). Em geral, é bastante difícil formular uma lei constitutiva suficientemente geral para reproduzir o comportamento de um material submetido a qualquer tipo de solicitação. Devem-se restringir os modelos aos campos de interesse específico. Muitos são os trabalhos que abordam diferentes leis constitutivas para o concreto. A título de orientação pode-se citar, entre os mais difundidos: ASCE (1982), CEDOLIN (1982), CHEN & SALEEB (1982) e XIAOQING et al. (1989). Devido à sua complexidade de comportamento, a formulação de um modelo constitutivo completo para o concreto se torna algo difícil. Modelos têm sido formulados com base na teoria da elasticidade, da plasticidade, e, mais recentemente, na mecânica do dano, cada qual fornecendo respostas coerentes com a situação estudada de comportamento do concreto, porém nunca suficientemente gerais.

Segundo DRIEMEIER (1995), o conceito de dano foi inicialmente utilizado para análise e descrição, em regime de ruptura, do comportamento de metais sob carregamentos monotônicos ou cíclicos. Nos metais em regime de ruptura aparecem microfissuras após o desenvolvimento de uma pronunciada plastificação. O conceito de dano, por estar relacionado à evolução de microfissuras, aplica-se bem ao concreto uma vez que: - o desenvolvimento da microfissuração, pode ser considerado contínuo e se inicia com baixas tensões ou deformações;

Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica...


35

- as deformações permanentes são também devidas ao processo de evolução de microfissuras. Os modelos de dano, essencialmente, admitem que a perda progressiva de rigidez e de resistência do material é devida exclusivamente ao processo de microfissuração. Nos últimos anos diversos modelos foram formulados podendo classificá-los em escalares ou anisótropos, segundo a variável representativa de dano seja de natureza escalar ou tensorial. A formulação de um modelo mecânico de dano distribuído que contempla as perdas de rigidez e de resistência admite a presença, no comportamento do material, de um ramo ‘softening’, ou de encruamento negativo, onde se manifesta de modo evidente a degradação das características mecânicas. Em vários trabalhos observam-se evidências experimentais do processo de danificação no concreto, dentre eles pode-se citar: VAN MIER (1985), MAJI & SHAH (1988), SPOONER & DOUGILL (1975) e SPOONER et al. (1976). Os vários trabalhos concluem sendo a redução da rigidez mais evidente após o pico, é essencial a caracterização do comportamento ‘softening’ para uma apropriada modelagem por uma teoria contínua, do comportamento ‘pós-pico’.

2 ALGUNS ASPECTOS DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO

O concreto mesmo antes da aplicação de qualquer solicitação já apresenta um estágio de microfissuração resultante do fenômeno de retração, mais liberação de calor, que se desenvolve na fase inicial da cura. O comportamento não-linear do concreto, evidenciado mesmo em baixos níveis de tensão, é influenciado pela microfissuração inicial e pela sua propagação durante o processo de carregamento. Também a microfissuração justifica a consideração da anisotropia do material para fins de modelagem macroscópica ainda na fase da resposta elástica. É importante notar que a propagação das fissuras basicamente passa a se desenvolver na fase de carregamento por incompatibilidade de deformações devido às diferentes características de resistência e propriedades elásticas dos agregados graúdos e argamassa. Tais incompatibilidades que se manifestam, sobretudo, na interface entre os elementos citados são responsáveis, em particular, pela baixa resistência à tração do concreto. Um outro fenômeno também decorrente da evolução de microfissuras no concreto é o aparecimento de deformações permanentes. A relação entre evolução de microfissuras e deformações permanentes pode ser interpretada como uma conseqüência da heterogeneidade do material e do atrito entre as faces rugosas das fissuras, que impede, em caso de descarregamento, um fechamento total das mesmas. Um último fenômeno característico do concreto, e materiais granulares em geral, é a chamada resposta unilateral ou recuperação da rigidez do material que se manifesta quando da inversão do carregamento. Nota-se que o comportamento mecânico global do concreto também é diretamente influenciado por fatores tais como textura e tamanho dos agregados, índice de vazios, relação água-cimento, etc. Tais fatores são, de certa maneira, considerados nas leis de evolução das variáveis que descrevem o dano quando da formulação de modelos constitutivos.



36

3 FORMALISMO DA MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO

Os processos que ocorrem na microestrutura de um material, tais como mudanças de porosidade, escorregamento ao nível de cristais, difusão e outros, têm origem em microdefeitos constituídos por inclusões, ou mesmo vazios. Esses processos contribuem, cada qual com sua parcela, na resposta não-linear dos sólidos observada macroscopicamente. Os microdefeitos são genericamente referenciados como dano inicial do material, sendo favorecedores da concentração de microtensões. O processo evolutivo de danificação tem influência direta na resposta elástica do material sendo evidenciado macroscopicamente por reduções de rigidez e resistência do material. Por outro lado, aquele processo tem influência indireta na resposta elastoplástica devido à redução da área resistente efetiva alterando, por conseqüência, a velocidade com que se processam as deformações permanentes. Na maioria dos materiais ditos granulares, sendo este o caso do concreto, tem-se o dano como processo fundamental na sua resposta não-linear. Já nos metais, a plasticidade precede a danificação e é a razão básica de sua resposta não-linear, sendo sua evolução caracterizada pelo movimento de linhas de discordância (grosso modo, defeitos de continuidade geométrica na distribuição das ligações atômicas). Esse movimento produz deformações irreversíveis, não estando a ele associada uma mudança significativa de volume. O aparecimento da danificação passa a influenciar na velocidade com que o processo de plastificação se manifesta. Devido à relação indireta entre evolução do dano e plasticidade, na formulação de um modelo constitutivo pode-se propor um acoplamento dito cinético ao nível das leis de evolução das variáveis internas representativas destes fenômenos. Um modelo com essas características permite descrever o comportamento de um meio através da redução da rigidez e resistência, além do aparecimento de deformações permanentes. Dentro deste contexto, a Mecânica do Dano apresenta-se como uma teoria adequada para a formulação de modelos constitutivos de materiais que apresentam defeitos em sua microestrutura. Fundamentada nos princípios gerais da termodinâmica, a Mecânica do Dano segue um formalismo resultante da combinação de conceitos e métodos da termodinâmica com a consideração de variáveis internas, inserindo-se numa teoria mais ampla denominada termodinâmica dos princípios irreversíveis. No entanto, a sua particularidade está no conjunto de hipóteses fundamentais admitidas:

- os processos irreversíveis podem ser aproximados por uma seqüência de estados de equilíbrio aos quais correspondem valores instantâneos de um número finito de variáveis internas;

- as variáveis internas a serem escolhidas devem representar os processos dissipativos dominantes;

- a resposta do meio depende exclusivamente de seu estado atual. Dentro do formalismo que segue são desconsiderados efeitos não-mecânicos, como por exemplo, a condução e a irradiação de calor. Aplicando-se o princípio de balanço de energia (primeira lei da termodinâmica) num processo dissipativo, o qual consiste numa transição entre dois estados infinitamente próximos de equilíbrio termodinâmico, vale a seguinte relação representada em termos de taxas:

CDe EEUP &&& ++= (5.1) onde:



37

Pe é a potência das forças externas U& é a taxa de energia interna

CE& é a taxa de energia cinética

DE& é a taxa de energia dissipada Por sua vez a potência das forças externas é dada pela soma da potência das

tensões ( εσ &⋅ ) mais uma variação de energia cinética. Nessas condições, localmente a relação anterior passa a ser expressa por:

DEU &&& +=⋅εσ (5.2) sendo que as grandezas envolvidas são aqui entendidas com referência à unidade de volume. Por outro lado, a segunda lei da termodinâmica, relacionada à produção de entropia, estabelece que a taxa de energia dissipada é sempre positiva. Portanto, considerando-se DE& >0 da (5.2) obtém-se a chamada “Desigualdade de Clausius-Duhem”:

U&& ≥⋅εσ (5.3) Processos nos quais a desigualdade (5.3) é verificada a cada instante são

denominados ‘processos termodinamicamente admissíveis’. A energia interna pode ser expressa em função de um conjunto de variáveis,

chamadas de “variáveis de estado”, as quais definem localmente o estado do material. As variáveis de estado, por sua vez, são expressas por funções contínuas no tempo, e representam grandezas mensuráveis de forma direta ou indireta. De acordo com isto, são classificadas, respectivamente, em variáveis observáveis e internas. Admitindo-se pequenas deformações, em processos onde se caracteriza uma deformação residual o tensor de deformações ε é normalmente representado em forma aditiva pela soma das partes elástica eε , recuperável, e permanente pε , irrecuperável. Assim sendo, o tensor de deformações ε, uma variável de estado observável, pode ser expresso em termos de taxas por:

pe εεε &&& += (5.4) Admitindo-se que a parcela permanente seja resultante de algum processo

interno dissipativo, levado em conta mediante uma variável interna, é razoável tomar para variável de estado observável o tensor elástico das deformações eε . Assim, representando-se por ak o vetor que reúne o conjunto de variáveis internas associadas aos mecanismos dissipativos dominantes, no caso plasticidade e dano, a densidade de energia interna pode ser simbolizada por: U=U(εe,ak) (5.5)

Assim sendo, a desigualdade de Clausius-Duhem (5.3) assume a forma:

kk

ee a

aUU

&&& ⋅+⋅≥⋅∂∂ε

∂ε∂εσ (5.6)

Levando-se em conta a equação (5.4), segue que:

0≥⋅−⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − k

k

pee a

aUU

&&&∂∂εσε

∂ε∂σ (5.7)

A relação anterior deve ser satisfeita considerando-se processos que envolvam uma variação independente e qualquer das variáveis de estado, incluindo-se os processos puramente elásticos (onde pε& e ka& são nulos). Uma maneira para garantir que (5.7) seja sempre satisfeita, seria impor:



38

e

U∂ε∂σ = e 0≥⋅−⋅ k

k

p aaU

&&∂∂εσ (5.8a,b)

A relação (5.8a) representa uma lei de estado e o tensor de tensões σ passa a ser caracterizado como a variável associada à variável de estado eε& . Por analogia, o vetor das variáveis termodinâmicas associadas às variáveis internas é definido por:

kk a

UA∂∂

−= (5.9)

Observe-se que σ e -σ são também associadas a ε e εp, respectivamente, pois, considerando-se a decomposição do tensor das deformações:

σ∂ε∂ε

∂ε∂

∂ε∂

σ∂ε∂ε

∂ε∂

∂ε∂

−==

==

p

e

ep

e

e

UU

UU

(5.10a,b)

Da hipótese de que εp é dependente do vetor de variáveis internas, em termos de taxas é razoável admitir-se uma relação linear do tipo:

kp aB && =ε (5.11)

onde B é uma transformação linear. Desse modo, a desigualdade (5.8b) passa a ser representada por: ( ) 0≥⋅+∗

kk aAB &σ ou 0≥⋅ kaN & (5.12) sendo B* uma transformação linear tal que kk aBaB && ⋅=⋅ ∗σσ .

A relação (5.12) mostra que a energia dissipada nos processos dissipativos é positiva e que as leis de variação das variáveis internas devem ser tais que tal desigualdade seja sempre verificada. Na proposição dessas leis reside, talvez, o aspecto arbitrário da modelagem. Em geral segue-se uma das seguintes estratégias:

a) de um lado as leis de evolução podem ser derivadas diretamente com base na

resposta observada diretamente em nível de microestrutura; b) de outro lado, admite-se a existência de um potencial de dissipação, escrito em

função das variáveis associadas, que engloba estados que podem ser atingidos sem qualquer dissipação adicional de energia e de cuja variação derivam as leis de evolução.

A primeira estratégia pode conduzir a leis que tenham aplicação restrita a

combinações de solicitações similares àquelas dos ensaios realizados. A segunda estratégia tem um cunho mais teórico, porém com algumas vantagens

tais como: aplicação mais geral do modelo obtido, estrutura formal do modelo resultante bastante próxima daquela obtida por outras teorias e manutenção de simetria do tensor constitutivo. No segundo caso, o modelo acaba por exibir uma estrutura semelhante a de modelos elaborados pela teoria da plasticidade, por exemplo. O potencial com as características descritas em b) implica na possibilidade de um descarregamento, pois o estado resultante estará sempre no interior ou sobre a sua superfície. Além disso, assumindo-se propriedades de convexidade para o potencial, as leis de evolução podem ser expressas de modo a preservar vantagens do tipo manutenção de simetria do tensor constitutivo, por exemplo. Sendo assim, o potencial F pode ser representado da seguinte forma:



39

( ) 0≤= ke

k a,;AFF ε (5.13) onde εe e ak aparecem como parâmetros. Resulta, pela normalidade:

kk A

Fa∂∂λ&& = na condição de F = 0 (5.14)

ou 0=ka& se F < 0.

Note-se que kA

F∂∂ é normal à superfície (lugar geométrico dos pontos que

verificam F = 0) do potencial e λ& é um escalar positivo, figura 1.

Figura 1 - Superfície do potencial de dissipação F. Em resumo, o formalismo seguido pela Mecânica do Dano (PROENÇA, 1997)

apresenta três aspectos fundamentais: a escolha das variáveis internas, a forma a ser adotada para a função densidade de energia interna e as equações que exprimem as leis de evolução das variáveis internas.

Atendendo aos aspectos acima mencionados, podem-se formular modelos constitutivos fenomenológicos termodinamicamente consistentes e que refletem, através do conjunto de variáveis internas, os principais fenômenos físicos observados na microestrutura. Apesar do natural questionamento sobre algumas considerações teóricas, particularmente sobre as simplificações adotadas, este tipo de formulação pode conduzir a uma modelagem bastante satisfatória dos fenômenos ocorridos no meio.

4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO

4.1 Modelo constitutivo de Mazars (1984)

O modelo proposto por MAZARS (1984) vale para situações de carregamento aplicado continuamente crescente aplicado e tem por hipóteses fundamentais: - localmente o dano decorre de deformações de alongamento evidenciadas por sinais positivos, ao menos um deles, das componentes de deformação principal (εi > 0); - o dano é representado por uma variável escalar D (0 ≤ D ≤ 1) cuja evolução ocorre quando um valor de referência para o ‘alongamento equivalente’ é superado; - o concreto com dano comporta-se como meio elástico. Portanto, deformações permanentes evidenciadas experimentalmente são desprezadas. O estado de extensão é localmente caracterizado por uma deformação equivalente, expressa como:

)a,;A(FF ke

k ε=

kk A

Fa∂∂λ&& =



40

~ε ε ε ε= < 1 > + < > + < >+ + +2

22

32 (6.1)

onde εi é uma componente de deformação principal e <εi>+ é a sua parte positiva definida por:

<εi>+= [ ]12ε εi i+ (6.2)

Neste modelo admite-se que o dano se inicia quando a deformação equivalente atinge um valor de deformação de referência εd0, determinado em ensaios de tração uniaxial em correspondência à tensão máxima. Para um estado mais complexo de deformação o critério de dano é expresso como f( , D) = -S(D) 0~ ~ε ε ≤ com S(0) = εd0 (6.3)

A lei de evolução da variável de dano é definida pelas seguintes condições:

D•

= 0 se f < 0 ou f = 0 e f•

< 0 (6.4a)

D F( ) <• •

+= >~ ~ε ε se f = 0 e f•

= 0 (6.4b) (•) indica variação no tempo e F( ~ε ) é uma função contínua e positiva da deformação ~ε . Considerando-se carregamento continuamente crescente ou radial, das curvas tensão-deformação obtidas em ensaios uniaxiais de tração e compressão podem ser determinadas as variáveis de dano DT e DC da seguinte maneira:

DA A

exp[BTd0 T T

T d0(~)

( )~ (~ )]

εε

ε ε ε= −

−−

−1

1 (6.5a)

DA A

exp[BCd0 C C

C(~)

( )~ (~ )]

εε

ε ε ε= −

−−

−1

1

0d (6.5b)

onde AT e BT são parâmetros característicos do material em tração uniaxial, AC e BC são parâmetros do material em compressão uniaxial e εd0 é a deformação elástica limite. Para estados complexos de tensão, propõe-se uma variável de dano determinada por uma combinação linear de DT e DC mediante a seguinte condição: D = αT DT + αC DC ,sendo αT + αC = 1 (6.6) onde os coeficientes αT e αC assumem valores no intervalo fechado [0,1], e representam a contribuição de solicitações à tração e à compressão para o estado local de extensão Finalmente, na sua forma secante, a relação constitutiva é expressa por: σ ε= (1- D)D

0 (6.7)

onde D0 é o tensor elástico de quarta ordem do material íntegro.

Nota-se que em ÁLVARES (1993) e PEREGO (1989) são evidenciadas algumas dificuldades decorrentes da aplicação direta deste tipo de modelo na análise de estruturas. São elas: uma instabilidade na resposta, visualizada na curva carga-deslocamento pela irregularidade no seu desenvolvimento (‘non-smoth’) e uma não-objetividade caracterizada por resultados mais rígidos com o refinamento da malha. Em ÁLVARES (1993) foi adotado um procedimento iterativo para a regularização da resposta e um outro procedimento para reduzir o problema de não-objetividade. Neste último, o problema da dependência de malha provocada pela imposição de uma lei de ‘softening’ constante foi contornado com a determinação indireta do parâmetro BT em função das dimensões do elemento finito, impondo-se como característica do material a taxa de energia dissipada em um teste de tração uniaxial (Gf), também denominada de



41

energia de fratura. Logo, impondo-se AT =1 e calibrando-se BT, os parâmetros do modelo passam a ser: AC, BC, εd0 e Gf.

4.2 Modelo constitutivo de La Borderie, Mazars & Pijaudier-Cabot (1991)

O modelo permite levar em conta o aspecto unilateral através da definição de duas variáveis representativas do dano em tração e do dano em compressão. A ativação de um ou outro processo de danificação é feita através de um controle sobre o sinal das tensões principais. Consideram-se também deformações anelásticas devidas apenas ao dano. No modelo proposto por LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) define-se o seguinte quadro de variáveis de estado e de variáveis associadas:

Tabela 1 - Variáveis de estado e variáveis associadas no modelo de dano VARIÁVEIS DE ESTADO VARIÁVEIS Primária Interna ASSOCIADAS

Tensão σ ε Deformação Dano 1 D1 Y1 Taxa de energia livre 1 Dano 2 D2 Y2 Taxa de energia livre 2

Encruamento 1 z1 Z1 Encruamento 2 z2 Z2

No quadro acima D1 e D2 são variáveis de dano, Y1 e Y2 são as variáveis associadas, interpretadas como taxa de energia liberada durante o processo de evolução de dano, e Z1 e Z2 são variáveis associadas a z1 e z2 que, respectivamente, controlam o processo de encruamento e estão inseridas nas funções representativas dos critérios de danificação. As relações entre as variáveis de estado e as associadas são dadas por um potencial de estado do qual derivam as relações constitutivas. Neste modelo sugere-se o potencial de energia livre de Gibbs(χ) como potencial de estado, adotando-se a seguinte expressão:

χ = χ(σ, D1, D2, z1, z2) = ))(Tr:(2E)D(12E

:)D(12E

: 2

0

0

2010

σσσνσσσσ

−+−

+−

−−++

+−

+−

+ +β

σβ

σ1 1

0 1

2 2

0 21 1 2 21 1

DE D

fD

E DTr G z G z

( )( )

( )( ) ( ) ( ) (6.8)

onde σ+ e σ- são, respectivamente, as partes positiva e negativa do tensor de tensões, Tr(σ) é o primeiro invariante do tensor de tensões, E é o módulo de Young do material íntegro, ν é o coeficiente de Poisson do material virgem, β1 e β2 são os parâmetros anelásticos a serem identificados. A função f(σ) controla as condições de abertura e de fechamento da ‘fissura’: f(Tr(σ)) = Tr(σ) quando Tr(σ) ∈ ]0,∞]

f(Tr(σ)) = 1+Tr( )2 f

σσ

σ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Tr( ) quando Tr(σ) ∈ [-σf,0] (6.9)

f(Tr(σ)) = −σ

σf

2Tr( ) quando Tr(σ) ∈ [-∞,-σf]

onde σf é a tensão de fechamento de fissura (parâmetro do modelo). Finalmente, G1 (z1) e G2 (z2) são funções de encruamento.



42

As leis de estado derivam do potencial (6.8) e definem as variáveis associadas em função das variáveis de estado. Por exemplo, o tensor de deformações resulta de:

ε∂χ∂σ

ε ε= = +e an (6.10)

onde εe é o tensor de deformações elásticas e εan é o tensor de deformações anelásticas. Esses tensores são dados por:

εσ σ ν

σ σe E D E D ETr I=

−+

−+ −

+ −

0 1 0 2

0

01 1( ) ( )( ( ) ) (6.11)

e εβ ∂

∂σβ

an

DE D

f DE D

I=−

+−

1 1

0 1

2 2

0 21 1( ) ( ) (6.12)

onde I é o tensor identidade. Por sua vez, as variáveis associadas às variáveis de dano resultam de:

YD

fE D1

1

1

0 12

22 1

= =+−

+ +∂χ∂

σ σ β σ: ( )( )

(6.13)

YD

TrE D2

2

2

0 22

22 1

= =+−

− −∂χ∂

σ σ β σ: ( )( )

(6.14)

Variáveis associadas às variáveis de encruamento também podem ser definidas, propondo-se, neste caso, uma expressão resultante do ajuste sobre resultados experimentais. A forma proposta é a seguinte:

ZG z

zg z Y

Azzi

i i

ii i oi

i

i

i

Bi

= = = +−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∂∂

( )( )

/1

1

1

(i = 1,2) (6.15)

onde Ai, Bi e Yoi são parâmetros a serem identificados. Nota-se que as variáveis Zi tem um valor inicial dado por Zi (zi = 0) = Yoi. As

expressões (6.15) definem, na verdade, um critério de danificação que caracteriza a existência ou não de condições para a evolução do dano. Assim sendo, valem as condições:

Se Yi < Zi então D i

•

= 0 : a resposta é elástica linear.

Se Yi = Zi e Yi

•

> 0 então Z Yi i

• •

= e Di

•

≠ 0.

4.3 Modelo constitutivo de Florez-López (1993)

Este modelo é foi proposto por FLÓREZ-LÓPEZ (1993), sendo baseado nos ‘modelos de dissipação concentrada’. O elemento é caracterizado pela combinação de uma viga-coluna elástica e duas rótulas anelásticas de comprimento zero, posicionadas nas suas extremidades, às quais está associada a energia dissipada. As deformações generalizadas são: φ = [ Fe ] M + φr (6.16) As deformações de rótula φr são resultantes da soma das deformações plásticas φp e das deformações devidas ao dano φd, onde φr = φp + φd. A combinação da matriz de flexibilidade elástica [ Fe ] com o vetor de esforços ( M T=Mi,Mj, N) resulta nas deformações elásticas da viga-coluna. Tendo-se em vista a definição das forças termodinâmicas associadas ao conjunto de variáveis internas, o modelo postula a existência de um potencial termodinâmico: χ = U*(M,D) + Up (α) (6.17)



43

A parcela U* contém a influência da danificação nas rótulas e a energia potencial complementar W* da viga elástica.

( ) ( )[ ] U M D M C D M WT∗ ∗= +,12

(6.18)

Up(α) é um ‘potencial plástico’ dependente de um conjunto de variáveis internas αT = (α1,α2,...) que correspondem, por exemplo, ao encruamento plástico cinemático ou isótropo e [C(D)] é a matriz de flexibilidade de um elemento danificado com duas rótulas. As leis de estado podem, agora, ser definidas na forma:

φ φ φ∂χ∂

e p

M= − =

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

(6.19)

As forças termodinâmicas conjugadas as variáveis de dano e reunidas no vetor G são

GD

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∂χ∂

(6.20)

As forças termodinâmicas associadas aos parâmetros de encruamento plástico α são

β ∂χ∂α

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

(6.21)

A dissipação decorrente dos processos de evolução dos fenômenos de dano e plasticidade deve ser positiva de modo a atender a segunda lei da termodinâmica, sendo:

ξ φ α β= + + ≥& &D G MT p 0 (6.22) Em FLÓREZ-LÓPEZ (1993) apresenta-se um procedimento de identificação das leis de evolução das variáveis de dano e de plasticidade a fim de definir completamente o modelo constitutivo. Estas funções deveriam ser específicas para cada tipo de elemento estrutural variando de acordo com o tipo de concreto, distribuição de armadura, etc. As funções de plasticidade e de dano podem ser identificadas a partir das curvas de M em função de φp e de D como função de G. FLOREZ-LÓPEZ (1993) propõe as seguintes expressões para os critérios:

yp M

ddc

ddMf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=414

41 φ ( )

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−−

+−=ddlnqGGg cr 1

1 (6.23a,b)

onde c, My, Gcr e q são constantes características do elemento. Os parâmetros c, My, Gcr e q não têm interpretações mecânicas bem definidas. No caso, determinam-se essas constantes indiretamente através da resolução numérica do sistema de equações não-lineares seguinte: M = Mcr ⇒ d = 0 M = Mp ⇒ φp = 0

M = Mu ⇒ dMd pφ

= 0

M = Mu ⇒ φ φpup= (6.24)

onde Mcr é o momento de fissuração, Mp é o momento de plastificação ou de escoamento, Mu é o momento último e φu

p é a deformação plástica correspondente ao momento último. Segundo FLOREZ-LÓPEZ (1993), estes parâmetros podem ser obtidos da teoria clássica de concreto armado, podendo ainda ser estimados em função de características conhecidas como: comprimento, área da seção transversal, quantidade e distribuição de armadura e propriedades do concreto. Obviamente o desempenho do modelo depende muito da qualidade dos métodos usados para os seus cálculos.



44

4.3.1 Modelo Constitutivo de Álvares (1998)

O modelo original abordado na seção anterior contém apenas três coordenadas para as tensões generalizadas ( M T = ( Mi, Mj, N ), ou seja, no modelo original não se leva em conta a contribuição do esforço cortante nos elementos. ÁLVARES (1998) introduziu mais três coordenadas para que esta contribuição fosse levada em conta. Na análise de pórticos, a contribuição do esforço cortante na energia de deformação pode ter uma importância relevante. A energia produzida pelo esforço cortante é um processo dissipativo a mais a ser levado em conta. Apresenta-se a seguir uma ilustração das tensões generalizadas admitas para o elemento do modelo de ÁLVARES (1998) (figura 2).

Figura 2 - Tensões generalizadas do modelo de ÁLVARES (1998).

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS

5.1 Vigas em concreto armado

5.1.1 Características das Vigas Ensaiadas

As vigas em questão são biapoiadas com 2,40m de vão, seção transversal retangular de 12X30cm, e com carregamento constituído por duas forças concentradas aplicadas nos terços do vão. Três vigas deste tipo são consideradas, diferenciando-se entre si pela quantidade e distribuição geométrica de armadura longitudinal inferior (3φ10mm, 5φ10mm e 7φ10mm). A armadura longitudinal superior é constituída por 2φ5mm em todos os casos e a armadura transversal por φ5mm com comprimento de 90cm distribuídas a cada 12 cm. Maiores detalhes sobre a resposta experimental de cada tipo de viga, colhida a partir de provas realizadas com controle de força, encontram-se em ÁLVARES (1993). Na figura 3 são fornecidos os dados de geometria e armaduras.

Ni

Nj Mi

Mj

Qi

Qj α



45

Figura 3 - Geometria e armação das vigas.

Na tabela 2 estão descritas as propriedades dos materiais empregados nas vigas.

Tabela 2 - Propriedades dos materiais empregados. Propriedades do Concreto

Módulo de Young EC = 29200 Mpa Coeficiente de Poisson ν = 0,2 (adotado)

Propriedades do Aço Módulo de Young ES = 196000 Mpa

5.1.2 Análise Numérica

Adotaram-se para o concreto os modelos constitutivos de MAZARS (1984) para carregamento proporcional, de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) e de ÁLVARES (1998).

No caso do modelo de MAZARS (1984), os parâmetros foram determinados conforme testes experimentais descritos em ÁLVARES (1993), estando seus valores reunidos na tabela 3:

Tabela 3 - Parâmetros do modelo constitutivo de MAZARS (1984)

empregados na análise numérica das vigas. Parâmetros do modelo de MAZARS (1984)

AT = 0,995 (adotado) Gf = 0,0016 AC = 0,85 BC = 1620 εd0 = 0,00007

P P

10 10 80 80 80

P 40

120 10

N1

N1 N1 - φ5 c/12 - c.90

2φ5 2φ5

2φ5

5φ10

3φ10 7φ10

9 912 12

912

30 27 30 27

30 27

33

3

240

deslocamento

30

Dimensões em cm



46

Na análise numérica só o concreto possui comportamento não-linear, para o aço admite-se uma relação constitutiva elástica linear. Com relação à interação entre os dois materiais, admitiu-se perfeita aderência entre o aço e o concreto, descartando-se assim qualquer possibilidade de ocorrência de fenômenos decorrentes da perda de aderência na zona de interface.

O modelo foi implementado em código de cálculo em elementos finitos bidimensionais apresentado originalmente em ÁLVARES (1993). Fazendo-se uso das simetrias de carregamento e de geometria, analisou-se, portanto, apenas metade da viga.

Figura 4 - Discretização em elementos finitos bidimensionais.

Nos casos de média e alta taxa de armadura, a rede adotada na discretização das vigas foi de 108 elementos finitos quadrangulares de 4 nós, sendo que para a viga com menor taxa foi adotada uma rede de 342 elementos finitos de 4 nós. Na tabela 4 reúnem-se os valores identificados para os parâmetros do modelo constitutivo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991).

Tabela 4 - Parâmetros do modelo constitutivo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) empregados na análise numérica das vigas.

Parâmetros do modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991)

Y01 = 1,46 E -04 MPa B1 = 0,62 Y02 = 0,15 E -01 MPa B2 = 1,50 A1 = 2,10 E +03 MPa-1 β1 = 1,80 MPa

A2 = 7,00 E +00 MPa-1 β2 = -40,0 MPa σf = 3,50 MPa Uma versão unidimensional deste modelo foi implementada num programa em elementos finitos estratificados em camadas (EFICoS - Eléments Finis à Couches Superposées) para análise de vigas e estruturas em pórtico. Cada elemento, portanto, é uma viga discretizada em vários estratos (figura 5).

X

Y

Y

Z

X

Z

Z



47

Figura 5 - Elemento finito empregado. Com esse modelo as análises numéricas foram desenvolvidas fazendo-se uso das simetrias de carregamento e geometria, considerando-se, portanto, apenas metade da viga. Para as barras de aço adotou-se um modelo elastoplástico, além de se admitir perfeita aderência entre aço e concreto. Em todos os casos a rede adotada na discretização das vigas foi de 20 elementos finitos e 21 nós adotando-se, ainda, 15 camadas na discretização da seção transversal. No caso da viga com baixa taxa de armadura, dentre as 15 camadas definiu-se 1 camada de aço; no caso da viga com média taxa de armadura utilizaram-se 2 camadas de aço, e na viga com alta taxa de armadura foram utilizadas 3 camadas de aço. Em relação ao modelo constitutivo de ÁLVARES (1998), os parâmetros utilizados foram os seguintes:

Tabela 5 - Parâmetros do modelo constitutivo de ÁLVARES (1998) empregados na análise numérica das vigas.

Parâmetros do modelo de ÁLVARES (1998) VIGA 3φ10.0mm VIGA 5φ10.0mm VIGA 7φ10.0mm

Si = 0,03735m2 (0,12X0,311) φpu = 0,008 Mu = 33,60 kN.m Mp = 6,40 kN.m Mcr = 0 c = 35217,00 Q = -0,0175 My = 6,465 kN.m



Os valores de Mu, Mp e φpu foram calculados pelas respostas experimentais de cada viga. Para o parâmetro Mcr foi adotado um valor nulo em todas as vigas, pois se admitiu que o dano existe desde o início da aplicação de qualquer carga.

L

H

Y

X

Z

u v θ

Y

X

bK

YK Gi

Gi

Elemento de viga

Viga estratificada

Camada n° K



48

Na análise fez-se uma homogeneização da seção transversal composta de concreto e aço, transformando a área de aço numa área equivalente de concreto, assumindo que a toda seção transversal fosse composta apenas de concreto. Esta homogeneização está apresentada em LANGENDONCK (1962) baseada na Norma Brasileira de cálculo de peças de concreto armado. A expressão abaixo é sugerida: Si = Sc + (n-1) Sf (7.1) onde: Si é a área da seção ideal (homogeneizada) Sc é a área de toda seção transversal (concreto + aço) Sf é área de aço existente na seção transversal (armadura longitudinal) n é o coeficiente que relaciona o módulo de elasticidade do concreto (Ec) e do aço (Es), ou seja

c

s

EE

n = (7.2)

Foram utilizados 4 nós e 3 elementos na discretização de metade da viga. Alguns testes foram realizados com uma rede mais refinada, porém os resultados encontrados foram os mesmos. O modelo de ÁLVARES (1998) foi implementado no programa EFICoS, com a opção por apenas uma camada para discretizar a seção transversal toda de concreto, devido à homogeneização empregada. Os confrontos dos resultados numéricos e experimentais estão ilustrados a seguir nas curvas carga aplicada por deslocamento vertical no meio do vão das vigas.

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Experimental

Experimental

MAZARS (1984)

LA BORDERIE, MAZARS &PIJAUDIER-CABOT (1991)ÁLVARES (1998)

Figura 6 - Resultados numéricos - viga 3φ 10.0mm



49

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Experimental

Experimental

MAZARS (1984)


Figura 7 - Resultados numéricos - viga 5φ10.0mm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N) Experimental

Experimental

MAZARS (1984)


Figura 8 - Resultados numéricos - viga 7φ10.0mm

Das figuras 6, 7 e 8 pode-se interpretar que o modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) apresenta os melhores resultados em todos os casos. O modelo de MAZARS (1984) apresenta resultados satisfatórios nas vigas de 5φ10.0mm e de 7φ10.0mm, porém na viga de 3φ10.0mm sua resposta numérica resulta numa curva mais rígida, um pouco acima da nuvem de pontos experimentais. Já o



50

modelo de ÁLVARES (1998) apresenta curvas mais rígidas, acima da nuvem de pontos experimentais para as três vigas. Nota-se que no modelo de MAZARS (1984) a dissipação de energia é decorrente somente do processo de danificação, pois deformações residuais e plastificação das armaduras não são consideradas. Ocorre que na viga de 3φ10.0mm o panorama de fissuras é mais localizado. Tendo menos armadura o concreto apresenta tal configuração de fissuras e as deformações residuais, por efeito do engrenamento dos agregados, se fazem mais significativas, resultando numa maior dissipação. Essa pode ser a razão para a menor precisão do modelo de Mazars no caso da viga com pouca taxa de armadura. Já o modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) apresenta bons resultados, pois leva em conta as deformações residuais e a eventual plastificação de armaduras. No caso do modelo de ÁLVARES (1998), pela curva resultante nota-se que é possível recuperar a carga última que as vigas suportam, porém não se consegue descrever de forma satisfatória todo o comportamento não-linear. Imagina-se que este fato é devido à concepção do modelo admitir os efeitos de dano e plasticidade concentrados em rótulas, permanecendo as barras com comportamento elástico. No caso das vigas, pelos fenômenos que ocorrem, provavelmente existe uma intensidade maior de energia dissipada do que aquela reproduzida pelo modelo. O processo de homogeneização também é um fator a ser levado em conta na obtenção das respostas fornecidas pelo modelo.

5.2 PÓRTICO EM CONCRETO ARMADO

5.2.1 Características do Pórtico Ensaiado

O pórtico possui dois andares com um vão total de 5,70 m e uma altura total de 4,60 m. As seções transversais utilizadas para as vigas foram de 30 X 40 cm, e para as colunas foram de 40 X 30 cm. Todos os membros do pórtico possuem armadura longitudinal composta por 8 barras de φ20.0 mm e armadura transversal de φ10,0 mm c/ 12,5cm. Maiores detalhes encontram-se em VECCHIO & EMARA (1992). Segue-se uma ilustração do pórtico em concreto armado assim como as seções transversais de vigas e colunas.



51

Figura 9 - Detalhes do pórtico em concreto armado.

Figura 10 - Seções Transversais A e B.

O ensaio experimental envolveu primeiramente a aplicação de uma força axial total de 700 kN para cada coluna, mantendo esta força constante durante o ensaio. A força lateral foi então aplicada, incrementando-a sucessivamente até ser atingida a capacidade última do pórtico. A seguir estão descritas as propriedades dos materiais constituintes do pórtico.

700 kN 700 kN

Q

A

A

A

A

B B

B B

B B

B B

4600 400

1600

1800

400

300

800 5700

900 400 3100 400 900

400

Dimensões em mm

4φ20

4φ20

4φ20 4φ20

φ10 φ10

Seção A

Seção B

300

300

400

320

300

30 20

20*30

30 20 75 50 75

20 30

20 202020Dimensões em mm

202050

120

502020



52

Tabela 6 - Propriedades dos materiais empregados na confecção do pórtico em concreto armado Propriedades do Concreto

Módulo de Young EC = 38200 Mpa Propriedades do Aço

Módulo de Young ES = 192500 Mpa Tensão de Plastificação fy = 418 Mpa Tensão Última fu = 596 Mpa

5.2.2 Análise Numérica

Para a análise numérica do pórtico adotou-se para o concreto os modelos constitutivos de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) e de ÁLVARES (1998). Inicialmente faz-se a descrição dos parâmetros utilizados pelo modelo LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991).

Tabela 7 - Parâmetros do modelo constitutivo de LA BORDERIE,

MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) empregados na análise numérica do pórtico. Parâmetros do modelo de LA BORDERIE, MAZARS

& PIJAUDIER-CABOT (1991) Y01 = 3,35 E -04 MPa B1 = 1.10 Y02 = 0,15 E -01 MPa B2 = 1,50 A1 = 3,00 E +03 MPa-1 β1 = 1,00 MPa

A2 = 7,00 E +00 MPa-1 β2 = -40,0 MPa σf = 3,50 MPa A rede adotada na discretização da estrutura foi composta por 30 elementos e 30 nós, sendo empregados 10 elementos por coluna e 5 elementos por viga, além da estratificação das seções transversais em 10 camadas sendo utilizadas 2 camadas de aço dentre as 10 referidas conforme a geometria da seção da viga e da coluna (figura 4.8). Para o modelo de ÁLVARES (1998) a tabela a seguir ilustra os valores dos parâmetros utilizados na simulação numérica da estrutura.

Tabela 8 - Parâmetros do modelo constitutivo de ÁLVARES (1998)

empregados na análise numérica das vigas. Parâmetros do modelo de ÁLVARES (1998)

VIGAS COLUNAS φpu = 0,0167 Mu = 189,00 kN.m Mp = 161,00 kN.m Mcr = 0,00814 kN.m c = 50700000,00 Q = -1005,37 My = 218,00 kN.m

φpu = 0,006 Mu = 273,00 kN.m Mp = 253,00 kN.m Mcr = 0,02773 kN.m c = 154000000,00 Q = -1169,70 My = 384,00 kN.m

Em CIPOLLINA, A.; LÓPEZ-INOJOSA, A.; FLÓREZ-LÓPEZ, J. (1995) foram obtidas as propriedades das seções mediante teorias de concreto armado. A inércia e a área da seção transversal foram obtidas pela transformação da área de aço numa seção equivalente de concreto. Aqueles autores sugerem um módulo de elasticidade de um material homogeneizado sendo igual a 26,33 x 10+06 MPa.



53

Na discretização da estrutura foram utilizados 6 elementos e 6 nós correspondendo um elemento para cada viga e coluna. Devido à homogeneização da seção transversal não houve a necessidade de discretizar a mesma em camadas, considerando-a como uma seção única de um material fictício. A seguir apresenta-se o confronto entre as respostas numéricas e experimental ilustradas em forma de curvas força horizontal aplicada e deslocamento horizontal no andar superior do pórtico.

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

350,0

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

ÁLVARES (1998)

Experimental

LA BORDEIRE, MAZARS& PIJAUDIER-CABOT(1991)

Figura 11 - Resultados numéricos do pórtico em concreto armado

Os resultados apresentados pelo modelo de ÁLVARES (1998) são satisfatórios, levando-se em conta o pequeno esforço na obtenção dos parâmetros, por se tratar de um modelo bastante simplificado, além do baixo número de iterações apresentado pelo programa durante a resolução numérica do problema (evidenciando assim um pequeno esforço computacional). Em VECCHIO & EMARA (1992) é relatado que o pórtico experimentou a primeira fissura na força de 52,25 kN, na viga situada no primeiro andar do pórtico. Na simulação numérica as variáveis de dano atingiram valores positivos para esta mesma viga (elemento 6, nós 2 e 5, figura 12) na força de 38,68 kN. Os valores de dano nos outros membros do pórtico permaneceram nulos nesta fase de carregamento. No teste experimental fissuras na base das colunas ocorreram com força de 93,00 kN. A primeira plastificação no teste experimental ocorreu com força de 264 kN na viga do primeiro andar. Deformações plásticas surgiram na simulação pela primeira vez no mesmo elemento (elemento 6, nó 2, figura 12) com força de 249 kN. A plastificação na base das colunas ocorreu em 323 kN e na simulação em 306 kN. A carga última observada durante o experimento foi de 332 kN, entretanto na simulação o valor obtido foi de 323,70 kN. A discretização do pórtico utilizada na simulação numérica está ilustrada na figura a seguir:



54

Figura 12 - Discretização adotada na simulação numérica com o modelo de ÁLVARES (1998)

O mecanismo de falha do pórtico em concreto armado obtido na simulação numérica pelo modelo de ÁLVARES (1998) está indicado na figura abaixo:

Figura 13 - Estado do pórtico na carga última (rótulas plásticas e de dano). plástiano).

Figura 14 - Estado do pórtico na carga última (diagrama de momentos fletores em kN.mm)

3,50

2,00

2,001

2

3

46

5

Medidas em m 1

2

3 4

5

6

nóelemento

204800.

0.85

0.18

0.08

0.0

0.86 0.86 0.08

0.0

0.19

0.85

0.91 0.91

rótula anelástica-plástica rótula anelástica sem plasticidade

204800.

165700.165700.

61620.

162500.

100900. 61780.

100700.

162500.



55

Para o caso do modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991), o valor numérico da força para ocorrência da primeira fissuração foi de 64,07 kN. Durante o desenvolver da curva carga x deslocamento este modelo melhor se aproximou dos resultados experimentais, porém ainda apresentando um comportamento mais rígido que a curva experimental. A carga última não foi capturada pelo modelo, tendo sido atingido um valor de 307 kN. Vários testes foram feitos, entre eles o refinamento do incremento de deslocamento, mas pensa-se que isso é devido a fatores paramétricos do modelo, evidenciando assim uma razoável sensibilidade com relação a variação dos seus parâmetros. Nas simulações numéricas com os dois modelos empregou-se o controle de deslocamento, para evidenciar a resposta do pórtico no regime pós-pico (ramo ‘softening’). No modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) houve muitas iterações, dando uma amostra do esforço computacional bastante elevado se comparado ao modelo de ÁLVARES (1998). Em resumo, o modelo proposto por ÁLVARES (1998) apresenta um comportamento semelhante à curva experimental até a região próxima do processo de início de dano. Apesar de não haver uma aderência total à resposta experimental, o modelo permite capturar a carga última de forma bastante satisfatória. Já o modelo LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) acompanha melhor a curva carga x deslocamento no trecho que segue à primeira fissuração, porém não consegue capturar a carga última do pórtico. Para o caso deste pórtico em concreto armado, que apresenta apenas forças nodais, o modelo de ÁLVARES (1998) se comportou de forma satisfatória, pois nesse pórtico evidenciou-se uma concentração maior de fenômenos dissipativos nos nós, tais como plasticidade e dano, diferentemente no que se passou nas vigas do exemplo anterior. Parece assim, bastante razoável a hipótese assumida por este modelo de concentração destes fenômenos em rótulas. Há, entretanto, a ocorrência de fenômenos nas barras, logo o modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) melhor se adaptou ao exemplo pois o mesmo leva em conta dano e deformações anelásticas nas barras. O que se deve ressaltar é que o esforço computacional envolvido na análise numérica do pórtico em concreto armado por parte do modelo de ÁLVARES (1998) foi muito menor que o modelo de LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991). Entretanto a dificuldade na obtenção dos parâmetros deste modelo é compensada pela boa qualidade dos resultados evidenciados no exemplo em questão.

6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Neste trabalho abordam-se modelos constitutivos para o concreto fundamentados na Mecânica do Dano, considerando-se aspectos relativos à sua formulação teórica e aplicação na simulação numérica do comportamento de estruturas. Destacam-se, nas aplicações, os chamados métodos simplificados de análise estrutural.

Com relação ao campo numérico, pode-se destacar a utilização do modelo proposto por ÁLVARES (1998). Tal modelo leva em consideração fenômenos importantes que ocorrem no concreto tais como a plasticidade e o dano, destacando-se entre as vantagens que apresenta, o emprego de elementos finitos de barra e o seu esforço computacional reduzido. Outro destaque é a potencialidade apresentada pelo modelo proposto por LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991), porém para o caso do pórtico verificou-se sua grande sensibilidade paramétrica. Já o



56

modelo de MAZARS (1984) apresentou resultados satisfatórios considerando-se as hipóteses simplificadoras adotadas pelo mesmo.

Como considerações gerais entende-se que o modelo de MAZARS (1984) pode ser estendido para sua aplicação em situações mais próximas da realidade, desde que sejam incorporados recursos como: a plastificação das armaduras, localização de deformações permanentes e a consideração da interação entre o concreto e a armadura.

Para o modelo proposto por LA BORDERIE, MAZARS & PIJAUDIER-CABOT (1991) sugere-se um estudo da sensibilidade paramétrica do modelo.

Outra sugestão seria o emprego de procedimentos que visem uma aplicação mais prática na obtenção dos parâmetros do modelo de ÁLVARES (1998), como, por exemplo, uma identificação dos momentos necessários com valores definidos na Norma para concreto armado. Dessa forma o modelo possui grande potencial de aplicação ao cálculo da carga de ruína de pórticos em concreto armado. Os argumentos citados e outros de igual importância constituem, sem sombra de dúvidas, um amplo campo de pesquisas a ser explorado.


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ANÁLISE DINÂMICA BIDIMENSIONAL NÃO-LINEAR FÍSICA E GEOMÉTRICA DE TRELIÇAS DE AÇO E

PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO

Rogério de Oliveira Rodrigues1 & Wilson Sergio Venturini2

Resumo

Este trabalho trata da análise dinâmica bidimensional de treliças de aço e pórticos de concreto armado, onde estudam-se os efeitos da não-linearidade física desses materiais e os efeitos da não-linearidade geométrica de tais estruturas. Neste contexto, define-se a equação geral que descreve o comportamento de estruturas discretizadas por elementos finitos, utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para estruturas em movimento. Para a integração temporal dessa equação, utiliza-se um método implícito de integração numérica, onde adota-se um processo previsor-corretor com auxílio das equações generalizadas de Newmark. Na análise da não-linearidade geométrica, define-se o campo de deformações através de uma função quadrática dos deslocamentos, que ocorrem ao longo de cada elemento finito, sendo que para treliças planas consideram-se todas as parcelas provenientes de tal relação e para pórticos planos desprezam-se os termos que contém produtos de parcelas de ordem superior. Para descrever a posição de equilíbrio do sistema estrutural ao longo do processo de integração numérica, utiliza-se a formulação Lagrangeana atualizada que resulta na dedução das matrizes de rigidez incrementais secante e tangente. Com relação à não-linearidade física do aço, elabora-se uma modelagem numérica através da utilização de um diagrama tensão x deformação bilinear, destacando-se os modelos cinemático, isotrópico e independente. Já para a não-linearidade física do concreto armado, elabora-se uma modelagem numérica através da utilização do modelo proposto pelo CEB, onde corrige-se o valor do momento de inércia em função do grau de fissuração do elemento. Esta modelagem contempla, também, o comportamento para carregamento cíclico e sua inversão. Para finalizar, apresentam-se exemplos numéricos com posterior análises qualitativa e quantitativa dos resultados. Palavras-chave: Dinâmica estrutural; comportamento não-linear.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rogério de Oliveira Rodrigues & Wilson Sergio Venturini


62

1 INTRODUÇÃO

A análise realista do comportamento estático e dinâmico de sistemas estruturais é, sem dúvida, um dos principais objetivos almejados pelo Engenheiro de Estruturas nas últimas quatro décadas.

Com a disseminação da informática ocorrida ao final da década de oitenta, e principalmente em função do aumento vertiginoso da capacidade de armazenamento, gerenciamento e processamento de dados aduzido pelos computadores de pequeno porte, o Engenheiro de Estruturas passa a ter acesso a equipamentos e programas computacionais que possibilitam uma análise estrutural baseada em modelos mais refinados, proporcionando um aumento da segurança e diminuição de custos dos projetos e das construções.

Atualmente, em função do avanço científico e tecnológico, a realização de análises dinâmicas não-lineares se torna cada vez mais premente, tendo em vista a necessidade de se simular, da forma mais realista possível, o comportamento estrutural de edificações e equipamentos existentes, tais como fundações aporticadas de máquinas, pontes rodoviárias e ferroviárias sujeitas à grandes deslocamentos, edifícios altos submetidos à ação do vento e estruturas em geral sujeitas à vibrações induzidas por abalos sísmicos.

Neste contexto, o presente trabalho tem por objetivo principal analisar o comportamento dinâmico de treliças planas de aço e pórticos planos de concreto armado, considerando-se as não-linearidades física e geométrica, através da implementação, de forma aprimorada, da formulação Lagrangeana atualizada para descrever a posição de equilíbrio de tais estruturas. Para a consideração da não-linearidade física dos materiais, utiliza-se uma relação tensão x deformação bilinear para elaborar os modelos físicos cinemático, isotrópico e independente para o aço e uma relação momento x curvatura proposta pelo CEB para o concreto armado.

2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM SISTEMA ESTRUTURAL DISCRETO

A equação do equilíbrio que governa a resposta dinâmica de um sistema estrutural discreto pode ser obtida utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para estruturas em movimento, HENRYCH(1990), através da aplicação de um deslocamento virtual infinitesimal e cinematicamente compatível com o sistema analisado. Relacionando-se os deslocamentos genéricos dos pontos situados sobre o eixo de cada elemento com os seus respectivos deslocamentos nodais, através de funções de forma apropriadas, associando-se a deformação longitudinal com tais deslocamentos e utilizando-se o processo de expansão e acumulação para todo o sistema estrutural discreto, obtém-se, finalmente, a equação geral do movimento dada pelo sistema de equações fornecido pela equação (1), ARGYRIS et al.(1991).

( )~ ~ ~ ~ ~

M C F D FR E t ~ ~D D•• •+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= (1)

Análise dinâmica bidimensional não-linear física e geométrica de treliças de aço e pórticos...


63

onde “~

EF ” são os esforços externos dependentes apenas do tempo; “~

RF ” são as forças

restauradoras dependentes dos deslocamentos globais “~D ” e da relação tensão x

deformação; enquanto que “~M ” é a matriz de massas consistente e “

~C ” é a matriz de

amortecimento do tipo Rayleigh.

3 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO MOVIMENTO

Para a integração temporal da equação (1) pode-se utilizar o método implícito de Newmark, onde a idéia básica do método é dada pela previsão do valor das acelerações ao final do intervalo de tempo que se deseja conhecer. Com isso, aplicando-se as equações generalizadas de Newmark, pode-se prever, também, o valor dos deslocamentos e das acelerações ao final do mesmo intervalo de tempo. Na seqüência, utiliza-se um processo iterativo onde, ao final de cada iteração, faz-se uma correção nos valores dos deslocamentos e suas derivadas temporais, em função da última resposta encontrada. Quando for atingida uma determinada tolerância para o resíduo das forças dinâmicas, assume-se que os últimos valores obtidos estão corretos e inicia-se novamente o processo de integração para o próximo intervalo de tempo. Tal procedimento é ilustrado pela figura 1, onde pode-se visualizar de forma global todos os passos descritos anteriormente.



64

fornecer p / t e ~

0D= ⇒ ⇒•

0 0~

D ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

••−

•

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

0 0 01 0D M F C D F DE R

k n k ; n t= ⇒ = =1 o passos n t; ∆

~ ~

•• ••

= −k nD D 1 ; ( )~ ~ ~ ~

• • •• ••

= + − +− −k n n kD D D Dt t 1 11 γ γ∆ ∆

~ ~ ~ ~ ~k n n n kD D D D Dt t t= + + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +− − −

• •• ••

1 1 112

2 2∆ ∆ ∆β β

( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~R D F M D C D F Dk E k k R kn t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

•• •

∆

( )

~ ~

~

R D

F

k

E n t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⟨∆

ε

~ ~

~ ~

~~ ~ ~

M CF D

D D R Dt t

R k

kk k

1

βγ

β

∂

∂∆ ∆∆2 + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

~ ~ ~k k kD D D= + ∆ ;

~ ~ ~

• •

= +k k kD D Dtγ

β

∆∆ ;

~ ~ ~

•• ••

= +k k kD D Dt

12β

∆

∆

Figura 1 - Diagrama de blocos do método de Newmark.

4 NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA PARA TRELIÇAS PLANAS

Dado um sistema estrutural discreto em equilíbrio estático, formado por um conjunto de elementos contidos no plano (X,Y), as forças restauradoras de tal sistema e suas respectivas derivadas são obtidas, respectivamente, através da primeira e segunda derivações da energia de deformação em relação aos deslocamentos nodais, conforme mostram as equações (2) e (3).

~ ~RF D Dj

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

∂∂

U (2)

∂

∂ ∂ ∂∂~ ~

RF DD D Di i j

U⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

2

(3)

Neste trabalho, optou-se pela escolha da formulação Lagrangeana atualizada para descrever a posição de equilíbrio do sistema estrutural ao longo do processo de resolução numérica. Tal formulação preconiza que ao final de cada incremento de

V

F



65

carregamento deva ser feita uma atualização das coordenadas do sistema, através de uma sucessão de posições de equilíbrio conforme ilustra a figura 2, permitindo-se que o mesmo venha a ter grandes deslocamentos.

Figura 2 - Atualização de coordenadas para um elemento genérico.

Dessa forma, a energia de deformação de cada elemento, considerando-se o problema como sendo incremental, é dada pela equação (4).

( )e eU VE deV x

m= ∫ +12

21ε (4)

onde “m+1εx” é a deformação total do elemento ocorrida até a configuração de equilíbrio “m+1”.

Expressando-se a variação da deformação que ocorre durante o incremento “n”, tem-se que:

∆ x x xn m mε ε ε= −+1 (5)

onde “mεx” é a deformação total do elemento ocorrida até a configuração de equilíbrio “m”.

Substituindo-se a equação (5) na equação (4) e efetuando-se as operações matemáticas, obtém-se:

( )en

xn

xm

xm

x eU VE deV

= + +∫12

22 2∆ ∆ε ε ε ε (6)

Como “mεx” não depende dos deslocamentos ocorridos durante o incremento “n”, qualquer derivação em relação à esses deslocamentos se anula. Para incrementos suficientemente pequenos valem as simplificações impostas pela adoção de pequenas rotações, com isso pode-se reescever a expressão da energia de deformação em função das parcelas que contribuem na rigidez, CORRÊA(1991), como mostra a equação (7):

en

x em

xn

x eU V VE d E de eV V

= +∫ ∫12

2∆ ∆ε ε ε (7)

onde a primeira parcela fornecerá o acréscimo de energia ocorrido durante cada incremento “n” e a segunda parcela fornecerá a energia acumulada até a configuração de equilíbrio “m”, valendo a relação n=m+1.

0L

0y ,0v

0x ,0u 0O

0A 0B

2L=2A2B

1L=1A1B

1y ,1v 1x ,1u 1O

1A1θ0

Conf. equilíbrio 1

Conf. equilíbrio 0

2y ,2v 2x ,2u

2O 2θ0

Conf. equilíbrio 2 Incremento 1

Incremento 2

1B

2A

2B



66

Com o objetivo de ilustrar tal procedimento, apresenta-se a dedução das matrizes de rigidez para um elemento de barra simples, cujo campo de deformações é fornecido pela equação (8).

xu u u u

L Lε =−

+−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1 2 1

212

(8)

Substituindo-se a equação (8) em (7) e efetuando-se o desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de cinco parcelas. Substituindo-se o resultado na equação (2), derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas e organizando-se o resultado na forma matricial, obtém-se a equação de equilíbrio do sistema dada por:

E AL

E AL

E AL

NL

NN

m m m

m

m

m

mm

n

n Euu f

1 11 1

12

3 33 3

13

32

32

32

32

1 11 1

2 2

2 2

1

2

1

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎫⎬⎭

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= +

∆ϕ ∆ϕ∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆∆

~

(9)

Dessa forma, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (10), sendo que cada parcela corresponde aos termos que aparecem entre as duas primeiras chaves da equação (9).

n n n n nS Gk k k k k

~ ~ ~ ~ ~= + + +0 1 2

12

13

(10)

De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação: n n n n n

T Gk k k k k~ ~ ~ ~ ~= + + +0 1 2 (11)

sendo que “ n k~0 ”, “ n k

~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (9), ou

seja:

nm m m

m

mTk E AL

E AL

E AL

NL~

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 11 1

3 33 3

32

32

32

32

1 11 1

2 2

2 2∆ϕ ∆ϕ∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

(12) Convém ressaltar que neste procedimento a soma entre as matrizes de rigidez

elástica “ n k~0 ” e geométrica “ n

Gk~

” permanece constante durante todas as iterações

necessárias para a obtenção do equilíbrio, visto que as mesmas só dependem de parâmetros relativos à configuração de equilíbrio anterior. Já as matrizes de rigidez incrementais são atualizadas a cada iteração pelos acréscimos de deslocamentos que ocorrem durante a aplicação do incremento de carregamento, conforme ilustra a figura 3. Cabe ressaltar que este mecanismo também é válido para o cálculo da matriz de rigidez secante.



67

Figura 3 - Atualização da matriz de rigidez tangente para um elemento genérico. Efetuando-se o mesmo procedimento para o elemento de treliça plana, tem-se

que o campo de deformações é dado pela equação (13).

x uv u

ε = + +'' '2 2

2 2 (13), onde

uL

u u'= =−

ϕ 2 1 ; ( )

vL

v v'= =

−0

2 1θ ....(14)

Substituindo-se a equação (13) na equação (7) e promovendo-se o desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de nove parcelas. Derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas, substituindo-se o resultado na equação (2) após a igualdade entre as forças restauradoras e as forças externas e organizando-se o resultado na forma matricial, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (15).

n n n n n nS SN Gk k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + +0 1 2

12

13

(15)

onde

0y ,0v 0x ,0u

0A 0B

A’

1B

B’Conf. intermediária

Incremento 1

Conf. equilíbrio 0

1y ,1v 1x ,1u

1A 1θ0

∆1θ1

∆1θ2

Conf. equilíbrio 1

1 1 1

~ ~

*

~T incrementaisK K K= +

1 10

1 1

~ ~ ~ ~

*T GK K K K= + =

Iteração 1

Iteração 2

∆1u2

∆1u1 ∆1v1 ∆1v2



68

nm

nm

nm

k

k

k

E AL

E AL

E AL

~

~

~

0

1

2

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

3 3

3 3

32

03

20

03

20

32

32

03

0 0

0 0

0 0

0 0

2 2

02

02

2

=

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

− −− −

− −− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

−

−

−

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆∆ ∆ϕ ∆ ∆ϕ∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆

∆ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ ∆

∆ϕ ∆ϕ

θ θθ θ

θ θθ θ

θ θ

2

02

02

02

0 02

0

02

02

02

0 02

0

02

02

20

03

20

32

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

− −

− −

− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥

∆ ∆

∆ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ ∆

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

∆ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ ∆

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

nmSNk E A

L~

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

nm

mGk NL~

=

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 0 1 00 1 0 11 0 1 0

0 1 0 1

...(16)

De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação:

n n n n n nT TN Gk k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + +0 1 2 (17)


~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (16) e a

matriz nTNk~

” é dada por:

nmTNk E A

L~=

− −

− −

− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∆∆ϕ ∆

∆∆ϕ ∆

∆ϕ ∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

∆∆ϕ ∆

∆∆ϕ ∆

∆ϕ ∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

02

00

2

0

0

2

0

2

02

00

2

0

0

2

0

2

2 2

2 2

2 2

2 2

θ θ θ θ

θ θθ θ θ θ

θ θ

(18)

Analogamente para o elemento de pórtico plano, tem-se que o campo de deformações é dado pela equação (19).



69

xL

uL

vy v

uy uε = + − + −∫'

'' '

'' ' '

12 2

2

0

2

dx v (19), onde

uL

du u' ' ' '= =−

= + + =ϕ 2 1 22 3 2 ; v e x f x ; v e + 6 f x ....(20), sendo

( ) d ; e ; f ; = =

− − +=

+ −=

−1

1 2 0 1 2 02 0

2 12 3 2θ

θ θ θ θ θ θθL L L

v v

....(21) Substituindo-se a equação (19) na equação (7) e promovendo-se o

desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de vinte parcelas. Derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas, substituindo-se o resultado na equação (2) após a igualdade entre as forças restauradoras e as forças externas e organizando-se o resultado na forma matricial, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (22).

n n n n n n nS SN SF Gk k k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + + +0 1 2

12

13

(22)

onde

n

m m

m m

m

m

k

L L L L

L

L L

EAL

EAL

EI EI EI EI

EIL

EI EIL

EAL

EI EI

simEIL

m m m m

m

m m

~

.

0

0 0 0 0

12 60

12 6

40

6 2

0 0

12 6

4

3 2 3 2

2

3 2

=

−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

n

m m m m

m m m

m m

m m

m

m

k E A

L L L L

L L LL L

L L

L

simL

E I ~

.

1

3

10 303

10 306

5 10 10

6

5 102

15 30 10 303

10 306

5 102

15

012

1 2 3 1 2 4

1 1 2 1 1

1 3 1 1

1 2 4

1 1

1

=

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

+

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

113

122

113

132

13

12

113

13

12

1 122

12

1

113

132

13

12

1

60

12 6

12 6 12 12 6

4 6 6 2

012 6

12 6

4

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

m m m m

m m m m m

m m m m

m m

m m

m

L L L L

L L L L L

L L L L

L L

L L

simL

−

− −

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

(23a)



70

n

m m

m m

m m

m

m

m

k E A

L L

L LL L

L

Lsim L

~

.

2

2 2

2

3

20 0

3

20 0

0

0

3

20 0

1 1

56

57

8 6 9

1

57

10

=

−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

~

.

nSN E A

mL mL

mL mL mLmL mL

mL

mL

simmL

k =

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

142

40 13

120 1 142

40 14

120 1

6 120 1

140 1

240 1

6 120 1

140 1

130 1

3120 1

140 1

1120 1

142

40 14

120 1

6 120 1

140 1

130 1

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

n

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

SFk E I

L L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L

~=

− −

− −

− −

−2

12 12 6 12 12 6

12 6 12 12 6

4 6 6 2

12 12 6

153

113

122

153

1 113

1 132

1

2

31

2

21 11

31

2

31

2

2

1

2

1 122

1

2

21

2

153

113

1 132

1 1

1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

12 6

4

1

2

31

2

2

1

2

ϕ ϕ

ϕm m

m

L L

simL

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

n m

m m

m m

m m

m

m

m

Gk N

L L

L LL L

L

L

simL

~

.

=

−

−

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

10 0

10 0

65

110

06

51

10215

01

10 301

0 0

65

110

215

...(23b) sendo



71

( )

1

2 1 2 0

3 1 2 0

4 1 2 0

5 12

22

1 2 1 0 2 0 02

6 12

22

1 2 1 0 2

1 2

4 3

4 3

11 0 0

9 9 2 3 6 3 6 2 1 6

13 0 0

6 2 5 4 6

ϕϕ θ θ θϕ θ θ θϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

ϕ θ θ θ θ θ θ θ

=

= + −

= − −

= − + −

= + − − − +

= + + − +

∆ ϕ

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

n n

n n

n n

n n n n n

n n n n n n

n

( )( )( )

0 02

7 12

22

1 2 1 0 2 0 02

8 12

22

1 2 1 0 2 0 02

9 12

22

1 2 1 0

5 4

13 0 0

6 2 6 5 4 5 4

13 0 0

8 3 4 1 2 2 2 7

13 0 0

2 2 6 2 2

θ θ



ϕ θ θ θ θ θ θ

+

= + + + − +

= + − − − +

= − − + − −

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n( )( )

2 0 02

1 0 12

22

1 2 1 0 2 0 02

1 11 2

0

1 21 2

0

1 31 2

0

1 43

14

22

0

3

13 0 0

3 8 4 2 1 2 2 7

2 22

3 3

32

3

1 2 0 1 2 0 4 0

θ θ θ


ϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ

ϕϕ

θϕ

θϕ

∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆∆

∆ ∆∆

∆ ∆∆

∆ ∆ ∆

−

= + − − − +

= − − +

= − − +

= − − +

= + −

n n n n n n

n n

n n

n n

mn

mn

mL L L θ

ϕϕ

θϕ

θ ϕ θ1 51 2

11 3

2 1 1 02 2= − − +∆ ∆ ∆n n ...(24) De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação:

n n n n n n nT TN TF Gk k k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + + +0 1 2 (25)


~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (23) e as

matrizes “ nTNk~

” e “ nTFk~

” são dadas por:

n E A

L L

L L LL L

L

L

simL

TN

m m

m m mm m

m

mm

k~

.

=

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

142 210 1

330 1 142 2

10 14

30 1

6 110 1

120 1

210 1

6 110 1

120 1

115 1

330 1

120 1

160 1

142 210 1

430 1

6 110 1

120 1

115 1

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥



72

n

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

TFk E I

L L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L

~=

− −

− −

− −

−2

24 48 24 24 48 24

24 12 48 24 12

8 24 12 4

24 48 24

153

113

122

153

1 113

1 132

1

2

31

2

21 11

31

2

31

2

2

1

2

1 122

1

2

21

2

153

113

1 13

1 1

1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ2

1

2

31

2

2

1

2

24 12

8

ϕ ϕ

ϕm m

m

L L

simL

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

...(26)

5 MODELO FÍSICO NÃO-LINEAR PARA O AÇO

Para introduzir a não-linearidade física na análise de estruturas treliçadas de aço sujeitas à ações dinâmicas, faz-se necessário a implementação numérica de modelos com endurecimento linear para carregamentos cíclicos, tais como os modelos cinemático, isotrópico e independente, através do desenvolvimento de equações matemáticas que simulem o comportamento estrutural do aço e da criação de um algoritmo computacional adequado que armazene toda a história anterior da relação tensão x deformação dos elementos estruturais.

Para o desenvolvimento de tais equações admite-se que um elemento seja solicitado por um acréscimo de tensão “∆σr”, de tal forma que haja uma alteração no comportamento estrutural definida pela passagem do regime de trabalho elástico para o regime de trabalho plástico. A figura 4 ilustra tal procedimento através do gráfico tensão x deformação, onde a tensão atuante na iteração “r” ultrapassa a tensão de escoamento “σy

r-1” da iteração anterior “r-1”.

Figura 4 - Variação incremental da tensão e deformação para o caso unidimensional.

Da figura 4 obtém-se diretamente as seguintes relações: ∆ r r r -1ε ε ε= − (27)

∆ ∆r r

E E σ ε= (28) r r -1 r

E Eσ σ σ= + ∆ (29) r r -1 rσ σ σ= + ∆ (30)

σ

σEr

R∆σEr

∆σEr

(1-R)∆σEr

σr ∆σr σy

r-1

εyr-1

σr-1

εr

∆εr

εr-1

ε

A

B C

O

ET

1

E1



73

onde “∆εr” é a variação da deformação ocorrida durante a iteração “r”; “εr” é a deformação final da iteração “r”; “εr-1” é a deformação final da iteração “r-1”; “∆σE

r” é a variação da tensão elástica ocorrida durante a iteração “r”; “σE

r” é a tensão elástica final da iteração “r”; “σr-1” é a tensão final da iteração “r-1”; “σr” é a tensão final da iteração “r”; “∆σr” é a variação da tensão ocorrida durante a iteração “r”.

Calculando-se o valor de “∆σr”, tem-se:

( ) ( )∆ r r r -1 r -1 r -1σ σ σ σ σ= − + −y y (31)

ou, simplesmente,

( ) ( )∆ ∆r r r -1 rσ σ σ σ= − + −y ER1 (32)

Aplicando-se a lei de Hooke na equação (32), obtém-se:

( ) ( )∆ ∆r r r -1 rσ ε ε ε= − + −y TE R E 1 (33)

Por semelhança de triângulos, tem-se:

∆

∆ ∆

r

r

r r-1

rεσ

ε εσE

y

ER =

− (34)

ou, simplesmente, r r -1 rε ε ε− =y R ∆ (35)

Substituindo-se a equação (35) na equação (33), obtém-se: ( )∆ ∆ ∆r r rσ ε ε= + −R R E TE 1 (36)

Portanto, para a obtenção da tensão “σr” substitui-se a equação (36) na equação (30), resultando:

( )r r -1 rσ σ ε= + − +E E R RTE ∆ (37) Calculando-se, agora, a variação da deformação plástica “∆εP

r” ocorrida durante a iteração “r”, tem-se:

r r r∆ ∆ ∆P Eε ε ε= − (38) Aplicando-se a lei de Hooke na equação (38), obtém-se:

r rr

∆ ∆∆

P Eε ε σ= − (39)

Substituindo-se a equação (36) em (39) e rearrumando-se os termos, encontra-se:

r r∆ ∆P RE

ETEε ε=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (40)

Resta, agora, definir o valor do fator de redução “R”, que é dado pela relação entre a reta “A-B” e a reta “B-C” da figura 4, logo:

RABBC

E y

E= =

−r r -1

rσ σ

σ∆ (41)

Na seqüência, destacam-se os dois casos particulares que podem ocorrer em função dos valores da tensão final “σr-1” e do acréscimo de tensão “∆σr”. O primeiro caso particular é mostrado pela figura 5, onde a tensão “σr” não ultrapassou a tensão de escoamento.



74

Figura 5 - Variação incremental da tensão no regime elástico.

Neste caso, a tensão "σr" é dada pela equação (42): r r -1 rσ σ ε= + E ∆ (42)

sendo que a variação da deformação plástica “∆εPr” é nula. Cabe ressaltar que fazendo-

se R=0 e substituindo-se nas equações (37) e (40), encontra-se o mesmo resultado já obtido.

O segundo caso particular é mostrado pela figura 6, onde a tensão “σr-1” já ultrapassou a tensão de escoamento.

Figura 6 - Variação incremental da tensão no regime plástico.

Neste caso, a tensão “σr” é dada por: r r -1 rσ σ ε= + TE ∆ (43)

Já a variação da deformação plástica “∆εPr” é dada pela equação(39), logo,

calculando-se o valor de “∆σr”, tem-se: ∆ ∆r rσ ε= TE (44)

Substituindo-se a equação (44) em (39) e rearrumando-se os termos, obtém-se: r r∆ ∆P

EE

TEε ε=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ (45)

Analogamente ao primeiro caso, fazendo-se R=1 e substituindo-se nas equações (37) e (40), encontram-se as equações (43) e (45), respectivamente.

1

σ

σr

σ

∆σr

σr

σyr-1

∆σr

εyr-1

σyr-1

σr-1

εyr-1

εr

σr-1

∆εr

εr

εr-1

∆εr

ε

εr-1

ε

O

O

ET

1

ET

E

1

E1



75

Uma vez equacionado todo o problema e admitindo-se que sejam conhecidos o valor da tensão e o valor da deformação ao final da iteração “r-1”, pretende-se calcular o valor da tensão ao final da iteração “r” e, se houver, a respectiva variação da deformação plástica.

Calculando-se inicialmente o valor da deformação ao final da iteração “r”, obtém-se a variação da deformação ocorrida durante a iteração “r” e o valor dos demais parâmetros através das equações já descritas anteriormente.

Assim, com o valor de “∆εr”, pode-se obter o valor de “σr” e com isso calcular a força normal atuante no elemento em função da sua deformação.

A determinação da variação da deformação plástica é necessária para que se possa corrigir o valor do módulo de deformação longitudinal no transcorrer do processo incremental, uma vez que para variação não nula utiliza-se o módulo tangente.

Neste contexto, desenvolveu-se uma rotina de cálculo que é apresentada na figura 7 de maneira esquemática, onde é mostrada a seqüência de cálculos a serem executados para a obtenção dos parâmetros já mencionados.

Para a utilização da rotina de cálculo contida na figura 7 deve-se, na inicialização do processo de cálculo, zerar o valor de “εr-1” e de “σr-1” e, na seqüência, atribuir à tensão de escoamento máxima “σS

r-1” o valor de “σy0” e à tensão de escoamento mínima “σI

r-1” o valor de “σy0” com sinal negativo. A partir deste ponto, através da introdução do valor atualizado da deformação, calcula-se o valor de “σr” e de “∆εP

r” para o elemento em questão e, para finalizar, promove-se a atualização da deformação. Deve-se lembrar que todos os valores já mencionados são específicos para cada um dos elementos pertencentes ao sistema estrutural.



76

∆ r r r-1ε ε ε= −

∆ ∆r r

E E σ ε= r r-1 r

E Eσ σ σ= + ∆

alongamento V F en⇐ ⟩ ⇒∆ r curtamentoε 0

F V F V

R F V F V R

R = 0 R = R = 0 R =

r-1 r-1 r-1 r-1

r r-1 r r-1

r r-1

r

r r-1

r

⇐ ⟨ ⇒ ⇐ ≤ ⇒

= ⇐ ⟩ ⇒ ⇐ ⟨ ⇒ =

− −

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σσ

σ σσ

S I

E S E I

E S

E

E I

E

1 1

∆ ∆

( )r r-1 rσ σ ε= + − +E ER RTE ∆

para alongamento com R 0: para encurtamento com R 0:

p / end. cin. p / end. cin.

p / end. ind. p / end. ind.

p / end. isot. p / end. isot.

r r r r

r r r r

r r

r r r r

⟩ ⟩

= =

= − = +

= =

= − = −

S I

I S S I

I S

I S S I

y y

max I max S

σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

2 20 0

, ,

∆ ∆r r

PE

ERTEε ε=

−

r-1 rε ε= Figura 7 - Rotina de cálculo para não-linearidade física do aço.

Cabe ressaltar que nesta rotina é feita a separação do cálculo para os casos de

alongamento e encurtamento, tendo em vista a atualização das tensões de escoamento correspondentes à cada modelo de endurecimento e à utilização correta da equação que calcula o valor do fator de redução “R”.

6 MODELO FÍSICO NÃO-LINEAR PARA O CONCRETO ARMADO

O modelo proposto pelo CEB(1985) consiste no cálculo de uma curvatura média dada pela seguinte equação:

( )11

1 1 10

10

2 2m Nr r r r= − + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ξ ξ (46)

onde “1/rm” é a curvatura média para flexão combinada com força axial; “1/r1” é a curvatura total no Estádio Ia para flexão simples; “1/r2” é a curvatura total no Estádio II



77

para flexão simples; “1/r2N” é a curvatura devida ao efeito do momento fletor causado pela força normal atuando no centro geométrico da seção total no Estádio Ia e “ξ0” é o coeficiente de distribuição.

Dessa forma, uma vez calculada a curvatura média, pode-se calcular o momento de inércia médio “IM” através da seguinte equação:

M

m

CMI

rEM

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

(47)

Admitindo-se que sejam conhecidos o valor da força normal e o valor do momento fletor que atuam em um elemento finito qualquer, bem como as suas características geométricas, calcula-se o novo valor do momento de inércia que será utilizado no cálculo das forças restauradoras, em função da fissuração do concreto que ocorre no mesmo, através do algoritmo mostrado pela figura 8, sendo que tal algoritmo contempla o processo de carregamento e de descarregamento.

CALCULAR x1, x2, I1, I2, A1

CALCULAR Mr, M0, ξ0

ξ0=0 Mmáx=0 M>Mmáx I=I1 Descarregamento Descarregamento CALCULAR 1/r1, 1/r2, 1/r2N, 1/rm CALCULAR IM I= IM

Figura 8 - Diagrama de blocos para o modelo físico do CEB.

7 ANÁLISE NUMÉRICA

7.1 Exemplo T1

A estrutura treliçada deste exemplo é composta por apenas um elemento biapoiado, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, conforme ilustra a figura 9.

F

V VF F

V



78

Figura 9 - Treliça constituída por apenas um elemento finito.

Efetuando-se uma análise dinâmica através da consideração da não-linearidade

física do material, o comportamento estrutural é ilustrado pelas figuras 10 e 11.

Figura 10 - Gráfico tempo x força do elemento “1” com ∆ t =0,5.10-4s.

Figura 11 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “2” com ∆ t =0,5.10-4s.

A figura 10 mostra que o elemento “1” começa a trabalhar no regime elástico até atingir a tensão de escoamento. Neste instante, tal elemento passa a trabalhar no regime

2 F

Y

X

1

1

200,0 cm

D (cm)

0 80 n

0

Dmax=0,2138

80

t= n . 0,5.10-4 s

n

Fmax=15,0000

D=0,1189

t= n . 0,5.10-4 s

F=10,0 kN ω1=4478,4793 rad/s

A=1,0 cm2

E=21000,0 kN/cm2

ET=0,0 kN/cm2 γ=7,70.10-5 kN/cm3

σESC=15,0 kN/cm2

F (kN)

F=5,0325



79

plástico perfeito, pois ET=0,0 kN/cm2, até o início do processo de descarregamento. A partir deste ponto, o elemento “1” volta a trabalhar no regime elástico de forma permanente.

A figura 11 mostra uma alteração do comportamento da estrutura após a plastificação, pois a mesma não consegue retornar à sua posição de equilíbrio inicial, uma vez que a deformação plástica acumulada durante o processo de plastificação do elemento “1” é irreversível.

Cabe ressaltar que este resultado coincide com a resposta analítica obtida por CASTIGLIONI(1978), mostrando a eficácia do modelo não-linear físico elaborado.

7.2 Exemplo T2

A estrutura treliçada deste exemplo é composta por dois elementos, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, aplicada no nó de união entre os elementos, conforme ilustra a figura 12.

Figura 12 - Treliça constituída por dois elementos finitos.

Efetuando-se uma análise dinâmica através da consideração das não-linearidade

física e geométrica, o comportamento estrutural é ilustrado pelas figuras 13 e 14.

Figura 13 - Gráfico tempo x força do elemento “1”.

3

Y

X

2 1

1

2

219,9704526 cm

F (kN)

127,0 cm

219,9704526 cm

0 7

46

F=431,7540 F=484,7539

F=174,4908 F=159,4031

D=5,2342 D=5,6904

F F=300,0 kN

ω1=1750,2745 rad/s A=6,4516 cm2

E=20684,271 kN/cm2

ET=5000,0 kN/cm2 γ=7,70.10-5 kN/cm3

σESC=24,0 kN/cm2

t= n . 1,0.10-4 s

80

F=152,5697

160

n



80

Figura 14 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “1”.

Analisando-se o gráfico tempo x força da figura 13, percebe-se que ocorreu a plastificação do material nos intervalos de tempo n=7 e n=46, uma vez que houve uma alteração da curva durante o carregamento e o descarregamento inicial. Na fase de carregamento o material plastificou com uma variação de tensão igual ao valor da tensão de escoamento, sendo que na fase de descarregamento o material plastificou com uma variação de tensão igual ao dobro do valor da mesma tensão. Isto ocorreu em virtude da utilização do modelo físico cinemático, ilustrando o efeito Bauschinger de tal modelo na análise estrutural dinâmica. O gráfico tempo x deslocamento da figura 14 também mostra tal efeito, uma vez que a estrutura não consegue retornar à sua posição inicial e, da mesma forma, não consegue atingir o deslocamento máximo que ocorreu no intervalo de tempo n=34. Uma vez cessada as perdas por plastificação, o material volta a trabalhar no regime elástico de forma permanente.

7.3 Exemplo T3

Este exemplo é composto por uma treliça de banzos paralelos que reproduz a estrutura da viga principal de uma ponte metálica, cujos apoios estão situados nas extremidades do banzo inferior, conforme ilustra a figura 15, sendo as características físicas e geométricas de todos os elementos dadas por: A=1,0 cm2 ; E=21000,0 kN/cm2 ; ET=5000,0 kN/cm2 ; γ=7,70.10-5 kN/cm3 ; σESC=24,0 kN/cm2.

D (cm)

0

34 80

D=4,1999

160

n t= n . 1,0.10-4 s



81

Figura 15 - Viga principal de uma ponte metálica treliçada.

O carregamento desta estrutura é composto por uma força “F” com valor igual a

120,0 kN, produzida por um aparelho hipotético que se movimenta ao longo do tabuleiro que está situado no nível do banzo inferior da ponte. Como o tabuleiro é composto por vigas simples que se apoiam em transversinas situadas nos nós “1”, “2”, “3”, “4” e “5”, as forças aplicadas em cada um desses nós são dadas pelas respectivas reações de apoio de cada transversina, cujos valores serão alterados a cada incremento de tempo “ ∆ t ”, conforme trem-tipo mostrado na figura 16.

Figura 16 - Carregamento da viga principal da ponte treliçada.

Para a realização de uma análise dinâmica com amortecimento, deve-se, inicialmente, obter as freqüências naturais e os modos de vibração de tal estrutura, sendo que a figura 17 apresenta os dois primeiros modos de vibração com os respectivos valores das freqüências naturais.

2

Y

X

200,0 cm

1

4x200,0=800,0 cm

51

32 4 4 3

200,0 cm200,0 cm

60,0 kN

40,0 kN

20,0 kN 40,0 kN

20,0 kN

Movimento realizado a cada incremento de tempo

6 7

5

8

6

7 8 13 1211 10 9



82

Figura 17 - Primeiro e segundo modo de vibração da estrutura.

Com o valor calculado das duas primeiras freqüências naturais do sistema estrutural, pode-se obter as constantes de amortecimento do tipo Rayleigh para duas diferentes frações do amortecimento crítico, dadas pelas relações (48).

p

p

k

m

k

m

/, .

,

/, .

,

s

s

s

s

1 2

5

1

1 2

4

1

11 39 10

6 408

101 39 10

64 08

ξ ξ λλ

ξ ξ λλ

= = ⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

= = ⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

−

−

−

−

oo

oo

(48)

Estes valores permitem a realização de uma análise completa do comportamento estrutural da ponte, conforme resultados apresentados na tabela 1.

ω2=960,3259 rad/s ω1=480,8398 rad/s



83

Tabela 1 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “3”, na direção global “Y”, em “cm”. DESLOC.: NÓ 3 ξi DIREÇÃO: Y GLOBAL ξ1=ξ2=0% ξ1=ξ2=1% ξ1=ξ2=10%

L -2,9019] - - ANÁLISE NLG -2,9222 - -

ESTÁTICA NLF -6,6110 - - DNL -6,7299 - - L +3,6857 +2,9420 +1,7249 -3,6104 -2,9763 -2,2122 NLG +3,6774 +2,9377 +1,7240

ANÁLISE -3,6179 -2,9943 -2,2315 DINÂMICA NLF +0,0527 +0,0503 +0,0333

-4,9039 -4,7529 -3,4703 DNL +0,0528 +0,0503 +0,0333 -4,9354 -4,7809 -3,4862

Obs: L - comportamento linear; NLG - comportamento não-linear geométrico; NLF - comportamento não-linear físico; DNL - comportamento duplamente não-linear;

Comparando-se os resultados obtidos via comportamento linear e não-linear geométrico, percebe-se que os deslocamentos máximos da análise dinâmica são superiores aos deslocamentos máximos da análise estática. Já quando se introduz o comportamento não-linear físico ocorre fenômeno oposto ao mencionado anteriormente. Embora não se tenha um padrão definido, deve-se ressaltar que na análise dinâmica tem-se inversão de deslocamentos, com conseqüente inversão de esforços nos elementos estruturais, logo, é indispensável este tipo de análise em problemas que tenham o carregamento variando com o tempo. Passando-se, agora, para a análise dos resultados como um todo, percebe-se que o efeito na não-linearidade geométrica é desprezível e que o efeito da não-linearidade física é significativo, para o problema em questão. Como não se pode prever quando tais efeitos sejam relevantes, é necessário que se processe todas as alternativas de análise, para que se possa avaliar o comportamento da estrutura de forma correta.

A tabela 1 apresenta, também, os valores dos deslocamentos máximos do nó “3” quando se consideram as duas frações de amortecimento já descritas anteriormente, com isso percebe-se que quanto maior forem os valores das frações do amortecimento crítico, menor serão os deslocamentos obtidos.

Para visualizar tal efeito, a figura 18 ilustra o comportamento da estrutura considerando-se dupla não-linearidade e taxa de amortecimento igual a ξ1=ξ2=10%. Analisando-se tal gráfico, percebe-se que a taxa de amortecimento é bem elevada, pois a estrutura praticamente para de se movimentar em um período muito curto de tempo. Finalizando-se, deve-se ressaltar que o ponto de estabilização da estrutura se altera com o valor da taxa de amortecimento utilizada, pois com ξ1=ξ2=1% obtém-se dESTÁVEL=-1,47 cm e com ξ1=ξ2=10% obtém-se dESTÁVEL= -1,37 cm, encontrados via análise dinâmica com comportamento não-linear.



84


7.4 Exemplo P1

Este exemplo é composto por uma viga em balanço discretizada por dez elementos solicitada por uma força “F” aplicada na extremidade livre, conforme ilustra a figura 19.

As características físicas e geométricas de todos os elementos são dadas por: b=733,2348419 cm ; h=0,8798818102 cm ; EC=0,6894757 kN/cm2

Efetuando-se uma análise estática de tal forma que a força seja aplicada

incrementalmente em 80 passos iguais, obtém-se a resposta da estrutura conforme ilustra a figura 20. O gráfico contido em tal figura mostra a influência da não-linearidade geométrica no comportamento da estrutura, uma vez que o deslocamento máximo obtido no nó “11” é da mesma ordem de grandeza que o seu comprimento.

160 n 0 80

t= n . 2,0.10-4 s

D (cm)

D=3,4862

DESTÁVEL=1,37



85

Figura 19 - Viga em balanço constituída por dez elementos.

Figura 20 - Gráfico força x deslocamento do nó “11”.

Tal resposta coincide com os resultados obtidos por ORAN et al.(1976) via formulação incremental Euleriana, comprovando a eficácia do procedimento incremental adotado para o elemento de pórtico plano.

Um fato importante deve ser ressaltado quando se compara estes resultados com os obtidos via comportamento linear, pois quando se realiza este tipo de análise

1,3344 0,88960,4448

11

FY

X 101

1

10x25,4=254,0 cm

1,77920

D (cm)

F (kN).10-3

F=1,7792888.10-3 kN

D=78,4174

D=131,2104

D=161,2025

D=178,4425



86

encontra-se um valor de deslocamento máximo (dL=338,6667 cm) muito maior que o valor encontrado (dNLG=178,4425 cm).

7.5 Exemplo P2

A estrutura aporticada deste exemplo é composta por uma viga biengastada discretizada por seis elementos finitos, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, aplicada no nó central, sendo que neste mesmo ponto tem-se um peso “P” fixo, conforme ilustra a figura 21.

As características físicas e geométricas de todos os elementos são dadas por: b=2,54 cm ; h=0,508 cm ; γ=1.10-15 kN/cm3 ; ES=0,0 kN/cm2 ; EC=6894,757

kN/cm2

Figura 21 - Viga biengastada discretizada por elementos finitos.

Efetuando-se uma análise dinâmica com não-linearidade geométrica, obtém-se a resposta da estrutura conforme ilustra a figura 22.

4 7 P

FY

X 6 1

1

6x8,4667=50,80 cm

n t= n . 0,5.10-4 s

F=2,846862 kN P=7,4102.10-4 kN ω1=609,0516 rad/s



87


O gráfico tempo x deslocamento contido na figura 22 mostra o comportamento de uma viga biengastada que possui um peso fixado no meio do vão, sendo que tal resultado é praticamente exato e pode ser comprovado através da confrontação com os resultados obtidos por ORAN et al.(1976). Efetuando-se o mesmo tipo de comparação feita ao final do exemplo 7.4, tem-se que o deslocamento obtido utilizando-se comportamento linear (dL=20,3183 cm) é bem maior que o valor obtido na análise que foi realizada (dNL=2,5381 cm), comprovando, mais uma vez, a necessidade de se efetuar uma análise mais realista.

7.6 Exemplo P3

Este exemplo é composto por um pórtico biengastado de concreto armado, discretizado por doze elementos finitos, conforme ilustra a figura 23, onde as características físicas de todos os elementos são dadas por: fCK=2,6 kN/cm2 ; fCTK=0,268 kN/cm2 ; ES=21000,0 kN/cm2 ; EC=3050,0 kN/cm2 ; γ=2,5.10-5 kN/cm3.

Figura 23 - Pórtico simples biengastado discretizado por elementos finitos.

13

F

Y

X

121 1

30,0 cm

2,5 cm

4x50,0=200,0 cm

4x50,0=200,0 cm

15,0 cm

0 80

2φ16,0 mm

2φ16,0 mm

D (cm)

D=2,5381

D=-0,0347

2,5 cm

9 5 6 5 9

8 Seção transversal dos elementos



88

O carregamento da estrutura é composto por uma única força concentrada “F”, ver figura 23, cujo módulo cresce linearmente até t=0,016s, diminui linearmente até t=0,032s e permanece igual a zero para t>0,032s.

Efetuando-se uma análise estática e dinâmica considerando-se valores distintos para a força aplicada, obtém-se os resultados apresentados nas tabelas 2, 3 e 4, ilustrados pelas figuras 24 e 25. Tabela 2 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm” ”, para t≥0,0 s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X

GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

ANÁLISE L +0,0377 +0,0754 +0,1131 ESTÁTICA DNL +0,0310 +0,0656 +0,1229

L +0,0539 +0,1078 +0,1617 ANÁLISE -0,0347 -0,0694 -0,1041

DINÂMICA DNL +0,0425 +0,0904 +0,1580 -0,0216 -0,0339 -0,0369

ANÁLISE L +0,0397 +0,0794 +0,1191 DINÂMICA -0,0081 -0,0162 -0,0243

COM DNL +0,0330 +0,0671 +0,1079 AMORTEC. -0,0060 -0,0089 -0,0033

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear. Tabela 3 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm”, para t≥0,032 s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

+0,0346] +0,0693 +0,1040 L (+0,0000) (+0,0000) (+0,0000)

ANÁLISE -0,0347 -0,0694 -0,1041 DINÂMICA +0,0216] +0,0550 +0,1043

DNL (+0,0000) (+0,0105) (+0,0337) -0,0216 -0,0339 -0,0369

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear; (no) - valor médio do deslocamento; Tabela 4 - Deslocamentos finais obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm”, para t=∞ s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

ANÁLISE L +0,0000 +0,0000 +0,0000

DINÂMICA COM

AMORTEC. DNL +0,0000 +0,0031 +0,0155

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear.



89

Analisando-se os resultados obtidos pelos três tipos de análise, conforme mostra a tabela 2, percebe-se um aumento no valor dos deslocamentos quando se realiza a análise dinâmica sem amortecimento e uma diminuição de tal valor quando se realiza a mesma análise com amortecimento, caracterizando o efeito do amortecimento do tipo Rayleigh utilizado neste trabalho. Já a comparação entre os resultados obtidos pelos dois tipos de comportamento fica um pouco sem efeito em função de se ter empregado valores diferentes para o momento de inércia, pois para comportamento linear utiliza-se o momento de inércia da seção bruta e para comportamento não-linear físico utiliza-se o momento de inércia da seção homogeneizada.

Na continuidade da apresentação dos resultados, a tabela 3 mostra os deslocamentos máximos do nó “5” obtidos após a retirada total do carregamento externo. Analisando-se os dados contidos em tal tabela, percebe-se que os valores médios encontrados via comportamento linear são iguais a zero, indicando que a estrutura fica oscilando em torno da sua posição de equilíbrio inicial. Quando se considera dupla não-linearidade, percebe-se que tal fato também ocorre para p=8,0 kN, pois neste caso nenhum elemento fissurou. Já o mesmo não acontece para p=16,0 kN e p=24,0 kN, pois devido à fissuração de alguns elementos de discretização a estrutura fica oscilando em torno de uma posição de equilíbrio deslocada, conforme ilustra a figura 24.

O fato descrito anteriormente também pode ser constatado quando se introduz o amortecimento na resolução da estrutura, conforme resultados contidos na tabela 4, pois neste caso a estrutura apresenta um deslocamento final diferente de zero somente nos casos em que ocorre a fissuração de alguns desses elementos. A figura 25 ilustra o comportamento da estrutura quando se efetua este tipo de análise.



90

Figura 24 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “5”, sem amortecimento, para p=24,0 kN.

D (cm)

16080

DMÉDIO=0,0337

0

n

t= n . 0,4.10-3 s

D=0,1043

D=-0,0369

D=0,1580



91

Figura 25 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “5”, com amortecimento, para p=24,0 kN.

8 CONCLUSÕES

No presente trabalho, procurou-se implementar as não-linearidades física e geométrica na análise dinâmica de estruturas reticuladas planas através da utilização de um procedimento incremental / iterativo. Uma vez estabelecida toda a teoria referente ao assunto em questão, desenvolvem-se programas computacionais que permitem a realização de vários tipos de análise numérica, possibilitando a visualização do comportamento estrutural de tais sistemas de uma forma mais realista.

Neste contexto, os problemas que foram resolvidos no item 7 mostraram, por exemplo, que os deslocamentos obtidos via comportamento linear nem sempre são menores que os deslocamentos obtidos via comportamento não-linear e que as forças atuantes nos elementos estruturais podem mudar de sentido quando se realiza uma análise dinâmica. Dessa forma, se a análise estrutural for feita de forma inadvertida, os resultados obtidos podem conduzir o calculista de estruturas ao erro, pois o mesmo estará projetando outro tipo de estrutura e não aquela idealizada inicialmente.

Uma vez que for feita a opção por uma análise mais refinada, o calculista de estruturas deve estar habilitado a fornecer os dados da estrutura de forma coerente e deve saber interpretar os resultados obtidos de acordo com a teoria utilizada na análise escolhida.

16080t= n . 0,4.10-3 s

D (cm)

0 n

D=0,1079

D=-0,0033

D=0,0155



92

A primeira dificuldade encontrada no fornecimento de dados para a realização de uma análise dinâmica não-linear é dada pela escolha conveniente do valor do intervalo de tempo “ ∆ t ”, pois a seleção inadequada de tal valor poderá ocasionar problemas de instabilidade numérica. Neste sentido, o autor deste trabalho recomenda que uma primeira avaliação seja feita tomando-se um valor para “ ∆ t ” contido no seguinte intervalo T/120 ≤ ∆ t ≤ T/30.

A segunda dificuldade encontrada está relacionada com o valor do incremento de carregamento que deve ser aplicado no sistema estrutural, pois a escolha de um valor muito grande poderá provocar a violação de algumas premissas envolvidas na elaboração da teoria, podendo-se citar, como exemplo, as simplificações decorrentes da admissão de pequenas rotações para o elemento finito. Para isso, recomenda-se a utilização de pequenos incrementos de carregamento, que podem ser obtidos através de sucessivas tentativas.

Outro fator importante está relacionado com o valor escolhido para a tolerância do erro de cálculo “ε”, que é o fator responsável pela verificação do equilíbrio do sistema, pois um valor muito elevado provoca imprecisão na resposta e um valor muito pequeno não produz o equilíbrio almejado. Neste trabalho, o autor utilizou um valor para tal tolerância contido no seguinte intervalo 2.10-6 ≤ ε ≤ 2.10-3, sem prejuízo na obtenção dos resultados encontrados, ressaltando-se que tais valores são maiores que a precisão numérica das variáveis empregadas nos programas elaborados.

Uma vez sanada algumas dúvidas quanto ao fornecimento de dados da estrutura, é fundamental que o calculista se inteire da teoria envolvida na elaboração de programas computacionais usuais, para que o mesmo possa analisar de forma correta os resultados fornecidos por tais programas. Neste sentido, os exemplos contidos no item 7 procuraram, na medida do possível, relacionar as respostas obtidas para alguns tipos de estruturas com os modelos físicos apresentados nos itens anteriores. Convém salientar, que tais exemplos serviram, também, para validar tais modelos e o procedimento numérico que foi adotado neste trabalho.


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DESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS EM LAJES- COGUMELO

Tatiana Theophilo Silvany1 & Libânio Miranda Pinheiro 2

R e s u m o

Lajes-cogumelo são sistemas estruturais que apresentam uma série de vantagens em relação aos sistemas convencionais. Por outro lado, com a retirada das vigas, surgem alguns problemas como o deslocamento transversal das lajes, a estabilidade global do edifício e a punção da laje pelo pilar. Este trabalho concentra-se no estudo dos deslocamentos transversais das lajes-cogumelo, procurando-se fazer a comparação entre deslocamentos calculados por diferentes processos. São abordados conceitos básicos para o cálculo desses deslocamentos, o estado de fissuração a ser adotado na determinação da rigidez e os efeitos da fluência e da retração do concreto. Foram feitos três exemplos de aplicação. Com base nos resultados obtidos, verifica-se que os valores dos deslocamentos calculados por diferentes processos dependem muito da rigidez considerada, uma vez que é grande a influência do estado de fissuração nos deslocamentos da laje.

Palavras-chave: concreto armado; lajes-cogumelo; deslocamentos transversais.

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho serão consideradas lajes-cogumelo sem capitéis, que são sistemas estruturais bastante atraentes no ponto de vista econômico e arquitetônico, possibilitando tetos planos e com isso a liberdade na definição dos espaços internos. Este tipo de estrutura proporciona também facilidades na execução das fôrmas e no projeto e na execução das instalações. Por outro lado, com a eliminação das vigas, surgem alguns problemas como os deslocamentos transversais das lajes, a estabilidade global do edifício e a punção da laje pelo pilar. Este trabalho se concentrará no estudo dos deslocamentos transversais; sabe-se que em lajes-cogumelo esses deslocamentos são maiores do que os das lajes apoiadas sobre vigas, para uma mesma rigidez e um mesmo vão. O estudo desses deslocamentos é de grande importância, porque podem causar uma série de problemas que prejudicam o desempenho satisfatório da estrutura. A ocorrência de deslocamentos que ultrapassem determinados limites

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Tatiana Theophilo Silvany & Libânio Miranda Pinheiro


96

podem causar desconforto aos usuários, danos a elementos não-estruturais e interferência no funcionamento da própria estrutura. A determinação do valor do deslocamento envolve um grande número de variáveis. Há uma série de fatores que têm influência sobre os deslocamentos, podendo ser citados: ações de serviço e história do carregamento, retração e fissuração do concreto, fluência, resistência do concreto, processo construtivo etc. A consideração adequada dos parâmetros de cálculo é de fundamental importância para que se chegue a valores próximos dos que irão ocorrer durante a vida útil da peça. Para a determinação dos deslocamentos existem tabelas baseadas na teoria das placas elásticas, processos aproximados e processos numéricos que facilitam o cálculo desses deslocamentos, como o dos elementos finitos, que será utilizado neste trabalho. Um ponto muito importante é a determinação da rigidez, que está bastante interligada com o problema da fissuração do concreto. A fissuração tem influência sobre a rigidez do elemento e determinar o grau de fissuração da peça é uma tarefa difícil, mesmo porque a fissuração é um fenômeno que ocorre progressivamente, dependendo dos momentos fletores e, à medida que esta ocorre, há uma redistribuição de momentos. Nas lajes em que a taxa de armadura é muito pequena, a razão entre a rigidez da seção não-fissurada e a rigidez da seção fissurada (EIg/EIcr) é muito grande; assim, a quantidade de fissuras tem uma influência importante no deslocamento transversal final. O objetivo principal deste trabalho consiste em fazer uma análise dos deslocamentos transversais em lajes-cogumelo. Será feito um estudo comparativo entre os deslocamentos obtidos por diferentes processos de cálculo. Serão observados resultados obtidos por programas de elementos finitos, que fazem análise elástica linear e análise considerando a não-linearidade física do concreto. Também serão estudados processos simplificados para cálculo dos deslocamentos, como o processo das vigas cruzadas e o processo de Rangan. Dos três exemplos considerados, em um deles serão feitas comparações dos deslocamentos obtidos teoricamente com resultados experimentais relativos a uma laje de edifício.

2 BASES PARA CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS

Há uma série de fatores que têm influência sobre os deslocamentos, podendo ser citados: ações de serviço e história do carregamento, retração e fissuração do concreto, fluência, resistência do concreto, processo construtivo etc.

2.1 Combinação das ações

O cálculo dos deslocamentos é feito para as ações de serviço; estas procuram quantificar as ações efetivamente atuantes na peça, durante sua vida útil. São definidas combinações de ações que tentam representar, da forma mais próxima do real, o carregamento atuante. Nas ações de serviço não são aplicados os coeficientes de majoração utilizados no dimensionamento da seção. Segundo a NBR 8681 (1984) deve ser tomado γf = 1, salvo exigência em contrário, expressa em norma especial. Para a verificação da segurança em relação ao estado limite de deformações excessivas,

Deslocamentos transversais em lages-cogumelo


97

devem ser admitidas as combinações quase-permanentes de utilização, de acordo com o anexo da NBR 7197 (1989). As combinações quase-permanentes, definidas na NBR 8681/1984, são aquelas que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. As ações permanentes são consideradas com seus valores característicos e as ações variáveis, com seus valores quase-permanentes, ψ2 Fq.

F F Fd uti gi ki

m

j qj kj

n

, , , ,= + ⋅= =∑ ∑

12

1ψ (1)

Fd,uti é a ação de cálculo para a verificação dos estados limites de utilização Fgi,k é a ação permanente característica Fqi,k é a ação variável característica ψ2 é o fator de combinação para as combinações quase-permanentes A Norma Americana, o ACI 318 (1989), não define um fator de redução para as ações variáveis na verificação dos deslocamentos; é apenas especificado que as ações não devem estar multiplicadas pelos fatores de majoração aplicados no dimensionamento. Quando os limites de deslocamentos são fornecidos, é feita a indicação do carregamento a ser utilizado para a verificação. Os deslocamentos considerados são o deslocamento imediato da ação variável e o deslocamento das ações de longa duração que ocorrem depois da instalação dos elementos não-estruturais. Segundo MACGREGOR (1992), para a estimativa do deslocamento das ações de longa duração, é desejável considerar a parcela quase-permanente das ações variáveis (geralmente de 20% a 30% da ação variável).

No CEB-FIP MC90 é indicado que, para a verificação dos estados limites de utilização, deve-se considerar a combinação freqüente das ações, no cálculo dos deslocamentos ao longo do tempo, e a combinação rara das ações, para o cálculo do deslocamento imediato.

2.2 Rigidez

Um ponto muito importante é a determinação da rigidez, que é o produto do módulo de elasticidade pelo momento de inércia. O módulo de elasticidade do concreto, Ec, depende dos módulos de elasticidade da pasta de cimento e do agregado. Pode-se notar que as expressões para cálculo de Ec estão em função da resistência à compressão. A influência do módulo de elasticidade do agregado em Ec é muito grande; portanto, este aspecto também deve ser observado na determinação do módulo de elasticidade a ser utilizado no cálculo dos deslocamentos. A rigidez está bastante interligada com o problema da fissuração do concreto, a qual tem influência sobre o momento de inércia da seção. Determinar o grau de fissuração da peça é uma tarefa difícil. A fissuração ocorre quando os momentos solicitantes excedem o valor do momento de fissuração, causando uma redução da rigidez à flexão. Quando a fissuração ocorre em uma determinada região, os momentos são redistribuídos para as regiões adjacentes não-fissuradas. Esta redistribuição de momentos provoca mais fissuração e nova redistribuição. A NBR 6118 (1978) permite o cálculo do deslocamento transversal de lajes considerando a rigidez do concreto não-fissurado (estádio I) e o de vigas considerando a rigidez do concreto fissurado (estádio II). Normalmente as peças fletidas de concreto



98

armado estão parte no estádio I e parte no estádio II. Nas seções mais solicitadas, geralmente há fissuração, mas à medida que se afasta dessas regiões tem-se seções não-fissuradas. Desta forma é desejável considerar um grau de fissuração intermediário entre o da seção não-fissurada e o da completamente fissurada. Branson desenvolveu uma relação empírica para o cálculo do momento de inércia efetivo de uma seção de concreto, sujeita a momentos fletores maiores que o momento de fissuração. A expressão, baseada em ensaios de vigas biapoiadas e vigas contínuas, é dada por:

IMM

IMM

Iecr

ag

cr

acr=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3 3

1 (2)

Ie é o momento de inércia efetivo Ig é o momento de inércia da seção não-fissurada, sem considerar a armadura Icr é o momento de inércia da seção completamente fissurada

Mcr é o momento de fissuração, dado por Mf I

ycrct g

t=

⋅

fct é a resistência do concreto à tração yt é a distância da linha neutra até a fibra mais tracionada, desprezando a

armadura Ma é o momento máximo atuante A expressão de Branson foi desenvolvida para vigas, mas também tem sido adotada para calcular o deslocamento de lajes parcialmente fissuradas. Esta é a expressão indicada no ACI 318 (1989) para considerar a perda de rigidez devida à fissuração, no cálculo dos deslocamentos transversais. A expressão 2 refere-se ao momento de inércia efetivo para fissuração ao longo do vão de viga biapoiada ou entre pontos de momento nulo de vigas contínuas. No caso de elementos contínuos, o código do ACI permite que o momento de inércia efetivo final seja tomado como a média dos valores relativos à seção de momento positivo e às seções de momento negativo, ( )( ) 2/2/IIII 2eeleme ++= , onde Ie1 e Ie2 são os momentos de inércia das seções de momento negativo (nos apoios contínuos) e Iem é o momento de inércia da seção de máximo momento positivo. MACGREGOR (1992) recomenda uma média ponderada para obtenção do momento de inércia efetivo final,

( )I I I Ie em e e= + +0 70 0 15 1 2, , para o caso de vigas contínuas nas duas extremidades

e I I Ie em e= +0 85 0 15 1, , para vigas contínuas em uma extremidade. O momento de inércia deve ser determinado com base na combinação rara das ações, isto porque uma vez que determinado valor da ação atuou na peça e provocou fissuração, essa fissuração não é reversível com a retirada da ação. O momento Ma (da expressão 2) é definido no ACI 318 (1989) como o momento máximo atuante no elemento estrutural, para o nível de ações do instante para o qual está sendo calculado o deslocamento. Porém, vários autores propõem que seja modificada a definição de Ma para o maior momento fletor que já tenha atuado no elemento até o instante para o qual está sendo calculado o deslocamento [SCANLON e THOMPSON (1990), MACGREGOR (1992)]. No caso de edifícios de vários pavimentos, o processo construtivo pode gerar ações que são maiores que as ações de serviço e provocar um grau de fissuração maior que o provocado por essas ações de serviço. Neste caso as estimativas dos



99

deslocamentos imediatos devem ser feitas com o momento de inércia correspondente ao carregamento das ações de construção; essas ações são estudadas no item 2.4. Na determinação do momento de fissuração, um dos parâmetros utilizados no cálculo é a resistência do concreto à tração na flexão. A expressão do ACI 318 (1989) para o cálculo da resistência à tração é baseada em resultados de ensaios de corpos-de-prova de concreto simples, que não são afetados pelo fenômeno da retração. Os valores de resistência obtidos estão no intervalo de 7 ′fc a 12 ′fc (psi). A expressão

indicada no ACI é 7,5 ′fc (psi), que corresponde a 0 62, ′fc (MPa). Nas lajes de concreto armado, entretanto, acontece o fenômeno da retração e essas peças normalmente não apresentam liberdade de movimento. Então a retração provoca o aparecimento de tensões de tração na peça. Para levar em conta a existência dessas tensões de tração, faz-se uma redução da resistência à tração no cálculo do momento de fissuração. Para os casos de lajes que apresentam continuidade, o valor recomendado da resistência à tração é 4 ′fc (psi) ( 0 33, ′fc em MPa) [SCANLON e MURRAY (1982)]. Para o cálculo do momento de fissuração, de acordo com a Norma Brasileira, são consideradas as recomendações do anexo da NBR 7197 (1989). A verificação da formação de fissuras pode ser feita calculando-se a máxima tensão de tração do concreto no estádio I, concreto não-fissurado e comportamento elástico linear dos materiais, com iguais módulos de deformação do concreto à tração e à compressão. O momento fletor que vai corresponder à iminência da formação da fissura é

Mf Ih xcr

ctm

I=

−. Desprezando o efeito da armadura, a expressão se reduz a

M fbh

cr ctm=2

6, na qual fctm é a resistência do concreto à tração na flexão. O valor de

fctm é dado por: f fctm tk= 1 2, para peças de seção T ou duplo T e f fctm tk= 1 5, para peças de seção retangular. ftk é a resistência característica do concreto à tração axial e pode ser determinada através do ensaio de compressão diametral do cilindro padrão. No caso de não ser realizado o ensaio, a NBR 6118 (1978) fornece expressões para o cálculo do ftk em função do fck: f ftk ck= / 10 para fck ≤ 18 MPa e f ftk ck= +0 06 0 7, , MPa para fck > 18 MPa.

2.3 Retração e fluência

Quantificar a parcela dos deslocamentos decorrente da retração e da fluência não é uma tarefa fácil. Há vários fatores que influem na deformabilidade do concreto. Pode-se citar: tipo e quantidade de cimento, relação água/cimento, granulometria dos agregados, idade e temperatura da peça (amadurecimento do concreto), umidade ambiente, tamanho e forma da peça etc. As normas de cálculo permitem que sejam utilizados multiplicadores a serem aplicados nos deslocamentos imediatos, para a obtenção dos deslocamentos finais. Comparações entre valores de deslocamentos medidos e calculados, apresentados por RANGAN (1976), indicaram que, calculando separadamente as parcelas do deslocamento correspondente aos efeitos da fluência e da retração e somando com o deslocamento imediato, melhores são os resultados obtidos.



100

Na NBR 6118/1978, para as ações de longa duração, permite-se avaliar os deslocamentos finais como o produto do valor do deslocamento imediato pela relação das curvaturas final e inicial, na seção de maior momento em valor absoluto. A

curvatura é χε ε

=+c s

d, sendo que εs é considerado constante; para o concreto,

εcf = 3εci no caso de aplicação do carregamento logo após a execução e εcf = 2εci no caso de aplicação do carregamento seis meses após a concretagem. Segundo o ACI 318 (1989), os deslocamentos adicionais, devidos à fluência e à retração dos elementos fletidos, devem ser determinados pela multiplicação dos deslocamentos imediatos causados pelas ações de longa duração pelo fator

λξρ

=1 + 50 ′

1, sendo ξ um fator que depende do tempo de atuação das ações e ′ρ a

taxa de armadura de compressão dada por ′A

bds .

As normas de cálculo também fornecem indicações de como se calcular o coeficiente de fluência e a deformação por retração para que se possa calcular as parcelas de deslocamento devidas a esses fenômenos.

2.4 Processo construtivo

Durante a construção podem ocorrer situações que agravam o problema dos deslocamentos, tais como: • a armadura superior da laje pode sair da sua posição durante a concretagem ou

durante a preparação para a concretagem, quando os trabalhadores caminham sobre elas, diminuindo a altura útil da laje; com isso, a rigidez nas regiões de momentos negativos é substancialmente reduzida, levando a maior fissuração, maiores momentos positivos e, conseqüentemente, maiores deslocamentos;

• lajes do primeiro piso quando suportadas por escoras que, no solo, se apoiam em placas de tamanho insuficiente para prevenir recalques, sofrem deslocamentos mesmo antes da desforma;

• o método construtivo pode resultar em ações de construção que ultrapassam as de serviço; ações de construção, devidas às escoras ou ao armazenamento de materiais em lajes de pouca idade, podem ser altas o suficiente para causar grandes fissuras nas lajes e aumentar os deslocamentos iniciais e finais;

• cura inadequada causa excessivas fissuras devidas à retração. Nos edifícios de vários pavimentos o processo construtivo normalmente produz ações de construção que atingem altos valores. As lajes são concretadas e se apoiam nas lajes inferiores, anteriormente concretadas, através de um sistema de fôrmas e escoras (figura 1). A figura 2 apresenta esquematicamente a história de carregamento de uma laje de edifício com vários pavimentos.



101

Figura 1 - Sistema de lajes, fôrmas e escoras

Durante a construção, as ações sobre a laje aumentam a cada nova laje concretada, atingindo o carregamento máximo quando se encontra no nível mais baixo do sistema de escoramento. Quando as escoras acima da laje são retiradas, no instante t1 da figura 2, a laje passa a estar sob a ação do seu peso próprio. Ainda observando a figura 2, no instante t2 são aplicadas as ações permanentes adicionais e em um instante t3, qualquer, são consideradas as ações variáveis atuando sobre a laje.

Figura 2 - Esquema da história de carregamento de lajes de edifícios

As ações de construção atuam durante um pequeno período da vida útil da estrutura e são, geralmente, maiores que as ações de serviço. Segundo SCANLON e THOMPSON (1990), para levar em conta as ações de construção, o cálculo dos deslocamentos para as ações de serviço deve ser feito com a rigidez à flexão associada às ações de construção. Essas ações de construção são da ordem de 2 a 2,3 vezes o peso próprio da laje. Então é indicado que para o cálculo do momento de inércia efetivo seja tomado como momento máximo atuante Ma = 2,3 Mpp ou Ma = Mpp +



102

Mv, o maior dos dois valores (Mpp é o momento máximo devido à ação do peso próprio e Mv é o momento máximo devido às ações variáveis). Se o processo construtivo for conhecido, outros fatores podem ser utilizados. Um processo simples para a determinação das ações de construção foi proposto por GRUNDY e KABAILA (1963). O ACI 435.9R-1991 comenta que processos mais refinados para determinar as ações de construção foram propostos por outros autores, dando resultados semelhantes aos de Grundy e Kabaila. Um aspecto importante é que as ações de construção, quando atuam em concretos novos, provocam fluência maior do que em concretos carregados após um tempo maior. Isto causa deslocamentos que aumentam com a permanência da carga e, mesmo que essas ações sejam retiradas após um determinado tempo, não reduzem os deslocamentos.

3 PROCESSOS DE CÁLCULO

A determinação dos deslocamentos transversais em lajes pode ser feita através de vários processos. Pela teoria clássica das placas elásticas, baseada na teoria de placas delgadas e isotrópicas, o deslocamento é determinado através da conhecida Equação de Lagrange:

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

42w

xw

x yw

ypD

+ + = (3)

TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER (1959) catalogaram soluções para essa equação, para vários casos de placa isolada. Soluções aproximadas também são dadas, utilizando coeficientes tabelados de acordo com as condições de apoio e a razão entre as dimensões da laje. Para um painel interno de laje apoiada sobre pilares, é indicado coeficiente para calcular o deslocamento no meio do vão. Algumas aproximações foram feitas, nas quais uma laje armada nas duas direções é tratada como dois sistemas que trabalham em uma direção e são ortogonais, permitindo que seja aplicado o processo para cálculo de deslocamentos de viga. Essas aproximações se baseiam no Processo dos Pórticos Equivalentes, que como o Cálculo Direto são indicados para a determinação dos momentos fletores no ACI 318 (1989) para lajes regulares, ou seja, lajes apoiadas em pilares alinhados formando painéis retangulares. Propostas de análise de lajes-cogumelo como pórticos contínuos foram feitas no meio da década de trinta, na Alemanha. Nos Estados Unidos, Peabody apresentou um processo baseado na análise de pórtico elástico, que foi incluído no subseqüente código do ACI denominado “Design by Elastic Analysis”. No final dos anos cinqüenta, uma extensa pesquisa realizada na Universidade de Illinois resultou no refinamento da análise dos pórticos equivalentes. Esse trabalho serviu de base para que em 1971 fosse incluído no código do ACI o processo dos pórticos equivalentes, para a determinação dos momentos em lajes. No entanto, no código não foi feita nenhuma recomendação do uso do processo para o cálculo dos deslocamentos; e isso também ocorre na versão de 1989. Vanderbilt, Sozen e Siess descreveram um processo para o cálculo dos deslocamentos, baseado no processo dos pórticos equivalentes; a descrição desse processo também é feita no ACI 435.6R (1974). NILSON e WALTERS (1975) também



103

desenvolveram um processo para cálculo dos deslocamentos, baseado no Processo dos Pórticos Equivalentes. É desejável a consideração da fissuração no cálculo dos deslocamentos. Utilizando o conceito de inércia efetiva, em que o momento de inércia é reduzido de acordo com a razão entre o momento de fissuração e o momento aplicado no elemento, KRIPANARAYANAN e BRANSON (1976) incluíram o efeito da fissuração no processo desenvolvido por Nilson e Walters, no qual a rigidez é modificada pelo uso de uma média ponderada do momento de inércia efetivo, calculado para as regiões de momento positivo e de momento negativo. RANGAN (1976, 1986) propôs o cálculo do deslocamento no meio de um painel de laje apoiada sobre pilares, considerando a soma dos deslocamentos obtidos para uma faixa na direção dos pilares e no maior vão e para outra faixa perpendicular à anterior e no meio do vão. Cada faixa é tratada como viga, suportando ações uniformemente distribuídas e com momentos aplicados junto aos apoios. SCANLON e MURRAY (1982) propuseram um processo similar, mas utilizaram um carregamento equivalente uniformemente distribuído e os momentos reais aplicados na estrutura. GHALI (1989) calcula o deslocamento, no meio do vão da faixa central e da faixa dos pilares, por meio dos valores das curvaturas da seção do meio do vão e dos apoios de cada uma das faixas. Os efeitos da fissuração, fluência e retração são levados em conta na determinação da curvatura de cada seção. O ACI 435.9R (1991) apresenta o processo das vigas cruzadas. O deslocamento no centro da laje também é dado pela superposição da média dos deslocamentos das faixas dos pilares com o deslocamento das faixas centrais. Esses deslocamentos são calculados com base nos momentos obtidos no Processo dos Pórticos Equivalentes ou no Cálculo Direto do ACI. RESHEIDAT (1985) apresenta um processo simplificado para calcular deslocamentos em lajes de concreto armado. O modelo é baseado numa relação momento - deslocamento bilinear, em que é considerada a influência da armadura. Na referência citada, há uma rotina na linguagem de programação Fortran, automatizando os cálculos do modelo proposto. Com o desenvolvimento na área computacional, é crescente a utilização dos processos numéricos, como a analogia de grelhas e os elementos finitos. A analogia de grelhas foi usada inicialmente por Marcus (vide TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, 1959). O procedimento consiste em substituir as lajes por um conjunto de vigas, admitidas como equivalentes à estrutura original. Esse processo apresenta a dificuldade de se definirem as propriedades das barras equivalentes. Programas de computadores para a resolução de grelhas foram empregados inicialmente por Lighfoot. Atualmente, além da análise linear, tem sido introduzida a não-linearidade física na analogia de grelhas; pode-se citar por exemplo o trabalho de CARVALHO (1994). No ínicio, os programas de elementos finitos também realizavam apenas a análise elástica linear, mas atualmente há processos que consideram a fissuração na análise de placas. Uma revisão dos modelos de fissuração propostos para a análise de placas com elementos finitos é feita no ASCE Task Committee (1982). SCANLON e MURRAY (1982) propuseram uma modificação nas propriedades do material elástico linear, baseando-se na inércia equivalente desenvolvida por Branson, para representar a redução da rigidez devida à fissuração. GRAHAM e SCANLON (1985) implementaram no programa de elementos finitos de análise de placas, SAP IV, uma rotina que insere as modificações propostas por Scanlon e Murray.



104

Posteriormente foi introduzida a consideração do comportamento elastoplástico do concreto nos programas de elementos finitos. CORRÊA (1991) propôs a utilização do modelo elastoplástico, baseado no diagrama momento-curvatura trilinear, buscando representar melhor o comportamento bidimensional das lajes de concreto armado, principalmente com relação à fissuração e ao escoamento das armaduras.

3.1 Processo de Rangan

Este processo foi desenvolvido por RANGAN (1976, 1986) e RANGAN e McMULLEN (1978). Com ele obtém-se uma estimativa do deslocamento transversal final em lajes-cogumelo, de forma bem simplificada.

O deslocamento wu em um ponto no centro de um painel de laje retangular é dado pela soma dos deslocamentos centrais de duas faixas perpendiculares da laje, tratadas como vigas de largura unitária. A faixa na linha dos pilares, na direção do maior vão, tem um deslocamento wp no meio do vão, e a faixa na direção perpendicular, na região central, sofre um deslocamento wc, também no meio do vão. O modelo está representado na figura 3.

O deslocamento total wu é dado por:

wu=wp+wc (4)

Os deslocamentos wp e wc são dados pelas expressões:

( )w =E I

F + Fpp n

c pi t

βλ

l l1 13

(5)

( )w =E I

F + Fcc n

c ci t

βλ

l l2 23

(6)

Ip momento de inércia, por unidade de largura, da faixa dos pilares Ic momento de inércia, por unidade de largura, da faixa central βp coeficiente de deslocamento elástico em um painel interior de laje-cogumelo,

para porções da laje (vigas de largura unitária), para a faixa dos pilares (βp= 1/384)

βc coeficiente de deslocamento elástico em um painel interior de laje-cogumelo, para porções da laje (vigas de largura unitária), para a faixa central (βc= 2/384)

l1, l1n vãos maiores teórico e livre, respectivamente l2, l2n vãos menores teórico e livre, respectivamente Ec módulo de elasticidade do concreto Fi ação total por unidade de área (permanente + variável) Ft ação de longa duração por unidade de área (permanente + parcela da carga

variável de caráter permanente) λ fator de multiplicação aplicado aos deslocamentos iniciais, para a determinação

dos deslocamentos adicionais, segundo o ACI 318 (1989)



105

Figura 3 - Modelo para cálculo dos deslocamentos (RANGAN, 1976)

Substituindo as expressões de wp e wc em (4) obtém-se:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

λβ

3

n1

n2

1pc

2cpti

pc

3n11p

uII+1F+F

IE=w

l

l

l

lll (7)

Rangan levou em conta a redução do momento de inércia devida à fissuração. Estudos feitos por TAYLOR (1970) e HEIMAN (1977) constataram que a fissuração na faixa dos pilares é maior que na faixa central. Assim, Rangan adotou a faixa dos pilares totalmente fissurada e a faixa central parcialmente fissurada. O momento de inércia Ip é tomado como momento de inércia da seção fissurada Icr, e o momento Ic, como média aritmética entre o momento de inércia da seção geométrica Ig e o da seção fissurada. O momento de inércia de uma faixa de laje fissurada (com intervalos usuais de αe=Es/Ec) por unidade de largura é, aproximadamente, 5ρd3, sendo ρ é a taxa média de armadura de tração. Assim, na faixa dos pilares, o momento de inércia é dado por p

3I = 5 dρ . Na faixa central o

momento de inércia é tomado como II I

ccr g=+

2 e pode ser aproximado para 0,6Ig ,

porque Icr é muito pequeno em relação a Ig. Sendo Ig=h3/12, tem-se I hc =

0 612

3,. E

ainda, admitindo que h=1,2d, tem-se: cI = 0, d0864 3 . Substituindo os valores das inércias Ip e Ic na expressão 7, obtém-se:

w =(F + F )

5 E d1+ 58u

p i t

p c

np

c

p

n

n

β λρ

ρββ

l l l

l

l

l1 1

32

1

2

1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(8)



106

Um estudo paramétrico, feito por RANGAN e McMULLEN (1978), mostrou que a expressão 8 é relativamente insensível a alguns dos parâmetros. Com uma reavaliação dos resultados obtidos, ela foi simplificada:

w = K K(F + F )

90 E du 1 2i t

p c

nl l1 13λ

ρ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (9)

K1 = 1,0 para painéis interiores K1 = 1,3 para painéis exteriores com vigas rígidas de borda K1 = 1,6 para painéis sem vigas de borda K2 = (l2n/l1n) ≥ 0,5 d é a média das alturas úteis das duas faixas A viga é considerada rígida se sua largura e a parte que excede a espessura da laje são, no mínimo, uma vez e meia a espessura da laje (ver figura 4).

Figura 4 – Viga considerada rígida, segundo Rangan

Rangan simplifica mais a expressão, tomando o valor de ρp = 0,006 (segundo Rangan este valor não varia muito). Tem-se então:

w = K K(F + F )

7 E du 1 2i t

c

nl l1 13λ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ (10)

3.2 Processo das Vigas Cruzadas

Todas as aproximações que analisam as lajes como um sistema de vigas perpendiculares podem ser denominados genericamente de processo das vigas cruzadas. Há algumas variações entre as propostas dos vários autores, mas a base dos processos é a mesma. O que é aqui denominado processo das vigas cruzadas é o apresentado no ACI 435.9R (1991) e indicado em MACGREGOR (1992). A laje é tratada como vigas de largura unitária e ortogonais, na linha dos pilares e na região central da laje. O deslocamento no meio do vão de cada viga de largura unitária é calculado usando a equação dos deslocamentos de vigas elásticas.



107

( )[ ]wE I

M M Mn

c em= − +

548

0 12

1 2l

, (11)

ln vão livre na direção considerada Ec módulo de elasticidade do concreto Ie momento de inércia efetivo, obtido com a expressão 2.2 Mm, M1 e M2 momentos no meio-vão e nos apoios, determinados com o Processo

dos Pórticos Equivalentes ou com o Cálculo Direto

O deslocamento total é dado pelo deslocamento da faixa central somado à média dos deslocamentos das faixas dos pilares, na direção ortogonal.

3.3 Análise Elastoplástica com Diagrama Momento-Curvatura Trilinear

Há uma disponibilidade muito grande de programas de elementos finitos com análise elástica linear, havendo também programas que consideram o comportamento elastoplástico do concreto. A análise elastoplástica com o processo dos elementos finitos em lajes de concreto armado tem sido feita através de duas aproximações. A primeira considera o diagrama momento-curvatura, que representa os vários estágios de comportamento do material, e a segunda que considera a placa estratificada em camadas superpostas, que possibilitam a representação de variações nas propriedades do material ao longo da espessura. Em CORRÊA (1991) encontra-se um breve histórico da aplicação da análise elastoplástica com o processo dos elementos finitos. Neste trabalho serão calculados deslocamentos utilizando o programa de elementos finitos que incorpora a rotina para considerar o comportamento elastoplástico do concreto, proposto por CORRÊA (1991), em que é utilizado o modelo não-estratificado. Nesse modelo, o comportamento do material é representado por um diagrama momento-curvatura trilinear, sendo que cada estágio do comportamento do concreto armado (concreto não-fissurado, concreto fissurado e escoamento das armaduras) é representado por uma linha reta, como se pode observar na figura 5. No diagrama momento-curvatura da figura 5, supõe-se que o comportamento não-elástico começa com o aparecimento da primeira fissura no ponto A, com endurecimento linear e mudança de endurecimento no ponto B. As descargas são sempre paralelas ao trecho elástico inicial. Então, no modelo adotado, a partir do ponto A surgem deformações irreversíveis.

′ =−

H DD DB

B

B A1 / e ′ =

−H D

D DCC

C A1 / (12)

DA, DB e DC rigidezes à flexão da placa, relativas aos trechos OA, AB e BC, respectivamente



108

Figura 5 - Diagrama momento-curvatura trilinear

O endurecimento do material é o aumento da tensão de escoamento à medida que ocorre deformação plástica. Os parâmetros de endurecimento, correspondentes aos trechos AB e BC, são dados pelas seguintes expressões: Para a definição do diagrama é necessária a determinação dos pontos A, B e C. O ponto A é o ponto de fissuração. Para determiná-lo despreza-se a presença da armadura, a seção é considerada homogênea e o módulo de elasticidade é Ec (vide figura 6). O momento MA (momento de fissuração Mcr) e a curvatura associada são dados por:

M f bhA tk= 2 6/ e χAtk

c

fE h

=2

(13)

Figura 6 - Fissuração do concreto

No ponto B supõe-se que as armaduras iniciam o escoamento, ou seja, a tensão normal σs atinge o valor da resistência característica do aço à tração fyk. É desprezada a contribuição do concreto tracionado e as tensões de compressão no concreto são consideradas proporcionais às deformações, com módulo de deformação Ec (vide figura 7). O momento MB e a curvatura χB, para seção retangular com armadura simples, são dados por:



109

M f A d xB yk s= −( / )3 e χε

Byk

d x=

− (14)

x m m md= − + +2 2 e m E AE b

s s

c=

Figura 7 - Escoamento das armaduras

No ponto C a região mais comprimida do concreto atinge a resistência característica fck, enquanto as armaduras escoam com tensão σs = fyk. Na distribuição de deformações podem ocorrer duas situações. A primeira em que a deformação na fibra mais comprimida do concreto está compreendida entre 0,20% e 0,35% e a deformação do aço já atingiu o valor de 1%. E a segunda em que a deformação do concreto atinge o valor de 0,35% enquanto no aço a deformação está entre εyk e 1%. É feita a substituição do diagrama parábola-retângulo de tensões de compressão do concreto pelo retângulo equivalente, como permite a NBR 6118 (1978) (figura 8). O momento MC e a curvatura χC para seção retangular com armadura simples são dados por:

M xbf d xC ck= −0 8 0 4, ( , ) e χC x10 0035

=,

ou χC d x20 010

=−

, (15)

xA f

bfs yk

ck=

0 8, e adota-se a menor curvatura entre χC1 e χC2.

Figura 8 – Deformações e tensões na seção



110

O modelo proposto por Corrêa é simples e, através das aferições feitas, comprovou bom desempenho. O desenvolvimento desses modelos busca representações mais realistas do comportamento bidimensional de lajes de concreto armado, principalmente com relação aos fenômenos da fissuração e do escoamento da armadura. A implementação computacional foi feita para elementos triangulares de placa, com três graus de liberdade por nó. O comportamento elastoplástico é analisado para carregamento estático monotonicamente crescente. A solução de problemas não-lineares, como a análise elastoplástica de placas, é feita através de um processo incremental iterativo. A análise da placa é feita através de incrementos de ações, em que é necessário fornecer os seguintes dados: número de incrementos de ações e parcela da ação para cada incremento, número máximo de iterações por incremento, valores das tolerâncias em força e em deslocamento para verificar a convergência e os dados do diagrama momento-curvatura. Esses dados do diagrama momento-curvatura que devem ser fornecidos para a análise são: momento de fissuração (ponto A), momento de escoamento das armaduras (ponto B), parâmetros de endurecimento dos trechos AB e BC.

3.4 Implementação de Graham e Scanlon

Para incluir o efeito da fissuração em programas de elementos finitos de análise linear, SCANLON e MURRAY (1982) propuseram a utilização da relação tensão-deformação ortotrópica, com redução na rigidez à flexão em cada direção. Essa redução de rigidez é feita baseada no momento de inércia equivalente recomendado no código do ACI. Essas modificações foram implementadas por GRAHAM e SCANLON (1985), por meio de uma subrotina, no programa SAP IV. Os procedimentos da rotina são apresentados a seguir. Os momentos nas direções x e y são calculados inicialmente para a laje não fissurada. Uma vez que as ações aplicadas são suficientes para exceder o momento de fissuração, as propriedades dos materiais são reduzidas e os momentos são novamente calculados usando uma relação tensão-deformação ortotrópica para o estado plano de tensão (expressão 19). A rigidez à flexão é reduzida em cada direção, utilizando a expressão do momento de inércia efetivo dado no código do ACI 318 (1983) (e que foi mantido na versão de 1989). O grau de fissuração (α), ou a redução da rigidez, em cada direção, é dado pelas expressões 16. As propriedades dos materiais são reduzidas na mesma proporção, como pode ser visto nas expressões 17 e 18.

α xex

gx

II

= α yey

gy

II

= (16)

E Ex x c= α E Ey y c= α (17)

ν α νx x= ν α νx x= (18)



111

σστ

ν ν

ν

ν νν

ν ν ν ν

εεγ

x

y

xy

x

x y

y x

x y

x y

x y

y

x y

xy

x

y

xy

E E

E E

G

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1 10

1 10

0 0

(19)

O módulo de elasticidade transversal sofre uma redução no seu valor, depois

da fissuração, mas quantificar essa redução é uma tarefa difícil. Hand; Pecknold e Schnobrich, fazendo análises por elementos finitos, chegaram à conclusão de que o cálculo do deslocamento não é sensível ao valor reduzido de Gxy depois da fissuração. Por simplicidade, o módulo de elasticidade transversal antes da fissuração é utilizado mesmo depois da peça fissurada. No cálculo do momento de inércia efetivo, o efeito das tensões geradas pela restrição à retração do material pode ser considerado no cálculo do momento de fissuração Mcr , através da redução da resistência à tração. A análise da laje é repetida usando as constantes reduzidas, e subseqüentes iterações são feitas até não haver fissuração adicional. Um esquema da rotina de fissuração iterativa pode ser visualizada na figura 9. Para fazer a análise incluindo a consideração da fissuração há uma entrada adicional de dados para a subrotina de fissuração, em que são fornecidos os dados da armação da laje e o estado de fissuração de cada elemento. Pode-se fazer a análise da laje através de estágios de carregamento. As ações são divididas em parcelas e são calculados os deslocamentos da laje para cada nível de ação. Com esse procedimento se obtém uma aproximação em degraus ao longo do diagrama momento-curvatura, melhor que uma única aproximação da rigidez da laje no nível do momento máximo de serviço. Nas análises feitas através de estágios de carregamento, os elementos que fissuram em um nível de ações devem ser considerados já fissurados no início da resolução dos níveis de ações subseqüentes. Para indicar a existência de elementos já fissurados no início de uma análise, deve-se fornecer os valores das propriedades reduzidas e do grau de fissuração para aqueles elementos. Neste caso, o fluxograma da figura 9 não começa com o cálculo dos momentos elásticos, mas com os momentos obtidos com o uso da rigidez reduzida.

4 EXEMPLO

Foram feitos três exemplos (SILVANY, 1996). Será aqui apresentado um deles. É a análise de deslocamentos em uma laje-cogumelo estudada por PINHEIRO e SCANLON (1993), que utilizaram o processo das vigas cruzadas e o processo dos elementos finitos através do programa SAP IV, com as modificações apresentadas no item 3.4. Aqui serão calculados os deslocamentos utilizando o programa de elementos finitos de CORRÊA (1991), apresentado no item 3.3. Também será feita uma estimativa do deslocamento utilizando as expressões de Rangan.



112

Início

Cálculo dos momentos elásticos

Cálculo da inércia efetiva para cada elemento nas direções x e y, Iex e Iey

Cálculo do grau de fissuração αx e αy

Redução das propriedades dos materiais Ec e ν

Cálculo dos novos coeficientes de rigidez

Cálculo dos novos valores de momento, deslocamento e grau de fissuração para o novo momento

Verificação se ocorre fissuração adicional, isto é,

menores valores de αx e αy

Fim Sim Não

Figura 9 - Rotina iterativa para considerar a fissuração (GRAHAM, 1984)

4.1 Dados do Pavimento

A figura 10 representa o pavimento. Trata-se de uma laje plana maciça de concreto armado, com 24 cm de espessura e distância de piso a piso de 3,66 m. É



113

utilizado concreto com ′fc = 28 MPa, peso específico de 25 kN/m3 e ν = 0,2. O aço utilizado tem fy = 414 MPa, o módulo de elasticidade Es = 203 GPa. O módulo de elasticidade do concreto é calculado a partir do ′fc através da expressão

E fc c= 5000 ' (MPa), de acordo com o ACI 318 (1989). Assim, Ec = 26458 MPa.

Figura 10 - Forma do pavimento

Pinheiro e Scanlon calculam o deslocamento para carga total pt = 9,5 kN/m2. Foram feitas variações no comprimento do vão externo, na resistência do concreto à tração e nas dimensões dos pilares. Foram considerados quatro casos que estão esquematizados na tabela 1.

Tabela 1 - Casos considerados

Caso

Comprimento do vão externo (m)

Dimensões do pilar externo (cm)

Dimensões do pilar interno (cm)

Resistência à tração (MPa)

1 4,57 30/91 30/122 0 62, 'fc 2 7,32 30/91 30/122 0 62, 'fc 3 4,57 30/91 30/122 0 33, 'fc 4 4,57 30/46 30/61 0 33, 'fc



114

Para a resistência do concreto à tração, utilizaram-se os valores do ACI 318 (1989), nos casos 1 e 2, e os valores sugeridos por SCANLON e MURRAY (1982), nos casos 3 e 4. Na determinação dos deslocamentos considerando a fissuração é necessário conhecer a armação da laje. Em PINHEIRO e SCANLON (1993) é fornecida a área de aço utilizada, que foi determinada através do Processo dos Pórticos Equivalentes e do Cálculo Direto do código do ACI 318. Na determinação dos deslocamentos pelo processo das vigas cruzadas, a laje é dividida em faixas, que são consideradas em cada direção separadamente, e é considerada a área de aço da direção em questão. Quando é utilizado o programa SAP IV com as implementações de GRAHAM e SCANLON (1985), a laje é considerada ortótropa e, desta forma, é fornecida a área de aço nas duas direções da laje. Como já foi mencionado, neste trabalho são determinados os deslocamentos utilizando o programa de elementos finitos com a análise elastoplástica descrita no item 3.3. Nessa análise as relações constitutivas do material são dadas através do diagrama momento-curvatura (M-χ), que é fornecido na entrada de dados. Para montar o diagrama (M-χ) é necessário conhecer a área de aço. O elemento de placa é considerado isótropo, o diagrama (M-χ) é considerado para a flexão segundo um único eixo de atuação. A área de aço utilizada na determinação do diagrama (M-χ) é a média aritmética das áreas de aço nas direções x e y. A modelagem feita para a resolução da estrutura no programa de CORRÊA (1991) foi a mesma utilizada no programa SAP IV com as implementações de Graham e Scanlon; só que a malha utilizada conta com elementos finitos de menor dimensão. Desta forma pôde ser feita a comparação dos resultados obtidos.

4.2 Resultados

Na tabela 2 são apresentados os valores dos deslocamentos no centro do painel interno para a carga total. Na tabela 3 indica-se o aumento percentual que ocorre no deslocamento quando é considerada a fissuração. Na tabela 4 apresenta-se a comparação entre os deslocamentos, calculados considerando a fissuração, tomando como referência aqueles calculados pelo programa de Corrêa. Em Pinheiro e Scanlon, os valores dos deslocamentos calculados através do processo das vigas cruzadas foram feitos seguindo dois caminhos: o caminho 1, que considera a faixa dos pilares na direção x e a faixa central na direção y, e o caminho 2, que considera a faixa dos pilares na direção y e a faixa central na direção x. Pinheiro e Scanlon concluíram que ocorre uma grande variação dos deslocamentos obtidos utilizando os caminhos 1 e 2; essa variação é decorrente dos grandes momentos na faixa dos pilares no vão maior, que causam um elevado grau de fissuração. Assim os deslocamentos no vão maior das faixas dos pilares é muito grande em comparação com os obtidos para as outras faixas. Foi observado que o menor dos valores de deslocamento é o melhor para representar o deslocamento no centro do painel interno, quando se toma como referência o valor obtido utilizando o processo dos elementos finitos. Na tabela 2 e na figura 11 são apresentados os valores dos deslocamentos obtidos pelos diversos processos. O processo 1 é o das vigas cruzadas para a média dos valores dos caminhos 1 e 2 e o processo 2 indica o menor valor entre os dos caminhos 1 e 2. O processo 3 é o cálculo dos deslocamentos utilizando o processo de Rangan (expressão 9). O processo 4 é a análise elástica utilizando o programa SAP IV, o processo 5 é a análise com o SAP IV com a inclusão da rotina que considera a



115

fissuração e os processos 6 e 7 são as análises elásticas e elastoplásticas, respectivamente, realizadas no presente trabalho.

Tabela 2 - Deslocamentos no centro do painel interno para carga total

Processo Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 1. Vigas Cruzadas 1 1,15 0,98 2,27 2,82 2. Vigas Cruzadas 2 0,73 0,69 1,61 2,38 3. Rangan 2,05 2,06 2,05 2,22 4. SAP IV sem fissuração 0,56 0,53 0,56 0,74 5. SAP IV com fissuração 0,75 0,70 1,50 2,02 6. E. F. linear 0,57 0,53 0,57 0,77 7. E. F. elastoplástico 0,72 0,66 1,65 2,35

Tabela 3 - Aumento no deslocamento, decorrente da fissuração

Processo Aumento Percentual Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Elementos Finitos (SAP IV) 34% 32% 168% 173% Elementos Finitos (Corrêa) 26% 25% 189% 205%

Tabela 4 - Valores relativos dos deslocamentos considerando a fissuração

Comparação Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Vigas Cruzadas 1 1,60 1,48 1,38 1,20 Vigas Cruzadas 2 1,01 1,05 0,98 1,01

Rangan 2,85 3,12 1,24 0,94 Elementos Finitos (SAP IV) 1,04 1,06 0,91 0,86 Elementos Finitos (Corrêa) 1 1 1 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Processo de cálculo

Des

loca

men

to (c

m)

Figura 11 - Gráfico de barras representando os deslocamentos

1. Vigas cruzadas 1 2. Vigas cruzadas 2 3. Rangan 4. SAP IV sem fissuração 5. SAP IV com fissuração 6. E.F. linear 7. E.F. elastoplástico



116

4.3 Análise dos Resultados

Os dados da tabela 2 podem ser melhor visualizados no gráfico da figura 11. Pode-se observar que os deslocamentos elásticos obtidos com as análises por elementos finitos foram bastante próximos. Os resultados considerando a fissuração para os casos de resolução com elementos finitos e o menor valor do caso das vigas cruzadas também apresentaram boa concordância. Os valores de deslocamentos obtidos com o processo de Rangan foram os maiores verificados, com exceção do caso 4. Utilizando o processo de Rangan, a diferença entre os valores dos deslocamentos para os casos 1, 2 e 3 é muito pequena, pois o referido processo não considera a influência dos vãos adjacentes e nem o valor da resistência do concreto à tração; é considerada uma única configuração de fissuração. Para as análises considerando a fissuração, observa-se que para as estimativas de deslocamentos utilizando o valor da resistência à tração indicado no ACI 318 (1989), casos 1 e 2, os resultados foram um pouco menores para o caso da análise elastoplástica. Quando é utilizado o valor da resistência à tração recomendado por SCANLON e MURRAY (1982), casos 3 e 4, as estimativas dos deslocamentos são menores para a resolução utilizando o SAP IV. Na tabela 3 verifica-se que para os casos 1 e 2 o aumento do deslocamento decorrente da fissuração é maior para a análise com o programa SAP IV. Nos casos 3 e 4, o aumento do deslocamento decorrente da fissuração é maior para os resultados obtidos através do programa de Corrêa.

Os resultados obtidos utilizando Rangan são independentes da resistência à tração considerada nos cálculos (o deslocamento para os casos 1 e 3 são idênticos). Para os casos em que o valor da resistência à tração é calculado pela indicação do ACI 318 (1989), os valores de deslocamento obtidos utilizando Rangan são muito maiores que os deslocamentos obtidos com os outros processos. Com o valor da resistência à tração reduzido obtém-se resultados mais próximos, pois os outros modelos alcançam uma configuração de fissuração mais próxima daquela considerada por Rangan.

5 CONCLUSÕES

Realizou-se um estudo comparativo de deslocamentos transversais em lajes-cogumelo. Foi utilizado o programa de elementos finitos proposto em CORRÊA (1991), que faz análise elástica e análise elastoplástica, e foram também considerados os deslocamentos obtidos com o programa SAP IV, implementado com uma subrotina para considerar a fissuração do concreto. Também foram estudados processos simplificados, como o processo de Rangan e o processo das vigas cruzadas. Rangan desenvolveu um processo bem simplificado que fornece a estimativa do deslocamento de maneira rápida. Nos três exemplos desenvolvidos por SILVANY (1996), um dos quais foi aqui apresesentado, observa-se que essas estimativas são as maiores, conclusão que também foi obtida por FIGUEIREDO FILHO (1989).

Fazendo uma comparação entre Rangan e a análise numérica utilizando diagrama momento curvatura trilinear (item 3.3), observa-se que à medida que são consideradas condições que permitam uma maior fissuração na análise elastoplástica, os resultados dos dois processos se aproximam. Nos cálculos de Rangan é considerado um modelo único de fissuração, em que a laje está bastante fissurada. É considerado que a faixa dos pilares está totalmente fissurada e a faixa central



117

parcialmente fissurada. A estimativa dos deslocamentos poderia ser melhorada se o estado de fissuração da peça pudesse ser determinado para cada caso em particular. Procurou-se comparar deslocamentos medidos em estruturas reais com os deslocamentos calculados. Infelizmente, é muito difícil o trabalho de coleta de dados dos estudos experimentais, para que se possa fazer uma comparação entre resultados. Foi possível estudar o pavimento cujo deslocamentos foram registrados por TAYLOR (1970), no exemplo 3 da dissertação de SILVANY (1996). A escolha desse pavimento também foi influenciada pelo fato de que ele é um pavimento de forro construído sobre uma edificação já existente. Desta forma a ação de construção se resume no peso próprio da estrutura, aplicada na data da desforma. No citado exemplo 3, houve boa concordância entre a estimativa dos deslocamentos imediatos e o valor medido. No entanto, a estimativa dos deslocamentos aos 850 dias, feita com os procedimentos do ACI 209R (1992), subestimou o valor medido em 37%. TAYLOR (1970) apresentou duas justificativas para a grande relação do deslocamento final sobre o deslocamento inicial que ocorreu na estrutura: a) o concreto utilizado para a execução do pavimento tem características para grandes deformações por fluência e por retração; b) no carregamento inicial, uma grande área da laje estava sujeita a pequenas tensões de flexão e a fissuração inicial foi pequena. Ao longo do tempo, sob ação constante, vão se formar novas fissuras. A estimativa feita utilizando o processo de Rangan foi muito próxima do valor do deslocamento medido. É válido ressaltar que este processo considera a laje bastante fissurada. Observando os resultados dos três exemplos, verifica-se que a proximidade dos deslocamentos calculados por diferentes processos depende da rigidez considerada. O processo de Rangan adota uma única configuração de fissuração; então, quando são consideradas condições que permitam uma maior fissuração da peça (menor resistência à tração, por exemplo), os resultados obtidos com o programa de elementos finitos e com o processo das vigas cruzadas se aproximam dos resultados de Rangan. Não se pôde fazer afirmações conclusivas, visto que só foi analisado um exemplo com dados experimentais, o que é muito pouco. Faltam dados experimentais, sendo necessários mais exemplos para que possa ser feita uma avaliação dos processos de cálculo. Vale ressaltar que devem ser estudados outros processos de cálculo que não foram aqui considerados, como por exemplo a analogia de grelhas. Ao final do trabalho, pode-se destacar pontos importantes que necessitam de mais estudos. Um desses pontos são as ações que atuam nas lajes durante a fase de construção, nos prédios de vários pavimentos, em que é utilizado o processo construtivo com fôrmas e escoras. Outro aspecto importante é o efeito do tempo nos deslocamentos. No presente trabalho, foram colocadas as recomendações do ACI 209R (1992) para a estimativa do deslocamento devido à fluência e devido ao arqueamento por retração. Fazem-se necessários mais estudos nessa área, pois esta é uma grande parcela do deslocamento final.



118

6 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador. Ao Marcos Vinícios Natal Moreira, aluno de Engenharia Civil na EESC – USP, pela colaboração na revisão deste artigo.

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COMPORTAMENTO DE CONECTORES DE CISALHAMENTO EM VIGAS MISTAS AÇO-CONCRETO COM ANÁLISE DA RESPOSTA

NUMÉRICA Gustavo Alves Tristão1 & Jorge Munaiar Neto2

R e s u m o

As vigas mistas aço-concreto têm sido bastante utilizadas na engenharia civil, tanto no Brasil como no contexto mundial. O comportamento adequado deste elemento estrutural faz-se pela interação entre ambos os materiais, a qual é garantida por conectores de cisalhamento. O presente trabalho apresenta uma visão geral do comportamento das vigas mistas aço-concreto, e, principalmente o estudo do comportamento estrutural de conectores de cisalhamento. Para tanto, faz-se uma simulação numérica dos conectores tipo pino com cabeça (stud) e perfil “U” formado a frio, por meio de uma modelagem do ensaio experimental tipo “Push-out”, cujos resultados são confrontados com valores experimentais obtidos de ensaios realizados em laboratório. Para a simulação numérica utiliza-se um código de cálculo com base nos Método dos Elementos Finitos (MEF), cujas ferramentas disponibilizadas permitem análises dos modelos em regime de não-linearidade física e geométrica. Os modelos numéricos apresentam como variáveis de interesse o número de conectores na laje de concreto, a quantidade de armadura inserida no concreto, o diâmetro do conector tipo pino com cabeça (stud), a resistência do concreto, a espessura e posição de soldagem do conector tipo perfil “U” formado a frio. A variação desses parâmetros tem como finalidade a determinação da resistência última e da relação força-deslocamento dos conectores, bem como avaliar a concentração de tensão e deformação nas partes constituintes dos modelos. Palavras-chave: conector de cisalhamento, viga mista aço-concreto, análise numérica.

1 INTRODUÇÃO

Os sistemas estruturais compostos, como as lajes mistas aço-concreto (lajes de concreto com forma de aço incorporada), os pilares mistos aço-concreto (pilares de aço revestidos ou protegidos por concreto e preenchidos com concreto) e as vigas mistas aço-concreto (lajes de concreto sobre vigas de aço), têm sido bastante 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Gustavo Alves Tristão & Jorge Munaiar Neto

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 23 p. 121-144, 2005

122

utilizados nas obras de engenharia civil. No caso de vigas mistas, para um comportamento adequado desse elemento

estrutural faz-se necessária a interação entre ambos os materiais, a qual é garantida por elementos metálicos denominados conectores de cisalhamento, cujas principais funções são a de transferir fluxo de cisalhamento na interface da viga mista, bem como impedir a separação vertical entre laje de concreto e perfil de aço, movimento conhecido como “uplift”.

Dentre os conectores flexíveis mais utilizados na construção civil, citam-se os tipos pino com cabeça (stud) e o perfil “U”, sendo que o primeiro caracteriza-se por ter um rápido método de execução e equivalência na resistência em todas as direções normais ao eixo do conector. Pesquisas recentes vêm sendo desenvolvidas, objetivando a formulação de expressões que permitam determinar a resistência ao cisalhamento dos conectores, em especial o tipo pino com cabeça (stud) e o tipo perfil “U”, para lajes de concreto convencional e de alta resistência.

Essas expressões são de natureza empírica e têm origem em ensaios do tipo “Push-out”, cuja análise dos resultados é feita dentro de um contexto global do sistema misto, impossibilitando, na maioria das vezes, uma avaliação adequada de aspectos particulares de interesse, como por exemplo, a concentração de tensões na região do conector, fator de grande influência na determinação da força de ruptura.

Dentre os objetivos do presente trabalho, destaca-se a proposta de um modelo numérico com utilização do código de cálculo ANSYS 5.7, que simule satisfatoriamente o ensaio tipo “Push-out” recomendado pelo EUROCODE 4 (1994) e pela norma britânica BS 5400 (1979). Como resultado principal é analisada a relação entre a força e deslocamento no conector, podendo-se ainda, em caráter complementar, avaliar os níveis das tensões em qualquer região do modelo, nos estados limites de utilização e último.

2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DOS CONECTORES

Os conectores de cisalhamento são classificados em flexíveis e rígidos. Nesse trabalho é estudado o comportamento apenas dos conectores flexíveis, em particular o tipo pino com cabeça (stud) e o tipo perfil “U”. A flexibilidade dos conectores depende da relação entre força e deslocamento, a qual surge em resposta ao fluxo de cisalhamento longitudinal gerado pela transferência de força entre laje de concreto e a viga de aço. O comportamento flexível é representado pela ductilidade da relação força-deslocamento no conector, conforme figura 1 extraída de Alva (2000).

O comportamento dúctil dos conectores flexíveis caracteriza-se pela redistribuição do fluxo de cisalhamento longitudinal, de modo que, sob carregamento crescente e monotônico, o conector continua a se deformar, sem romper, mesmo quando próximo de atingir sua resistência máxima, permitindo que os demais conectores, pertencentes à mesma viga mista, atinjam também suas resistências máximas.

Nesse caso, pode-se admitir espaçamentos iguais entre conectores, objetivando otimizar a execução da viga mista. Conseqüentemente, o colapso de uma viga mista devido à ruptura da ligação aço-concreto será do tipo dúctil. A figura 2 ilustra os conectores tipo pino com cabeça (stud) e tipo perfil “U”.

Comportamento de conectores de cisalhamento em vigas mistas aço-concreto com...


123

CONECTOR FLEXÍVEL

CONECTOR RÍGIDO

FORÇA

DESLOCAMENTO

Fu

Fu = força última

Figura 1 - Relação força-deslocamento para conectores de cisalhamento

Conector tipo pino com cabeça (stud) Conector tipo perfil “U” formado a frio

Figura 2 - Exemplos de conectores tipos pino com cabeça e perfil “U” formado a frio

O pino com cabeça (stud) é soldado à mesa do perfil por meio de uma pistola

automática ligada a um equipamento específico de soldagem. O processo é iniciado ao se encostar a base do pino ao material-base (mesa superior do perfil), quando então aperta-se o gatilho da pistola, formando-se o arco elétrico provocando, conseqüentemente, a fusão entre o pino e o material-base. Quanto ao perfil “U”, esse deve ser soldado com uma das mesas assentada sobre a viga de aço, e com o plano da alma perpendicular ao eixo longitudinal da viga.

Malite (1993) apresenta os resultados experimentais de ensaios tipo “Push-out” para conectores de cisalhamento do tipo perfil “U” formado a frio com espessura de chapa de 2,66 e 4,76 mm. Os modelos de ensaios são semelhantes aos apresentados no EUROCODE 4 (1994) e na norma inglesa BS 5400. Para cada espessura e posição do conector, foram ensaiados três modelos idênticos para laje de concreto aos 28 dias de idade, em que o deslocamento relativo entre laje de concreto e perfil metálico foi medido por meio de quatro relógios comparadores (posicionados juntos aos conectores) com sensibilidade de leitura de 0,001 mm. As figuras 3 e 4 apresentam um esquema geral dos modelos ensaiados por Malite (1993).

Os ensaios foram conduzidos até que os modelos atingissem a ruptura efetiva, sendo que para efeito de acomodação do modelo, aplicou-se inicialmente 40 kN de carregamento, em duas etapas, seguido de um descarregamento total. Após acomodação do modelo, aplicaram-se etapas de carregamento de 20 kN, com um intervalo de 1,5 minuto entre as leituras dos deslocamentos de duas etapas consecutivas.



124

As formas de ruptura apresentadas nos modelos foram a ruptura do aço do conector junto a solda e ruptura do concreto. O primeiro modo de falha caracterizou-se para o conector com espessura de 2,66 mm, e o segundo modo para o conector com espessura de 4,76 mm.

É importante destacar que quanto à posição do conector, ou seja, a direção do fluxo de cisalhamento, não houve grandes diferenças em relação à resistência última do conector. Porém as relações força-deslocamento para os conectores na posição 1 resultaram mais dúcteis que os conectores na posição 2.

Figura 3 - Esquema geral dos modelos ensaiados por Malite (1993) [4]

Figura 4 - Posições do conector tipo perfil “U” no modelo de ensaio

POSIÇÃO I POSIÇÃO II



125

3 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

Os conectores de cisalhamento atuam como elementos de aço imersos em concreto. O colapso do sistema misto geralmente ocorre quando o material do conector atinge a ruptura devido à redução gradual da resistência e rigidez do concreto na zona de compressão triaxial (zona de influência), localizada imediatamente em frente ao conector, como ilustra a figura 5. A redução da restrição triaxial desta zona é conseqüência da fissuração que ocorre no concreto quando o conector aplica uma força concentrada na laje. Segundo Oehlers (1989), existem três modos de fissuração na laje, ilustrados também na figura 5, e descritos como:

armadura

laje

força concentrada

fissuração por fendilhamento

fissuração porrasgamento

fissuração normal às bielas de compressão

fissuração por fendilhamento

zona de influência

Figura 5 - Tipos de fissuração na laje devida à força concentrada

• fissuração devida ao rasgamento, propagando-se nas laterais do conector, e que depende da força de compressão no plano da laje. Quando este modo de fissuração ocorre na direção da zona de influência, tem-se pouco efeito na resistência do conector.

• fissuração que se propaga na direção das bielas de compressão do concreto.

• fissuração por fendilhamento em frente ao conector. A propagação dessas fissuras diminui a restrição triaxial na zona de influência.

A fissura por fendilhamento, neste caso, é mais nociva ao concreto, tendo como conseqüência a ruptura do conector. É importante salientar que a armadura transversal não evita o fendilhamento do concreto, mas limita a propagação das fissuras. Portanto, a resistência ao cisalhamento do conector está diretamente ligada à resistência e à rigidez do material do conector e da laje de concreto, tendo a armadura transversal da laje um papel importante apenas no seu confinamento. Algumas expressões empíricas baseadas em ensaios tipo “Push-out” são propostas para determinação da resistência ao cisalhamento dos conectores tipos pino com cabeça (stud) e perfil “U” formado a frio, para ambos os tipos para laje de concreto maciça:



126

a) EUROCODE 4 (1994) A resistência de cálculo do conector tipo pino com cabeça (stud) (qrd) em N, é assumida como o menor dos seguintes valores.

v

2

u

rd

)4d(f8,0

qγ

π

=

(1.a)

v

cck2

rd

Efd29,0q

γ

α=

(1.b) onde, fu = resistência à ruptura do aço do conector; d = diâmetro do conector; fck = resistência característica à compressão do concreto (MPa); Ec = módulo de

elasticidade do concreto (MPa); α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1

dh

2,0 cs para 4d

h3 cs ≤≤ ; α 0,1= para

4d

h cs > ; γv= 1,25 ; hcs = altura do conector.

b) NBR-8800 (1986)

Resistência nominal do conector tipo pino com cabeça (stud) (qn) em N:

usccckscn fAEfA5,0q ≤=

(2)

onde, Asc = área da seção transversal do conector; Ec = ck5,1

c f42γ (MPa); γc = peso

específico do concreto em kN/m3.

De acordo com a NBR-8800 (1986), o uso da expressão (2) aplica-se para concreto com fck menor ou igual a 28 MPa. c) MALITE et al. (1998) Resistência nominal do conector do tipo perfil “U” formado a frio (qn) em kN:

cckn EftL00045,0q =

(3) onde, t = espessura da chapa do conector em mm, L = comprimento do conector em mm, ck

5,1cc f42E γ= (Mpa).

O uso da expressão (3) aplica-se para concreto com fck entre 20 e 28 MPa e peso específico superior a 22 kN/m3.

A expressão (3) deriva da expressão proposta AISC-LRFD (1994), para perfil

“U” laminado, mantendo-se iguais as espessuras da mesa e da alma do conector, as quais são características dos perfis formados a frio. Os resultados da expressão (3) mostraram-se compatíveis quando comparados com os resultados experimentais do ensaio “Push-out” realizado por Malite (1993).



127

4 ASPECTOS REFERENTES À MODELAGEM NUMÉRICA

A complexidade da análise multiaxial, nos campos das tensões e das deformações, pode dificultar na maioria das vezes a elaboração de formulações analíticas referentes ao ensaio “Push-out”, provável razão pela qual quase sempre têm sido propostas expressões empíricas que representam o comportamento dos conectores de cisalhamento. Com a evolução dos micro-computadores e dos códigos de cálculo, a análise multiaxial para as estruturas de um modo geral deixa de ser um problema.

Desta forma, é proposto no presente trabalho um modelo numérico tridimensional que simule satisfatoriamente o ensaio experimental tipo “Push-out” para conectores pino com cabeça (stud) e perfil “U” formado a frio, cuja simulação numérica é realizada por meio da utilização do ANSYS 5.7. Pelas simetrias verificadas com referência à geometria e à solicitação do modelo para o ensaio experimental “Push-out”, considerou-se apenas metade do modelo experimental, para a elaboração do modelo numérico.

4.1 Elementos finitos adotados

Os modelos numéricos propostos foram elaborados a partir de quatro tipos de elementos finitos disponibilizados na biblioteca interna do código de cálculo ANSYS 5.7, e estão apresentados a seguir. É importante observar que todos os elementos adotados têm apenas três graus de liberdade por nó, referentes às translações em x, y e z (coordenadas locais), uma vez que não há o interesse na quantificação da rotação dos elementos.

Para a discretização da laje de concreto foi utilizado o elemento concreto armado tridimensional SOLID 65, constituído por oito nós (figura 6a). O SOLID 65 permite simular fissuração na tração (nas três direções ortogonais) e esmagamento na compressão, bem como um comportamento com não-linearidade física, o que permite avaliar deformações plásticas. Possibilita ainda a inclusão das barras de armadura na forma de taxas, denominada armadura dispersa, as quais são resistentes apenas à tração e à compressão. No entanto, caso seja de interesse, este elemento permite ainda a introdução das barras de armadura na forma discreta, procedimento esse adotado para os modelos numéricos do presente trabalho.

Para simular o comportamento do perfil metálico e dos conectores de cisalhamento, utiliza-se o elemento sólido estrutural tridimensional SOLID 45 (figura 6b). Assim como o SOLID 65, o SOLID 45 também possui oito nós, e permite considerar a plasticidade e a ortotropia do material.

As barras de armaduras dispostas na laje de concreto são discretizadas com o elemento barra tridimensional LINK 8, constituído por nós de extremidades inicial (I) e final (J). Como ilustrado na figura 7, o eixo x do elemento é orientado segundo o seu comprimento. Vale ressaltar que nenhuma flexão no elemento pode ser considerada, porém, é disponibilizada ao usuário a possibilidade de se admitir a ocorrência de deformação plástica.



128

54

3

1

2

6M

PO

K

JI

N

x

y

zARMADURA

φ

θ

L

I

M

2

J

6

1

3

N

K

5

PO

4

L

SISTEMA DE COORDENADAS DO ELEMENTO

z

y

x

Figura 6 – Elemento finito tipo SOLID 65 (a) e Elemento finito tipo SOLID 45 (b)

I

Jx

Figura 7 - Elemento finito tipo LINK 8

Nas interfaces entre conectores de cisalhamento e laje de concreto foram considerados

elementos de contato, objetivando simular a ocorrência de possíveis deslocamentos relativos entre conector e concreto da laje. Foi utilizado o elemento de contanto definido pelo ANSYS 5.7 como superfície-superfície, que surge do trabalho em conjunto dos elementos TARGE 170 (como superfície alvo) e CONTAC 173 (como superfície de contato). No caso particular do modelo numérico proposto, as faces dos elementos de concreto na interface laje-conector foram consideradas como superfície alvo, enquanto que as faces dos elementos dos conectores foram consideradas como superfície de contato.

Para se estabelecer uma rigidez entre ambas as superfícies, alvo e contato, é necessário informar ao ANSYS o valor de um fator de rigidez normal de contato, identificado por meio do parâmetro FKN. Este parâmetro controla a intensidade de penetração e afastamento entre ambas as superfícies, razão pela qual tem grande influência na convergência durante o processamento do modelo. Além disso, pode-se por meio do elemento de contato quantificar a pressão que o conector exerce no concreto.

4.2 Condições de contorno e solicitação

Como o modelo numérico leva em conta apenas a metade do modelo experimental “Push-out”, restringiu-se o deslocamento segundo a direção X (coordenada global) da alma do perfil metálico em toda sua extensão (na vertical). Além disso, a face inferior da laje de concreto é restringida nas três direções, no plano XY e também na direção normal a este plano (coordenadas globais), objetivando garantir a estabilidade do modelo, quando da aplicação das forças no perfil metálico.

Os conectores de cisalhamento estão solidarizados à mesa do perfil metálico, objetivando garantir que os nós comuns aos elementos dos conectores e da mesa da viga de aço tenham compatibilidade de deslocamentos em todas as direções. Vale mencionar ainda que os nós pertencentes à laje de concreto e à mesa do perfil

(a) (b)



129

metálico foram acoplados apenas na direção X, objetivando minimizar a rotação da laje em do eixo Z.

A solicitação é aplicada na face superior do perfil metálico, na forma de pressão, cuja intensidade é definida por meio da divisão da força de ruptura estimada pela área da seção transversal do perfil metálico. As direções das coordenadas globais para os modelos é apresentada na figura 10.

4.3 Modelos de não-linearidade física adotados para o aço e concreto

O código de cálculo ANSYS 5.7 possibilita a consideração da não-linearidade física dos materiais, com base em alguns critérios de resistência. Nos modelos numéricos em questão, para o aço do conector e do perfil metálico, adota-se o comportamento elasto-plástico multilinear com encruamento isótropo. Já para o aço da armadura, considera-se o comportamento elasto-plástico perfeito. Esses dois comportamentos são associados ao critério de Von Mises, e as relações tensão-deformação são ilustradas na figuras 8 e 9, respectivamente.

σ

εE=tangα

E1

εa bε εc εd

=tangβ

2=tangγE=tangφE3

σb

a σ

σc

σd

Figura 8 - Comportamento elasto-plástico multilinear com encruamento isótropo

yf

σ

εΕ = tang α

Figura 9 - Comportamento elasto-plástico perfeito

Para o concreto, adotam-se o modelo concreto e o modelo elástico não-linear.

O modelo concreto é baseado no critério de ruptura para o estado multiaxial de tensão, proposto por “Willam-Warnke”, e capaz de simular o esmagamento na compressão e a fissuração na tração. Já o modelo elástico não-linear permite a consideração de uma relação não-linear entre tensão e deformação, para o qual adotou-se o comportamento para o concreto, descrito pela relação tensão-deformação foi extraída do CEB-FIB (1991).

PONTOS σ ε

a 0,7fy 0,7fy/E

b fy

1

yya E

f7,0f −+ε

c fu

2

yub E

ff −+ε

d fu 1



130

No modelo com conector tipo pino com cabeça (stud) foi adotado o modelo concreto praticamente em toda laje, exceto nos elementos finitos sujeitos às vinculações de base da laje, em que se utiliza o modelo elástico não-linear.

Por outro lado, para os modelos com conector tipo perfil “U” formado a frio utiliza-se o modelo concreto nas regiões da laje próximas aos conectores, pois são essas regiões submetidas a tensões de compressão e de tração consideradas elevadas quando comparadas às correspondentes resistências. Em contrapartida, nas regiões da laje onde as tensões não são elevadas adota-se o modelo elástico não-linear, desde que as tensões de tração, quando verificadas, resultem próximas da resistência à tração do concreto (ft). Essa verificação deve-se ao fato de o modelo elástico não-linear adotar para esforços de tração o mesmo comportamento (σ x ε) adotado para esforços de compressão e, portanto, inconsistente com o comportamento real do concreto verificado experimentalmente.

5 RESULTADOS DA ANÁLISE NUMÉRICA

Apresentam-se a seguir resultados da análise numérica de modelos com conectores dos tipos pino com cabeça (stud) e perfil”U” formado a frio, ambos em laje de concreto maciça.

Vale ressaltar que a força total estimada foi aplicada em pequenos incrementos, que variam dentro de um intervalo entre 100 e 250, adotando como critérios de convergência a variação dos deslocamentos com tolerância para convergência de 0,001, bem como uma tolerância de 1 mm para penetração entre as superfícies alvo e de contato.

5.1 Modelo Numérico com Conector stud 13 mm

A simulação numérica referente ao conector tipo pino com cabeça (stud) foi feita por meio de um modelo denominado de PHS-1, cujas dimensões e propriedades dos materiais respeitaram aquelas adotadas nos ensaios experimentais tipo “Push-out”, realizados por Kalfas (1997). O modelo consiste basicamente de dois pinos com cabeça (stud), em cada laje, com 13 mm de diâmetro e 75mm de comprimento, espaçados entre si 250 mm. A discretização do modelo PHS-1 é apresentada na figura 10.

As tabelas 1 e 2 apresentam as propriedades dos materiais para as fases de comportamentos linear e não-linear, em correspondência às figuras 8 e 9. Já a tabela 3 apresenta as propriedades para o concreto, onde são especificadas as correspondentes resistências à compressão do concreto (fck) e à tração (ft).

Tabela 1- Propriedades do aço do conector e do perfil metálico

MATERIAL σa

(kN/cm2)

σb

(kN/cm2) σc

(kN/cm2) σd

(kN/cm2) E

(kN/cm2)

Ea

(kN/cm2)

Eb

(kN/cm2)

Ec

(kN/cm2)

AÇO DO CONECTOR 28,0 40,0 49,6 49,6 20000 200 20 0

AÇO DO PERFIL 17,5 25,0 40,0 40,0 20500 205 20,5 0



131

Tabela 2 - Propriedades do aço da armadura

MATERIAL fy (kN/cm2) E (kN/cm2)

AÇO DA ARMADURA 50,0 21000

Tabela 3 - Propriedades do concreto

MATERIAL E (kN/cm2) fck (kN/cm2) ft (kN/cm2)

CONCRETO 2782 1,71 0,2

A figura 11 ilustra como resultado a relação entre força e deslocamento do

conector do modelo numérico PHS-1, confrontado com três resultados mais representativos, dentre os nove ensaios experimentais realizados por Kalfas et al. (1997). A força total aplicado no modelo foi dividida igualmente entre os dois conectores. O valor adotado para a rigidez normal de contato (FKN) foi 500.

Figura 10 - Malha de elementos finitos do modelo PHS-1

Laje de concreto Perfil

met

PLANO XZ

Y

X

Z

Stud



132

0

10

20

30

40

50

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0

DESLOCAM ENTO (mm)

FOR

ÇA

PO

R C

ON

EC

TO

R (k

N)

EXPERIMENTAL 1

EXPERIMENTAL 2

EXPERIMENTAL 3

PHS-1

Figura 11 - Relação força x deslocamento por conector, para o modelo numérico PHS-1

Por uma análise com referência à figura 11, é possível identificar uma

concordância bastante satisfatória do resultado do modelo PHS-1 quando comparado com os resultados experimentais, até o valor de força igual a 37,75 kN, a partir do qual não mais apresentou convergência, em correspondência a uma tolerância de 0,001 com referência à diferença entre deslocamentos sucessivos.

É importante destacar que as tensões nas armaduras resultaram baixas comprovando, como já comentado em capítulos anteriores, a sua função de apenas confinar o concreto. As tensões de Mises no concreto na região da laje imediatamente abaixo do conector resultaram elevadíssimas em alguns elementos (figura 14), provavelmente devido à significativa pressão de contato entre conector e concreto, como ilustrado na figura 12.

Figura 12 - Pressão de contato (kN/cm2) entre o conector e o concreto, modelo PHS-1

O comportamento da pressão de contato ao longo da solicitação é apresentada na

figura 13 com referência as posições ilustradas na figura 12.

FORÇA POR CONECTOR DE 37,75 kN

3

1 2

4



133

0

10

20

30

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0

FORÇA POR CONECTOR (kN)

POSIÇÃO 1

POSIÇÃO 2

POSIÇÃO 3

POSIÇÃO 4

Figura 13 - Relação pressão de contato x força por conector, modelo PHS-1

A figura 15 ilustra as tensões de Mises em apenas um conector, uma vez que

o comportamento dos dois conectores é igual. As posições no conector (figura 15) indicadas pelos números 1, 2, 3 e 4 representam regiões para as quais serão plotadas relações entre tensão de Mises e força no conector (figura 16).

Figura 14 - Tensão(kN/cm2) na laje de concreto, região circundante ao conector, modelo PHS-1

FORÇA NO MODELO DE 75,5 kN



134

Percebe-se por meio do figura 16 a redistribuição de tensões que ocorre ao longo do comprimento do conector. Vale destacar que em nenhuma região do conector foi atingido o valor da tensão de escoamento (fy).

Figura 15 - Estado de tensão (kN/cm2) no pino com cabeça (stud), modelo PHS-1

Para o mesmo modelo, é apresentada na figura 17 a evolução das fissuras na

laje de concreto, em correspondência às etapas de forças no modelo de 10, 30, 40 50, 60 e 75,5 kN. As fissuras na laje são provocadas pela fissuração do concreto na tração e pelo esmagamento do concreto na compressão.

Por uma análise com relação às etapas ilustradas na figura 17, as fissuras nos primeiros incrementos de força iniciam-se na região circundante ao conector e, com o aumento da força, se expandem pela laje de concreto.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35 40

FORÇA POR CONECTOR (kN)

POSIÇÃO 1

POSIÇÃO 2

POSIÇÃO 3

POSIÇÃO 4

Figura 16 - Relação tensão x f orça no conector, modelo PHS-1

FORÇA POR CONECTROR DE 37,75 kN

1

2 3

4



135

Figura 17 - Progressão das fissuras na laje de concreto, modelo PHS-1

5.2 Modelos numéricos com conector tipo perfil “U” formado a frio

Para os modelos numéricos com conectores tipo perfil “U” formado a frio, adotou-se como referência o modelo experimental ensaiado por Malite (1993). Foram modelados conectores perfil “U” de 2,66 e 4,76 mm de espessura nas posições I e II, apresentadas na figura 4, em um total de quatro modelos numéricos, aqui denominados de PHU-AI, PHU-AII, PHU-BI e PHU-BII. Nesse caso, as letras A e B referem-se às espessuras adotadas, enquanto que os números I e II referem-se às posições dos conectores. As propriedades adotadas para os materiais estão apresentadas nas tabelas 4, 5 e 6.

Tabela 4 - Propriedades do aço do conector e do perfil metálico (referente à figura 8)

MATERIAL σa

(kN/cm2)

σb

(kN/cm2) σc

(kN/cm2) σd

(kN/cm2) E

(kN/cm2)

Ea

(kN/cm2)

Eb

(kN/cm2)

Ec

(kN/cm2)

AÇO DO CONECTOR 17,35 24,78 35,37 35,37 19900 199 19,9 0

AÇO DO PERFIL 17,40 37,73 54,26 54,26 19900 199 19,9 0

30 kN 10 kN

60 kN 75,5 kN 50 kN

40 kN



136

Tabela 5 - Propriedades do aço da armadura (referente à figura 9)

MATERIAL fy (kN/cm2) E (kN/cm2)

AÇO DA ARMADURA 50,0 21000

Tabela 6 – Propriedades do concreto

MATERIAL E (kN/cm2) fck (kN/cm2) ft (kN/cm2)

CONCRETO 3215 2,67 0,28

Apresenta-se na figura 18 a discretização referente aos modelos com conector

perfil “U” formado a frio, tomando nesse caso como base o modelo PHU-BI.

Figura 18 – Visão geral da discretização para os modelos com conector perfil “U” formado a

frio

Nas figuras 19 e 20, para os modelos numéricos AI, AII, BI e BII, apresentam-se relações entre força por conector e deslocamento obtido no modelo numérico, confrontadas com os resultados dos ensaios experimentais realizados por Malite (1993). Para todos os modelos numéricos, o valor de FKN adotado foi 500.

Todas as relações entre força por conector e deslocamento dos modelos numéricos apresentam basicamente um mesmo comportamento, ou seja, a fase inicial apresenta um comportamento linear governado pelo fator FKN, e a partir de uma determinada força, a relação começa a apresentar um comportamento fortemente não-linear, devido a não-linearidade física dos materiais, principalmente do aço do conector e do concreto da laje.

Laje de concreto Perfil

metálico

Perfil “U”

Armadura



137

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

DESLOCAMENTO (mm)

AI-1AI-2AI-3PHU-AI

0102030405060708090

100110120

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

DESLOCAM ENTO (mm)

AII-1AII-2AII-3PHU-AII

Figura 19 – Relação força por conector x deslocamento, modelos PHU-AI e PHU- AII



138

0

25

50

75

100

125

150

175

200

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0DESLO CAM ENTO (mm)

FOR

ÇA

PO

R C

ON

EC

TO

R (k

N)

BI-3BI-2BI-1PHU-BI

0

50

100

150

200

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0

DESLOCAMENTO (mm)

FOR

ÇA

PO

R C

ON

EC

TO

R (k

N)

BII-3BII-2BII-1PHU-BII

Figura 20 – Relação força por conector x deslocamento, modelos PHU-BI e PHU-BII

A distribuição de tensões (de Mises), no conector, com referência à força

última para cada modelo é ilustrada na figura 21, para os modelos PHU-AI e PHU-AII, bem como na figura 22, para os modelos PHU-BI e PHU-BII. O comportamento do conector ao longo da solicitação nos modelos PHU-AI e PHU-AII, assim como para os modelos PHU-BI e PHU-BII são apresentadas nas figuras 23 e 24, respectivamente, por meio da relação entre tensão e força no conector. Os valores das tensões (de Mises) foram tomados a partir dos nós indicados na linha 1 (figuras 21 e 22), ou seja, posições 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (ao longo da altura do perfil “U”).

Figura 21 – Distribuição de tensões de Mises (kN/cm2) no conector perfil “U”, modelos PHU-AI

e PHU- AII

Linha 1 Linha 1



139

Figura 22 – Distribuição de tensões de Mises (kN/cm2) no conector perfil “U”, modelos PHU-BI

e PHU- BII

O comportamento do conector ao longo da solicitação (figura 23) nos modelos PHU-AI e PHU-AII são semelhantes, ou seja, inicialmente para a posição 1, as tensões aumentam rapidamente até atingir a tensão de proporcionalidade (σa) de 17,35 kN/cm2. A partir desse instante, os elementos localizados nas posições número 2 e 3 começam a ser responsável por uma maior parcela de força, e conseqüentemente, um aumento nas tensões até atingirem a tensão de escoamento (fy) igual a 24,78 kN/cm2.

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FORÇA NO CONECTOR (kN)

POSIÇÃO 1 POSIÇÃO 2POSIÇÃO 3 POSIÇÃO 4POSIÇÃO 5 POSIÇÃO 6

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FO RÇA NO CO NECTO R (kN)

POSIÇÃ O 1 POSIÇÃ O 2POSIÇÃ O 3 POSIÇÃ O 4POSIÇÃ O 5 POSIÇÃ O 6

Figura 23 – Relação tensão x força, (a) modelo PHU-AI, (b) modelo PHU-AII

(a)

Linha 1 Linha 1

(b)



140

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160

FORÇA N O CONECTOR (kN)

POSIÇÃO 1 POSIÇÃO 2POSIÇÃO 3 POSIÇÃO 4POSIÇÃO 5 POSIÇÃO 6

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160

FO RÇA N O CON ECTO R (kN)

PO SIÇÃ O 1 POSIÇÃO 2



Figura 24 – Relação tensão x força, (a) modelo PHU-BI, (b) modelo PHU-BII

Observa-se na figura 24 a redistribuição de tensões que existe ao longo da altura do conector, fato este que justifica as tensões elevadas nos três elementos finitos que apresentam cor vermelha (figura 22), mesmo estando na região da alma mais afastada da mesa do perfil metálico. Essa redistribuição de tensões ocorre quando o elemento de posição 1 atinge a tensão de proporcionalidade (σa) de 24,78 kN/cm2 e logo depois os elementos de posições 2 e 3, atingem a tensão de escoamento do aço do conector (fy) de 24,78 kN/cm2.

A pressão de contato entre conector e laje de concreto também foi medida em todos os modelos, pois por meio desta têm-se a real tensão que o conector transmite para a laje de concreto. As figuras 25 e 26 apresentam a distribuição da pressão de contato para força de 81 kN e 139 kN, respectivamente. Vale mencionar que o contato é estabelecido apenas na parte comprimida.

(a)

(b)



141

Figura 25– Comparação da pressão de contato entre os modelos (a) PHU-AI e (b) PHU-AII,

referente à força de 81 kN.

Figura 26– Comparação da pressão de contato entre os modelos (a) PHU-BI e (b) PHU-BII, referente à

força de 139 kN

As figuras 27 e 28 apresentam para os modelos PHU-AI; PHU-AII e PHU-BI; PHU-BII a

relação pressão de contato x força no conector, respectivamente, o qual os valores foram tomados a partir dos nós indicados na linha 1 e linha 2 figuras 25 e 26.

(a) (b)

FORÇA DE 139 kN

Linha 1

Linha 2

(a) (b)

FORÇA DE 81 kN Linha 2

Linha 1



142

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FORÇA NO CONECTOR (kN)

POSIÇÃO 1POSIÇÃO 2POSIÇÃO 3

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FO RÇA NO CON ECTOR (kN)

POSIÇÃO 1POSIÇÃO 2POSIÇÃO 3

Figura 27– Relação pressão de contato x força, modelos PHU-AI e PHU-AII

0

3

6

9

12

15

0 20 40 60 80 100 120 140 160

FORÇA NO CO NECTOR (kN)

PO SIÇÃO 1

PO SIÇÃO 2

PO SIÇÃO 3

0

3

6

9

12

15

0 20 40 60 80 100 120 140

FO RÇ A N O CO N ECTO R (kN )

PO SIÇÃ O 1

PO SIÇÃ O 2

PO SIÇÃ O 3

Figura 28– Relação pressão de contato x força, modelos PHU-BI e PHU-BII



143

Por meio das figuras 27 e 28 pode-se observar que as maiores pressões de contato, localizam-se na região perto da solda do conector com o perfil metálico.

6 CONCLUSÕES

A proposta do presente trabalho objetivou avaliar o comportamento dos conectores de cisalhamento dos tipos pino com cabeça e perfil “U” formado a frio, por meio de análise numérica tridimensional do ensaio tipo “Push-out”. Para tanto foram analisados conectores stud de 13 mm, bem como perfis “U” formados a frio, de 2,66 e 4,76 mm de espessura, em duas posições diferentes.

Os resultados dos modelos numéricos, analisados com referência à relação entre força e deslocamento por conector, resultaram satisfatórios quando confrontados com resultados experimentais. Adicionalmente, foram analisados outros aspectos de interesse nos modelos numéricos, como por exemplo, a concentração de tensão nos conectores, de difícil obtenção em ensaios experimentais.

Análises com relação aos conectores tipo perfil “U” formado a frio, identificaram a não ocorrência de grandes diferenças com relação à força última do conector de mesma espessura, ou seja, a diferença entre os modelos PHU-AI e PHU-AII foi de aproximadamente 3,5%, enquanto que a diferença entre os modelos PHU-BI e PHU-BII foi 5%. Porém, identificou-se uma grande influência da posição com relação à ductilidade do conector, ou seja, conectores na posição I têm comportamento mais dúctil quando comparados àqueles na posição II, fato de grande importância quando o colapso de uma viga mista dá-se devido à ruptura da ligação.

As armaduras na laje de concreto em todos os modelos numéricos apresentaram tensões muito inferiores à tensão de escoamento do aço, aspecto que confirma como função principal desse elemento o confinamento do concreto, aumentando assim a sua resistência.

As tensões na laje de concreto apresentaram-se bastante elevadas na região do conector. Além disso, foi constatado que as fissuras, nos primeiros incrementos de força, iniciaram-se na região circundante ao conector e, com aumento da força, se espalham por toda a laje de concreto. Vale ressaltar que ambos os aspectos verificados confirmam comentários apresentados em outros trabalhos realizados por outros pesquisadores

Por uma análise criteriosa dos elementos de contato, acredita-se que a perturbação identificada na relação tensão x força, para algumas posições no conector, deve-se ao fato de nessas regiões a pressão e a penetração de contato serem elevadas, quando comparadas a outras regiões do conector.

Finalmente, vale destacar que a simulação numérica do ensaio “Push-out” possibilita analisar o comportamento dos conectores de cisalhamento, não somente sobre o aspecto global, ou seja, relação força x deslocamento, mas também aspectos localizados como tensões e deformações nos componentes do modelo. A análise numérica do ensaio “Push-out” pode representar uma economia de tempo e dinheiro, quando comparada à análise experimental.



144

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.


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são carlos, v.7 n. 23 2005 · valério da silva almeida & joão batista de paiva cadernos de...

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