2 - fundamentação teórica sistemas digitais seqüenciais

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do SulInstituto de Informática (II-PUCRS)Grupo de Apoio ao Projeto de Hardware - GAPH

Projeto Lógico Automatizado deSistemas Digitais Seqüenciais 2 - Fundamentação Teórica

Ney Laert Vilar Calazans*

Julho, 1998

*Com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico eTecnológico (CNPq) e da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do RioGrande do Sul (FAPERGS).

http:/ /www.inf.pucrs.br/~gaph gaph@kri ti.i nf.pucrs.br

Sumário

H 1 - Estruturas Algébricas

H 2 - Grafos

H 3 - Funções

H 4 - Representações de Funções Discretas

H 5 - Análise de Complexidade de Algoritmos

H 6 - Problemas Formais

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1 - Estruturas Algébricas - conceitos básicos

H Conjuntos:– cardinalidade, elementos, conjunto potência, ∅ ;

– relações entre elementos ou conjuntos e conjuntos:» ∈, ∉, ⊃, ⊆, ∩, ∪, etc.

H Produto Cartesiano: S×T: (s,t) | s∈ S, t∈ T;– conceito expansível para S×T×U…

H Faltam operadores para expressar:– ordenamento, equivalência/compatibilidade.

H Problema: usar conjuntos para expressar isto.


1 - Estruturas Algébricas - exemplo e definição

H Exemplo: Naturais (N) eInteiros (Z)– 3 ∈ N, -25 ∉ N, 6/3 ∈ N;

– 3 ∈ Z, -25 ∈ Z, 1/3 ∉ Z;

– Z ⊄ N, N ⊂ Z;

H Contudo, como expressarque 25≤ 39, ou então que -25 ≤ 25?

H Solução: associar novasrelações e conseqüentesoperadores aos conjuntos!

H Estrutura Algébrica -coleção de conjuntos erelações n-árias sobreestes;

H Notação: <S,T,…,r,δ,...>;

H Base - relação binária.

N

Z

0 1 2 3 4 5 6

-3-2-1 0 1 2 3


1 - Estruturas Algébricas - relações binárias

H Tripla <S,T,r>, onde S é domínio, T é ocodomínio e r é o grafo, r ⊆ S×T;

H Imagem r(s) de elemento do domínio é t | t∈ T,(s,t)∈ r, extensível a qquer subconjunto de S.

H Estrutura do grafo determina tipos de relação:– completamente especificada - r(s)≠∅ , para todo s;

– sobre - r(S)=T (também dita cobertura de T);– funcional - para todo s ∈ S, |r(s)|≤1;

– um-para-um - para todo s≠s’, r(s)∩r(s’)=∅ ;


1 - Relações binárias - exemplos

sobre

funcional um-para-um

completamente especificada


1 - Relações binárias - partição

H Combinações depropriedades ->importantes relações;

H Partição: uma relaçãobinária sobre e um-para-um;

H Partição: coberturaonde blocos (classes)disjuntos dois a dois.

partição


1 - Relações Binárias sobre um Conjunto

H Aquelas onde S=T;

H Propriedades adicionais -> novos tipos:– reflexiva - r(s) ⊆ s, para todo s ∈ S;

– simétrica - se r(s) ⊆ t, então r(t) ⊆ s, paraqualquer s e qualquer t;

– antissimétrica - se para algum s e t, r(s) ⊆ t, etambém r(t) ⊆ s, então s=t;

– transitiva - para todo s, t, e u em S, se r(s) ⊆ t, er(t) ⊆ u, então r(s) ⊆ u;

H Como antes, propriedades são ortogonais!


1 - Relações binárias sobre conjunto- exemplos

reflexiva simétrica

antissimétrica transitiva


1 - Relações binárias - relações de ordem

H Uma relação bináriareflexiva e transitiva érelação de pré-ordem;

H Relação de pré-ordemantissimétrica é relaçãode ordem;

H Se para todo s t, umdentre (s,t) e (t,s) fazparte da relação deordem, ordem é total,senão, é parcial.

relação de ordem


1 - Relações de ordem - diagrama de Hasse

H Forma gráfica ilustrando relação de ordem;

H Grafo dirigido, com menor número de arestas;H Relação de ordem representada: < S2, ≤ >;

H Vértices - elementos de S, Arestas - relação.a,b,c

a,b a,c b,c

a b c

Ø

30

6 10 15

2 3 5

1

3

2

1

Exemplos


Sumário

√ 1 - Estruturas Algébricas

H 2 - Grafos

H 3 - Funções




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2 - Grafos - conceitos básicos

H Formalmente, G=<V,E>, com conjunto V devértices e relação binária E sobre V, E=<V2,r>,elementos de r são arestas;

H Dependendo de E, grafos podem ser dirigidos,não-dirigidos, ter laços ou não, etc;

H Conceitos importantes: incidência de arestas,adjacência entre vértices, grau de um vértice,completude, caminho entre vértices, ciclicidade,conexidade, decomposição em subgrafos,isomorfismo, planaridade, árvores, etc, etc.


2 - Grafos - exemplos

c

fe

b

d

agrafo não-dirigido

c

fe

b

d

a

grafo dirigido

c

f

ba

grafo dirigido

subgrafo de

três componentesconexos


Sumário


√ 2 - Grafos

H 3 - Funções




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3 - Funções

H aqui - funções são relações binárias!

H função parcial - relação binária funcional;

H função completa - relação binária funcional ecompletamente especificada;

H função no presente contexto = função parcial.

função parcial função completa não é função


3 - Funções especiais

H injeção - função um-para-um;

H sobrejeção - função sobre;

H bijeção - função sobre e um-para-um

H função discreta - domínio e codomínio finitos.

injeção bijeçãosobrejeção


Sumário


√ 2 - Grafos

√ 3 - Funções




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4 - Representações de Funções discretas

H Uma forma simples - vetor valor– ordena-se elementos do domínio e usa-se vetor de

imagens, indexado pelos elementos do domínio;» Exemplo: E de duas entradas - ordem de enumeração

natural após conversão de base 2 para base 10.

» Solução: [0 0 0 1]

H Outras formas - tabela verdade, mapas deKarnaugh, soma de mintermos, produto demaxtermos, diagramas de decisão binária,diagramas de Hasse.


4 - Tabelas Cúbicas para Funções discretas

H Introdução via exemplo:– Sejam I1=a,b,c, I2=d,e, O1=g,h e O2=i,j,k

conjuntos. Seja S= I1× I2 e seja F= f1,f2 um conjunto defunções discretas onde f1:S--> O1 e f2:S--> O2.

H As tabelas cúbicas para estas funções podem ser:

1 2 3Cj Dj Cj Dj Cj Dj

I1 I2 f1 f2 I1 I2 f1 f2 I1 I2 f1 f2

a - h ∅ a,b d h k a,b,c d h k- d ∅ k - d ∅ k b,c e g j

a e ∅ i a e h i a e h ib d h ∅ b e g -b e g - c e g jc e g j


4 - Diagramas de Decisão Binária

H Existem há muito tempo, mas desde 1986 muitoexploradas -> Bryant introduz forma canônica;

H Forma muito compacta para manipular funções econjuntos.

Índice=2

Índice=1

Índice=3

0 0 1 0 1 1 1 1

a

b bb

c c c c

0 1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1

b

a

c

0

1

0

1

1 0

0 1

c

a a

b

0 1

01 0

1

01


Sumário


√ 2 - Grafos

√ 3 - Funções

√ 4 - Representações de Funções Discretas



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5 - Análise de Complexidade de Algoritmos

H Dados dois algoritmos A e B para resolverum problema, qual deles é melhor?– principais critérios: tempo, armazenamento;

H Escalabilidade - “medida da capacidade detécnica p/ lidar com instâncias de tamanhocrescente de problema”;

H Lembrar-se da lei de Moore! Exemplo:– em 1995, unidade de controle P6: 105 portas;

– em 2000, Pn: 108 portas!


5 - Análise de Complexidade de Algoritmos

H Definições importantes:– problema, algoritmo e tamanho da entrada (te);

H Em geral, determinação de função decrescimento de uso de recursos é muito difícil,senão inviável!

H Solução para projetar e analisar algoritmos:– conjunto de funções conhecidas e composição que

aproxima crescimento do algoritmo;

– classes de complexidade de problemas;


5 - Crescimento Assintótico de Funções

H Notações assintóticas Ο,Ω, e Θ: limites superior,inferior e estrito (duplo);

H Algoritmo f(n) é Ο(g(n)),ou f(n)= Ο(g(n)) se– 0 ≤ f(n) ≤ c1g(n), para

todo n ≤ n0;

H Restantes é análogo;

H O é conjunto de funções.n1

Consumo deRecursos

Tamanho daEntrada

c2g(n)

c1g(n)

f(n)

n0n2


5 - Crescimento de Funções - operações

H Tabela dá conjunto de funções de base;

H Constantes normalmente pequenas;

H Coeficientes constantes pequenos;

H Linha divisória de complexidade - polinômios!

log n n n log n n2 n3 2n 3n n!1 2 2 4 8 4 9 22 4 8 16 64 16 81 243 8 24 64 512 256 6560 403204 16 64 256 4096 65536 ~107 ~1013

5 32 160 1024 32768 ~109 ~1015 ~1035

10 1024 10240 ~106 ~109 ~10308 ~10488 ~102639

20 ~106 ~107 ~1012 ~1018 ? ? ?


5 - Crescimento de Funções - exemplo temporal

H Supondo uma máquina de 100MIPs dedesempenho coeficientes constantes unitários;

H Para instâncias de entradas com três ordens degrandeza de diferença;

H Lei de Moore - em 15 anos, algoritmo cúbicolevaria 4 meses para executar sobre instância 106.

n f(n)=n f(n)= n log n f(n)=n2 f(n)=n3 f(n)=2n

103 10µs 100µs 10ms 10s ~10285 anos106 10ms 0,2s 2,7h 317anos ?


5 - Classes de Complexidade de Problemas

H Problema abstrato: relação binária do conjuntode instâncias sobre o conjunto de soluçõesQ=<I,S,p>;

H Problema de decisão: solução é sim ou não;

H Problema de otimização: com valor amaximizar ou a minimizar;

H Problema concreto: resulta de codificar embinário o domínio de um problema de decisãoabstrato.



H Classe NPC: subconjunto de problemas em NPtal que qualquer elemento de NP pode serreduzido a qualquer elemento de NPC;

H Classe NPH: conjunto de problemas de decisãoconcretos tais que qualquer problema da classeNP pode ser reduzido a qualquer elemento seu;

H Obviamente, NPC ⊆ NPH.



H Relação suposta como a mais provável entre asclasses de complexidade acima:

Problemas Concretos

P

NP

NPC

NPH


Sumário


√ 2 - Grafos

√ 3 - Funções

√ 4 - Representações de Funções Discretas

√ 5 - Análise de Complexidade de Algoritmos


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6 - Problemas Formais

H Dois exemplos, caminhos mais curto e maislongo entre dois vértices em um grafo:

H Caminho_mais_curto (_mais_longo análogo):– Instância: grafo não-dirigido G, peso natural l(e)

para cada aresta e, dois vértices a,b e natural B.

– Questão: existe um caminho simples de a para bem G que tem comprimento total B ou menos?

H Problemas concretos associados: Pertence àclasse P (mais_curto) e NPC (mais_longo)!

2 - fundamentação teórica sistemas digitais seqüenciais

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