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Sistemas de Numeração

Prof. César [email protected]

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Roteiro


A Base Binária

Unidades de Capacidade

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Sistemas de numeração

Conceitos Básicos– Número ?

– Numeral ?

– Algarismos ?

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Conceitos Básicos– Número é a idéia de quantidade que nos vem a

mente quando contamos, ordenamos e medimos● Redes armadas no Barco recreio? ● Filhomais velho da família? ● Altura da minha mesa?

– Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita, falada ou indigitada;

– Algarismos é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos;

● X, 2, \-o-/

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Definição:– É Todo conjunto de regras para a

produção sistemática de numerais;

Primeiros sistemas de numeração: Eram Não posicionais: Algarismos

representavam valores independentes de sua posição.

Exemplos: egípcios e romanos.

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Sistema Egípcio: Os egípcios criaram um

sistema em que cada dezena era representada por um símbolo diferente.


Sistema Romano: Os romanos usavam símbolos

(letras) que representavam as quantidades mas já empregavam rudimentos de posicionamento;

As letras que representavam quantidades menores e precediam as que representavam quantidades maiores, seriam somadas; se o inverso ocorresse, o menor valor era subtraído do maior (e não somado).


Exemplos de aplicação da regra de posicionamento do sistema Romano.

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Sistema de Numeração Não Posicional: Dificuldade de representar grandes

quantidades; Dificuldade para memorizar todas as

representações

• Como é mesmo 100 mil no sistema egípcio???

O sistema de numeração Posicional:

A posição dos algarismos no numeral altera o seu valor (significado).

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Representação posicional– Indo-arábico é o sistema que usamos– Várias formas de representação de um

número que dependem da base escolhida para realizar a representação.

● Decimal;● Octal;● Hexadecimal;● Binária.

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Regra geral do sistema Indo-Arábico– “Posição” indica potência positiva ser usada

na leitura do número;

Base decimal (10)– 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]

– Unidade, Dezena, Centena, Milhar,...

– 100, 101, 102, 103 ,....

Exemplo:– 5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100

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Base Binária

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Base Binária

Definida no sistema de numeração posicional indo-

arábico em que todas as quantidades são representadas

usando os algarismos: zero e um (0 e 1).

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Base Binária16

0

Base Binária17

1

E como representar valores maiores que 1(UM)?

Base Binária18

0 0

Base Binária19

10

Base Binária20

01

Base Binária21

11

E como faço para representar o número 4?

Base Binária22

01 0

Base Binária23

01 0 0

8

16

32

64

01 0 0 0

01 0 0 0 0

01 0 0 0 0 0

Base Binária

2 “bits” disponíveis [0,1]

“Posição” indica potência positiva de

2– Exemplo: 11, 101, 1001000

1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20

= 8+0+2+1 = 11 na base 10

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Base BináriaRepresentação

BináriaPotência

Representação Decimal

1 20 1

10 21 2

100 22 4

1000 23 8

10000 24 16100000 25 32

1000000 26 64

10000000 27 128

100000000 28 256

1000000000 29 512

10000000000 210 1.024

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Base Binária

Letras, números e simbolos usados pelos computadores são representados no sistema binário e encontram-se descritos na tabela ASCII

Conversão de Sistemas e Base

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Conversão de sistema ou base

Uma caixa alienígena com os algarismos 25

gravado na tampa foi entregue a um grupo de

cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17

objetos. Considerando que o alienígena tem um

formato humanoide, quantos dedos ele tem nas

duas mãos?

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Conversão de sistema ou base

1710 = 25b

17 = 2 x b^1 + 5 x b^0

17 = 2 x b + 5

b = (17-5)/2 = 6

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Conversão Decimal para Binário

Inteiro decimal para binário Divisão inteira (do quociente)

sucessiva por 2, até que o quociente seja = 0.

Binário = composição do último resto para o primeiro resto


Exemplo: Converter 25 decimal para binário 25 / 2 = 12 (quociente) e resto 1 12 / 2 = 6 (quociente) e resto 0 6 / 2 = 3 (quociente) e resto 0 3 / 2 = 1 (quociente) e resto 1 1 / 2 = 0 (quociente) e resto 1

Binário = 1 1 0 0 1= 1 x 2^4 + 1 x 2^3 + 0 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 decimal

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Exercício: Converta os seguintes números para binário 26 30 32

35

E o contrário?

Exercício: Converter para decimal os

números binários:

11

1010

10010110

101,01

11,11

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Joseana M. Fechine

Operações

Operações com Números Binários

Soma de Números Binários 0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 (e vai um)

45

Operações


Exemplos: Efetuar as seguintes somas

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1

1 1 0 0

+ 1 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

+ 1

1 1 0 0 0 0 0

Operações

Exercícios: Efetuar as seguintes somas 1101 + 111

1011111 + 10

47

Operações


Subtração de Números Binários 0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 (e vai 1* para ser subtraído no dígito seguinte)

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

48

Operações


Exemplo: Efetuar a seguinte subtração

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* * * *

1 1 0 1 1 1 0

- 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1

Operações


Exercícios: Efetuar as seguintes

subtrações● 111 – 1● 100 – 01

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Operações


Multiplicação de Números Binários• Similar a multiplicação de números decimais com

diferenças na hora de somar os termos resultantes da multiplicação

Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações• 1011 x 1010

51

Operações em Sistemas de Numeração


Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações 1011

2 x 1010

2 = 11010

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1 0 1 1

x 1 0 1 0

1

0 0 0 0

+ 1 0 1 1

0 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0

Operações


Divisão de Números Binários Similar à divisão de números decimais. É o

reverso da multiplicação.

Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários.

Exemplo: Efetuar a seguinte divisão 1000112 ÷ 1012

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Operações


Exemplo: Efetuar a seguinte divisão 100011

2 ÷ 101

2 = 7

10

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Unidade de Capacidade

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A forma de armazenamento das informações é exatamente a mesma em todos os computadores.

Assim como temos as unidades de medidas de Kilos (kg), Litros (L), Metros (m), Kilometragem (km), etc, as informações armazenadas nos computadores obedecem a uma nomenclatura específica para definir as unidades de capacidade.

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A menor unidade utilizável para representação de informações em um computador é o bit, que assume os valores 0 ou 1.

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Um único bit é insuficiente para representar informações mais complexas, eles são agrupados e combinados.

Num primeiro agrupamento, eles são reunidos em conjuntos de oito, recebendo a denominação de byte (8 bits).

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Utilizamos o termo byte quando nos referimos às informações armazenadas em um computador.

Tendo em vista que a unidade byte é consideravelmente pequena quando indicamos valores mais extensos, utilizamos múltiplos do byte: kilobyte, megabyte, gigabyte, terabyte, etc. As unidades evoluem sempre a cada 1000

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Unidade de Capacidade62

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