sistemas de controle 2 - sol - professor

Sistemas de Controle 2Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof.: Filipe Fraga

Sistemas de Controle 2Cap.10 – Técnicas de Resposta em Frequência

10. Técnicas de Resposta de Frequência

10.1 Introdução

10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode

10.3 Introdução ao Critério de Nyquist

10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist

10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist

10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist

10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode

10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada

10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada

10.10 Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta

10.11 Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência

10.12 Sistemas com Retardo

10.13 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente

10.1 Introdução

Cap.8 e 9 Método do lugar das raízes para o projeto da resposta transitória, do erro de estado estacionário e da estabilidade

Cap. 8 Projeto através do ajuste de ganho Solução de compromisso entre a resposta transitória e o erro de estado estacionário.

Cap. 9 Mudança do local das raízes para o ponto desejado através da inserção de pólos e zeros Sem a necessidade de manter uma relação de compromisso entre erro de

estado estacionário e resposta transitória.

Cap. 10 e 11 Projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da resposta em frequência.

Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes.

10.1 Introdução

Os métodos de resposta em frequência são mais antigos que o método do lugar das raízes.

Contudo apresentam uma visão diferente do sistema e algumas vantagens em algumas situações:

1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos.

2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida;

3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes

10.1 Introdução

Considerando o estado estacionário:

Entradas senoidais geram Saídas senoidais - Com a mesma frequência- Diferenças de amplitude e de fase

O Conceito da Resposta de Frequência

Sinais senoidais

Números complexos

Fasores

(a+jb)

Representação de sinais senoidais

10.1 Introdução

Sistema

- Produz alterações de amplitude e fase- Pode ser representado por um número complexo

Fasor de entrada x sistema fasor de saída

Considere o sistema com uma entrada senoidal:

Resposta no regime permanente

10.1 Introdução

Resposta no regime permanente

Função de sistema:

resposta de frequência em magnitude

resposta de frequência em fase

Resposta de frequência:

10.1 IntroduçãoExpressões Analíticas da Resposta de Frequência

Entrada do sistema no tempo:

Representação da entrada como fasor:


Expansão em frações parciais


Cálculo das constantesForma retangular

Fórmula de Euler

Conjugado de 𝐾1


Sistema

Resposta em estado estacionário: Depende apenas dos pólos da entrada.

Demais termos são exponenciais que decrescem a zero no estado estacionário

Resposta em estado estacionário(ss = steady state)


Substituindo K1 e K2:

𝐾1

𝐾2

Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a fórmula de Euler


Representação na forma de fasor:

função resposta de frequência

A resposta de frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) é:

Logo:

10.1 Introdução

Plotando a Resposta de Frequência

Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:

1) Gráficos separados de magnitude e de fase, em função da frequência.

• Magnitude em decibéis (dB)

• Ângulo de fase em logaritmo (log 𝜔)

𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝑀 𝑀 = 10𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑚 𝑑𝐵

20

Diagrama de Bode

Cálculos de magnitude e fase:

Traçar vetores dos pólos e zeros percorrendo todo o eixo imaginário 𝑗𝜔.

Magnitude: Calcular produto das magnitudes dos vetores dos zeros dividido pelo produto das magnitudes dos pólos.Fase: Calcular soma dos ângulos dos vetores dos zeros subtraído pela soma dos ângulos dos pólos.

10.1 Introdução

Plotando a Resposta de Frequência

Formas de se representar graficamente a resposta em frequência:

2) Gráfico polar, onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase.

Usado para gerar o Diagrama de Nyquist

Para ambos os gráficosO valor de K para cada frequência é o inverso da magnitude em escala.O valor do ângulo calculado é o próprio valor da fase referente àquela frequência.

Gráfico polar

Diagrama de Nyquist

10.1 Introdução

1) Substituir s=j𝜔

𝐺 𝑗𝜔 =1

(𝑗𝜔 + 2)=

(𝑗𝜔 − 2)

(𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 − 2)=(2 − 𝑗𝜔)

(𝜔2 + 4)𝐺 𝑠 =

1

(𝑠 + 2)

𝐺 𝑗𝜔 = 𝑀 𝑗𝜔 =1

(𝜔2 + 4)Magnitude

𝜙 𝑗𝜔 = − tan−1(𝜔/2)Ângulo de fase

2

(𝜔2 + 4)

−𝜔

(𝜔2 + 4)

2) Calcular magnitude e fase

10.1 Introdução

Gráficos de resposta em frequênciaMagnitude

Fase

versus

versus

10.1 Introdução

Gráficos de resposta em frequênciaPolar

Ainda não é o diagrama de Nyquist

10.1 IntroduçãoÉ possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.

Exemplo:

Em 1 rad/s

Gráfico de magnitude = -7dB = 10−7/20 = 0.447

Gráfico de fase = −26°

Gráfico polar ponto de raio 0.0447 com ângulo de−26°

Exemplo 1

10.1 IntroduçãoExemplo:

Em 1 rad/s


Gráfico de fase = −26°-7dB

−26°

10.1 Introdução

Exemplo:

Em 1 rad/s


Gráfico de fase = −26°

-7dB=0.447

−26°

10.1 Introdução

É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.

Em 2 rad/sExemplo 2

0.3520log(0.35)=-9.12dB

−45°

10.1 Introdução

É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa.

Em 2 rad/sExemplo 2-9.12dB

−45°

Fim da Introdução do capítulo 10


Gráficos ou Diagramas de Bode

Podem ser aproximados como uma sequência de linhas retas.



Função de transferência do sistema

Cálculo da magnitude

Simplificando o cálculo da magnitude pela aplicação do logaritmo (resposta em dB):

Sabendo a resposta de cada termo é possível traçar uma reta para cada um deles e em seguida somar a resposta no gráfico.




Cálculo da fase

Soma das curvas de fase dos termos relativos aos zeros menos a soma das curvas de fase dos termos referentes aos pólos



1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)

2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)

3) Gráficos de Bode para G(s) = s

4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s


Estudo da aproximação do Diagrama de Bode

5) Gráficos de Bode para G(s) = 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

6) Gráficos de Bode para G(s) = 1

𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2



1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a)

Baixa frequência, 𝜔 → 0:constante

Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:

Em dB:

Em dB:

Constante reta constante

20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 20. 𝑙𝑜𝑔𝜔

Como o gráfico é expresso em dB por 𝑙𝑜𝑔𝜔, ele se torna uma reta crescente:

(20 𝑙𝑜𝑔𝑀) = 20. (𝑙𝑜𝑔𝜔)



Cada vez que a frequência dobra (aumento de uma oitava) a função aumenta 6dB.

20 𝑙𝑜𝑔2. 𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔2 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔 = 6𝑑𝐵 + 20𝑙𝑜𝑔𝜔

O aumento começa em 𝜔 = 𝑎 com inclinação de 6dB/oitavaAssíntota de alta frequência

Assíntota de baixa frequência

Cada vez que a frequência aumenta 10 vezes (aumento de uma década) a função aumenta 20dB (inclinação equivalente a 6dB/oitava).



Diagrama de fase

Alta frequência, 𝜔 ≫ 𝑎:

Baixa frequência, 𝜔 → 0: Fase 0°

Frequência de quebra, 𝜔 = 𝑎: 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝑎 + 𝑎 Fase 45°

Para desenhar a curva, comece uma década (1/10) abaixo da frequência de quebra, 0.1a, com fase de 0°, e desenhe uma linha de inclinação +45°/década passando por 45° na frequência de quebra e continuando até 90° uma década acima da frequência de quebra, em 10a.



Normalização da magnitude

A magnitude da função costuma ser normalizada para facilitar a comparação entre sistemas de primeira e segunda ordem pois ambos terão a mesma assíntota de baixa frequência e a mesma frequência de quebra depois de colocada em escala.

Normalizando (s+a):

(s+a) = 𝑎𝑠

𝑎+ 1

Nova variável de frequência: 𝑠1 = 𝑠/𝑎

Portanto: 𝑎𝑠

𝑎+ 1 𝑎 𝑠1 + 1

Magnitude é dividida por “a” para produzir a frequência de 0dB de quebra.

Função colocada em escala: (𝑠1 + 1)

Para obter a resposta de frequência original, a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a.

Frequência de quebra

Real normalizada em 3dB

Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala

Diferença máxima de 3dB

(s+a)

Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala

Diferença máxima de 5.71 graus(s+a)




Alta frequência, s → ∞:

Assíntota de baixa frequência, s → 0:

Frequência de quebra, s = 𝑎 rad/s.



3) Gráficos de Bode para G(s) = s



4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s


O gráfico de Bode é a soma dos gráficos de Bode de cada termo de primeira ordem. Usar o gráfico normalizado para cada um dos termos exceto o do pólo na origem.

Dividindo em cima por 3

Dividindo em baixo por 2

Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3


Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3

O gráfico de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra.

De 0,1 a 100 radianos, ou três décadasIntervalo escolhido:

Em baixa frequência: 𝜔 = 0 para todos os termos (s/a +1) 𝜔 = 0.1 (frequência real) para termo “s” no denominador.

𝐺 𝑗0.1 =

32𝐾

0.1= 15𝐾 Escolhendo K=1 (normalização)

2 3

Início do gráfico

2 3Início do gráfico

Segundo ponto em (decréscimo de 20dB)

2 3

A fase é tratada de modo semelhante. Contudo, a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de corte requer um pouco mais de cálculo.

0,2 20

Estudar Exemplo 10.2 em detalhes

sistemas de controle 2 - sol - professor

Documents