Sistema de numerao na BabiloniaOs sistemas de numerao dependiam do contexto, logo, era possvel usar sinais visualmenteidnticos em relaes numricas diferentes. Uma marca circular pequena podia representar 10marcas cnicas pequenas no sistema sexagesimal discreto, ou apenas 6 no sistema de capacidadede cevada (diferena exibida nas Figuras 1a e 1b).

FIGURA 1a: Sistema usado para medir capacidade de gros, em particular cevada.

FIGURA 1b: Sistema usado para contar a maior parte dos objectos discretos: homens, animais, coisas feitas de pedra etc.

Os smbolos no eram nmeros absolutos, no sentido abstracto, mas significavam diferentes relaes numricas dependentes do que estava sendo contado. O tipo de registro que vemos na Figura 1 chamado protocuneiforme, pois antecedeu a escrita cuneiforme, em forma de cunha, que se desenvolveu ao longo do terceiro milnio. Presume-se que o sistema de contagemque agrupava animais, ou outros objetos discretos, em grupos de 10, 60, 600, 3.600 ou 36.000 foi o primeiro a ser traduzido para a representao cuneiforme.Os estudos sobre a matemtica mesopotmica sugerem que essa mudana se deu gradualmente. O estgio inicial, ainda protocuneiforme, contava com os seguintes sinais:

Finalmente, o sistema teria se estabilizado no fim do terceiro milnio. Nesse momento, duas mudanas importantes ocorreram. Em primeiro lugar, a funo de contagem de objectos discretos que os sinais tinham no sistema protocuneiforme foi transformada e eles passaram a ser usados para fazer clculos. A segunda mudana que um mesmo sinal passou a ser usado para representar valores diferentes.

Apesar de as evidncias no permitirem um conhecimento linear dos registros numricos, pode-se conjecturar que o sistema evoluiu de um estgio no qual um nico contador era impresso vrias vezes at uma fase mais econmica, em que era possvel diminuir a quantidade de impresses dos contadores de tamanhos e formas diferentes. Esta a essncia do sistema posicional: um mesmo smbolo serve para representar diferentes nmeros, dependendo da posio que ocupa na escrita. Esse o caso do smbolo em forma de cunha, que serve para 1, 60 e 3.600. O mesmo acontece em nosso sistema com o smbolo 1, que pode representar tambm os nmeros 10 e 100.O sistema sexagesimal posicional usado no perodo babilnico, deve ter surgido da padronizao desse sistema numrico, antes do final do terceiro milnio a.E.C.

O sistema sexagesimal posicionalO sinal usado para designar a unidade era repetido para formar os nmeros maiores que 1, como 2, 3, e assim por diante, at chegar a 10, representado por um sinal diferente em seguida, continuava-se a acrescentar at chegar a 20, representado ento por outro. Esse processo aditivo prosseguia apenas at o nmero 60, quando se voltava a empregar o sinal, o mesmo usado para o nmero 1 como est representado na tabela seguinte.

Esse sistema de numerao posicional cada algarismo vale no pelo seu valor absoluto, mas pela posio que ocupa na escrita de um nmero. Podemos constatar que o nmero 60 era representado pelo mesmo sinal usado para simbolizar o nmero 1.Os babilnios usavam uma combinao de base 60 e de base 10, pois os sinais at 59 mudam de 10 em 10. O sistema que se usa para representar as horas, os minutos e os segundos um sistema sexagesimal. Por exemplo, para chegar ao valor decimal de 1h4min23s, temos de calcular o resultado (1 3.600 + 4 60 + 23 = 6.023s).Uma diferena entre o nosso sistema e o dos babilnios que estes empregavam um sistema aditivo para formar combinaes distintas de smbolos que representam os nmeros de 1 a 59, enquanto o nosso utiliza smbolos diferentes para os nmeros de 1 a 9 e, em seguida, passa a fazer uso de um sistema posicional. Em nosso sistema de numerao, no nmero decimal 125 o algarismo 1 representa 100; o 2 representa 20; e o 5 representa 5 mesmo. Assim, pode-se escrever que 125 = 1 + 2 + 5 .O raciocnio vlido para um nmero que, alm de uma parte inteira, contenha tambm uma parte fraccionria. Por exemplo, no nmero 125,38, os algarismos 3 e 8 representam 3 +8 . Se considerarmos 125 escrito na base 60, estaremos representando 1 + 2 + 5, que igual a 3.725 na base 10. Generalizando, podemos representar um nmero N qualquer na base 10 escrevendo:

Isso significa que a parte inteira e a parte fraccionria desse nmero.Suponhamos agora que, em vez de usar a base 10, queiramos escrever um nmero em um sistema de numerao posicional cuja base genrica b. Para representar um nmero N qualquer nessa base b, escrevemos:

Isso significa que a parte inteira e temos que a parte fraccionria desse nmero. O nmero ser escrito com a parte inteira separada da parte fraccionria por uma vrgula como: Como na base 60 podemos ter, em cada casa, algarismos de 1 a 59, empregaremos o smbolo; como separador de algarismos dentro da parte inteira ou dentro da parte fraccionria de um nmero. Para separar a parte inteira da fraccionria, utilizaremos a vrgula (,).Por exemplo, no nmero 12;11,6;31 a parte inteira constituda por dois algarismos (12 e 11); e a parte fraccionria por outros dois (6 e 31).

Para o babilnico, os nmeros 1, 60, 3.600 e todas as potncias de 60 eram representados pelo mesmo smbolo, escrito em colunas diferentes. Cada coluna multiplica o nmero por um factor 60. Alguns exemplos:

OPERAES EM BASE 60Alguns exemplos de clculos em base 60, empregando os algarismos indo-arbicos a que estamos acostumados: 0, 1, 2, 3, , 9.(a) 1;30,27;40 + 29,15;13

Logo o resultado 1;59,42;53

(b) 1;59 + 1

Nesse exemplo, a conta passa a exigir o agrupamento das 60 unidades em uma sessentena a mais, perfazendo duas sessentenas no total. Essa conta seria equivalente, em base 10, a 19 + 1, na qual, adicionando o 9 ao 1, obtemos uma dezena a mais, perfazendo um total de duas dezenas.O resultado 2;00.Outro exemplo de adio com reagrupamento, que chamado em geral de vai um, pode ser dado por:(c) 1;30,27;50 + 0;29,38;13 = 2;00,06;03

Alm das somas, podemos realizar multiplicaes, subtraces e divises em base 60:(a) 4 20 = 1;20(b) 2;30,4;38 40,5;15 = 1;49,59;23(c) 1,30 3 = 0,30Para multiplicar por 60 um nmero sexagesimal, basta mudar a posio da vrgula:

Vantagem do sistema sexagemal Uma das vantagens do sistema sexagesimal o fato de que o nmero 60 divisvel por todos os inteiros entre 1 e 6, o que facilita a inverso dos nmeros expressos nessa base. A divisibilidade por inteiros pequenos uma importante caracterstica a ser levada em conta no momento da escolha de uma base para representar os nmeros. A base 12 est presente at hoje no comrcio, onde usamos a dzia justamente pelo fato de o nmero 12 ser divisvel por 2, 3 e 4 ao mesmo tempo.

Desvantagem do sistema sexagesimalNo primeiro perodo Babilnia causa da ausncia do smbolo para representar zero criava ambiguidade na representao dos nmeros.Os tipos de ambiguidade podem ser mais bem compreendidos na Tabela abaixo:

Sabe-se que o nmero decimal 3.601 pode ser convertido na base 60, tomando-se os coeficientes de 1 3.600 (= 60 60) + 0 60 + 1, logo, teramos 1;0;1. Sem o zero, ou seja, sem um smbolo especial para marcar uma coluna vazia, no h meio seguro de diferenciar uma coluna vazia de duas vazias, e no possvel diferenciar 3.601 (= 1 60 60 + 0 60 + 1) de 216.001 (= 1 60 60 60 + 0 60 60 + 0 60 + 1). Essa diferena s poderia ser averiguada pelo contexto em que os problemas apareciam.

O segundo perodo babilnico ocorreu por volta do ano 300 a.E.C., poca do imprio selucida, no qual a astronomia estava bastante desenvolvida e empregava tcnicas matemticas sofisticadas. Os astrnomos selucidas, talvez pela necessidade de lidar com nmeros grandes, chegaram a introduzir um smbolo para designar o zero, ou melhor, uma coluna vazia. No caso de 3.601, escrevia-se 1; separador; 1. O separador era simbolizado por dois traos inclinados:

O smbolo usado como separador pode ser considerado um tipo de zero, dada a sua funo no sistema posicional. No entanto, ele no era empregado para diferenar 1, 60 e 3.600, ou seja, no podia ser utilizado como ltimo algarismo nem podia ser resultado de um clculo. Esse separador no era, portanto, exactamente um zero, uma vez que no servia para designar ausncia de quantidade.

Operaes com o sistema sexagesimal posicionalEntre os babilnios, havia tambm tabletes equivalentes s nossas tabuadas. A maioria das operaes realizadas relacionava-se directamente com os tabletes, como multiplicao, quadrados, razes quadradas, cubos, razes cbicas etc. No caso da multiplicao, seu uso era fundamental. Basta observar que os clculos elementares, ou seja, aqueles que correspondem nossa tabuada, incluem multiplicaes at 59 59! Isso pode indicar a necessidade de tabletes mesmo para os clculos mais elementares.Um exemplo de tablete de multiplicao por 25:1 (vezes 25 igual a) 252 (vezes 25 igual a) 503 (vezes 25 igual a) 1;154 (vezes 25 igual a) 1;405 (vezes 25 igual a) 2;056 (vezes 25 igual a) 2;307 (vezes 25 igual a) 2;55 etc. Operao de multiplicao empregando algarismos indo-arbicos no lugar dos cuneiformes sem usar tablete pr-estabelecido.Supondo que queremos calcular o produto de 37;28 por 19. Podemos desenhar quatro colunas indicando o multiplicando e a ordem de grandeza do resultado:

Em seguida, procuramos no tablete de multiplicao por 19 o correspondente multiplicao por 28 (8 sessentenas e 52 unidades) e reproduzimos o valor encontrado nas colunas apropriadas:

Apagamos o 28 da coluna do multiplicando e procuramos novamente no tablete de multiplicao por 19 o valor correspondente a 37 (11;43). Como 37 de uma ordem superior utilizada at esse ponto, escrevo 11 na coluna das ordens de 602 e 43 na coluna das sessentenas:

Podemos, agora, apagar o 37, e s resta simplificar cada coluna para obter o resultado 11;51;52:

As divises eram efectuadas com o auxlio dos tabletes de recprocos. Trata-se de tabletes que contm os recprocos dos nmeros N. Em linguagem actual, estamos falando das fraces do tipo , mas, no contexto babilnico, esse no era o inverso do nmero N, pois os recprocos no estavam associados ao conceito de fraco. A diviso de M por N era efectuada pela multiplicao de M pelo recproco de N, correspondente a . Traduzindo em linguagem actual, estamos falando da equivalncia .Esse procedimento faz surgir um problema com os nmeros cujos inversos no possuem representao finita em base 60, como 7 ou 11.Esses nmeros equivalem, em nosso sistema decimal, ao 3, cujo inverso no conta com representao finita em nossa base decimal ( uma dzima), da mesma forma, o fato de no podermos representar de modo finito os inversos de 7 e 11 em base 60 no significa que no podemos realizar multiplicaes do tipo 22 (ou seja, dividir 22 por 11).

REPRESENTAO FINITAVamos mostrar que os inversos de 7 e de 11 no tm representao finita em base 60. Um nmero (entre 0 e 1) tem representao finita em base 60 se pode ser escrito como multiplicando e dividindo todas as parcelas por , temos , onde o numerador um inteiro. Decompondo o denominador em nmeros primos, encontramos os factores 2, 3 e 5. Logo, para que o inverso de um nmero tenha representao finita em base 60 preciso que esse nmero contenha apenas esses factores primos. No caso do 7, se o seu inverso tivesse representao finita em base 60 teramos de ter , ou seja 7a =60n. Mas isso no pode acontecer, uma vez que 7 no factor de 60, o raciocnio anlogo para o 11.Alm das operaes de soma, subtraco, multiplicao e diviso, os babilnios tambm resolviam potncias e razes quadradas e registravam os resultados em tabletes. O mtodo usado nesse ltimo caso era bastante interessante, uma vez que permitia obter valores aproximados para razes que hoje sabemos serem irracionais. Escrito em notao actual, o clculo da raiz de um nmero k se baseava, provavelmente, em um procedimento geomtrico. Na Ilustrao 1, se o segmento AB cortado em um ponto C, o quadrado ABED igual ao quadrado HGFD, mais o quadrado CBKG, mais duas vezes o rectngulo ACGH. Fazendo AC medir a e CB medir b, trata-se da verso geomtrica da igualdade, que escrevemos hoje como

Calcular a raiz de k achar o lado de um quadrado de rea k. Logo, podemos tentar colocar, nesse quadrado, um outro quadrado com lado conhecido e, em seguida, usar o resultado geomtrico da Ilustrao 1 para encontrar o resto. Ou seja, se a o lado conhecido do quadrado, obtemos que a raiz de k a + b. Para achar uma raiz melhor do que a, vamos procurar uma boa aproximao para b, o que pode ser feito observando a rea da regio poligonal ABEFGH. A rea de ABEFGH igual a . Por outro lado, ela pode ser decomposta em dois rectngulos de lados a e b e um quadrado de lado b. Logo,. Se b for bem pequeno (prximo de zero), ser ainda menor, de modo que podemos desprez-lo e obter uma boa aproximao para b: .Sendo assim, uma aproximao para a raiz de k melhor do que a. Presume-se que esse tenha sido o procedimento para encontrar uma aproximao para a raiz do nmero 2.Trata-se, provavelmente, de um exerccio escolar que emprega uma aproximao de .Mas como esse valor teria sido encontrado? Alguns historiadores, como D. Fowler e E. Robson, afirmam que o procedimento pode ter sido conforme descrevemos a seguir:Como desejamos determinar , ento k = 2. Fazendo a escolha , podemos obter uma primeira aproximao . Em nmeros sexagesimais, que eram os efectivamente usados pelos babilnios, essa fraco equivalente a 1,25:

Essa primeira aproximao encontrada em alguns registros, mas para chegarmos ao valor que consta no tablete YBC 7289 precisamos fazer uma segunda aproximao.Partimos agora do valor obtido na primeira aproximao, , e fazemos , que a soma de 0,42;30 com o inverso de 1,25. No entanto, esse nmero no possui inverso com representao finita em base 60, e portanto uma aproximao desse valor era representada em um tablete como 0,42;21;10. Calculamos, assim, a'' = 0,42;30 + 0,42;21;10 = 1,24;51;10, que o valor aproximado da raiz de 2 encontrado sobre a diagonal do quadrado desenhado no tablete YBC 7289 em escrita cuneiforme.Expressando a'' na forma decimal com 10 casas decimais, temos uma aproximao conhecida para : 1,4142129629.

A lgebra babilnica e novas traduesAlm dos tabletes contendo o resultado de operaes, os babilnios tinham um certo nmero de tabletes de procedimentos, como se fossem exerccios resolvidos. Correspondiam a problemas que trataramos hoje por meio de equaes. Analisaremos alguns deles em detalhes, com a finalidade de mostrar como seria anacrnico considerar que os babilnios soubessem resolver equaes.Eis algumas contas que sero teis na compreenso dos procedimentos.Resultados aritmticos usados:(a) 1 2 = 0,30(b) 0,30 0,30 = 0,15(c) 0,40 0,20 = 0,13;20(d) 0,10 0,10 = 0,1;40(e) 1 0,40 = 1,30(f ) 1,30 0,20 = 0,30Os dois exemplos citados a seguir encontram-se na coleco do British Museum, na placa BM 13901. O primeiro o problema #1, traduzido usualmente assim:Exemplo 1:Procedimento: Adicionei a rea e o lado de um quadrado: obtive 0,45. Qual o lado?Soluo:(i) tome 1(ii) fraccione 1 tomando a metade (:0,30)(iii) multiplique 0,30 por 0,30 (:0,15)(iv) some 0,15 a 0,45 (:1)(v) 1 a raiz quadrada de 1(vi) subtraia os 0,30 de 1(vii) 0,30 o lado do quadradoCada passo desse procedimento era executado com a ajuda de uma tablete.Exemplo 2:Procedimento: Subtra o tero da rea e depois somei o tero do lado do quadrado rea restante: 0,20.Soluo:(i) tome 1;0(ii) subtraia o tero de 1;0, ou seja, 0,20, obtendo 0,40(iii) multiplique 0,40 por 0,20, obtendo 0,13;20(iv) encontre a metade de 0,20 (:0,10)(v) multiplique 0,10 por 0,10 (:0,1;40)(vi) adicione 0,1;40 a 0,13;20 (:0,15)(vii) 0,30 a raiz quadrada(viii) subtraia 0,10 de 0,30 (:0,20)(ix) tome o recproco de 0,40 (1,30)(x) multiplique 1,30 por 0,20 (:0,30)(xi) 0,30 o lado do quadrado

Observando os Exemplos 1 e 2, podemos constatar um tipo de generalidade nos algoritmos usados na soluo. Actualmente, resolvemos dois problemas de mesma natureza por meio de regras gerais que podem ser especificadas para os exemplos particulares, os quais so vistos como casos de um problema genrico. A generalidade dos algoritmos babilnicos distinta, pois eles constroem uma lista de exemplos tpicos, interpolando-os, em seguida, para resolver novos problemas.Os algoritmos eram enunciados para casos particulares, mas isso no significa que no houvesse um certo tipo de generalidade. Os passos (iv) a (viii) do Exemplo 2 reproduzem exactamente o algoritmo do Exemplo 1, enquanto os passos (i) a (iii), (ix) e (x) servem paraadaptar esse problema aos moldes do anterior. Podemos dizer, portanto,8 que os problemas eramresolvidos pelo mtodo de interpolao, incorporando-se subalgoritmos dados por certosexemplos previamente resolvidos. Havia alguns exemplos que serviam a uma vasta gama deproblemas, resolvidos pela reduo a um dos exemplos de base e posterior converso doresultado para se adaptar ao caso especfico.Podemos tratar os dois problemas apresentados nos exemplos anteriores pelo nosso mtodo deresolver equaes. Se temos uma equao do tipo , o procedimento exposto aseguir equivale a um roteiro babilnico para encontrar:

1) Multiplique A por C (obtendo AC)2) Encontre metade de B (obtendo )3) Multiplique por (obtendo)4) Adicione AC a (obtendo + AC)5) A raiz quadrada 6) Subtraia da raiz acima7) Tome o recproco de A (obtendo 1/A)8) Multiplique 1/A pelo resultado do passo (6) para obter o lado do quadrado9) O lado do quadrado Esse modo de enunciar o procedimento babilnico para o caso geral de uma equao de tipo, levou os historiadores O. Neugebauer e B.L. van der Waerden a conjecturaremque a matemtica babilnica seria de natureza algbrica.6 O. Neugebauer foi um dos principais responsveis pelas primeiras tradues dos textos matemticos babilnicos, mas J. Hy rup mostrou, recentemente, que elas pressupunham, implicitamente, a natureza algbrica da matemtica babilnica. A partir da, foram feitas novas tradues que podem nos levar a concluses bastante distintas. Traduzimos para o portugus, com algumas simplificaes, a nova transcrio proposta por J. Hy rup para o Exemplo 1:7JOAO RAIMUNDO FENIASSE, UNIVERSIDADE PEDAGGICA (UPQ)