apostila de sistema de numeracao

Professor Carlos SicaUniversidade Estadual de Maring Centro de Tecnologia Departamento de Informtica

Maro 2009

ndice1. 2. 3. 4. 5. 6. Sistemas de numerao aplicados computao ..................................................... 3 Sistema numrico decimal........................................................................................ 4 Sistema numrico binrio ......................................................................................... 5 Nmeros binrios negativos ..................................................................................... 6 Sistema numrico hexadecimal ................................................................................ 7 Mtodos de converso de base entre os sistemas de numerao .............................. 8 6.1. 6.2. Binrio para decimal......................................................................................... 8 Binrio negativo para decimal.......................................................................... 8 Primeiro mtodo (Complemento de 2) ..................................................... 8 Segundo mtodo ....................................................................................... 8

6.2.1. 6.2.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Binrio para decimal menores que 1 ................................................................ 9 Binrio para hexadecimal ................................................................................. 9 Decimal para binrio ........................................................................................ 9 Primeiro Mtodo..................................................................................... 10 Segundo Mtodo..................................................................................... 10

6.5.1. 6.5.2. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

Decimal negativo para binrio........................................................................ 10 Decimal para binrio menor que 1 ................................................................. 11 Decimal para hexadecimal.............................................................................. 11 Hexadecimal para decimal.............................................................................. 12 Primeiro mtodo ..................................................................................... 12 Segundo mtodo ..................................................................................... 12 Hexadecimal para binrio........................................................................... 12

6.9.1. 6.9.2. 6.10. 7. 8. 9. 10.

O cdigo BCD ........................................................................................................ 13 O cdigo sete segmentos ........................................................................................ 15 O cdigo binrio refletido....................................................................................... 16 Converso entre as bases decimal, hexadecimal e binrio ................................. 17 2

Copyrigth Carlos Sica 2009 UEM/CTC/DIN

1. Sistemas de numerao aplicados computao(Texto baseado no Captulo 3 do livro "Sistemas Automticos com Microcontroladores 8031/8051", Novatec, 2006). Este texto visa relembrar alguns sistemas numricos e os mtodos de converso de base entre eles. Inicialmente feita uma reviso dos sistemas numricos mais relevantes para o assunto a ser discutido no decorrer desta publicao e depois so detalhados os mtodos de converso entre os sistemas previamente citados. Para finalizar, as formas de representao de informaes em computador so discutidas com vistas aos sistemas eletrnicos que sero apresentados como sistemas controlados. O sistema numrico decimal o mais utilizado pela humanidade. Acredita-se que o nmero de dedos que o homem tem nas mos foi um fato decisivo, nos primrdios, para a criao e disseminao deste sistema. Com o advento da eletrnica digital e, principalmente, do computador, surgem outras necessidades, como a de representar os nmeros utilizando a eletricidade. Alm disso, como mais caro fabricar sistemas que tenham 10 nveis de tenso para representar os nmeros de 0 a 9, criou-se o sistema binrio, que exige apenas dois nveis de tenso e representam os nmeros de 0 a 1 em cada dgito. Por fim, como a representao de nmeros binrios de alto valor torna os dgitos quase ilegveis para ns, comum utilizar o sistema hexadecimal para abrevi-los, pois cada dgito hexadecimal guarda 4 dgitos binrios. Os itens a seguir detalham estes trs sistemas numricos presentes na nossa realidade.


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2. Sistema numrico decimalPara entender os sistemas numricos, vale a pena inicialmente relembrar o familiar sistema decimal, ou, sistema de base 10. Cada nmero decimal pode ser representado em potncia de 10, por exemplo, o nmero "6.345,59" representado, segundo seus pesos ou potncia, da seguinte forma: (6x103)+(3x102)+(4x101)+(5x100)+(5x10-1)+(9x10-2) de outra forma: 6.000,00 300,00 + 40,00 0,50 0,09 6.345,59 A quantidade de smbolos necessrios para representar nmeros em qualquer base igual ao nmero da base. No sistema decimal, ento, a quantidade de smbolos 10, ou seja, de 0 a 9. Quando o contador de qualquer dgito extrapola o maior nmero (neste caso o 9), um vai um adicionado na prxima posio (dgito esquerda) e na atual escrito 0 (zero), lembre-se da conta 9+1=10, na escola primria foi ensinado, nove mais um d zero e vai um. Outro exemplo o do hodmetro (marcador de quilometragem) de carro. Usando essa sistemtica, um sistema numrico pode ser construdo usando potncias de qualquer grandeza, porm, alguns so mais utilizados que outros. Por exemplo, na rea de eletrnica: sabe-se que muito difcil construir um circuito eletrnico que armazene dez nveis de voltagem para representar os dez smbolos de um sistema decimal e, relativamente simples, construir um circuito que armazene e manipule apenas dois nveis. Por esta razo, os computadores utilizam o sistema numrico de base 2 ou cdigo binrio [HALL, 1986].


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3. Sistema numrico binrioEste sistema usa apenas dois smbolos, o 0 e o 1; portanto, em binrio voc deve contar como segue: 0,1,10,11,100,101,110,111 etc. Nmeros binrios so freqentemente chamados de palavras binrias ou simplesmente palavras. Da mesma forma que no sistema decimal discutido anteriormente, alis, em todos os sistemas numricos, cada dgito pode ser representado pela sua potncia ou peso: ... 24, 23, 22, 21, 20 ... Palavras binrias com certas quantidades de dgitos podem adquirir nomes especiais, por exemplo, um dgito binrio chamado de BIT, proveniente das palavras inglesas BInary digiT. A seguir, na Tabela 1, so mostrados os nomes atribudos para as palavras formadas por conjuntos de bits especficos. Apesar de no existir uma padronizao, estes nomes so adotados pela maioria dos autores e sero adotados nesta publicao, mantendo compatibilidade com os prximos captulos.Tabela 1. Nomes que se referem ao tamanho dos dadosQuantidade de bits 4 8 16 32 64 Nome da palavra Nibble Byte Word DoubleWord QuadrupleWord

Relativamente ao seu peso, o dgito mais direita de uma palavra de dgitos binrios considerado o dgito menos significativo (Least-Significant Bit = LSB), e o dgito mais esquerda o mais significativo (Most-Significant Bit = MSB).


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4. Nmeros binrios negativosEste cdigo uma forma de representar nmeros negativos em binrio. Visto que computadores s podem armazenar 0s e 1s (zeros e uns), alguma maneira deve ser estabelecida para representar os sinais + e -, bem como a grandeza ou magnitude do nmero, usando apenas 0s e 1s. A forma encontrada foi utilizar o bit mais significativo para representar o sinal do nmero, e o restante para representar a grandeza dele. Computadores com palavras de 8 bits, usam o bit 7 (MSB) como bit de sinal e os 7 bits restantes para representar a magnitude. Nos nmeros formados por 16 bits, o MSB o bit 15, e conseqentemente utilizado para representar o sinal. Os nmeros formados por outras quantidades de bits seguem esta mesma regra. A Figura 1 mostra o formato de um nmero de 8 bits em complemento de 2.MSB -27 +/bit de sinal 26 25 24 23 22 21 20 LSB

Figura 1. Bit de sinal.

A conveno usual que um sinal positivo seja representado pelo oitavo bit (neste caso -27) ajustado em zero e o negativo pelo nmero um. Alm disso, para as converses o bit mais significativo representa a parte negativa do nmero, portanto a grandeza -128. Veja os itens 6.2 e 6.6 para aprender, respectivamente a converso de nmeros binrios negativos para decimal e de decimais negativos para binrio.


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5. Sistema numrico hexadecimalAlguns computadores mais antigos, como o PDP-8, possuem 12 linhas paralelas de dados. Quatro dgitos em octal representam facilmente os dados binrios destas 12 linhas divididas de 3 em 3. No entanto, a maioria dos computadores, por serem digitais, trabalham com dados de 4, 8, 16, 32 ou 64 bits; como so mltiplos de 4, mais lgico utilizar um cdigo que agrupe os dgitos de 4 em 4 e no de 3 em 3. O sistema numrico hexadecimal ou base 16 faz isto. Portanto, no meio computacional, o sistema numrico hexadecimal, chamado constantemente simplesmente de hexa, o mais utilizado e, conseqentemente, tambm o mais citado neste trabalho. De acordo com suas potncias, os nmeros em hexadecimal teriam a representao baseada na sua seqncia: ... 162, 161, 160, 16-1 ... Alm disso, para representar seus nmeros so necessrios 16 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F


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6. Mtodos de converso de base entre os sistemas de numeraoUma vez estudados os trs mtodos de representao numrica relacionados com o meio computacional, necessrio conhecer as formas de converso entre eles. 6.1. Binrio para decimal

Multiplica-se cada dgito pela sua potncia equivalente e, depois, somam-se os elementos obtidos. 11012 = (1x23)+(1x23)+(0x21)+(1x20) = 1310 6.2. Binrio negativo para decimal

Como j explicado no Captulo 4, a forma que o computador representa os nmeros negativos em binrio utilizando bit mais significativo (MSB) para significar o sinal. Os dois itens seguintes ensinam como converter nmeros binrios com sinal em nmeros decimais. 6.2.1. Primeiro mtodo (Complemento de 2) Para converter nmeros binrios negativos para decimal, aplica-se o "complemento de 2", que nada mais que o complemento de um nmero binrio mais 1. Exemplo: O nmero 100011112, de antemo deve ser considerado negativo, porque o MSB est ligado. Para ser convertido ele deve receber o seu complemento somado de 1. 1000 0111 + 0000 0111 1111 0000 0001 0001

Encontra-se assim, a grandeza resultante que 01110012 ou 19310, o que nos faz concluir que nmero 100011112 dever ser expresso decimal como -19310 devido ao MSB do nmero binrio original estar ligado. 6.2.2. Segundo mtodo Da mesma forma, considere o bit mais significativo, que em nmeros binrios de 8 bits o 27, como sendo o bit de sinal. Portanto o seu peso 27=128 representa a parte negativa do valor e ser tomado ento como -128.27 -128 26 64 25 32 24 16 23 8 22 4 21 2 20 1

Figura 2. Numerao binria com sinal


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Exemplos:1 -128 1 1 123 1 1 0 1 1 Decimal -5

Portanto 1111 10112 = -5101 -128 1 1 121 1 1 0 0 1 Decimal -7



Portanto 1111 11112 = -110 Por este ltimo exemplo possvel concluir que em nmero de 8 bits sinalizados, possvel contar de -128 (1000 00002) at 127(0111 11112), passando naturalmente pelo 0 (0000 00002). 6.3. Binrio menor que 1 para decimal

Multiplica-se cada dgito pela sua potncia equivalente e somam-se os resultados 0,112 = 0,(1 x 2-1)+(1 x 2-2) = 0,(1/2)+(1/4) = 0,7510 6.4. Binrio para hexadecimal

Trabalha-se nesta converso com grupos de quatro dgitos binrios (nibble) somando seus pesos para compor um dgito hexadecimal. Caso algum dgito exceda o valor 9, deve-se utilizar os correspondentes A at F. 1100 00112 = = (1 x 23)+(1 x 22)+(0 x 21)+(0 x 20) + (0 x 23)+(0 x 22)+(1 x 21)+(1 x 20) = = 12 + 3 Como o equivalente hexadecimal de 12 o nmero C, 1010 00112= C316 6.5. Decimal para binrio

Existem duas formas para chegar ao resultado neste tipo de converso; o leitor poder escolher o que mais lhe agradar, pois os resultados so precisos em ambos os casos.


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6.5.1. Primeiro Mtodo A partir do nmero que se deseja converter, subtrai-se o maior nmero em potncia de 2. Repete-se o processo com o resultado, utilizando o restante como base, e assim sucessivamente at encontrar zero. Exemplo: Dentro do nmero 39 em decimal, a maior potncia de 2 25 = 32, e 39-32 = 7. Seguindo a norma, repete-se a operao com o valor restante. No nmero 7 em decimal, a maior potncia de 2 22 = 4, e 7-4 = 3. Dentro do nmero 3 em decimal, a maior potncia de 2 21 = 3, e 3-2 =1 que igual a 20. As potncias no encontradas representam o digito 0 naquela posio, desta forma os resultados encontrados devem ser agrupados como na Tabela 2:Tabela 2. Converso de decimal para binrio (primeiro mtodo)

PotnciasEncontradas 25 No encontradas 24 23 22 21 20 Nmero formado 1 MSB 0 0 1 1 1 LSB

Portanto: 3910 = 1001112. 6.5.2. Segundo Mtodo Divide-se o nmero decimal por 2 e repetidamente usam-se os restos para formar o nmero binrio, conforme ilustrado na Figura 3. Exemplo:

Figura 3. Converso de decimal para binrio (segundo mtodo).

Portanto: 3910 = 1001112. 6.6. Decimal negativo para binrio

No captulo 4, foi ensinado como o computador representa nmeros negativos em binrio. o bit mais significativo (MSB) utilizado para representar o sinal. Quando 0 (zero) positivo e quando 1 (um) negativo. Por exemplo, para representar o nmero -7 em binrio, deve-se partir da magnitude (7) em binrio que 0000 0111 (neste exemplo 8 bits), fazer seu complemento e somar 1 a este valor. Este exemplo ilustrado na Tabela 3 e, um segundo, na Tabela 4.Copyrigth Carlos Sica 2009 UEM/CTC/DIN

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Tabela 3. Magnitude e sinal do nmero -7 decimalMagnitude (7) complemento (de 1) complemento de 2 Binrio 0000 1111 1111 0111 1000 1001 Hexadecimal 07 F8 F9 Decimal =7 = -7

Outro exemplo, o nmero -5 em complemento de 2.Tabela 4. Magnitude e sinal do nmero -5 decimalMagnitude (5) complemento (de 1) complemento de 2 Binrio 0000 1111 1111 0101 1010 1011 Hexadecimal 05 FA FB Decimal =5 = -5

6.7.

Decimal menor que 1 para binrio

Multiplica-se o nmero a ser convertido pela sua potncia equivalente, e do resultado obtido, extrai-se a parte inteira, que ser sempre 0 ou 1. O restante ( direita da vrgula) utilizado sucessivamente para calcular os outros dgitos. O processo se encerra quando a parte fracionria zero. Um exemplo mostrado na Tabela 5.Tabela 5. Converso de decimal para binrio menor que 10,75110 2 x 0,751 2 x 0,502 2 x 0,004 2 x 0,008 2 x 0,016 2 x 0,032 2 x 0,064 2 x 0,128 2 x 0,512 = = = = = = = = = 1,502 1,004 0,008 0,016 0,032 0,064 0,128 0,512 1,024

Portanto: 0,75110 = 0,11000000012. Re-convertendo para decimal, obtido aproximadamente 0,750976562510 devido preciso truncada em 0,024. Este exemplo mostra que possvel efetuar uma converso deste tipo com a preciso necessria para cada problema. 6.8. Decimal para hexadecimal

Divide-se sucessivamente o valor a ser convertido por 16 e usam-se os restos para formar o nmero resultante. Exemplo 1

409610 = 100016Copyrigth Carlos Sica 2009 UEM/CTC/DIN

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Exemplo 2

5910 = 3B16 6.9. Hexadecimal para decimal

Semelhante ao mtodo apresentado no item 3.2.1, multiplica-se cada dgito pela sua potncia equivalente e, depois, somam-se os elementos obtidos. Cada dgito representado por uma letra entre A e F deve ser convertido antes da multiplicao para seu correspondente decimal: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 e F=15. 6.9.1. Primeiro mtodo 3B16 = (3 x 161) + (B x 160) = (3 x 161) + (11 x 160) = 5910 6.9.2. Segundo mtodo Exemplo 1

3B16 = 5910 Exemplo 2

1516 = 2110

6.10. Hexadecimal para binrio Cada dgito hexadecimal representa 4 dgitos em binrio, portanto, a converso deve ser feita para cada dgito, separadamente, de forma semelhante ao primeiro mtodo do item 3.2.4. O nmero 3B16 compe um nmero de 8 bits (byte), ou dois de 4 bits, portanto deve ser visto da forma mostrada na Tabela 6.Tabela 6. Nmero de 8 bits em hexadecimal e binrio3 0 0 1 1 1 0 B 1 1


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7. O cdigo BCDO cdigo BCD (Binrio Codificando Decimal) utilizado em aparelhos digitais, tais como: relgios, fornos de microondas, frequencmetros, multmetros, calculadoras e, muitas vezes, em interfaces, monitorando dados de computadores. Existem dois tipos de representao de nmeros em BCD: BCD (no compactado): Representao de um dgito decimal codificado em binrio (Binary Coded Decimal) na faixa de 0 a 9. Um decimal no compactado expresso por um byte sem bit de sinal. Cada dgito armazenado em um byte. A magnitude do nmero o valor binrio do nibble de ordem mais baixa (4 bits menos significativos do byte); os dgitos somente podem assumir valores entre 0 e 9. O nibble de ordem mais alta (4 bits mais significativos do byte), deve estar zerado para as operaes de multiplicao e de diviso, e podem conter qualquer valor nas somas e subtraes. BCD Compactado (packed BCD): Representao de dgitos decimais codifcados em binrio, cada um na faixa de 0 a 9. Um dgito armazenado nos 4 bits menos significativos do byte e outro nos 4 bits mais significativos; portanto cada byte comporta dois dgitos.

Os computadores e equipamentos digitais utilizam internamente o sistema numrico binrio. Desta forma, sempre que esses equipamentos forem representar um nmero em decimal, utilizam o cdigo BCD. Por exemplo, o nmero decimal 15 ocupa 4 dgitos binrios formando o nibble 1111. Para mostrar esse nmero, convertido em decimal em um display de 7 segmentos necessrio separ-lo em 2 partes: o nmero 1 e o nmero 5, o que forma tambm dois nmeros em binrio: o nmero 0001 e nmero 0101, respectivamente. Somente aps essa separao o sistema digital mostrar o nmero para o usurio. Segundo a tcnica discutida anteriormente nos itens 3 e 5, quatro dgitos binrios formam um hexadecimal, que varia de 0 a F. O cdigo BCD consiste em somar a constante 6 ao nibble que est sendo convertido, o resultado extrapolar o dgito hexa e ser necessrio um vai um. Veja o exemplo que converter o nmero hexadecimal A em binrio codificado decimal. O nmero A16 corresponde a 10102. Somando a constante 6 (decimal) que corresponde ao nmero 0110 em binrio obtm-se o resultado 10 em BCD. 10102.. + 01102.. 1 0000BCD O nmero resultante, 1.0000BCD, ser mostrado num display de 7 segmentos em duas partes: a primeira mostrar o 12 e a segunda o 00002. Este cdigo usa somente os 10 primeiros nmeros (0000 a 1001) dos 16 possveis (0000 a 1111) de cada conjunto de 4 bits do cdigo binrio.Copyrigth Carlos Sica 2009 UEM/CTC/DIN

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Outro exemplo: o nmero 89 em binrio 0101 1001, porm quando representado em BCD, 1000 1001.


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8. O cdigo sete segmentosEste cdigo utilizado para representar os nmeros em displays de 7 segmentos. Cada display de 7 segmentos constitudo de 7 leds utilizados para formar o nmero e um para representar um ponto (Figura 4). Os fabricantes os apresentam num invlucro com 10 pinos, sendo que cada um deles est ligado a um segmento que forma o nmero, ao ponto e, dois deles, ao comum. Existem dois tipos de displays de 7 segmentos: o de nodo (plo positivo) comum e o de ctodo (plo negativo) comum, portanto o comum deve ser levado ao positivo ou ao Terra do circuito (0 Volts), respectivamente, dependendo do tipo de display.

Figura 4. Display de sete segmentos com o 3 aceso.

Para acender um segmento (led) nestes displays necessrio ajustar 0 ou 1 lgico nos pinos da display de acordo com o tipo adquirido, sendo um complemento do outro, conforme mostra a Tabela 7.Tabela 7. Cdigo 7 segmentosa 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 b 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 nodo comum c d e 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 f 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 g 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 b 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 Ctodo comum c d e 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 f 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 g 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F


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9. O cdigo binrio refletidoO cdigo binrio refletido assim chamado porque parte da sua composio construda como se os nmeros fossem vistos num espelho. A Figura 5 ilustra como o cdigo refletido construdo. A primeira parte mostra a numerao para um dgito (bit), a segunda para dois bits e, a terceira, para trs. Para construir a seqncia de duas variveis (parte 2) reflete-se os 4 nmeros conseguidos com o espelhamento e, aps isto, so inseridos 0's na frente dos dois primeiros e 1's nos dois ltimos compondo a seqncia 00 01 11 10. Da mesma forma, para construir a seqncia para trs variveis, reflete-se o resultado do espelhamento para dois bits e insere-se 0's e 1's criando a seqncia 000 001 011 010 110 111 101 100.

Figura 5. Construo do cdigo refletido

Esta construo destaca uma caracterstica muito peculiar: cada nmero difere do seu vizinho em apenas um dgito, inclusive o primeiro e o ltimo, como se eles fossem interligados formando um crculo como mostrado na Figura 6.

Figura 6. O cdigo refletido no muda mais que um dgito


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10. Converso entre as bases decimal, hexadecimal e binrioA Tabela 8 apresenta um resumo para consulta rpida, da converso entre as trs bases estudadas.Tabela 8. Converso entre as basesDecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Hexadecimal 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C Binrio 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0


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apostila de sistema de numeracao

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