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Sinais e SistemasUnidade 2 ‐

Conceitos de Matemática de

Variável Complexa

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

1/5

2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução

•

Propriedades dos números complexos

•

Operações com números complexos

•

Fundamentos axiomáticos

•

Funções de variável complexa

•

Funções harmônicas complexas

•

Resíduos e pólos

Conteúdo da unidade

Aula 01

Aula 02

Aula 03

1/5


Aula 01

•

Introdução–

Conjuntos numéricos

–

Definição formal de números complexos–

Representação gráfica

•

Propriedades dos números complexos–

Igualdade de números complexos

–

Números reais e números imaginários puros–

Conjugado complexo

•

Operações com números complexos–

Adição, subtração, multiplicação e divisão

–

Valor absoluto•

Fundamentos axiomáticos–

Igualdade, soma e produto

–

Leis: fechamento, comutativa, associativa e distributiva

1/5


Introdução

•

Números Naturais (N)–

N = { 1, 2, 3, ... }

•

Números Inteiros (Z)–

Z = { ... , ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, ... }

•

Números Racionais (Q)–

Forma a/b { 1/2, 1/3, ... } e Dízimas periódicas { 0,9999... }

•

Números Irracionais (I)–

Não expressos como a/b { π

= 3,1415... , e

= 2,7183...

}

•

Números Reais (Z)–

União dos Racionais com Irracionais


1/5


Introdução


1/5


Introdução

•

Seja a variável complexa z

= a

+ bj

–

Parte real de

z

a

= Re { z }

–

Parte imaginária de

z

b = Im { z }

•

Representação como par ordenado:

z

= (a, b)

Um Um nnúúmero complexomero complexo

possui a forma possui a forma a a ++

bjbj, onde , onde aa

e e bb

são são nnúúmeros reais emeros reais e

jj

éé

a unidade imagina unidade imagináária e possui a ria e possui a

propriedade propriedade jj²²

= = ‐‐11..

1/5


Introdução

•

Plano complexo

| Diagrama

de Argand

| Plano z

Representação gráfica

1/5


Introdução

Forma retangular

,z a bj a ba r cos θb r sen θ

2 2

z r θ

r a bzθ atan b a

Forma polar

1/5


Propriedades

•

Igualdade–

Seja z1

= a

+ bj

e

z2

= c

+ dj–

z1

= z2

se e somente se

a

= c

e b

= d

•

Números reais como subconjunto dos números complexos–

Seja z

= a

+ bj, com

b

= 0

–

Ex: 0 + 0j = 0; ‐3 + 0j = ‐3

•

Número imaginário puro–

Seja z

= a

+ bj, com

a

= 0

–

z

= a

+ bj

= 0 + bj

= bj

•

Conjugado complexo–

Seja z

= a

+ bj

–

Seu conjugado será

z*

= a

–

bj

1/5


Operações

•

Sejam

z1

= a

+ bj

e

z2

= c

+ dj•

z1

+

z2

= (a

+ bj) + (c

+ dj) = a

+ bj

+ c

+ dj

= (a

+ c) + (b

+ d)j

•

Sejam

z1

= a

+ bj

e

z2

= c

+ dj•

z1

‐

z2

= (a

+ bj) ‐

(c

+ dj) = a

+ bj

‐

c

‐

dj

= (a

‐

c) + (b

‐

d)j

Adição

Subtração

1/5


Operações

•

Sejam

z1

= a

+ bj

e

z2

= c

+ dj•

z1

z2

= (a

+ bj)(c

+ dj) = ac

+ adj

+ bcj

+ bdj²

= (ac

‐

bd) + (ad

+ bc)j•

OBS: j²

= ‐1

•

Sejam

z1

= a

+ bj

e

z2

= c

+ dj

•

Multiplicação

Divisão

21

2 2 2 2 2 2 22

z a bj c dj ac adj bcj bdj ac bd bc adj

z c dj c dj c d j c d c d

1/5


Operações

•

Seja

z

= a

+ bj•

Seu

valor absoluto

é

definido

como

–

Ex:

•

Propriedades1)

2)

3)

4)

Valor absoluto

2 2a ba bjz

2 24 2 204 2 j

1 2 1 2z z z z

1 2 1 2z z z z

112

2 2, se 0

zzz

z z

1 2 1 2z z z z Desigualdade

triangular

1/5



•

Variável complexa como par ordenado

z

= a

+ bj

= (a, b)

1) Igualdade–

(a, b) = (c, d) se e somente se

a

= c

e b

= d

2) Soma–

(a, b) + (c, d) = (a

+ c, b

+ d)

3) Produto –

(a, b)(c, d) = (ac

–

bd, ad

+ bc)

–

m(a, b) = (ma, mb)

Redefinição das propriedades

1/5



•

a

+ bj

= (a, b)•

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)

•

j

= 1j

= (0, 1)•

j²

= (0, 1)(0, 1) = (‐1, 0)

•

(‐1, 0)

Equivalente ao número real “‐1”•

(1, 0)

Equivalente ao número real “1”

•

(0, 0)

Equivalente ao número real “0”

Observações

1/5



•

Se z1

, z2

e z3

pertencem a um conjunto S

de números complexos, então:

1)

z1

+ z2

e z1

z2

pertencem a S2)

z1

+ z2

= z2

+ z13)

z1

+ (z2

+ z3

) = (z1

+ z2

) + z34)

z1

z2

= z2

z15)

z1

(z2

z3

) = (z1

z2

) z36)

z1

(z2

+ z3

) = z1

z2

+ z1

z3

Leis axiomáticas

Lei do fechamento

Lei comutativa da adição

Lei associativa da adição

Lei comutativa da multiplicação

Lei associativa da multiplicação

Lei distributiva

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7)

z1

+ 0 = 0 + z1

= z18)

1 z1

= z1

1 = z19)

Para qualquer z1

existe um único z

tal que z

+ z1

= 0 z

inversa de z1

com relação à adição (‐

z1

)

10)

Para qualquer existe um único z tal que z1

z

= zz1

= 1z

inversa de z1

com relação à

multiplicação (1/z1

)

Leis axiomáticas

CorpoCorpo: qualquer conjunto : qualquer conjunto SS

cujos membros satisfazem cujos membros satisfazem ààs s leis axiomleis axiomááticasticas

1 0z

“0”

Identidade com relação à

adição

“1”

Identidade com relação à

multipl.

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Ferramentas de auxílio

Comandos MATLAB

help complex

% Exibe todos os comandos para números complexos

z = 10 + 20j

% Definição do número complexoz = 10 + 20i

r = abs

(z)

% Cálculo do módulotheta

= angle

(z)

% Cálculo do argumento (rad)

a = real (a)

% Extrai a parte real de zb = imag

(z)

% Extrai a parte imaginária de z

z1 = conj

(z)

% Calcula o conjugado de z (z1

= 10 – 20j)

plot

(z)

% Plotagem

no plano complexo

help complex

% Exibe todos os comandos para números complexos

z = 10 + 20j

% Definição do número complexoz = 10 + 20i

r = abs

(z)

% Cálculo do módulotheta

= angle

(z)

% Cálculo do argumento (rad)

a = real (a)

% Extrai a parte real de zb = imag

(z)

% Extrai a parte imaginária de z

z1 = conj

(z)

% Calcula o conjugado de z (z1

= 10 – 20j)

plot

(z)

% Plotagem

no plano complexo

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Ferramentas de auxílio

•

MODE:

RPN, Degrees, Rectangular ou

Polar

Comandos calculadora HP

z = 10 + 20j

% Número complexo desejado (retangular)z = 22.36 ∟63.43º

% (polar)

Forma retangular

( ) 10 SPC

20 ENTER

% Definição do número complexo

(10. , 20. )

% Exibição na forma de par ordenado

Forma polar

( )

22.36 ALFA

6

63.43

ENTER


(22.36 < 63.43)

Salvando na memóriaALFA

z STO

% Salva na memória

Manipulaçãoz CMLPX

% Menu para manipulação de números complexos

z = 10 + 20j

% Número complexo desejado (retangular)z = 22.36 ∟63.43º

% (polar)

Forma retangular

( )

10 SPC

20 ENTER


(10. , 20. )

% Exibição na forma de par ordenado

Forma polar

( )

22.36 ALFA

6

63.43

ENTER


(22.36 < 63.43)

Salvando na memóriaALFA

z STO

% Salva na memória

Manipulaçãoz CMLPX

% Menu para manipulação de números complexos

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Exercícios de revisão

•

Sejam

z1

= 3 + 2j

e z2

= ‐7 ‐ja)

Calcular

z1

+ z2

e z1

‐

z2b)

Calcular

z1

z2

e z1

/z2c)

Obter

a forma polar de z1

e z2d)

Representar

no plano

complexo

z1

e z2e)

Representar

no plano

complexo

z1

+

z2

e

z1

‐

z2

1/5


[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.

[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw‐Hill, 1996.

Bibliografia

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