sinais e sistemas - hwei hsu cap_01

1.1 INTRODUÇÃO

O conceito e a teoria dos sinais e sistemas são necessários a quase todos os campos da engenharia elétrica e tam-bém a muitas outras disciplinas científicas e de engenharia. Neste capítulo, apresentamos a descrição e a represen-tação matemática dos sinais e dos sistemas, assim como a sua classificação. Definimos também diversos sinais básicos importantes, que serão essenciais aos nossos estudos.

1.2 SINAIS E CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS

Um sinal é uma função que representa uma quantidade ou variável física, a qual tipicamente contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno. Em um circuito RC, por exemplo, o sinal pode representar a tensão no capacitor ou a corrente que flui no resistor. Matematicamente, representa-se um sinal por uma função de uma variável independente t, que usualmente representa o tempo. Assim, um sinal é expresso por x(t).

A. Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto:

Se t for uma variável contínua, então o sinal x(t) será um sinal de tempo contínuo. Se t for uma variável discreta, isto é, se x(t) for definido em instantes discretos, então x(t) será um sinal de tempo discreto. Como um sinal de tempo discreto é definido em instantes discretos, ele é frequentemente identificado por uma sequência de números, expressa por {xn} ou x[n], sendo que n � inteiro. Ilustrações de um sinal de tempo contínuo x(t) e de um sinal de tempo discreto x[n] são mostradas na Fig. 1-1.

x[n]

n

x(t)

(a () b)

100 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6

2

1

t

Figura 1.1 Representação gráfica de sinais de (a) tempo contínuo e (b) tempo discreto.

Um sinal de tempo discreto x[n] pode representar um fenômeno, para o qual a variável independente é inerentemente discreta. Por exemplo, devido à sua natureza, a média diária de fechamento do mercado de ações é um sinal que evolui em pontos discretos de tempo (isto é, no fechamento de cada dia). Por outro lado, poderemos obter um sinal de tempo discreto x[n] se amostrarmos um sinal x(t) de tempo contínuo, como em

Sinais e Sistemas

Capítulo 1

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SINAIS E SISTEMAS2

ou em uma forma abreviada como

ou

onde assumimos que

e os xn são denominados amostras e o intervalo de tempo entre elas é denominado intervalo de amostragem. Quan-do os intervalos de amostragem são iguais (amostragem uniforme), então

onde a constante Ts é o intervalo de amostragem*.Um sinal x[n] de tempo discreto pode ser definido de dois modos:

1. Podemos especificar uma regra para calcular o n-ésimo valor na sequência. Por exemplo,

ou

2. Podemos também listar explicitamente os valores da sequência. Por exemplo, a sequência mostrada na Fig. 1-1(b) pode ser escrita como

ou

Usamos a seta para indicar o termo n � 0 e, por convenção nossa, se nenhuma seta for usada, então o primeiro termo corresponderá a n � 0 e todos os valores da sequência serão zero para n � 0.

A soma e o produto de duas sequências são definidos como segue:

B. Sinais analógicos e digitais:

Se um sinal de tempo contínuo x(t) puder assumir qualquer valor do intervalo contínuo (a, b), onde a pode ser �� e b pode ser �� , então o sinal de tempo contínuo x(t) será denominado sinal analógico. Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir apenas um número finito de valores distintos, então será denominado sinal digital.

C. Sinais reais e complexos:

Um sinal x(t) será um sinal real se o seu valor for um número real, e um sinal x(t) será um sinal complexo se o seu valor for um número complexo. Um sinal complexo genérico x(t) é uma função com a forma

(1.1)

* N. de T.: O índice s em Ts vem do termo sampling, amostragem, em inglês.

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CAPÍTULO 1 • SINAIS E SISTEMAS 3

onde x1(t) e x2(t) são sinais reais e Observe que, na Equação (1.1), t representa tanto uma variável contínua como uma discreta.

D. Sinais determinísticos e aleatórios:

Sinais determinísticos são aqueles sinais cujos valores estão completamente especificados para qualquer tempo dado. Assim, um sinal determinístico pode ser modelado por uma função de tempo t conhecida. Sinais aleatórios são aqueles sinais que assumem valores aleatórios em qualquer tempo dado e devem ser caracterizados estatistica-mente. Os sinais aleatórios serão discutidos nos Capítulos 8 e 9.

E. Sinais pares e ímpares:

Um sinal x(t) ou x[n] será denominado sinal par se

(1.2)

Um sinal x(t) ou x[n] será denominado sinal ímpar se

(1.3)

Exemplos de sinais pares e ímpares são mostrados na Fig. 1-2.

x(t)

x(t)

x[n]

x[n]

(b)

(d)

(a)

nt

n

0

(c)

t0

4

4

3 2 1

3 2 1

0 1 2 3 4

1 2 3 4

Figura 1-2 Exemplos de sinais pares (a e b) e sinais ímpares (c e d).

Qualquer sinal x(t) ou x[n] pode ser expresso como uma soma de dois sinais, um dos quais é par e o outro é ímpar. Isto é,

(1.4)

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SINAIS E SISTEMAS4

onde*

(1.5)

(1.6)

Observe que o produto de dois sinais pares ou de dois sinais ímpares é um sinal par, e que o produto de um sinal par e um sinal ímpar é um sinal ímpar (Problema 1.7).

F. Sinais periódicos e não periódicos:

Um sinal de tempo contínuo x(t) será denominado periódico com período T se existir um valor positivo diferente de zero de T para o qual

(1.7)

Um exemplo de tal sinal é dado na Fig. 1-3(a). Da Equação (1.7) ou da Fig. 1-3(a), segue-se que

(1.8)

para todos os valores de t e qualquer inteiro m. O período fundamental T0 de x(t) é o menor valor positivo de T para o qual a Equação (1.7) é satisfeita. Observe que essa definição não se aplica a um sinal x(t) constante (conhecido como sinal DC ou CC**). Em um sinal constante x(t), o período fundamental é indefinido, pois x(t) é periódico para qualquer valor escolhido de T (e, assim, não há menor valor positivo). Qualquer sinal de tempo contínuo que não é periódico é denominado não periódico (ou aperiódico).

x(t)

(a)

2T

2N N2NN

2TTT 0

0

(b)

x[n]

t

n

Figura 1-3 Exemplos de sinais periódicos.

* N. de T.: Na Equação (1.4), os índices e e o em xe e xo vêm do inglês even (par) e odd (ímpar).

** N. de T.: Corrente contínua, de direct current (DC) ou continuous current (CC), em inglês.

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Sinais periódicos de tempo discreto são definidos de forma semelhante. Uma sequência (sinal de tempo dis-creto) x[n] será periódica com período N se houver um inteiro positivo N para o qual

(1.9)

Um exemplo de tal sequência é dado na Fig. 1-3(b). Da Equação (1.9) e da Fig. 1-3(b), segue-se que

(1.10)

para todos os valores de n e para qualquer inteiro m. O período fundamental N0 de x[n] é o menor inteiro positivo N para o qual a Equação (1.9) é satisfeita. Qualquer sequência que não é periódica é denominada sequência não periódica (ou aperiódica).

Observe que uma sequência obtida pela amostragem uniforme de um sinal periódico de tempo contínuo pode não ser periódica (Problemas 1.12 e 1.13). Observe também que a soma de dois sinais periódicos de tempo contínuo pode não ser periódica, mas que a soma de duas sequências periódicas é sempre periódica (Problemas 1.14 e 1.15).

G. Sinais de energia e de potência:

Considere que v(t) seja a tensão em um resistor R produzindo uma corrente i(t). A potência instantânea p(t) por ohm é definida como

(1.11)

A energia total E e a potência média P por ohm são

(1.12)

(1.13)

Para um sinal arbitrário de tempo contínuo x(t), o conteúdo de energia normalizado E de x(t) é definido como

(1.14)

A potência média normalizada P de x(t) é definida como

(1.15)

De forma semelhante, para um sinal de tempo discreto x[n], o conteúdo normalizado de energia E de x[n] é definido como

(1.16)

A potência média normalizada P de x[n] é definida como

(1.17)

Baseadas nas definições (1.14) a (1.17), as seguintes classes de sinais são definidas:

1. x(t) (ou x[n]) será denominado como sendo um sinal (ou sequência) de energia se e apenas se 0 � E � �, e assim P � 0.

2. x(t) (ou x[n]) será denominado como sendo um sinal (ou sequência) de potência se e apenas se 0 � P � �, implicando assim que E � �.

3. Sinais que não satisfazem nenhuma dessas propriedades são referidos como sendo sinais nem de energia nem de potência.

Observe que um sinal periódico será um sinal de potência se seu conteúdo de energia por período for finito. Então, a potência média desse sinal precisará ser calculada apenas para um período (Problema 1.18).

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SINAIS E SISTEMAS6

1.3 SINAIS BÁSICOS DE TEMPO CONTÍNUO

A. A função degrau unitário:

A função degrau unitário u(t), também conhecida como função de Heaviside unitária, é definida como

(1.18)

que é mostrada na Fig. 1-4(a). Observe que ela é descontínua em t � 0 e que o valor em t � 0 é indefinido. De modo semelhante, a função degrau unitário deslocado u(t – t0) é definida como

(1.19

e está mostrada na Fig. 1-4(b).

u(t) u(t t0)

t0 tt 00

11

(a () b)

Figura 1-4 (a) Função degrau unitário; (b) função degrau unitário deslocado.

B. A função impulso unitário:

A função impulso unitário �(t), também conhecida como a função delta de Dirac, desempenha um papel central na análise de sistemas. Tradicionalmente, �(t) é definida como o limite de uma função convencional adequadamente escolhida que tem uma área unitária dentro de um intervalo de tempo infinitesimal, como mostrado na Fig. 1-5, e que possui as seguintes propriedades:

t

1

0

Figura 1-5

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Porém, uma função ordinária que é 0 em todos os lugares, exceto em um único ponto, deve ter a integral 0 (no sentido de integral de Riemann). Assim, �(t) não pode ser uma função ordinária. Matematicamente, ela é definida como

(1.20)

onde (t) é qualquer função regular contínua em t � 0.Uma definição alternativa de �(t) é dada por

(1.21)

Observe que a Equação (1.20) ou (1.21) é uma expressão simbólica e não deve ser considerada como uma in-tegral de Riemann ordinária. Nesse sentido, �(t) é frequentemente denominada função generalizada e (t) é conhe-cida como uma função de teste. Uma classe diferente de funções de teste irá definir uma função generalizada diferente (Problema 1.24). De forma semelhante, a função delta retardada �(t � t0) é definida como

(1.22)

onde (t) é qualquer função regular contínua em t � t0. Por conveniência, �(t) e �(t � t0) são mostradas graficamen-te na Fig. 1-6.

ttt 000

(t)

(a () b)

(t t0)

Figura 1-6 (a) Função impulso unitário; (b) função impulso unitário deslocado.

Algumas propriedades adicionais de �(t) são

(1.23)

(1.24)

(1.25)

se x(t) for contínua em t � 0.

(1.26)

se x(t) for contínua em t � t0.Usando as Equações (1.22) e (1.24), qualquer sinal de tempo contínuo x(t) pode ser expresso como

(1.27)

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SINAIS E SISTEMAS8

Derivadas generalizadas:Se g(t) for uma função generalizada, sua n-ésima derivada generalizada g(n)(t) � dng(t)/dtn será definida pela se-guinte relação:

(1.28)

onde (t) é uma função de teste. Essa função pode ser derivada um número arbitrário de vezes, anulando-se fora de algum intervalo dado, e onde (n) (t) é a n-ésima derivada de (t). Assim, pelas Equações (1.28) e (1.20), a derivada de �(t) pode ser definida como

(1.29)

onde (t) é uma função de teste, contínua em t � 0 e nula fora de algum intervalo dado, e Usando a Equação (1.28), pode-se mostrar que a derivada de u(t) é �(t) (Problema 1.28); isto é,

(1.30)

Então, a função degrau unitário u(t) poderá ser expressa como

(1.31)

Observe que a função degrau unitário u(t) é descontínua em t � 0. Portanto, como mostrado na Equação (1.30), a derivada de u(t) não é a derivada de uma função no sentido ordinário. Ela deve ser considerada como uma derivada generalizada no sentido de uma função generalizada. Da Equação (1.31), vemos que u(t) é indefinida em t � 0 e

conforme a Equação (1.21) com . Esse resultado é consistente com a definição (1.18) de u(t).Observe que as propriedades (ou identidades) expressas pelas Equações (1.23) a (1.26) e pela Equação (1.30)

não poderão ser verificadas se usarmos a abordagem convencional de , como mostrado na Fig. 1-5.

C. Sinais exponenciais complexos:

O sinal exponencial complexo

(1.32)

é um exemplo importante de um sinal complexo. Usando a fórmula de Euler, esse sinal pode ser definido como

(1.33)

Assim, x(t) é um sinal complexo cuja parte real é e cuja parte imaginária é . Na Equação (1.32), uma propriedade importante do sinal exponencial complexo x(t) está em ele ser periódico. O período fundamental T0 de x(t) é dado por (Problema 1.9)

(1.34)

Note que x(t) é periódico para qualquer valor de .

Sinais exponenciais complexos gerais:Seja um número complexo. Definimos x(t) como

(1.35)

Então, o sinal x(t) na Equação (1.35) será conhecido como um sinal exponencial complexo geral, cuja parte real e cuja parte imaginária são sinais senoidais exponencialmente crescentes ( ) ou decrescentes ( ) (Fig. 1-7).

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t

x(t)

x(t)

t

(b)

(a)

Figura 1-7 (a) Sinal senoidal exponencialmente crescente; (b) Sinal senoidal exponencialmente decrescente.

Sinais exponenciais reais:Observe que, se (um número real), então a Equação (1.35) irá se reduzir a um sinal real exponencial

(1.36)

Como ilustrado na Fig. 1-8, se , então x(t) será uma exponencial crescente e, se , então x(t) será uma exponencial decrescente.

D. Sinais senoidais:

Um sinal senoidal de tempo contínuo pode ser expresso como

(1.37)

onde A é a amplitude (real), é a frequência em radianos, expressa em radianos por segundo, e é o ângulo de fase em radianos. O sinal periódico senoidal x(t) é mostrado na Fig. 1-9, tendo o período fundamental dado por

(1.38)

O recíproco do período fundamental T0 é denominado frequência fundamental f0:

(1.39)

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SINAIS E SISTEMAS10

t

t

x(t)

x(t)

(a)

(b)

Figura 1-8 Sinais exponenciais reais de tempo contínuo. (a) 0; (b) 0.

t

x(t)

T02

0A

A

A cos

0

Figura 1-9 Sinal senoidal de tempo contínuo.

Das Equações (1.38) e (1.39), temos

(1.40)

que é denominada frequência angular fundamental. Usando a fórmula de Euler, o sinal senoidal da Equação (1.37) pode ser expresso como

(1.41)

onde “Re” significa a “parte real de”. Também usamos a notação “Im” para designar a “parte imaginária de”. En-tão,

(1.42)

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1.4 SINAIS BÁSICOS DE TEMPO DISCRETO

A. A sequência degrau unitário:

A sequência degrau unitário u[n] é definida como

(1.43)

sendo mostrada na Fig. 1-10(a). Observe que, em n � 0, o valor de u[n] é definido e igual a unidade [diferentemen-te do que acontece em t � 0 com a função degrau u(t) de tempo contínuo]. De modo semelhante, a sequência de-grau unitário deslocado, u[n – k], é definida como

(1.44)


u[n] u[n k]

(b)(a)

kn

11

2 12 01 10 1 32 n

Figura 1-10 (a) Sequência degrau unitário; (b) sequência degrau unitário deslocado.

B. A sequência impulso unitário:

A sequência impulso unitário (ou amostra unitária) é definida como

(1.45)

e está mostrada na Fig. 1-11(a). De modo semelhante, a sequência impulso (ou amostra) unitário deslocado, , é definida como

(1.46)


11

1101 02 122 3

(a () b)

nn

[n k][n]

k

Figura 1-11 (a) Sequência impulso (amostra) unitário; (b) sequência impulso unitário deslocado.

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SINAIS E SISTEMAS12

Diferentemente da função impulso unitário de tempo contínuo , é definida sem que haja qualquer complicação ou dificuldade matemática. Das definições (1.45) e (1.46), vê-se de imediato que

(1.47)

(1.48)

que são as equivalentes de tempo discreto das Equações (1.25) e (1.26), respectivamente. Das definições (1.43) a (1.46), temos que e u[n] relacionam-se entre si por

(1.49)

(1.50)

que são as equivalentes de tempo discreto das Equações (1.30) e (1.31), respectivamente.Usando a definição (1.46), podemos expressar qualquer sequência x[n] como

(1.51)

sendo equivalente à Equação (1.27), para o caso de sinal de tempo contínuo.

C. Sequências exponenciais complexas:

A sequência exponencial complexa é da forma

(1.52)

Novamente, usando a fórmula de Euler, podemos expressar x[n] como

(1.53)

Assim, x[n] é uma sequência complexa cuja parte real é e cuja parte imaginária é sen

Periodicidade de ej 0n:Para que seja periódica, com período N (�0), é necessário que satisfaça a seguinte condição (Problema 1.11):

(1.54)

Assim, a sequência não é periódica para qualquer valor de . Ela será periódica apenas se for um número racional. Note que essa propriedade é bem diferente daquela apresentada por um sinal de tempo contínuo

de ser periódico para qualquer valor de . Assim, se satisfizer a condição da periodicidade na Equação (1.54), , e se N e m não tiverem fatores em comum, então o período fundamental da sequência x[n] na Equa-ção (1.52) será N0, dado por

(1.55)

Outra distinção muito importante entre as exponenciais complexas de tempo discreto e as de tempo contínuo é que os sinais são todos distintos para valores distintos de , mas isto não é o caso para os sinais

Considere a sequência exponencial complexa de frequência ( ), onde k é um inteiro:

(1.56)

pois Com base na Equação (1.56), vemos que na frequência a sequência exponencial complexa é a mesma que nas frequências ( ), ( ), e assim por diante. Portanto, ao lidar com exponenciais de

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tempo discreto, precisamos considerar apenas um intervalo de tamanho para, dentro dele, escolher Normal-mente, usaremos o intervalo ou o intervalo

Sequências exponenciais complexas gerais:A sequência exponencial complexa mais geral é definida frequentemente como

(1.57)

onde C e são números complexos em geral. Note que a Equação (1.52) é um caso especial da Equação (1.57) com C � 1 e

Sequências exponenciais reais:Se C e na Equação (1.57) forem ambos reais, então x[n] será uma sequência exponencial real. Quatro casos dis-tintos podem ser identificados: e Essas quatro sequências exponenciais reais são mostradas na Fig. 1-12. Observe que, se , x[n] será uma sequência constante e, se , então x[n] alternará em valores entre �C e –C.

n

(a)

(b)

n

(c )

n

(d )

n

Figura 1-12 Sequências exponenciais complexas. (a) 1; (b) 1 0; (c) 0 �1; (d) �1.

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SINAIS E SISTEMAS14

D. Sequências senoidais:

Uma sequência senoidal pode ser expressa como

(1.58)

Se n for adimensional, então e terão unidades em radianos. Dois exemplos de sequências senoidais estão na Fig. 1-13. Como antes, a sequência senoidal da Equação (1.58) pode ser expressa como

(1.59)

Como já havíamos observado no caso da sequência exponencial complexa da Equação (1.52), as mesmas observa-ções [Equações (1.54) e (1.56)] também serão válidas para as sequências senoidais. Por exemplo, a sequência da Fig. 1-13(a) é periódica com período fundamental 12, mas a sequência da Fig. 1-13(b) não é periódica.

n

6

3912

6

12930

(a)

x[n] cos n6

n

6

3

9

12

6

12

9

30

(b)

x[n] cosn2

Figura 1-13 Sequências senoidais. (a) x[n] � cos( n/6); (b) x[n] � cos(n/2).

1.5 SISTEMAS E CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

A. Representação de sistema:

Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta).

Sejam x e y os sinais de entrada e saída de um sistema, respectivamente. Então, o sistema será visto como uma transformação (ou mapeamento) de x em y. Essa transformação é representada pela notação matemática

(1.60)

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onde T é o operador que representa alguma regra bem definida pela qual x é transformado em y. A relação (1.60) é ilustrada na Fig. 1-14(a). Sinais múltiplos de entrada e/ou saída são possíveis, como mostrado na Fig. 1-14(b). Na maior parte deste livro, vamos limitar a nossa atenção ao caso de entrada simples e saída simples.

yx SistemaT

(a () b)

Sistema

x1

xn

y1

ym

Figura 1-14 Sistema com sinais simples ou múltiplos de entrada e saída.

B. Sistemas determinísticos e estocásticos:

Se os sinais de entrada e saída x e y forem sinais determinísticos, então o sistema será denominado sistema deter-minístico. Se os sinais de entrada e saída x e y forem sinais aleatórios, então o sistema será denominado sistema estocástico.

C. Sistemas de tempo contínuo e tempo discreto:

Se os sinais de entrada e saída x e y forem sinais de tempo contínuo, então o sistema será denominado sistema de tempo contínuo [Fig. 1-15(a)]. Se os sinais de entrada e saída forem sinais ou sequências de tempo discreto, então o sistema será denominado sistema de tempo discreto [Fig. 1-15(b)].

x(t) y(t) SistemaT

SistemaT

(a () b)

x[n] y[n]

Figura 1-15 (a) Sistema de tempo contínuo; (b) sistema de tempo discreto.

Observe que, em um sistema de tempo contínuo, a entrada x(t) e a saída y(t) são expressas frequentemente por uma equação diferencial (veja o Problema 1.32) e, em um sistema de tempo discreto, a entrada x[n] e a saída y[n] são expressas frequentemente por uma equação de diferenças (veja o Problema 1.37).

D. Sistemas com memória e sem memória:

Um sistema será denominado sem memória se a saída em qualquer instante depender apenas da entrada naquele mesmo instante. Caso contrário, o sistema será denominado com memória. Um exemplo de sistema sem memória é um resistor R com a entrada x(t) tomada como corrente e a tensão tomada como saída y(t). A relação de entrada--saída (lei de Ohm) de um resistor é

(1.61)

Um exemplo de um sistema com memória é um capacitor C, em que a corrente é a entrada x(t) e a tensão é a saída y(t); então

(1.62)

Um segundo exemplo de um sistema com memória é um sistema de tempo discreto cujas sequências de entrada e saída relacionam-se por

(1.63)

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SINAIS E SISTEMAS16

E. Sistemas causais e não causais:

Um sistema será denominado causal se sua saída no instante presente depender apenas dos valores do presente e/ou do passado da entrada. Assim, em um sistema causal, não é possível obter uma saída antes que uma entrada seja aplicada ao sistema. Um sistema será denominado não causal (ou antecipativo) se sua saída no instante presente depender dos valores futuros da entrada. Exemplos de sistemas não causais são

(1.64)

(1.65)

Note que todos os sistemas sem memória são causais, mas não vice-versa.

F. Sistemas lineares e não lineares:

Se o operador T na Equação (1.60) satisfazer as seguintes duas condições, então T será denominado operador li-near e um sistema representado por um operador linear T será denominado sistema linear:

1. Aditividade:Sendo Tx1 � y1 e Tx2 � y2, então

(1.66)

para quaisquer sinais x1 e x2.

2. Homogeneidade (escalamento ou mudança de escala):

(1.67)

para quaisquer sinais x e qualquer escalar .Qualquer sistema que não satisfaz a Equação (1.66) e/ou a Equação (1.67) é classificado como um sistema não

linear. As Equações (1.66) e (1.67) podem ser combinadas em uma única condição como

(1.68)

onde e são escalares arbitrários. A Equação (1.68) é conhecida como a propriedade da superposição. Exem-plos de sistemas lineares são o resistor [Equação (1.61)] e o capacitor [Equação (1.62)]. Exemplos de sistema não lineares são

(1.69)

(1.70)

Observe que, como consequência da propriedade da homogeneidade (escalamento ou mudança de escala) [Equação (1.67)] dos sistemas lineares, uma entrada zero produz uma saída zero. Isto se demonstra facilmente quando se faz na Equação (1.67). Essa é outra propriedade importante dos sistemas lineares.

G. Sistemas invariantes no tempo e variantes no tempo:

Um sistema será denominado invariante no tempo se um deslocamento de tempo (retardo ou adiantamento) no si-nal de entrada causar o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída. Assim, em um sistema de tempo contínuo, o sistema será invariante no tempo se

(1.71)

para qualquer valor real de . Em um sistema de tempo discreto, o sistema será invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se

(1.72)

para qualquer inteiro k. Um sistema que não satisfaz a Equação (1.71) (sistema de tempo contínuo) ou a Equação (1.72) (sistema de tempo discreto) é denominado variante no tempo. Para verificar a invariância no tempo de um sistema, podemos comparar a saída deslocada com a saída que é produzida com a entrada deslocada (Problemas 1.33 a 1.39).

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H. Sistemas lineares invariantes no tempo:

Se o sistema for linear e invariante no tempo, então ele será denominado linear invariante no tempo (LTI – Li-near Time Invariant).

I. Sistemas estáveis:

Um sistema é denominado estável com entrada-limitada/saída-limitada (BIBO – Bounded-Input/Bounded-Output) se para qualquer entrada limitada x definida por

(1.73)

então a correspondente saída y também será limitada e definida por

(1.74)

onde k1 e k2 são constantes reais finitas. Um sistema instável é aquele em que nem todas as entradas limitadas transformam-se em saída limitada. Por exemplo, considere o sistema cuja saída y[n] é dada por y[n] � (n � 1)u[n] e a entrada x[n] � u[n] é a sequência degrau unitário. Nesse caso, temos que a entrada é u[n] � 1, mas a saída y[n] cresce sem limite à medida que n cresce.

J. Sistemas com realimentação:

Uma classe especial de sistemas que é de grande importância consiste em sistemas que apresentam realimenta-ção*. Em um sistema com realimentação, o sinal de saída é enviado de volta e adicionado à entrada do sistema, como mostrado na Fig. 1-16.

Sistemax(t) y(t)

Figura 1-16 Sistema com realimentação.

Problemas Resolvidos

Sinais e classificação de sinais

1.1 Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na Fig. 1-17. Faça o gráfico para cada um dos seguintes sinais.

(a) x(t – 2); (b) x(2t); (c) x(t/2); (d) x(-t)

x(t)

t

3

54321012

Figura 1-17

(a) x(t – 2) está plotado na Fig. 1-18(a).

(b) x(2t) está plotado na Fig. 1-18(b).

* N. de T.: Feedback, em inglês.

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SINAIS E SISTEMAS18

(c) x(t/2) está plotado na Fig. 1-18(c).

(d) x(�t) está plotado na Fig. 1-18(d).

x(t 2)

x(t/2)

x(2t)

x( t)

3

5 4 3 2 1 0 1 2

3 3

3

(a () b)

(c () d)

1 0 1 2 3 12 0 1 2 34 5 6 7

98765432101

t

t t

t

Figura 1-18

1.2 Um sinal de tempo discreto x[n] é mostrado na Fig. 1-19. Faça o gráfico para cada um dos seguintes sinais.

(a) x[n – 2]; (b) x[2n]; (c) x[–n]; (d) x[–n � 2]

x[n]

n

3

1 0 1 2 3 4 5

Figura 1-19

(a) x[n � 2] está plotado na Fig. 1-20(a).

(b) x[2n] está plotado na Fig. 1-20(b).

(c) x[�n] está plotado na Fig. 1-20(c).

(d) x[�n � 2] está plotado na Fig. 1-20(d).

x[n 2] x[2n]

nn

(a () b)

3

3543210

3

21016 7

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x[ n] x[ n 2]

n n(c () d)

33

1012345 210123

Figura 1-20

1.3 Dado o sinal de tempo contínuo especificado por

determine a sequência de tempo discreto que resulta da amostragem uniforme de x(t), aplicando um inter-valo de amostragem de (a) 0,25s, (b) 0,5s e (c) 1,0s.

É mais fácil usar uma abordagem gráfica a este problema. O sinal x(t) está plotado na Fig. 1-21(a). As Figuras 1-21(b) a (d) mostram os gráficos das sequências amostradas resultantes, que foram obtidas para os três intervalos de amostragem especificados.

(a) Ts � 0,25s. Da Fig. 1-21(b) obtemos

(b) Ts � 0,5s. Da Fig. 1-21(c) obtemos

(c) Ts � 1s. Da Fig. 1-21(d) obtemos

x(t) x[n] x(n/4)

x[n] x(n/2) x[n] x(n)

(a () b)

(c () d )

0 11

11

11 001 122

104 3 2 1 2 3 4

11

nt

nn

Figura 1-21

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SINAIS E SISTEMAS20

1.4 Usando os sinais de tempo discreto x1[n] e x2[n] mostrados na Fig. 1-22, represente cada um dos seguintes sinais por um gráfico e uma sequência de números.

(a) y1[n] � x1[n] � x2[n]; (b) y2[n] � 2x1[n]; (c) y3[n] � x1[n]x2[n]

x1[n] x2[n]

102 3

3

3

1 2 4

2 1

1 2 3 4 5 6 7

3

nn

Figura 1.22

(a) y1[n] está plotado na Fig. 1-23(a). Da Fig. 1-23(a) obtemos

(b) y2[n] está plotado na Fig. 1-23(b). Da Fig. 1-23(b) obtemos

(c) y3[n] está plotado na Fig. 1-23(c). Da Fig. 1-23(c) obtemos

y1[n] x1[n] x2[n]

6

4

4

4

4 5 6

(a () b)

(c)

7

2

2

2

2

2

2

21

1

1

0

0

1

1

1 2

2

2

3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

y2[n] 2x1[n]

y3[n] x1[n]x2[n]

n

n

n

Figura 1-23

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1.5 Faça os gráficos das componentes pares e ímpares dos sinais mostrados na Fig. 1-24.

Usando as Equações (1.5) e (1.6), as componentes pares e ímpares dos sinais mostrados na Fig. 1-24 estão plotados na Fig. 1-25.

x[n] x[n]

4

4

0 1 2 3

(c)

4 5 6

4

44e 0.5t

0

2

01 1 2

(d)

3 4 5

0 1 2 3 4 5

x(t) x(t)

(a () b)

t

nn

t

Figura 1-24

4

2

4

2

4

2

4

2

5

5

2

2

0

0

5

xe(t)

xe(t)

xo(t)

xo(t)

(a)

(b)

t

t

5 t

t

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SINAIS E SISTEMAS22

4

2

4

2

4

2

4

2

5 4 3 2 1

4 3 2 1

5 4 3 2

2

2

1

4 3 2 1

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

43215

1 2 3 4

5

xe[n] xo[n]

xe[n] xo[n]

(c)

(d)

n n

n n

Figura 1-25

1.6 Encontre as componentes pares e ímpares de

Sejam xe(t) e xo(t) as componentes par e ímpar de , respectivamente.

Das Equações (1.5) e (1.6) e usando a fórmula de Euler, obtemos

1.7 Mostre que o produto de dois sinais pares ou de dois sinais ímpares é um sinal par, e que o produto de um sinal par por um ímpar é um sinal ímpar.

Seja x(t) � x1(t)x2(t). Se x1(t) e x2(t) forem pares, então

e x(t) será par. Se x1(t) e x2(t) forem ímpares, então

e x(t) será par. Se x1(t) for par e x2(t) for ímpar, então

e x(t) será ímpar. Observe que nessa prova, a variável t representa uma variável contínua ou discreta.

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1.8 Mostre que

(a) se x(t) e x[n] forem pares, então

(1.75a)

(1.75b)

(b) se x(t) e x[n] forem ímpares, então

(1.76)

(1.77)

(a) Podemos escrever

Fazendo na primeira integral do lado direito, obtemos

Como x(t) é par, isto é temos

Assim,

De modo similar,

Fazendo n � –m no primeiro termo do lado direito, obtemos

Como x[n] é par, isto é, x[–m] � x[m], temos

Portanto,

(b) Como x(t) e x[n] são ímpares, isto é, x(–t) � –x(t) e x[–n] � –x[n], temos

Hsu_01.indd 23Hsu_01.indd 23 08/09/11 10:2508/09/11 10:25

SINAIS E SISTEMAS24

Assim,

De modo semelhante,

e

tendo em vista a Equação (1.76).

1.9 Mostre que o sinal exponencial complexo

é periódico e que seu período fundamental é

Pela Equação (1.7), x(t) será periódico se

Como

devemos ter

(1.78)

Se então x(t) � 1, que é periódico para qualquer valor de T. Se a Equação (1.78) será satisfeita se

Assim, o período fundamental T0 de x(t), que é o menor T positivo, é dado por

1.10 Mostre que o sinal senoidal

é periódico e que seu período fundamental é

O sinal senoidal x(t) será periódico se

Hsu_01.indd 24Hsu_01.indd 24 08/09/11 10:2508/09/11 10:25


Notamos que

se

Assim, o período fundamental T0 de x(t) é dado por

1.11 Mostre que a sequência exponencial complexa

será periódica apenas se for um número racional.

Pela Equação (1.9), x[n] será periódica apenas se

ou

(1.79)

A Equação (1.79) será satisfeita apenas se

ou

(1.80)

Assim, x[n] será periódica apenas se for um número racional.

1.12 Seja x(t) o sinal exponencial complexo

tendo a frequência em radianos e o período fundamental Considere a sequência de tempo discreto x[n], que foi obtida pela amostragem uniforme de x(t) usando o intervalo de amostragem Ts. Isto é,

Encontre qual é a condição que imposta ao valor de Ts torna x[n] periódica.

Se x[n] for periódica com período fundamental N0, então

Assim, devemos ter

ou

(1.81)

Hsu_01.indd 25Hsu_01.indd 25 08/09/11 10:2508/09/11 10:25

SINAIS E SISTEMAS26

Portanto, x[n] será periódica se a razão Ts/T0 entre o intervalo de amostragem e o período fundamental de x(t) for um número racional.

Observe que essa condição também é verdadeira para sinais senoidais

1.13 Considere o sinal senoidal

(a) Encontre o valor do intervalo de amostragem Ts para que x[n] � x(nTs) seja uma sequência periódica.

(b) Encontre o período fundamental de x[n] � x(nTs) se Ts � 0,1 segundos.

(a) O período fundamental de x(t) é . Pela Equação (1.81), x[n] � x(nTs) será periódica se

(1.82)

onde m e N0 são inteiros positivos. Assim, o valor procurado de Ts é dado por

(1.83)

(b) Substituindo Ts � 0,1 � na Equação (1.82), temos

Assim, x[n] � x(nTs) é periódica. Pela Equação (1.82)

O menor inteiro positivo N0 é obtido com m � 3. Assim, o período fundamental de x[n] � x(0,1 n) é N0 � 4.

1.14 Sejam x1(t) e x2(t) sinais periódicos com períodos fundamentais T1 e T2, respectivamente. Sob quais condi-ções a soma x(t) � x1(t) � x2(t) será periódica e qual será o período fundamental de x(t) se ele for periódico?

Como x1(t) e x2(t) são periódicos com períodos fundamentais T1 e T2, respectivamente, temos

Assim,

Para que x(t) seja periódico com período T, é necessário que

Assim, devemos ter

(1.84)

ou

(1.85)

Hsu_01.indd 26Hsu_01.indd 26 08/09/11 10:2508/09/11 10:25


Em outras palavras, a soma de dois sinais periódicos será periódica apenas se a razão entre os seus respectivos períodos puder ser expressa como um número racional. Então, o período fundamental será o mínimo múltiplo comum de T1 e T2, e será dado pela Equação (1.84) se os inteiros m e k forem primos relativos. Se a razão T1/T2 for um número irracional, então os sinais x1(t) e x2(t) não terão um período comum, e x(t) não poderá ser periódico.

1.15 Sejam x1[n] e x2[n] duas sequências periódicas com períodos fundamentais N1 e N2, respectivamente. Sob quais condições a soma x[n] � x1[n] � x2[n] será periódica e qual será o período fundamental de x[n] se ela for periódica?

Como x1[n] e x2[n] são periódicas com períodos fundamentais N1 e N2, respectivamente, temos

Assim,

Para que x[n] seja periódica com período N, é necessário que

Assim, devemos ter

(1.86)

Como sempre podemos encontrar inteiros m e k para satisfazer a Equação (1.86), temos que a soma de duas sequências periódicas também é periódica e o seu período fundamental é o mínimo múltiplo comum de N1 e N2.

1.16 Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se um sinal for periódico, determine o seu período fundamental.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(a)

x(t) é periódico com período fundamental

(b)


(c)

onde é periódico com e é periódico com Como é um número racional, x(t) é periódico tendo o período fundamental T0 �

4T1 � 3T2 � 24.

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SINAIS E SISTEMAS28

(d)

onde é periódico com e

é periódico com Como é um número irracional, x(t) é não periódico.

(e) Usando a identidade trigonométrica , podemos escrever

onde é um sinal DC com um período arbitrário e é periódico com Assim, x(t) é periódico com período fundamental

(f)


(g)

Como é um número racional, então x[n] é periódico e pela Equação (1.55) temos que o período fundamental é N0 � 8.

(h)

Como não é um número racional, então x[n] é não periódico.

(i)

onde

Como (� número racional), x1[n] é periódico com período fundamental N1 � 6, e como (� número racional), x2[n] é periódico com período fundamental N2 � 8. Assim, a partir do resultado do Problema 1.15, x[n] é periódico e o seu período fundamental é dado pelo mínimo múltiplo comum de 6 e 8, isto é, N0 � 24.

(j) Usando a identidade trigonométrica , podemos escrever

onde é periódico com período fundamental N1 � 1 e Como (� número racional), x2[n] é periódico com período fundamental N2 � 8.

Assim, x[n] é periódico com período fundamental N0 � 8 (o mínimo múltiplo comum de N1 e N2).

1.17 Mostre que se x(t � T) � x(t), então

(1.87)

(1.88)

para quaisquer reais , e a.

Se x(t � T) � x(t), então fazendo , teremos

e

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Continuando, o lado direito da Equação (1.88) pode ser escrito como

Pela Equação (1.87) temos

Assim,

1.18 Mostre que, se x(t) for periódico com período fundamental T0, então a potência média normalizada P de x(t), definida pela Equação (1.15), será a mesma que a potência média de x(t) em um intervalo qualquer de tamanho T0, isto é,

(1.89)

Pela Equação (1.15), temos

Se permitirmos que o limite seja tomado de maneira tal que T seja um múltiplo inteiro do período fundamental, T � kT0, então o conteúdo de energia total normalizado de x(t), em um intervalo de tamanho T, será k vezes o conteúdo de energia normalizado em um único período. Portanto,

1.19 As seguintes igualdades são usadas em muitas ocasiões neste texto. Prove a validade delas.

(a)

(1.90)

(b)

(1.91)

(c)

(1.92)

(d)

(1.93)

(a) Seja

(1.94)

Então

(1.95)

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SINAIS E SISTEMAS30

Subtraindo a Equação (1.95) da Equação (1.94), obtemos

Portanto, se , teremos

(1.96)

Se , então pela Equação (1.94)

(b) Para , temos . Então, pela Equação (1.96), obteremos

(c) Usando a Equação (1.91), obtemos

(d) Tomando a derivada dos dois lados da Equação (1.91) em relação a , temos

e

Assim,

1.20 Determine se os seguintes sinais são sinais de energia, sinais de potência ou nenhum dos dois.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(a)

Assim, x(t) é um sinal de energia.

(b) O sinal senoidal x(t) é periódico com Então, pelo resultado do Problema 1.18, a potência média de x(t) será

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Portanto, x(t) é um sinal de potência. Observe que os sinais periódicos são, em geral, sinais de potência.

(c)

Assim, x(t) não é um sinal de energia nem de potência.

(d) Pela definição (1.16), e usando a Equação (1.91), obtemos

Portanto, x[n] é um sinal de energia.

(e) Pela definição (1.17)

Assim, x[n] é um sinal de potência.

(f) Como

Portanto, x[n] é um sinal de potência.

Sinais básicos

1.21 Mostre que

(1.97)

Seja . Então, pela definição (1.18), temos

Como e implicam, respectivamente, que t � 0 e t � 0, então obtemos

mostrado na Fig. 1.26.

1

u( t)

0 t

Figura 1-26

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SINAIS E SISTEMAS32

1.22 Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na Fig. 1-27. Faça o gráfico de cada um dos seguintes sinais.

(a) x(t)u(1 – t); (b) x(t)[u(t) – u(t – 1)]; (c)

x(t)

0 11 2

2

1

t

Figura 1-27

(a) Pela definição (1.19), temos

e x(t)u(1 – t) está plotado na Fig. 1-28(a).

(b) Pelas definições (1.18) e (1.19), temos

e x(t)[u(t) – u(t – 1)] está plotado na Fig. 1-28(b).

(c) Pela Equação (1.26), temos

que está plotado na Fig. 1-28(c).

x(t)u(1 t) x(t) [u(t) u(t 1)]

x(t) (t 3/2)

(a)

(c)

(b)

1 1

1

2

210

1

101 0t

t

t

Figura 1-28

1.23 Um sinal de tempo discreto x[n] está mostrado na Fig. 1-29. Faça os gráficos dos seguintes sinais.

(a) x[n]u[1 – n]; (b) x[n]{u[n � 2] – u[n]}; (c)

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x[n]

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

3

n

Figura 1-29

(a) Pela definição (1.44)

e x[n]u[1 – n] está plotado na Fig. 1-30(a).

(b) Pelas definições (1.43) e (1.44), temos

e x[n]{u[n � 2] – u[n]} está plotado na Fig. 1-30(b).

(c) Pela definição (1.48), temos

que está plotado na Fig. 1-30(c).

x[n]u[1 n] x[n] {u[n 2] u[n]}

x[n] [n 1]

(b)

(c)

3

0

0

1

1

3 2

2

1

1

2

2

3

3

43

(a)

1 2 3

3

04 3 2 1 nn

n

Figura 1-30

1.24 A função degrau unitário u(t) pode ser definida, como uma função generalizada, pela seguinte relação:

(1.98)

onde é uma função de teste que é integrável em . Usando essa definição, mostre que

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SINAIS E SISTEMAS34

Reescrevendo a Equação (1.98) como

obtemos

Isto será verdadeiro apenas se

Essas condições implicam que

Como é arbitrária, temos

isto é,

1.25 Verifique as Equações (1.23) e (1.24), isto é,

(a) (b)

A prova irá se basear na seguinte propriedade de equivalência:

Sejam g1(t) e g2(t) funções generalizadas. Então, a propriedade de equivalência afirmará que g1(t) � g2(t) se, e somente se,

(1.99)

para todas as funções de teste adequadamente definidas.

(a) Com uma mudança de variável, , e consequentemente e , obtemos as seguintes equações:

Se a � 0, então

Se a � 0, então

Assim, para qualquer a, então

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Agora, usando a Equação (1.20) em , obtemos

para qualquer . Então, pela propriedade da equivalência (1.99), obteremos

(b) Fazendo a � –1 nessa equação anterior, obtemos

a qual mostra que é uma função par.

1.26 (a) Verifique a Equação (1.26):

se x(t) for contínua em t � t0.

(b) Verifique a Equação (1.25):

se x(t) for contínua em t � t0.

(a) Se x(t) for contínua em t � t0, então, pela definição (1.22), teremos

para todos que forem contínuos em t � t0. Assim, pela propriedade da equivalência (1.99), concluímos que

(b) Fazendo t0 � 0 nessa expressão anterior, obtemos

1.27 Mostre que

(a)

(b) sen

(c)

Usando as Equações (1.25) e (1.26), obtemos

(a)

(b) sen

(c)

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SINAIS E SISTEMAS36

1.28 Verifique a Equação (1.30)

Da Equação (1.28), temos

(1.100)

onde é uma função de teste que é contínua em t � 0 e anula-se fora de um intervalo determinado. Assim, existe e é integrável em e . Então, usando a Equação (1.98) ou a definição (1.18), teremos

Como é arbitrária e pela propriedade da equivalência, concluímos que

1.29 Mostre que as seguintes propriedades valem para a derivada de :

(a) onde

(1.101)

(b) (1.102)

(a) Usando as Equações (1.28) e (1.20), temos

(b) Usando as Equações (1.101) e (1.20), temos

Assim, pela propriedade da equivalência (1.99), concluímos que

1.30 Calcule as seguintes integrais:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a) Pela Equação (1.21), com a � �1 e b � 1, temos

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(b) Pela Equação (1.21), com a � 1 e b � 2, temos

(c) Pela Equação (1.22)

(d) Usando as Equações (1.22) e (1.23), temos

(e) Pela Equação (1.29)

1.31 Encontre e faça o gráfico da primeira derivada dos seguintes sinais*:

(a)

(b)

(c)

(a) Usando a Equação (1.30), temos

Então

Os sinais x(t) e x´(t) estão plotados na Fig. 1-31(a).

(b) Usando a regra da derivada do produto de duas funções e o resultado da parte (a), temos

Porém, pelas Equações (1.25) e (1.26),

Assim,

Os sinais x(t) e x´(t) estão plotados na Fig. 1-31(b).

(c) x(t) � sgn t pode ser reescrita como

Então, usando a Equação (1.30), obteremos

Os sinais x(t) e x´(t) estão plotados na Fig. 1-31(c).

* N. de T.: No sinal (c), sgn t é a função signum (sinal, em latim) usada para se obter o sinal (� ou �) de t.

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SINAIS E SISTEMAS38

x(t) x(t) x(t)

x (t)x (t)x (t)

a (t a)(t a)

(t)

2 (t)

0

1

00

1

000 a

(a () b () c)

a

a

a

1

1

a

ttt

ttt

Figura 1-31

Sistemas e classificação de sistemas

1.32 Considere o circuito RC mostrado na Fig. 1-32. Encontre a relação entre a entrada x(t) e a saída y(t)* para:

(a) Se x(t) � vs(t) e y(t) � vc(t).

(b) Se x(t) � vs(t) e y(t) � i(t).

R

Ci(t)s(t) c(t)

Figura 1-32

(a) Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito RC da Fig. 1-32, obtemos

(1.103)

A corrente i(t) e a tensão vc(t) estão relacionadas por

(1.104)

Fazendo vs(t) � x(t) e vc(t) � y(t) e substituindo a Equação (1.104) na Equação (1.103), obtemos

ou

(1.105)

* N. de T.: O índice s em vs(t) vem de source (fonte, em inglês), referindo-se à fonte de tensão do circuito.

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Assim, a relação de entrada-saída do circuito RC é descrita por uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes.

(b) Integrando a Equação (1.104), temos

(1.106)

Substituindo a Equação (1.106) na Equação (1.103) e fazendo vs(t) � x(t) e i(t) � y(t), obtemos

ou

Derivando ambos os lados dessa equação em relação a t, obtemos

(1.107)

Portanto, a relação de entrada-saída é descrita por uma outra equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes.

1.33 Considere o capacitor mostrado na Fig. 1-33. Sejam a entrada x(t) � i(t) e a saída y(t) � vc(t).

(a) Encontre a relação de entrada-saída.

(b) Determine se o sistema é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) linear, (iv) invariante no tempo ou (v) estável.

Ci(t) c(t)

Figura 1-33

(a) Assuma que a capacitância C seja constante. A tensão de saída y(t) no capacitor e a corrente de entrada x(t) relacionam-se por [Equação (1.106)]

(1.108)

(b) (i) Da Equação (1.108), vê-se que a saída y(t) depende dos valores passados e presente da entrada. Assim, o sistema não é sem memória.

(ii) Como a saída y(t) não depende dos valores futuros da entrada, o sistema é causal. (iii) Seja Então

Portanto, a propriedade da superposição (1.68) é satisfeita e o sistema é linear.

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SINAIS E SISTEMAS40

(iv) Seja y1(t) a saída produzida pela corrente de entrada deslocada x1(t) � x(t – t0). Então

Assim, o sistema é invariante no tempo. (v) Seja x(t) � k1u(t), com . Então

(1.109)

onde r(t) � tu(t) é conhecida como a função rampa unitária (Fig. 1-34). Como y(t) cresce linearmente no tempo sem limite, o sistema não é BIBO estável.

r(t) tu(t)

t0

Figura 1-34 Função rampa unitária.

1.34 Considere o sistema mostrado na Fig. 1-35. Determine se ele é (a) sem memória, (b) causal, (c) linear, (d) invariante no tempo ou (e) estável.

Multiplicadory(t) x(t) cos c t

cos c t

x(t)

Figura 1-35

(a) Da Fig. 1-35, temos

Como o valor da saída y(t) depende apenas do valor presente da entrada x(t), o sistema é sem memória.

(b) Como a saída y(t) não depende dos valores futuros da entrada x(t), o sistema é causal.

(c) Seja Então

Assim, a propriedade da superposição (1.68) é satisfeita e o sistema é linear.

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(d) Seja y1(t) a saída produzida pela entrada deslocada x1(t) � x(t – t0). Então

Porém,

Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

(e) Como , temos

Assim, se a entrada x(t) for limitada, então a saída y(t) também será limitada e o sistema será BIBO estável.

1.35 Um sistema tem a relação de entrada-saída dada por

(1.110)

Mostre que esse sistema é não linear.

Portanto, o sistema é não linear.

1.36 O sistema de tempo discreto mostrado na Fig. 1-36 é conhecido como elemento de retardo ou atraso unitá-rio. Determine se o sistema é (a) sem memória, (b) causal, (c) linear, (d) invariante no tempo ou (e) estável.

y[n] x[n 1]x[n]Retardounitário

Figura 1-36 Elemento de retardo unitário.

(a) A relação de entrada-saída do sistema é dada por

(1.111)

Como o valor da saída em n depende dos valores de entrada em n – 1, o sistema não é sem memória.

(b) Como a saída não depende dos valores futuros da entrada, o sistema é causal.

(c) Seja Então

Assim, a propriedade da superposição (1.68) é satisfeita e o sistema é linear.

(d) Seja y1[n] a resposta a x1[n] � x[n – n0]. Então

e

Portanto, o sistema é invariante no tempo.

(e) Como

se para todos n

o sistema é BIBO estável.

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SINAIS E SISTEMAS42

1.37 Encontre a relação de entrada-saída do sistema com realimentação mostrado na Fig. 1-37.

Retardounitário

x[n] y[n]

Figura 1-37

Da Fig. 1-37, a entrada para o elemento de retardo unitário é x[n] – y[n]. Assim, a saída y[n] do elemento de retardo unitário é [Equação (1.111)]

Rearranjando, obtemos

(1.112)

Assim, a relação de entrada-saída do sistema é descrita por uma equação de diferenças de primeira ordem com coefi-cientes constantes.


(1.113)

Determine se o sistema é (a) sem memória, (b) causal, (c) linear, (d) invariante no tempo ou (e) estável.

(a) Como o valor da saída em n depende apenas do valor de entrada em n, o sistema é sem memória.

(b) Como a saída não depende dos valores futuros da entrada, o sistema é causal.

(c) Seja Então

Portanto, a propriedade da superposição (1.68) é satisfeita e o sistema é linear.

(d) Seja y1[n] a resposta a x1[n] � x[n – n0]. Então

Porém,

Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

(e) Seja x[n] � u[n]. Então, y[n] � nu[n]. Assim, a sequência degrau unitário limitada produz uma sequência de saída que cresce sem limite (Fig. 1-38) e o sistema não é BIBO estável.

x[n] u[n] y[n] nu[n]

1

2 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2

2

3 4

4

…

…

nn

Figura 1-38

Hsu_01.indd 42Hsu_01.indd 42 08/09/11 10:2508/09/11 10:25



(1.114)

onde k0 é um inteiro positivo. O sistema é invariante no tempo?

Seja y1[n] a resposta à sequência x1[n] � x[n – n0]. Então

Porém,

Portanto, o sistema não é invariante no tempo a não ser que k0 � 1. Observe que o sistema descrito pela Equação (1.114) é denominado compressor ou compactador. Ele cria uma sequência de saída selecionando cada k0-ésima amostra da sequência de entrada. Assim, é óbvio que esse sistema é variante no tempo.

1.40 Considere o sistema cuja relação de entrada-saída é dada pela equação linear

(1.115)

onde x e y são a entrada e a saída do sistema, respectivamente, e a e b são constantes. Esse sistema é linear?

Se , então o sistema não será linear porque x � 0 implica . Se b � 0, então o sistema será linear.

1.41 Sabe-se que o sistema representado por T na Fig. 1-39 é invariante no tempo. Quando as entradas para o sistema são x1[n], x2[n] e x3[n], as saídas do sistema são y1[n], y2[n] e y3[n], como mostrado. Determine se o sistema é linear.

x1[n]

x2[n]

x3[n]

y1[n]

y2[n]

y3[n]

n

n

n n

n

n

2

2 1 0 1

1

2 3 4

2 1 0 1 2

2

3 4

2 1 0 1 2 3 4

T

T

T

2

2 1 0 1 2 3 4

2 1 0 1 2

2

3

3

4

2 1 0 1 2 3 4

Figura 1-39

Hsu_01.indd 43Hsu_01.indd 43 08/09/11 10:2508/09/11 10:25

SINAIS E SISTEMAS44

Da Fig. 1-39, vê-se que

Assim, se T for linear, então

que é mostrado na Fig. 1-40. Das Figs. 1-39 e 1-40, vemos que

Portanto, o sistema não é linear.

y1[n] y2[n 2]y2[n 2]y1[n ]

nnn 2 1 0 1 2

2

3 42 1 0 1 2

22

3 42 1 0 1 2 3 4

Figura 1-40

1.42 Dê um exemplo de um sistema que satisfaça a condição da aditividade (1.66), mas não satisfaça a da homo-geneidade (1.67).

Considere um sistema de tempo discreto representado por um operador T tal que

(1.116)

onde x*[n] é o complexo conjugado de x[n]. Então

A seguir, se for qualquer constante de valor complexo, então

Portanto, o sistema é aditivo mas não é homogêneo.

1.43 (a) Mostre que a causalidade em um sistema linear de tempo contínuo é equivalente à seguinte afirmação: Para qualquer tempo t0 e qualquer entrada x(t), com x(t) � 0 para , a saída y(t) será zero para .

(b) Encontre um sistema não linear que seja causal, mas que não satisfaça essa condição.

(c) Encontre um sistema não linear que satisfaça essa condição, mas que não seja causal.

(a) Como o sistema é linear, se x(t) � 0 para todos t, então y(t) � 0 para todos t. Assim, se o sistema for causal, então o caso de x(t) � 0 para implicará que y(t) � 0 para . Essa é a condição necessária. Podemos mostrar que essa condição também é suficiente da seguinte maneira: sejam x1(t) e x2(t) duas entradas do sistema e sejam y1(t) e

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y2(t) as saídas correspondentes. Se x1(t) � x2(t) para , ou x(t) � x1(t) – x2(t) � 0 para , então y1(t) � y2(t) para , ou y(t) � y1(t) – y2(t) � 0 para .

(b) Considere o sistema com a relação de entrada-saída

Esse sistema é não linear (Problema 1.40) e causal porque o valor de y(t) depende apenas do valor de x(t) no instante presente. Porém, com x(t) � 0 para , teremos y(t) � 1 para .

(c) Considere o sistema com a relação de entrada-saída dada por

É óbvio que esse sistema é não linear (veja o Problema 1.35) e não causal porque o valor de y(t) no tempo t depende do valor da entrada x(t � 1) no tempo t � 1. Porém, x(t) � 0 para implica que y(t) � 0 para .

1.44 Seja um sistema LTI de tempo contínuo representado por T. Mostre, então, que

(1.117)

onde s é uma variável complexa e é uma constante complexa.

Seja y(t) a saída do sistema com a entrada . Então

Como o sistema é invariante no tempo, temos

para um t0 real arbitrário. Como o sistema é linear, temos

Assim,

Fazendo t � 0, obtemos

(1.118)

Como t0 é arbitrário, mudando t0 para t, podemos reescrever a Equação (1.118) como

ou

onde .

1.45 Seja um sistema LTI de tempo discreto representado por T. Mostre, então, que

(1.119)

onde z é uma variável complexa e é uma constante complexa.

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SINAIS E SISTEMAS46

Seja y[n] a saída do sistema com a entrada . Então

Como o sistema é invariante no tempo, temos

para um n0 real arbitrário. Como o sistema é linear, temos

Assim,

Fazendo n � 0, obtemos

(1.120)

Como n0 é arbitrário, mudando n0 para n, podemos reescrever a Equação (1.120) como

ou

onde .

Na linguagem matemática, uma função que satisfaça a equação

(1.121)

é denominada uma autofunção (ou função característica) do operador T, e a constante é denominada o autovalor (ou valor característico) correspondente da autofunção . Assim, as Equações (1.117) e (1.119) indicam que as funções exponenciais complexas são autofunções de qualquer sistema LTI.

Problemas Complementares

1.46 Expresse os sinais mostrados na Fig. 1-41 em termos de funções degraus unitários.

x(t)

x(t)

(b)(a)

1

1 0 1 2

2

3 1 0 1 2 3 4

3

tt

Figura 1-41

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1.47 Expresse as sequências mostradas na Fig.1-42 em termos de funções degraus unitários.

x[n]

x[n]

x[n]

(b)(a)

(c)

n

n

n2 1 0 1 2

24 3 1 0 1 2 3 4 5

N

1 1

1

1

4 3 2 1

2 3

…

…

Figura 1-42

1.48 Determine as componentes pares e ímpares dos seguintes sinais:

(a) x(t) � u(t)

(b) x(t) � sen

(c)

(d)

1.49 Seja x(t) um sinal arbitrário com partes par e ímpar expressas por xe(t) e xo(t), respectivamente. Mostre que

1.50 Seja x[n] uma sequência arbitrária com partes par e ímpar expressas por xe[n] e xo[n], respectivamente. Mostre que

1.51 Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico ou não. Se o sinal for periódico, determine o seu período funda-mental.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

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SINAIS E SISTEMAS48

(f)

(g)

(h)

1.52 Mostre que, se x[n] for periódico com período N, então

(a) (b)

1.53 (a) Que é ?

(b) Que é ?

1.54 Mostre que

1.55 Calcule as seguintes integrais:

(a) (b)

(c) (d)

1.56 Considere um sistema de tempo contínuo com a relação de entrada-saída dada por

Determine se esse sistema é (a) linear, (b) invariante no tempo, (c) causal.

1.57 Considere um sistema de tempo contínuo com a relação de entrada-saída dada por

Determine se esse sistema é (a) linear, (b) invariante no tempo.

1.58 Considere um sistema de tempo discreto com a relação de entrada-saída dada por

Determine se esse sistema é (a) linear, (b) invariante no tempo.

1.59 Dê um exemplo de um sistema que satisfaça a condição da homogeneidade (1.67), mas não satisfaça a da aditividade (1.66).

1.60 Dê um exemplo de um sistema linear variante no tempo tal que, com uma entrada periódica, a saída correspondente não seja periódica.

1.61 Um sistema será denominado invertível se pudermos determinar o seu sinal de entrada x por meio unicamente da obser-vação do seu sinal de saída y. Isto está ilustrado na Fig. 1-43. Determine se cada um dos seguintes sistemas é invertível. Se o sistema for invertível, dê o sistema inverso.

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xx ySistema

Sistemainverso

Figura 1-43

(a) y(t) � 2x(t)

(b) y(t) � x2(t)

(c)

(d)

(e) y[n] � nx[n]

Respostas dos Problemas Complementares

1.46 (a)

(b) x(t) � u(t � 1) � 2u(t) – u(t – 1) – u(t – 2) – u(t – 3)

1.47 (a) x[n] � u[n] – u[n – (N � 1)]

(b) x[n] � – u[–n – 1)

(c) x[n] � u[n � 2] – u[n – 4]

1.48 (a)

(b)

(c)

(d)

1.49 Sugestão: Use os resultados do Problema 1.7 e a Equação (1.77).

1.50 Sugestão: Use os resultados do Problema 1.7 e a Equação (1.77).

1.51 (a) Periódico, período � (b) Periódico, período �

(c) Não periódico (d) Periódico, período � 2

(e) Não periódico (f) Periódico, período � 8

(g) Não periódico (h) Periódico, período � 16

1.52 Sugestão: Veja o Problema 1-17.

1.53 (a)

(b)

1.54 Sugestão: Use as Equações (1.101) e (1.99).

1.55 (a) sen t

(b) 1 para t � 0 e 0 para t � 0; não definida para t � 0.

(c) 0

(d)

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SINAIS E SISTEMAS50

1.56 (a) Linear; (b) Invariante no tempo; (c) Não causal

1.57 (a) Linear; (b) Variante no tempo

1.58 (a) Não linear; (b) Invariante no tempo

1.59 Considere o sistema descrito por

1.60 y[n] � T{x[n]} � nx[n]

1.61 (a) Invertível;

(b) Não invertível

(c) Invertível;

(d) Invertível; x[n] � y[n] – y[n – 1]

(e) Não invertível

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sinais e sistemas - hwei hsu cap_01

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