livro hidraulica cap_01-04

I

LIÇÕES DE

HIDRÁULICA GERAL

Gilberto Queiroz da Silva

Lições de Hidráulica Básica

II

LIÇÕES DE HIDRÁULICA

GERAL

FEVEREIRO DE 2015

GILBERTO QUEIROZ DA SILVA Departamento de Engenharia Civil

Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto


III

Endereço para contato:

Gilberto Queiroz da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas/UFOP Campus Universitário do Morro do Cruzeiro 35.400-000 – Ouro Preto, MG [email protected] – (31)3559-1546

Copyright Gilberto Queiroz da Silva


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V

Informações sobre o autor:

VI

CONTEÚDO

Prefácio .............................................................................................................. X

Agradecimentos .................................................................................................XI

1. Introdução ........................................................................................................1 1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6

2. Generalidades ..................................................................................................7 2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7 2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8

2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10 2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14 2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15 2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17 2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19 2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21 2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22

2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24 a) Massa específica...................................................................................24 b) Peso Específico ...................................................................................28 c) Volume específico................................................................................30 d) Densidade.............................................................................................30 e) Compressibilidade................................................................................31 f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34

Distinção entre Líquido e Gás............................................................35 Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36

g) Pressão de vapor..................................................................................37 h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38 Exercícios ..........................................................................................40 i) Viscosidade..........................................................................................43

Unidades de viscosidade:...................................................................48


VII

Viscosidade Cinemática ....................................................................50 Variação da viscosidade ....................................................................50 Determinação da viscosidade ............................................................54

Exercícios de Aplicação..........................................................................58 3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62

3.1 – Introdução............................................................................................62 3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62

3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62 3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64 3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66

3.3 – Empuxo................................................................................................69 3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72

3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72 3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73 3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78 3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81

a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um líquido:......................................................................................82 b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica................................................................................83 c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85 d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87 e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87

3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88 3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88 3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90

3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92

3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92


VIII

a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92 Exemplo: .........................................................................................95

b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95 c) Barômetro eletrônico.........................................................................96

3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98 a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98 b) Vacuômetro ....................................................................................103

c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103 d) Piezômetro......................................................................................105 e) Manômetro de tubo U.....................................................................106 f) Piezômetros pressurizados...............................................................107 g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109 h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111 i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112

j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115 k) Manômetro de Betz.........................................................................117

Exemplo:...........................................................................................117 l) Manômetro de Prandtl......................................................................118

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120 3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137

3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137 3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139 3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140 3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141 Exemplos ................................................................................150

3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160 Exemplos de Aplicação .......................................................................167

4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171

4.1. Generalidades..........................................................................................171


IX

4.2. Exemplo de aplicação.............................................................................179 4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS............................180

4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:.................................................182 4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO............................................................186

a) Vazão em volume: Q....................................................................186

b) Vazão em massa: m& ou Qm.........................................................190 c) Vazão em peso: G.........................................................................192

d) Velocidade média: V ...................................................................192 EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO.............................................................193


X

Prefácio


XI

Agradecimentos


1

1. INTRODUÇÃO

A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor

significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem

um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos

líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento.

Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é

sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos

nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na

Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por

volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação.

Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o

lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro

sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C.,

tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu

um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da

Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi


2

inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes

aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro

Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no

ano 70 a.C.

No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes

ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou

um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642),

Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para

a Hidráulica.

Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que

tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos

relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica

Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a

Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base

científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos

teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a

conhecemos hoje.

Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as

investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o

estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos

envolvendo o escoamento de líquidos.

A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de

resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os

serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando

um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e

Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir

a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas


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começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até

hoje.

Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os

estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos

projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de

máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores.

O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta

uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos

relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01.

Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem

estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem

inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra.

Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência

de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da

espécie humana.

O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em

determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior

quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das

populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo,

envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política,

administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da

água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos

internacionais.


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Tabela 01 - Principais Invenções relacionadas com a Hidráulica.

Invenções Autores Ano País

Esgotos --- 3750 a.C. Babilônia

Drenagem Empédocles 450 a.C. Grécia

Parafuso de Arquimedes Arquimedes 250 a.C. Grécia

Bomba de Pistão Ctesibius-Hero 200-120 a.C.

Grécia

Aquedutos Romanos -- 150 a.C. Roma

Termas romanas -- 20 a.C. Roma

Uso do vapor d’água David Ramsey/Thomas Savery

1630/1698 Inglaterra

Barômetro E. Torricelli 1643 Itália

Compressor de ar Otto von Gueriche 1654 Alemanha

Tubos de ferro fundido Johan Jordan 1664 França

Bomba centrífuga Johan Jordan 1680 França

Máquina a vapor Denis Papim 1690 França

Bacia sanitária Joseph Bramah 1775 Inglaterra

Turbina hidráulica Benoit Fourneyron 1827 França

Prensa hidráulica S. Stevin/Joseph Bramah 1600/1796 Holanda/Inglaterra

Emprego de hélice John Ericson

Manilhas cerâmicas Francis 1846 Inglaterra

Tubos de concreto armado J. Monier 1867 França

Usina hidrelétrica --- 1882 Estados Unidos

Turbina a vapor Ch. A. Parsons –De Laval 1884/1890 Inglaterra/Suécia

Submarino J. P. Holland 1898 Estados Unidos

Tubos de cimento amianto A. Mazza 1913 Itália

Propulsão a jato Frank Whittle 1937 Inglaterra

No Brasil:

• Em 1879: o Imperador dom Pedro II concede à empresa norte-americana Edison

Eletric Light Co. (de Thomas Edison) a instalação de iluminação elétrica na

estação da Estrada de Ferro Pedro II.

• Em 1885: uma usina hidrelétrica foi instalada para geral energia em Diamantina,

com as águas do Ribeirão do Inferno, para utilização em mineração de diamantes.

• Em 1889: Início da operação da Usina de Marmelos, primeira hidrelétrica do

continente, idealizada pelo industrial mineiro Bernardo Mascarenhas, instalada no


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Rio Paraibuna (Zona da Mata em Juiz de Fora). As turbinas foram importadas dos

Estados Unidos e o objetivo foi ampliar a produção de tecidos.

• Em 1899: Criação da São Paulo Light, com a entrada de capital estrangeiro no

setor elétrico brasileiro.

• Em 1903: aprovação do primeiro texto de lei pelo Congresso Nacional,

disciplinando o uso da energia elétrica no país.

• Em 1905: criação da rio Light, do mesmo conglomerado financeiro da São Paulo

Light.

• Em 1940: Regulamentação da situação das usinas termelétricas do país, mediante

incorporação às disposições do Código de Águas.

• Em 1952: fundação da Centrais Elétricas de Minas Gerais - CEMIG.

Hoje, a água além de ser usada para fins domésticos e industriais,

também é muito usada nas atividades agrícolas e pecuárias (crescentes áreas de

irrigação), navegação, geração de energia, lazer e até mesmo para a deposição

de rejeitos humanos e industriais.

Sob tal ponto de vista, a água torna-se uma preciosidade que deve ser

preservada a qualquer custo. Existem previsões de que a falta de água será um

grande problema para a humanidade, já que é um bem insubstituível na

atividade humana. Basta lembrar que uma pessoa consome facilmente cerca de


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150 litros de água por dia, que se gastam 18 litros de água para produzir 1 litro

de petróleo e até 270 litros de água para produzir 1 quilograma de aço ou

mesmo 5 litros de água para produzir 1 litro da melhor cerveja. Da mesma

forma, dados da FAO apontam para um gasto de 15 977 litros de água para

produção de 1 kg de carne bovina, 5 096 litros de água para produção de 1 kg de

carne suína, 2 828 litros de água para produção de 1 kg de carne de aves, 18.000

litros de água para a produção de 1 kg de manteiga, 865 litros de água para

produção de 1 kg de leite e 2 300 litros de água para produção de 1 kg de soja.

Gasta-se de 160 a 200 litros de água para a produção de 1 m3 de concreto, 300

litros de água para compactação de 1 m3 de aterro (dados da Revista

Sustentabilidade). Estima-se que são gastos cerca de 25.000 litros de água na

construção de uma casa popular de 36 m2 de área. Na Engenharia Civil, gasta-se

água em diversas operações tais como, produção de concreto e argamassas,

resfriamento e cura do concreto, lavagem de superfícies em geral, lavagem de

formas utilizadas em estruturas de concreto, dentre outros. A construção civil

pode consumir até 50% da água potável produzida em regiões urbanizadas.

Assim, dá para notar que a água é um líquido economicamente importante.

A água está distribuída em mananciais de superfície e em mananciais

subterrâneos. É daí que o homem retira a água de que necessita. Atualmente a

quase totalidade das águas superficiais se encontram poluídas com resíduos

humanos, industriais e com detergentes. Assim existe a obrigação de se

construírem enormes estações de tratamento de água (ETA) para que seja

possível a sua utilização pelo homem.

Todos esses aspectos apontam para uma disciplina no uso e uma

preservação dos recursos hídricos existentes na face do planeta, acarretando a

aplicação de enormes quantidades de dinheiro.

Como a água não se distribui uniformemente na superfície terrestre, as

comunidades e as indústrias tendem a se desenvolver próximas às fontes de

água, tais como os rios, lagos ou oceanos.


7

Também existe uma falta de uniformidade temporal. Isso pode ser visto

constatando que os rios têm seu volume reduzido na estiagem ou têm o seu

volume aumentado no período chuvoso, provocando enchentes e obrigando o

homem a construir grandes obras de regularização da água: diques, açudes,

reservatórios ou barragens.

Para o Engenheiro Civil fica a responsabilidade de projetar obras para o

controle e a distribuição de água. Assim ele estará envolvido com obras em

portos, rios, canais, barragens, sistemas de irrigação, drenagem, sistemas de

geração de energia, redes de abastecimento, redes de esgotos e de águas

pluviais, tudo isso envolvendo o meio ambiente. Atualmente é tão importante

essa modalidade de atuação profissional, que a Escola de Minas acaba de criar o

curso de Engenharia Ambiental (curso criado em julho de 2000), no qual a

principal preocupação é o relacionamento do homem com o meio ambiente.

A grande interface entre os assuntos relacionados à água e ao meio

ambiente faz com que o Engenheiro Civil não trabalhe sozinho. Ele conta com a

colaboração de economistas, advogados, arquitetos, contabilistas, geólogos,

biólogos, químicos e de uma infinidade de outras especialidades, quando tem de

realizar estudos, projetos ou mesmo a execução da grande maioria das obras

hidráulicas.

É necessário preservar o meio ambiente e cabe ao Engenheiro Civil

uma grande participação na melhoria do bem estar da humanidade,

promovendo o aproveitamento racional dos recursos hídricos.

1.1. Divisões da Hidráulica

Atualmente pode-se dividir a Hidráulica em Hidráulica Geral (ou Teórica) e

Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica). A Hidráulica Geral, divide-se, para efeitos de

estudos, em Hidrostática e Hidrodinâmica. A Hidráulica Aplicada divide-se em

Hidráulica Urbana (sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários, galerias de


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águas pluviais e drenagem urbana), Hidráulica Rural ou Agrícola (irrigação e drenagem

agrícola), Hidráulica Fluvial (rios e canais), Hidráulica Marítima (portos e obras

marítimas), Instalações Hidráulicas Industriais e Técnica Hidrelétrica.


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2. Generalidades

Nos estudos da hidráulica, com freqüência, torna-se necessário realizar

mudanças de unidades de grandezas físicas para adequá-las às equações ou leis

envolvidas nos problemas. Tais mudanças decorrem, muitas vezes, de medidas

realizadas por equipamentos fabricados em diversos países e que se encontram

em uso no controle dos processos. Essas mudanças, quando feitas com

freqüência, fazem uso de fatores de conversão estabelecidos previamente.

Todavia, são inúmeros os fatores de conversão, de forma que a maneira mais

correta e confiável é conhecer os sistemas de unidades e apenas as relações

entre as grandezas fundamentais de cada sistema envolvido.

2.1. As Grandezas Físicas

As grandezas físicas com as quais lidamos, sempre serão escritas em

função de uma unidade e do número que expressa a magnitude dessa grandeza

em relação à sua unidade. Assim, para toda grandeza física G, pode-se escrever:

G = m(G).U(G) ………………………………….……..2.1

onde m(G) é a medida da grandeza G e expressa o número de vezes que a

grandeza é maior ou menor que a unidade utilizada para medir a grandeza,

m(G).


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As grandezas físicas possuem relação entre si, de forma que, em um

sistema coerente de unidades, a relação existente entre uma grandeza física, G,

que depende de outras grandezas físicas, G1, G2,..., Gn,, pode ser escrita,

genericamente, por uma relação da forma:

G = f(G1, G2, G3, ..., Gn) ..................................................2.2

Para tratar corretamente com todas as grandezas físicas que se

relacionam na solução de um problema físico, é necessário escrever um

conjunto de regras adequadas, formando um sistema de unidades.

2.2. Sistemas de Unidades

Um sistema de unidades é formado pelo conjunto das unidades

necessárias para descrever todas as grandezas físicas e por algumas regras de

utilização. Ao longo dos anos, com o desenvolvimento da ciência, vários

sistemas foram construídos, uns em uso até os dias de hoje e outros em desuso

completamente. Ressalta-se que alguns dos sistemas mais utilizados na

atualidade resultaram do aperfeiçoamento de outros sistemas já existentes. Os

dois sistemas de unidades mais utilizados no momento são o Sistema

Internacional de Unidades e o Sistema CGS, descritos mais à frente. O primeiro

é o único sistema mundialmente reconhecido e recomendado para uso para

expressar as grandezas físicas com as quais os engenheiros se deparam. Apesar

disso, não raro encontramos unidades sendo medidas em sistemas diferentes

desses, como é o caso da pressão. É comum expressar a pressão medida nos

seres humanos em cm de Hg. Também é comum utilizar-se a lbf/pol2 (psi),

corriqueiramente denominada apenas de libra, para medir a pressão do ar no

interior dos pneus dos veículos. Estas unidades não pertencem a nenhum

sistema coerente de unidades. Assim, no momento em que forem utilizadas nas

equações físicas, elas precisam ser convertidas para o sistema de unidades que


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se está utilizando, daí a necessidade de se conhecer alguns detalhes dos sistemas

de unidades.

Todo sistema de unidades deve ser construído sobre um conjunto de

grandezas independentes entre si denominadas grandezas fundamentais e de um

conjunto de grandezas dependentes entre si, denominadas grandezas derivadas.

Assim, as unidades que expressam as grandezas fundamentais são

convenientemente arbitradas, porém as unidades das grandezas derivadas não

podem ser arbitradas e passam a ser conseqüência das grandezas fundamentais,

das suas unidades e das relações de interdependência entre as grandezas.

Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de unidades: aqueles que

usam a massa como grandeza fundamental e os que usam a força como

grandeza fundamental. A tendência moderna é de se usarem sistemas de

unidades nos quais a massa é uma grandeza fundamental, devido à maior

precisão ao se representar as grandezas derivadas.

Cinco sistemas de unidades são conhecidos, sendo que alguns deles já

foram muito usados e outros estão em pleno uso atualmente. São eles o Sistema

Internacional de Unidades, Sistema CGS, Sistema Inglês Absoluto, Sistema

Técnico e Sistema Inglês Técnico. Os três primeiros pertencem à categoria dos

sistemas que têm a massa como grandeza fundamental e os dois últimos são da

categoria que consideram a força como grandeza fundamental.

Em 1960 a 11ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas do Sistema

Internacional de Unidades adotou oficialmente esse sistema. O SI é um sistema

de unidades completo e com recurso para escrever a unidade de qualquer

grandeza que venha a ser definida, resultante da ampliação do antigo Sistema de

Unidades MKS ou sistema métrico. O termo sistema métrico é usado devido ao

fato da unidade de comprimento ser o metro e não o pé como ocorria nos

sistemas de língua inglesa.


12

Em 1984, todo grande país do mundo, exceto os Estados Unidos, estava

usando ou tinha oficialmente decidido usar o Sistema Internacional de Unidades

(SI) como sistema oficial de medidas. O uso desse sistema de medidas levará à

conversão de todas as medidas feitas em outros sistemas de unidades para as do

SI. Os livros mais modernos, inclusive os de autores americanos já trazem as

grandezas expressas em unidades do SI. Às vezes ainda trazem as unidades dos

antigos sistemas entre parênteses, apenas por força do hábito.

Por questões práticas apenas serão relacionadas as grandezas usuais na

mecânica, já que as demais grandezas são muito pouco usadas no curso de

Hidráulica.

2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades É o sistema mundialmente adotado para a medição das grandezas

físicas. No Brasil é o sistema legal desde a década de setenta. No domínio da

mecânica as suas grandezas fundamentais são: comprimento, massa, tempo e

temperatura, além de outras não referenciadas nesse texto. Já as demais

grandezas são derivadas. Exemplo de grandezas derivadas: velocidade,

aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc.

Unidades das grandezas fundamentais

a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m.

Inicialmente o metro foi definido como sendo o comprimento

equivalente à décima milionésima parte de um quatro do meridiano terrestre que

passa pela cidade de Greenwich na Inglaterra. Para materializar tal

comprimento foi construída uma barra de platina e irídio, com uma seção

transversal especial, em forma de “X”. Nessa barra foram feitas duas marcas

distantes entre si de um comprimento exatamente igual a um metro. Esse padrão

primário do metro permanece guardado no Bureau Internationel de Poids et


13

Mesures, em Sèvres, França, até os dias de hoje. Note que a unidade ainda era a

décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre que passa pela

cidade de Greenwich, embora o padrão fosse o comprimento gravado na barra

de platina e irídio. Desse padrão foram feitas reproduções tanto mais fiéis

quanto possível, denominados de padrão secundário e distribuídos pelo mundo

inteiro. Quase todo órgão de peso e medida dos diversos países do mundo tem

um padrão secundário. A partir desse padrão secundário foram feitas novas

cópias denominadas de padrão terciário, originando os instrumentos de uso

corrente na medição de comprimento.

Porém com o decorrer do tempo e o avanço da qualidade dos

instrumentos de medição verificou-se que a definição original do metro não

correspondia exatamente ao comprimento da barra de platina e irídio guardada

no museu de Sèvres. O novo comprimento encontrado nas medições mais exatas

revelou-se ligeiramente superior ao padrão. Assim gerou-se um impasse

terrível: ou se mudava o padrão e procedia-se à correção de todas as medidas

feitas até então ou se alterava a definição do metro. Assim optou-se pela última

alternativa e o metro ganhou nova definição: o comprimento gravado na barra

de platina e irídio guardada no museu de Sèvres em Paris.

Posteriormente, por questões estratégicas e de segurança, criou-se uma

nova definição para o metro, que prevalece até os dias de hoje. O metro

atualmente é definido como o comprimento equivalente a 1 650 763,37 vezes o

comprimento de onda de uma radiação de cor laranja, do isótopo criptônio 86,

na sua transição entre os estados 2p10 e 5d5. Dessa forma os laboratórios de

física do mundo inteiro têm condição de reproduzir com certa facilidade a

unidade de comprimento do SI, ou seja, o metro.

O que importa que o metro é hoje utilizado em todas as medidas oficiais

de comprimento em praticamente todos os países do mundo. Ele foi dividido em

partes menores para permitir a medição de pequenos comprimentos. Assim tem-

se o centímetro e o milímetro.


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b) Unidade de massa: quilograma cujo símbolo é kg

O quilograma é definido como a quantidade de matéria contida em um

determinado cilindro de platina, com dimensões adequadamente definidas,

guardado no museu de Sèvres em Paris. Pretendia-se que esse cilindro tivesse a

mesma massa de 0,001 m3 de água pura a 4 ºC. Esse cilindro foi o mesmo que

serviu à definição da unidade de força do Sistema Técnico de Unidades,

denominada de quilograma-força. Dele fizeram-se cópias que representam os

padrões secundários da unidade de massa.

c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s.

Essa unidade de tempo foi inicialmente definida em relação ao dia solar

médio. O segundo era definido como o tempo médio que a terra leva para dar

uma rotação completa sobre o seu eixo dividido por 86400. Também devido à

imprecisões, essa unidade foi novamente definida, passando a ser o tempo

correspondente a 9 182 631 770 vezes o período de uma certa radiação emitida

pelo Césio 133. Tal definição foi completamente adotada na 13ª Conferência

Geral de Pesos e Medidas de 13 de outubro de 1967. Essa base de tempo pode

ser facilmente reproduzida em laboratório, permitindo a comparação precisa de

certo tempo com o padrão.

d) Unidade de temperatura: Kelvin cujo símbolo é K.

O Kelvin foi definido a partir do ponto tríplice da água (273,15 K) e do

ponto de evaporação da água pura às condições normais de pressão (373,15 K).

Esse intervalo foi dividido em 100 partes iguais e a cada uma destas partes

definiu-se como 1 K.


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Unidades das Grandezas Derivadas

Em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre as

grandezas físicas também prevalece entre suas unidades. Assim se existir uma

relação entre a grandeza física, G e outras grandezas físicas G1, G2,..., Gn, da

forma da equação 2.2, existirá uma relação análoga entre as unidades da

grandeza física G e as grandezas físicas Gi, tal que:

U(G) = f[U(G1), U(G2), U(G3),...,U(Gn)] …………………………..2.3

Como exemplo pode-se citar o caso da velocidade, definida como sendo

a relação entre o espaço e o tempo. Assim, como V = e/t, podemos escrever que

U(V) = U(e)/U(t). No SI, tem-se:

U(V) = m/s = ms-1.

Para a aceleração que é definida como sendo a variação da velocidade

com o tempo, a = ∆V/∆t, tem-se: U(a) = U(∆V)/U(∆t). Logo

U(a) = m/s/s ou U(a) = m/s2 = ms-2.

Para o caso da força, nesse sistema considerada uma grandeza derivada,

a segunda lei de Newton permite escrever a seguinte relação:

F = m.a � U(F) = U(m).U(a).

Assim, U(F) = kg.m/s2. A essa unidade foi dado o nome de newton em

homenagem a Isaac Newton, convencionando-se que o seu símbolo seria N.

Logo 1 N é a força que aplicada a uma massa de 1 quilograma provoca nela uma

mudança de velocidade de 1 m/s a cada s. Então

1 N = 1 kg.m/s2.

A pressão também é uma das grandezas derivadas, cuja unidade pode

ser facilmente encontrada no SI. Como pressão é a relação entre uma força

normal e a área na qual ela atua, podemos dizer que: p = Fn/A. Logo U(p) =

U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais

teremos:


16

U(p) = N/m2. Tal unidade foi denominada de pascal, e a ela foi

reservado o símbolo Pa. Com isso pode-se escrever que:

U(p) = N/m2 = Pa

De uma maneira análoga é possível escrever todas as unidades das

demais grandezas derivadas. Na tabela 02 estão resumidas algumas das

principais grandezas físicas que aparecem nos estudos da Hidráulica, bem como

as suas unidades correspondentes no Sistema Internacional de Unidades.

Tabela 02 – Exemplos de algumas grandezas físicas derivadas.

Grandeza Física Notação Unidade Símbolo

Área A m2 -- Volume Vol m3 -- Velocidade V m/s -- Aceleração a m/s2 -- Força F kg.m/s2 N Pressão p N/m2 Pa Massa específica ρ kg/m3 -- Peso específico γ N/m3 -- Energia E N.m J Vazão Q m3/s -- Vazão em massa m& kg/s -- Viscosidade µ kg/m/s Pa.s Viscosidade cinemática ν m2/s -- Potência P N.m/s W

2.2.2 - Sistema de Unidades CGS O sistema de unidades que ficou conhecido como CGS possui

grandezas fundamentais com unidades pequenas, de forma que as medidas das

grandezas usuais são expressas por números mais adequados. As suas grandezas

fundamentais são comprimento, massa, tempo e temperatura. As grandezas

derivadas são, velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia,


17

dentre outras. A seguir relaciona-se as unidades das grandezas fundamentais, no

domínio da mecânica.

a) Unidade de comprimento: foi denominada de centímetro, cujo símbolo é cm,

tendo sido definida tal que um centímetro vale 10-2 m.

b) Unidade de massa: foi denominada de grama, cujo símbolo é g, tendo sido

definida como sendo a milésima parte do quilograma (10-3 kg).

c) Unidade de tempo: foi definida, como nos demais sistemas, e denominada de

segundo, cujo símbolo é s. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.

d) Unidade de temperatura: foi denominada de grau Celsius, cujo símbolo é ºC,

tendo sido definida em relação ao ponto de fusão do gelo (0,15ºC) e o ponto de

vaporização da água à condições normais de temperatura e pressão (100,15ºC).

O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 100 partes e a cada

parte corresponde um grau Celsius, à semelhança do grau Kelvin.

Nesse sistema, para as grandezas físicas derivadas temos as seguintes

unidades:

U(V) = cm/s

U(a) = cm/s2

U(F) = g.cm/s2 = dyna cuja abreviatura é dyn. Nesse caso pode-

se ver que 1 dyna é equivalente a 10-5 N.

U(p) = dyna/cm2 = bária. Pode-se deduzir que 1 bária eqüivale

a 0,1 Pa.

2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto

Grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo e temperatura.

Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão,

viscosidade, energia, etc.


18

Unidades das grandezas fundamentais:

a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.

1 ft = 0,3048 m

b) Unidade de massa: libra cujo símbolo é lb

1 lb = 0,45359 kg. Valor correto: 1 lb = 0,45359237 kg

c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é sec.

O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.

d) Unidade de temperatura: grau Rankine cujo símbolo é R.

O grau Rankine é definido em relação ao ponto de fusão

do gelo (491.67 R) e o ponto de vaporização da água nas condições normais de

temperatura e pressão (671,67 R). O intervalo entre ambas as temperaturas foi

dividido em 180 partes iguais e a cada parte corresponde um grau Rankine.

Para as grandezas físicas derivadas temos:

U(V) = ft/sec

U(a) = ft/sec2

U(F) = lb.ft/sec2 = poundal cuja abreviatura é pdl. Nesse caso

pode-se ver que 1 pdl é equivalente a 0,138257 N.

U(p) = pdl/ft2 . Pode-se deduzir que 1 pdl/ft2 eqüivale a

1,48819 Pa.

2.2.4 - Sistema Técnico Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.

Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,



19


a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m.

Essa grandeza é a mesma definida no SI.

b) Unidade de Força: quilograma-força cujo símbolo é kgf.

O quilograma-força foi definido como a força com que a terra atrai o

cilindro de platina que mais tarde foi usado para definir a unidade de massa do

SI, ao nível do mar e na cidade de Greenwich. Dele não adianta muito fazer

cópias par uso local já que as condições da gravidade muda de local para local

na superfície terrestre. A variação não é muito apreciável, mas a pequena

diferença serviu para alimentar muitas discussões entre físicos e engenheiros ao

longo dos tempos. Atualmente, devido a essa nuance, o sistema técnico de

unidades está em franco desuso.

Nas condições padrão, a aceleração da gravidade vale g = 9,80665 m/s2.

Devido ao fato de que a massa contida no cilindro de platina ser o quilograma e

sabendo que no local padrão a força com que a terra atrai essa massa é o

quilograma-força, a segunda lei de Newton permite escrever a relação: Peso =

m.g.

1 kgf = 1 kg . 9,80665 m/s2. Daí pode-se saber que 1 kgf = 9,80665 N.

Essa relação às vezes , por questões de simplicidade é escrita como 1 kgf = 9,81

N ou até mesmo 1 kgf = 9,8 N. Durante o nosso curso de Hidráulica usaremos a

relação abaixo:

1 kgf = 9,807 N

c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é s.

Essa unidade de tempo é a mesma do SI


20

d) Unidade de temperatura: grau Celsius cujo símbolo é ºC.

Essa unidade é a mesma do sistema CGS.

Unidades das Grandezas Derivadas:

Devido à escolha da força para ser uma grandeza física fundamental, a

massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é

possível obter:

m = F/a � U(m) = U(F)/U(a).

Assim, U(m) = kgf/(m/s2) = kgf.s2/m. Tal unidade é conhecida pelo

nome de unidade técnica de massa e abreviada por utm. Decorre da definição

que 1 utm = 9,80665 kg.

A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no SI.

A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a

relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se

que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas

fundamentais teremos:

U(p) = kgf/m2. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve

denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das

unidades fundamentais estabelecer a relação:

U(p) = 1 kgf/m2 = 9,80665 N/m2 = 9,80665 Pa

Nesse curso utilizaremos com freqüência a relação 1 kgf/m2 = 9,807 Pa.

Observação: Há uma tendência entre os alunos desavisados de confundir o kg

com o kgf. Entretanto deve-se observar que se trata de duas grandezas

diferentes, com unidades de sistemas de unidades diferentes. Portanto não há

possibilidade de confusão. Deve-se ressaltar que os livros que adotam o sistema

técnico de unidades abreviam o quilograma-força por kg ou até mesmo kgp.


21

Entretanto não haverá risco de confusão já que nesse sistema adotado não existe

o quilograma definido como unidade de massa. Aqui a unidade de massa é a

utm. A confusão aparece quando são considerados diversos sistemas. Deve-se

ressaltar que tal confusão é cometida em vários artigos científicos e, até mesmo,

em alguns livros. Com um pouco de cuidado o leitor poderá perceber quando o

kg está representando o quilograma-força ou a unidade de massa do SI.

2.2.5 - Sistema Inglês Técnico

Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.

Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,



a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.

Essa grandeza é a mesma definida no Sistema Inglês Absoluto.

b) Unidade de Força: libra-força cujo símbolo é lbf.

A libra-força foi definida como a força com que a terra atrai o cilindro

de platina que definiu a unidade de massa do Sistema Inglês Absoluto, ao nível

do mar e na cidade de Greenwich. Essa unidade padece dos mesmos defeitos da

unidade de força do Sistema Técnico.

1 lbf = 0,45359237 kgf

c) Unidade de tempo: segundo (second) cujo símbolo é sec.

Essa unidade de tempo é a mesma do SI

d) Unidade de temperatura: grau Farenheit cujo símbolo é ºF.

Essa unidade é definida também com relação aos pontos de fusão e de

ebulição da água. À temperatura de fusão da água atribuiu-se 32 ºF e à de


22

ebulição atribuiu-se 212 ºF. O intervalo entre ambas foi dividido em 180 partes

iguais, sendo cada parte correspondente a um grau Farenheit (ºF).

Unidades das Grandezas Derivadas:

Da mesma forma que no Sistema Técnico, escolheu-se a força para ser

uma grandeza física fundamental. Logo a massa passa a ser uma grandeza física

derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter:

m = F/a � U(m) = U(F)/U(a).

Assim, U(m) = lbf/(ft/s2) = lbf.s2/ft. Tal unidade é conhecida pelo nome

de slug. Decorre da definição que 1 slug =1,48816 utm = 14,5939 kg.

A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no Sistema

Inglês Absoluto.

A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a

relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se

que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas

fundamentais teremos:

U(p) = lbf/ft2. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve

denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das

unidades fundamentais, estabelecer a relação:

U(p) = 1 lbf/ft2 = 4,8825 kgf/m2 = 47,88106 Pa.

Regra geral:

No uso de grandezas físicas em equações algébricas devemos

obedecer a certas regras para que as unidades tenham consistência em um

sistema coerente de unidades.

Regra 1: As dimensões das grandezas nos dois lados da equação devem ser as

mesmas, a menos que seja uma equação empírica.


23

Regra 2: Pode-se somar ou subtrair apenas grandezas físicas que tenham as

mesmas dimensões.

Regra 3: A multiplicação ou divisão de grandezas físicas é possível desde que o

produto ou o quociente resultante seja o produto ou o quociente das

dimensões envolvidas.

2.2.6 – Caso de grandeza física de valor muito elevado ou muito pequeno

Quando tratarmos de grandezas físicas expressas por medida muito grande ou

eventualmente muito pequena, é aconselhável o uso de prefixos para tornar os números

mais adequados à escrita. A tabela 03 ilustra os prefixos atualmente em uso.

Tabela 03 – Prefixos usados como multiplicadores das unidades

Prefixo Símbolo Multiplicador

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

quilo k 103

hecto h 102

deca da 101

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro µ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

Assim, 1MPa significa 106 Pa, 1mm representa 10-3 m e 1 kN representa 103 N.


24

2.2.7 – Exercícios de Aplicação

1. Baseado nos princípios dos sistemas de unidades, calcular o valor das

seguintes grandezas físicas no Sistema Internacional de Unidades (SI):

a) µ = 1,05 cPo b) p = 30 psi

c) p = 50 pdl/ft2 d) ρ = 350 slug/ft3

Lembrete: 1 cPo = 10-2 Po; 1 lbf = 0,4536 kgf; 1 kgf = 9,80665 N; 1 pol = 2,54

cm e 1 ft = 0,3048 m.

SOLUÇÃO:

a) µ = 1,05 cPo = 1,05 x 10-2 Po = 1,05 x 10-2 dyn.s/cm2 = 1,05 x 10-2

g.cm.s2.s/cm2

µ = 1,05 x 10-2 g./(cm.s) = 1, 05 x 10-2 x 10-3 kg./(10-2 m.s) = 1,05 x 10-3

kg./(m.s)

µ = 1,05 x 10-3 kg.m.s/(m.m.s.s) = 1,05 x 10-3 N.s/m2 = 0,00105 Pa.s

Finalmente, tem-se que: µ = 0,00105 Pa.s

b) p = 30 psi = 30 lbf/pol2 = 30 x 0,4536 kgf / (2,54 cm)2 = 30 x 0,4536

x9,80665 N / (2,542 cm2)

p = 30 x 0,4536 x9,80665 / 2,542 N / (10-2 m)2 = 30 x 0,4536 x9,80665

/ 2,542 x 10-4 N / m2.

Finalmente: p = 206 846,2 Pa

c) p = 50 pdl/ft2

Lembrete: pdl é unidade de força do Sistema Inglês Absoluto e, portanto, vale

lb.ft/s2, considerando a segunda Lei de Newton (F = m.a).


25

p = 50 lb.ft/s2/ft2 = 50 lb/ft/s2 = 50 x 0,4536 kg/(0,3048 m)/s2 = 74,409

kg/m/s2.

p = 74,409 kg.m/s2/m2 = 74,409 N/m2

Finalmente, p = 74,409 Pa

d) ρ = 3,50 slug/ft3

Lembrete: slug é a unidade de massa do Sistema Inglês Técnico, logo 1

slug = 1 lbf / (ft / s2) ou 1 slug = 1 lbf . s2 / ft.

ρ = 3,50 lbf . s2 / ft4 = 3,50 x 0,4536 kgf . s2 / (0,3048 m)4

ρ = 3,50 x 0,4536 x 9,80665/0,30484 N.s2/m4 = 1 803,86 kg.m.s-2.s2/m4.

Finalmente: ρ = 1 803,86 kg/m3.

2.

3.2.8 – Exercícios

1. A viscosidade de um dado óleo é 5,0 Poise. Sabendo que o Poise é a unidade

de viscosidade do sistema CGS e que vale 1 dyna.s/cm2, determine o seu valor

em unidades do Sistema Internacional.

2. Calcular o valor de uma pressão igual a 1 lbf/pol2 em unidades do Sistema

Internacional e em hPa.


26

3.3 - Propriedades Físicas dos fluidos

Ao estudar os fluidos, devemos construir equações que descrevem o seu

movimento. Tais equações serão mais simplificadas quando forem escritas usando

propriedades físicas dos fluidos e, principalmente, aquelas propriedades que

independem da massa. As propriedades físicas dos fluidos, em última análise, são os

meios usados para caracterizar esse fluido.

a) Massa específica

A massa específica, na língua inglesa denominada de density, é definida como

a massa contida em uma unidade de volume do fluido. Matematicamente, podemos

calcular a massa específica através da relação entre a massa do fluido e o volume por ele

ocupado. Assim, sendo m a massa de um fluido e V o seu volume, por definição, a

massa específica, ρ, será:

V

m=ρ


27

Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do

fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre a massa e o volume. Todavia

isso nem sempre acontece, pois podem existir problemas envolvendo fluidos que não

sejam homogêneos ou fluidos em que a massa específica varia de ponto para ponto

dentro da massa fluida, o que exige uma definição mais precisa e que considere essas

variações. Nesse caso, é necessário fazer a relação entre uma porção de massa muito

pequena, ∆m e o seu volume correspondente, ∆V. Assim, de forma mais precisa, diz-se

que a massa específica ρ é definida pelo limite:

V

mV ∆

∆=→∆ 0

limρ

Observando esse limite, podemos verificar que se trata exatamente da definição

de derivada da função m em relação ao volume V. Assim, na prática, a massa específica

é calculada pela seguinte relação:

dV

dm=ρ

Diz-se que a massa específica é a derivada da massa em relação ao volume ou,

em termos práticos, é a taxa de variação da massa com o volume. Deve-se observar que

a massa específica é uma grandeza absoluta pois apenas depende da massa contida em

um certo volume de fluido.

Essa relação é muito importante, quando se conhece a massa específica e

deseja-se calcular a massa total de um fluido. Da expressão acima podemos escrever:

∫=∴=V

dVmdVdm ρρ .

Sabendo como a massa específica varia com o volume, a integral acima pode

ser avaliada para obter a massa total de fluido contida no volume V. Essa equação será

muito usada no estabelecimento das equações de previsão dos escoamentos em

Hidráulica.


28

Unidades:

As unidades da massa específica decorrem da própria definição, o que, em um

sistema coerente de unidades, pode ser escrito como:

U(ρ) = U(m) / U(V)

No SI, a unidade de ρ é kg/m3; no sistema CGS é g/cm3; no sistema Inglês Absoluto é

lb/ft3; no sistema Inglês Técnico é slugg/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é utm/m3.

A massa específica dos líquidos em geral decresce com o aumento de

temperatura, exceto para a água na faixa entre 0ºC e 4oC, quando se verifica um

aumento de ρ com a temperatura. Para os gases a massa específica diminui com o

aumento da temperatura, mantendo-se a pressão constante.

Apesar da massa específica dos fluidos aumentar conforme se aumenta a

pressão os líquidos apresentam uma variação muito pequena, quase imperceptível.

Tanto é assim que os líquidos são considerados fluidos incompressíveis. Ao contrário, a

mudança da massa específica coma a pressão nos gases é bastante acentuada.

A água pura a 4oC tem a massa específica exatamente igual a 1 000,00 kg/m3.

Já a 20oC, a sua massa específica é de 998,23 kg/m3. O mercúrio metálico tem a sua

massa específica a 0oC igual a 13 595,1 kg/m3 e a 20oC igual a 13 545,8 kg/m3.

Observar que a variação não é grande, porém ela ocorre. O valor exato da massa

específica da água a 4oC concorreu para se estabelecer a água como padrão para

relacionar as demais substâncias, através da densidade que será definida adiante.

A tabela 04, dada a seguir, mostra os valores da massa específica da água e do

mercúrio a diversas temperaturas. Para a água é possível ajustar uma equação aos dados

da massa específica (kg/m3) e temperatura (ºC) com resultados excelentes na faixa entre

0ºC a 40ºC e satisfatórios entre 40 e 95 ºC. A equação encontrada é:

( ) ( )( )26,6757,503

28398,31000

2

++−−=

T

TTagρ


29

Tabela 04 - Massa específica da água e do mercúrio, em função da temperatura.

Temp. ºC

Água (kg/m3)

Mercúrio (kg/m3)

Temp. ºC

Água (kg/m3)

Mercúrio (kg/m3)

0 999,867 13595,1 20 998,232 13545,8 1 999,927 13592,6 21 998,021 13543,4 2 999,968 13590,1 22 997,799 13540,9 3 999,992 13587,7 23 997,567 13538,5 4 1000,000 13585,2 24 997,326 13536,0 5 999,992 13582,7 25 997,074 13533,6 6 999,968 13580,3 26 996,813 13531,1 7 999,930 13577,8 27 996,542 13528,7 8 999,876 13575,4 28 996,262 13526,2 9 999,809 13572,9 29 995,974 13523,8

10 999,728 13570,4 30 995,676 13521,3 11 999,633 13568,0 31 995,369 13518,9 12 999,525 13565,5 32 995,054 13516,4 13 999,404 13563,0 33 994,731 13514,0 14 999,271 13560,6 34 994,399 13511,6 15 999,127 13558,1 35 994,059 13509,1 16 998,970 13555,7 36 993,712 13506,6 17 998,802 13553,2 37 993,357 13504,2 18 998,623 13550,7 38 992,994 13501,8 19 998,433 13548,3 39 992,623 13499,4 20 998,232 13545,8 40 992,246 13496,9

Acima de 40 ºC: 50 988,07 60 983,24 70 977,81 80 971,83 90 965,34 100 958,38

Para o mercúrio, uma equação do primeiro grau ajusta-se muito bem os dados

na faixa de 0ºC a 40ºC. Essa equação é:

T454529813594Hg ,, −=ρ


30

b) Peso Específico

O peso específico, denominado de specific weight, é definido como sendo o

peso da unidade de volume de um fluido. Assim, ele representa a força exercida pela

atração gravitacional da terra sobre a unidade de volume do fluido. A relação

estabelecida, em que P é o peso de fluido contido no volume V, é a seguinte:

V

P=γ

Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do

fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre o peso e o volume. Quando o

fluido não é homogêneo, diz-se que o peso específico γ é definido pelo seguinte limite:

V

PV ∆

∆=→∆ 0

limγ

Nesse limite, ∆P é o peso de fluido contido no volume ∆V. À semelhança do ocorrido

com a massa específica, usa-se, na prática, a seguinte relação para calcular o peso

específico:

dV

dP=γ

Diz-se que o peso específico é a derivada do peso em relação ao volume ou, em termos

práticos, é a taxa de variação do peso com o volume.

Essa relação é de fundamental importância quando se deseja conhecer o peso

total de um fluido. A expressão acima permite escrever:

∫=∴=V

dVPdVdP γγ .

Unidades:

As unidades de peso específico podem ser determinadas em um sistema

coerente de unidades através da relação:


31

U(γ) = U(P) / U(V)

No SI, a unidade de γ é N/m3; no sistema CGS é dyn/cm3; no sistema Inglês Absoluto é

pdl/ft3; no sistema Inglês Técnico é lbf/ft3 e, finalmente, no sistema Técnico é kgf/m3.

A água pura a 4oC tem o peso específico ao nível do mar igual a 9 806,65 N/m3

ou, aproximadamente 9 807 N/m3. Os engenheiros usaram muito o valor 1000 kgf/m3. O

mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0oC igual a 133 322,4 N/m3.

Da definição de peso específico decorre uma relação muito usual que permite o

cálculo do peso específico caso se conheça a massa específica e vice-versa. A segunda

lei de Newton permite escrever o peso de certa massa dm como sendo:

gdV

gdmgdmdP ργγ =∴=∴= .. .

Ao contrário da massa específica, o peso específico não é uma grandeza

absoluta, visto que depende do valor da aceleração da gravidade local, função da

posição na superfície terrestre.

A aceleração da gravidade varia com a latitude e com a altitude do local onde

está sendo observada. A variação com a latitude está dada na tabela 05.

Tabela 05 - Aceleração da gravidade, go ao nível do mar.

Latitu-

de (°) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

go

(m/s2) 9,780 9,782 9,786 9,793 9,802 9,811 9,819 9,826 9,831 9,832

Com a altitude, z, a aceleração da gravidade pode ser avaliada pela equação:

2

+=

zR

Rgg o


32

Nessa equação, R é o raio da terra e go a valor da aceleração da gravidade na latitude do

local, conforme tabela 05.

c) Volume específico

Por definição o volume específico é o volume ocupado por uma unidade de

massa do fluido:

dm

dVvs = ou

m

Vvs =

A comparar com a definição de massa específica, vê-se que essa grandeza

física pode ser determinada por uma relação mais usual:

ρ1=sv

O volume específico é comumente usado ao tratar do equacionamento do

movimento dos gases, sendo medido em m3/kg no Sistema Internacional de Unidades.

d) Densidade

A densidade de um fluido, d, denominada de specific gravity na língua inglesa,

é definida pela relação entre a massa de um dado volume do fluido e a massa de um

mesmo volume de água pura a 4oC. Depreende-se dessa definição que a densidade é um

número puro ou uma grandeza adimensional. Alguns autores teimam em chamá-la de

densidade relativa para diferenciar da massa específica à qual chamam de densidade

absoluta. Entretanto denominando essa grandeza apenas de densidade, não corremos o

risco de provocar dubiedades.

Como a massa de um volume de um dado fluido pode ser escrita como sendo

m = ρ.V e a massa do mesmo volume de água pura a 4oC pode ser escrito como

ma = ρoV, tem-se:


33

ooVa

V dV

Vd

m

md

ρρ

ρρ =∴=∴=

Tal expressão mostra que podemos calcular a densidade de um fluido através da relação

entre a sua massa específica, ρ, e a massa específica da água pura a 4oC, ρo.

Devido à relação entre a massa específica e o peso específico, podemos, ainda,

se for conveniente, calcular a densidade de um fluido como sendo a relação:

o

dγγ=

Nessa relação, γ é o peso específico do fluido considerado e γo é o peso específico da

água pura a 4oC.

Como exemplo, podemos citar a densidade do mercúrio a 0oC. Ela vale d =

13,5951, já que a sua massa específica a 0oC é 13 595,1 kg/m3 e a massa específica da

água padrão é 1 000,00 kg/m3. A densidade da água a 20oC é igual a 0,9982.

e) Compressibilidade

Os fluidos são mais ou menos compressíveis, dependendo da sua natureza.

Constata-se que os gases são bastante compressíveis ao passo que os líquidos são pouco

compressíveis. Assim, na realidade não existe um fluido completamente incompressível.

Por aproximação trataremos os líquidos como fluidos incompressíveis, mesmo sabendo

eles mudam muito pouco de volume quando sujeitos a elevadas pressões. Considera-se

um fluido incompressível quando alterações na pressão provocam uma variação

desprezível na massa específica. Uma evidência clara da compressibilidade dos líquidos

reside no fato de que uma perturbação na pressão viaja com uma certa velocidade no

seu interior. As ondas sonoras são decorrentes de uma variação de pressão. Elas viajam

nos líquidos com uma velocidade bem definida.

Mesmo os gases, quando submetidos a variação de pressão tal que a sua massa

específica altera muito pouco, podem ser considerados como fluidos incompressíveis. É

o caso do escoamento de ar em sistemas de ventilação de prédios.


34

A compressibilidade é a propriedade que os fluidos têm de alterar o seu volume

devido a uma alteração na pressão a que estão submetidos. A variação de volume

relativa que um fluido sofre ao ser submetido a uma variação de pressão é escrita como

sendo ∆V/V, onde ∆V é a variação de volume sofrida e V o volume inicial. Se essa

variação relativa de volume é devida a uma variação ∆p da pressão, define-se o módulo

de elasticidade volumétrica E como sendo a relação:

VVp

E∆

∆−= ou V

pVE

∆∆−=

O sinal negativo decorre do fato de se pretender valores de E sempre positivos

e do fato de que haverá uma variação inversa entre a pressão e a variação de volume. Se

aumentarmos a pressão o volume diminui e vice-versa.

Mais precisamente devemos definir E como sendo o caso limite da relação

∆p/∆V, quando ∆V tender para zero. Nesse caso tem-se:

dV

dpVE −=

Nesta equação V é o volume inicial, dp é a variação elementar de pressão que causou a

variação de volume, dV, também elementar.

Como a variação relativa de volume é uma grandeza adimensional, nota-se que

as unidades de E são as mesmas da pressão. Assim, E é medido em N/m2, dyn/cm2,

kgf/m2, etc.

O módulo de elasticidade volumétrica é análogo ao módulo de elasticidade

definido para os sólidos. A diferença é que o primeiro é definido com base na variação

de volume, ao passo que o segundo é definido com base na relação unidimensional da

tensão-deformação dos corpos sólidos.

Como m = ρV = const., diferenciando, tem-se: dm = ρ.dV+ V.dρ =0. Logo -

dV/V = dρ/ρ. Assim, substituindo essa relação na equação de E dada acima, chega-se a:

ρρ

d

dpE =


35

Dessa equação pode-se tirar uma importante relação muito usada para calcular

a taxa de variação da pressão com a massa específica:

ρρE

d

dp =

A expressão acima pode ser posta sob a forma E

dpd =ρρ

e integrada para

obter:

∫∫ =

p

poo E

dpdρ

ρ ρρ ou

E

pp o

o

−=)ln(

ρρ

.

Para os líquidos, observando que a variação é pequena, a última equação pode ser

aproximada pela equação E

pp o

o

o −=−ρ

ρρ .

Finalmente, esta equação pode ser re-escrita na forma:

( )

−+= oo ppE

11ρρ

Esta equação pode ser usada para previsão de novos valores da massa específica quando

um líquido for submetido a um aumento de pressão p – po, desde que se conheça o

módulo de elasticidade volumétrico do líquido. Considerando-se a água como fluido

incompressível, despreza-se a segunda parcela dentro dos colchetes na equação anterior,

o que permite concluir que ρ = ρo.

Na realidade constata-se que E varia com a pressão e com a temperatura no

caso dos fluidos. Para os líquidos tal variação é muito menor. Assim é que os gases têm

um valor de E relativamente baixo, ao passo que os líquidos têm um elevado valor de E.

A tabela 06 fornece alguns valores do módulo de elasticidade volumétrica da água.


36

Tabela 06 -Módulo de Elasticidade volumétrico da água, E, em MPa.

Pressão Temperatura

(kPa) 0oC 20 oC 50 oC 100 oC 150 oC

103,42 2013,27 2206,32 2289,06 2123,59 --- 10 342,14 2068,43 2275,27 2358,01 2199,43 1709,90 31 026,41 2185,64 2399,38 2495,90 2330,43 1868,48

103 421,36 2620,01 2826,85 2937,17 2792,38 2413,17

Os dados da tabela 06 mostram que nos líquidos, E não varia muito para uma

vasta faixa de pressão, o que não acontece nos gases.

f) Celeridade e Número de Mach

Quando uma onda de pressão se propaga através de um fluido ela o faz com

uma velocidade denominada de celeridade. O própio som é o resultado da propagação

de uma onda de pressão que viaja no interior dos fluidos. A celeridade, a, é definida

pela relação:

ρd

dpa =

Por esta equação pode-se ver que, para um fluido incompressível (dρ = 0), a

velocidade de propagação de uma perturbação de pressão seria infinita, o que na

realidade não acontece. Na prática utiliza-se uma outra equação mais conveniente para

avaliar a celeridade, que está dada abaixo:

ρE

a =

Na hidráulica tal propriedade assume papel importante quando se estuda o

fenômeno do golpe de aríete, quando se devem considerar as variações de massa

específica decorrentes de variação da pressão em uma massa d’água em escoamento.

O número de Mach, M, é um adimensional definido como sendo a relação entre

a velocidade de deslocamento do fluido e a celeridade. Assim:


37

a

vM =

Ele expressa quantas vezes a velocidade de escoamento de um fluido é maior ou menor

que a velocidade de propagação de uma onda de pressão no mesmo.

Considerando-se as variações de massa específica, pode-se escrever:

n

o Mn −

−+=1

1

2

2

11ρρ

n é o expoente adiabático do fluido e ρo é a massa específica quando a velocidade de

deslocamento do fluido for nula. A expressão acima mostra que a massa específica não

varia muito. Assim, se M = 0,3 e n = 1,4, para uma velocidade v = 100m/s tem-se ρ =

0,96ρo. Ao desconsideramos a variação da massa específica, nesse caso, o erro cometido

é de apenas 4% para uma velocidade exageradamente grande.

Distinção entre Líquido e Gás

Os fluidos são substâncias líquidas ou gasosas. O que vai diferenciar um

líquido de um gás é o arranjo interno na estrutura molecular de cada substância.

Nos gases as moléculas estão muito mais distantes entre si, de forma que a

força de coesão entre elas torna-se bastante pequena. Tanto é assim que os gases tendem

a ocupar todo o volume que os encerra. Se toda a força externa que encerra uma da

massa gasosa cessa, o gás tende a se expandir indefinidamente. O equilíbrio só ocorre

quando o gás está encerrado entre paredes confinantes, formando um sistema fechado.

Nos líquidos, as moléculas estão bem mais próximas umas das outras. Essa

proximidade aumenta as forças de coesão entre elas, fazendo com que o líquido ocupe a

forma do recipiente que o contém, às vezes deixando uma superfície livre. Essa

superfície livre aparece sempre que a pressão torna-se igual a um valor que não seja a

sua pressão de vapor.

Dessa maneira é que dizemos que os gases são mais compressíveis que os

líquidos, considerados incompressíveis.


38

Um vapor é um gás cuja temperatura e pressão a que está submetido são

próximas daquelas que caracterizam a fase líquida. O vapor d’água é considerado um

gás pois o seu estado é próximo ao estado da água líquida. Já para um gás as condições

de T e p estão muito longe do estado líquido. Muitos autores referem-se a um gás como

um vapor superaquecido. O volume de um gás é muito afetado pela temperatura e pela

pressão ou por ambos.

Fluidos Compressíveis e Incompressíveis

A Hidráulica trata essencialmente do estudo dos fluidos incompressíveis e a

mecânica dos fluidos estuda ambos os fluidos. Na realidade devemos observar que

todos os fluidos reais são compressíveis, uns mais e outros menos. Um fluido é

considerado incompressível quando, no seu estudo, pode-se desprezar as variações de

massa específica causadas pela variação da pressão. Se essas variações são

significativas, não podendo ser desprezadas, devemos estudar o fluido do ponto de vista

de sua compressibilidade, tentando estabelecer relações entre a compressibilidade e as

variações de pressão. Na maioria das vezes os líquidos são considerados

incompressíveis pois a variação da sua massa específica com a pressão é desprezível.

Entretanto, em alguns poucos casos, essa variação deve ser considerada, mesmo em se

tratando de um líquido. É o caso da ocorrência do fenômeno denominado de golpe de

aríete, efeito muito danoso aos alguns escoamentos em tubulações. A comprovação da

compressibilidade dos líquidos é o fato de que ondas sonoras viajam através deles com

uma velocidade finita. As ondas sonoras são manifestações de variação de pressão.

Os gases, em certos casos, também podem ser considerados como tendo um

comportamento de fluido incompressível. É o caso de escoamentos a baixas velocidades

e com pequenas variações de pressão, tais como os que ocorrem em sistemas de

ventilação de edifícios ou no escoamento através da asa de aviões que se deslocam a

velocidades inferiores a 100 m/s.


39

g) Pressão de vapor

Todo líquido tende a evaporar quando possuir uma superfície livre. As

moléculas dos líquidos que estiverem próximas à superfície livre podem escapar do

líquido, passando à fase de vapor nas proximidades da superfície livre, de tal forma que

a evaporação se dá pela perda de moléculas do líquido. Quando esse espaço não é

confinado, o número de partículas que passa à fase de vapor é estatisticamente maior do

que o que volta novamente à fase líquida, fazendo com que haja evaporação.

Quando o espaço acima da superfície livre é confinado, a pressão parcial do

gás vai aumentando até que haja um equilíbrio entre as moléculas que passam à fase de

vapor e as que retornam à fase líquida. Nesse caso de equilíbrio a pressão é denominada

de pressão de saturação ou pressão de vapor do líquido. Se a pressão acima da

superfície livre de um líquido se tornar igual à pressão de vapor, ocorre a ebulição do

líquido. A água pode entrar em ebulição a 20oC, desde que a pressão na sua superfície

seja abaixada para 2 334 Pa (a pressão atmosférica ao nível do mar é de 101 325 Pa). A

tabela 07 fornece o ponto de ebulição da água para diversas altitudes.

Tabela 07 – Ponto de ebulição da água e temperatura

Altitude

(m) 0 500 800 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000

Temp

(ºC) 100 98 97 96 95 93 91 89

A atividade molecular, que é dependente da temperatura, é de fundamental

importância ao se estabelecer a pressão de vapor. Assim constata-se que a pressão de

vapor de um líquido é tanto maior quanto mais elevada for a temperatura na qual o

líquido se encontra. A tabela 08 fornece a pressão de vapor da água com a temperatura,

em unidades do sistema Internacional, sistema técnico e em metros de coluna de água

(mca)

Nos escoamentos de um líquido podem ocorrer pressões inferiores à pressão de

vapor. Nesses pontos o líquido evapora muito rapidamente, formando uma bolsa ou

cavidade que se expande rapidamente e ao deslocar pode voltar a ser submetida a


40

pressões maiores, tornando a voltar à fase líquida (colapso da bolha). Esse fenômeno é

denominado de cavitação e deve ser evitado nos escoamentos. Nas bombas, quando ela

ocorre, haverá uma perde de eficiência e pode levar ao desgaste prematuro das peças

envolvidas.

Tabela 08 – Pressão de vapor da água e temperatura

Temperatura Pressão de vapor da água

(ºC) Pa kgf/m2 mca

-10 260 26,5 0,027 -5 403 41,1 0,041 0 611 62,3 0,062 4 813 82,9 0,083 5 872 88,9 0,089

10 1 225 124,9 0,125 15 1 705 173,9 0,174 20 2 339 238,5 0,239 25 3 169 323,1 0,323 30 4 246 433,0 0,433 50 12 350 1 259 1,259 80 47 390 4 832 4,832 100 101 325 10 332 10,332 150 475 800 48 518 48,518

h) Tensão superficial e capilaridade

Os líquidos na realidade são formados por partículas que estão sujeitas a forças

de coesão e de adesão. Estas são forças de atração que ocorrem a nível molecular. As

forças de coesão tendem a manter as moléculas do líquido unidas entre si. Já as forças

de adesão tendem a manter partículas do líquido junto com partículas de outros corpos

próximos, como no caso das paredes que contêm os líquidos.

Se as forças de adesão são superiores às forças de coesão aparece a conhecida

tendência dos líquidos de molharem o recipiente que os contém. Isso é o que acontece

com a água e a maioria dos recipientes que a encerra. Se as forças de coesão superam as


41

de adesão aparece uma tendência do líquido de não molhar o recipiente que o contém.

Esse é exatamente o caso do mercúrio metálico e o vidro.

Quando dois líquidos imiscíveis (ou um líquido e um gás) entram em contato

entre si, forma-se uma superfície de separação entre eles. Nessa superfície de separação

passa a existir um desequilíbrio entre as forças de coesão e de adesão, de maneira que a

interface de separação passa a resistir a pequenas forças, como se fosse uma membrana

muito sensível. A propriedade que cria essa capacidade de resistir a pequenos esforços

denomina-se tensão superficial. Ela é definida como sendo a força que age em cada

unidade de comprimento na superfície de separação entre os líquidos ou do líquido e do

gás.

A Tabela 09 fornece os valores da tensão superficial para a água, em unidades

do Sistema Internacional, para diversas temperaturas..

Tabela 09 - Tensão superficial da água.

Temperatura (ºC)

Tensão Superficial (N/m)

0 0,0756 10 0,0742 20 0,0728 30 0,0712 40 0,0696 60 0,0662 80 0,0626 100 0,0589

Os dados da Tabela 06 mostram que a tensão superficial decresce com o

aumento da temperatura. Isso se deve ao aumento da agitação entre as moléculas

quando a temperatura aumenta. O gráfico da figura 01 mostra a forma do decaimento da

tensão superficial com o aumento de temperatura.


42

Fig. 01 - Relação entre a tensão superficial e a temperatura para a água

A variação da tensão superficial da água (em N/m) com a temperatura, na faixa

entre 0ºC e 100ºC pode ser aproximada pelo polinômio:

0756,010.403,110.751,2 427 +−= −− TTσ .

Os efeitos da tensão superficial em geral são pequenos, podendo ser

desprezados na maioria dos problemas encontrados na Engenharia. Entretanto em

alguns problemas envolvendo capilaridade, formação de bolhas ou gotas, quebra de jato

líquido, eles podem assumir papel preponderante.

A capilaridade é devida aos efeitos da tensão superficial. Quando as forças de

adesão superam as de coesão, o líquido adere à parede do recipiente que o contém

promovendo uma elevação da superfície de separação um pouco acima do nível do

líquido. Ocorre, assim, uma elevação capilar, como no caso da água. Quando as forças

de adesão são inferiores às de coesão, o líquido não adere à parede do recipiente. Nesse

caso a superfície de separação tende a se abaixar, ficando algo abaixo do nível normal

da superfície líquida. Esse é o caso do mercúrio. Quando mergulhamos um tubo de

vidro na água, observa-se uma elevação do nível da água dentro do tubo, acima da

superfície normal da água. Quando introduzimos um tubo de vidro no mercúrio, ocorre

uma depressão do nível do mercúrio dentro do tubo. Tanto a elevação quanto a

0,05

0,06

0,06

0,07

0,07

0,08

0,08

0 20 40 60 80 100

Te

nsã

o S

up

erf

icia

l (N

/m)

Temperatura (ºC)


43

depressão capilar depende do inverso do raio do tubo. Tubos finos tendem a mostrarem

uma grande elevação capilar. Tubos de diâmetros acima de 10mm mostram uma

elevação capilar desprezível.

A figura 02 ilustra a elevação capilar, h, ocorrida ao se introduzir um tubo de

raio R dentro da água de peso específico γ e tensão superficial σ. Considera-se θ o

ângulo de ataque, formado pela tangente ao bordo do menisco ao atingir a parede do

tubo de vidro e a vertical. Quando o tubo está limpo, para a água θ = 0o e para o

mercúrio θ = 140o.

Figura 02 – Elevação capilar em um tubo de vidro.

A força que tende a levar a superfície da água é devida à tensão superficial da

água e se manifesta ao longo de toda a linha de contato da água com as paredes internas

do tubo de vidro. Essa força tem uma componente vertical dada por:

Fv = 2π.R.σ.cosθ


44

O equilíbrio será conseguido quando o peso da coluna de água de altura h for

suficientemente grande para se contrapor à força dada acima. O peso da coluna de água

será:

P = γπR2h

Igualando as duas expressões, tem-se a equação que permite prever a altura capilar, h:

R

hγ

θσ cos2=

Através dessa equação podemos calcular a elevação capilar em um tubo de

vidro de 5mm de diâmetro, quando imerso em água a 20oC. O resultado é h = 5,9mm.

Para o mercúrio deverá ocorrer uma depressão h = 1,4mm. Na prática consideram-se

desprezíveis os efeitos capilares se o diâmetro do tubo é superior a 10mm.

EXERCÍCIOS

Dados: g = 9,807 m/s2; 1 cm = 10-2 m; 1 ft = 0,3048m, 1 pol = 2,54 cm, 1 lb = 0,4536 kg.

1. Dois dm3 de um dado líquido pesam 1,640 kgf. Calcular o seu peso

específico, massa específica e densidade, expressos em unidades do

Sistema Internacional de Unidades.

2. Um reservatório cilíndrico de diâmetro igual a 8,50 m está preenchido com

três líquidos de massas específicas diferentes. O líquido que ocupa a parte

inferior do reservatório tem densidade 1,60 e forma uma camada de 0,45 m

de espessura. o líquido que ocupa a região intermediária tem densidade

1,30 e forma uma camada de 0,80 m de espessura. O líquido da camada

superior tem densidade 1,05 e espessura de 3,00 m. Nesse caso,

determinar a massa e o peso total dos fluidos no reservatório, em um local

situado a 20º de latitude Sul e a uma altitude de 1220 m.


45

3. Um reservatório cilíndrico de 8,50 m de diâmetro encontra-se cheio de um

líquido cuja massa específica varia linearmente com a altura, medida em

relação à0 sua base, segundo uma relação do tipo ρ = ρo + a.h, sendo ρo e a

constantes. Na base, quando h = 0, a massa específica é ρo = 1.600 kg/m3.

Na parte superior, em contato com a atmosfera, a 4,25 m do fundo, a

massa específica é ρ = 1.000 kg/m3. Nesse caso, determinar a massa e o

peso do fluido contido no reservatório em um local em que a aceleração da

gravidade vale 9,795 m/s2.

4. Um reservatório de aço, cilíndrico, de 4,0 m de diâmetro, está cheio de água

com temperatura variável, desde o fundo até 6,0 m de altura. No fundo do

reservatório, a massa específica da água vale 998,2 kg/m3 e a 6,0 m de

altura vale 995,7 kg/m3. Adotando uma variação linear da massa específica

com a altura, determinar a massa de água contida no reservatório. Calcular,

ainda, o peso da água no reservatório em um local onde a aceleração da

gravidade vale 9,78 m/s2.

6. A água tem um módulo de compressibilidade volumétrico E = 21.000

kgf/cm2. Determinar o acréscimo de pressão necessário para reduzir o seu

volume em 0,5%.

6. Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é E = 2.206,32

MPa, calcular o percentual de redução de volume da água quando a mesma

estiver sujeita a uma variação de pressão de 440 kPa.


46

i) Viscosidade

Quando dois sólidos em movimentos são postos em contato de forma a haver

um movimento relativo, entre eles aparece uma força de atrito que se desenvolve na

área de contato entre os mesmos, força essa que tem a direção da tangente à superfície

de contato e sentido contrário ao do movimento. Nesse caso, está em jogo o coeficiente

de atrito entre os dois sólidos, determinante no cálculo da força de atrito.

No caso dos fluidos em escoamento, a situação é análoga, pois uma parte do

fluido se move em relação à outra, o que faz aparecer uma força de atrito na superfície

de separação entre as duas porções de fluido que estão em contato. É fato notório que

essa força depende da natureza dos fluidos em movimento, sendo maior em alguns

fluidos e menor em outros. Quando um corpo se movimenta no ar a força desenvolvida

na superfície de contato do ar com o corpo é menor do que a força resultante no caso

desse corpo se movimentar na água ou dentro de um recipiente contendo óleo. Assim,

parece haver uma propriedade relacionada com a maior ou menor facilidade de um

fluido se movimentar, a fluidez. Tal propriedade é caracterizada pela viscosidade do

fluido. A força que deve ser aplicada a um fluido para que haja movimento em ralação a

um contorno sólido é denominada de força viscosa ou força de arrasto, objetivo de

estudos na Mecânica dos Fluidos.

Para definir a viscosidade, primeiro é preciso analisar como a velocidade varia

dentro da massa fluida em escoamento. Vamos imaginar o escoamento de um fluido que

ocorre em relação a um contorno sólido em repouso, admitindo que no contato do fluido

com a superfície sólida a velocidade das partículas de fluido é igual a velocidade do

contorno sólido, isto é, velocidade nula. Esse é o princípio do não deslizamento, o qual

deve ser admitido como verdadeiro ao se estudar o movimento dos fluidos. A seguir, na

medida em que se desloca para o interior do fluido, perpendicularmente à superfície de

contato, a velocidade vai aumentando, até que, eventualmente, ela fica constante, numa

posição suficientemente longe do contorno. Essa variação da velocidade com a posição

é muito bem representada através do perfil de velocidades, gráfico que expressa a

variação da velocidade com a distância do ponto ao contorno sólido colocada nas

ordenadas e nas abscissas o valor da velocidade, conforme ilustrado na figura 03.


47

Fig. 03 - Perfil de velocidades, u = f(y), de um escoamento hipotético.

Na Fig. 03, representa-se a velocidade, u, na direção do escoamento na direção

do eixo Ox, em relação a distância do ponto considerado ao contorno, na direção Oy,

perpendicular ao eixo Ox. Assim podemos dizer que u é depende de y ou que u é uma

função de y, o que, genericamente, pode ser representado por u = u(y). Assim, essa

função u = u(y) representa o perfil de velocidades, lei muito importante para definir as

propriedades de um escoamento.

Uma propriedade importante dessa função é expressa pela maneira como u

varia com y. A velocidade u varia desde zero, quando y for nulo, até um certo valor U

longe do contorno sólido. Para uma dada posição y, seja u o valor correspondente da

velocidade. Essa seria a velocidade de uma pequena camada de fluido centrada na

posição y. Se considerarmos uma camada de fluido adjacente, em uma posição y’ = y +

dy, o perfil de velocidade mostra que a velocidade correspondente será u’ = u + du.

Nesse caso, vê-se que a relação du/dy expressa a inclinação da tangente à curva do perfil

de velocidades na posição y em relação ao eixo Oy, conforme ilustrado na figura 04.

Essa inclinação é exatamente a taxa de variação de u com y para o escoamento

considerado. Ela é denominada de velocidade de deformação, taxa de deformação ou

gradiente de velocidades, pois é uma medida da velocidade de deformação contínua do

fluido durante o seu movimento. Observar que tal número atinge um valor máximo


48

quando y = 0, isto é, no contorno sólido, sendo decrescente na medida em que y

aumenta, em direção ao interior do fluido. Em alguns escoamentos essa taxa é tão

pequena que até pode ser considerada nula, como é o caso das regiões do escoamento

em que a velocidade deixa de variar. Observar, ainda, que du/dy tem dimensões de

tempo elevado ao expoente -1, isto é s-1.

Fig. 04 - variação de velocidades entre duas camadas de fluido de posições diferentes (y e y').

Na prática, uma maneira de se determinar o valor do gradiente de velocidade, é

adotar um triângulo de lados finitos, de abscissa ∆u e ordenada ∆y, valores muito

superiores aos infinitésimos du e dy, respectivamente. Logo

du/dy ≈ ∆u/∆y

tal valor, na verdade representa o coeficiente angular da tangente ao perfil de

velocidades em relação ao eixo Ou, na posição y. Quanto maior o ∆u adotado, maior

será o ∆y correspondente e, menor será o erro ao fazer a aproximação para du/dy.

Supondo que a camada de fluido que se encontra na posição y tenha uma área

infinitesimal, dA, e que a camada vizinha a ela também tenha a mesma área, a força

necessária para imprimir a alteração de velocidade du na camada superior será


49

denominada dFt. Essa, é uma força na direção do movimento do fluido, portanto uma

força tangencial, capaz de provocar o aumento de velocidade, du. Se a força na camada

superior (posição y' = y + dy) está para a direita (no sentido do movimento), na camada

inferior (posição y) a reação a ela certamente estará para a esquerda (sentido contrário

ao movimento). Nesse caso, na área dA das camadas de fluido, é possível definir a

relação dFt/dA como sendo a tensão cisalhante que age sobre a camada fluida, pela

relação:

dA

dF

A

F tt

A=

∆=

→∆ 0limτ

A figura 05 ilustra o caso das placas planas de fluido escoando com

velocidades diferentes no interior do mesmo fluido.

Fig. 05 - Figura com camadas de velocidade u e u+du e área dA, com a força viscosa dFt.

A unidade da tensão cisalhante é N/m2 ou pascal, Pa. Observar que, sob a ação

da tensão cisalhante, o fluido deforma continuamente, com uma velocidade ou taxa de

deformação dada por du/dy. A figura 05, ilustra os elementos envolvidos.

Experimentalmente, pode ser verificado que, para a grande maioria dos fluidos,

existe uma relação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidades. Tal

observação foi feita por Isaac Newton no passado. Então,

τ α du/dy ou τ = k. du/dy


50

À constante de proporcionalidade da variação linear entre a tensão cisalhante e

o gradiente de velocidade, k, denominou-se viscosidade, viscosidade absoluta,

coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica. Nesse texto, ela será designada

apenas por viscosidade e será representada pela letra grega minúscula µ. Finalmente,

pode-se escrever que:

τ = µ. du/dy

Tal relação foi estabelecida por Isaac Newton por volta de 1687 e, em

homenagem a ele, é denominada de lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que

obedecem essa lei durante o seu escoamento, recebem o nome de fluidos newtonianos.

O gráfico da figura 06, mostra dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. O

fluido B tem viscosidade superior à do fluido A, oferecendo maior resistência ao

escoamento. Notar que, a inclinação da reta para o fluido B é maior do que a do fluido

A, confirmando que a viscosidade do primeiro fluido é maior que a do segundo fluido.

Fig. 06 - Gráfico mostrando dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes.

Na natureza não existem apenas fluidos newtonianos, embora a maioria dos

fluidos sejam desse tipo, assim como a água, o ar, o álcool, a gasolina ou certos óleos,

para citar apenas alguns. Existem também os fluidos não-newtonianos, para os quais a

tensão cisalhante não tem variação linear com o gradiente de velocidades, conforme

mostrado no gráfico da figura 07.


51

Fig. 07 - Gráfico com fluidos newtonianos e não newtonianos (dilatantes, pseudoplásticos, fluido de

Bingham).

Como exemplos de fluidos não newtonianos pode-se citar o sangue, plásticos

líquidos, alguns tipos de lama usada na perfuração de poços, tintas, etc. A ciência que

estuda os fluidos não-newtonianos é denominada de Reologia e o estudo do escoamento

de tais fluidos está fora do alcance desse texto. Os interessados deverão recorrer a

bibliografia especializada.

Unidades de viscosidade:

A equação de Newton da viscosidade diz que: τ = µ. du/dy. Logo µ = τ /

(du/dy). Como a relação que prevalece entre as grandezas também prevalece entre as

suas unidades em um sistema de unidades coerente, tem-se:

U(µ) = U(τ) / U(du/dy).

No Sistema Internacional de unidades, U(µ) = N.m-2/s-1 = N.s/m2 = Pa.s. Tal

unidade não recebeu nenhum nome especial. Em termos da unidades das grandezas

fundamentais, U(µ) = Pa.s = kg.m-1.s-1 = kg/m/s.

Já no sistema CGS, a unidade de viscosidade será U(µ) = dyn.cm-2/s-1 = dyn.s /

cm2 que, ao ser escrita com as unidades das grandezas fundamentais fica sendo U(µ) =

g.cm-1.s-1 = g/cm/s. Essa unidade foi denominada de poise, sendo simbolizada nesse

texto por Po. Como o poise é uma unidade grande, criou-se o centi-poise, igual à


52

centésima parte do poise e que se representa por cPo, para expressar a viscosidade dos

líquidos e dos gases. Nessa unidade, a viscosidade da água a 20 ºC é de 1,0 cPo, daí ter

virado referência de viscosidade.

Existe uma relação entre as unidades Pa.s e Po, tendo-se em vista que 1 m2 =

104 cm2 e que 1 N = 103 g. 102 cm/s = 105 dyn. Assim 1 Po = 0,1 Pa.s.

Os demais sistemas de unidades têm a sua unidade de viscosidade, todavia de

pouco uso atualmente, razão pela qual não serão apresentadas nesse texto.

Alguns exemplos de viscosidade de líquidos são dados na tabela xx.

Tabela 10 - Viscosidades de alguns líquidos.

Líquido Viscosidade ou viscosidade dinâmica, µ (Pa.s)

Água pura a 0ºC 0,0180

Água pura a 20 ºC 0,0010

Água pura a 100 ºC (líquido) 0,00 028

Água pura a 100 ºC (vapor) 0,000 012

Mercúrio metálico a 20 ºC 0,0 015

Glicerina a 20 ºC 1,52

Glicerina a 40 ºC 0,31

Gasolina a 20 ºC 0,00 029

Álcool etílico a 20 ºC 0,0 012

Óleo para motores SAE 10W 0,10



Sangue a 37 ºC 0,00 040

Viscosidade cinemática.

Em muitas equações destinadas a representar os escoamentos de fluido

aparecerá a relação entre a viscosidade e a massa específica, µ/ρ. Tal relação é

denominada de viscosidade cinemática, representada pela letra grega minúscula ν.

Assim, tem-se:

ν = µ/ρ.


53

mais uma vez, se uma relação existe entre grandezas físicas ela prevalece entre

as suas unidades em qualquer sistema de unidades coerente. logo, pode-se escrever que:

U(ν) = U(µ)/U(ρ).

A unidade de ν no Sistema Internacional de Unidades e no sistema técnico será

m2/s. Já no sistema de unidades CGS a unidade de ν será cm2/s, denominada de stoke e

abreviada por St. Então, pode-se concluir que 1 stoke = 1 cm2/s = 10-4 m2/s. Como o

stoke ainda é uma unidade grande de viscosidade cinemática, criou-se o centi-stoke ou

cSt igual à centésima parte do stoke, de forma que 1 cSt = 10-2 St = 10-6 m2/s.

No estudo dos líquidos é bastante interessante explicitar as equações em termos de ν. Já

nos gases, é comum o uso de µ. A título de exemplo, verifica-se que a água, a 20 ºC,

tem viscosidade cinemática igual a 1,0.10-6 m2/s.

Variação da viscosidade

A viscosidade de um fluido, em geral, depende da temperatura e da pressão.

Porém a variação da viscosidade de um líquido com a pressão é pequena e será

desconsiderada nos estudos dos escoamentos desse tipo de fluido. Por outro lado, a

variação da viscosidade com a temperatura é significativa e precisa ser considerada nos

diversos casos a serem estudados. Se a temperatura aumenta a viscosidade diminui no

caso dos líquidos, Já no caso dos gases a um aumento de temperatura corresponde um

aumento da viscosidade. Ver desenho esquemático na figura 08.

Nos líquidos as moléculas possuem mais energia e quando se aumenta

a temperatura a distância entre as partículas aumenta, fazendo com que as forças

intermoleculares de coesão ficam diminuídas de maneira que a força tangencial

necessária para executar um certo escoamento fica diminuída, assim como a

viscosidade. Já nos gases, como as moléculas já estão bem distantes umas das outras, as

forças intermoleculares de coesão são insignificantes de forma que o aumento da

temperatura causará mais colisões entre essas moléculas e, portanto maior resistência ao

escoamento. Nesse caso quando se aumenta a temperatura a viscosidade também

aumenta.


54

Fig. 08 - Figura ilustrando a variação da viscosidade de gases e líquidos com T

Na prática constata-se que existe uma proporcionalidade entre a viscosidade e a

raiz quadrada da temperatura, para os gases, isto é:

Tαµ

A equação de Sutherland, para os gases informa que a viscosidade de um gás é

dada por:

TbTa

+=

1µ

onde T é a temperatura absoluta e a e b são constantes determinadas experimentalmente

para cada gás. Para o ar a = 1,458 . 10-6 kg/(m.s.K0,5) e b = 110,4 K, sob condições

atmosféricas normais. A viscosidade dos gases é considerada independente da pressão

sob condições de pressão baixa ou moderada. Considerar que, sob elevadas pressões, a

viscosidade aumenta, devido ao aumento na massa específica do gás.

Para os líquidos, a variação da viscosidade com a temperatura pode ser

aproximada por uma lei exponencial do tipo: cT

b

a −= 10.µ

sendo T a temperatura absoluta e a, b e c são constantes determinadas

experimentalmente para cada líquido. Para a água, valores de a = 2,414.10-5 N.s/m2, b =

247,8 K e c = 140 K permitem avaliar a viscosidade da água na faixa de temperatura

entre 0 e 350 ºC, com erro inferior a 2,5%, segundo Touloukian et al, 1975.


55

Diversos autores apresentam gráficos de variação da viscosidade dos fluidos

com a temperatura, conforme ilustrado na figura 09.

Figura 09 - Gráfico com a variação da viscosidade com a temperatura para diversos fluidos. Fonte: Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações - Yunus A. Çengel e John M. Cimbala.

Para a água pura, a viscosidade também diminui com o aumento da

temperatura. Tal variação, para a viscosidade cinemática, pode ser vista na tabela 11.


56

Tabela 11 – Variação da viscosidade da água com a temperatura Temperatura

(ºC) Viscosidade Cinemática (10-6 m2/s)

Temperatura (ºC)

Viscosidade Cinemática (10-6 m2/s)

0 1,792 24 0,923 1 1,729 25 0,901 2 1,673 26 0,880 3 1,623 27 0,859 4 1,567 28 0,839 5 1,523 29 0,819 6 1,476 30 0,804 7 1,431 32 0,765 8 1,388 34 0,732 9 1,346 36 0,702 10 1,308 38 0,674 11 1,269 40 0,657 12 1,238 45 0,615 13 1,208 50 0,556 14 1,179 55 0,520 15 1,146 60 0,478 16 1,123 65 0,442 17 1,096 70 0,416 18 1,069 75 0,381 19 1,043 80 0,367 20 1,007 85 0,337 21 0,993 90 0,328 22 0,969 95 0,311 23 0,946 100 0,296

Para fins de facilitar os cálculos, uma equação para determinação aproximada

da viscosidade cinemática da água, com T em ºC e ν em m2/s foi ajustada chegando-se à

forma:

( ) ( )[ ] 62 10.1500068,015031,0146,1 −−+−−= TTν


57

Determinação da viscosidade

Quando se tem interesse em calcular a força devida à viscosidade que atua em

uma dada área A de um fluido em escoamento, parte-se da definição de tensão

cisalhante combinada com a lei de Newton da viscosidade. Assim, sendo dFt a força

tangencial que está presente em uma área elementar dA, no interior de um fluido que se

movimenta com velocidade u, tem-se:

τ = dFt/dA ou dFt = τ dA

Como τ = µ. du/dy, vê-se que dFt = (µ. du/dy) dA e, para uma área finita, A, a força

total devida à viscosidade do fluido, agindo sobre A, será dada pela integração da

equação anterior e, matematicamente, escreve-se:

∫=A

t dAdy

duF µ .

Sendo µ uma constante que não varia com a área e nem com o gradiente de velocidades,

o resultados acima será expresso por:

∫=A

t dAdy

duF µ

Sem saber como o gradiente de velocidades varia na área, a integral anterior

não pode ser calculada diretamente. É por isso que há necessidade de se conhecer como

o gradiente de velocidade varia na área, assunto a ser abordado oportunamente.

Uma simplificação muito útil ocorre quando a distância ao contorno sólido não

for muito grande. Nesse caso, considera-se du/dy = u/y, agora um valor constante. Essa

simplificação é denominada de hipótese do perfil linear de velocidades, válida quando

se estuda a teoria da lubrificação. Ver representação gráfica da figura 10.

Nesse caso, se du/dy = u/y = cte pode-se retirar a relação de dentro da integral,

de forma que:

∫=A

t dAy

uF µ ou A

y

uFt µ=


58

Figura 10 - hipótese do perfil linear de velocidades

Tal equação simples é útil em muitos problemas práticos onde não se requer

uma grande precisão nos cálculos ou onde o valor de y, para o qual a velocidade é u,

tornar-se significativamente pequeno.

A viscosidade ou a viscosidade cinemática de um fluido é determinada

experimentalmente através de equipamentos denominados de viscosímetros, que

funcionam sob vários princípios ligados aos escoamentos.

Viscosímetros funcionando segundo a queda de uma esfera no meio viscoso.

São equipamentos baseados na medição da velocidade de queda de uma esfera

dentro de um tubo de vidro preenchido com uma amostra do fluido (cerca de 130 ml)

cuja viscosidade deverá ser determinada. O tubo de vidro deve ter a sua superfície

interna retificada para que o diâmetro seja conhecido com rigor. Esse tubo é

ligeiramente inclinado (cerca de 10º) e nele são efetuadas três marcas externas a

distâncias previamente determinadas (geralmente 50 mm). Uma esfera de diâmetro e

massa específica conhecidos é deixada cair livremente no interior do fluido contido no

tubo. O tempo,∆t, gasto para a esfera passar entre a marca inicial e a final é medido e a

velocidade de queda determinada pela relação ∆L/∆t. Nesse caso, a viscosidade

(dinâmica) será proporcional a esse tempo. Levando-se esse tempo em uma equação

conveniente, perfeitamente dedutível em função das forças presentes, pode-se

determinar a viscosidade µ do fluido. Deve se ter o cuidado de envolver o tubo de vidro


59

em um banho termostático com a finalidade de se manter a temperatura sobre rigoroso

controle. Um tipo desse viscosímetro é o viscosímetro Höeppler, ilustrado na figura 11.

Sendo o fluido cuja viscosidade é objeto de determinação, de massa específica

ρf, o tubo de vidro de diâmetro interno Dt e a esfera de diâmetro De, feita de um material

(vidro ou aço inoxidável) de massa específica ρe. A velocidade de queda da esfera será

determinada cronometrando-se o tempo gasto pela esfera percorrer uma distância L

(entre as duas marcas extremas do tubo de vidro), no caso igual a 100 mm. Observe a

existência de uma marca intermediária a 50 mm da marca superior, que pode ser usada

para verificar se a velocidade da esfera é realmente constante. Não usar tempos de

queda inferiores a 30 s (média de pelo menos 3 medições). A viscosidade será dada por:

µ = k.t.(ρe - ρf),

sendo k uma constante que leva em conta os diâmetros do tubo e da esfera (portanto

cada esfera terá o seu próprio valor), a distância L e um fator de conversão de unidades.

Nessa equação µ será a viscosidade do fluido obtida em centipoise. Com esse

dispositivo pode-se medir viscosidades desde 0,01 centipoise até 10 000 poise.

Um dos modelos desse tipo de viscosímetro, fabricado pela Hoppler é ilustrado

na figura 11 e tem suas características dadas na tabela 12.

Tabela 12 - Dados do viscosímetro de queda de esfera Höeppler Dados do Fabricante do viscosímetro Hoppler : ( )fetk ρρµ −∆=

Nro. da Esfera

Faixa de µ (centipoise)

Diâmetro da esfera (mm)

Peso da esfera (g)

ρe (g/cm3)

Constante (k)

1 0,2 - 2,5 15,81 4,945 2,390 0,00712 2 2,0 - 20 15,66 4,801 2,389 0,0554 3 15 - 200 15,6 16,188 8,143 0,0910 4 100 - 1200 15,20 14,985 8,145 0,6430 5 800 - 10 000 14,28 11,729 7,694 4,60 6 6 000 - 75 000 11,12 5,559 7,723 33,0


60

Figura 11 - Desenho esquemático de um viscosímetro de queda de esfera.

Viscosímetros funcionando segundo o escoamento em um tubo capilar.

Nesse tipo de equipamento, um escoamento controlado é feito acontecer

através de um tubo capilar, de forma que ocorra um escoamento laminar. Nesse caso, a

medida do tempo de escoamento de um dado volume, sob certas condições, permite a

determinação da viscosidade cinemática. è o caso do viscosímetro de Ostwald.

Ainda utilizando tal princípio, existe o viscosímetro Saybolt Universal, muito

usado na indústria que trabalha com óleos e líquidos mais viscosos. Nesse caso, um

volume equivalente a 50 ml de líquido é colocado a escoar a partir de um reservatório

de dimensões padronizadas, através de um tubo de pequeno diâmetro (1,77 mm) e

comprimento padronizado (12,12 mm). O tempo de escoamento desse volume de

líquido, expresso em segundos, representa a sua viscosidade. Tal tempo, foi

denominado de SSU (Segundos Saybolt Universal). Esse tempo poderá ser utilizado em

equações empíricas para se chegar ao valor da viscosidade cinemática do líquido

ensaiado, em stoke ou m2/s. Todo o equipamento é instalado em um banho termostático

para garantir que o escoamento ocorra à temperatura desejada. Os testes de óleos são

feitos a temperaturas de 21,1 ºC, 27,8 ºC, 54,4 ºC e 89,9 ºC e os tempos de escoamento

não devem ser inferiores a 32 segundos. Nesse caso, para tempos entre 32s e 100 s, a

viscosidade cinemática em centi-stokes será dada por:

tt

195226,0 −=ν


61

se os tempos forem superiores a 100 s, a equação a ser utilizada será:

tt

135226,0 −=ν

A figura 12 é um desenho esquemático desse tipo de viscosímetro.

Figura 12 - Desenho esquemático de um viscosímetro Saybolt Universal

Quando o tempo de escoamento fica demasiadamente elevado, é necessário

aumentar o diâmetro do tubo por onde acontece o escoamento, Assim, para líquidos de

viscosidade mais elevadas que os óleos, tais como asfaltos e graxas, existe um

viscosímetro semelhante ao Saybolt Universal, porém com maior diâmetro do tubo

(3,15 mm) e de mesmo comprimento (12,25 mm) que o Saybolt Universal, por onde

ocorrerá o escoamento. Tal viscosímetro é denominado de Saybotl Furol e deve ser

usado quando para líquidos de viscosidade superior a 1000 SSU. Da mesma forma, o

tempo de escoamento medido em segundos e a viscosidade é medida sem SSF

(Segundos Saybolt Furol). A viscosidade Saybolt Universal representa cerca de um

décimo da viscosidade Saybolt Furol. Também é possível converter a viscosidade em

segundos Furol para stoke ou m2/s, através de equações empíricas convenientemente

determinadas para tal equipamento. Para conversão das viscosidades de SSF para centi-

stoke usam-se fórmulas empíricas que, para tempos SSF entre 22 e 40 será:

tt

∆−∆= 184

24,2ν

Se o tempo for superior a 40 SSF, a fórmula para o cálculo da viscosidade cinemática

em centi-stoke é


62

tt

∆−∆= 60

16,2ν

Alguns fabricantes instalam dois viscosímetros Saybolt Universal e dois Furol

em um mesmo equipamento, junto com um mesmo banho termostático, para facilitar a

realização dos ensaios.

Em ambos os casos, consultar detalhes nos manuais dos equipamentos ou na

bibliografia especializada sobre viscosimetria.

Viscosímetros funcionando segundo a rotação de um corpo no interior do fluido.

Nesse caso, um rotor de geometria adequada é acionado por um motor elétrico,

de torque constante, T, é colocado para girar dentro de um recipiente contendo uma

amostra do líquido cuja viscosidade deverá ser determinada. Nesse caso, a velocidade

de rotação do rotor é proporcional à viscosidade do líquido, que será determinada por

fórmula previamente desenvolvidas ou mesmo lida em uma escala adequadamente

construída para aquele rotor. A figura 13 ilustra o princípio de medição da viscosidade

com viscosímetros rotativos.

Sendo N a velocidade do rotor em rpm (rotação por minuto) e ω a velocidade

angular em rad/s, sabe-se que:

ω = 2πN

Figura 13 - Esquema de um viscosímetro rotativo.


63

Sendo F a força tangencial na superfície do rotor, devida ao gradiente de

velocidades formado entre a parede fixa e a superfície do mesmo, dada pela lei de

Newton da viscosidade, no caso de se adotar um perfil linear de velocidades, tem-se que

o torque, T, a ser aplicado sobre o rotor para que o mesmo gire com uma velocidade u,

será dado por:

RAy

uRFT .. µ==

Logo, pode-se escrever que:

LR

RT

∆= ωπµ

32 ou L

R

NRT

∆=

324πµ ou LNR

RT

.4

.32π

µ ∆=

Finalmente, tem-se:

N

T

LR

R.

.4 32πµ ∆=

A medida da rotação, N, para um torque conhecido e para uma dada geometria

rotor/recipiente, permite determinar a viscosidade µ. A equação acima mostra que para

maior N, µ será menor e vice, versa. Um exemplo desse tipo de viscosímetro é o Rion.


64

Exercícios de Aplicação

1. Sabendo que a viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6 m2/s e que a

sua massa específica é 998,2 kg/m3, determinar a sua viscosidade dinâmica.

2. A viscosidade cinemática da água a 20 ºC é de 1,007x10-6 m2/s e a sua massa

específica é 998,2 kg/m3. Calcular a tensão cisalhante a 5 cm da parede fixa que

limita o escoamento, sabendo que o perfil de velocidades é dado por u = 0,1 + 2.y,

onde y deve estar em cm e u em cm/s.

3.


65

3. - HIDROSTÁTICA

3.1 - Introdução

A hidrostática é uma parte da Hidráulica que estuda os líquidos em equilíbrio.

Essa divisão é puramente para efeitos didáticos, já que na maioria das vezes os

problemas a serem resolvidos decorrem do movimento dos líquidos, onde os princípios

decorrentes da hidrostática são aplicados.

Na Hidrostática, trataremos dos conceitos de pressão e suas unidades, tensão

cisalhante, variação da pressão nos líquidos, superfície de nível, escalas de pressão,

pressão atmosférica, medidores de pressão, esforços sobre superfícies planas e curvas

submersas nos líquidos e casos de aplicação destes conceitos.

3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades

Neste item serão estudados conceitos importantes que estarão presentes no

estudo do escoamento dos líquidos.

3.2.1 – Conceito de pressão

Para introduzir o conceito de pressão, vamos imaginar uma porção definida de

fluido, encerrado em um volume V, definido por uma superfície A. Dessa superfície,

destaca-se uma pequena porção de área ∆A, sobre a qual atua a força Fr

, resultante de

todas as forças de contato exercidas pelo fluido de massa específica ρ sobre ∆A,

conforme ilustra a figura seguinte.


66

Fig. 01 – Forças devida ao fluido que atua sobre uma área ∆A, parte da superfície A que define o volume de fluido V.

Seja nFr

a força componente do vetor Fr

sobre a direção da normal à área ∆A,

cujo módulo (intensidade), denominaremos de nF . De maneira análoga, seja tFr

a

componente do vetor Fr

sobre a direção da tangente à área ∆A, cujo módulo

(intensidade) será denominado de tF . É através das componentes nFr

e tFr

que

determina-se a força Fr

, o que é possível caso sejam conhecidas nFr

e tFr

.

Componente Normal: nFr

O módulo da componente normal da força Fr

pode ser relacionado com a área

∆A. Assim, a pressão sobre a área ∆A é definida como sendo a relação entre a força

normal que age sobre a área ∆A e essa área, representada por:

A

Fp n

∆= ..................................................................3.1


67

Muitas das vezes a pressão pode variar conforme a área escolhida, o que torna

a relação acima a pressão média nessa área. Por isso torna-se necessário melhorar a

definição anterior, de forma a definir a pressão em torno de uma área muito pequena ou

a pressão em torno de um ponto. Passando à condição limite de se ter essa relação

calculada sobre uma área muito pequena, teremos:

A

Fp n

A ∆=

→∆ 0lim ......................................................................3.2

Assim, a pressão sobre uma área é definida como o limite da relação entre a

força normal e a área na qual ela age, quando esta área tender para zero. Na prática, este

limite pode ser calculado através da derivada de Fn em relação a A, resultando em:

dA

dFp n= ..........................................................................3.3

Então a pressão sobre uma determinada área pode ser calculada como a taxa de

variação da força normal em relação à área A. Por outro lado, o módulo da componente

normal da força nFr

sobre toda a superfície A pode ser calculada por:

∫=∴=A

nn dApFdApdF .............................................3.4

Dessa forma, fica determinado o módulo da componente normal, Fn, sabendo-

se, ainda, que ela tem a direção da normal à área considerada e sentido voltado para fora

do volume V, estando aplicada no centro de gravidade de A.

A determinação da pressão que age sobre uma área é feita através de

instrumentos apropriados, tornando relativamente simples a determinação da

componente nFr

.

3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante

O conceito de tensão cisalhante ou tensão de cisalhamento nos escoamentos

dos fluidos leva em consideração a componente da força sobre os fluidos na direção do

escoamento, devida ao atrito existente entre as partículas envolvidas.


68

Componente Tangencial: tFr

Uma relação interessante que aparece em muitos problemas decorrentes do

escoamento dos fluidos é definida pela relação entre a força tangencial que age sobre a

área ∆A, denominada de tensão cisalhante e representada por:

A

Ft

∆=τ

Na verdade, a tensão cisalhante calculada dessa maneira é um valor médio na

área ∆A, já que Ft pode variar conforme o ∆A escolhido. Então é preciso definir a tensão

cisalhante sobre uma área bem menor, que se distribui em torno de um ponto, passando

à condição limite de se ter essa relação calculada sobre uma área muito pequena, de

forma que:

A

Ft

A ∆=

→∆ 0limτ

Assim, a tensão cisalhante sobre uma área é definida como o limite da relação

entre a força tangencial e a área na qual ela age, quando esta área tender para zero. Na

prática, este limite pode ser calculado através da derivada de Ft em relação a A, o que

resulta em:

dA

dFt=τ

Dize-se, nesse caso, que a tensão cisalhante expressa a taxa de variação de Ft com a área

A.

Já foi visto anteriormente a lei de Newton da viscosidade que estabelece que no

caso de um fluido em escoamento, essa tensão cisalhante poderá ser calculada pela

expressão:

dy

duµτ =

onde µ é a viscosidade do fluido e dy

dué o gradiente de velocidade para o escoamento.

Desta forma é possível calcular a componente tangencial da força exercida pelo fluido


69

sobre dA, combinando-se estas duas equações. A intensidade da componente tangencial

da força F sobre toda a superfície A pode ser calculada por:

∫=∴=A

tt dAFdAdF ττ

Conforme viso acima, fica determinado o módulo da componente tangencial Ft,

sabendo que ela tem a direção da tangente à área e sentido contrário ao do movimento

do fluido, estando aplicada no centro de gravidade de A.

A tensão cisalhante tem as mesmas unidades de pressão que serão vistas a

seguir.

3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante

Em qualquer sistema de unidades, dito coerente, a relação que prevalece entre

as grandezas físicas também prevalece entre as suas unidades. Portanto a unidade de

pressão será definida por:

)(

)()(

AU

FUpU n=

Assim, no Sistema Internacional de Unidades, a unidade de pressão será:

Papascalm

N

AU

FUpU n ==== 2)(

)()(

Tal unidade foi denominada de pascal, tendo sido simbolizada por Pa. Como se

trata de uma unidade muito pequena, nos problemas que aparece na engenharia,

costuma-se medir a pressão em hPa, kPa ou MPa, onde 1 hPa equivale a 100 Pa, 1 kPa

equivale a 1.000 Pa e 1 MPa equivale a 1.000.000 Pa, isto é, 102 Pa, 103 Pa e 106 Pa,

respectivamente.

No Sistema de Unidades CGS, a unidade de pressão recebeu o nome de bária,

tendo sido definida da seguinte maneira:

báriacm

dina

AU

FUpU n === 2)(

)()(


70

Essa é a unidade preferida dos profissionais que lidam com quantidades muito

pequenas, como os químicos ou engenheiros químicos.

No Sistema Inglês de Unidades, a unidade de pressão é definida por:

22)(

)()(

ft

pdl

ft

poundal

AU

FUpU n ===

Tal unidade é muito pouco conhecida, quase não sendo usada na atualidade.

No Sistema Técnico de Unidades, a unidade de pressão foi definida como

sendo:

2)(

)()(

m

kgf

AU

FUpU n ==

Esta unidade não recebeu nenhum nome em especial, estando atualmente em

desuso. É usual encontrar medidores de pressão que apresentam suas escalas graduadas

em um múltiplo dessa unidade, denominada kgf/cm2, de forma que:

22000.101

m

kgf

cm

kgf =

No Sistema Inglês Técnico de Unidades, a unidade de pressão é a lbf/ft2, sem

nenhum nome em especial e definida por:

2)(

)()(

ft

lbf

AU

FUpU n ==

Apesar de todas essas unidades pertencentes a sistemas coerentes de unidades,

outras unidades de pressão são utilizadas, ainda nos dias de hoje. Dentre estas,

destacamos a lbf/pol2 ou psi, o Bar, a atmosfera padrão (atp), o mm de mercúrio ou

Torricelli (Torr) e o metro de coluna de água (mca).

A unidade de pressão psi (pound per square inch) é o nome dado à lbf/pol2,

muito utilizada nos paises da América do Norte e em equipamentos usuais de medida de


71

pressão no Brasil. Esse é o caso de se medir a pressão nos pneus dos veículos pelos

equipamentos existentes nas oficinas e nos postos de gasolina. Nesses equipamentos

existem, em geral, duas escalas de pressão, uma em a lbf/pol2 e outra em kgf/cml2 ou

Bar. Sabe-se que:

2222070308,0

54,2

4536,011

cm

kgf

cm

kgf

pol

lbfpsi === ou psi

pol

lbf

cm

kgf2231,142231,141

22==

Sabe-se, também, que 1 Bar equivale a 1.000.000 bária ou 100.000 Pa. Mas,

para medidas de pressões que não sejam relativamente grandes, é usual encontrar a

unidade mBar equivalente a 0,001 Bar ou 100 Pa. Assim, tem-se que:

1 Bar = 1.000 mBar � 1 mBar = 0,001 Bar = 100 Pa = 1 hPa.

A unidade mm de mercúrio (mm Hg) na verdade não é uma unidade de pressão

e sim uma unidade de comprimento em um dispositivo cheio de mercúrio metálico a 0

ºC. Ela representa a pressão equivalente ao deslocamento da coluna de mercúrio a ºC

correspondente a 1 mm. Mas, por ser muito usada, acabamos dizendo que se trata de

uma unidade de pressão. Ao medir a pressão arterial em um paciente, os médicos

informam que a pressão é 12 por 8, medida em aparelhos analógicos, quando o paciente

está bem. Isso significa, na verdade, que a pressão mais elevada é de 12 cm de mercúrio

a 0 ºC e que a menor pressão é de 8 cm de mercúrio a 0 ºC. Às vezes os aparelhos

indicam 120 mm Hg por 80 mm Hg, como é comum nos equipamentos digitais de

medida da pressão arterial. O maior valor diz respeito à pressão diastólica (quando o

coração está realizando um esforço para bombear o sangue para o resto do corpo) e o

menor valor diz respeito à pressão sistólica (quando o coração está admitindo sangue

para ser bombeado).

A conversão desta unidade pode ser feita da seguinte maneira:

1 mm Hg �13.595,1 kg.m-3.9,80665 m.s-2.0,001 m = 133,3224 Pa ou 1 mm Hg �

1,333224 mBar

A unidade metro de coluna de água (mca), também não é exatamente uma

unidade de pressão. Na realidade ela expressa uma pressão equivalente à pressão


72

relativa a uma coluna de água a 4 ºC que possui uma altura exata de 1,0 metro. Assim 1

mca equivale a 9.806,65 Pa.

Exemplos:

• Pressão atmosférica ao nível do mar nas condições normais de temperatura e

pressão: 760 mm Hg equivalentes a 101.325,0 Pa.

• Pressão atmosférica em Ouro Preto, no Laboratório de Hidráulica no Campus

do Morro do Cruzeiro: 657,3 mm Hg equivalentes a 87.600 Pa.

• Pressão de vapor do mercúrio a 20 ºC: 0,0013 mm Hg equivalentes a 0,17 Pa

• Pressão no interior do pneu de um carro: 30 psi = 206.846,2 Pa

3.3 – Empuxo

O empuxo sobre um corpo mergulhado no interior de um fluido é uma força

decorrente da ação da pressão do fluido sobre toda a superfície do corpo, visto que essa

pressão varia conforme a posição que se considera para a área no corpo. Quando o

corpo estiver em equilíbrio, o empuxo devido ao fluido é uma força vertical, de baixo

para cima, igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo. Isso se deve ao fato

de que a força resultante das pressões sobre a superfície do corpo ter uma resultante

vertical e voltada para cima.

Seja o corpo inteiramente mergulhado no interior de um líquido de massa

específica ρ, conforme mostra a figura seguinte.

Fig. 02 – Corpo mergulhado no interior de um líquido, sujeito a forças decorrentes da pressão em cada elemento de área.


73

Sobre o corpo, em cada elemento de área, estará agindo uma força devida à

pressão do líquido, de intensidade crescente à medida em que a profundidade aumenta e

sempre perpendicular à superfície do corpo. As componentes das forças voltadas para

baixo são menores que as que estão voltadas para cima. A resultante das componentes

verticais resulta em uma força, E, vertical, voltada para cima, denominada de empuxo

do fluido sobre o corpo. As componentes horizontais das forças devidas à pressão

devem se anular, se o corpo estiver em equilíbrio. Caso contrário, originam forças que

tendem a girar o corpo.

Nesse caso, é possível demonstrar que o empuxo pode ser calculado da

seguinte forma:.

olol

A

VgVdApE γρ === ∫

Em geral os corpos podem estar mergulhados total ou parcialmente em um

fluido. Quando o corpo está parcialmente mergulhado no fluido, parte de sua superfície

se encontra fora do fluido e, portanto não fica sujeito a forças decorrentes da ação do

fluido. Se o corpo está completamente mergulhado no interior do fluido, todo elemento

de área superficial do corpo fica sujeito a uma força devido ao contato do fluido contra

as paredes do corpo. Tais forças, irão interagir com outras forças presentes, de forma a

haver o equilíbrio desse corpo, quer sob a condição de flutuação, quer sobre a condição

de completamente imerso no fluido. Geralmente pode-se identificar três tipos de força

agindo sobre os corpos em contato com fluidos: forças decorrentes da pressão (E), força

peso (P) e outras forças eventualmente presente como a força normal (N) aplicada pelo

fundo do recipiente, conforme ilustra a Fig. 02.


74

Fig. 02 – Empuxo sobre um corpo flutuante, totalmente imerso e imerso e no fundo de um recipiente contendo um líquido.

É preciso discutir se o equilíbrio é estável, instável, ou indiferente, o que

origina o estudo do equilíbrio dos corpos flutuantes e submersos. No caso do corpo ser

flutuante, na condição de equilíbrio estável, a resultante de todas as forças que agem

sobre o corpo será:

P – E = 0 � P = E

P = mg e E = γ.Vi, com Vi igual ao volume da parte do corpo que está

imerso no fluido.

Como P = γc.Vc, chega-se à relação: γc.Vc = γ.Vi, � Vi = γc / γ. Vc.

Observa-se, nesse caso, que o volume imerso é uma parcela do volume do

corpo. Ainda mais, para que haja volume emerso é preciso que γc < γ. Corpos de menor

massa específica (mais leves) flutuam em fluidos de maior massa específica (mais

pesados).

No caso do corpo estar completamente imerso no fluido, porém em equilíbrio

estável no meio da massa fluida, o equilíbrio de forças permite escrever:

P – E = 0 � P = E

Sendo P = mg e E = γ.Vol, onde Vol é o volume do corpo, pode-se

escrever que:

P = γc.Vol � γc.Vol = γ.Vol � γc. = γ. Conclui-se que o corpo somente

ficará em equilíbrio quando o seu peso específico for igual ao peso específico do

líquido.


75

No caso do corpo estar em equilíbrio completamente imerso no fluido e no

fundo do recipiente, aparecerá uma outra força vertical, N, agindo sobre o corpo. Esta

força N recebe o nome de peso aparente, podendo-se escrever:

P – E - N = 0 � N = P - E

Sendo P = mg =γc .Vol e E = γ.Vol, onde Vol é o volume do corpo,

pode-se escrever que o peso aparente será dado por:

N = (γc .- γ)Vol .

3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos

A pressão varia no interior dos fluidos. Nesse item tratar-se-á do estudo da

variação da pressão no interior de um fluido de massa específica ρ.

3.4.1 – Princípio de Pascal

Foi visto que a pressão em torno de um ponto é o limite da relação entre a força

normal e a área na qual a força age, quando esta área tende para zero em torno do ponto.

Princípio de Pascal estabelece que:

“Em qualquer ponto no interior de um fluido em repouso, a

pressão é a mesma em todas as direções.”

Isso significa que num elemento de área dA submerso em um fluido, construído em

torno de um ponto, e que possa girar livremente em torno do seu centro, agirá sempre

uma força de mesma intensidade, independentemente da orientação da área elementar.

A demonstração desta lei pode ser feita admitindo-se um pequeno corpo em

forma de paralelepípedo de seção triangular e lados infinitesimais, dx, dy e ds, de

comprimento unitário, imerso no interior de um fluido de massa específica ρ, conforme

esquematizado na figura seguinte.


76

Fig. 03 – Paralelepípedo infinitesimal de fluido e as forças devidas ‘a pressão nas suas faces.

Da trigonometria pode-se escrever que: ds

dysen =θ e

ds

dx=θcos

Para que o paralelepípedo de fluido esteja em equilíbrio é necessário que a

soma de todas as forças que agem sobre ele seja nula. Considerando-se, por

simplicidade, apenas as duas direções Ox e Ou, pode-se escrever:

0.1..1..0 =−∴=∑ θsendspdypF sxx

02/...cos.1..1..0 =−−∴=∑ dydxgdspdxpF syy ρθ

Como θsendsdy .= , da primeira equação resulta sx pp = . Da segunda equação,

lembrando que θcos.dsdx = e que ao se somarem infinitésimos podemos desprezar os

de ordem superior, obteremos sy pp = . Assim, syx ppp == , isto é, a pressão em

torno de um ponto é a mesma em qualquer direção quando o fluido se encontra em

repouso. Embora a demonstração tenha considerado apenas duas dimensões, ela poderia

ser demonstrada no caso tridimensional, considerando-se um tetraedro de fluido, com

um pouco mais de esforço matemático.

3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática

Para fins de estudo sobre a variação da pressão no interior dos fluidos, vamos

considerar um paralelepípedo de fluido, de lados dx, dy e dz, de volume dVol, cheio de


77

um fluido de massa específica ρ, tudo referenciado a um referencial cartesiano tri-

ortogonal, Oxyz, conforme esquematizado na figura seguinte.

Fig. 04 – Paralelepípedo de fluido de massa específica ρ.

O paralelepípedo de fluido mostrado possui lados dx, dy e dz, sendo o ponto P

de coordenadas x, y e z um dos seus vértices e o ponto P ,́ de coordenadas x ,́ y ́e z ,́ o

outro vértice oposto.

Com isto, P ≡ (x,y,z) e P´ ≡ (x´,y´,z´), com x´ = x + dx, y´ = y + dy e z´ = z +

dz.

O volume de fluido no paralelepípedo é: dV = dx.dy.dz.

A massa de fluido contida em dV é: dm = ρ.dV = ρ.dx.dy.dz.

O peso do fluido contido em dV é: dP = ρ.g.dV.

Suponhamos que no ponto P a pressão seja p e que no ponto P´ a pressão seja

p ,́ diferente de p. Como pode-se escrever que p´ = p + dp, deseja-se calcular a variação

elementar de pressão, dp, ocorrida ao se variar a posição no interior do fluido, de P até

P ,́ através de um deslocamento infinitesimal. Para simplicidade das equações a serem


78

obtidas, considerar-se-á que a aceleração da gravidade seja um vetor paralelo ao eixo Oz

que está voltado para cima.

Para que a massa de fluido dm esteja em equilíbrio, torna-se necessário que a

soma de todas as forças presente seja nula.

Ao longo do eixo Ox: 0...0 =

∂∂+−∴=∑ dzdydxx

ppdzdypFx

Logo,

0...... =∂∂−− dzdydxx

pdzdypdzdyp .

Então,

0=∂∂x

p .

Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Ox, isto é, a pressão p

não varia com x.

Ao longo do eixo Oy: 0...0 =

∂∂+−∴=∑ dzdxdyy

ppdzdxpFy

Logo,

0...... =∂∂−− dzdydxy

pdzdxpdzdxp .

Então,

0=∂∂y

p

Assim, pressão não varia ao longo de direções paralelas ao eixo Oy, isto é, a pressão p

não varia com y.

Como 0=∂∂x

p e 0=∂∂y

p , conclui-se que a pressão não varia ao longo do plano xOy ou de

planos paralelos a xOy. Como o plano xOy é perpendicular a Oz, que é vertical, por

hipótese, conclui-se que a pressão não varia ao longo de um plano horizontal de um


79

mesmo fluido em repouso. Tal conclusão é de suma importância no estudo dos fluidos

em repouso, pois define a igualdade das pressões o longo de uma superfície de nível.

Ao longo de uma mesma superfície de nível de um mesmo fluido em repouso, a

pressão não varia.

Essa conclusão, juntamente com mais algumas observações leva ao princípio

dos vasos comunicantes, permite a marcação de pontos em uma mesma horizontal,

procedimento conhecido como nivelamento.

Resta, agora, obter a lei de variação da pressão ao longo do eixo Oz. Como

0...0 =−

∂∂+−∴=∑ dPdydxdzz

ppdydxpFz

,

onde dP é a componente do peso do fluido contido no paralelepípedo, segundo o eixo

Oz. O sinal negativo decorre do fato de que a aceleração da gravidade estar voltada para

baixo e o eixo Oz estar voltado para cima. Lembrando que dP = ρ.g.dV e que dV =

dx.dy.dz, teremos:

0......... =−∂∂−− dzdydxgdzdydxz

pdypdxdydxp ρ

Logo,

γρ −=−=∂∂

gz

p

Tal conclusão, diz que a taxa de variação da pressão ao longo do eixo Oz vale menos o

peso específico do fluido. Lembrando que p não varia com x e nem com y, portanto

somente variando com z, conclui-se que a derivada parcial da pressão com relação ao

eixo z é igual à derivada total da mesma pressão com relação ao mesmo eixo z, isto é,

dz

dp

z

p =∂∂

.

Finalmente, pode-se escrever que:


80

γρ −=−= gdz

dp .

Esta expressão é a equação diferencial fundamental da hidrostática e vale sempre que

tivermos o eixo Oz paralelo ao vetor aceleração da gravidade. É através dela que são

resolvidos todos os problemas de variação de pressão no interior dos fluidos em

repouso, sendo chamada de lei da variação hidrostática da pressão. Mais tarde será visto

como equacionar a variação da pressão quando o fluido estiver escoando na presença de

gradientes de velocidade.

Partindo da equação fundamental da hidrostática, é possível calcular a

diferença de pressão quando o deslocamento no interior do fluido deixar de ser

infinitesimal, por integração, conforme disposto a seguir.

Como dzdpdz

dp γγ −=⇒−= . Logo, a variação de pressão entre dois pontos P e P´, agora

em termos finitos, será calculada por integração:

( )∫∫ −=∴−=´´ z

z

p

pdzdpdzdp γγ .

Observar que para resolver a integral do segundo membro é necessário conhecer como γ

varia com z. Mas, de qualquer forma, poderemos escrever que:

∫−=−´

´z

zdzpp γ ou ∫=−

´´

z

zdzpp γ

Supondo z ́maior que z, dz será positivo, assim como γ. Logo p será maior que p ,́ isto

é, a pressão no ponto mais baixo é maior que a pressão no ponto mais elevado. Nesse

caso adotaremos, a menos de aviso em contrário, que p – p´ = ∆p, sendo ∆p > 0 quando

z < z ́e ∆p < 0 quando z > z .́ Finalmente podemos escrever que:

∫=−=∆´

´z

zdzppp γ

Esta expressão representa a equação integral da variação da pressão no interior

dos fluidos e será usada sempre que soubermos como realizar a integração presente no

segundo membro.


81

3.4.3 – Variação da pressão nos gases

No curso de Mecânica dos Fluidos é discutido como a pressão varia nos gases,

através da solução da integral acima, em alguns casos conhecidos. Quando se admite

que o fluido em repouso é um gás perfeito, à temperatura constante, a Lei de Boyle

ensina que:

.0

0 Ctepp ==ρρ

Nessa equação p é a pressão na qual a massa específica é ρ e po é a pressão inicial, na

qual a massa específica é ρo, considerando-se que a temperatura não tenha mudado.

Logo,

00

ρρp

p= ,

substituindo esse resultado na equação diferencial da hidrostática, encontraremos:

dzp

g

p

dp

0

0.ρ= .

A equação acima pode ser integrada de po até p e de zo até z para fornecer a expressão da

variação da pressão em um gás ideal, à temperatura constante:

( )o

oo

p

zzg

epp

−

=ρ

.0

A lei de Charles determina que para gases sob a mesma pressão, o volume

ocupado é proporcional à temperatura. Assim, para uma dada pressão constante, a

relação V para T é uma constante. Combinando-se esse resultado com a lei de Boyle,

encontra-se uma equação conhecida como equação universal dos gases ideais, escrita

da seguinte forma:

TnRpV o=

Onde p é a pressão na qual o gás se encontra, V o volume ocupado, n o número de

moles, Ro a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta do gás. O valor

aceito para Ro é de 8134 N.m/(kg.mol.K).


82

Como n = m/M e ρ = m/V, a equação anterior pode ser escrita como sendo:

TM

R

V

mpTR

M

mpV o

o =∴= � RTp ρ=

Nessa equação, M é a massa molecular, R a constante específica do gás e ρ a sua massa

específica. Essa é uma forma usual no estudo dos fluidos.

Deve ser lembrado que os gases reais não obedecem exatamente a essa lei,

havendo um pequeno desvio que aumenta quanto maior for a pressão na qual o gás está

submetido. A tabela xx abaixo fornece o valor de R para os principais gases no domínio

da engenharia.

Tabela xx – Propriedades dos gases comuns nas condições normais de temperatura e pressão (T = 15ºC e p = 101 325 Pa).

Gás Símbolo Químico

Massa Molecular, M

Constante específica, R, em

N.m/(kg.K)

Ar --- 28,98 286,9

Dióxido de Carbono CO2 44,01 188,9

Monóxido de Carbono CO 28,01 296,8

Hélio He 4,003 2 077

Hidrogênio H2 2,016 4 124

Metano CH4 16,04 518,3

Nitrogênio N2 28,01 286,8

Oxigênio O2 32,00 259,8

Vapor d´água * H2O 18,02 461,4

* Quando superaquecido a 55ºC ou mais.

Tabela compilada de Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox & MacDonald.

Outro caso conhecido de variação da pressão nos gases e que pode ser

facilmente resolvido, é quando se admite que a atmosfera se comporte como um gás

ideal e que existe um gradiente de temperatura constante, β = dT/dz, tal que T = To +

β.z, onde T é a temperatura absoluta, To é a temperatura média na superfície da terra, β o

gradiente de temperatura considerado constante e z a altitude onde se que avaliar a


83

pressão atmosférica. Para a Troposfera (camada da atmosfera entre 0 e 11.019 m de

altura) pode-se considerar β = -0,00651 ºK/m, desde 288 ºK (15ºC) ao nível do mar (zo =

0) até 216,5 ºK (-56,5ºC) onde z = 11 019 m. O sinal negativo expressa a diminuição da

temperatura quando se eleva na atmosfera. Tais valores serviram para definição da

atmosfera padrão nos Estados Unidos da América. Lembrar que a pressão atmosférica

ao nível do mar, para fins de definição da atmosfera padrão, vale 101.325 Pa. Entre 11

019m e 20 100 m a temperatura permanece constante (β = 0). A 32 200 m a temperatura

sobe para 228,5 K (-44,5 ºC), subindo novamente para 270,5 K (-2,5ºC) a 47 300 m,

fica constante nesse valor até 52 400 m, depois cai para 252,5K a 61 600m, tornando a

cair para 180,5K (-92,5ºC) a 80 000 m e ficando constante nesse valor para altitudes

maiores.

Considerando a validade da equação dos gases ideais, p = ρRT, com R sendo a

constante específica do ar presente na atmosfera e adotando, para o ar atmosférico R =

286,9 N.m/kg/ºK, é possível deduzir uma equação que representa a variação da pressão

com a altitude.

Considerando que a equação dos gases ideais, ρ = p/(RT), é válida para o ar

atmosférico e que a equação diferencial fundamental da hidrostática é dp = -ρgdz, pode-

se escrever que:

( ) gdzzTR

pdpgdz

RT

pdp

o β+−=∴−=

( ) ( )zT

dz

R

g

p

dpdz

zTR

g

p

dp

oo ββ

ββ +−=∴

+−=

Integrando a equação acima com a pressão entre po e p e z entre 0 e z, tem-se:

( )∫∫ +−=

z

o

p

pdz

zTR

g

p

dpo 0 β

ββ

] ( )]zo

pp zT

R

gp

o 0lnln ββ

+−=

( )[ ]ooo TzTR

gpp lnlnlnln −+−=− β

β


84

( )

+−=

o

o

o T

zT

R

g

p

p ββ

lnln � ( ) ββ R

g

o

o

o T

zT

p

p−

+=

lnln

( ) ββ R

g

o

o

o T

zT

p

p−

+=

Finalmente, a equação que permite avaliar a pressão atmosférica a uma data

altitude, z, pode ser escrita na forma:

ββ R

g

o

zT

pp

−

+= 10

Tal equação permite avaliar o valor da pressão atmosférica padrão em diversas altitudes,

apenas escolhendo um valor correto para o gradiente de variação da temperatura com a

altura. Não deve ser esquecido que variações locais da pressão são observadas com

freqüência, em virtude das condições atmosféricas variarem ligeiramente. Esses desvios

são detectados corretamente quando se mede a pressão atmosférica local com os

barômetros.

3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos

No caso dos líquidos, considerados incompressíveis para a maioria dos

propósitos, pode-se admitir que ρ é constante. Assim, nas proximidades da superfície

terrestre, considerando a aceleração da gravidade, g, constante, pode-se concluir que γ

seja aproximadamente constante. Nesse caso, para dois pontos onde as pressões são p e

p ́e as cotas respectivamente z e z ,́ tem-se:

∫∫∫ −=−=∴−=´´´ z

z

z

z

p

pdzdzdpdzdp γγγ

Logo,

)´(´´´

zzppdzppz

z−−=−∴−=− ∫ γγ ou )´(´ zzpp −=− γ


85

Admitindo que z ́seja maior que z ( o ponto P´está mais alto que o ponto P) e

denominando a diferença de cotas h = z´- z, profundidade do ponto P em relação ao

ponto P ,́ ter-se-á:

hpp γ+= ´ ou hgpp ρ+= ´

Esta expressão, que permite calcular a pressão em um ponto mais baixo, p, à partir da

pressão no ponto mais alto, p ,́ e de h, é denominada de Lei de Stevin.

De outra forma, poderemos admitir que a diferença de pressão entre um ponto

mais baixo e um ponto mais elevado no interior de um líquido será dada pela expressão

γ.h, onde h é a diferença de profundidade entre os pontos. Esta diferença de pressão às

vezes é denominada de pressão relativa, pois expressa o quanto a pressão em um ponto

é maior que a de um ponto mais elevado dentro do líquido:

relpphpp =∆==− γ´

a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um líquido:

Caso de dois pontos no interior de um líquido de massa específica ρ, conforme

desenho esquemático na figura seguine.

A expressão que relaciona a pressão entre os pontos 1 e 2, decorre da aplicação

direta da Lei de Stevin, com h = z2 – z1:

hpghpp γρ +=+= 221


86

Fig. xxx- Variação da pressão no interior de um líquido.

A figura xx seguinte ilustra esse princípio de variação da pressão dentro de um

líquido.

Fig. xxx- Variação da pressão entre dois pontos 1 e 2 no interior de um líquido.

b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão atmosférica

Quando um líquido ocupa parcialmente um reservatório, automaticamente se

estabelece uma superfície plana horizontal, na sua parte mais elevada, na qual a pressão

é constante (superfície de nível). Quando esta superfície está em contato direto com o ar

atmosférico (reservatório aberto), diz-se que a superfície é livre e que está sujeito à

pressão atmosférica do local onde se encontra o líquido. No caso de reservatórios em


87

que a superfície fica sujeita a uma pressão maior (ou menor) que a pressão atmosférica,

diz-se que o reservatório é fechado, não possuindo uma superfície livre.

A atmosfera terrestre é formada por uma camada gasosa com espessura de

cerca de 1.500 km, composta de uma mistura gasosa. Sabe-se que o nitrogênio constitui

cerca de 78% da atmosfera, seguido pelos 21% do oxigênio e 1% de outros gases, tais

como o argônio, dentre outros. Os gases possuem massa e, consequentemente um peso

que exerce uma pressão sobre uma superfície com a qual estejam em contato. A relação

entre o peso da camada gasosa em contato com a superfície e a área desta superfície é

uma pressão denominada de pressão atmosférica. Apenas para efeito de exemplo, ao

nível do mar e em condições normais, a pressão atmosférica é igual a 101.325 Pa,

equivalente a altura de uma coluna de mercúrio metálico a 0 ºC de 760 mm.

Seja um ponto P, no interior de um líquido de massa específica ρ, onde a

pressão vale p. Este ponto se encontra a uma cota z em relação a um plano horizontal de

referência. A superfície livre do líquido sujeita à pressão atmosférica se encontra a uma

cota zatm. É óbvio que a profundidade do ponto P, estabelecida à partir da superfície

livre do líquido é h = zatm – z, conforme mostra a figura seguinte.

Fig. xx – Variação da pressão no interior de um líquido cuja superfície está sujeita à pressão atmosférica.

Pela lei de Stevin, pode-se escrever que:

ghpp atm ρ+=


88

Como a pressão atmosférica tem um valor para cada ponto na superfície

terrestre, a pressão p é dita pressão absoluta, pois considera a pressão devida à coluna

gasosa da atmosfera e a pressão relativa à coluna de líquido de massa específica ρ e

altura h. Para se ter uma idéia, no Laboratório de Hidráulica do Departamento de

Engenharia Civil da Escola de Minas, no Campus Universitário do Morro do Cruzeiro,

essa pressão atmosférica vale aproximadamente 87.600 Pa, o que corresponde a exatos

657,3 mm de mercúrio. Se o líquido acima fosse água a 20 ºC, a pressão relativa à

coluna de água correspondente a um h = 1,00 m seria de 9.789 Pa. Assim a pressão no

ponto P, de uma caixa d´água instalada em Ouro Preto, seria de 97.389 Pa (notar que se

trata de uma pressão absoluta).

No entanto, a expressão acima pode ser escrita como:

relatm phgpp ==− ρ

À diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica dá-se o nome de pressão

relativa, pressão manométrica ou pressão efetiva, pois ela simplesmente informa a

parcela da pressão que ultrapassa ou que está abaixo da pressão atmosférica. Nota-se,

portanto, que a pressão em um ponto pode ser medida de duas maneiras: uma incluindo

a pressão atmosférica e outra desconsiderando a pressão atmosférica. Em Hidráulica,

assim como na engenharia de uma maneira geral, quando se trata de problemas relativos

aos líquidos é costume falar apenas na pressão relativa. Quando se trata de problemas

envolvendo os gases a pressão a ser considerada é a pressão absoluta.

Vê-se que relatmabs ppp =− ou que relatmabs ppp += . De agora em diante,

denominaremos a pressão relativa apenas de p (prel = p) e a pressão absoluta de pabs.

Assim, as equações acima doravante serão escritas da seguinte forma:

ppp atmabs =− ou que ppp atmabs += , onde relpp = .

Sempre que for necessário escrever a pressão absoluta, deveremos chamar atenção para

esse caso.


89

c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta

A partir destas observações, é possível criar, então, duas escalas para a medida

da pressão em um ponto: uma, a escala absoluta, e outra, a escala relativa. Na realidade

as pressões poderiam ser expressas em relação a qualquer referência arbitrária. Todavia

duas referências são usuais. Uma delas, a escala de pressão absoluta, expressa a

diferença entre a pressão e o vácuo total. A outra, a pressão relativa, expressa a

diferença entre a pressão e a pressão atmosférica, seja qual valor ela tiver. A figura

seguinte ilustra as duas escalas.

Fig. xx – Desenho esquemático das escalas de pressão absoluta e de pressão relativa.

Na escala de pressões absoluta, o menor valor é zero. Nessa escala não existe

pressão menor que zero. Isso significa que sobre uma dada área, a resultante de todas as

forças normais é nula. Assim não é possível ter resultante negativa.

Na escala de pressões relativas, o zero corresponde à pressão atmosfera local,

qualquer que seja o seu valor medida na outra escala, sendo as pressões maiores

positivas e as menores negativas. Nesta escala pequenas pressões negativas são

denominadas de vácuo parcial. Essas pressões ocorrem na tubulação de sucção de

algumas instalações de bombeamento, como será visto posteriormente. Ainda nesta

escala, a maior pressão negativa possível corresponde a –patm. Esse é o vácuo total. Em

Ouro Preto corresponderia a cerca de -87.600 Pa ou – 657,3 mm de Hg. Então, a título


90

de ilustração, querer que uma bomba de vácuo faça um vácuo em um recipiente fechado

igual a – 700 mm de Hg, em Ouro Preto, é ignorar tudo o que se considerou acima. Ao

nível do mar isso é possível.

A medida da pressão nas escalas absoluta e relativa é análoga à medida da

temperatura nas escalas absoluta (Kelvin) e Celcius (relativa). Sabe-se que T(K) =

273,154 + T(C).

d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido

Pressão ainda pode ser expressa em altura de coluna de líquido. É muito usado

falar em pressão expressa em metros de coluna de água (mca) ou mesmo milímetro de

mercúrio (mm Hg). Na verdade o que se está fornecendo é a altura de uma coluna de

água que, na sua base, desenvolveria uma pressão correspondente à pressão que se está

medindo. O mesmo acontece com a pressão sendo expressa em milímetros de mercúrio

(mm Hg). Como p = ρgh, temos que a relação entre a pressão e o peso específico do

fluido será: γρp

g

p = = h. Esse valor de h é informado como o valor da pressão. Porém,

não podemos nos enganar sobre o que está sendo informado na realidade (relação

pressão dividida pelo peso específico do fluido). No fundo do reservatório mostrado na

figura xx, a pressão será hp γ= , com h sendo a profundidade do fundo do

reservatório, medida em relação à superfície livre do líquido.

Fig. xx – Pressão expressa em altura de coluna de líquido: p / γ = h, sendo γ = ρ.g.


91

e) Pressão com Líquidos Imiscíveis

Quando se tem dois líquidos imiscíveis, de massas específicas diferentes, ρ1 e

ρ2, a pressão no fundo pode ser calculada diretamente com a lei de Stevin, aplicada aos

dois fluidos, conforme figura xx a seguir.

Fig. xx – Pressão expressa em altura de coluna de líquido para dois líquidos imiscíveis de massa específica ρ1 e ρ2, sendo ρ1 > ρ2.

Nesse caso a pressão no fundo do recipiente será dada por 2211 hhp γγ += .

3.5 – Exemplos de Aplicação:

Muitos são os exemplos de aplicação dos princípios vistos até aqui. Citaremos,

a título de ilustração, apenas dois: a prensa hidráulica e os vasos comunicantes.

3.5.1 – Prensa hidráulica

A prensa hidráulica é um dispositivo hidráulico que permite equilibrar grandes

cargas, pela aplicação de pequenas forças sobre um êmbolo que encerra um líquido em

um cilindro, conforme ilustra a figura xx a seguir. A força F1 a ser aplicada em uma

área A1 é inferior à força F2 aplicada em uma área A2, tal que A2 > A1.


92

Fig. xx – Esquema ilustrativo da prensa hidráulica.

Pelo fato da pressão ser constante ao longo das áreas A1 e A2, tem-se: p1 =

F1/A1 e p2 = F2/A2.

Sabe-se que p3 = p2 + ρog∆h

Mas, p1 = p3. Logo, escreve-se que:

hA

F

A

Fo ∆+= γ

2

2

1

1

Finalmente, a equação da prensa hidráulica será:

122

11 hAF

A

AF o ∆+= γ

Observações:

1. Se ∆h for desprezível: 2

2

11 F

A

AF = . Nesse caso, quanto maior for A1/A2, maior será F1,

para equilibrar uma força F2.

2. Em geral A1 é muito inferior a A2, de forma que a relação A1/A2 é muito menor que 1.

Nesse caso, F1 será muito menor que F2, isto é, é possível equilibrar uma F2 grande com

uma força F1 bem menor, aplicada no êmbolo da direita.


93

A ilustração seguinte sugere a possibilidade e se equilibrar um

fusca sobre uma prensa hidráulica, com a aplicação de uma pequena força f.

Fig. xx – Esquema do uso de uma prensa hidráulica.

3.5.2 – Vasos Comunicantes

Uma consequência do teorema de Stevin é o princípio dos vasos

comunicantes. Colocando-se um líquido em recipientes de forma e capacidade

diferentes, interligados pela base por um conduto, ao se estabelecer o equilíbrio, a altura

do líquido é a mesma em todos os recipientes. Isso se deve ao fato de que a pressão

exercida por um dado líquido só depende da altura da coluna de líquido. Se as alturas

fossem diferentes, as pressões na base seriam diferentes, produzindo um desequilíbrio.


94

Fig. xx – Vasos comunicantes.

Relações no exemplo acima


95

A figura seguinte ilustra o princípio dos vasos comunicantes, visto que

os reservatórios de diferentes formas estarem interligados pela base, fazendo com que

os níveis do líquido nos diferentes reservatórios seja iguais.

Fig. xx – Ilustração dos vasos comunicantes.

Aplicação interessante é o nivelamento realizado pelos pedreiros nas

obras. Os pedreiros para marcar pontos em um mesmo nível utilizam de uma mangueira

transparente cheia de água. Para verificar se o equipamento encontra-se funcional, o

pedreiro junta as duas pontas para verificar se o nível nos dois ramos são iguais. Após

isso, uma ponta fica junto ao nível de referência e a outra segue para um outro ponto.

Quando o nível da primeira ponta se igualar ao nível que se quer transferir, sabe-se que

o nível da água na outra ponta da mangueira define o nível no novo local. Assim este é

marcado rigorosamente dizendo-se eu se transferiu o ponto. A técnica está ilustrada na

figura seguinte.


96

Fig. xx – Esquema da aplicação do princípio dos vasos comunicantes no nivelamento de pontos na construção civil.

3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO

A pressão em um fluido pode ser medida segundo duas escalas distintas. Uma,

considerando que a menor pressão possível é zero, denominada de escala de pressão

absoluta. A outra, considerando que o valor da pressão atmosférica seja zero,

denominada de pressão relativa, pressão efetiva ou pressão manométrica.

3.6.1. Medidores de pressão absoluta

Como o próprio nome diz, são dispositivos mecânicos ou eletrônicos

destinados à medir a pressão absoluta de um fluido. Dentre eles pode-se salientar três

tipos, conforme descrição a seguir.

a) Barômetro de Torricelli:

É um instrumento inventado por Torricelli, em 1643, para medir a pressão

atmosférica de uma localidade através de uma coluna de mercúrio metálico, razão pela


97

qual também é denominado de barômetro de mercúrio. Ele é formado por um tubo de

vidro com uma das extremidades fechada e a outra conectada a um reservatório

contendo mercúrio metálico com uma superfície livre, conforme indicado na figura.

Evangelista Torricelli – físico e matemático italiano nascido em 1608

e falecido em 1647.

Fig. xxx – Esquema de um barômetro de Torricelli

Um tubo com uma das extremidades fechada é cheio de mercúrio e em seguida

é introduzido em uma cuba contendo o mesmo líquido. Ao inverter o tubo de vidro, a

pressão na parte superior do tubo irá diminuir devida ao peso da coluna de mercúrio, até

atingir a sua pressão de vapor. No equilíbrio, a coluna se estabiliza sob a ação da

pressão atmosférica agindo na superfície livre do mercúrio e da pressão de vapor agindo

na superfície livre que se forma dentro do tubo de vidro e com a coluna de mercúrio

atingindo a altura h. A altura h indica a pressão atmosférica local.

Como a pressão em uma superfície de nível de um mesmo fluido não varia,

pode-se escrever que p1 = p2.

Mas p1 = patm e p2 = pv + γm.h, sendo pv a pressão de vapor do mercúrio e γm.o seu peso

específico. Portanto a pressão atmosférica pode ser calculada por:


98

patm = pv + γm h

Por outro lado, observa-se que a pressão de vapor do mercúrio é muito pequena

quando comparada com a segunda parcela da equação anterior, podendo ser desprezada.

A 20oC a pressão de vapor do mercúrio é de 0,17Pa o que corresponde a 0,0013 mm Hg

a 0ºC. Para efeito de comparação, a pressão de vapor para a água a 20ºC é de 2.340 Pa o

que corresponde a 17,6 mm Hg a 4 ºC ou 238,6 mm de água a 4ºC.

Se pv = 0 pode-se escrever, finalmente, uma expressão para o cálculo da

pressão atmosférica à partir da leitura da coluna de mercúrio e de sua massa específica:

patm = γm h ou patm = ρm g h

Observações:

1. Unidades freqüentes: mm de Hg, hPa ou mbar.

2. Ao nível do mar e nas condições normais de temperatura e pressão, estando o

mercúrio a 0ºC, a coluna de mercúrio será igual a 760 mm. Assim diz-se que a

pressão atmosférica nessas condições é de 760 mm de mercúrio. Nesse caso, a

pressão atmosférica é expressa por uma coluna de 760 mm de mercúrio. Na

verdade, 760 é a relação entre a pressão atmosférica e o peso específico do

mercúrio, quando expressa em milímetros.

Ao se medir a pressão atmosférica com o barômetro de Torricelli deve-se

atentar para a correção da coluna lida dos efeitos da capilaridade (se presentes), da

dilatação do vidro e da escala de medição da altura h e da variação da massa específica

do mercúrio com a temperatura.

1. correção da dilatação da escala � desprezível

2. correção da dilatação do vidro � desprezível

Em aparelhos confiáveis as correções de capilaridade, da dilatação do vidro e

da escala de medida são desprezíveis, restando apenas a correção devida à variação da

massa específica do mercúrio com a temperatura, já que, dificilmente, a coluna de

mercúrio se encontra a 0ºC.

Correção devida à temperatura do mercúrio


99

Na maioria das vezes que se mede a pressão atmosférica com o barômetro de

Torricelli, a coluna de mercúrio se encontra a uma temperatura diferente de 0oC,

temperatura na qual foi definida unidade de pressão denominada de Torricelli (Tor) ou

milímetro de mercúrio. Assim, ao se obter a medida da altura h do mercúrio a uma

temperatura T, é preciso corrigir a altura para mercúrio a 0oC. Para tanto, basta

considerar o caso de se ter dois barômetros medindo a mesma pressão atmosférica: um a

0oC e outro a ToC, As alturas das colunas de mercúrio seriam ho e h, respectivamente. É

óbvio que:

patm = γ.h = γo.ho

Logo:

ho = γ / γo.h ou ho = ρ / ρo.h

Assim, basta multiplicar a altura da coluna de mercúrio obtida a uma dada temperatura

pelo peso específico do mercúrio nessa mesma temperatura e dividir pelo peso

específico do mercúrio a 0oC.

Exemplo:

Mediu-se a pressão atmosférica no Laboratório de Hidráulica da Escola de Minas, 25oC,

encontrando-se uma altura de coluna de mercúrio igual a 670 mm. Qual a pressão

atmosférica no local, expressa em pascal e em milímetros de mercúrio?

Solução:

Consultando uma tabela de massas específicas do mercúrio com a temperatura,

encontramos que a 25oC tem-se 13.533,6 kg/m3 e a 0oC tem-se 13.595,1 kg/m3.

Conforme visto anteriormente:

patm = 13.533,6 kg/m3 . 9,807 m/s2 . 0,670 m

patm = 88.925,1 Pa

A altura da coluna de mercúrio correspondente a 0oC será:

ho = 13.533,6 / 13.595,1 . 0,670 m


100

ho = 0,667 m ou ho = 667 mm

Observar que a diferença é de apenas 3 mm, cerca de 0,45% do valor medido,

porém, em muitos casos, torna-se imprescindível realizar tal correção.

b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo

Aparelho destinado a medir a pressão atmosférica à partir de um pequeno

reservatório deformável no qual foi previamente feito um vácuo total.

Fig. xxx – Esquema de um barômetro Aneróide

O equipamento, ilustrado no esquema da figura anterior, possui uma caixa

metálica com paredes deformáveis onde se fez um vácuo total e que fica sujeita à

pressão atmosférica que causa deformação nessa caixa. A caixa é ligada a um ponteiro

indicador, através de um mecanismo de amplificação das deformações, normalmente

um mecanismo de relojoaria com mola para compensar eventuais atritos presentes, onde

a leitura do valor da pressão atmosférica é feita, em uma escala convenientemente

acoplada. Em geral todo o mecanismo é abrigado em uma caixa metálica robusta, para

permitir fácil manuseio do equipamento, bem como a sua portabilidade.

É comum encontrar aparelhos com a escala de leitura graduada em mmHg,

polegadas de Hg, mbar ou hPa. Nesses equipamentos a menor divisão da escala é 1

mmHg, 1 mbar ou 1 hPa, devendo a fração da leitura ser avaliada por interpolação na

escala.


101

A principal vantagem do equipamento é a sua portabilidade e robusticidade,

permitindo facilidade nas operações de campo. Entretanto a precisão não é grande, além

de necessitar aferições freqüentes, quando muito utilizado.

c) Barômetro eletrônico

Um equipamento bastante difundido recentemente é o barômetro eletrônico,

também denominado de transdutor de pressão absoluta. Ele é formado por um sensor de

pressão que incorpora um dispositivo semicondutor, uma caixa de vácuo, um

amplificador de sinal e um indicador. Sobre uma pequena cápsula onde de faz vácuo

total é montado um dispositivo semicondutor, formado por resistor, capacitor ou

indutor. Assim, o valor da resistência, capacitância ou indutância varia conforme a

pressão aplicada na outra extremidade da cápsula, formando assim um dispositivo

sensível à pressão atmosférica. Via de regra, usa-se um strain gage ou um elemento

piezo-resistivo.

O transdutor precisa receber alimentação elétrica a fim de fornecer um sinal

que é amplificado, convertido em milivoltagem e submetido ao indicador, que

normalmente é um milivoltímetro, que mostra o valor da pressão medida. A figura

seguinte é um esquema do aparelho.

Fig. xxx – Esquema de um barômetro Eletrônico

Quando se dispõe apenas do transdutor, principalmente em trabalhos ligados a

pesquisa, é comum a utilização de uma fonte de alimentação e de um indicador que já

contenha a amplificação do sinal para um valor desejado. Nesse caso, submete-se o

transdutor a diversas pressões conhecidas através de um padrão e faz-se a leitura da

indicação em mV. Em seguida constrói-se um gráfico da pressão p versus a leitura em

mV. Na maioria dos transdutores encontrados no mercado, dentro de uma faixa


102

adequada, a variação é linear entre p e mV, restando apenas determinar os valores da

constante (off set) e do coeficiente (ganho), através de uma regressão linear, conforme

gráfico da figura seguinte.

Seja p = a + b.mV, com a e b conhecidos, a reta obtida, denominada de curva

de calibração. Nesse caso, as pressões aplicadas podem ser conhecidas, medindo-se a

mV e com a curva de calibração.

Fig. xxx – Esquema de uma reta de calibração de um barômetro eletrônico.

3.6.2 – Medidores de pressão relativa

São denominados de manômetros os dispositivos de medida da pressão em

relação à pressão atmosférica. São muitos os princípios utilizados para medição da

pressão relativa, pressa manométrica ou pressão efetiva. Esses equipamentos, quando

submetidos a uma pressão igual à pressão atmosférica devem indicar zero.

a) Manômetro de Bourdon

É um aparelho usado para medir pressões superiores à pressão atmosférica,

formado por um tubo curvo e achatado dentro do qual é aplicada a pressão que se quer

medir. A deformação devida a aplicação da pressão é sentida por um mecanismo de

amplificação de sinal e transmitida a um ponteiro que se desloca sobre uma escala

convenientemente construída, na unidade que se quer medir a pressão. Nesse caso o

valor da pressão é lido diretamente no ponteiro, sobre a escala de medição, conforme

ilustra o esquema da figura seguinte. A unidade de pressão da escala pode ser a mais


103

variada possível. É comum graduações em lbf/pol2 (psi), kgf/cm2, mmHg, kPa, mca,

dentre outras.

Fig. xx – Esquema de um manômetro de Bourdon, para a unidade de pressão U(p).

A forma do tubo curvo pode ser um C, uma ferradura ou espiralada. A seção do

tubo achatado pode ser elíptica. O material pode ser tomback (liga de aço e latão), latão,

aço inoxidável ou plástico duro.

A pressão lida será p = pabs – patm, sendo

admitida como a pressão no centro da escala do

aparelho. Aparelhos de grande sensibilidade, ao medir a

pressão de líquidos devem ter a sua indicação corrigida

da posição.

Correção de posição do manômetro.

Para se obter a pressão correta em um ponto A

conforme ilustrado na figura, adicionar ou subtrair a parcela devida à pressão relativa.


104

pA = pM + γ.h � para o caso do manômetro se encontrar acima do ponto cuja

pressão deseja-se medir.

pA = pM - γ.h � para o caso do manômetro se encontrar abaixo do ponto cuja

pressão deseja-se medir.

O equipamento é encontrado em vários formatos, com diversos tamanhos

relacionados com a sua exatidão e para diversas faixas de pressão a serem medidas.

Cada tipo construtivo pode ter características adequadas ao processo no qual a pressão

precisa ser conhecida.

Classes de exatidão para manômetros:

CLASSE EXATIDÃO

A4 0,10 % da faixa

A3 0,25 % da faixa

A2 0,50 % da faixa

A1 1,00 % da faixa

A 1,00 % na faixa de 25 e 75% 2 % no restante da faixa

B 2,00 % na faixa de 25 e 75% 3 % no restante da faixa

C 3,00 % na faixa de 25 e 75% 4 % no restante da faixa

D 4,00 % na faixa de 25 e 75% 5 % no restante da faixa

Tipos de selagem:


Manômetro de Bourdon com Glicerina

São manômetros de Bourdon

de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração

mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar

a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja

medir a pressão. O uso de manômetros secos nessas

condições reduz a vida útil das engrenagens,

inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido

de enchimento do manômetro melhora a precisão do

instrumento e facilita a leitura pela redução das

oscilações.

Manômetro de Bourdon com ponteiro de arraste

Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação

da pressão, impossibilitando a leitura máxima.

Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro

é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação

da pressão, permanecendo no ponto máximo

atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro

indicador da pressão retorna ao seu valor normal.

Assim obtém-se um registro da pressão máxima

ocorrida no processo.

de Hidráulica Básica

105

construídos em caixa de latão forjado com anel

de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado para eliminar a vibração

mecânica dos equipamentos ou mesmo para eliminar

a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja

etros secos nessas

condições reduz a vida útil das engrenagens,

inutilizando, rapidamente, o equipamento. O líquido

de enchimento do manômetro melhora a precisão do

instrumento e facilita a leitura pela redução das

teiro de arraste

Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem rápida variação

da pressão, impossibilitando a leitura máxima.

Nesse caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro

é arrastado juntamente com o ponteiro da indicação

ermanecendo no ponto máximo

atingido pela pressão, mesmo quando o ponteiro

indicador da pressão retorna ao seu valor normal.

se um registro da pressão máxima


106

Manômetro Padrão

Manômetro de Bourdon específico para teste, aferição ou calibração de outros

instrumentos medidores de pressão. Muito utilizado em laboratório de calibração de

manômetros ou em situações em que se deseja melhor exatidão da medição. O

mostrador é construído em arco de 270º com divisões

e subdivisões que permitem a determinação exata da

leitura, com auxílio de uma parte espelhada para se

evitar erros de paralaxe na leitura. Assim a imagem

do ponteiro no espelho deve ficar sob o ponteiro, na

condição de leitura. Nesse caso consegue-se precisão

de até +- 02,25% do fundo de escala.

Manômetro de Bourdon com selo tipo diafrágma

Utilizado em processos industriais que

manipulam fluidos corrosivos, viscosos, tóxicos, radioativos ou sujeitos a alta

temperatura. O manômetro é isolado para impedir o contato direto com o fluido do

processo, processo que é denominado de selagem.

A selagem pode ser feita através de um líquido ou

através de um diafragma e um líquido. No primeiro caso é

necessária a utilização de um pote de selagem que

receberá o líquido inerte que ficará em contato com o

bourdon. Geralmente utiliza-se a glicerina como líquido de

selagem. No segundo caso

Manômetro de Bourdon com contatos elétricos


107

Manômetro de Bourdon com contatos elétricos ou magnéticos utilizado para

ligar ou desligar circuitos elétricos na pressão

programada. Podem ter contato elétrico duplo,

substituindo os pressostatos. Os contatos elétricos

são utilizados com alerta de pressão máxima ou

pressão mínima, determinadas previamente.

b) Vacuômetro

É um equipamento destinado a medir pressões inferiores à pressão atmosférica,

construído com um tubo encurvado, à semelhança do tubo de Bourdon, com mecanismo

amplificador, ponteiro e escala. A diferença em relação ao manômetro de Bourdon é

que esse equipamento possui o mecanismo preparado para

medir deformações negativas. Em geral o Bourdon é montado

ao contrário.

Indicação de p < patm e correção de posição ==>

desenvolver o tema

c) Transdutor eletrônico de pressão relativa

O transdutor eletrônico de pressão relativa é um dispositivo que transfere

energia de um sistema hidráulico para um sistema elétrico (indicador). O manômetro de

Bourdon visto, é um transdutor mecânico, pois faz uso de um elemento elástico para

medir uma pressão.

Os transdutores eletrônicos podem ser passivos (que requer alimentação de energia) ou

ativos (que gera a sua própria energia de saída). É formado por uma cápsula na qual


108

existe uma membrana flexível associada a um componente eletrônico capaz de captar as

variações de pressão e enviar um sinal elétrico para um dispositivo

amplificador/indicador. As pressões são aplicadas à cápsula, cuja membrana flexível se

deforma, com a deformação sentida pelo componente eletrônico. Geralmente o

elemento sensor varia a sua resistência, capacitância ou indutância quando submetido a

diferentes pressões. Assim, gera-se um sinal eletrônico que é proporcional à pressão

indicada. A figura seguinte mostra um esquema do transdutor.

Fig. xxx – Esquema de ummanômetro eletrônico

O indicador pode ser de milivoltagem, voltagem, ou corrente. Ele também pode

ser substituído por um dispositivo de saída de sinal que pode ser ligado a um

computador de forma que os valores da pressão são obtidos diretamente.

O sistema requer calibração de forma que pressões

conhecidas devem ser aplicadas à cápsula e os valores dos

sinais de saídas lidos. Se a pressão for p e a saída for mV, um

gráfico será obtido, mostrando uma variação linear entre p e

mV, do tipo p = a + b.mV. Através de uma regressão linear é

possível obter os valores de a (offset) e de b (ganho), conforme

ilustração seguinte.


109

Fig. xxx – Esquema de variação linear em um manômetro eletrônico

d) Piezômetro

É um dispositivo hidráulico que indica a pressão através da própria coluna de

líquido, medida em uma escala associada a um tubo transparente, conforme

esquematizado na figura seguinte.

Fig. xxx – Esquema de um piezômetro.

Da figura, a pressão no interior de um recipiente cheio com um líquido de

massa específica ρ, será dada pela lei de Stevin:

pA = patm + γ.h


110

Considerando-se pressão relativa, basta adotar patm = 0. Nesse caso a pressão em A será:

pA = γ.h

Como h = pA / γ diz-se que h representa a pressão relativa em A.

Quando o líquido é a água a 4ºC, h expressa a pressão em metros de coluna de

água (mca). Assim se h = 1 m diz-se que a pressão é de 1 mca.

Deve ser lembrado que h pode estar sendo influenciado pela capilaridade.

Assim, se o diâmetro do tubo transparente for menor que 10 mm faz-se necessária a

correção devida a capilaridade, que pode ser avaliada pela lei de Jurin-Borelli.

Questão do menisco e da posição de leitura.

Fig. xxx – Meniscos formados por líquidos em tubo de vidro.

e) Manômetro de tubo U

É um dispositivo formado por um tubo transparente em formato de U onde se

insere um líquido manométrico de peso específico conhecido. Uma das extremidades do

tubo é ligada à pressão que se quer determinar e a outra extremidade fica aberta para a

atmosfera. Os meniscos têm a sua posição determinada por uma escala milimetrada e,

através das leituras na escala a pressão será determinada, conforme ilustrado na figura

seguinte.


111

Fig. xxx – Esquema de um manômetro de Tubo em U.

Da definição de peso específico: γ = ρ.g e γm = ρm.g

Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal de um mesmo

fluido:

p1 = p2

Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no interior dos

fluidos, pode-se escrever:

p1 = pA + γ.y

p2 = patm + γm.h

pA = patm + γm.h - γ.y

Em termos de pressão relativa (fazendo patm = 0, pA será uma pressão relativa):

pA = γm.h - γ.y

Quando se tratar de gás, tal que a variação de pressão possa ser desprezada

(γgás.y = 0), a pressão relativa no ponto A será calculada por:

pA = γm.h


112

f) Piezômetros pressurizados

É um equipamento formado por dois tubos transparentes (dois piezômetros)

com uma das extremidades conectadas às fontes de pressão, tanto em A quanto em B, e

as outras conectadas a um reservatório que contenha ar sob pressão, par associados a

uma escala. A pressão no reservatório deve ser suficiente para colocar os meniscos de

separação dos líquidos dentro da escala para leitura das alturas h e y, conforme ilustrado

na figura seguinte.

Fig. xxx – Esquema de piezômetros pressurizados.

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γar = ρar.g


fluidos e desprezando-se a variação da pressão relativa à coluna de ar, pode-se escrever:

pA = par + γA.(∆y + y + h) e pB = par + γB.y

Assim, por diferença encontramos o valor da diferença de pressão entre os

pontos A e B:

pA - pB = ∆pAB = γA.(∆y + h) + (γA - γB) y

Observações:

1. Notar que o valor da pressão do ar, par, não interfere na diferença de pressão.

2. No caso dos líquidos em A e em B serem iguais, isto é, γA = γB = γ, a equação

acima fica simplificada para dar: ∆pAB = γ.(∆y + h).


113

3. S os pontos A e em B estão sobre a mesma horizontal (caso comum em

hidráulica) e γA = γB = γ, a equação para a determinação da diferença de

pressão é reduzida a: ∆pAB = γ.h.

g) Manômetro Diferencial de Tubo U

É um tipo de manômetro capaz de medir a diferença de pressão entre dois

pontos, independentemente dos valores das pressões existentes. É constituído por um

tubo transparente, em forma de um “U”, tendo uma das extremidades conectada ao

ponto A e a outra conectada ao ponto B, parcialmente cheio de um líquido manométrico

de forma a criar dois meniscos de separação dos fluidos com o líquido manométrico,

conforme ilustrado esquematicamente na figura seguinte. Associado ao tubo em “U”

existe uma escala para determinação dos desníveis dos meniscos formados. O fluido

manométrico deve ser imiscível com os dois outros fluidos e ter uma massa específica

maior que as dos fluidos A e B, para que haja uma estabilidade física do dispositivo.

Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de Tubo em U.

Quanto maior a massa específica do fluido manométrico maior será a diferença

de pressão que o equipamento pode medir. Geralmente, para a água ou ar, utiliza-se o

mercúrio metálico. Todavia outros fluidos podem ser utilizados, desde que seja


114

conhecida a sua massa específica. No caso de gases, pode ser usado o álcool, a água,

alguns óleos ou até mesmo alguns compostos de carbono como líquido manométrico.

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g. Nesse caso

γA < γm e γB < γm, para que o líquido manométrico fique em equilíbrio na parte mais

baixa do tubo U.


fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se:

p1 = p2



p1 = pA + γA.(h + y + ∆y)

p2 = pB + γm.h + γB.y

Com a igualdade das pressões nos pontos 1 e 2, tem-se:

pA + γA.(h + y + ∆y) = pB + γm.h + γB.y

Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B será dada por:

pA - pB = ∆pAB = (γm - γA) h + (γB - γA) y - γA ∆y

Observações:

1. Quando se mede a diferença de pressão entre pontos localizados entre dois

líquidos iguais, γA = γB = γ . Nesse caso a diferença de pressão será dada

por: ∆pAB = (γm - γ) h - γ ∆y.

2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os

pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h. Esta equação é muito

utilizada par medir a diferença de pressão em escoamentos de água.

3. No caso de medida da diferença de pressão em gases iguais (γA = γB = γgas

≅ 0), a equação fica reduzida a: ∆pAB = γm h.

4. Se as pressões entre os pontos A e B são iguais (pA =pB) e se os líquidos

também forem iguais (γA = γB = γ), pode-se calcular o desnível entre os


115

pontos A e B, com o uso do manômetro diferencial, pela equação: ∆y =(γm

- γ) h / γ.

h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido

É um dispositivo destinado a medir pequenas diferenças de pressão em

líquidos, formado por um tubo transparente dobrado em forma de “U” invertido, tendo

um dos lados ligado ao fluido do ponto A e o outro ligado ao fluido do ponto B. O tubo

é parcialmente cheio com um líquido manométrico que ocupará a parte mais alta do “U”

invertido, de forma que sua massa específica seja menor que as massas específicas dos

líquidos contidos em A e em B, conforme ilustrado na figura esquemática seguinte.

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g. Para esse

manômetro diferencial,deve-se ter γA > γm e γB > γm, para que possa haver equilíbrio do

sistema conforme indicado.

Fig. xxx – Esquema de um manômetro de Tubo em U invertido.



p1 = p2


116



pA = p1 + γA.(h + y) e pB = p2 + γB (y + ∆y) + γm.h

Subtraindo pB de pA, membro a membro, tem-se:

pA - pB = ∆pAB = p1 + γA.(h + y) - p2 - γB.(y+ ∆y) - γm.h

Já que p1 = p2, o simples re-arranjo dos termos da equação acima dá:

∆pAB = (γA.- γm). h + (γA.- γB).y - γB. ∆y)

A equação acima mostra que quanto menor for a diferença entre as massas

específicas, maior será o h para um mesmo ∆pAB, mostrando que o equipamento deve

ser usado para medir pequenos valores da diferença de pressão. Ela também mostra que

para líquidos diferentes, a posição do manômetro influencia na medida da diferença de

pressão, já que a medida y aparece na equação.

Observações:

1. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γ - γm) h - γ ∆y.

2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é

nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γ - γm) h.

3. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases.

4. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos

também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para

determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.

i) Manômetro Diferencial de Reservatório

É um dispositivo destinado a medir diferenças de pressão entre dois pontos da

mesma forma que no manômetro diferencial de tubo “U”, com a vantagem de se fazer

uma única leitura da coluna do líquido manométrico. Ele é formado por um tubo U

transparente, ligado a um reservatório que contém o fluido manométrico. Do lado do

reservatório se conecta a maior pressão (no caso do ponto A). Do lado do tubo

transparente se conecta à menor pressão (ponto B), conforme ilustração esquemática na

figura seguinte. A coluna de fluido manométrico pode ser determinada com a ajuda de


117

uma escala milimétrica cujo zero se encontra na exata posição em que o líquido

manométrico se encontra em equilíbrio quando não houver diferença de pressão

aplicada.

Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de reservatório.

Ao ser submetido a uma diferença de pressão, o nível do líquido manométrico

desce no interior do reservatório, de uma quantidade ∆h ao passo que a coluna sobre no

interior do tubo transparente. É preciso adicionar o valor de ∆h ao valor de h lido na

escala do equipamento, para que a real coluna de líquido manométrico que estará

equilibrando a diferença de pressão aplicada seja determinada. Outra opção é construir

uma escala que fornece a real altura da coluna de líquido manométrico, conforme

indicado adiante neste texto.

A relação entre ∆h e h pode ser estabelecida lembrando que o volume de fluido

correspondente ao abaixamento do nível no reservatório é o mesmo que adentrou ao

tubo transparente. Assim, sendo A a área transversal do reservatório e a a área da seção

transversal do tubo transparente, tem-se:

A ∆h = a h

Então,

∆h = a/A h.


118



p1 = p2



p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y

Assim, teremos:

pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y

Logo,

∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y

Substituindo ∆h teremos:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y

Para evitar cálculos com a relação de área, os fabricantes do manômetro criam

uma escala corrigida para h, tal que h´= (a/A +1) h. Nesse caso, o valor da altura

corrigida é lida diretamente na escala e a expressão para o cálculo da diferença de

pressão fica análoga à que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:

∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Observações:

1. A equação acima mostra que se os dois líquidos são diferentes, a posição do

equipamento (y) deve ser levada em consideração no cálculo da diferença de

pressão.

2. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γm - γ) h´ - γ ∆y.

3. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre os pontos é

nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h´.

4. O equipamento não se presta para a medida da diferença de pressão em gases.

5. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa líquidos

também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser usado para

determinar o desnível entre os pontos A e B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.


119

j) Manômetro de tubo inclinado

É um tipo de manômetro diferencial utilizado para medição de pequenas

diferenças de pressão. É formado por um reservatório ligado a um tubo transparente,

parcialmente cheio com um líquido manométrico de massa específica conhecida,

conforme ilustrado na figura seguinte. Aplica-se a pressão maior na tomada de pressão

conectada ao reservatório e a pressão menor na extremidade do tubo transparente. O

desnível da coluna de líquido manométrico necessária para equilibrar a diferença de

pressão é medida diretamente em uma escala construída adequadamente. Com esse

desnível determina-se a diferença de pressão causadora do desnível na coluna do

manômetro.

Quando a diferença de pressão for nula, o nível do menisco do líquido

manométrico deve coincidir com o zero da escala. Quando aplicada uma diferença de

pressão, o líquido abaixa, ligeiramente, de uma altura ∆h dentro do reservatório. Ao

mesmo tempo, o líquido sobe de uma altura h dentro do tubo transparente. Sendo as

áreas das seções transversais do reservatório e do tubo transparente constantes, haverá

uma relação entre ∆h e h, obtida à partir da consideração das áreas e dos volumes.

Fig. xxx – Esquema de um manômetro diferencial de tubo inclinado.


120

Assim, sendo A a área da seção transversal do reservatório, a a área da seção

transversal do tubo transparente e L o comprimento do tubo correspondente à altura h,

tem-se:

A.∆h = a.L

O valor de h pode ser determinado por L e pelo ângulo θ formado pelo eixo do

tubo transparente e uma linha horizontal, de forma que:

h = L.senθ

O valor do ângulo θ é pequeno, de forma que L é bem maior que h. Em muitos

equipamentos o valor do ângulo θ varia entre 5º e 12º. Se a escolha de θ for tal que senθ

= 0,100, vê-se que L = 10.h. Medindo-se L, ao invés de h, tem-se uma melhor precisão,

daí a justificativa para o uso de tal equipamento.

Considerando dois pontos, 1 e 1, sobre a mesma superfície de nível que

coincida com o nível o líquido manométrico no interior do reservatório, pode-se

escrever que:

p1 = p2



p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y

Assim, teremos:

pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y

Logo,

∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y

Substituindo ∆h teremos:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y

Mas, foi visto que h = L.senθ, de forma que:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1).L.senθ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Duas possibilidades podem ocorrer. A primeira é construir uma escala

milimétrica para leitura de L, em seguida realizar os cálculos para se obter a diferença


121

de pressão. Outra possibilidade é construir uma escala especial onde será lançado o

valor h´ = (a/A + 1) ).L.senθ. Nesse caso, o valor da altura corrigida é lida diretamente

na escala para ser usada na expressão para o cálculo da diferença de pressão, análoga à

que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:

∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Observações:

1. A utilização do equipamento, quando se tratar de dois líquidos diferentes,

deve levar em conta a posição do equipamento (y), conforme visto na

equação anterior.

2. Caso o equipamento estiver sendo utilizado para dois líquidos iguais (γA =

γB = γ), a diferença de pressão será dada pela equação: ∆pAB = (γm - γ) h´ -

γ ∆y.

3. No caso de mesmo líquido, tanto em A quanto em B, (γA = γB = γ ) e a

diferença de nível entre os pontos for nula (∆y = 0), tem-se a seguinte

equação para avaliar a diferença de pressão: ∆pAB = (γm - γ) h´.

4. O equipamento é bastante utilizado para a medida da diferença de pressão

em gases, caso em que a equação utilizada será: ∆pAB = γm h .́

5. Quando se quer determinar o pequeno desnível entre os pontos A e B,

decorrente do fato das pressões nos pontos A e B serem iguais (pA =pB), no

os líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), o desnível entre os pontos

A e B, será dado pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.

O manômetro pode ser utilizado, ainda, para se obter pequenas diferenças entre

uma pressão e a pressão atmosférica. Para tal, basta deixar a tomada de pressão do lado

do tubo transparente aberta para a atmosfera. A pressão medida, nesse caso, será a

pressão relativa no ponto A.

k) Manômetro de Betz

É um equipamento fabricado especialmente para determinação de diferença de

pressão em gases. É formado por um reservatório e um tubo transparente, associados a


122

um sistema ótico capaz de projetar o menisco formado em uma escala ampliada,

melhorando a precisão na medida da altura h de uma coluna de um fluido manométrico,

em geral água, embora o álcool também possa ser utilizado. O preciso valor de h é

medido com ajuda do sistema ótico.

O manômetro de Betz possui duas tomadas de pressão. Uma para a pressão

maior e outra para a pressão menor. Sendo γm o peso específico do líquido manométrico,

a diferença de pressão entre dois pontos A e B, onde está presente ar ou um certo gás, à

partir da medida da altura h no equipamento, será dada por:

∆pAB = γm h.

Exemplo:

Suponhamos que o fluido manométrico que está sendo utilizado no manômetro

de Betz seja a água e que esta se encontre a 20ºC (equilíbrio com o ar atmosférico no

local da medição). Consultando uma tabela, encontra-se a massa específica da água

igual a 998,2 kg/m3. Sendo a leitura do manômetro igual a 22,55 mm, num local onde a

aceleração da gravidade seja g = 9,78 m/s2, calcular a diferença de pressão entre as

tomadas de maior e de menor pressão:

Solução:

∆pAB = γm h = ρm.g.h.

∆pAB = 998,2 . 9,78 . 0,0225

∆pAB = 219,7 Pa

l) Manômetro de Prandtl

É um tipo de manômetro construído com um reservatório, onde se coloca um

líquido manométrico de peso específico conhecido. Este reservatório é ligado a um tubo

flexível que tem uma parte transparente, inclinada e fixa, onde é feita uma marca de

referência. O reservatório está preso a um sistema que se movimenta na vertical, através

de um parafuso micrométrico, associado a uma escala de leitura do movimento vertical,


123

conforme mostra a figura seguinte. É bastante utilizado para medidas em gases ou

mesmo quando se pretende determinar pequenas variações de altura de água. Nesse

último caso o líquido manométrico é a própria água.

Quando a diferença de pressão for nula, entre o reservatório e o tubo inclinado,

o menisco formado pelo fluido manométrico deve estar sobre a marca de referência no

tubo transparente inclinado. Quando uma diferença de pressão é aplicada, o menisco

será deslocado para cima ou para baixo no tubo flexível. Com o parafuso micrométrico

desloca-se o reservatório contendo o fluido até que o menisco volte à posição inicial

indicado pela referência no tubo inclinado. Nesse caso, basta verificar a altura deslocada

pelo reservatório, h, para se efetivar o cálculo da diferença de pressão aplicada, através

da equação:

∆pAB = γm h = ρm.g.h.

A fim de se evitar problemas com a tensão superficial, recomenda-se que o

movimento do menisco seja realizado sempre no mesmo sentido, de quando o

equipamento foi zerado. Assim, se para obter o zero o reservatório foi movimentado no

sentido ascendente, recomenda-se que a posição de medição seja atingida

movimentando-se o reservatório no sentido ascendente.


124

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - PRESSÃO

1. Em uma localidade a pressão atmosférica é expressa por uma coluna de mercúrio (a

0ºC) de 760 mm. Calcular o valor dessa pressão em kgf/m2 e em Pa, bem como a

altura da coluna de água equivalente. Considerar a massa específica do mercúrio

igual a 13.595,1 kg/m3.

Solução

Resposta: patm = 101.328,6 Pa e patm = 10.332,28 kgf/m2.


125

2. Quais os valores das pressões absoluta e relativa a 10 m de profundidade na água do

mar, de densidade 1,024, sabendo-se que a leitura de um barômetro na superfície

da água indica 758 mm de mercúrio? Considerar a massa específica do mercúrio

igual a 13.595,1 kg/m3.

Solução

Resposta: prel = 100.423,7 Pa e pabs = 201.485,7 Pa


126

2a. Um reservatório cilíndrico, de 2,0m de diâmetro, contendo água a 20 ºC é suspenso

pelas laterais. Determinar a força aplicada pela água no fundo do reservatório,

quando o nível da água atingir a 1,0 m do fundo. Dado: massa específica da água a

20 ºC vale 998,2 kg/m3.


127

3. Desprezando o peso do recipiente da figura, determinar a força que tende a levantar o

topo circular AB, sabendo que a massa específica do óleo vale 800 kg/m3.

Solução

Resposta: F = 4.492,0 N


128

4. O tubo mostrado na figura encontra-se cheio de um óleo de densidade 0,810. Os

recipientes A e B contém o mesmo óleo, sendo que o líquido em B não estabelece

contato com a atmosfera exterior (recipiente fechado). Sabendo-se que a pressão

atmosférica local é de 1,013*105 Pa e que o sistema se encontra em equilíbrio

(velocidade no tubo nula), calcular a pressão absoluta nos pontos X e Y indicados

na figura. Considerar a massa específica da água igual a 1.000 kg/m3.

Solução

Resposta: pX = 85.412,7 Pa e pY = 93.356,3 N.


129

5. O reservatório da figura é fechado e está parcialmente cheio de um líquido de

densidade 0,880. A pressão manométrica obtida pela leitura do manômetro M tem

valor igual a 3,20*104 Pa. Determinar a pressão no fundo do reservatório e a altura

de elevação da coluna líquida no tubo vertical, h.

Solução

Resposta: pfundo = 44.082,2 Pa e h = 6,108 m.


130

6. Os recipientes da figura têm a mesma área de fundo, A, e contêm o mesmo líquido de

densidade d, até às alturas indicadas. Calcular a força resultante da pressão no

fundo de cada recipiente. Considerar d = 0,850 e A = 3,5 m2.

Solução

Resposta: F = 145.879,1 N para os casos a e b.

F = 291.758,3 N para os casos c, d e e.


131

7. Calcular o valor da força F a ser aplicada no êmbolo menor da prensa hidráulica

mostrada na figura, necessária para equilibrar a carga F´ de 4.400 kgf no êmbolo

maior. Os cilindros e a tubulação estão cheios de um óleo cuja densidade é 0,780 e

as seções transversais dos êmbolos têm área de 40 cm2 e 4.000 cm2.

Solução

Resposta: F = 42,752 kgf ou F = 419,3 N.


132

8. Considerar um fluido em um reservatório onde o seu peso específico varia

linearmente com a profundidade, h, segundo a equação γ = γo + K.h, onde γo é o

peso específico do fluido a uma profundidade h e γo é o peso específico do fluido na

superfície livre do mesmo, onde atua uma pressão atmosférica, po. Partindo da

equação diferencial da Hidrostática, determinar uma expressão para a pressão no

fluido a uma profundidade h.

Solução

Foi dado que se h = ho = 0 � p = patm = po. e γ = γo.

Para uma dada profundidade h, tem-se que o peso específico é γ e a pressão é p, função

de h.

A equação fundamental da hidrostática diz que dp = -γ.dz, sendo o eixo Oz vertical e

voltado para cima. Adotando-se um eixo h vertical e voltado para baixo, certamente dz

= -dh, logo:

dp = γ.dh

Integrando a equação acima, desde po onde a profundidade é h = 0 até p, onde a

profundidade é h, tem-se:

∫∫ =hp

pdhdp

o 0γ � ( )∫ −=

h

opp dhKhp

o 0] γ �

h

oo

Khhpp

0

2

2

−=− γ

Assim, 2

2Khhpp oo −+= γ � h

Khpp oo

−+=2

γ

Observar que, nesse caso, a pressão varia com a profundidade segundo uma parábola.


133

9. Um reservatório hermeticamente fechado está parcialmente cheio de ar a uma pressão

de 25 psi, indicada por um manômetro M, conforme mostrado na figura seguinte. Do

lado direito do reservatório existe uma saída que se comunica com um cilindro de 10

cm de diâmetro, fechado por um êmbolo onde está aplicada uma força F, indicada.

Do lado esquerdo do reservatório existe um manômetro de mercúrio, de tubo em U.

Adotar a massa específica da água como sendo 1.000 kg/m3.

Nesse caso pede-se:

a) Calcular a força F, vertical, para cima, a ser aplicada sobre o êmbolo que pesa 100 N,

para que o sistema fique em equilíbrio.

b) Calcular o desnível, ∆h, no manômetro de mercúrio de tubo em U, sabendo que a sua

massa específica vale 13.545,2 kg/m3.

Solução

a) Cálculo de F:

Considerar os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 indicados na figura.

Segundo a lei de Stevin: p1 = p4 + γ.(0,5 + 1,0 +2,0).

Mas p4 = par = pM, assim p1 = pM + γ.(3,5).


134

pM = 25 psi = 25 lbf/pol2 = 25*0,4536 kgf/pol2

pM = 25*0,4536*9,80665 N/pol2 = 25*0,4536*9,80665/0,02542 N/m2

Ou pM = 25*6.894,87 Pa

Assim, pM = 172.371,8 Pa.

Então, substituindo na expressão de p1, tem-se:

p1 = 172.371,8 Pa + 1.000 kg/m3*9,807 m/s2*3,5 m = 172.371,8 Pa + 34.324,5 Pa

p1 = 206.696,33 Pa

Por definição de pressão: p1 = Fn.A. Assim, Fn = p1*A, onde Fn é a força devida à

pressão sobre a área horizontal do êmbolo que encerra a água no cilindro.

Fn = 206.696,33 Pa*π*d2/4 = 206.696,33 Pa*3,142*0,12/4

Fn =206.696,33 Pa*0,007854 m2. � Fn = 1.623,4 N

Supondo o êmbolo em equilíbrio, sujeito às forças F para cima, Fn para baixo e o peso P

para baixo, tem-se:

Fn + P – F = 0 � F = Fn + P = 1.623,4 N + 100 N

� F = 1.723,4 N.

b)


135

10. A figura apresenta dois manômetros diferenciais de mercúrio (ρm = 13.545 kg/m3)

sendo utilizados para a medida da diferença

de pressão entre duas tubulações A e B,

que estão com um desnível z = 1,50m,

conforme mostrado na figura. As duas

tubulações conduzem água (ρ = 998,2

kg/m3) e o espaço acima dos manômetros

diferenciais também está cheio de água.

Determinar a diferença de pressão entre as

tubulações A e B (centro das seções

transversais), em Pa e em metro de coluna

de água.

Solução

Resposta: Dif. Pressão entre A e B = pA – pB = 157.581,0 Pa.

(pA – pB)/γa = 16,068 m.


136

11. A água escoa através da tubulação horizontal mostrada na figura, a uma dada vazão.

Entre os pontos A e B indicados na figura, foi instalado um manômetro diferencial

de tubo em U invertido, contendo um óleo de massa específica 827 kg/m3, que

atuará como líquido manométrico. Quando o desnível h mostrado na figura abaixo

for igual a 866 mm, determine a diferença de pressão entre os pontos A e B.


137

12. O vacuômetro V, mostrado na figura, indica uma pressão do ar no tanque igual a

–580 mm de Hg. Sabendo que as superfícies da água em ambos os reservatórios, R1

e R2, estão no mesmo nível (mesma cota) e que o reservatório R2 está aberto para a

atmosfera, pede-se:

a) o valor da pressão absoluta do ar no reservatório R1, em Pa, sabendo que a

pressão atmosférica local é de 670 mm Hg (massa específica do mercúrio a 0ºC

vale 13 595,1 kg/m3);

b) o desnível esperado no manômetro diferencial de mercúrio, supondo, nesse caso,

que a massa específica do mercúrio vale 13 540,2 kg/m3.


138

13. A figura apresenta um manômetro diferencial sendo utilizado para a medida da

diferença de pressão entre as seções das tubulações que conduzem os líquidos A

e B. Determine esta diferença de pressão entre os pontos A e B (centro das

seções transversais, em Pa, sabendo-se que: o peso específico do líquido A é

γA =8 400 N/m3, o peso específico do líquido B é γB= 12 300 N/m3, o peso

específico do líquido manométrico (mercúrio) é γHg= 133 300 N/m3.

Resposta:

∆pAB = -94.660 Pa


139

14. Determine as pressões relativas (em mca) e absolutas (em Pa) do ar dentro do

reservatório e do ponto M mostrado na figura abaixo. Sabe-se que a pressão

atmosférica local é de 735 mmHg. Consultando uma tabela encontrou-se que a

densidade relativa do óleo usado é 0,85 e a do mercúrio 13,56. A massa específica

do mercúrio a 0oC é de 13595,1 kg/m3 e a da água a 4oC é de 1000 kg/m3.


140

15. No Laboratório de Hidráulica você realizou um ensaio de calibração de um

manômetro eletrônico digital. Como padrão usou-se um manômetro de Mercúrio

de tubo em U com uma das extremidades aberta para a atmosfera. Pode ser

observado que uma das tomadas de pressão do manômetro eletrônico também

estava aberta para a atmosfera. A outra tomada de pressão do manômetro

eletrônico estava conectada a uma câmara de pressão, juntamente com a segunda

tomada do manômetro de Mercúrio de tubo em U. Nessa calibração foram usados

apenas dois pontos sendo que o primeiro deles corresponde a uma pressão padrão

igual a 20 cm de mercúrio e a uma indicação digital de 33,33 mV. Para o segundo

ponto, a pressão padrão estabelecida foi de 60 cm de mercúrio e a indicação digital

de 100,00 mV. Admitindo uma variação linear da pressão sobre o manômetro com

a indicação digital do transdutor e que a massa específica do mercúrio é igual a 13

536,0 kg/m3, determinar:

a) a equação que converte a leitura digital indicada pela manômetro eletrônico

digital (em mV) em pressão relativa (use o Sistema Internacional de

Unidades);

b) o erro percentual devido a uma medida de confirmação em que o equipamento

em calibração indicava 59,98 mV para uma pressão relativa correspondente a

36,0 cm de mercúrio


141

16. Determinar a diferença de pressão entre as tubulações A e B mostradas na figura,

ambas cheias de água cuja massa específica é de 998,2 kg/m3. Esta montagem é

uma associação de dois manômetros em série sendo que o óleo do reservatório,

de massa específica 820,0 kg/m3, é usado apenas para conectar os dois

manômetros. Todas as dimensões necessárias estão indicadas esquematicamente

na figura.


142

3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS

Quando um líquido entra em contato com uma superfície sólida que o encerra,

a pressão irá originar uma força sobre essa superfície. É de fundamental importância

determinar essa força resultante da pressão sobre as superfícies que estão em contato

com os fluidos. Tal força deverá ser determinada em módulo, direção, sentido e ponto

de aplicação.

No caso da superfície submersa no fluido ser plana, o cálculo da força é

facilitado e as equações mais simples.

3.7.1 – Caso da superfície horizontal:

Considerar o caso de uma superfície plana e horizontal, que está sob a ação de

um líquido de massa específica ρ. Esse é caso típico de se calcular a força sobre o fundo

plano e horizontal de reservatórios ou piscinas. Nesse caso a pressão sobre um elemento

de área será dada por:

p = dF / dA

onde dF é o módulo da força elementar, perpendicular ao elemento de área dA e p é a

pressão resultante sobre esse elemento de área. Assim, tem-se:

∫∫ =∴=∴=AA

pdAFdFFdApdF .

Nesse caso, sabe-se que p = γ.h, sendo h a profundidade em que se encontra o fundo,

em relação à superfície livre do líquido. Notar que h é constante para qualquer dA que

se adote, sobre A. Nesse caso, escreve-se:

AhFdAhdAhFpdAFAAA

γγγ =∴==∴= ∫∫∫ ou F = p.A.

Observar que a profundidade h é a mesma profundidade em que se encontra o centro de

gravidade de A, hA. Assim, pode-se escrever que F = γ.hG.A. Tal força, em módulo,


143

vale o produto entre o peso específico do líquido, a profundidade em que se encontra o

centro de gravidade da área considerada e a própria área.

A direção do vetor força é vertical e o sentido de cima para baixo já que

consideramos o líquido sobre a superfície. O problema maior é determinar o ponto de

aplicação dessa força. Para tanto, ver os elementos envolvidos na figura seguinte.

Fig. xxx – Força sobre uma área plana horizontal.

O ponto de aplicação da força F é dado pelo centro de gravidade de um prisma

construído sobre a área A, com os lados proporcional à pressão em cada lado,

denominado de prisma das pressões. Para construir esse prisma, tracemos, sobre cada

um dos lados que compõem a área, um comprimento proporcional à pressão naquele

lado, sempre perpendicular à área, conforme mostrado pelas linhas vermelhas na figura

anterior. Esse prisma terá um centro de gravidade, agora denominado centro das

pressões. É exatamente por tal ponto que passa a força resultante da ação do líquido

sobre a área A. Às vezes fica muito difícil desenhar o prisma das pressões para áreas que

não sejam horizontais. Assim, por simplicidade, representa-se tudo em um plano

vertical, perpendicular à área considerada, passando pelo Centro de pressão. A figura

anterior ilustra o centro das pressões, CP, projetado sobre a área A, que nesse caso é

coincidente com o centro de gravidade da área. Quando a superfície deixar de ser

horizontal, esses dois pontos não serão mais coincidentes. Desta forma o vetor força,

resultante da ação do líquido sobre a área A fica determinado em módulo, direção,

sentido e ponto de aplicação.


144

3.7.2 - Caso de superfície vertical:

Considerar, agora, o caso de se calcular a força devida a ação de um líquido

sobre uma superfície plana e vertical, conforme ilustrado na figura seguinte. Esse é o

caso de se caso de se calcular a força sobre paredes verticais dos reservatórios.

A pressão sobre uma área infinitesimal continua sendo p = dF/dA, porém tal

pressão não é mais constante, como no caso anterior. Nesse caso, conforme o dA que se

considere, existirá uma dada profundidade h, diferente. Diz-se, que h varia conforme o

dA escolhido. Assim,

∫ ∫∫ ==∴=∴=A AA

hdAdAhFpdAFdApdF γγ.

Como h varia com dA, a integral acima não pode ser encontrada, para cálculo

de F, há menos que se conheça a forma de variação de h com dA, o que será feito mais

adiante. A direção da força será horizontal, já que todos os vetores dA são

perpendiculares a área A e o sentido é da direita para a esquerda, no caso indicado na

figura seguinte.

Fig. xx – Força sobre uma superfície plana e vertical.

Para se encontrar o ponto de aplicação de F é preciso construir o prisma das

pressões e encontrar o seu centro de gravidade. Tal prisma sempre será construído

tomando, sobre os lados que forma a área considerada, comprimentos perpendiculares à


145

área e proporcionais à pressão no ponto considerado, conforme indicado na figura

anterior. Assim se constrói um paralelepípedo trapezoidal, cuja base é a área A

conforme indicado. O ponto CP, centro das pressões, é o centro de gravidade do prisma

das pressões construído. No caso em foco, a projeção desse ponto sobre a área A estará

abaixo do centro de gravidade da área. Essa é uma característica do centro das pressões.

Pelo centro das pressões traça-se um vetor F perpendicular a A, determinando-se, assim

a força sobre A, em módulo, direção, sentido e ponto de aplicação.

Por questões de simplicidade, conforme já dito, a representação do problema

pode ser feita através de um plano perpendicular a A e que passe pelo centro das

pressões, CP, conforme ilustrado no lado direito da figura anterior, onde é mostrado

apenas uma face do prisma das pressões.

3.7.3 - Caso de superfície inclinada:

No caso da parede do reservatório na qual se deseja calcular a força resultante

da pressão ser inclinada, conforme ilustrado na figura seguinte, usa-se o mesmo

raciocínio. Resolver a integral para encontrar o módulo de F, construir o prisma das

pressões, agora com a base inclinada, encontrar o centro das pressões e localizar o vetor

F. A figura seguinte mostra o prisma numa figura tridimensional, à esquerda, e o corte

vertical com os elementos envolvidos, à direita.

Figura xx - Força sobre uma superfície plana inclinada ==> refazer essa figura


146

3.7.4 - Caso geral de superfície inclinada:

Seja o caso geral em que se tem uma área A, representada por AB na figura

seguinte, contida em um plano (π), inclinado de um ângulo α com a horizontal. A

superfície livre do líquido, sobre a qual age a pressão atmosférica, está contida no plano

(Σ). Considerar a interseção do plano (π) com o plano (Σ), que, nesse caso formará um

eixo horizontal que será denominado eixo O-O’. Para que seja possível ver a superfície

considerada, de área A, representada pelo segmento AB, é necessário rebater o plano

(π), que contém a área A, em torno do eixo AO, conforme ilustrado na figura XX

seguinte. Após tal rebatimento, pode-se ver a área A, genérica, como ilustrado na figura

seguinte. Nessa figura é mostrada a posição do centro de gravidade, G, e a projeção do

centro de gravidade do prisma das pressões sobre a área, CP. Nesse caso, o prisma das

pressões é um paralelepípedo reto, cuja base tem área A. O cálculo dos centros de

gravidade, tanto de A quanto do prisma das pressões é um mero exercício de geometria,

que o leitor deverá dominar.

As profundidades dos pontos A, B, G e CP serão denominadas por hA, hB, hG, e

hp, respectivamente. São distâncias verticais medidas desde a superfície livre do líquido.

Uma outra forma de referenciar os elementos envolvidos no problema é considerar as

distâncias medidas ao longo do plano que contém a área A, desde o eixo O-O’ até o

ponto, representadas por l . Assim tem-se as distâncias da superfície até os pontos A,

B, G, CP, respectivamente, Al , Bl , Gl e pl .


147

Fig. xx – Elementos envolvidos no cálculo da força sobre uma superfície plana inclinada de forma genérica.

O vetor força F deverá ser calculado em módulo, direção, sentido e ponto de

aplicação, no caso CP. Para calcular o módulo do vetor F, tomar uma área infinitesimal,

dA, formada, aproximadamente, por um retângulo de base a e largura ld , tal que a seja

horizontal, conforme indicado na figura xx anterior. Assim, ldadA .= e sobre dA

estará agindo uma força cujo módulo é dF. Essa área dA se encontra a uma

profundidade h, indicada na figura anterior. Pode-se escrever que:

∫ ∫∫ ==∴=∴=A AA

hdAdAhFpdAFdApdF γγ.

Na figura pode-se notar a presença de alguns triângulos retângulos

semelhantes. Da semelhança de triângulo, as seguintes relações trigonométricas podem

ser encontradas:

p

p

G

G

B

B

A

Ahhhhh

senlllll

=====α

Considerando que αsenh .l= e, com α e γ constante, tem-se:


148

∫∫ ==AA

dAsendAsenF .... ll αγαγ

A integral da equação acima é o momento estático (momento de primeira ordem) da

área A em relação ao eixo O-O’. O cálculo ensina que a referida integral é igual ao

produto da área ela distância do centro de gravidade da área até o eixo O-O’, isto é:

AdA G

A

.. ll =∫

Logo,

( ) AsenF Gl.. αγ=

Como GG hsen =α.l , finalmente se escreve que:

AhF G..γ=

Essa é a expressão a ser utilizada para se calcular a intensidade (módulo) da força

resultante da pressão sobre a superfície plana inclinada AB, de área A. Lembrar que

Gh.γ é a pressão existente no centro de gravidade de A, a qual é denominada de pG. É

por isso que os engenheiros dizem que a força resultante da ação de um líquido sobre

uma superfície plana vale o produto da pressão no centro de gravidade da área e a

própria área. Tal força terá, sempre, a direção da perpendicular à área A e sentido do

líquido para a superfície plana.

Para realizar o cálculo da posição do centro das pressões, seja pelo

conhecimento de ph ou de pl , é preciso se considerar o momento da força elementar

dF em relação ao ponto O. Tal momento será perpendicular ao plano definido por dF e

O e terá o sentido da regra do “saca-rolhas”, estudada no curso de cálculo vetorial.

Assim,

dAsendMdFdM oo ... 2 αγ ll =∴=

Na equação acima, dF foi substituída pelo seu valor dAsen .. αγ l . Assim, o momento

total de todas as forças dF, será:

∫∫ =∴=A

o

A

oo dAsenMdMM .. 2 αγ l


149

Sendo α e γ constantes, a equação de Mo pode ser escrita como:

∫=A

o dAsenM ... 2lαγ

A integral presente na equação de Mo é conhecida como momento de inércia (momento

de segunda ordem) da área A em relação ao eixo O-O’, sendo representado por Io. Esse

momento de inércia é uma propriedade geométrica de A e do eixo em relação ao qual

ele está sendo calculado. Logo, simplificadamente, o momento do sistema de forças

paralelas dF será:

αγ senIM oo ..=

Entretanto, se a força F for conhecida e se a distância até o eixo O-O’ também

fosse conhecida, tal momento poderia ser calculado como sendo:

po FM l.=

Mas, o momento de um sistema de forças paralelas em relação a um dado ponto é igual

ao momento da resultante desse sistema de forças em relação ao mesmo ponto. Ora, F é

a resultante do sistema de forças dF. Logo pode-se escrever que:

poo FsenIM l... == αγ

Assim, pode-se explicitar o valor de pl , distância do ponto onde está aplicada a força

F até o ponto O, na superfície livre, o que dá:

A

I

G

op

ll =

Como Io depende da área A e do eixo que em relação ao qual se calcula o

momento de inércia (eixo O-O’), é conveniente escrever esse momento em função

apenas da área, o que permite que ele seja determinado de antemão e tabelado para as

diversas áreas. Para tanto usa-se o teorema do eixo paralelo ou teorema de Huygens-

Steyner, para se trabalhar com o momento de inércia em relação a um eixo que passe

pelo baricentro da área A e que seja paralelo ao eixo O-O’, portanto paralelo à

superfície livre do líquido.


150

O teorema do eixo paralelo permite relacionar o momento de inércia de uma

área em relação a um dado eixo com o momento de inércia da mesma área em relação a

um outro eixo que lhe seja paralelo e, colocado a uma distância d um do outro conforme

ilustrado na fig. xx, seguinte.

Fig. xx – Teorema do eixo paralelo, com eixo baricêntrico e eixo original.

O teorema do eixo paralelo permite escrever que:

AII GGo .2l+=

Nessa equação, Io é o momento de inércia de A em relação ao eixo O-O’ e IG é o

momento de inércia de A em relação a um eixo que passe pelo centro de gravidade de A

(eixo baricêntrico) e que seja paralelo ao eixo O-O’. Substituindo esse valor na equação

de lp, tem-se:

A

I

G

GGp

lll +=

Lembrando que αsenhG

G =l e que αsenhp

p =l e, por substituição na

equação acima, tem-se uma equação útil para se calcular a profundidade do centro de

pressão, medida à partir da superfície livre do líquido, conforme abaixo.

α2senAh

Ihh

G

GGp +=

Observações:


151

1. IG é o momento de inércia da área A em relação a um eixo baricêntrico

paralelo à superfície livre do líquido, sendo sempre positivo. Tal valor pode

ser encontrado nos livros de geometria analítica, para diversas formas da área

A.

2. Como IG, hG e A são sempre positivos, assim como o valor do sen2α, a

segunda parcela da equação anterior será sempre positiva, de maneira que se

conclui que o centro das pressões estará sempre abaixo do centro de gravidade

da área A.

3. Para uma mesma área A e um mesmo ângulo de inclinação com a horizontal,

α, observa-se que quanto mais profunda estiver a área, menor será a distância

entre o centro de gravidade da área e o centro das pressões. Em alguns casos,

quando hG for elevada, costuma-se considerar, por aproximação, que hG e hp

são iguais, para todos os propósitos práticos.

Lembretes: A título de recordação, deve ser lembrado que:

1) O momento de ordem zero de uma área, A, será a própria área.

∫=A

o dAM

2) O momento de primeira ordem de uma área em relação a um eixo é o produto

da distância desse eixo ao centro de gravidade da área multiplicado pela

própria área.

AxxdAMA

.1 == ∫

3) O momento de segunda ordem de uma área em relação a um eixo deverá ser

obtido pela equação dada a seguir, estando tabelado para diversas formas das

áreas para os eixos baricêntricos:

y

A

IdAxM == ∫2

2


152

4) O raio de giração de uma área A, propriedade geométrica dessa área, muito

utilizado pelos engenheiros, é definido como k2:

AIk G=2

5) Centro de gravidade e momento de inércia de algumas figuras simples.

5.1) Retângulo:

Área: A = b.h; 2bx = ; 2

hy = ;

123bhIG =

5.2) Triângulo:

Área: A = b.h /2; 2bx = ; 3

hy = ;

363bhI G =

5.3) Círculo:

Área: A = πD2 /4; 0=x ; 0=y ; 64

4DI Gπ=

5.4) Semi-círculo:


153

Área: A = πD2 /8; 0=x ; πR

y34= ;

1284DIG

π=

5.5) Quadrante de círculo:

Área: A = πD2 /16; πR

yx34== ;

25616

44 DRI G

ππ ==

5.6) Área definida por elipse:

Área: A = πbh /4; 0== yx ; 643bhIG

π=

5.7) Área definida por semi-elipse:

Área: A = πbh/4; 0=x ; πh

y34= ;

3

16bhI G

π=

5.8) Setor de uma parábola:

Área: A = 2bh/3; bx8

3= ; hy53= ; 32

bhIG π=


154

5.9) Setor de parábola com simetria:

Área: A = 2bh/3; 0=x ; hy53= ; 3

21

bhI G =

5.10) Trapézio:

Área: A = (b + B).h/2;

definirx = ;

definiry = ;

322 4

361

hbB

bBbBI G

+++=

5.11) Figuras compostas por retângulo e triângulo:

Área 1: A1 = ab; x1 = b/2 e y1 = a/2

Área 2: A2 = bh/2; x2 = b/2 e y2 = a+h/3

Área: A = ab + bh/2

x = b/2 por simetria

y = (y1A1 + y2A2)/(A1 + A2)

5.12) Figuras compostas por duas circunferências, sendo uma delas vazia:

Área 1: A1 = ab; x1 = 0 e y1 = b/2

Área 2: A2 = πR2; x2 = 0 e y2 = R


155

Área: A = A1 - A2

x = 0 por simetria

y = (y1A1 - y2A2)/(A1 - A2)

Exemplos

1. Calcular a força devida à ação da água sobre um comporta plana, retangular, AB,

quando o nível da água atingir o ponto B, conforme mostrado na figura.

Considerar que a comporta tem um comprimento H e uma largura L e que se

encontra inclinada de um ângulo α em relação ao plano horizontal.

Solução:

AB = H Área = L.H e Peso específico: γ = ρ.g

Profundidade centro de gravidade de AB: hG = (H/2).senα

Módulo da força: F = γ.hG.A ou F = γ.(H/2).senα.L.H

αγ senLHF 2

21=

Direção: perpendicular a AB


156

Sentido da água para a comporta AB.

Ponto de aplicação: CP que será dado por lp.

Al

Ill

G

GGp += ou

HHH

LHH

LHH

l p 3

2

622

122

3

=+=+=

Assim a força resultante das pressões sobre a comporta AB estará aplicada a um ponto

situado a 2H/3 da superfície, ao longo de AB.

Em termos de profundidade:

hG = lG.senα = H.senα / 2

A força sobre a superfície plana AB será:

αγ senLHF 2

2

1=

O ponto de aplicação da força será dado por:

α2senAh

Ihh

G

GGp += ou

αααααα

HsenHsenHsen

senLH

Hsen

LHHsen

hp 3

2

622

122

2

3

=+=+=

Observação:

se a profundidade da lâmina d´água for h = H.senα, tem-se que hhp 32= .

2. Barragem de gravidade: caso simples de dimensionamento. Seja uma barragem de

forma retangular, de altura h e largura L, com espessura b, usada para barramento

de um líquido de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme


157

ilustrado na figura. Determinar a espessura que a barragem deve ter, para que haja

equilíbrio, sabendo que o material usado na sua construção tem peso específico γm.

Solução:

Área: A = L.h

Profundidade do centro de gravidade da área submersa: hG = h/2.

Módulo da força devida a ação da água: AhF Gγ=

2

21

2LhLh

hF γγ ==

Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp

90

2

122

2

3

2 senLh

h

Lhh

senAh

Ihh

G

GGp +=+= α o que dá:

3

2hhp =

O peso da barragem pode ser calculado por: LhbVP molm γγ == . Ele estará

atuando no centro de gravidade da barragem, pondo CG na figura xx.


158

Como a alvenaria não trabalha bem sob tração, a resultante das forças sobre a

barragem, Rr

, deve passar, no máximo, por um ponto E, situado a uma distância y de B,

tal que y = 2.b/3, sendo VH RRRrrr

+= .

Supondo, por simplicidade dos cálculos, que apenas as forças devida a ação da água

sobre AB, o peso e a força resultante da ação do solo sobre a barragem devam agir, a

condição de equilíbrio será:

0=∑ iFr

e 0=∑ BMr

Portanto, como todas as forças estão em um mesmo plano, podemos reescrever a

condição de equilíbrio da seguinte forma:

0=∑ HF , 0=∑ VF e 0=∑ BM (os momentos anti-horários serão positivos).

Logo

2

2

10 LhFRFR HH γ==∴=− e LhbPRPR mVV γ==∴=− 0

00.32

0 =−−+∴=∑ yRRh

Fb

PM VHB

Substituindo os valores: 03

20

32

1

22 =−−+ bLhb

hLh

bLhb mm γγγ

322

6

1

2

1

3

2LhLhbhLb mm γγγ +=

Simplificando: 222

6

1

2

1

3

2hbb mm γγγ += ou 22 hb

mγγ=

Finalmente, tem-se: hbmγ

γ=

A equação anterior demonstra que a espessura da barragem depende da raiz

quadrada da relação entre os pesos específicos do líquido e do material de que é feita

essa barragem e da profundidade do líquido.

Seja um caso em que γ = 9807 N/m3 e γm = 14710 N/m3.

Nesse caso b = 0,817.h ou a espessura da barragem deve ser cerca de 82% da

profundidade da lâmina d´água.


159

3. Barragem de gravidade: caso mais geral de dimensionamento. Seja uma barragem de

gravidade, prismática e de paramento de montante plano, de altura h e largura L,

com espessura no topo b e largura na base B, usada para barramento de um líquido

de peso específico γ, com profundidade também igual a h, conforme ilustrado na

figura. Relacionar as forças presentes e propor um esquema de solução do

problema, para que haja equilíbrio, sabendo que o material usado na sua

construção tem peso específico γm.

Solução

Peso do prisma retangular de volume V1: P1 = γmV1.

Peso do prisma triangular de volume V2: P2 = γmV2.

Força devida a ação da água: AhF Gγ= ou 2

2

1

2LhLh

hF γγ ==

Empuxo de subpressão (valor aproximado): Es = F/3.

Profundidade de atuação da força devida a ação da água: hp

90

2

122

2

3

2 senLh

h

Lhh

senAh

Ihh

G

GGp +=+= α o que dá:

3

2hhp =

Ponto de aplicação do empuxo de subpressão (aproximado): x' = 2B/3.


160

Rx e Ry componentes da resultante das forças (R) sobre a barragem: 22yx RRR +=

Condição de equilíbrio:

Rx = F e Ry = P1 + P2 - Es

0=∑ OM ou P1.x1 + P2.x2 +F.(h-2h/3) - Es.x' - Ry.x - Rxx0 = 0

Essas três equações permitem o cálculo das duas componentes da resultante R e da

distância da componente Ry até o ponto O. Também impondo condições extras sobre o

comportamento da barragem (onde deve atuar a força resultante) é possível dimensionar

a barragem.

Lembre-se que o problema foi simplificado, em relação a um caso real.

4. Caso de uma comporta reguladora de nível: seja uma comporta composta por duas

superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 60º, usada para

regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 0,60 m de largura, pesa

2200 N, tem o comprimento OB igual a 1,20 m e é livre para girar em torno de um

eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado

em um ponto situado a 0,37 m à direita de O e 0,27 m acima de O. Determinar

para quais valores da profundidade h a comporta permanecerá fechada,

desprezando-se eventuais forças de atrito presentes.

Solução:


161

Dados: L - 0,60 m, OB = 1,20 m, P = 2200 N, x = 0,37 m, y = 0,27 m.

Dos triângulos semelhantes: G

G

p

p

l

h

l

h

OA

hsen ===α

OA = h/sen60 = 1,1547.h

Cálculo da força devida a ação da água na superfície OB: F1

Módulo: 111 AhF Gγ= ou OBhLF .1 γ= ou hF 04,70611 =

Direção: vertical

Sentido: de baixo para cima

Ponto de aplicação: CP1 coincidente com CG1

hhG =1

Cálculo da força devida a ação da água na superfície OA: F2

Módulo: 222 AhF Gγ= ou OALh

F .22 γ= ou 2

2 25,3397 hF =

Direção: perpendicular a OA (fazendo 30º com a horizontal)

Sentido: da água para OA.

Ponto de aplicação: CP2 dado por hp2

hg2 = h/2 ; lG2 = OA/2 e A = OA.L

Al

Ill

G

GGp

2

222 += ou

°

+=

°

+=

602

12º602..

602

12

.

º602

23

2

sen

h

OA

sen

h

OALsen

h

OAL

sen

hl p

hl p 7698,02 =

Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula é necessário que a soma

dos momentos de cada uma das forças também o seja. Assim, adotando como centro de

momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos positivos, tem-se:


162

0=∑ OM ou P.x + F2.(OA - 0,7698h) - F1.OB/2 = 0

2200x0,37 + 3397,25h2.(1,1547h - 0,7698h) - 7061,04hx1,2/2 = 0

h3 - 3,24h + 0,625 = 0.

A solução da equação acima fornece 3 valores de h, sendo um deles negativo, o

que fisicamente não é solução do problema. Resolvendo-se, uma das raízes é 0,194 m e

a outra é 1,695 m.

Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta

estará fechada sempre que a soma dos momentos de todas as forças for negativo, o que

ocorre quando h estiver entre 0,194 m e 1,695m.

5. Caso de comportas reguladoras de nível: seja uma comporta composta por duas

superfícies planas OC e OB, formando entre si um ângulo α = 90º, usada para

regular o nível da água em uma barragem. A comporta tem 1,20 m de largura, pesa

5,0 kN, tem o comprimento OB igual a 1,50 m e é livre para girar em torno de um

eixo horizontal passando por O. O centro de gravidade da comporta está localizado

em um ponto situado a 0,50 m à direita de O e 0,60 m acima de O. Determinar o

valor da profundidade h para que a comporta inicie o processo de abertura,

desprezando-se eventuais forças de atrito presentes.


163

Solução

Cálculo da força sobre a superfície OB: F1

Módulo: 111 AhF Gγ= ou OBhLF .1 γ= ou hF 6,176521 =

Direção: vertical

Sentido: de baixo para cima

Ponto de aplicação: CP1 coincidente com CG1

hhh pG == 11

Cálculo da força devida a ação da água na superfície vertical OA: F2

Módulo: 222 AhF Gγ= ou OALh

F .22 γ= ou 2

2 2,5884 hF =

Direção: horizontal

Sentido: da água para a superfície OA.

Ponto de aplicação: CP2 dado por hp2

hg2 = h/2 e A = OA.L

Ah

Ihh

G

GGp

2

222 += ou


164

hhh

h

OAh

OALh

OALh

hp 3

2

622

122..

2

12.

2

23

2 =+=+=+= , o que dá hhp 667,02 =

Para que haja equilíbrio, além da resultante das forças ser nula, é necessário

que a soma dos momentos de cada uma das forças também se anule. Assim, adotando

como centro de momentos o ponto O e o sentido horário como o de momentos

positivos, tem-se:

0=∑ OM ou P.x + F2.(h - 0,667h) - F1.OB/2 = 0

5000x0,50 + 5884,2h2.0,333h - 17652,6hx1,5/2 = 0

h3 - 6,75h + 1,2746 = 0.

A solução da equação acima fornece três valores de h, sendo um deles negativo

(h = -2,688 m), o que não é solução do problema físico. As demais raízes do polinômio

do terceiro grau são h1 = 0,190 m e h2 = 2,498 m.

Como a equação acima é resultante dos momentos, observa-se que a comporta

estará aberta sempre que a soma dos momentos de todas as forças for positiva (maior

que zero), o que ocorre quando h for inferior 0,190 m e quando h for superior a 2,498 m.

Isso pode ser facilmente visto no desenho abaixo.


165

3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas

Quando se trata do cálculo dos esforços resultante da pressão sobre uma

superfície curva submersa, é preciso considerar que os vetores forças elementares

agindo sobre elementos de área não têm a mesma direção, o que invalida a utilização da

técnica apresentada para o cálculo dos esforços sobre superfície plana submersa. A

figura xx ilustra a variação da força elementar com a direção e com a profundidade.

Figura xx - Representação da força elementar que age sobre um elemento de área horizontal da superfície curva AB.

AB agora é uma superfície curva.

dA elemento de área a uma profundidade h

Fdr

vetor força resultante da ação da pressão sobre dA


166

módulo: dF = p.dA = γhdA ==> variável com h.

Direção: θ com a vertical, nesse caso variável com h.

Sentido: do líquido para a área dA

Ponto de aplicação: centro de gravidade de dA

A força Fdr

pode ser decomposta em duas componentes, uma segundo a direção

horizontal e outra segundo a direção vertical, conforme ilustrado na figura xx, de forma

que:

VH FdFFdrrr

+=

Figura xx - Representação da força infinitesimal e suas componentes horizontal e

vertical.

O seu módulo será: 22

VH dFdFdF +=

Direção: V

H

dF

dFtg =θ

O esforço total Fr

sobre a área curva A será calculado através das componentes

horizontal e vertical da força total exercida pelo fluido sobre a superfície curva AB.


167

3.8.1 - COMPONENTE HORIZONTAL: HFr

Módulo: dFH = dF.senθ

dF = p.dA, p = γ.h e dFH = γ h dA.senθ

Pela figura xx, nota-se que a projeção da área dA em um plano vertical é dAV,

tal que: dAV = dA.senθ. Da mesma forma, a projeção de dA em um plano horizontal

será dAH = dA.cosθ.

Substituindo dA.senθ tem-se: dFH = γhdAV. A componente horizontal, em

módulo, será, portanto: ∫∫ ==VV A VA HH dAhdFF γ . Para γ constante, essa integral é

semelhante à integral calculada para uma superfície plana vertical, de área Av, projeção

da área A em um plano vertical, sendo dada por:

VGH AhF 'γ=

onde h'G é a profundidade do centro de gravidade de AV em relação à superfície livre do

líquido e AV é o valor da projeção da área da superfície curva sobre um plano vertical.

Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da

componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre uma superfície curva AB.


168

A direção de FH é horizontal

O sentido de FH é do líquido para a superfície curva

O ponto de aplicação seria o centro das pressões correspondente AV, CP', dado

pela profundidade h'p calculada através da equação análoga ao caso de uma superfície

plana vertical VG

GGp Ah

Ihh

'

''' += , onde I '

G é o momento de inércia da projeção AV, em

relação a um eixo horizontal coincidente com a superfície livre o líquido e pertencente

ao plano definido por AV.

3.8.2 - COMPONENTE VERTICAL: VFr

Módulo: dFV = dF.cosθ

dF = p.dA, p = γ.h e dFV = γ h dA.cosθ

Verificando que dAH = dA.cosθ, pode-se escrever que dFV = γ h dAH, onde dAH é a

projeção da área dA em um plano horizontal e h a profundidade em que se encontra essa

projeção.

A componente vertical da força devida a ação das pressões sobre a área curva AB, em

módulo, será dada por ∫∫ ==HH A HA VV hdAdFF γ .

Matematicamente, a parcela h.dAH representa o volume elementar de fluido (real ou

virtual), dVol, que existe acima da superfície dA, até à superfície livre do líquido,

conforme visto na figura xx. Nesse caso, tem-se:

∫=HA olV dVF γ


169

Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre uma

superfície curva AB.

Como o peso específico é constante e pode ser retirado de dentro da integral, o

volume de fluido (real ou virtual) acima da superfície curva AB será ∫=A olol dVV , de

forma que

olV VF γ= .

Como γ.Vol é o peso do fluido contido no volume, diz-se que a componente

vertical da força F é igual ao peso do fluido deslocado, à semelhança do empuxo sobre

um corpo.

Direção: vertical.

Sentido: sempre voltada do líquido para a superfície curva AB.

Ponto de aplicação: Gv

A componente vertical da força resultante da ação das pressões sobre a

superfície curva AB estará aplicada no centro de gravidade do volume Vol, ponto a que


170

denomina-se de Gv, cujas coordenadas são xV e yV. A determinação das coordenadas de

Gv resulta de simples cálculos do centro de gravidade de um volume.

Lembrete:

ol

V ol

V V

xdVx ol

∫= e

ol

V ol

V V

ydVy ol

∫=

3.8.3 - FORÇA TOTAL RESULTANTE DAS PRESSÕES SOBRE UMA

SUPERFÍCIE CURVA:

O cálculo da força total resultante das pressões sobre uma superfície

curva será determinada pelas suas componentes horizontal e vertical já determinadas de

forma que:

VH FFFrrr

+=

Como Fr

é o resultado da soma de duas forças perpendiculares entre si, é fácil calcular

essa força partindo de suas componentes, conforme elementos representados na figura

xx.

Módulo: 22

VH FFF +=

Direção: data através de um ângulo α feito pela direção da força e a vertical, tal que

V

H

F

Ftg =α . Assim

=

V

H

F

Farctgα


171

Figura xx - Elementos envolvidos na determinação do módulo da força resultante da ação da pressão sobre uma superfície curva AB, através de suas componentes horizontal

e vertical.

Sentido: sempre do líquido para a superfície curva AB.

Ponto de aplicação: será o ponto I, dado pelas coordenadas xI e yI. A abscissa xI será

determinada à partir da escolha do referencial e da coordenada xV, abscissa do ponto de

aplicação da componente vertical. A ordenada yI será determinada pela escolha do

referencial e da distância h'p que define o ponto de aplicação da componente horizontal.


172

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1. Determinar a espessura de uma tubulação de diâmetro interno D, feita de um material

cuja tensão de tração é σ, para suportar a ação de uma pressão p.

Solução:

Seja uma tubulação de comprimento L e raio R. Separando apenas uma metade

da tubulação, a força de tração a que o tubo está submetido devida à ausência da outra

metade será: T1 = T2 = T. A força resultante da pressão na parede interna do tubo,

considerando-se apenas a metade destacada, será F.

Para que haja o equilíbrio das forças segundo o eixo horizontal deve-se ter: T1

+ T2 - F = 0 ou seja F = T + T. Logo F = 2T.

Assim: T = F/2.

A força resultante da pressão, será VVG pAAhF == γ .

Mas AV = 2R.L, o que dá T = p.2R.L/2 ou T = pRL.

A tensão de tração é definida como sendo σ = T/A, sendo A = e.L.

Substituindo os valores tem-se pRLeL =σ . O que resulta em uma pressão dada por:

eR

pσ= ou e

Dp

σ2=

A equação acima mostra que a pressão máxima que um tubo pode suportar

depende da tensão normal de tração do material do tubo, do diâmetro e da sua

espessura.


173

2. Calcular a força resultante da ação da pressão sobre uma superfície curva formada

pela quarta parte da superfície de um cilindro de raio R igual a 1,00 m e de eixo

horizontal com altura L igual a 1,40 m. O líquido em contato com a superfície

cilíndrica é a água, de massa específica igual a 1000 kg/m3, cuja superfície livre se

encontra h igual a 0,50 m acima do eixo do cilindro, conforme ilustrado na figura.


174


175

3. Uma comporta é formada pela quarta parte de um cilindro de raio igual a 2,00 m e

eixo horizontal de 1,50 m de altura, construído com um material tal que o peso do

cilindro será de 2,00 kN. O centro de gravidade do cilindro se encontra situado em

um ponto a 0,80 m a esquerda e 0,90 m abaixo do seu centro. A água de massa

específica 1000 kg/m3, está sendo barrada pelo cilindro e atinge a altura h igual a

4,00 m acima do ponto A, conforme indicado na figura. A comporta cilíndrica pode

girar livremente em torno do ponto O, articulação de eixo horizontal. Nesse caso

pede-se:

a) a componente horizontal da força resultante da ação da pressão sobre a superfície

curva AC;

b) a componente vertical da força resultante da ação da pressão sobre a superfície curva

AC;

c) o valor de uma força externa Fa, vertical, para cima, aplicada no ponto A, destinada a

abrir a comporta formada pela quarta parte do cilindro descrito.

d) o momento da força Fa em ralação ao ponto O.


176


177

4. HIDRODINÂMICA

Definição: - É a parte da Hidráulica encarregada do estudo do movimento dos fluidos e

das suas causas.

Escoamentos dos fluidos estão sujeitos a:

� Determinadas condições gerais

� Princípios fundamentais

� Leis da dinâmica

� Teoria da turbulência

Na hidráulica, a hidrodinâmica estuda o movimento dos líquidos,

correlacionando esse movimento com as causas desse movimento. O caso do estudo dos

líquidos em repouso ou com movimento retilíneo uniforme já foi visto no capítulo

anterior.

4.1. Generalidades

Para o estudo do movimento dos líquidos faz-se necessário estabelecer a

posição de alguns pontos no espaço ocupado pelo líquido em seu movimento.

O movimento pode ser descrito de duas formas distintas. A descrição

Lagrangeana consiste, basicamente, em seguir cada partícula fluida no espaço, (através

do vetor de posição de cada partícula fluida) e aplicar as leis básicas da mecânica para

cada uma dessas partículas em movimento. A segunda forma é a descrição Euleriana, na

qual um volume finito definido no espaço é estudado, através das variáveis de campo


178

presente nesse volume, que podem ser função da posição e do tempo. Essa é a forma

comumente utilizada no estudo da hidráulica.

Seja um fluido em escoamento e P a posição de um dado ponto no espaço, em

um dado instante. Seja (ℓ) a trajetória descrita pelo ponto P no seu movimento. A

posição de um ponto no espaço pode ser definida a partir de um referencial Oxyz, que

na maior parte das vezes é um referencial cartesiano tri-ortogonal, de origem O e eixos

Ox, Oy e Oz, ortogonais entre si, conforme ilustrado na figura seguinte. Quando o ponto

P se movimenta, a sua posição varia com o tempo, de forma que pelo menos uma das

coordenadas desse ponto muda com o tempo.

A posição do ponto P pode ser univocamente estabelecida, fornecendo-se os

valores de x, y e z, distâncias do ponto aos planos coordenados yOz, xOz e xOy,

respectivamente. O terno de valores x, y e z é conhecido como coordenadas cartesianas

do ponto P em relação ao referencial cartesiano tri-ortogonal Oxyz.

Figura 01 - Ponto P e suas coordenadas cartesianas.

P ≡ (x, y, z) � coordenadas cartesianas do ponto P, que definem

um único ponto P do espaço.


179

A posição do ponto P no espaço também poderia ser estabelecida através de

um vetor de origem O e extremidade P, denominado de vetor posicional de P. Tal vetor,

rr

, resulta da soma dos vetores deslocamentos em relação a cada um dos eixos

coordenados, ixr

, jyr

e kzr

e a sua expressão cartesiana fica sendo:

kzjyixrrrrr ++=

Sendo ir

, jr

e kr

os vetores unitários das direções Ox, Oy e Oz, respectivamente.

Cada ponto do espaço possui um vetor rr

, que pode estar variando com o

tempo. Assim )(trrrr = . Se há movimento do ponto P, ele é definido no tempo

quando se conhece a função )(trr

, ou as coordenadas cartesianas x, y e z, tal que:

x = x(t) \ y = y(t) |> � equações paramétricas da trajetória z = z(t) /

Se o ponto P muda de posição em um intervalo de tempo muito pequeno, dt, denomina-

se vetor deslocamento infinitesimal ao vetor rdr

dado por:

kdzjdyidxrdrrrr ++=

Quando se relaciona este deslocamento infinitesimal com o intervalo de tempo

correspondente, define-se o vetor velocidade, Vr

, tal que:

kwjviudt

kzjyixd

dt

rdV

rrrrrrr

r++=++== (

onde,

dt

dxu = ,

dt

dyv = e

dt

dzw = são as componentes cartesianas do

vetor velocidade. Nesse caso o vetor velocidade, pode ter seus atributos determinados(módulo, direção e sentido.

O módulo será dado por 222 wvuVV ++==r

.

A direção será dada pelos cossenos diretores: Vu=αcos ; Vv=βcos ;

Vw=γcos . Assim, o unitário da direção do vetor velocidade será

kjiuV

rrrr)(cos)(cos)(cos γβα ++= , com VuVV

rrr= .

O sentido do vetor velocidade será o sentido do movimento.


180

Fig. xx - Componentes do vetor velocidade no espaço.

Como temos infinitos pontos no espaço ocupado pelo fluido no seu escoamento

e, a cada ponto corresponde um vetor velocidade, conclui-se que Vr

depende da posição

e do tempo, de forma que se escreve ),,,( tzyxVVrr

= para expressar tal dependência,

sendo tal equação a representação do campo de velocidades existente numa dada região

do espaço, em qualquer instante de tempo. Nesse caso, as componentes cartesianas do

vetor velocidade também dependem da posição e do tempo, relação esta que se escreve

genericamente da seguinte forma:

u = u (x,y,z,t)

v = v (x,y,z,t)

w = w (x,y,z,t)

Da mesma maneira, podemos pensar em um campo de pressões dado por p = p

(x,y,z,t), um campo de massa específica dado por ρ = ρ (x,y,z,t), um campo de


181

aceleração dado por ),,,( tzyxaarr = ou mesmo de um campo de forças

),,,( tzyxFFrr

= . Como exemplo de um campo de velocidades poderíamos ter um

escoamento jviuVrrr

+= tal que jyixVrrr

)3,02,1()06,02,0( −++= . Lembre-se de

que o vetor velocidade será nulo na posição P=(-0,33;4,00). A título de exemplo, calcule

o vetor velocidade, o seu módulo e a sua orientação no espaço, para um partícula fluida

que se encontre na posição P=(2;3).

Em geral Vr

muda com o tempo e com a posição, de maneira que em uma

posição genérica, P, Vdr

será o vetor velocidade infinitesimal, correspondente a

mudança de Vr

ness intervalo de tempo infinitesimal dt. Assim, pode-se definir o vetor

aceleração como sendo:

dt

Vda

rr =

Substituindo o vetor velocidade por sua expressão cartesiana, tem-se:

( )dt

kwjviuda

rrrr ++= ou kajaiak

dt

dwj

dt

dvi

dt

dua zyx

rrrrrrr ++=++=

com

ax = ax (x,y,z,t);

ay = ay (x,y,z,t);

az = az (x,y,z,t);

A expressão cartesiana do vetor aceleração será

),,,( tzyxakajaiaa zyx

rrrrr =++= , sendo ),,,( tzyxaarr = o campo de aceleração na

posição definida por x, y e z e no instante genérico t. As componentes cartesianas do

vetor aceleração podem ser obtidas, lembrando que as derivadas a serem calculadas são

de funções que dependem da posição e do tempo.

Para o eixo Ox, o cálculo diferencial ensina, pela regra da cadeia, que a

diferencial da variável u será:

dtt

udz

z

udy

y

udx

x

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=


182

Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

u

z

uw

y

uv

x

uu

dt

duax ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

Para o eixo Oy, tem-se, de maneira análoga:

dtt

vdz

z

vdy

y

vdx

x

vdv

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Dividindo-se ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

v

z

vw

y

vv

x

vu

dt

dvay ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

De maneira análoga, para o eixo Oz, tem-se:

dtt

wdz

z

wdy

y

wdx

x

wdw

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Ao dividir ambos os membros da equação acima por dt, tem-se:

t

w

z

ww

y

wv

x

wu

dt

dwaz ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂==

Assim, a expressão cartesiana do vetor aceleração no escoamento de um fluido

será obtido substituindo as derivadas na equação de ar

, para se obter:

+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= j

t

v

z

vw

y

vv

x

vui

t

u

z

uw

y

uv

x

uua

rrr

kt

w

z

ww

y

wv

x

wu

r

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

Nessa equação, ∂ foi usado para representar a derivada parcial de uma

grandeza e d para representar a derivada total. Alguns autores, ao escrever a equação de

ar

costuma usar a letra D para diferenciar a derivada total e denominam tal derivada de

derivada substancial. Todavia, isso não é necessário, desde que seja admitido que o

vetor velocidade é função do espaço e do tempo. Nesse caso, escreve-se que:

Dt

VD

dt

Vda

rrr ==

As vezes é de interesse, escrever a equação do vetor aceleração de uma forma

mais compacta, tal que:


183

( )

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=== dt

t

Vdz

z

Vwdy

y

Vvdx

x

V

dtV

dt

d

dt

Vda

rrrrr

rr 1 ou

t

V

z

Vw

y

Vv

x

Vua

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

rrrrr

Assim, o vetor aceleração será dado como uma função do espaço e do tempo,

cujas componentes cartesianas,, u, v e w, serão calculadas através das três equações

acima, de uma forma ou de outra.

Deve ser observado que cada uma das componentes do vetor aceleração estão

compostas de quatro parcelas. As três primeiras representam a aceleração que se

observa ao se mudar de um a outro ponto no espaço, num mesmo instante, sendo

denominada de aceleração convectiva. A quarta parcela representa a aceleração que se

observa em um mesmo ponto do espaço, na medida em que o tempo passa, sendo

denominada de aceleração local. Portanto, é comum escrever-se, genericamente, que:

),,,( tzyxaarr = = locconv aa

rr +

Nessa equação, o vetor aceleração tem, agora, duas componentes: o vetor aceleração

convectiva e o vetor aceleração local. Conforme dito anteriormente, a primeira

componente diz respeito a variação da velocidade com a posição num mesmo instante,

ao passo que a segunda componente representa a variação da velocidade com o tempo,

em uma mesma posição do espaço.

O vetor aceleração convectiva será dado por:

kz

ww

y

wv

x

wuj

z

vw

y

vv

x

vui

z

uw

y

uv

x

uuaconv

rrrr

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= ou

z

Vw

y

Vv

x

Vuaconv ∂

∂+∂∂+

∂∂=

rrrr

O vetor aceleração local será escrito da seguinte forma:


184

kt

wj

t

vi

t

ualoc

rrrr

∂∂+

∂∂+

∂∂=

ou

t

Valocv ∂

∂=r

r

O vetor aceleração também pode ser obtido e escrito, na forma vetorial, mais

compacta, a partir da definição do operador gradiente, a ser aplicado sobre uma

variável, definido da seguinte forma:

kz

jy

ix

rrrr

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Multiplicando escalarmente o vetor velocidade pelo operador gradiente, tem-se um

novo operador que pode ser aplicado sobre uma grandeza, conforme a equação seguinte.

Lembrar que o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo é um e que o

produto escalar de vetores unitários normais entre si é zero.

( )

∂∂+

∂∂+

∂∂⋅++=∇⋅ k

zj

yi

xkwjviuV

rrrrrrrr

Logo,

zw

yv

xuV

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅

rr

Esse novo operador pode ser aplicado sobre o vetor velocidade, para dar:

( )z

Vw

y

Vv

x

VuVV

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅

rrrrrr

Observar que o segundo membro da equação acima é exatamente a expressão do vetor

aceleração convectiva. Portanto, é comum escrever a expressão do vetor aceleração em

um campo de escoamento de um fluido, na forma compacta, da seguinte forma:

( )t

VVVa

∂∂+∇⋅=r

rrrr

Observação:


185

1. Se o escoamento for permanente, o vetor aceleração local será nulo e o vetor

aceleração será: ( )VVarrrr ∇⋅= .

2. Se o escoamento for uniforme, o vetor aceleração convectiva será nulo e o

vetor aceleração será apenas t

Va

∂∂=r

r .

Nos caso considerados, as variáveis x, y, z e t são denominadas de variáveis

independentes e as variáveis dependentes são velocidade, aceleração, quantidade de

movimento, energia, dentre outras.

Nos problemas envolvendo a hidrodinâmica normalmente podemos escrever

até seis equações envolvendo até seis incógnitas, o que permite solucionar os mais

diversos problemas relacionados aos escoamentos dos líquidos. Estas equações são:

Equações Básicas:

• 3 equação do movimento

• 1 equação da continuidade

• 1 equação da energia

• 1 equação de estado


186

4.2. Exemplo de aplicação

Seja o escoamento permanente de água através de um bocal cônico

convergente, instalado no final de uma tubulação de área A. Determinar o módulo do

vetor aceleração.

Figura 02 - Escoamento através de um bocal cônico convergente.

Solução

O vetor velocidade média será unidimensional, estando ao longo da direção

Ox. O seu valor não varia com o tempo, todavia varia ao longo do bocal desde um valor

V1 até um valor V2, maior, no final da distância ∆x.

Nesse caso, u varia desce V1 até V2, v = w = 0. Tem-se, também, ∂u/∂t =

v∂u/∂y = w∂u/∂z = 0, de forma que ax = u∂u/∂x. Como não há movimento nas direções

de Oy e de Oz, tem-se, ainda, ay = az = 0, assim como todas as parcelas dessas

componentes.

O problema, agora é calcular u e a sua derivada em relação a x. Uma

aproximação usual é adotar u = (V1 + V2) / 2 e ∂u/∂x = (V2 - V1)/ ∆x.

Logo,

x

VVVV

x

uuax ∆

−+=∂∂= 1221 .

2, o que resulta em

x

VVax ∆

−=2

21

22 .

PONTO DE VISTA DE EULER X PONTO DE VISTA DE LAGRANGE

Ver desenvolvimento no quadro


187

4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS

A natureza do escoamento de um fluido real é um pouco complexa, visto que

as leis básicas que descrevem o seu movimento na têm uma formulação muito simples,

levando a complexas equações matemáticas. Para evitar esse problema, é comum fazer

uso de recursos experimentais, para melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao

movimento dos fluidos.

No estudo do movimento dos fluidos aparecem muitos conceitos básicos que a

seguir serão recordados.

Sistema: quantidade definida de matéria, distinta de todo o restante do meio

que o cerca, separada para efeito de estudos. O sistema possui uma quantidade de massa

perfeitamente caracterizada. A lei da conservação da massa afirma que a massa de um

sistema permanece constante com o tempo, de maneira que matematicamente se pode

escrever que dm/dt = 0, sendo m a massa total do sistema e t o tempo.

Fronteira do sistema: superfície fechada que delimita o sistema. Ela pode

variar com o tempo, todavia terá sempre a mesma massa.

Volume de controle: é uma região do espaço ocupada por um fluido, escolhida

para realizar a análise de um escoamento. Às vezes é denominado de sistema aberto. A

forma e o tamanho do volume de controle podem variar, além de poder serem arbitradas

livremente nos problemas.

Superfície de controle: superfície fechada que delimita o volume de controle.

Através dela pode haver ou não passagem de massa. É comum fazer coincidir parte da

superfície de controle com as paredes sólidas que delimitam um escoamento e outra

parte com superfícies definidas perpendicularmente aos escoamentos.


188

Trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados

sucessivamente por um ponto durante o seu movimento. Pode-se imaginar a trajetória

como sendo o rastro deixado pelo ponto durante o seu movimento.

Linha de corrente, também denominada de linha de fluxo, é lugar geométrico

dos pontos do espaço tangente à direção do vetor velocidade no ponto. Duas linhas de

corrente não se cruzam. A equação da linha de corrente é decorrente de se considerar o

deslocamento infinitesimal de um ponto, na mesma direção e sentido do vetor

velocidade, de forma que pode-se demonstrar que w

dz

v

dy

u

dx == , onde dx, dy e dz são

as componentes cartesianas do vetor deslocamento infinitesimal e u, v e w as

componentes cartesianas do vetor velocidade ao longo dos eixos coordenados,

respectivamente. Nos escoamentos permanentes não há variação da direção dos vetores

velocidades, de modo que as linhas de correntes são fixas no espaço, com inclinações

fixas. Nesse caso a trajetória de uma partícula é a linha de corrente, o que não acontece

nos escoamentos não permanentes, quando as linhas de correntes variam com o tempo

numa dada região do espaço. Linhas de correntes mais próximas entre si indicam

maiores velocidades e mais distantes indicam regiões de menores velocidades.

Fig. 03 – Linhas de corrente de um escoamento e vetor velocidade em um ponto.


189

Tubo de corrente ou tubo de fluxo é definido pelo conjunto das linhas de

corrente que tocam uma linha fechada traçada no interior de um escoamento. O tubo de

corrente é fixo no escoamento permanente e varia com o tempo no escoamento não

permanente. Já que o vetor velocidade num mesmo ponto não pode ter duas direções

num mesmo instante, conclui-se que não poderá haver escoamento através das paredes

de um tubo de corrente.

Fig. 04 – Tubo de fluxo formado por linhas de corrente em um escoamento.

(Refazer esta figura)

4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:

Quando se estuda os líquidos, em especial a água, é comum agrupar os

escoamentos em determinados tipos, com características comuns, para fins de estudos.

Os escoamentos podem ser classificados em função de suas características,

capaz de identificar completamente aquele tipo ou regime de escoamento. Assim é

comum classificar os escoamentos em:

• ideal (invíscido) • real (viscoso, µ≠0)

• uniforme • não uniforme (variado)

• permanente • não permanente (variável)


190

• acelerado • retardado

• compressível • incompressível

• rotacional • irrotacional

• adiabático • unidimensional (grandezas = f(x)

• bidimensional (grandezas = f(x,y) • tridimensional grandezas = f(x,y,z)

• laminar (ação viscosa e velocidade baixa) • turbulento

• forçado (condutos forçados) • livre (canais)

• crítico • fluvial (subcrítico)

• torrencial (supercrítico)

Escoamento de fluido ideal é quando a tensão cisalhante é muito pequena,

tornando-se desprezível. Nesse caso não há atrito e a perda de energia ao longo do

escoamento é desprezível. Também chamado de escoamento de fluido invíscido. Em

alguns casos faz-se a hipótese de escoamento de fluido ideal para se obter equações

simplificadas de um problema real.

Escoamento de fluido real ou escoamento viscoso é aquele para o qual a

tensão cisalhante não é desprezível, devendo ser considerada no equacionamento. Nesse

caso existe influência da viscosidade real (µ≠0), de maneira que o atrito e a perda de

energia ao longo do escoamento existem e precisam ser consideradas. É o caso da

maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza.

Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor velocidade do escoamento

é o mesmo em todos os pontos (em módulo, direção e sentido) em um dado instante.

Diz-se que a derivada parcial do vetor velocidade com a posição é nula (

0=∂∂

posiçãoVr

). Assim não há aceleração convectiva. Costuma-se estender tal

definição para escoamentos que, embora a velocidade varie à partir do contorno sólido

(como é o caso do escoamento de fluido real), a velocidade média mantém-se a mesma

na região estudada, num dado instante. É o caso de escoamentos em condutos retilíneos

de diâmetro constante.


191

Escoamento não uniforme ou variado é aquele para o qual o vetor velocidade

do escoamento varia de um ponto para outro, num mesmo instante. Para tais

escoamentos a derivada parcial do vetor velocidade com a posição não é nula (

0≠∂∂

posiçãoVr

), existindo a aceleração convectiva. É o caso do escoamento em

condutos em que o diâmetro varia ao longo do escoamento.

Escoamento permanente é aquele para o qual as grandezas físicas que

descrevem o escoamento não variam com o tempo numa dada região do espaço. Diz-se

que a derivada parcial da grandeza com o tempo é nula ( 0=∂∂

tgrand ). Nesse caso,

0=∂∂

tVr

, 0=∂∂

tp , 0=∂

∂t

ρ , 0=∂∂

tT , etc. A principal característica é que não

haverá aceleração local, visto que o vetor velocidade não varia com o tempo.

Escoamento não permanente, também denominado de escoamento variável, é

aquele para o qual as grandezas físicas que caracterizam o escoamento variam com o

tempo em uma dada posição do espaço. A derivada parcial das grandezas em relação ao

tempo não é desprezível, devendo ser considerada nesse tipo de escoamento (

0)( ≠∂∂

tgradn ), assim como as derivadas parciais das demais grandezas. Nesse tipo

de escoamento não se pode desprezar a aceleração local.

Um escoamento é dito acelerado quando a velocidade aumenta no sentido do

escoamento, de forma que aparece uma aceleração positiva segundo essa direção. Isso

acontece, nas regiões em que a área da seção transversal do escoamento diminui, como

nos injetores.

Um escoamento retardado é denominado retardado, quando a velocidade

diminui no sentido do escoamento, de maneira a existir uma aceleração negativa, isto é,

o escoamento está sendo freado. Ele pode ser visto em regiões onde a área da seção

transversal vai aumentando, como nos difusores.


192

Um escoamento é dito compressível quando não se pode desprezar a variação

da sua massa específica. É o caso de escoamento de gases em velocidades elevadas ou

mesmo o escoamento de água que fica sujeita a grandes variações na pressão.

Um escoamento é dito incompressível quando a variação da massa específica

puder ser desprezada. É o caso da maioria dos escoamentos de líquidos sujeitos a pouca

variação da pressão. Pode-se admitir escoamento incompressível de ar, quando ele

ocorrer a baixas velocidades (o número de Mach deve ser inferior a 0,3).

Escoamento adiabático é aquele que ocorre sem transferência de calor para o

fluido ou do fluido. Um escoamento adiabático de fluido ideal é denominado de

escoamento isoentrópico.

Um escoamento é irrotacional ocorre quando o fluido não apresenta rotação

num certa região do espaço.

Um escoamento é rotacional quando as partículas do fluido, em uma certa

região do espaço, sofrer uma rotação em torno de um eixo qualquer.

Escoamento unidimensional é aquele em que as grandezas físicas que

caracterizam o escoamento, tais como velocidade, pressão, massa específica, variam

com apenas uma coordenada espacial, além do tempo. Diz-se que tais grandezas variam

apenas em uma única direção, que em geral é a direção na qual o escoamento acontece.

A variação das grandezas ao longo da direção transversal ao escoamento é desprezível.

O escoamento pode ser tratado em termos médios na seção transversal, como ocorre nas

tubulações. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que acontecem nos condutos.

Escoamento bidimensional é aquele para o qual as grandezas físicas que o

caracterizam variam ao longo de duas direções do espaço, isto é, variam em um plano

xOy e nesse caso diz-se que grandezas são uma função, f(x,y), das coordenadas s e y.

Admite-se que todas as partículas escoam em planos paralelos segundo trajetórias


193

idênticas em cada um desses planos, podendo ser desprezada a variação das grandezas

que interferem no escoamento ao longo da direção normal a esse plano.

Escoamento tridimensional é aquele para o qual as grandezas que descrevem o

escoamento variam segundo três direções do espaço. É o caso mais geral de escoamento

de fluido. Nesse caso diz-se que as grandezas do escoamento são funções de x, y e z

(f(x,y,z)). As equações, em geral, são mais complexas e requerem mais esforço para

serem resolvidas.

No escoamento laminar as partículas que compõem o fluido se movimentam

em trajetórias bem definidas, constituindo lâminas ou camadas bem individualizadas no

meio fluido. Em geral as partículas não se misturam entre si, formando camadas fluidas

bem definidas, aproximadamente paralelas. Nesse caso predomina a ação das forças

devidas à viscosidade do fluido, em relação às forças de inércia que tendem a quebrar as

camadas ou filetes bem definidos. Se aparecem perturbações devido à turbulência elas

são rapidamente amortecidas. É o caso típico dos escoamentos de fluidos viscosos em

baixas velocidades. Na prática não são casos pouco freqüente no domínio da

engenharia, a não ser em movimentos no solo ou em meios porosos. Nas tubulações ou

nos canais ocorre com pouca freqüência. O escoamento laminar é governado pela Lei de

Newton da viscosidade, podendo ser facilmente equacionado.

No escoamento turbulento as partículas de fluido movimentam em trajetórias

irregulares, aleatórias, e de difícil caracterização. O movimento parece ser aleatório e

sem um padrão definido, misturando completamente as diversas porções do fluido. Diz-

se que ocorre a transferência da quantidade de movimento entre as diversas regiões que

formam a massa de fluido em escoamento. No escoamento turbulento predominam as

forças de inércia em detrimento das forças viscosas, de forma que as perturbações não

são amortizadas e tendem a se propagar no interior do fluido em escoamento. É o caso

dos escoamentos de fluidos mais comuns que ocorrem a velocidades mais elevadas. A

turbulência provoca o aparecimento de maiores tensões cisalhantes, causando, portanto,

maiores perdas de energia que no escoamento laminar. Essas perdas de energia variam


194

com o quadrado da velocidade, ao passo que no escoamento laminar as perdas variam

linearmente com a velocidade.

Escoamentos forçado em condutos forçados é aquele que se dá sob a ação de

uma pressão diferente da pressão atmosférica. A principal força que governa o

escoamento é decorrente da pressão. Esse é o caso da maioria dos escoamentos que

ocorrem no domínio da engenharia, assunto principal da hidráulica dos condutos

forçados.

Escoamento livre, escoamento com superfície livre ou escoamento em canais é

aquele que ocorre de forma que haja sempre uma superfície sujeita à pressão

atmosférica. Nesse caso a principal força motriz do escoamento é a força gravitacional.

Um escoamento é denominado crítico quando ocorre com a menor energia

específica possível. A velocidade do escoamento é denominada de velocidade crítica.

Este escoamento será melhor definido ao se estudar a hidráulica dos canais.

Escoamento fluvial ou subcrítico é aquele para o qual a velocidade do

escoamento é inferior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade de

escoamento é muito baixa, de forma que o escoamento é lento ou tranqüilo.

Escoamento torrencial ou supercrítico é aquele pra o qual a velocidade é

superior à velocidade crítica. Nesses escoamentos a velocidade assume valores mais

elevados, fazendo aparecer turbilhões ou vórtices.

4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO

Quando os fluidos se encontram em escoamento é necessário quantificar esse

escoamento em termos de quantidades transportadas medidas em volume, em massa ou

em peso, o que permitirá a aplicação de equações que levam em conta essas


195

quantidades. Para que isso aconteça é preciso estabelecer os conceitos de vazão, vazão

em massa, vazão em volume e de velocidade média.

a) Vazão em volume: Q

É o volume de líquido que atravessa uma determinada seção normal ao

escoamento na unidade de tempo. Também denominada de descarga ou débito.

Matematicamente a vazão é calculada por:

Q = Vol/∆t

Entretanto, há casos em que a própria vazão varia com o tempo, como nos

escoamentos não permanentes. Nesse caso o intervalo de tempo ∆t influencia no valor

calculado da vazão, o que indica que a definição de vazão precisa ser estendida para ser

calculada em um dado instante. Isso é feito, definindo que a vazão é, num dado instante,

o limite da relação entre o volume que atravessa uma determinada seção normal ao

escoamento e o tempo, quando esse tempo tende para zero. Isso corresponde, na prática,

a adotar-se intervalos de tempo muito pequenos, para se determinar a vazão em um

determinado instante.

No limite: Q = l i m (Vol/∆t) = dVol/dt ∆t�0 Se Q é constante � Q = Vol/∆t


196

Figura 05 - Volume escoado em um intervalo de tempo ∆t.

A vazão também pode ser calculada em uma área muito pequena, denominada

de área elementar e representada por dA. Nesse caso, tem-se:

dQ = dVol/dt

onde a vazão dQ, agora é um infinitésimo de primeira ordem e, dVol, um infinitésimo

de ordem superior a dt.

Fig. 06 – Vazão em uma área elementar, dA, onde a velocidade é v.

Observar que todas as partículas que se encontram sobre dA num dado instante,

deslocam-se de um comprimento infinitesimal, ds, formando um prisma de fluido de

base dA e altura ds. Assim,

dVol = dA.ds e,

dQ = dA.ds/dt


197

Lembrar que ds/dt é exatamente o valor da velocidade tangencial à linha de corrente que

passa pelo centro de gravidade de dA, de forma que v = ds/dt.

Assim, finalmente, pode-se escrever que

dQ = v.dA

resultado que expressa uma nova maneira de se calcular a vazão, como o produto entre a

velocidade do escoamento e a área normal à direção do escoamento.

A vazão total em uma área finita, A, pode ser calculada somando-se as infinitas

parcelas vdA de forma a varrer toda a área A. Matematicamente, escreve-se que

∫=A

dAvQ .

Podem ocorrer casos que v não seja perpendicular à área dA. Portanto é

necessário ampliar o conceito de vazão para considerar tais casos. Para tal, define-se um

vetor área, de forma que ele tenha um módulo igual ao valor da área, direção

perpendicular a essa área e sentido voltado para fora da área, conforme esquematizado

na figura seguinte. Esse vetor fará um ângulo θ com o vetor velocidade, conforme

ilustrado na figura seguinte.

Fig. 07 – Vetor velocidade não é perpendicular à área e vetor área infinitesimal.

dQ = dVol/dt dQ= dA.ds/dt = v.dA

� ∫=A

dAvQ .


198

Nesse caso, a vazão é definida como o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor

área definido anteriormente, ou seja:

AdvdQrr

.=

Pela definição de produto escalar entre dois vetores, resulta:

θcos..dAvdQ=

Onde v é o módulo do vetor velocidade, dA é o módulo do vetor área e θ o menor

ângulo entre as direções dos dois vetores anteriormente referidos.

Lembrando que a componente da velocidade na direção da tangente é

denominada de velocidade tangencial, pode-se escrever que:

θcos.vvt =

Logo, a vazão elementar em uma área dA será calculada como:

dAvdAvdQ t== .cos. θ

Para o caso de uma área finita, podemos calcular a vazão através dela pela

aplicação das seguintes expressões:

∫∫ ==AA

dAvAdvQ .cos.. θrr

Caso v não seja perpendicular a dA:

θcos... dAvAdvdQ ==rr

dAvdAvdQ t== .cos. θ

ou

∫∫ ==AA

dAvAdvQ .cos.. θrr


199

Unidades de vazão:

Em todo sistema coerente de unidades, se uma relação prevalece entre

grandezas, ela também ocorre entre suas unidades. Assim,

U(Q) = U(Vol)/U(t)

U(Q) = m3/s �SI e Sistema técnico

= cm3/s � CGS

= ft3/sec � Sistema Inglês Absoluto e Sist. Inglês Técnico

Essas são as unidades usuais para medida da vazão. Entretanto outras podem ser

utilizadas, dependendo do valor da vazão. Vazões podem ser expressas em m3/h, l/s,

m3/dia, ml/s, etc. Ressalta-se que no Sistema Inglês, a vazão é sempre expressa em ft3/s,

também denominada de cfs (cubic feet for second).

b) Vazão em massa: m& ou Qm

É a massa de fluido que atravessa uma dada seção transversal ao escoamento

na unidade de tempo.

Para uma área A, matematicamente se escreve:

Qm = m& = m/∆t

Quando a vazão em massa varia com o tempo, deve-se passar ao limite da

relação acima quando ∆t tende para zero, de forma que:

t

mmQ

tm ∆

==→∆ 0

lim&

O limite acima é exatamente a definição de derivada da massa em relação ao

tempo, logo, na prática, apesar da definição acima, usa-se a seguinte expressão para o

cálculo da vazão em massa:


200

dt

dmmQm == &

Mas, conforme definição anterior, substituindo dm = ρ.dVol, tem-se:

AvQdt

dVol

dt

dmmQm ...

. ρρρ ===== &

Em uma área elementar, dA, a vazão em massa é um infinitésimo de primeira

ordem e dVol é um infinitésimo de ordem superior, de forma que:

dAvdt

dAds

dt

dVol

dt

dmmddQm ..

..

. ρρρ ===== &

Resumindo, o cálculo da vazão em massa que atravessa uma área elementar,

dA, perpendicular ao escoamento, será:

dAvmddQm ..ρ== &

Quando v não é perpendicular a dA, a vazão em massa será calculada por:

AdvmddQm

rr& ..ρ==

Para uma área, A, finita, basta somar as infinitas parcelas acima, para se

encontrar a vazão em massa total, de forma que:

∫==Am AdvmQ

rr& ..ρ

Ou

∫==Am dAvmQ θρ cos&

Unidades de vazão em massa:

Como a relação entre grandezas também prevalece entre as unidades em todo

sistema coerente de unidades, escreve-se que:

U(Q) = U(Vol)/U(t)

U(Qm) = kg/s �SI

= utm/s � Sistema técnico

= g/s � CGS


201

= lb/sec � Sistema Inglês Absoluto e

= slug/sec � Sistema Inglês Técnico

Essas são as unidades usuais para medida da vazão.

c) Vazão em peso: G

Por definição é o peso de fluido que atravessa uma dada seção normal ao

escoamento na unidade de tempo.

t

PG

∆=

No caso de G variar com o tempo tem-se:

∫==∆

=→∆ At

Advgdt

dP

t

PG

rr..lim

0ρ

É uma grandeza pouco utilizada nos escoamentos de líquidos.

d) Velocidade média: V

Em muitos escoamentos que ocorrem na prática, é usual falar-se em uma velocidade que

representa tal escoamento: a velocidade média. Com freqüência, os escoamentos têm as

suas equações expressas em termos da velocidade média. Portanto, define-se a

velocidade média como sendo a relação entre a vazão e a área da seção transversal ao

escoamento onde ela ocorre. Assim, escreve-se:

A

QV =

Como

∫=AvdAQ ,

tem-se que

A

QvdA

AV

A== ∫

1


202

No caso geral, quando o vetor velocidade do escoamento não for perpendicular

à área, velocidade média será calculada pela seguinte equação:

∫=A

AdvA

Vrr

.1

EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO Exercício 1:

Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de

450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for definida como 1,05 m/s, qual deveria

ser o diâmetro utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no mercado

são 350 mm, 400 mm e 500 mm, dentre outros.

SOLUÇÃO

Q = A.V, onde A = π.D2/4

Logo

Q = π.D2/4.V

Assim:

450/3600 m3/s = 3,142*D2/4*1,05m/s � D2 = 0,151576 m2.

� D = 0,3893 m.

Em decorrência dos diâmetros comerciais existentes, o diâmetro indicado será

400 mm, visto que a adoção de um diâmetro menor (350 mm) tornaria a velocidade

acima do limite dado.

Exercício 2:


203

Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima na coluna de distribuição é

de 7,5 l/s. Se a coluna de distribuição tiver diâmetro de 60 mm, qual a velocidade de

escoamento da água? Observação: a ABNT recomenda 2,5 m/s par colunas de 75 mm.

SOLUÇÃO

Q = A.V, onde A = π.D2/4

Logo

Q = π.D2/4.V

Assim:

7,5/1000 m3/s = 3,142*0,0602/4m2*V.

� V = 2,653 m/s.

Esse valor é superior ao recomendado pela ABNT, mesmo para uma coluna de 60 mm

de diâmetro.

4.4 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE


204

Seja um volume de fluido infinitesimal, dVol, escolhido no interior de uma

fluido em escoamento, de massa específica ρ, referido a um sistema de eixos cartesianos

tri-ortogonal, conforme mostra a figura seguinte:

Fig. xx – Volume de controle utilizado para obtenção da equação diferencial da

conservação da massa.

Seja m a massa contida em um volume de controle no instante t e m´ a massa

num instante t´. Sendo t´ = t + dt � m´ = m + dm. Diz-se que no intervalo de tempo,

dt, a massa variou de uma quantidade dm. Nesse caso:

dm = ρ.dVol � dm = ρ.dx.dy.dz

No instante t, a massa é m.

No instante t´ = t + dt, a massa é m´= m + dm

A variação da massa no volume dVol, em um intervalo de tempo dt será:

dtt

dzdydx

∂∂ )...(ρ


205

A taxa de variação da massa com o tempo no volume dVol, será:

dzdydxtdt

dtt

dzdydx

...

)...(

∂∂=∂

∂ρ

ρ

Na direção do eixo Oy, pode-se escrever :

• Massa que entra no volume elementar através da face do

paralelepípedo perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo:

dzdxv ..ρ

• Massa que sai do volume elementar através da face do paralelepípedo

perpendicular ao eixo Oy, na unidade de tempo:

dzdxdyy

vv .

)(

∂∂+ ρρ

• Balanço de massa na direção de Oy:

dzdydxy

v..

)(

∂∂− ρ

Na direção de Ox:


paralelepípedo perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo:

dzdyu ..ρ


perpendicular ao eixo Ox, na unidade de tempo:

dzdydxx

uu .

)(

∂∂+ ρρ

• Balanço de massa na direção de Ox:

dzdydxx

u..

)(

∂∂− ρ

Na direção de Oz:


paralelepípedo perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo:

dydx..ρω


206


perpendicular ao eixo Oz, na unidade de tempo:

dydxdzz

.)(

∂∂+ ρωρω

• Balanço de massa na direção de Oz:

dzdydxz

..)(

∂∂− ρω

Considerando que a equação da conservação da massa afirma que a massa que

entra, na unidade de tempo, menos a massa que sai, na unidade de tempo, é igual a taxa

de variação da massa com o tempo no interior do volume, tem-se:

dxdydztz

dzdxdyw

y

dydxdzv

x

dxdydzu

∂∂=

∂∂−

∂∂−

∂∂− ρρρρ )()()(

Dividindo-se a equação acima, membro a membro, por dx.dy.dz, tem-se:

tz

w

y

v

x

u

∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ρρρρ )()()(

A equação acima é a forma diferencial da equação da conservação da massa

para o escoamento, quando se considera um volume elementar de fluido de massa

específica ρ.

Na forma vetorial esta equação pode ser escrita como:

tVdiv

∂∂−= ρρ )(

r

Observações:

1. Escoamento permanente: 0=∂∂

t

ρ� 0

)()()( =∂

∂+∂

∂+∂

∂z

w

y

v

x

u ρρρ .

2. Escoamento incompressível (ρ constante): 0=∂∂

t

ρ �

0)()()( =

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u .


207

Em termos finitos, quando o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente, é

possível escrever a equação da conservação da massa numa forma mais intuitiva.

Figura xx -

Considerar um líquido escoando por um tubo de corrente tal que o regime de

escoamento seja permanente. Para as áreas elementares que formam um tubo de

corrente dA1 e dA2, pode-se escrever:

1111 dAVmd ρ=& e c

Como a equação da continuidade afirma que 21 mdmd && = tem-se:

222111 dAVdAV ρρ =

Integrando para as áreas A1 e A2, teremos:

∫∫ =21

222111 AAdAVdAV ρρ

Como a massa específica não varia em cada uma das áreas, tem-se:

∫∫ =21

222111 AAdAVdAV ρρ

Em termos do escoamento médio, em cada seção transversal ao escoamento, tem-se:

222111 AVAV ρρ =

Para o escoamento incompressível a massa específica não varia nem em cada

seção, nem de uma seção para outra. Logo a equação da continuidade para o

escoamento de um fluido incompressível se torna:


208

QCAVAV te === 2211

Essa equação mostra que para o escoamento incompressível, a vazão em volume é

constante ao longo do escoamento, embora a velocidade possa variar de uma seção para

outra. Esse resultado é importante, pois permite concluir que se o escoamento for

incompressível, quando se aumentar a seção do escoamento, a velocidade terá que

diminuir e vice-versa.

12

12 V

A

AV =

Portanto, quando a área aumentar (A2 > A1), a equação acima permite concluir que V2 <

V1.

EXEMPLOS DE ALICAÇÃO

1. Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria ser de 450

m3/h. Se a velocidade econômica na linha for de 1,05 m/s, qual deveria ser o

diâmetro a ser utilizado? Lembre-se que os diâmetros comerciais existentes no

mercado, na faixa considerada, são 350 mm, 400 mm e 450 mm.

SOLUÇÃO

Q =A.V, sendo A = π.D2/4.

A = π.D2/4 = Q/V.

D2 =4.Q/V/π e D2 = 4*450/3600/1,05/3,142 = 0,1558

D = 0,389 m ou D =389 mm.

Assim,o diâmetro comercial de 400 mm deverá ser o escolhido.

2. Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima devida ao uso de uma coluna de

distribuição é 7,5 l/s. Se a coluna tiver um diâmetro de 60 mm, qual será a

velocidade do escoamento da água?

SOLUÇÃO

Q =A.V, sendo A = π.D2/4.

V =Q / A = 4.Q/(π.D2).


209

V =4*0,0075/(3,142*0,0602)

V= 2,65 m/s

Observação: A ABNT recomenda 2,5m/s para colunas de 75 mm.

EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO

1. Em uma tubulação de 50 m de diâmetro a água entra com uma vazão de 5 l/s. Após

um comprimento igual a 1,20 m da entrada, a seção da tubulação é reduzida de forma

que o diâmetro é de 25 mm. Determinar a velocidade da água na seção reduzida (de

saída).

SOLUÇÃO

Q = AV

Fluido incompressível e escoamento permanente: Q = A1.V1 = A2.V2

Logo, 22

22

025,0

0015,044

x

x

d

Q

A

QV

ππ=== ou V2 = 3,06 m/s.

2. Um reservatório prismático, com área da base igual a 5 m2, recebe água de duas

tubulações e fornece água através de uma terceira tubulação, conforme figura a seguir.

Sabe-se que Q1 = 2 l/s e D1 = 40 mm; V2 = 1,5 m/s e D2 = 50 mm; V3 = 1,10 m/s e

D3 = 75 mm. No instante inicial (t = 0s) o volume de água existente no reservatório

era de 1.000 litros. Nesse caso pede-se:

a) verificar se o reservatório está enchendo ou esvaziando e que taxa;

b) caso o reservatório tenha uma capacidade de 5.000 litros, qual o tempo que ele levará

para transbordar?


210

SOLUÇÃO

a) Equação da continuidade para escoamento não permanente:

dt

dVAVAVAV ol=−+ 332211

Assim: 10,14

075,050,1

4

050,0002,0

22

33221 xx

xx

AVAVQdt

dVol ππ −+=−+=

smlsmxx

dt

dVol /86106,810086,0353 === −−

Como dVol/dt > 0 conclui-se que o reservatório está em processo de enchimento, a uma

taxa de 0,086 litros por segundo ou 5,16 litros por minuto.

b) tempo de enchimento

Nota-se que Q1, A2.V2 e A3.V3 são constantes, o que permite concluir que dVol/dt

também é constante. Assim,

smxt

V

dt

dV olol /106,8 35−=∆

∆= , o que dá shs

xt 4,53min58124,733.46

106,8

00,100,55

==−=∆ −


211

4.5 - EQUAÇÃO DE ESTADO: Fluido homogêneo e incompressível: tec=ρ

Fluido homogêneo e compressível:ρ

ρd

dp

VdV

dpE =−=

p = pressão, V = volume e ρ = massa específica do fluido gás ideal: RTp ρ= com R = R0/M

Com Ro = constante universal dos gases; R = constante específica do gás M = massa molecular do gás e T = temperatura absoluta

livro hidraulica cap_01-04

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