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SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE COGERAÇÃO
Silvio Seiti Shimizu – IC E-mail: [email protected]
Marcelo J.S. De-Lemos - PQ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
Departamento de Energia Pça. Mal. Eduardo Gomes, no 50, Vila das Acácias
CEP: 12228-901, S. José dos Campos – SP
Resumo. A finalidade desse trabalho é analisar ciclos termodinâmicos com extração de vapor com auxílio do programa IPSEPro [4]. A princípio, foi analisado um ciclo simples de cogeração. A análise desse mesmo ciclo já foi efetuada como trabalho de iniciação científica onde o autor utilizou os programas Mathcad 7.0 [6] e Interactive Thermodynamics [5] para determinar os parâmetros do ciclo. Comparando os resultados dos programas IPSEPro, Mathcad 7.0 e Interactive Thermodynamics com o resultado teórico calculado é possível verificar qual programa possui algoritmo mais eficaz. Devido às funções de interpolação das tabelas de propriedades termodinâmicas da água, percebe-se que os resultados encontrados com os programas IPSEPro e Interactive Thermodynamics são próximos pois esses já possuem as funções de interpolação inseridas em seus algoritmos. Já no Mathcad fez-se necessário gerar tais funções. Comparando com o valor teórico, o qual teve como base para as interpolações termodinâmicas das propriedades da água a tabela encontrada no Van Wylen [1] , em termos qualitativos os programas IPSEPro e Interactive Thermodynamics tiveram melhor resultados do que o Mathcad 7.
Abstract. The purpose of this paper is to analyze thermodynamics cycles with extraction using the IPSEPro system simulation tool. In principle, only a specific cogeneration cycle was analyzed. The analysis of this same cycle has already been worked out by another author who used Mathcad 7.0 and Interactive Thermodynamics program tools. By comparing the cycle parameters obtained with IPSEPro, Mathcad 7.0 and Interactive Thermodynamics program against theoretical results, it’s possible to verify which program has the most powerful algorithm Due to the use of interpolating functions of thermodynamic steam tables, results found with IPSEPro and Interactive Thermodynamics codes are closer because they were obtained with similar interpolation functions existing in the codes. When using the Mathcad computational platform, a few additional functions are necessary. Comparing them all results with theoretical values, obtained by using steam tables of Van Wylen [1], one can say that IPSEPro and Interactive Thermodynamics gave results closer to the theory than using the Mathcad 7 approach. 1. INTRODUÇÃO
O Brasil possui um forte potencial hidroelétrico estimado em 286,8 GW. Em 1998, 185,8 GW estavam sendo utilizados. Atualmente o Brasil vive um período de escassez de energia elétrica e uma das alternativas seria aumentar a produção de energia gerada em hidroelétricas. No entanto, os impactos ambientais e sociais devido à construção de hidroelétricas são substanciais, além de ser um empreendimento que requer um alto investimento inicial.
Uma alternativa interessante para o Brasil é a cogeração de energia através da queima de biomassa, mais particularmente de resíduos e bagaço de cana-de-açúcar. A proposta de cogeração é interessante também devido à fragilidade em que o sistema de transmissão brasileiro se encontra, deixando o usuário isento dos possíveis problemas de “blackout”.
O objetivo desse trabalho é analisar sistemas de cogeração com auxílio do programa IPSEPro. Para realizar tal tarefa o autor começou simulando ciclos termodinâmicos simples com a finalidade de se familiarizar com o programa. Nesse artigo é apresentada a análise de um sistema de cogeração simples, o qual já foi analisado em outro trabalho de iniciação científica, Perote [3], a análise de um ciclo Brayton e parte de um ciclo combinado.
2. COGERAÇÃO – DEFINIÇÃO E RETROSPECTIVA HISTÓRICA
Cogeração de energia pode ser definida como um processo termodinâmico no qual ocorre a produção simultânea e seqüencial de energia elétrica ou mecânica, e energia térmica útil, a partir de uma única fonte de energia. Ou seja, além da energia elétrica ou mecânica, ocorre o aproveitamento para fins úteis, de parte da energia térmica rejeitada, através de um sistema de recuperação de calor.
Os primeiros sistemas de cogeração apareceram no começo do século XX quando o fornecimento de energia elétrica pelas grandes centrais ainda era raro, o que obrigava aos consumidores de médio e grande porte gerar toda energia elétrica necessária em seus processos de produção. Essa situação perdurou até a década de 40 fazendo com que os sistemas de cogeração representassem 50% da produção de energia elétrica dos EUA.
Com a proliferação das grandes centrais, a energia elétrica tornou-se barata e abundante, fazendo com que os sistemas de cogeração perdessem importância. Tal impacto resultou que no início da década de 70, a energia elétrica gerada por sistemas de cogeração caísse para 3% da produção elétrica norte-americana.
No entanto esse quadro mudou com o primeiro choque do petróleo em 1973 e foi reforçado com o segundo choque em 1978. Diversos países criaram programas para reduzir o consumo e a dependência do petróleo importado.
3. PROGRAMA IPSEPro
O IPSEPro [4] é constituído de dois módulos principais: o MDK (Model Development Kit) e o PSE (Process Simulation Environment).
Com o PSE, o usuário monta seu ciclo baseado em componentes pré-definidos ou criados com Model Development Kit numa biblioteca. O ciclo é montado selecionando os componentes do menu e colocando-os numa janela e interligando-os da maneira desejada. Logo após é inserido os dados dos componentes e através de métodos matemáticos robustos o programa garante cálculos rápidos e exatos.
4. CICLO DE COGERAÇÃO
Figura 1 - Ciclo de cogeração analisado para comparação
A figura 1 apresenta o ciclo de cogeração em estudo atribuindo um número a cada parte deste ciclo. Assim quando for mencionado h1, significa que se faz referência à entalpia do ponto 1.
As hipóteses consideradas foram que o escoamento está em regime permanente e que há ausência de perda de calor nas tubulações ou componentes do sistema.
Ocorre a extração de 10% do vapor antes de entrar na turbina, ou seja, para a válvula de expansão, e de 70% (em relação à vazão mássica do ponto 1) do vapor após o primeiro estágio da turbina na pressão de 500kPa.
Dados: MPaP 51 = ; kPaPP 50054 == ; kPaP 2006 = ; CT º7001 =
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO DO CICLO DE COGERAÇÃO
Em todos os casos é feita a análise onde MpaP 0,51 = e CT º7001 = . Tabela 1 - Resultados da análise do ciclo de cogeração
T1 (ºC)
h1 (kJ/kg)
h5 (kJ/kg)
h6 (kJ/kg)
•
cQ (kW)
•
FQ (kW)
•
PQ (kW)
s1 (kJ/kgK)
•
TW (kW)
εU
Teórico 700 3900,1 3088,23 2640,6 6407,7 49059 30594,2 7,5 12303,1 0,869 Mathcad 7 700 3900 2975 2879 7123 48400 29400 7,522 12780 0,853 Interactive
Thermodynamics 700 3900 3094 2873 7104 49300 30700 7,511 11500 0,856
IPSEPro 700 3900,5 3094,9 2873,4 7060,4 49257,3 30739,1 7,513 11606,6 0,857 Os resultados para os programas Mathcad 7 e Interactive Thermodynamics fazem parte do trabalho
de iniciação científica do aluno de graduação do Instituto Tecnológico de Aeronáutica: Perote [3]. A figura 2 apresenta o layout de saída dos resultados do programa IPSEPro para o ciclo de
cogeração apresentado na figura 1.
Calor Condens. 7060.4234 kW Calor Gerador 49257.2647 kW Calor Processo 30739.0501 kW
Ciclo de Cogeração BásicoTrabalho Liq. 11606.6031 kW
mass[kg/s] h[kJ/kg] p[bar] t[°C]
1.153e+004 1.087e+004
640.19 12.03 5 151.86
640.19 12.03 5 151.86
3900.5 15 50 700
645.11 12.03 50 152.36
3195.4 12.03 5 363.15
3094.9 10.53 5 314.69
3900.5 1.5 5 688.31
616.64 15 50 145.72
501.29 2.97 50 118.62
496.19 2.97 2 118.21
2873.4 2.97 2 201.32
3094.9 2.97 5 314.69 3094.9 13.5
5 314.69
3900.5 13.5 50 700
3900.5 1.5 50 700
3900.5 15 50 700
Figura 2 - Sistema de cogeração analisado com o programa IPSEPro
A Tabela (2) apresenta os desvios das propriedades segundo a seguinte fórmula:
100×−
=teórico
programateórico
VVV
Percentual
onde Vteórico é o valor da propriedade calculada teoricamente e Vprograma é o valor da propriedade calculada com auxílio ou do Mathcad 7, ou do Interactive Thermodynamics, ou do IPSEPro. Tabela 2. Desvio entre os valores obtidos com os programas em relação ao valor teórico
Mathcad 7.0 Interactive
Thermodynamics IPSEPro
h1 (kJ/kg) 0,003% 0,003% 0,013% h5 (kJ/kg) 3,67% 0,19% 0,22% h6 (kJ/kg) 9,01% 8,8% 8,82%
CQ•
(kW) 11,16% 10,87% 10,19%
FQ•
(kW) 1,34% 0,49% 0,4%
PQ•
(kW) 3,9% 0,35% 0,47%
S1 (kJ/kgK) 0,29% 0,15% 0,17%
TW•
(kW) 3,88% 6,53% 5,66%
εU 1,84% 1,5% 1,38%
O autor Perote [3] atribui os desvios dos resultados, obtidos com os programas Mathcad 7.0 e Interactive Thermodynamics, aos métodos de interpolação utilizados nos cálculos das propriedades termodinâmica da água.
Observa-se que o método de interpolação utilizado pelo programa IPSEPro produz resultados próximos aos obtidos com o Interactive Thermodynamics. Pode-se atribuir essa proximidade ao fato de que ambos, IPSEPro e Interactive Thermodynamics, já possuem funções de interpolações inseridas em seus algoritmos enquanto o Mathcad fez-se necessário desenvolver funções termodinâmicas nas tabelas de propriedades da água.
De modo geral, em termos qualitativos, os resultados dos programas Interactive Thermodynamics e IPSEPro foram melhores mas em termos quantitativos o programa IPSEPro foi muito melhor do que os demais. Basta observar a figura 2 e ver a quantidade de dados fornecidos pelo programa.
6. CICLO DE POTÊNCIA A GÁS OU CICLO BRAYTON
Nas seções anteriores o fluido operante nos ciclos era vapor d´água. Nesta seção será analisado um
ciclo de potência a gás para verificar a eficiência e flexibilidade do programa IPSEPro quando o fluido operante é um outro que não seja o vapor d´água.
Em cursos de graduação adota-se o fluido operante como gás ideal para simplificar o estudo dos ciclos de potência a gás. Com essa restrição se tem a entalpia como função somente da temperatura. Mas no caso do programa IPSEPro, essa restrição não é necessária pois seu algoritmo permite a análise de ciclos operantes com quaisquer tipos de gases. A definição de qual gás é o fluido operante se faz inserindo a proporção dos componentes químicos do gás.
Figura 3 - Fluidos operantes no ciclo de potência a gás
Na figura 3 está ilustrado o ciclo de potência a gás em estudo. Nota-se que o ciclo é aberto e composto de um compressor, um combustor, uma turbina e um gerador.
Nota-se também a existência de três fluidos operantes no ciclo em estudo. Há a presença de ar, gás e gás de exaustão. A mistura de gás mais ar é queimada no combustor e o produto da queima (gás de exaustão) impulsiona a turbina.
mass[kg/s] h[kJ/kg]p[bar] t[°C]
1453.5 12.24 19.97 1237.2
476.5 12 20 457.64
42.522 0.2424 25 20
594.66 12.24 1.03 542.96 20.215 12
1 20
Figura 4 - Resultados do ciclo de potência a gás analisado pelo programa IPSEPro
7. RESFRIAMENTO DOS GASES DE EXAUSTÃO DA TURBINA A GÁS DO CICLO BRAYTON
Geralmente os gases de exaustão da turbina a gás saem a uma alta temperatura. Se esse gás fosse
liberado para atmosfera nessa condição, haveria o desperdício de energia térmica. Para evitar tal desperdício retira-se parte desse excesso de energia térmica fazendo com que os gases de exaustão passem por trocadores de calor aquecendo a água refrigerante.
Figura 5 - Refrigeração dos gases de exaustão do ciclo Brayton
Na figura 5 se tem o mesmo ciclo Brayton analisado na seção 6 com a diferença de direcionamento
dos gases de exaustão para trocadores de calor. Nota-se que os gases de exaustão na saída da turbina se encontra a 548,06ºC, uma temperatura elevada, e logo depois de passar pelos trocadores de calor está a 130ºC, uma temperatura menor e menos agressiva ao ambiente. O mais importante é notar que a água refrigerante entra a uma temperatura de 25,454ºC e sai a 440ºC. Isso significa que na saída se tem vapor de água invés de água líquida. Portanto se pode acoplar um ciclo Rankini produzindo energia através desse vapor de água. Dessa forma se tem um ciclo combinado.
8. Conclusão
A escolha do programa IPSEPro para a análise de sistemas de cogeração, nesse trabalho, se justifica pela qualidade e quantidade dos resultados obtidos por tal programa.
As dificuldades encontradas pelo autor na análise do ciclo de cogeração foram: • Simular um “aquecedor para processo” pois esse objeto não se encontrava na biblioteca do
programa; • Acertar certos parâmetros os quais o programa considerava redundante; • Garantir que na saída do “aquecedor para processo” o líquido fosse saturado. O problema de simular um “aquecedor para processo” foi resolvido colocando em série um mixer
(misturador) e um heat_sink (absorvedor de calor). Para eliminar parâmetros os quais o programa considerava redundante foi necessário acrescentar
um conector (conector) logo após o gerador de vapor. E para garantir que na saída do “aquecedor para processo” o líquido fosse saturado, foi necessário
acrescentar um x_prescription (denomina propriedades do vapor) antes da bomba 2. O programa também obriga o usuário a acrescentar um consumidor de energia, no caso deste
trabalho foi um generator (gerador), no caso da interligação de duas turbinas via shaft (eixo). As dificuldades encontradas na simulação do ciclo Brayton foram:
• Ou definir a razão de mistura na câmara de combustão ou definir a temperatura de saída dos gases da câmara de combustão;
• Mensagens de warning referentes à composição do gás de exaustão. Na verdade não se pode chamar a primeira opção como um problema. Foi necessário decidir qual
dos parâmetros fixar e se fez à escolha de definir a razão de mistura na câmara de combustão pelo fato de que essa escolha necessita estimar menos parâmetros.
As mensagens de warning foram eliminadas definindo limites para cada componente do gás de exaustão.
Sugestões de trabalhos posteriores seria a análise de um ciclo combinado conforme citado na seção 7. Pode-se também criar novos componentes não só na área de termodinâmica, mas em mecânica dos fluidos simulando perdas de carga e em outras áreas. Basicamente esses novos modelos tem por base a conservação de massa e de energia. AGRADECIMENTOS
Os autores são gratos ao CNPq pelo auxílio financeiro durante a preparação deste trabalho. O 1º autor deseja expressar o seu agradecimento ao seu professor orientador Marcelo J.S. de Lemos, à TecWare Consultoria em Sistemas Ltda, à Simtech Simulation Technoly e ao amigo José Albery Perote Filho. REFERÊNCIAS 1. Van Wylen, G., Sonntag, R., Borgnakke, C., Fundamentos da Termodinâmica Clássica, 1973,
Tradução da 4ª Ed. Americana, Ed. Edgard Blücher, São Paulo, Brasil.
2. Wilkinson, B. W., Barnes, R. W., Cogeneration of Electricity and Useful Heat, 1st Edition, CRC
Press, Boca Raton, Florida, EUA.
3. Perote, J.A., Saboya, S.M., Simulação de ciclos com cogeração, Anais do VII ENCITA, São José
dos Campos, pp. 235-240, 2000.
4. IPSEPro Process Simulator – Process Simulation Environment, 1999, Sim Tech – Simulation
Technology, version 3.1.001.
5. Interactive Thermodynamics, User’s Guide, 1998, New York
6. Mathcad 7 User’s Guide, 1997, MathSoft.Inc., Cambridge, Massachussets.
INFLUÊNCIA DA POROSIDADE E DA PERMEABILIDADE DE ALETAS POROSAS NO ESCOAMENTO EM REGIME LAMINAR E TURBULENTO EM
CANAL ENTRE PLACAS
Luzia A. Tofaneli (PG) Marcelo J.S. De-Lemos (PQ)
Departamento de Energia – IEME Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA, 12228-900 – São José dos campos – SP – Brasil
e-mail [email protected], e-mail: [email protected]
RESUMO Neste trabalho são apresentadas soluções numéricas para o escoamento em um canal contendo obstáculos porosos na forma de aletas. A condição de periodicidade espacial ao longo do domínio de cálculo é empregada. As equações do movimento e continuidade de massa são integradas em um volume de controle elementar representativo acarretando em um único conjunto de equações governantes, tanto para o meio limpo quanto para o meio poroso. Estas equações são discretizadas pelo método de volume de controle e para o tratamento do acoplamento pressão-velocidade, o algoritmo SIMPLE foi utilizado. A condição de salto na tensão de cisalhamento é considerada na interface entre o meio limpo e o meio poroso. São apresentados resultados para o campo de velocidade e pressão em função da porosidade, permeabilidade e espessura das aletas porosas.
ABSTRACT In this work, numerical solutions are presented for laminar flow in a channel finned with porous material. The condition of spatially periodic cell is applied longitudinally along the channel. The equations of movement and mass continuity are written for an elementary representative volume yielding a set of equations valid for the entire computational domain. These equations are discretized using the control volume method and the resulting system of algebraic equations is relaxed with the SIMPLE method. Results are presented for the velocity field as a function of the porosity and permeability of the fins.
1.INTRODUÇÃO
O escoamento no entorno da interface entre um meio desobstruído e um permeável ocorre em inúmeras situações de natureza prática, como em poços de petróleo, sobre florestas e vegetações e em equipamentos industriais diversos. Nos trabalhos de Ochoa-Tapia & Whitaker [1], [2] foi proposto um coeficiente ajustável de salto da tensão cisalhante para o escoamento no entorno da interface entre o meio limpo e o meio poroso. Kuznetsov [3], [4] e [5] fez investigações analíticas da influência da condição de salto da tensão cisalhante na interface em canais parcialmente preenchido com material poroso
Motivados pela importância desta classe de escoamentos, De Lemos & Pedras, [6] e [7] desenvolveram um modelo macroscópico de duas equações para o tratamento de meios contendo uma matriz porosa. Na literatura, soluções numéricas que contemplem o salto da tensão cisalhante nos obstáculos porosos são ainda em número reduzido. Recentemente, Silva & De Lemos [8], [9] e [10], apresentaram simulações numéricas para escoamento laminar e turbulento em meio híbrido levando em conta esta mesma diferença da tensão em ambos os lados da interface.
Com base no exposto, este trabalho apresenta soluções numéricas para o escoamento em um canal aletado com um material poroso onde são verificados os efeitos de duas propriedades do meio: a permeabilidade e a porosidade. Aqui se faz uma extensão do trabalho de Tofaneli & De Lemos [11], onde a metodologia desenvolvida para meios híbridos em Rocamora & De Lemos [12], foi também empregada.
2. MODELAGEM MATEMÁTICA Nesta seção é apresentado o modelo matemático para o escoamento em um canal contendo obstrução porosa. A Figura 1) ilustra a geometria analisada onde H é a distância entre as paredes, L
comprimento do canal, 2l e h a espessura e altura da aleta, respectivamente.
y
L
1=φ
x
HDu 10 << φ 10 << φ2
l
h
2l
h
Fronteira do dominiocomputacional
Figura 1: Geometria analisada. Canal aletado e célula periódica.
As equações que governam o escoamento do fluido, para este caso são:
Equação da continuidade:
0=⋅∇ Du (1)
Equação de quantidade de movimento:
( )
+−+
⟩⟨−⋅∇+∇+⟩⟨−∇=
⋅∇+
∂∂
K
uucu
Kguuup
uu
t
u DDFD
iD
iDDDφρµφφρρφµφ
φρ ''2 (2)
onde o tensor de Reynolds macroscópico e dado por:
IkDuu iVt
i ⟩⟨−⟩⟨=⟩⟨− φρµρφφ 3
22'' (3)
e o tensor deformação é dado por:
( ) [ ]
⟩⟨∇+⟩⟨∇=⟩⟨
TiiV uuD φφ2
1 (4)
Aqui ,
φµ t expressa a viscosidade turbulenta dada por:
i
i
tk
fC⟩⟨
⟩⟨=ε
ρµ µµφ
2
(5)
Equação da energia cinética turbulenta:
( ) ( ) ( )
iD
kDi
i
k
tiD
i
K
ukCuuu
kkukt
⟩⟨−+∇⟩⟨−
⟩⟨∇
+⋅∇=
⟩⟨⋅∇+⟩⟨∂∂
ερφφ
ρρ
φσµ
µφρ
φ
φ
: ''
(6)
onde kC e kσ são constantes adimensionais.
Taxa de dissipação de energia cinética turbulenta:
( ) ( ) ( )
( )i
iD
ki
i
Di
itiD
i
kfC
K
uCfC
kuuuC
ut
2
2222''
1 : ε
ρφφε
ρερ
εφσµ
µεεφρ
φ
ε
φ
−+⟩⟨⟩⟨∇⟩⟨−+
⟩⟨∇
+⋅∇=
⟩⟨⋅∇+⟩⟨∂∂
(7)
onde 1C , 2C e εσ são constantes. Aqui i⟩⟨ε representa a média intrínseca da taxa de dissipação de energia cinética de turbulência. 2.1. CONDIÇÕES DE INTERFACE E DE CONTORNO
A equação que descreve o salto da tensão cisalhante na interface entre o meio limpo e o meio poroso, proposta por Ochoa-Tapia & Whitaker [1], [2] é dada por:
erface
DDD
ef uK
uu
int11ε
εε µβη
µη
µφφ
=∂
∂−
∂
∂
=≠
(8)
onde
ξDu é o componente da velocidade de Darcy paralela a interface alinhada com a direção normal
ξ e normal à direção η , efµ é a viscosidade efetiva para a região porosa , µ é a viscosidade
dinâmica do fluido, K é a permeabilidade do meio poroso e β é um coeficiente admensional ajustável na representação do salto da tensão cisalhamento na interface.
Também são utilizadas as condições de continuidade da velocidade, da pressão, da energia cinética de turbulência, k e sua dissipação, ε e, dos fluxos difusivos de k e ε .
11 =≠=
φφDD uu (9)
11 =≠⟩⟨=⟩⟨
φφii pp (10)
11 =≠⟩⟨=⟩⟨
φφvv kk (11)
11 =≠∂⟩∂⟨
+=
∂⟩∂⟨
+
φφσµµ
σµ
µ φ
y
k
y
k v
k
tv
k
t (12)
11 =≠⟩⟨=⟩⟨
φφεε vv (13)
11 =≠∂⟩∂⟨
+=
∂⟩∂⟨
+
φεφε
εσµµε
σµ
µ φ
yy
vt
vt
(14)
( ) ( ) ( )erface
DtD
tD
tef i
pp uKy
u
y
u
int11
βµµµµµµφφ
φ+=
∂∂
+−∂
∂+
=≠
(15)
As condições de contorno de (9) ,(10) foram propostas por Ochoa-Tapia & Whitaker [1], propuseram as equações (11) e (14), assumindo continuidade de k e ε .
O domínio computacional mostrado na Figura 1, de comprimento L e altura H , corresponde a uma célula espacialmente periódica ao longo da coordenada x . Neste trabalho, a condição de periodicidade espacial foi aplicada ao longo desta coordenada. Os valores inicialmente impostos na entrada em 0=x eram subseqüentemente substituídos pelos valores na saída, em Lx = , num processo repetitivo até que ambas as posições, no início e no fim da célula periódica, apresentassem idênticos perfis para todas as variáveis do problema. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
O efeito da permeabilidade do material da aleta é mostrado na Figura (2). Para figura (2a) temos
que para maiores valores de K , o fluido permeia com maior facilidade através do material poroso. O aumento da vazão mássica para hy < é claramente observado na Figura.
A figura (2b) mostra o efeito da permeabilidade do material da aleta no perfil de velocidade média
para 510Re =H , nota-se que para maiores valores da permeabilidade K , o fluido permeia com maior facilidade através do material poroso, tendo em vista que a vazão mássica através do canal é a mesma para todas as curvas, o incremento da velocidade pela aleta porosa reduz a vazão mássica pela região desobstruída de espessura H-h.
A Figura (3) mostra a influência do valor de φ no perfil de velocidade longitudinal para Lx = . Na figura (3a) mostra que para um material com maior porosidade, a vazão mássica através deste meio é aumentada, reduzindo, portanto, a quantidade de fluido que atravessa a região limpa (y>h). A figura (3b) mostra o efeito da porosidade do material da aleta na velocidade Du para 32000Re =H , embora não se tenha variado substancialmente a porosidade, observa-se que para uma permeabilidade baixa não há uma influência apreciável do valor da porosidade no padrão do escoamento.
Figura 2: Efeito da permeabilidade para o campo de velocidade na saída do canal, 9,0=φ para a aleta, a) escoamento laminar, b) escoamento turbulento.
Figura 3: Efeito da porosidade para o campo de velocidade na saída do canal, 27102 mK −×= para a aleta, a) escoamento laminar, b) escoamento turbulento. 4. CONCLUSÕES
Este trabalho apresentou resultados para a solução numérica do escoamento em um canal contendo
obstrução porosa. Foram considerados os efeitos da permeabilidade e da porosidade do material das aletas, para escoamento laminar e turbulento.A discretização das equações governantes utilizou o método de volumes finitos e para o tratamento do acoplamento pressão-velocidade, o algoritmo SIMPLE foi utilizado.Para escoamento laminar observamos que para aletas mais porosas e mais permeáveis observou-se o aumento da vazão mássica através do material poroso.Para escoamento turbulento os resultados indicaram que o efeito da condição de salto nas características do escoamento tem a influência nos perfis de velocidade, acarretando em última análise na modificação dos valores de K dentro do canal..
A vantagem tecnológica na aplicação dos resultados aqui apresentados consiste na obtenção de um sistema aletado que apresente uma menor perda de carga para uma mesma vazão mássica. A utilização de materiais permeáveis pode contribuir para este fim. Possivelmente, tais sistemas podem manter ou
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05y[m]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
u[m/s]
Malha:50×50β=0.5, φ=0.9, ReH=800
K=2.5×10-6m2
K=2.5×10-7m2
K=2.5×10-8m2
sólido
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05y[m]
0
0.2
0.4
0.6
u[m/s]
Malha:50×50β=0.5, φ=0.9, ReH=100.000
K=2.5×10-6m2
K=2.5×10-7m2
K=2.5×10-8m2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05y[m]
0
0.2
0.4
0.6
u[m/s]
Malha:50×50β=0.5, K=2×10-7m2, ReH=32.000
φ=0.7φ=0.8φ=0.9
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05y[m]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
u[m/s]
Malha:50×50β=0.5, K=2×10-7m2, ReH=800
φ=0.7φ=0.8φ=0.9
a) b)
a) b)
até mesmo reduzir a perda de carga através de todo o canal para uma mesma carga térmica transferida. Em última análise, é neste aspecto que o presente trabalho apresenta potencial para aplicações futuras. AGRADECIMENTOS
Os autores são gratos ao CNPq pelo suporte financeiro durante a preparação deste trabalho. REFERÊNCIAS
[1] Ocho-Tapia, J. A., Whitaker, S.,“Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid-I”. Theoretical development, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 38, pp. 2635-2646, 1995a.
[2] Ochoa-Tapia, J. A., Whitaker, S.,“Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid-II”. Comparison with experiment, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol 38, pp.2647-2655, 1995b.
[3] Kuznetsov, A. V.,“Analytical Investigation of the Fluid Flow in the Interface Region between a Porous Medium and a Clear Fluid in Channels Partially with a Porous Medium”. Applied Scientific Research, vol.56, pp.53-56, 1996.
[4] Kuznetsov, A. V.,“Influence of the Stress Jump Condition at the Porous-Medium/Clear-Fluid Interface on a Flow at a Porous Wall”. International Communications in Heat and Mass Transfer, vol.24, pp.401-410, 1997.
[5] Kuznetsov, A. V., “Fluid Mechanics and Transfer in the Interface Region between a Porous Medium and a Fluid Layer: A Boundary Layer Solution”. Journal of Porous Media, vol.2(3), pp.309-321, 1999.
[6] De Lemos, M.J.S., Pedras, M. H. J.,“Simulation of Turbulent Flow Through Hybrid Porous Médium Clear Fluid Domains”, Proc. of IMECE2000-ASME-Intern. Mech. Eng. Congr., ASME-HTD-366-5, pp. 113-122, IBSN:0-7918-1908-6, Orlando Florida, November 5-10, 2000b.
[7] De Lemos, M.J.S., Pedras, M. H. J.,“Recent Mathematical Models For Turbulent Flow In Saturated Rigid Poroua Media”, Journal of Fluids Engineering, vol. 123, n.4 (in press), 2001.
[8] Silva, R. A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Laminar em um Canal Parcialmente Preenchido com Material Poroso” (em CD-ROM) COBEM2001, Uberlândia-MG, 2001a.
[9] Silva, R. A., de Lemos, M.J.S., “Numerical Treatment of the Stress Jump Interface Condition for Laminar Flow in a Channel Containing a Porous Layer”, (submitted), Numerical Heat Transfer, PartA, 2001b.
[10] Silva, R. A., de Lemos, M.J.S., “Turbulent Flow over a Porous Layer Considering the Shear Stress Jump at the Interface”(submitted), International Journal Heat Mass and Transfer, 2001c.
[11] Tofaneli, L. A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Laminar em Região Espacialmente Periódica em Canal Contendo Obstrução Porosa”, CONEM2002, João Pessoa-PA, 2002.
[12] Rocamora Jr., F. D., de Lemos, M.J.S.,“Prediction of Velocity and Temperature Profiles for Hibrid Porous Medium-Clear Fluid Domains”, Proc.of CONEM2000 – National Mechanical Engineering Congress (on CD-ROM), Natal, Rio Grande do Norte, Brazil, August 7-11, 2000a.
[13] Rocamora Jr., F. D., de Lemos, M.J.S.,“Laminar Recirculating Flow And Transfer In Hybrid De Lemos, M.J.S., Pedras, M. H. J.,“Modeling Turbulence Phenomena in Incompressible Flow Through Saturated Porous Media”, Proc. of 34th ASME-National Transfer Conference (on CD-ROM), ASME-HTD-I463CD, Paper NHTC2000-12120, ISBN:0-7918-1997-3, Pittsburgh, Pennsylvania, August 20-22, 2002a.
EESSCCOOAAMMEENNTTOO LLAAMMIINNAARR EEMM UUMM CCAANNAALL CCOONNTTEENNDDOO MMEEIIOO PPOORROOSSOO –– UUMMAA AABBOORRDDAAGGEEMM MMIICCRROOSSCCÓÓPPIICCAA
Renato A. Silva1 (PG)
Marcelo J.S. de Lemos2 (PQ) Laboratório de Computação em Fenômenos de Transporte - LCFT
Departamento de Energia – IEME Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA, 12228-900 – São José dos Campos – SP - Brasil
1e-mail: [email protected], 2e-mail: [email protected]
RESUMO Neste trabalho a matriz porosa foi modelada como sendo formada por um arranjo
periódico de hastes cilíndricas. Pretende-se, assim, mapear o comportamento das propriedades do escoamento. As equações que governam o escoamento são numericamente resolvidas na fase líquida ao redor das hastes sólidas. As equações que governam o escoamento são discretizadas pelo método de volumes finitos e o sistema de equações algébricas obtido é resolvido pelo método SIP. Para o acoplamento pressão-velocidade o algoritmo SIMPLE é utilizado. Os resultados numéricos indicam coerência.
ABSTRACT In this work the porous matrix was modeled as an array of cylindrical rods. It is intended,
with that, to investigate the behavior of the properties of the flow. The governy equations are numerically solved in the liquid phase around the solid rods. The equations that govern the flow are discretized by control volume method and the obtained systems of algebraic equation are solved by the method SIP. For the pressure-velocity coupling SIMPLE method is applied. The numerical results indicate coherence of the calculated pressure and velocity fields. 1. INTRODUÇÃO
Em função da ampla aplicação envolvendo o escoamento de fluidos em meios que são compostos por meio limpo e uma matriz porosa, em diversos setores da indústria e no meio ambiente, observou-se, nas últimas décadas, um interesse crescente de vários pesquisadores no sentido de descrever com sucesso este tipo de escoamento. Vários sistemas de engenharia podem ser modelados por estruturas compostas de uma região limpa e um material poroso através do qual o fluido penetra. Camada limite atmosférica sobre florestas e, vazamento de contaminantes através do subsolo até os lençóis freáticos são alguns exemplos da grande importância dos escoamentos ambientais que podem ser beneficiados por um tratamento matemático adequado.
Recentemente, nos trabalhos [1], [2], [3], [4], [5], [6] e [7] foram apresentadas soluções numéricas levando em consideração a condição de salto da tensão de cisalhamento na interface entre o meio limpo e o meio poroso, com e sem o termo não-linear de Forchheimer, com e sem zonas de recirculação e, com e sem condição de periodicidade espacial para um meio poroso macroscópico.
Com base no exposto, este trabalho estende os desenvolvimentos anteriores para o campo microscópico onde o meio poroso e considerado como formado por hastes cilíndricas. A metodologia numérica utilizada é apresentada em [8] e [9]. 2. GEOMETRIA E EQUAÇÕES GOVERNANTES
O escoamento sob consideração é esquematizado na Fig. (1), onde a ilustração mostra a ampliação de uma seção de um canal contendo um obstáculo poroso onde é avaliado o campo de pressão e velocidade. As propriedades do escoamento são consideradas constantes. A fluido entra pela face esquerda e permeia através da região limpa e dos obstáculos. O caso na Fig. (1) usa condição de
contorno de não-escorregamento na parede sul, de simetria na parede norte, velocidade preescrita na entrada e, periodicidade espacial ao longo de x .
y
x
0,6L
L
Du
0,275L
simetria
Figura 1. Escoamento em um canal contendo obstáculos sólidos.
L/10
A equação de continuidade microscópica para um fluido incompressível escoando num meio
limpo é expressa por:
0=⋅∇ Du (1)
A equação de momentum microscópica (Navier-Stokes), para um fluido com ρ e µ constantes escoando em regime permanente e, desprezando as forças campo, pode ser escrita como:
uuu 2)( ∇+−∇=⋅∇ µρ p (2) 3. MÉTODO NUMÉRICO
As equações (1) e (2) acima, sujeitas às condições de contorno, foram discretizadas para um domínio bidimensional, em coordenadas generalizadas. Ainda, a discretização das equações usa um sistema de coordenadas generalizadas para uma generalização ainda maior. O método de volumes finitos foi empregado na discretização e, para o tratamento do acoplamento pressão-velocidade, o algoritmo SIMPLE foi utilizado {[10]}.
Figura 2: Notação e volume de controle.
A Figura 2 representa um volume de controle típico juntamente com o sistema de coordenadas generalizadas η-ξ. A forma geral discretizada da equação de conservação bidimensional de uma propriedade qualquer ϕ , em regime permanente, pode ser dada por,
ϕSIIII snwe =+++ (3)
onde eI , wI , nI e sI representam, respectivamente, os fluxos totais (convecção e difusão) de ϕ nas
faces leste, oeste, norte e sul do volume de controle, e ϕS o termo fonte.
Sempre que o termo fonte for dependente de i⟩⟨ϕ será linearizado da seguinte forma:
∗∗∗ +⟩⟨≈ ϕϕϕ ϕ SSS iP (4)
Os termos fonte nas equações de momentum para a direção x são dados por:
xPPsPnPwPe SSSSSS xxxxx +−+−= ∗∗∗∗∗ )()()()( (5)
x
line− ξ
line−ξ
line η−
ey ξ∆ e
y η ∆
n y ξ ∆
n yη ∆
P
E
N
ne
se
sw
nw
e
s
n
we
xξ ∆
exη ∆
nx ξ∆
n x η ∆
y
→ →= i i
1
→ → = j i
2
→
n A
→ e A
line η −
onde xS ∗ é a parte difusiva tratada de forma explícita.
Similarmente, para a equação de momentum na direção y têm-se,
yPPsPnPwPe SSSSSS yyyyy +−+−= ∗∗∗∗∗ )()()()( (6)
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Nas Figs. (3a) e (3b) são apresentados os campos de pressão adimensional e o campo de velocidade. Para o campo de pressão, verifica-se, como esperado um valor maior pressão atrás do obstáculo e conseqüentemente um valor menor à frente do obstáculo, devido ao descolamento da camada limite e conseqüentemente formação de uma região de baixa pressão.
9.93E-019.41E-018.90E-018.38E-017.86E-017.34E-016.82E-016.30E-015.78E-015.26E-014.74E-014.22E-013.70E-013.18E-012.66E-012.14E-011.62E-011.10E-015.85E-026.58E-03
Figura 3: Campo de pressão adimensional
−
−
minmax
min
pp
pp a), Campo de velocidade [m/s] u , b).
A Fig. (3b) mostra a aceleração causada no escoamento devido à contração ocasionada pelas
hastes cilíndricas onde Dp=5×10-2m e, para região distante dos obstáculos uma velocidade uniforme, isto é, não perturbado, devido à distância dos obstáculos; apresentando uma situação de escoamento livre.
a) b)
Dp
Figura 4: Perfil de velocidade na posição 20L
x = , a) e na saída do canal, b).
Na Fig. (4a) e (4b) observam-se picos entre os obstáculos sólidos, este comportamento é devido à
contração causada pelas hastes cilíndricas ocasionando uma aceleração no escoamento e conseqüentemente um maior fluxo de massa nessa região como ilustrado na Fig. (3b).
O valor da queda de pressão média apresentada na Fig. (4b) é obtida da seguinte forma:
( )∫ −=∆tA
set
dyppA
p1
onde tA é a área da seção transversal do canal, ep é a pressão na entrada e sp
é a pressão na saída do canal. 5. CONCLUSÃO
Os resultados mostraram um campo coerente de velocidade e pressão corroborando a eficácia do código computacional utilizado. Também eficaz foi o método empregado para resolução de escoamentos em canais contendo múltiplos obstáculos sólidos. Futuramente serão realizadas comparações com resultados da literatura afim de se obter uma validação mais completa. AGRADECIMENTOS
Os autores são gratos à FAPESP e ao CNPq pelo suporte financeiro durante a preparação deste trabalho. REFERÊNCIAS [1] Silva, R.A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Laminar em um Canal Parcialmente Preenchido
Com Material Poroso”, Anais do XVI Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica (em CD-ROM), Uberlândia-MG, Brasil, 2001.
[2] Silva, R.A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Laminar em um Canal com Material Poroso usando o Modelo Não-Linear de Forchheimer e a Condição de Salto na Interface”. Anais do II Congresso Nacional de Engenharia Mecânica. João Pessoa–PB, Brasil, 12-16 de agosto, 2002a.
[3] Silva, R.A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Turbulento em um Canal Contendo Obstáculo Poroso Levando em Consideração o Salto da Tensão Cisalhante na Interface”. ENCIT2002 -
0 0.2 0.4 0.6
0.0x100
1.0x10-3
2.0x10-3
3.0x10-3
4.0x10-3
Malha: 42×257, ReL=1×103
Microscópico - posição x=L/20
a)
u [m/s]
y [m] 0 0.2 0.4 0.60.0x100
1.0x10-3
2.0x10-3
3.0x10-3
Malha: 42×257, ReL=1×103
∆p=9,94×10-7N/m2, microscópico - saída do canal
b)
u [m/s]
y [m]
IX Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciências Térmicas, Paper CIT02-0252 (aceito para apresentação). Caxambu-MG, Brasil, 13-18 de outubro, 2002b.
[4] Silva, R.A., de Lemos, M.J.S., “Numerical Study of Shear Jump Coefficient for Laminar Flow in a Channel” (in press), Numerical Heat Transfer, 2002c.
[5] Silva, R.A., de Lemos, M.J.S., “Escoamento Turbulento em um Canal contendo Obstáculo Poroso impondo uma Condição de Periodicidade Espacial”. ETT2002 - III Escola de Transição Turbulência, Florianópolis-SC, Brasil, 23-27 de setembro (submetido para apresentação), 2002d.
[6] de Lemos, M.J.S., Silva, R.A., “Numerical Treatment of Stress Jump Interface Condition for Laminar Flow in a Channel Partially Filled with a Porous Material”, Proceedings of ASME FEDSM’02 – Fluids Engineering Division Summer Meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002a.
[7] de Lemos, M.J.S., Silva, R.A., “Simulation of Turbulent Flow in a Channel Partially Occupied by a Porous Layer Considering the Stress Jump at the Interface”, Proceedings of ASME FEDSM’02 – Fluids Engineering Division Summer Meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002b.
[8] Pedras, M.H.J., de Lemos, M.J.S., “On the Definition of Turbulent Kinetic Energy for Flow in Porous Media”, Int. Comm. In Heat & Mass Transfer, Vol. 27 (2), pp. 211-220, 2000.
[9] Rocamora Jr., F.D., de Lemos, M.J.S., “Heat Transfer In Suddenly Expanded Flow in a Channel With Porous Inserts”, Proc of IMECE200 – ASME – Intern. Mech. Eng. Congr., ASME-HTD-366-5, pp. 191-195, ISBN 0-7918-1908-6, Orlando, Florida, November 5-10, 2000.
[10] Patankar, S.V., “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”, Hemisphere, New York, 1980.
CONVECÇÃO NATURAL EM REGIME LAMINAR E TURBULENTO EM CAVIDADE CONTENDO MATERIAL POROSO
Viviani Tagliari Magro, (PG) Marcelo J.S. De-Lemos, (PQ)
Departamento de Energia - IEME Instituto Tecnologico da aeronautica – ITA
12228-900 – São José dos Campos - SP - Brasil e-mail: [email protected]
RESUMO. Neste trabalho são apresentados resultados para o campo hidrodinâmico e térmico para a convecção natural laminar e turbulenta em cavidades contendo material poroso. As equações microscópicas do escoamento laminar e turbulento são integradas em um volume elementar representativo para se obter equações macroscópicas válidas também no domínio poroso. Um único conjunto de equações é então discretizado e a solução do sistema de equações algébricas obtido seguem o método SIMPLE. A intensidade da corrente convectiva através da matriz porosa é observada com o aumento do número de Raleigh. A existência de uma fina camada limite próximas às paredes de toda a cavidade é detectada assim como a estratificação do campo de temperaturas para Ra ³109. ABSTRACT. This work presents numerical solutions for flow and heat transfer in square cavities partially obstructed with porous material. The microscopic flow and energy equations are integrated in a representative elementary volume in order to obtain a set of equations valid in both the clear flow region and in the porous matrix. A unique set of equations is discretized with the control volume method and solved with the SIMPLE algorithm. Enhancement of convective currents within the porous substrate is detected as Ra increases. Thin boundary layers along the cavity wall and stratification of the thermal field are observed for Ra ≥109. 1. INTRODUÇÃO A análise de escoamentos em convecção natural é um problema que atualmente recebe considerável atenção de muitos pesquisadores em vários campos de aplicação. A construção de fornos, coletores solares, dispositivos de isolamento de reator nucleares e a determinação das exigências para isolamento de cabine de aeronave são alguns exemplos de tais aplicações. Neste trabalho o tratamento macroscópico é utilizado na obtenção de soluções numéricas em regime permanente para um domínio híbrido, i.e., meio poroso-meio limpo, para escoamentos laminares e turbulentos em cavidade quadrada e entre placas planas preenchidas parcialmente com um meio poroso homogêneo Na equação da energia é considerada a condição de equilíbrio térmico entre o fluido e a matriz porosa. O problema considerado é mostrado esquematicamente na Figura 1, e é referente ao escoamento bidimensional de um fluido em uma cavidade quadrada de altura H e largura L, parcialmente preenchida com material poroso. O caso das cavidades com o meio poroso na vertical consideram temperaturas constantes nas faces esquerdas, TH, e direita, TC, sendo TH>TC. Para cavidades com meio poroso na horizontal, as temperaturas TH e TC são aplicadas às faces abaixo e acima, respectivamente. As outras duas paredes, em todos os casos, são isoladas.
TH TC
dT/dy=0
dT/dy=0g
yx
H
L
Figura 1- Cavidades parcialmente preenchidas com material poroso
TH
TC
dT/dy=0 dT/dy=0
g
yx
H
L
THTC
dT/dy=0
dT/dy=0g
yx
H
L
(a) (b) (c)
Em Magro & de-Lemos [1] o escoamento e a transferência de calor na cavidade da Figura 1-a,b foi investigado. Naquele trabalho o efeito do número de Rayleigh e o tratamento da interface localizada em x=L/2 foram objetos de análise. Lá, empregou-se o tratamento proposto em Ochoa-Tapia & Whitake [2] para a interface. Posteriormente, em Magro & de-Lemos [3] é complementada a investigação anterior, levando-se então em consideração os efeitos de porosidade e de permeabilidade da região porosa, e em Magro & de-Lemos [4] foi analisado regime turbulento para a cavidade da Figura 1-c, para os mesmos casos dos trabalhos anteriores.
A condição de não deslizamento é aplicada para a velocidade em todas as quatro paredes das cavidade. O escoamento resultante da diferença de temperatura imposta é dependente do número de Rayleigh definido como
ναβ TLg
RaD=
* 3
, onde g é a gravidade, *β é o coeficiente de expansão volumétrica do fluido, ν é a
viscosidade cinemática, α a difusividade térmica e D T= TH - TC .
Figure 2– Malhas empregadas: a) Malha 50x50 refinada nas paredes, b) malha 50x50 regular. 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 2.1. Equações de Transporte e Constitutivas
O modelo matemático aqui empregado tem sua origem nos trabalhos de Pedras & de-Lemos [5] para o campo hidrodinâmico e Rocamora & de-Lemos [6] para o campo térmico. A consideração de forças de empuxo foi abordada nos trabalhos de Braga & de-Lemos [7], [8], [9], [10] e [11] e a implementação da condição de “salto” na interface foi considerada em Silva & de-Lemos [12] baseada na teoria proposta em Ochoa-Tapia & Whitaker [2]. Portanto, estas equações serão aqui apenas reproduzidas e maiores detalhes sobre as suas derivações podem ser obtidos nos trabalhos citados. Estas equações são:
a) Equação Macroscópica da Continuidade
0=×Ñ Du (1)
onde a relação de Dupuit-Forchheimer, iD ñá= uu φ , foi usada e iñáu identifica a média intrínseca (na fase
líquida) da velocidade local u . b) Equação Macroscópica da Quantidade de Movimento
( ) ( )
( ) úû
ùêë
é +--ñá+
ñ¢¢á-×Ñ+Ñ+ñá-Ñ=úû
ùêë
é÷÷ø
öççè
æ×Ñ+
¶¶
K
c
KTTg
pt
DDFDref
iref
iD
iDDD
uuu
uuuuuu
||
2
ρφµφφβρ
ρφµφφ
ρ
φ
(2)
onde
IDuu v it
i kñá-ñá=ñ¢¢á- ρφµρφφ 3
22 (3)
e
( ) ( )[ ] úûù
êëé ñáÑ+ñáÑ=ñá
Tiiv uuD φφ2
1 (4)
(a) (b)
é o tensor de deformação macroscópico, 2iik ñ¢×¢á=ñá uu é a média intrínseca da energia cinética de
turbulência, k , e f
m t , é a viscosidade turbulenta, a qual é modelada semelhantemente ao caso de escoamento de
meio limpo em Pedras & de-Lemos [5] como,
i
i
t
kc
ñáñá
=ε
ρµ µφ
2
As equações de transporte para as variáveis macroscópicas ikñá e sua taxa de dissipação
( ) ρµε iTi ñ¢Ñ¢Ñá=ñá u:u são também propostas em Pedras & de-Lemos [5] como:
( ) ( ) ( ) iik
iii
k
tiD
i GGPkkkt
ñá-+++úúû
ù
êêë
éñáÑ÷
÷ø
öççè
æ+×Ñ=úû
ùêëé ñá×Ñ+ñᶶ
ερφφσ
µµφρ φu (5)
( ) ( ) ( ) [ ]iik
ii
i
iiti
Di cGccGcPc
ktñá-++
ñáñá+
úúû
ù
êêë
éñáÑ÷
÷ø
öççè
æ+×Ñ=úû
ùêëé ñá×Ñ+ñᶶ
ερφε
εφσ
µµεεφρ
ε
φ
23121u (6)
onde c1, c2 , c3 and ck são constantes, DiiP uuu Ñ:ñ¢¢á-= ρ e
K
kCG D
i
ki ||uñá
=φ
ρ são as taxas de produção
de ikñá devido ao gradiente de Du à ação da matriz porosa, respectivamente e ikG representa a taxa
macroscópica de geração de ikñá devido ao termo de empuxo na fase líquida. Uma proposta para este termo foi
apresentada no trabalho de Braga & de-Lemos [11] e pode ser escrita como,
y
TgG
i
T
tik ¶
ñ¶á-= φβσ
νφ φ
(7)
onde o símbolo φ
ν t expressa viscosidade cinemática macroscópica turbulenta, ftt ρµνφφ
= , bf é a média
volumétrica do coeficiente de expansão volumétrica e σT é uma constante.
c) Equação Macroscópica de Energia. De um modo semelhante, aplicando a média temporal e volumétrica nas equações da energia microscópica,
para o fluido e para a matriz porosa, duas equações surgem. Assumindo então a hipótese de Equilíbrio Térmico
Local, a qual considera iis
if TTT ñá=ñá=ñá e somando s duas equações obtidas, tem-se (veja Braga & de-
Lemos ([7], [8], [9] [10] e [11] para detalhes)),
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) { }ieff
iDfp
i
spfp TTct
Tcc ñÑá××Ñ=ñá×Ñ+
¶ñá¶
-+ Kuρφρφρ 1 (8)
onde
effK = [ ] tdispdispttorsf kk ,)1( KKKKI ++++-+ φφ (9)
é o tensor condutividade efetiva. Na interface, as condições de continuidade da velocidade, da pressão, da energia cinética de turbulência, k
e sua dissipação, ε e, dos fluxos difusivos de k e ε , sã dadas por,
110 =<< = φφ DD uu (10)
110 =<<ñá=ñá
φφ
ii pp (11)
110 =<<ñá=ñá
φφ
vv kk (12)
110
)()(=<<
¶ñ¶á+=
¶ñ¶á+
φφσµ
µσ
µµ φ
y
k
y
k v
k
tv
k
t (13)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x[m]
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
v - vminvmáx- vmin
Malha 50x50 refinadaf=0,8, b=0, K=8,88x10-6
Ra=107
Ra=108
Ra=109
Ra=1010
110 =<<ñá=ñá
φφεε vv (14)
110
)()(=<<
¶ñ¶á+=
¶ñ¶á+
φεφε
εσµ
µεσ
µµ φ
yy
vt
vt (15)
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
(a) (b) (c) (d) Figure 3- Efeito do número de Ra nas linhas de corrente, malha 50x50 regular,a) Ra=103, b)Ra=104, c)Ra=105,d)Ra=106
A Figure 3 mostra o efeito do número de Ra no campo hidrodinâmico para ambas as regiões limpa e porosa. A
Figura claramente indica o aumento de intensidade de recirculação no meio limpo com o aumento de Ra. É também verificado a ausência de escoamento intenso na região porosa, conforme esperado.
Figure 4 - Efeito do número de Ra nas linhas de corrente para malha 50x50 refinada, .0=β , φ =0,8,
K=8,88×10-6m2, Ra=103, Ra=104, Ra=105, Ra=106, Ra=107, Ra=108, Ra=109, Ra=1010.
(a) (b) Figure 5- Efeito de Ra no campo de velocidade vertical; a) laminar; b) turbulento
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x [m]
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
v [m/s]
Malha 50´50
b=0, f=0,5, K=3,472´10-5
Ra=103
Ra=104
Ra=105
Ra=106
A Figura 4 mostra o efeito do número de Rayleigh no campo hidrodinâmico para ambas as regiões limpa e porosa. Nota-se que para um baixo número de Rayle igh, a baixa intensidade das forças de empuxo provoca escoamento apenas na região limpa. A partir de Ra>106, o escoamento começa a adentrar a região porosa, tornando-se mais intenso com o aumento de Ra. Para Ra> 107, torna-se claro a existência de uma camada limite tanto na face direita (meio limpo) quanto no contato do meio poroso com a parede esquerda. Para Ra=1010, embora o centro da zona de recirculação ainda seja na região limpa, há uma apreciável corrente convectiva através da matriz porosa.
(a) (b) (c) Figure 6- Efeito Porosidade no campo de temperatura, β =0, malha 50x50regular, Ra=106 a) φ =0.2, b) φ =0.5, c) φ =0.9
A Figura 6 mostra o efeito da porosidade para a cavidade mostrada na Figura 1- b
Figure 7 - Efeito do número de Ra no campo de temperatura para malha 50x50 refinada, .0=β , φ =0,8,
K=8,88×10-6m2, Ra=103, Ra=104, Ra=105, Ra=106, Ra=107, Ra=108, Ra=109, Ra=1010.
A Figura 7 indica que para baixo Ra (Ra=103), o mecanismo predominante de transporte de calor através da matriz porosa é a condução. A partir de Ra=107, a estratificação no campo térmico começa a se formar também dentro do material permeável. Para Ra=1010 o campo térmico apresenta o comportamento estratificado e uma fina camada limite é existente ao longo de ambas faces laterais. A evolução desta camada limite ao longo das laterais pode ser melhor observada na Figura 5.
Finalmente, a Tabela 1 apresenta valores para o número de Nusselt definido como
ò=H
NudyH
Nu0
1 (16)
onde
CHX TT
L
x
TNu
-¶¶=
=0
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A Tabela mostra resultados para os casos de cavidades parcialmente preenchidas com material poroso e totalmente limpo as malhas mostradas na Figura 2 e para os casos mostrados na Figura 1. Nota-se que o aumento mais apreciável de Nusselt com Rayleigh, para os casos em que o escoamento é turbulento. A Tabela mostra ainda que para baixos valores de Ra, a existência da matriz porosa acarreta num aumento do número de Nusselt.
Entretanto, para Ra elevado, a intensidade de corrente convectiva na situação de cavidade totalmente limpa implica em um Nu maior que no caso com material poroso. Percebe-se também que o número de Nusselt permanece de acordo com o refinamento da malha nas paredes. Estes resultados indicam, em última análise, uma homogenização do número de Nu com a aplicação de uma cavidade porosa na cavidade.
Tabela 1– Número de Nusselt para cavidades verticais.
CAVIDADE VERTICAL PARCIALMENTE PREENCHIDA MALHA 50X50 REGULAR
β \Ra 103 104 105 106
0,0 1,2079623 1,286290 1,7082272 2,0828133 CAVIDADE VERTICAL TOTALMENTE LIMPA
0,0 1,14 2,279 4,749 9,410 CAVIDADE VERTICAL PARCIALMENTE PREENCHIDA MALHA 50X50 REFINADA
0,0 1,227704 1,3019 1,71106 2,127757
CAVIDADE VERTIVAL PARCIALMENTE PREENCHIDA MALHA 50X50 REFINADA ESCOAMENTO TURBULENTO
φ / Ra 107 108 109 1010
0.5 1,69 2,901 14,11 53,97 0.8 5,39 20,18 51,10 113,31
4. CONCLUSÕES Neste trabalho foram apresentados resultados numéricos para escoamentos laminares e turbulentos em domínios híbridos com transferência de calor, os quais envolvem interface entre a matriz porosa e o meio limpo. O método numérico utilizado possibilita o tratamento do meio poroso e do meio limpo em um único domínio de cálculo, respeitadas as condições de contorno na interface. Vários parâmetros de interesse foram analisados e os resultados apresentados mostraram-se bastante coerentes com o esperado. REFERÊNCIAS
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[10] Braga, E.J., de-Lemos, M.J.S., Turbulent Natural Convection in Enclosures Completely Filled With Porous Material, Paper IMECE2002-34403, 2002 ASME International Mechanical Engineering Congress (accepted for presentation), New Orleans, LA, USA, November 17-22, 2002, (2002e).
[11] Silva, R.A., de-Lemos, M.J.S., “Numerical Treatment of the Stress Jump Interface Condition for Laminar Flow in a Channel Containing a Porous Layer”, Numerical Heat Transfer – Part A (in press), (2002).