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SOFTWARE FERRAMENTA

Construção de Sólidos de Revolução 1/16

Construção de Sólidos de Revolução

Série Software ferramenta

Funcionalidade

Este software possibilita a construção de

sólidos de revolução cujo perfil é composto por

segmentos de reta e arcos de circunferências.

SOFTWARE FERRAMENTA


Construção de Sólidos de Revolução

Série Software ferramenta

Conteúdos Geometria analítica, Sólidos de Revolução

Objetivos 1. Permitir aos alunos desenhar

objetos de revolução no computador;

Funcionalidade Este software possibilita a construção dinâmica de sólidos de revolução cujo perfil é composto por segmentos de reta e arcos de circunferências.

Requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Java 1.6+ e Adobe Flash Player 9.0+.

Material relacionado Software: Forma e Volume de

Sólidos de Revolução;

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Introdução Sobre os softwares ferramenta

Os softwares que chamamos de “ferramenta”, diferentemente dos demais, têm como objetivo oferecer ao usuário uma ferramenta poderosa que permita a ele explorar alguns conteúdos de Matemática.

Nossos cinco softwares ferramenta abordam os conteúdos: matrizes, sólidos de revolução, gráficos de barra, setor e dispersão, e histogramas. Cada um deles traz uma ou mais sugestões de atividade e instruções para que o aluno possa explorar toda a potencialidade do software.

Para cada um destes softwares, há um software análogo em termos de conteúdo, mas com outra proposta. Eles oferecem, além de ferramentas interativas direcionadas ao problema que será investigado, um roteiro de questões que orientam o trabalho do aluno desde a introdução até a sua resolução. É recomendado que estes softwares sejam utilizados antes dos softwares ferramenta.

Neste Guia do professor, você vai encontrar uma descrição um pouco mais detalhada sobre os recursos do software e mais algumas sugestões de atividades que podem ser apresentadas aos alunos. Se você procura aprofundamentos no que diz respeito ao conteúdo explorado, sugerimos que leia o Guia do Professor do outro software relacionado a esta ferramenta.

Sobre este software

Com este software é possivel desenhar dinamicamente objetos de revolução cujo perfil (geratriz) é formado por segmentos de retas e arcos de circunferência e girar o objeto 3D para vê-lo em qualquer posição.

Mais informações sobre este assunto podem ser encontradas no Guia do Professor do software Formas e Volumes de Sólidos de Revolução,

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que aborda esse mesmo conteúdo, mas através de um roteiro de questões direcionado ao aluno.

Instruções de uso

A tela principal deste software está representada abaixo.

Figura 1: Tela principal do software.

No quadro da esquerda, o usuário pode criar o perfil plano do objeto de revolução que será desenhado. Este perfil pode ser composto por segmentos de retas e por arcos de circunferências.

Cada trecho do perfil deve ser criado separadamente.

Segmentos: Para criar um segmento o usuário deve clicar em + Segmento, na parte superior do quadro que aparece a esquerda e digitar o comprimento e a inclinação do segmento em relação ao eixo horizontal, medida em graus. Em seguida, deve clicar em Criar e o segmento aparecerá na tela.

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A figura abaixo ilustra um exemplo de um segmento com comprimento igual a 2 e inclinação de 45º em relação ao eixo x.

Figura 2: um segmento com comprimento 2 e inclinação 45º e o respectivo objeto

de revolução em torno do eixo x.

Uma vez criado, um segmento pode ser movimentado livremente pela tela através de clique e arraste do mouse.

Arcos: Para criar um arco o usuário deve clicar em + Arco, na parte superior do quadro que aparece a esquerda e digitar o raio da circunferência suporte do arco, o ângulo inicial e o ângulo final do arco. Estes ângulos devem ser informados em graus, em orientação anti-horária.

Vejamos alguns exemplos:

A figura 3 mostra dois arcos iguais, apenas dispostos em posições diferentes. Os parâmetros de ambos são:

Raio = 2; ângulo inicial = 0º, ângulo final = 90º

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A figura 4 mostra um arco com raio igual a 2, ângulo inicial 90º e ângulo final 0º.

Observando as duas figuras, pode-se notar as consequências da orientação anti-horária. Em ambos os arcos tem as mesmas extremidades 0º e 90º, mas a orientação (ângulo inicial e final) faz com que os arcos sejam diferentes.

Figura 3: Dois arcos com raio = 2; ângulo

inicial = 0º, ângulo final = 90º dispostos

em posições diferentes.

Figura 4: Um arco com raio = 2; ângulo

inicial = 90º, ângulo final = 0º.

Nestes casos, temos que deduzir os parâmetros que o programa precisa para desenhar um arco.

Para ver estes recursos em funcionamento, leia a seção de atividades adicionais, na qual resolveremos um caso real que ilustra bem o uso de todas as funcionalidades do software.

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Sugestões de atividades Adicionais

Seguem abaixo alguns objetos que podem ser desenhados no software:

Peão: este objeto é formado por três arcos de circunferência e dois segmentos.

Vidro de perfume: este objeto é formado por 7 segmentos de retas e 5 arcos. Com excessão do arco central, todos os demais arcos têm ângulo inicial = 0º e ângulo final = 180º.

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Para saber como encontrar os parâmetros dos arcos e dos segmentos que aparecem nos desenhos, leia a resolução completa da atividade que apresentamos na próxima seção.

Sugerida no software

Para desenharmos um objeto real de revolução utilizando o software, a primeira coisa que precisamos fazer é um esboço da curva geratriz do objeto de revolução num papel quadriculado. Isto pode ser feito, deitando o objeto sobre uma folha de papel quadriculado e desenhando seu contorno com o uso de um lápis.

Dica: para obter uma precisão melhor, pode-se usar papel milimetrado.

O segundo passo é ajustar um sistema de coordenadas (x,y). Como a janela 2D do software está limitada num retângulo centrado na origem com dimensões um pouco maiores que 10cm de largura por 6cm de altura, após desenhar o perfil do objeto 2D num papel quadriculado, devemos o sistema de coordenadas deverá ter as seguintes características:

• Um dos eixos coordenados deste sistema deverá ser o eixo de rotação da figura. No exemplo da figura 5, escolhemos o eixo x.

• A origem deste sistema deve ser aproximadamente no meio do objeto (imagiando o sólido 3D).

• Se o objeto tiver mais de 10cm de altura ou 6cm de diâmetro, deverá ser feito um ajuste de escala de modo que ele possa ser desenhado num retângulo de 10cm x 6cm (aproximadamente). Por exemplo, se o objeto tiver 20cm de altura, pode-se adotar uma escala 2:1, ou seja, cada 2cm do objeto real corresponderá a 1cm no desenho em escala. Esta pode ser uma ótima oportunidade para os alunos exercitarem, na prática, o conceito de escala.

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Figura 5: Exemplo do contorno de um objeto 3D, desenhado num papel

quadriculado. Neste exemplo escolhemos o eixo x como eixo de rotação.

O próximo passo é desenhar cada uma das partes que compoem o objeto. No exemplo da figura 5, o objeto é formado por 6 segmentos de retas e um arco. Na tabela a seguinte apresentamos os parâmetros dos segmentos, iniciando da esquerda para a direita.

Os segmentos de retas têm as seguintes propriedades:

Segmento Comprimento Ângulo (em graus)

Seg 1 2 90

Seg 2 3.5 0

Seg 3 1.5 0

Seg 4 0.2 90

Seg 5 2.154 -21,801

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Seg 6 1 90

Com exceção do segmento 5, o comprimento e o ângulo de inclinação dos demais são relativamente fáceis de se obter. Na sequência, veremos como encontrar o comprimento e o ângulo do segmento 5.

A partir do desenho num papel quadriculado, podemos obter as coordenadas dos pontos extremos do segmento. Neste caso são (2, 1.18) e (4, 1).

O comprimento c do segmento pode ser obtido utilizando uma régua graduada em centímetros, ou calculando a distância entre as extremidades. No exemplo temos

( ) ( ) 154.28.112422

≅−+−=c

O ângulo α de inclinação do segmento pode ser obtido calculando a inclinação da reta suporte do segmento, ou utilizando um transferidor para medi-lo de forma aproximada. Neste exemplo, vamos calcular o ângulo.

Sabemos que ( )( )

4.024

8.11tan −=

−

−=

∆

∆=

x

y

α , logo º8.21)4.0arctan( −=−=α .

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A geratriz do objeto contém um único arco. Na sequência vamos verificar, passo a passo, como determinar seu raio e os arcos inicial e final. Este procedimento poderá ser utilizado para encontrar o raio e os ângulos inicial e final de qualquer arco de circunferência.

1º Passo: Desenhe mais um ponto sobre o arco.

2º Passo: Desenhe dois segmentos de retas unindo cada uma das extremidades do arco ao novo ponto.

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3º Passo: Trace as mediatrizes dos dois segmentos desenhados no passo 2 e marque o ponto de interseção das mediatrizes. Este ponto será o cento da circunferência suporte do arco.

4º Passo: Determine o raio da circunferência, medindo a distância de um dos pontos do arco até o centro (encontrado no passo 3) com uma régua, ou calculando a distância utilizando a fórmula.

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Neste caso, as coordenadas do centro são (-0.5, 2.93) e as coordenadas do ponto O são (-1.5, 2), o que resulta num raio de 1.37 cm.

5º Passo – o ângulo inicial do arco: Para determinarmos os ângulos vamos nos basear na circunferência desenhada no 4º passo.

Inicialmente desenhamos um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da circunferência suporte.

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Com base neste sistema, a medida do ângulo inicial, representado por α na figura da direita, pode ser obtida utilizando um transferidor ou calculada através do triângulo representado na figura. Podemos notar que βα += º180 e que tangente do ângulo β pode ser calculada utilizando as coordenadas dos pontos extremos do segmento que une o centro da circunferência o inicio do arco,

.

Como º9.42º180º180 +=+= βα , temos º9.222=α , ou seja, o ângulo inicial do arco é 222.9º.

6º Passo – o ângulo final do arco:

A medida do ângulo final do arco pode ser encontrada procedendo de forma análoga ao que fizemos no 5º passo.

º9.42)93.0arctan(93.0)5.1(5.0

293.2)tan( ≅=⇒=

−−−

−=

∆

∆= ββ

x

y

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Novamente a medida do ângulo final do arco, representado por θ na figura, pode ser obtida utilizando um transferidor ou calculando através de uma relação trigonométrica. Notemos que λθ += º360 (λ medido em sentido horário terá sinal negativo). A medida do ângulo λ pode ser obtida fazendo

e finalmente 1.3179.42360 =−=θ .

Portanto os parâmetros do arco que desejamos desenhar na atividade são:

Raio = 1.37; Ângulo inicial = 222.9º; Ângulo final = 317.1º.

Alternando o eixo de rotação do objeto

Imediatamente após a criação de um objeto, seja um segmento ou um arco, um desenho tridimensional é atualizado no quadro que aparece a direita na tela. O usuário pode alterar o eixo de rotação da geratriz, simplesmente escolhendo uma das opções que se encontram abaixo da janela do objeto 3D.

Na atividade proposta, o objeto deve ser girado em torno do eixo x.

º9.42)93.0arctan(93.05.05.0

293.2)tan( −=−=⇒−=

−−

−=

∆

∆= λλ

x

y

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Ficha técnica

Autor Cristiano Torezzan; Sueli I. R. Costa.

Revisor Samuel Rocha de Oliveira

Coordenador de software Nome do Autor

Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira

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