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Notas tericas e prticasde Matemtica I

Edite Cordeiro

Departamento de Matemtica

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Reedio de um texto elaborado por Edite Cordeiro eFtima Pacheco, no mbito da unidade curricular de Matemtica I,em 2006/2007

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Contedo

Introduo iii

1 Funes reais de uma varivel real 11.1 Generalidades sobre funes de uma varivel . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Funes e seus grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 lgebra de funes e composio de funes . . . . . . . . . . . 41.1.3 Funes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Funes exponenciais e logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Funes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 A funo logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Limites e continuidade de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Sucesses numricas - limite de uma sucesso numrica . . . . . 91.3.2 Limites de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Funes Contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Noo de derivada e suas aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1 Derivada de uma funo - sua interpretao grfica . . . . . . . . 141.4.2 Regras de derivao. Derivadas de ordem superior . . . . . . . . 161.4.3 Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 191.4.4 Estudo de funes e problemas prticos de optimizao . . . . . . 22

1.5 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Tcnicas de primitivao 352.1 Primitivao como o problema inverso de derivao . . . . . . . . . . . . 352.2 Primitivao imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Algumas regras de integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 Primitivao por substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Primitivao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3 Primitivao de fraces racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.1 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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3 Matrizes e Determinantes 473.1 Definio e tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Operaes com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Matrizes em escada; inversa de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . 513.4 Multiplicao de matrizes por blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Decomposio LUde matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Determinante de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.7 Teorema de Laplace; Clculo de A1 a partir de adj(A) . . . . . . . . . . 593.8 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Sistemas de equaes lineares 674.1 Classificao de sistemas de equaes lineares quanto existncia de so-lues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Forma matricial de um sistema de equaes lineares . . . . . . . . . . . . 684.3 Resoluo de sistemas atravs da inversa da matriz dos coeficientes . . . . 694.4 Resoluo de sistemas pela regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Mtodo de eliminao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 Discusso de sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7.1 Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografia 82

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Introduo

Estas notas destinam-se a servir de apoio unidade curricular de Matemtica I, lec-

cionada no primeiro semestre, aos cursos de Contabilidade e de Gesto. Os principaisobjectivos de Matemtica I prendem-se com o estudo dos assuntos tratados nos seguintescaptulos:As notas so, em parte, uma reedio de um texto escrito em 2006/07, tambm no mbitoda unidade curricular de Matemtica I.O Captulo 1 dedicado ao estudo das funes reais de uma varivel real. Neste tema,j conhecido da maioria dos alunos alunos, vamos trabalhar conceitos bsicos do clculoaritmtico e do clculo algbrico. Naturalmente sero abordados os conceitos de limitecontinuidade e derivabilidade. Destacamos o estudo em particular das funes exponen-cial e logartmica.

No Captulo 2, damos o conceito de primitiva como o inverso da noo de derivada (anti-derivada) e so abordadas tcnicas de primitivao.No Captulo 3 abordada a noo de matriz, suas operaes e propriedades. Tambm

dado o conceito de determinante de uma matriz quadrada.O Captulo 4 trata de alguns mtodos para a resoluo de sistemas de equaes lineares.Cada captulo apresenta uma ltima seco onde so propostos exerccios de aplicao,muitos dos quais sero resolvidos nas aulas prticas e terico-prticas.Chamamos ateno para o facto de no haver nenhum meio de aprender matemtica queno envolva a resoluo de muitos exerccios.

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Captulo 1

Funes reais de uma varivel real

Os principais objectos de estudo da Matemtica so as funes. Neste curso, vamosorientar tal estudo para as aplicaes prticas extradas dos campos das cincias sociais.

1.1 Generalidades sobre funes de uma varivel

O conceito de funo como uma regra ou lei que nos diz como uma quantidade varivel

depende de outra, oferece-nos a prespectiva de compreender e correlacionar fenmenosnaturais.

1.1.1 Funes e seus grficos

Na prtica, as funes surgem, com frequncia, de relaes algbricas entre variveis.Comecemos por observar o seguinte exemplo:

Exemplo 1.1.1. Consideremos que este ano, num certo supermercado, o preo do potem sofrido um aumento mensal de 2 euros e que no final de Outubro, cada po custava

64 euros. Podemos traduzir esta situao pela equao y 64 = 2(x 10).A equao anterior equivalente a y = 2x + 44 e facilmente nos convencemos que

a mesma nos d o preo do po em funo do tempo. A tabela seguinte informa-nos dosobjectos (valores assumidos pela varivel independente) e correspondentes imagens:

Ms 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Preo 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68

Claro que o grfico que representa a dependncia funcional anterior est sobre umarecta. Vamos ento definir as noes analtica e grfica de uma funo:

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2 1. Funes reais de uma varivel real

Definio 1.1.2. Uma funo f uma correspondncia que associa um s valor da vari-vel y a cada valor da varivel x. A varivel x diz-se varivel independente e pode tomarqualquer valor num certo conjunto de nmeros reais, denominado domnio de f. Paracada valor de x no domnio de f, o valor correspondente de f denotado porf(x) talque y = f(x). A varivel y diz-se varivel dependente e o conjunto dos valores assumidos

pory medida que x varia no domnio , diz-se imagem ou contradomnio de f.

Uma funo real de uma varivel real uma funo cujos dominio e o contradomnioesto contidos no conjunto dos nmeros reais. As funes podem ser classificadas deinjectivas ou no injectivas, de acordo com a seguinte noo:

Definio 1.1.3. Uma funo f diz-se injectiva se no seu domnio no existirem objectosdiferentes com a mesma imagem, isto , se f(x) = f(y) implicarx = y.

Exemplo 1.1.4. A funo f(x) = x3 4 injectiva, mas a funo g(x) = x2 + 2 no injectiva. De facto,

f(a) = f(b) a3 4 = b3 4 a3 = b3 a = b,

enquanto

g(a) = g(b)

a2 + 2 = b2 + 2

a2 = b2

a = b

a =

b.

Definio 1.1.5. O grfico de uma funo f o conjunto de todos os pontos (x, y) noplano cartesiano, tal que x pertende ao domnio de f e y = f(x).

Devemos cultivar o hbito de, sempre que possvel, pensar graficamente. Por exemplo,podemos verificar se uma funo injectiva atravs do seu grfico, averiguando se existemou no rectas horizontais que intersectam o grfico em mais do que um ponto. O grficode uma funo a trajectria do ponto (x, y), quando ele se move no plano cartesiano, svezes subindo, s vezes descendo em funo da natureza da funo considerada.

Dizemos que uma funo contnua, quando o seu grfico no apresenta interrupes.As descontinuidades surgem essencialmente sob uma das seguintes formas:

Uma funo definida em diversos intervalos apresenta descontinuidades se os gr-ficos relativos a cada um desses intervalos no se ligam uns aos outros.

Uma funo definida por um quociente apresenta descontinuidade sempre que o seudenominador for nulo.

Funes pares e mpares: Os conceitos de funo par e funo mpar ajundam-nos emmuitos casos no esboo grfico de uma funo. Consideremos, por exemplo, as funes

f(x) = x2

4 e g(x) = x3.

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1.1. Generalidades sobre funes de uma varivel 3

Algebricamente, facilmente conclumos que

f(x) = (x)2 4 = x2 4 = f(x)e

g(x) = (x)3 = x3 = g(x)Graficamente, tambm se observa que f(x) = f(x). Portando o grfico de f

simtrico em relao ao eixo dos y, isto , se o ponto (x, y) pertence ao grfico, ento oponto (x, y) tambm pertence. Relativamente a g(x), notamos que g(x) = g(x), econsequentemente, o grfico de g simtrico em relao origem.

Definio 1.1.6. 1. Uma funo f par se para todo o x do domno de f, x tambmpertence ao domnio de f e f(x) = f(x).

2. uma funo f mpar se para todo o x do domno de f, x tambm pertence aodomnio de f e f(x) = f(x).

O nmero de funes distintas claramente ilimitado, no entanto vamos classificarem algumas categorias aquelas que sero o nosso objecto de estudo.

Funes algbricas:

1. As funes polinomiais so definidas por polinmios e tm por domnio IR.

As funes polinomiais seguintes so de grau 1, 2 e 3, respectivamente:

f(x) = 3x 2, g(x) = 1 2x + x2, h(x) = x x3

O grfico de f uma recta e o grfico de g uma parbola.

O grfico de funes polinomiais de grau superior a 2 uma linha curva que poderser mais facilmente identificada com o conhecimento de certas propriedades dafuno que sero estudadas mais frente. Experimente esboar o grfico de h(x),atravs do conhecimento de alguns dos seus pontos, e em particular, dos seus zeros.

2. As funes racionais so definidas por quocientes de polinmios e o seu domnio o conjunto de nmeros reais tal que os denominadores no se anulam.

Como exemplos de funes racionais, temos:

f(x) =25 x21 x2 , g(x) = 2 +

x

x2 + 4, h(x) =

3

x+

2

5.

Note que R \ {1, 1}, IR e IR \ {0} so os domnios de f, g e h, respectivamente.Alm disso, o grfico de f tem descontinuidades em x = 1 e x = 1, o grfico deg no tem descontinuidades e o grfico de h tem uma descontinuidade em x = 0.

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3. As funes irracionais so definidas por expresses algbricas com pelo menos umradical e o seu domnio o conjunto de nmeros reais para os quais a expressoalgbrica tem significado.

Como exemplos de funes irracionais, temos:

f(x) =

25 x2, g(x) = 2 + x 1 :

Os domnios de f, g so respectivamente [5, 5] e [1, +[.Funes transcendentes:

4. As funes transcendentes so aquelas que no so algbricas. As funes trans-cendentes que iremos estudar na seco seguinte, so as funes exponenciais elogartmicas.

Mais frente, vamos tambm estudar o clculo diferencial, o qual fornece mtodospara descobrir outros aspectos importantes do grfico de uma qualquer funo.

1.1.2 lgebra de funes e composio de funes

Dadas duas funes f e g, podemos obter outras funes atravs das operaes adio,

subtraco, multiplicao, diviso ou composio das mesmas.Por exemplo, dadas as funes

f(x) = x2 2 e g(x) = 12

x 1,

consideramos

h(x) = f(x) + g(x) = x2 12

x 1.

Definio 1.1.7. Sejam f e g duas funes cujos domnios se intersectam. Definimos asfunes f + g, f g, f.g, e f

gdo seguinte modo:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f g)(x) = f(x) g(x)(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f

g)(x) =

f(x)

g(x).

Em cada caso, o domnio da funo definida consiste da interseco dos domnios dasduas funes, excepo do quarto caso, onde os valores para os quais g(x) = 0 soexcludos.

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1.1. Generalidades sobre funes de uma varivel 5

Dadas duas equaes y = t2 e t = 2x 5, possvel escrever y em funo de x pelasubstituio da segunda equao na primeira, obtendo y = (2x 5)2. Atendendo a quea equao y = t2 define a funo f(t) = t2 e a equao t = 2x 5 define a funog(x) = 2x 5, ento tem-se

y = f(t) = f(g(x)).

A equao y = f[g(x)], obtida pelo "encadeamento"de f e g, define uma nova funo h,chamada composio de f e g e simbolizada por h = f og.

Definio 1.1.8. Sejam f e g duas funes que satisfazem a condio de que pelo menosuma imagem de g pertence ao domnio de f. Ento f og a funo definida pela equao

(f og)(x) = f[g(x)].

Se denotarmos por Df o domnio de uma funo f, podemos indicar o domnio dafuno composta por:

Dfog = {x Dg : g(x) Df}Exemplo 1.1.9. Sejam as funes

f(x) =x

x + 3e g(x) =

x + 2.

Vamos caracterizar as funes f

g, f.g e f og.O domnio das funes f g, f.g [2, +[, e so definidas por

(f g)(x) = xx + 3

x + 2 e (f.g)(x) = x

x + 2

x + 3,

respectivamente.Como g(x) Df, para qualquer x Dg, o domnio da funo f og tambm

[2, +[ e a sua expresso analtica

f og(x) =

x + 2

x + 2 + 3.

1.1.3 Funes inversas

Duas funes f e g dizem-se inversas se as compostas f og e gof resultarem na funoidentidade, isto , se

f og(x) = x, x Dge

gof(x) = x, x Df.Por exemplo f x) =

x e g(x) = x2, para x

0, so inversas uma da outra.

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Definio 1.1.10. Duas funes f e g dizem-se inversas se verificarem as seguintes con-dies:

1. A imagem de g est contida no domnio de f.

2. A imagem de f est contida no domnio de g.

3. Para qualquerx Dg, f og(x) = x.

4. Para qualquerx Df, gof(x) = x.

Denotamos a inversa de uma funo f por f1. Geometricamente verificamos queduas funes so inversas quando o grfico de uma o simtrico do grfico da outra,relativamente recta y = x.

Exerccio 1.1.11. Verifique a simetria os grficos da funo f(x) = 2x + 1 e da suainversa.

Mtodo algbrico para determinar f1:

1. Escrever a equao y = f(x).

2. Resolver a equao em ordem a x, para obter x = f1(y) .

3. Trocar x por y na equao do passo anterior.

As noes de funo e de inversa de uma funo levam-nos a concluir que nem todaa funo admite inversa. De facto, f1 deve ser a nica funo cujo grfico o simtricodo grfico de f, isto , f dever ser uma funo injectiva.

Exemplo 1.1.12. Seja a funo injectiva f(x) = x3 8 com domnio R. Fazendo y =x3

8

x3 = y + 8

x = 3

y + 8, obtemos f1(x) = 3

x + 8, cujo domnio

tambm R.

1.2 Funes exponenciais e logartmicas

A funes algbricas no so suficientes para a aplicao da matemtica s cincias soci-ais. As funes exponenciais so utilizadas, para projeces da populao, na avaliaode investimentos, entre outras aplicaes. A funo logartmica ser abordada como ainversa da funo exponencial.

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1.2. Funes exponenciais e logartmicas 7

1.2.1 Funes exponenciaisDefinio 1.2.1. Funo exponencial uma funo da forma f(x) = ax, onde a umaconstante positiva.

Da definio de funo exponencial, facilmente se conclui que a mesma tem domnioR e contradomnio R+.

Lembremos as seguintes leis dos expoentes:

1. Lei do produto: aras = ar+s.

2. Lei do quociente:

ar

as = ar

s

.3. Potncia de potncia: (ar)s = ars.

Representao grfica das funes exponenciais:A funo exponencial injectiva e montona, isto , varia sempre no mesmo sentido.

Uma das aplicaes prticas da funo exponencial o clculo de juros compostos: Seinvestirmos P euros a uma taxa de juros anual r e os juros forem capitalizados k vezespor ano, o saldo s(t) aps t anos ser

s(t) = P(1 +r

k

)kteuros.

Exemplo 1.2.2. Suponha que so aplicados 1000 euros a uma taxa de juros anual de0, 06. O saldo aps 10 anos, se os juros forem capitalizados mensalmente, dado por

s(10) = 1000(1 +0, 06

12

120

) = 1819, 4

O nmero irracional e, cujo valor aproximado de 2, 718 a base da maioria dasfunes exponencias que iremos encontrar. Por exemplo, prova-se que o saldo s(t) daquantia P a uma taxa de juros anual r se os juros forem capitalizados continuamente, dado em funo do tempo, por

s(t) = P ert.

Exemplo 1.2.3. Suponha que 1000 euros so aplicados a uma taxa de juros anual de0, 06. O saldo aps 5 anos, se os juros forem capitalizados continuamente, dado por

s(5) = 1000e0,3.

Modelos exponenciais:

1. Diz-se que uma quantidade q(t) que obedea lei q(t) = q(0)ekt, onde q(0) e k soconstantes positivas, apresenta um crescimento exponencial.

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2. Diz-se que uma quantidade q(t) que obedea lei q(t) = q(0)ekt, onde q(0) e kso constantes positivas, apresenta um decrescimento exponencial.

Se os juros forem capitalizados continuamente, vimos que o saldo bancrio resultantes(t) = P ert tambm cresce exponencialmente.

A venda de certos produtos, quando so interrompidas as suas campanhas publicit-rias, bem como o valor das mquinas aps a sua aquisio, so quantidades que decrescemexponencialmente.

Exemplo 1.2.4. Consideremos que uma mquina desvalorizada com o tempo e aps tanos o seu valor for dado porq(t) = q(0)e0,04t. Se aps dois anos a mquina vale 8.000

euros, ento o preo inicial foi de q(0) = 8000.e0,08 euros.

1.2.2 A funo logaritmo natural

O grfico da funo exponencial y = ax revela que se trata de uma funo injectiva que,por isso, admite inversa. De facto, a funo inversa de y = ax chama-se logaritmo de yna base a e representado por logay. Deste modo,

logay y = ax.Exerccio 1.2.5. Porqu que para qualquer nmero positivo a, se tem loga1 = 0?

Sendo a funo logartmo y = loga x e a funo exponencial y = ax inversas uma da

outra, claro que o domnio e o contradomnio da funo y = loga x so, respectivamente,R+ e R. Portanto s existem logaritmos de nmeros positivos.

Chamamos logaritmos naturais aos logaritmos na base e. Tambm a cada nmeropositivo a corresponde um expoente b tal que a = eb. O logaritmo natural b representadopor ln a. Devido importncia da funo exponencial ex, os logaritmos naturais aparecemfrequentemente em aplicaes prticas.

Propriedades dos logaritmos:Atendendo a que as funes y = ex e y = ln x so inversas uma da outra, definio de

logaritmo e s propriedades das potncias, temos:1. elnx = x.

2. ln ex = x

3. ln(uv) = ln u + ln v

4. ln uv

= ln u ln v5. ln uv = v ln u

6. logb x = loga x logb a.

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1.3. Limites e continuidade de funes 9

Exemplo 1.2.6. Resolva as seguintes questes, usando a definio de logaritmo e suaspropriedades.

1. Se f(x) = ln x, determine e simplifique f(

e) + f(e3).

2. Escreva como um nico logaritmo ln(2) 13

ln(16).

3. Caracterize a inversa da funo definida porf(x) = e3x1 + 2.

Soluo. 1. f(

e) + f(e3) = ln(

e) + ln(

e)3 = 12

ln(e) + 32

ln(e) = 2 ln(e).

2. ln(2) 13

ln(16) = ln(2) 43

ln(2) = 13

ln(2).

3. Df = R e CDf = [2, +[, porque e3x1 > 0, para qualquer valor de x.Alm disso,e3x1 + 2 = y e3x1 = y 2 3x 1 = ln |y 2| x = 1

3(ln |y 2| + 1).

Ento a funo inversa f1, tem domnio [2, +[, contradomnio R e definidapor

f1(x) =1

3(ln |2| + 1).

1.3 Limites e continuidade de funes

Nesta seco apresentamos a ideia de limite de uma funo que usaremos para estudar anoo de continuidade da funo.

1.3.1 Sucesses numricas - limite de uma sucesso numrica

A sucesso natural dos nmeros 1, 2, 3,...,n,... uma correspondncia que a cada n-mero natural associa o prprio nmero. Poderemos referir a sucesso dos nmeros pares2, 4, 6,..., 2n, ..., que a cada nmero natural associa o seu dobro.

Definio 1.3.1. Uma sucesso de nmeros naturais uma funo real de varivel natu-ral, f : N R, definida porf(n) ou fn, sendo n a ordem do termo.

De um modo geral a sucesso (un) definida por uma expresso analtica, por exem-plo

un =n + 1

n2

ou por uma frmula de recorrncia, por exemplo

v1 =

5

vn = 5 + tn1, n

2.

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Definio 1.3.2. Uma sucesso (un), converge para a R (ou tem por limite a) se e sse para todo o nmero positivo , existe um nmero p, tal que:

n > p |un a| < .Uma sucesso que no convergente diz-se divergente. Uma sucesso (un) conver-

gente para zero diz-se um infinitsimo. Uma sucesso (un) diz-se um infinitamente grandese o conjunto dos seus termos no for majorado nem minorado, isto , se |un| .

Como exemplos de infinitsimos, temos un = 1n e vn = 2n. As sucesses un = n,

vn = 2n e tn =

n so exemplos de infinitamente grandes.

Sucesses montonas:

1. Dizemos que uma sucesso montona crescente, em sentido lato, se para qualquern N, un+1 un 0.

2. Dizemos que uma sucesso montona crescente, em sentido restrito, se para qual-quer n N, un+1 un > 0.

3. Dizemos que uma sucesso montona decrescente, em sentido lato, se para qual-quer n N, un+1 un 0.

4. Dizemos que uma sucesso montona decrescente, em sentido restrito, se paraqualquer n

N, un+1

un < 0.

Definio 1.3.3. Uma sucesso (un) limitada, se o conjunto dos seus termos majoradoe minorado, isto : (un) limitada existe L R+, tal que para qualquer n N, |un| < L.Exemplo 1.3.4. A sucesso de termo geral

un =3n 14n + 3

:

1. limitada, porque se L = 1 temos a condio universal em N:

|3n

1

4n + 3 | < 1 |n

3

4n + 3 | < 0 n > 12. montona crescente, porque

un+1 un = 3n 14n + 7

3n 44n + 3

=25

(4n + 7)(4n + 3)> 0, n N.

3. Tem limite 34, porque

|un 34| = 13

16n + 12

um infinitsimo.

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Propriedades 1.3.5. 1. Toda a sucesso montona e limitada convergente

2. O limite de uma funo, se existir, nico.

3. O inverso de um infinitsimo um infinitamente grande.

4. O inverso de um infinitamente grande um infinitsimo.

A sucesso de termo geral (1 + 1n

)n:

Prova-se que a sucesso (1 +1

n)n

montona crescente e limitada, por isso con-vergente. O limite desta sucesso por definio o nmero e,

lim(1 +1

n)n = e 2, 71828.

O seu valor aproximado pode ser determinado calculando sucessivos termos da sucesso.Prova-se tambm que

limun

(1 +x

un)un = ex.

1.3.2 Limites de funesA ideia de limite fcil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, se uma placa metlicaquadrada se expande uniformemente quando aquecida e x o comprimento do lado, entoa rea da placa A = x2. Quanto mais o x se avizinha de 3, tanto mais a rea A tendepara 9. Simbolicamente escrevemos

limx3

x2 = 9.

Vamos definir o conceito de limite de uma funo num ponto, custa da noo de limitede uma sucesso:

Definio 1.3.6. Diz-se que uma funo f, real de varivel real, tende para um nmerob quando x tende para a se e s se toda a sucesso de valores de x, diferentes de a,convergente para a, corresponde uma sucesso de valores da funo tendente para b.Escreve-se:

limxa

f(x) = b

Por exemplo, a funo identidade, f(x) = x, tal que qualquer sucesso convergentepara a, por valores diferentes de a,

x1, x2,...,xn,...

a

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transformada em si prpria, e portanto

limxa

f(x) = a.

Limites laterais:

1. Diz-se que b o limite direita de a da funo real de varivel real f sse a toda asucesso de valores de x maiores que a corresponder uma sucesso de valores dafuno tendente para b. Escreve-se:

limx

a+f(x) = b

2. Diz-se que b o limite esquerda de a da funo real de varivel real f sse a todaa sucesso de valores de x menores que a corresponder uma sucesso de valores dafuno tendente para b. Escreve-se:

limxa

f(x) = b

3. Se limxa f(x) = b, ento limxa f(x) = b = limxa+ f(x).

4. Se limxa f(x) = b e limxa+ f(x) = c = b, ento no existe limxa f(x).Como a definio de limite de uma funo depende do limite de uma sucesso, as

propriedades comhecidas das sucesses, mantm-se para as funes. Ento:

Teorema 1.3.7. 1. O limite de uma funo, se existir, nico.

2. O limite de uma funo constante a prpria constante.

So tambm consequncia da definio de limite, as seguintes propriedades:Propriedades dos limites:

1. limxa(f + g)(x) = limxa f(x) + limxa g(x).

2. limxa(f.g)(x) = limxa f(x). limxa g(x).

3. limxa[f(x)]n = [limxa f(x)]n.

4. limxafg

(x) = limxa f(x)limxa g(x)

.

5. limxa n

f(x) = n

limxa f(x).

A aplicao das propriedades dos limites pode levar-nos a alguma das situaes de inde-terminao: , 0., , 00 que deveremos ultrapassar no sentido de calcular esselimite.

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Exemplo 1.3.8. 1.limx0

5x 3x2x

= limx0

5 3x = 5

2.

limx+

2x x25 + 8x

= limx0

x28x

= limx0

x8

=

3.

limx3

9 x2x2 6x + 9 = limx3

(3 x)(3 + x)(x 3)2 = limx3

3 x)(x 3) =

6o

=

1.3.3 Funes Contnuas

Diz-se que a funo f contnua no ponto de abcissa a se

limxa

f(x) = a

Continuidade direita e esquerda:

1. f contnua direita de a se limxa+ f(x) = f(a)

2. f contnua esquerda de a se limxa f(x) = f(a)

Se uma funo contnua em a, ento verifica a continuidade esquerda e direitade a.

Exemplo 1.3.9. A funo definida porx2 se x 1

3 se x > 1

embora descontnua em x = 1 contnua direita de 1.

Vamos agora atender noo de continuidade de uma funo num dado intervalo do

seu domnio.Continuidade num intervalo:

1. Se f contnua num intervalo aberto ]a, b[, ento f contnua em todos os pontosdo intervalo.

2. Se f contnua em ]a, b], ento f contnua em ]a, b[ e limxb f(x) = f(b).

3. se f contnua em [a, b[, ento f contnua em ]a, b[ e limxa+ f(x) = f(a).

4. Se f contnua em [a, b], ento f contnua em ]a, b[, limxb f(x) = f(b) elimx

a+ f(x) = f(a).

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Consideremos as seguintes propriedades das funes contnuas num intervalo fechado:

Propriedades 1.3.10. 1. Teorema de Bolzano: Se f contnua em [a, b] e k umvalor compreendido entre f(a) e f(b), ento existe um nmero c ]a, b[ tal quef(c) = k.

2. Teorema de Weierstrass: Toda a funo contnua num intervalo fechado e no vaziotem nesse intervalo um mximo e um mnimo.

O Teorema de Bolzano, tambm conhecido como Teorema dos valores intermdios,tem a seguinte consequncia: Se f uma funo contnua em [a, b] e f(a).f(b) < 0, ento

a funo admite pelo menos um zero no intervalo ]a, b[.

Exemplo 1.3.11. As solues da equao x = 11+x2

so os zeros da funo f(x) =x 1

1+x2. Esta funo contnua em todo o seu domnio, o qual R. Podemos por

isso aplicar o Teorema de Bolzano em qualquer intervalo fechado. Como f(1) = 12

ef(0) = 1, ento f(1).f(0) < 0, o que prova a existncia de pelo menos uma raz de fem [0, 1].

1.4 Noo de derivada e suas aplicaes

A diferenciao uma tcnica matemtica que possui grande variedade de aplicaes,incluindo o traado de curvas, a optimizao de funes e a anlise de taxas de variao.

1.4.1 Derivada de uma funo - sua interpretao grfica

Comecemos por usar o conceito de limite para determinar o declive da recta tangente aogrfico de uma funo num dado ponto. Sejam P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), dois pontosdo grfico da funo f(x). Como P e Q so pontos do grfico de f, temos y1 = f(x1) ey2 = f(x2). Claro que a recta P Q uma recta secante ao grfico de f e a sua equao dada por

y f(x1) = f(x2) f(x1)x2 x1 (x x1)

Fazendo x2 = x1 + h, com h a ser uma quantidade to pequena quanto queiramos,temos Q = (x1 + h, f(x1 + h)) a ser um ponto do grfico da funo f to prximo de Pquanto queiramos e a recta secante tender para a recta tangente ao grfico da funo noponto P. Ento o declive da recta tangente ao grfico de f no ponto P dado por

m = limh0

f(x1 + h) f(x1)h

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1.4. Noo de derivada e suas aplicaes 15

Exemplo 1.4.1. Consideremos a funo f(x) = 2x + x2. O declive da recta tangente aogrfico da funo f, no ponto (1, 1) dado por

m = limh0

f(1 + h) f(1)h

= limh0

2(1 + h) + (1 + h)2

h= 4.

A equao da recta tangente y = 4(x 1) + 1, ou equivalentemente, y = 4x 3.Definio 1.4.2. Chamamos derivada da funo f(x) no ponto de abcissa x0, f(x0), aocoeficiente angular da tangente curva y = f(x) no ponto de tangncia de abcissa x0.

Exemplo 1.4.3. Consideremos ainda funo f(x) = 2x+x2. O declive da recta tangente

ao grfico da funo f, num qualquer ponto (x, y) dado por

f(x) = limh0

2(x + h) + (h + x)2) (2x + x2)h

= limh0

2h + 2xh + (x + h)2

h.

Isto f(x) = 2 + 2x.

Fica ento definida a noo de derivada de uma funo:

Definio 1.4.4. Chamamos derivada da funo f(x), funo

f(x) = limh0f(x + h)

f(x)

h

que, graficamente, representa o declive da recta tangente ao grfico de y = f(x) em cadaponto x.

Definio 1.4.5. Uma funo diferenciavel num ponto de abcissa x se f(x) existir efor finita. Geometricamente significa que f tem uma recta tangente com declive f(x).

A derivada de uma funo y = f(x) ser denotada por

y, f(x),dy

dxou

df

dx.

Atendendo interpretao grfica da derivada de uma funo, temos:

Propriedades 1.4.6. 1. Se uma funo diferencivel num ponto, ento as suas deri-vadas laterais so iguais.

2. Se uma funo diferencivel num determinado valor do seu domnio, ento elatambm contnua.

No entanto uma funo pode ser contnua num ponto e no ser diferenciavel. Porexemplo, a funo f(x) = |x| contnua em R, mas no diferencivel em x = 0. defacto, as derivadas laterais f(0+) e f(0) so 1 e

1, respectivamente.

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1.4.2 Regras de derivao. Derivadas de ordem superiorComecemos por determinar a derivada da funo afim. Se f(x) = ax + b, ento

f(x) = limh0

f(x + h) f(x)h

= limh0

a(x + h) + b ax bh

= limh0

ah

h= a

Podemos estabelecer que se f(x) = ax+b, ento a funo derivada dada por f(x) =a. Tambm usando a definio de derivada, obtemos a derivada da funo constante a serzero e a derivada da funo kx a ser k. Deste modo podemos obter as seguintes tcnicasde derivao, aplicadas s funes f e g:

1. (f + g) = f + g

2. (f.g) = f.g + g.f

3. (fn) = nfn1.f

4. (fg

) = fggfg2

5. (af) = f.af. ln a, a R+

6. (ln f) = f

f

Exemplo 1.4.7. 1.

( 3

3 xx 1)

= ((3 xx 1)

1/3) =1

3(

3 xx 1)

2/3 2(x 1)2

2.(ex

33x) = (3x2 3)ex33x.Derivada da funo composta e derivada da funo inversa:Vamos de seguida determinar a derivada da funo composta f g e a derivada da

funo inversa f1, caso estas existam.Suponhamos que y = (x2 + 5x)3. Podemos calcular

y(x) =dy

dx

usando a regra da potncia:

dy

dx= 3.(x2 5x)2(2x 5).

Outro mtodo fazermos u = x2 5x, tal que y = u3, dydu

= 3u2, dudx

= 2x + 5. Ento

dy

dx

=dy

du

du

dx

= 3u2(2x + 5) = 3.(x2

5x)2(2x

5).

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A legitimidade da igualdade dydx

=dy

du

du

dx garantida pelo teorema da derivada da funo composta, tambm conhecido pela regrada cadeia:

Proposio 1.4.8. Seja a funo composta f g definida porf g(x) = f[g(x)]. Ento(f g)(x) = f[g(x)].g(x).

Consideremos agora as funes inversas f(x) = x3 e g(y) = 3

y. Como x =

g(y), entodx

dy = gy. Pela regra da cadeia,dx

dy

dy

dx=

dx

dx= 1

logodx

dy=

1

dy/dx

Como y = x3, entody

dx= 3x2 = 3y2/3,

isto , dxdy

=1

3y2/3,

desde que y = 0. Conclumos pois a regra da derivada da funo inversa: Sedy

dx= 0,

entodx

dy=

1

dy/dx,

o que nos permite enunciar o teorema da funo inversa:Proposio 1.4.9. Seja f uma funo diferencivel no maior intervalo aberto do seudomnio e seja f(x) = 0, para qualquerx desse intervalo. Ento f tem uma inversa g, aqual diferencivel e

g(x) =1

f[g(x)]

Exemplo 1.4.10. Se f(x) = x2, x > 0, claro que f1(x) =

x e podemos calcular

(f1)(x) =1

f[f1(x)]=

1

2f1(x)=

1

2

x

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Diferenciao implcita:Como j vimos, uma funo real de varivel real pode ser definida por uma equao

de duas variveis, por exemplo as equaes

y = x2 3x, y3 5x = 1, ey + 2x = 1, x ln y + ex = 0.No primeiro caso, dizemos que a funo est definida explicitamente. Podemos tentarexplicitar as funes, por exemplo ey + 2x = 1 y = ln(1 2x). Mas isto nem sempre possvel. Experimente explicitar a funo definida pela equao x ln y + ex = 0.

Dada uma equao na qual se estabelece y implicitamente como uma funo diferen-civel de x, calcula-se dy

dxdo seguinte modo:

1. Derivar ambos os membros da equao em relao a x e usar a regra da cadeia aoderivar termos que contenham y (porque y encarado como uma funo de x)

2. Resolver a equao que contm as derivadas em ordem a dydx

Exemplo 1.4.11. Vamos calcular o declive da recta tangente curva x2y3 6 = 5y3 + xem x = 2. Derivando ambos os membros da equao em ordem a x, obtemos

3x2ydy

dx+ 2xy3 = 15y2

dy

dx+ 1

e resolvendo a equao, temos

dydx = 1 2xy3

3x2y2 15y2 .O ponto de tangncia (2, y(2)) = (2, 2) e o declive dado por

dy

dx(2, 2) = 11

4.

Derivada de ordem superior: A taxa de variao de uma funo f(x) em relao ax, dada pela sua derivada f(x). Analogamente, a taxa de variao de uma funo f(x)em relao a x, dada pela sua derivada f(x).

Exemplo 1.4.12. Sef(x) = ln(x2 1),

ento

f(x) =2x

x2 1e

f(x) =2(x2 1) 2x(2x)

(x2 1)2 =2x2 2(x2 1)2

Como a derivada de uma funo f(x) ainda uma funo, podemos aplicar as regrasda derivao sucessivamente e obter a derivada de ordem n, f(n)(x).

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1.4.3 Teoremas de Rolle, Lagrange e CauchyUma das aplicaes da noo de derivada a localizao dos zeros de uma funo. Co-meemos por enunciar o Teorema de Rolle:

Teorema 1.4.13. Seja f uma funo contnua num intervalo fechado [a, b] e diferencivelem ]a, b[. Se f(a) = f(b), existe pelo menos um nmero c pertencente a ]a, b[ tal quef(c) = 0.

Este teorema garante que o grfico de f admite uma tangente horizontal num pontointerior de ]a, b[. Como consequncias do Teorema de Rolle, temos os seguintes corol-

rios:Corolrio 1.4.14. Se a e b so zeros de uma funo contnua f no intervalo [a, b] ediferencivel em ]a, b[, ento existe pelo menos um zero da derivada f em ]a, b[.

Podemos enunciar, que entre dois zeros de uma funo (contnua e diferencivel) hpelo menos um zero da derivada.

Corolrio 1.4.15. Se f diferencivel num intervalo I [a, b] e se a e b so zerosconsecutivos de f, ento no pode haver mais do que um zero da derivada f em ]a, b[.

Devemos notar que, conjugando este resultado com o teorema de Bolzano para fun-

es contnuas, podemos afirmar:

1. Se a funo assumir valores de sinais contrrios para dois zeros consecutivos daderivada, entre esses dois nmeros existe um zero da funo;

2. Se o sinal for o mesmo, no h zero algum da funo entre os dois zeros da derivada.

Exemplo 1.4.16. Vamos determinar o nmero de solues da equao

3x4 2x3 3x2 + 1 = 0

e a sua localizao grfica. Comecemos por considerar a funo contnua e diferencivel

f(x) = 3x4 2x3 3x2 + 1.

A sua derivada f(x) = 12x3 6x2 6x

e admite os zeros 12

, 0, 1.

Temos

f(1

2

) =11

6

> 0; f(0) = 1 > 0; f(1) =

1 < 0.

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Alm disso,lim

x+f(x) = +

elim

xf(x) = +.

Ento, podemos concluir que:

em ]0, 1[ existe um zero da funo; em ]1

2, 1[ no h nenhum zero da funo

em ]1, +

[ existe um zero da funo.

em ] , 12

[ no h nenhum zero da funo.

A partir do teorema de Rolle vamos estabelecer uma das mais importantes conclusessobre as derivadas, que o Teorema de Lagrange ou Teorema do valor mdio.

Teorema 1.4.17. Se f uma funo contnua num intervalo fechado [a, b] e diferencivelem ]a, b[, ento existe um nmero c pertencente a ]a, b[ tal que

f(c) =f(b) f(a)

b a .A frmula

f(b) f(a) = f(c)(b a)relaciona o acrscimo f(b) f(a) de f(x) com o acrscimo b a da varivel x, porisso o teorema de Lagrange tambm se chama teorema dos acrscimos finitos. Comoconsequncias imediatas do teorema de Lagrange temos:

Uma funo f que tem derivada nula em todos os pontos de ]a, b[ constante nesseintervalo. Na verdade, se x1, x2 ]a, b[, ento

f(x2) f(x1) = (x2 x1)f(c) = 0Logo

f(x2)

f(x1) = 0

f(x

2) = f(x

1).

Duas funes com a mesma derivada diferem de uma constante. Com efeito, sef(x) = g(x), ento f(x) g(x) = 0 e por isso f(x) g(x) = k

Se f admite derivada positiva em todos os pontos de ]a, b[, estritamente crescentenesse intervalo. Basta considerar x1, x2 ]a, b[ e

f(c) =f(x2) f(x1)

x2 x1 .

Como f(c) > 0, ento f(x2) f(x1) e x2 x1 tm o mesmo sinal, portanto afuno crescente.

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Se f admite derivada negativa em todos os pontos de ]a, b[, estritamente decres-cente nesse intervalo.

Exemplo 1.4.18. Vamos determinar os intervalos de monotonia da funo f(x) = x2ex.Como f(x) = 2xex + x2ex = ex(2x + x2), ento:

f(x) > 0 x ] , 0[]2, +[

ef(x) < 0 x ]0, 2[

Temos ento que a funo f montona crescente em ] , 0[]2, +[ e montonadecrescente em ]0, 2[.O Teorema de Cauchy relaciona os acrscimos de duas funes e uma generalizao

do teorema de Lagrange.

Teorema 1.4.19. Se f e g so duas funes contnuas em [a, b], diferenciveis em ]a, b[ ese g(x) = 0, x ]a, b[ ento existe pelo menos um nmero c de ]a, b[ tal que

f(c)g(c)

=f(b) f(a)g(b) g(a) .

Como uma consequncia prtica muito importante temos a Regra de Cauchy, que nospermite resolver indeterminaes no caso dos limites de funes:

Teorema 1.4.20. Sejam f e g funes diferenciveis em ]a, b[. Se

g(x) = 0, g(x) = 0, x ]a, b[, limxa

f(x) = limxa

g(x) = 0

e existir

limxa

f(x)g(x)

,

entolimxa

f(x)

g(x)= lim

xaf(x)g(x)

Facilmente se prova que este corolrio tambm aplicvel nos seguintes casos:

Se a varivel x , isto ,

limx

f(x)

g(x)= lim

xf(x)g(x)

;

Se a indeterminao for do tipo

, seja a finito ou infinito;

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Se f e g tendem para 0, quando x tende para a, ento

limxa

f(x)

g(x)= lim

xaf(x)g(x)

= limxa

f(x)g(x)

.

Exemplo 1.4.21. Vamos calcular

limx

log x

x

2

Claro que

limx

log x

x

2

=

limx

log x

x

2

Alm disso,

limx

log x

x= lim

x1

x= 0.

Logo,

limx

log x

x

2= 0

1.4.4 Estudo de funes e problemas prticos de optimizaoVimos j que o sinal da funo derivada f nos permite determinar os intervalos de mo-notonia da funo f. Vamos agora identificar os mximos e mnimos relativos de umafuno e estudar um procedimento para os localizar.

Definio 1.4.22. Uma funo f possui um mximo relativo em x = c se existir umintervalo aberto I que contm c, tal que f definida em I e f(c) f(x), x I.Definio 1.4.23. Uma funo f possui um mnimo relativo em x = c se existir umintervalo aberto I que contm c, tal que f definida em I e f(c) f(x), x I.

Realizamos a noo de extremo relativo como um ponto do grfico da funo onde arecta tangente horizontal.

Definio 1.4.24. Diz-se que um ponto c ponto crtico da funo f, quando f definidaem c mas no diferencivel em c, ou f(c) = 0

Proposio 1.4.25. Se uma funo f possui um extremo relativo num ponto c, ento c um ponto crtico de f

Proposio 1.4.26. Seja uma funo f definida e contnua no intervalo ]a, b[ e diferen-civel em ]a, b[, excepto possivelmente em c.

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1. Se f(x) > 0, para todo o x em ]a, c[ e f(x) < 0, para todo o x em ]c, b[, ento fpossui um mximo relativo em c.

2. Se f(x) < 0, para todo o x em ]a, c[ e f(x) > 0, para todo o x em ]c, b[, ento fpossui um mnimo relativo em c.

A representao grfica de uma funo facilitada pelo conhecimento do sentido dasconcavidades do mesmo.

Dizemos que uma curva cncava para cima se o declive das suas tangentes au-menta medida que se percorre a curva da esquerda para a direita.

Dizemos que uma curva cncava para baixo se o declive das suas tangentes dimi-nui medida que se percorre a curva da esquerda para a direita.

Como a variao da funo f dada pelo sinal da funo f, ento temos o seguinte testepara a concavidade:

Proposio 1.4.27. 1. Se f(x) > 0 para a < x < b, ento f cncava para cimaem ]a, b[

2. Se f(x) < 0 para a < x < b, ento f cncava para baixo em ]a, b[

Definio 1.4.28. Diz-se que um ponto c ponto crtico de segunda ordem da funo f,quando f definida em c mas no existe f(c) ou f(c) = 0

Facilmente se percebe que os pontos de inflexo do grfico (pontos de mudana daconcavidade) so os pontos crticos de segunda ordem.

Vamos ento sumarizar os passos a considerar no traado de grficos de funes:

Calcular f, determinar todos os pontos crticos de primeira ordem e represent-losgraficamente.

Calcular f, determinar todos os pontos crticos de segunda ordem e represent-los

graficamente.

Dividir o eixo dos x em intervalos de acordo com os pontos crticos de primeira e desegunda ordem. Construir uma tabela para analisar o sinais da primeira e segundaderivadas em cada desses intervalos.

Construir o grfico em cada intervalo, de acordo com os dados da tabela.Exemplo 1.4.29. Consideremos a funo

f(x) =x

(x + 1)2.

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A primeira derivada,f(x) =

1 x(x + 1)3

tem um zero no ponto (1, f(1) = (1, 14

). Alm a funo no est definida em x = 1.Derivando novamente, temos

f(x) =2x 4

(x + 1)4.

O ponto crtico de segunda ordem correspondente (2, 29

). A seguinte tabela traduz ocomportamento da funo:

Intervalo f(x) f(x) monotonia de f concavidade de fx < 1 - - decrescente para baixo

1 < x < 1 + - crescente para baixo1 < x < 2 - - decrescente para baixo

x > 2 - + decrescente para cima

Usando a informao obtida em cada intervalo e atendendo descontinuidade dafuno em x =

1, facilmente chegamos ao grfico.

Os problemas de mximos e mnimos tm grande aplicao nas reas da Gesto. Porvezes a funo a maximizar tem significado prtico apenas quando a varivel indepen-dente um nmero inteiro. Observemos o seguinte exemplo:

Exemplo 1.4.30. Um fazendeiro em um de Julho pode vender cada saca de batatas a 200euros, verificando-se uma reduo diria de 2 euros em cada saca, aps esta data. O

fazendeiro estima que em um de Julho tem 80 sacas e a produo aumentar de uma sacapor dia. Quando deve o fazendeiro colher as batatas de modo a maximizar a receita?

Claro que a resoluo deste problema passa pela determinao do valor mximo

da funo receita, dada pelo produto do preo da saca no dia t pelo nmero de sacasprevistas para esse dia, isto ,

r(t) = (200 2t)(80 + t).

Atendendo a que se trata de uma funo contnua e

r(t) = 4t + 40,

ento o valor mximo da receita ocorre quando t = 10 (note que r(t) > 0 quando t < 10e r(t) < 0 quando t > 10). O fazendeiro deve colher as batatas no dia 10 de Julho.

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1.5. Exerccios propostos 25

Na maioria dos problemas prticos de optimizao, o objectivo calcular o mximoabsoluto ou o mnimo absoluto de uma certa funo num intervalo significativo. O m-

ximo absoluto de uma funo num intervalo o maior valor da funo nesse intervalo. Omnimo absoluto de uma funo num intervalo o menor valor da funo nesse intervalo.Claro que se o intervalo em causa for fechado, ento os extremos absolutos (mximo emnimo) podero ocorrer numa extremidade do intervalo.

Para calcular os extremos absolutos de uma funo contnua f num intervalo fechado[a, b] devemos atender ao seguinte:

Calcular todos os pontos crticos de f em [a, b].

Calcular a imagem atravs de f, desses pontos crticos e das extremidades a e b. Seleccionar o maior e o menor valor obtido para f(x). Estes sero o mximo abso-

luto e o mnimo absoluto, respectivamente.

Por exemplo, vamos calcular os extremos absolutos de f(x) = 2x3 + 3x2 12x 7em [3, 0]. Temos f(x) = 6x2 + 6x 12 e os pontos crticos ocorrem quando x = 2e x = 1. Destes pontos, apenas x = 2 est no intervalo [3, 0]. Calculamos:

f(2) = 13, f(3) = 2, f(0) = 7.

Comparando estes trs valores conclumos que o mximo absoluto de f em [3, 0] f(2) = 13 e o mnimo absoluto f(0) = 7.

1.5 Exerccios propostos

1. Supe-se que a populao de uma certa comunidade, daqui a t anos de

p(t) = 20 6t + 1

milhares.

(a) Qual a populao da comunidade, daqui a 9 anos?

(b) De quanto crescer a populao durante o 9o ano?

(c) Ao longo desse tempo, o que acontece ao tamanho da populao?

2. Nas alneas seguintes, calcule os valores indicados para a funo dada.

(a) f(t) = (2t 1)3/2, f(1), f(5), f(3);(b) f(x) = x

|x

2

|, f(1), f(2), f(3);

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(c) f(x) = 3 se x < 5x + 1 se 5 x 5

x se x > 5, f(6), f(5), f(16);

3. Prove que f(f(x)) = x, quando f(x) = 1 x.4. Calcule f(x + 3), quando f(x) = (2x + 6)2.

5. Determine o domnio das seguintes funes:

(a) f(x) =

2x 6;

(b) f(x) = x+1x2+2 ;

(c) f(x) =x24x4 ;

(d) f(x) = |x 1| (x2 9)1/2.6. Considere as funes f(x) =

x e g(x) = x2 4.

Determine (f g)(1), fg

(1); (f + g)(x); (f g)(x) e fg

(x).

Indique o domnio das funes f + g, f g e fg

.

7. Considere as funes f(x) =

x 3 e g(x) = 4x 12.Determine, caso exista, (f g)(1), (f g)(x), (g f)(1), (g f)(x).Indique o domnio das funes compostas (f g) e (g f).

8. Numa certa fbrica, o custo do fabrico de q unidades durante o horrio de trabalho de c(q) = q2 + q +900 euros. Nas primeiras t horas de produo de um dia normalde trabalho, fabricam-se q(t) = 25t unidades.

(a) Expresse o custo de fabrico em funo de t.

(b) Quanto ter sido o gasto na produo na 3a hora?

(c) Quando ser que o custo de produo atinge 11.000 euros?

9. Verifique se as seguintes funes so pares ou mpares e indique as implicaes nasua representao grfica:

(a) f(x) = |x| + 1;(b) g(x) = |x + 1| |x|;

(c) h(x) = x3 + 5x;(d) j(x) = x32x2+5 ;

10. Prove que as funes f e g definidas por f(x)3x7x+1

e g(x)7+x3x so inversas uma da

outra.

11. Justifique se a funo g definida por g(x) = |x + 2| invertvel.12. Determine a inversa das seguintes funes, caso exista:

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(a) f(x) = 7x3; (b) g(x) = xx1 ; (c) h(x) = x2 3x + 2.13. Determine cada um dos seguintes limites:

(a) limx 12|1 2x|;

(b) limx1 x31

x21 ;

(c) limx024x

x;

(d) limx3 x22x3x3 ;

(e) limx0x+22

x;

(f) limx11/x1

1x .

14. Determine a continuidade das seguintes funes, nos pontos indicados:

(a) f(x) = x29x3 se x = 3

6 se x = 3, em x = 3;

(b) f(x) =

3 x2 se x < 14 se x = 1

x22x3x+1

se x > 1, em x = 1.

15. Determine o conjunto dos valores para os quais cada das seguintes funes cont-nua:

(a) f(x) = |x| x;(b) f(x) = |x|

x;

(c) f(x) = x24x+3x1 ;

(d) f(x) = 11+

|x

|;

(e) f(x) =

4 x2;(f) f(x) = 5(2x+1)

4x3

1

.

16. Esboce no mesmo sistema de eixos os grficos dos seguintes pares de funes:

(a) f(x) = 3x e g(x) = 4x;

(b) f(x) = (12

)x e g(x) = (14

)x;

(c) f(x) = ex e g(x) = ex.

17. Use as propriedades dos logaritmos e calcule:

(a) ln

e ;

(b) eln 5;

(c) f(x) = e3ln22ln5;

(d) ln e3

ee1/3 ;

(e) eln(x24)

x+2;

(f) e ln(1/x).

18. Resolva as seguintes condies, em ordem varivel x.

(a) log4(x) = 3 ;

(b) logx(4) = 0, 4;

(c) logx(7) =12

;

(d) 2 = e0,06x;

(e) 3ln(x) 12

ln(x) = 5;

(f) ln(x) = 13

(ln(16) +2 ln(2).

19. Caracterize a inversa das seguintes funes e esboce no mesmo plano cartesiano afuno dada e a sua inversa.

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(a) f(x) = e2x+1 ; (b) f(x) = ln(3x 2); (c) f(x) = 2 ln(3x).20. Nos problemas que se seguem, atenda s seguintes frmulas:

i) Se aplicarmos P euros a uma taxa de juros anual r e os juros forem capitaliza-dos k vezes por ano, o montante S(t) aps t anos dado por S(t) = P(1+ r

k)kt

euros.

ii) Se aplicarmos P euros a uma taxa de juros anual r e os juros forem capita-lizados continuamente, o montante S(t) aps t anos dado por S(t) = P ert

euros.

(a) Em quanto tempo uma quantia duplicar o valor, se investida a uma taxa dejuros anual de 0, 06, capitalizados continuamente?

(b) Em quanto tempo uma quantia duplicar o valor, se for investida a uma taxade juros anual de 0, 08 e os juros forem capitalizados trimestralmente?

21. Determine o declive da recta tangente ao grfico de cada uma das funes, no pontoindicado:

(a) f(x) =

x em (9, 16); (b) f(x) = 3x+2

em (1, 1).

22. O imposto anual pago pelo aluguer de determinada mquina x anos aps 2000 dei(x) = 20x2 + 40x +600. Qual foi a taxa de crescimento do imposto relativamenteao tempo, em 2004?

23. Esboce o grfico das seguintes funes, analise a continuidade e, caso seja neces-srio, determine atravs do clculo de f(x+) e de f(x ), quando f diferen-civel.

(a) f(x) =

x29x3 se x 2

6 se x > 2;

(b) f(x) = 1 |x 3|;

(c) f(x) =

|x + 2| se x = 21 se x = 2

.

24. Considere a funo

f(x) =

x29x3 se x 2

6 se x > 2.

Determine os valores de a e b para que f(1) exista.

25. Aplique as regras bsicas para a diferenciao e indique a derivada das seguintesfunes:

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(a) f(x) = x2

4 x3

3 + 1 ;

(b) f(x) = xln(x)

;

(c) f(x) = 25x

2

3x2;

(d) f(x) = (6x2 + 7)2;

(e) f(x) = (x2 8)( 2x 1);

(f) f(x) = 2x2+x+1

x23x+2 ;

(g) f(x) = ln x2 + 4x + 1;

(h) f(x) = (3x + 1)e3x;

(i) f(x) =3x53(x2+3)4

.

26. Calcule a derivada das seguintes funes com o auxlio da regra da cadeia:

(a) f(x) = (2x4 x + 1)4;

(b) f(x) = 1(4x+1)5

; (c) f(x) =

x4 x2 + 3.

27. Considere as seguintes funes y = f(x), definidas implicitamente. Calcule y(x),por diferenciao implcita.

(a) xy2x2y+x2+2y2 = 0;(b) x4y3 3xy = 60;

(c) 1x

+ 1y

= 1;

(d)

x +

y = 6;

(e) ex/y = 3xy2;

(f) ln xy

= x3y2.

28. Mostre que y = 5xe4x satisfaz a equao diferencial y + 8y + 16y = 0.

29. Calcule a derivada de 2a ordem das seguintes funes:

(a) f(x) = e2x

ex

+1

; (b) f(x) = e1/x2

+ 1

ex2

; (c) f(x) = ex ln

x.

30. Esboce o grfico de uma funo f(x) definida para todo o x R, tal que f(x) > 0,f(x) > 0 e f(x) > 0.

31. Verifique se podemos aplicar o teorema do valor intermdio (teorema de Bolzanosobre continuidade) s seguintes funes, no intervalo indicado. Caso afirmativodetermine esse valor.

(a) f(x) = x1x+1

, em [0, 3] ; (b) f(x) =

x + 1 em [3, 8].

32. Verifique se podemos aplicar o teorema do valor mdio (teorema de Lagrange) s

seguintes funes, no intervalo indicado. Caso afirmativo determine esse valor.

(a) f(x) =

x2 + 1 se x < 13 x se x 1 . em

[0, 3];

(b) f(x) =|x| em [1, 1].

33. Seja a funo f, definida por

f(x) =

ex1 se x 1

1 + ln x se x > 1.

Mostre que:

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(a) f(x) contnua em R;(b) f(x) tem derivada finita em R;

(c) Em nenhum intervalo real aplicvel o Teorema de Rolle.

34. Prove que a equao ln(x2 + 1) = x, tem no mximo duas razes em R.

35. O lucro P em euros, obtido pela produo de x toneladas de uma liga metlica, dado por P = 12.000x 30x2. Quantas toneladas devem ser produzidas paramaximizar o lucro?

36. Uma companhia de televiso pretende operar numa pequena cidade. Prev-se queaproximadamente 600 pessoas subscrevem o servio se o preo por assinante for de5 euros por ms. A experincia mostra que cada 5 cntimos de aumento no preoda subscrio individual, 4 das 600 pessoas iniciais decidiro no o subscrever. Ocusto da companhia, por ms de subscrio est estimado em 3, 5 euros. Qual opreo que trar maior lucro para a companhia?

37. Uma fbrica produz rdios por 5 euros cada e avalia que se cada rdio for vendidoa x euros, os consumidores compraro aproximadamente 1.000e0,1x rdios porsemana. Qual dever ser o preo unitrio da venda dos rdios para maximizar olucro?

38. Admitindo que o crescimento da populao de um certo pas segue a funo P(t) =160t

1+8e0,01t milhes de habitantes, qual o ano em que se verifica um maior aumentodessa populao?

39. Seja a funo definida por f(x) = ln(2 + 1x

).

(a) Determine o domnio da funo.

(b) Prove que o ponto (1, 0) pertence ao grfico da funo.(c) Prove que f montona decrescente em todo o seu domnio

(d) Prove que as rectas de equao x = 0 e x = 1/2 so assimptotas do grficoda funo.(e) Esboce o grfico da funo.

40. Suponha que f e g so funes pares. Prove que f + g, f g, f.g e f /g tambmso funes pares.

41. Uma folha de papel dispe de 18 centmetros quadrados para impresso de umjornal. As margens superior e inferior esto a 2 centmetros da extremidade cor-respondente ao papel. Cada margem lateral deve ser de 1 centmetro. Quais asdimenses da folha de papel para que a rea total seja mnima?

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1.5.1 Solues

1. (a) P(9) = 19, 4 milhares;

(b) P(9) P(8) = 2, 67;(c) A populao cresce.

2. (a) f(1) = 1, f(5) = 127

, f(13) = 1125

.

(b) f(1) = 0, f(2) = 2, f(3) = 2).

(c) f(6) = 3, f(5) = 4, f(16) = 4.3.

4. f(x + 3) = 4x2.

5. (a) Df =] , 2[[2, +[\{4}.(b) Df = R.

(c) Df = [3, +[.(d) Df =] , 3[[3, +[.

6. f g(x) = x2 4, (f g)(1) = 4, (f + g)(x) = x + x2 4, fg

(x) =x

x24 ,

Df+g = R+0 , Dfg =] , 2[[2, +[ e D fg = [0, +[\{2}.

7. fg(x) = 4x 15, gf(x) = 4x 312,Dfg = [154 , +[,Dgf = [3, +[.

8. (a) c q(t) = 125t2 + 25t + 900.(b) c q(3) = 1359 Euros.(c) Quando se tiverem fabricado 100 unidades.

9. f par e , consequentemente, o seu grfico simtrico em relao ao eixo dos yy,h e j so mpares e os seus grficos so simtricos em relao origem, g no par

nem mpar.

10.

11. Sim, f1(x) = 2 + x x 0

2 x x < 0 }.

12. (a) f1(x) = 3x

7, Df1 = D

f1 = R.

(b) g1(x) = g(x).

(c) No existe h1.

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13. (a) 0.(b) 3.

(c) 14 .(d) 4.

(e) 24 .(f) 1

2.

14. (a) f contnua em x = 3.

(b) f no contnua em x = 1.

15. (a) R.

(b) R\{0}.(c) R\{1}.(d) R.

(e) [2, 2].(f) R\{ 3

44

}.

16.

17. (a) 12

(b) 5

(c) 825

(d) 196

(e) x 2(f) x

18. (a) x = 43.

(b) x = 25.

(c) x = 49.

(d) x = ln20,06

.

(e) x = e2.

(f) x = 4.

19. (a) f1(x) = 1+ln(x)2

,Df1 = R+,Df1 = R.

(b) f1

(x) =2+ex

3 ,Df1 = R,Df1 =]23 , +[.

(c) f1(x) = e2x

3,Df1 = R,D

f1 =]0, +[.

20. (a) t = ln(2)0,06

anos. (b) t = log1,02(2)4

anos.

21. (a) m = 16

. (b) m = 13

.

22. i(4) = 200.

23. (a) Funo contnua, no diferencivel.

(b) Funo contnua, no diferencivel.(c) Funo no contnua, no diferencivel.

24. a = 2, b = 1.

25. (a) f(x) = x3 x2.(b) f(x) = ln(x)1

ln2(x).

(c) f(x) = 25x2

+ 22

3x3.

(d) f(x) = 24x(6x2+7).

(e) f(x) = 2 2x +16x2 .

(f) f(x) = 9x2+6x+5

(x23x+2)2 .

(g) f(x) = 2x+4x2+4x+1

.

(h) f(x) = 9xe3x.(i) f(x) = 5x

4

3 3

(x5

2)2(x2+3)4

8x 3x53

(x2+3)5.

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26. (a) f(x) = 32x3

+42x4x+1 . (b) f(x) = 20(4x+1)6 . (c) f(x) = 2x3

xx4x2+3 .

27. (a) dydx

= 2xyx2+4y

y22xy+2x .

(b) dydx

= 3x4y23x

4x3y33y .

(c) dydx

= x2

y2.

(d) dydx

=xy

.

(e) dydx

=1xeyx6xy

yx2

eyx3y2

.

(f) dydx

= x2x4y2

13x3y3 .

28.

29. (a) f(x) =e4x+3e3x+4e2x

(ex+1)2

(b) f(x) = 9e1x3

14x3x8

212x2ex2

(c) f(x) = ex

4x

lnxx

+ ex

x

+ e

x

4x

1lnx

x+

xex2e

x

x

30. O grfico da funo ex.

31. (a) Sim. O ponto x = 1. (b) No.

32. (a) No, f no diferencivel. (b) No, f no diferencivel.

33.

34.

35. 200 toneladas.

36. x representa o nmero de acrscimos de 5 cntimos e a funo lucro dada porL = (600 4x)(5 + 0, 05x) 3, 5(600 4x). L tem um mximo em x = 60,logo o preo da assinatura que implica maior lucro para a empresa dado por P =5 + 0, 005 60 = 8 euros.

37. x representa o preo a que vendido cada rdio e a funo lucro dada por L =1000e0,1xx 5000e0,1x. O preo de cada rdio de modo a optimizar o lucro dex = 15 euros.

38. t = 1100

ln(0, 625).

39. (a) Df =] , 12 []0, +[;40.

41. As dimenses da folha de papel devero ser 6 e 3.

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Captulo 2

Tcnicas de primitivao

Na Matemtica Aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma funoe desejarmos encontrar a funo. Por exemplo, determinar a funo lucro de um certoproduto quando conhecemos a margem de lucro, ou conhecendo a taxa de inflao pode-mos querer obter estimativas de preo, no futuro. Numa das seces anteriores tratamos oproblema das tangentes. Vamos agora estudar o problema inverso do das tangentes: dadaa derivada da funo, determinar a prpria funo.

2.1 Primitivao como o problema inverso de derivao

Ao processo de determinao de uma funo a partir da sua derivada d-se o nome deprimitivao, antidiferenciao ou integrao indefinida. Se f e g so funes tais queg = f, dizemos que g uma primitiva de de f. Por exemplo g(x) = x2 uma primitivade f(x) = 2x.Notar que tambm a famlia de funes h(x) = x2 + c, c R uma primitiva def(x) = 2x. Isto, geometricamente, porque os grficos de h(x) = x2 + c so obtidospor uma translao vertical do grfico de g(x) = x2 que no muda a inclinao da rectatangente para um dado valor de x.

Definio 2.1.1. Uma funo g diz-se uma primitiva de uma funo f sobre um conjuntode nmeros I, se g(x) = f(x) para todos os valores de x em I.

Sabemos que qualquer funo constante tem derivada nula, logo uma funo constante uma primitiva da funo nula.

Proposio 2.1.2. Se g uma funo tal que g(x) = 0 para todos os valores de x emalgum intervalo aberto I, ento g tem valor constante em I.

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36 2. Tcnicas de primitivao

Proposio 2.1.3. Se g uma primitiva da funo f num intervalo aberto I, ento afuno h com domnio I uma primitiva de f em I somente se h = g + c, para algumaconstante c.

Nota 2.1.4. A notao

f(x)dx = g(x) + c, significa que a funo g uma primitiva dafuno f, tal que g(x) = f(x) vale para todos os valores de x no domnio de f.

Exerccio 2.1.5. Verifique que

x2dx =

1

3x3 + c.

2.2 Primitivao imediata

Atendendo a que a integrao indefinida (ou antidiferenciao) inverte a diferenciao,cada regra de diferenciao fornecer uma regra correspondente para integrao. Vamosobservar algumas dessas regras:

1.

dx = x + c

2.

f(x)dx = f(x) + c

3.

xndx = xn+1

n+1

4.

f(x)dx =

f(x)dx

5.

(f + g) =

f dx +

gdx

6.

f

fdx = ln f + c

7. fefdx = ef + cVamos agora observar algumas aplicaes prticas das regras anteriores.

Exemplo 2.2.1. (3ex +

2

x 1

2x2)dx =

3

exdx + 2

1

xdx 1

2

x2dx =

3ex + 2ln x 16

x3 + C.

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2.3. Algumas regras de integrao 37

Exemplo 2.2.2. Consideremos que a populao de uma certa cidade varia segundo ataxa de 2 + 6

x pessoas por ms. Vamos determinar a populao daqui a 9 meses,

sabendo que a populao actual de 5000 pessoas.Daqui a x meses, o nmero de elementos ser dado por

p(x) =

(2 + 6

x)dx = 2x + 4x3/2 + c

para alguma constante c.Como p(0) = 5000, ento 2(0) + 4(0)3/2 + c = 5000, ou c = 5000.

Logo,

p(x) = 2x + 4x3/2 + 5000.

Exemplo 2.2.3. (

ex

3 + 2exdx =

1

2

2ex

3 + 2exdx =

1

2ln(3 + 2ex) + C.

Exemplo 2.2.4. 2 + lnx

xdx =

2

3

3

2(2 + lnx)

12

1

xdx =

2

3(2 + lnx)

32 + C.

2.3 Algumas regras de integrao

2.3.1 Primitivao por substituio

A tcnica de primitivao por substituio uma consequncia do teorema da derivada dafuno composta. Por exemplo, a derivada da funo

f(x) = (x2 + 3x + 5)9

f(x) = 9(x2 + 3x + 5)8(2x + 3)

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e pode ser calculada, usando a regra da cadeia.De facto, se f(u) = u9 e u(x) = x2 + 3x + 5, temos

(f u)(x) = f(u(x))u(x) = 9(x2 + 3x + 5)8(2x + 3).

Considerando que F(u) a primitiva de f(u), entof(u)

du

dxdx = F(u) + c

porque, pela regra da cadeia,

d

dx[F(u)] = F(u)

du

dx= f(u)

du

dx

Tcnica da substituio:Para integrar um produto da forma f(u)du

dx, onde um dos factores, du

dx, a derivada de

uma expresso u que aparece no outro factor, deve proceder-se do seguinte modo:

1. Determinar a primitiva

f(u)du do factor f(u), em relao a u.

2. Substituir u, no resultado pela sua expresso na varivel x.

De facto, f(u)

du

dxdx =

f(u)du.

Podemos ainda aplicar este mtodo nos casos em que, mesmo no tendo um produto naforma f(u)du

dx, o possamos obter por considerao de factores constantes.

Exemplo 2.3.1.

x3

ex4

+ 2dx =

1

4

4x3

ex4

+ 2dx = ex4

+ 2 + C

De facto,

4x3ex4 + 2 = f(u)du

dx,

onde f(u) = eu e u = x4 + 2.Logo, pela regra da cadeia, temos

x3ex4 + 2dx =

1

4 f(u)du =1

4 eudu =

1

4eu + c = ex4 + 2 + C

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Exemplo 2.3.2. Para calcular

x1+xdx faremos a mudana de varivel 1 + x = t ouseja, x = t2 1. Para tal x, dx = 2t e temos:

x1 + x

dx =

t2 1t

2tdt =

t2 1dt = t

3

3 t + C.

Regressando varivel x : x

1 + xdx =

2

3(1 + x)

32 2(1 + x) 12 + C.

2.3.2 Primitivao por partes

Vamos agora descrever uma tcnica de integrao que se aplica a produtos f(x)g(x) nosquais um dos factores facilmente integrvel e o outro pode ser simplificado por dife-renciao. A tcnica de primitivao por partes consequncia da regra de derivao doproduto.Derivando f(x)G(x), onde G uma primitiva de g, temos:

d

dx[f(x)G(x)] = f(x)G(x) + f(x)G(x).

Integrando em ordem a x obtemos:

f(x)G(x) = f(x)G(x)dx + f(x)G

(x)dx.

ou f(x)g(x)dx = f(x)G(x)dx f(x)G(x)dx.

Devemos por isso considerar a seguinte tcnica:Tcnica de primitivao por partes

f(x)g(x) = f(x)G(x)

f(x)G(x)dx,

onde G a primitiva de g.

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Exemplo 2.3.3. xexdx

No produto xe2x, sabemos primitivar ambos os factores mas, por diferenciao, o fac-torx simplifica-se, enquanto que o factor e2x no se simplifica. Optamos, por isso,por

primitivare2x: xe2xdx =

1

2e2xx

(

1

2e2x)dx =

1

2e2xx 1

4e2x + C.

Algumas vezes, a integrao por partes resulta num novo integral, onde temos que

voltar a aplicar a integrao por partes. O exemplo seguinte mostra uma dessas situaes:

Exemplo 2.3.4. Vamos calcular x2exdx.

No produto x2ex sabemos primitivar ambos os factores mas, por diferenciao, o factorx2 desce de grau, enquanto que o factor ex no se simplifica. Optamos por isso, por

primitivarex:

x2exdx = exx2 2xe

x = exx2 (2xex 2ex) = exx2 2xex + 2ex + C.

2.3.3 Primitivao de fraces racionais

Tal como j definimos, uma funo racional uma funo h dada por h(x) = P(x)/Q(x),onde P(x) e Q(x) so polonmios e Q(x) no o polinmio nulo. Nesta seco, vamosaprender a determinar o integral de uma funo racional expandindo-a numa soma de fun-es racionais simples, chamadas fraces parciais, e de seguida determinar os integraisdestas fraces parciais. Comeamos por observar que se a fraco P(x)/Q(x) tal queo grau do numerador P(x) maior ou igual que o grau do denominador Q(x)), podemosdividir P(x) por Q(x), obter um quociente f(x) e um resto R(x) de grau inferior ao grau

de Q(x). Podemos, neste caso, escrever:h(x)dx =

P(x)

Q(x)dx =

(f(x) +

R(x)

Q(x))dx =

f(x)dx +

R(x)

Q(x)dx.

Uma vez que f(x) um polinmio, o problema reside apenas no clculo deR(x)

Q(x)dx,

onde a fraco R(x)/Q(x) prpria no sentido de que o grau do denominador maiorque o grau do denominador. Vamos agora discutir os vrios casos:

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Caso em que o denominador um produto de factores lineares distintos

Se considerarmos a soma das fraces

2

x 2 e3

x + 1,

obtemos2

x 2 +3

x + 1=

5x 4(x 2)(x + 1) .

Ento5x 4

(x 2)(x + 1) dx =

2

x 2 dx +

3

x + 1dx = 2 ln |x 2| + 3 ln |x + 1| + c.

Para a decomposio de uma fraco racional em fraces parciais, no caso em que o de-nominador um produto de factores lineares necessrio determinar uma fraco parcialda forma

k

ax + b,

para cada um dos factores lineares. Por exemplo, vamos decompor a fraco

5x 4(x 2)(x + 1)

na forma seguinte:5x 4

(x 2)(x + 1) =A

x 2 +b

x + 1.

Para determinar as constantes das fraces parciais usamos o mtodo da igualdade doscoeficientes. Este mtodo consiste em considerar uma igualdade sem denominadores,equivalente de cima (procurando um denominador comum). Para o exemplo conside-rado, obtemos

5x 4 = A(x + 1) + B(x 2) 5x 4 = (A + B)x + (A 2B).

Igualando os coeficientes de mesma potncia de x em ambos os membros, obtemos osistema

5 = A + B4 = A 2B

cuja soluo A = 2 e B = 3. Consequentemente,

5x 4(x

2)(x + 1)

=2

x

2+

3

x + 1.

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Claro que o sistema a resolver ter tantas mais incgnitas quantos mais factores linearesfizerem parte da decomposio do polinmio denominador.

Caso em que o denominador possui factores lineares repetidosSe o denominador da fraco a decompor contiver um factor da forma (ax + b)k, onde

k > 1, necessrio considerar a soma de k fraces parciais correspondentes da forma

A1ax + b

+A2

(ax + b)2+

A3(ax + b)3

+ ... +Ak

(ax + b)k.

Exemplo 2.3.5. Vamos decompor a fraco

3x2 + 4x + 2

x(x + 1)2,

em cujo denominador consta o factorx + 1 duas vezes. Devemos considerar a igualdade

3x2 + 4x + 2

x(x + 1)2=

A

x2+

B1x + 1

+B2

(x + 1)2.

Pelo mtodo da igualdade dos coeficientes, obtemos

3x2 + 4x + 2 = A(x + 1)2 + B1x(x + 1) + B2x

ou3x2 + 4x + 2 = Ax2 + 2Ax + A + B1x

2 + B1x + B2x

o que equivale ao sistema de equaes lineares

3 = A + B14 = 2A + B1 + B2

2 = A

cuja soluo A = 2, B1 = 1 e B2 = 1. Podemos agora determinar:3x2 + 4x + 2

x(x + 1)2dx =

(

2

x2+

1

x + 1+

1(x + 1)2

)dx = 2x

+ ln |x + 1| + 1x + 1

+ c.

2.4 Exerccios propostos

1. Determine uma funo y = f(x), tal que:

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(a) dydx = 2x(x2 1); (b) dydx = x2(x3 2)6; (c) dydx = x5 + 12x2 2x + 4;2. Calcule a primitiva indicada e comprove as respostas obtidas, derivando-as.

(a)

x3/2dx;

(b)

1x2

dx;

(c)

xdx;

(d)

(3x2 5x + 2)dx;(e)

1

1+2xdx;

(f)

( 12x

2x3

+ 3x

)dx;

(g)

x+1x3

dx;

(h)

x2+3x2x

dx;

(i)

x3(2x + 1x

)dx

3. Estima-se que daqui a t meses, a populao de uma certa cidade variar taxa de4 + 5t2/3 pessoas por ms. Se a populao actual de 10.000 pessoas, qual ser apopulao daqui a 8 meses?

4. Foi transplantada uma rvore e, aps x anos, cresce a uma taxa de 1 + 1(x+1)2

metrospor ano. Aps 2 anos, alcanou 5 metros de altura. Qual era a sua altura quando foitransplantada?

5. Calcule as seguintes primitivas:

(a)

x

3x2 + 1dx;

(b) x2(1 4x3)1/5dx;

(c)

(1+x)1/4x dx;

(d)

2+3x1+4x+3x2

dx;

(e) ln(x2)

xdx;

(f)

dxx lnx ;

(g)

2x ln(x2+1)x2+1

dx;

(h) x5e1x6dx;

(i)

(3x2 1)ex3xdx.

6. Use a integrao por partes e calcule:

(a)

xexdx;

(b)

(3 2x)exdx;(c)

x ln(x2)dx;

(d)

x(x + 1)8dx;

(e)

x2x+1

dx;

(f)

ln(x)x2

dx;

(g)

x3(x2 1)10dx;(h)

x3ex

3dx;

(i)

x(ln x)2dx.

7. As estatsticas estimam que daqui a x anos, o nmero de prisioneiros de uma peni-tenciria aumentar a uma taxa de

280e

0,2x prisioneiros por semana. Actualmenteexistem 2.000 prisioneiros nesta penitenciria. Quantos prisioneiros l estaro da-qui a 10 anos, aproximadamente?

8. Expresse cada uma das seguintes funes racionais imprprias como a soma de umpolinmio e uma funo racional prpria, e de seguida integre:

(a)

12x17(x1)(x2)dx;

(b)

14x122x22x12dx;

(c)

102xx2+5x

dx;

(d)

9x224x+6x35x2+6xdx;

(e)

16x2+3x7x3x dx;

(f)

6x29x+9x33x2 dx.

9. Calcule afuno f(x) tal que:

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(a) f(x) = (1 + x2)(2 x) e f(0) = 1;(b) f(x) = 1

2ln(x+1

x1) e f(2) = 1;

(c) f(x) = (e2 + 3x2 2e3x e f(0) = 3.10. Indique qual das seguintes famlias de funes representam

ln(x)dx:

(a) f(x) = 1x

+ c; (b) f(x) = x ln(x) x + c;(c) f(x) = 12

(ln x)2 + c.

11. O preo de revenda de uma certa mquina decresce a uma taxa que varia com otempo de uso. Estima-se que a taxa de variao do seu valor aps t anos de uso

dada por 960et/5 euros por ano. Se a mquina foi comprada nova por 5.000euros, quanto valer 10 anos depois?

12. Calcule

x3 ln(x2)dx.

13. Expresse a funo x2+1

x21 como a soma de um polinmio e uma funo racional pr-pria, e de seguida integre.

14. Determine qual das seguintes familias de funes representam

x

x + 1dx.

(a) 23

x(x + 1)3/2 415

(x + 1)5/2 + c;

(b)13x

2

(x + 1)3/2

+ c;(c) 2

3(x + 1)3/2 + c.

2.4.1 Solues

1. (a) f(x) = 12

(x2 1)2 + c(b) f(x) = 1

21(x3 2)7 + c.

(c) f(x) = 16

x6 + 16

x3 x2 + 4x + c.

2. (a) 25x5/2 + c;(b) 2

5x5/2 + c;

(c) 1x

+ c;

(d) 23

x3/2 + c;

(e) x3 52

x2 + 2x + c;

(f) 12

ln |1 + 2x| + c;(g) 1

2ln |x| + 1

x2+ 6

x + c;

(h)

1x

1

2x2+ c;

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(i) 25x5/2 + 2x3/2 4x1/2 + c;(j) 2

5x5 + 1

3x3 + c.

3. 10128

4. 9

5. (a) 19

(3x2 + 1)3/2 + c;

(b) 572

(1 4x3)6/5 + c;(c) 8

5(1 + t)5/4 + c

(d) 1 + 4x + 3x2 + c;(e) 1

4ln2(x2) + c;

(f) ln(ln x) + c;

(g) 12

ln2(x2 + 1) + c;

(h) 16

e1x6

+ c;

(i) ex3x + c.

6. (a)

ex(x + 1) + c;

(b) ex(3 2x) + 2ex + c;(c) x

2

2ln x2 x2

2+ c

(d) 19

x(x + 1)9 190

(x + 1)10 + c;

(e) ln x ln(x2) ln2 x + c;(f) 1

xln x 1

x+ c;

(g) 122

x2(x2 1)11 1132

(x2 1)12 + c;(h) 1

2ex

2x2 ex2 + c;

(i) x2

2 (ln x)2 x2

2 ln x + 14x2 + c.

7. 1400e2 + 600.

8. (a) x + 1 + 1x1 ;

x2

2+ x + ln |x 1| + c.

(b) 13

x2 + 29

x 427

+ 827

13x+2

; 19

x3 + 19

x2 427

x + 881

ln |3x + 2| + c.(c) x x

x2+1; x

2

2 1

2ln |x2 + 1| + c.

9. (a) 5 ln |x 1| + 7ln |x 2| + c;(b) 6 ln

|x

3

|+ 8ln

|x + 2

|+ c;

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(c) 2 ln |x| 4 ln |x + 5| + c;(d) ln |x| + 5ln |x 3| + 3ln |x 2| + c;(e) 7 ln |x| + 6 ln |x 1| + 3 ln |x + 1| + c;(f) 3

x+ 2 ln |x| + 4ln |x 3| + c;

10. (a) 2x + 23

x3 14

(1 + x2)2 + 54

;

(b) 12

x ln |x+1x1 | + 12 ln |x1x+1 | + 1 12 ln 3;

(c) e2x + x3 23

e3x + 113

11. b)

12. 480e2

+ 200.

13. x4

4ln(x2) 1

8x4 + c.

14. x + ln |x1x+1

| + c.15. a).

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Captulo 3

Matrizes e Determinantes

Uma matriz um quadro de valores dispostos em filas, linhas e colunas. No contextodeste curso, tais valores sero sempre nmeros reais. As matrizes tm aplicaes eminmeros contextos da modelao matemtica de fenmenos da natureza. Neste curso,vo ser usadas na resoluo de problemas traduzidos por sistemas de equaes lineares,mas antes sero observadas algumas das suas propriedades algbricas.

3.1 Definio e tipos de matrizes

Definio 3.1.1. Uma matriz uma cadeia (array) rectangular de nmeros a que chama-remos entradas.

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...

am1 am2 ... amn

onde aij,i=1,...,m,j=1,...,n so nmeros reais, uma matriz de entradas reais. Abreviadamente

escrevemos: A = [aij ]i=1,...,m,j=1,...,n.

Vamos representar por Li a i-sima linha da matriz e por Cj a sua j-sima coluna. Auma matriz com m linhas e n colunas chamaremos matriz do tipo m porn, escrevendomatriz mn. Em geral, usaremos letra maiscula para designar uma matriz e a respectivaminscula (com ndices) para as suas entradas.

Exemplo 3.1.2. A matriz A =

1 1 0 01 0 0 12 1

1 1

do tipo 3 4.

47

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48 3. Matrizes e Determinantes

Exemplo 3.1.3. A matriz B = 21 do tipo 1 1.

Uma matriz com uma s coluna diz-se uma matriz coluna e uma matriz que s tenhauma linha uma matriz linha. Uma matriz m n com todas as entradas iguais a zerodiz-se matriz nula e denota-se 0mn. Uma matriz do tipo m n diz-se rectangular sem = n e diz-se quadrada de ordem n se m = n.

Exemplo 3.1.4. Na matriz coluna A =

12

2

tem-se a21 = 2.

Exemplo 3.1.5. A matriz

1 12 0

quadrada de ordem 2.

Chamamos diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n A aos elementosaii,i=1,...n.

Exemplo 3.1.6. A diagonal principal da matriz M =

1 0 22 1 1

2 0 1

formada pelos

elementos m11 = 1, m22 = 1, m33 = 1.

Matriz triangular superior aquela que abaixo da diagonal principal s tem 0s. Umamatriz A=[aij] triangular superior sse aij = 0 quando i < j. Matriz triangular inferioraquela que acima da diagonal principal s tem 0s ou seja, uma matriz triangular inferiorse aij = 0 quando i > j.

Definio 3.1.7. Matriz identidade de ordem n (escreve-se In) a matriz quadrada deordem n que tem 1s na diagonal principal e 0s fora dela. Simbolicamente, na matrizidentidade tem-se aij = 0 quando i = j e aij = 1 quando i = j.

I3 = 1 0 0

0 1 00 0 1

a matriz identidade de ordem 3.

Definio 3.1.8. Matriz diagonal aquela que fora da diagonal principal s tem 0s.Matriz escalar uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal so todos iguais.

Exemplo 3.1.9.

1 1 00 1 2

0 0 1

uma matriz triangular superior e 0 0

0 1

uma

matriz diagonal.

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3.2. Operaes com matrizes 49

Definio 3.1.10. Se A for uma matriz quadrada, ento o trao de A a soma dos ele-mentos da diagonal principal de A. Denota-se tr(A).

Exemplo 3.1.11. tr

1 1 00 2 1

1 0 1

= 1 + 2 1 = 0.

Duas matrizes A e B so iguais se e s se forem do mesmo tipo e tiverem os elementoshomlogos iguais isto , se forem do mesmo tipo e aij = bij, i,j.

3.2 Operaes com matrizes

SomaSe A e B forem matrizes do mesmo tipo, ento a soma A + B a matriz (do mesmo

tipo) que se obtm somando cada entrada de A correspondente entrada de B. S possvel somar matrizes do mesmo tipo. Em linguagem simblica, se A = [aij] e B =[bij ],

A + B = [aij + bij].

Exemplo 3.2.1. 1 1 00 1 2

0 0 1 + 1 0 02 1 1

0 0 0

= 2 1 02 2 30 0 1

.

Propriedades 3.2.2. Se A e B forem matrizes m n, ento:1. A + B = B + A; (comutativa)

2. (A + B) + C = A + (B + C); (associativa)

3. A + 0 = 0 + A = A. (a matriz nula o elemento neutro)

Produto por um escalarSe A for uma matriz e c um escalar, ento o produto cA a matriz que se obtm

multiplicando c por cada entrada de A. Em linguagem simblica, se c R e A = [aij],cA = [caij].

Exemplo 3.2.3. 2 1 1 00 1 2

0 0 1

=

2 2 00 2 4

0 0 2

.

Propriedades 3.2.4. Se A e B forem matrizes do tipo m

n e c, dR, ento:

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3.3. Matrizes em escada; inversa de uma matriz quadrada 51

3.3 Matrizes em escada; inversa de uma matriz quadrada

Uma matriz A est em escada de linhas se verificar:

1. cada linha no nula est antes de todas as linhas nulas que existam;

2. se a primeira entrada no nula da linha i estiver na coluna j, todos os elementos dacoluna j nas linhas seguintes so nulos;

3. a primeira entrada no nula de uma linha i no nula est numa coluna posterior

da primeira entrada no nula de todas as linhas seguintes a i.

Exemplo 3.3.1.

1 1 1 1 10 1 0 1 0

0 0 0 0 0

uma matriz em escada de linhas.

A seguir apresentaremos o conceito de matriz inversa de uma matriz quadrada dada edesenvolveremos um mtodo para determinar tal inversa (caso ela exista). Esse mtodo,por recurso a operaes elementares sobre linhas, tambm pode ser usado para transfor-mar uma matriz qualquer numa matriz em escada de linhas.

Definio 3.3.2. Se A for uma matriz quadrada de ordem n e se B for uma matriz do

mesmo tipo tal que AB = BA = In, ento A diz-se uma matriz invertvel e a B chama-se matriz inversa de A.

Definio 3.3.3. Uma matriz que no invertvel diz-se matriz singular.

Exemplo 3.3.4. As matrizes A =

2 51 3

e B =

3 5

1 2

so inversas uma da

outra pois AB = BA =

1 00 1

= I2.

Exemplo 3.3.5. As matrizes 1 21 3

e 1 10 1

no so inversas uma da outra poisAB =

1 11 2

= I2.

Uma matriz invertvel no pode ter mais do que uma inversa:

Exerccio 3.3.6. (Unicidade da inversa) Provar que, se B e C forem ambas inversas deuma matriz A, ento B = C.

Se A for uma matriz invertvel, denotaremos a sua inversa por A1.Consequentemente, AA1 = I e A1A = I.

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Definio 3.3.7. Chamamos operaes elementares sobre as linhas de uma matriz A sseguintes:

1. troca de linhas;

2. multiplicao de uma linha por um escalar no nulo;

3. adio a uma linha de produto de outra por um escalar.

Fazendo uso destas trs operaes bsicas, possvel determinar a inversa da matriz(se ela existir), procedendo do seguinte modo:

- escrever a matriz [A|In] ;- usando as operaes elementares sobre as linhas de [A|In], transformar A na matriz

identidade, colocando 1s na diagonal principal e 0s fora dela;

- se, no fim do processo, no lugar em inicialmente estava In estiver uma matriz comuma linha nula, ento A no tem inversa. Caso contrrio, a matriz que aparece nolugar de In A1.

Por agora, no possvel saber partida (excepto em alguns casos) se A ou noinvertvel.

Exemplo 3.3.8. Determinemos a inversa da matriz A = 1 2 32 5 3

1 0 8

: 1 2 3 | 1 0 02 5 3 | 0 1 0

1 0 8 | 0 0 1

1 2 3 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00

2 5

| 1 0 1

2L1 + L2

L1 + L3

1 2 3 | 1 0 00 1 3 | 2 1 00 0 1 | 5 2 1

2L2 + L3 1 2 3 | 1 0 00 1 3 | 2 1 0

0 0 1 | 5 2 1

L3

1 2 0 | 14 6 30 1 0 | 13 5 30 0 1

|5

2

1

3L3 + L13L3 + L2

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3.3. Matrizes em escada; inversa de uma matriz quadrada 53

1 0 0 | 40 16 90 1 0 | 13 5 30 0 1 | 5 2 1

2L2 + L1

Logo, A1 =

40 16 913 5 3

5 2 1

.

Propriedades 3.3.9. Sejam A e B matrizes de ordem n invertveis. Ento:

1. AB invertvel e (AB)1 = B1A1;

2. A1 invertvel e (A1)1 = A;

3. se c = 0, cA invertvel e (cA)1 = 1c

A1;

4. AT invertvel e (AT)1 = (A1)T;

5. I1n = In.

Exerccio 3.3.10. Determinar a inversa (se existir) da matriz D =

1 6 42 4 1

1 2 5

.

Definio 3.3.11. Uma matriz quadrada invertvel A tal que A1 = AT diz-se uma matrizortogonal.

Exemplo 3.3.12. A matriz A = 12

32

32

12

ortogonal:

ATA = AAT =

12

32

32

12

12

32

32

12

=

1 00 1

.

Definio 3.3.13. Chama-se caracterstica de uma matriz A ao nmero de linhas nonulas da matriz depois de transformada em matriz em escada de linhas. Denota-se c(A).

Exemplo 3.3.14. A caracterstica da matriz D do exerccio anterior 2.

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3.4 Multiplicao de matrizes por blocos

Muitas vezes, no tratamento matemtico de fenmenos, surgem matrizes de grande di-menso, mais fceis de operar depois de divididas em blocos.

Por exemplo, se A =

1 2 13 4 0

0 0 2

e B =

1 2 3 14 5 6 1

0 0 0 1

, o clculo do produto AB

simplificado se se proceder do seguinte modo:

- fazer A = X Y

012 Z

e B = W T

013 U

, sendo X , Y , Z, W, T, U os blocoscorrespondentes de A e B.

- AB =

XW XT + Y U013 ZU

=

9 12 15 419 26 33 7

0 0 0 2

.

No esquecer que a multiplicao de matrizes em blocos s possvel quando asdimenses dos blocos a multiplicar forem as adequadas (nmero de colunas do primeiroigual ao nmero de linhas do segundo).

3.5 Decomposio LUde matrizes

Definio 3.5.1. Uma factorizao A = LU de uma matriz quadrada A em que L triangular inferior e U triangular superior diz-se uma factorizao LU de A.

Seja A uma matriz n n e U a correspondente matriz em escada de linhas obtida pormeio de operaes elementares que no a troca de linhas. Ento, A pode ser escrita comoo produto de uma matriz triangular inferior L, obtida a partir das operaes elementaresefectuadas sobre A, pela matriz triangular superior U. A decomposio LU de matrizes

pode ser muito til na resoluo de sistemas de equaes lineares.O seguinte procedimento permite o clculo da factorizao LU de uma matriz quadradaA.

O agoritmo para a factorizao LU de uma matriz A o seguinte:

Algoritmo 3.5.2. 1. Escrever A em escada de linhas (determinando assim U) semefectuar trocas de linhas, anotando os multiplicadores usados para colocar 1s nadiagonal e 0s abaixo dela.

2. Em cada entrada da diagonal de L, colocar o inverso do multiplicador usado paracolocar 1 na mesma posio em U.

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3.5. DecomposioLUde matrizes 55

3. Em cada entrada abaixo da

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