286 Capitulo Dez

5 A Fig. 10-25a e uma vista superior de uma barra horizontal quepo de girar; duas forcas horizontais atuam sobre a barra, mas ela estaparada. Se 0 angulo entre a barra e F; for diminuido a partir de 90°e a barra nao deve girar, F2 deve au men tar, diminuir ou ser mantidoconstante?

t1,

(a) (b)

Fig. 10-25 Perguntas 5 e 6.

6 A Fig. 10-25b mostra urna vista superior de uma barra horizon-tal qu~ gira, em tomo de urn pivo sob a ac;ao de duas forcas horizon-tais, F, e F;, com F; em um angulo 4> em relacao a barra. Ordeneos seguintes valores de 4> de acordo com 0 m6dulo da aceleracaoangular da barra, do maior para 0 menor: 90°, 70° e 110°.7 Na vista superior da Fig. 10-26, cinco forcas de mesmo moduloatuam sobre urn estranho carrossel; ele e urn quadrado que pode girarem tomo do ponto P, 0 ponto medic de urn dos lados. Ordene asforcas de acordo com os torques que elas produzem em torno doponto P, da maior para a menor.

p

Fig. 10-26 Pergunta 7.

8 a Fig. 10-27, duas forcas, F, e F;, atuam sobre urn disco quegira em tomo de seu centro como urn carrossel. As forcas mantemos angulos indicados durante a rotacao, que ocorre no sentido anti-horario t!. numa taxa constante. Contudo, devemos diminuir 0 angu-10 e de F, sem mudar 0 modulo de F,. (a) Para manter a velocidade

angular constante, devemos aumentar, dirninuir ou manter 0 modu-lo de F; 7 (b) A forca F; tende a girar 0 disco no sentido horario ouanti-horario? (c) E a Iorca F; ?

Fig. 10-27Pergunta 8.

9 A Fig. 10-28 mostra tres discos planos (de mesmo raio) que po-dem girar em tomo de seus centros como carrosseis, Cada disco ecomposto dos mesmos dois materiais, urn mais denso que 0 OUtrO(densidade e massa por unidade de volume). Nos discos 1 e 3, 0

material mais denso forma a metade mais extema da area do disco.No disco 2, ele forma a metade mais interna da area do disco. For-cas com modules identicos sao aplicadas tangencialmente aos dis-cos, seja na borda mais externa, seja na interface entre os dois ma-teriais, como mostrado. Ordene os discos de acordo com (a) 0 torqueem torno de seus centros, (b) 0 momento de inercia em torno deseus centros e (c) a aceleracao angular de cada urn, do maior parao menor.

F -F

Disco 1 Disco 3

Fig. 10-28 Pergunta 9.

10 Uma forca e apJicada na borda de urn disco que pode girar comourn carrossel, de modo a mudar sua velocidade angular. Suas velo-cidades angulares inicial e final, respectivamente, para quatro situ-acoes, sao: (a) -2 rad/s, 5 rad/s; (b) 2 radls, 5 radls; (c) -2 rad/s,- 5 radls; e (d) 2 rad/s, - 5 rad/s. Ordene as situacoes de acordo como trabalho reaJizado pelo torque aplicado, do maior para 0 menor.

Problemas- - --- 0 numero de pontos indica 0 nfvel de dificuldade do problema.

Se~ao 10-2 As Variaveis da Rotacao

-, Qual e a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) doponteiro dos minutos e (c) do ponteiro das horas de urn re16gioanalogico bem ajustado 7 De suas respostas em radianos por segundo.

-2 Urn bomjogador de beisebol pode arremessar uma bola a 85 milh com uma rotacao de 1800 rev/min. Quantas revolucoes a bolaperfaz em uma trajetoria supostamente retilfnea de 60 pes?

-3 Usando lu: estrobosc6pica. Urn disco que gira no senti do hora-rio com uma velocidade angular de m6dulo igual a 107T radls e ilu-rninado apenas por uma luz estroboscopica. Os flashes revelam urn

pequeno ponto preto na borda do disco. Noflash inicial, 0 ponto apa-rece na posicao 12:00 (como na face de urn relogio analogico). Se-jam~,f2,f3'~ e fs os cinco flashes seguintes. Se 0 intervalo de tem-po M entre flashes e 0,20 s, on de aparece 0 ponto em (a)iI e (b) 12?Se b.t e 0,050 s, onde aparece 0 ponto em (c)k (d).!;, (e)fs e (f)~?Se 0 tempo entre flashes b.t e 40 ms, onde aparece 0 ponto em (g)11'(h)J;, (i)13' U)~ e (k)fs?

--4 A posicao angular de urn ponto na borda de uma roda em rota-c;ao e dada por e = 4,Ot - 3,Ot2 + P, onde e esta em radianos e testaem segundos. Quais sao as velocidades angulares em (a) t = 2,0 s e(b) t = 4,0 s? (c) Qual e a aceleracao angular media para 0 intervalode tempo que comeca em t = 2,0 s e termina em t = 4,0 s7 Quantovale a aceleracao angular instantanea em (d) no inicio e (e) no fimdeste intervalo de tempo?

"5 Urn mergulhador perfaz 2,5 revolucoes em sua trajet6ria a partirde uma plataforma de 10 m de altura em direcao a agua. Supondoque sua velocidade vertical inicial seja zero, encontre sua velocida-de angular media no mergulho.

··6 A posicao angular de urn ponto em uma roda em rotacao e dadapor () = 2,0 + 4,0t2 + 2,0t3, onde () esta em radianos e testa emsegundos. Em t = 0, quais sac (a) a posicao angular do ponto e (b)sua velocidade angular? (c) Qual e a sua velocidade angular em t =4,0 s? (d) Calcule sua aceleracao angular em t = 2,0 s. (e) A acele-racao angular da roda e constante?

••• j Aroda na Fig. 10-29 tern oito raios de 30 em igualmente espa-cades. Ela esta montada em urn eixo fixo e gira a 2,5 rev/so Vocedeseja atirar uma flecha de 20 em de comprimento paralelamenteao seu eixo sem atingir qualquer urn dos raios. Suponha que a fle-cha e os raios sac muito finos. (a) Qual e a menor velocidade que aflecba deve ter? (b) 0 ponto entre 0 eixo e a borda da coda onde vocemira tern importancia? Caso sim, qual e sua melhor localizacao?

Fig. 10-29 Problema 7.

Se~ao10-4 Rota~ao com Acelera~ao Angular Constante"S Um tambor gira em torno de seu eixo central com urna velocida-de angular de 12,60 rad/s, Se 0 tambor e entao desacelerado a 4,20rad/s', (a) quanta tempo leva para ele atingir 0 repouso e (b) qual eo seu deslocamento angular neste intervalo?

°9 A velocidade angular do motor de urn autom6vel e aumentadacom uma taxa constante de 1200 rev/min para 3000 rev/min em 12S. (a) Qual e a aceleracao angular em revolucoes por minuto qua-drado? (b) Quantas revolucoes 0 motor executa neste intervalo de12 s?

01'0Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s, e desacelerado comuma aceleracao angular constante de m6dulo 4,0 rad/s-. (a) Quantotempo 0 disco leva para parar? (b) Atraves de que angulo 0 discogira neste intervalo de tempo?

"" Partindo do repouso, urn disco gira em torno de seu eixo centralcom aceleracao angular constante. Em 5,0 s, ele gira 25 rad. Duran-te este tempo, quais sac os m6dulos (a) da aceleracao angular e (b)da velocidade angular media? (c) Qual e a velocidade angular ins-tantanea do disco ao final dos 5,0 s? (d) Com a aceleracao angularmantida, atraves de que angulo adicional 0 disco ira girar nos pr6xi-mos 5,0 s?

",'2 Um carrossel gira a partir do repouso com uma aceleracao an-gular de 1,50 rad/s', Quanto tempo leva para ele executar (a) as pri-meiras 2,00 rev e (b) as pr6xirnas 2,00 rev?

··13 U ma roda tern uma aceleracao angular constante de 3,0 rad/s'',Durante urn certo intervalo de 4,0 s, ela gira atraves de urn angulode 120 rad. Supondo que aroda partiu do repouso, por quanto tem-po ela ja estava em movimento no infcio deste intervalo de 4,0 s?

0°14 Urn disco, com urn raio de 0,25 m, deve girar como urncarrossel atraves de 800 rad, partindo do repouso, ganhando velo-cidade angular a uma taxa constante CI',arraves dos primeiros 400rad e em seguida perdendo velocidade angular a uma taxa cons-tante - CI')ate retornar ao repouso. 0 m6dulo da aceleracao centrf-

Rotacoo 287

peta de qualquer porcao do disco nao deve exceder 400 mI 2. (a)Qual e 0 menor tempo necessario para a rotacao? (b) Qual e 0 va-lor correspondente de CI')?

··15 Uma roda executa 40 rev quando desacelera a partir de umavelocidade angular de 1,5 rad/s ate parar. (a) Supondo que a acele-racao angular e con stante, encontre 0 intervalo de tempo em que istoocorre. (b) Qual e a aceleracao angular da roda? (c) Quanto tempo enecessario para aroda completar as 20 primeiras das 40 revolucoes?

··16 Urn disco gira em torno de seu eixo central partindo do repousocom aceleracao angular constante. Em urn dado instante, ele estagirando a 10 rev/s; ap6s 60 revolucoes, sua velocidade angular e 15rev/so Calcule (a) a aceleracao angular, (b) 0 tempo necessario paracornpletar as 60 revolucoes, (c) 0 tempo necessario para atingir avelocidade angular de 10 rev/s e (d) 0 mimero de revolucoes a partirdo repouso ate 0 instante em que 0 disco atinge a velocidade angu-lar de 10 rev/so

··17 Em t = 0, uma roda tern uma velocidade angular de 4,7 rad/s,uma aceleracao angular constante de -0,25 rad/s", e uma linha dereferencia em 80 = O. (a) Atraves de que angulo maximo 8mdx a li-nha de referencia ira girar no sentido positivo? Quais sac (b) 0 pri-meiro e (c) 0 segundo instante em que a linha de referencia estaraem 8 = t()mAl<?Em que (d) instante negativo e (e) instante positivoa linha de referencia estara em () = -10,5 rad? (f) Faca 0 grafico de()em funcao de t e indique as respostas de (a) a (e) no grafico.

··18 Uma coda, partindo do repouso, gira com uma aceleracao an-gular constante de 2,00 rad/s-. Durante urn certo intervale de 3,00 s,ela gira atraves de 90,0 rad. (a) Por quanto tempo aroda girou antesdo infcio do intervale de 3,00 s? (b) Qual e a velocidade angular darod a no infcio do intervalo de 3,00 s?

Se~ao10-5 Relacionando as Variaveis Lineares e Angulares·19 Entre 1911 e 1990, 0 topo da torre inclinada de Pisa, Italia, mo-veu-se em direcao sul a uma taxa media de 1,2 mmlano. A torre tern55 m de altura. Em radianos par segundo, qual e a velocidade angu-lar media do topo da torre em tome de sua base?

·20 Urn disco de vinil funciona girando em tome de seu eixo, demodo que urn sulco, aproximadamente circular, desliza ob umaagulha que fica na extremidade de urn brace rnecanico. Salienciasno suleo passam pela agulha provocando oscilacoes na mesma. 0equipamento converte essas oscilacoes em sinais eletricos que sacamplificados e transformados em som. Suponha que urn disco devinil gire a 33t rev/min, que a posicao da agulha esteja em urn raiode 10,0 em, e que as saliencias no sulco estejam uniformementeseparadas por 1,75 mm. Com que taxa (toques par segundo) as sali-encias atingem a agulha?

·2' Uma coda com urn diametro de 1,20 m esta girando com uma ve-locidade angular de 200 rev/min. (a) Qual e a velocidade angular daroda em rad/s? (b) Qual e a velocidade linear de urn ponto na borda daroda? (c) Que aceleracao angular constante (em revolucoes por minu-to quadrado) aumentara a velocidade angular da roda para 1000 rev/rnin em 60,0 s? (d) Quantas revolucoes a roda executa nestes 60,0 s?

·22 Urn astronauta esta sendo testado em uma centrffuga. A centrffu-ga tern urn raio de 10m e, ao partir, gira de acordo com e = 0,30t2,on de testa em segundos e ()em radianos. Quando t = 5,0 s, quais sacos m6dulos (a) da velocidade angular, (b) da velocidade linear, (c) daaceleracao tangencial e (d) da aceleracao radial do astronauta?

·23 Quais sac os m6dulos (a) da velocidade angular, (b) da acelera-<;:aoradial, e (c) da aceleracao tangencial de uma nave espacial quefaz uma curva circular de raio igual a 3220 Ian a uma velocidade de29 000 krnlh?

°24 Se a helice de urn aviao gira a 2000 rev/min quando 0 aviao voacom uma velocidade de 480 km/h em relacao ao solo, qual e 0 mo-

288 Capitulo Dez

dulo da velocidade linear de urn ponto na ponta da helice, em urnraio de 1,5 m, em relacao (a) ao piloto e (b) a urn observador no solo?

"25 Urn objeto gira em tomo de urn eixo fixo, e a posicao angular deurna linha de referencia sobre 0 objeto e dada por e = 0,40e2t, ondee esta em radianos e testa em segundos. Considere urn ponto sobreo objeto que esta a 4,0 cm do eixo de rotacao. Em t = 0, quais saoos modules (a) da componente tangencial e (b) da componente ra-dial da aceleracao do ponto?

""26 Uma roda de urn giroscopio de raio 2,83 em e acelerada a partirdo repouso a 14,2 rad/s' ate que sua velocidade angular atinja 2760rev/min. (a) Qual e a aceleracao tangencial de urn ponto na bordada roda neste processo? (b) Qual e a aceleracao radial deste pontoquando aroda esta girando na velocidade maxima? (c) Atraves deque distancia urn ponto da borda se desloca durante este processode aceleracao angular?

""27 (a) Qual e a velocidade angular co em tomo do eixo polar de urnponto na superffcie da Terra na latitude 40° N? (A Terra gira em tomedeste eixo.) (b) Qual e a velocidade linear v deste ponto? Quais sao(c) we (d) v para urn ponto no equador?,""28 Na Fig. 10-30, uma rodaA de raio rA = 10 em esta acoplada poruma correia B a uma roda C de raio rc = 25 cm. A velocidade angu-lar da roda A e aumentada a partir do repouso a uma taxa constantede 1,6 rad/s", Encontre 0 tempo necessario para aroda C atingirumaveloeidade angular de 100 rev/min, supondo que a correia nao des-liza. (Sugestiio: Se a correia nao desliza, as velocidades Iineares nasduas bordas devem ser iguais.)

Fig. 10-30 Problema 28.

""~9Urn antigo metodo para se medir a velocidade da luz fazia uso deurna roda dentada em rotacao. Urn feixe de luz passa atraves de umajanela entre dois dentes vizinhos na borda da roda, como na Fig. 10-31, se propaga ate urn espelbo tlistante e retoma em direcao arodaexatamente a tempo de passar atraves da janela seguinte na extremi-dade da roda. Uma dessas rodas tern urn raio de 5,0 em e 500 janelasao longo de sua borda. Medidas realizadas quando 0 espelbo esta auma distancia L = 500 m da roda indicam 0 valor 3,0 X lOS km/spara a velocidade da luz. (a) Qual e a velocidade angular (constante)da roda? (b) Qual e a velocidade linear de urn ponto em sua borda?

FontedeIuz

deIuz

Espelhoperpendicularao feixe de luz

Roda dentadaem rotacao

Fig. 10-31 Problema 29.

"30 A roda de uma maquina a vapor gira com uma velocidade an-gular constante de 150 rev/min. Quando a maquina IS desligada, 0

atrito nos mancais e com 0 ar param a roda em 2,2 h. (a) Qual e aaceleracao angular constante, em revolucoes por minuto quadrado,da roda nesta desaceleracao? (b) Quantas revolucoes a roda executaantes de parar? (c) No instante em que aroda esta girando a 75 rev/min, qual e a componente tangencial da aceleracao linear de umaparticula da roda que esta a 50 ern de seu eixo de rotacao? (d) Qualeo modulo da aceleracao resultante da partfcula em (c)?

""31 0 prato de urn toea-discos esta girando a 33t rev/min. Umasemente de melancia esta sobre 0 prato a 6,0 cm do eixo de rotacao.(a) Caleule a aceleracao da semente, supondo que ela nao escorre-ga. (b) Qual e 0 valor minimo do coeficiente de atrito estatico entrea semente e 0 prato para que a semente nao escorregue? (c) Supo-nha que 0 prato atinge sua velocidade partindo do repouso com umaaceleracao eonstante por 0,25 s. Calcule 0 menor coeficiente de atritoestatico necessario para que a semente nao escorregue durante 0

perfodo de aceleracao.

"""32 Urn pulsar e uma estrela de neutrons em rapida rotacao em tomode seu eixo, a qual emite urn feixe de radio ao modo como urn fa.rolernite urn feixe de luz para orientar navios. Nos recebemos urn pul-so de radio para cada rotacao da estrela. 0 perfodo T da rotacao eencontrado rnedindo-se 0 intervalo de tempo entre os pulsos. 0 pul-sar na nebulosa do Caranguejo tern urn periodo de rotacao de T =0,033 s que esta crescendo a uma taxa de 1,26 X 10-5 s/ano. (a) Quale a aceleracao angular Il' do pulsar? (b) Se Il' e constante, daqui aquantos anos 0 pulsar vai parar de girar? (c) 0 pulsar teve origemem uma explosao de uma supernova observada em 1054. Supondoque a aceleracao e constante, encontre 0 perfodo T inicial.

Se~ao 10-6 Energia Cinetica de Rota~ao"33 Calcule 0 momenta de inercia de uma roda que tern uma energiacinetica de 24 400 J quando gira a 602 rev/min.

-34 A Fig. 10-32 fornece a velocidade angular em funcao do tempopara uma haste fina que gira em tomo de uma de suas extremida-des. (a) Qual e 0 modulo da aceleracao angular da haste? (b) Em t =4,0 s, a haste tern uma energia cinetica de 1,60 J. Qual e a energiacinetica da haste em t = a?

OJ (rad/s)

6

4

/

1//

/"/"

tt f----'t (5)

2

o-2

Fig. 10-32 Problema 34.

Se~ao 10-7 Calculo do Momento de lnercia

-35 Dois eilindros uniforrnes, cada urn girando em tome de seu eixocentral (longitudinal), tern a mesma massa de 1,25 kg e giram coma mesma veloeidade angular de 235 rad/s, mas eles tern raios dife-rentes. Qual e a energia cinetica de rotacao (a) do cilindro menor,de raio 0,25 me (b) do cilindro maior, de raio 0,75 m?

"36 A Fig. 10-33 mostra tres partfculas de 0,0100 kg que foram co-ladas em uma haste de comprimento L = 6,00 em e massa desprezi-vel. 0 eonjunto pode girar em torno de urn eixo perpendicular quepassa pelo ponto 0 na extremidade esquerda. Se rernoverrnos umadas partfculas (ou seja, 33% da massa), de que pereentagem 0 mo-

mento de inercia do conjunto diminui se a particula removida for(a) a mais intema e (b) a mais extema?

r----L---

Eixoo

Fig. 10-33 Problemas 36 e 62.

°37 Calcule 0 momento de inercia de urn bastao de urn metro gradu-ado em em, com massa de 0,56 kg, em tomo de urn eixo perpendi-cular ao bastao e localizado na marca de 20 em. (Trate 0 bastao comouma haste fina.)

'38 A Fig. 1O-34a mostra urn disco que pode girar em torno de urneixo perpendicular a sua face e a uma distancia radial h a partir docentro do disco. A Fig. 1O-34h fomece 0 momento de inercia I dodisco em torno do eixo como funcao da distancia h, do centro a bordado disco. Qual e a massa do disco?

0,15Eixo/

/./

././

./-~Ebe 0,10~•.....

(a)

0,1h(m)

(b)

Fig. 10-34 Problema 38.

";9 Na Fig. 10-35, duas particulas, cada uma com massa m = 0,85kg, estao ligadas uma a outra e a urn eixo de rotacao em 0, por duashastes finas, cada uma com comprimento d = 5,6 em e massa M =1,2kg. 0 eonjunto gira em tomo do eixo de rotacao com velocidadeangular w = 0,30 rad/s. Medidos em tome de 0, quais sao (a) 0

momento de inercia do eonjunto e (b) a sua energia cinetica?

oFig. 10-35 Problema 39.

0°40 A Fig. 10-36 mostra urn arranjo de 15 discos identicos coladosem urn formato como 0 de urn bastao de comprirnento L = 1,0000m e massa total M = 100,0 mg. 0 arranjo pode girar em tomo deurn eixo perpendicular atraves de seu disco central no ponto O. (a)Qual e 0 momenta de mercia do eonjunto em tome deste eixo? (b)Se eonsiderarmos 0 arranjo como sendo aproximadamente uma hasteuniforme de massa M e comprimento L, que eITOpereentual estarf-amos cometendo em usar a formula da Tabela 10-2e para ealcular 0

momenta de inercia?

1-' ------L--------I·I

oFig. 10-36 Problema 40.

Rotaoio 289

0°41 0 bloeo solido e uniforme da Fig. 10-37 tern massa 0,172 kg elados a = 3,5 em, b = 8,4 em e c = 1,4 em. Caleule seu momentode inercia em tomo de urn eixo que passa por urn canto e que e per-pendicular as faces maiores.

Eixo derotacao

~cT

Fig. 10-37 Problema 41.

0,2

0°42 Quatro partieulas identicas de massa 0,50 kg cada sac coloca-das nos vertices de urn quadrado de 2,0 m X 2,0 m e mantidas nestaconfiguracao por quatro hastes de massas despreziveis, que formamos lados do quadrado. Qual e 0 momento de inercia deste eorpo ri-gido em tome de urn eixo que (a) esta no plano do quadrado e passapelos pontos medics de dois lados opostos, (b) passa pelo pontomedio de urn dos lados e e perpendicular ao plano do quadrado e (c)esta no plano do quadrado e passa por duas partieulas diagonalmenteopostas?

0°43 As massas e eoordenadas de quatro particulas sac as seguintes:50 g, x = 2,0 em, y = 2,0 em; 25 g, x = 0, y = 4,0 em; 25 g, x =- 3,0 em, y = - 3,0 em; 30 g, x = - 2,0 ern, y = 4,0 em. Quais saoos momentos de inercia deste conjunto em tome dos eixos (a) x,(b) y e (c) z? (d) Suponha que as respostas em (a) e (b) sejam A eB, respectivamente. Entao, qual e a resposta de (c) em termos deAeB?

0°44 Alguns caminhoes europeus utilizam energia armazenada emum volante cuja velocidade maxima de 2007T rad/s e atingida com 0

auxflio de urn motor eletrico. Urn desses volantes e urn eilindro so-lido e uniforme com uma massa de 500 kg e urn raio de 1,0 m. (a)Qual e a energia cinetica do volante em plena rotacao? (b) Se 0 ca-rninhao usa uma potencia media de 8,0 kW, por quantos minutosele poderia operar entre duas eargas plenas do volante?

Selfao10-8 Torque

°45 Uma pequena bola de massa 0,75 kg esta presa em uma das ex-tremidades de uma haste de 1,25 m de eomprimento e rnassa des-prezivel. A outra extremidade da haste esta pendurada em urn pivo.Quando 0 pendulo entao formado esta a 30° da vertical, qual e 0 mo-dulo do torque em torno do pivo?

°46 0 comprimento do brace do pedal de uma bieicleta e 0,152 m euma forca de IIIN e aplicada no pedal pelo ciclista. Qual e 0 mo-dulo do torque em tomo do pivo do brace do pedal quando 0 braceforma urn angulo de (a) 30°, (b) 90° e (c) 180° com a vertical?

°470 eorpo na Fig. 10-38 pode girar em torno de urn eixo perpendi-cular a pagina passando por 0 e duas forcas atuam sobre ele, comomostrado. Se rl = 1,30 m, r2 = 2,15 m, FI = 4,20 N, F2 = 4,90 N,81 = 75,0° e 82 = 60,0°, qual e 0 torque resultante em torno do pivoemO?

Fig. 10-38 Problema 47.

290 Capitulo Dez

-48 0 corpo na Fig. 10-39 tern urn pivo em O. Tres forcas atuam sobreele: FA = 10 N no ponto A, a 8,0 m de 0; Fa = 16 N em B, a 4,0 mde 0; e Fe = 19 N em C, a 3,0 m de O. Qual e 0 torque resultanteem torno de O?

Fig. 10-39 Problema 48.

Se~ao 10-9 A Segunda Lei de Newton para a Rota~ao-49 No salto a partir de urn trampolim, a velocidade angular em tor-no do centro de massa de uma mergulhadora varia de zero a 6,20rad/s em 220 ms. Seu momento de inercia em torno do centro demassa e 12,0 kg m'. No salto, quais sao os modules (a) da acelera-9ao angular media da mergulhadora e (b) do torque externo rnediodo trampolirn sobre a mergulhadora?

-50 Se urn torque de 32,0 N .m sobre uma roda provoca uma ace-leracao angular de 25,0 rad/s-, qual e 0 momenta de inercia daroda?

--51 A Fig. 10-40 mostra urn disco uniforme que pode girar em tor-no de seu centro como urn carrossel. 0 disco tern urn raio de 2,00em e uma massa de 20,0 gramas e estainicialmente em repouso. Partindo no ins-tante t = 0, duas forcas devem ser aplica-das tangencialmente na borda do discocomo indicado, de modo que, no instantet = 1,25 s 0 disco tenha uma velocidadeangular de 25Q.rad/s no sentido anti-ho- Fig. 10-40 Problema 51.rario. A forca F; tern urn Ip6dulo de 0,100N. Qual e 0 modulo de F;?

"52 Em urn golpe de rasteira no judo, voce tira 0 apoio do pe es-querdo de seu oponente ao mesmo tempo em que puxa seu quimonopara este lado sem apoio. Como resultado, seu oponente gira emtorno do .pe direito em direcao ao tatame. A Fig. 10-41 mostra urndiagrama simplificado de seu opo-nente quando voce esta de frente paraele, com seu pe esquerdo ja arrasta-do. 0 eixo de rotacao passa p~lo pon-to O. A forca gravitacional ~ sobreo oponente atua efetivamente em seucentro de massa, 0 qual esta a umadistancia horizontal d .= 28 cm doponto O. Sua massa e de 70 kg e seumomento de inercia em torno doponto 0 e 65 kg . m-, Qual e 0 mo-dulo de sua aceleracao angular inicialem torno de 0 se 0 puxao Fa sobreo seu quimono for (a) desprezfvel e(b) horizontal com urn m6dulo de300 N e aplicado a uma altura h =1,4 m?

"53 Na Fig. 10-42, urn cilindro com uma massa de 2,0 kg pode gi-rar em tomo de seu eixo central atraves do ponto O. As forcas mos-tradas tern os seguinte m6dulos: F, = 6,0 N, F2 = 4,0 N, F3 = 2,0 Ne F4 = 5,0 N. As distancias radiais sac r = 5,0 em e R = 12 em.Encontre (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido da aceleracao angular do ci-

Fig. 10-41 Problema 52.

lindro. (Durante a rotacao, as forcas man tern seus iingulos em rela-~ao ao cilindro.)

Fig. 10-42 Problema 53.

"54 A Fig. 10-43 mostra as partfculas 1 e 2, cada uma com massaIn, presas nas extremidades de uma haste rfgida de mass a desprezi-vel e comprirnento L, + ~, com L, = 20 cm e L; = 80 ern. A hastee mantida horizontalmente no suporte e entao liberada. Quais saoos m6dulos das aceleracoes iniciais (a) da partfcula 1 e (b) da partf-cula 2?

Fig. 10-43 Problema 54.

"55 Na Fig. 10-44, urn bloco tern massa M = 500 g, 0 outro ternmassa m = 460 g, e a polia, que e montada em urn eixo horizontalsem atrito, tern urn raio de 5,00 ern. Quando 0 sistema e abandona-do a partir do repouso, 0 bloco de massa maior cai 75,0 ern em 5,00s (sem que a corda deslize na borda da polia). (a) Qual e 0 m6duloda aceleracao dos blocos? Qual e a tensao na corda no trecho quesuporta (b) 0 bloco de massa maior e (c) 0 bloco de massa men or?(d) Qual e 0 modulo da aceleracao angular da polia? (e) Qual e seumemento de inercia?

Ii !Fig. 10-44 Problema 55.

0056 a Fig. 1O-45a, uma placa de plastico de forma irregular comespessura e densidade (massa por unidade de volume) uniformesdeve girar em torno de urn eixo perpendicular a face da placa atra-yes do ponto O. 0 momento de mercia da placa em torno deste eixoe medido com 0 seguinte metodo: Urn disco circular de massa 0,500kg e raio 2,00 em e colado na placa, com seu centro alinhado com 0(Fig. 1O-45b). Urn cordao e enrolado em tomo da borda do disco damesma forma que urn cordao e enrolado em urn piao. 0 cordao eentao puxado por 5,00 s. Como resultado, 0 disco e a placa sao gira-dos por uma forca constante de 0,400 N, aplicada pelo cordao

tangencialmente na borda 0 disco. A velocidade angular resultante(ao final dos 5,00 s) e 114 rad/s. Qual e 0 momento de inercia daplaca em torno do eixo? .

rxPlaca

Eixo~

(a)

DiScoM_

~(b)

Fig. 10-45 Problema 56.

·"57 Urna polia com urn momenta de inercia de 1,0 X 10-3 kg m2em torno de seu eixo e urn raio de 10 em e submetida a uma forcaaplicada tangencialmente em sua borda. 0 m6dulo da forca variano tempo de acordo com F = 0,50t + 0,30t2, com F em newtons etern segundos. A polia esta inicialmente em repouso. Em t = 3,0 s,quais sao (a) sua aceleracao angular e (b) sua velocidade angular?

Se~ao10-10 Trabalho e Energia Cinetica de Rota~ao

'58 0 virabrequim de urn autom6vel transfere energia do motor parao eixo a uma taxa de 100 hp (= 74,6 kW) quando girando a 1800rev/min. Que torque (em newton-metros) e exercido pelovirabrequim?·59 (a) Se R = 12 cm, M = 400 gem = 50 g na Fig. 10-18, encontrea velocidade do bloco apes ele ter descido 50 em a partir do repou-so. Resolva 0 problema a partir da conservacao da energia. (b) Re-pita (a) com R = 5,0 ern.'60 Uma roda de 32,0 kg, essencialmente urn aro fino com raio 1,20m, esta girando a 280 rev/min. Ela precisa ser parada em 15,0 s. (a)Que trabalho deve ser realizado para para-la? (b) Qual e a potenciamedia necessaria?·61 Uma haste fina de comprimento 0,75 m e massa 0,42 kg estasuspensa livremente por uma de suas extremidades. Ela e puxadapara urn dos lados e a seguir liberada para oscilar como urn pendu-10, passando por sua posicao mais baixa com velocidade angular de4,0 rad/s. Desprezando 0 atrito e a resistencia do ar, encontre (a) aenergia cinetica da haste na sua posicao mais baixa e (b) a alturamaxima acima desta posicao que 0 centro de massa alcanca.··62 Na Fig. 10-33, tres particulas de 0,0100 kg foram coladas emuma haste de eomprimento L = 6,00 em e massa desprezfvel, epodem girar em tome de urn eixo perpendicular que passa pelo pontoo em uma extrernidade. Que trabalho e necessario para mudar avelocidade angular (a) de 0 para 20,0 rad/s, (b) de 20,0 rad/s para40,0 rad/s, e (c) de 40,0 rad/s para 60,0 rad/s? (d) Qual e a inclina-r;aoem uma curva da energia cinetica do conjunto (em joules) comofuncao do quadrado da velocidade angular (em radianos quadradospor segundo quadrado)?

"63 Urn bastao de um metro graduado em cm e mantido vertical-mente com uma das extremidades no solo e entao deixado eaiLEncontre a velocidade da outra ext:remidade imediatamente antes deela tocar 0 solo, supondo que a extremidade de apoio nao escorre-ga. (Sugestiio: Considere 0 bastao como uma haste fina e use 0 prin-cipio de conservacao da energia.)

··64 Urn cilindro uniforme de raio 10 em e massa 20 kg esta monta-do de modo a poder girar livremente em torno de urn eixo horizon-

Rotar;ao 291

tal que e paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro e esta a5,0 em deste. (a) Qual e 0 momenta de inercia do cilindro em tornodo eixo de rotacao? (b) Se 0 cilindro e abandonado a partir do re-pouso com seu eixo longitudinal na mesma altura que 0 eixo em tornodo qual ele pode girar, qual e a velocidade angular do cilindro quandoele passa pela posicao rnais baixa?··65 A Fig. 10-46 mostra urn corpo rigido formado por urn aro fino(de rnassa m e raio R = 0,150 m) e uma haste fina radial (de massam e comprimento L = 2,00R). 0 conjunto esta na vertical, mas sedermos urn pequeno empurrao ele ira girar em torno de urn eixohorizontal no plano do aro e da haste que passa pela extremidademais baixa da haste. Supondo que a energia fornecida ao sistemapelo pequeno empurrao e desprezfvel, qual e a velocidade angulardo conjunto quando ele passa pela posicao invertida (de cabeca parabaixo)?

Aro

HasteEixode

- - - - rota~o

Fig. 10-46 Problema 65.

'''66 Uma alta charnine cilindrica cai quando sua base sofre umaruptura. Trate a chamine como uma haste fina de cornprimento iguala 55,0 m. No instante em que ela faz urn angulo de 35,0° com a ver-tical na sua queda, quais sao (a) sua velocidade angular, (b) a acele-racao radial do topo e (c) a aceleracao tangencial do topo? (Suges-tiio: Use consideracoes de energia, nao de torque.) (d) Em que an-gulo e a aceleracao tangencial e igual a g?

··'~7Uma casca esferica uniforme de massa M = 4,5 kg e raio R =8,5 ern pode girar em torno de urn eixo vertical sem atrito (Fig. 10-47). Uma corda de massa desprezf vel passa em torno do equador dacasca, por uma polia de momenta de inercia I = 3,0 X 10-3 kg . m2e raio r = 5,0 ern, e esta presa a urn pequeno objeto de massa m =0,60 kg. Nao ha atrito no eixo da polia e a corda nao escorrega emsua borda. Qual e a velocidade do objeto quando ele cai 82 cm ap6sser abandon ado a partir do repouso? Use consideracoes de energia.

Fig- 10-47 Problema 67.

Problemas Adicionais68 A aceleracao angular de uma roda eO' = 6,or - 4,Of, com 0' emradianos por segundo quadrado e [em segundos. No instante t = 0,a roda tern uma velocidade angular de +2,0 rad/s e uma posicao an-gular de +1,0 rad. Escreva expressoes para (a) a velocidade angular(rad/s) e (b) a posicao angular (rad) como funcoes do tempo (s),

69 Na Fig. 10-48, dois blocos de 6,20 kg estao conectados por umacorda de massa desprezivel que passa por uma polia de raio 2,40 em

292 Capitulo Dez

e momenta de inercia 7,40 X 10-4 kg· m2. A corda nao escorregana polia; nao se sabe se existe atrito entre a mesa e 0 bloco que es-correga; nao ba atrito no eixo da polia. Quando este sistema e aban-donado a partir do repouso, a polia gira de 1,30 rad em 91,0 ms e aaceleracao dos blocos e con stante. Quais sac (a) 0 m6dulo da acele-racao angular da polia, (b) 0 modulo da aceleracao dos blocos, (c) atensao TI na corda e (d) a tensao T2 na corda?

Fig. 10-48 Problema 69.

70 George Washington Gale Ferris, Jr.,um engenheiro civil gradua-do pelo Instituto Politecnico Rensselaer, construiu a roda-giganteoriginal para a Exposicao Mundial de Columbia de 1893 em Chica-go. Aroda, uma impres ionante construcao da engenharia da epo-ca, carregava 36 carros de madeira, cada urn com ate 60 passagei-ros, em torno de urn circulo de 76 m em diametro. Seis carros eramcarregados por vez, e, uma vez que os 36 carros estivessem cheios,aroda executava uma rotacao completa com velocidade angular apro-ximadamente constante em 2 min. Estime a quantidade de trabalhoque era requerida da maquina para girar apenas os passageiros.

71 Na Fig. 10-49, urn pequeno disco de raio r = 2,00 cm foi coladona borda de urn disco maior de raio R = 4,00 ern, de modo que osdiscos estao no mesmo plano. Os discos podem girar em torno deum eixo perpendicular atraves do ponto 0 no centro do disco mai-or. Os discos tern a mesma densidade (massa por unidade de volu-me) uniforme de 1,40 X 103 kg/m? e espessura, tambern uniforme,de 5,00 mm. QuaI e 0 momento de inercia do conjunto dos dois dis-cos em tome do eixo de rotacao atraves de O?

Fig. 10-49 Problema 71.

72 A Fig. 10-50 mostra uma construcao plana de do is aneis circula-res que tern urn centro comum e sac mantidos fixos por tres hastesde massas despreziveis, A construcao, que esta inicialmente em re-pouso, pode girar em torno do centro comum (como urn carrossel)onde se encontra outra haste de massa desprezfvel. As massas, rai-os internos e raios extern os dos aneis sac dados na tabela seguinte.Uma forca tangenciaI de m6dulo 12,0 N e aplicada na borda exter-na do anel extemo por 0,300 s. QuaI e a variacao na velocidade an-gular da construcao neste intervaIo de tempo?

Fig. 10-50 Problema 72.

Anel Massa (kg) Raio Externo (m)Raio Interno (m)

12

0,1200,240

0,01600,0900

0,04500,1400

73 As 7: 14 h da manha de 30 de junho de 1908, uma enorrne explosaoocorreu na atmosfera sobre 0 centro remoto da Siberia, na latitude 61°Norte e longitude 102° Leste; a bola de fogo desta explosao teve 0brilho mais intenso ja observado por qualquer pessoa antes das armasnucleares. 0 chamado Evento de Tunguska, que de acordo com umatestemunba casual "cobriu uma enorme parte do ceu," foi provavel-mente a explosao de urn asteroide roehoso com aproximadamente 140m de largura. (a) Considerando apenas a rotacao da Terra, determineo quae mais tarde 0 asteroide deveria ter chegado para explodir aci-ma de Helsinki na longitude 25° Leste. Isto teria extinguido a cidade.(b) Se 0 aster6ide tivesse sido urn asteroide metdlico, ele poderia teratingido a superficie da Terra. 0 quae mais tarde 0 aster6ide deveriater chegado para que 0 irnpacto tivesse ocorrido no Oceano Atlanticona longitude 20° Oeste? (Os tsunamis entao provocados teriarn varri-do civilizacoes costeiras nos dois lados do Atlantico.)

74 Engenharia da bebida. Uma tampa com lingueta de puxar foi urngrande avanco na engenharia de recipientes de bebidas. A lingiietagira em torno de urn pino central na tampa da lata. Quando voce puxapara cima em urn dos lados da lingiieta, 0 outro lado pressiona parabaixo uma porcao da tampa que foi riscada. Se voce puxar para cimacom uma forca de 10 N, qual e aproximadamente 0 modulo da for-ca aplicada na porcao riscada da tampa? (Voce vai precisar exami-nar uma lata com uma tampa com lingiieta de puxar.)

7S Ha relatos de guepardos correndo na velocidade impressionante de114 km/h (cerca de 71 miIh) por observadores dirigindo lado a ladocom esses gatos selvagens. Imagine 0 que e tentar medir a velocidadede urn guepardo mantendo seu veiculo emparelhado com 0 animal eobservando 0 velocfrnetro registrar 114 km/h. Voce mantem 0 vefcu-10 a uma distancia constante de 8,0 m do guepardo, mas 0 barulho domotor faz com que 0 guepardo afaste-se de voce continuamente aolongo de uma trajetoria circular de 92 m de raio. Assim, voce dirigeao longo de urna trajet6ria de 100 m de raio. (a) Qual e sua velocida-de angulareado guepardo ao longo das trajetorias circulares? (b) Quale a velocidade linear do guepardo ao longo de sua trajet6ria? (Se vocenao levasse em consideracao 0 movimento circular, concluiria erra-damente que a velocidade do guepardo era de 114 km/h. Aparente-mente este tipo de erro foi cometido nos relatos publicados.)

76 Discos de corrida. A Fig. 10-51 mostra dois discos que podemgirar em torno de seus centros como carrosseis. No instante t = 0, aslinhas de referencia dos dois discos tern a mesma orientacao. 0 dis-co A ja esta em rotacao com uma velocidade angular constante de9,5 rad/s. 0 disco B parte do repouso com uma aceleracao angularconstante de 2,2 rad/s', (a) Em que instante t as duas linhas de refe-rencia terao momentaneamente 0 mesmo deslocamento angular ()?(b) Sera este instante t a primeira vez desde t = 0 em que as duaslinhas de referencia estao aIinhadas?

Disco A Disco B

Fig. 10-51 Problema 76.

77 0 objeto rigido mostrado na Fig. 10-52 cornpoe-se de tres bolase tres hastes de conexao, com M = 1,6 kg, L = 0,60 m e ()= 30°. As

bolas podem ser tratadas como partfculas e as hastes tern massasdespreziveis. Determine a energia cinetica de rotacao do objeto se asua velocidade angular e de 1,2 rad/s em tome (a) de urn eixo quepassa pelo ponto Pee perpendicular ao plano da figura e (b) de urneixo gue passa pelo ponto P, e perpendicular a haste de comprimen-to 2L e esta no plano da figura,

2M

p 2L M

2M

Fig. 10-52 Problema 77.

78 Na Fig. 10-53, dois blocos, de massas ml = 400 g e ~ = 600 g,estao conectados por uma corda de massa desprezfvel que passa pelaborda de urn disco uniforme de massa M = 500 g e raio R = 12,0em. 0 disco pode girar sem atrito em tomo de urn eixo horizontalgue passa pelo seu centro; a corda nao desliza na borda do disco. 0sistema e abandonado a partir do repouso. Encontre (a) 0 moduloda aceleracao dos blocos, (b) a tensao TI na corda a esquerda e (c) atensao T2 na corda a direita.

Fig. 10-53 Problema 78.

79 Em cada uma das extrernidades de uma fina haste de aco de 1,20m de comprimento e 6,40 kg de massa ha uma pequena bola de massaigual a 1,06 kg. A haste esta limitada a girar em urn plano horizon-tal em torno de urn eixo vertical atraves de seu ponto medic. Em urncerto instante, ela esta girando a 39,0 rev/s. Devido ao atrito, eladesacelera ate parar em 32,0 s. Supondo que 0 torque devido ao atritoe constante, calcule (a) a aceleracao angular, (b) 0 torgue retardador(c) a energia total transferida de sua forma mecanica para a termicapor causa do atrito e (d) 0 mirnero de revolucoes executadas nos 32,0s. (e) Suponba agora que 0 torque retardador nao e constante. Sealguma das quantidades calculadas em (a), (b), (c) e (d) ainda puderser calculada sem qualquer inforrnacao aclicional,forneca 0 seu valor.80 Uma lamina do rotor de urn helicoptero tern 7,80 m de compri-mento, uma massa de 110 kg, e esta pres a ao eixo do rotor por urnunico parafuso. (a) Qual e 0 modulo da forca do eixo sobre 0 para-fuso quando 0 rotor esta girando a 320 rev/min? (Sugestiio: Para estecalculo, a lamina pode ser considerada como uma massa puntiformeem seu centro de massa. Por que?)(b) Calcule 0 torque que deve seraplicado ao rotor para que ele saia do repouso e atinja esta velocida-de em 6,70 s. Ignore a resistencia do ar. (A lamina nao pode serconsiderada como uma massa puntiforme para este calculo. Por quenao? Suponhaque a distribuicao de massa e ade uma haste fina uni-forme.) (c) Que trabalho 0 torque realiza sobre a lamina para que amesma atinja a velocidade de 320 rev/min?81 Na Fig. 10-54, quatro polias estao conectadas por duas correias.A polia A (raio igual a 15 cm) e a polia motriz e gira a 10 rad/s. Apolia B (raio igual a 10 em) esta conectada a polia A pela correia 1.

Rotacao 293

A polia B' (raio igual a 5 ern) e concentrica a polia B e esta rigida-mente ligada a ela. A polia C (raio igual a 25 ern) esta conectada apolia B' pela correia 2. Calcule (a) a velocidade linear de urn pontona correia 1, (b) a velocidade angular da polia B, (c) a velocidadeangular da polia B', (d) a velocidade linear de urn ponto na correia2 e (e) a velocidade angular da polia C. (Sugestiio: Se a correia en-tre duas polias nao desliza, as velocidades lineares nas bordas dasduas polias devem ser iguais.)

Fig. 10-54 Problema 8l.

82 Uma bola de golfe e lancada em urn angulo de 20° em relacao ahorizontal, com uma velocidade de 60 m/s e uma taxa de rotacao de90 rad/s. Desprezando a resistencia do ar, determine 0 mimero derevolucoes que a bola executa ate 0 instante em que ela atinge a al-tura maxima.

83 Uma roda de 0,20 m de raio esta montada sobre urn eixo horizon-tal sem atrito. 0 momento de inercia da roda em torno do eixo e de0,050 kg . m2. Uma corda de massa desprezfvel esta enrolada emtorno da roda e presa a urn bloco de 2,0 kg que escorrega sobre umasuperffcie horizontal sem atrito. Se uma forca horizontal de moduloP = 3,0 N e aplicada ao bloco como mostrado na Fig. 10-55, qual eo modulo da aceleracao angular da roda? Suponha que a corda naodesliza na borda da roda.

Fig. 10-55 Problema 83.

84 Urn corpo rigido e composto por tres hastes [mas, cada uma comcomprimento L = 0,600 m, unidas na forma da letra H (Fig. 10-56).o corpo pode girar livremente em tomo de urn eixo horizontal quepassa ao longo de urna das pernas do H. 0 corpo e abandonado apartir do repouso em uma posicao na qual 0 plano do H esta na ho-rizontal. Qual e a velocidade angular do corpo quando 0 plano do Hpassa pela posicao vertical?

Fig. 70-56 Problema 84.

85 (a) Mostre que 0 momenta de inercia de urncilindro solido de massaMe raio Rem tome de seu eixo central e igual ao momento de inerciade urn aro fino de massa M e raio R l...fi em torno de seu eixo cen-tral. (b) Mostre que 0 momenta de inercia I de urn corpo qualquerde massa M em torno de qualquer eixo e igual ao momenta de iner-

294 Capitulo Dez

cia de urn aro equivalente em tomo deste eixo, se 0 aro tiver a mes-ma massa Meum raio k dado por

k=£o raio kdo aro equivalente e chamado de raio de giraciio do corpo.

86 Voce foi contratado como testemunha especialista em fisica e en-genharia em urn caso de dano pessoal contra 0 fabricante de urn certotipo de mesa de piquenique. Cada unidade consiste em urna mesa edois bane os cujos pes cruzados em cada extrernidade estao ligadosa uma haste s6lida que corre ao longo do chao (Fig. 10-57). 0 danGteria ocorrido em urn piquenique de aposentados quando a primeirapessoa sentou-se em uma dessas mesas. Este homem reclama queespremeu suas pemas e abdomen no espaco entre a mesa e urn dosbancos ao mesmo tempo em que se debrucou sobre a mesa. Entao,quando ele sentou-se sobre 0 banco, 0 conjunto girou em tomo deurn ponto sob ele, derrubando-o para tras sobre 0 chao, onde bateusua cabeca,

As dimens6es sao d, = 60 em, dz = 13 em, ~ = 5,0 em e d4 =18 em; a massa do conjunto e 90 kg. A massa do homem naqueledia era de 130 kg e, quando sentado, seu centro de massa estava a dj

= 20 em acirna da margem extema do banco. Suponha que a forcagravitacional atuava no centro de massa do homem. (a) A rotacaomencionada era fisicamente possivel? (b) Aproximadamente, quemassa minima e necessaria para causar tal rotacao?

Fig. 10-57 Problema 86.

87 Duas esferas s6lidas uniforrnes tern a mesma massa de 1,65 kg,mas uma tern urn raio de 0,226 mea outra tern urn raio de 0,854 m.Cada uma pode girar em tomo de urn eixo atraves de seu centro. (a)Qual e 0 modulo T do torque necessario para trazer a esfera menordo repouso ate uma velocidade angular de 317 radls em 15,5 s? (b)Qual e 0 modulo F da forca que deve ser aplicada tangencialmenteno equador da esfera para produzir este torque? Quais sao os valo-res correspondentes a (c) T e (d) F para a esfera maior?

88 Na Fig. 10-58, uma roda de 0,20 m de raio e montada sobre urneixo horizontal sem atrito. Uma corda de massa desprezivel estaenrolada em tomo da roda e presa a uma caixa de 2,0 kg que escor-rega sobre a superffcie sem atrito de urn plano inclinado de ()= 20°em relacao a horizontal. A caixa escorrega para baixo a 2,0 m/s",Qual e 0 momenta de inercia da roda em tomo do eixo?

Fig. 10-58 Problema 88.

89 A haste fina e uniforme na Fig. 10-59 tern urn comprimento de2,0 m e pode girar, sem atrito, em tomo de urn pino horizontal em

uma de suas extrernidades. Ela e abandonada a partir do repouso emuma posicao angular () = 40° acima da horizontal. Use 0 princfpioda conservacao da energia para deterrninar a velocidade angular dahaste quando ela passa pela posicao horizontal.

Fig. 10-59 Problema 89.

90 Quatro particulas, cada uma de massa 0,20 kg, estao colocadasnos vertices de urn quadrado de 0,50 m de lado. As particulas estaoconectadas por hastes de massas desprezfveis. Este corpo rfgido podegirar em urn plano vertical em tomo de urn eixo horizontal A quepassa por uma das particulas. 0 corpo e abandon ado a partir do re-pouso com a haste AB na horizontal, como mostrado na Fig. 10-60.(a) Qual e 0 memento de inercia do corpo em tomo do eixo A? (b)Qual e a velocidade angular do corpo em torno do eixo A no instan-te em que a haste AB passa pela posicao vertical?

Eixo derotacao

A B

Fig. 10-60 Problema 90.

91 0 virabrequim de urn motor esta girando a 25,0 rad/s. Quando 0

motor e desligado, 0 virabrequim desacelera a uma taxa constante epara em 20,0 s. Calcule (a) a aceleracao angular do virabrequim, (b)o angulo atraves do qual 0 virabrequirn girou ao parar e (c) 0 mime-ro de revolucoes realizadas pelo virabrequirn ate parar.

92 A Fig. 10-61 mostra uma lamina de uma helice que gira a 2000rev/mi.n em tomo de urn eixo perpendicular que passa pelo ponto B.o ponto A esta na ponta mais extema da lamina, a uma distanciaradial de 1,50 m. (a) Qual 6 a diferenca entre os m6dulos da acele-r••c;:aocentrfpeta a do ponto A e de urn ponto na distancia radial de0,150 m? (b) Encontre a inclinacao do grafico de a em funcao dadistancia radial ao longo da lamina.

Fig. 10-61 Problema 92.

93 Uma pequena bola de 1,30 kg de massa esta montada em umadas extremidades de uma haste de 0,780 m de comprimento e mas-sa desprezivel. 0 sistema gira em urn circulo horizontal em tomoda outra extremidade da haste a 5010 rev/min. (a) Calcule 0 momentode inercia do sistema em tomo do eixo de rotacao. (b) Existe umaforca de arra to de 2,30 X 10-2 N sobre a bola, no sentido oposto aode seu movimento. Que torque deve ser aplicado ao sistema paramante-lo em rotacao com velocidade constante?

94 Urn clispositivo ern forma de ioi6 montado obre U)IJ eixo hori-zontal sem atrito e usado para levantar uma caixa de 30 kg comomostrado na Fig. 10-62. 0 raio externo R do dispositivo e 0,50 m, eoraio r do cilindro central e 0,20 m. Quando uma forca horizontalF"pconstante de m6dulo igual a 140 e aplicada a uma corda enro-lada na borda do cilindro maior, a caixa, que esta pendurada por umacorda enrolada no cilindro central, tern uma aceleracao para cimade modulo igual a 0,80 m/s2. Qual e 0 momenta de inercia do dispo-sitivo em torno de seu eixo de rotacao?

Dispositivocom fonnato

de io i6 ,.,---,1\-,-....,...,

Corda

Fig. 10-62 Problema 94.

95 Partindo do repouso em t = 0, uma roda gira com aceleracaoangular constante. Quando t = 2,0 s, a velocidade angular da roda e5,0 radls. A aceleracao continua ate t = 20 s, quando ela cessa abrup-tamente. De que angulo gira a roda no intervalo de t = 0 a t = 40 s?

96 0 prato de urn toea-discos tern uma velocidade angular de 8,0 radls quando e desligado. Tres segundos depois, 0 prate tern uma ve-locidade angular de 2,6 rad/s. De quantos radianos 0 prato gira des-de 0 instante em que e desligado ate 0 instante em que para? (Supo-nha que a e constante.)

970 prato de urn toea-discos tern uma velocidade angular de 3,5 radls quando e desligado em t = 0.0 prate para em t = 1,6 s. 0 raio doprato 6 15 cm. (a) Se a aceleracao angular e constante, atraves dequantos radianos 0 prato gira apes t = O? (b) Qual e 0 modulo daaceleracao linear de urn ponto na borda do prato em t = 1,0 s? (Su-gestao: A aceleracao linear tern as componentes raclial e tangencial.)

98 Duas hastes finas (cada uma de Imassa 0,20 kg) estao unidas para for-mar urn corpo rigido como mostradona Fig. 10-63. Uma das hastes terncomprimento LI = 0,40 mea outra L2tern comprirnento t.; = 0,50 m. Qual 1e a momenta de inercia deste corporfgido em torno de (a) urn eixo que eperpendicular ao plano da pagina e =;;;;;:;=;;:.;;;;;;;;=;;;;passa atraves do centro da haste me- u.; 1 -+-- 1 ----.lnor e (b) urn eixo que e perpendicu- r-"2 L1 "2L\----,lar ao plano da pagina e passa pelocentro da haste maior? Fig. 10-63 Problema 98.

99 Tees partfculas de 0,50 kg formam urn triangulo equilatero de 0,60m de lado. As particulas estao conectadas por hastes de massas des-prezfveis. Qual eo momento de inercia deste corpo rigido em tomode (a) um eixo que passa por uma das partfculas e e paralelo a hasteque coneeta as outras duas, (b) urn eixo que passa pelo ponto medicde urn dos lados ee perpendicular ao plano do triangulo e (c) urneixo que e paralelo a urn dos lados do triangulo e passa pelos pontosmedics dos outros dois lados?

100 Cinco objetos corpusculares, posicion ados no plano xy de acor-do corn a tabela seguinte, formam urn corpo rigido. Qual e 0 mo-

Rotacao 295

mento de inercia do corpo ern tomo do eixo (a) x, (b) y e (c) z? (d)Quais sao as coordenadas do CM do corpo?

Objeto 2 53 4

Massa (g)x (em)y (ern)

5001520

30017

-6,0

600-4,0-7,0

450-5,0

9,0

400-13

13

101 Na Fig. 10-64, uma roda de raio0,20 m esta montada sobre urn eixohorizontal sem atrito. 0 momento deinercia da roda em torno do eixo e0,40 kg . m-. Uma corda de massadesprezfvel enrolada em torno da cir-cunferencia da roda esta presa a umacaixa de 6,0 kg. 0 sistema e abando-nado a partir do repouso. Quando acaixa tern uma energia cinetica de 6,0 ~J, quais sao (a) a energia cinetica derotacao da roda e (b) a distancia que Fig. 10-64 Problema 101.a caixa caiu?

102 Na Fig. 10-65, uma haste unifonne de 2,0 kg e 3,0 m de compri-mento pode girar livremente ern tome de urn eixo horizontal per-pendicular a haste a uma distancia d = 1,0 m de uma de suas extre-midades. A haste e abandonada a partir do repouso na posicao hori-zontal. (a) Qual e sua velocidade angular maxima? (b) Se sua mass afosse aumentada, a resposta para (a) seria maior, menor ou a mes-ma?

Eixo de rotacao

Fig. 10-65 Problema 102.

103 Uma particula de 35 g de massa e posicionada a 3,5' ern de dis-tancia do centro do prato de urn toea-discos. 0 eoeficiente de atritoestarico e 0,40. A velocidade angular do prato e vagarosamente au-mentada para urn valor wo, no qual a partfcula comeca a escorregar.(a) Encontre woo (b) Esboce a traje- Mtoria entao descrita pela particula.

104 0 corpo rigido mostrado na Fig.10-66 compoe-se de tres partfculascon ectad as por hastes de massasdesprezfveis. Ele deve girar ern tor-no de um eixo perpenclieular ao seuplano pelo ponto P. Se M = 0,40kg, a = 30 em e b = 50 em, que aatrabalho e necessario para levar 0 2M P 2Mcorpo do repouso ate a velocidadeangular de 5,0 rad/s? Fig. 10-66 Problema 104.

105 Urn disco gira com aceleracao angular eonstante, da posicao an-gular BI = 10,0 rad ate a posicao angular Bz = 70,0 rad em 6,00 s.Sua velocidade angular em ()2 e 15,0 rad/s. (a) Qual era a sua velo-cidade angular em ()I? (b) Qual e a aceleracao angular? (c) Em queposicao angular estava 0 disco inicialmente em repouso? (d) Facaos graficos de () e da velocidade angular w do disco como funcoesdo tempo t, a partir do inicio do movimento em t = O.

106 Nosso Sol esta a 2,3 X 104 anos-luz do centro da Via Lactea mo-vendo-se em urn circulo em tomo deste centro a uma velocidade de250 km/s. (a) Quanto tempo leva para 0 Sol executar uma revolu-<;ao em tomo do centro da galaxia? (b) Quantas revolucoes 0 Solcompletou desde que foi formado cerca de 4,5 X 109 anos arras?

296 Capitulo Dez

1070 prato de urn toea-discos girando a 33+ rev/min diminui a velo-cidade e para em 30 s ap6s 0 motor ser desligado. (a) Encontre suaaceleracao angular (constante) em revolucoes por minuto ao quadra-do. (b) Quantas revolucoes ele executou neste intervale de tempo?108 Uma casca esferica fina tern urn raio de 1,90 m. Urn torque de960 Nrn fornece 11casca uma aceleracao de 6,20 rad/s? em tome deurn eixo que passa pelo seu centro. Quais sac (a) 0 momenta de iner-cia da casca em torno deste eixo e (b) a massa da casca?109 Uma roda gira com aceleracao angular ll' = 4at3 + 3bt2, onde t eo tempo e a e b sac ·constantes. Se a roda tern velocidade angularinicial wo, escreva expressoes para (a) a velocidade angular e (b) aposicao angular da roda como funcoes do tempo.110 Durante urn intervalo de tempo t, 0 disco de urn gerador giraatraves de urn angulo e = at + bf - cr, onde a, b e c sac constan-tes. Escreva expressoes para (a) a velocidade angular e (b) a acele-racao angular do disco.111 0 metoda atraves do qual os pesados linteis (pedras do topo)foram erguidos ate 0 topo das colunas de pedra em Stonehenge ternside urn tema de longo debate. Urn metoda possfvel foi testado emuma pequena cidade da Republica Checa. Urn bloco de concreto de5124 kg de rnassa foi puxado para cima de duas traves de madeiracujas superficies foram polidas e entao lubrificadas com gordura(Figs. 10-67). As traves tinham 10 m de comprimento e cada urnadelas se estendia do chao ate 0 topo de urn dos pilares para onde 0

bloco deveria ser erguido. Os pilares tinham 3,9 rn de altura; 0 coe-ficiente de atrito estatico entre 0 bloco e as traves era 0,22.0 blocofoi puxado atraves de corda que foram enroladas ern torno dele edas extremidades de duas toras de 4,5 m de comprirnento. Uma pla-taforma foi alinhada na extremidade oposta de cada tora. Quandourn mimero suficiente de operarios subiam na plataforma, a tora cor-respondente girava em tome de urn pivo no topo do pilar em que seapoiava e puxava uma extremidade do bloco por uma pequena dis-tancia ao longo da trave. Para cada tora, a corda que envolvia 0 blo-co era aproximadamente perpendicular 11tara; a distancia entre 0 pivoeo ponto onde a corda estava amarrada na tora era de 0,70 m. Supon-do que cada operario tinha urna massa de 85 kg, encontre 0 menormimero de operarios que eram necessaries sobre as duas plataformaspara que 0 bloco comecasse a se mover para cima ao longo das tra-ves. (Na realidade, cerca de metade deste mimero poderia mover 0

bloco, deslocando primeiro uma das extremidades e depois a outra.

r-----------/.3,9m

Pilar

Fig. 10-67 Problema 111.

112 uma certa molecula tern urn momento de inercia de 14000 u .pm', onde u representa urna unidade de massa atomica (1 u = 1,66X 10-27 kg). Se a molecula esta girando a 4,3 X 1012rad/s, qual e aenergia cinetica de rotacao?

113 Urn ciclista de 70 kg ap6ia toda sua rnassa em cada movimentodo pedal para baixo quando ele pedala em urna estrada fortementeinclinada. Suponha que 0 diametro do circulo descrito pelo pedal ede 0,40 m e determine 0 modulo do torque maximo que ele exerce.114 Uma roda inicialmente em repouso come~a a girar corn acelera-yao angular constante. Durante urn certo intervale tJ.T = 15 s, arodaexecuta 90 rev e atinge uma velocidade angular de 10 rev/so(a) Qualera a sua velocidade angular no inicio de tJ.T? (b) Quanto tempo sepassou entre 0 infcio da rotacao e 0 infcio de tJ.T?

115 A velocidade de urn ponto na borda de uma roda de amolar de0,7 m de diarnetro varia de 12 rnIs para 25 m/s em 6,2 s. Qual e aaceleracao angular media da roda?116 Na Fig. 10-68, uma haste fina e uniforme (3,0 kg de massa, 4,0m de comprimento) gira livremente em torno de urn eixo horizontalA perpendicular a haste e pass a por urn ponto a uma distancia d =1,0 m da extremidade da haste. A energia cinetica da haste quandoela passa pel a posicao vertical e 20 J. (a) Qual e 0 momenta de iner-cia da baste em tome do eixo A? (b) Qual e a velocidade (linear) daextremidade B da haste quando ela passa pela posicao vertical? (c)Em que angulo {}a haste ira parar momentaneamente?

-~ti-.l

B

Fig. 10-68 Problema 116.

117Urn carro parte do repouso e se move ao longo de uma pista cir-cular de 30,0 m de raio. Sua velocidade aumenta numa taxa cons-tante de 0,500 rnIs2. (a) Qual eo modulo de sua aceleracao linearresultante 15,0 s mais tarde? (b) Que augulo 0 vetor aceleracao re-sultante faz com a velocidade do carro neste instante?

118 Urna roldana com 8,0 ern de diametro tern urn cordao de 5,6 mde comprimento enrolado em tome de sua periferia. Partindo dorepouso, a roldana gira com aceleracao angular constante de 1,5 rad/S2. (a) Que angulo a roldana deve descrever para desenrolar 0 cor-dao completamente? (b) Quanto tempo vai levar para isto ocorrer?119 Uma roda pesada gira em tome de seu eixo central desacelerandodevido ao atrito com 0 eixo. Ao final do primeiro minuto de desace-leracao, sua velocidade angular e 0,900 da sua velocidade angularinicial de 250 rev/min. Supondo que a aceleracao angular e cons-tante, encontre a velocidade angular no fim do segundo minuto.120 A Fig. 10-69 rnostra urn satelitede cornunicacoes que e urn cilindromacico de 1210 kg, 1,21 m de dia-metro e 1,75 m de comprimento.Antes do lancamento a partir danave de ttansporte, 0 satelite e pos-to para girar a 1,52 rev/s em tornode seu eixo longitudinal. Quais sao(a) seu rnomento de inercia em tor-no do eixo de rotacao e (b) sua ener-gia cinetica de rotacao? Fig. 10-69 Problema 120.