322 Capitulo Onze

Problemas- - -- -

. -···0 nurnero de pontos indica 0 nfvel de dificuldade do problema.

Se~ao11-2 Rolamento como uma Combinacao deTranslacao e Rota~ao0, Urn autom6vel viajando a 80 km/h possui pneus com 75,0 em dediametro. (a) Qual e a veloeidade angular dos pneus em torno dosseus eixos? (b) Se 0 carro e parado uniformemente em 30 voltaseompletas dos pneus (sem deslizamento), qual e 0 m6dulo da aeele-racao angular das rodas? (c) Que distancia 0 carro percorre durantea frenagem?002 Um C!UTO viaja a 80,0 km/h em uma estrada plana no sentidopositivo de urn eixo x. Cada pneu possui diametro de 66 ern. Emrelacao a uma mulher dentro do carro e em notacao de vetor unita-rio, quais sac a velocidade ii (a) no centro, (b) no topo e (c) na basedo pneu e 0 m6dulo da aceleracao a (d) no centro, (e) no topo e (f)na base de cada pneu? Em relacao a um carona sentado proximo daestrada e em notacao de vetor unitario, quais sao a velocidade ii (g)no centro, (h) no topo e (i) na base do pneu eo m6dulo da acelera-<;:aoa (j) no centro, (k) no topo e (1)na base de cada pneu?

Se~ao11-4 As Forcas do Rolamento03 Uma roda de 140 kg rola ao longo de urn piso horizontal de modoque 0 seu centro de massa tern uma veloeidade de 0,150 mls. Quetrabalho deve ser realizado sobre a roda para para-la?

04 Uma esfera s6lida uniforme rola para baixo em urn plano inc1ina-do. (a) Qual deve ser 0 angulo de inclinacao do plano se a acelera-<;:aolinear do centro da esfera tem m6dulo de 0,10g? (b) Se urn blo-co sem atrito deslizasse para baixo nesse mesmo plano inclinado, 0

m6dulo de sua aceleracao seria maior, menor ou igual a 0,109? Porque?-s Um carro de '0 kg possui quatro rodas de 10 kg. Quando 0 carroesta se movendo, que fracao de sua energia cinetica total e devida arotacao das rodas em tomo dos seus eixos? Suponha que as rodas terno mesmo momento de inercia que discos de mesma massa e tama-nho. Por que voce nao precisa conhecer os raios das rodas?

06 Na Fig. 11-30, uma forca horizontal constante Fap de intensidade10 N e aplicada a uma roda de massa 10 kg e raio 0,30 m. Arodarola suavemente sobre a superffcie horizontal, e a aceleracao do seucentro de massa tern m6dulo 0,60 mls2. (a) Em notacao de vetorunitario, qual e a forca de atrito sobre a roda? (b) Qual e 0 momentode inercia da roda em tome do eixo de rotacao atraves do seu centrode massa?

Fig. 11-30 Problema 6.

o~ a Fig. 11-31, urn cilindro s6lido de raio 10 em e massa 12 kgparte do repouso e rola para baixo uma distancia L = 6,0 rn, semdeslizar, em um teto inclinado de urn angulo w = 30°. (a) Qual e avelocidade angular do cilindro em torno do seu centro quando eledeixa 0 teto? (b) A borda do teto encontra-se a uma altura H = 5,0m. A que distancia horizontal da borda do teto 0 cilindro toea 0 chao?

Fig. 11-31 Problema 7.

oo~ Na Fig. 11-32, uma bola de bronze s6lida de massa 0,280 g rola-ra suavemente ao longo do trilho em loop quando solta do repousoao longo do trecho retilfneo inc1inado. 0 loop circular tem raio R =14,0 ern e a bola tern raio r ~ R. (a) Quanto vale h. se a bola deveestar na iminencia de perder contato com 0 trilho quando ela alcan-ca 0 topo do loop? Se a bola for solta da altura It = 6,00R, quais sao(b) 0 m6dulo e (c) 0 sentido da componente horizontal da forca atu-ante sobre a bola no ponto Q?

Fig. 11-32 Problema 8.

009 Na Fig. 11-33, uma bola s6lida rola suavemente a partir do re-pouso (comecando na altura H = 6,0 m) ate deixar a parte horizon-tal do fim da pista, a uma altura It = 2,0 m. A que distancia horizon-tal do ponto A a bola toea 0 piso?

Fig. 11-33 Problema 9.

00;0 A Fig. 11-34 fomece a velocidade escalar v em funcao do tem-po t para um objeto de 0,500 kg e 6,00 em de raio que rola suave-mente para baixo em uma rampa inclinada de 30°. Qual e 0 momentode inercia do objeto?

4 ,./

/,

VI./

./I I

1./

3

1

° 0,2 0,4 0,6 0,8I (s)

Fig. 11-34 Problema 10.

··11 A Fig. 11-35 mostra a energia potencial U(x) de uma bola sali-da que pode rolar ao longo de urn eixo x. A bola e uniforme, rolasuavemente e possui massa de 0,400 kg. Ela e direcionada em x =7,0 m ao longo do sentido negati vo do eixo x com energia mecanicade 75 J. (a) Se a bola puder alcancar x = a m, qual sera a sua velo-cidade nesse ponto, e se nao puder, qual sera 0 seu ponto de retor-no? Suponha, em vez disso, que ela seja direcionada ao longo dosentido positivo do eixo x, quando solta emx = 7,0 m com 75 J. (b)Se a bola puder alcancar x = 13 m, qual sera sua velocidade nesseponto e, se ela nao puder, qual sera seu ponto de retorno?

U (1)100~\,-rTT""rrrTTT"

1\.1

o 2 4 6 8 10 12 14x(m)

Fig. 11-35 Problema 11.

0112 Na Fig. 11-36, uma bola pequena, salida e uniforme deve seratirada do ponto P para que ela role suavemente primeiro ao longode urna trajetoria horizontal, depois para cima ao longo de uma rampae finalmente sobre urn plato. Ela entao deixa 0 plato horizontalmentepara aterrissar sobre urn campo a uma distancia horizontal d da ex-trernidade do plato. As alturas verticais sao hi = 5,00 em e h2 = 1,60cm. Com que velocidade a bola deve ser lancada do ponto P paraque ela aterrisse em d = 6,00 ern?

([-----IBola-p

Fig. 11-36 Problema 12.

01°13 Bola ndo-uniforme. Na Fig. 11-37, uma bola de massa M e raioR rola suavernente, a partir do repouso, descendo uma rampa e en-tao passando por urn loop circular de raio 0,48 m. A altura inicial dabola e h = 0,36 m. No fundo do loop, a intensidade da forca normalsobre a bola e 2,00 Mg. A bola comp5e-se de uma camada esfericaextern a (de certa densidade uniforme) que esta grudada a uma esfe-ra central (de densidade uniforme diferente). 0 momento de inerciada bola pode ser expresso na forma geral I = [3MR2, mas nao e iguala 0,4 como para 0 caso de uma bola de densidade uniforme, Deter-mine [3. ..

Fig. 11-37 Problema 13.

···14 Objeto cilindrico ndo-uniforme. Na Fig. 11-38, urn objeto ci-!indrico de massa ty1e raio R rola suavemente descendo uma rampa,a partir do repouso, e a seguir passa por uma secao horizontal. Apartir daf, ele rola para fora da rampa sobre urn piso, aterrissando auma distancia horizontal d = 0,506 m a partir da extremidade dararnpa. A altura inicial do objeto e H = 0,90 m; a extremidade dararnpa esta a uma altura h' = 0,10 m. 0 objeto cornpoe-se de uma

Rolamento, Torque e Momento Angular 323

camada cilindrica externa (de certa densidade uniforme) que estagrudada a urn cilindro central (de densidade uniforme diferente). 0momento de inercia do objeto pode ser expresso na forma geral 1=[3MR2, mas [3 nao e igual a 0,5, como para 0 caso de urn cilindrouniforme. Determine [3.

Fig. 11-38 Problema 14.

Se~ao11-5 0 loic>·15 Urn ioio possui urn momento de inercia de 950 g . em? e umamassa de 120 g. 0 raio do seu eixo e 3,2 mm e seu cordao tem 120ern de comprimento. 0 ioio rola a partir do repouso, descendo ate aextrernidade do cordao. (a) ~al e 0 modulo de sua aceleracao line-ar? (b) Quanto tempo ele leva para atingir a extremidade do cordao?Quando ele atinge a extrernidade do cordao, quais sac suas (c) velo-cidade linear, (d) energia cinetica translacional, (e) energia cineticarotacional e (f) velocidade angular?

·16 Em 1980, sobre a Bafa de Sao Francisco, urn grande ioio foi soltode urn guindaste. 0 ioi6 de 116 kg compunha-se de dois discos uni-formes com 32 em de raio con ectad os por urn eixo de raio 3,2 ern.Qual era 0 modulo da aceleracao do ioio durante (a) sua queda e (b)sua subida? (c) Qual era a tensao no cordao no qual ele rolava? (d)A tensao estava proxima do limite do cordao de 52 kN? Suponhaque voce construa uma versao ampliada do ioi6 (mesrna forma emesmo material, porem maior). (e) 0 modulo da aceleracao do ioiodurante a queda sera maior, menor ou 0 mesmo daquele do ioi6 deSao Francisco? (f) E sobre a ten ao no cordao?

Se~ao11-6 Torque Revisitado·17 Uma ameixa esta localizada nas coordenadas (-2,0 m, 0, 4,0 m).Em notacao de vetor unitario, qual e 0 torque em tomo da origemsobre a ameixa se esse torque e devido a uma forca F cuja iinicacomponente e (a) F, = 6,0 N, (b) F, = -6,0 N, (c) F, = 6,0 N, (d)F, = -6,ON?

·18 Em notacao de vetor unitario, qual e 0 torque em tomo da origemsobre uma particula localizada nascoordenadas (0, -4,0 m, 3,0 m)e esse torque e devido aJa) forca F; com componentes FIx = 2,0 N,

Fly = FI' = Oe (b) forca F2 com componentes Fj, = 0, F2y = 2,ON, F2z= 4,ON?

·19 Em notacao de vetor unitario, qual e 0 torque resultante em tor-no da origem sobre uma pulga localizada n~ coordenadasjf), -4,0 m,5,0 m) quando as forcas R. = (3,0 N)k e Fi = (-2,0 n)j atuam so-bre a pulga?

··2'0 Em notacao de vetor unitario, qual e 0 torque em torno da ori-gem sobre urn pote de pimentas localizado n_ascoordenadas (3,0 m,-2,0 m, 4,0 m) devido (a) a forca F; = (3,0 N)i - (4,0 N)] + (5,0 N)k, (b) a forca F2 = (-3,0 N)i - (4,0 N)] - (5,0 N)k e(c) a soma vetorial de F; e F? Repita a parte (c) para 0 torque em tomodo ponto com coordenadas (3,0 m, 2,0 m, 4,0 m),

_ A A

··21 A forca F = (-8 N)i t (6,0 N)j qtua sobre lima particula comvetor posicao r = (3,0 m)i + (4,0 m)j. Quais sao (a) 0 torque so-bre a partfcula em torno da origem, em n.9tac;:aode vetor unitario e(b) 0 angulo entre os sentidos de r e de F?

324 Capitulo Onze

- A A

"22 A forca F = (2,0 N)i::- (3,0 )kAatua sobre urn seixo comvetor posicao r = (0,50 m)j - (2,0 m)k em relacao a origem. Emnotacao de vetor unitario, qual e 0 torque resultante sobre 0 seixoem tomo (a) da origem e (b) do ponto (2,0 m, 0, -3,0 m)?

··23 Uma particula se move atraves de um sistema de coordenadasxyz enquanto uma forca atua ~obre ela. Q~ando a partfcula pos-s~i veto! posicao r ~ (2,00 rn)i -;: (3,00 m)j + (2,00 m)k, a forca eF = F;.i + (7,00 N)j - (6,00 N)k e 0 torque correspondenteem torno ga origem e 7- = (4,00 N . m)i + (2,00 N . m)j -(1,00 N . m)k. Determine F,.

Se~ao 11-7 Momento Angular·24 No instante da Fig. 11-39, uma partfcula P de 2,0 kg possui urnvetor posicao r de modulo 3,0 m e angulo 81 =_45° e velocidade vde modulo 4,0 mls e angulo 82 = 30°. A forca F, de modulo 2,0 Ne angulo 83 = 30°, atua sobre P. Todos os tres vetores estao no pla-no xy. Em tomo da origem, quais sac (a) 0 modulo e (b) 0 sentidodo momento angular de P e (c) 0 modulo e (d) 0 sentido do torqueque atua sobre P?

J

~-'----x

Fig. 11-39 Problema 24.

·25 No instante da Fig.11-40, duas partfculas se movem em urn pla-no xy. A partfcula PI possui massa 6,5 kg e velocidade VI = 2,2 mls eesta a uma distancia z, = 1,5 mdo ponto O. A parncula Apossui mas-sa 3,1 kg e velocidade V2 = 3,6 mls e esta a uma distancia ~ = 2,8 m doponto O. Quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido do momenta angularresultante das duas partfculas em tome do ponto O?

O·----d2-----'~P2

Fig. 11-40 Problema 25.

·26 Urn objeto de 2,0 kg que se comporta como uma partfcula se moveem urn plano com componentes de velocidade v, = 30 mls e Vy =60 mls quando ele passa atraves do ponto com coordenadas (x, y)de (3,0, -4,0) m. Neste instante, em notacao de vetor unitario, qualeo seu momenta angular em relacao (a) a origem e (b) ao ponto(-2,0, -2,0) m?

_ A

·27 Em urn certo instante, a forca F = 4, OJ Aatua sobre urn objeto de0,25 kg que possui vetor posicao r = (2,Oi - 2, Ok) m e vetor ve-locidade v = (-5,Oi + 5,Ok) mls. Em tomo da origem e em no-tacso de vetor unitario, quais sac (a) 0 momenta angular do ob-jeto e (b) 0 torque que atua sobre ele?

··28 Na Fig. 11-41, uma bola de 0,400 kg e lancada diretamente paracima com uma velocidade inicial de 40,0 mls. Qual e 0 seu momen-to angular em tomo de P, horizontalmente a 2,00 m do ponto delancamento, quando a bola esta (a) na altura maxima e (b) na meta-de do carninho de volta ao chao? Qual e 0 torque sobre a bola em

tomo de P devido a forca gravitacional quando a bola esta (a) naaltura maxima e (b) na metade do caminho de volta ao chao?

y

Bola

Fig. 11-41 Problema 28.

··29 No instante err.!que 0 deslocamento de uJ!l objeto de ?,OOkg emrelacao IIorigem e d = (2,00 m)) + (4,00 m)j - 3,00 m)k, sua velo-cidade e v = -(6,OQ mls)i + (3,90 mls)] + (1,00 m/s)ket;.leestasu-jeito a uma forca F = (6,00 N)i - (8,00 N)j + (4,00 N)k. Encon-tre (a) a aceleracao do objeto, (b) 0 momento angular do objeto emtome da origem, (c) 0 torque em torno da origem que atua sobre 0objeto e (d) 0 angulo entre a velocidade do objeto e a forca que atuasobre ele.

Se~ao 11-8 Segunda Lei de Newton na Forma Angular·30 Uma partfcula sofre a acao de do is torques em tornoda origem:i; possui modulo de 2,0 N . me esta dirigido no sentido positi vo doeixo x, e 7-; possui modulo de 4,0 N . m e esta dirigido no sentidonegatiyo do eixo y. Em notacao de vetor unitario, encontre d eJdt,onde e e 0 momento angular da partfcula em tomo da origem.

·31 Uma parncula de 3,0 kg com velocidade ii (5,0 m/s)i - (6,0 rnIs)Jesta em x = 3,0 m, y = 8,0 m. Ela e puxada por uma forca de 7,0 Nno senti do negativo de x. Em tome da origem, quais sac (a) 0 mo-mento angular da particula, (b) 0 torque que atua sobre a partfcula e(c) a taxa na qual 0 momenta angular esta variando?

·32 Uma partfcula se move em urn plano xy, em tomo da origem nosentido horatio, conforme visto do lado positivo do eixo z. Em no-tayao de vetor unitario, qual 0 torque que atua sobre a particula se 0

m6dulo do seu momenta angular em tomo da origem e (a) 4,0 kg'm2/s, (b) 4,Ot2 kg' m2/s, (c) 4,0.Jt kg-mvs e (d) 4,0/t2 kg· m2/s?

A A

·33 No instante t, r = 4,Ot2i - (2,Ot + 6,Ot2)j fomece a posicao deuma partfcula de 3,0 kg em relacao a origem de urn sistema de coor-denadas xy (r esta em metros e tern segundos). (a) Encontre umaexpressao para 0 torque que atua sobre a partfcula em relacao 11ori-gem. (b) 0 modulo do momento angular da partfcula em relacao aorigem esta aumentando, diminuindo ou permanece inalterado?

Se~ao 11-10 0 Momento Angular de um Corpo Rigido Girandoem Torno de um Eixo Fixo-34 Urn disco de lixar, com momento de inercia 1,2 X 10-3 kg· m2,

esta conectado a uma broca eletrica cujo motor fornece urn torquede m6dulo 16 N . m em torno do eixo central do disco. Com 0 torqueaplicado pol' 33 ms em tomo desse eixo, qual e 0 m6dulo (a) domomento angular e (b) da velocidade angular do disco?

·350 momento angular de urn volante com momento de inercia de0,140kg . m+em tomo do seu eixo central diminui de 3,00 para 0,800kg . m2/s em 1,50 s. (a) Qual e 0 modulo do torque medic que atuasobre 0 volante ern tomo do seu eixo central durante esse periodo?(b) Supondo uma aceleracao angular con stante, de que angulo 0

volante gira? (c) Qual 0 trabalho realizado sobre 0 volante? (d) Quale a potencia media do volante?

·36 A Fig. 11-42 mostra tres discos uniformes em rotacao acopladospor correias. Uma correia passa em tomo das bordas dos discos A eC. A outra correia passa em tomo do eixo central do disco A e pel aborda do disco B. As correias se movern suavemente sem deslizarnas bordas e no eixo central. 0 disco A tern raio R; seu eixo central

tern raio 0,5000R; 0 disco B tern raio 0,2500R; 0 disco C tern raio2,000R. Os discos Bee tern a mesma densidade (massa por unida-de de volume) e mesma espessura, Qual e a razao entre 0 modulo90 momenta angular do disco Ceo do disco B?

Fig. 11-42 Problema 36.

°37 Na Fig. 11-43, tres partfculas de massa m = 23 g sao presas atres hastes de eomprimento d = 12 em e mass a desprezfvel. 0 con-junto gira em tomo do ponto 0 com velocidade angular to = 0,85rad/s. Em tomo do ponto 0, quais sao (a) 0 momento de inercia doconjunto, (b) a m6dulo do momenta angular da partfcula do meio e(c) 0 modulo do momento angular do conjunto?

o yo.

Fig. 11-43 Problema 37.

oo:a A Fig. 11-44 fomece a torque 'T que atua sabre urn disco inici-almente estacionario que pode girar em tomo do seu centro comourn carrossel. Qual e a momenta angular do disco em tomo do eixode rotacao nos tempos (a) t = 7,0 s e (b) t = 20 s?

",(N' m)

4BmOOEffimE

Fig. 11-44 Problema 38.

0°39 A Fig. 11-45 mostra uma estrutura rigida composta de urn arode raio R e massa meum quadrado feito de quatro barras finas, cadauma de comprimento R e massa m. A estrutura rigida gira com umavelocidade constante em tomo de urn eixo vertical, com perfodo derotacao de 2,5 s. Supondo R = 0,50 m e m = 2,0 kg, calcu1e (a) amomenta de inercia da estrutura em tomo do eixo de rotacao e (b)seu momento angular em tomo desse eixo.

tEiXO de rotacao

TR...L

Fig. 11-45 Problema 39.

Rolamento, Torque e Momento Angular 325

Se~ao 11-11 Conservacao do Momento Angular°40 0 rotor de urn motor eletrico possui momenta de inercia 1m =2,0 X 10-3 kg . m? em tomo do seu eixo central. 0 motor e usadopara mudar a orientacao da sonda espacial no qual ele esta monta-do. 0 eixo do motor esta montado ao longo do eixo central da son-da; a sonda possui momenta de inercia Ip = 12 kg . rn? em tomedesse eixo. Calcu1e 0 mimero de revolucoes do rotor necessarias paragirar a sanda de 30° em tome do seu eixo central.

°41 Urn homem esta em pe sabre uma plataforma que gira (sem atri-to) com uma velocidade angular de 1,2 rev/s; seus braces estao aber-tos e ele segura urn tijolo em cada mao. 0 momenta de inercia dosistema composto por homem, tijolos e plataforma ern tome do eixovertical central da plataforma e 6,0 kg· rn-. Se ao mover os tijolos 0

homem reduz 0 momento de inercia do sistema para 2,0 kg . m2,quais sac (a) a velocidade angular resultante da plataforma e (b) arazao entre a nova energia cinetica do sistema e a energia cineticaoriginal? (c) Que fonte fomece a energia adicional?

°42 Dois discos esgo montados (como urn carrossel) em rolamen-tos de baixo atrito sobre a mesmo eixo e podem ser aproximados demodo a serem acoplados e girarem como uma unidade. 0 primeirodisco, com momenta de inercia 3,30 kg . m2 em tome do seu eixocentral, e pas to para girar no sentido anti-horario a 450 rev/min. 0segundo disco, com momento de inercia 6,60 kg . m2 em tome doseu eixo central, e tarnbem posto em rotacao anti-horaria a 900 rev/min. Eles sac entao acoplados. (a) Qual a velocidade angular dos dis-cos apos 0 acoplamento? Se, em vez disso, 0 segundo disco e postopara girar a 900 rev/min no sentido horario, quais sao (b) suas veloci-dades angulares e (c) seus sentidos de rotacao apos 0 acoplamento?

04'3 Uma roda esta girando livremente com uma veJocidade angularde 800 rev/min sobre uma haste cujo momenta de inercia e despre-zivel. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com 0 dobrodo momenta de inercia da prirneira, e repentinamente acoplada amesma haste. (a) Qual e a velocidade angular da combinacao resul-tante da haste e das duas rodas? (b) Que fracao da energia cineticarotacional original e perdida?

°44 Uma barata primeiro encontra-se no centro de urn disco circularque gira livremente como urn carrossel sem torques extemos. Abarata entao carninha em direcao a borda do disco, a uma distanciaradial R. A Fig. 11-46 fomece a veJocidade angular w do sistemabarata-disco durante a caminhada. Quando a barata encontra-se naborda do disco de raio R, qual e a razao entre 0 momento de merciado inseto e 0 momento de inercia do disco, ambos calculados emtome do eixo de rotacao?

6,5

6,0

~ 5,5f--+-t---l' •••••

]. 5,0<3

4,5O'---'-~'---'----''---'R

Distancia radial

Fig. 11-46 Problema 44.

·45 Uma pista e montada sobre uma grande roda que pode girar li-vremente com atrito desprezivel em torno de urn eixo vertical (Fig.1l-47). Urn trenzinho de brinque-do de massa m e colocado sobre apista e, com 0 sistema inicialmenteem repouso, a alimentacao eletricado trenzinho e Jigada. 0 trenzinhoadquire uma velocidade de 0,15 mI Fig. 11-47 Problema 45.

326 Capitulo Onze

em relacao apista. Qual e a velocidade angular da roda se sua massafor 1,lm e seu ra.io for 0,43 m? (Trate a roda como um aro e despre-ze as massas dos ra.ios e do cubo da roda.)

°46 0 momento de inercia de uma estrela colapsando em rotacao ca.ia t do seu valor inicial. Qual e a razao entre a nova energia cineticarotacional e a energia cinetica rotacional inicial?

°47 Na Fig. 11-48, duas patinadoras, cada uma com massa de 50 kg,se aproximam uma da outra ao longo de trajetorias paralelas sepa-radas por 3,0 m. Elas tern velocidades opostas de 1,4 m/s cada. Umadas patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezfvel se-gurando-a em uma extrernidade e a outra se agarra a outra extrerni-dade quando a primeira passa por ela. As patinadoras entao passama girar em tome do centro da baliza. Suponha que 0 atrito entre aspatinadoras e 0 gelo e desprezfvel. Quais sao (a) 0 ra.io do circulo,(b) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinetica dosistema das duas patinadoras? Em seguida, as patinadoras se puxamao Ion go da baliza ate que elas ficam separadas por 1,0 m. Quaissac entao (d) a velocidade angular delas e (e) a energia cinetica dosistema? (f) Qual a origem do aumento da energia cinetica?

Fig. 11-48 Problema 47.

°48 Uma barata de massa 0,17 kg corre no sentido anti-horatio emtorno da borda de urn disco circular de raio 15 cm e momenta deinercia 5,0 X 10-3 kg . m-, montado sobre urn eixo vertical com atritodesprezfvel. A velocidade da barata (em relacao ao chao) e 2,0 m/se 0 disco gira no sentido horario com velocidade angular Wo = 2,8rad/s. A barata encontra uma rnigalha de pao sobre a borda e, obvi-amente, para. (a) Qual e a velocidade angular do disco depois que abarata para? A energia mecanica e conservada quando ela para?

°49 Urn disco de vinil horizontal de massa 0, I0 kg e raio 0,10 m giralivremente em torno de urn eixo vertical que passa pelo seu centrocom uma velocidade angular de 4,7 rad/s. 0 momenta de inercia dodisco em torno do seu eixo de rotacao e igual a 5,0 X 10-4 kg . m'.Urn pedaco de massa de vidraceiro iimida de massa 0,020 kg cai ver-ticalmente e se gruda na borda do disco. Qual e a velocidade angu-lar do disco imediatamente apos a )assa se grudar nele?

0°50 A Fig. 11-49 e urna vista de cima de uma barra uniforme de com-prirnento 0,600 m e massa M girando borizontalmente a 80,0 radlsno sentido anti-horario em torno de urn eixo que passa pelo seu cen-tro. Uma particula de massa MI3,00, viajando horizontalmente a umavelocidade de 40,0 mls atinge a barra e se gruda nela. A trajetoriade partfcula e perpendicular a barra no instante da colisao, a umadistancia d do centro da barra. (a) Para que valor de d a barra e apartfcula ficam estacionarias apes a colisao? (b) Em que sentido abarra e a partfcula giram se d for maior que esse valor?

Eixo de rotacao "-

•

III

tvPanfcuJa

I 1r-d

Fig. 11-49 Problema SO.

0°51 Uma haste uniforme fina de comprimento 0,50 m e massa 4,0kg pode girar em urn plano horizontal em tomo de urn eixo verticalpassando pelo seu centro. A baste encontra-se em repouso quandouma bala de 3,0 g deslocando-se no plano de rotacao e disparadacontra urna das suas extrernidades. Conforme vista de cima, a traje-toria da bala faz urn angulo 8 = 600 com a haste (Fig. 11-50). Se abala se aloja na haste e a velocidade angular da haste e igual a 10rad/s imediatamente apos a colisao, qual e a velocidade da balaimediatamente antes do impacto?

Eixo

Fig. 11-50 Problema 5l.

0°52 Uma barata de massa m encontra-se sabre a borda de urn discouniforme de massa 4,00m que pode girar livremente em tomo doseu centro como um carrossel. Inicialmente a barata e a disco giramjuntos com uma velocidade angular de 0,260 radls. A barata entaocarninha ate metade da distancia ao centro do disco. (a) Qual e en-tao a velocidade angular do sistema barata-disco? (b) Qual e a ra-zao KIKo entre a nova energia cinetica do sistema e a sua energiacinetica inicial? (c) 0 que e responsavel pela variacao na energiacinetica?

0°53 A Fig. 11-51 e uma vista de cima de uma barra fina uniformede comprimento 0,800 m e massa M girando horizontalmente comvelocidade angular 20,0 radls em torno de urn eixo que passa peloseu centro. Uma particula de massa M13,00 inicialmente presa a umadas extrernidades e ejetada da barra e viaja ao longo de uma trajeto-ria perpendicular a barra no instante da ejecao. Se a velocidade dapartfcula vp e 6,00 mls maior que a velocidade da extrernidade dabarra imediatamente apos a ejecao, qual e 0 valor de vp?

t,Eixo?eJrotacao

Fig. 11-51 Problema 53.

0°54 Uma plataforma horizontal na forma de urn disco circular girasem atrito em tome de urn eixo vertical que passa pelo centro dodisco. A plataforma possui massa de 150 kg, urn raio de 2,0 meummomento de inercia de 300 kg . m2 em torno do eixo de rotacao.Uma estudante de 60 kg carninha lentamente da borda da platafor-ma em direcao ao seu centro. Se a velocidade angular do sistema eigual a 1,5 radls quando 0 estudante parte da borda, qual e a ve1oci-dade angular quando ela estiver a 0,50 m do centro?

0°55 Urn disco uniforme de massa 10m e raio 3,Or pode girar livre-mente como urn carrossel em torno do seu cent.ro fixo. Urn discouniforme menor de massa m e raio r, encontra-se em cima do discoma.ior, concentrico com ele. Inicialmente as dois discos giram jun-tos com uma velocidade angular de 20 rad/s. Entao urna pequenaperturbacao faz com que 0 disco men or deslize para fora atraves dodisco maior ate que a sua borda atinja a borda do disco maior. Emseguida, os dois discos passam novamente a girar juntos (sem haverma.is deslizamento). (a) Qual e entao a velocidade angular dos dis-cos em tomo do centro do disco ma.ior? (b) Qual e a razao KI Ko entrea nova energia cinetica do sistema dos dois discos e sua energia ci-netica inicial?

00:';6Na Fig. 11-52, urna bala de 1°g e di parada em urn bloco de 0,50kg preso a extremidade de uma haste nao-uniforme de 0,60 m e massaigual a 0,50 kg. 0 sistema bloco-haste-bala entao gira no plano da fi-gura, em tome de urn eixo fixo emA. 0 momenta de inercia apenas dahaste em tomo desse eixo em A e igual a 0,060 kg . m2. Trate 0 blococomo uma particula. (a) Qual e entao 0 momento de inercia do siste-ma bloco-haste-bala em tome do ponto A ? (b) Se a velocidade angu-lar do sistema em tomo de A imediatarnente ap6s 0 impacto e 4,5 rad/s,quale a velocidade da bala imediatamente antes do impacto?

A

Haste

B1oco

Bala

Fig. 11-52 Problema 56.

0057 A baste uniforme (de comprimento 0,60 m e massa 1,0 kg) naFig. 11-53 gira no plano da figura em tome de urn eixo que pass apor urna de suas extremidades, com urn momento de inercia de 0,12kg . m2. Quando a haste passa por sua posicao mais baixa, ela colidecom urn pedaco de massa de vidraceiro de 0,20 kg que fica grudadana sua extremidade. Se a velocidade angular da haste imediatamenteantes da colisao e igual a 2,4 rad/s, qual e a velocidade angular do sis-tema haste-rnassa de vidraceiro imediatarnente apes a colisao?

Eixo de rotacao

Haste

Fig. 11-53 Problema 57.

00058 Na Fig. 11-54, uma crianca de 30 kg esta em pe sobre a bordade urn carrossel estacionario de massa igual a 100 kg e raio igual a2,0 m. 0 momento de inercia do carrossel em tome do seu eixo derotacao e igual a 150 kg . m2. A crianca entao agarra uma bola demassa 1,0 kg lancada por urn colega. Imediatamente antes de a bolaser agarrada, ela tern velocidade v de modulo 12 m/s, formando urnangulo </> = 37° com a linha tangente it borda do carrossel, comomostrado. Qual e a velocidade angular do carrossel imediatamenteapes a crianca agarrar a bola? .

• CriancaIIIII

/A........ :, r-1I

Fig. 11-54 Problema 58.

Rolamento, Torque e Momento Angular 327

···59 Duas bolas de 2,00 kg estao presas as extremidades de umahaste fina de comprimento 50,0 cm e massa desprezfvel. A haste elivre para girar sem atrito em urn plano vertical em tomo de urn eixohorizontal que passa pelo seu centro. Com a haste inicialmente nahorizontal (Fig. 11-55), urn pedaco de massa de vidraceiro umidade 50,0 g cai sobre uma das bolas, atingindo-a com uma velocidadede 3,00 mis e se grudando nela. (a) Qual e a velocidade angular dosistema imediatamente ap6s a coli-sao com a massa de vidraceiro? (b)Qual e a razao entre a energia cine-tica do sistema apos a colisao e aenergia cinetica do pedaco de mas-sa de vidraceiro imediatamente an-tes? (c) De que angulo 0 sistema iragirar antes de parar rnomentanea-mente?

Massa devidraceiro

Eixo derotacao ~

Q .~g

Fig. 11-55 Problema 59.

···60 Na Fig. 11-56, urn pequeno bloco de 50 g desliza para baixoem uma superffcie curva sem atrito a partir de uma altura h = 20em e entao se gruda em uma barra uniforrne de massa igual a 100 ge comprimento de 40 ern. A barra gira de urn angulo e em tome doponto 0 antes de parar momentaneamente. Encontre e.

o

Fig. 11-56 Problema 60.

Se~ao 11-12 Precessao de um Giroscopio··61 Urn piao gira a 30 rev/s em tome de urn eixo que faz urn angulode 30° com a vertical. A massa do piao e igual a 0,50 kg, seu mo-mento de inercia em tome do seu eixo central vale 5,0 X 10-4 kg·m2 e seu centro de massa esta a 4,0 em do ponto de pivo. Se a rota-~ao e horaria quando vista de cima, quais sac (a) a taxa de preces-sac e (b) 0 sentido da precessao tambem quando visto de cima?

0·62 Urn certo giroscopio consiste em urn disco uniforme com 50 cmde raio montado no centro de urn eixo com 11 em de comprimentoe massa desprezfvel. 0 eixo esta na posicao horizontal apoiado emuma das extremidades. Se 0 disco esta girando em tome do eixo a1000 rev/nun, qual e a taxa de precessao?

Problemas Adicionais63 Uma partfcula de 2,50 kg movendo-se horizontalmente sobre urnpiso com velocidade ( - 3,00 mls)j sofre uma colisao cornpletamen-te inelastica com uma partfcula de 4,00 kg que esta se rqovendo ho-rizontalmente sobre 0 piso com velocidade (4,50 mls )i. A colisaoocorre nas coordenadas xy (-0,500 rn, -0,100 m). Ap6s a colisaoe em notacao de vetor unitario, qual e 0 momenta angular do siste-ma das duas partfculas juntas em relacao a origem?

64 Umjogador de boliche arremessa uma bola de raio R = 11 cm aolongo de uma pista. A bola (Fig.11-57) desliza sobre a pista com ve-locidade inicial vCM•O = 8,5 mls e velo-cidade angular inicial li>o = O.0 coe-ficiente de atrito cinetico entre a bolae a pista e igual a 0,21. A forca deatrito cinetico j, que atua sobre a Fig. 11-57 Problema 64.

328 Capitulo Onze

bola causa sobre ela uma aceleracao linear enquanto produz urntorque que causa uma aceleracao angular na bola. Quando a veloci-dade vCM tiver diminuido 0 suficiente e a velocidade angular w tiveraumentado 0 suficiente, a bola para de deslizar e passa entao a rolarsuavemente. (a) Quanto vale entao VCM em termos de w? Durante 0

deslizamento, quais sao (b) a aceleracao linear e (c) a aceleracaoangular da bola? (d) Quanto tempo a bola desliza? (e) Que distanciaa bola desliza? (f) Qual e a velocidade linear da bola quando 0 rola-mento suave se inicia?

65 Urn bloco uniforme de granito na forma de urn livro possui di-mens6es das faces de 20 em e 15 cm e espe sura de 1,2 cm. A den-sidade (massa por unidade de volume) do granito e 2,64 g/cm'. 0bloco gira em tomo de urn eixo perpendicular as suas faces locali-zado a meia distancia entre 0 seu centro e urn dos seus cantos. Seumomento angular em tomo deste eixo e igual a 0,104 kg· mvs. Quale sua energia cinetica de rotacao ern tomo deste eixo?

66 A Fig. 11-58 mostra uma vista de cima de urn disco que po de girarem tomo do seu centro como um carrossel. Seu raio extemo Rz eigual a 0,800 m, seu raio interno R, e igual a R/2,00, sua massa Mvale 8,00 kg e a massa da cruz em seu centro e desprezfvel. Inicial-mente 0 disco gira com velocidade angular de 8,00 rad/s com urngato de massa m =M14,00 sobre sua borda extema, a uma distanciaradial R2• De quanto 0 gato aumentara a energia cinetica do sistemagate-disco se ele se arras tar ate a borda intema, com raio R,?

Fig. 77-58 Problema 66.

67 Duas partfculas, cad a uma com massa 2,90 X 10-4 kg e veloci-dade 5,46 mfs, se deslocam em sentidos opostos ao longo de li-nhas paralelas separadas por 4,20 cm. (a) Qual e 0 m6dulo L domomento angular do sistema das duas partfculas em tomo do pon-to medic entre as duas linhas? (b) 0 valor de L se altera se 0 pontoem tomo do qual ele e calculado nao estiver a meia distancia entreas linhas? Se 0 sentido de deslocamentopara uma das partfculasfor invertido, qual sera (c) a resposta da parte (a) e (d) a respostada parte (b)?

68 Uma pequena esfe~a s6lida com raio 0,25 cm e massa 0,56 g rolasem deslizar no interior de urn grande hemisferio fixo com raio 15ern e urn eixo de simetria vertical. A esfera parte do repouso do topodo hernisferio. (a) Qual e sua energia cinetica no fundo do hemisfe-rio? (b) Que fracao de sua energia cinetica no fundo e associada arotacao em tome de urn eixo que passa pelo seu centro de massa?(c) Qual e 0 m6dulo da forca normal que a esfera exerce sobre 0

hemisferio quando ela alcanca a fundo?

69 Uma partfcula de rnassa M =0,25 kg e salta de urn ponto que estaa uma altura h = 1,80 m acima dochao e a uma distancia s = 0,45 mde urn ponto de observacao 0, comomostrado na Fig. 11-59. Qual e 0

m6dulo do momento angular dapartfcula em relacao a 0 quando aparticula tiver cafdo metade da dis-tancia ao chao?

o M$-1Fig. 77-59 Problema 69.

70 Uma esferaocaderaio 0,15 m, commomento de inercia Z= 0,040kg . m- em tomo de uma linha que passa pelo seu centro de massa,rola sem deslizar subindo uma superficie inclinada de 30° em rela-<;:aoa horizontal. Em uma certa posicao inicial, a energia cineticatotal da esfera e igual a 20 1. (a) Quanto desta energia cinetica ini-cial e rotacional? (b) Qual e a velocidade do centro de massa daesfera na posicao inicial? Ap6s a esfera ter se deslocado 1,0 m aoLongo da superficie inclinada a partir de sua posicao inicial, quaissao (c) sua energia cinetica total e (d) a velocidade do seu centro demassa?

71 No tempo t = 0, um~a particula de 2,0 kg possui vetor posicaor = (4,0 m)i - (2,0 m)j fm relacao a origem. Sua velocidade edada par 11 = (-6,0 rnls)i para t ~ ° ep segundos. Em torno daorigem, quais sao (a) a momenta angular L da partfcula e (b) 0 torqueT- atuante sobre a particula, ambos em notacao de vetor unitario epara t > O? Em tomo do ponto ( - 2,0 m, - 3,0 m) quais sao (c) L e(d) T- para t > O?

72 Uma bola s6lida uniforme rola suavemente ao longo de urn pisoe entao corneca a subir uma rampa inclinada de 15°. Ela para mo-mentaneamente ap6s ter rolado 1,50 m ao longo da rampa. Qual erasua velocidade inicial?

73 Uma roda gira no sentido horario em torno do seu eixo centralcom urn momento angular de 600 kg . m2/s. Em t = 0, urn torque dem6dulo 50 N . m e aplicado a roda para inverter sua rotacao. Emque tempo t sua velocidade angular e nula?

74 Urn tuba de paredes finas rola ao longo do piso. Qual e a razaoentre sua energia cinetica translacional e sua energia cineticarotacional em tomo do eixo central paraleloao seu comprimento?

75 Um carro de brinquedo de 3,0 kg se desloca ao longo de um eixox com uma velocidade dada por Ii = -2,Ot3i m/s, c.9m t em segun-dos. Para t > 0, quais sao (a) a momento angular L do carro e (b)a torque T- sobre 0 carro, ambos calculados em torno da origem?Quais sa2 (c) L e (d) i em torn a do ponto (2,0 m, 5,0 m, O)? Quaissao (e) L e (f) T- em torno do ponto (2,0 m, -5,0 m, O)?

76 As rodas A e B na Fig. 11-60 sao conectadas par uma correia quenao desliza. 0 raio de B e 3,00 vezes 0 raio de A. Qual seria a razaoentre as momentos de inercia [AlIo se as duas rodas possuissem (a) amesmo momenta angular em torno dos seus eixos centrais e (b) amesma energia cinetica de rotacao?

Fig. 77-60 Problema 76.

h

77 U ma garota de massa M esta em pe sobre a borda de urn carrosselsem atrito de raio R e momento de mercia [ que nao esta se moven-do. Ela joga uma pedra de massa m horizontalmente em uma dire-<;ao tangente a borda externa do carrosseL A velocidade da pedraem relacao ao chao e v. Depois disso, quais sao (a) a velocidadeangular do carrossel e (b) a velocidade linear da garota?

78 Uma partfcula de 4,0 kg se move em um plano xy. No instapteem que ~a posicao e a velocidade da particula sao r ~ (2,0 m)i +(4,0 m)j me Ii = -4,Oj m/s.aforca sobre a particula e F = -3,OiN.Neste instante, determine (a) 0 momento angular da partfcula em tomoda origem, (b) a momento angular da partfcula em tomo do ponto x '=0, y = 4,0 m, (c) 0 torque que atua sobre a partfcula em tomo da origeme (d) a torque que atua sabre a partfcula em tomo do ponto x = 0, y =4,Om.

79 Em urn certo instapte, uma particula de 0,80 kg esta localizada napo i~ao r = (2,0 m)i + (3,0 m)j. Omomento linear da partfcula estaootido no plano xy e possui m6dulo 2,4 kg . mfs e uma direcao de

115° medida no sentido anti-horatio a partir do sentido positivo doeixo x. Qual e 0 momento angular da partfcula em tome da origem,em notacao de vetor unitario?

80 Uma esfera salida de peso 36,0 Nsobe rolando urn plano inclina-do em urn angulo de 30,0°. Na base do plano inclinado 0 centro demassa da esfera possui uma velocidade translacional de 4,90 mfs.a) Qual e a energia cinetica da esfera na base do plano? (b) Que

di tancia a esfera sobe ao longo do plano? (c) A resposta de (b) de-peode da massa da esfera?

81 Urn corpo de raio R e massa m esta rolando suavemente com ve-locidade v sobre uma superffcie horizontal. Ele entao sobe uma ele-vacao rolando ate uma altura maxima h. (a) Se h = 3v2/4g, qual e 0

momenta de mercia do corpo em torno do eixo de rotacao que passapelo seu centro de massa? (b) Que corpo poderia ser este?

82 Uma roda de raio 0,250 m, que esta se movendo inicialmente a-t3,0 mfs, rola ate parar em 225 m. Calcule os modules (a) de suaaceleracao linear e (b) de sua aceleracao angular. (c) 0 momenta deinercia da roda em tome do seu eixo central e igual a 0,155 kg . m2.Calcule 0 modulo do torque em tome do eixo central devido ao atri-[0 obre aroda.

83 Uma roda uniforme de massa 10,0 kg e raio 0,400 m esta monta-darigidarnente sobre urn eixo que passa atraves de seu centro (Fig.11-61). 0 raio do eixo e 0,200 me 0 momenta de inercia da comb i-nacao roda-eixo em tome de seu eixo central e 0,600 kg· m2. Arodae ta inicialmente em repouso no topo de uma superffcie inclinadade urn angulo 8 = 30,Qo com a horizontal; 0 eixo repousa sobre auperffcie enquanto aroda se estende em uma cava existente na su-

perficie sem toca-la. Uma vez solta, 0 eixo rola para baixo, suavementee em deslizamento, ao.longo da superffcie. Quando a cornbinacaoroda-eixo tiver descido 2,00 m na superficie, quais sac (a) sua ener-gia cinetica rotacional e (b) sua energia cinetica translacional?

Fig. 77-67 Problema 83.

84 Urn autom6vel possui uma massa total de 1700 kg. Ele acelera a par-tir do repouso ate 40 kmIh em 10 s. Suponha que cada roda e urn discouniforme de 32 kg. Encontre, ao final do intervalo de 10 s, (a) a ener-gia cinetica rotacional de cada roda em tome do seu eixo, (b) a energiacinetica total de cada roda e (c) a energia cinetica total do automovel.

&5 a Fig. 11-62, uma forca horizontal constante Fap de modulo 12_- e aplicada a urn cilindro s6lido uniforme atraves de uma linha de

car enrolada em tome do cilindro. A massa do cilindro e de 10-g. seu raio e 0,10 m e 0 cilindro rola suavemente sobre uma super-fi ie horizontal. (a) Qual e 0 modu- F

da aceleracao do centro de mas- 'pi

- do cilindro? (b) Qual eo modulo Linha deaceleracao angular do cilindro pescar

em tome do centro de mass a? (c)Em notacao de vetor unitario, quale a forca de atrito que atua sobre 0rilindro? Fig. 77-62 Problema 85.

Rolamento, Torque e Momenta Angular 329

86 Urn projetil de massa 0,320 kg e disparado do chao com uma ve-locidade inicial Vo= 12,6 mfs em um angulo inicial 80 = 30,0° aci-ma de urn eixo x horizontal (0 eixo y e direcionado para cima). (a)Encontre uma expressao como funcao do tempo para 0 modulo domomento angular do projetil em tome do ponto de disparo, (b) En-contre a taxa na qual 0 momento angular varia com 0 tempo. (c)Calcule diretamente 0 m6dulo de r X mg e compare 0 resultado como resultado do item (b). (d) Por que os resultados de (b) e (c) devemser identicos?

87 Com 0 eixo e os raios de massas despreziveis e urn aro fino, umacerta roda de bicicleta possui urn raio de 0,350 m e pesa 37,0 N; elapode girar em tome do seu eixo com atrito desprezivel. Urn homemsegura aroda acima de sua cabeca com 0 eixo vertical enquanto eleesta sentado sobre uma mesa giratoria que po de girar livremente sematrito; aroda gira no sentido horatio, quando vista de cima, com umavelocidade angular de 57,7 rad/s, e a mesa girat6ria esta inicialmen-te em repouso. 0 momenta de inercia da roda + homem + mesa gi-rat6ria em tome do eixo de rotacao comum e 2,10 kg· m2. A maolivre do homem repentinamente para a rotacao da roda (em relacaoa mesa giratoria). Determine (a) a velocidade angular resultante e(b) 0 sentido de rotacao do sistema.

88 Na Fig. 11-63, urn pequeno bloco de 0,50 kg possui uma veloci-dade horizontal Vo de m6dulo 3,0 mfs quando deixa uma mesa dealtura h = 1,2 m. Responda 0 que se segue em notacao de vetorunitario para urn sistema de coordenadas no qual a origem esta naborda da mesa (no ponto 0), 0 sentido de x positivo e horizontalpartindo da mesa e 0 sentido de y positivo e para cima, Quais sac osmomentos angulares do bloco em tomo do ponto A (a) imediatamenteapos 0 bloco deixar a mesa e (b) imediatamente antes de 0 bloco tocaro piso? Quais sac os torques sobre 0 bloco em tomo do ponto A (c)imediatamente ap6s 0 bloco deixar a mesa e (d) imediatamente an-tes de 0 bloco tocar 0 piso?--

h

Fig. 77-63 Problema 88.

89 Suponha que 0 ioi6 no Problema IS, em vez de rolar a partir dorepouso, e lancado de modo que sua velocidade inicial para baixo e1,3 rn/s. (a) Quanto tempo 0 ioi61eva para atingir a extremidade docordao? Quando ele atinge a extremidade do cordao, quais sac suas(b) energia cinetica total, (c) velocidade linear, (d) energia cineticatranslacional, (e) velocidade angular e (f) energia cinetica rotacional?

90 Uma barra uniforme gira em urn plano horizontal em tomo de urneixo vertical que passa par uma de suas extrernidades. A barra tern6,00 m de comprirnento, pes a 10,0 N e gira a 240 rev/min. Calcule(a) seu momento de inercia em tome do eixo de rotacao e (b) 0

m6dulo do seu momento angular em tome desse eixo.

91 (a) No Exemplo 10-7, quando 0 rotorexplodiu, quanta momentoangular, calculado em tome do eixo de rotacao, foi liberado para avizinhanca ? (b) Se supusermos que a maioria das partes do rotor foiparada dentro de 0,025 sapos a explosao, qual foi 0 m6dulo medicdo torque atuante sobre as partes, calculado em tome do eixo derotacao?

92 Se as calotas pol ares de gelo da Terra se fundissem completamentee as aguas retomassem para os oceanos, estes aumentariam cerca de

330 Capitulo Onze

30 m em profundidade. Que efeito isso teria sobre a rotacao da Terra?Faca uma estimativa da variacao resultante na duracao de urn dia. (Haadvertencias de que 0 aquecimento da atmosfera resultante da polui-~ao industrial pode causar 0 derretimento das calotas de gelo.)93 (a) Use os dados fomecidos nos apendices para calcular 0 modu-lo total dos momentos angulares de todos os planetas devido as suasrevolucoes em torno do Sol. (b) Que fracao desse total esta associ-ado com 0 planeta Jupiter?94Urn aviao de 1200 kg esta voando em uma linha reta a 80 mis, a 1,3km acima do solo. Qual e 0 modulo do momenta angular do aviao emrelacao a urn ponto no solo diretamente abaixo de sua trajetoria?

9S Em urn playground existe urn carrossel de 1,20 m de raio e 180kg de massa. Seu raio de giracao (veja Problema 85 do Capitulo 10)e 91,0 em. Uma crianca com 44,0 kg de massa corre com uma velo-cidade de 3,00 mls ao longo de uma trajetoria tangente a borda docarrossel inicialmente estacionario e entao pula sobre 0 carrossel.Despreze 0 atrito entre os rolamentos e 0 eixo rnecanico do carrossel.Calcule (a) 0 momento de inercia do carrossel, (b) 0 modulo domomenta angular da crianca correndo em relacao ao eixo de rota-~ao do carrossel e (c).a velocidade angular do carrossel e da criancaapos ela ter saltado no carrossel.

A, '" '" _ '" ,.. "

96 Dado que r =_xi + yj + zk e F = F) + Fyj + Fzk, mostre que 0

torque T = r X F e dado por

T = (yFz - zFy)i + (zFx - xFz)J + (xFy - yFJk.

97 Para uma pessoa de 84 kg que se encontra no equador, qual e 0

modulo do seu momento angular em tomo do centro da Terra devi-do a rotacao da Terra?

ss Mostreque, se reF estao contidos em urn dado plano, 0 torque'T- = r X F nao tern componentes nesse plano.99 Se nos forem fomecidos r, p e <p, podemos calcular 0 momentaangular de uma partfcula a partir da Eq. 11-19. Algumas vezes, po-rem, em vez disso nos sao fomecidas as componentes (x, y, z) de re (vx, vy' vz) de v. (a) Mostre que as componentes de e ao longo doseixos x, y e z sao entao dadas por ( = m(yv, - zv,), f), = m(zvx -

xv,) e e, = m(xvy - YVx)' (b) Mostre que, se a partfcula se move ape-nas no plano xy, 0 vetor momenta angular possui apenas uma com-ponente z.100 Uma forca impulsiva F(t) atua por urn curto intervalo de tempo!J.t sobre urn corpo rfgido que gira com momento de inercia I. Mos-tre que

f'T dt = RFrred t.t = J(W! - Wi),

onde 'Te 0 torque devido a forca, Reo brace de alavanca da forca,Fmed e 0 valor medic da forca durante 0 tempo que ela atua sobre 0corpo e co, e WI sao as velocidades angulares do corpo imediata-mente antes e imediatamente depois da atuacao da forca. (A quan-tidade I 'T dt = RF mtd!J.t e chamada impulso angular, analoga aFmed!J.t, 0 impulso linear.)