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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAUNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIADepartamento de Engenharia Civil
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III
NOTAS DE AULA
SAPATAS DE FUNDAÇÃO
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SP
Setembro/2011
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APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”.
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.
Esta é a primeira versão da apostila, e quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-
vindas.
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SUMÁRIO
1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1
1.1 SAPATA DE FUNDAÇÃO...............................................................................................11.2 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................11.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................11.4 DETALHES CONSTRUTIVOS........................................................................................3
2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ..........................................................................4
3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL ................................................................................5
3.1 SAPATAS RÍGIDAS .........................................................................................................5
3.2 SAPATAS FLEXÍVEIS .....................................................................................................64. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.........................................................................7
5. ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA ....................................................................................................................................7
5.1 SAPATA COM BALANÇOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES......................75.2 BALANÇOS NÃO IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES (CA ≠ CB)....................................8
6. CRITÉRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70 ...........................................................9
7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)..................................10
8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA –SEGUNDO CEB-70.......................................................................................................................10
9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXÃO (CEB-70) .............................................14
10. FORÇA CORTANTE DE REFERÊNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA – SEGUNDO CEB-70 ............................................................................................15
11. FORÇA CORTANTE LIMITE (CEB-70)...........................................................................17
12. VERIFICAÇÃO DA SAPATA À PUNÇÃO .......................................................................17
12.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE.....................................................1812.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico...............................................................1812.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado............................................................19
12.2 VERIFICAÇÃO DE TENSÃO RESISTENTE DE COMPRESSÃO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C.............................................................................2012.3 TENSÃO RESISTENTE NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C’ EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNÇÃO.......................................21
13. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DA SAPATA ...............................................................22
14. EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...................................................................23
15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS...............................................................................................30
16. SAPATAS RÍGIDAS – MÉTODO DAS BIELAS ..............................................................30
17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RÍGIDA....................................................................34
18. SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS....................................................35
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18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREÇÃO................................................................3518.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREÇÕES ..........................................................37
19. EXEMPLO 3 ..........................................................................................................................41
20. EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA.....................................50
21. SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA.........................................55
22. VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥≥≥≥ 5d
58
23. EXEMPLO 5 ..........................................................................................................................58
24. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................64
24.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME .......................................6624.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME...................6724.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA ...........................................................6824.4 TAREFA.......................................................................................................................71
24.5 EXERCÍCIO PROPOSTO............................................................................................7124.6 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL......................................................7124.7 EXERCÍCIO PROPOSTO............................................................................................74
25. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................75
26. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM
SAPATAS.......................................................................................................................................76
27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................77
27.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...........................................................................................7927.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................79
27.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ......................................8227.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ..................................................8227.5 EXEMPLO 8.................................................................................................................8427.6 TAREFA.......................................................................................................................9127.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA.......................................................91
27.7.1 Exercício Proposto ....................................................................................................9228. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................93
29. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................96
29.1 SAPATA RETANGULAR...........................................................................................9629.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..............................................................99
29.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL...................................................................10129.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ.................................................102
29.4.1 Viga de Rigidez (VR)..............................................................................................10329.4.2 Sapata ......................................................................................................................103
29.5 EXEMPLO 9...............................................................................................................10330. QUESTIONÁRIO................................................................................................................112
31. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................113
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1. DEFINIÇÕES
As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/96.
1.1 SAPATA DE FUNDAÇÃO
Sapata de fundação é um “Elemento de fundação superficial de concreto armado,dimensionado de modo que as tensões nele produzidas não sejam resistidas pelo concreto, massim pelo emprego da armadura. Pode possuir espessura constante ou variável, sendo sua baseem planta normalmente quadrada, retangular ou trapezoidal.”
1.2 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL
Também chamada fundação rasa ou direta. É definida como: “Elemento de fundação emque a carga é transmitida ao terreno, predominantemente pelas pressões distribuídas sob a baseda fundação e em que a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação. Incluem-se nesse tipo de fundação as
sapatas, os blocos, os radiers, as sapatas associadas, as vigas de fundação e as sapatascorridas.”
Quanto ao dimensionamento, “ As fundações superficiais devem ser definidas por meio dedimensionamento geométrico e de calculo estrutural” (NBR 6122/96, item 6.3).
1.3 TIPOS DE SAPATAS
Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou excêntrico;pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).
h=cte h = var
Figura 1 – Sapata isolada.
Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente.”
Sapata corrida para pilares: para pilares alinhados e próximos, também chamada “vigade fundação”.
Sapata corrida para paredes: para carregamentos contínuos, geralmente uniformes(Figura 2).
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parede
sapata OU
Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.
Sapata associada: também chamada sapata combinada ou conjunta (Figura 3):transmitem ações de dois ou mais pilares; utilizada como alternativa quando a distância entreduas ou mais sapatas é pequena. Conforme a NBR 6122, quando os centros dos pilares não sãoalinhados, a sapata é chamada associada. Quando os centros são alinhados é chamada “viga defundação”.
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE AA
Viga derigidez
Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).
Sapata com viga de equilíbrio: para pilar na divisa onde o momento fletor resultante daexcentricidade da ação com a reação deve ser resistido por uma “viga de equilíbrio” - VE,também chamada “viga alavanca” - VA, Figura 4.
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sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS
“ A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que osolo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas comterrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 5 mostra alguns detalhes construtivossugeridos para as sapatas.
≥cm20
3 / hh 0
> 3 1
Lastro de concreto simples( ≥ 5cm, fck ≥ )σsolo, rocha
h
h 0
3 a 10 cm
α
Figura 5 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.
α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).
A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conformealguns casos indicados na Figura 6.
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VB
VB
Vigabaldrame(VB)
Figura 6 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.
- no caso de sapata isolada: o centro de gravidade da sapata deve coincidir com ocentro de aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR6122/96, 6.4.1); a relação entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os ladosA e B devem ser escolhidos de modo que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.
Se cA = cB :
A – ap = B – bp
A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)
B
A
b p
ap
C B
CACA
C B
Figura 7 – Notação para a sapata isolada.
2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ
Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:
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Sapata rígida:3
)a-(Ah p
≥
Sapata flexível:3
)a-(Ah p<
h
A
ap Pilar
Figura 8 – Altura h da sapata.
com: h = altura da sapata (Figura 8);A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;
ap = dimensão do pilar na direção do lado A.
Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.
Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)
tg β = h / c
h
ap Pilar
β
CBalanço
Figura 9 – Ângulo β e balanço c.
A sapata será considerada flexível se:
tg β < 0,5
tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concretoresiste a σt .
3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL(NBR 6118/03, 22.4.2)
3.1 SAPATAS RÍGIDAS
São aquelas com alturas “grandes”.
a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuídana largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente naslarguras A e B da sapata (Figura 10).
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Sapatarígida
As B
As AA
Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.
b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por traçãodiagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.
De acordo com o CEB–70, as forças cortantes devem ser verificadas numa seção de
referência S2, conforme será estudado adiante.
Seção a ter compressãoverificada (item 19.5.3.1da NBR6118)
σI
σII
Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.
3.2 SAPATAS FLEXÍVEIS
São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis sãoutilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03) .
As sapatas rígidas têm a preferência no projeto de fundações.a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);b) há a necessidade da verificação à punção.
N
p
M(variável)
Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.
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4. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO
As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características dascargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).
A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). ANBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobrerocha.
Rígida
distribuiçaoadmitida
distribuiçãoreal
Areia
Flexível
Areia
Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.
A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana adistribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informaçõesmais detalhadas a respeito.”
5. ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA
Área de apoio da sapata:solo
sapN05,1
Sσ
= ousolo
sapN1,1
Sσ
=
Os fatores 1,05 e 1,1 servem para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre asapata.
5.1 SAPATA COM BALANÇOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES
Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:
A = 2cA + ap
B = 2cB + bp
Com cA = cB , fica:
A – B = ap – bp
BSABAS sap
sap =→⋅=
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ppsap baBB
S−=−
Multiplicando por B:
( )BbaBSpp
2
sap−=−
( ) ( ) sap2
pppp Sab4
1ab
2
1B +−+−=
A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm nocaso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos(sobrado).
B
A
b p
ap
C B
CA
C B
CA
Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.
5.2 BALANÇOS NÃO IGUAIS NAS DUAS DIREÇÕES (CA ≠≠≠≠ CB)
Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:
0,3
B
A≤
Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:
RBARBA
⋅=→=
Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2
R
SB sap
=
com A e B múltiplos de 5 cm.
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B
A
b p
ap
C B
CA CA
C B
Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.
6. CRITÉRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70
O método pode ser aplicado a sapatas com:
c ≤ 2h e2h
c ≥
h2c2
h≤≤
Se2h
c ≤ → bloco de fundação.
h
CC
Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.
Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).
N
M("pequeno")
(LN fora daseção)
Superfícieplana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida paraquando existirem tensões detração na base da sapata
Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.
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7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)
Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção dereferência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e seencontra internamente ao pilar (Figura 18).
ap
0,15ap
CA
d 1
S1AA
Figura 18 – Seção de referência S1 .
d1 = d ≤ 1,5cA
O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre aseção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.
S1
σ1
σ2
Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .
No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se ascaracterísticas geométricas da seção de referência S1.
O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, arelação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.
8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA – SEGUNDO CEB-70
Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na
Figura 20.
2
aAc p
A
−= =
2
bBc p
B
−=
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p
0 , 1 5
ap
0,15ap
b p
S1A
S1B
C B
x B
B
CA xA
A
b p
N
S1A
Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .
Pressão da sapata no solo:
B.A N05,1P = ou B.A N1,1P =
As distâncias xA e xB são:
xA = cA + 0,15ap
xB = cB + 0,15bp
Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):
B
A
x B
xA
A1A
A1B
Figura 21 – Áreas de referência.
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A1A = xA B
A1B = xB A
Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):
R1A = p . xA . B
R1B = p . xB . A
xA
S1AR1A
p
Figura 22 – Resultante da pressão no solo.
Momento fletor em cada direção:
2
xRM A
A1A1 = ⇒ 2
xB.pM
2A
A1 =
2
xRM B
B1B1 = ⇒ 2
xA.pM
2B
B1 =
No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Seconsiderar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 f cd .
As
A'c
LN
Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).
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Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:
d
21w
c M
dbK = ⇒ βx (domínio ?) e Ks
com bw
= A ou B.
1
dss d
MKA = ≥ As,mín
Simplificadamente também pode-se fazer:
yd1
ds f .d85,0
MA = ≥ As,mín
Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuídana largura da sapata.A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas
extremidades.Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:
a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):
A armadura é calculada como sendo:BA
B2As
+
B Armadura
B
A
ap
b p
Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ a p + 2h.
b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):
A armadura é calculada como sendo: h2aA
h2a2
A p
p
s ++
+
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Armadura
B
A
ap
b p
+ 2hap
Figura 25 – Distribuição de As quando B < a p + 2h.
9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXÃO (CEB-70)1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir daseção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é ocomprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.
C > h
h
h
lb
Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.
2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada navizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir daextremidade retilínea da barra (Figura 27).
C < h
hlb
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.
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10. FORÇA CORTANTE DE REFERÊNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COMCARGA CENTRADA – SEGUNDO CEB-70
No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção dereferencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.
ap
B
C2A
b p
N
d2
C2A
A
d h
C 2 B
d 2
4 5 °
S2B
S2A
A
h 0
p
d 2 A
Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.
com:
A2p
0A2 c5,1
aA
hh1dd <
−
−−=
B2p
0B2 c5,1
bB
hh1dd <
−
−−=
No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura29).
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C
B
S na face do pilar2A
Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).
A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.
ap
S2A
C2A
N
d2
d
A
d 2 A
1 , 5 C 2 A
≤
b p
4 5 °
+ d
b 2 A
b p
B
Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .
Com relação às dimensões A e B da sapata:
b2A = bp + d
b2B = ap + d
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11. FORÇA CORTANTE LIMITE (CEB-70)
Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valoresseguintes:
ck22Clim,df db
5,1V
⋅ρ⋅γ =, para f
ckem kN/cm2;
ck22C
,limd f db474,0
V ⋅ρ⋅γ
= , para f ck em MPa.
com: Vd,lim em kN;γ c = coeficiente de segurança do concreto;b2 e d2 em cm;ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :
01,0db
A
22
S ≤⋅
=ρ (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);
As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .
Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.
Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição nãoocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.
NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade pararesolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:
lim,d
dnovo V
Vdd =
12. VERIFICAÇÃO DA SAPATA À PUNÇÃO
A verificação da sapata se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03:“Dimensionamento de lajes à punção”.
A superfície de ruptura está indicada na Figura 31.
superfície de ruptura deuma laje por efeito depunção
α = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.
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x
dtg =α , fazendo α = 27°
51,0
dx
x
dº27tg =→=
x ≅ 2d
“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou maissuperfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão decompressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra assuperfícies críticas C e C’.
C
C'
C
C'
C
C
C'
C'
2d 2d 2d
B o r d a l i v r e
B . l i v r e
2 d
B. livre
Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.
“ Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da cargaconcentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência àtração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, noentorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. Aterceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessáriocolocar armadura transversal.”
No estudo aqui apresentado da punção aplicado às sapatas, serão apresentados somente ositens relacionados à dispensa da armadura transversal.A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cadasuperfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .
12.1 TENSÃO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE
12.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico
A tensão de cisalhamento solicitante é:
du
FSdSd
⋅=τ
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onde:
2
ddd yx +
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;u = perímetro do contorno crítico C’;u . d = área da superfície crítica;
FSd = força ou reação concentrada, de cálculo.
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por µ 0 (perímetro do contorno C). Aforça de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentrodo contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).
12.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado
Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamentosolicitante é:
dW
MK
du
F
p
SdSdSd
⋅
⋅+
⋅=τ
sendo:K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar
por cisalhamento, dependente da relação C1 /C2 (ver Tabela 1);C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.
Tabela 1 - Valores de K em função de C 1 e C 2 .C1 /C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80
- é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;- quando C1 /C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.
Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando acurvatura dos cantos do perímetro crítico por:
∫
µ
⋅= 0p deW dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico µ;e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento
fletor MSd .
12
221
21
p Cd2d16dC4CC2
CW π++++= (pilar retangular)
22p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio)
ou( )2
p d4DW += (D = diâmetro)
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).
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C'
e
e1
2dc1
c 2
dl
Msd
Fsd
≡
Msd
Fsd
e1
Fsd
Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.
12.2 VERIFICAÇÃO DE TENSÃO RESISTENTE DE COMPRESSÃO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C
(NBR 6118, 19.5.3.1)
“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ousem armadura”.
τSd ≤ τRd2
τRd2
= 0,27αv
f cd
onde
−=α
250
f 1 ck
v , com f ck em MPa.
A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deveser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão decisalhamento (Figura 34).
A tensão de cisalhamento solicitante (τSd) é:
du
F
o
SdSd =τ
com: FSd = força solicitante de cálculo;uo = perímetro de contorno crítico C;uo = 2 (ap + bp)uo d = área da superfície crítica C;d = altura útil ao longo do contorno crítico C.
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C
d
Fsd
τsd
ap
b p
Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.
12.3 TENSÃO RESISTENTE NA SUPERFÍCIE CRÍTICA C’ EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNÇÃO
(NBR 6118, 19.5.3.2)
A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:
( )3
1
ck1Rd f 100
d
20113,0 ⋅ρ
+=τ
onde:
yx . ρρ=ρ ;
2
ddd yx +
= = altura útil em C’(cm);
ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;f ck em MPa.
No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:
2cd3
ck1Rd f 5,0*a
d2f 100
d
20113,0 ≤ρ
+=τ
f cd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.
a* ≤ 2d
)MPa(f 250
f
16,0f cdck
2cd
−=
u* = 2ap + 2bp + 2πa*
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Superfície C'(perímetro = u*)
d
ap
a *
A
Figura 35 – Distância a*.
Para pilares com momento fletor solicitante, τSd , é:
+=τ
Sdp
SdSdSd FW
*uMK1
d*uF
13. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DA SAPATA
Alguns dos critérios envolvidos são:a) rigidez da sapata;b) verificação da força cortante de modo a dispensar a armadura transversal;c) verificação da punção de modo a dispensar a armadura correspondente;d) ancoragem da armadura do pilar.
Critério de rigidez:
c
htg
5,1tg5,0
=β
≤β≤
h β
C
Figura 36 – Dimensão c e ângulo β .
Para sapata com balanços iguais: cA = cB = c :
h = 0,6c
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Para sapata com balanços não iguais: cA ≠ cB :
B
A
c6,0h
c6,0h
≥
≥
Altura útil:
d = h – 5 cm (ver cobrimento)
14. EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,p.11-31 – Escola Politécnica da USP)
Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20x75cm, sendo a
taxa admissível do solo de 2,5 kgf/cm2
(0,25 MPa). Outros dados:
Nk = 1.303 kN ; Mx = My = 0 ; concreto C25;γ c = 1,4 ; CA-50; φ
l,pilar = 20 mm (p. interno).
Resolução:
Dimensões da sapata (Figura 37):
7332,5cm332.57025,0
13031,1N1,1S 2
solo
ksap ==
⋅=
σ
= m2
Fazendo cA = cB = c :
sap2
pppp S)ab(4
1)ab(
2
1B +−+−=
5,21357332)7520(4
1)7520(
2
1B 2 =+−+−= cm
B = 215 cm ; A = 270 cm ; Ssap = 58.050 cm2
5,972
75270
2
aAccc p
BA =−
=−
=== cm
Altura da sapata (fazendo como sapata rígida):
NBR 6118 → 653
75270
3
aAh p
≥−
≥
−≥ cm
Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ≤β≤ ;5,97
hch
tg ==β
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3,146h8,485,15,97
h5,0 ≤≤→≤≤ cm
Adotando h = 90 cm (sapata rígida) pilar,lbφ≥ l
20pilar, =φl
mm → lb cm
75
2 0 B
2 1 5 c m
A270cm
p
97,5
97,5
9 7 , 5
9 7 , 5
b p
ap
h =
9 0
d =
8 5
0,15 = 11,25ap
C B
C B
CACA
108,75
xA
≥ 3
0
Figura 37 – Medidas da sapata e seção de referência S1 .
Pressão no solo:
0247,0p215270
13031,1BA
N1,1p k =→⋅
⋅=⋅
= kN/cm2
d = h – 5 cm
d = 85 cm
Cálculo dos esforços solicitantes (M e V) conforme o CEB-70.
Verificação: 902c
2
90h2c
2
h⋅≤≤→≤≤
45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!
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Cálculo dos momentos fletores na seção S1 (Figura 38) :
2
xApM;
2
xBpM
2B
B1
2A
A1 ⋅=⋅=
cm75,1087515,05,97a15,0cxpAA
=⋅+=⋅+=
cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =⋅+=⋅+=
402.312
75,108215.0247,0M
2
A1 == kN.cm
679.332
5,100270.0247,0M
2
B1 == kN.cm
!ok5193,0
3367931402
MM
B1
A1 ⇒>==
M A 33679
3 1 4 0 2
MB
M = 31402A
A = 270
B = 2 1 5
S1A M = 33679B
Figura 38 – Momentos fletores de cálculo na sapata.
Armaduras:
Dimensão A:
Md,A = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm
3,3543963
85.215
M
dbK
2
d
2
c ===
βx = 0,03 (domínio 2)
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2sA
dssA
s
cm90,11A
85
43963023,0
d
MKA
023,0K
=
==
=
Dimensão B:
2sB
sx
2
c
B,d
cm76,1285
47151023,0A
023,0K,2.dom,02,04,4147151
85.270K
cm.kN151.4733679.4,1M
==
==β⇒==
==
Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:
2
yd
B,dsB
2
yd
A,dsA
cm00,1548,43.85.85,0
47151
f .d85,0
MA
cm00,1448,43.85.085
43963
f .d85,0
MA
===
===
Armaduras mínimas de flexão:
- se considerada como uma viga, segundo a NBR 6118: As,mín = 0,15% b . h(para o concreto C25)
O que resulta numa armadura mínima muito exagerada. Como opção pode-se pensar emaplicar a armadura mínima de laje em duas direções, onde: míns 67,0 ρ=ρ , e:
=⇒== m / cm05,9
15,2
45,19cm45,1990.215.0015,0.67,0A 22
mín,sA
=⇒== m / cm50,8
70,2
42,24cm95,2285.270.0010,0A 22
mín,sB
Machado, C.P., no curso de edificação da Poli (1988) sugere:
As,mín = 0,10 % b d
2mín,sA cm28,1885.215.0010,0A ==
= m / cm50,8100
215
28,18 2
2mín,sB cm95,2285.270.0010,0A ==
= m / cm50,8100
270
95,22 2 → φ 12,5 mm c/14 cm (8,93 cm2 /m)
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Força Cortante (Figura 39):
75
2 0
B
2 1 5 c m
A270cm
d2
42,5
p = 0,0247
5 5
b p
ap
h 9 0 d 8
5
S2A
55
d 2
4 2 , 5
C 2 B
C2A
S 2 A
S2B
d 2 A
3 0 h
0 5 8 , 8
75
2 0
d2
42,5
b p
ap
d 2
4
2 , 5
S 2 A
S2B
1 0 5
b 2 A
160b2B
d2A
b 2 A
Figura 39 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .
VA = p B c2A
VB = p A c2B
cm552
8575270
2
daAc p
A2 =−−
=−−
=
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cm552
8520215
2
dbBc p
B2 =−−
=−−
=
kN1,29255.215.0247,0VA ==
VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN
VdA = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN > VdA,lim = 407,5 kN ⇒ não ok! é necessário colocararmadura transversal.
VdB = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN < VdB,lim = 620,9 kN ⇒ ok!
A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, parasapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:
22c
ck
lim,d db
f
63,0V γ =
Aplicando ao exemplo:
389.18,581054,110
2563,0V lim,dA =⋅
⋅= kN >> VdA = 408,9 kN
Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o f ck , asdimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc. Se alterar a armadura deflexão A
sApara
φ12,5 mm c/13 cm (9,62 cm2 /m), a força cortante limite V
dA,limpassa para 422,7
kN, o que também resolve o problema, e evita a armadura transversal. Aumentar também amedida ho de 30 para 35 cm resulta VdA,lim = 423 kN, o que também resolve o problema.
Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado aseguir.
Verificação da Diagonal Comprimida
uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 40).
uo = 2 (20 + 75) = 190 cm
kN824.113034,1NNF f SdSd =⋅=⋅γ ==
(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)
C
ap
b p
75
2 0
Figura 40 – Superfície crítica C – contorno do pilar.
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Tensão de cisalhamento atuante:
113,085190
1824
du
F
o
SdSd =
⋅==τ kN/cm2 = 1,13 MPa
Tensão de cisalhamento resistente:
43,04,1
5,2
250
25127,0f 27,0 cdV2,Rd =
−=⋅α=τ kN/cm2 = 4,3 MPa
MPa3,4MPa13,1 2,RdSd =τ<=τ
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 41)
Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB serádistribuída uniformemente no comprimento A.
Para a armadura de flexão recomenda-se 10cm ≤ espaçamento ≤ 20cm.
c = 97,5 cm > h = 90 cm
φ 12,5 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 47 cm.
cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).
lgancho,incl ≥ 47 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 23,5 cm
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3 0
N 1
- 1 5 c / 1 4
( 2 1 5
- 8 ) / 1 4 = 1 4 , 8
N2 - 19 c/14(270 - 8)/14 = 18,7
97,5
8 3
≥
, p i l a r
l b Ø l
Øl,pil
h = 90
20
N1 - 15 Ø12,5 C = 360 2 0
2 0260
N 2 - 1 9 Ø 1 2 , 5
C
= 3 0 5
2 0 5
20
20
ASB
A S A
≥ 2 3 ,5
ASB
A S A
3 0
3 0
3 0 3 0
lanc ≥ ≥ 47 cmlb
Figura 41 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
15. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1o) Alonso, pg. 14 (sapata isolada) . Dimensionar e detalhar as armaduras de uma sapata para umpilar de seção 30x100 cm, com carga de 3000KN, com:
soloσ = 0,3 MPa ; Mx = My = 0
C 25 ; pilar,lφ = 22,5 mm
2o) Resolver a sapata do Exercício 1 pelo “Método das Bielas”.
3o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60cm, e com a sapata debase circular.
16. SAPATAS RÍGIDAS – MÉTODO DAS BIELAS
Sapata Isolada sob Carga Linear Uniforme
O método (teoria das bielas) surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas e isoladas. A carga vai do pilar para a base dasapata caminhando pelas bielas de concreto comprimido que induzem tensões de tração naarmadura inferior da sapata (Figura 42).
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Biela de compressão
Armadura necessária pararesistir à força de tração
Figura 42 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.
Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão dasbielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
A Figura 43 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.
P
0
y x
AB
d 0
d T x d x
d y
d T
d N
d T y
p d d x y
Figura 43 – Esquema de forças segundo o método das bielas.
Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 44):
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p
P
d
=
A .
d
( A -
)
p
d 0
β ≥ 4 5 °
A 2 A 2
dxAs
a p
α
d s
2dP
d
α
dT
x p dx= dP
d 0
A0
α
dN
dT
dP
Figura 44 – Forças na direção x da sapata.
−
⋅
−=
−=⋅=
⋅=α
=αα
=
α⋅=
α⋅=
∫
22
px
22
0
2
A
x0
x
0
x4
AdA
)aA(p
21
T
x4
A
d
p
2
1dxx
d
pT
d
xdxp
tg
dPcos
sen
dPdT
sendNdP
cosdNdT
Para x = 0, Tx = Tmáx :
d
)aA(
8
PT
4
A
dA
)aA(
A
P
2
1T p
x
2p
x
−=→
⋅
−=
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De forma análoga para a direção da sapata isolada:
d
)bB(
8
PT p
y
−=
A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:
sc d
dN=σ , onde
α=
sen
dxds
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máximaocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:
( )
−
−+=σ
20
2p
pc
d4
aA1
a
P
A Figura 45 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.
B
A
x
y
P
h
d ≥ 1 2
( A -
) a p
Asx ou AsA
P
Asy ou AsB
d ≥ 12 (B - )bp
ap
b p
Figura 45 – Armaduras de flexão da sapata.
As armaduras são:
yd
xdsAsx f
TAA == ;yd
ydsBsy f
TAA ==
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Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:
( ) ( )
λ−
−+−+
⋅⋅λ=σ
20
2
2p
2p
ppmáx,c
d1
14
bBaA1
bap
OndeB
b
A
aPp
==λ (áreas hometéticas).
No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:
λ−
−+
⋅⋅λ=σ
2
0
p
p
máx,c
d11
aA
21
1aA
p
17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RÍGIDA
Calcular as armaduras de flexão da sapata do exemplo 1 pela “Teoria ou Método dasBielas”.
RESOLUÇÂO:
Forças de tração:
0,41185
)75270(
8
13031,1
d
)aA(
8
PT p
x =−
⋅⋅
=−
= kN
0,41185
)75270(813031,1
d
)bB(
8P
T py =
−⋅
⋅=
−= kN
23,1348,43
0,4114,1AA sAsx =
⋅== cm2 = Asy = AsB
Observações:- Nota-se que houve um pequeno decréscimo da armadura calculada pela “teoria das
bielas”;- Observe que o “método das bielas só deve ser aplicado às sapatas rígidas;- Por imposição da NBR 6118, convém verificar a tensão na diagonal comprimida (item
19.5.3.1), como feito no Exemplo 1;
- Verificação do ângulo β:)aA(
21
dtg
p−
=β
º45º1,415,97
85
)75270(2
185tg ≅=β→=
−
=β
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18. SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS
Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ouforça horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro degravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 46).
N
e
d i v i s a
NH
M
N
MA
HA
A
B N
M B
H B
Figura 46 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.
18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREÇÃO
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 47)
Ocorre quando6
Ae < . Tem-se:
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A
B
A 6
B 6
e
N
σmáx
σmín
Nnúcleo
Figura 47 – Ponto de aplicação da força dentro do
núcleo central de inércia.
I
yM
BA
N ⋅±
⋅=σ
)Ae6
1(BA
Nmáx +
⋅=σ
)Ae6
1(BA
Nmáx −
⋅=σ
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )6A
e( = (Figura 48)
A
A6
σmáx
N
Figura 48 – Ponto de aplicação da força no
limite do núcleo central.
BAN
2máx⋅
=σ
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )6Ae( > (Figura 49)
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Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novodiagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulocoincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:
A
A6
σmáx, 1
Ne
B
LNσmín
6A0
σmáx
LN
3(A/2 - e)A0
Figura 49 – Ponto de aplicação da força fora
do núcleo central.
−=σ e
2AB3
N2
máx
18.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREÇÕES
A Figura 50 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duasdireções.
y
x e B
eA
A
B
N
Figura 50 – Sapata com excentricidade nas duas direções.
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O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base dasapata, e:
I
xM
I
yM
BA
N AB ⋅±
⋅±
⋅=σ
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
Figura 51 – Forças e momento fletor atuantes na sapata.
hHMM AAbase'A ⋅+= , hHMM BBbase'B ⋅+=
N
Me A
A = ,N
Me B
B =
a) Quando
6
1
B
e
A
e BA ≤+ (Figura 52)
y
x e B
eA
A
B
N
CG
σ m á x
σ m í n
Figura 52 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA ≤+ .
++
⋅=σ
B
e6
A
e61
BA
N BAmáx
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−−
⋅=σ
B
e6
A
e61
BA
N BAmin
(toda seção seta comprimida)
b) Quando
6
1
B
e
A
e BA >+ (Figura 53)
y
x
e B
eA
A
B
N
2
1
4
3
σ m á x
σ m í n
α
seçãocomprimida
Figura 53 – Tensões na sapata para6
1
B
e
A
e BA >+ .
BAK
N
11máx
⋅⋅=σ=σ
σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)
σmín = σ4 < 0
K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 54.Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:
( )α+
α+
σ−σ+σ=σ
tgA
B1
tgA
B
B
y
A
x
414mín
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Figura 54 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).
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Notas:- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento maisdesfavorável, solomáx 3,1 σ=σ ;
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramentecomprimida, isto é:
61
Be
Ae g,Bg,A
≤+ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 55).
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
Figura 55 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelomenos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:
9
1
B
e
A
e2
B2
A ≤
+
19. EXEMPLO 3(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,UNESP – Bauru/SP)
Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e ummomento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:C 25 MPa, aço CA-50, =σsolo 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar 10 φ 12,5 mm.
Resolução
1º) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.
Área do apoio da sapata:
000.41022,0
8201,1N1,1S
solosap =
⋅=
σ= cm2
Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços) iguais nas duas direções:
( ) ( ) sap2
pppp Sab
4
1ab
2
1B +−+−= = ( ) ( ) 5,183410006020
4
16020
2
1 2 =+−+− cm
B = 185 cm
pp bBaA −=−
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2251852060BbaA pp =−−=+−= cm
Tensões na base da sapata (Figura 56):
60
2 0
1 8 5
2 0 0
250240
N
M
1,1NA B
M
MI
My
0,0220,0156
Figura 56 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.
I
yM
BA
N ⋅±
⋅=σ
2
Ay = ;
12
ABI
3⋅=
9,68201,1
6200
N1,1
Me =
⋅== cm
5,376
225
6
A== cm
5,376A9,6e =<= cm
A força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.
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0257,0225
9,661
185225
8201,1máx =
⋅+
⋅
⋅=σ kN/cm2 022,0solo =σ> ∴ não ok!
Aumentando a seção da base da sapata para:
A = 240 cm ; B = 200 cm
Obedecendo:
pp baBA −=−
A tensão máxima passa a ser : 022,0máx =σ kN/cm2 !oksolo →σ=
0156,0)240
9,661(
200240
8201,1mín =
⋅−
⋅
⋅=σ kN/cm2 > 0 (como esperado!)
2) Altura da sapata
Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:
902
60240
2
aAc5,1tg5,0 p
=−
=−
=→≤β≤ cm
135h455,190
h5,0 ≤≤→≤≤ cm
Pelo critério da NBR 6118/03:
603
60240
3
aAh p
≥−
≥−
≥ cm
É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragemda armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm):
- situação de boa aderência ; com gacho; C25, CA-50 (nervurado): 33lb = cm;
Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)
3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70
Verificação: ⋅≤≤→≤≤ 2c2
60h2c
2
h60
30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!
Momentos fletores nas seções S1 (Figura 57):
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a60
b 2 0 B
2 0 0 c m
A240cm
0,0220,0156
C90
C90
C 9 0
C 9 0
b p
ap
h 6 0 d 5
5
x99xa
0,15 a = 9ap
S1A
P1A
KNcm²
C B
C B
CACA
0,0220,01936
P1A
99
49,5
66 33
49,5
0 , 1
3 1
1 , 9
1 7
Figura 57 – Seção de referência S1A .
Lado A:
( )01936,099
240
0156,0022,0022,0p A1 =
−−= kN/cm2 (ver Figura 57)
( ) 708.20200132,05,49917,1M A1 =+⋅= kN.cm
Lado B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 58):
0188,02
0156,0022,0pméd =+= kN/cm2
512.192
)2015,090(2400188,0
2
xApM
22B
B1 =⋅+
⋅=⋅= kN.cm
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S 2 A
S 2 B
p 2 A = 0 ,0 2 0 3
0,022
0,022
0,0188(valor médio)
0,0156
0,0156
Figura 58 – Esquema de reações do solo na base da sapata.
Forças cortantes nas seções S2 (Figura 59):
5,622
5560240
2
daAc p
A2 =−−
=−−
= cm
5,622
5520200
2
dbBc p
B2 =−−
=−−
= cm
cm25hadotadocm20
cm203
603h
h 00 =→
==
≥
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a60
b 2 0
B
2 0 0 c m
A240cm
0,022 KNcm²0,0156
d2
27,5
b
C 6 2 , 5
b p
ap
h 6 0 d 5
5
S2A
P2A
d 2
2 7 , 5
C 2 B
b 2 A
C62,5
C2A
S 2 A
S2B
h 2 5 h
0
d d 2 A
= 0,0203
Figura 59 – Seção de referência S2A .
A2p
0A2 c5,1
aA
hh1dd ≤
−
−−=
cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 =⋅==
3,44602402560
155d A2 =
−
−−= cm
!okcm8,93cm3,44d A2 →≤=
B2p
0B2 c5,1
bB
hh1dd ≤
−
−−=
B2B2 c5,120200
2560155d ≤
−
−−=
!okcm8,93cm3,44dd A2B2 →≤==
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Larguras b2A e b2B :
cm755520dbb pA2 =+=+=
cm1155560dab pB2 =+=+=
A2médA cBpV = 4,2645,622002
0203,00220,0=⋅
+= kN
1,3704,2644,1VdA =⋅= kN
VB na seção S2B :
B2médB cApV = 0,2825,622402
0156,0022,0=⋅
+= kN
8,3940,2824,1VdB =⋅= kN
Força cortante limite (CEB-70):
ck22c
,limd f db474,0
V ⋅ρ⋅⋅γ
=
Para cálculo de ρ é necessário conhecer a armadura de flexão:
26,145,435585,0
207084,1AsA =⋅⋅
⋅= cm2
13,7100200
26,14= cm2 /m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2 /m)
43,135,435585,0
195124,1AsB =
⋅⋅
⋅= cm2
60,510024043,13 = cm2 /m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2 /m)
Nota-se que: !ok51
94,026,1443,13
→≥=
db%10,0A mín,s ⋅=
sA2
mín,sA Acm11552000010,0A <=⋅⋅=
sB2
mín,sB Acm20,13552400010,0A <=⋅⋅=
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A2
sAA d100
A=ρ 00164,0
3,4410027,7
=⋅
=
B2
sBB d100
A=ρ 00129,0
3,4410071,5
=⋅
=
9,2272500164,03,44754,1
474,0V lim,dA =⋅⋅⋅= kN
kN9,227V1,370V lim,dAdA =>=
kN6,3092500129,03,441154,1
474,0V lim,dB =⋅⋅⋅=
kN6,309V1,394V lim,dBdB =>=
Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessáriocolocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limitessugeridos por Machado (1988).
Para sapata rígida:
kN6,7473,447510
25
4,1
63,0V lim,dA =⋅⋅=
!okkN6,747V1,370V ,limdAdA →=<=
kN3,146.13,441151025
4,163,0
V lim,dB =⋅⋅=
!okkN3,146.1V8,394V ,limdBdB →=<=
com esses limites não é necessário colocar armadura transversal.
Verificação da Diagonal Comprimida no Caso de Sapata Rígida
cm160)6020(2uo =+= (Figura 60)
60
ap
2 0bp
Figura 60 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.
kN148.18204,1NNF f SdSd =⋅=⋅γ ==
Tensão de cisalhamento atuante:
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1305,055160
1148du
F
o
SdSd =
⋅==τ kN/cm2 = 1,305 MPa
Tensão de cisalhamento resistente:
43,04,1
5,2
250
25127,0f 27,0 cdv2,Rd =
−=α=τ kN/cm
2
= 4,3 MPa
MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =τ<=τ
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 61)
As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B.Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.
60
25
N 1 - 1 7 c / 1 1
N2 - 16 c/14
90
5 4
≥
l Ø , p i l a r
l b Ø l
ØlØ , pilar
16 Ø1017 Ø10c/ 11
h60
90 - 4 - 60 = 26cm } }
c h
12
N1 - 17 Ø10 C = 260 1 5
1 5230
N 2 - 1 6 Ø 1 0 C
= 2 2 0
1 9 0
15
15
Figura 61 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm
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c = 4,0 cm ; cm33l pilar,l =⋅φ ; φ 10 mm ; C25
boa aderência, sem gancho: cm38lb =
2660490 =−− cm
20. EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)
Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:
- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ20 mm, sendo parte tracionada;- N = 1.040 kN;- concreto C20; CA-50 (aço); c = 4,5 cm
- 500solo =σ kN/m2;
- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
Resolução
a) Estimativa das dimensões da sapata
2
solosap m288,2
500
10401,1N1,1S =
⋅=
σ=
Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:
( ) ( ) sap2
pppp Sab4
1ab
2
1B +−+−=
( ) ( ) m42,1288,26,04,04
16,04,0
2
1B 2 =+−+−=
adotado B = 1,40 m
m60,1Aadotadom63,140,1288,2
B
S
Asap
=→===
b) Verificação das tensões na base da sapata
Excentricidades da força vertical (Figura 62):
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B 1 4 0 c m
A160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
Figura 62 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.
N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
cm27m270,0
1040
280ex ===
cm3,18m183,01040
190ey ===
Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 54):
13,0140
3,18Be
17,0160
0,27
A
e
yy
xx
===η
===η
→ ábaco (Figura 54) → λ1 = 0,34, zona C
6505003,13,1BA
Fsolo
1
V1 =⋅≤σ≤
⋅⋅λ=σ kN/m2
502.14,16,134,0
10401,11 =
⋅⋅
⋅=σ kN/m2 >> solo3,1 σ = 650 kN/m2 → não ok!
As dimensões da sapata devem ser aumentadas!
Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):
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UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 52
12,0220
0,27x ==η
09,0200
3,18y ==η
Verifica-se que:
)basenatraçãohá(6
121,0
B
e
A
eyx
yx >=η+η=+
no ábaco (Figura 54): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.
Tensões nos vértices da sapata (Figura 63):
5910.2.2,2.44,0
1040.1,11 ==σ kN/m
2
< solo3,1 σ = 650 kN/m
2
→ ok!
1,59591.10,014 4 −=−=σλ−=σ kN/m2 (fictícia)
°+°
°+−=
α+α
ασ−σ−σ=σ
36cos36sen
36sen)1,59591(591
sensen
sen)( 4112
σ2 = 317,4 kN/m2
°+° °+−=α+α ασ−σ−σ=σ 36cos36sen 36sen)1,59591(591sensen sen)( 4113
σ3 = 214,5 kN/m2
2 1 5
5 9 1
- 5 9
3 1 7
L N
Figura 63 – Tensões nos vértices da sapata.
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c) Verificação do tombamento da sapata
111,09
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2y
2x
≤≤η+η⇒≤
+
!ok111,0023,009,012,022
→<=+
Deve ainda ser verificada a equação:
6
1
B
e
A
e g,yg,x≤+
d) Determinação da altura (sapata rígida)
Pelo critério do CEB-70:
cm120h405,180
h5,05,1tg5,0 ≤≤→≤≤→≤β≤
Pela NBR 6118/03:
3,533
)60220(
3
)aA(h
p≥
−≥
−≥ cm
Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir ocomprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência,com gancho, resulta lb= 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:
h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm
Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.
cm35hadotadocm20
cm253
75
3
hh oo =→
==
≥
e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70
Verificação: 752802
75h2c
2
h⋅≤≤→≤≤
!okcm15080c5,37 →≤=≤
e1) Momentos fletores na seção S1 (Figura 64)
Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:
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σ
σ≥σ
méd
máxref 3
2
2 1 5
5 9 1
- 5 9
3 1 7
4 0 3 4 3 9 E
F G
H
D
B
C
A
4 5 4
x B 8 6
B = 2 0 0
1 6 5
x A 8 9
A = 2 2 0
4 7 3
9 7
S 1 B
S 1 A3 0 2
Figura 64 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .
Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelasna metade dos lados A e B.
Lado A (S1A):2
89,00,20,454
2
xBpM
22A
A ⋅=⋅⋅=
0,4542
317591p =
+= kN/m2
MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm
MdA = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm
Lado B (S1B):2
86,02,20,403
2
xApM
22B
B ⋅⋅=⋅=
0,4032
215591p =
+= kN/m2
MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm
MdB = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm
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e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 65)
2 1 5
5 9 1
- 5 9
3 1 7
5 1 4
H
D
BC
C 4 5
B = 2 0 0
C 4 5
A = 2 2 0
2 4 0
S 2 B
S 2 A
A
C 2 B
C 2 A
1 5 3
FG
E
5 2 9
Figura 65 – Seções de referência S2 .
cm452
7060220
2
daA
c
p
A2 =
−−
=
−−
=
cm452
7040200
2
dbBc p
B =−−
=−−
=
As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. Aforça VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH.
0,3740,245,04
591514317240VA =⋅
+++= kN
3,3682,245,04
591529215153VB =⋅
+++= kN
6,5230,3744,1VdA =⋅= kN
6,5153,3684,1VdB =⋅= kN
Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.
21. SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA
Sapatas flexíveis são aquelas onde:
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3
)a-(A<h p − segundo o critério da NBR 6118/03;
tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.
São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solosrelativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.
Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga,determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. Omesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares,triangulares ou trapezoidais (Figura 66):
2 2
1
1
N2
N2
A2
A1 A1
A4
A3
A2
N4
A1
A4
A3
A2
N4
2 2
1
1
Figura 66 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.
Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamenteidênticos, e com área retangular são exagerados.
a) Área triangular
N4
aap
b b p
B
A
A3
Figura 67 – Quinhões de carga por área triangular.
3
a
4
N-
3
A
4
N =M p
A
)a-(A
12
N =M pA
)a-(A2
1 )b+(B
2
1 p=V ppA
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−
−
A
a1
B
b1
4
N =V pp
A
Na outra direção:
)b-(B12
N =M pB
−
−
A
a1
B
b1
4
N =V pp
B
b) Área de trapézio
2 2
1
1
aap
b b p
xxCG
B
A
2ap
N4
Figura 68 – Quinhões de carga por área trapezoidal.
A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:
p
ppCG b+B
b+2B
6
a-A=x
Os momentos fletores no centro da sapata são:
+
+
+−
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N =M p
p
ppA
+
+
+−
6
b
aA
aA2
6
bB
4N
=M p
p
ppB
As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:
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−
−
A
a1
B
b1
4
N =V pp
A
−
−
A
a1
B
b1
4
N =V pp
B
22. VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDObW ≥≥≥≥ 5d
A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw > ou = 5d(NBR 6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortantequando:
VSd ≤ VRd1
(bw = largura da sapata na direção considerada)
com:db]0,15+)40+(1,2k[=V wcp1RdRd1 σρτ
onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o
apoio; para os demais casos k = | 1,6 - d | > 1, com d em metros;
0,02dbA =w
s11 ≤ρ
c
Sdcp A
N =σ
NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressãopositiva);
As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + l b,nec além da seçãoconsiderada
23. EXEMPLO 5
Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.
Resolução
A sapata foi resolvida como sapata rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 asapata será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-seatender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 55 cm e d = 50 cm > l b = 33 cm.
a) Momentos fletores e forças cortantes
a.1) Área por triângulos (Figura 69)
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As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação nesteexemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotarum critério para uniformizar a pressão.
Um critério é:
=+
=σ+σ
=⋅=σ
≥σ=0188,0
20156,0022,0
2
0176,0022,08,08,0
p mínmáx
máx
base
p = σbase = 0,0188 kN/cm2
N4a
60ap
b 2 0 b p
B 2 0 0
A240
A3
0,022 KNcm²0,0156
p = 0,0188
Figura 69 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo.
Com p pode-se determinar N:
2002400,0188=BAp=N
BA
N =p ⋅⋅⋅⋅→
⋅
N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)
13.536=60)-(24012
902,4 =)a-A(
12
N =M pA kN.cm
Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.Tarefa: analisar o por quê de tal diferença.
536.13)20200(12
4,902
)bB(12
N
M pB =−=−= kN.cm
Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que osmomentos fletores tem uma diferença de 30 %?
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Forças cortantes:
−⋅
−=
−⋅
−=
240
601
200
201
4
4,902
A
a1
B
b1
4
NV pp
A
VA = VB = 152,3 kNa.2) Área por trapézios (Figura 70)
a60ap
b 2 0 b
p
B 2 0 0
A240
= 0,0188 KNcm²pméd
B
Figura 70 – Área de um trapézio e reação do solo.
kN3,152A
a1
B
b1
4
NVV pp
BA =
−⋅
−== (igual à área por triângulos)
+
+
+⋅
−=
6
a
bB
bB2
6
aA
4N
M p
p
ppA
+
++⋅⋅
−=
660
20200202002
660240
44,902MA
MA = 15.177 kN.cm
+
+
+⋅
−=
6
b
aA
aA2
6
bB
4N
M p
p
ppA
+
+
+⋅⋅
−=
6
20
60240
602402
6
20200
4
4,902M
A
MB = 12.934 kN.cm
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MB
MA
B
A Figura 71 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.
b) Armadura de flexão
Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:
2
yd
dsA cm49,11
5,435085,0
151174,1
f d85,0
MA =
⋅⋅
⋅=
⋅= → contra 14,26 cm2 do Exemplo 3
2sB cm79,9
5,435085,0
129344,1A =
⋅⋅
⋅= → contra 13,43 cm2 do Exemplo 3
Armaduras mínimas: )db%10,0A( mín,s ⋅⋅=
2mín,sA cm00,10502000010,0A =⋅⋅=
2mín,sB cm00,12502400010,0A =⋅⋅=
Portanto:
2sA cm49,11A = (5,75 cm2 /m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2 /m)
2sB cm00,12A = (5,00 cm2 /m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2 /m)
00114,050100
71,5A =
⋅=ρ
00100,050100
00,5B =
⋅=ρ
valores menores que ρ = 0,001
c) Verificação da punção
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 72)
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B 2 0 0
A240
a*
a *
C
C'
Figura 72 – Superfície critica C’ e distância a*.
cB = cA = 90 cm
2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA
Portanto a* = cB = cA = 90 cm
Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externosolicitante:
dW
MKd*u
F
p
SdSdSd +=τ
Área limitada pelo contorno C’:
( )2pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA π+++⋅=
( )2'C,cont 9020902609022060A π+⋅⋅+⋅⋅+⋅=
Acont, C’ = 41.046 cm2
Pressão média na base da sapata:
0188,02
022,00156,0pméd =
+= kN/cm2
Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:
=⋅γ =∆ 41046
1,1
0188,04,1)Ap(F 'C,contmédiof Sd
1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata.
FSd = 982,0 kN
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Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:
FSd,red = FSd - FSd
kN9,1659828204,1F red,Sd =−⋅=
Perímetro u* do contorno C’:
cm5,725*u
902202602*u
*a2b2a2*u bp
=
⋅π+⋅+⋅=
π++=
Parâmetro K:
CaC1
ap
C b C 1
b p
eNe
1 Msd
Figura 73 – Parâmetros C 1 e C 2 .
C1 = ap = 60 cm 3C
C
2
1 = → na Tabela 1, K = 0,80
C2 = bp = 20 cm
12
221
21
p Cd2+16dd4CCC2
C W ⋅⋅π+⋅+⋅+= (sapata retangular)
com d = a*:
06092+0916090240260206 W 22
p ⋅⋅π⋅+⋅⋅+⋅+=
Wp = 173.728 cm2
20173728)62004,1(8,0
205,7259,165
Sd⋅
⋅+
⋅=τ
onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’)
τSd = 0,0134 kN/cm2 = 0,134 MPa
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
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2cd3
ck1Rd f 5,0*ad2
f 100d20
113,0 ≤ρ
+=τ
90
20225001,0100
20
20113,0 3
1Rd⋅
⋅⋅
+=τ (utiliza-se o menor ρ1)
τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2
cdck
2cd f 250
f 16,05,0f 5,0
−=
4,15,2
25025
16,05,0f 5,0 2cd
−=
0,5 f cd2 = 0,482 kN/cm2 = 4,82 MPa
τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 f cd2 = 4,82 MPa → ok!
Não é necessário colocar armadura para punção, pois:
τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa
Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar talnecessidade a fim de simplificar a execução da sapata.
c2) Verificação da superfície crítica C
Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema nasuperfície C.
24. SAPATA CORRIDA
Sapata corrida é aquela destinada receber cargas lineares distribuídas, possuindo por issouma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas
corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 jáapresentado.Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na
armadura principal As , que provocam o risco de ruptura da aderência, e ruptura do concreto decobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro de barra e espaçamentospequenos.
Nas sapatas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamenteverificada.
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4 5 °
fissura
A(principal)As
bielacomprida
armadurasecundária
Figura 74 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.
Recomenda-se adotar para a altura:
h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)
ho ≥ 10 / 15 cm
h
h
h 0
Figura 75 – Altura h da sapata corrida.
A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipode solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura76:
N N NA) B) C)
Figura 76 – Distribuição de pressão no solo.
A indicação de Guerrin (1967) é:
a) solos rochosos- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);- sapata flexível: diagrama retangular (b);
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;
c) solos arenosos- sapata rígida: diagrama retangular (b);- sapata flexível: diagrama triangular (c).
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24.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME
As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargasrelativamente altas e sobre solos de boa capacidade de suporte.
As sapatas corridas rígidas, quando3
)a-(Ah p
≥ e β < 45°, podem ter os esforços
solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. Asverificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhanteàs sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.
Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.
aap
A
h β ≥
4 5 º
Figura 77 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas.
O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressãona diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado.
Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a forçaTx (Figura 78):
aap
A
d β
≥ 4 5 º Tx
N d d 0
ρ
Figura 78 – Força T x conforme o Método das bielas.
p0 aA
d.Ad
−=
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xf xd
yd
xdsAsx
px
TT
f
TAA
d
aA
8
NT
γ =
==
−=
24.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME
O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é consideradomáximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 79), junto à face daárea carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento dasapata (B = 1 m).
hd
ØlØ , pilar
aap
N
50,00AsA , princ.I
hh0
I
AsA , sec
ρ
M
V
Figura 79 – Sapata corrida flexível.
Pressão no solo:A
Np =
Pressão sob a parede:p
par aN
p =
Força cortante na seção 1:
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( )
−=
−=
A
a1
2
NV
paA2
1V
p
p
Momento fletor máximo no centro da sapata:
( )p
2ppar
22p
par
2
aA8
NM
8
a.p
8
pA
2
ap
2
1
2
Ap
2
1M
−=
−=
−
=
A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:
≥
m / cm9,0
A5
1
A2
princ,ssec,s
As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, comoindicado na Figura 80.
Øl
Figura 80 – Reforço das bordas com barras adicionais.
A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis(Figura 81).
4 5 °4
5 °
superfície de ruptura porpunção, segundo Leonhardt
Figura 81 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível.
24.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA
Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20cm de largura com cargavertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:
8/3/2019 Sapatas-UnespFeb
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UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 69
C20; soloσ = 1,1 kgf /cm2 = 1,1 tf /m2 = 0,011 kN /cm2 = 0,11 MPa
d = h – 5 cm; CA-50; c = 4,5 cm
a = 20ap
A
d β
≥ 4 5 º N
h
ρ
hh0
C90
Figura 82 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.
Resolução
Cálculo de A:
011,00,21,1N1,1
Asolo
⋅=
σ=
A = 200 cm
Cálculo da altura h:
- pela NBR 6118 → cm603
20)-(2003
)a-(Ah p
≥≥≥
- para aplicar o cálculo pelo método das bielas, deve-se ter β ≥ 45º.
cdtg =β , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm
- pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1ch
5,0 ≤≤→⋅≤≤⋅→≤≤
Fazendo o cálculo pelo “Método das bielas”, h = 95 cm.
Força de tração na armadura principal:
5590
20200
8
2001,1
d
aA
8
NT p
x =
−⋅
=
−
=kN/m
8/3/2019 Sapatas-UnespFeb
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UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 70
77,148,43554,1
f
dTAA
yd
xss AX
=⋅
=⋅
== cm2 /m
para φ 8 mm (0,50 cm2):
2,2877,1 5,0100s =⋅= cm ≤ 20 ou 25 cm
para φ 6,3 mm (0,31 cm2):
5,1777,1
31,0100s =
⋅= cm ≤ 20 cm (ok!, valor da prática)
Portanto:
AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm
2
/m)Para a armadura de distribuição pode-se considerar:
m / cm9,0A35,0
5
77,1
m / cm9,0
A5
1
m / cm9,0A 2
distr,s
2
princ,s
2
distr,s =∴
=≥
≥
φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2 /m)
sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm.
Notas:
a) o cálculo pelo “Método das bielas” dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundoMontoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada;
b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonalverificada (item 19.5.3.1);
c) Guerrin (1967) aplica o Método das bielas fazendo:
)cm50h(cm454
20200
4
aAd p
==−
=−
=
Detalhamento:
cm30hcm20
cm7,313
95
3
hh 00 =→
==
≥
8/3/2019 Sapatas-UnespFeb
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d = 9 0
h = 9 5
h = 30h0
Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20
Figura 83 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.
A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da
sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.24.4 TAREFA
1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70;2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.
24.5 EXERCÍCIO PROPOSTO
Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:
c = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo =σ kgf/cm2 ; C15; CA-50.
Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados.
24.6 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL
Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível.Dados:ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; soloσ = 0,011 kN/cm2
ResoluçãoPara a sapata flexível, que é mais leve, tem-se:
cm190cm191011,0
0,205,1N05,1A
solo→=
⋅=
σ=
Cálculo de h:
- NBR 6118: )rígida(cm7,56
3
)20190(
3
)aA(h p
≥−
≥−
≥ ;
- CEB-70: cm85=2
20)-(190c =
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0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida
Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50cm.
Esforços solicitantes:
9,93190201
220005,1
Aa1
2NV p
=
−⋅=
−= kN/m (V na face da parede)
463.4)20190(8
20005,1)aA(
8N
M p =−⋅
=−= kN.cm/m (M no centro da parede)
h = 5 0
d = 4 5
a = 20ap
N
A = 190
h = 20h0
ρ
M
V
C85
V
+
1 0 0
20
C
Figura 84 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.
≥princ,s
2
distr,s
A51
m / cm9,0A
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64,0519,3
A princ,s == cm2 /m
9,0A distr,s = cm2 /m
φ 5 c/20 cm (1,00 cm
2
/m)Dimensionamento à flexão:
4,3244634,145100
M
dbK
2
d
2w
c =⋅
⋅==
Ks = 0,023 (dom. 2)
19,3
45
44634,1023,0As =
⋅= cm2 /m
φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2 /m)
φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2 /m)
s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)
Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C:
uo = 2 (20 + 100) = 240 cm
2802004,1NF SdSd =⋅== kN/m
Tensão de cisalhamento atuante:
0259,045240
280
du
F
o
SdSd =
⋅=
⋅=τ kN/cm2 /m
Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo.
Tensão de cisalhamento resistente:
τRd2 = 0,27αv f cd = 355,04,10,2
25020
127,0 =
− kN/cm2
τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok!
A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento dasapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para dispensar-se a armadura transversal.
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d
00074,045100
33,31 =
⋅=ρ
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k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1
τRd = 0,25 f ctd = 276,04,1
203,07,025,0
3 2
=⋅
MPa
VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45VRd1 = 175,6 kN/m
VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m
→ ok! não é necessário colocar armadura transversal.
Comparação:
Sapata rígida Sapata flexível
As 1,77 3,19h 95 50
Detalhamento
Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20 h = 5 0
d = 4 5
h = 20h0
Figura 85 – Detalhamento indicativo das armaduras.
24.7 EXERCÍCIO PROPOSTO
Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:
- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ;solo
σ = 2,0 kgf/cm2
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento deargamassa);- muro em alvenaria de blocos de concreto;- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;- fazer verificações da estabilidade da sapata;- tipo de solo = argila rija.
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3 , 0 m
m u r o
Figura 86 – Sapata corrida sob muro.
25. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS
Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importanteverificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.
a) Segurança ao tombamento
A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno deum ponto 1 (Figura 87).
P
NM
FH
h
A
2
A
2
1
Figura 87 – Forças atuantes na sapata.
Momento de tombamento:
Mtomb = M + FH . h
Momento estabilizador:
Mestab = (N + P) A/2
O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente desegurança deve ser ≥ 1,5:
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5,1M
M
tomb
estabtomb ≥=γ
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)
A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera aação das forças horizontais aplicadas.
O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de suaatuação permanente. Da Figura 87 tem-se:
escHFtg)PN( γ ⋅=ϕ+
onde: =tg µϕ = coeficiente de atrito;φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que
o ângulo de atrito interno do solo.
Um outro modelo que pode ser adotado é:Festab = atrito + coesão =
+
φ⋅+ c
32
A32
tg)PN(
onde: φ = ângulo de atrito interno do solo;c = coesão do solo;A = dimensão da base em contato com o solo.
5,1F
F
H
estabesc ≥=γ
26. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃOEM SAPATAS
No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, éimportante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.
O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 88:
∆x
Rc
Rs
V
M zd
Ø Ø l
Rc + Rc∆
Rs + Rs∆
C
M + ∆M
Figura 88 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆ x.
Tem-se que: M = Rs · z = Rc · z, daí:
zM
R s∆
=∆
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∆Rs = f b · u ·∆x
onde: f b = resistência de aderência;u = perímetro de φl
{
zuf x
Mxuf
z
M
b
v
b ⋅⋅=∆
∆
→∆⋅⋅=
∆
V = f b . u . z
tomando d87,0z ≅ e fazendo valores de cálculo:
cuf 87,0V bdd ⋅⋅≅
fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:
dnf 87,0V lbdd ⋅φ⋅π⋅⋅≅
com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.Vd = V1dA na seção de referência S1A ;Vd = V1dB na seção de referência S1B .Se Vd for maior haverá o escorregamento.
27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO
A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 89).Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da
sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”,vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo acarga do pilar para o centro da sapata (Figura 90).
d i v i s a
V. E.
Figura 89 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio.
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2,5cm
b a A
b
B
A
b
a A 1
b w
a p 1
bp1
bp2
a p 2
A 2
B2
N1
N2
VE
BB1
VE
R1
R2p1
p2 h
h h
h 0
h 1 h
v ee1
z
divisa
N1
N2
R2
R1
ee1
z
Figura 90 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.
Área da sapata sob P1:
111 BAS ⋅=
solo11 R1,1S σ
=
Excentricidade e1 e reação R1:
)ez(RzN0)z(M 111 −=⋅→=∑
1
11 ez
zNR
−
⋅=
2b
2Be 1p1
1 −=
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27.1 ROTEIRO DE CÁLCULO
1) Assumir um valor para R1’:
R1’ = 1,2 N1
2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):
solo
11
'R1,1'S
σ=
3) Escolher as dimensões da sapata 1:
3B
A
1
1 ≤
11 B2A = (adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’
2
'S'B'B'B2'S 1
1111 =→⋅= → inteiro múltiplo de 5 cm.
4) Cálculo da excentricidade e1 :
2
b
2
'B'e 1p1
1 −=
5) Cálculo do R1’’ :
'ezz
N''R1
11−
=
6) Comparar R1’ e R1’’
6.1) Se1
1111111 B
'SA,'BBR''R'R ==→==
6.2) Se ''R05,1'R''R95,0 111 ≤≤
1
11
solo
1111 B
SA
''R1,1S'BB =→
σ=→=
6.3) Se R1’ ≠ R1”
Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” .
27.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO
Esquema estático (Figura 91):
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N2
R2p1
q1 (pilar 1)
bbp1
(1)
BB1
(2) (3)
-V1L
M1L Vmáx
-
M2L
V2L
M
V
x
Figura 91 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
1p
11 b
Nq =
1
11 B
Rp =
1
1p1
p
bqx =
a) Seção 1 )bx0( 1p≤≤ - Figura 92
p1
q1
V1
M1
q1x
xρ1x
Figura 92 – Seção 1.
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( )
( )11
2
1
2
1
2
11
111111
v
qp2
xM
02x
p2x
qM0M
qpxV0xpVxq
0F
−=
=−++→=
−=→=⋅−+⋅
=
∑
∑
para x = bp1 ( limite da seção):
( )
( )11
2
1pL1
111pL1
qp2
bM
qpbV
−=
−=
b) Seção 2 ( )Bxb( 11p ≤≤ - Figura 93
p1
q1
bp1q1
M2
xp1x
Figura 93 – Seção 2.
1
1p12
1p11211p12
V
p
bqx0V:para
bqxpV0xpbqV
0F
⋅=→=
⋅−⋅=→=⋅−⋅+
=∑
02
xp
2
bxbqM0M
2
11p
1p12 =−
−⋅+→=∑
−⋅−= 2
b
xbq2
x
pM
1p
1p1
2
12
Para 1p111L21 bqBpVBx −−⋅=→=
8/3/2019 Sapatas-UnespFeb
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UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 82
−⋅−=
2
bxbq
2
BpM 1p
1p1
21
1L2
c) Seção 3
+≤≤
2
bzxB 1p
1 - Figura 94
p1
q1
bbp1
Bx
B1
V3
M3
Figura 94 – Seção 3.
−⋅−
−⋅=
=
−⋅−
−⋅+→=
=∆=⋅−⋅=
=⋅−⋅+→=
∑
∑
2
bxbq
2
BxBpM
02
BxBp
2
bxbqM0)3(M
cteNbqBpV
0BpbqV0F
1p1p1
1113
111
1p1p13
1p1113
111p13V
27.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO
a) Largura: cm5ab 1pw +≥ (pode ser alterado);
b) Altura: 1V hh ≥ (h1 = altura da sapata 1);
bV ld > (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).
Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa).
27.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA
Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-70, já apresentado.a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 95
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b a A
b
A 1
b w
a p 1
bp1
d 2
0 , 1
5 b b
w
S2A
S1A
BB1
A
A
d2
0,15bbw
CC2A
d d 2 A
S 1 A
S 2 A
bbw
aap1
h
h
h
h 0
h 1
h v
A1
xxA
p
CORTE AA Figura 95 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 .
Resultante da reação do solo na sapata (F1A):
A1A1 xBpF ⋅⋅=
sendo:11
1
BA
Rp
⋅=
ww1
A b15,02
bAx +
−=
Momento fletor:
2
xBpM
2
xFM
2A
1A1A
A1A1 ⋅=→=
b) Cálculo da altura da sapata
Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:
3
bAh w1
1−
≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)
c) Verificação da força cortante na seção S2A
Força cortante de referência (ou atuante):
A21f dAcBpV ⋅⋅⋅γ =
2
d
2
bAc 1w1
A2 −−
=
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Força cortante resistente (ou limite):
ckA2A2c
lim,d f db474,0
V ⋅ρ⋅⋅γ
= (f ck em MPa)
com: b2A = B1
3
hh;c5,1
bA
hh1dd 1
0A2w1
011A2 ≥≤
−
−−= (inteiro e múltiplo de 5cm) ou cm30h0 ≥
Se dAlim,d VV ≥ → dispensa–se a armadura transversal;
Se dAlim,d VV < → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;
lim,d
dA1n
V
Vdd =
d) Armadura à flexão
Armadura principal:
A1f
211
c M
dBK
γ
⋅= →
βx
sK
domínio
:tabelana
1
A1f sA1,s d
MKAγ
= ouyd1
A1f A1,s f d85,0
MA⋅
γ =
As,mín = 0,10 % B1 d1
A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .
Armadura de distribuição (paralela à B1):
≥
m / cm9,0
A51
A2
A1,sdistr,s , com s ≤ 33 cm.
27.5 EXEMPLO 8(Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005)
Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 96).Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;
02,0solo =σ kN/cm2 ;
Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm.
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30
2 0
2,5
400cm
30
3 0
divisa
Figura 96 – Esquema dos pilares.
Resolução
1) Dimensionamento da sapata
1.1) Assumir um valor para R’1
kN6605502,1N2,1'R 11 =⋅==
1.2) Área de apoio da sapata – S1
2
solo
11 cm300.36
02,0660
1,1'R
1,1'S ==σ
=
1.3) Cálculo da dimensão B1
cm7,1342
36300
2
'S'B 11 ===
Portanto, cm135'B 1 =
1.4) Excentricidade e1
cm505,2
2
30
2
135f
2
b
2
'B'e 1p11 =−−=−−=
f = distância da face do pilar à linha de divisa.
1.5) Cálculo de R’’1
kN6,62850400
400550
'ezz
N''R1
11 =−
=−
=
1.6) Comparação entre R’1 e R’’1
111 ''R05,1'R''R95,0 ≤≤
!ok6606,62805,16601,5976,62895,0 →=⋅≤≤=⋅
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cm260Acm1,256135
34573BSA
cm135'BB
cm573.3402,0
6,6281,1
''R1,1S
11
11
11
2
solo
11
=→===
==
==σ
=
2) Esforços máximos na viga alavanca
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1
cm30b;)qp(2
bM;)qp(bV 1p11
21p
L1111pL1 =−=−=
656,4135
6,628
B
Rp
1
11 === kN/cm
333,1830
550
b
Nq
1p
11 === kN/cm
( ) 155.6333,18656,42
30M
2
L1 −=−= kN.cm
( ) 3,410333,18656,430V L1 −=−= kN
2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)
cmkN234.24M
2
301,11830333,18
2
1,118656,4
2
bxbq
2
xpM
cm1,118656,4
30333,18
p
bqx
máx
21p
máx1p1
2máx
1máx
1
1p1máx
⋅−=
−⋅−=
−⋅−=
=⋅
=⋅
=
30333,18135656,4bqBpV 1p111L2 ⋅−⋅=⋅−⋅=
kN6,78V L2 =
−⋅−=
2
bBbq
2
BpM 1p
11p1
21
1L2
571.232
3013530333,18
2
135656,4M
2
L2 −=
−⋅−= kN.cm
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Diagrama de esforços (Figura 97):
N2
R2
p1
q1
30bp1
= 135B1
(3)
-
-
V (KN)
x = 118,1
= 18,333KN
cm
= 4,656
410,3
78,6
6.155 24.234 23.571 M ( KNcm )
Figura 97 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
3) Largura da viga alavanca
bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm
Por outra forma, estimando que dv = 2bw :
( )
máx
3w
máx
3w
máx
2ww
c M
b86,2
M4,1
b4
M4,1
b2bK ===
3 máxcw MK35,0b =
Kc pode ser adotado 6/f ck para o domínio 3:
( ) 4,29242340,2 / 635,0b 3w == cm → adotaremos bw = 35 cm
4) Altura da sapata da divisa
Para sapata rígida:
NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm
Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1 /c ≤ 1,5
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5,1122
352602
bAc w1 =
−=
−= → 0,5 ≤
5,112
h1 ≤ 1,5
56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv
d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv
O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e:
d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok!
5) Dimensionamento da viga alavanca
A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode sercalculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de vigafletida.
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)
= 2 6 0
A 1
P1 P2
= 135B1
VE
h
= 7 5
h 0
h 1
C
= 1 1 2 5
C
= 1 1
2 5
sapata 2
sapata 1
h v
= 35bw
Figura 98 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.
bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm
1,533928
7035
M
dbK
2
d
2
c =⋅
== → βx = 0,22 (domínio 2), Ks = 0,025
12,1270
33928025,0As == cm2 → 6 φ 16 mm (12,00 cm2)
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Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.
Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2
Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ 10).
5.2) Armadura transversal
No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN
Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I,apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e d v = 70 cm:
VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok!
VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd
97,143517,070
4,57455,2b17,0
d
V55,2A w
Sdsw =⋅−=−= cm2 /m
09,3355010
203,020b
f
f 20A
3 2
wywk
ctmmín,sw =
⋅== cm2 /m
Com Asw = 14,97 cm2 /m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 =
3,74 cm2
/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2
/m).
Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd .
s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm
∴ s ≤ 30 cm
0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm
st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok!
No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculadapara a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para amenor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):
kN1106,784,1VSd =⋅=
!okVkN8,428353535,0V Sd2Rd →>=⋅⋅=
mín,swSdmín,Sd AVkN7,1233535101,0V →>=⋅⋅=
mcm09,35010
35)203,0(20A 2
3 2
mín,sw =⋅
⋅=
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Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2 /m) com 2 ramos:
Sd2Rd VkN3,287V67,0 >= → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm
2RdSd2Rd V2,0VkN8,85V2,0 >→=
cm21scm35d6,0s tt ≤→≤≤
Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-4,3), maior que o valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo,estribo com 4 ramos φ 5 mm:
cm21scm9,25s0309,0
s
20,04máx =>=→=
⋅
Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2 /m)
5.3 Armadura de pele
Asp quando h > 60 cm
faceporcm63,275350010,0hb%10,0A 2wsp =⋅⋅=⋅=
5 φ 8 mm = 2,50 cm2 por face
5.4 Armadura de costura
A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve paraaumentar a resistência e ductilidade da viga.
Pode ser adotada como: stcos,s A4,0A =
→=⋅= 2tcos,s cm85,412,124,0A 10 φ 8 mm = 5,00 cm2
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca)
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N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20N1 - 6 Ø16A
A
N3N2
N3
5N4
6N1
CORTE AA
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)
N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)
N4 - 5 Ø10 C =
3 laços (6N1)N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sobo pilar P1
Figura 99 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com alturaconstante;b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama demomentos fletores.
27.6 TAREFA
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A,aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?
27.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o
efeito do momento de torção;c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa).
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B 1
e 1
P1
P2
CGsap
e1h
B1R
d i v i s a
e i x o d a v i g a a l a v a n c a
Figura 100 – Viga alavanca não normal à divisa.
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)
Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.
N1 N2
R2
R1
P1 pilar P2
Figura 101 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.
N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1
R1 – N1 = N
Ssap = 1,1 (N2 - N/2)
27.7.1 Exercício Proposto
Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2,sendo conhecidos: soloσ = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =
12,5 mm.
4020
8 0
P1
P2
2,5 285
4020
d i v i s a
Figura 102 – Dimensões a serem consideradas.
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28. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA
Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga deequilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própriasapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,etc.
A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linearna maioria dos casos.
bp
B
D i v i s a
não linear
N
Figura 103 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.
Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal formaque: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.
Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados:
a) pb5,1B < (e < B/6) - Figura 104
bp
A6
B6e
A
B
pmín.
pmáx.
N
Figura 104 – Caso ondepb5,1B < (e < B/6).
solomáx 3,1Be6
1BA
Np σ≤
+
⋅=
−
⋅=
B
e61
BA
Npmín
b)
==
6B
e,b5,1B p- Figura 105
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B6e
A
B
pmáx.
N
Figura 105 – Caso onde
==
6
Be,b5,1B p
solomáx 3,1BA
N2p σ≤
⋅=
c)
>>
6
Be,b5,1B p
- Figura 106
B6e
A
B
pmáx.
N
3 ( B2 - e )
Figura 106 – Caso onde
>>
6B
e,b5,1B p
solomáx 3,1e
2
BA3
N2p σ≤
−
=
A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargaspequenas) ou variável.
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N
d i v i s a
d i v i s a
vigaenrijecedora
Figura 107 – Sapata isolada sob pilar de divisa.
Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa,como ilustrado nos exemplos.
Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar.A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.
h
viga
Figura 108 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço.
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A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade dopilar/sapata.
H
H
l
P
pilarflexível
eR
M H
H
P pilarrígido
M
e R
Figura 109 – Estrutura para absorver forças horizontais.
29. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele
com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, énecessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilarestêm os centros alinhados.
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou maispilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, comdesenho em planta retangular, trapezoidal, etc.
Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associadapode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil.
29.1 SAPATA RETANGULAR
O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e destemodo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.
A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultarflexível ou rígida.
Os seguintes casos podem ser considerados:
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C1
C2
P1 P2
B 2
B 2
A
B
N1 N2
C1 C2ap2ap1
l1 l2
x
lccR
ρ ≅ σsolo
q1 N1
ap1
= ____ q2 N2
ap2
= ____
ρ = RA.B.
V
M
Figura 110 – Sapata conjunta.
a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada
R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1)
∑ M (N1) = 0
0xRlN cc2 =⋅−⋅
cc2 l
R
Nx =
solo
RBA
σ=⋅
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As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e:
cc2
solo1 l
R
N
B2
Rl −
σ⋅=
cc1
solo2 lR
N
B2
Rl −σ⋅=
2cc1 lllA ++=
Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio dassapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção dadimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centrode ap1 ao invés da carga q1 em ap1).
A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momentofletor positivo.
b) 21 NN ≠ e comprimento A previamente fixado
cc2 l
R
Nx = ; R = 1,05 (N1 + N2)
x2A
l1 −= ; )xl(2A
l cc2 −−=
Largura da sapata: soloA
R
B σ⋅=
c) 2121 NNouNN <≅ e comprimento l1fixado
Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até asfaces externas dos pilares.
cc2 l
R
Nx =
Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 +=
Largura da sapata:
soloA
RB
σ⋅=
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P1 P2
A
B
N1 N2
ap2ap1
x R
ρ
l1 lcc l2
b p 1
b p 2
d i v i s a
h
Figura 111 – Sapata conjunta com pilar de divisa.
No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, odimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.
A5
35 A A
5
P1 P2
A
B
Figura 112 – Balanço econômico para a sapata conjunta.
29.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO
Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatasrígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c.
Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devemser verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramospodem ser usados.
Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura deflexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com osinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com
largura d/2 além das faces do pilar.
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P1P2
B b p 1
b p 2
h
ap1d
2d
2ap2d
2f
AI AIII
I II III IV
d
A
a + 0,5d + fap1 a + dap1
Figura 113 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV.
obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa.
Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro:
AsII = AsIV = ρmín · h (cm2 /m)
Região I:
B
Nq 1
1 =
2
2
b-B
qM
2p1
11
=
yd1f s f 0,85dMA ⋅
γ = ;
As, mín. = ρ mín·(f + ap1 + 0,5d)h ;0,5d)ha(f
A
p1
s
++=ρ
ρ ≥ ρmín
Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N 2, a largura ap2 + d evão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + a p1 + 0,5d) e(ap2 + d), respectivamente.
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29.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL
Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata comforma de trapézio (Figura 114).
P1
ap1C
P2
B 1
B 2
N1 N2
A
lcc
x R
= . ρρ2 B2
= . ρρ1 B1
Figura 114 – Sapata conjunta com planta em trapézio.
As dimensões A e c são adotadas, e:
R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05)
solosap
RS
σ=
A2
BBS 21
sap+
=
( ) 0PM 1 =∑
N2 . lcc – R . x === 000
R
l.Nx cc2=
Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R),tem-se:
+
+=++
21
211p
BB
B2B
3
Ac2
a
x
Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 .
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UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 102
A2
BBS 21
sap+
=
P1
ap1C
P2
B
1
B
2
N1 N2
A
lcc
x R
= . ρρ2 B2
= . ρρ1 B1
Figura 115 – Sapata conjunta com planta em trapézio.
29.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ
Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com
uma “viga de rigidez”, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção,diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim,aumenta a rigidez da sapata.
d2
0,15bw
d
S 1
S 2
bbw
h
CORTE AA
d v
h v
As
ρsapata
V.R.
1m
B
A
A
A
Figura 116 – Sapata conjunta com viga de rigidez.
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BA
NNp 21
⋅
+=
29.4.1 Viga de Rigidez (VR)
Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada
sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços,determinados segundo a direção longitudinal da sapata.
+
+≥
cm5b
cm5bb
2p
1pw (5 cm = valor mínimo)
dv ≥ lb,φpil ; hv ≥ h
29.4.2 Sapata
A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B.Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. Nocaso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 116(S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As .
29.5 EXEMPLO 9
Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 117), sendo: N1 = 900 kN, N2 =1.560 kN, C20, γ solo = 1.925 kg/m3, carga do piso de 500 kgf/m2, φl,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm,altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, 5,191solo =σ KPa.
30
4 5
d
i v i s a
P1 P2
40
17,5cm 6.10m
Figura 117 – Medidas para a sapata associada do exemplo.
Resolução
Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serãoconsideradas diminuindo a tensão admissível do solo:
gsolo + gsap + gpiso = 2,08 . 1925 + 500 = 4.504 kgf/m2
a) Dimensões da sapata
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Tensão admissível líquida do solo:
5,1460,455,191líq,solo =−=σ kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa
Área da sapata:
8,165,146
1560900Ssap =+
= m2
Centro de cargas: cc21
2 lNN
Nx
+= ;;; N1 + N2 = R
87,310,61560900
1560x =
+= m
Comprimento da sapata: ( )xl2A 1 +=
A = 2(0,175 + 3,87) = 8,09 m ≅ 8,10 m
Largura da sapata:A
SB sap
=
07,210,8
8,16B == m ≅ 2,10 m
01446,02108101560900
BANNp 21 =
⋅+=
⋅+= kN/cm2
Considerando a largura da sapata:
pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm
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30
4 5
d i v i s a
P1 P2
17,5
A810
1625
CP
x387
223 1825
B
2
1 0
900KN 1560
610
53,1
846,9 554,3
1005,7
= 3,037 KNcmρB
(KN)Vk
(KN.cm)Mk
-
+
331
465
50575
117605ou
115959
Figura 118 – Esforços solicitantes na sapata associada.
b) Altura da sapata
Conforme a NBR 6118: h ≥ (A – ap)/3
No caso de sapata isolada, A – ap = 2c. Para a sapata associada, o maior valor de c ocorreno lado direito do pilar circular, onde c = 162,5 cm, e:
3,1083
5,1622h ≥
⋅≥ cm
Fazendo a sapata como rígida com h = 108 cm, não será necessário verificar a punção.No entanto, o consumo de concreto resulta exagerado (18,4 m3). Como alternativa será adotada asapata flexível, com h = 85 cm (14,5 m3, − 21 %), e neste caso deve-se verificar a possibilidadede punção. Antes disso, é necessário calcular as armaduras de flexão.
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c) Armadura de flexão na direção longitudinal
Momento fletor negativo:
M = − 117.605 kN.cm → Md = 164.647 kN.cm ; d = 80 cm
2,8164647
80210M
dbK 2
d
2c =⋅== → Ks = 0,024 (domínio 2)
39,4980
164647024,0
d
MKA d
ss === cm2 → 17 φ 20 mm = 53,55 cm2
Momento fletor positivo:
M = 50.575 kN.cm → Md = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm
0,1970805
80210M
dbK2
d
2c =
⋅== → Ks = 0,024 (domínio 2)
24,2180
70805024,0
d
MKA d
ss === cm2 → 21 φ 12,5 mm = 26,25 cm2
d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 119)
30
= 4 5
d i v i s a
P1 P2
+ 0,5d + f72,5
+ d120
122 5
B = 2 1 0 c m
b p 1
ap1
ap2ap1
40ap2
Figura 119 – Regiões para a armadura de flexão.
Região do pilar P1:
29,4210900
B
Nq 1
1 === kN/cm
600.142
245210
29,42
2
bB
qM
221p
11 =
−
=
−
=kN.cm
M1d = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm
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7,2220440
805,72
M
dbK
2
d
2
c =⋅
== → Ks = 0,023 (domínio 2)
88,580
20440023,0
d
MKA d
ss === cm2 → 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2
Região do pilar P2:
43,7210
1560B
Nq 2
2 === kN/cm
841.262
2
40210
43,72
2
bB
qM
221p
22 =
−
=
−
= kN.cm
M2d = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm
9,1937577
79120M
dbK
2
d
2
c =⋅
== → Ks = 0,023 (domínio 2)
94,1079
37577023,0
d
MKA d
ss === cm2 → 12 φ 12,5 mm = 15,00 cm2
e) Verificação da punção na superfície crítica C’
e1) Pilar circular P2 (Figura 120)
2d160
40
2 d
C'
Figura 120 – Superfície critica C’.
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):
du
FSdSd
⋅=τ
dx = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm
dy = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm
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808,792
ddd yx
≅=+
= cm
Como 2d = 160 cm estende-se além da sapata, será considerada a distância a* (Figura121):
a*85
C' 1 0 5
1 0 5
Figura 121 – Distância a*.
852
40210
2
a
2
B*a 2p
=−
=−= cm ; a* ≤ 2d ≤ 160 cm
u* = 2π r = 2π . 105 = 659,7 cm
Acont,C’ = π 2102 /4 = 34.635 cm2
∆FSd = 1,4 (0,01446 . 34635) = 701,2 kN
Força reduzida: FSd,red = 1,4 . 1560 – 701,2 = 1.482,8 kN
Tensão atuante:
028,0807,6598,1482
Sd =⋅
=τ kN/cm2 = 0,28 MPa
As taxas de armadura ρx e ρy devem ser determinadas na distância 3d além das faces dopilar. Pelos cálculos já efetuados:
yx ρρ=ρ
ρx = ρy = ρmín = 0,0015 = ρ
ρx ρy
Figura 122 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções.
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Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
2cd3
ck1Rd f 5,0*ad2
f 100d20
113,0 ≤⋅ρ
+=τ
85802200015,0100
8020113,0 3
1Rd⋅⋅⋅
+=τ (utiliza-se o menor ρ1)
τRd1 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2
cdck
2cd f 250
f 16,05,0f 5,0
−=
4,1
0,2
250
2016,05,0f 5,0 2cd
−=
0,5 f cd2 = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa
Portanto, τSd = 0,28 MPa < τRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura dasapata por punção, na posição do pilar P2.
e2) Pilar retangular P1 (Figura 123)
O momento fletor, que atua na direção de B, na região próxima ao pilar P1, serádesprezado.
32
1 0 5
1 0 5
82a*
8 2
a *
8 2
a *
4 5
5
5
5 5
8 2
a *
B = 2 1 0
Figura 123 – Distância a* no pilar da divisa.
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):
d*u
FSdSd =τ ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN
d = 80 cm
u* = 32,5 + 32,5 + 45 + π . 82,5 = 369,2 cm
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Tensão atuante:
0427,0802,369
1260Sd =
⋅=τ kN/cm2 = 0,427 MPa
A taxa de armadura será calculada considerando as armaduras longitudinal negativa na
direção x e transversal positiva na direção y (B).
As, cosntr.
8 5
d = 8 0
Ø12,5
17 Ø12,5
Figura 124 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.
003,085210
55,53x =
⋅=ρ
ρy = ρmín = 0,0015
A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, masnão será considerada.
00212,00015,0003,0yx =⋅=ρρ=ρ
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
2cd*3
ck1Rd f 5,0a
d2f 100
d
20113,0 ≤⋅ρ
+=τ
5,82802
2000212,01008020
113,0 31Rd
⋅⋅⋅
+=τ
τRd1 = 0,612 MPa
τSd = 0,427 MPa < τRd1 = 0,612 MPa → ok!
f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal
Na direção longitudinal a sapata é considerada como uma viga, e:bw = B = 210 cm < 5d < 5 . 80 < 400 cm
desse modo os cálculos devem ser feitos como viga e não como laje.
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Adotando o Modelo de Cálculo I (concreto C20):
VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN
VSd = VSd,máx = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN < VRd2 → ok!
VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN
VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN → Asw = Asw,mín
56,182105010
203,020b
f
f 20A
3 2
wywk
ctmmín,sw =
⋅== cm2 /m
Espaçamento máximo:
0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd
s ≤ 0,6d ≤ 0,6 . 80 ≤ 48 cm ≤ 30 cm → s ≤ 30 cm
Espaçamento máximo entre ramos verticais:
0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd
st ≤ 0,6d ≤ 48 cm ≤ 35 cm → st ≤ 35 cm
Fazendo estribo φ 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2):
1856,0s86,1
= → s = 10 cm < 30 cm
st = 200/5 = 40 cm ≈ st,máx = 35 cm (como a armadura transversal é a mínima, será aceitoum espaçamento um pouco superior para st).
g) Detalhamento das armaduras (Figura 125)
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P2
N1 - 80 c/10
70
70
2 0 0
N 1 - 8
0 Ø 1 2 , 5 C
= 3 4 0
N2 - 80 c/10N3 - 2 x 80 c/10
N4 - 17 Ø20 C = N5 - 6 Ø8
N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR
N7 - 10 Ø8 C = N8 - 21 Ø12,5 C =
7 0
7 5
202
77
N2 - 80 Ø6,3 C =
40
77
N3 - 160 Ø6,3
21 N8
4 N6
17 N4
Figura 125 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.
Tarefa: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar oconsumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) podeser alterada.
30. QUESTIONÁRIO
1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapataassociada, sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio.Exemplificar com desenhos.
2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até2,5?
3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório?4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o
critério do CEB-70.5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis.6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas?7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis?
8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversosfatores. Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos).Procure saber as simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível edas características do solo (rocha, areia, argila, etc.).
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9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor nasapata. Qual o carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentosfletores.
10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva.11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de
referência.
12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando?13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando?14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado?15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas
com momentos fletores aplicados.16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais
elementos estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes?17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas
corridas?18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E
no caso das sapatas flexíveis?
19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como édisposta a armadura principal? E a armadura secundária?
20) Foi proposto um exercício de sapata corrida sob muro de divisa (p. 71.7). Não deixe de fazer,esse tipo de sapata é muito comum na prática. Alguns dados numéricos não foramfornecidos, propositadamente: procure, ou adote quando for o caso. Dúvidas? o Professorestá esperando-o!
21) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento eescorregamento? Não esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida daquestão anterior.
22) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas?23) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa?24) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca?25) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção?26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os
casos de pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata?27) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado
colocar vigas na sapata?28) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada?29) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que?30) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal
à viga de rigidez?
31. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ALONSO, U.R. Dimensionamento de fundações profundas. Ed. Edgard Blücher, 1989.
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações, NBR 6122. Rio de Janeiro, ABNT, 2010, 91p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas –Procedimento, NBR 8681. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Símbolos gráficos para projetos deestruturas, NBR 7808. Rio de Janeiro, ABNT, 1983.
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