ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO DO 1º SEMESTRE DE MATEMÁTICA

Nome:___________________________Nº________Série: 2 º EM

Data: ___ /05 /2018

Professor: DIEGO, SAMI, THIAGO MIRANDA

Nota: ______________(VALOR 1,0) 1º Semestre

1. Apresentação – Roteiro 1º Bimestre

Prezado aluno,

A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos

essenciais que foram trabalhados neste bimestre.

O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que:

● Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar

● Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas

tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar: não deixe para

depois o que pode ser feito hoje...

● Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las?

● Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as

atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de

recuperação.

● Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que

ficaram pendentes no bimestre que passou.

● Encontre um padrão para resolver cada tipo de exercício: desta forma, você conseguirá se

organizar muito melhor quando encontrar uma situação problema parecida em uma prova ou

vestibular.

● Caso o conteúdo que você estiver estudando necessite de fórmulas, escreva sempre a fórmula

necessária para resolver o exercício, ao invés de simplesmente aplicá-la. Suponha, por

exemplo, que você precise da fórmula do seno do arco duplo: ao invés de simplesmente olhar um

formulário e utilizá-la, escreva a fórmula na sua resolução: “sabendo que ,

temos...”. Isso te ajudará a compreender melhor a sua resolução como um todo.

● Tudo o que for fazer, faça bem feito!

2. Conteúdos e objetivos

Para ajudar em sua organização dos estudos, é importante saber quais serão os conteúdos trabalhados neste

bimestre:

● Revisão de tópicos do Ensino Fundamental 2

o Equações do primeiro grau.

o Sistemas lineares 2x2.

o Problemas que envolvem equações do primeiro grau e sistemas lineares 2x2.

● Conceitos trigonométricos básicos (Capítulo 13)

o Ângulos e arcos.

o Unidades de medida angular.

o Círculo trigonométrico.

o A ideia de seno, cosseno e tangente de um número real.

● Transformações e relações trigonométricas (Capítulo 14)

o Fórmulas de adição e subtração de arcos.

● Matrizes (Capítulo 16)

o Definição e representação de matrizes.

o Adição, subtração, multiplicação de uma matriz por um número real e multiplicação entre

matrizes.

o Inversão de matrizes.

● Determinantes (Capítulo 17)

o Cálculo de determinantes de matrizes 1x1, 2x2, 3x3 e 4x4.

o Propriedades dos determinantes.

3. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação

● Livro didático – VOAZ 2 (capítulos já citados no tópico 2).

● Livro didático VOAZ Revisão (capítulos já citados no tópico 2).

● Eventuais listas de estudos disponibilizadas no Classroom.

● Anotações de aula (teoria e exercícios resolvidos) feitas no próprio caderno.

● Provas mensais realizadas.

● Provas bimestrais realizadas.

4. Etapas e atividades

Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação:

a) Refazer as provas (mensal e bimestral) para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os

momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina.

b) Refazer todas as listas de estudos disponibilizadas no Classroom (caso tenham sido disponibilizadas).

c) Revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno.

d) Resolver os exercícios do roteiro de recuperação.

5. Trabalho de recuperação e forma de entrega

● Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do

roteiro de estudos em folha de bloco.

● O Trabalho de Recuperação vale 1 ponto.

● Organize as suas resoluções suas respostas em ordem numérica. É importante a organização na

hora dos estudos, e tal organização deve ser mostrada na resolução do Trabalho de Recuperação.

● Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você

pensou!

● É imprescindível entregar o Trabalho de Recuperação na data estipulada.

PRIMEIRO MOMENTO

1) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) , onde .

b) , onde .

c) , onde .

d) , onde .

2) Sendo , determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares.

a)

b)

c)

d)

3) (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si

metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que

encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

4) (VUNESP) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de

moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, determine o total de moedas na bolsa.

SEGUNDO MOMENTO

5) (UNESP) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais :

.

6) (PUCCAMP) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir:

.

Determine os valores de x, y e z.

7) (UEL) Determine o valor da expressão .

8) (FUVEST) Determine quantos graus mede, aproximadamente, um ângulo de 0,105 radianos.

TERCEIRO MOMENTO

9) (UEL) Considere as matrizes M e representadas a seguir. Determine os possíveis valores reais do número

a.

10) (FEI) Considere as matrizes A e B.

Se a inversa da matriz A é a matriz B, determine o valor do produto .

11) (UNIFOR) Determine a medida, em radianos, do arco de medida 7344º reduzido ao primeiro quadrante.

12) Seja x um ângulo pertencente ao primeiro quadrante. Sabendo que , determine e .

QUARTO MOMENTO

13) (UFRJ) Seja a matriz A representada a seguir: .

a) Determine .

b) Se denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal que

,

onde I é a matriz identidade.

14) (UNIRIO) Dada a matriz representada adiante, determine o valor de , onde denota a matriz

inversa de A e a matriz identidade de ordem 2.

15) Seja x um ângulo pertencente ao terceiro quadrante. Sabendo que , determine e .

16) (FUVEST – ADAPTADA) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a

hipotenusa mede 10 cm e o cateto mede 8 cm. Se M é o ponto médio de

, determine:

a) a medida do cateto (em cm);

b) a tangente do ângulo .

QUINTO MOMENTO

17) (UFRRJ) Dada a matriz , tal que , encontre o determinante da matriz A.

18) (UFSCAR) Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Em tais condições,

encontre o determinante da matriz A.

19) (FUVEST) Qual das seguintes afirmações a seguir é verdadeira? Represente o ciclo trigonométrico para

justificar a sua escolha.

a)

b)

c)

d)

e)

20) Sabendo-se que , onde e que , onde , determine:

a) ;

b) ;

c) .

1. Apresentação – Roteiro 1º Bimestre

Prezado aluno,

A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos

essenciais que foram trabalhados neste bimestre.

O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que:

● Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar

● Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas

tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar: não deixe para

depois o que pode ser feito hoje...

● Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las?

● Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as

atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de

recuperação.

● Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que

ficaram pendentes no bimestre que passou.

● Encontre um padrão para resolver cada tipo de exercício: desta forma, você conseguirá se

organizar muito melhor quando encontrar uma situação problema parecida em uma prova ou

vestibular.

● Caso o conteúdo que você estiver estudando necessite de fórmulas, escreva sempre a fórmula

necessária para resolver o exercício, ao invés de simplesmente aplicá-la. Suponha, por

exemplo, que você precise da fórmula do seno do arco duplo: ao invés de simplesmente olhar um

formulário e utilizá-la, escreva a fórmula na sua resolução: “sabendo que ,

temos...”. Isso te ajudará a compreender melhor a sua resolução como um todo.

● Tudo o que for fazer, faça bem feito!

2. Conteúdos e objetivos

Para ajudar em sua organização dos estudos, é importante saber quais serão os conteúdos trabalhados neste

bimestre:

● Transformações e relações trigonométricas (Capítulo 14)

o Fórmulas de adição e subtração de arcos.

o Fórmulas de arco duplo.

o Demais relações trigonométricas (cossecante, secante e cotangente).

● Funções trigonométricas (Capítulo 15)

o Função seno: definição, valores mínimos e máximos, período e gráfico.

o Função cosseno: definição, valores mínimos e máximos, período e gráfico.

● Sistemas lineares (Capítulo 16)

o Resolução de uma equação linear (soluções particulares e solução geral).

o Resolução de um sistema linear nxn (métodos da adição, substituição, comparação, Regra de

Cramer e escalonamento).

o Discussão de um sistema linear em função de parâmetros reais.

3. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação

● Livro didático – VOAZ 2 (capítulos já citados no tópico 2).

● Livro didático VOAZ Revisão (capítulos já citados no tópico 2).

● Eventuais listas de estudos disponibilizadas no Classroom.

● Anotações de aula (teoria e exercícios resolvidos) feitas no próprio caderno.

● Provas mensais realizadas.

● Provas bimestrais realizadas.

4. Etapas e atividades

Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação:

e) Refazer as provas (mensal e bimestral) para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os

momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina.

f) Refazer todas as listas de estudos disponibilizadas no Classroom (caso tenham sido disponibilizadas).

g) Revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno.

h) Resolver os exercícios do roteiro de recuperação.

5.Trabalho de recuperação e forma de entrega

● Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do

roteiro de estudos em folha de bloco.

● O Trabalho de Recuperação vale 1 ponto.

● Organize as suas resoluções suas respostas em ordem numérica. É importante a organização na

hora dos estudos, e tal organização deve ser mostrada na resolução do Trabalho de Recuperação.

● Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você

pensou!

● É imprescindível entregar o Trabalho de Recuperação na data estipulada.

PRIMEIRO MOMENTO

1)

a) Calcule , e .

b) Calcule , isto é, .

c) Calcule , e .

d) Calcule , isto é, .

e) Utilizando os itens anteriores, responda:

● : verdadeiro ou falso?

● : verdadeiro ou falso?

2) Considere a matriz .

a) Determine a matriz , isto é, efetue a multiplicação .

b) Calcule o determinante da matriz A e o determinante da matriz .

c) Pelo valor de , responda: a matriz A admite uma matriz inversa? Em caso positivo, encontre a matriz

inversa de A, que chamaremos de .

d) Calcule o determinante da matriz .

3) Considere um ângulo x tal que e, além disso, .

a) O ângulo x está em qual quadrante do Ciclo Trigonométrico?

b) O cosseno de um ângulo no quadrante que você encontrou é positivo ou negativo? Calcule o valor de .

c) A tangente de um ângulo no quadrante que você encontrou é positiva ou negativa? Calcule o valor de .

4) Calcule o determinante da matriz .

SEGUNDO MOMENTO

5)

a) Determine .

b) Em um triângulo retângulo, determine a medida do cateto oposto ao ângulo de 75º, sabendo que o cateto

adjacente a este ângulo mede cm.

Observação: construa um esboço da situação pedida.

c) Determine a área do triângulo retângulo descrito no item b.

6) (FGV – ADAPTADA) A matriz X é a inversa da matriz Y, onde e .

a) Determine os valores de a e b.

b) Calcule os valores de e .

7) Considere um ângulo x tal que e, além disso, .

a) O ângulo x está em qual quadrante do Ciclo Trigonométrico?

b) O seno de um ângulo no quadrante que você encontrou é positivo ou negativo? Calcule o valor de .

c) O cosseno de um ângulo no quadrante que você encontrou é positivo ou negativo? Calcule o valor de .

8) Considere a matriz A, quadrada de ordem 3, tal que .

a) Calcule .

b) Calcule .

c) Calcule .

d) Calcule .

TERCEIRO MOMENTO

9) (G1 - ifal 2018) Resolva o sistema de equações abaixo para e valores reais e determine o valor do produto

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: sempre que possível, tente simplificar as equações de um sistema linear, dividindo todos os

coeficientes por um mesmo valor não nulo.

10) (G1 - cftmg 2018) Uma senhora resolveu vender bombons e trufas na porta de uma escola para complementar

a renda familiar. No primeiro dia, ela faturou com a venda de bombons e trufas. No dia

seguinte, seu faturamento foi igual a e foram vendidos bombons e trufas. Um aluno que

comprou, dessa senhora, bombons e trufas, pagou a quantia de

a)

b)

c)

d)

Sugestão: chame a quantidade de bombons de b e a quantidade de trufas de t.

11) (Unisinos 2017) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo satisfazem a seguinte identidade:

Se quais são os possíveis valores do seno deste ângulo

Lembre que

a) e

b) e

c) e

d) e

e) e

12) (Feevale 2016) O determinante da matriz é

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: respeitadas certas restrições, lembre-se de que e .

QUARTO MOMENTO

13) (Unicamp 2018) Sabendo que é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais e

É correto afirmar que esse sistema

a) tem solução para todo

b) não tem solução única para nenhum

c) não tem solução se

d) tem infinitas soluções se

Sugestão: sempre que precisar discutir um sistema, calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema

e, a partir deste valor, inicie os processos de discussão:

: apenas uma possibilidade: : duas possibilidades:

Sistema Possível e Determinado Sistema Possível e Indeterminado Sistema Impossível.

Uma única solução. Infinitas soluções. Nenhuma solução.

14) (G1 - ifal 2017) Encontre os valores de e na equação matricial abaixo:

A tripla ordenada que representa a solução desta equação é

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: efetue a multiplicação entre as matrizes e, após tal processo, você obterá um sistema linear 3x3.

Resolva-o da forma que achar mais confortável.

15) (Upe 2015) Num triângulo retângulo, temos que Se é um dos ângulos agudos desse triângulo,

qual o valor de

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: respeitadas certas restrições, lembre-se de que . Além disso, a Relação Fundamental da

Trigonometria pode ser útil: .

16) (Ucs 2015) Qual é o valor de para tal que e Dado: para todo número real

vale a identidade trigonométrica

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: apenas foi dado o valor de , isto é, a relação precisa do valor de

para funcionar.

QUINTO MOMENTO

17) (Unioeste 2017) Sobre o sistema de equações lineares é CORRETO afirmar que

a) possui uma única solução, qualquer que seja

b) possui infinitas soluções, qualquer que seja

c) possui ao menos uma solução, qualquer que seja

d) só tem solução se

e) é impossível se

18) (FUVEST)

a) Para quais valores de k o sistema linear é possível e determinado?

b) Mostre que para o sistema é impossível, isto é, não admite soluções.

Sugestão: esta é a matriz dos coeficientes do sistema: .

19) (Ucs 2016) O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.

Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico.

a)

b)

c)

d)

e)

20) (Ufsm 2013) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas

a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o

surgimento de doenças respiratórias.

Suponha que a função

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com

correspondendo ao mês de janeiro, ao mês de fevereiro e assim por diante.

A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é

igual a

a) 693.

b) 720.

c) 747.

d) 774.

e) 936.