matemÁtica bÁsica ii trigonometria aula...

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MATEMÁTICA BÁSICA IIMATEMÁTICA BÁSICA IITRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

Aula 03Aula 03

Prof. Márcio NascimentoProf. Márcio [email protected]@matematicauva.org

2014.12014.1

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Razões Trigonométricas do ângulo agudo.

OO

AA

BBαα

α<90°α<90°

AA11

AA22

AA33

AA44

BB11 BB22 BB33 BB44

Os triângulos A1OB1 , A2OB2 , A3OB3, etc., são semelhantes. Daí�1�1

��1=

�2�2

��2=

�3�3

��3= ⋯

Desta forma, dado um triângulo retângulo com ângulos internos dados, existe uma relação que independe da medida de seus lados

OOαα

AA

BB

�� =��

Chamaremos esta relação de seno do ângulo α

Usando triângulos pequenos, podemos fazer uma tabela de senos.


Hipotenusa, Catetos?

Hipotenusa: que se alonga abaixo... No caso, abaixo do ângulo reto.

Cateto: baixado, perpendicular.


Aplicação: Cálculo do Raio da Terra.

�� =�

� +� RR

hh

Linha do Horizonte

αα

RR

A altura da torre (h) é conhecida;O ângulo α entre a torre e a linha do horizonte, é conhecido. Portanto o seu seno também é conhecido.

� = (� +�)��

� −�.�� = �.��

� =�.�� − ��


Podemos definir outras duas relações num triângulo retângulo que também independem das medidas dos lados

OOαα

AA

BB

�� =��

Chamaremos de cosseno do ângulo α a seguinte relação:

Chamaremos de tangente do ângulo α a relação:� � � =

��


Relação Fundamental

OOαα

AA

BB

Observe que:

Do Teorema de Pitágoras�� +�� = ��

=�� +��

��

e(�� )� +(�� )� = �

sena 2 cos a

2= ABOA

2

OBOA 2


Tangente

OOαα

AA

BB

� � � =��

=

��

=��

Temos:


Outras relações

OOαα

AA

BB

�� =��

=��

Seja d a medida da hipotenusa do triângulo AOB. Então

Isto é, �� = � .��

� .�� Analogamente, �� = � .��

� .��

dd


Proposição 1: Se dois ângulos α e β são complementares (α+β=90°) então sen α = cos β, sen β=cos α e tg α = 1/tg β.

αα

�� =��

= ��

aaββ

bb

cc

�� =��

= ��

� � � =��

=��

=�

� � �


Utilidade da proposição 1: Para construir uma tabela de senos e cossenos de ângulos entre 0° e 90°, precisamos de cálculos efetivos apenas para o intervalo (0,45°)

Proposição 2: (a)Se α ∈ (0°,45°) então

(b) Se α ∈ (0°,90°) então

�� = � .�� .��

sena2= 1−cos a2


Prova da Proposição 2, parte (a):

ααααOO AA

BB

CC

11

11

ββ

sensen αα

sensen αα

coscos αα

DDse

n 2

sen

2αα

Area ΔBOC =2 .Area ΔBOA

Area ΔBOC =OC . BD2

Area ΔBOC =1 . sen2α

2

Area ΔBOC =cos α . 2 senα

2

1. sen2α2

=cos α . 2 . sen α

2 sen 2α=2 . cos α . senα


Prova da Proposição 2, parte (b):�� +�� = �

ααααOO AA

BB

CC

11

ββ

sensen αα

sensen αα

coscos αα

DD

coscos 2 2αα

�� +��.�� = � �� = � .�� = ��

�� +��.�� = � �� +��.�� = � �(��)� = � −��

�� = ඨ� −��

�


Ângulos Especiais: 30°, 60°A

B C

1

Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1.

1/2

Pelo Teorema de Pitágoras,

D

�� = �� +��

Ou seja, �� = �� +(�/ �)�

E portanto60° 60°

30° 30°



B C

1

Observando as relações no triângulo ADC, temos.

1/2D

60° 60°

30° 30°



B C

1

Como 30° e 60° são ângulos complementares, segue da proposição 1 que

1/2D

60° 60°

30° 30°


Ângulos Especiais: 45°

A B

C

1

Considere um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo 1.

1

45°

45°

Pelo Teorema de Pitágoras,

Isto é,


BC2=AB2+AC2


A B

C

1

Observando as relações no triângulo ao lado, temos:

1

45°

45°


A Famosa Tabela

Ângulo Seno Cosseno Tangente

30°

45°

60°

�



A B

C

1

Considere o triângulo isósceles ABC onde os lados iguais medem 1 e o outro lado mede x.

1

72°

�

36°

72°Considere a bissetriz do ângulo A B Ĉ

36°36°

72°D

Repare que os triângulos ABC e CDB são semelhantes (ângulos internos correspondentes (72°, 72º, 36º))

x 1-x

Assim, ��

=��

⇔��

=�

� −�

�

O triângulo ADC é isósceles (dois ângulos internos iguais)

�



A B

C

1

72°

�

36°

36°36°

72°D

x 1-x

Daí, (1-x).1=x2�

�

Ou seja, �� +� −� = �

Que resulta em



A B

C

1

18°

�/ �

36°

HVoltando ao Triângulo inicial, considere a altura AH relativa ao lado BC.

1

18°O triângulo AHB é retângulo em H e HB=x/2

Daí,

e pela Relação Fundamental,


Ângulos Especiais: 9°, 36°, 72°

Basta usar a proposição 2:Proposição 2: (a) Se α ∈ (0°,45°) então

(b) Se α ∈ (0°,90°) então

�� = � .�� .��


Exercício: Encontrar seno, cosseno e tangente dos ângulos:

9°, 36°, 72°


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