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Prediccion espacial Analisis estructural

ıricos y modelos ajustados133Analisis estructuralDoc-Start

Departamento de Probabilidad y Estadıstica IIMAS, UNAM

Estadıstica Espacial



Prediccion Espacial

1 Analisis estructural





Geoestadıstica.

El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:

E[Z(s)] = m(s)

o la covarianza centrada

σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}





Geoestadıstica.

La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:

Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0

Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)

Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)

Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.





El primer paso por supuesto es ubicar las localidades en un mapa

-116 -114 -112 -110 -108 -106

2426

2830

32

Estaciones meteorologicas

longitud

Latitud

Una vez con la base de datos, podemos proceder al analisisgeoestadıstico.





Geoestadıstica.

Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?

Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.

Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.

Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.





Geoestadıstica.

Definition

Un proceso estocastico Z(s) se dice Estrictamente Estacionario si y solosi sus distribuciones de dimension finitas son invariantes antetranslaciones, es decir,

{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}

La estacionariedad estricta es difıcil que se cumpla, por lo que se puederelajar

Definition

Un proceso estocastico Z(s) se dice estacionario de segundo orden si ysolo sıE[Z(s)] = m y ademas Cov[Z(s), Z(s + h)] = C(||h||)





Geoestadıstica.

Proceso Estacionario y No estaconario





Geoestadıstica.

Cuatro realizaciones de un proceso Gaussiano

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$x

grid$y

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

01

23

45

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$y

-2

-1

0

1

2





Geoestadıstica.

Recordemos que si Z(s) es estacionaria de segundo orden,

E[Z(s] = m

yCov(Z(s), Z(s+ h)] = C(h)





Geoestadıstica.

La hipotesis intınseca supone que los incrementos [Z(s), Z(s+ h)] sonestacionarios de segundo orden

El segundo momento de estos incrementos define el variograma

γ(h) =1

2E{

[Z(s), Z(s+ h)]2}

γ(h) no depende de la posicion sino solo de la distancia.





Geoestadıstica.

Si el proceso Z(s) es estacionario de segundo orden, se cumplen que:

σ2 = C(0)

ρ(h) =C(h)

C(0)

γ(h) = C(0)− C(h)

Cuando h se hace muy grande, γ(h)→∞ y C(h)→ 0





El analisis geoestadıstico se puede dividir en cuatro etapas:

Analisis exploratorio.

Se hace con el proposito de entender las propiedades espaciales delfenomeno bajo estudio.

Se hacen:

histogramas por zonas

mapas de colores

diagramas de correlacion, etc.Departamento de Probabilidad y Estadıstica IIMAS, UNAM




Analisis Estructural

Analisis de la estructura espacial.

En esta etapa se analiza la relacion geografica entre los valores de Z(s)

La finalidad es proponer un modelo de asociacion espacial que describaadecuadamente lo observado.

En esta fase se pueden detectar propiedades como anisotropıas.





Analisis Exploratorio





An·lisis Estructural

Tanto la covarianza como el variograma son desconocidos, por lo quedeben estimarse

El an·lisis estructural es el primer paso en el proceso de inferencia sobreZ(s).

Es a partir de El que se establece la forma de la dependencia espacial delfenomeno estudiado.





Se comienza con el calculo del variograma empırico

γ(h) =1

Nh

∑Nh

γ[Z(si)− Z(si + h)]

Y se ajusta algun modelo de la forma g(h) = C0 + C1f(h)

C0 es la pepita, C0 + C1 es la meseta y f(·) es una funcion monotonacreciente en h





0 1 2 3 4 5 6

02

46

810

12

distance

semivariance

0 50 100 150 200 250 300 350

02

46

8

Distancia (Km)

Semivariograma

Figura: Variogramas empıricos y modelos ajustados





Lo mas sencillo es utilizar los estimadores de momentos

C(h) =1

N(h)

N(h)∑i=1

[{Z(si)− Z}{Z(si + h)− Z}]

o

γ(h) =1

N(h)

N(h)∑i=1

{Z(si)− Z(si + h)}2





El variograma se utiliza mas en la practica debido a que para estimarC(h) se requiere tambien estimar la media de Z.

Los estimadores de momentos son muy sensibles a valores extremos.

Su presencia en los incrementos Z(si)− Z(si + h) hace que laestimacion de γ(h) se vuelva poco confiable para algunos rezagos.Una solucion es utilizar estimadores robustos.





Ambos estimadores se calculan en subintervalos de amplitud δ

Si los valores de h que se van a usar son {0,5, 1,5, 2,5, 3,5, . . . , hmax},entonces para cada punto

se usan aquellos puntos muestrales que queden en los intervalos[0,5− δ, 0,5 + δ),[1,5− δ, 1,5 + δ),[2,5− δ, 1,5 + δ), etc.





Geoestadıstica.

Ejemplo: Consideremos los siguientes datos espaciados cada 100 m:

5 3 6 4 2 1 1 2 4 3 2

El variograma empırico se puede calcular para distancias multiplos de100m, esto es:

γ(100) =1

2× 10(22 + 32 + 22 + 22 + 12 + 02 + 12 + 22 + 12 + 12)

γ(200) =1

2× 9(12 + 12 + 42 + 32 + 12 + 12 + 32 + 12 + 22)

γ(300) =1

2× 8(12 + 12 + 52 + 32 + 02 + 32 + 32 + 02)

· · ·

γ(1000) =1

2× 1(32)





Geoestadıstica.

Cuando la red de muestreo no es regular, el numero de pares N(h) puedeser muy pequeno

El variograma experimental tiene entonces un aspecto muy erratico yresulta imposible interpretarlo y modelarlo.

Por esto, se suele permitir alguna tolerancia sobre las distancia y lasdirecciones





Geoestadıstica.





Geoestadıstica.

En resumen, los parametros a especificar para calcular un variogramaempırico son:

direccion de interes: acimut, inclinacion

distancias de interes, en general multiplos de una

distancia o ”lag?”

tolerancia en la direccion: tolerancia angular o ancho de banda





Geoestadıstica.

Ejemplo: Variograma de temperaturas en mayo en el noroeste de Mexico

0 1 2 3 4 5 6

02

46

810

12

distance

semivariance

Figura: default





Sin importar que estimador se use, Este debe ser calculado con datos deuna poblacion homogenea.

Es importante entonces tratar casos separadamente cuando:

Dominios que exhiben distinta variabilidad o que estan separados pordiscontinuidades (por ejemplo, muestras de mineral deben venir de unamisma formacion geologica)





Geoestadıstica.

Propiedades de γ(h)

E(γ(h)) = γ(h)

Un indicador de la robustez de γ(h) es su varianza relativa

var[γ(h)]

[γ(h)]2

Mientras mas elevada dicha varianza, mas susceptible es el variogramaexperimental de fluctuar en torno a su valor esperado






El analisis de la estructura de dependencia espacial requiere un analisiscuidadoso del variograma.

Este analisis nos da una buena idea de las propiedades de Z(s). El analisisdel variograma nos permite

Detectar no estacionariedad

Detectar anisotropıa

Evaluar direccion y tipo de anisotropıa

Evaluar la variabilidad a pequena escala

Detectar el efecto agujero y periodicidades






La nube variografica

0 5 10 15

020

4060

80100

distance

semivariance

Figura: default





Geoestadıstica.

Cuando la variable se distribuye en R2 o R3, tanto el semivariogramacomo la covarianza pueden cambiar de forma al cambiar la direccion

En este caso decimos que el fenomeno es anisotropico.






El variograma multidireccional nos da idea de cambios en la variabilidadde Z al movernos en direcciones especıficas

0 1 2 3 4 5 6

05

1015

2025

distance

semivariance

0°45°90°135°

Figura: default





AnisotropIa

Se presenta cuando dos o mas de los variogramas direccionales γθ(h) sondiferentes entre sI.

Existen dos tipos: Anisotropıa zonal y anisotropIa geometrica.

La geometrica se presenta cuando algun factor hace que para una hdada, γθ(h) varIe suavemente al variar la direccion θ, con

θ = tan−1(h1h2

)y h un vector con componentes

h = [h1, h2]





Anisotropía Geométrica

Anisotropía Geométrica :

Es aquella en la que el va r iograma en d is t in tas direcciones presenta la misma meseta pero rangos distintos

Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango

Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango





La deteccion de anisotropıa se dificulta cuando no hay estacionariedad

Anisotropía: hay más correlación en una dirección que en otra.

Anisotropía y tendencia. Mayor Correlación en dir 90 grados (linea verde). Dificil detección!!

Anisotropía. Mayor correlación en dirección 0 grados. Es más fácil detectarla bajo estacionariedad.





Anisotropía Zonal :

Es aquella en la que el va r iograma en d is t in tas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill

Presencia de diferentes estructuras

Anisotropía Zonal





La anisotropIa zonal se presenta cuando hay un cambio drastico en laestructura espacial de Z, como por ejemplo, estratos de suelo. En la

figura se muestra como se verIan las curvas de nivel de Z con anisotropIageomEtrica (izquierda) y zonal (derecha).





Para diagnosticar la anisotropıa:

se estima el variograma en al menos 4 direcciones.

para cada direccion se estima el rango r

Se construye una rosa con los angulos y la magnitud de cada r

Si la anisotropıa es geometrica, la rosa se aproxima a una elipse y sedeterminan sus radios mayor y menor.





Mapa de Variograma: isovalores del variograma experimental en función de la separación (distancia y orientación). Caso de anisotropía geométrica (en cualquier dirección el valor máximo es 1 = sill)






El variograma empırico es solo una herramienta para el analisisexploratorio

La razon, es que si se usara en predicciones, nos darıa varianzas negativas.

Por esta razon, una vez obtenido el variograma empırico, el siguientepaso es ajustarle un modelo g(h) que sea ”valido”.

La validez de un modelo tiene que ver con el cumplimiento de algunaspropiedades matematicas





Geoestadıstica.

Diremos que una funcion g(h) es un modelo permisible de variograma si:

Es continua (excepto tal vez en el origen)

Es no negativa para toda h

−∑i

∑j

λiλjg(si − sj) ≥ 0 (1)

para cualesquiera puntos s1, . . . , sn ∈ Rk y cualesquiera pesosλ1, . . . , λn ∈ RR.





Geoestadıstica.

Si Z(s) es estacionario de segundo orden, su covarianza y el variogramase relacionan ası.





Tanto la covarianza como el variograma son funciones simetricas

C(h) = C(−h) ; γ(h) = γ(−h)

Conociendo el semivariograma o la covarianza en varias direcciones esposible interpretar los razgos direccionales del fenomeno.

La forma funcional de la covarianza y del variograma debe garantizar quela varianza de combinaciones lineales de Z(s) sea no negativa





Geoestadıstica

Parametros del Variograma:γ(0) = pepitaγ(0) + γ(∞) = mesetar = rango, la distancia a la cual dos observaciones ya no estan asociadas.

0 5 10 15 20 25

02

46

810

1214

h

C(h)





Geoestadıstica

En la practica, una vez que se calcula el variograma empırico

γ(h) =1

Nh

∑Nh

γ[Z(si)− Z(si + h)]

se ajusta algun modelo de la forma g(h) = C0 + C1f(h)

C0 es la pepita, C0 + C1 es la meseta y f(·) es una funcion monotonacreciente en h





Geostadıstica

0 1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

distance

semivariance





GeostadısticaBulit et al.: Spatial structure of planktonic ciliate patches 187

0 10 20 30 40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40

0

10

20

30

40

c

exponential

a

c

dDistance (lag, h)

Varia

nce

(!)

Abundance (xi)

Abu

ndan

ce (x

i + h

)

distance

dist

ance

sill (c0+c)

nugget (c0)

b

e

f

g

spherical

GaussianStructuralvariance (c)

range (a0)

kriging

Lag

(h)

density map

ˆ ! (h) =

12N(h)

z(xi )" z(xi + h)[ ]2

i =1

N (h)

#

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Fig. 1. Schematic description of the geostatistical method, using ciliate distribution as an example. Ciliates are collected frompoints, generally forming a grid (a). To assess for patchiness, data can be processed by a simple contour-mapping function, to pro-duce contour (or density) plots (b). If patchiness appears to exist, geostatistical analysis is then applied. First, ciliate abundance atpoints separated by a common distance (lag, h) are calculated; data pairs can then be plotted on a scattergram (c). Next, this illus-tration of similarity is quantified: for a single lag, differences are summed, squared, and divided by twice the number of pairs toyield a variance (!, equation). This process is repeated for each lag; e.g. the short, medium, and long arrows in (a) are examples ofthe first 3 lags for which ! is calculated. Each of these estimates of ! is then plotted against the lag to produce an empirical vari-ogram (points in d). Then, a model is fit to the variogram data (lines in d); these are used to predict abundance at unsampledpoints and to assess the behaviour of the ciliate (see ‘Results and discussion’ on species). Commonly, exponential, spherical, orGaussian models are fit to the data (thin, medium, thick lines, respectively, in d). There are 3 main components of the variogram:the nugget (c0); the range (a0); and the sill (c0 + c ), composed of the nugget variance (c0) and the structural variance (c) (see ‘Gen-eral overview of geostatistics’). Once models are fit to the variogram, they are used to map ciliate abundance by kriging (see‘Cross-validation and kriging’). Note that each model produces a different predicted distribution (e–g, see ‘General overview of

geostatistics’)





Geostadıstica

Los modelos mas comunmente utilizados son:a) Esferico

γ(||h||) =

{C1[ 32 ( ||h||r ) + 1

2 ( ||h||r )3] 0 ≤ ||h|| ≤ rC1 ||h|| > r

b) Exponencial

γ(||h||) = C1

{1− exp

(−||h||

r

)}c) Gausiano

γ(||h||) = C1

{1− exp

[−(||h||r

)2]}





Geostadıstica

d) Lineal

γ(||h||) = C1||h||

f) Clase Matern

γ(||h||) = c1

{1− 1

2θ2−1Γ(θ2)

(2||h||

√θ2

θ1

)Kθ2

(2||h||

√θ2

θ1

)}K(θ2) es una funcion de Bessel de orden θ2θ1 controla el rango de asociacion espacialθ2 es un parametro de suavizamiento.Si θ2 = 1

2 nos da el modelo exponencialSi θ2 →∞ nos da el modelo Gaussiano





Geostadıstica

Efecto de cambios en los parametros del variograma

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h

g(h)



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