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JUAN TOMÁS CELIGÜETA &XUVRGH DQ•OLVLVHVWUXFWXUDO Prólogo Índice completo Índice resumido Índice de materias Ejercicios resueltos Enunciados de problemas EUNSA

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  • 1. JUAN TOMS CELIGETA &XUVRGHDQOLVLVHVWUXFWXUDO Prlogo ndice completo ndice resumido ndice de materias Ejercicios resueltos Enunciados de problemas EUNSA

2. RQWHQLGRCaptulo 1 Introduccin al anlisis estructural 11.1Concepto de estructura en ingeniera mecnica11.2Definiciones generales 31.3Clasificacin de las estructuras 41.4Clasificacin de los mtodos de anlisis 71.5Condiciones de sustentacin de las estructuras 81.6Condiciones de construccin 121.7Estabilidad y grado de determinacin externo141.8Bibliografa16Captulo 2 Teoremas fundamentales172.1Introduccin172.2Trabajo 182.3Resumen de elasticidad212.4Densidad de energa de deformacin262.5Energa de deformacin292.6Densidad de energa de deformacin complementaria 292.7Energa de deformacin complementaria 312.8Principio del trabajo virtual 312.9Principio de la mnima energa potencial332.10 Principio del trabajo virtual complementario342.11 Principio de la mnima energa potencial complementaria 362.12 Primer teorema de Castigliano 372.13 Segundo teorema de Castigliano382.14 Teorema de Betti-Rayleigh o del trabajo recproco 392.15 Teorema de Maxwell o de las deformaciones recprocas402.16 Teorema de Crotti Engesser422.17 Teorema de Engesser 432.18 Teorema de Mnabra 442.19 Estructuras sometidas a cargas trmicas 442.20 Bibliografa48iii 3. ivCurso de anlisis estructuralCaptulo 3 Celosas50 3.1 Introduccin 50 3.2 Condiciones de estabilidad 51 3.3 Clasificacin de las celosas planas 53 3.4 Clasificacin de las celosas espaciales 55 3.5 Mtodos de anlisis para celosas isostticas59 3.6 Estudio de la barra articulada 69 3.7 Clculo de celosas hiperestticas por el mtodo de flexibilidad 71 3.8 Clculo de deformaciones 76 3.9 Errores en la longitud de las barras 78 3.10Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad 80 3.11Ejercicios 83 3.12Bibliografa 94 3.13Problemas94Captulo 4 Vigas 99 4.1 Generalidades99 4.2 Condiciones de estabilidad100 4.3 Teora general de la flexin de vigas planas102 4.4 Diagramas de esfuerzos108 4.5 Relacin entre carga, esfuerzo cortante y momento flector 108 4.6 Teoremas de Mohr111 4.7 Clculo de esfuerzos en vigas hiperestticas112 4.8 Clculo de deformaciones en vigas 122 4.9 Flexin de vigas con energa de esfuerzo cortante 125 4.10Teoremas de Mohr con energa de esfuerzo cortante 131 4.11Mtodo de flexibilidad con energa de cortante132 4.12Ejercicios resueltos133 4.13Bibliografa149 4.14Problemas 149Captulo 5 Prticos 151 5.1 Introduccin151 5.2 Condiciones de estabilidad152 5.3 Estudio de la barra prismtica en el plano154 5.4 Mtodo de flexibilidad en prticos planos 162 5.5 Clculo de deformaciones en prticos planos 166 5.6 Estudio de la barra prismtica en el espacio169 5.7 Energa de esfuerzo cortante175 5.8 Torsin 176 5.9 Mtodo de flexibilidad para prticos espaciales 176 5.10Clculo de deformaciones en prticos espaciales 177 5.11Muelles 178 5.12Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad182 4. Contenido v 5.13Ejercicios resueltos 183 5.14Bibliografa 199 5.15Problemas200Captulo 6 Arcos205 6.1 Introduccin 205 6.2 Generalidades206 6.3 Arco triarticulado 208 6.4 Arco biarticulado212 6.5 Arco biarticulado atirantado 215 6.6 Arco biempotrado 217 6.7 Arco biempotrado. Centro elstico219 6.8 Analoga de la columna 222 6.9 Ejercicios resueltos 224 6.10Bibliografa 237 6.11Problemas238Captulo 7 Rigidez de los elementos estructurales 241 7.1 Introduccin 241 7.2 Concepto de grados de libertad 242 7.3 Concepto de rigidez de una estructura242 7.4 Barra articulada plana 247 7.5 Barra biarticulada espacial252 7.6 Viga a flexin en el plano 255 7.7 Elemento de emparrillado plano 260 7.8 Viga espacial264 7.9 Viga plana articulada empotrada273 7.10Viga plana empotrada articulada277 7.11Elementos espaciales con articulaciones280 7.12Muelles de esfuerzo axial281 7.13Muelles al giro283 7.14Elementos descentrados 284 7.15Elementos curvos planos288 7.16Influencia de la energa de esfuerzo cortante293 7.17Ejercicios resueltos 298 7.18Bibliografa 306 7.19Problemas306Captulo 8 Mtodo de rigidez308 8.1 Grados de libertad de la estructura308 8.2 Equilibrio de un elemento estructural309 8.3 Ecuacin de equilibrio de la estructura309 8.4 Propiedades de la matriz de rigidez de la estructura 314 8.5 Comparacin con el mtodo de flexibilidad315 5. viCurso de anlisis estructural 8.6 Fuerzas exteriores sobre los nudos316 8.7 Fuerzas exteriores sobre los elementos316 8.8 Esfuerzos en los elementos319 8.9 Cargas trmicas 320 8.10Vigas planas con temperatura322 8.11Elementos tridimensionales con temperatura326 8.12Elemento de emparrillado plano con temperatura329 8.13Errores en la forma de los elementos330 8.14Pretensin inicial en los elementos 333 8.15Condiciones de ligadura 336 8.16Ligaduras de desplazamiento nulo337 8.17Ligaduras de desplazamiento conocido338 8.18Mtodo de la rigidez ficticia para condiciones de ligadura339 8.19Apoyos elsticos340 8.20Condiciones de contorno no en los ejes generales342 8.21Ejercicios resueltos346 8.22Bibliografa391 8.23Problemas 392Captulo 9 Anlisis de estructuras simtricas 395 9.1 Introduccin395 9.2 Sistemas simtricos y antisimtricos en el plano396 9.3 Descomposicin del sistema de cargas396 9.4 Estructuras planas con cargas simtricas397 9.5 Estructuras planas con cargas antisimtricas399 9.6 Sistemas simtricos y antisimtricos en el espacio402 9.7 Estructuras espaciales con cargas simtricas403 9.8 Estructuras espaciales con cargas antisimtricas405 9.9 Estructuras espaciales con varios planos de simetra408 9.10Ejercicios resueltos410 9.11Problemas 412Captulo 10 Lneas de influencia415 10.1Definicin415 10.2Lneas de influencia en vigas isostticas 416 10.3Lneas de influencia en celosas isostticas418 10.4Empleo del Principio de los Trabajos Virtuales420 10.5Otros tipos de cargas mviles 422 10.6Teorema de Mller-Breslau 424 10.7Discusin sobre el Teorema de Mller-Breslau428 10.8Lneas de influencia de deformaciones 431 10.9Ejercicios resueltos432 10.10 Bibliografa462 10.11 Problemas 462 6. ContenidoviiCaptulo 11 Vigas en fundacin elstica 467 11.1Introduccin 467 11.2Comportamiento del terreno 468 11.3Teora bsica469 11.4Solucin general de la ecuacin de la elstica 471 11.5Viga infinita472 11.6Viga semi infinita 482 11.7Viga de longitud finita485 11.8Propiedades de rigidez de la viga en fundacin elstica487 11.9Viga libre con carga puntual en el centro488 11.10 Viga empotrada con carga uniforme490 11.11 Ejercicios resueltos 491 11.12 Bibliografa 496 11.13 Problemas497Captulo 12 Condensacin de ecuaciones y anlisis porsubestructuras499 12.1Condensacin de grados de libertad 499 12.2Aplicaciones de la condensacin de grados de libertad501 12.3Anlisis por subestructuras504 12.4Ventajas e inconvenientes del anlisis mediante subestructuras 511 12.5Ejercicios resueltos 512 12.6Bibliografa 516 12.7Problemas516Captulo 13 Mtodo de distribucin de momentos518 13.1Introduccin 518 13.2Descripcin general del mtodo de Cross519 13.3Momentos debidos a los giros 520 13.4Momentos debidos a las traslaciones524 13.5Barras articuladas 528 13.6Ejercicios resueltos 529 13.7Bibliografa 543 13.8Problemas544Captulo 14 Introduccin a la estabilidad estructural 546 14.1Introduccin 546 14.2Ecuacin de equilibrio de la viga - columna549 14.3Columna recta articulada en ambos extremos 551 14.4Columna recta empotrada en ambos extremos555 14.5Columna empotrada articulada 558 14.6Columna con carga axial excntrica 560 14.7Frmula de la secante563 7. viiiCurso de anlisis estructural 14.8Columnas con curvatura inicial565 14.9Longitud de pandeo569 14.10 Vigas columna 570 14.11 Propiedades de rigidez de la viga columna 577 14.12 Pandeo inelstico. Teora del mdulo tangente 581 14.13 Teora del mdulo reducido584 14.14 Teora de Shanley 588 14.15 Frmulas de diseo de columnas590 14.16 Rigidez geomtrica593 14.17 Carga crtica de estabilidad global de una estructura 597 14.18 Anlisis no lineal599 14.19 Ejercicios resueltos602 14.20 Bibliografa615 14.21 Problemas 616Anejo ATrminos de carga para la frmula de los tres momentos 619Anejo BIntegrales de distribuciones de momentos 620Anejo CEsfuerzos de empotramiento perfecto622Anejo DProgramas de computador625ndice de materias627 8. $QHMR$7pUPLQRVGHFDUJDSDUDODIyUPXODGHORVWUHVPRPHQWRVCargamimd q qL3 qL3 2424 P PL2 PL2L/2L/2 1616 q5 5 qL3 qL3 192 192 q8 7 qL3 qL3 360 360M MLML6 32mq3L 3 qmu 2 L u2 m2 8 3 qmv 23L L v2 m2 8uv 0 5 0 5 PPuv PuvL+u L+vuv6L6LMuv M 6L 33u 2 L28 M 2 6L 3L 3v 2 8 619 9. $QHMR%,QWHJUDOHVGHGLVWULEXFLRQHVGHPRPHQWRVIL Mi MjM i M j dx0C AL ACCLAAC 2CLAAC 2ACL ACmn 2B LC A ( A + B) C2C 2 2LAAC 3CL2AAC 3 LC AAC 3 LC AAC 6A( L + m)CACmn6B LC A ( A + 2 B) C6 2LC AAC 3 LC 2AAC 4 620 10. Anejo B 621Integrales de distribuciones de momentos.ILMiMjM i M j dx0C A L AC 3AC( L + n) ACmn6B LC A (2 A + B) C6 2LC AAC 3C A L2 AC12C AL L( m p ) 2m pACACpqmn36 mqC BL+q L+ pAAC+BCpq6 6CA 2 ( L2 + pq)ACpq 3LCpq2A L 12p p21+ + 2 A CL L D BL LC AA (2C + D) + B (C + 2 D) 6 6D2 LC A A (C + D)3D LC 2A (C + 3 D) A 12 22 8LC AAC15 2LC 2AAC 5 L2C 2AAC 5 11. $QHMR(VIXHU]RVGHHPSRWUDPLHQWRSHUIHFWRViga empotrada en ambos extremos. RA RBMA MB LPPLP MA = MB =RA = RB =82L/2 L/2 Pab 2 Pba 2PMA =MB =L2L2 Pb 2 Pa 2a bRA = ( L + 2 a) RB =( L + 2 b)L3 L3 q qL2qLMA = MB = RA = RB = 122cMA =qc 12 L23Lc 2 3bc 2 + 12 ab 2 8qMB =qc 12 L3 Lc 2 2 3ac 2 + 12 a b 82a bqbc M A M B qac M A M BRA =+ RB =LLLL q1q2 MA = L2 60 13q1 + 2 q26 MB =L260 1 2 q1 + 3q26(2 q1 + q2 ) L M A M B RA = +6L(q1 + 2 q2 ) L M A M B RB = 6L 622 12. Anejo C623 qqL2qL23qL7qL MA =MB =RA =RB =30 2020 20 q5qL2 qL MA = MB =RA = RB = 96 4q7MA = 20 L L3 + a 3 + L2 a La 23q 3 30 L qMB =L a33 + L a + La 2 22q( L + b ) M A M Bab RA = +6Lq( L + a) M A M B RB =6 L Mb 3bMa 3aMMA =L L2MB =L 2L6 Mab 6 Mabab RA = RB =L3L3+T hM A = M B = EI 2T / h RA = RB = 0-TViga articulada empotrada. RA RB MBL P 3PL 5P11PMB =RA = RB =L/2L/216 16 16PMB =Pa 22 L23 8 L a2ab RA =Pb 22 L303a + 2b5 RB =Pa2 L3 3 3 L2 a 2 8 13. 624Curso de anlisis estructuralqqL23qL 5qLMB = RA = RB = 88 8c2 c qabcq MB = 2a + b 2 L24bqbc M Bqac M Ba b RA = RB =+ L LL L q1q2 MB = L2120 17q1 + 8q2 6 RA = L120133q + 12q 612 RB = L120 127q1 + 48q26qqL2qL 4 qLMB = RA =RB =15 1010q5qL2 11qL 21qLMB = RA =RB = 64 64 64 qMB =q( L + a) 120 L37 L2 3a 28 q( L + b ) M Bq( L + a ) M Ba b RA = RB = + 6 L 6 L M MB =M3 2 L283a 2 L2a b RA =3M2L 3L a 8 322RB = RA+Th M B = 3EI T / hRA = 3EI T / hL RB = RA -T 14. $QHMR3URJUDPDVGHFRPSXWDGRUEn el disco CD adjunto se incluyen una serie de programas de computador que permiten elanlisis de distintos tipos de estructuras. Utilizan los fundamentos tericos explicados en eltexto, y se basan en el mtodo de rigidez, por su sencillez de programacin y generalidad.Estos programas han sido desarrollados con una vocacin nicamente docente, y tienen unadoble finalidad: en primer lugar servir para la comprobacin de los clculos hechos a mano(por ejemplo los problemas cuyos enunciados se plantean en el texto), y en segundo lugar,permitir al lector efectuar ejercicios de clculo de estructuras ms complicados, cuyaresolucin manual no es planteable. En todo caso, queda expresamente prohibido el empleode los programas para otro uso que no sea el estrictamente docente.Programa Cespla (Clculo de estructuras planas)Este programa efecta el anlisis de estructuras planas de cualquier tipo, compuestas porbarras empotradas y/o articuladas, como celosas, prticos o vigas. Adems permiteconsiderar elementos tipo resorte a esfuerzo axial o al giro, as como elementos enfundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estasltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma.Se pueden considerar apoyos elsticos, as como imponer deformaciones de valor conocidoen los apoyos.El programa calcula y representa grficamente las deformaciones de los nudos y barras, ylos diagramas de esfuerzos internos en los elementos. Asimismo calcula la carga crtica depandeo global de la estructura y el modo de pandeo correspondiente.Programa Cestri (Clculo de estructuras tridimensionales)Este programa efecta el anlisis de estructuras espaciales de cualquier tipo, compuestaspor barras empotradas y/o articuladas, como celosas o prticos espaciales. Permite ademsconsiderar elementos tipo resorte, a esfuerzo axial o al giro, as como elementos enfundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estasltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma.Se pueden considerar apoyos elsticos, as como imponer deformaciones de valor conocidoen los apoyos.El programa calcula y representa grficamente las deformaciones de los nudos y barras, losdiagramas de esfuerzos internos en los elementos, la carga crtica de pandeo global de laestructura y el modo de pandeo correspondiente. 625 15. 626 Curso de anlisis estructuralPrograma Calest (Clculo de estructuras)Este programa efecta el anlisis de estructuras planas o espaciales de cualquier tipo,compuestas por barras empotradas y/o articuladas, unidas entre si de cualquier forma en losnudos. Permite considerar resortes a esfuerzo axial o al giro, as como elementos enfundacin elstica. Pueden aplicarse fuerzas sobre los nudos o sobre los elementos, y estasltimas pueden ser puntuales, distribuidas, de origen trmico o debidas a errores de forma.Se pueden considerar condiciones de ligadura de cualquier tipo, apoyos elsticos, odeformaciones de valor conocido en los apoyos.El programa calcula las deformaciones de los nudos y barras, y los esfuerzos internos en loselementos, as como la carga crtica y el modo de pandeo global de la estructura. Sugeneralidad permite estudiar situaciones no admitidas por los programas anteriores. Losdatos se definen en un archivo de texto y los resultados se obtienen en forma de listado.RequisitosLos programas deben ejecutarse en un ordenador personal tipo PC, dotado de sistemaoperativo Windows (versin 95 o posterior) o Windows NT (versin 4.0 o posterior).Los requerimientos del hardware del ordenador son: cualquier procesador que soporte alsistema operativo requerido, 8 Mb de memoria RAM, espacio libre en disco de 10 Mb,ratn y lector de CD-ROM para la instalacin de los programas. Los programas no tienenningn lmite al tamao de la estructura a calcular, sino que ste queda impuesto por lacantidad de memoria RAM disponible en el computador.InstalacinLos programas se hallan situados en la carpeta llamada Programas del CD adjunto. Elarchivo Leame.txt contiene informacin complementaria sobre los programas.Antes de utilizar los programas, deben instalarse en el disco duro del ordenador. Para ellobasta con situarse en el directorio Programas del CD (utilizando el explorador deWindows), y ejecutar el archivo denominado setup.exe. Esto activa el proceso automticode instalacin, cuya utilizacin es autoexplicativa.Una vez completada la instalacin aparece un nuevo grupo de programas en el menComienzo del entorno Windows, denominado Anlisis Estructural, que contiene losdistintos programas instalados.EjecucinUna vez instalados los programas, su ejecucin se efecta activndolos desde el menComienzo del sistema operativo. Su utilizacin interactiva es muy sencilla e intuitiva,estando documentada en las guas de usuario correspondientes.Windows y Windows NT son marcas registradas de Microsoft Corporation. 16. DSWXOR ,QWURGXFFLyQDODQiOLVLVHVWUXFWXUDO1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERA MECNICAUna estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construccin formada por uno ovarios elementos enlazados entre s que estn destinados a soportar la accin de una serie defuerzas aplicadas sobre ellos. Esta definicin es quizs excesivamente simplista, ya que al emplear los trminoselementos enlazados entre s, se induce a pensar en estructuras formadas por componentesdiscretos, por lo que slo puede servir como una primera definicin. La realidad es que lasestructuras con componentes discretos son muy frecuentes en la prctica por lo que suestudio resulta del mximo inters. Adems lo habitual es que los elementos sean lineales,del tipo pieza prismtica, conocidos como vigas o barras, y cuyo comportamientoestructural individual es relativamente fcil de estudiar, como se hace en Resistencia deMateriales. Con la definicin anterior seran ejemplos de estructuras una viga, un puentemetlico, una torre de conduccin de energa, la estructura de un edificio, un eje... La definicin anterior puede generalizarse diciendo que una estructura es cualquierdominio u extensin de un medio material slido, que est destinado a soportar algunaaccin mecnica aplicada sobre l.Esta definicin ampla el concepto de estructura a sistemas continuos donde no seidentifican elementos estructurales discretos, como por ejemplo: la carrocera de unautomvil, la bancada de una mquina herramienta, un depsito de agua, un ala de avin,una presa de hormign..., que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera seintroduce en realidad el estudio de problemas de mecnica de slidos en medios continuos,que requieren del empleo de mtodos sofisticados de anlisis. Por esta razn este texto selimita al estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz habitualmenterecta y en algunos casos curva. 1 17. 2 Curso de anlisis estructural En las definiciones anteriores se dice que actan sobre la estructura unas cargas, quenormalmente son de tipo mecnico, es decir fuerzas o pares. Tambin se considera laposibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de laestructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma de loselementos, esfuerzos de pretensin durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar aunas cargas mecnicas equivalentes, por lo que resulta fcil considerarlos.Respecto a la forma en que la estructura debe soportar las cargas no es fcil poner unlmite claro. Quizs lo ms general sea decir que la estructura debe tener un estado detensiones y deformaciones tal que no se produzca un fracaso estructural que lleve a ladestruccin de la misma, en ninguno de los estados de carga posibles. Por debajo de esteamplio lmite se imponen limitaciones ms estrictas en funcin del tipo de estructura y de suaplicacin concreta. La limitacin que siempre se impone es la del valor mximo de lastensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de la estructura, a fin de evitar surotura. Este es el caso de edificios, naves industriales, bastidores de vehculos y maquinaria,tuberas, etc. Adems de la limitacin en las tensiones, es tambin muy habitual imponer un lmitea las deformaciones de la estructura, bien por motivos funcionales (p.e. bastidores demquinas), estticos, o de resistencia de los elementos que apoyen sobre la estructura(tabiques de edificios de viviendas).En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes,llegando a sobrepasar el lmite elstico, y permitindose incluso la existencia de algunagrieta, cuyo tamao mximo es entonces el lmite para el buen funcionamiento estructural,siempre bajo severas condiciones de control (esto ocurre por ejemplo en tecnologanuclear). En otros casos ms complejos la idoneidad de la estructura viene controlada por laausencia de inestabilidades en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinmicasea la adecuada (por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, ). El problema que trata de resolver el Anlisis Estructural es la determinacin delestado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la estructura, aconsecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia tambin sedeterminan las reacciones que aparecen en la sustentacin de la estructura. Una vez conocidas las tensiones y deformaciones, el decidir si stas son admisibles ysi la estructura est en buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materiasespecficas como el diseo de estructuras metlicas o de hormign armado, la construccinde mquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido comn del analista. Como primeras reseas histricas sobre Anlisis Estructural se debe citar a Leonardoda Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una viga en voladizo.Posteriormente han sido muy numerosos los autores que han colaborado al desarrollo delestudio de las estructuras. Una excelente revisin de la contribucin de todos ellos ha sidopublicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una revisin bibliogrfica muy detallada1Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno due nuove science, 1638.Traduccin al ingls: The Macmillan Company, New York, 1933. 18. Introduccin al anlisis estructural 3sobre los fundamentos tericos del Anlisis Estructural ha sido publicada por Oravas yMcLean, en 1966. La concepcin de una estructura, por parte del ingeniero, se desglosa en tres fases:fase de planteamiento, fase de diseo y fase de construccin. En la fase de diseo, que es laque interesa para el anlisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas:Determinacin de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de estructura y lageometra de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la normativa aplicable. Sedeterminan asimismo los materiales principales a utilizar.Determinacin de las cargas: se determinan las fuerzas exteriores que actan sobre laestructura, as como todos aquellos efectos que puedan afectar a su comportamiento (erroresde forma, movimientos de los apoyos, ).Anlisis. Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originanen la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el anlisis de unaestructura es necesario proceder primero a su idealizacin, es decir a asimilarla a un modelocuyo clculo sea posible efectuar. Esta idealizacin se hace bsicamente introduciendoalgunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura,sobre la forma en que stos estn unidos entre s, y sobre la forma en que se sustenta. Unavez idealizada la estructura se procede a su anlisis, calculando las deformaciones yesfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las tcnicas propias del AnlisisEstructural. Para este anlisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores delas acciones exteriores y las dimensiones de la estructura, determinadas en las fasesanteriores.Salvo en casos muy simples, para el anlisis de la estructura es necesario conocer lasdimensiones transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estasdimensiones estn bsicamente determinadas por los esfuerzos internos que aparecen sobreellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razn el anlisis de una estructurasuele ser en general iterativo, hasta lograr unos esfuerzos internos y unas deformaciones quesean adecuados a las dimensiones transversales de los elementos. Para comenzar este proceso iterativo de anlisis se deben imponer unos valores paralas dimensiones transversales de los elementos, basndose en la experiencia, o en unpredimensionamiento, que normalmente se basa en hiptesis simplificativas.Diseo de detalles. Son propios de la tecnologa usada en la construccin de la estructura:nudos de unin, aparatos de apoyo, armaduras de hormign, etc. El anlisis de estructurasno interviene en esta fase.1.2 DEFINICIONES GENERALESPara que el anlisis de una estructura sea correcto es necesario que la idealizacin que deella se haga se acerque lo ms posible a su comportamiento real. Para efectuar estaidealizacin existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son: Disposicin espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres dimensiones. 19. 4Curso de anlisis estructural Tipo de cargas actuantes: estticas o dinmicas, segn que sean constantes en eltiempo o variables con l. Tipo de elementos que forman la estructura: elementos discretos (piezasprismticas), elementos continuos, o incluso estructuras mixtas. Tipo de uniones estructurales entre los elementos: articuladas, rgidas (habitualmentellamadas empotradas), o flexibles. Comportamiento del material: puede ser elstico, cuando al desaparecer las cargas elmaterial vuelve a su estado inicial o no (por ejemplo si hay plasticidad). Dentro delos materiales elsticos el caso ms habitual es el lineal, cuando la tensin y ladeformacin unitaria son proporcionales. Pequeas deformaciones: cuando la posicin deformada de la estructura coincidesensiblemente con su posicin sin deformar. Esto simplifica la relacin entre lasdeformaciones unitarias y los desplazamientos de un punto, que es lineal. En casocontrario se trata de un problema de grandes deformaciones, y la relacin entredeformaciones unitarias y desplazamiento no es lineal.De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las siguientescaractersticas: - estructuras formadas por elementos discretos, - sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en rgimen esttico, - con uniones entre los elementos rgidas, articuladas o flexibles, - extendidas en una, dos o tres dimensiones, - formadas por un material con comportamiento elstico lineal, y - con pequeas deformaciones.1.3 CLASIFICACIN DE LAS ESTRUCTURASEfectuar una clasificacin detallada de las estructuras no es tarea fcil, pues depende de latecnologa y materiales usados para su construccin y del uso que se da a la estructura. Poresta razn slo se incluyen aqu los tipos ms usuales de estructuras, atendiendo a susdiferencias desde el punto de vista de su anlisis, pero no desde el punto de vista de sufuncionalidad. Ya las primeras definiciones del concepto de estructura orientan a considerar dosgrandes tipos de ellas: con elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos sedetallan a continuacin.1.3.1Estructuras con elementos discretosEn estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman. Estos elementosse caracterizan por tener: una dimensin longitudinal mucho mayor que las otras dos, 20. Introduccin al anlisis estructural5 el material agrupado alrededor de la lnea directriz del elemento, que normalmente es recta.Estos elementos son por lo tanto piezas prismticas y se denominan habitualmente vigas obarras. Los puntos de unin de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elementosiempre tiene dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retcula formadapor los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a estas estructuras se lesdenomina habitualmente reticulares.La unin de unos elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintasformas, siendo las ms importantes: unin rgida o empotramiento, que impone desplazamientos y giros comunes al elemento y al nudo, de tal manera que entre ellos se transmiten fuerzas y momentos, articulacin, que permite giros distintos del elemento y del nudo, y en la que no se transmite momento en la direccin de la articulacin, unin flexible, en la que los giros del elemento y el nudo son diferentes, pero se transmite un momento entre ambos elementos.Los tipos ms importantes de estructuras reticulares son: Cerchas o celosas. Estn formadas por elementos articulados entre s, y con cargasactuantes nicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hayflexin ni cortadura. Por su disposicin espacial pueden ser planas o tridimensionales. Vigas. Estn formadas por elementos lineales unidos rgidamente entre s, y que puedenabsorber esfuerzos de flexin y cortadura, sin torsin. Tambin pueden absorberesfuerzo axial, pero ste est desacoplado de los esfuerzos de flexin y cortadura, en lahiptesis de pequeas deformaciones. Prticos planos. Son estructuras compuestas por elementos prismticos, unidosrgidamente entre s, y dispuestos formando una retcula plana, con las fuerzas actuantessituadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementostrabajan a flexin, cortadura y esfuerzo axial. Prticos espaciales. Son similares a los anteriores, pero situados formando una retculaespacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsin y flexin en dos planos. Arcos. Son estructuras compuestas por una nica pieza, cuya directriz es habitualmenteuna curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexin y de cortadura. Como casogeneral existen tambin los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. Enmuchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras ms complejas,del tipo prtico plano o espacial. Emparrillados planos. Son estructuras formadas por elementos viga dispuestosformando una retcula plana, pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Sedeforman perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a torsin y flexin.La figura 1.1 muestra algunos ejemplos de los tipos anteriores. 21. 6Curso de anlisis estructural Viga Celosa planaCelosa espacialPrtico planoPrtico espacialEmparrillado Arco Figura 1.11.3.2 Estructuras con elementos continuosEn esta estructuras no se identifica a priori ninguna direccin preponderante y el materialest distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructuraltampoco puede introducirse de forma intuitiva y simple. Su anlisis es ms complejo quepara las estructuras reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuacin seresumen los casos ms habituales de estructuras continuas. Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeo frente a susdimensiones transversales, situado en un plano y con cargas contenidas en l.Corresponde al problema de elasticidad bidimensional, y son el equivalente continuo deun prtico. 22. Introduccin al anlisis estructural 7 Placas. Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeo frente a susdimensiones transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son elequivalente continuo de un emparrillado plano. Slidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un estado general detensiones y deformaciones. Cscaras. Son medios continuos curvos, con pequeo espesor. Son el equivalente a lasuma de una membrana y una placa, pero cuya superficie directriz es curva.1.4 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE ANLISISA continuacin se resumen los principales mtodos de anlisis estructural para estructurasdiscretas, no pretendindose hacer una clasificacin exhaustiva, sino slo indicar los msimportantes. Se presentan englobados en cuatro grandes bloques, en base a su naturaleza. Soluciones analticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlanel problema, por lo que normalmente slo se pueden aplicar a casos sencillos. Integracin de la ecuacin de la elstica en vigas. Teoremas de Mohr para vigas. Mtodo de la viga conjugada para vigas. Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar a estructuras isostticas. Mtodo del equilibrio de los nudos para celosas. Mtodo de las secciones para celosas. Mtodo de la barra sustituida para celosas. Mtodos basados en la flexibilidad. Principio del Trabajo Virtual Complementario y principio del potencial complementario estacionario. Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. Mtodo general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. Mtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas. Frmula de los tres momentos para vigas. Principio de Mller-Breslau para cargas mviles. Mtodos basados en la rigidez. Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. Primer teorema de Castigliano. Mtodo de rigidez en formulacin matricial, para estructuras de cualquier tipo. Mtodo de la distribucin de momentos, o de Cross, para prticos planos. 23. 8Curso de anlisis estructural1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIN DE LAS ESTRUCTURASPara que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la accinde todas las fuerzas que actan sobre ella, entre las que se incluyen tanto las accionesexteriores conocidas, como las reacciones desconocidas en los puntos de sustentacin. En el equilibrio de la estructura juega un papel fundamental la forma en que laestructura se halla unida a su sustentacin, que se efecta habitualmente a travs de uno ovarios puntos de apoyo, cada uno de los cuales introduce una o varias restricciones almovimiento de la estructura. Se denomina condicin de ligadura (o simplemente ligadura, otambin condicin de apoyo) a una condicin que define la deformacin en un punto y unadireccin dados de la estructura. Como cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en elpunto y la direccin donde est aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en ladireccin de la ligadura, denominada fuerza o momento de reaccin. Esta fuerza dereaccin es la fuerza que la sustentacin debe hacer para que se satisfaga la condicin deligadura. Las ligaduras son direccionales, es decir que cada una de ellas acta en una soladireccin del espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de las estructurashacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo simultneamente variascondiciones de deformacin. Siempre se cumple que en la direccin donde hay una ligadura aplicada se conoce elvalor de la deformacin (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de lareaccin que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la deformacin se dice que nohay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocer el valor de la fuerza exterioraplicada en esa direccin, estando la deformacin controlada por el comportamiento de laestructura. A continuacin se describen los tipos de apoyos ms habituales que puedenencontrarse en las estructuras, indicando las condiciones de ligadura que introducen.1.5.1 Estructuras planasApoyo deslizante o de rodillosImpide el desplazamiento perpendicular a la lnea de apoyo, y su reaccin es una fuerzaperpendicular a dicha lnea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capazde ejercer reaccin en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se emplea para surepresentacin). Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como semuestra en la figura 1.2. 24. Introduccin al anlisis estructural 9 12 VVV Figura 1.2Apoyo articuladoNo permite ningn tipo de desplazamiento, y su reaccin es una fuerza de direccinarbitraria, que equivale a dos fuerzas segn dos ejes ortogonales. Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unen al nudo (figura1.3). 12 H H HV VV Figura 1.3EmpotramientoNo permite ningn desplazamiento ni el giro. Su reaccin son dos fuerzas (H y V)contenidas en el plano de la estructura, y un momento M perpendicular a l (figura 1.4).VHM Figura 1.4Empotramiento deslizantePermite nicamente el desplazamiento en una direccin, pero impide el desplazamiento enla direccin perpendicular y tambin el giro. Se trata por lo tanto de un caso particular delempotramiento, pero que permite el deslizamiento en una direccin determinada. Su 25. 10 Curso de anlisis estructuralreaccin es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento Mperpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarsehabitualmente en la realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones paraconsiderar la simetra de una estructura. M H Figura 1.5Apoyo flexibleEl apoyo flexible est constituido por un punto de la estructura que est unido a lasustentacin mediante uno o varios muelles, como se muestra en la figura 1.6. En generalpuede haber constantes de rigidez distintas en cada direccin, pudiendo ser cero en algunade ellas (direccin libre). Asimismo el apoyo elstico puede coexistir con otras condicionesde ligadura.Y XX KX KX KY K Figura 1.6Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripcin de los tipos de apoyos, pero ensentido estricto este apoyo no es una condicin de ligadura para la estructura, pues no es unpunto en el que se conoce el valor de la deformacin. En efecto, no se conocen ni eldesplazamiento del nudo ni la fuerza en el muelle, sino nicamente la relacin entre ellos,que es la constante de rigidez del muelle: la fuerza en el muelle es proporcional a ladeformacin del apoyo y la reaccin de la sustentacin es igual a la fuerza en el muelle.Esta igualdad entre la fuerza en el muelle y la reaccin de la sustentacin es la que hace queeste nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se tratapor lo tanto de un nudo de la estructura como cualquier otro, al que llegan una serie deelementos estructurales y adems el muelle, que debe considerarse como uno ms. En estesentido, siempre se considerarn aqu los muelles como elementos estructurales, y se lesdar el mismo tratamiento que a los dems.1.5.2 Estructuras tridimensionalesRtula esfricaEs el equivalente tridimensional de la articulacin plana. No permite ningndesplazamiento, y s permite los tres giros. Su reaccin son tres fuerzas ortogonales (o unvector fuerza de direccin arbitraria), como se indica en la figura 1.7. 26. Introduccin al anlisis estructural11Z RZ RX RYXY Figura 1.7Apoyo deslizante sobre un planoSe trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser unode los planos coordenados, u otro cualquiera. Su reaccin es una fuerza normal al plano dedeslizamiento (figura 1.8). No influye en los giros que pueda tener la estructura, que podrn ser uno o varios, enfuncin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo.Z RZ Y X Figura 1.8Apoyo deslizante sobre una recta.En este caso el punto de apoyo est obligado a moverse sobre una recta conocida, por loque el nico desplazamiento posible es en la direccin de dicha recta (figura 1.9). Lareaccin son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al igual que en caso anterior,esta condicin de ligadura no influye sobre los giros.Z V YX H Figura 1.9 27. 12 Curso de anlisis estructuralEmpotramiento deslizante prismticoEn este caso el punto de apoyo se mueve sobre una recta, pero no tiene ninguna posibilidadde giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por lo tanto un slo grado de libertad, quees el desplazamiento en la direccin de la recta. La reaccin tiene cinco componentes: dosfuerzas perpendiculares a la recta (V y T) y tres momentos ( ML, MV y MT).VMVMT ML T Figura 1.10Empotramiento deslizante cilndricoEn este caso el punto puede deslizar sobre una recta y adems puede girar respecto a ella.Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la direccin de la recta y larotacin alrededor de ella (figura 1.11). La reaccin tiene cuatro componentes: dos fuerzasperpendiculares a la recta (V y T), y dos momentos tambin perpendiculares a ella (MV yMT).ZV Y MVX MT T Figura 1.111.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCINLos distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir bsicamentede dos formas: De forma totalmente rgida, transmitindose entre los elementos unidos todas las fuerzasy momentos posibles: tres fuerzas y tres momentos en el caso espacial, y dos fuerzas yun momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementosunidos son iguales. Mediante uniones imperfectas, que permiten un cierto movimiento relativo entre loselementos unidos. Estas uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidadde transmisin de alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al 28. Introduccin al anlisis estructural13 eliminarse esta capacidad de transmitir algn esfuerzo, aparece un movimiento relativo entre los elementos, en la direccin del esfuerzo anulado.Se denominan condiciones de construccin a estas condiciones de esfuerzo nulo impuestas alas uniones entre los elementos de la estructura. Su presencia juega un papel importante enla estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isosttica o hiperesttica.Los tipos ms importantes de condiciones de construccin se indican en la tabla 1.1.Tipo Esfuerzo anulado Representacin Articulacin (o rtula) Momento flector Deslizadera Esfuerzo cortante Deslizadera axial Esfuerzo axial Articulacin a torsinMomento torsor Rtula esfrica Dos momentos flectores, y un momento torsorTabla 1.1Puede ocurrir que en un mismo punto existan varias condiciones de construccin, que sedeben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se suman. As por ejemplo,la rtula esfrica est compuesta por dos articulaciones segn dos ejes perpendiculares alelemento y una articulacin a la torsin.EjemploEn un nudo totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, elnmero de condiciones de construccin es n-1. La ecuacin n-sima es la ecuacinesttica de suma de momentos nulos en el nudo. M1=0M2=0 M3=-M1-M2=0 29. 14 Curso de anlisis estructural1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN EXTERNOPara analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de slido librede toda ella. En este diagrama se considera a toda la estructura como un slido rgido, y sesustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantasincgnitas como reacciones haya, en nmero r. A este conjunto se le aplica un estudio deestabilidad. La esttica facilita q=3 ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuacionesen el espacial. En funcin de como sea el nmero de reacciones incgnita, en relacin coneste nmero de ecuaciones de equilibrio se presentan tres casos diferentes. Suponiendo queno hay condiciones de construccin en la estructura, es decir que las uniones en todos losnudos son rgidas, dichos casos son:A. El nmero de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq: la estructura es un conjunto inestable, y se dice que es externamente inestable. Sin embargo para ciertas combinaciones particulares de las fuerzas exteriores la estructura puede encontrarse en equilibrio, que se denomina equilibrio inestable.B. El nmero de reacciones es igual al nmero de ecuaciones de equilibrio r=q. En principio la estructura es externamente isosttica ya que hay ecuaciones de la esttica en nmero suficiente para calcular todas las reacciones. Sin embargo esta condicin es necesaria pero no suficiente para garantizar que la estructura es externamente isosttica. En efecto, puede ocurrir que el nmero de reacciones sea el correcto, pero que su disposicin geomtrica sea tal que la estructura sea inestable en una determinada direccin: se dice en este caso que tiene inestabilidad externa. Esto ocurre por ejemplo en una estructura plana cuando las tres reacciones se cortan en un punto, o son paralelas.C. El nmero de reacciones es mayor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura est estticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamente hiperesttica: es necesario introducir nuevas condiciones, adems de las de la esttica, para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condicin es necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, stas tengan una disposicin espacial tal que no impidan la existencia de algn tipo de inestabilidad en alguna otra direccin.Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompaados de algn tipo dehiperestaticidad externa en alguna otra direccin, de tal manera que el cmputo global deincgnitas y ecuaciones no da una respuesta correcta. La tabla 1.2 resume las posibles situaciones.rq Inestable externamente Isosttica externamente r=q Hiperesttica externamente rqTabla 1.2Puede concluirse que la comparacin del nmero de reacciones r con el nmero deecuaciones de la esttica q, brinda nada ms que un balance global del estado de la 30. Introduccin al anlisis estructural15estructura, pero no permite determinar con precisin su situacin. Esto requiere en generaluna inspeccin de la misma y un anlisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad.EjemplosLas estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin embargo la de la izquierdaes estable e isosttica, ya que las tres reacciones son independientes, mientras que la de laderecha es inestable, pues las tres reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda. Estable, isottica InestableLa estructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperesttica.HiperestticaLas estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situacin es muy diferente, pues ladisposicin de las reacciones produce inestabilidad de distinto tipo. Esta inestabilidad estunida a una hiperestaticidad en otra direccin, de tal manera que el cmputo total dereacciones hace parecer que la estructura es isosttica.Hiperesttica s/X Hiperesttica s/YInestable al giro Inestable s/X 31. 16 Curso de anlisis estructural1.8 BIBLIOGRAFA1. Argelles Alvarez, R., y Argelles Bustillo, R., Anlisis de Estructuras: Teora, Problemas y Programas, Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Montes, Madrid, 1996.2. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1996.3. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, N 8, pp. 647-658, Agosto 1966.4. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte II, Vol. 19, N 11, pp. 919-933, Noviembre 1966.5. Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1953.6. Timoshenko, S. P., y Young, D. H., Teora de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao, 1974.7. Tuma, J. J., Anlisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York, 1970.8. Wang, C. K., Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, 1983. 32. DSWXOR7HRUHPDVIXQGDPHQWDOHV2.1 INTRODUCCINEn este captulo se presentan los teoremas fundamentales en que se basa el anlisisestructural. Su estudio se hace desde la ptica de la mecnica de slidos, considerando unmedio continuo, con lo que se obtienen expresiones muy generales, aptas para serempleadas tanto en el anlisis de estructuras discretas como continuas. Se considera aplicable la hiptesis de pequeas deformaciones: la posicindeformada del slido coincide con la posicin sin deformar, con lo que las ecuaciones deequilibrio esttico se pueden plantear en la configuracin inicial del slido, que es conocida. Se supone en principio un comportamiento elstico del material, pero siempre que esposible los desarrollos se hacen con la mayor generalidad, obtenindose en ocasionesexpresiones vlidas para casos elsticos lineales o no lineales2.1.1 Fuerzas exterioresSobre el slido pueden actuar las siguientes fuerzas (figura 2.1): Fuerzas distribuidas sobre el volumen del slido qv. Tienen tres componentes y cada unade ellas es una funcin del punto sobre el que actan. Estn definidas en principio sobretodo el volumen del slido. Fuerzas distribuidas sobre la superficie exterior del slido qs. Tienen tres componentes,cada una de las cuales es una funcin del punto sobre el que actan, aunque slo estndefinidas en puntos situados sobre la superficie exterior del slido. Fuerzas y momentos puntuales, aplicadas directamente en determinados puntos delslido. No son consistentes con la mecnica de los medios continuos, pero seintroducen, cuando es posible, por su gran inters prctico. Habitualmente se manejandescompuestas en todas sus componentes escalares, y agrupadas en un nico vector P17 33. 18Curso de anlisis estructural que contiene todas las componentes escalares de todas las fuerzas y momentos, en nmero N. %q( %q( %P ( KP K1 K = qvx K ) K = qsx K ) K K P= ) 2 KqK KqK K ... Kqvvyqssy(2.1) vz * sz * KP K* N qszP1 1 qsy uz qvz qsx qvyuyux qvx 2 P2 Figura 2.12.1.2Campo de deformacionesEn cada punto del slido existe una deformacin (figura 2.1) que se denomina %u ( K K u = u )x Ku K y (2.2)*zy cuyas tres componentes son funcin de las coordenadas del punto (x,y,z).Se define asimismo un vector , que contiene% (K K1K Klos valores que adopta el campo de deformaciones enlos puntos de aplicacin y en la direccin de las = )2K ... K(2.3)fuerzas puntuales aplicadas. Es decir que contienelas deformaciones del slido medidas en la direccinK K *Nde las fuerzas aplicadas, consideradas como escalares.2.2 TRABAJOEl trabajo efectuado por las fuerzas puntuales P, cuando su punto de aplicacin se deformauna cantidad , tiene la expresin:I WP = P T d(2.4)0Si el slido es elstico lineal, existe una proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas atravs de una matriz k que mide la rigidez del slido: P = k (2.5) 34. Teoremas fundamentales 19con lo que el valor del trabajo esI 1 T 1WP = T kd = k = P T (2.6)0 2 2Para las fuerzas distribuidas de volumen y superficie se define el trabajo unitario, o trabajoefectuado por unidad de volumen o de superficie, segn corresponda por el tipo de fuerza,como (figura 2.2):IIuuW0 = q T du + q T du vs(2.7)00 qvW0u Figura 2.2En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales a travs de unasmatrices simtricas kv y ks, con lo que el trabajo unitario queda: II uu1 T 1 11 W0 = u T k v du + u T k s du = u kv u + uT ks u = qT u + qT uvs (2.8)0 02 2 22El trabajo producido por las fuerzas de volumen y superficie Wd sobre todo el slido es laintegral al volumen o a la superficie correspondientes, del trabajo unitario. En rgimenlineal, su expresin es:Wd = 1 T 2v Iq v u dv + 1 T 2sIq s u ds (2.9)2.2.1 Trabajo complementario El trabajo complementario efectuado por una fuerza F , cuando su punto de aplicacin se mueve una magnitud u es:IF*WF= u dF(2.10)0El trabajo complementario efectuado por las fuerzas puntuales tiene la expresin:IPWP = T dP *(2.11)0En el caso lineal existe proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas, por lo que su valores : 35. 20Curso de anlisis estructural 1 TWP = * P (2.12) 2que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas WP dado por (2.6). Para las fuerzas de volumen y distribuidas se define el trabajo complementariounitario, o trabajo complementario efectuado sobre la unidad de volumen o de superficie,segn el tipo de fuerza (figura 2.3):I Iqv qsW0* = u T dq v + u T dq s(2.13)0 0 qv*W0vuFigura 2.3En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales, con lo que el trabajocomplementario unitario es:1 T 1 W0* =u qv + uT q s(2.14)2 2El trabajo complementario producido por las fuerzas de volumen y superficie en todo elslido es la integral, a su volumen o superficie, del trabajo unitario correspondiente. Suexpresin en rgimen lineal es: Wd* =I 1 T 2vu q v dv + 1 T 2s Iu q s ds (2.15)que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas Wd dado por (2.9).2.2.2 Trabajo virtualEl trabajo virtual se define como el trabajo que efectan las fuerzas aplicadas sobre laestructura cuando sta se somete a un pequeo desplazamiento hipottico, llamadodesplazamiento virtual, compatible con las condiciones de sustentacin de la misma. Para aplicar este concepto a un slido deformable se vara el campo dedesplazamientos u en una magnitud u que es el desplazamiento virtual. Este es un campode desplazamientos continuo que cumple con la condicin de pequeas deformaciones y escompatible con todas las condiciones de sustentacin existentes en el slido. Esto quieredecir que en aquellas zonas del slido donde existen desplazamientos impuestos de valorconocido, el desplazamiento virtual es nulo. Durante esta variacin del campo dedesplazamientos todas las fuerzas aplicadas sobre el slido se mantienen constantes.Al aplicarse la variacin u , tambin se produce una variacin en el vector dedeformaciones en la direccin de las fuerzas puntuales. El trabajo virtual que se produce es: 36. Teoremas fundamentales21Iv vIW = q T u dv + q T u ds + P T s s(2.16)Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.4). P GW WG Figura 2.42.2.3 Trabajo complementario virtualPor analoga con el trabajo virtual, se define el trabajo complementario virtual como eltrabajo producido por las fuerzas aplicadas sobre el slido, cuando se aplica una variacinhipottica a dichas fuerzas llamada variacin virtual, manteniendo fijos losdesplazamientos. La variacin virtual de las fuerzas debe cumplir con el equilibrio defuerzas, por lo que es necesario en general variar tanto las fuerzas exteriores como lasreacciones en los puntos de apoyo. Si la variacin de las fuerzas es q v , q s , P , el trabajo complementario virtual queIIse produce es:W * = u T q v dv + u T q s ds + T P (2.17)vsEsta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.5). PGPGW * W* Figura 2.52.3 RESUMEN DE ELASTICIDAD2.3.1 Campo de tensionesPara introducir el concepto de tensin, se efecta un corte arbitrario al slido en equilibrio yen dicho corte se considera un elemento infinitesimal de superficie s, siendo n el vectorunitario normal a l. La resultante de las acciones que el resto del slido efecta sobre elelemento de superficie est compuesta por una fuerza f y un momento m (figura 2.6). 37. 22Curso de anlisis estructuralfn s mFigura 2.6Se define el vector tensin como: n ft = Lim(2.18) s 0 sEl vector tensin depende de la orientacin n del elemento de superficie, por lo que seaade el superndice n para indicarlo. Con objeto de hallar una expresin ms detallada del vector tensin se considera untetraedro elemental (figura 2.7) y se estudia su equilibrio de fuerzas. Este equilibrio seexpresa en forma vectorial1 como: An t n A1t 1 A2 t 2 A3t 3 = 0 (2.19)siendo: An el rea de la base del tetraedro,n es el vector unitario normal a la base del tetraedro, Ai es el rea de la cara i del tetraedro,t n es el vector tensin sobre la base del tetraedro,t i es el vector tensin en la cara i del tetraedro. 3-t1n -t2tn 21 -t3Figura 2.7Pero se cumple que: Ai = An ni i = 1,3 (2.20)1En los desarrollos siguientes se emplean indistintamente las denominaciones X,Y,Z o 1,2,3 para losejes coordenados. 38. Teoremas fundamentales23luego el equilibrio queda:t n = n1t 1 + n2 t 2 + n3t 3 (2.21)Pero a su vez cada vector tensin se puede expresar2 en funcin de los tres vectores de la base ui en la forma:t i = ij u j i, j = 1,3(2.22)siendo ij las componentes del vector tensin en la cara i segn los tres ejes. Sustituyendoen la ecuacin de equilibrio se obtiene: t n = 1 j u j n1 + 2 j u j n2 + 3 j u j n3(2.23)n t = ij ni u j (2.24)Esta es la denominada frmula de Cauchy, que proporciona el valor del vector tensin enuna direccin cualquiera dada por el vector ni . Esta frmula introduce el tensor detensiones ij e indica que multiplicando este tensor por el vector unitario de una direccin n se obtiene el vector de tensiones en dicha direccin. As pues el tensor de tensionescaracteriza la totalidad del estado de tensiones del material en el punto considerado y esindependiente de la direccin en que se mida.La representacin de la frmula de Cauchy en notacin de subndices y matricial es:t n = ij nijtn = T n(2.25)donde es la matriz que representa al tensor ij . El vector tensin se equilibra en el interior del slido con el vector tensin en la caraopuesta de la seccin de corte, que es igual y de sentido contrario. En la superficie exterior del slido (figura 2.8) el vector tensin se equilibra con lasfuerzas exteriores aplicadas sobre ella: qs = t n(2.26)Por lo tanto se cumple que:qs = ij ni u j qs = T n(2.27)que es la expresin de la ecuacin de equilibrio en la superficie. tn qs nFigura 2.82Con notacin de subndices, se emplea el criterio de la suma en los ndices mudos. 39. 24 Curso de anlisis estructural2.3.2 Deformaciones unitariasAl aceptarse la hiptesis de pequeas deformaciones, las deformaciones unitarias serepresentan mediante el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias, cuya definicin, enfuncin de las deformaciones, es:1 ui u j ij = + 2 x j xi (2.28)Se observa que es un tensor simtrico, por lo que slo seis de sus componentes sondistintas. Este tensor se emplea bien como tensor, tal y como se ha definido, o bien como unvector , que agrupa slo las seis componentes distintas. Cuando se usa como vector, paralas tres componentes de cortadura (aquellas en que ij) se emplean las deformacionesingenieriles , que son el doble de las exactas. ui ui u j ii = i= j ij =+= 2 iji j (2.29) xi x j xi % K 11 ( K K K22 K K = )33 KK(2.30) KK12 K 2331 K *El empleo de esta representacin simplifica algunos desarrollos posteriores, permitiendopasar con sencillez de la notacin tensorial a la vectorial.2.3.3 Ecuaciones de equilibrioPara obtener las ecuaciones de equilibrio del slido se asla un subdominio arbitrario delmismo, de volumen V y superficie S y se le aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas yde momentos.Equilibrio de fuerzasI ILas tres ecuaciones de equilibrio del dominio se pueden expresar comoqvi dv + tin ds = 0 i = 1,3 (2.31)VSLas fuerzas en la superficie de dominio se pueden sustituir por su valor en funcin del I Itensor de tensiones mediante la frmula de Cauchy, quedando:qvi dv + ji n j ds = 0 i = 1,3(2.32) VS 40. Teoremas fundamentales 25Aplicando el teorema de la divergencia, la segunda integral se puede transformar en unaintegral de volumen: I I V qvi dv +V jix jdv = 0 i = 1,3 (2.33)I Vqvi + jix j dv = 0i = 1,3(2.34)pero como el dominio V es arbitrario el integrando debe ser nulo, con lo que se obtiene: ji+ qvi = 0i = 1,3 (2.35) x jque son las ecuaciones de equilibrio del slido, expresadas usando el tensor de tensionescomo incgnita.Equilibrio de momentosAplicando el equilibrio de momentos al dominio arbitrario, y tras un desarrollo que seomite, se obtiene: ij = ji = T(2.36)Es decir que el tensor de tensiones es simtrico.2.3.4 Ecuacin constitutivaLa ecuacin constitutiva del material representa su comportamiento mecnico y estableceuna relacin entre los tensores de tensiones y de deformaciones unitarias: ij = Dijkl kl(2.37)donde Dijkl es un tensor que define las propiedades del material. Es de orden 4 y por lotanto requiere 81 coeficientes para su definicin; pero al ser los tensores y simtricos, elD tambin lo es, por lo que slo requiere 36 trminos distintos. Por consideracionestermodinmicas relativas a la naturaleza reversible del proceso de carga y descarga delmaterial se puede reducir el nmero de parmetros requeridos hasta 21. Finalmente paramateriales orttropos (materiales con dos direcciones preponderantes) el nmero deparmetros es de slo 9; y si el material es istropo (materiales con propiedades iguales entodas las direcciones) se demuestra que slo son necesarios dos parmetros diferentes paradefinir el tensor D. Estos parmetros son habitualmente el mdulo de elasticidad E y elmdulo de Poisson . En particular se consideran aqu los materiales elsticos, en los cuales se cumple queel proceso de carga y descarga del material se lleva a cabo siempre por la misma curva; ysea cual sea la historia de cargas, el material siempre se encuentra en un punto de dichacurva caracterstica (figura 2.9). 41. 26 Curso de anlisis estructural V H Figura 2.9 La expresin de la ecuacin constitutiva para un material istropo elstico, puesta ennotacin matricial es: = D (2.38) 1 000 # %( 1 1 0 # %# ( KK# KKxx1 00 xx 1 1 KK 0 # KK K K = E(1 )##KKyy yy1 00 Kzz ) (1 + )(1 2 ) K 1 1 1 2 0 # Kzz)K(2.39) KK #KKxy0 0 00 xy 2(1 ) KK 0 # K Kyz 1 2yz zx *0 0 0 0 2(1 )1 2 # #zx * !0 0 0 00 2(1 ) $ #La matriz simtrica D se denomina matriz elstica. Si el material es lineal, los coeficientesde D son constantes, y en caso contrario pueden ser funcin de la propias deformacin otensin en el material.2.4 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACINSe define la densidad de energa de deformacin, o energa de deformacin unitaria, comola integral: I ij U0 ( ij ) = ij d ij(2.40) 0con la condicin de que sea slo funcin del estado final de deformacin unitaria, es decirque la integral sea independiente del camino (figura 2.10). V U0 HFigura 2.10Para ello debe cumplirse que el integrando sea una diferencial perfecta, es decir que existauna magnitud U0 tal que se cumpla: 42. Teoremas fundamentales 27 dU0 = ij d ij (2.41)Esto implica que las tensiones deben poderse obtener como U0 ij = (2.42) ijEl anlisis riguroso de la existencia de la densidad de energa requiere complejosrazonamientos termodinmicos, y de ellos se deduce que la funcin U0 definida antes existesi el proceso de carga y descarga es reversible. Esta condicin se cumple siempre si elmaterial tiene un comportamiento elstico, lineal o no, por lo que para todos los materialeselsticos puede considerarse la existencia de la U0 . El significado fsico de la densidad de energa puede obtenerse efectuando eldesarrollo que se indica a continuacin, que no se incluye aqu en detalle, y puedeconsultarse en Shames y Dym (1985). Se considera un elemento diferencial de volumen y seaplican sobre sus caras las fuerzas originadas por las tensiones, a continuacin se calcula eltrabajo efectuado por dichas fuerzas al producirse las deformaciones en las caras delelemento. El valor del trabajo que se obtiene, dividido por el volumen el elemento, resultaser igual al valor de la U0 en ese punto. Por lo tanto puede decirse que la densidad de energa U0 representa el trabajoefectuado en una unidad de volumen por las tensiones, al producirse la deformacin elsticadel slido. De hecho tambin se suele denominar a la densidad de energa como trabajointerno unitario. Dado que el trabajo producido por las tensiones es igual a la energa que se acumulaen el slido, ocurre que la densidad de energa U0 es la energa elstica acumulada en elslido por unidad de volumen. La densidad de energa puede expresarse en notacin de vectores como:I U0 = T d(2.43) 0en este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, que son el doble de las reales. De esta forma la expresin de U0 es la misma si se calculaa partir de la frmula en notacin de tensores (2.40) o de vectores (2.43). Este es uno de losaspectos que justifican el empleo de la distorsiones de cortadura ingenieriles.Comprobacin: Si la energa se calcula empleando el tensor ij , su valor es:I1 ij U0 = 11d 11 + 22 d 22 + 33 d 33 + 12 d 12 + 21d 21 +...6 0Si se emplea el vector se obtiene:I1 ijU0 =6 11d 11 + 22 d 22 + 33 d 33 + 12 d 12 +...0 43. 28Curso de anlisis estructuralLos tres trminos debidos a la tensin axial (i=j) son iguales en ambos casos. Para cadatensin cortante hay dos sumandos en el primer caso y slo uno en el segundo caso, pero secomprueba fcilmente que ambos son iguales, precisamente por ser la ij=2ij. I3I I ij ij ij8 3 ij d ij + ji d ji = ij d ij + d ji = ij d ij 8i j 00 0Caso de material linealSi el material es elstico lineal (figura 2.11), la relacin entre tensin y deformacin es unamatriz D constante y la integral que define la densidad de energa puede efectuarse consencillez:II 1 T T1U0 = T d = T D T d = D = T (2.44)0022 VU0H Figura 2.11Variacin de la densidad de energaResulta de inters determinar la variacin que sufre la densidad de energa cuando se aplicauna variacin virtual a los desplazamientos u , manteniendo constante el valor de lastensiones, es decir en condiciones similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual.Al variar los desplazamientos se origina una variacin virtual de las deformacionesunitarias ij , y ello da lugar a una variacin de la densidad de energa (figura 2.12) cuyovalor es: I I ij + ij ij + ij U0 = ij d ij = ij d ij = ij ij(2.45) ij ij V GU0U0HFigura 2.12 44. Teoremas fundamentales292.5 ENERGA DE DEFORMACINLa energa de deformacin es la energa elstica total que se acumula en el slido. Seobtiene por integracin de la densidad de energa a todo el volumen: I II ij U = U0 dv U= ij d ij dv(2.46)v v0Caso de material linealPara un material lineal la densidad de energa tiene una expresin sencilla, por lo que laenerga total acumulada es: U=2I1 T v Ddv = 1 T 2 dv I v (2.47)Ejemplo. Energa acumulada en una pieza sometida a una distribucin uniforme detensiones provocada por una fuerza axial N, sobre un rea A. N N== = A E EAU=2I1 T dv = 1 2 I N N EA AAdx =12I N2 EAdxFrmula de ClapeyronEn el caso de un slido elstico lineal, la energa elstica acumulada U es igual al trabajoefectuado por las fuerzas exteriores aplicadas, de acuerdo con la frmula deducida porClapeyron en 1833. Para el caso de fuerzas puntuales dicha frmula se puede poner como: Pi i 1 TU = WP = = P (2.48) 22Variacin de la energa de deformacinSi la densidad de energa U0 sufre una variacin, la energa total acumulada U sufre tambin IIuna variacin, cuyo valor es: U = U0 dv = ij ij dv(2.49) vv2.6 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIADe manera anloga a la densidad de energa de deformacin se define la densidad deenerga de deformacin complementaria o energa de deformacin unitaria complementariacomo la integral: 45. 30Curso de anlisis estructuralI ij U0 ( ij )*= ij d ij(2.50) 0con la condicin de que sea slo funcin del estado final de tensin, es decir que la integralsea independiente del camino (figura 2.13). Para ello debe cumplirse que elVintegrando sea una diferencial perfecta, es *decir que exista una magnitud U0 tal que se *U0cumpla dU0 = ij d ij * (2.51) H Figura 2.13Esto implica que las deformaciones unitarias deben poderse obtener comoU0* ij = (2.52) ijEl anlisis de la existencia de la densidad de energa complementaria es similar al de ladensidad de energa, y al igual que para sta se demuestra que la densidad de energacomplementaria existe si el material tiene un comportamiento elstico. En realidad ladensidad de energa complementaria representa el trabajo complementario efectuado por lastensiones al producirse la deformacin elstica, en una unidad de volumen. La densidad de energa complementaria puede expresarse tambin en notacin devectores como:I U 0 = T d * (2.53)0En este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, con el fin de que la expresin (2.53) d el mismo valor que la (2.50).Caso de material linealSi el material es elstico lineal (figura 2.14), la relacin entre tensin y deformacin es unamatriz D constante, y la integral que define la densidad de energa complementaria puedeefectuarse con sencillez, obtenindose: I I 1 T T 11U0 = T d = T D T d = * D = T D 1 = T = U 0 (2.54)222 00Es decir que la densidad de energa en un material lineal tiene el mismo valor que ladensidad de energa complementaria. 46. Teoremas fundamentales 31 V *U0 U0 H Figura 2.14Variacin de la densidad de energa complementariaPara los desarrollos posteriores, resulta de inters determinar la variacin que sufre ladensidad de energa complementaria cuando se aplica una variacin virtual a las fuerzasexteriores, manteniendo constante el valor de las deformaciones, es decir en condicionessimilares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual complementario.La variacin de las fuerzas produce una variacinVvirtual de las tensiones , y ello da lugar a una variacin GVde la densidad de energa complementaria (figura 2.15)cuyo valor es: U0GU 0II ij ij U0 * = ij d ij = ijd ij = ij ij(2.55) H00 Figura 2.152.7 ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIALa energa de deformacin complementaria es la integral de la densidad de energacomplementaria a todo el volumen del slido:III ij U * = U0 dv*U* = ij d ij dv (2.56) v v0Caso de material linealPara un material lineal la densidad de energa complementaria tiene una expresin sencilla,por lo que la energa complementaria total acumulada es: U* =12I T D 1dv =v12I T dv = Uv (2.57)y tiene el mismo valor que la energa elstica.2.8 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual producidoen l al aplicar una variacin virtual a las deformaciones u . En notacin de subndices estetrabajo virtual es: 47. 32Curso de anlisis estructuralI W = qviui dv + qsiui dsvIs (2.58)En esta expresin no se ha introducido el trmino correspondiente a las fuerzas puntuales.Las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se pueden poner en funcin del IItensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy. W = qviui dv + ij n jui ds (2.59)v sLa integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen aplicando elteorema de la divergencia:IW = qviui dv +vI3v ijui x j 8 dv(2.60) W =Iv qvi + ijx j u dv +i Iv ij ui x jdv (2.61)Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula pues su integrando son lasecuaciones de equilibrio del slido. Para desarrollar la segunda integral, se considera la descomposicin del tensorgradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica: ui 1 ui u j1 ui u j =+x j 2 x j xi + 2 x j xi= ij + ij(2.62)Donde se han identificado el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales ij y eltensor de rotacin (antisimtrico) ij . Esta misma relacin es aplicable a la variacin de ui ,dado que los operadores variacin y derivada son intercambiables.ui = ij + ij (2.63)x jI I3Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene. 3W = ij ij + ij dv =88 ij ij + ij ij dv (2.64)v vPero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene: IW = ij ij dvv (2.65)I IISustituyendo el trabajo virtual por su valor se obtiene:qviui dv + qsiui ds = ij ij dv (2.66)vsv 48. Teoremas fundamentales 33que es la expresin del principio de los trabajos virtuales aplicado a un slido elstico. Eltrmino de la izquierda es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, mientras que el de laderecha representa el trabajo virtual interno, esto es, el trabajo virtual que hacen las fuerzasoriginadas por las tensiones cuando el campo de deformaciones unitarias sufre unavariacin virtual, a tensin constante. La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,y mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambinsuficiente (ver Shames y Dym, 1985). Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que unslido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de lasdeformaciones (compatibles con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores seaigual al trabajo virtual interno de las tensiones.Tal y como se ha obtenido, este principio es vlido para cualquier tipo de material,elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a pequeasdeformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin deformar.Tambin es aplicable a problemas con grandes deformaciones si el dominio donde se aplicael equilibrio es la situacin deformada.Caso de material elsticoSi el material es elstico, existe la energa de deformacin U, y puede comprobarse que eltrmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual, coincide con la variacin de dichaIenerga (ecuacin (2.45)). Por lo tanto se puede poner:W = U0 dv = U (2.67)vSe puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que hayaequilibrio, en una estructura elstica, es que para cualquier desplazamiento virtual(compatible con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea igual a lavariacin de la energa elstica (figura 2.16).qV VGH GU0 GWW U0uH Gu GHFigura 2.162.9PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIALSe considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica. Se defineel potencial de las fuerzas exteriores V como una funcin del campo de deformaciones y delas cargas: 49. 34 Curso de anlisis estructural I v I V qvi ui dv qsi ui ds s(2.68)Si se aplica una variacin virtual a las deformaciones, el potencial de la fuerzas sufre unaIIvariacin de valor: V = qviui dv qsiui ds = W (2.69) v sque coincide con el valor del trabajo virtual cambiado de signo. Aplicando el principio delos trabajos virtuales se puede poner que, para cualquier desplazamiento virtual: V = W = U (2.70) (U + V ) = 0 (2.71)La cantidad =U+V, es la energa potencial total del slido:I = U + V = U qvi ui dv qsi ui ds v I s(2.72)La ecuacin (2.71) indica que el potencial total es estacionario para cualquierdesplazamiento virtual. Queda as demostrado que la condicin necesaria para que laestructura est en equilibrio es que el potencial total sea estacionario. Por un proceso similarpuede demostrarse que la condicin de potencial estacionario es una condicin suficientepara el equilibrio.Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial como: lacondicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que el potencialtotal sea estacionario para cualquier variacin virtual de las deformaciones. Es decir que,en el equilibrio, los campos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definen unvalor extremo del potencial total. Se puede demostrar tambin que el potencial total tiene un valor mnimo en laposicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquier posicin vecinaadmisible (ver Oden, 1980). Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.2.10 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIOSe considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtualcomplementario producido al aplicar una variacin virtual a las fuerzas exteriores. En I Inotacin de subndices el trabajo virtual se expresa como: W * = uiqvi dv + uiqsi ds (2.73) v sLa variacin de las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se puede poner I Ien funcin del tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy. W * = uiqvi dv + ui ij n j ds(2.74) v s 50. Teoremas fundamentales35Aplicando el teorema de la divergencia la integral de superficie puede transformarse en unaintegral de volumen:IW * = uiqvi dv +v I3 v ui ijx j 8 dv(2.75)I W * = ui qvi +v ij x jdv + I v ui x j ij dv (2.76)Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula, pues su integrando es lavariacin de las ecuaciones de equilibrio. Para desarrollar la segunda integral se considera la descomposicin del tensorgradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica, dada por (2.62).I3 I3Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene: W * = 8 ij + ij ij dv = ij ij + ij ij dv 8 (2.77)vvPero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene: IW * = ij ij dv(2.78)I II vuiqvi dv + uiqsi ds = ij ij dv(2.79)v svque es la expresin del principio del trabajo virtual complementario. El trmino de laizquierda es el trabajo virtual complementario de las fuerzas exteriores, mientras que el dela derecha representa el trabajo virtual complementario interno, esto es, el trabajo virtualcomplementario que hacen las deformaciones unitarias, cuando el campo de tensionesoriginadas por las fuerzas exteriores sufre una variacin virtual, a deformacin constante. La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,pero mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambinsuficiente. Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que unslido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzasexteriores (que satisfaga el equilibrio) el trabajo virtual de complementario producido porlas deformaciones sea igual al trabajo virtual complementario interno de las tensiones.Tal y como se ha obtenido este principio es vlido para cualquier tipo de material,elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a laspequeas deformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sindeformar. 51. 36Curso de anlisis estructuralCaso de material elsticoSi el material es elstico, existe la energa de deformacin complementaria U*, y puedecomprobarse que el trmino de la derecha del Principio del Trabajo VirtualComplementario (2.79) coincide con la variacin de dicha energa (ecuacin (2.55)). Por loItanto se puede escribir:W * = U0 dv = U * * (2.80)vy puede enunciarse como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est enequilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas (que cumpla el equilibrio)el trabajo virtual complementario producido sea igual a la variacin de la energacomplementaria elstica. La figura 2.17 muestra las distintas magnitudes involucradas.q GW * V Gq GVHGV GU*0W* U*0u HFigura 2.172.11 PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL COMPLEMENTARIASe considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elsticacomplementaria. Se define el potencial complementario de las fuerzas exteriores V* como IIuna funcin del campo de deformaciones y de las cargas:V * qvi ui dv qsi ui ds(2.81)v sSi se aplica una variacin virtual a las fuerzas exteriores, el potencial complementario de lasI Ifuerzas sufre una variacin de valor:V * = qvi ui dv qsi ui ds = W * (2.82)v sque coincide con el valor del trabajo virtual complementario cambiado de signo. Aplicandoel principio del trabajo virtual complementario se puede poner que, para cualquier variacinvirtual de las fuerzas: V * = W * = U * (U * + V * ) = 0 (2.83)La cantidad *=U*+V* se llama energa potencial complementaria total del cuerpo: 52. Teoremas fundamentales 37 I * = U * + V * = U * qvi ui dv qsi ui ds vIs(2.84)La ecuacin (2.83) indica que * es estacionario, para cualquier variacin virtual de lasfuerzas. Queda as demostrado que el potencial total complementario es estacionario si laestructura est en equilibrio, es decir que se trata de una condicin necesaria. Por unproceso similar puede demostrarse que la condicin de potencial complementarioestacionario es una condicin suficiente para el equilibrio.Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencialcomplementaria como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est enequilibrio es que el potencial total complementario * sea estacionario, es decir que loscampos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definan un valor del potencialtotal complementario que adopte un valor extremo. Se puede demostrar tambin que el potencial complementario total * tiene un valormnimo en la posicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquierposicin vecina admisible. Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.2.12 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANOSe considera un slido elstico en equilibrio, sometido a un sistema de N cargas puntualesexteriores Pi , que pueden ser indistintamente fuerzas o momentos. En cada punto deaplicacin de una carga se identifica la deformacin i en la direccin de la carga, que esun desplazamiento si se trata de una fuerza o un giro si se trata de un momento (figura2.18). P1 P21 2P3 4 3P4Figura 2.18Supongamos que es posible expresar la energa elstica almacenada en el slido en funcinde las deformaciones U ( i ) . El potencial total puede entonces ponerse como: = U(i ) + V = U(i ) P i =1, Ni i (2.85)Al estar el slido en equilibrio, este potencial es estacionario, con lo que: = 0 i i =1, Ni i = 0(2.86) 53. 38 Curso de anlisis estructural U P= 0 i =1, Ni ii i (2.87) U P = 0i =1, Ni ii (2.88)Pero al ser la variacin de los desplazamientos arbitraria, debe ser cero cada uno de lostrminos del sumatorio, es decir:U Pi =i = 1, N (2.89) iEsta es la expresin del conocido primer teorema de Castigliano (1879), que es de granutilidad para el anlisis de estructuras, y que de hecho es la base del denominado mtodo derigidez. Es aplicable a sistemas elsticos, con la condicin de que pueda expresarse laenerga elstica en funcin de las deformaciones. En estructuras reticulares formadas porvigas, con las suposiciones habituales para su anlisis, siempre es posible expresar dichaenerga en funcin de una serie de parmetros de deformacin (desplazamientos y giros delos extremos de las vigas), por lo que este teorema es de gran inters.2.13 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANOSe considera nuevamente un slido elstico en equilibrio (figura 2.18), sometido a unsistema de cargas puntuales exteriores Pi , y sean i las deformaciones en la direccin delas cargas.Se supone ahora que es posible expresar la energa elstica complementariaalmacenada en el slido en funcin de las fuerzas U * ( Pi ). El potencial complementario totalpuede entonces ponerse como: * = U * ( Pi ) + V * = U * ( Pi ) P i =1, N i i(2.90)Al estar el cuerpo en equilibrio, este potencial complementario es estacionario, con lo que: * * = 0Pii =1, NPi Pi = 0(2.91) UP * i =1, Ni Pi iPi = 0 (2.92) U P*i =1, Ni i Pi = 0(2.93)Pero al ser la variacin de las fuerzas arbitraria, debe ser cero cada uno de los trminos delsumatorio, es decir: 54. Teoremas fundamentales 39U * i =i = 1, N (2.94)PiSi el slido es lineal la energa y la energa complementaria coinciden, con lo que queda:U i =i = 1, N (2.95)PiEsta es la expresin del conocido segundo teorema de Castigliano (1879), de enormeutilidad para el anlisis de estructuras y en particular para el clculo de deformaciones. Dehecho este teorema es la base del denominado mtodo de flexibilidad para anlisisestructural. Es aplicable a sistema elsticos, con la condicin de que pueda expresarse laenerga elstica complementaria en funcin de las fuerzas generalizadas, lo cual es siempreposible en estructuras reticulares con las suposiciones que habitualmente se hacen para suestudio.2.14 TEOREMA DE BETTI-RAYLEIGH O DEL TRABAJO RECPROCOSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: Sistema A, compuesto por una sola fuerza PA , que produce una deformacin AAA en otro punto B (figura 2.19). en su punto de aplicacin A y B Sistema B, compuesto por una sola fuerza PB , que produce una deformacin BBB en el otro punto A (figura 2.19). en su punto de aplicacin B y APAAA BB A BA A B APBB B Sistema ASistema BFigura 2.19Si se aplican ambos sistemas sobre el slido, en primer lugar el sistema A y a continuacinel B, el trabajo que producen es: 11W A, B = PA A + PB B + PA B A B A(2.96) 22El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PA durante su aplicacin,el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PB durante su aplicacin y elltimo corresponde al trabajo efectuado por PA durante la aplicacin de PB . Se considera ahora la situacin inversa: se aplica en primer lugar el sistema B y acontinuacin el A. El trabajo que se produce es: 55. 40Curso de anlisis estructural 11W B, A = PB B + PA A + PB A B A B(2.97) 22El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PB durante su aplicacin,el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PA durante su aplicacin y elltimo corresponde al trabajo efectuado por PB durante la aplicacin de PA . Como el trabajo total es el mismo en ambos casos, igualndolos se obtiene: PA B = PB A A B(2.98)Esta es la expresin del teorema del trabajo recproco, enunciado por E. Betti (1872) y LordRayleigh (1874). Se puede enunciar como: el trabajo producido por un sistema de fuerzasA actuando sobre las deformaciones producidas por otro sistema B es igual al trabajoproducido por el sistema de fuerzas B actuando sobre las deformaciones producidas por elsistema A. Este teorema es aplicable a slidos elsticos y lineales, donde es aplicable elprincipo de superposicin. Es vlido para cualquier tipo de fuerza o momento, considerandoen cada caso la deformacin correspondiente en la direccin de la fuerza o momento. En elcaso general, si actan fuerzas de volumen y de superficie, la expresin del teorema de losIII Itrabajos recprocos es:TTT Tq v u B dv + q s u B ds = q v u A dv + q s u A dsAABB(2.99)vsv s2.15 TEOREMA DE MAXWELL O DE LAS DEFORMACIONES RECPROCASSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos (figura 2.20): Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1, que produce una deformacin A en su punto de aplicacin A y A en otro punto B.AB Sistema B, compuesto por una sola fuerza unitaria PB = 1, que produce una deformacin B en su punto de aplicacin B y B en el otro punto A.BAPA=1B A A B A ABB AAPB=1 BBSistema A Sistema BFigura 2.20Aplicando el teorema del trabajo recproco de Betti-Rayleigh se cumple que el trabajocruzado entre los dos sistemas es el mismo: 56. Teoremas fundamentales 41 PA B = PB A A B(2.100)Al ser las dos fuerzas unitarias, se obtiene que: B = AAB(2.101)Esta es la expresin del teorema de las deformaciones recprocas. Puede enunciarsediciendo que la deformacin inducida en un punto A por una fuerza unitaria aplicada enotro punto B es igual a la deformacin inducida en B por una fuerza unitaria aplicada enA. Este teorema fue obtenido por Maxwell (1864) para el caso de celosas y en realidades un caso particular el teorema del trabajo recproco. Aunque aqu se ha deducido parafuerzas, puede aplicarse a cualquier tipo de esfuerzo (fuerza o momento) y de deformacin(desplazamiento o giro), utilizando siempre fuerzas o momentos de valor unidad y midiendola deformacin correspondiente en la direccin del esfuerzo.GeneralizacinEn algunos casos resulta interesante poder relacionar las deformaciones que se producen enestructuras que estn cargadas con varias fuerzas unitarias. Sea de nuevo un slido elsticolineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: - Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1 situada en el punto A. - Sistema B, compuesto por N fuerzas unitarias PBi = 1 situadas en los puntos Bi. El sistema A (figura 2.21) produce PA=1unas deformaciones: AA A BNA A en el punto AABN A en el punto BiBi B1AB1 BiBi A Figura 2.21 El sistema B, formado por N fuerzas unitarias PBi = 1 situadas en Bi, produce unas deformaciones: B en el punto A y B en el punto Bi. ABi Este sistema se puede descomponer en suma de N sistemas Bi, cada uno cargado con una sola fuerza PBi = 1 (figura 2.22). Por lo tanto se puede poner que: B =A BiA (2.102)i =1, N 57. 42 Curso de anlisis estructural Caso B Caso Bi B A A B BiA Bi ABN BNBNBN= PBN=1 PB1=1Bi PBi=1 B1PBi=1 B1BB1 B1 Bi Bi B Bi BiBiFigura 2.22Aplicando el teorema de reciprocidad de Maxwell entre los casos A y Bi, se cumple que: Bi = AA Bi(2.103)y sustituyendo en la expresin (2.102) resulta: B =A ABi(2.104)i =1, NEsta es una expresin generalizada del teorema de Maxwell, para el caso de que haya variascargas unitarias en uno de los sistemas, como se muestra en la figura 2.23. PA=1 AB A A A BNBNPBN=1BN A B1 PB1=1B1 BiB1 Bi ABiPBi=1Figura 2.232.16 TEOREMA DE CROTTI - ENGESSERLa expresin de este teorema ha sido obtenida durante la deduccin del segundo teorema deCastigliano (ecuacin (2.94)), del cual es una generalizacin: U * i = i = 1, N(2.105) PiEste teorema fue propuesto en esta forma, y de manera casi simultnea e independiente, porF. Crotti en 1888 y F. Engesser en 1889. Se trata por lo tanto de una generalizacin delsegundo teorema enunciado por Castigliano, y resulta muy prctico para calculardeformaciones en una estructura en la que se conoce su energa complementaria. 58. Teoremas fundamentales 432.17 TEOREMA DE ENGESSERSea una estructura reticular formada por piezas prismticas, con material elstico ysometida a un sistema de cargas general, incluyendo cargas puntuales, de superficie y devolumen.Se considera un esfuerzo interno cualquiera (esfuerzo axial, momento flector oesfuerzo cortante), que se denomina genricamente X , y se aplica la siguiente variacinvirtual al sistema de fuerzas: Todas las fuerzas exteriores y todas las reacciones se mantienen constantes. El esfuerzo interior X se vara en una magnitud X . Al ser un esfuerzo interior, siempre estar formado por una pareja de fuerzas (o momentos) iguales y de sentido contrario y su variacin tambin estar compuesta por dos fuerzas (o momentos) iguales y de sentido contrario (figura 2.24).QM M N GN GN NGMGM GQGQQ Figura 2.24Se puede comprobar que la variacin virtual de las fuerzas cumple con la condicin deequilibrio. Sea la componente de la deformacin en la direccin de la fuerza interior. Eltrabajo virtual complementario producido por la variacin de fuerzas aplicada resulta sernulo: W * = X + ( X ) = 0(2.106)Aplicando el principio del trabajo virtual complementario:W * = 0 = U * (2.107)Pero la variacin de la energa complementaria siempre se puede poner como: U *U * =X = 0(2.108)Xy como esto debe satisfacerse para cualquier variacin X , se debe cumplir queU * =0 (2.109) XEsta expresin es conocida como segundo teorema de Engesser (para evitar confusiones conel teorema de Crotti - Engesser), y vale para cualquier fuerza interior X en una estructurareticular. Resulta muy til, como se ver ms adelante, para formular las ecuaciones decompatibilidad de deformaciones en el mtodo de flexibilidad. 59. 44 Curso de anlisis estructural2.18 TEOREMA DE MNABRASi la estructura es lineal, y no hay efectos trmicos, la energa y la energa complementariason iguales, con lo que el segundo teorema de Engesser queda:U =0 (2.110)XEsta expresin constituye el llamado teorema de Mnabra (1858), quien lo enunci para elcaso particular de las estructuras de celosa hiperestticas.2.19 ESTRUCTURAS SOMETIDAS A CARGAS TRMICASLa existencia de variaciones en la temperatura de un slido deformable afecta a sucomportamiento estructural, modificando las tensiones y deformaciones que aparecen en l.En ese apartado se revisan las principales magnitudes ya presentadas y se estudia lainfluencia que tiene sobre ellas la existencia de cargas trmicas.En primer lugar, hay que decir que la expresin del tensor de tensiones y la frmulade Cauchy no se ven afectadas por la presencia de temperaturas, pues su obtencin estbasada solamente en criterios de equilibrio de un elemento diferencial.2.19.1 Deformaciones unitariasEl campo de deformaciones unitarias tiene dos componentes: = 0 + m (2.111) son las deformaciones unitarias totales existentes en el slido. Su expresincorresponde al tensor infinitesimal de deformaciones ya definido en la ecuacin (2.28). 0 son las deformaciones unitarias iniciales producidas por la presencia de lastemperaturas. Corresponden a las deformaciones unitarias que aparecen en el slidocuando ste se halla en el estado de tensin nula, o de libre dilatacin, es decir cuando elslido no est sometido a ninguna fuerza exterior y puede dilatarse libremente. m son las deformaciones unitarias producidas nicamente por las fuerzas aplicadassobre el slido.Las deformaciones unitarias de origen trmico en un punto cualquiera tienen la expresingeneral siguiente, en notacin de tensores: 0ij = T ij (2.112)siendo el